y(t) = x(t) + e x(2 t)

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 5-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΕΞΕΤΑΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ - ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ιάρκεια : 3 ώρες Ηµεροµηνία : //6 Θέµα ο - Κατηγορίες Συστηµάτων - µονάδες Ελέγξτε αναλυτικά αν το παρακάτω σύστηµα είναι (αʹ (8 µ. χρονικά αµετάβλητο (ϐʹ (8 µ. ευσταθές (γʹ ( µ. αιτιατό (αʹ Για είσοδο x(, η έξοδος είναι y( = x( + e x( y ( = T {x( } = x( + e x( ( Η καθυστέρηση της εξόδου κατά δίνεται ως άρα το σύστηµα είναι Χ.Α. y( = x( + e x( ( = y ( (ϐʹ Αν η είσοδος είναι ϕραγµένη τότε η έξοδος είναι x( < B x άρα είναι ευσταθές. y( = x( + e x( x( + e x( < B x + e Bx = B y (γʹ εν είναι αιτιατό, γιατί για να ϐρεθεί, για παράδειγµα, η έξοδος y( τη χρονική στιγµή =, απαιτείται η χρονική στιγµή = της εισόδου, δηλ. y( = x( + e x( πράγµα που κάνει το σύστηµά µας µη αιτιατό.

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος Θέµα ο - ΓΧΑ συστήµατα µε µη περιοδική είσοδο - 5 µονάδες Εστω το σήµα ( x( = rec το οποίο εµφανίζεται στην είσοδο ενός ΓΧΑ συστήµατος µε κρουστική απόκριση h( = ɛ( + (αʹ (5 µ. Υπολογίστε την έξοδο του συστήµατος, y(. (ϐʹ ( µ. Βρείτε τους µετασχηµατισµούς Fourier, X(f, H(f, των x(, h(, αντίστοιχα. (αʹ ιακρίνουµε τις περιπτώσεις, οι οποίες ϕαίνονται στο Σχήµα. ε(-τ (η + - τ - ε(-τ (η - + τ - (3η ε(-τ - + τ - Σχήµα : Περιπτώσεις συνέλιξης Είναι y( =, + < < + y( = ( dτ = τ + = ( + + ( = ( + =, < y( = ( dτ = τ = + ( = =,

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 3 Άρα συνολικά, < y( = ( +, <, (ϐʹ Είναι (από πίνακες και ιδιοτητες X(f = sinc(f = sinc(f και H(f = ( δ(f + e jπf = ejπf δ(f + jπf jπf

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος Θέµα 3ο - ΓΧΑ Συστήµατα µε περιοδική είσοδο - 5 µονάδες Εστω το σήµα x( = 3 cos( + π/3 το οποίο παρουσιάζεται ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστηµα µε απόκριση σε συχνότητα Βρείτε την έξοδο y( του συστήµατος. H(f = + (πf Εχουµε δείξει ότι ένα περιοδικό σήµα σε µορφή αθροίσµατος ηµιτόνων περνά από ένα ΓΧΑ σύστηµα µε απόκριση συχνότητας H(f ως άρα η έξοδος είναι µε και y( = X H( + N X k H(f k cos(πf k + φ k + θ(f k k= ( ( ( y( = 3 H cos + π/3 + θ π π ( H = π 5 ( θ = π αφού το H(f είναι πραγµατικό και ϑετικό f. Άρα y( = 3 cos( + π/3 5

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 5 Θέµα ο - Σειρές Fourier και Μετασχηµατισµός Fourier - 35 µονάδες Εστω το περιοδικό µε περίοδο T σήµα x( που δίνεται σε µια περίοδό του ως, < T x T ( = T T, < T (αʹ (.5 µ. Σχεδιάστε το x T ( (µια περίοδο στο χρόνο. (ϐʹ (5 µ. Βρείτε το d x T ( και σχεδιάστε το. (γʹ (7.5 µ. είξτε ότι ο µετασχ. Fourier, X T (f, του x T (, είναι X(f = ( sinc jπf ( ft e jπft / Hin: Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης. (δʹ (.5 µ. Σχεδιάστε την παράγωγο, dx(, ολόκληρου του περιοδικού σήµατος στο χρόνο. (εʹ (5 µ. Γράψτε την παράγωγο, dx(, του περιοδικού σήµατος ως άθροισµα δυο περιοδικών σηµάτων, και σχεδιάστε τα. (ϛʹ (.5 µ. είξτε ότι οι συντελεστές Fourier, X k, του περιοδικού σήµατος x( δίνονται ως X k = π k ( ( k j πk (αʹ Η γραφική παράσταση του x T ( ϕαίνεται στο Σχήµα. Hin: Χρησιµοποιήστε την ιδιότητα της παραγώγισης. x T ( T / T Σχήµα : Σήµα x T (

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 6 dx T (/ δ( T / T -/T Σχήµα 3: Σήµα dx T ( (ϐʹ Το σήµα αποτελείται από µια πλάγια ευθεία, ενώ υπάρχει και µια ασυνέχεια στη ϑέση =. Η παράγωγος λοιπόν ϑα είναι όπως στο Σχήµα 3. Η παράγωγος γράφεται ως dx T ( (γʹ Η παραπάνω παράγωγος έχει µετασχ. Fourier δηλ. F { dx T ( { } = F δ( rec T F { dx T ( Από την ιδιότητα της παραγώγισης = δ( ( T rec T ( T } T ( } = sinc T = T T sinc ( f T F { dx T ( } = jπfx T (f e jπf T f T e jπf T έχουµε X T (f = jπf F {dx T ( } = ( ( sinc jπf f T e jπf T (δʹ Η παράγωγος ολόκληρου του περιοδικού σήµατος ϕαίνεται στο Σχήµα. (εʹ Η παράγωγος µπορεί να χωριστεί σε δυο περιοδικά σήµατα, όπως αυτά στο Σχήµα 5. Τα σήµατα αυτά γράφονται ως dx ( dx ( = = k= k= δ( kt ( ( (k + T rec T T /

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 7 dx(/. T / 3T / 5T /.. T T -/T Σχήµα : Σήµα dx( dx (/... T T dx (/... T / T 3T / T 5T / -/T Σχήµα 5: Σήµατα dx ( και dx ( (ϛʹ Το περιοδικό σήµα y( = dx ( έχει συντελεστές Fourier Y k = T / δ(e jπkf = T T T / από γνωστή ιδιότητα της συνάρτησης έλτα, άρα Y k = T Οµοια, οι συντελεστές Fourier του z( = dx ( είναι Z k = T ( ( T rec T T T / e jπkf

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 8 δηλ. Z k = T T / e jπkf = T ( jπkf e jπkf T / Οπότε οι συντελεστές Fourier του σήµατος της παραγώγου είναι X d k = Y k + Z k = T + jπkt (( k = jπkt (e jπk = jπkt (( k Από την ιδιότητα της παραγώγισης, ξέρουµε ότι οι συντελεστές αυτοί ισούνται µε jπkf X k όπου X k οι αρχικοί συντελεστές Fourier (της παράγουσας. Άρα X k = που µπορεί να γραφεί ως ( + (( k = jπkf T jπkt jπk + j π k (( k X k = j πk π k (( k = π k ( ( k j πk

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 5-6/Πρόοδος 9 Θέµα 5ο - Σειρές Fourier - 5 µονάδες Εστω το περιοδικό µε περίοδο T σήµα x( µε συντελεστές Fourier και X k = π k e jkπ, k X = 3 (αʹ ( µ. είξτε ότι η ισχύς, P x, του περιοδικού σήµατος ισούται µε P x = 5. (ϐʹ (5 µ. Τι ποσοστό της συνολικής ισχύος του σήµατος είναι κατανεµηµένο στους τρεις πρώτους όρους της τριγωνοµετρικής Σειράς Fourier; ίνονται τα εξής : k= k = π 9 7 ( π 9. (αʹ Η ισχύς του σήµατος µπορεί να δοθεί από το ϑεώρηµα του Parseval κατ ευθείαν στο χώρο του Fourier, δηλ. Οµως άρα P x = 9 + P x = k= + k= και από τις δοσµένες σχέσεις, ϑα είναι X k = X + k= π k e jkπ = π k π k = 9 + π P x = π π k= 9 = = 5 π k e jkπ k = π (ϐʹ Οι τρεις πρώτοι όροι της τριγωνοµετρικής σειράς Fourier είναι από ως, άρα ϑα πρέπει να αθροίσουµε την ισχύ των X ±, X ±, X Άρα P = X + X + X = 9 + π + 6π οπότε, κάνοντας τις πράξεις, P = π + 8 6π = π ( + 6 = π 7 6 k= k =.98 Τέλος, το ποσοστό της ισχύς που ϐρίσκεται στους τρεις πρώτους όρους της τριγωνοµετρικής σειράς Fourier είναι P (% = P =.98 P x. = 99%