2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka

Transcript

1 MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra, 2010

2 2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) kaj c kai èna apì ta pio dhmofil logismik gia epðlush PPB, to NIMBUS. Sugkekrimèna, dðnoume ton orismì enìc PPB, to jewrhtikì upìbajro gia thn kalôterh katanìhsh twn mejìdwn pou ja akolouj soun kai tic diaforèc twn PPB me ta klassik Mono-antikeimenik probl mata BeltistopoÐhshc. Epiplèon, parousi zoume tic treic kôriec kathgorðec prosèggishc twn PP- B (mh-allhlepidrastikèc, allhlepidrastikèc, exeliktikèc) o diaqwrismìc twn opoðwn gðnetai an loga me thn mesh èmmesh emplok tou L pth Apìfashc. H melèth mac esti zetai kurðwc sthn kathgorða twn mh-allhlepidrastik n proseggðsewn, sthn opoða o LA emplèketai èmmesa. Tèloc, oloklhr noume thn melèth mac me thn analutik parousðash thc epðlushc enìc PPB me thn qr sh tou logismikoô NIMBUS. Lèxeic Kleidi : polu-antikeimenik beltistopoðhsh, pareto beltistìthtac, pareto- bèltisth lôsh, mh-allhlepidrastikèc proseggðseic, NIMBUS Overview In this contribution, we study the classical approaches for solving Multiobjective Optimization Problems (MOOP) as well as one of the most popular software that solves MOOP, namely NIMBUS. More specifically, we present the definition and the theoretical background around MOOP and we discuss the differences between MOOP and the classical single-objective optimization problems. We also present the three main categories of approaches of solving MOOP (non-interactive, interactive, evolutionary) that are characterized by the way the Decision Maker participates in the solution. We focus on the first category by analyzing each of the non-interactive approaches. Finally, we conclude by presenting an analytic illustration of an example that solves amoopusingthenimbussoftware. Keywords : multi-objective optimization, pareto optimality, paretooptimal solution non-interactive approaches, NIMBUS

3 3 EuqaristÐec Sto shmeðo autì ja jela na euqarist sw ìlouc ìsouc me bo jhsan kai mou sumparast jhkan kat th di rkeia twn metaptuqiak n mou spoud n. Katarq n ja jela na euqarist sw thn epiblèpousa EpÐkourh Kajhg tria ka. JeodoÔla Gr ya, gia to diarkèc kai amèristo endiafèron pou èdeixe ìla ta qrìnia tic sunergasðac mac, tìso se proptuqiakì ìso kai se metaptuqiakì epðpedo. To jèma thc BeltistopoÐhshc, met apì proswpik thc parèmbash kai kajod ghsh, apotèlese thn arq thc ereunhtik c kai episthmonik c mou doulei c. To apotèlesma aut c thc sunergasðac eðnai mða proptuqiak ergasða sto pedðo thc BeltistopoÐhshc, mða episthmonik ergasða kai h paroôsa metaptuqiak ergasða. Ja jela epðshc na euqarist sw jerm ta mèlh thc trimeloôc epitrop c, ton Anaplhrwt Kajhght k. Nikìlao Ts nta kai ton EpÐkouro Kajhght k. Ge rgio Androul kh gia thn hjik upost rixh pou mou prosèferan. Epiplèon, ja jela na ekfr sw to sebasmì mou kai tic euqaristðec mou sto Kajhght k. Miqa l Braq th gia thn upost rix tou se ìlh thn poreða mou sto metaptuqiakì prìgramma pou parakoloôjhsa kai gia tic polôtimec sumboulèc tou. Euqarist polô touc sunadèlfouc kai kaloôc mou fðlouc Aggelik kai Miq lh, gia thn upèrmetrh upomon, katanìhsh kai upost rix touc. Tèloc, jèlw na euqarist sw kai na afier sw thn paroôsa ergasða sthn oikogènei mou Baggèlh, Andri na, T so, AspasÐa, Qristìforo pou ìla aut ta qrìnia me sthrðzoun se ìla ta b mata kai tic epilogèc mou. KurÐwc, ja jela na euqarist sw thn aderf mou AspasÐa pou qwrðc thn upost rix thc den ja eðqa to sjènoc na antimetwpðsw tic di forec antixoìthtec pou parousi sthkan èwc ìtou oloklhrwjeð h metaptuqiak mou ergasða. Me bajôtath ektðmhsh se ìlouc touc kajhghtèc mou pou me èkanan na pistèyw ìti h jèlhsh upernik k je empìdio, me sômmaqo th skèyh kai eqjrì to qrìno... GewrgÐa E. Antwnèlou

4 << TÐc duskolðec twn boun n tic xeper same, t ra èqoume na antimetwpðsoume tic duskolðec twn pedi dwn... >> (Mp. Mprèqt, << SuneidhtopoÐhsh >>). 4

5 PERIEQ OMENA 5 Perieqìmena 1 Eisagwg Mia pr th prosèggish twn Problhm twn Polu-antikeimenik c BeltistopoÐhshc H basik filosofða epðlushc twn PPB Pareto Optimality KlassikopoÐhsh twn mejìdwn epðlushc twn PPB Jematik ParousÐash KefalaÐwn Basikèc 'Ennoiec (BASIC CONCEPT) Eisagwg sthn Polu-antikeimenik BeltistopoÐhsh (PPB) Mia pr th prosèggish tou orismoô twn PPB Qr simoi orismoð Genikì Prìblhma Mono-Antikeimenik c BeltistopoÐhshc Orismìc tou PoluantikeimenikoÔ Probl matoc BeltistopoÐhshc (P.P.B) Grammikì kai mh-grammikì PPB Kurtìthta & BeltistopoÐhsh Pareto Beltistìthta (Pareto Optimality) DÔo shmantikèc 'Ennoiec sta PPB (L pthc Apìfashc & AntistajmÐseic (trade-offs) Ikanèc kai AnagkaÐec Sunj kec DiaforÐsimec Sunj kec Beltistìthtac 1 hc t xhc ParadeÐgmata katanìhshc twn Design Space - Criterion Space Jèmata mesa sundedemèna me ta PPB kai thn Pareto Beltistìthta Diaforèc Polu-antikeimenik c vs Mono-antikeimenik c beltistopoðhshc Duo stìqoi ènanti enìc Qeirismìc dôo q rwn anaz thshc Teqnhtèc Epino seic (Teqn smata) Klassikèc Mèjodoi KathgoriopoÐhsh Mejìdwn EpÐlushc twn PPB Diafor metaxô Interactive & Non-Interactive Mejìdwn Non-Preference Mèjodoi Global Criterion Mèjodoc Mèjodoc thc Oudèterhc Sumbibastik c LÔshc (Neutral Compromise)

6 PERIEQ OMENA 6 4 Mh-Allhlepidrastikèc ProseggÐseic Preference & Non-Preference Mèjodoi Weighted Sum Mèjodoc Pleonekt mata-meionekt mata thc Mejìdou DuskolÐec epðlushc Non-Convex Problhm twn e-constraint Mèjodoc Pleonekt mata Meionekt mata Weighted Metric Mèjodoi Pleonekt mata kai Meionekt mata thc mejìdou Rotated Weighted Metric Mèjodoc Dunamik Metaballìmenh Idanik lôsh (Dynamically Changing the Ideal Solution) Benson s Mèjodoc Pleonekt mata -Meionekt mata Value Function Mèjodoc Pleonekt mata -Meionekt mata Goal Programming Mèjodoi Genik Eisagwg Analutik Weighted G.P. Mèjodoc Lexicographic G.P. Mèjodoc Min-Max G.P. Mèjodoc Exeliktikèc & Allhlepidrastikèc Mèjodoi Exeliktikèc Mèjodoi (Evolutionary Methods ) Allhlepidrastikèc Mèjodoi (Interactive Methods) Logismikì (SoftWare) Genik Eisagwg Perigraf LeitourgÐac LogismikoÔ NIMBUS UlopoÐhsh enìc PPB me to logismikì NIMBUS DhmiourgÐa Nèou Probl matoc EÐsodoc Probl matoc KlassikopoÐhsh Antikeimenik n Sunart sewn Eisagwg Paramètrwn KlassikopoÐhshc An lush Apotelesm twn Grafik Anapar stash LÔsewn Dunatìthtec LogismikoÔ

7 PERIEQ OMENA 7 7 Sumper smata 87 8 BibliografÐa 88

8 1 EISAGWG H 8 1 Eisagwg 1.1 Mia pr th prosèggish twn Problhm twn Poluantikeimenik c BeltistopoÐhshc H beltistopoðhsh eðnai mia diadikasða eôreshc miac perissotèrwn efikt n lôsewn, dhlad mègista el qista, miac perissotèrwn sunart sewn. H an gkh eôreshc tètoiwn bèltistwn lôsewn eðnai èna prìblhma pou aporrèei apì ton epitaktikì skopì thc sqedðashc miac lôshc ètsi ste na èqoume p.q. to el qisto kìstoc paragwg c to mègisto dunatì kèrdoc miac epiqeðrhshc k.t.l. Lìgw thc shmantikìthtac pou katèqoun oi bèltistec lôseic, oi mèjodoi beltistopoðhshc èqoun mia spoudaða praktik c fôsewc jèsh, eidik se probl mata mhqanik c sqedðashc, episthmonik n peiram twn kai l yhc apof sewn se epðpedo epiqeir sewn. H zw anapìfeukta emplèkei th l yh apof sewn, tic enèrgeiec epilog c kai anaz thshc sumbibasm n se di fora jèmata thc kajhmerinìthtac mac. EÐnai fusikì epakìloujo, loipìn, na epijumoôme ìla ta parap nw na shmei noun th kalôterh apìdosh kai to megalôtero ìfeloc upèr tou pros pou twn pros pwn pou emplèkontai. Me lla lìgia, ìloi epijumoôme th bèltisth epðdosh kat lhxh tètoiwn apof sewn, epilog n, sumbibasm n k- tl. H dusko- lða pou shmei netai - se meg lo bajmì - eðnai sthn antifatik / antagwnistik fôsh twn apait sewn kai twn stìqwn proc pragm twsh. Oi perissìterec kajhmerinèc apof seic kai sumbibasmoð gðnontai me gn mona th diaðsjhsh, thn koin logik, thn tôqh to sunduasmì ìlwn aut n mazð. Wstìso, up rqoun pedða ìpou h majhmatik montelopoðhsh kai o programmatismìc eðnai anagkaða, ìpwc sta oikonomik kai stouc mhqanikoôc k.a. Ed, ta probl mata pou kaloômaste na antimetwpðsoume diafèroun wc proc th shmantikìthta kai tic epipt seic pou mporoôn na èqoun. Sugkekrimèna, o sqediasmìc aeroskaf n, gefur n, rompìt o èlegqoc thc rôpanshc kai o qeirismìc twn periballontik n paragìntwn, eðnai merik apì ta probl mata pou apaitoôn kal sqedðash kai melèth. PolloÐ apì touc par gontec pou sumb lloun se melètec, ìpwc parap - nw, eðnai mh-grammik c fôsewc, gia autì akrib c up rqei epitaktik an gkh na brejoôn ergaleða } pou ja k noun efiktì to mh grammikì programmatismì gia th diaqeðrish poll n antagwnistik n paragìntwn-antikeimenik n sunart sewn. Stic peript seic autèc oi klassikèc mèjodoi mono-antikeimenik c beltistopoðhshc (MAB) den arkoôn; qrei zontai nèec prooptikèc, nèa plaðsia kai nèec mèjodoi pou parèqei h BeltistopoÐhsh Polu-Antikeimenik n Problhm twn. 'Etsi, mia llh kathgorða problhm twn beltistopoðhshc pou sunant me eðnai ta probl mata Polu-antikeimenik c BeltistopoÐhshc (PPB).

9 1 EISAGWG H 9 EÐnai probl mata sta opoða emfanðzontai dôo perissìterec antikeimenikèc sunart seic kai h lôsh touc eðnai èna sônolo lôsewn. Sth di lekto thc epist mhc thc dioðkhshc epiqeir sewn, h anaz thsh twn bèltistwn lôsewn kai ta probl mata beltistopoðhshc eðnai gnwst wc Polukrithriak L yh Apof sewn(multi-criteria Decision Making) kai Polu-Antikeimenik Probl mata BeltistopoÐhshc(PPB), antðstoiqa. 'Ena qarakthristikì twn PPB eðnai ìti den up rqei mða monadik bèltisth lôsh all èna sônolo majhmatik isodônamwn lôsewn pou mporoôn na prosdioristoôn. Autèc oi lôseic eðnai gnwstèc wc Pareto Optimal lôseic kai apoteloôn akrìtatec timèc twn antikeimenik n sunart sewn. Ta PPB apasqoloôn kai melet ntai diexodik apì thn episthmonik koinìthta ed kai dekaetðec. Ta deðgmata thc melèthc aut c sunant ntai sta (Edgeworth,1881; Koopmans, 1951; Pareto, 1896, 1906). Sthn pragmatikìthta, pollèc idèec kai proseggðseic èqoun ta jemèlia touc sth jewrða tou majhmatikoô programmatismoô. Gia par deigma, ìtan oi Kuhn & Tucker (1951) diatôpwnan tic sunj kec beltistopoðhshc tou mhgrammikoô programmatismoô, touc diatôpwsan ètsi ste na antapokrðnontai kai se PPB. Ta perissìtera pragmatik -kajhmerin probl mata anaz thshc kai beltistopoðhshc perilamb noun ek fôsewc pollaplèc antikeimenikèc sunart seic, dhlad eðnai Polu-antikeimenik probl mata. Profan c, sthn perðptwsh pou èqoume pollèc antikeimenikèc sunart seic de ja tan skìpimh kai orj h anaz thsh tou akrìtatou (mègistou el qistou) gia mia mìno antikeimenik sun rthsh apì th stigm pou kai oi upìloipec pou sunteloôn sto prìblhma eðnai exðsou shmantikèc. 'Etsi, gðnetai lìgoc gia eôresh diaforetik n lôsewn pou mpo- roôn pijanìn na dhmiourgoôn èna eðdoc exisorrìphshc metaxô diaforetik n antikeimenik n sunart sewn kai eðnai antagwnistikèc metaxô touc. Gia par deigma, mia lôsh pou mporeð na eðnai bèltisth wc proc mia antikeimenik sun rthsh endèqetai na mhn eðnai omoðwc bèltisth kai gia tic upìloipec antikeimenikèc sunart seic. Sth sunèqeia ja parousi soume èna par deigma PPB pou afor th l yh apìfashc gia thn agor H/U. Ac upojèsoume, loipìn, ìti oi timèc twn upologist n pou diatðjentai sthn agor kumaðnontai apì merikèc ekatont dec mèqri merikèc qili dec eur. Ac p roume dôo akraðec upojetikèc peript seic H/U, ìpou o ènac kostðzei 300 eur kai o lloc kostðzei 3000 eur [Sq ma 1]. E n to kìstoc tan to mìno krit rio l yhc apìfashc thc diadikasðac agor c H/U tìte h 'lôsh 1' eðnai h bèltisth. 'Omwc, an ìloi oi upoy fioi agorastèc eðqan mìno to kìstoc san krit rio epilog c, tìte sthn agor ja up rqe mìno èna eðdoc H/U kai kamða etairða den ja kataskeôaze akriboôc H/U. Apì thn llh pleur, gia ènan apaithtikì agorast, an h epðdosh tou upologist eðnai to mìno krit rio pou diamorf nei thn telik apìfash agor c, tìte ìloi oi upologistèc ja tan akriboð. Eutuq c, mia tètoia diadikasða l yhc apìfashc

10 1 EISAGWG H 10 den eðnai mono-antikeimenik, dhlad h l yh apìfashc ephre zetai toul qiston apì dôo krit ria. Sun jwc, ènac fjhnìc upologist c èqei kai antðstoiqa qamhlèc epidìseic. 'Estw, loipìn, ìti sthn perðptwsh << 1 >>, to epðpedo epðdos c tou eðnai 40%. Kai, sthn perðptwsh << 2 >> to epðpedo epðdos c tou eðnai 90%. T ra, ektìc twn dôo akraðwn lôsewn, parathroôme ìti profan c up rqoun kai endi mesec lôseic, metaxô twn opoðwn shmei netai èna eðdoc exisorrìphshc (trade-off) kìstouc - epðdoshc. Me lla lìgia, metaxô dôo tètoiwn lôsewn, parathreðtai ìti h mða eðnai kalôterh se ìti afor th mða ek twn dôo antikeimenik n sunart sewn, eic b roc ìmwc thc llhc. Epomènwc, ènac upoy fioc agorast c pou jèlei na petôqei th bèltisth agor H/U kaleðtai na krðnei kai na apofasðsei poi lôsh telik to sumfèrei lamb nontac upìyh tou k poiec paramètrouc. Autì, ìmwc, den faðnetai na eðnai mia apl upìjesh akìma kai ìtan to pl joc twn krithrðwn eðnai mìlic dôo. Parak tw, ja doôme tð gðnetai stic peript seic ìpou oi par gontec pou ephre zoun thn l yh apìfashc eðnai perissìteroi. Sq ma 1: Υποθετικές εναλλακτικές λύσεις απεικονίζονται για την λήψη απόφασης που αφορά την αγορά Η/Υ. 'Opwc sthn perðptwsh thc Mono-Antikeimenik c BeltistopoÐhshc, ètsi kai sthn Polu-antikeimenik BeltistopoÐhsh èqei shmeiwjeð arket ektetamènh kai epistamènh èreuna. Up rqei pl joc algorðjmwn kai efarmog n pou aforoôn peript seic ìpou emfanðzontai pollaplèc antikeimenikèc sunart seic. Sthn pleioyhfða aut n, èna gegonìc faðnetai na eðnai koinì se ìlec autèc

11 1 EISAGWG H 11 tic melètec kai afor to qeirismì thc polu-antikeimenik c beltistopoðhshc. Analutikìtera, pollèc mèjodoi apofeôgoun thn ek fôsewc poluplokìthta pou emfanðzei èna pragmatikì prìblhma polu-antikeimenik c beltistopoðhshc metasqhmatðzontac autì se èna prìblhma mono-antikeimenik c BeltistopoÐhshc. 'Etsi, pollèc melètec antimetwpðzoun ta PPBme an logo trìpo antimet pishc twn MAB. Epomènwc, ta PPB teðnoun na jewrhjoôn mia genðkeush twn MAB pou qeirðzontai pollaplèc antikeimenikèc sunart seic. 'Ena meg lo pl joc melet n deðqnoun na epikentr nontai se di forec teqnikèc pou metatrèpoun èna pl joc pollapl n antikeimenik n sunart sewn se mia monadik antikeimenik sun rthsh. Pollèc apì autèc esti zoun sth sôgkrish diafìrwn plaisðwn tètoiwn metatrop n parèqontac ta upèr kai ta kat k je enìc ek twn plaisðwn kai katal gontac sthn upìdeixh tou kalôterou. Aut akrib c h antimet pish, èrqetai se sôgkroush me thn poyh pou epikrateð ta teleutaða qrìnia, sômfwna me thn opoða h MAB antimetwpðzetai wc mia upoperðptwsh thc PB kai ìqi h PPB mia apl proèktash thc MAB. EÐnai al jeia ìti oi jewrðec kai oi algìrijmoi pou antistoiqoôn sthn MAB eðnai efarmìsimoi kai sth beltistopoðhsh thc metasqhmatizìmenhc mono-antikeimenik c sun rthshc. Wstìso, up rqoun jemeli deic diaforèc metaxô MAB kai PPB pou paragkwnðzontai ìtan qrhsimopoioôntai mèjodoi metasqhmatismoô. QwrÐc bl bh thc genikìthtac, parak tw ja sqoli soume thn ousiastik diafor metaxô MAB kai PPB me èna par deigma duo antikeimenik n sunart sewn. Se k je mia apì tic dôo antagwnistikèc sunart seic, antistoiqeð kai mða diaforetik bèltisth lôsh. Gia par deigma, sto prìblhma (L yhc apìfashc) Agor c H/U, oi lôseic 1kai2eÐnai h bèltisth lôsh wc proc to kìstoc kai h bèltisth lôsh wc proc thn epðdosh, antðstoiqa. E n o agorast c protðjentai na aux sei to kìstoc apì to antðstoiqo pou tou <<proteðnetai>> me thn lôsh 1, tìte o agorast c ja mporèsei na brei ènan H/U kalôterhc epðdoshc. To pìso mporeð na jusi sei to kìstoc sthn idanik perðptwsh sqetðzetai me to bajmì thc epðdoshc tou H/U pou mporeð na petôqei. 'Etsi, mporoôme na fantastoôme èna sônolo apì bèltistec lôseic (ìpwc A, B, C, D, E),ìpou h aôxhsh thc mðac apofèrei qeirotèreush thc llhc antikeimenik c sun rthshc. Sto shmeðo autì tðjetai èna eôlogo er thma: Me tìsec enallaktikèc lôseic, p c mporeð telik k poioc na apofasðsei poi lôsh eðnai h kalôterh se sqèsh kai me tic dôo antikeimenikèc sunart seic? H eirwneða eðnai ìti kamða apì autèc tic lôseic den eðnai bèltisth kai gia tic dôo sunart seic tautìqrona. Me lla lìgia, oi lôseic autèc mporeð na eðnai oi kalôterec all den dðnoun th bèltisth lôsh se kajemi sun rthsh xeqwrist. O lìgoc ègkeitai sto gegonìc ìti kamða lôsh apì to sônolo twn endi meswn lôsewn pou prokôptoun den k nei tic dôo sunart seic (kìstoc - epðdosh) na deðqnoun kalôterec se sôgkrish me thn efarmog opoiad pote llhc lôshc entìc tou sunìlou autoô. Epomènwc, se probl mata me perissìterec thc mðac antagwnistik n

12 1 EISAGWG H 12 antikeimenik n sunart sewn, den up rqei Monadik Bèltisth lôsh, all èna (sônolo) pl joc lôsewn pou eðnai oi bèltistec. Sthn pragmatikìthta, qwrðc k poia peraitèrw plhroforða, kamða ek twn lôsewn tou sunìlou den mporeð na jewrhjeð kalôterh ènanti twn upoloðpwn. GÐnetai, loipìn, katanohtì ìti sta PPB prokôptei èna pl joc lôsewn pou eðnai ìlec exðsou shmantikèc. Dhlad, èqoume plèon mia sullog bèltistwn lôsewn kai ìqi mìno mia lôsh. Aut eðnai kai h ousiastikìterh diafor metaxô problhm twn thc MAB kai PPB. Parìlo pou h diafor metaxô MAB kai PPB eðnai to pl joc tou sunìlou twn bèltistwn lôsewn, apì praktik c apìyewc o qr sthc, telik, èqei an gkh apì mia mìno lôsh. Autì, loipìn, faðnetai na eðnai èna gegonìc anex rthto apì to eðdoc tou probl matoc beltistopoðhshc pou èqoume (dhl. an ja eðnai MAB PPB). 'Etsi, sthn perðptwsh enìc PPB o qr sthc brðsketai en piwn tou dill matoc : << Poi ja eðnai aut h mia lôsh pou prèpei na epilèxei? >> Ac prospaj soume na apant soume se aut thn er thsh, me b sh to par deigma agor c H/U. GnwrÐzontac k poioc to pl joc twn epilog n pou tou prosfèretai sthn agor kai tic diaforetikèc ekb seic se sqèsh me thn tim kai thn epðdosh tou pro ìntoc, << poiì telik ja agor sei kai poi ja eðnai h i- danikìterh epilog? >>. 'Opwc gðnetai katanohtì, h ap nthsh (l yh apìfashc) den eðnai mia eôkolh upìjesh. K poioc, prokeimènou na l bei mia apìfash, ja prèpei na l bei upìyh tou ìlouc touc epimèrouc par gontec pou ephre zoun thn èkbash thc agor c tou H/U ìpwc to sunolikì posì pou mporeð na diajèsei, ti eðdoc logismik n prèpei na èqei o H/U, ti katan lwsh reômatoc, pìso kalì epexergast, ti mn mh èqei k.t.l. Suqn, loipìn, oi plhroforðec eðnai ek fôsewc teqnikèc, poiotikèc kai empeirikèc. Wstìso, e n k poioc èqei ìlec tic dunatèc epilogèc diajèsimec kai sugkentrwmènec me tètoio trìpo ste na mporeð eôkola na tic sugkrðnei tìte ja eðnai se jèsh na l bei mia apìfash. Epomènwc, sta PPB, h idanik diadikasða l yhc apìfashc diakrðnetai se duo st dia: 1. EÔresh twn pollapl n trade-off bèltistwn lôsewn me meg lo eôroc tim n gia tic antikeimenikèc sunart seic. 2. Epilog miac ek twn bèltistwn lôsewn pou prokôptoun, me thn bo jeia uyhloô epipèdou plhrofori n. H idanik diadikasða thc polu-antikeimenik c beltistopoðhshc ja tan aut akrib c pou perigr foun ta b mata 1 kai 2. H diadikasða aut, mac bohj na katal boume telik ìti h MAB eðnai mia upoperðptwsh thc PPB. Me mða pio prosektik mati, parathroôme ìti k je trade-off lôsh antistoiqeð se mia sugkekrimènh seir shmantikìthtac kai protðmhshc twn antikeimenik n sunart sewn pq. Sthn Eikìna 1, sth lôsh A dðnetai megalôterh barôthta sto kìstoc antð sthn epðdosh tou H/U. Apì thn llh pleur, sthn lôsh C

13 1 EISAGWG H 13 dðnetai megalôterh barôthta sthn epðdosh tou H/U antð sto kìstoc. Epomènwc, e n tètoioi par gontec ìpwc pq. o par gontac thc protðmhshc metaxô twn antikeimenik n sunart sewn diatðjentai se èna sugkekrimèno prìblhma tìte ta b mata epðlushc tètoiwn PPB all zoun. Sugkekrimèna, mia llh apl mèjodoc, ja tan o metasqhmatismìc/sônjesh tou pl jouc twn antikeimenik n sunart sewn se mia antikeimenik sun rthsh apì to jroisma twn epimèrouc antikeimenik n sunart sewn pollaplasiasmènwn me èna suntelest b rouc. Dhlad, h upì melèth sun rthsh ja eðnai to jroisma twn antikeimenik n sunart sewn pollaplasiazìmenwn me èna suntelest analìgou par gonta -b rouc. H mèjodoc aut eðnai gnwst wc klimakopoðhsh (scalarizing), kat thn opoða lamb nei q ra h metatrop enìc probl matoc PPB se MAB. 'Otan mia tètoia antikeimenik sun rthsh proerqìmenh apì sônjesh antikeimenik n sunart sewn beltistopoieðtai, stic perissìterec peript seic eðnai pijanì na prokôyei mia mìno trade-off lôsh. Aut h diadikasða qeirismoô PPB mporeð na eðnai arket eôkolh all faðnetai na eðnai kai arket upokeimenik se sqèsh me thn idanik diadikasða pou perigr yame sthn arq. H teleutaða diadikasða onom zetai Polu- antikeimenik BeltistopoÐhsh basismènh se plhroforðec EÔnoiac (preferencebased). Kat thn diadikasða aut, to pr to b ma eðnai h epilog enìc preference dianôsmatoc w 1, h opoða basðzetai se uyhloô epipèdou plhroforðec. 'Epeita, to di nusma autì efarmìzetai stic antikeimenikèc sunart seic gia na prokôyei mia antikeimenik sun rthsh, pou sth sunèqeia ja beltistopoihjeð 2 prokeimènou na brejeð mia trade-off bèltisth lôsh. Sto shmeðo autì, eðnai shmantikì na katano soume ìti mia trade-off lôsh pou prokôptei me thn efarmog miac preference-based teqnik c eðnai arket euaðsjhth wc proc thn sônjesh thc telik c antikeimenik c sun rthshc. Autì ofeðletai sto gegonìc ìti mia mikr allag 3 sto di nusma EÔnoiac mporeð na odhg sei se mia diaforetik trade-off lôsh. Pèra ìmwc apì aut n thn duskolða, diaisjhtik gðnetai katanohtì ìti h eôresh enìc tètoiou dianôsmatoc eðnai se meg lo bajmì mia upokeimenik diadikasða kai ìqi antikeimenik. Autì sumbaðnei giatð apaiteðtai an lush twn teqnik n, posotik n kai llwn qarakthristik n paramètrwn, pou basðzetai sthn proswpik ektðmhsh tou qr sth-meletht. 'Otan h gn sh sqetik me tic qarakthristikèc paramètrouc 1 Ενα preference διανύσματος w, είναι ένα διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία είναι συνήθως τα βάρη- συντελεστές που αντιπροσωπεύουν την προτίμηση των αντικειμενικών συναρτήσεων απότοχρήστη. 2 Αφού, πλέον, γίνεται λόγος για μονο-αντικειμενική βελτιστοποίηση, θα εφαρμοστεί μία εκ των 3 Οταν κλασσικών μεθόδων Μ.Β. λέμε ότι σημειώνεται αλλαγή στο w εννοούμε την μεταβολή κάποιου συντελεστή και κατά συνέπεια την μεταβολή της σημαντικότητας κάποιας εκ των αντικειμενικών συναρτήσεων.

14 1 EISAGWG H 14 eðnai el qisth, to upì exètash jèma gðnetai akìma pio dôskolo. Oi klassikèc PB mèjodoi pou metatrèpoun tic pollaplèc antikeimenikèc sunart seic se mia monadik antikeimenik sun rthsh qrhsimopoioôn plhroforðec protðmhshc pou eðnai, kat b sh, proswpikèc prosdokðec tou ek stote qr sth. Me lla lìgia, h bèltisth lôsh eðnai upokeimenik ìtan shmei netai èlleiyh enìc axiìpistou dianôsmatoc bar n gia tic antikeimenikèc sunart seic. 1.2 H basik filosofða epðlushc twn PPB Pareto Optimality Sta PPB h beltðwsh pou mporeð na shmeiwjeð se mia ek twn antikeimenik n sunart sewn mporeð na shmaðnei thn alloðwsh k poiac llhc. Kat sunèpeia, h eôresh lôshc den eðnai tìso mesh ìso sta probl mata mono-antikeimenik n sunart sewn beltistopoðhshc. Dhlad, h beltðwsh k poiac ek twn antikeimenik n sunarthsiak n tim n den sunep getai p ntote kai beltðwsh twn upoloðpwn pou sunteloôn sth lôsh enìc probl matoc. Sthn perðptwsh aut kuriarqeð h idèa tou Pareto bèltistou (Pareto Optimality), ìpou èna shmeðo eðnai Pareto Optimal an kai mìno an den up rqei èna shmeðo, tètoio ste h metakðnhsh apì to shmeðo autì na eðnai efikt kai tautìqrona na shmei netai meðwsh toul qiston miac antikeimenik c sun rthshc qwrðc na aux netai k poia llh. 'Opwc ja doôme analutikìtera parak tw, aut eðnai h kentrik idèa thc jewrðac tou Pareto Optimal shmeðou, dhlad gia na epitôqoume mia kalôterh lôsh miac ek twn antikeimenik n sunart sewn toul qiston mða ja shmei sei qeirìterh epðdosh. Gia k je PPB, ta Pareto Optimal shmeða eðnai arket kai gia thn epilog enìc shmeðou pou ja ikanopoieð kalôtera touc stìqouc tou probl matoc a- paiteðtai ènac L pthc Apof sewn (Decision Maker). Genik, o LA eðnai èna tomo eðte èna prìgramma to opoðo katèqei to prìblhma kai eðnai se jèsh na ekfr sei kat k poio trìpo mia protðmhsh wc proc thn epilog thc lôshc. 'Etsi, ja doôme sth sunèqeia, thn kathgoriopoðhsh twn diafìrwn mejìdwn kaj c kai to rìlo tou LA se kajemi. H idèa thc epðlushc twn PPB apodðdetai wc h bo jeia pou mporeð na dojeð se ènan njrwpo pou prèpei na p rei mia apìfash. Epomènwc, h diadikasða epðlushc èqei an gkh apì th merik summetoq tou LA se ìti afor ton prosdiorismì twn plhrofori n protðmhshc apì thn meri tou kai en suneqeða th diexagwg thc telik c lôshc pou kajorðzetai apì tic plhroforðec autèc. Me lla lìgia, sômfwna me tic plhroforðec pou parèqei o LA, diamorf netai èna montèlo protim sewn (analutikì ìqi) to opoðo ekteleðtai me skopì na brejoôn ekeðnec oi lôseic pou ikanopoioôn se meg lo bajmì tic protim seic tou LA.

15 1 EISAGWG H KlassikopoÐhsh twn mejìdwn epðlushc twn PP- B H kôria kathgoriopoðhsh twn mejìdwn pou ja anaptôxoume gðnetai me gn mona th qr sh mhplhrofori n eônoiac apì th meri tou L pth Apìfashc. 'Etsi, èqoume tic: 1.) non-preference kai 2.) Preference-based. Wc anafor thn pr th kathgorða, gia thn epðlush twn PPB den prosfèretai kami plhroforða (sun jwc shmei netai apousða tou L.A). Apì th llh pleur, èqoume thn kathgorða twn mejìdwn pou prosfèretai k poia k poiec plhroforðec. H kathgorða twn Preference-based mejìdwn, diakrðnetai se dôo upokathgorðec mejìdwn, stic 1.)Interactive kai 2.) Non-Interactive, an loga me thn summetoq ìqi tou L.A. sth diexagwg thc diadikasðac epðlushc, antðstoiqa. Sugkekrimèna, stic Interactive o L.A summetèqei energ kat thn di rkeia thc diadikasðac epðlushc en stic Non-Interactive apl prosfèrei k poia plhroforða(prin met thn epðlush.). Tèloc, an loga me to pìte eis getai h plhroforða apì to L.A. èqoume tic mejìdouc 1.) Priori Preference kai 2.) Posteriori Preference. 'Opwc mac prodiajètei kai o qarakthrismìc touc, stic Priori h plhroforða dðnetai prin thn ènarxh thc diadikasðac epðlushc en stic Posteriori pr ta èqoume thn eôresh tou sunìlou twn lôsewn kai met th l yh thc plhroforðac prokeimènou o L.A. na epilèxei mia lôsh. Sunoptik, èqoume tic proseggðseic: Progenèsterhc PlhroforÐac (Priori Articulation of Preferences) ìpou apaiteðtai apì to LA na prosdiorðsei tic protim seic se sqèsh me thn sqetik barôthta pou èqei kajemða apì tic antikeimenikèc sunart seic se sqèsh me touc stìqouc pou èqei jèsei prin apì thn ektèlesh tou algorðjmou beltistopoðhshc Metagenèsterhc PlhroforÐac (Posteriori Articulation of Preferences) ìpou apaiteðtai apì to LA na epilèxei mia lôsh apì mia sullog pijanìn lôsewn, pijanìtata Pareto Optimal lôsewn, met thn ektèlesh tou algorðjmou. Proodeutik c PlhroforÐac (Progressive Artiqculation of preferences) ìpou apaitoôn apì to LA na k nei suneq c eisagwg plhrofori n kat thn di rkeia ektèleshc tou algorðjmou. 'Etsi, diamorf netai h parak tw kat taxh mejìdwn: Non-Preference Methods Global criterion method

16 1 EISAGWG H 16 Neutral Compromise solution s method Preference-based Methods Non-Interactive Posteriori Priori Interactive Trade-off based Approaches Reference point Approaches Classification based approaches 1.4 Jematik ParousÐash KefalaÐwn Met apì th sôntomh èkjesh miac pr thc prosèggishc enìc PPB mèsa apì thn kajhmerin mac pragmatikìthta kai p c autì antimetwpðzetai, akoloujoôn ta parak tw kef laia: Sto kef laio 2 ja jèsoume rht to PPB, katagr - fontac ton orismì twn PPB kaj c kai qr simouc orismoôc gia thn kalôterh jewrhtik katanìhsh thc epðlushc twn PPB. EpÐshc, ja gðnei lìgoc gia tic diaforetikèc proseggðseic kai mejìdouc epðlushc aut n, oi opoðec ja anaptuqjoôn sto Kef laio 3kaiKef laio 4. Sto Kef laio 5, ja anaferjoôme sunoptik stic dôo ek twn tri n kathgori n mejìdwn epðlushc twn PPB(Non-Interactive - Interactive - Evolutionary). Sugkekrimèna, ja anaferjoôme sth genik filosofða twn Interactive kai Evolutionary mejìdwn. Tèloc, sto Kef laio 6 ja gðnei anafor kai parousðash k poiwn logismik n pou sumb loun sthn omal epðlush kai antimet pish tètoiwn problhm twn, esti zontac kurðwc sto logismikì NIMBUS.

17 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 17 2 Basikèc 'Ennoiec (BASIC CONCEPT) 2.1 Eisagwg sthn Polu-antikeimenik BeltistopoÐhsh (PPB) Mia pr th prosèggish tou orismoô twn PPB HPolu-antikeimenik beltistopoðhsh mporeð na oristeð wc èna prìblhma eôreshc enìc dianôsmatoc metablht n apof sewc oi opoðec ikanopoioôn k poiouc periorismoôc kai beltistopoioôn mia dianusmatik sun rthsh. H sun rthsh aut eðnai h sônjesh poll n merik n antikeimenik n sunart sewn pou apoteloôn mia majhmatik perigraf twn periorism n kai twn stìqwn pou epib llei to ek stote prìblhma kai oi opoðoi, kat b sh, antikroôontai metaxô touc. E- pomènwc, o ìroc beltistopoðhsh sta PPB èqei thn ènnoia eôreshc miac tètoiac lôshc h opoða ja dðnei ìqi aparaðthta bèltistec timèc se k je mia apì tic antikeimenikèc sunart seic all timèc pou eðnai apodektèc apì to sqediast, dhlad pou ja ikanopoioôn tic apait seic tou. Se autì to kef laio k noume mia sôntomh parousðash tou jewrhtikoô upìbajrou pou krðnetai aparaðthto gia thn kalôterh katanìhsh kai gia thn orj an lush thc dom c twn PPB kai parìmoiwn problhm twn. 2.2 Qr simoi orismoð Ja apokaloôme metablhtèc apìfashc (decision variables) ticarijmhtikèc posìthtec twn opoðwn oi timèc prìkeitai na lhfjoôn mèsw thc epðlushc enìc probl matoc beltistopoðhshc. Oi posìthtec autèc ja sumbolðzontai wc x j, gia j =1,...,n, ìpou n N. To di nusma twn n metablht n apìfashc di nusma apìfashc, ja sumbolðzetai eðte wc : x 1 x 2 X = (1). x n eðte, isodônama, wc: X =[x 1,x 2,...,x n ] T Se k je prìblhma pou sqetðzetai me tic epist mec, up rqoun p ntote periorismoð pou prokôptoun apì sugkekrimèna qarakthristik tou perib llontoc twn phg n plhrofori n pou eðnai diajèsimec. 'Etsi, gðnetai katanohtì ìti mia lôsh jewreðtai apodekt ìtan ikanopoioôntai oi periorismoð pou jètei rht

18 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 18 rrhta to ek stote prìblhma. Oi periorismoð (constraints) perigr foun tic exart seic metaxô twn metablht n apìfashc kai twn paramètrwn pou sqetðzontai me to prìblhma. AutoÐ ja sumbolðzontai me thn morf majhmatik n anis sewn, ìpwc parak tw: isodônama apì isìthtec: g i 0 i =1,...,m h i =0 i =1,...,p, ìpou m, p N kai g i,h i eðnai sunart seic twn metablht n apìfashc kai twn paramètrwn tou probl matoc, antðstoiqa. Oi periorismoð llote eðnai rhtoð kai llote sunepagìmenoi (explicit or implicit). Kai stic dôo peript seic, o algìrijmoc upologismoô ja prèpei na eðnai gnwstìc. Sto shmeðo autì jewreðtai skìpimo na poôme ìti to pl joc twn periorism n isìthtac ja prèpei na eðnai mikrìtero tou pl jouc twn metablht n apìfashc. Se antðjeth perðptwsh to prìblhma qarakthrðzetai wc uperperiorismèno (Overconstrained), afoô den up rqei plèon bajmìc eleujerðac gia thn beltistopoðhsh. An oi periorismoð eðnai anex rthtoi metaxô touc tìte bajmìc eleujerðac tou probl matoc isoôtai me n p. Sthn sunèqeia, gia na apofasðsoume pìso kal eðnai mia lôsh, krðnetai aparaðthth h Ôparxh k poiwn krithrðwn pou ja ektimoôn kat k poio trìpo thn lôsh aut. Ta en lìgw krit ria ektðmhshc ekfr zontai wc upologðsimec sunart seic twn metablht n apìfashc, kai onom zontai antikeimenikèc sunart seic. Stic peript seic pou ja melet soume, k poiec ex aut n ja antikroôontai me k poiec llec, kai k poiec ja apaitoôn elaqistopoðhsh en k poiec llec megistopoðhsh. Tic antikeimenikèc sunart seic jatic apeikonðzoume wc: f 1 ( X),f 2 ( X),...,f k ( X), ìpou k N. Epomènwc, ìlec oi antikeimenikèc sunart seic mporoôn na graftoôn me thn morf enìc dianôsmatoc F ( X), ìpwc faðnetai parak tw: f 1 ( X) F ( X) f 2 ( X) =. f k ( X) isodônama wc : F ( X) =[f 1 ( X),f 2 ( X),...,f k ( X)] T To sônolo twn n- dwn twn pragmatik n arijm n pou apeikonðzontai sto R n kaleðtai EukleÐdeioc ( Dianusmatikìc) n di statoc q roc.

19 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 19 Kat thn melèth mac ja jewr soume dôo EukleÐdeiouc Q rouc: (a) to Q ro Apeikìnishc (Design Space) Q ro Apìfashc(Decision Space), dhlad to n di stato q ro twn metablht n apìfashc, ston opoðo k je xonac suntetagmènwn antistoiqeð se k je èna apì ta stoiqeða tou dianôsmatoc X. (b) to Q ro KrithrÐwn (Criterion Space) Antikeimenikìc Q roc(objective Space), dhlad to k di stato q ro twn antikeimenik n sunart sewn, sto opoðo k je xonac suntetagmènwn antistoiqeð se k je èna stoiqeðo tou dianôsmatoc F ( X). Sq ma 2: Δύο Ευκλείδειοι Χώροι στη μελέτη των ΠΠΒ. K je shmeðo tou pr tou q rou antiproswpeôei mia lôsh kai dðnei èna sugkekrimèno shmeðo sto deôtero q ro, ìpou prosdiorðzei thn poiìthta 4 kat mða ènnoia aut c thc lôshc se sqèsh me tic timèc twn antikeimenik n sunart sewn. 4 Οταν λέμε ποιότητα μιας λύσης (quality of a solution) σεσχέσημετιςυπόλοιπεςστο χώρο που διεξάγεται το πρόβλημα, εννοούμε το βαθμό ικανοποιησιμότητας των απαιτήσεωνπεριορισμών του προβλήματος σε σχέση με τις υπόλοιπες λύσεις. Ετσι, κάποιος μπορεί να έχει ένα μέτρο σύγκρισης των λύσεων που προκύπτουν.

20 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 20 EpÐshc, to uposônolou tou q rou apeikìnishc sto opoðo ikanopoioôntai oi periorismoð onom zetai Efikt Perioq (feasible region) kai sumbolðzetai wc Ω. AntÐstoiqa, èna shmeðo-lôsh pou an kei se aut n thn perioq X Ω onom zetai efikt lôsh(feasible solution). Epiplèon, to sônolo twn akrìtatwn thc dianusmatik c sun rthshc F ( X) sumbolðzetai P. Tèloc, h bèltisth lôsh (mègisto el qisto) enìc probl matoc beltistopoðhshc ja sumbolðzetai wc X. Sugkekrimèna, to bèltisto thc i-st c antikeimenik c sun rthshc eðnai to x i. AntÐstoiqa, to di nusma pou perilamb nei tic bèltistec lôseic kajemðac ek twn k se pl joc antikeimenik n sunart sewn sumbolðzetai wc X =[x 1,x 2,...,x k ] T Genikì Prìblhma Mono-Antikeimenik c BeltistopoÐhshc Gia thn kalôterh katanìhsh twn problhm twn thc Polu-antikeimenik c BeltistopoÐhshc krðnetai skìpimh mia sunoptik anafor sthn mono-antikeimenik beltistopoðhsh. Sthn perðptwsh aut ja gr foume f( X) antð gia F ( X) kaj c èqoume mìno mia antikeimenik sun rthsh. Orismìc (Genikì prìblhma mono-antik. BeltistopoÐhshc) 'Ena genikì P.M.B. orðzetai wc h elaqistopoðhsh ( megistopoðhsh) tou f( X) dojèntoc g i ( X) 0,i =1,...,m kai h j ( X =0,j =1,...,p, dhlad Q Ω. Mia lôsh sto Genikì prìblhma mono-antikeimenik c beltistopoðhshc eðnai èna n di stato di nusma metablht n apìfashc X 0 =( x 1,..., x n ) Ω, h opoða elaqistopoieð (eðte megistopoieð) th sun rthsh f( X). To Ω perièqei ìla ta pijan X pou mporoôn na qrhsimopoihjoôn gia thn apotðmhsh thc sun rthshc F ( X) kai twn periorism n aut c. Fusik, to X mporeð na eðnai èna di nusma suneq n eðte diakrit n metablht n kai kat sunèpeia h F na eðnai suneq c eðte diakrit sun rthsh, antðstoiqa. H mèjodoc gia thn eôresh tou OlikoÔ bèltistou (to opoðo mporeð na mhn eðnai monadikì) opoiasd pote sun rthshc kaleðtai mèjodoc Olik c BeltistopoÐhshc. Genik, to olikì bèltisto miac mono-antikeimenik c sun rthshc dðnetai apì ton orismì: Orismìc (Olikì El qisto Mono-Antik.BeltistopoÐhshc) Dojèntoc miac sun rthshc f :Ω R n R, Ω 0, gia X Ω h tim thc f = f( X ) > kaleðtai ann X Ω:f( X ) <f( X), ìpou X eðnai h olik el qisth lôsh, f h antikeimenik sun rthsh kai Ω h efikt perioq tou X.

21 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 21 H diadikasða prosdiorismoô tou OlikoÔ ElaqÐstou kaleðtai prìblhma o- lik c beltistopoðhshc mono-antikeimenikoô probl matoc. T ra, se antðjesh me ta mono-antikeimenik Probl mata BeltistopoÐhshc, ìpou mporeð na èqoun monadik bèltisth lôsh, ta PPB - sthn genik perðptwsh - èqoun èna pl joc bèltistwn lôsewn. 'Etsi, ìtan autèc upologistoôn, par gontai dianôsmata twn opoðwn ta stoiqeða antiproswpeôoun tic exisorrop seic} (trade-offs) twn antikeimenik n sunart sewn metaxô touc. O l pthc apìfashc, tìte, epilègei mia pollèc apodektèc lôseic. Dhlad, shmei netai h apodoq enìc pl jouc tètoiwn dianusm twn, antðstoiqa. ParathroÔme, ìti qrhsimopoi same dôo ènnoiec, l pthc apìfashc } kai exisorrop seic }, arket shmantikèc gia thn epðlush twn PPB, ìpwc ja diapist soume sthn poreða thc ergasðac Orismìc tou PoluantikeimenikoÔ Probl matoc BeltistopoÐhshc (P.P.B) To Polu-antikeimenikì Prìblhma BeltistopoÐhshc mporeð, t ra, na orisjeð wc ex c: EÔresh tou dianôsmatoc X =[x 1,x 2,...,x n], to opoðo ja ikanopoieð touc m se pl joc anisotikoôc periorismoôc: touc p se pl joc periorismoôc isìthtac: g i ( X) 0 i =1, 2,...,m (2) h i ( X) =0 i =1, 2,...,p (3) kai na beltistopoieð th dianusmatik sun rthsh: F ( X) =[f 1 ( X),f 2 ( X),...,f k ( X)] T (4) ìpou X =[x 1,x 2,...,x n ] T eðnai to di nusma twn metablht n apìfashc. Me lla lìgia, epijumoôme na prosdiorðsoume apì to pl joc twn arijm n pou ikanopoioôn tic sqèseic (2) kai (3), to sônolo ekeðnwn twn arijm n x 1,x 2,...,x k, pou apofèrei tic bèltistec efiktèc lôseic ìlwn twn antikeimenik n sunart sewn. Oi sunj kec pou dðnontai apì to (2) kai (3) orðzoun thn efikt perioq (feasible region) Ω kai k je shmeðo X tou Ω orðzei mða efikt lôsh (feasible solution). H dianusmatik sun rthsh F ( X) eðnai mia sun rthsh pou apeikonðzei to sônolo Ω sto sônolo P, ìpou P to sônolo pou antiproswpeôei ìlec tic pijanèc timèc twn antikeimenik n sunart sewn. EpÐshc, ta k se pl joc stoiqeða tou dianôsmatoc F ( X) antiproswpeôoun ta krit ria pou prèpei na lhfjoôn upìyh. Oi periorismoð g i ( X) kai h i ( X) antiproswpeôoun touc periorismoôc pou aporrèoun apì tic metablhtèc apìfashc.

22 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 22 Sta polu-antikeimenik probl mata beltistopoðhshc, sunant ntai oi parak tw peript seic: 1. ElaqistopoÐhsh ìlwn twn antikeimenik n sunart sewn 2. MegistopoÐhsh ìlwn twn antikeimenik n sunart sewn 3. ElaqistopoÐhsh k poiwn kai megistopoðhsh k poiwn llwn. Gia lìgouc aplìthtac, sun jwc, oi sunart seic metatrèpontai se tètoia morf ètsi ste ìlec na elaqistopoioôntai eðte na megistopoioôntai. Autì lamb nei q ra me thn bo jeia thc sqèshc: maxf i ( X) = min( f i ( X)) OmoÐwc, oi anis seic twn periorism n thc morf c: g i ( X) 0, i =1, 2,...,m mporoôn na metatrapoôn se morf elaqistopoðhshc apl pollaplasi zontac tic anis seic me to 1. Epomènwc, ja p roun thn morf : g i ( X) 0, i =1, 2,...,m 'Ena prìblhma polu-antikeimenik c beltistopoðhshc mporeð na grafteð me sôntomh morf ìpwc faðnetai parak tw: ZhteÐtai X Ω tètoio ste: F ( X )=opt X Ω F ( X) ìpou f :Ω R k Ω={ X R n ḡ( X) 0, h( X) =0} To prìjema << opt >> qrhsimopoieðtai gia na upodhl sei to bèltisto thc dianusmatik c sun rthshc. 'Otan lème bèltisto, sto mualì mac èrqetai h eôresh miac tètoiac lôshc pou ja d sei thn kalôterh tim se kajemða apì tic antikeimenikèc sunart seic f i,i = 1,...,n. 'Omwc, ìtan gðnetai lìgoc gia PPB, h bèltisth lôsh èqei mia diaforetik upìstash. Parak tw ja d soume k poiouc qr simouc orismoôc pou ja enisqôsoun thn diaforetikìthta tou bèltistou sta PPB.

23 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 23 Orismìc (Idanikì di nusma idanikì shmeðo (Ideal vector) ) To idanikì di nusma, sumbolðzetai X R n, eðnai ekeðno to di nusma tou opoðou ta stoiqeða apoteloôn ta el qista k je miac ek twn antikeimenik n sunart sewn f i,i=1,...,n, oi opoðecsunteloônsthntelik upì beltistopoðhsh sun rthsh F. 'Etsi, sthn perðptwsh pou èqoume èna X tètoio ste gia ìla ta i = 1, 2,...,k ( fi ( X ) f i ( X) ) X Ω ja lème ìti to X ja tan h idanik lôsh. Sth genik perðptwsh, ìmwc, den ja up rqei mða tètoia lôsh X sthn opoða ìla ta f i ( X) na èqoun el qisto sto Ω se èna koinì shmeðo X. Ta probl mata tou pragmatikoô kìsmou, eðnai apì thn fôsh touc polusônjeta me apotèlesma to zhtoômeno k je for na eðnai ìqi apl h eôresh thc bèltisthc lôshc all miac lôshc pou ja ikanopoieð tic apait seic tou qr sth. Epomènwc, h Ôparxh sugkekrimè- nwn krithrðwn pou ja kajorðzoun to pìte mia lôsh eðnai <<bèltisth>> krðnetai aparaðthth. Sugkekrimèna, up rqoun dôo basik krit ria gia to skopì autì, all protoô ta ekjèsoume, ja prèpei na d soume k poiouc orismoôc akìma Grammikì kai mh-grammikì PPB 'Ena PPB kaleðtai grammikì ìtan ìlec oi antikeimenikèc sunart seic kai oi periorismoð eðnai grammikoð. Se k je llh perðptwsh, dhlad e n k poia apì tic antikeimenikèc sunart seic k poioc periorismìc eðnai mh grammikìc, tìte to prìblhma kaleðtai mh-grammikì PPB. Dustuq c, gia poll mh grammik probl mata oi teqnikèc epðlushc suqn den èqoun apìdeixh sôgklishc. Apì thn stigm pou ta perissìtera pragmatik PPB eðnai ek fôsewc mh-grammik, skìpima ja apofôgoume ed na d soume k poia sugkekrimènh dom twn antikeimenik n sunart sewn kai periorism n Kurtìthta & BeltistopoÐhsh Hlogik thc kurtìthtac apoteleð jemèlio thc beltistopoðhshc kai uponoeð ìti to prìblhma eðnai sun jwc pio eôkola epilôsimo. H èkfrash kurtìc} mporeð na qrhsimopoihjeð tìso gia sônola ìso kai gia sunart seic. Parak tw parajètoume ton orismì tou kurtoô sunìlou kai antðstoiqa thc kurt c sun rthshc, oi opoðoi ja fanoôn qr simoi sthn sunèqeia.

24 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 24 Orismìc (Kurtì sônolo) To S R n eðnai kurtì sônolo e n kai mìnon e n gia k je dôo diakekrimèna shmeða x 1,x 2 S to eujôgrammo tm ma pou orðzoun ta shmeða aut an kei ex olokl rou sto S, dhlad an x 1,x 2 S λx 1 +(1 λ)x 2 S, gia k je λ [0, 1]. Orismìc (Kurt sun rthsh) H sun rthsh f eðnai kurt sun rthsh e n kai mìnon e n gia k je dôo shmeða x 1,x 2 sto pedðo orismoô thc, isqôei ìti: f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) λf(x 1 )+(1 λ)f(x 2 ), gia k jeλ [0, 1]. Me b sh touc parap nw orismoôc, mporoôme na d soume ton orismì enìc kurtoô PPB. Orismìc 'Ena PPB eðnai kurtì ìtan ìlec oi antikeimenikèc sunart seic eðnai kurtèc kai h efikt perioq Ω epðshc kurt. Parak tw, ja doôme ìti merikèc majhmatikèc teqnikèc epðlushc PPB a- paitoôn to prìblhma na eðnai kurtì. Diaforetik, poll eðnai ta empìdia pou kaloômaste na l boume upìyh prokeimènou na epilôsoume èna PPB. Bèbaia, èna apì ta kuriìtera jèmata pou mac apasqoleð eðnai h apousða analutik c mejìdou pou qarakthrðzei èna prìblhma wc kurtì mh-kurtì. 2.3 Pareto Beltistìthta (Pareto Optimality) Se aut n thn enìthta, qeirizìmaste èna shmantikì jèma thc beltistopoðhshc, thn beltistìthta (optimality). Sta MAB, h prosoq mac kurðwc strèfetai sto Q ro Apìfashc. Sta PPB, ìmwc, to endiafèron mac monopwleð o Q roc twn KrithrÐwn. Autì sumbaðnei giatð o Q roc twn KrithrÐwn eðnai mikrìteroc se di stash apì to Q ro Apìfashc kai epiplèon oi antikeimenikèc sunarthsiakèc timèc eðnai arket qr simec gia thn diexagwg thc beltistìthtac, ìpwc ja diapist soume kai sthn sunèqeia. Lìgw twn antikrouìmenwn antikeimenik n sunart sewn kai pijan thc adunamðac sôgkrishc aut n, den eðnai efikt h eôresh mðac mìno lôshc pou ja elaqistopoieð tautìqrona ìlec tic sunart seic. Ta PPB eðnai kat mða ènnoia << kak c orismèna >> (ill-defined). Apì thn llh pleur, o Q roc KrithrÐwn eðnai merik c diatetagmènoc pq. k poioc mporeð na pei ìti to (1, 1) T eðnai mikrìtero tou (3, 3) T, tð gðnetai ìmwc sthn perðptwsh pou èqoume na sugkrðnoume ta (1, 3) T kai (3, 1) T? Apì aut ta antikeimenik dianôsmata epilègontai

25 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 25 gia melèth ekeðna pou èqoun thn idiìthta: <<kanèna apì ta stoiqeða touc den m- poreð na beltiwjeð qwrðc na qeiroterèyei k poio lloektwn upoloðpwn stoiqeðwn tou>>. 'Etsi, parak tw ja diatupwjeð o epðshmoc orismìc thc Pareto Beltistìthtac [kat Edgeworth 1887, Pareto 1897] 'Opwc eðpame kai prohgoumènwc, den èqei dojeð mia kal orismènh ènnoia tou bèltistou sthn polu-antikeimenik BeltistopoÐhsh. Gia to lìgo autì, parajètontai dôo ermhneðec tou ìrou autoô: (A) Pareto optimum (B) Min-Max optimum Sumbibastik LÔsh Compromise Solution ErmhneÐa (A) H ènnoia tou Pareto optimum diatup jhke apì ton Vilfredo Pareto to 1896, kai apoteleð thn b sh gia èreuna sthn perioq aut. Sthn sunèqeia dðnoume merikoôc basikoôc orismoôc sqetik me thn ènnoia aut. Orismìc (KuriarqÐa Pareto ( Pareto Dominance ) ) 'Ena di - nusma Ū = {u 1,...,u k } T lème ìti èna llo di nusma V = {v 1,...,v 2 } T, kai gr foume Ū V, e n kai mìno e n to Ū eðnai merik c mikrìtero tou V, dhlad i {1,...,k},u i v i i {1,...,k} : u i <v i. Orismìc (Pareto Optimality) MÐa lôsh X Ω kaleðtai Pareto bèltisth se sqèsh me to Ω e n kai mìno e n den up rqei llh lôsh X Ω gia thn opoða to di nusma F ( X )= { f 1 ( X ),...,f k ( X ) }T na kuriarqeð tou dianôsmatoc F ( X) = { f 1 ( X),...,f k ( X) }T. 'Etsi, sunoptik mporoôme na poôme ìti: Orismìc (Pareto Optimal shmeðo Strong Pareto optimal) : 'Ena shmeðo X Ω, eðnai Pareto bèltisto 5 ankimìnon an den up rqei llo shmeðo X Ω, tètoio ste F ( X) F ( X ). Orismìc (Pareto Optimal Set) Dojèntoc enìc PPB, to Pareto sônolo bèltistwn lôsewn, P, orðzetai wc: P = { X Ω X Ω F ( X ) F ( X) }. 5 Αυτά τα σημεία-λύσεις τα συναντάμε στην βιβλιογραφία και ως non-inferior, admissible, efficient, non-dominated.

26 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 26 Me lla lìgia, oi Pareto Optimal (P.O.) lôseic eðnai ekeðnec oi lôseic X pou keðtontai entìc tou Q rou Apìfashc Ω kai twn opoðwn ta stoiqeða tou antðstoiqou dianôsmatoc F ( X) den mporoôn na beltistopoihjoôn tautìqrona. Autèc oi lôseic sunistoôn to sônolo P. Ta antðstoiqa dianôsmata touc lègontai mh kuriarqoômena (non-dominated). Orismìc (Pareto SÔnoro ( Pareto Front) ) Dojèntoc enìc PP- B, to Pareto SÔnoro, FP, orðzetai wc: PF = { F ( X) X P }. Dhlad, h sugkentrwtik apeikìnish twn non-doninated dianusm twn sto Q ro KrithrÐwn eðnai gnwst wc Pareto SÔnoro (Pareto Front). Genik, h eôresh miac analutik c èkfrashc thc gramm c thc epif neiac pou perièqei ta shmeða aut stic perissìterec peript seic eðnai polô dôskolh èwc anèfikth. H tupik diadikasða paragwg c tou Pareto sunìrou eðnai o upologismìc meg lou pl jouc shmeðwn sto Ω kaj c kai twn antðstoiqwn F (Ω). 'Otan, loipìn, upologisteð èna ikanopoihtik meg lo pl joc aut n, tìte eðnai pijanì na prosdioristoôn k poia nondominated shmeða kai na paraqjeð to Pareto sônoro. Parìlo pou sta MAB mporeð na prokôptei mða lôsh, sta PPB sun jwc prokôptei èna sônolo lôsewn, ìpwc shmei jhke kai parap nw. K je lôsh pou apoteleð èna shmeðo tou Pareto sunìlou antistoiqeð se èna di nusma F tou opoðo ta stoiqeða antiproswpeôoun << exisorrop seic >> tou Q rou Apìfashc. Autì shmaðnei ìti, metaxô twn sunarthsiak n antikeimenik n sunart sewn shmei nontai diakum nseic pou ofeðlontai sthn allhlepðdrash twn antikeimenik n sunart sewn kat thn prosp jeia beltðwshc k poiac ek tou sunìlou twn antikeimenik n sunart sewn. H parousða enìc atìmou(l pthc Apìfashc) pou ja eðnai se jèsh na epilèxei lôseic apì to Q ro Apìfashc tètoiec ste na èqoun apodekt apìdosh } sto Q ro KrithrÐwn, krðnetai aparaðthth. Profan c, h epilog miac lôshc pou beltistopoieð mìno mða antikeimenik sun rthsh mporeð na paragkwnðzei lôseic pou genik eðnai kalôterec}. Autèc oi kalôterec} lôseic apeikonðzontai se shmeða tou Pareto sunìrou. Dhlad, o prosdiorismìc tou sunìrou eðnai ergaleðo-kleidð pou bohj to LA na epilèxei metaxô qr simwn lôsewn, kai ìqi an mesa se olìklhro to Ω.

27 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) DÔo shmantikèc 'Ennoiec sta PPB (L pthc Apìfashc & AntistajmÐseic (trade-offs) ) 'Opwc eðdame mèqri t ra, k je Pareto bèltisto shmeðo eðnai exðsou apodektì wc mða lôsh tou PPB. Wstìso, h apaðthsh -genik - na deqtoôme mìno èna shmeðo wc lôsh eis gei thn an gkh prìsjetwn plhrofori n, oi opoðec kat b sh, den emperièqontai sto prìblhma. Gia to lìgo autì, qrei zetai èna tomo( toma) pou ja eðnai se jèsh na p rei mia apìfash kai o opoðoc onom zetai L pthc Apìfashc (L.A.). 'Etsi, ol.a. eðnai èna tomo ( toma) pou èqei epðgnwsh tou probl matoc kai mporeð na ekfr zei tic <<protim seis>> tou se k poiec lôseic. Sun jwc, o L.A. eðnai upeôjunoc gia thn epilog thc telik c lôshc enìc PPB. T ra, h arijmhtik epðlush enìc PPB apaiteð thn sunergasða tou L.A. me ènan << analut >>. Me ton ìro << analut >>, ja ennooôme èna tomo èna upologistikì prìgramma pou ja uposthrðzei to majhmatikì mèroc thn diadikasðac epðlushc enìc probl matoc. Upì thn ènnoia aut, o analut c par gei plhroforðec pou prèpei na l bei upìyh tou o L.A. kai, akoloôjwc, h lôsh epilègetai sômfwna me tic protim seic pou ja ekfr sei. Sto Sq ma 3, dðnetai mia genik diadikasða thc l yhc apìfashc se èna PPB. Parak tw, parajètoume k poiouc qr simouc orismoôc pou aforoôn thn ènnoia thc << protðmhshc >> pou ekfr zei ènac L.A. Orismìc Oi sunarthsiakèc timèc twn antikeimenik n sunart sewn pou ikanopoioôn tic apait seic tou L.A.lègontai (aspiration levels) kai sumbolðzontai me z i,i=1,...,k Orismìc To di nusma Z = {z 1,z 2,...,z k }, ta stoiqeða tou opoðou eðnai ta prosdok mena epðpeda lègetai (reference point). Orismìc 'Ena efiktì di nusma apìfashc apoteleð thn enìc PPB ìtan eðnai Pareto bèltisto kai ikanopoieð tic an gkec kai tic apait seic tou L.A.. Sthn sunèqeia, ìla ta Pareto Optimal shmeða mporoôn na diakrijoôn se kat llhla(proper) akat llhla (improper). 'Etsi, sômfwna me ton parak tw orismì, èqoume: Orismìc (Properly Pareto Optimal) : 'Ena shmeðo X Ω jewreðtai Proper Pareto Optimal e n eðnai Pareto Optimal kai up rqei èna pragmatikìc arijmìc M tètoioc ste gia k je f ( X) kai gia k je X Ω pou

28 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 28 Sq ma 3: Η γενική φιλοσοφία της Λήψης Απόφασης στα ΠΠΒ. ikanopoieð thn sqèsh f i ( X) <f i ( X ), up rqei toul qiston mia f j ( X) tètoia ste f j ( X ) <f j ( X) kai f i ( X ) f i ( X) f j ( X ) f j ( X ) M (5) Profan c, èna Pareto bèltisto shmeðo eðnai akat llhlo Pareto bèltisto shmeðo ìtan den eðnai kat llhlo. H posìthta (5) apoteleð th majhmatik fìrma twn antistajmðsewn} (trade-offs) kai ekfr zei thn prosaôxhsh miac j ost c antikeimenik c sun rthshc wc apotèlesma thc meðwshc miac i ost c antikeimenik c sun rthshc. EpÐshc, ìpwc prokôptei kai apì ton orismì, to trade-off pou shmei netai metaxô opoiasd pote antikeimenik c sun rthshc kai toul qiston mðac llhc antikeimenik c sun rthshc eðnai mia fragmènh posìthta 6. T ra, up rqoun algìrijmoi pou san apotèlesma twn upologism n, èqoun lôseic pou den eðnai Pareto Optimal, all ikanopoioôn k poia apì takrit ria enìc PPB. Autèc oi lôseic lègontai asjen Pareto bèltista shmeða ( weakly pareto optimal) kai eðnai, sun jwc, arket qr simec se praktikèc efarmogèc. Gia par deigma, h eôresh asjenèsterwn Pareto bèltistwn shmeðwn sumb llei 6 Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κάποια όρια τα οποία δεν μπορούν να υπερβούν οι αντικειμενικές συναρτήσεις στην προσπάθεια βελτίωσής τους.

29 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 29 sthn diamìrfwsh aparaðthtwn sunjhk n gia th diasf lish thc Pareto Optimality, ìpwc ja doôme parak tw. Sq ma 4: Σύνολα από properly, weakly και PO βέλτιστες λύσεις. O asjenèsteroc orismìc gia Pareto bèltista shmeða, dðnetai: Orismìc (Weak Pareto Optimality) 'Ena shmeðo X Ω eðnai Asjenèc Pareto bèltisto e n kai mìnon e n den up rqei X Ω tètoio ste f i ( X) <f i ( X ) gia k je i =1,...,k, ìpou k N. Apì touc parap nw orismoôc aporrèei to sumpèrasma ìti èna X Ω pou eðnai strongly non-dominated, eðnai epðshc kai weakly non-dominated solution, all to antðstrofo den sumbaðnei. ErmhneÐa (B) Mia llh prosèggish thc ènnoiac tou Pareto Optimality dðnetai mèsw thc min-max beltistopoðhshc. H idèa na proseggðsoume me min-max beltistopoðhsh ta PPB, proèrqetai apì to pedðo thc jewrðac PaignÐwn, h opoða pragmateôetai thn epðlush antikrouìmenwn perist sewn-katast sewn. H eôresh tou bèltistou mporeð na perigrafeð wc ex c: << gnwrðzontac ta akrìtata twn antikeimenik n sunart sewn pou prokôptoun apì thn epðlush twn problhm twn beltistopoðhshc gia k je èna apì ta krit ria xeqwrist, h

30 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 30 epijumht lôsh eðnai ekeðnh pou ja d sei tic mikrìterec timèc stic sqetikèc prosaux seic ìlwn twn antikeimenik n sunart sewn >>. Gia perissìterec plhroforðec, o endiaferìmenoc mporeð na anatrèxei sthn diatrib tou [C.C.Coello 1996, pp14-16] Ikanèc kai AnagkaÐec Sunj kec Sthn enìthta aut parousi zoume tic sunj kec beltistìthtac gia ta PPB. Gia lìgouc aplìthtac, jewroôme ìti ta probl mata pou ja melet soume eðnai diaforðsima, epomènwc ja ekjèsoume kai tic an logec sunj kec. Ja epikentrwjoôme stic sunj kec 1 hc t xhc kai mìno diìti: a)oi sunj kec 2 hc t xhc den exet zontai suqn kai b) prowjoôn mia ènnoia periorismoô tou sunìlou twn upoy fiwn lôsewn pou par gontai apì tic sunj kec 1 hc t xhc en par llhla to sônolo twn upojèsewn gðnetai austhrì kat' analogða thc omalìthtac tou probl matoc. 2.4 DiaforÐsimec Sunj kec Beltistìthtac 1 ης t xhc Oi sunj kec beltistìthtac eðnai ènac shmantikìc tomèac sthn BeltistopoÐhsh. Gia tic an gkec thc melèthc mac, periorizìmaste se EukleÐdeiouc peperasmènouc Q rouc, dhlad se EukleÐdeiouc Q rouc me peperasmèno pl joc diast sewn. 'Etsi, jewroôme thn genik morf PPB: { elaqistopoðhsh : f1 ( X),f 1 ( X),...,f k ( X) } (6) { periorismoð : X Ω= X R n g( X) = { g 1 ( X),...,g m ( X) }T } 0 ìpou jewroôme ìti oi antikeimenikèc sunart seic kai oi periorismoð eðnai suneq c diaforðsimec sunart seic. 'Etsi, akoloujeð to pr to je rhma sômfwna me to opoðo èqoume thn anagkaða sunj kh thc Pareto beltistìthtac kat Fritz John: Je rhma 2.1 (AnagkaÐa Sunj kh gia Pareto beltistìthta) 'Estw ìti oi antikeimenikèc sunart seic tou probl matoc (7) eðnai suneq c diaforðsimec sto X Ω. Mia anagkaða sunj kh gia na eðnai to X Pareto bèltisto eðnai h Ôparxh dianusm twn 0 λ R k kai 0 μ R m gia ta opoða (λ, μ) (0, 0) tètoia ste : 1. k i=1 λ m f i ( X )+ m j=1 μ j g i ( X )=0 kai 2. μ j g j ( X )=0 j =1,...,m

31 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 31 Apì to parap nw Je rhma prokôptei to pìrisma : Pìrisma 2.1 (AnagkaÐa Sunj kh asjen c Pareto beltistìthtac) H sunj kh tou Jewr matoc 2.1 eðnai epðshc anagkaða ste èna di nusma apìfashc X Ω na eðnai asjenèc Pareto bèltisto. H diafor metaxô tou tôpou kat Fritz John kai Karush-Kuhn-Tucker (KKT-) sunjhk n beltistìthtac sthn mono-antikeimenik beltistopoðhsh eðnai o pollaplasiast c λ thc antikeimenik c sun rthshc jewreðtai jetik posìthta. Autì periorðzei pijanoôc ekfulismoôc afoô uponoeð ìti h antikeimenik sun r- thsh paðzei kai aut shmantikì rìlo sthn diamìrfwsh twn sunjhk n beltistì- thtac. Gia na egguhjoôme thn jetikìthta thc posìthtac λ di forec sunj kec beltistìthtac prèpei na lhfjoôn upìyh kai autèc kaloôntai perioristikèc sunj kec }. Sthn perðptwsh twn PPB eðnai exðsou shmantikì ìloi oi pollaplasiastèc -suntelestèc twn antikeimenik n sunart sewn na eðnai diaforetik tou mhdenìc. Merikèc forèc, oi pollaplasiastèc pou sqetðzontai me tic KKT- sunj kec beltistìthtac kaloôntai kai Karush-Kuhn-Tucker pollaplasiastèc. 'Etsi, prokeimènou na parousi soume touc KKT pollaplasiastèc krðnetai aparaðthto na diatup soume k poia sunj kh. Parak - tw, parousi zoume mða ek twn poll n diaforetik n epilog n pou èqoume, thn legìmenh KKT perioristik sunj kh. Orismìc 'Estw oisunarthsiakoð periorismoð g j tou probl matoc (7) na eðnai suneq c diaforðsimoi sto X inω. To prìblhma lègetai ìti ikanopoieð thn Karush-Kuhn-Tucker perioristik sunj kh e n gia k je R n tètoio ste g j ( X ) 0 gia ìla ta j J( X ), up rqei mða sun rthsh q :[0, 1] R n pou eðna suneq c diaforðsimh sto 0,kaigiak poio bajmwtì α>0, tètoio ste q(0) = X, g(q(t)) 0 gia ìla ta 0 t 1 kai q (0) = α Parak tw, akoloujeð h anagkaða sunj kh beltistìthtac kat Karush- Kuhn-Tucker: Je rhma 2.2 (KKT anagkaða sunj kh beltistìthtac) 'Estwìti oi upojèseic tou Jewr matoc 2.1 ikanopoioôntai apo thn perioristik sunj kh Kuhn-Tucker. Tìte to Je rhma 2.1 eðnai ègkuro me ton prìsjeto periorismì ìti to λ 0. Pìrisma 2.2 (KKT anagkaða sunj kh asj. beltistìthtac) Hsunj kh tou Jewr matoc 2.2 eðnai epðshc anagkaða ètsi ste èna di nusma apìfashc X Ω na eðnai asjenèc Pareto bèltisto.

32 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 32 Genik, oi perioristikèc sunj kec pou sthrðzontai sthn grammik anexarthsða twn parag gwn twn dianusm twn anafèrontai se rjra twn Da Cunha & Polak(1967), Simon(1986). EpÐshc, pio prìsfatec perioristikèc sunj kec parousi zontai gia kurt probl mata apì Zhou at al.(1993). T ra, e n èna PPB eðnai kurtì tìte mporeð na diatupwjeð kai ikan sunj kh gia Pareto beltistìthta. Ac diatup soume, ìmwc, pr ta thn antðstoiqh ikan sunj kh beltistìthtac gia èna MAB, pou en suneqeða ja epekteðnoume gia thn perðptwsh enìc PPB. Je rhma 2.3 (KKT anagkaða sunj kh beltistìthtac) Mia ikan sunj kh gia na eðnai to X R n èna (olikì) el qisto tou probl matoc: elaqistopoðhsh : f i ( X) (7) periorismoð : g( X) = { g 1 ( X),...,g m ( X) } T 0 ìpou h antikeimenik sun rthsh f i : R n R kai oi periorismoð g j : R n R,j =1,...,m,eÐnai kurtoð kai suneq c diaforðsimoi sto X,eÐnai h Ôparxh pollaplasiast n 0 μ R m tètoio ste: 1. f i ( X )+ m j=1 μ j g j ( X )=0 kai 2. μ j g j ( X )=0 j =1,...,m T ra, eðmaste se jèsh na d soume thn proèktash tou Jewr matoc 2.3 gia thn perðptwsh enìc PPB. Je rhma 2.4 (KKT ikan sunj kh Pareto beltistìthtac) 'Estw ìti oi antikeimenikèc sunart seic kai oi periorismoð tou probl matoc (2.1) eðnai kurtèc suneq c diaforðsimec sunart seic se èna efiktì shmeðo X. Mia epark c sunj kh ètsi ste to shmeðo X na eðnai Pareto bèltisto eðnai h Ôparxh pollaplasiast n-dianusm twn 0 λ R k kai 0 μ R m, tètoia ste na isqôoun oi parak tw sunj kec: 1. k i=1 λ i f i ( X )+ m j=1 μ j g i ( X )=0 kai 2. barx Ω μ j g j ( X )=0 j =1,...,m AxÐzei na poôme sto shmeðo autì, ìti to Je rhma 2.4 apoteleð ikan sunj kh olikoô Pareto bèltistou gia k je kurtì PPB. An oi antikeimenikèc sunart seic kai oi periorismoð tou PPB eðnai mh-kurtèc sunart seic tìte to parap nw je rhma paôei na isqôei, me mða mikr anoq se peript seic ìpou mìno oi periorismoð eðnai mh-kurtoð. Tèloc èqoume to parak tw je rhma me ikan sunj kh gia asjen beltistìthta:

33 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 33 Je rhma 2.5 (KKT asjen c Pareto beltistìthtac) H sunj kh tou Jewr matoc 2.4 eðnai ikan ètsi ste ènadi nusma apìfashc X Ω na eðnai asjenèc Pareto bèltisto gia 0 λ R k me λ 0. SÔmfwna me ton C.C.Coello : Je rhma 2.6 (Kuhn-Tucker sunj kh mh-katwterìthtac) E n mða lôsh X enìc PPB eðnai mh-kat terh (noninferior), tìte up rqoun w l 0, l =1,...,k (w r eðnai austhr jetikì gia k poia r =1,...,k) kai λ i 0,i= 1,...,m ètsi ste: X Ω λ i g i ( X) =0 i =1,...,m (8) k w l f l ( X) l=1 kai m g i ( X) =0. i=1 Autèc oi sunj kec eðnai aparaðthtec gia na eðnai mia lôsh mh-kat terh (noninferior). EpÐshc, ìtan ìlec oi f l ( X) eðnai koðlec (concave) kai to Ω eðnai èna koðlo sônolo, tìte oi sunj kec eðnai kai eparkeðc (sufficient). Je rhma 2.7 (Je rhma Epaf c (Contact Theorem) ) 'EnashmeÐo, F Z, ìpou Z = { F ( X) X Ω }, eðnai Pareto Optimal an kai mìnon an Z U( F )= F, ìpou Y ( F ) { F E K F = F + δ, δ 0 }. Dhlad, sômfwna me to parap nw je rhma, an to shmeðo F sto Q ro KrithrÐwn eðnai Pareto bèltisto, tìte eðnai to mìno shmeðo tou sunìlou Y ( F ), to opoðo eðnai kai shmeðo tou efiktoô Q rou KrithrÐwn, to Z(feasible criterion space). Gewmetrik, to sônolo Y ( F ) jewreðtai wc h tom enìc uperkôbou (hypercube) me to shmeðo F na eðnai sthn koruf [Blèpe Sq ma 5]. 'Etsi, o mìnoc trìpoc na shmeiwjeð beltðwsh pèra apì to Pareto Optimal eðnai na parabiasteð k poioc apì touc periorismoôc. 'Omoia, apì to Je rhma 2.7 aporrèei ìti ìla ta Pareto Optimal shmeða keðtontai sto sônoro tou feasible criterion space ParadeÐgmata katanìhshc twn Design Space - Criterion Space Genik, to prìblhma thc beltistopoðhshc miac sun rthshc sunep getai ton kajorismì enìc sunìlou krðsimwn shmeðwn(mègista el qista) kai sthn sunèqeia thn eôresh tou olikoô bèltistou. 'Omwc, ìtan to prìblhma eðnai poluantikeimenik c beltistopoðhshc, h diadikasða prosdiorismoô thc bèltisthc lô-

34 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 34 Sq ma 5: Γεωμετρική Αναπαράσταση του Θεωρήματος Επαφής (Contact Theorem). shc eðnai lðgo pio perðplokh kai asaf se sqèsh me thn diadikasða pou perigr yame parap nw. HduskolÐa ofeðletai sthn sôgqush pou prokaleð o ìroc elaqistopoðhshc, ìpou sta PPB to gegonìc thc elaqistopoðhshc mporeð na èqei antðjeta apotelèsmata apì aut pou ja perimèname. Sugkekrimèna, mia lôsh h opoða faðnetai na beltistopoieð mia antikeimenik sun rthsh mporeð na qeirotereôei mia llh. Dhlad, h epðdrash thc lôshc se k poia k poiec antikeimenikèc sunart seic, den faðnetai na èqei thn Ðdia epðdrash se ìlec. Pr ta, ja parajèsoume èna aplì mono-antikeimenikì prìblhma elaqistopoðhshc, to opoðo dðnetai parak tw : EÔresh : X =[x1,x 2 ] T (9) elaqistopoðhsh : F ( X) =(x 1 3) 2 +(x 2 5) 2 periorismoð : g 1 =90 10x 2 9x 1 0 g 2 =3x 2 2x Sto Sq ma 6 apeikonðzetai to prìblhma beltistopoðhshc sto Q ro Apìfashc (design space), ìpou oi periorismoð g 1 kai g 2, kaj c kai oi isoôyeðc twn antikeimenik n sunart sewn apeikonðzontai sunart sei twn metablht n apìfashc (design variables) x 1 kai x 2. To prìblhma autì èqei èna diakekrimèno el qistosto shmeðo A(3.8298, ) me antðstoiqh sunarthsiak tim 'Ena PPB mporeð na anaparastajeð me parìmoio trìpo ìpwc to parap nw, dojèntoc dôo antikeimenik n sunart sewn:

35 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 35 Sq ma 6: Γεωμετρική Αναπαράσταση ενός ΜΑΒ στο Χώρο Απόφασης. EÔresh : X =[x1,x 2 ] T (10) elaqistopoðhsh : F 1 ( X) =(x 1 3) 2 +(x 2 5) 2 F 2 (x) =(x 1 5) 2 +(x 2 7) 2 periorismoð : g 1 =90 10x 2 9x 1 0 g 2 =3x 2 2x Sto Sq ma 7, to shmeðo A(3.8298, ) antistoiqeð sto el qisto thcf 1, kai to shmeðo B(5.3077,6.5385) sto el qisto thcf 2,antÐstoiqa. Wstìso, e n k poioc epijumeð na elaqistopoi sei tic F 1 kai F 2 sugqrìnwc tìte h eôresh enìc bèltistou shmeðou den eðnai mesh, exoô kai h duskolða prosdiorismoô miac lôshc sta PPB. Sthn poreða thc an lushc tou probl matoc ja exhg soume tð anaparistoôn kai ta upìloipa shmeða pou shmei nontai sto Sq ma 7. Ta probl mata PPB apeikonðzontai kai sto Q ro KrithrÐwn (criterion space) Z, ìpou oi xonec antiproswpeôoun tic diaforetikèc antikeimenikèc sunart seic F 1,F 2, ìpwc faðnetai sto Sq ma 8 kai Sq ma 9, ìpou ta q 1,q 2 antiproswpeôoun ta g 1,g 2, antðstoiqa. Genik, mia kampôlh sto Q ro Apìfashc (design space), thc morf c g j ( X) =0, apeikonðzetai se mða kampôlh sto Q ro KrithrÐwn (criterion s- pace), q j ìpwc faðnetai parak tw:

36 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 36 Sq ma 7: Γεωμετρική Αναπαράσταση ενός ΠΠΒ στο Χώρο Απόφασης. Sq ma 8: Γεωμετρική Αναπαράσταση ενός ΠΠΒ στο Χώρο Κριτηρίων.

37 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 37 Sq ma 9: προοπτική. Γεωμετρική Αναπαράσταση ενός ΠΠΒ στο Χώρο Κριτηρίων - Εναλλακτική q j = { F ( X) g j ( X) =0 } Parìlo pou ta q j anaparistoôn thn apeikìnish twn g j sto Q ro KrithrÐwn (criterion space), aut den antiproswpeôoun aparaðthta kai ta antð- s- toiqa ìria tou efiktoô Q rou KrithrÐwn (criterion space), pou orðzetai wc Z = { F ( X) X Ω }. 'Oti afor, t ra, tic anisotikèc tomèc, autèc den ekfr zetai mesa metaxô tou efiktoô design space kai tou efiktoô criterion space. Autì faðnetai sto Sq ma 8, ìpou ìlec oi tomèc twn kampul n q 1 kai q 2 den orðzoun ta ìria tou efiktoô Q rou KrithrÐwn ( criterion space). Gia par deigma, sto Sq ma 7, to shmeðo C eðnai mh-efiktì, all sto Sq ma 9, to Ðdio shmeðo eðnai metaxô twn dôo perioq n thc kampôlhc q 1. K je X Ω mporeð na anaparastajeð sto EukleÐdeio q ro R k apì èna shmeðo me suntetagmènec F 1 ( X),F 2 ( X),...,F k ( X). Epomènwc, to sônolo twn shmeðwn pou orðzontai sto R k eðnai h apeikìnish tou X sto criterion space. Genik, mia ekten c apeikìnish tou efiktoô design space sto antðstoiqo efiktì criterion space den eðnai mesa diajèsimh, ìpwc sumbaðnei sto aplì sqetik par deigma tou Z sto Sq ma 8 kai Sq ma 9. Parìlo pou tìso o ìroc efiktìc Q roc KrithrÐwn (criterion space) ìso kai o ìroc diajèsimo sônolo (attainable set) qrhsimopoioôntai sthn bibliografða gia thn perigraf tou Z, up rqei mia lept diafor metaxô thc idèac

38 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 38 thc efiktìthtac kai antðstoiqa thc diajesimìthtac. O ìroc efiktìthta uponoeð ìti kanènac apì touc periorismoôc den parabi zetai. Oìrocdiajesimìthta uponoeð ìti èna shmeðo tou Criterion Space up rqei entìc eðte apeikonðzetai me èna shmeðo sto design space. 'Etsi, k je shmeðo sto DS antistoiqeð se èna shmeðo tou CS, all to antðstrofo den isqôei p ntote. Dhlad, èna shmeðo tou CS den antistoiqeð anagkastik se èna shmeðo X Ω. Kat sunèpeia, akìma kai se èna prìblhma qwrðc periorismoôc, mìno k poia apì ta shmeða tou CS eðnai diajèsima(attainable). Sthn paroôsa melèth mac, o Z sunhjðzetai na perièqei shmeða tou CS pou eðnai efikt kai diajèsima. Sto shmeðo autì, mporoôme na shmei soume ìti gia èna shmeðo sto e- fiktì CS, mporeð na antistoiqoôn efikt mh-efikt shmeða tou DS. Gia par deigma, ta shmeða D kai E sto Sq ma 7, dðnoun thn Ðdia sunarthsiak tim sthn F 1 Ðson 7.2 kai sthn F 2 Ðson me 3.5. Kat sunèpeia, parìlo pou to shmeðo D eðnai efiktì kai to shmeðo E mh-efiktì, kai ta dôo antistoiqoôn sto shmeðo D tou Q rou KrithrÐwn ìpwc faðnetai sto Sq ma 9. Ta exagìmena apì èna prìblhma beltistopoðhshc, se sunduasmì me thn praktikìthta aut n se efarmogèc, eðnai sun jwc oi bèltistec timèc twn metablht n apìfashc (design variables) kai ìqi oi sunarthsiakèc timèc twn antðstoiqwn antikeimenik n sunart sewn. Epomènwc, ènac L pthc Apìfashc (decision-maker) sun jwc endiafèretai gia apotelèsmata pou sqetðzontai me to Q ro Apìfashc. Wstìso, oi apof seic lamb nontai sun jwc se sqèsh me to Q rokrithrðwn (CS), pou basðzetai stic timèc twn diafìrwn meta- blht n apìfashc. Ta diagr mmata tou CS eðnai arket bohjhtik ìtan oi pollaplèc antikeimenikèc sunart seic en nontai kai apoteloôn mða sônjeth antikeimenik sun rthsh. EpÐshc, h melèth tou CS endeðknutai ìtan to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn eðnai mikrìc, se sqèsh me to pl joc twn design metablht n. Enallaktik, apeikonðzontac èna prìblhma sto DC mporeð na eðnai arket wfèlimo apì pleur c parastatikìthtac tou probl matoc ìtan to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn eðnai sqetik meg lo. Me aform ta parap nw paradeðgmata ja d soume k poiouc epiplèon orismoôc kaj c kai k poiec axiìlogec parathr seic.

39 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 39 Orismìc (idanikì shmeðo idanikì antik. di nusma) 'Estw to di nusma z i R n. E n ta stoiqeða tou dianôsmatoc autoô antistoiqoôn sta el qista k je miac ek twn antikeimenik n sunart sewn pou sunjètoun to PPB xeqwrist, tìte to di nusma autì kaleðtai. Orismìc (K tw Fr gma PO sunìlou) 'Estw ìti to idanikì shmeðo z i R n tautðzetai me to shmeðo anafor c Z. Tìte to idanikì shmeðo apoteleð to k tw fr gma tou PO sunìlou. Parathr seic: E n to idanikì shmeðo tan efiktì, ja apoteloôse thn lôsh tou PPB kai ja shmei nontan sôgklish tou Pareto sunìlou se autì. O orismìc tou K tw fr gmatoc proôpojètei thn gn sh twn olik n elaqðstwn k je miac ek twn antikeimenik n sunart sewn pou sunjètoun to PPB. Sq ma 10: Ουτοπικό και ναδίρ σημείο. Orismìc (outopikì antik.di nusma outopikì shmeðo) 'Estw èna mh-efiktì di nusma Z R n tou opoðou ta stoiqeða dðnontai apo thn sqèsh: zi = zi ɛ i gia ìla ta i =1,...,k, ìpou zi eðnai to antðstoiqo s- toiqeðo tou idanikoô dianôsmatoc kai ɛ i > 0 mia mikr upologðsimh posìthta. Tìte, to di nusma autì kaleðtai outopikì shmeðo.

40 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 40 Orismìc (nadðr kat tero shmeðo) 'Ena di nusma z nad R n tou opoðou ta stoiqeða antiproswpeôoun to p nw ìrio k je miac antikeimenik c sun rthshc sto PO sônolo onom zetai nadðr shmeðo Jèmata mesa sundedemèna me ta PPB kai thn Pareto Beltistìthta Gia thn omal diexagwg thc melèthc enìc PPB, ìpwc ja doôme sunoptik parak tw, dôo jèmata prèpei na lamb nontai upìyh: a) h KanonikopoÐhsh kai b) h KlimakopoÐhsh tou probl matoc. Prìkeitai gia dôo diaforetikèc diadikasðec pou skopì èqoun na << anadom soun >> to ek stote PPB ètsi ste ta apotelèsmata pou ja lamb noume na eðnai ìqi mìno axiìpista all kai kal orismèna. Parak tw, ja gðnoume pio sugkekrimènoi, afoô pr ta d soumetouc aparaðthtouc orismoôc. Orismìc (KanonikopoÐhsh (Normalization ) ) H diadikasða metasqhmatismoô twn antikeimenik n sunart sewn diaforetik c klðmakac se mða omoiìmorfh klðmaka. Orismìc (KlimakopoÐhsh (Scalarization ) ) H diadikasða sônjeshc twn diaforetik n antikeimenik n sunart sewn, pou sunteloôn to ek stote PPB, se mða nèa antikeimenik sun rthsh. Gia na katano soume thn pr th diadikasða parajètoume èna par deigma. Ac upojèsoume, ìti oi antikeimenikèc sunart seic eðnai to kìstoc paragwg c enìc pro ìntoc kai to posì tou mh - ekmetalleôsimou ulikoô. 'Estw, loipìn, ìti to kìstoc tou pro ìntoc mporeð na kumaðnetai metaxô 100 kai 1000 eur, en to posì tou mh-ekmetalleôsimou ulikoô na kumaðnetai metaxô kai 0.1 m 3. Dhlad, èqoume dôo pos ekfrasmèna se diaforetik klðmaka kai kat sunèpeia mia mikr metabol tou enìc ephre zei se diaforetikì bajmì thn metabol tou llou. Autì èqei san sunèpeia ta apotelèsmata pou lamb noume kat tic metabolèc twn dôo pos n na mhn eðnai axiìpista. Gia to lìgo autì, se peript seic ìpou ta pos pou ekfr zoun oi antikeimenikèc sunart seic, diafèroun wc proc thn klðmaka touc na apaiteðtai h diadikasða thc KanonikopoÐhsh. SÔmfwna me thn diadikasða aut, oi antikeimenikèc sunart seic pou sunjètoun thn telik antikeimenik sun rthsh F ( X) pollaplasi zontai me kat llhlo suntelest ètsi ste na prokôyoun pos Ðdiac shmantikìthtac wc proc thn klðmaka. Sugkekrimèna, sto par deigma pou parajèsame parap - nw, ja proboôme ston pollaplasiasmì tou kìstouc pro ìntoc me 1(10 3 ) kai to posì tou mh-ekmetalleôsimou pro ìntoc me 1(10 1 ). 'Opwc gðnetai katanohtì, h kanonikopoðhsh katèqei shmantikì rìlo sthn egkurìthta thc sumbatìthtac twn bèltistwn lôsewn se sqèsh me tic protim seic pou

41 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 41 ekfr zei o LA. Ta pos pou pragmateôetai èna PPB ja prèpei na eðnai ekfrasmèna saf c kai me tètoio trìpo ste na mhn up rqoun parano seic kai sugqôseic pou ja apofèroun mia lanjasmènh epilog lôshc. T ra, se ìti afor thn deôterh diadikasða, h metatrop enìc PPB se èna MAB profan c exuphreteð sthn pio eôkolh melèth enìc probl matoc. Autì sumbaðnei giatð oi mèjodoi pou uposthrðzoun thn Mono-antikeimenik BeltistopoÐhsh kaj c kai oi algorijmikèc teqnikèc pou epistrateôo- ntai se autèc tic peript seic, poikðloun. To gegonìc autì, bèbaia, den apokleðei kai thn melèth enìc PPB wc PPB. Dhlad, up rqoun trìpoi melèthc kai epðlushc enìc PPB qwrðc na prèpei anagkastik na metatrapeð se èna MAB; mìno pou autoð eðnai lðgo èwc arket sônjetoi. Gia to lìgo autì, sqedìn p ntote, se k je PPB efarmìzetai h diadikasða thc KlimakopoÐhshc. 2.5 Diaforèc Polu-antikeimenik c vs Mono-antikeimenik c beltistopoðhshc Pèra apì thn profan diafor, dhlad tou pl jouc twn antikeimenik n sunart sewn pou pragmateôetai kajemi, up rqoun kai llec exðsou ousiastikèc diaforèc metaxô touc ( Deb K., 2004). Sugkekrimèna, h polu-antikeimenik BeltistopoÐhsh: èqei dôo stìqouc kai ìqi èna pragmateôetai dôo q rouc anaz thshc den lamb noun q ra teqn smata (artificials fix-ups) Analutikìtera: Duo stìqoi ènanti enìc Sth mono-antikeimenik beltistopoðhsh, o stìqoc eðnai ENAS: h anaz thsh miac bèltisthc lôshc. Parìlo, pou sto q ro anaz thshc mporeð na keðtontai èna pl joc topik n bèltistwn lôsewn, o stìqoc p ntote 7 eðnai h eôresh tou olikoô bèltistou. 'Etsi, sth mono-antikeimenik beltistopoðhsh oi perissìteroi algìrijmoi stoqeôoun sthn eôresh miac bèltisthc lôshc parìlo pou up rqei pl joc bèltistwn lôsewn. Sugkekrimèna, ìso hkainoôrgia lôsh èqei kalôterh antikeimenik sunarthsiak tim apì ìti h pali, tìte h kainoôrgia lôsh gðnetai apodekt 7 Υπάρχει μια εξαίρεση: περίπτωση multi-model βελτιστοποίησης όπου ο στόχος είναι η εύρεση ενός πλήθους τοπικών ολικών και ολικών βέλτιστών λύσεων, αντί της εύρεσης μια βέλτιστης λύσης.

42 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 42 (dhl. antikajist thn pali ). Wstìso, sthn PPB, oi stìqoi eðnai dôo. O kuriìteroc eðnai h anaz thsh proodeutik na gðnetai polô kont sto Pareto sônoro (Pareto Opt. Front) (dhl. oi lôseic na teðnoun na eðnai tìso kont na teðnoun sto P.O Front). EpÐshc, skìpimh eðnai h diat rhsh enìc sunìlou lôsewn pèra tou P.O. Front (sto non dominated front). 'Enac alogìrijmoc o opoðoc brðskei èna sônolo lôsewn polô kont sto P.O. front ikanopoieð ton arqikì stìqo sôg- klishc aut n sto P.O. sônoro, den ikanopoieð ìmwc thn diat rhsh tou sunìlou twn diaforetik n lôsewn (diverse set). Apì thn stigm pou ìlec oi antikeimenikèc sunart seic eðnai shmantikèc sthn PPB, h Ôparxh enìc diverse set lôsewn kont sto P.O. sônoro parèqei mia poikilða apì bèltistec lôseic kai kat sunèpeia parèqei thn dunatìthta diaforetik c diaqeðrishc twn antikeimenik n sunart sewn. 'Etsi, gia na katano soume thn shmantikìthta kai tou deôterou stìqou isqurizìmaste ìti ènac PPB algìrijmoc o opoðoc den par gei diverse set apì lôseic se èna prìblhma eðnai tìso kalìc ìso ènac algìrijmoc thc MAB. Apì ta parap nw gðnetai katanohtì ìti gia na eðnai apodotikìc ènac algìrijmoc PPB ja prèpei na ikanopoieð kai touc duo stìqouc. H epðteuxh tou enìc ek twn dôo stìqwn den sunep getai kai thn epðteuxh tou llou stìqou. Epomènwc, se ènan tètoio algìrijmo krðnetai aparaðthth h rht enswm twsh enìc mhqanismoô pou ja enisqôsei tìso thn sôgklish kont sto P.O Front ìso kai thn diat rhsh enìc diverse set lôsewn. 'Etsi, lìgw thc dipl c upìstashc tou zhtoômenou se èna PPB prìblhma, h PPB jewreðtai saf c pio dôskolh kai apaithtik se sôgkrish me thn MAB, all pio poiotik se ìti afor thn telik lôsh Qeirismìc dôo q rwn anaz thshc 'Allh mia idiaiterìthta pou parousi zoun ta PPB eðnai h emplok dôo qwr n anaz thshc antð tou enìc, pou lamb nei q ra sta MAB. Sugkekrimèna, sta MAB, èqoume mìno to Q ro Apìfashc. 'Enac algìrijmoc, loipìn, apodèqetai aporrðptei lôseic apì to Q ro Apìfashc me krit rio tic antikeimenikèc sunarthsiakèc touc timèc. Sthn PPB, ìmwc, up rqei kai o Antikeimenikìc Q roc Q roc KrithrÐwn. Parìlo, pou oi dôo q roi sqetðzontai metaxô touc me mia monadik apeikìnish twn shmeðwn tou enìc sto llo, suqn h apeikìnish aut eðnai mh-grammik kai oi idiìthtec twn duo q rwn anaz thshc den eðnai Ðdiec. Gia par deigma h eggôthta (proximity) dôo lôsewn sto èna q ro den sunep getai kai thn eggôthta ston llo q ro. Epomènwc, parìlo pou to 2o z thma thc diat rhshc thc poikilomorfðac tou sunìlou twn proskoptìmenwn

43 2 BASIK ES ENNOIES (BASIC CONCEPT) 43 lôsewn ikanopoieðtai, eðnai exðsou shmantikì na kajoristeð se poiì q ro anaz thshc ja prèpei na lamb nei q ra. Genik, h anaz thsh pragmatopoieðtai sto q ro metablht n apof sewn Teqnhtèc Epino seic (Teqn smata) 'Opwc èqoume proanafèrei kai sthn eisagwg, to perissìtera probl mata tou pragmatikoô kìsmou eðnai ek fôsewc PPB probl mata. 'Omwc, h èlleiyh kat llhlwn mèswn qeirismoô PPB problhm twn wc PPB sto pareljìn, od ghse touc epist monec na efeôroun di fora teqn smata. Apì ticpio dhmofileðc kai polô-efarmosmènec proseggðseic antiproswpeutik twn en lìgw teqnasm twn eðnai oi weighted sum ( jroisma bar n) kai e-constraint. Gia par deigma, sômfwna me thn weighted sum prosèggish, ìlec oi antikeimenikèc sunart seicpollaplasi zo- ntai me èna suntelest b rouc kai ajroðzontai ste na sunjèsoun mia antikeimenik sun rthsh. Dustuq c, ta apotelèsmata miac tètoiac strathgik c beltistopoðhshc exart tai mesa apì thn epilog twn bar n. SÔmfwna me th deôterh apì tic anaferìmenec proseggðseic, epilègetai mia ek twn antikeimenik n sunart sewn kai tic upìloipec tic lamb nei wc periorismoôc oriojet ntac touc sugkekrimènouc prokajorismèna ìria. Aut ta teqn smata epðshc metasqhmatðzoun èna PPB se èna MAB. Bèbaia, kai se aut thn perðptwsh to apotèlesma thc plèon mono-antikeimenik c beltistopoðhshc me periorismoôc eðnai mia lôsh pou exart tai apì ta ìria pou epilègontai gia touc periorismoôc. H PP- B, pou stoqeôei sthn eôresh pollapl n Pareto-Optimal lôsewn, teðnei na exaleðyei tètoiou eðdouc teqn smata kai mporeð kat kanìna na upologðzei èna sônolo me R.O. lôseic pou antistoiqoôn se diaforetik b rh kai e-dianôsmata. Parìlo pou mìno mia lôsh eðnai to epijumhtì apotèlesma miac tètoiac efarmog c, h gn sh pollapl n bèltistwn lôse- wn mporeð na faneð bohjhtik gia to LA sto jèma sôgkrishc kai epilog c miac sumbibastik c lôshc. EÐnai al jeia ìti h epðlush twn PPB eðnai genik pio sônjeth apì thn epðlush twn MAB. 'Omwc, h apofug pollapl n upologism n, h apousða teqnasm twn, h diajesimìthta algorðjmwn beltistopoðhshc pou qeirðzontai meg lo pl joc shmeðwn, kai p nw apì ìla, h idèa thc kuriarqðac suntèlesan ston periorismì twn duskoli n twn PPB kai sth dhmiourgða sunjhk n gia to kalôtero qeirismì aut n.

44 3 KLASSIK ES M EJODOI 44 3 Klassikèc Mèjodoi 3.1 KathgoriopoÐhsh Mejìdwn EpÐlushc twn PP- B Sthn enìthta aut ja perigr youme tic kuriìterec kai eurèwc efarmìsimec mejìdouc gia to qeirismì twn problhm twn polu-antikeimenik c beltistopoðhshc, stic opoðec ja anaferìmaste me ton ìro klassikèc mèjodoi. PolloÐ ereunhtèc prosp jhsan na kathgoriopoi soun tic mejìdouc autèc lamb nontac upìyh touc k poia krit ria, kurðwc ìmwc to rìlo tou L.A. 'Etsi, h klassikopoðhsh pou uperisqôei stic mèrec mac eðnai kat Hwang & Masud 1976 kai argìtera kat Miettinen 1999, h parak tw: Mh Allhlepidrastikèc mèjodoi (Non-Interactive ) QwrÐc Protim seic mèjodoi- Amerìlhptec (Non-Preference ) Metagenèsterhc plhroforðac mèjodoi (Posteriori ) Progenèsterhc plhroforðac mèjodoi (Priori ) Allhlepidrastikèc mèjodoi ( Interactive ) Merikèc forèc o diaqwrismìc sunant tai ìpwc parak tw, qwrðc na shmei netai kamða ousiastik diafor me ton arqikì: QwrÐc Protim seic mèjodoi- Amerìlhptec (Non-Preference ) OlikoÔ KrithrÐou mèjodoc (Global Criterion ) Oudèterhc sumbibastik c lôshc mèjodoc (Neutral Compromise Solution ) Preference mèjodoi Non-Interactive mèjodoi Posteriori mèjodoi Priori mèjodoi Interactive mèjodoi mèjodoi basismènec stic antistajmðseic (trade-off based ) mèjodoi basismènec sto shmeðo anafor c (Referance point ) mèjodoi basismènec sth dhmiourgða kl sewn (Classificationbased )

45 3 KLASSIK ES M EJODOI Diafor metaxô Interactive & Non-Interactive Mejìdwn 'Opwc faðnetai kai apì to diaqwrismì twn mejìdwn dôo eðnai oi kurðarqec kathgorðec, h kathgorða twn Non-Interactive kai h kathgorða twn Interactive mejìdwn. Stic Non-Interactive mejìdouc, o LA den èqei mesh summetoq apl parèqei plhroforðec protðmhshc, prðn met th diadikasða epðlushc. Dhlad, o LA upojètoume ìti den anal netai sth diadikasða epðlushc. AntÐjeta, stic Interactive mejìdouc, o LA katèqei ton kuriìtero rìlo sthn epðlush enìc PPB probl matoc. H summetoq tou eðnai mesh kai suneq c kat th di rkeia thc epðlushc tou probl matoc. Sugkekrimèna, o rìloc tou eðnai na dioqeteôei plhroforðec protðmhshc èwc ìtou prokôyei h pio pronomioôqa} lôsh. 'Opwc apodðdetai kai sto Sq ma 11, sthn pr th kathgorða èqoume stigmiìtupa tou LA me th mèjodo}. Sugkekrimèna, o LA dioqeteôei plhroforðec protðmhshc prin arqðsei h diexagwg thc anaz thsh lôsewn (Priori) afoô diexaqjeð h anaz thsh o LA sômfwna me tic plhroforðec protim seic pou ekfr zei, epilègei kai tic katallhlìterec lôseic(posteriori). Sq ma 11: Διαφορές των Αλληλεπιδραστικών και μη- Αλληλεπιδραστικών μεθόδων επίλυσης των ΠΠΒ. Apì thn llh pleur, sth deôterh kathgorða èqoume allhlepðdrash tou LA me th mèjodo}. Me autì ennooôme ìti o LA mporeð na ekfr sei- pijan - k poiec plhroforðec protðmhshc prin th diadikasða anaz thshc. Sth sunèqeia, met to pèrac thc anaz thshc mporeð na l bei k poiec plhroforðec mèsa apì

46 3 KLASSIK ES M EJODOI 46 th diexagwg thc anaz thshc kai na anaprosarmìsei tic arqikèc plhroforðec protðmhshc kai en suneqeða na efarmosteð mia nèa anaz thsh. 3.2 Non-Preference Mèjodoi Stic mejìdouc autèc oi protim seic tou LA den lamb nontai upìyh kat th diadikasða epðlushc enìc PPB. 'Etsi, to prìblhma epilôetai me sqetik aplèc mejìdouc pou sthrðzontai se aploôc mhqanismoôc. 'Ena tètoio par deigma eðnai h eôresh miac sumbibastik c lôshc pou tupik ja keðtetai sto mèson} tou PO sunìlou, afoô den up rqei kamða plhroforða pou mporeð na kateujônei th diadikasða epðlushc proc mða sugkekrimènh kateôjunsh. Epomènwc, oi en lìgw mèjodoi endeðknutai se peript seic ìpou shmei netai apousða tou LA ìtan o LA den eðnai se jèsh na ekfr sei sugkekrimènec prosdokðec gia th lôsh kai tou arkeð apl mia bèltisth lôsh. Parak tw parousi zoume dôo mejìdouc pou efarmìzontai se tètoiec peript seic: Global Criterion Mèjodoc SÔmfwna me th mèjodo tou OlikoÔ KrithrÐou (Yu, 1973; Zeleny, 1973), h apìstash tou epijumhtoô shmeðou anafor c metaxô tou Q rou twn KrithrÐwn kai tou EfiktoÔ AntikeimenikoÔ Q rou ja prèpei na elaqistopoihjeð. O Analut c epilègei to shmeðo anafor c pou ja qrhsimopoihjeð, ìpou mða fusik epilog eðnai na to jèsei wc to idanikì shmeðo. Gia th mètrhsh thc apìstashc tou idanikoô shmeðou z apì to outopikì shmeðo z mporeð na qrhsimopoihjeð mia metrik ìpwc pq. L p metrik. 'Etsi, to proc lôsh prìblhma èqei th morf : ( k ) 1/p min f i ( X zi ) i=1 (11) ìpou X Ω. Apì th sqèsh (11) gðnetai katanohtì ìti h epilog thc metrik c ephre zei mesa to apotèlesma. EpÐshc, e n eðnai gnwstì to pragmatikì idanikì antikeimenikì di nusma, tìte to apìluto mporeð na aplopoihjeð afoô h diafor eðnai p ntote jetik. Tèloc, h lôsh tou (11) eðnai p ntote Pareto bèltisth (Miettinen, 1999) Mèjodoc thc Oudèterhc Sumbibastik c LÔshc (Neutral Compromise) 'Enac lloc trìpoc paragwg c mðac lôshc qwrðc na lamb nontai upìyh oi pepoij seic tou LA eðnai h oudèterh sumbibastik lôsh (Wierzbicki, 1999). H

47 3 KLASSIK ES M EJODOI 47 kentrik idèa, ed, eðnai h probol enìc shmeðou <<k pou sth mèsh>> thc perioq c twn antikeimenik n sunarthsiak n tim n sto PO sunìlou ètsi ste na eðnai efiktì shmeðo. Oi suntetagmènec enìc tètoiou shmeðou prokôptoun apì ton upologismì tou mèsou ìrou tou idanikoô kai nadðr shmeðou gia k - je antikeimenik sun rthsh. 'Etsi, mporoôme na p roume mia tètoia lôsh, epilôontac to parak tw prìblhma: [ fi ( minmax X ((zi + ] 1/p znad i )/2) i=1,...,k z nad z (12) ìpou X Ω. H lôsh tou probl matoc (12) eðnai asjen c Pareto bèltisth. EpÐshc, th jèsh tou idanikoô shmeðou mporeð na p rei to outopikì shmeðo gia ton upologismì miac oudèterhc sumbibastik c lôshc. i

48 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 48 4 Mh-Allhlepidrastikèc ProseggÐseic 4.1 Preference & Non-Preference Mèjodoi Sta PPB, eðnai qarakthristikì ìti den up rqei mða monadik lôsh all èna sônolo apì majhmatik isodônamec lôseic. Autèc oi lôseic kaloôntai nondominated, efficient, noniferior Pareto Optimal lôseic. Genik, sth bibliografða pou anafèretai sto pedðo thc Polukrithriak c L yhc Apof sewn (MCDM) autoð oi orismoð eðnai isodônamoi. Hentatik melèth twn PPB èqei arqðsei arketèc dekaetðec prin kai h èreuna basðzetai sto jewrhtikì upìbajro pou dhmiourg jhke apì touc (Edgeworth, 1881; Koopmans, 1951; Kuhn & Tucker, 1951; Pareto, 1896,1906). Autì èqei san fusik apìrroia, pollèc idèec kai proseggðseic na èqoun ta jemèlia touc sth jewrða tou MajhmatikoÔ ProgrammatismoÔ. Gia par deigma, ìtan oi Kuhn & Tucker (1951) diatôpwnan tic sunj kec beltistopoðhshc tou mh grammikoô programmatismoô, tic diatôpwnan epðshc kai gia ta PPB. Tupik, sth bibliografða twn MCDM, h idèa thc epðlushc enìc PPB eklamb netai wc èna bohjhtikì ergaleðo tou LA ste na lamb nei tautìqrona gn sh twn pollapl n antikeimenik n sunart sewn kai na entopðzei mia Pareto bèltisth lôsh pou ja ton ikanopoieð perissìtero apì opoiad pote llh lôsh. Epomènwc, h diadikasða eôreshc miac lôshc emplèkei to LA, apì ton opoðo antleð plhroforðec wc proc th barôthta pou prèpei na dojeð se k poiec sunart seic stenakajoristeð h telik lôsh. Me lla lìgia, h telik lôsh exart tai kat meg lo bajmì apì to LA. Autì, merikèc forèc, shmaðnei ìti h telik apodekt lôsh mporeð na mhn eðnai h bèltisth all mia lôsh pou ikanopoieð se meg lo bajmì to LA. 4.2 Weighted Sum Mèjodoc SÔmfwna me th mèjodo aut, k je mia antikeimenik sun rthsh tou PPB pollaplasi zetai me ènan diaforetikì suntelest b rouc kai sth sunèqeia ìlec mazð prostðjentai sqhmatðzontac èna jroisma. Autì shmaðnei ìti to arqikì PPB metasqhmatðzetai se èna MAB, ìpwc parak tw: minimize k wi f i ( X) (13) i=1 ìpou X S (14) g i ( X) 0, i =1, 2,...,m h i ( X) =0, i =1, 2,...,p

49 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 49 ìpou w i 0, gia ìla ta i =1,...,k, eðnai oi suntelestèc -b rh pou antiproswpeôoun th shmantikìthta thc k je antikeimenik c sun rthshc. Sun jwc, upojètoume ìti to: k i=1 w i =1. Je rhma 4.1 H epðlush tou probl matoc pou dðnetai apì thn parap nw sqèsh eðnai Pareto Optimal e nta b rh eðnai jetik gia ìlecticantikeimenikèc sunart seic. To Je rhma (4.1) isqôei gia ìla ta PPB kai h apìdeix tou basðzetai sthn eic topon apagwg 8. To parap nw je rhma isqôei gia k je PPB. To antðstrofo tou jewr matoc den isqôei. Dhlad, k je Pareto Optimal lôsh enìc PPB den antistoiqeð p ntote se èna di nusma jetik n bar n. Autì pragmateôetai kai to parak tw je rhma pou anafèretai se kurt (convex) PPB. Je rhma 4.2 E n X eðnai mia Pareto Optimal lôsh enìc kurtoô PPB, tìte up rqei èna jetikì mh-mhdenikì di nusma b rouc W tètoio ste to X eðnai mia lôsh tou probl matoc [ 15]. Apì to parap nw je rhma mesa prokôptei ìti gia k je kurtì PPB, opoiad pote Pareto bèltisth lôsh mporeð na brejeð me th bo jeia thc Weighted Sum mejìdou. Ac doôme t ra, p c me th W.S. mèjodo mporoôme na broôme Pareto bèltistec lôseic tou arqikoô probl matoc. Gia q rh eukolðac, jewroôme èna prìblhma duo antikeimenik n sunart sewn, ìpwc faðnetai sto Sq ma 12. H mèjodoc aut eðnai h pio eurèwc diadedomènh klassik prosèggish lìgw thc aplìthtac pou parousi zei tìso se epðpedo katanìhshc ìso kai se epðpedo efarmog c. Gia par deigma, an èqoume na elaqistopoi soume dôo sunart seic pq. th sun rthsh kìstouc paragwg c roôqwn kai th sun rthsh tou posoô mh-ekmetalleôsimou ulikoô kat thn paragwg, tìte h logik prost zei thn elaqistopoðhsh miac tètoiac sun rthshc pou antiproswpeôei th sônjesh twn dôo parap nw sunart sewn dðnontac sthn kajemi mia sqetik barôthta. Me thn ènnoia barôthta, ennooôme kat pìso jèloume h ek stote sun rthsh na ephre sei to apotèlesma kat pìso shmantikìterh eðnai h mða apì thn llh. Aut eðnai h idèa thc Weighted Sum mejìdou, h opoða telik metasqhmatðzei èna PPB se èna MAB. Parìlo pou san idèa faðnetai na odhgeð se mða apl diadikasða, up rqei,mia fusik duskolða: poi eðnai ta b rh me ta opoða pollaplasi zetai k je sun rthsh kai apì tð exart tai h tim touc? Gia na apant soume sto er thma autì prèpei na l boume upìyh mac dôo shmantikoôc par gontec: a) thn poyh 8 Εστω ότι για θετικές τιμές των βαρών η βέλτιστη λύση δεν είναι Pareto Optimal

50 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 50 Sq ma 12: Απεικόνιση της Weighted Sum προσέγγισης σε ένα κυρτό Pareto Βέλτιστο σύνορο. tou LA kai b) thn klðmaka pou eðnai ekfrasmènec oi antikeimenikèc sunart seic. Se ìti afor ton pr to par gonta, o LA eðnai autìc pou ephre zei mesa èmmesa tic timèc tou dianôsmatoc bar n an loga me tic plhroforðec pou parèqei. Autì shmaðnei ìti e n gnwrðzei ìti k poia ek twn antikeimenik n sunart sewn eðnai pio shmantik tìte o suntelest c b rouc pou ja thc apodojeð ja eðnai an logoc. T ra, se ìti afor to deôtero par gonta, èqoume dh anaferjeð se prohgoômenh par grafo se autì. 'Etsi, afoô prohghjeð h KanonikopoÐhsh twn sunart sewn, akoloujeð h sônjesh thc sun rthshc F ( X) pou en suneqeða ja elaqistopoi soume. H sun rthsh aut prokôptei apì to jroisma twn kanonikopoihmènwn sunart sewn pollaplasiasmènec me ton antðstoiqo suntelest barôthtac pou èqei orisjeð apì to LA. Epomènwc, prokôptei to PPB pou dðnetai apì thn parak tw sqèsh: M ElaqistopoÐhsh : F ( X) = w m f m ( X) (15) m=1 PeriorismoÐ : g j ( X) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n

51 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 51 ìpou w i [0, 1] tètoio ste M i=1 w i =1. GnwrÐzontac ta b rh, mporoôme eôkola na upologðsoume thn F gia to ek stote di nusma bar n kai kat sunèpeia na k noume th grafik anapar stash twn isoôy n sto Q ro KrithrÐwn. 'Opwc faðnetai sthn Eikìna 19, gia diaforetik dianôsmata bar n prokôptoun oi isoôyeðc 'a', 'b', 'c' kai 'd. AxioshmeÐwto eðnai to gegonìc ìti oi isoôyeðc eðnai eujeðec grammèc, afoô to F eðnai grammikìc sunduasmìc twn f 1,f 2. E n melet soume akìma pio prosektik tic isoôyeðc ja doôme ìti den prìkeitai gia tuqaðec grammèc all gia grammèc pou h klðsh touc exart tai mesa apì to di nusma twn bar n. Sugkekrimèna, gia F ( X) = { f 1 ( X,f 2 ( X)) }, me W = {w 1,w 2 }, h klðsh thc eujeðac F ( X) =w 1 f 1 ( X) +w 2 f 2 ( X) isoôtai me w 1 /w 2. AntÐstoiqa, h jèsh thc eujeðac sto Q ro twn KrithrÐwn exart tai apì thn tim thc F. AfoÔ to prìblhma apaiteð thn elaqistopoðhsh thc F, ja prèpei na entopðzoume ekeðno to shmeðo ìpou h tim thc F eðnai el qisth. ArkeÐ, loipìn, na broôme ekeðnh thn eujeða pou ef ptetai sto Q ro twn KrithrÐwn sto k tw aristerì mèroc tou Q rou. 'Etsi, h isoôy c pou ef ptetai sto Q ro Anaz thshc (Search Space) kai keðtetai sthn arister -k tw gwnða tou diast matoc autoô (tou POsunìrou)eÐnaih'd'. To shmeðo epaf c thc efaptomènhc me to PO sônoro eðnai to 'A' kai kat sunèpeia apoteleð thn Pareto Optimal lôsh pou antistoiqeð sto sugkekrimèno di nusma b rouc. E n, t ra, qrhsimopoihjeð diaforetikì di nusma b rouc 9, h klðsh thc e- faptìmenhc, profan c ja eðnai diaforetik kai h diadikasða pou perigr yame parap nw ja d sei mia diaforetik Pareto Optimal lôsh. Sto shmeðo autì, eðnai axiìlogo na tonðsoume th qr sh tou Jewr matoc (4.2), sômfwna me to opoðo sumperaðnoume ta ex c: 1) gia opoiod pote kurtì PPB mporoôme na èqoume pollaplèc P.O. lôseic epilôontac to antðstoiqo prìblhma (15)kai 2) me thn efarmog diaforetikoô jetikoô dianôsmatoc b rouc prokôptei kai mia diaforetik P.O. lôsh. To en lìgw je rhma mporeð na epektajeð kai gia mh-kurt PPB, twn opoðwn ìmwc to Pareto Optimal front eðnai kurtì. Kat thn exèlixh tou kefalaðou ja gðnei parousðash kai sqoliasmìc twn peript sewn kaj c kai twn duskoli n pou sunant ntai se aut ta probl mata Pleonekt mata-meionekt mata thc Mejìdou To kuriìtero pleonèkthma thc mejìdou aut c eðnai h aplìthta thc efarmog c thc sta PPB. H idèa eðnai arket diaisjhtik kai eôkolh sth qr sh qwrðc na apaiteð idiaðterh dexioteqnða. Eidikìtera, gia probl mata me kurtì Pareto 9 Αυτό σημαίνει απόδοση διαφορετικών συντελεστών βάρους.

52 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 52 Optimal SÔnoro, h mèjodoc eggu tai thn eôresh lôsewn se ìlo to Pareto Optimal SÔnolo. Pèra apì th jetik pleur thc mejìdouc, pollèc eðnai oi duskolðec pou emfanðzontai kat thn efarmog thc. Sugkekrimèna, h epilog diaforetik n dianusm twn b rouc den odhgoôn aparaðthta se diaforetikèc Pareto bèltistec lôseic. H plhroforða tou pìte diaforetik dianôsmata bar n antistoiqoôn sthn Ðdia Pareto bèltisth lôsh den eðnai p ntote diajèsimh, eidik se mhgrammik PPB. EpÐshc, to gegonìc ìti algìrijmoi thc mono-antikeimenik c beltistopoðhshc, pou qrhsimopoioôntai met to metasqhmatismì pou ufðstatai to PPB se MAB, eðnai sqediasmènoi ètsi ste na brðskoun lôseic pou ikanopoioôn sunj kh beltistìthtac 1hc t xhc. Autì èqei san apotèlesma na apaitoôntai epiplèon dokimèc gia thn epibebaðwsh thc beltistìthtac twn lôsewn pou prokôptoun. 'Ena akìma meionèkthma twn algorðjmwn thc PPB eðnai ìti h pleioyhfða aut n parousi zei adunamða ston entopismì ìlwn twn elaqðstwn lôsewn gia èna di nusma b rouc me sunèpeia thn ap leia k poiwn Pareto bèltistwn lôsewn DuskolÐec epðlushc Non-Convex Problhm twn H parap nw prosèggish den exasfalðzei eôresh sugkekrimènwn Pareto bèltistwn shmeðwn stic peript seic ìpou o antikeimenikìc Q roc eðnai mh-kurtìc. Me th bo jeia tou Sq matoc 13 kai Sq matoc 14, ja exhg soume tic praktikèc duskolðec pou sunant me kat th melèth tètoiwn peript sewn. 'Otan epilègetai èna di nusma b rouc t.w. na dðnei thn isoôy 'a' 'b', h el qisth tim thc F ja antistoiqeð kai se mða POlÔsh. Dustuq c, den up rqei kamða tètoia isoôy c pou ja par gei efaptìmenh me shmeða epaf c sthn efikt perioq BC. Autì sumbaðnei giatð protoô mia gramm <<gðnei>> efaptìmenh se opoiod pote shmeðo thc BC, èqei gðnei thn Ðdia stigm efaptìmenh se k poio kalôtero shmeðo(dhl. mikrìterhc sunarthsiak c tim c) (eðte sthn AB eðte sthn CD perioq ) ston Antikeimenikì Q ro. Dojèntoc autoô tou gegonìtoc, kai se sunduasmì me thn ellip c gn sh pou èqoume tic perissìterec forèc gia to Antikeimenikì Q ro pou prokôptei wc proc thn kurtìthta, h WS prosèggish prèpei na efarmìzetai me meg lh prosoq.

53 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 53 Sq ma 13: Η Weighted Sum προσέγγιση αποτυγχάνει να βρεί κάποιες Pareto-Optimal λύσεις σε ένα μη-κυρτό Χώρο Κριτηρίων. Sq ma 14: Η εύρεση των PO λύσεων στην περιοχή BC του PO συνόρου, με τη χρήση της Weighted Sum προσέγγισης, αποτυγχάνει.

54 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS e-constraint Mèjodoc 'Opwc eðdame kat th melèth thc W.S. mejìdou, pollèc eðnai oi duskolðec pou kaloômaste na antimetwpðsoume kat thn epðlush problhm twn pou è- qoun mh-kurtoôc antikeimenikoôc q rouc. Prokeimènou na epilujoôn tètoia probl mata kai na xeperastoôn oi duskolðec pou diatup jhkan sth sqetik enìthta, probaðnoume sthn efarmog thc e-constraint mejìdou. SÔmfwna me th mèjodo aut, mða apì tic antikeimenikèc sunart seic epilègetai gia beltistopoðhsh en oi upìloipec metatrèpontai se periorismoôc. Sugkekrimèna, to arqikì PPB paðrnei thn parak tw morf : ElaqistopoÐhsh : f l (x) (16) PeriorismoÐ : f m (x) e m m =1, 2,...,M kai m l g j (x) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n Ston parap nw tôpo, h par metroc e m antiproswpeôei to p nw ìrio thc tim c thc f m, ìpou den shmaðnei aparaðthta ìti h tim eðnai arket mikr ste na teðnei sto mhdèn. Gia na doôme p c leitourgeð h e-constraint mèjodoc dðnoume èna aplì par deigma. 'Estw ìti èqoume dôo antikeimenikèc sunart seic, f 1 kai f 2 antðstoiqa. Gia thn efarmog thc sugkekrimènhc mejìdou jewroôme thn f 2 wc antikeimenik sun rthsh kai thn f 1 wc periorismì: f 1 (x) <e 1. Sto Sq ma 15 shmei nontai tèsseric diaforetikèc ekb seic gia tic di forec timèc tic e 1. EmeÐc ja melet soume thn trðth èkbash ìpou e 1 = e c 1. SÔmfwna me autìn ton periorismì, o arqikìc efiktìc Q roc KrithrÐwn (feasible objective space) diairèjhke se dôo mèrh, gia f 1 e c 1 kai f 1 >e c 1. To aristerì komm ti apoteleð thn efikt perioq tou probl matoc (16). T ra, to epìmeno b ma eðnai na brejeð h lôsh pou antistoiqeð sto el qisto thc efikt c perioq c. Apì to Sq ma 15 eðnai fanerì ìti to el qisto eðnai to 'C'. Me ton trìpo autì, se peript seic problhm twn me mh-kurtoôc antikeimenikoôc q rouc, h qr sh thc e-constraint mejìdou odhgeð kai se llec endi mesec P.O lôseic, pou eðnai exðsou shmantikèc gia thn epðlush enìc PPB. H shmantikìthta thc mejìdou aut c, anex rthta apì thn kurtìthta pou parousi zei o Antikeimenikìc Q roc, perigr fetai apì to parak tw je rhma: Je rhma 4.3 H monadik lôsh tou e-constraint probl matoc pou dðnetai apì ton tôpo (16) eðnai Pareto Optimal gia opoiod pote nw ìrio tou dianôsmatoc e =(e 1,...,e m 1,e m+1,...,e M ) T.

55 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 55 Sq ma 15: Η e-constraint μέθοδος. H apìdeixh tou jewr matoc autoô prokôptei apì thn upìjesh ìti h monadik lôsh tou e-constraint probl matoc den eðnai Pareto optimal kai en suneqeða apodeiknôetai ìti h upìjesh aut parabi zei ton orismì tou Pareto Optimality. Epomènwc, me eic topon apagwg, apodeiknôetai to parap nw je rhma Pleonekt mata Meionekt mata Gia diaforetikèc timèc tou e m, prokôptoun kai diaforetikèc Pareto Optimal lôseic. To shmantikìtero pleonèkthma thc mejìdou aut c eðnai ìti mporeð na qrhsimopoihjeð tìso gia probl mata me kurtì antikeimenikì q ro ìso kai gia probl mata me antðstoiqa mh-kurtì Antikeimenikì Q ro. Se ìti afor to rìlo tou qr sth (dhl. paroq plhrofori n), o algìrijmoc eðnai ìmoioc me autìn thc W.S prosèggishc. Sugkekrimèna, sthn W.S. apaiteðtai èna di nusma pou antiproswpeôei th barôthta k je antikeimenik c sun rthshc. Kat antistoiqða, sthn e-constraint, apaiteðtai èna di nusma apì e-timèc pou antiproswpeôei kata k poio trìpo th jèsh thc Pareto optimal lôshc. 'Allwste, mhn xeqn me ìti to shmantikìtero pleonèkthma thc mejìdou eðnai ìti mporeð na qrhsimopoihjeð gia opoiod pote tuqaðo prìblhma anex rthta apì thn kurtìthta tou antikeimenikoô q rou. 'Ena apì ta meionekt mata thc eðnai h ex rthsh thc lôsewc tou probl matoc (16) apì to ek stote di nusma e. Prokeimènou na broôme lôsh, ja prèpei h epilog tou dianôsmatoc e na eðnai tètoia ste autì na keðtetai

56 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 56 metaxô elaqðstwn megðstwn tim n thc ek stote antikeimenik c sun rthshc pou epilègetai proc beltistopoðhsh. Pio sugkekrimèna, ac epistrèyoume sto Sq ma 15, k nontac dokimèc me efarmog diaforetik n epilog n tou e. 'Etsi, an antð tou e c 1, epilèxoume to ea 1, diapist noume ìti den up rqei efikt lôsh gia to prìblhma mac. Epomènwc, sthn perðptwsh aut, kamða lôsh den mporeð na brejeð. Apì thn llh pleur, e n epilèxoume to e d 1, diapist noume ìti ìloc o q roc eðnai efiktìc kai to prìblhma èqei el qisto sto shmeðo 'D'. Epiplèon, èna akìma meionèkthma thc mejìdou eðnai h apaðthsh prìsjethc plhroforðac sthn perðptwsh pou to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn auxhjeð. Sugkekrimèna, ìso megal nei to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn aux nei par llhla kai to pl joc twn stoiqeðwn tou dianôsmatoc e. Autì me th seir tou sunep getai ntlhsh perissìterwn plhroforðac apì to qr sth. 4.4 Weighted Metric Mèjodoi Ektìc apì to jroisma twn bar n twn antikeimenik n sunart sewn, up rqoun kai lloi trìpoi prokeimènou na metatrèyoume ta probl mata poluantikeimenik n sunart sewn se mða antikeimenik sun rthsh. Gia to skopì autì metrikèc me qr sh bar n (weighted metrics) ìpwc oi l p kai l nìrmec apìstashc, qrhsimopoioôntai suqn. Gia mh-arnhtik b rh, h l p apìstash pou antiproswpeôei thn apìstash opoiasd pote lôshc x apì thn idanik lôsh z, mporeð na elaqistopoihjeð ìpwc faðnetai parak tw: ( M ) 1/p ElaqistopoÐhsh : l p (x) = w m f m (x) zm p m=1 PeriorismoÐ : g j (x) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n (17) H par metroc p mporeð na p rei timèc metaxô 1 kai. 'Otan p =1, tìte to prìblhma pou prokôptei eðnai isodônamo me èna prìblhma thc weighted sum prosèggishc. 'Otan to p = 2,tìte lamb nei q ra h elaqistopoðhsh miac weighted EukleÐdeiac apìstashc enìc opoiod pote shmeðou tou antikeimenikoô q rou apì to idanikì shmeðo. Sthn perðptwsh pou h par meroc p èqei arket meg lh tim, to parap - nw prìblhma an getai se èna prìblhma elaqistopoðhshc thc megalôterhc diafor c f m (x) z m. Autì to prìblhma eðnai gnwstì kai wc weighted Tchebycheff prìblhma:

57 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 57 ElaqistopoÐhsh : l ( X) =max M m=1w m f m ( X) zm p (18) PeriorismoÐ : g j ( X) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n Sq ma 16: Η weighted Metric μέθοδος για p =1και p =2, αντίστοιχα. Parak tw, parajètoume th gewmetrik anapar stash thc mejìdou gia tic diaforetikèc timèc thc p. Sugkekrimèna, ta Sq mata 16 kai 17 antistoiqoôn stic timèc p =1,p =2kai p =, antðstoiqa. Stic parak tw apeikonðseic, faðnontai oi bèltistec lôseic gia dôo diaforetik dianôsmata b rouc. GÐnetai katanohtì ìti gia p =1 p =2, den prokôptoun ìlec oi Pareto Optimal lôseic. Stic peript seic autèc, oi apeikonðseic deðqnoun ìti sto di sthma BC den mporeð na brejeð kami lôsh gia p =1 2. AntÐjeta, me thn efarmog thc weighted Tchebycheff metric [Sq ma 17], opoiad pote Pareto Optimal lôsh mporeð na brejeð. Je rhma 4.4 'Estw to X mia Pareto Optimal lôsh. Tìte up rqei èna jetikì di nusma b rouc 10 tètoio ste to X na eðnai mia lôsh touweighted Tchebycheff prìblhma (18), ìpoutoenlìgw shmeðo eðnai to Utopian Objective di nusma z. 10 Οταν λέμε θετικό διάνυσμα βάρους εννοούμε ότι όλα τα βάρη που το αποτελούν είναι θετικές ποσότητες.

58 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 58 Sq ma 17: Η weighted Metric μέθοδος για p =. Wstìso, eðnai axioshmeðwto to gegonìc ìti kaj c to p aux nei to prìblhma gðnetai mh-diaforðsimo (non-differentiable), me apotèlesma pollèc mèjodoi basismènec sthn plhroforða parag gou (gradient based)na mhn eðnai efiktì na efarmostoôn sthn telik diamorfwmènh mono-antikeimenik sun rthsh gia thn eôresh tou elaqðstou Pleonekt mata kai Meionekt mata thc mejìdou H weighted Tchebycheff eggu tai thn eôresh kajemðac Pareto Optimal lôshc ìtan to z eðnai èna outopikì di nusma(utopian objective vector). Parìlo pou stic parap nw anaforèc proteðnetai to l p, up rqoun kai llec metrikèc apìstashc pou efarmìzontai. Epiplèon, epeid oi diaforetikèc antikeimenikèc sunart seic mporeð na p roun diaforetik c t xewc timèc, krðnetai skìpimh h kanonikopoðhsh twn antikeimenik n sunart sewn. Autì, bèbaia, apaiteð th gn sh twn megðstwn kai elaqðstwn tim n pou mporeð na p rei kajemða apì tic sunart seic. EpÐshc, aut h mèjodoc apaiteð th gn sh thc idanik c lôshc (ideal solution). Sunep c, ja prèpei kajemi apì tic M se pl joc antikeimenikèc sunart seicnabeltistopoihjeð protoô beltistopoihjeð h antðstoiqh l p metrik.

59 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS Rotated Weighted Metric Mèjodoc AntÐ na efarmìsoume mesa th l p metrik, ìpwc aut diatup netai sth sqèsh (18), eðnai protimìtero h l p na efarmosteð me mða tuqaða peristrof perð tou idanikoô shmeðou z. 'Estw ìti oi antikeimenikoð peristrefìmenoi xonec f sundèontai me touc arqikoôc antikeimenikoôc xonec mèsw thc sqèshc: f = Rf, (19) ìpou R eðnai o pðnakac peristrof c diast sewc M M. H tropopoihmènh plèon l p metrik dðnetai apì th sqèsh: ( M ) 1/p lp w m f m (x) zm p m=1 (20) Qrhsimopoi ntac diaforetikoôc pðnakec peristrof c, h parap nw sun rthsh mporeð na elaqistopoihjeð. Sto Sq ma 18 apeikonðzetai h perðptwsh tou p =2. Sthn perðptwsh aut,h metrik eðnai isodônamh me: [ (f(x) z ) T C(f(x) z ) ] 1/2, ìpou C = R T Diag(w 1,...,w M )R. O pðnakac peristrof c R ja metasqhmatðsei touc antikeimenikoôc xonec se èna llo set axìnwn pou kajorðzetai apì ton pðnaka peristrof c: [ ] T [ ][ ] cosα sinα w1 0 cosα sinα C = sinα cosα 0 w 2 sinα cosα Qrhsimopoi ntac w 1 =0.01 kai w 2 =0.99 kai h tim thc gwnðac α [0, 90], prokôptei h akìloujh el qisth tim thc l 2 (me x =0): α x α x α x Oi lôseic apeikonðzontai sto Sq ma 19. KajemÐa apì tic lôseic pou keðtontai sto Pareto Optimal SÔnoro mporoôn na prokôyoun metab llontac thn

60 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 60 Sq ma 18: Ηεκπεριστροφήςweighted Metric μέθοδος για p =2. klðsh kai to di nusma b rouc. Gia tic peript seic pou ( to ) pl joc twn antikeimenik n sunart sewn eðnai nw tou 2, up rqoun diaforetikèc g- M 2 wnðec pou mporoôn na sunjèsoun thn peristrof tou pðnaka kai kat' epèktash sthn eôresh diaforetik n Pareto-Optimal lôsewn. Wstìso, mða duskolða pou parousi zetai kat thn prosèggish aut eðnai to meg lo pl joc twn paramètrwn pou ja prèpei na kajoristoôn. Epiplèon, se merik probl mata, to el qisto pou antistoiqeð sthn tropopoihmènh metrik l 2 mporeð na odhgeð se mða dominated lôsh, kai sunep c den eggu tai ìti p ntote ja brðskoume mða Pareto-Optimal lôsh Dunamik Metaballìmenh Idanik lôsh (Dynamically Changing the Ideal Solution) Mia llh ekdoq apokat stashc tou probl matoc mh-eôreshc Pareto Optimal lôsewn me thn arqik metrik l p (gia mikrèc timèc tou p), ja tan h ananèwsh tou shmeðou z, k je for pou ja entopðzontan mia Pareto Optimal lôsh. Me autì ton trìpo, h l p apìstash thc idanik c lôshc èrqetai ìlo kai pio kont s- to Pareto Optimal SÔnoro kai ètsi, pollèc Pareto Optimal lôseic pou arqik den tan efiktì na entopistoôn, mporeð na prokôyoun. Me k je Pareto Optimal lôsh na èqei entopisteð, ìloi oi dunatoð sunduasmoð twn antikeimenik n tim n mporoôn na morfopoihjoôn kai na suntelèsoun sthn kataskeu nèwn

61 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 61 Sq ma 19: Η τροποποιημένη l 2 μπορεί να βρεί οποιαδήποτε PO λύση. upoy fiwn idanik n lôsewn. SÔmfwna me autì, mia upoy fia lôsh h opoða den kuriarqeð kami apì tic llec lôseic (, kat kanìna, de kuriarqeð thn upoy fia} lôsh pou eðnai plhsièsterh sto Pareto-Optimal sônoro) mporeð na epilègei wc to nèo z. Sto Sq ma 20(arister ) parousi zetai h mèjodoc aut. AfoÔ, loipìn, brejoôn oi Pareto-Optimal lôseic A kai B, to idanikì shmeðo mporeð na ananewjeð kai na p rei th jèsh tou to shmeðo O.Me ton trìpo autì kajðstatai pio eôkolh, plèon, h eôresh twn Pareto Optimal lôsewn pou tan adônato na entopistoôn qrhsimopoi ntac to arqikìz. Sugkekrimèna, sto trèqon par deigma, h lôsh C eðnai mða Pareto Optimal lôsh pou ja tan adônato na entopisteð me th qr sh tou arqikoô z. 4.5 Benson s Mèjodoc H diadikasða aut eðnai parìmoia me thn prosèggish thc weighted metrik c, ektìc apì to gegonìc ìti h lôsh pou epilègetai gia thn ènarxh thc diadikasðac jewreðtai mia efikt non-pareto-optimal lôsh. H lôsh z 0 epilègetai tuqaða apì thn efikt perioq. To epìmeno b ma eðnai o upologismìc thc mharnhtik c diafor c (zm 0 f m( X)) gia k je antikeimenik sun rthsh kai èpeita th megistopoðhsh tou ajroðsmatoc aut n, ìpwc faðnetai parak tw:

62 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 62 M MegistopoÐhsh : max(0, (zm 0 f m( X))) (21) m=1 PeriorismoÐ : f m ( X) zm 0 m =1, 2,...,M g j ( X) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n Sq ma 20: α) Μετακινώντας το z πιο κοντά στο PO σύνορο, υπάρχει περίπτωση να βρεθούν περισσότερες PO λύσεις (αριστερά) και β) Απεικονίζεται η μέθοδος Benson (δεξιά). Me th bo jeia twn Sqhm twn 20(a) kai 20(b) ja dojeð h gewmetrik ermhneða thc mejìdou. Gia opoiad pote lôsh X, h parak tw sun rthsh èqei tim Ðsh me thn hmiperðmetro enìc uperkôbou me diag nia shmeða ta z 0 kai f( X). Epiplèon, ja prèpei h lôsh X na kuriarqeð asjen c ( weakly dominates )th lôsh z 0. H megistopoðhsh thc parap nw sun rthshc odhgeð sthn eôresh thc mègisthc perimètrou tou uperkôbou. 'Etsi, afoô h Pareto-Optimal perioq keðtetai entìc twn orðwn tou efiktoô q rou anaz thshc, h bèltisth lôsh tou parap nw probl matoc beltistopoðhshc eðnai mèroc tou Pareto optimal front. Sugkekrimèna, sto Sq ma 20, h metakðnhsh tou z sunep getai th metakðnhsh tou kèntrou thc metrik c. Epomènwc, apìrroia thc metakðnhshc tou kèntrou thc metrik c eðnai, pijan, h eôresh kainoôriou shmeðou tou P.O. sônoro.

63 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS Pleonekt mata - Meionekt mata Gia na mhn antimetwpðsoume probl mata me thn klðmaka twn posot twn k je sun rthshc, up rqei dunatìthta kanonikopoðhshc twn diafor n prin pragmatopoihjeð to jroisma aut n. EpÐshc, prokeimènou na prokôyoun diaforetikèc Pareto Optimal lôseic, arkeð na all xoume to di nusma bar n. Se mia tètoia perðptwsh, h qr sh tou nadðr shmeðou, z nar eðnai h katallhlìterh epilog. Sthn perðptwsh, t ra, pou to z 0 eðnai kat llhla epilegmèno, h mèjodoc aut mporeð na qrhsimopoihjeð gia thn eôresh lôsewn akìma kai se nonconvex Pareto-Optimal perioqèc. Apì thn llh pleur, se èna prìblhma beltistopoðhshc ètsi ìpwc to eðdame na diamorf netai parap nw prokeimènou na perioristeð h perioq anaz thshc pou kuriarqeð to z 0, prostðjentai èna pl joc nèwn periorism n. Epiprì- sjeta, h antikeimenik sun rthsh eðnai mh-diaforðsimh, me apotèlesma na prokaleð duskolðec gia mejìdouc epðlushc pou basðzontai se plhroforða parag gou ( gradient based). Parìlo pou èqei protajeð ènac metasqhmatismìc apì ton Ehrgott (2000) gia tic diaforðsimec antikeimenikèc sunart seic, to prìblhma beltistopoðhshc tou MAB pou prokôptei, èqei periorismoôc isot twn oi opoðoi sun jwc duskoleôoun thn epðlus tou. 4.6 Value Function Mèjodoc Sth mèjodo Sun rthsh Tim c (Value function or Utility function), o qr sthc orðzei mia majhmatik sun rthsh tim c U : R M R sumperilamb nontac ìlec tic M sto pl joc antikeimenikèc sunart seic. H Sun rthsh Tim c (U) ja prèpei na eðnai ègkurh se ìlh thn efikt perioq anaz thshc. To zhtoômeno, loipìn, thc mejìdou aut c eðnai h megistopoðhsh thc U) ìpwc faðnetai parak tw: MegistopoÐhsh : U(f( X)) (22) PeriorismoÐ : g j ( X) 0, j =1,...,J h k =0, k =1,...,K x L i x i x U i, i =1,...,n ìpou f( X) =(f 1 ( X),f 2 ( X),...,f M ( X)) T. 'Opwc faðnetai apì to parap nw tôpo thc mejìdou, h U perigr fei tic allhlepidr seic metaxô twn diaforetik n antikeimenik n sunart sewn. Sugkekrimèna, metaxô dôo lôsewn i kai j, antðstoiqa, e n h U(f(i)) > U(f(j)) tìte h lôsh i protim tai thc lôsewc j. O Rosenthal (1985) diatôpwse thn ex c prìtash: h U) prèpei na eðnai austhr fjðnousa (strong decreasing) protoô efarmosteð se èna PPB. Me

64 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 64 lla lìgia h barôthta-protðmhsh miac sun rthshc ja prèpei na aux nei ìtan mia apì tic antikeimenikèc sunarthsiakèc timèc mei netai kaj c oi upìloipec paramènoun stajerèc. 'Etsi, prokôptei to parak tw je rhma (Miettinen (1999)): Je rhma 4.5 'Estwìti h sun rthsh tim c U : R M R eðnai austhr fjðnousa (strong decreasing). EpÐshc, jewroôme ìti h U epitugq nei to mègisto thc sto f. Tìte, to f eðnai Pareto-Optimal. Sto Sq ma 20, faðnetai h apeikìnish twn isoôy n miac mh-grammik c sun rthshc tim c U. Lìgw thc fôsewc twn isoôy n, h lôsh tou PPB keðtetai se ekeðnh thn isoôy pou ef ptetai sto P.O. sônoro kai eðnai h 'A'. Sto shmeðo autì krðnetai aparaðthto na tonisjeð ìti h V.F. mèjodoc epistrèfei mìno MIA lôsh k je for. Bèbaia, metab llontac tic paramètrouc thc V.F. mejìdou, ja prokôptoun kai llec, diaforetikèc twn arqik n, P.O lôseic. 'Etsi, kat mða ènnoia, oi Weighted Sum kai oi Metrikèc proseggðseic mporoôn na jewrhjoôn eidikèc peript seic thc V.F. prosèggishc Pleonekt mata - Meionekt mata H jetik pleur twn mejìdwn aut n eðnai, kurðwc, h aplìthta touc. KrÐnontai idanikèc kai arket apotelesmatikèc ìtan oi plhroforðec pou diatðjentai gia to PPB eðnai eparkeðc. Oi V.F. mèjodoi qrhsimopoioôntai kurðwc gia PPB me diakritì sônolo efikt n lôsewn (Keeney & Raifa, 1976), qwrðc autì na apokleðei kai thn efarmog touc se suneqeðc Q rouc Anaz thshc. Apì thn llh pleur, to gegonìc ìti h lôsh exart tai apì thn epilog thc ek stote V.F, apoteleð kai to trwtì shmeðo twn proseggðsewn aut n. EpÐshc, o periorismìc thc qr shc miac V.F pou prèpei eðnai ègkurh se ìlo to Q ro Anaz thshc, mporeð na odhg sei se uper-aplopoihmènec morfèc V.F., gegonìc pou mporeð na apofèrei auxanìmeno upologistikì kai qronikì kìstoc.

65 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS Goal Programming Mèjodoi Genik H Goal Programming mèjodoi (GP M) eðnai mða apì tic pr tec mejìdouc pou dhmiourg jhkan mèsa se polô mikrì qronikì di sthma gia thn epðlush PPB (Charnes et al., 1955; Charnes and Coorer, 1961). Oi mèjodoi autèc arqik axiopoi jhkan gia thn epðlush Polu-antikeimenik n Grammik n Problhm twn BeltistopoÐhshc (Ignozio, 1985) Eisagwg H basik idèa stic GP M eðnai ìti o LA kaleðtai na prosdiorðsei gia k je antikeimenik sun rthsh èna prosdok meno epðpedo (aspiration level) z i, (i = 1,...,k) kai en suneqeða na elaqistopoihjoôn oi apoklðseic twn sunarthsiak n tim n pou shmei nontai apì ta epðpeda aut. 'Enac leptìc diaqwrismìc metaxô twn ennoi n: antikeimenik sun rthsh, periorismìc, stìqoc, faðnetai mèsa apì èna aplì par deigma. 'Otan anaferìmaste sthn elaqistopoðhsh thc tim c enìc pro ìntoc anaferìmaste se mða antikeimenik sun rthsh. All, e n epijumoôme h tim aut na eðnai kai mikrìterh twn pq. 200 eur tìte anaferìmaste se stìqo. Tèloc, e n prèpei h tim tou pro ìntoc na eðnai mikrìterh twn 200 eur, tìte gðnetai lìgoc gia ènan periorismì. 'Etsi, mia antikeimenik sun rthsh se sunduasmì me to epðpedo prosdokðac pou thc antistoiqeð apoteloôn ènan stìqo. Sugkekrimèna, se probl mataelaqistopoðhshc, oi stìqoi èqoun th morf : f i (x) z i kai ta epðpeda prosdokðac upojètoume ìti lamb nontai me tètoio trìpo ste na mhn eðnai tautìqrona epiteôxima. 'Etsi, afoô diamorfwjoôn oi stìqoi prèpei na akolouj sei h elaqistopoðhsh twn apoklðsewn δ i = max[0,f i (x) z i ] pou shmei noun oi antikeimenikèc sunarthsiakèc timèc. AxioshmeÐwto eðnai, epðshc, to gegonìc ìti oi stìqoi eðnai thc Ðdiac morf c me touc periorismoôc enìc probl matoc. Gia to lìgo autì mporoôme na lamb noume upìyh mac touc periorismoôc wc uposônolo twn stìqwn. Tìte gðnetai lìgoc gia mia genikeumènh GP generalized goal programming prosèggish. Sthn perðptwsh aut, oi stìqoi mporoôn na diakrijoôn an loga me thn prosarmostik touc ikanìthta seflexible kai inflexible, ìpou oi periorismoð ent ssontai sth deôterh kathgorða. Oi parallagèc thc GP M prosèggishc poikðloun an loga me to sunduasmì aut cme llecproseggðseic. Gia par deigma, sthn Weighted Goal Programming prosèggish (Charnes and Cooper, 1977), diex getai h elaqistopoðhsh tou ajroðsmatoc twn ginomènwn twn apoklðsewn pollaplasiasmènec me èna suntelest b rouc.(weighted derivations). Autì shmaðnei ìti o LA ja prèpei na prosdiorðsei tìso ta epðpeda apoklðsewn ìso kai ta (jetik ) b rh pou

66 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 66 antistoiqoôn se k je apìklish δ i. Epomènwc, to prìblhma diamorf netai wc ex c: ElaqistopoÐhsh : k w i δ i i=1 PeriorismoÐ : f i ( X) δ i z i, gia ìla ta i =1,...,k (23) δ i 0, gia ìla ta i =1,...,k X Ω ìpou δ i (i =1,...,k) eðnai oi metablhtèc pou antiproswpeôoun tic apoklðseic. Mia llh parallag thc prosèggishc aut c eðnai h Lexicographic Goal Programming prosèggish, ìpou o LA kaleðtai na prosdiorðsei tìso ta epðpeda prosdoki n ìso kai th Lexikografik Seir /Taxinìmhsh 11 twn stìqwn. 'Etsi, afoô diamorfwjoôn kai taxinomhjoôn oi stìqoi pou ja apotelèsoun tic antikeimenikèc sunart seic tou probl matoc, kaloômaste na to epilôsoume lamb nontac upìyh mac kai touc periorismoôc (23). EpÐshc, mia llh ekdoq thc mejìdou aut c eðnai h min-max Goal Programming prosèggish (Flaver, 1976) ìpou, k je for, to mègisto twn apoklðsewn elaqistopoieðtai kai efarmìzetai mia meta-goal Programming prosèggish, ìpou diaforetik c fôsewc G.P. teqnikèc enswmat nontai me skopì thn epðlush tou probl matoc. Tèloc, up rqei h dunatìthta sunduasmoô thc me k poia k poiec -ek twn proanaferìmenwn- proseggðsewn. Gia par deigma, ènac sunduasmìc twn weighted kai twn lexicographic proseggðsewn Analutik 'Opwc eðdame kai parap nw, h kôria idèa tou goal programming eðnai h eôresh lôsewn pou epitugq noun èna prokajorismèno stìqo pou afor mia perissìterec ek twn antikeimenik n sunart sewn. E n den up rqei lôsh pou ikanopoieð ènac prokajorismèno stìqo tìte to jèma eðnai na brejoôn lôseic pou ja elaqistopoioôn tic apoklðseic twn lôsewn apì to arqikì stìqo. Se antðjeth perðptwsh, e n up rqei mia lôsh pou ikanopoieð ton epijumhtì stìqo, o skopìc miac GP M eðnai na prosdiorðsei aut th lôsh. H diafor twn proseggðsewn aut n eggu tai sto gegonìc ìti mða ikanopoihtik lôsh(dhl. mia lôsh pou ikanopoieð to LA) mporeð na gðnei apodekt qwrðc aparaðthta na eðnai Pareto bèltisth. 11 Η Λεξικογραφική κατάταξη των αντικειμενικών συναρτήσεων κατά την προσέγγιση αυτή γίνεται από τον ΛΑ, με κριτήριο την απόλυτη σημαντικότητα τους (absolute importance).

67 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS Weighted G.P. Mèjodoc 'Opwc kai sth W.S mèjodo, ètsi kai ed, o LA prèpei na prosdiorðsei k poiouc suntelestèc bar n. H teqnik shmasða twn bar n, ed, eðnai na apod soun to pìso shmantik eðnai h epðteuxh tou ek stote Prosdok menou Epipèdou. Me lla lìgia, ìso megalôterh eðnai h tim tou suntelest -b rouc tìso shmantikìterh eðnai h epðteuxh tou prosdok menou epipèdou. H majhmatik sqèsh tou probl matoc autì dðnetai parak tw: ElaqistopoÐhsh : k i=1 PeriorismoÐ : f i ( X) δ i z i, i =1,...,k (24) X Ω δ i 0, i =1,...,k ìpou k i=1 w i =1 T ra, ta pleonekt mata kai ta meionekt mata thc mejìdou aut c eðnai antðstoiqa ekeðnwn pou parousi zei h WSM. Par deigma DÐnontai oi stìqoi : stìqoc 1oc : f 1 =10x 1 2 stìqoc 2oc : f 2 = 10 + (x 2 5) 2 10x 1 2 periorismoð : Ω = (0 x 1, 0 x 2 10) Sto Sq ma 21(arister ), faðnetai h perioq Apìfashc, pou perièqei kai ton efiktì Q ro lôsewn. Oi stìqoi eðnai oi grammoskiasmènec perioqèc sto Sq ma 21, oi opoðoi sqhmatðzoun to legìmeno Q ro-stìqo (target Space). 'Opwc mporoôme na diapist soume, den up rqei mða efikt lôsh pou ikanopoieð kai touc dôo stìqouc. Epomènwc, h telik lôsh autoô tou probl matoc ja parabi zei k poion kai touc dôo parap nw stìqouc, all me mða ènnoia el qisthc parabðashc} aut n. H epðlush tou probl matoc autoô me thn efarmog WSGP, apodðdetai me to parak tw mh-grammikì prìblhma:

68 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 68 Sq ma 21: Οπτικοποίηση του GP προβλήματος στο Χώρο Λύσεων(αριστερά) και στο Χώρο Κριτηρίων(δεξιά). ElaqistopoÐhsh : w 1 δ 1 + w 2 δ 2 (25) periorismoð : f 1 =10x 1 2 f 2 = 10 + (x 2 5) 2 10x 1 2 (0 x 1, 0 x 2 10),δ 1,δ 2 0 Melet ntac th grafik par stash, Sq ma 21, ja katast soume saf thn efarmog miac GP prosèggishc. AfoÔ kamða lôsh apì to Q ro LÔsewn ( Q ro Apof sewn) den an kei sto Q ro KrithrÐwn ( Antikeimenikì Q ro), tìte skopìc thc prosèggishc eðnai na brejeð mða lôsh sto Antikeimenikì Q ro pou ja elaqistopoieð thn apìklish pou orðzoun oi stìqoi kai twn dôo antikeimenik n sunart sewn apì to Q ro-stìqo. Parak tw, ja d soume trða diaforetik sen ria, an loga me tic timèc pou dðnontai sta b rhw 1,w 2. H epilog enìc set tim n gia ta w 1,w 2 sunteleð, ousiastik, sth dhmiourgða miac epiplèon teqnht c sun rthshs-periorismoô ektìc tou AntikeimenikoÔ Q rou. 'Etsi, h antikeimenik sun rthsh w 1 δ 1 + w 2 δ 2 par gei isoôyeðc (gnwstèc wc ArqimeÐdiec isoôyeðc), ìpwc faðnetai sto Sq ma 21, o rìloc twn opoðwn gðnetai antilhptìc parak tw. Kat th diexagwg thc elaqistopoðhshc tou probl matoc (25) gia èna zeôgoc bar n-tim n, prokôptei mia lôsh ìpou oi en lìgw isoôyeðc èqoun <<d sei>> mia efaptìmenh ston Antikeimenikì Q ro. E n t ra, stic antikeimenikèc sunart seic apodojeð to Ðdio b roc (dhl. w 1 = w 2 =0.5), tìte èqoume thn el qisth isoôy c. Sugkekrimèna:

69 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 69 Ekdoqèc {Gia w 1 = w 2 =0.5} lôsh <<A>> me (x 1 =0.3162,x 2 =5.0) (δ 1 = δ 2 =1.162) f 1 =3.162,f 2 =3.162 [oi stìqoi parabi zontai!] {Gia w 1 =1,w 2 =0} lôsh <<B>> me (x 1 =0.2,x 2 =5.0) (δ 1 =0,δ 2 =3.0) {Gia w 1 =0,w 2 =1} lôsh <<C>> me (x 1 =0.5,x 2 =5.0) (δ 1 =3.0,δ 2 =0) Parathr ntac, loipìn, th grafik apeikìnish Sq ma 21(arister ), gðnetai katanohtì ìti sto di sthma pou orðzetai apì ta 0.2 x 1 0.5,x 2 = 0.5, keðtontai pl joc lôsewn tou probl matoc, ìpou kajemi apì autèc antistoiqeð se diaforetik b rh. Epomènwc, sumperaðnoume ìti h lôsh enìc probl matoc GP exart tai mesa apì tic diaforetikèc timèc twn bar n Lexicographic G.P. Mèjodoc SÔmfwna me thn prosèggish aut, oi diaforetikoð stìqoi kathgoriopoioôntai se xeqwrist epðpeda an loga me to bajmì protðmhshc touc. O stìqoc me to uyhlìtero epðpedo proteraiìthtac eðnai pio shmantikìc apì ènan stìqo qamhlìterhc proteraiìthtac. To gegonìc thc shmantikìthtac enìc stìqou eðnai anex rthto apì to suntelest b rouc pou mporeð na tou apodojeð. 'Etsi, gðnetai katanoht h shmantikìthta pragmatopoðhshc twn stìqwn tou pr tou-epipèdou proteraiìthtac protoô l boume upìyh mac touc stìqouc tou deôterou epipèdou proteraiìthtac ktl. Kat Ignizio (1976), h upìjesh aut eðnai polô praktik, parìlo pou up rxan arketèc kritikèc pou upost rizan to antðjeto(zeleny, (1982)). H morf tou probl matoc dðnetai parak tw: lex ElaqistopoÐhsh : w 1 f 1 ( X) z 1,...,w k f k ( X) z k (26) PeriorismoÐ : f i ( X) δ i z i, i =1,...,k X Ω ìpou oi antikeimenikèc sunart seic f i ( X) eðnai kat lexikografik seir apì thn pio shmantik f 1 èwc thn el qista shmantik f k. 'Amesa prokôptei to parak tw je rhma: Je rhma 4.6 H lôsh tou LexikografikoÔ probl matoc (26) eðnai Pareto bèltisth. H prosèggish aut diamorf nei kai epilôei èna pl joc neodhmiourghjèntwn Goal programming problhm twn. Se pr th f sh, mìno oi stìqoi 1 ou epipèdou proteraiìthtac kaj c kai oi periorismoð tou ek stote probl matoc

70 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 70 Sq ma 22: Η γενική φιλοσοφία των Lexicographic προσεγγίσεων. lamb nontai upìyh sth diamìrfwsh tou G.P. probl matoc kai akoloôjwc sthn epðlush autoô. An, t ra, h epðlush tou 1 ou epipèdou proteraiìthtac d sei mða monadik lôsh tìte h epðlush stamat kai deqìmaste th lôsh aut wc telik lôsh tou probl matoc. Se antðjeth perðptwsh, dhlad ìtan prokôptei pl joc lôsewn, tìte akoloujeð h diamìrfwsh enìc llou G.P. probl matoc apì stìqouc tou 2 ou epipèdou proteraiìthtac aut n th for. Wstìso, oi stìqoi tou 1 ou epipèdou qrhsimopoioôntai wc isquroð periorismoð 2 ou epipèdou ètsi ste h lôsh pou prokôptei na mhn parabi zei touc stìqouc tou 1 ou epipèdou. Aut h diadikasða suneqðzetai me stìqouc ìlo kai qamhlìterou epipèdou proteraiìthtac èwc ìtou h epðlush enìc ek twn G.P. problhm twn pou dhmiourgoôntai, odhg sei se monadik lôsh. 'Otan autì l bei q ra, ìloi oi stìqoi mikrìterwn epipèdou proteraiìthtac pou akoloujoôn den èqoun plèon kanèna nìhma kai eðnai gnwstoð wc << pleon zontec stìqoi>> (redundant goals) Min-Max G.P. Mèjodoc H prosèggish aut eðnai ìmoia me thn antðstoiqh weighted goal programming prosèggish, mìno pou antð na elaqistopoieðtai to jroisma twn ginomènwn bar n-apoklðsewn, elaqistopoieðtai h apìklish k poiou ek twn stìqwn. 'Etsi, diamorf netai to parak tw mh grammikì prìblhma ProgrammatismoÔ(nonlinear programming problem) [Deb K., 2001]:

71 4 MH-ALLHLEPIDRASTIK ES PROSEGG ISEIS 71 ElaqistopoÐhsh : d PeriorismoÐ : α i p i + β i n i, i =1,...,k f i (x) p i + n i = t i, i =1,...,k (27) x S n i,p i 0, i =1,...,k Sq ma 23: Η Lexicographic προσέγγιση. Ed, h par metroc d antiproswpeôei th mègisth apìklish opoioud pote ek twn stìqwn. H mèjodoc aut apaiteð thn epilog twn paragìntwn-bar n α j kai β j, me apotèlesma h prosèggish na gðnetai mia diadikasða upokeimenik. Dhlad, h epilog twn paragìntwn eðnai kajar upokeimenik afoô eðnai proswpik upìjesh tou ek stote qr sth. Kat k poio trìpo, h prosèggish aut eðnai parìmoia me thn weighted Tchebycheff prosèggish, mìno pou sthn paroôsa prosèggish h idanik lôsh z antikajðstatai me th lôsh-stìqo.

72 5 EXELIKTIK ES & ALLHLEPIDRASTIK ES M EJODOI 72 5 Exeliktikèc & Allhlepidrastikèc Mèjodoi 5.1 Exeliktikèc Mèjodoi (Evolutionary Methods ) H pr th ulopoðhsh enìc exeliktikoô algorðjmou gia thn epðlush twn PP- B - pou stic mèrec mac onom zoume MOEA (Multi-Objective Evolutionary Algorithm)- èlabe q ra to 1984 apì ton David Schaffer sto plaðsio thc didaktorik c tou diatrib c. Oi MOEA eðnai idiaitèrwc kat llhloi gia thn epðlush twn PPB, diìti uposthrðzoun thn eôresh kai to qeirismì enìc sunìlou pijan n lôsewn(to legìmeno <<plhjusmì>>). Autì èrqetai se antðjesh me touc klassikoôc -mèqri tìte- algìrij- mouc epðlushc twn PPB ìpou upost rizan thn eôresh mðac lôshc se k je epan lhyh. To gegonìc ì,ti oi MOEA uposthrðzoun thn eôresh pl jouc <<mel n>> apì to Pareto sônolo se èna mìno <<trèximo>> tou algorðjmou 12, k ti pou aitiologeð mesa th shmantikìthta kai to kôroc pou èqoun gia thn epðlush twn PPB. Epiprìsjeta, oi MOEA eðnai ligìtero eu lwtoi sta qarakthristik pou parousi zei to Pareto sônolo(dhl. sto sq ma, th sunèqeia, thn kurtìthta ktl) kai mporoôn me eukolða na diaqeirðzontai PPB pou pq. parousi zoun asunèqeia ston Pareto sônoro. Mia akìma jetik pleur twn MOEA se sôgkrish me tic klassikèc proseggðseic (MOOP) eðnai ìti den esti zoun mìno sthn anaz thsh mìno sth l yh apìfashc metaxô pollapl n krithrðwn, all sundu zoun armonik kai tic dôo enèrgeiec. Sugkentrwtik, afoô se k je epan lhyh qrhsimopoieðtai èna plhjusmìc lôsewn, h èxodoc enìc EA ja eðnai epðshc, ènac plhjusmìc lôsewn. E n, t ra, to prìblhma beltistopoðhshc èqei mða monadik lôsh, gðnetai katanohtì ìti ìla ta mèlhtou plhjusmoô anamènetai na sugklðnoun se aut n (dhl. sth bèltisth lôsh). 5.2 Allhlepidrastikèc Mèjodoi (Interactive Methods) Oi mèjodoi autoð diakrðnontai se treðc upokathgorðec: trade-off based methods referenced point approaches classification-base methods 12 Με τη χρήση κλασσικών αλγορίθμων θα έπρεπε να γίνει μια σειρά ξεχωριστών τρεξιμάτων.

73 5 EXELIKTIK ES & ALLHLEPIDRASTIK ES M EJODOI 73 Sq ma 24: Η γενική φιλοσοφία των Interactive μεθόδων. H genikìterh filosofða twn mejìdwn aut n apodðdetai se èna di gramma [blèpe Sq ma 24]

74 5 EXELIKTIK ES & ALLHLEPIDRASTIK ES M EJODOI 74 Gia thn pr th upokathgorða: Sth gl ssa thc PB, mða antist jmish (trade-off) antiproswpeôei to pìso mia antikeimenik sun rthsh mporeð na qeirotereôsei} prokeimènou na eunohjeð} mða llh. Pio sugkekrimèna, èna trade-off metr thn allag pou shmei netai se mða antikeimenik sun rthsh se sqèsh me thn allag pou shmei netai se mða llh(autì kaleðtai kai objective trade-off). Apì thn llh pleur, èna trade-off mporeð na metr to kat pìso o LA eðnai diatejeimènoc na jusi sei} tic arqikèc tou prosdokðec gia mia sunarthsiak tim prokeimènou na beltiwjeð mia llh antikeimenik sun rthsh kat sugkekrimènh posìthta (autì kaleðtai subjective trade-off). Autèc akrib c oi ekdoqèc mporoôn na qrhsimopoihjoôn mèsa se mða epanalhptik diadikasða Allhlepidrastik c prosèggishc me skopì th metakðnhsh mac apì mða P.O. lôsh se mða llh. Gia th deôterh upokathgorða: Se di rkeia 30 qrìnwn apasqìlhshc thc episthmonik c koinìthtac me thn prosèggish tou ShmeÐou Anafor c (reference point), èna shmantikì pl joc mejodologi n kai axiwm twn pou sthrðzontai se autì kai perigr foun ta epijumht qarakthristik miac diadikasðac l yhc apìfashc, èqoun prosdioristeð. Oi perissìterec apì autèc ekfr zoun thn empeirða kai thn praktik skhsh thc diadikasðac l yhc apof sewn. Dhlad, mèsw twn dokim n me di fora shmeða anafor c (pq. prosdok mena epðpeda), gðnontai sugkrðseic kai parathr seic pou aforoôn thn exèlixh thc mejìdou kai th l yh apìfashc. Ta basikìtera qarakthristik aut n twn proseggðsewn eðnai: a) o LA prosdiorðzei ta shmeða anafor c kai en suneqeða èna sôsthma upost rixhc apof sewn DSS [blèpe par.(6.0.2) ] upologðsei mða oudèterh lôsh, prokeimènou na xekin sei h diadikasða epðlushc tou PPB b) to DSS megistopoieð mia kat llhla diamorfwmènh sun rthsh(dhl. to sunduasmì twn antikeimenik n sunart sewn tou PPB) kai o LA basðzetai stic plhroforðec pou prokôptoun apì thn ektðmhsh twn perijwrðwn kai twn prosdok menwn epipèdwn twn antikeimenik n sunart sewn, entìc p nta twn epitrepìmenwn perijwrðwn kai g) tèloc, o LA èqei th dunatìthta na tropopoieð ta shmeða anafor c kat boôlhsh. Autì tou prosfèrei th dunatìthta peiramatismoô kai sugkèntrwshc plhrofori n gia to tð mporeð na sumbaðnei se lla mèrh tou PO sunìlou. To st dio autì, profan c, sumb llei apotelesmatik sth l yh pio euno k n apof sewn.

75 5 EXELIKTIK ES & ALLHLEPIDRASTIK ES M EJODOI 75 GiathtrÐth upokathgorða: H kentrik idèa twn mejìdwn aut n basðzetai- ìpwc mac prodiajètei kai o tðtloc - sthn kathgoriopoðhsh twn mejìdwn aut n an loga me tic protim seic tou LA. Pio sugkekrimèna, o LA kaleðtai na diakrðnei poièc apì autèc prèpei na beltiwjoôn kai poièc mporoôn na qeiroterèyoun, dojèntoc twn treqous n tim n pou touc antistoiqoôn. Me lla lìgia, gnw- stopoieðtai sto LA h trèqousa Pareto bèltisth lôsh kai tou zhteðtai na dhl sei poièc allagèc m- poroôn na shmeiwjoôn stic antikeimenikèc sunarthsiakèc timèc ja odhg soun se mða pio epijumht lôsh. 'Eqei apodeiqjeð(larichev, 1992) ìti h kathgoriopoðhsh twn antikeimenik n sunart sewn eðnai ènac gnwstikìc jemeli dhc trìpoc èkfrashc twn plhrofori n protðmhshc tou LA. Genik, oi kl seic stic opoðec diakrðnontai oi antikeimenikèc sunart seic eðnai: 1. (I <) : oi timèc twn opoðwn prèpei na beltiwjoôn apo to trèqon epðpedo 2. (I ): oi timèc twn opoðwn prèpei na beltiwjoôn ewc èna epijumhtì/prosdok meno epðpedo 3. (I =) : oi timèc twn opoðwn eðnai apodektèc sth trèqousa lôsh 4. (I ) : oi timèc twn opoðwn mporoôn na qeiroterèyoun èwc èna nw ìrio 5. (I ) : oi timèc twn opoðwn proswrin mporoôn na metab llontai eleôjera MetaxÔ twn diafìrwn mejìdwn thc kathgorðac aut c, diakrðnoume th mèjodo NIMBUS. Sthn epìmenh enìthta ja akolouj sei mia sunoptik anafor sth mèjodo aut me aform to om numo logismikì epðlushc PPB, NIMBUS pou sthrðzetai sth logik thc mejìdou aut c. Epilèxame na asqolhjoôme me aut n th mèjodo giatð eðnai mða apì autèc pou kataskeu sthkan gia thn antimet pish meg lwn kai apaithtik n mh-grammik n polu-antikeimenik n problhm twn beltistopoðhshc.

76 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 76 6 Logismikì (SoftWare) Genik H exèlixh twn upologist n kai h prìodoc pou shmei jhke sthn anaparagwg, sthn apoj keush kai sthn euqèreia twn upologistik n dunatot twn pou prosfèroun ta kainoôria logismik kajistoôn efikt thn paragwg kai parousðash pio elkustik n kai apaithtik n logismik n gia thn epðlush PP- B. Oi pio apodotikoð upologistèc, gia par deigma, kajistoôn efikt thn u- lopoðhsh allhlepidrastik n algorðjmwn, afoô polô gr gora mporoôn na antapokrijoôn stic apait seic tou LA qwrðc na apaitoôn apì to qr sth meg lh anamon kai endeqomènwc dusarèskeia. Parìla aut, lamb nontac upìyh mac thn poluplokìthta twn mejìdwn pou anaptôssontai gia thn epðlush mh-grammik n PPB, to pl joc twn eurèwn diadedomènwn kai filik n proc to qr sth upologistik n programm twn pou diatðjentai, eðnai sqetik mikrìc. Autì sumbaðnei giatð h fôsh twn problhm twn aut n èqei pollèc apait seic se epðpedo katanìhshc kai org nwshc twn PPB. Gia to lìgo autì, ta prosferìmena sto koinì upologistik logismik pou anafèrontai sta PPB eðnai el qista, afoô ta perissìtera ex aut n kalôptoun an gkec kurðwc se akadhma kì ereunhtikì epðpedo Eisagwg Ta perissìtera logismik pakèta pou èqoun kataskeuasteð gia thn axiopoðhsh twn PPB èqoun to rìlo enìc Sust matoc Upost rixhc Apof sewn (Decision Support Systems or DSSs) polu-antikeimenik n problhm twn. Ta DSSs mporoôn na orisjoôn wc allhlepidrastik upologistik sust mata ta opoða eðnai ètsi sqediasmèna ste na bohjoôn kai na uposthrðzoun th diadikasða l yhc apìfashc. Me lla lìgia, h kôria apostol touc eðnai na bohj soun to LA sthn pio apotelesmatik epðlush tou probl matoc kai sth diexagwg kalôterwn apof sewn. Ta kôria mèrh enìc DSSs eðnai èna montèlo (algorijmikì-majhmatikì), è- nac epilôthc - beltistopoiht c} kai mða epif neia diasôndeshc tou montèlou me ton epilut kai to qr sth. Lègontac epif neia diasôndeshc ennooôme th gl ssa kai to trìpo eisìdou kai antallag c plhrofori n kaj c kai thn parousðash twn apotelesm twn. Autì, ìpwc gðnetai katanohtì, eðnai sqediastik kai upologistik polô apaithtikì. EpÐshc, me ton ìro montèlo ennooôme èna majhmatikì algìrijmo pou uposthrðzei th diaqeðrish twn dedomènwn kai enìc kat llhlou perib llontoc allhlepðdrashc tou qr sth me to logismikì. Ed, eðnai epijumhtì profan c èna montèlo pou ekfr zei } th dom pou o qr sthc èqei uiojet sei. Gi' autì kai h energ summetoq tou qr -

77 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 77 sth eðnai shmantik sthn an ptuxh twn DSSs. Gia perissìterec plhroforðec, o endiaferìmenoc mporeð na anatrèxei sta rjra twn [Jelassi et al. (1985), Olkucu (1989), Lewandowski (1986), Sainfort et al. (1990), Weistroffer & Narula (1997)]. Parak tw parousi zoume mia lðsta logismik n( DSSs) pou uposthrðzoun tìso th melèth ìso kai thn epðlush twn PPB [gia perissìterec plhroforðec BLEPE [19]]: modefrontier OPTIMUS isight NIMBUS PROMOIN MKO-2 ParetoFrontViewer PolÔ sunoptik, to idanikì logismikì, sômfwna me touc Poles S., Vassileva M., Sasaki D., eðnai èna logismikì tou opoðou to upologistikì perib llon uposthrðzei th diadikasða thc stadiak c an meixhc tou LA kai tou parèqei ìla ta aparaðthta ergaleða gia thn - pijan - anaprosarmog tou PPB, me stìqo thn epðlus tou }. H perigraf enìc idanikoô logismikoô eðnai polô kont sthn perigraf enìc sônjetou oloklhrwmènou perib llontoc ìpwc PIDO and PSE[Gallopoulos et al.,1991 Hoystis et al.,1997]. Aut parèqoun sto qr sth ìla ta aparaðthta ergaleða gia thn epðlush PPB kai thn aparaðthth upost rixh gia l yh apof sewn. 'Ena idanikì ergaleðo ja prèpei na èqei ta ex c qarakthristik : diepif neia eôkolhc qr shc grafik n èna sônolo mejìdwn beltistopoðhshc èna kalì ergaleðo anapar stashc twn apotelesm twn èna kalì ergaleðo epilog c twn telik n lôsewn dunatìthta metasqhmatismoô (meta-modeling )twn montèlwn akrðbeia, stajerìthta kai axiopistða twn lôsewn

78 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 78 EpÐshc, h ikanìthta metasqhmatismoô-met plashc kai isquropoðhshc twn montèlwn eðnai ousiastik ìtan up rqoun qronikèc apait seic gia touc sunarthsiakoôc upologismoôc. Tèloc, h stajerìthta (robustness) kai h axiopistða (reability) twn lôsewn eðnai pr tisthc an gkhc kai krit rio epilog c enìc kaloô sqediastik logismikoô. Poll apì ta parap nw qarakthristik gnwrðsmata mporoôn na lhfjoôn kai wc krit ria poiotikoô mètrou tou ek stote logismikoô. Ta shmantikìtera ìmwc ìlwn eðnai h epektasimìthta kai h diat rhsh aut n twn ergaleðwn kaj c kai o bajmìc antapìkris c touc stic apait seic tou LA. 'Opwc ja doôme sthn poreða thc paroôsac ergasðac, gia thn epðlush twn PPB apaitoôntai dôo f seic : a) to st dio thc beltistopoðhshc kai b) to st dio thc L yhc apìfashc. 6.1 Perigraf LeitourgÐac LogismikoÔ NIMBUS Sthn paroôsa enìthta, to logismikì pou ja parousi soume eðnai to NIMBUS (Miettinen K., Makela M. (2000, 2004)) kai sthrðzetai ston omìnumo algìrijmo epðlushc allhlepidrastik n proseggðsewn gia thn epðlush twn PPB, NIMBUS algìrijmoc. Ta basik b mata tou NIMBUS algorðjmou dðnontai parak tw: 'Estw A to sônolo twn lôsewn pou krat me kat thn epðlush. Arqik to A =, kai to arqikì shmeðo thc diadikasðac epðlushc tou PPB mporeð na dojeð apì to LA mporeð na eðnai èna oudètero sumbibastikì shmeðo (neutral compromise solution) metaxô twn antikeimenik n sunart sewn. 'Etsi, akoloujoôn ta parak tw b mata: 1. Par gei èna PO arqikì shmeðo 2. zht apì to LA na kathgoriopoi sei tic antikeimenikèc sunart seic s- to trèqon shmeðo kai na prosdiorðsei ta pijan prosdok mena epðpeda kaj c kai ta nw fr gmata twn antikeimenik n sunart sewn 3. zht apì to LA na prosdiorðsei to mègisto pl joc diaforetik n lôsewn pou epijumeð na paraqjeð (apì èna èwc tèssera), ètsi ste na epilujoôn ta antðstoiqa- is rijma- upoprogr mmata 4. parousi zei sto LA tic (di forec) nèec lôseic pou prokôptoun 5. e n o LA epijumeð na krat sei mða perissìterec se pl joc lôseic sto A, apl tic sumperilamb nei sto sônolo A 6. e n o LA DEN epijumeð na dei endi mesec lôseic metaxô opoiond pote dôo lôsewn tìte metakineðtai sto B ma 8. Diaforetik, zht apì to LA na epilèxei metaxô poi n dôo lôsewn (eðte apì tic kainoôriec eðte

79 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 79 apì tou sunìlou A) epijumeð na l bei endi mesec timèc kai en suneqeða tou zht na prosdiorðsei to pl joc twn endi meswn lôsewn 7. par gei to epijumhtì pl joc endi meswn lôsewn kai afoô problhjoôn(dhl. tic parousi sei gia ektðmhsh sto PO sônolo) epistrèfei sto B ma 4 8. zht apì to LA na epilèxei metaxô twn kainoôriwn paraqjèntwn lôsewn twn endi meswn lôsewn apì to A, ekeðnh th lôsh pou eðnai pio kont stic protim seic tou. En suneqeða, zht apì to LA na th dhl sei wc thn trèqousa lôsh kai an epijumeð na suneqðsei, tìte epistrèfei sto B ma 2. Diaforetik h diadikasða TERMATIZEI.

80 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) UlopoÐhsh enìc PPB me to logismikì NIM- BUS Parak tw ja epilôsoume, me th bo jeia tou logismikoô NIMBUS, pou diatðjetai sto diadðktuo, èna PPB. To en lìgw PPB, perigr fetai parak tw: DhmiourgÐa Nèou Probl matoc H pr th fìrma [Sq ma 25] pou emfanðzetai mac zht na sumplhr soume ta basik qarakthristik tou probl matoc. Sugkekrimèna, mac zht to tðtlo tou probl matoc, mia sunoptik perigraf, to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn, to pl joc twn metablht n kai llwn stoiqeðwn ìpwc pl joc grammik n mh grammik n periorism n ktl. AfoÔ kataqwr soume aut ta stoiqeða mac parapèmpei sthn epìmenh fìrma. Sq ma 25: Περιγραφή προβλήματος στο NIMBUS Software.

81 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) EÐsodoc Probl matoc H deôterh fìrma [Sq ma 26]mac zht na katagr youme tic antikeimenikèc sunart seic pou epijumoôme na beltistopoi soume kaj c kai tic metablhtèc, dðnontac èna arqikì shmeðo gia thn ènarxh thc epðlushc tou PPB. Ed, to pl joc twn antikeimenik n sunart sewn eðnai èxi kai to pl joc twn metablht n apìfashc eðnai dôo. 'Etsi, orðzoume tic antikeimenikèc sunart seic epilègontac kai thn enèrgeia min/ max gia kajemða. Sugkekrimèna, è- qoume: me periorismoôc: max 2x 1 +3x 2 (28) min (x 1 4) 2 + x2 2 min x 1 x 2 min x 1 x 2 min 50x x4 2 min 30(x 1 5) (x 2 3) 4 1 x 1 3 (29) 1 x 2 3

82 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 82 Sq ma 26: Είσοδος των δεδομένων του ΠΠΒ KlassikopoÐhsh Antikeimenik n Sunart sewn H trðth fìrma [Sq ma 27] mac zht na prosdiorðsoume tic enèrgeiec pou epijumoôme na gðnoun se kajemða apì tic antikeimenikèc sunart seic. Autì gðnetai kai me th bo jeia enìc epiplèon pðnaka ston opoðo anagr fontai ta nw kai k tw fr gmata twn antikeimenik n tim n ètsi ste o qr sthc na mporeð na krðnei tð perij ria mporeð na jèsei kai tð kin seic mporeð na k nei. 'Etsi, afoô prosdiorðsoume tic antikeimenikèc sunart seic kai to arqikì shmeðo, akoloujeð h taxinìmhsh aut n stic pènte diakekrimènec kathgorðec <, <=, =, >=, >. Sugkekrimèna, sth fìrma aut, sto p nw mèroc parousi - zontai oi timèc twn sunart sewn sto arqikì shmeðo kai akrib c apì k tw faðnetai h ektim menh perioq tou PO sunìlou. To b ma autì èqei dôo st dia: 1. klassikopoðhsh twn antikeimenik n sunart sewn me sumbolikì trìpo 2. prosdiorismìc prosdok menwn epipèdwn (ìpou autì krðnetai aparaðthto)

83 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 83 Sq ma 27: Κλασσικοποίηση των αντικειμενικών συναρτήσεων. Sthn perðptwsh pou exet zoume apaitoôme na sumboôn ta ex c stic timèc twn sunart sewn: f 1,f 2 : (<=) na diathrhjeð na beltiwjeð apì to epðpedo pou brðsketai f 3,f 4 : (>=) na diathrhjeð na shmeiwjeð qeirotèreush èwc èna epðpedo f 5,f 6 : (<) na beltiwjeð PARATHRHSH: H klassikopoðhsh jewreðtai efikt mìno ìtan toul qiston mða antikeimenik sun rthsh up getai se mða apì tic dôo pr tec kathgorðec kai toul qiston mða apì tic upìloipec antikeimenikèc sunart seic up- getai se mða apì tic dôo teleutaðec kathgorðec. Autì sumbaðnei giatð h filosofða thc Pareto beltistìthtac to prost zei.

84 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) Eisagwg Paramètrwn KlassikopoÐhshc H tètarth sth seir fìrma [Sq ma 28] mac zht na prosdiorðsoume ta prosdok mena epðpeda gia tic antikeimenikèc sunart seic pou dhl same ìti epijumoôme na beltistopoihjoôn. EpÐshc, akoloujeð anaprosdiorismìc twn orðwnfragm twn twn antikeimenik n sunart sewn pou dhl same ìti epijumoôme na qeiroterèyoun. Sq ma 28: Προσδιορισμός των παραμέτρων κλασσικοποίησης. Sthn ojình emfanðzontai oi enallaktikèc lôseic. Ed èqoume th dunatìthta eðte na doôme grafik k poia apì ta apotelèsmata aut eðte na sugkrðnoume tic di forec lôseic eðte p li na krat soume k poiec apì autèc se mia b sh kai na suneqðsoume thn epðlush tou PPB anazht ntac kai sugkrðnontac llec enallaktikèc lôseic. Sqoliasmìc : to prosdok meno epðpedo kumaðnetai metaxô thc trèqousac tim c kai thc idanik c antikeimenik c tim c. 'Etsi, blèpoume ìti gia th sun rthsh f 2 kaloômaste na d soume mia tim metaxô tou diast matoc pou mac dðnetai rht apì to logismikì. Me an logo trìpo, to logismikì parèqei rht kai gia tic upìloipec sunart seic ta nw kai k tw fr gmata aut n (metaxô

85 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) 85 twn treqous n kai nadðr antikeimenik n tim n) pou epidèqontai beltðwsh} qeirotèreush}. Tèloc, up rqei sqetik er thsh apì to sôsthma pou mac zht na dhl soume to pl joc twn enallaktik n lôsewn pou epijumoôme na paraqjeð.

86 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) An lush Apotelesm twn Sthn epìmenh eikìna [Sq ma 29 ]faðnontai oi nèec paraqjeðsec lôseic, sômfwna me thn en lìgw klassikopoðhsh. Sth f sh aut o qr sthc mporeð na sugkrðnei na k nei di forec axiìlogec parathr seic. Pq. sto sugkekrimèno prìblhma, mporeð k poioc na diapist sei ìti oi timèc thc 5hc kai 6hc antikeimenik c sun rthshc den eðnai efiktì na qeiroterèyoun} tautìqrona. Epomènwc, sunist tai h melèth twn endi meswn lôsewn metaxô aut n kai dôo nèwn lôsewn pou èqoun paraqjeð. Sq ma 29: Αποτελέσματα - Ανάλυση μετά την εφαρμογή της πρώτης κλασσικοποίησης.

87 6 LOGISMIK O (SOFTWARE) Grafik Anapar stash LÔsewn To logismikì dðnei th dunatìthta poikðlwn grafik n anaparast sewn twn lôsewn. Oi anaparast seic, pollèc forèc, bohjoôn touc qr stec na antilhfjoôn polô pio eôkola thn poreða thc epðlushc me ton trìpo autì apì ìti parajètontac touc mìno arijmhtik apotelèsmata. 'Etsi, h teleutaða fìrma [Sq ma 30]mac zht na dhl soume rht ton trìpo anapar stashc pou jèloume na efarmìsei to sôsthma kaj c kai tic lôseic pou epijumoôme na sumperil bei sth grafik apeikìnish. Sq ma 30: Οπτικοποίηση των εναλλακτικών λύσεων στο NIMBUS Soft..