1 = = = x x = x. 4 u = = = MRS MRS. x x. MRS = MRS = = x = x x [1] x12 x x W W

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 = = = x x = x. 4 u = = = MRS MRS. x x. MRS = MRS = = x = x x [1] x12 x x W W"

Ισίδωρα Παπακώστας
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Θέµα ο (α) Μια κατανοµή στο εσωτερικό του κουτιού Edgeworth είναι άριστη κατά areto αν MRS MRS Έχουµε τα ακόλουθα MRS , MRS Στην αρχική κατανοµή βρίσκουµε 00 MRS(50, 00) 4 MRS(00, 0) 0 Άρα η αρχική κατανοµή δεν είναι άριστη κατά areto Ο 50 γεωµετρικός τόπος όλων των κατά areto άριστων κατανοµών είναι η καµπύλη αποτελεσµατικών συµφωνιών (ΚΑΣ) Άρα η επάνω στην ΚΑΣ ικανοποιείται η συνθήκη (00 ) 00 MRS MRS (καµπύλη αποτελεσµατικών συµφωνιών/κασ) (β) Η κλίση της εισοδηµατικού περιορισµού ο οποίος διέρχεται ϖάντοτε αϖό την αρχική κατανοµή και αϖό την κατανοµή γενικής ισορροϖίας, έστω (, ), είναι 00 και ισούται επιπλέον µε τους οριακούς 50 []

2 λόγους υποκατάστασης των καταναλωτών και Άρα λύνουµε ως προς την εξίσωση και βρίσκουµε (βάλαµε το µείον στον οριακό λόγο υποκατάστασης επειδή η κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού είναι αρνητική αλλά πριν είχαµε εκφράσει τον MRS σε απόλυτη τιµή) Αλλά έχουµε (από ΚΑΣ) Λύνουµε ως προς την εξίσωση και βρίσκουµε Άρα ο ζητούµενος λόγος ανταλλαγής είναι ίσος µε λ Θέµα ο Μια κατανοµή στο εσωτερικό του κουτιού Edgeworth είναι άριστη κατά areto αν MRS MRS Έχουµε τα ακόλουθα MRS και MRS Στην αρχική κατανοµή βρίσκουµε 00 MRS(50, 300) 6 MRS(50, 0) 0 MRS(50, 00) 4 MRS(00, 0) 0 Άρα αυτή δεν 50 είναι αποτελεσµατική κατά areto Ο γεωµετρικός τόπος όλων των κατά areto άριστων κατανοµών είναι η καµπύλη αποτελεσµατικών συµφωνιών τα σηµεία της οποίας ικανοποιούν τη συνθήκη (300 ) 600 MRS MRS (ΚΑΣ) []

3 (β) Η κλίση της εισοδηµατικού περιορισµού ο οποίος διέρχεται ϖάντοτε αϖό την αρχική κατανοµή και την κατανοµή γενικής ισορροϖίας, έστω (, ), είναι και ισούται επιπλέον µε τους οριακούς λόγους υποκατάστασης των καταναλωτών και Άρα λύνουµε ως προς την εξίσωση (βάζουµε το µείον επειδή η κλίση του εισοδηµατικού περιορισµού είναι αρνητική αλλά πριν είχαµε εκφράσει τον MRS σε απόλυτη τιµή) και βρίσκουµε 300 Αλλά έχουµε (από ΚΑΣ) Λύνουµε ως προς την εξίσωση και βρίσκουµε Άρα ο ζητούµενος λόγος ανταλλαγής είναι ίσος µε λ Θέµα 3ο η-τάξη, Φάκελος " ιαλέξεις 06", αρχείο pdf µε τίτλο "Γενική ισορροπία-άσκηση" Θέµα 4ο η-τάξη, Φάκελος " ιαλέξεις 06", αρχείο pdf µε τίτλο "Θεµελιώδη θεωρήµατα" Θέµα 5ο Ο καταναλωτής λύνει το πρόβληµα δεσµευµένης µεγιστοποίησης ma u (, ), a a [3]

4 s t ω ω Σχηµατίζει τη συνάρτηση Lagrange L(,, λ) λ( ω ω ) a a και βρίσκει τις Συνθήκες α' τάξης a λ 0 a a ( a) λ 0 a a L λ ω ω 0 απ' όπου βρίσκουµε a ( ω ω ) ( )( ), a ω ω (συναρτήσεις ζήτησης, ) Ο καταναλωτής λύνει το πρόβληµα δεσµευµένης µεγιστοποίησης ma u (, ), β β s t ω ω Σχηµατίζει τη συνάρτηση Lagrange L(,, λ) λ( ω ω ) β β και βρίσκει τις [4]

5 Συνθήκες α' τάξης β λ 0 β β ( β ) λ 0 β β L λ ω ω 0 β ( απ' όπου παίρνουµε ω ω ) ( β )( ), ω ω (συναρτήσεις ζήτησης, ) (β) Στη γενική ισορροπία ισχύει εξ ορισµού ζήτηση προσφορά, δηλαδή ω ω ω ω Χρησιµοποιώντας την πρώτη εξίσωση (ή τη δεύτερη αν θέλουµε) βρίσκουµε a( ω ω) β ( ω ω) ω ω Λύνοντας ως προς βρίσκουµε ( a) ω ( β ) ω aω βω ( a) ω ( β ) ω (γ) Από ερ (α) σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι aω βω (ερ (β)) έχουµε τα ακόλουθα [5]

6 a( ) ( a) ( ) ω ω aω aω ω β ω aω βω, ( a)( ω ω ) aω βω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( β ) ω β ( ω ω ) ( a) ω ( β ) ω βω βω βω βω aω βω, ( β )( ω ω ) aω βω ( β ) ω ( β ) ω ( β ) ω ( β ) ω ( a) ω ( β ) ω (δ) Αν a β, τότε οι σχέσεις του ερ (γ) γράφονται ( a) ω ( β ) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω aω aω aω aω aω aω, aω βω aω aω aω aω βω aω aω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( β ) ω ( a) ω ( a) ω aω ( a) ω ( ) ( a) ω a ω ( a) ω ( β ) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω βω βω aω aω ω aω, aω βω aω aω aω aω βω ( β ) ω ( β ) ω ( a) ω ( β ) ω aω aω aω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω ( a) ω Θέµα 6ο (α) Το άτοµο/επιχειρηµατίας λύνει το πρόβληµα [6]

7 ma y, 0,5 0,5 y w ry και βρίσκει τις Συνθήκες α' τάξης 0,5 0,5 0,5y r 0 0,5 0,5 0,5y w 0 (β) Θέτουµε µέσα στις παραπάνω δύο εξισώσεις y οπότε αυτές γράφονται 0,5 0,5 r 0 και 0,5 0,5 w 0 Λύνοντας και τις δύο ως προς βρίσκουµε 4r και 4w Με δεδοµένο ότι τα πρώτα µέλη είναι ίσα, τότε και τα δεύτερα µέλη είναι ίσα, δηλαδή 4r r 4w 4w (γ) Ο εισοδηµατικός περιορισµός δίνεται από την εξίσωση w Άρα το άτοµο/καταναλωτής λύνει 4w ma u(, ) a ( ), a s t w 4w Σχηµατίζουµε τη συνάρτηση Lagrange a L(,, λ) ( ) λ( w ) 4w a και βρίσκουµε τις [7]

8 Συνθήκες α' τάξης L a a a λ ( ) 0 L ( a a a) ( ) wλ 0 L w 0 λ 4w ιαιρώντας κατά µέλη τη δεύτερη εξίσωση µε την πρώτη βρίσκουµε aw( ) a την οποία αντικαθιστούµε µέσα στον εισοδηµατικό περιορισµό τον οποίο λύνουµε στη συνέχεια ως προς οπότε βρίσκουµε τη συνάρτηση προσφοράς εργασίας (4 ) ( ) a w S w 4w Θέµα 7ο Η νέα κατανοµή την οποία προτείνει ο στον είναι η ((5,5),(, )) Στη νέα κατανοµή ο έχει χρησιµότητα u(, ) 4 < u(5,) 5 Άρα ο δεν θα δεχθεί την ανταλλαγή Θέµα 8ο Για την κατανοµή ((, y),(, y )) ((3,5),(4,)) έχουµε τα ακόλουθα y y 5 0 MRS MRS (3,5) 3 3 y και MRS y 0 MRS (4, ) Άρα η συγκεκριµένη κατανοµή δεν είναι άριστη κατά areto 3 y Για την κατανοµή ((, y),(, y )) ((6,3),(3,3)) έχουµε > 7 Αδύνατο Τέλος για [8]

9 την κατανοµή ((, y ),(, y )) ((4,8),(3,4)) έχουµε,8 5,6 4, MRS(4, 8), 4 MRS(3, 4) και 7, y y 7 Άρα η ((, y ),(, y )) ((4,8),(3,4)) είναι άριστη κατά areto Θέµα 9ο Λύνουµε το πρόβληµα ma u (, ),,, s t u(, ) u T ( X, X ) 0 Η συνάρτηση T ( X, X ) 0 είναι η συνάρτηση παραγωγικών δυνατοτήτων της οικονοµίας της οποία το γράφηµα λέγεται καµπύλη παραγωγικών δυνατοτήτων (ΚΠ ) Οι µεταβλητές X, X είναι απλά τα αθροίσµατα X (, ), X (, ) Η κλίση µιας δοσµένης ΚΠ λέγεται οριακός λόγος µετασχηµατισµού (MRT) και είναι ίσος µε Σχηµατίζουµε τη συνάρτηση Lagrange dt dx dx MRT X X dx T X T T dx 0 X L u u u T X X (,,,, λ, λ ) (, ) λ ( (, ) ) λ (, ) και βρίσκουµε τις Συνθήκες α' τάξης X λ 0 [9]

10 X λ 0 λ λ 0 X λ λ 0 X u u λ (, ) 0 T X X λ (, ) 0 ιαιρώντας κατά µέλη τις δύο πρώτες εξισώσεις βρίσκουµε X X ιαιρώντας κατά µέλη την τρίτη κατά σειρά εξίσωση µε την τέταρτη κατά σειρά εξίσωση βρίσκουµε X X Με δεδοµένο ότι τα δεύτερα µέλη των παραπάνω εξισώσεων είναι τα ίδια, τότε το ίδιο ισχύει και για τα πρώτα οπότε έχουµε ότι X u u T X ή εξ ορισµού του MRS και του MRT, MRS MRS MRT Θέµα 0ο Το άτοµο/παραγωγός λύνει ma w, [0]

11 s t Η διαφορά w είναι το κέρδος του ατόµου/παραγωγού Αντικαθιστώντας τον ισοτικό περιορισµό µέσα στην αντικειµενική συνάρτηση λύνουµε ma w και βρίσκουµε τη Συνθήκη α' τάξης 6 36 w ( w) D w D 36 7 Άρα ( ) w w Το άτοµο/καταναλωτής λύνει ma u(, ), 9 s t w π, όπου π κέρδος από την επιχ/ση της οποίας είναι ιδιοκτήτης Σχηµατίζουµε τη συνάρτηση Lagrange L(,, λ) λ( w π ) 9 και βρίσκουµε τις Συνθήκες α' τάξης []

12 L λ 0 L λw 0 9 L w π 0 λ Από τις δύο πρώτες εξισώσεις συνεπάγεται S 9w ( w ) Αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα στην τρίτη εξίσωση βρίσκουµε D 9w D S 36 9w π Σε γενική ισορροπία ισχύει εξ ορισµού ότι w w S D S 36 (αµοιβή εργασίας σε γενική ισορροπία) 9 Άρα () 36 και D 9w 9 π 36 π π 8 Συνοψίζοντας η ανταγωνιστική (Βαλρασιανή, γενική) ισορροπία είναι το διάνυσµα (, ) (9,36) []

Σχετικά έγγραφα

Θεωρία: dq1 dq1 dq1 P1 E1. dq2 dq2 dq2 P2 E2 1 1 P E E. d π dp dc dq dq dq. dp dc dq dq

Θεωρία: dq1 dq1 dq1 P1 E1. dq2 dq2 dq2 P2 E2 1 1 P E E. d π dp dc dq dq dq. dp dc dq dq Θεωρία: Θέµα ο Η συνάρτηση κέρδους του µονοπωλητή ο οποίος πραγµατοποιεί διάκριση τιµών τρίτου βαθµού µεταξύ δύο αγορών και είναι η π µε τύπο π (, ) = R ( ) + R ( ) C( + ) Συνθήκες α' τάξης = R ' C ' =