x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

Transcript

1 Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax + aby + az = a(2b + 3) + b ax + by + bz = a + 5b. b) Rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem Z 7 x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = Neka je S = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 } bilo koji skup sa pet elemenata i f i : S R, i = 1, 2, 3, preslikavanja definisana sa { 1, x = ai f i (x) = 0, x a i. Ako je X = L(f 1, f 2, f 3 ), odrediti potprostor Y takav da je R S = X Y. 3. Ako je X = {p R 4 x p(0) = 2p (0) p (0), p ( 1 3 ) = 0} i Y = L(1 + x2, 1 + x + x 2 + 2x 3 ), odrediti dimenzije i po jednu bazu potprostora X, X + Y i X Y. 4. Dokazati: (a) tr(ab) = tr(ba), gde je A proizvoljna matrica tipa m n i B proizvoljna matrica tipa n m; (b) tr(bab 1 ) = tr(a), gde su A i B proizvoljne matrice tipa n n i B je regularna.

2 Linearna algebra A, Januar 2015, 1.tok 22. januar Formulisati i dokazati lemu o linearno zavisnim listama. 2. Dokazati ili dati kontraprimer: ako su U 1, U 2 i W potprostori vektorskog prostora V takvi da je V = U 1 W i V = U 2 W, onda je U 1 = U Neka je V vektorski prostor svih realnih funkcija oblika: u : x e x (a + b cos x + c sin x). Ako je u 1 : x e x i U = L(u 1 ), odrediti potprostor W takav da je V = U W. 4.Neka je V vektorski prostor svih realnih funkcija oblika: u : x e x (a + b cos x + c sin x). Dokazati da je sa A : u u + 2u definisan jedan linearni operator na V i odrediti neku njegovu matricu. 5. Dato je preslikavanje L : R 4 x R 3 x sa L(p) = p(1) + p (1)x + p ( 1)x 2. Odrediti po jednu bazu za KerL i ImL kao i rang i defekt preslikavanja L. Za studente koji polaжu samo drugi deo: Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na baze f = f 1, f 2, f 3, f 4 prostora R 4 x i g = g 1, g 2, g 3 prostora R 3 x, gde je f 1 = 1 + x, f 2 = x 2 + x 3, f 3 = x + x 2, f 4 = x x 2 i g 1 = x, g 2 = x + 3, g 3 = (x + 2) Ako za dva linearna preslikavanja L i F konaqnih rangova postoji njihova kompozicija LF, dokazati da je tada 7. Ako je A = 2 1 ρ(f ) ρ(lf ) = dim(kerl ImF )., ispitati da li je sa L(M) = Tr(A)M + Tr(M)A definisan dijagonalan linearni operator na vektorskom prostoru M 2 (R). Ako jeste, odrediti neku bazu prostora M 2 (R) u kojoj je matrica operatora L dijagonalna. 8. Dokazati da za svaka dva polinoma p, q FX, q 0, postoje jedinstveni polinomi s, r FX, takvi da je p = sq + r i da je deg(r) < deg(q). Studenti koji polaжu samo drugi deo reade zadatke 5, 6, 7. i 8. Studenti koji polaжu ceo ispit rade sve zadatke.

3 Linearna algebra A, Februar 2015, 1.tok 12. februar Ispitati da li je skup F svih matrica iz M 3 (R) oblika a a a F a = a a a a a a polje u odnosu na njihovo sabiranje i mnoжenje. 2. Dokazati da za potprostore F i G vektorskog prostora V konaqne dimenzije postoji potprostor U za koji vaжi ako i samo ako je dimf = dimg. V = F U = G U, 3. Ako je T endomorfizam konaqno-dimenzionalnog vektorskog prostora, dokazati ekvivalencije: T je izomorfizam ako i samo ako T je injektivan ako i samo ako T je surjektivan Neka je A = i prostor V zadat sa: { } a b a V = a, b R. 0 a Ako je W 1 = {X M 2 (R) AX = 0} i W 2 = {X M 2 (R) X = X T }, ispitati da li je M 2 (R) = V W 1 i M 2 (R) = V W Dato je preslikavanje L : R 3 x M 2 (R) sa p L(p) = (1) p(1) p(0) 1 2 p 2p(0) + p (0). (1) Odrediti po jednu bazu za KerL i ImL kao i rang i defekt preslikavanja L. (2) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na baze f = f 1, f 2, f 3 prostora R 3 x i G = G 1, G 2, G 3, G 4 prostora M 2 (R), gde je f 1 = x, f 2 = x + 3, f 3 = (x + 2) 2 i G 1 = G 2 =, G =, G 4 = Ako je linearni operator L na vektorskom prostoru V dijagonalan, dokazati da je tada 7. Ispitati da li je sa V = KerL ImL. L(p) = (x 1)( 1 2 p xp(0)) + p (0)(1 + x 2 ) definisan dijagonalan linearni operator na vektorskom prostoru R 3 x. Ako jeste, odrediti neku bazu prostora R 3 x u kojoj je matrica operatora L dijagonalna i napisati matricu. 8. Neka je V kompleksni vektorski prostor sa hermitskim proizvodom,. Dokazati da za svaka dva vektora u, v V vaжi: gde je u norma vektora u. u, v = 1 4 ( u + v 2 u v 2 + i u + iv 2 i u iv 2 ),, Studenti koji polaжu samo drugi deo reade zadatke 5, 6, 7. i 8. Studenti koji polaжu ceo ispit rade sve zadatke.

4 Linearna algebra A, Jun 2015, 1.tok 12. jun Ispitati da li je skup F svih matrica iz M 2 (Q) oblika a 3b F = b a polje u odnosu na njihovo sabiranje i mnoжenje. 2. Dokazati da za dva vektorska potprostora F i G istog vektorskog prostora V vaжi F + G F G ako i samo ako je F G ili G F. 3. Neka je V vektorski prostor svih realnih funkcija oblika: u : x α + β cos 2x. Ako je u 1 : x cos 2 x i U = L(u 1 ), odrediti potprostor W takav da je V = U W. 4. Dato je preslikavanje L : R 4 x R 3 x sa L(p) = p(x + 1) + p(x 1) 2p(x). (1) Odrediti po jednu bazu za KerL i ImL kao i rang i defekt preslikavanja L. (2) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na baze f = f 1, f 2, f 3, f 4 prostora R 4 x i g = g 1, g 2, g 3 prostora R 3 x, gde je f 1 = 1, f 2 = x + 2, f 3 = x 2, f 4 = x i g 1 = 1, g 2 = x + x 2, g 3 = x Ako za linearna preslikavanja L i F nekog vektorskog prostora V vaжi ρ(l + F ) = ρ(l) + ρ(f ), ispitati da li je tada V = KerL + KerF. 6. Ispitati da li je sa ( a b L c d ) = 2a + c + d b a + 2c + 2d 0 definisan dijagonalan linearni operator na vektorskom prostoru M 2 (R). Ako jeste, odrediti neku bazu prostora M 2 (R) u kojoj je matrica operatora L dijagonalna i napisati matricu. 7. (a) Dokazati da svaki operator na konaqno-dimenzionalnom nenula kompleksnom vektorskom prostoru ima bar jednu sopstvenu vrednost. (b) Da li isto tvrđenje vaжi i za realne vektorske prostore? Obrazloжiti, dokazati ili dati kontraprimer. 8. Neka su A, B, C tri matrice dimenzije 7 7 i neka je matrica A invertibilna. Ako vaжi (A B)C = BA 1, dokazati da onda vaжi i C(A B) = A 1 B.

5 Linearna algebra A, Septembar 2015, 1.tok 3. septembar Ispitati da li je skup F = {a b 5 a, b Q} polje u odnosu na sabiranje i mnoжenje racionalnih brojeva. 2. Dokazati da je vektorski prostor V konaqne dimenzije ako i samo ako je konaqan i svaki strogo rastu i lanac F 1 F 2 F 3... njegovih potprostora Neka je A =, B = i U = {X M 2 (R) XA = 0, BX = 0}. Odrediti potprostor W takav da je M 2 (R) = U W. 4. Dato je preslikavanje L : R 3 x R 4 sa L(p) = (p(1) p(2), 0, 0, p(0)). (1) Odrediti po jednu bazu za KerL i ImL kao i rang i defekt preslikavanja L. (2) Odrediti matricu preslikavanja L u odnosu na baze f = f 1, f 2, f 3 prostora R 3 x i g = g 1, g 2, g 3, g 4 prostora R 4, gde je f 1 = 1, f 2 = 1 + x, f 3 = 1 + x + x 2, i g 1 = (1, 1, 00), g 2 = (0, 0, 1, 1), g 3 = (1, 0, 0, 1), g 4 = (0, 1, 1, 1). 5. Ako za linearan operator L vaжi KerL ImL = {0}, dokazati da je tada KerL n = KerL za svako n. 6. Ispitati da li je sa L (p) = (x 1)( 1 2 p xp(0)) + p (0)(1 + x 2 ) definisan dijagonalan linearni operator na vektorskom prostoru R 3 x. Ako jeste, odrediti neku bazu prostora R 3 x u kojoj je matrica operatora L dijagonalna i napisati matricu. 7. Formulacija i dokaz Grasmanove formule. 8. Neka je W linearni omotaq skupa vektora {XY Y X : X, Y M n (Q)} u Q-vektorskom prostoru n n matrica M n (Q) sa koeficijentima u Q. Odrediti dimenziju W nad poljem Q.

6 Linearna algebra B, Jun 2015, grupa 1o1 19. jun Izraqunati determinantu: 1 + x x x x n x n+1 1 x 1 + x 2 x x 2 2 x x 3 2 x n 1 + x n 2 x n x n+1 2 x 2 + x 3 x x 2 3 x x 3 3 x n 2 + x n 3 x n x n x n 1 + x n x 2 n 1 + x 2 n x 3 n 1 + x 3 n x n n 1 + x n n x n+1 n 1 + xn+1 n x n x 2 n x 3 n x n n x n+1 n 2. Neka je preslikavanje : M 2 (R) M 2 (R) R zadato sa ( 3 0 A B = Tr A T Dokazati da je skalarni proizvod. Ako je U = {A M 2 (R) A T = A}, odrediti jednu bazu za U i za U. 3. Neka je U potprostor iz prethodnog zadatka. Odrediti ugao između matrice C = i potprostora U (koristiti skalarni proizvod iz prethodnog zadatka). 4. Dat je linearni operator L : R 3 x R 3 x sa L(p) = p ( 1 2 ) + (p (0) p(1)) x (p(0) + p (0)) x 2 i skalarni proizvod : R 3 x R 3 x R sa p q = p(0)q(0) + p (0)q (0) p q. Dokazati da je L simetriqan linearni operator datog euklidskog vektorskog prostora i na i neku ortonormiranu bazu f = f 1, f 2, f 3 prostora R 3 x u kojoj operator L ima dijagonalnu matricu i napisati tu matricu. 5. Dokazati da su linearne forme ) B. Φ 1 (p) = p(1) + p (0), Φ 2 (p) = p (1) p( 1), Φ 3 (p) = p (0) prostora V = R 3 X linearno nezavisne i odrediti bazu f 1, f 2, f 3 prostora V qija je dualna baza bax Φ 1, Φ 2, Φ Neka je CX (beskonaqnodimenzioni) kompleksni vektorski prostor svih polinoma sa koeficijentima u polju C i neka je D : CX CX operator diferenciranja. Odrediti sve sopstvene vrednosti operatora D. 7. Neka je T normalan operator na hermitskom vektorskom prostoru V. Ako je v sopstveni vektor operatora T, dokazati da je v sopstveni vektor i za T. 8. Za operator S na hermitskom vektorskom prostoru V kaжemo da je izometrija ako vaжi S(u), S(v) = u, v, za svaka dva vektora u, v V. Dokazati da za izometriju S vaжi da je S S = I, gde je I identiqki operator na V.

7 Linearna algebra B, Jun , grupa 1o1 29. jun Izraqunati determinantu: 0 x 1 x 1 + x 2 x x n 1 x x n x x x x x 1 x 2 x x x x x n 1 x n 1 x n x n x n 1 x n x n x n x n 1 + x n 2. Neka je preslikavanje : R 3 X R 3 X R zadato sa p q = (p(0) p (0))(q(0) q (0)) + (p (0) 1 2 p )(q (0) 1 2 q ) p q. Dokazati da je skalarni proizvod. Ako je U = {p R 3 X p = 0}, odrediti jednu bazu za U i za U. 3. Neka je U potprostor iz prethodnog zadatka. Odrediti bar jedan realan broj a za koji je rastojanje vektora r(x) = 3a + 2ax + ax 2 od potprostora U jednako 2. (koristiti skalarni proizvod iz prethodnog zadatka). 4. Dat je linearni operator L : R 3 x R 3 x sa L(p) = 3p(0) p ( 1 2 ) + (2p (0) p( 1))x + (2p p(1))x 2 i skalarni proizvod : R 3 x R 3 x R sa p q = p(0)q(0) + p (0)q (0) p q. Dokazati da je L simetriqan linearni operator datog euklidskog vektorskog prostora i na i neku ortonormiranu bazu f = f 1, f 2, f 3 prostora R 3 x u kojoj operator L ima dijagonalnu matricu i napisati tu matricu. 5. Data je baza F 1, F 2, F 3, F 4, F 1 = F 2 = F 3 = F 4 = prostora M 2 (R). Odrediti bazu Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ 4 dualnu bazi F 1, F 2, F 3, F 4. Ako je linearna forma 2 1 Φ : M 2 (R) R definisana sa Φ(A) = tr(c A) gde je C =, izraziti Φ kao linearnu 1 1 kombinaciju formi Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ Gram-Xmitov postupak ortogonalizacije - tvrđenje i dokaz. 7. Na i polinom p(x) R 3 X takav da je p(0) = 0, p (0) = 0 i da integral X p(x) 2 dx ima najmanju mogu u vrednost. (Uputstvo: Definisati odgovaraju i skalarni proizvod na prostoru polinoma R 3 X i setiti se jednog ispitnog pitanja.) 8. Neka je V konaqno-dimenzioni hermitski vektorski prostor i S End(V ) jedna izometrija od V, tj. linearni operator koji zadovoljava Su, Sv = u, v, za sve vektore u, v V. (a) Dokazati da je operator S i normalan 3 boda; (b) dokazati da postoji neka ortonormirana baza vektorskog prostora V koja se sastoji od sopstvenih vektora operatora S 3 boda; (v) dokazati da sve sopstvene vrednosti od S imaju kompleksnu apsolutnu vrednost jednaku 1. 4 boda

8 Linearna algebra B, Septembar 2015, grupa 1o1 16. septembar Izraqunati determinantu: x 1 a x 2 x 2 a x n x n x n x n a n 2. Neka je preslikavanje : R 3 X R 3 X R zadato sa p q = p(0)(q(0) q (0)) + p (0)(2q (0) 1 2 q ) p (q q (0)) p (0)q(0). Dokazati da je skalarni proizvod. Ako je U = {p R 3 X p (0) = 0}, odrediti jednu bazu za U i za U. 3. U euklidskom vektorskom prostoru R 3 x sa skalarnim proizvodom p q = 1 p(x)q(x)dx, odrediti rastojanje vektora r(x) = x 2 od potprostora W = L(x) Dat je linearni operator L : R 3 R 3 sa L((a, b, c)) = (3a 2b + 4c, 2a + 6b + 2c, 4a + 2b + 3c). Dokazati da je L simetriqan linearni operator datog euklidskog vektorskog prostora u odnosu na skalarni proizvod (a, b, c) (a, b, c ) = aa + bb + cc i na i neku ortonormiranu bazu f = f 1, f 2, f 3 prostora R 3 u kojoj operator L ima dijagonalnu matricu i napisati tu matricu. 5. Dokazati ( da su linearne ) forme ( ) ( ) Φ 1 (A) = tr A, Φ 2 (A) = tr A, Φ 3 (A) = tr A, i ( ) Φ 4 (A) = tr A prostora V = M 2 (R) linearno nezavisne i odrediti bazu f 1, f 2, f 3, f 4 prostora V qija je dualna baza bax Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ Ako je T normalan operator na konaqnodimenzionom hermitskom vektorskom prostoru, dokazati da su sopstveni vektori koji odgovaraju razliqitim sopstvenim vrednostima ortogonalni. 7. Neka je T samoadjungovani operator na konaqnodimenzionom hermitskom vektorskom prostoru. Dokazati da je operator T 2 2T + 5I invertibilan. (Uputstvo: dokaz je bio na predavanjima...) 8. Neka je V kompleksni hermitski konaqnodimenzioni vektorski prostor i T normalni operator na V takav da je T 9 = T 8. Dokazati da je T onda i samoadjungovan i da vaжi i T 2 = T.