TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
|
|
- Ἀπολλόδωρος Σπηλιωτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2017/18
2 Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
3 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
4 Translatorno kretanje krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke
5 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
6 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
7 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
8 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
9 Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke
10 Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
11 Kinematika krutog tela : translacija i rotacija oko nepokretne ose Kod translatornog kretanja vektor brzine proizvoljne ta ke jednak je brzini referentne ta ke A: v = v A Kod rotacije tela oko nepokretne ose vektor elementarnog pomeranja proizvoljne ta ke dat je sa (Rodrigov obrazac): pa je vektor brzine jednak d r = d ρ = d θ ρ v = d r dt = d θ dt ρ
12 Kinematika krutog tela : rotacija oko nepokretne ose Brzina ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ose je v = ω ρ gde je ω = d θ dt Vektor ω je vektor ugaone brzine tela i dat je sa ω = dθ dt s 0 = θ s 0 jer je d θ = dθ s 0 ( s 0 = const) Kod rotacije oko nepokretne ose ugaona brzina je izvod po vremenu ugla obrtanja ω(t) = θ(t)
13 Rotacija krutog tela oko nepokretne ose
14 Kinematika krutog tela - sferno kretanje Brzina ta ke tela pri rotaciji oko nepokretne ta ke je v = ω ρ gde je ω = ž θ dt Vektor ω je vektor ugaone brzine tela koji je samo koli nik vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!) Naravno, vektor ugaone brzine je i kod rotacije oko nepokretne ta ke promenljiv sa vremenom, ω = ω(t), jer se stalno menjaju pravci trenutnih osa rotacije
15 Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke
16 Kinematika krutog tela - sferno kretanje Vektor ugaone brzine tela ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja) je samo koli nik vektora elementarne rotacije i diferencijala vremena (nije izvod nekog ugla kao kod rotacije oko nepokretne ose!) Vektor ω kod sfernog kretanja (kao i kod op²teg kretanja) spada u KVAZIBRZINE, jer ω nije izvod po vremenu t nekog vektora (t.j. nije izvod nekog ugla u ravni, ve je vezan za trenutnu osu rotacije)
17 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Op²te (proizvoljno) kretanje slobodnog krutog tela, kako kona no, u intervalu t, tako i beskona no malo, u vremenu dt, moºe da se prikaºe kao superpozicija translacije i rotacije oko ose kroz referentnu ta ku (ekvivalentne ili trenutne) Kako je vektor poloºaja ta ke tela dat sa r = r A + ρ onda je vektor elementarnog pomeranja jednak d r = d r A + d ρ gde je d ρ = ž θ ρ (Rodrigov obrazac)
18 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Vektor brzine ta ke tela je dat sa d r = d r A + d ρ / : dt Dobija se izraz za brzinu (Ojlerov obrazac): v = v A + ω ρ (1) gde je v = d r dt, v A = d r A dt, ω = ž θ dt
19 Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Posmatra se telo koje vr²i proizvoljno kretanje Uo e se dve proizvoljne ta ke tela P i Q Brzine ovih ta aka su date, redom, sa: Jedna ine (2) se mežusobno oduzmu: v P = v A + ω ρ P v Q = v A + ω ρ Q (2) v P v Q = ω ( ρ P ρ Q ) (3)
20 Teorema o projekcijama brzina
21 Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Deni²e se ort pravca koji povezuje ta ke tela P i Q e = P Q P Q = ρ Q ρ P ρ Q ρ P Jedna ina (3) se skalarno pomnoºi sa e, odn. projektuje sa na osu PQ: ( v P v Q ) e = ω ( ρ P ρ Q ) e (4) Izraz na desnoj strani (4) je me²oviti proizvod u kome guri²u dva kolinearna vektora: ( ρ P ρ Q ) = P Q e
22 Kinematika krutog tela * Teorema o projekcijama brzina Prema tome, me²oviti proizvod u (4) je jednak nuli: ω ( ρ P ρ Q ) e = 0 Jedna ina (4) postaje: ( v P v Q ) e = 0 odn. v P e = v Q e (5) Teorema o projekcijama brzina: Projekcije brzina dve ta ke krutog tela na osu koja spaja te dve ta ke su mežusobno jednake
23 Teorema o projekcijama brzina
24 Kinematika krutog tela ** Teorema... Ugaona brzina i ugaona ubrzanje krutog tela ne zavise od izbora referentne ta ke
25 Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Trenutna osa rotacije je geometrijsko mesto ta aka tela ije su brzine u tom trenutku jednake nuli (prava u telu): v = ω ρ = 0 Jedna ina trenutne ose rotacije je, prema tome: (²to predstavlja kolinearnost vektora ω i ρ) ω ρ = 0 (6) Vektori se posmatraju u prostornom sistemu x, y, z: ρ = {x, y, z} ω = {ω x, ω y, ω z }
26 Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku kao ω ρ = 0 x ω x = y ω y = z ω z (7) Jedna ina (7) je jedna ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u prostornim koordinatama Jedna ine (7) odrežuju pravu u prostoru Oxyz sa kojom se u datom trenutku poklapa trenutna osa rotacije To su parametarske jedna ine konusne povr²i - NEPOKRETAN AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja tela)
27 Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Vektori se posmatraju u materijalnom sistemu Aξηζ: ρ = {ξ, η, ζ} ω = {ω ξ, ω η, ω ζ } = {p, q, r} Uslov kolinearnosti (6) moºe da se prikaºe u skalarnom obliku kao ω ρ = 0 ξ p = η q = ζ r (8) Jedna ina (8) je jedna ina prave, odn. trenutne ose rotacije, u materijalnim koordinatama
28 Kinematika krutog tela *** Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje Jedna ine (8) odrežuju skup ta aka tela koje se u datom trenutku poklapaju sa trenutnom osom rotacije To su parametarske jedna ine konusne povr²i - POKRETAN AKSOID (skup trenutnih osa za sve vrednosti t tokom kretanja tela, u materijalnim koordinatama) Zajedni ka izvodnica OBA aksoida je trenutna osa rotacije (u datom trenutku) Moºe da se pokaºe da se poktretan aksoid kotrlja bez klizanja po nepokretnom aksoidu
29 Kinematika krutog tela *** Pokretan i nepokretan aksoid - sferno kretanje Skup svih pravih duº kojih je brzina ta aka bila jednaka nuli u toku obrtanja tela oko nepokretne ta ke predstavlja konusnu materijalnu povr² u telu, sa vrhom u ta ki A Nepokretan aksoid predstavlja geometrijsko mesto pravih linija u prostoru sa kojima se u odreženom trenutku poklapala trenutna osa rotacije tela i time predstavlja NEPOKRETAN geometrijski objekat Pokretan aksoid, kao materijalna povr² u telu, kre e se zajedno sa telom pri njegovom obrtanju oko nepokretne ta ke i time predstavlja POKRETAN geometrijski objekat
30 Jedna ina trenutne ose rotacije - sferno kretanje
31 Kinematika krutog tela **** Skalarni prikazi brzine ta ke tela Brzina ta ke tela koje vr²i proizvoljno (op²te) kretanje je data sa v = v A + ω ρ (9) Skalarni oblik (9) u odnosu na PROSTORNE koordinate je v = v x v y v z = ẋ A ẏ A ż A + ω y (z z A ) ω z (y y A ) ω z (x x A ) ω x (z z A ) ω x (y y A ) ω y (x x A ) Skalarni oblik (9) u odnosu na MATERIJALNE koordinate je v = v ξ v η v ζ = v Aξ v Aη v Aζ + ζ q η r ξ r ζ p η p ξ q
32 Kinematika krutog tela **** Skalarni prikazi brzine ta ke tela U MATERIJALNOM opisu (u odnosu na sistem Aξηζ) se prati kretanje jedne odrežene ta ke tela (ξ = const, η = const, ζ = const) To je Lagrange-ov opis kretanja (brzine) u PROSTORNOM opisu (u odnosu na sistem Oxyz) se prikazuje brzina one ta ke tela koja se u datom trenutku nalazi u ta ki prostora sa koordinatama (x, y, z). U narednom trenutku se u toj ta ki prostora nalazi neka druga ta ka tela To je Euler-ov opis kretanja (brzine)
33 Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
34 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Vektor poloºaja ta ke tela r = r A + ρ Vektor brzine ta ke tela (izvod vektora poloºaja) v = d r dt = v A + ω ρ Vektor ubrzanja ta ke tela (izvod vektora brzine) a = d v dt = d dt ( v A + ω ρ) Vektori su izraºeni u inercijalnom i u pokretnom sistemu
35 Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Posmatra se proizvoljan vektor izraºen u sistemu pokretnih osa: b = b(t) = {bξ, b η, b ζ } = b ξ λ + bη µ + b ζ ν Izvod po vremenu vektora b(t) je dat sa: d b dt = ḃξ d λ + b λ ξ dt + ḃη µ d µ + b η dt + ḃζ ν d ν + b ζ dt (10) Pokretan sistem Aξηζ se obr e (kao deo tela) oko ta ke A, u odnosu na nepokretan sistem Oxyz, sa ugaonom brzinom ω
36 Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Sistem materijalnih osa moºe da se posmatra kao rogljasto telo. Ta ke P 1, P 2 i P 3 su krajevi jedini nih veltora λ, µ i ν. Tako je, npr., vektor λ vektor poloºaja ta ke P 1 : λ = AP 1 Kao ²to se iz relacije d ρ = ž θ ρ dobija d ρ = žθ ρ / : dt d ρ dt = ž θ ρ = ω ρ dt tako se i za vektor λ, kao za vektor poloºaja ta ke P 1 (vektor λ je vektor ρ za ta ku P1 ), moºe da napi²e: d λ dt = ω λ
37 Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Na isti na in se i za vektore µ i ν, kao za vektore poloºaja ta aka P 2 i P 3, moºe da napi²e: d µ dt = ω µ, d ν dt = ω ν Unose i ovo u relaciju (10), dobija se d b dt = ḃξ λ + b ξ ω λ + ḃη µ + b η ω µ + ḃζ ν + b ζ ω ν odnosno, izdvajanjem zajedni kog faktora ω, d b dt = ḃξ λ + ḃη µ + ḃζ ν + ω (b ξ λ + bη µ + b ζ ν) (11)
38 Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa
39 Kinematika krutog tela Diferenciranje vektora u sistemu pokretnih osa Prema tome, izvod vektora b(t) po vremenu, izraºenog u sistemu pokretnih osa, se sastoji iz dva lana: b(t) = {bξ, b η, b ζ } d b dt = b + ω b gde je b lokalni izvod vektora b: b = { ḃ ξ, ḃη, ḃζ} = ḃξ λ + ḃη µ + ḃζ ν dok je lan ω b posledica rotacije pokretnog sistema sa ugaonom brzinom ω
40 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Izvod po vremenu vektora poloºaja ρ ρ = ρ + ω ρ ρ = ω ρ jer je ρ = const, pa je ρ = 0 (kruto telo) Izvod po vremenu vektora ugaone brzine ω ω = ω + ω ω ω = ω = ε jer je ω ω = 0 (kolinearni vektori) Vektor ε je vektor ugaonog ubrzanja tela
41 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela je dato sa: pa se dobija a = d v dt = d dt ( v A + ω ρ) a = a A + d ω dt ρ + ω d ρ dt Imaju i u vidu diferenciranje vektora ω i ρ, dobija se a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ)
42 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela je dato sa a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) (12) U izrazu (12) su: a A... ubrzanje referentne ta ke A ε ρ... rotaciono ubrzanje (posledica promene intenziteta ugaone brzine) ω ( ω ρ)... aksipetalno ubrzanje (posledica promene pravca ugaone brzine)
43 Kinematika krutog tela - op²te kretanje Ubrzanje proizvoljne ta ke tela koje vr²i op²te kretanje je dato sa: a = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) Rotaciono ubrzanje ε ρ ima pravac tangente na deo kruºnice u ravni na trenutnu osu rotacije Aksipetalno ubrzanje ω ( ω ρ) je usmereno ka trenutnoj osi rotacije (u pravcu polupre nika dela kruºne putanje)
44 - op²te kretanje
45 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
46 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
47 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Ta ka se kre e relativno u odnosu na telo Ta ka P se kre e po telu koje se takože kre e Dvostruko kretanje ta ke: - ta ka se kre e po telu... relativno kretanje - telo se pri tome kre e... prenosno kretanje Ukupno kretanje ta ke je apsolutno (sloºeno) kretanje Ta ka tela M na kojoj se trenutno nalazi pokretna ta ka se zove koincidentna ta ka (P M ) Vektor poloºaja ta ke koja se kre e po telu: r = r A + ρ pri emu je ρ = ρ(t) = {ξ(t), η(t), ζ(t)}
48 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sadrºaj 1 Posebni oblici kretanja krutog tela Translatorno kretanje krutog tela Rotacija krutog tela oko nepokretne ose Rotacija krutog tela oko nepokretne ta ke 2 3 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
49 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Vektor poloºaja ta ke koja vr²i sloºeno kretanje r = r A + ρ pri emu je r = {x, y, z} r A = {x A, y A, z A } ρ = {ξ(t), η(t), ζ(t)} = ξ(t) λ(t) + η(t) µ(t) + ζ(t) ν(t) Vektor brzine je izvod po vremenu vektora poloºaja v = d r(t) dt = d r A dt + d ρ dt
50 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Imaju i u vidu diferenciranje po vremenu vektora u sistemu materijalnih koordinata, u ovom slu aju vektora ρ, dobija se v = v A + ρ + ω ρ Vektor poloºaja ta ke ima promenljive koordinate, jer se ta ka kre e po telu, tako da postoji i lokalni izvod vektora ρ Izraz za brzinu sloºenog kretanja ta ke po telu (apsolutna brzina) moºe da se pi²e u obliku v aps = v pren + v rel (13)
51 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Apsolutna brzina je jednaka vektorskom zbiru prenosne i relativne brzine Prenosna brzina u izrazu (13) je brzina koincidentne ta ke (odn. brzina one ta ke tela na kojoj se u tom trenutku nalazi pokretna ta ka) i data je sa v pren = v A + ω ρ (14) Relativna brzina u izrazu (13) je brzina pokretne ta ke relativno u odnosu na telo po kome se kre e i data je sa v rel = ρ = { ξ, η, ζ} (15)
52 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Apsolutno ubrzanje ta ke koja vr²i sloºeno kretanje je jednaka izvodu po vremenu apsolutne brzine: a aps = d v aps dt = d v pren dt + d v rel dt Dobija se a aps = d v A dt + d ω d ρ ρ + ω dt dt + d dt ( ρ) odn. a aps = a A + ε ρ + ω ( ρ + ω ρ) + ρ + ω ρ (16)
53 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Sloºeno kretanje ta ke - brzina i ubrzanje Grupisanjem i sreživanjem izraza (16) se dobija a aps = a pren + a rel + a cor (17) U izrazu (17) su, redom, prenosno, relativno i Koriolisovo ubrzanje: a pren = a A + ε ρ + ω ( ω ρ) a rel = ρ = { ξ, η, ζ} (18) a cor = 2 ω ρ = 2 ω v rel
54 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer Horizontalna plo a se konstantnom ugaonom brzinom obr e oko vertikalne ose. U idealno glatkom ºljebu koji je za b udaljen od ose obrtanja moºe da se kre e materijalna ta ka mase m. Odrediti brzinu ta ke, ubrzanje ta ke, i napisati diferencijalnu jedna inu relativnog kretanja ta ke unutar ºljeba.
55 Sloºeno kretanje materijalne ta ke Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju
56 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta ke
57 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta ke
58 Osnovni pojmovi sloºenog kretanja ta ke Brzina i ubrzanje ta ke pri sloºenom kretanju Primer: Sloºeno kretanje materijalne ta ke
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god. 2018/19 Sadrºaj 1 Poloºaj krutog tela u prostoru
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότερα1 Kinematika krutog tela
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela
Διαβάστε περισσότεραSLOŽENO KRETANJE TAČKE
SLOŽENO KRETANJE TAČKE DEFINISANJE SLOŽENOG KRETANJA TAČKE BRZINA TAČKE PRI SLOŽENOM KRETANJU a) Relativna bzina b) Penosna bzina c) Apsolutna bzina d) Odeđivanje zavisnosti apsolutne od elativne i penosne
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραVektorska analiza doc. dr. Edin Berberović.
Vektorska analiza doc. dr. Edin Berberović eberberovic@mf.unze.ba Vektorska analiza Vektorska algebra (ponavljanje) Vektorske funkcije (funkcije sa vektorima) Jednostavna analiza (diferenciranje) Učenje
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET
UNIVERZITET U BANJOJ LUCI MAŠINSKI FAKULTET Dr Valentina Golubović - Bugarski MEHANIKA (Skripta izvodi predavanja) Banja Luka, februar 017. 1 PREDGOVOR Ova skripta priređena su prema važećem nastavnom
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραElektrodinamika 1. zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com. Pismeni ispit, 18. januar 2016.
Elektrodinamika 1 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 18. januar 016. 1. Zapreminska gustina naelektrisanja u prostoru ima oblik ρ( r) = αδ(ρ + z a )ν(z), gde su ρ i z cilindri
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραDinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
Διαβάστε περισσότεραMehanika. kinematika. * Obaveštenje : računske vežbe odložene
Mehanika kinematika * Obaveštenje : računske vežbe 12. 13. 10. odložene 7., 8. i 9. Octobar 2015 Osnovni zadatak fizike (ϕνσιξ - priroda) je izučavanje osnovnih svojstava prirode, a jedno od tih svojstava
Διαβάστε περισσότεραMašinsko učenje. Regresija.
Mašinsko učenje. Regresija. Danijela Petrović May 17, 2016 Uvod Problem predviđanja vrednosti neprekidnog atributa neke instance na osnovu vrednosti njenih drugih atributa. Uvod Problem predviđanja vrednosti
Διαβάστε περισσότεραMoguća i virtuelna pomjeranja
Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραMehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika
1. Kinematika Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone gibanja i meñudjelovanja tijela. kinematika, dinamika i statika Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραProgram testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα