Θεματική Ενότητα 1 4 Ο.Σ.Σ. (27/01/2017)

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών ΠΜΣ «Διοίκηση & Διαχείριση Οικονομικών Μονάδων & Οργανισμών» Κατεύθυνση «Διαχείριση Πόρων Οργανισμών Υγείας» Θεματική Ενότητα 1 4 Ο.Σ.Σ. (27/01/2017)

2 Θέματα παρουσίασης Μέτρα κεντρικής τάσης και διασποράς

3 Μέτρα κεντρικής τάσης

4 Μέτρα κεντρικής τάσης Σκοπός των μέτρων κεντρικής τάσης είναι να προσδιοριστεί ένα στατιστικό μέγεθος το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αντιπροσωπεύσεισυνοψίσει και αποδώσει σε μια «μέση τιμή» το σύνολο των χαρακτηριστικών του πληθυσμού Προσδιορίζουν ένα κεντρικό σημείο γύρω από το οποίο τείνουν να συγκεντρώνονται τα δεδομένα

5 Η επικρατούσα τιμή (mode) Είναι η παρατήρηση που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα Η κεντρική τιμή της ομάδας (κλάσης) με τη μεγαλύτερη συχνότητα (ομαδοποιημένα δεδομένα) Υπάρχει το ενδεχόμενο καμία από τις παρατηρήσεις μας να μην εμφανίζεται περισσότερες από μία φορά, οπότε η μεταβλητή μας δεν έχει επικρατούσα τιμή Δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις

6 Η επικρατούσα τιμή (mode) ΧΡΩΜΑ (Xi) Κόκκινο 8 Κίτρινο 12 Μπλε 15 Πράσινο 5 ΣΥΝΟΛΟ 40 Συχνότητα fi

7 Αριθμητικός Μέσος (Mean)

8 Παράδειγμα: Καταγράφοντας το ύψος των επενδύσεων μίας πολυεθνικής επιχείρησης ανά έτος από το 1995 έως το 2004 συλλέγουμε τα ακόλουθα δεδομένα: Έτος , , , , , ,1 ΣΥΝΟΛΟ (Χi) 117,1 (Χi) Υψος Επενδύσεων (εκ. ευρώ) Εφαρμόζοντας τον τύπο του Αριθμητικού μέσου έχουμε: ΣΧi 12+13,6+10,2+8+9,7+12, , ,1 117,1 Χ = = = = = 11,71 εκ. ευρώ Άρα κατά τη διάρκεια της δεκαετίας η επιχείρηση διενέργησε κατά μέσο όρο επενδύσεις 11,71 εκ. ευρώ ανά έτος.

9 Πιθανό πρόβλημα του αριθμητικού μέσου Median Mean Median Mean Copyright 2004 David J. Lilja 9

10 Η Διάμεσος Η Διάμεσος εκτιμάται από τον τύπο: Χωρίζει τις παρατηρήσεις μίας μεταβλητής σε δύο ισοπληθείς ομάδες όταν οι παρατηρήσεις διαταχθούν κατά αύξουσα ή φθίνουσα σειρά Δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές παρατηρήσεων αλλά από το πλήθος των παρατηρήσεων Δεν είναι μαθηματικά αξιοποιήσιμη όπως ο Αριθμητικός μέσος

11 Παράδειγμα: Καταγράφουμε πόσες ημέρες απουσίασαν από τη δουλειά τους 5 υπάλληλοι λόγω ασθένειας τους τελευταίους 12 μήνες και λαμβάνουμε τις ακόλουθες παρατηρήσεις: 3, 2, 4, 2, 1 Για να βρούμε την τιμή της Διαμέσου, πρέπει πρώτα να εντοπίσουμε τη θέση της, οπότε διατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά: Θέση της Διαμέσου Εκτιμώντας τον τύπο Ν + 1 Μ = = 3 η θέση 2 εντοπίζουμε τη Διάμεση στην 3 η θέση της σειράς των παρατηρήσεων. Η 3 η κατά σειρά παρατήρηση έχει την τιμή 2. Αυτή είναι και η τιμή της Διαμέσου. Εάν εκτιμήσουμε τον Αριθμητικό Μέσο βλέπουμε ότι ισούται με Χ = 2, 4 ημέρες.

12 Φτώχεια στην ΕΕ

13 Τεταρτημόρια Χωρίζουν τις παρατηρήσεις μίας μεταβλητής σε 4 ισοπληθείς ομάδες

14 Αριθμητικός μέσος σταθμικός (weighted)

15 Παράδειγμα : Υπολογισμός μέσου όρου εξαμήνου 5 μαθημάτων. Ο φοιτητής Α έλαβε τις ακόλουθες βαθμολογίες: Βαθμός (Χi) Συντελεστής(Wi) Wi * Xi 1 η εξέταση: x 7 = 7 2 η εξέταση: 9 1,2 1,2 x 9 = η εξέταση: 10 1,2 1,2 x 10 = 12 4 η εξέταση: 5 1,8 1,8 x 5 = 9 5 η εξέταση: x 5 = 10 ΣWi = 7,2 Σ(Wi*Xi) = 48.8 Εκτιμώντας τον τύπο του Σταθμικού Μέσου έχουμε: Σ (Wi*Xi) 48,8 Χw = = = 6,77 ΣWi 7,2 Ο μέσος όρος του φοιτητή είναι 6,77. Εάν ήταν ίδια η βαρύτητα, τότε ο μέσος όρος θα ήταν Χ = ΣΧi / Ν = 37 / 5 = 7,2.

16 Γεωμετρικός μέσος Ο Γεωμετρικός μέσος (G) εκτιμάται από τον τύπο ν G = X 1 X 2 X 3 X ν = (X 1 X 2 X 3 X ν ) 1/ν όπου X 1 X 2 X 3 X ν = το γινόμενο όλων των τιμών των παρατηρήσεων και v = το σύνολο των παρατηρήσεων. Για δεδομένα που δεν επηρεάζονται τόσο από τον αριθμό των παρατηρήσεων αλλά από τις τιμές των παρατηρήσεων, περιπτώσεις δηλαδή που έχουμε εξαιρετικά ακραίες τιμές παρατηρήσεων Ενδείκνυται ως μέτρο τάσης σε μία σειρά τιμών που αντιπροσωπεύουν ρυθμούς μεταβολής ενός μεγέθους (η μία τιμή συνδέεται με την προηγούμενη) Χρήσιμος όταν μεταβάλλονται μερικές μόνο τιμές ή σε δεδομένα που μεταβάλλονται κατά γεωμετρική πρόοδο Δεν ορίζεται σε δεδομένα με αρνητικές και μηδενικές τιμές

17 Αρμονικός μέσος 1 Η = ( ) ν Χ 1 Χ ν Χρησιμοποιείται κυρίως σε δεδομένα που είναι σχετικά ομοιόμορφα, αλλά έχουν κάποιες εξαιρετικά ακραίες τιμές αντιπροσωπεύουν αναλογίες π.χ. απόσταση ανά ώρα, ταχύτητα ανά ώρα, κ.α.

18 Σύγκριση και εφαρμογή μέτρων κεντρικής τάσης Η σύγκριση και η απόφαση εφαρμογής γίνεται βάσει: 1. Την ευαισθησία τους ως προς την παρουσία ακραίων τιμών Αν υπάρχουν, διάμεσος, ειδάλλως αριθμητικός μέσος 2. Την ευαισθησία τους ως προς το σχήμα της κατανομής Αν δεν είναι συμμετρική (και μία κορυφή), διάμεσος, ειδάλλως αριθμητικός μέσος 3. Την χρησιμότητά τους για συμπερασματολογία σε σχέση με τα αντίστοιχα μέτρα του πληθυσμού Αριθμητικός μέσος λόγω αλγεβραϊκών ιδιοτήτων (άθροισμα τιμών πληθυσμού). 4. Την αντίστοιχη δυνατότητα θεωρητικής ανάπτυξης Η στατιστική συμπερασματολογία χρησιμοποιηθεί συνήθως τον αριθμητικό μέσο

19 Επιλογή γεωμετρικού και αρμονικού μέσου έναντι του αριθμητικού

20 Μέτρα διασποράς

21 Μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας Τα μέτρα διασποράς δείχνουν το βαθμό διασποράς των παρατηρήσεων μας γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός διασποράς των παρατηρήσεων μίας μεταβλητής τόσο μειώνεται η αντιπροσωπευτικότητα των μέτρων κεντρικής τάσης.

22 1. Εύρος (Range) Το πιο απλό μέτρο διασποράς Γίνεται αντιληπτό και από μη εξοικειωμένους Προσδιορίζεται μόνον από δύο παρατηρήσεις (τη μέγιστη και την ελάχιστη) Μειονέκτημα η ευαισθησία στις ακραίες τιμές Σε ένα δείγμα το αποτέλεσμά μας δεν αντιπροσωπεύει το εύρος των παρατηρήσεων όλου του πληθυσμού Στις κατανομές συχνοτήτων αφαιρούμε το αριστερό άκρο του πρώτου διαστήματος τάξης της κατανομής από το δεξί άκρο του τελευταίου διαστήματος τάξης.

23 Παράδειγμα: Καταγράφουμε την ηλικία 10 ατόμων 5,7,2,12,28,31,31,68,54,45 Η μέγιστη παρατήρηση είναι: 68 [max(x i )] Η ελάχιστη παρατήρηση είναι: 2 [min(x i )] Άρα το εύρος ισούται με: R = 68-2 = 66

24 2. Τεταρτημοριακό εύρος Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές Παράδειγμα: η 2 η 3 η 4 η 5 η 6 η 7 η 8 η 9 η 10 η Q = 38 Η θέση της Διαμέσου βρίσκεται μεταξύ της 5 ης και 6 ης τιμής και ισούται με 29,5. Το πρώτο τεταρτημόριο Q 1 βρίσκεται στην θέση Ν+1 /4 = 11/4= 2,75η ~ 3η και το τρίτο τεταρτημόριο Q 3 βρίσκεται στην θέση 3Ν + ¼ = 31/4 = 7,75η ~ 8η Άρα από τις αντίστοιχες θέσεις έχουμε Q 1 = 7 και Q 3 = 45 Οπότε Q = Q 3 Q 1 = 45 7 = 38

25 3. Μέση Απόκλιση Δυσκολία ανάπτυξης στατιστικών μεθόδων, λόγω της αδυναμίας εφαρμογής αλγεβραϊκών ιδιοτήτων.

26 Παράδειγμα: Έστω: Για να εκτιμήσουμε την Μ.Α., πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τον Αριθμητικό Μέσο: ΣΧi Χ = = = = 23,8 N Αφαιρούμε την τιμή του μέσου όρου από κάθε τιμή της μεταβλητής και κρατάμε τις απόλυτες τιμές (χωρίς τα πρόσημα): 2 23,8 = -21,8-21,8 =21,8 5 23,8 = -18,8-18,8 = 18,8 7 23,8 = -16,8-16,8 =16, ,8 = -11,8-11,8 =11, ,8 = + 4,2 +4,2 =4, ,8 = + 7,2 +7,2 =7, ,8 = + 7,2 +7,2 =7, ,8 = + 21,2 +21,2 =21, ,8 = + 30,2 +30,2 =30, ,8 = + 44,2 +44,2 =44,2 Σ Χi X = 183,4 Οπότε Σ Χi X 183,4 Μ.Α. = = = 18,34 Ν 10

27 Για πληθυσμό: 4. Διακύμανση (Variance) Για δείγμα: Η Διακύμανση εκφράζεται σε μονάδα μέτρησης που ισούται με το τετράγωνο της αρχικής μονάδας μέτρησης της μεταβλητής Μειονέκτημα

28 Παράδειγμα: Καταγράφοντας τις μέσες θερμοκρασίες μηνός μίας Μήνας Χiι - Μέση θερμοκρασία (C) Xi - X (Xi-X) 2 Ιανουάριος = = 16 Φεβρουάριος = = 81 Μάρτιος = = 324 Απρίλιος = = 1 Μάϊος = = 9 Ιούνιος = = 36 Ιούλιος = = 64 Αύγουστος = = 81 Σεπτέμβριος = = 25 Οκτώβριος =2 2 2 = 4 Νοέμβριος = = 1 Δεκέμβριος = = 9 Ν = 12 ΣΧi = 143 Σ(Χi-X)= -1 Σ(Xi-X) 2 =651 ΣΧi 143 Χ = = = 11,9 ~ 12 (στρογγυλοποιούμε) N 12 Σ (Χi X) σ 2 = = = 54,25 Ν 12

29 5. Τυπική Απόκλιση (Standard deviation) Για πληθυσμό: Για δείγμα: Παράδειγμα: Οπότε: σ = σ 2 = 54,25 = 7,36 Οπότε: σ = σ 2 = 5593 = 74,78

30 Εκφράζεται στην ίδια μονάδα όπως και η μονάδα μέτρησης της μεταβλητής Μπορούμε να εικάσουμε με ποια ένταση «απλώνονται» οι τιμές της μεταβλητής εκατέρωθεν του μέσου όρου τους. Σε κανονικές κατανομέςισχύει: 68% των παρατηρήσεών μεταξύ Χ-σ και Χ+σ μας στο διάστημα 95% των παρατηρήσεών μεταξύ Χ-2σ και Χ+2σ μας στο διάστημα 99,7% των παρατηρήσεών μας στο διάστημα μεταξύ Χ-3σ και Χ+3σ

31 6. Συντελεστής Μεταβλητότητας (Covariance) Για να συγκρίνουμε το βαθμό διασποράς των τιμών μίας μεταβλητής με το βαθμό διασποράς μιας άλλης μεταβλητής, που εκφράζονται όμως με διαφορές κλίμακες μέτρησης ή ακόμη και σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης ή σε διαφορετικούς χρόνους

32 και για την περίπτωση της Θεσσαλονίκης έχουμε: 1700 CV 2 = x 100 = 0,283 x 100 = 28,3% 6000 Παράδειγμα: Μηνιαίες αποδοχές Γιατρών Παθολόγων σε διαφορετικές πόλεις. Σε ποια κατανομή παρατηρείται μεγαλύτερη διασπορά των αποδοχών άρα και μεγαλύτερη ανισότητα στο εισόδημα; Έστω: Αθήνα Χ = ευρώ, σ = 1.500, και Θεσσαλονίκη Χ = 6.000, σ = 1.700, Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε τις τυπικές αποκλίσεις, γιατί η κάθε τυπική απόκλιση επηρεάζεται από τα κλιμάκια των αμοιβών Για την περίπτωση της Αθήνας έχουμε: 1500 CV 1 = x 100 = 0,3 x 100 = 30% 5000

33 Σύγκριση μέτρων διασποράς Το εύρος είναι απλό στον υπολογισμό, αλλά δεν είναι αξιόπιστο μέτρο, καθότι λαμβάνει υπόψη του μόνο δύο τιμές, οπότε και επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές, και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για περαιτέρω ανάλυση. Παρόμοια το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Λαμβάνει υπόψη του μόνο το 50% των τιμών. Όταν υπάρχουν μόνο μερικές ακραίες τιμές, η μέση απόκλιση ίσως αποτελεί ρεαλιστικότερο μέτρο μεταβλητότητας από την τυπική απόκλιση (μικρότερη μεροληψία), ωστόσο δεν έχει αλγεβρικές ιδιότητες. Η τυπική απόκλιση λαμβάνει υπόψη της όλες τις παρατηρήσεις, είναι πιο χρήσιμη και περισσότερο εφαρμόσιμη στη συμπερασματολογία και μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως μέτρο απόστασης των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή τους. Ο συντελεστής μεταβλητότητας χρησιμοποιείται σε δύο ή περισσότερα δείγματα που έχουν διαφορετικές μέσες τιμές ή διαφορετικές μονάδες μέτρησης, ενώ αποτελεί και μέτρο ομοιογένειας (CV<10% είναι σχετικά ομοιογενές).

34

35 Κανονικοποίηση Κατασκευή σύνθετων δεικτών από μεταβλητές που μετρώνται με διαφορετικό τρόπο Άλλος τρόπος η βαθμολόγηση σε κοινή κλίμακα (π.χ. 1-5). H κανονικοποίηση μετατρέπει όλες τις μεταβλητές του δείκτη σε τιμές από a-b, ώστε να μπορούν μετά να συνδυαστούν, με τον ακόλουθο τύπο:

36 Κλίμακες μέτρησης στάσεων Στάση είναι η τάση να αξιολογούμε κάτι με ένα συγκεκριμένο τρόπο (θετικό ή αρνητικό) Μέθοδοι για την εκτίμηση των στάσεων με αριθμητική βαθμολόγηση είναι: Thurstone Guttman Likert και Σημασιολογικής διαφοροποίησης Οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούνται μπορούν να χρησιμοποιηθούν στις αυτοαξιολογήσεις της κατάστασης υγείας, των συμπτωμάτων (π.χ. του πόνου) και της σχετιζόμενης με την υγεία ποιότητα ζωής

37 Κλίμακα Thurstone Η πρώτη σχετική μέθοδος που αναπτύχθηκε (Thurstone, 1928) Δημιουργείται μια κλίμακα μέτρησης στάσεων με την επιλογή ενός «αντικειμένου στάσης» (π.χ. γάμος ομοφυλοφίλων ) Το επόμενο βήμα περιλαμβάνει τη συλλογή μεγάλου αριθμού και ποικιλίας «δηλώσεων πεποιθήσεων» που εκφράζουν συναισθήματα σχετικών με την υπό έρευνα στάση δυσμενή(π.χ. «θα έπρεπε να απαγορευτεί») ή ευνοϊκά (π.χ. «είναι απολύτως φυσιολογικό») Οι δηλώσεις αυτές αντλούνται από τη βιβλιογραφία, συναντήσεις με ειδικούς κλπ

38 Κλίμακα Thurstone (διαφορική) Μια ομάδα κριτών τις βαθμολογεί σε 11βάθμια κλίμακα αναλόγως του πόσο θετικές ή αρνητικές είναι σχετικά με την υπό έρευνα στάση-αντικείμενο Γίνεται η υπόθεση ισοδύναμων διαστημάτων Με βάση το ποσοστό μεταβλητότητας της κάθε δήλωσηςκαι τη διάμεσο βαθμολογία της, επιλέγονται οι δηλώσεις που θα συγκροτήσουν την κλίμακα Οι επιλεγμένες προτάσεις κατανέμονται τυχαία στο ερωτηματολόγιο με τυχαίο τρόπο, και τα μέλη του δείγματος καλούνται να επιλέξουν τις δηλώσεις που τους αντιπροσωπεύουν Η βαθμολογία του κάθε ερωτώμενου υπολογίζεται προσθέτοντας τους μέσους όρους των δηλώσεων που επέλεξαν (όπως έχουν προκύψει από τους κριτές), διά τον αριθμό των επιλεγμένων δηλώσεων Είναι χρονοβόρα και έχει μεγάλο κόστος

39 Κλίμακα Guttman Είναι μια τεχνική ιεραρχικής μέτρησης μέσω κλίμακας Περιλαμβάνει προτάσεις που επιδέχονται απλή συμφωνία ή διαφωνία (διχοτομικές). Οι προτάσεις είναι διατεταγμένες (από τη συμφωνία στη διαφωνία ή από το ευκολότερο στο δυσκολότερο κλπ) Συμφωνία με μία πρόταση υποδηλώνει και συμφωνία με όλες τις προηγούμενες προτάσεις Δεν είναι κατάλληλη για τη μέτρηση πολυδιάστατων εννοιών Οι στάσεις και οι συμπεριφορές συχνά είναι πολύπλοκες και μη σταθερές

40 Κλίμακα Guttman Παράδειγμα: Καταγραφή ικανότητας παιδιών να εκτελούν τρείς διαφορετικές κινήσεις. α) ανύψωση χεριών (ευκολότερο) β) ανύψωση χεριών και ένωσή τους στον αέρα γ) άπλωμα χεριού και σύλληψή αντικειμένου (δυσκολότερο) Ηλικία (μήνες) Κινήσεις α β γ Συνολική βαθμολογί α

41 Κλίμακα Likert Πρόκειται για την περισσότερο διαδεδομένη μέθοδο κλίμακας Η κλίμακα Likert (Likert 1932) περιέχει μια σειρά δηλώσεων «γνώμης» σχετικά με ένα θέμα Αποτελείται από προτάσεις (ευνοϊκές ή δυσμενείς) που ακολουθούνται από μια σειρά δυνητικών απαντήσεων με τη μορφή μίας κλίμακας 3 ή 5 ή 7 επιλογών, που υποδηλώνουν διαφορετικό βαθμό συμφωνίας ή διαφωνίας (ή ευνοϊκής-δυσμενούς στάσης ) με την πρόταση Τα σημεία αυτά αντιστοιχούν σε μία αριθμητική τιμή την οποία ορίζει ο ερευνητής (π.χ. 1 έως 5). Δεν ισχύει η υπόθεση ίσων διαστημάτων Η βαθμολόγηση του κάθε συμμετέχοντα υπολογίζεται από τον συνολικό (αθροιστικά) βαθμό [σκορ] για κάθε άτομο, που χαρακτηρίζει τη θέση/στάση του ατόμου Υπολογίζουμε τον μέσο όρο των απαντήσεων που θα δώσει Συμφωνώ Συμφωνώ Ούτε συμφωνώ Διαφωνώ Διαφωνώ απόλυτα ούτε διαφωνώ απόλυτα

42 Πλεονεκτήματα Κλίμακα Likert Η διαδικασία κατασκευής είναι απλούστερη σε σύγκριση με τη διαφορική κλίμακα. Δυνατότητα μέτρησης εννοιών που έχουν πολυδιάστατο χαρακτήρα. Μία τέτοια κλίμακα μπορεί να περιλαμβάνει 2 ή περισσότερες διαστάσεις του γενικότερου ζητήματος. Οι διαβαθμίσεις που υπάρχουν στην κλίμακα αθροιστικής βαθμολόγησης δίνουν τη δυνατότητα στους συμμετέχοντες να δώσουν περισσότερο ακριβή απάντηση. Μειονεκτήματα Παλινδρόμηση στον μέσο όρο Οι συμμετέχοντες να προτιμούν συστηματικά τις απαντήσεις στη μέση της κλίμακας, οι οποίες δηλώνουν ουδετερότητα Υποκειμενικότητα των απαντήσεων Μπορεί δύο άτομα να δίνουν την ίδια απάντηση, αλλά αυτή να έχει διαφορετικό νόημα σε σχέση με την ένταση και το βαθμό διαφωνίας που αποδίδει ο κάθε ένας στην απάντησή του. Η απόσταση μεταξύ των διαβαθμίσεων μπορεί να διαφέρει

43 Κλίμακα σημασιολογικής διαφοροποίησης Εστιάζει στο νόημα που αποδίδουν οι άνθρωποι σε μια λέξη ή έννοια μέσα από τις προσωπικές τους εμπειρίες, και όχι μέσα από τις κοινωνικά αποδεκτές ή τις αντικειμενικές ιδιότητες της έννοιας αυτής Ζητείται από τους ερωτώμενους να εκτιμήσουν μια έννοια πάνω σε μια σειρά 7βάθμιων ή 11βαθμιων κλιμάκων, τα δυο άκρα των οποίων αποτελούνται από ζεύγη αντίθετων επιθετικών προσδιορισμών Σύμφωνα με τον Osgood, οι απαντήσεις αφορούν σε 3 διαστάσεις της έννοιας Αξιολόγηση: ο βαθμός στον οποίο η έννοια είναι αρεστή στο άτομο Δυναμικότητα ή ισχύς Ενεργητικότητα η δράση: ο βαθμός στον οποίο η έννοια χαρακτηρίζεται από κίνηση και δράση

44

45 Ύλη παρουσίασης Κεφ. 9, 10