Osnove Fourierove analize
|
|
|
- Πρίσκιλλα Ζαΐμης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Osnove Fourierove analize Franka Miriam Brückler
2 Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3πx)?
3 Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3πx)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2?
4 Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3πx)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2? Periodična funkcija f : R R perioda T (ne nužno temeljnog) potpuno je odredena svojom restrikcijom na segment [ L, L] gdje je L = T 2. Vrijedi i obrnuto: svaka funkcija zadana na [ L, L] prirodno se proširuje do periodične funkcije na R perioda 2L.
5 Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3πx)? Zadatak Za koji a će sin(ax) imati period π/2? Periodična funkcija f : R R perioda T (ne nužno temeljnog) potpuno je odredena svojom restrikcijom na segment [ L, L] gdje je L = T 2. Vrijedi i obrnuto: svaka funkcija zadana na [ L, L] prirodno se proširuje do periodične funkcije na R perioda 2L. Najjednostavnije funkcije koje imaju period 2L su funkcije oblika ( mπx ) f m (x) = cos L i (za m N 0, n N). g n (x) = sin ( nπx ) L
6 Primjer Ako je L = π, tj. ako promatramo funkcije perioda 2π, onda je f m (x) = cos (mx), g n (x) = sin (nx). Uočimo da im za m, n > 1 2π nije temeljni (najmanji) period.
7 Primjer Ako je L = π, tj. ako promatramo funkcije perioda 2π, onda je f m (x) = cos (mx), g n (x) = sin (nx). Uočimo da im za m, n > 1 2π nije temeljni (najmanji) period. Na vektorskom prostoru svih realnih funkcija s domenom [ L, L] (koje imaju najviše konačno mnogo prekida) skalarni produkt definiramo formulom f, g = L L f (x)g(x) dx. Zbog opisanog poistovjećivanja funkcija s periodom 2L s funkcijama kojima je [ L, L] domena, gornja formula definira i skalarni produkt za funkcije s periodom 2L.
8 Svaka funkcija tipa f m ortogonalna je na svaku funkciju tipa g n : f m, g n = (zašto je to očito?). L L cos ( mπx ) ( nπx ) sin dx = 0 L L
9 Svaka funkcija tipa f m ortogonalna je na svaku funkciju tipa g n : f m, g n = L L cos (zašto je to očito?). Za m n vrijedi i Nadalje, ako m = n 0 vrijedi Za slučaj m = n = 0 imamo ( mπx ) ( nπx ) sin dx = 0 L L f m, f n = g m, g n = 0. f n, f n = g n, g n = L. f 0, f 0 = 2L.
10 U ovom nam je poglavlju cilj zadanu periodičku funkciju f : R R aproksimirati linearnom kombinacijom sinusa i kosinusa s istim periodom, tj. linearnom kombinacijom funkcija f m i g n.
11 U ovom nam je poglavlju cilj zadanu periodičku funkciju f : R R aproksimirati linearnom kombinacijom sinusa i kosinusa s istim periodom, tj. linearnom kombinacijom funkcija f m i g n. Kao i kod redova potencija kod kojih je cilj aproksimacija konačnom sumom (polinomom), s obzirom da želimo dozvoliti načelno proizvoljno duge parcijalne sume, promatramo odgovarajuće beskonačne sume: Trigonometrijski redovi (perioda T = 2L) su redovi funkcija oblika + n=0 (A nf n (x) + B n g n (x)). Nulti član je konstantna funkcija A 0 (jer je g 0 nulfunkcija). Stoga je uobičajenija notacija općeg oblika trigonometrijskog reda A (A n f n (x) + B n g n (x)). n=1
12 U ovom nam je poglavlju cilj zadanu periodičku funkciju f : R R aproksimirati linearnom kombinacijom sinusa i kosinusa s istim periodom, tj. linearnom kombinacijom funkcija f m i g n. Kao i kod redova potencija kod kojih je cilj aproksimacija konačnom sumom (polinomom), s obzirom da želimo dozvoliti načelno proizvoljno duge parcijalne sume, promatramo odgovarajuće beskonačne sume: Trigonometrijski redovi (perioda T = 2L) su redovi funkcija oblika + n=0 (A nf n (x) + B n g n (x)). Nulti član je konstantna funkcija A 0 (jer je g 0 nulfunkcija). Stoga je uobičajenija notacija općeg oblika trigonometrijskog reda A (A n f n (x) + B n g n (x)). n=1
13 Ako područje konvergencije trigonometrijskog reda sadrži segment [ L, L], onda je sa f (x) = A (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 definirana funkcija na [ L, L], tj. funkcija perioda 2L.
14 Ako područje konvergencije trigonometrijskog reda sadrži segment [ L, L], onda je sa f (x) = A (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 definirana funkcija na [ L, L], tj. funkcija perioda 2L. Kao što smo se kod redova potencija pitali za koje koeficijente ćemo dobiti najbolju aproksimaciju parcijalnom sumom i iz tog uvjeta dobili Taylorov red, tako ovdje postavljamo pitanje: Za koje koeficijente u gornjem redu taj red konvergira na [ L, L] i pritom je njegova suma u svakoj točki x tog intervala jednaka f (x)?
15 Ako područje konvergencije trigonometrijskog reda sadrži segment [ L, L], onda je sa f (x) = A (A n f n (x) + B n g n (x)) n=1 definirana funkcija na [ L, L], tj. funkcija perioda 2L. Kao što smo se kod redova potencija pitali za koje koeficijente ćemo dobiti najbolju aproksimaciju parcijalnom sumom i iz tog uvjeta dobili Taylorov red, tako ovdje postavljamo pitanje: Za koje koeficijente u gornjem redu taj red konvergira na [ L, L] i pritom je njegova suma u svakoj točki x tog intervala jednaka f (x)? Pomnožimo pretpostavljenu jednakost skalarno s f m. Dobijemo f, f m =... = A m f m, f m = A m L.
16 Dakle, ako je uopće moguće postići traženu jednakost funkcije i trigonometrijskog reda, onda je A n = 1 L f, f n, n N 0. Analogno se dobije da tada mora biti i B n = 1 L f, g n, n N.
17 Dakle, ako je uopće moguće postići traženu jednakost funkcije i trigonometrijskog reda, onda je A n = 1 L f, f n, n N 0. Analogno se dobije da tada mora biti i B n = 1 L f, g n, n N. Brojevi A n i B n odredeni gornjim formulama zovu se Fourierovi koeficijenti funkcije f. Fourierov red funkcije f je trigonometrijski red kojem su koeficijenti upravo Fourierovi koeficijenti.
18 Važno i korisno! Ako je f parna funkcija, onda su svi B n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo kosinusi.
19 Važno i korisno! Ako je f parna funkcija, onda su svi B n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo kosinusi. Ako je f neparna funkcija, onda su svi A n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo sinusi.
20 Važno i korisno! Ako je f parna funkcija, onda su svi B n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo kosinusi. Ako je f neparna funkcija, onda su svi A n jednaki 0, tj. u Fourierovom redu pojavljuju se samo sinusi. Fourierov red funkcije f : [ L, L] R konvergira na [ L, L] i ako f ima najviše konačno mnogo točaka prekida (koje su skokovi) i ako f konačno mnogo lokalnih ekstrema. Tada za svaki x [ L, L] osim eventualno u točkama prekida i u ±L vrijedi f (x) = A (A n f n (x) + B n g n (x)). n=1
21 Primjer Odredimo Fourierov red funkcije definirane s 1, 1 < x < 0 f (x) = 0, x = 0 1, 0 < x < 1 i po periodičnosti proširene na R.
22 Primjer Odredimo Fourierov red funkcije definirane s 1, 1 < x < 0 f (x) = 0, x = 0 1, 0 < x < 1 i po periodičnosti proširene na R. Funkcija je neparna, dakle su svi A n = 0, odnosno u razvoju u Fourierov red imamo samo sinuse.
23 Primjer Odredimo Fourierov red funkcije definirane s 1, 1 < x < 0 f (x) = 0, x = 0 1, 0 < x < 1 i po periodičnosti proširene na R. Funkcija je neparna, dakle su svi A n = 0, odnosno u razvoju u Fourierov red imamo samo sinuse. L = 1 pa su f n (x) = sin(nπx) i B n = 1 1 f (x) sin(nπx) dx = 1 2 (2 2 cos(nπ)) = nπ nπ (1 ( 1)n ).
24 Primjer Odredimo Fourierov red funkcije definirane s 1, 1 < x < 0 f (x) = 0, x = 0 1, 0 < x < 1 i po periodičnosti proširene na R. Funkcija je neparna, dakle su svi A n = 0, odnosno u razvoju u Fourierov red imamo samo sinuse. L = 1 pa su f n (x) = sin(nπx) i B n = 1 1 f (x) sin(nπx) dx = 1 2 (2 2 cos(nπ)) = nπ nπ (1 ( 1)n ). f (x) = 4 π za sve x kl, k Z. ( sin πx L + 1 3πx sin 3 L ) 5πx sin L +...
25
26 Primjer Ako je f na [ L, L] zadana s f (x) = 2 L x + 1 za x < 0 i f (x) = 2 Lx + 1 za x 0, imamo parnu funkciju.
27 Primjer Ako je f na [ L, L] zadana s f (x) = 2 L x + 1 za x < 0 i f (x) = 2 Lx + 1 za x 0, imamo parnu funkciju. Stoga su svi B n = 0. Račun za A n daje: Za parne n je A n = 0, a za neparne n je A n = 8 za k π 2 n 2 N 0 tj. pripadni Fourierov red glasi A 1 f 1 (x) + A 3 f 3 (x) + A 5 f 5 (x) + A 7 f 7 (x) +... = = 8 ( πx ) (cos π ( ) 3πx L 9 cos + 1 ( ) ) 5πx L 25 cos L
28 Primjer Ako je f na [ L, L] zadana s f (x) = 2 L x + 1 za x < 0 i f (x) = 2 Lx + 1 za x 0, imamo parnu funkciju. Stoga su svi B n = 0. Račun za A n daje: Za parne n je A n = 0, a za neparne n je A n = 8 za k π 2 n 2 N 0 tj. pripadni Fourierov red glasi A 1 f 1 (x) + A 3 f 3 (x) + A 5 f 5 (x) + A 7 f 7 (x) +... = = 8 ( πx ) (cos π ( ) 3πx L 9 cos + 1 ( ) ) 5πx L 25 cos L No, ako želimo koristiti Fourierov red za aproksimacije, je li najbolje uzimati što dulje parcijalne sume? Ne!
29 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kompleksni oblik Fourierovog reda cos t + i sin t
30 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kompleksni oblik Fourierovog reda cos t + i sin t = e it, cos t i sin t = e it cos t = eit + e it 2 = eit + e it, sin t = eit e it 2 2i = eit e it. 2i
31 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kompleksni oblik Fourierovog reda cos t + i sin t = e it, cos t i sin t = e it cos t = eit + e it 2 Slijedi gdje je = eit + e it, sin t = eit e it 2 2i f (x) = A (A n f n (x) + B n g n (x)) = = A n=1 n=1 A n ib n + φ n (x) + 2 n=1 φ n (x) = exp(inπx/l). A n + ib n φ n ( x) 2 = eit e it. 2i
32 Kompleksni oblik Fourierovog reda Primijetimo: φ n(x) = φ n (x) = φ n ( x), a tako su i odgovarajući koeficijenti kompleksno konjugirani. Stoga dobivamo jednostavniji oblik + c n φ n (x) n= koji se naziva kompleksni oblik Fourierovog reda funkcije f, uz c 0 = A 0 2, c n = A n ib n, c n = A n + ib n (n N). 2 2 Ako je f realna i parna funkcija, svi koeficijenti c n su realni brojevi. Ako je f realna i neparna, svi c n su čisto imaginarni brojevi. Ako je f realna funkcija, za sve n vrijedi c n = c n. Zadatak Odredite kompleksne oblike Fourierovih redova za funkcije iz ranijih primjera.
33 Kompleksni oblik Fourierovog reda Spektar amplituda i fazni spektar Prikažemo li kompleksne Fourierove koeficijente u eksponencijalnom obliku c n = c n e iϕn, njihove apsolutne vrijednosti čine spektar amplituda, a argumenti čine fazni spektar: Spektar amplituda periodične funkcije f definira je funkcija c n u ovisnosti o kutnoj frekvenciji ω n = nπ L, a fazni spektar je ovisnost ϕ n o ω n.
34 Kompleksni oblik Fourierovog reda Spektar amplituda i fazni spektar Prikažemo li kompleksne Fourierove koeficijente u eksponencijalnom obliku c n = c n e iϕn, njihove apsolutne vrijednosti čine spektar amplituda, a argumenti čine fazni spektar: Spektar amplituda periodične funkcije f definira je funkcija c n u ovisnosti o kutnoj frekvenciji ω n = nπ L, a fazni spektar je ovisnost ϕ n o ω n. Primijetimo i da je fizikalna dimenzija od ω n recipročna fizikalnoj dimenziji od L, koja je pak jednaka fizikalnoj dimenziji varijable x funkcije f koju razvijamo u Fourierov red.
35 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kako dakle računamo te spektre za zadanu funkciju? 1 odredimo realne Fourierove koeficijente A n = 1 L f, f n, B n = 1 L f, g n ; 2 Iz njih izračunamo kompleksne Fourierove koeficijente: c 0 = A 0 2, c ±n = A n ib n (n N). 2
36 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kako dakle računamo te spektre za zadanu funkciju? 1 odredimo realne Fourierove koeficijente A n = 1 L f, f n, B n = 1 L f, g n ; 2 Iz njih izračunamo kompleksne Fourierove koeficijente: c 0 = A 0 2, c ±n = A n ib n (n N). 2 3 Odredimo im apsolutne vrijednosti da dobijemo spektar amplituda: c ±n = 1 A 2 2 n + Bn. 2 Primijetimo da ćemo za realne funkcije uvijek dobivati paran spektar amplituda.
37 Kompleksni oblik Fourierovog reda Kako dakle računamo te spektre za zadanu funkciju? 1 odredimo realne Fourierove koeficijente A n = 1 L f, f n, B n = 1 L f, g n ; 2 Iz njih izračunamo kompleksne Fourierove koeficijente: c 0 = A 0 2, c ±n = A n ib n (n N). 2 3 Odredimo im apsolutne vrijednosti da dobijemo spektar amplituda: c ±n = 1 A 2 2 n + Bn. 2 Primijetimo da ćemo za realne funkcije uvijek dobivati paran spektar amplituda. 4 Za fazni spektar odredimo argumente od c n -ova (tangens argumenta kompleksnog broja je kvocijent njegovog imaginarnog i realnog dijela). Primijetimo da se za parne realne funkcije fazni spektar sastoji samo od 0 i π, a za
38 Kompleksni oblik Fourierovog reda Spektar amplituda ukazuje koje od funkcija φ n u sumi najviše doprinose formiranju aproksimacije funkcije f putem Fourierova reda.
39 Kompleksni oblik Fourierovog reda Tako se iz spektra amplituda na slici desno vidi da u aproksimaciji funkcije s grafom prikazanim na slici lijevo najviše doprinose nulti, drugi, treći i peti član Fourierovog reda, tj. funkcije čiji grafovi su prikazani crno na slici u sredini. Na toj je slici plavo prikazan zbroj spomenuta četiri člana Fourierovog reda. Napomena Kako su n Z, slijedi da se radi diskretnim funkcijama te se ta dva grafa zovu i diskretni frekvencijski spektri ili linijski spektri. U grafičkom prikazu spektra amplituda i faznog spektra često se na apscisu nanosi n umjesto ω n.
40 Kompleksni oblik Fourierovog reda Primjer Periodičnu funkcija opisuje intenzitete niza jednoličnih impulsa: Impuls traje konstantnim intenzitetom 1/20 s, a razmak izmedu početka dva impulsa iznosi 1/4 s.
41 Kompleksni oblik Fourierovog reda Primjer Periodičnu funkcija opisuje intenzitete niza jednoličnih impulsa: Impuls traje konstantnim intenzitetom 1/20 s, a razmak izmedu početka dva impulsa iznosi 1/4 s. Imamo dakle redom: T = 2L = 1 { I, 1 4, f (t) = 40 < x < , inace
42 Kompleksni oblik Fourierovog reda Primjer Periodičnu funkcija opisuje intenzitete niza jednoličnih impulsa: Impuls traje konstantnim intenzitetom 1/20 s, a razmak izmedu početka dva impulsa iznosi 1/4 s. Imamo dakle redom: T = 2L = 1 { I, 1 4, f (t) = 40 < x < , inace Funkcija je parna pa je c ±n = A n 2 = 1 1/ I cos nπx dx = 8I 8 1/40 1/8 1/40 0 cos(8nπx) dx, c 0 = I 5, c n = 1 8nπ sin nπ 5 Spektar amplituda je stoga jednak (n 0).
43 Kompleksni oblik Fourierovog reda c 0 = I 5, c n = 1 8nπ sin nπ (n 0). 5 Za n 0 djeljiv s 5 amplitude su 0. Ako n pri dijeljenju s 5 daje ostatak 1 ili 4, c n = 1 8nπ sin π 5 0,0234/n, a ako n pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2 ili 3, c n = 1 8nπ sin 2π 5 0,0378/n.
44 Kompleksni oblik Fourierovog reda c 0 = I 5, c n = 1 8nπ sin nπ (n 0). 5 Za n 0 djeljiv s 5 amplitude su 0. Ako n pri dijeljenju s 5 daje ostatak 1 ili 4, c n = 1 8nπ sin π 5 0,0234/n, a ako n pri dijeljenju s 5 daje ostatak 2 ili 3, c n = 1 8nπ sin 2π 5 0,0378/n. Napomena Formalno gledajući, kompleksni Fourierovi koeficijenti čine kompleksan niz (c n ) + n=, tj. c : Z C (a c n je isto što i c(n)). Ukoliko definiramo c(ω n ) = c n doduše formalno imamo drugu funkciju (domena joj je skup svih cjelobrojnih višekratnika od π/l), no efektivno ništa bitno nismo promijenili.
45 Kompleksni oblik Fourierovog reda Zadatak Zadana je funkcija f : R R formulom f (x) = x 2. Skicirajte spektar amplituda za polinom stupnja 3 koji ju najbolje aproksimira oko 0, uzet kao periodična funkcija s temeljnim periodom 1 (tj. uzeto da je na [ 1, 1] taj polinom definicija periodične funkcije). Imamo prvo: x 2 = ( x 2 /4) = 1 4 ( x 2 /4) n = 1 4 x x , n=0 2 < x < 2. Stoga je na [ 1, 1] tražena formula periodične funkcije T 3 (x) = 1 4 x 2 16.
46 Kompleksni oblik Fourierovog reda Očito se radi o parnoj funkciji te je njen kompleksni Fourieov red oblika + c n exp(nπx), c ±n = A n 2 = 1 1 ( x 2 ) cos(nπx) dx. 16 n= Imamo: c 0 = 1 2 c ±n = 1 2 = Dakle je c 0 = 11/48 i ( 1 4 x 2 ) 16 ( 1 4 x 2 16 dx = 11 48, ) cos(nπx) dx = ( 4 x 2 ) cos(nπx) dx = ( 1)n 8π 2 n 2. c ±n = 1 8ωn 2.
47 Kompleksni oblik Fourierovog reda Da želimo našu (proširenu) funkciju T 3 aproksimirati sa recimo 5 članova, uzeli bismo n = 0, ±1, ±2 i dobili T 3 (x) (exp(πx) + exp( πx)) (exp(2πx) + exp( 2πx)) 8π2 32π2 = π 2 cos(πx) π 2 cos(2πx).
48 Kompleksni oblik Fourierovog reda Zadatak Spektar amplituda neke realne parne funkcije temeljnog perioda 1 zadan je formulom c n = ωn 1 za n 0 i c 0 = 1/π. Odredite najbolju polinomijalnu aproksimaciju stupnja 2 koji oko 0 najbolje aproksimira tri najznačajnija člana (realnog) Fourierovog reda te funkcije. Kako je zadano da je funkcija parna, imamo A 0 = 2/π, A n = 2 c n = 2L nπ = 1 nπ i B n = 0. Kako spektar amplituda pada s porastom n, tri najznačajnija člana dobivamo iz pet najznačajnijih kompleksnih članova (kao u prethodnom primjeru), odnosno dobijemo f (x) = 2 π + 1 π cos(2πx) + 1 2π cos(4πx). Najbolji kvadratni polinom koji oko 0 aproksimira f je T 2 (x) = f (0) + f (0)x + f (0) 2 x 2 = 7 2π 12πx 2.
49 Kompleksni oblik Fourierovog reda
50 Uvod u Fourierovu transformaciju Vidjeli smo: Periodičke funkcije se (uglavnom) mogu zapisati u obliku kompleksnog Fourierovog reda, koji je odreden Fourirerovim koeficijentima (i funkcijom i njezinim periodom). Kompleksni Fourierovi koeficijenti čine niz (c n ) n=, dakle funkciju c : Z C.
51 Uvod u Fourierovu transformaciju Vidjeli smo: Periodičke funkcije se (uglavnom) mogu zapisati u obliku kompleksnog Fourierovog reda, koji je odreden Fourirerovim koeficijentima (i funkcijom i njezinim periodom). Kompleksni Fourierovi koeficijenti čine niz (c n ) n=, dakle funkciju c : Z C. Razmaci izmedu spektralnih linija su ω n+1 ω n = π T /2.
52 Uvod u Fourierovu transformaciju Vidjeli smo: Periodičke funkcije se (uglavnom) mogu zapisati u obliku kompleksnog Fourierovog reda, koji je odreden Fourirerovim koeficijentima (i funkcijom i njezinim periodom). Kompleksni Fourierovi koeficijenti čine niz (c n ) n=, dakle funkciju c : Z C. Razmaci izmedu spektralnih linija su π T /2. ω n+1 ω n = Opću funkciju f : R R možemo zamisliti kao funkciju s jako velikim periodom. Time se razmaci medu spektralnim linijama smanjuju i linijski spektar prelazi u kontinuirani spektar (varijabla funkcije c iz diskretne ω n prelazi u kontinuiranu ω). Fourierov red, koji možemo shvatiti kao sumaciju po ω n, postaje integracija po dω: f (x) = + n= c n e iωnx f (x) = c(ω)e iωx dω.
53 Gornje ideje dadu se provesti formalno i rezultiraju u: Definicija (Fourierov transformat) Ako funkcija f : R C ima svojstvo da nepravi integral + f (t) dt konvergira, kažemo da je apsolutno integrabilna i za takvu funkciju f je s F(f )(ω) = + f (t)e iωt dt definirana kompleksna funkcija F(f ) : R C koja se zove Fourierov transformat od f.
54 Gornje ideje dadu se provesti formalno i rezultiraju u: Definicija (Fourierov transformat) Ako funkcija f : R C ima svojstvo da nepravi integral + f (t) dt konvergira, kažemo da je apsolutno integrabilna i za takvu funkciju f je s F(f )(ω) = + f (t)e iωt dt definirana kompleksna funkcija F(f ) : R C koja se zove Fourierov transformat od f. Kako je e iωt = 1 za sve t i ω,
55 Gornje ideje dadu se provesti formalno i rezultiraju u: Definicija (Fourierov transformat) Ako funkcija f : R C ima svojstvo da nepravi integral + f (t) dt konvergira, kažemo da je apsolutno integrabilna i za takvu funkciju f je s F(f )(ω) = + f (t)e iωt dt definirana kompleksna funkcija F(f ) : R C koja se zove Fourierov transformat od f. Kako je e iωt = 1 za sve t i ω, intuitivno se vidi (a može se i dokazati) da zahtjev apsolutne integrabilnosti na f povlači konvergenciju integrala kojim je F(f ) definirana.
56 Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f.
57 Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f. Općenito će fizikalna dimenzija varijable ω Fourierovog transformata neke funkcije f biti recipročna jedinici varijable t od f. kontekst varijabla funkcije f varijabla od F(f ) akustika, telekomunikacije vrijeme t frekvencija ν p kvantna teorija pozicija x difrakcija vektor r vektor s
58 Dakle: Kao što je niz Fourierovih koeficijenata c = (c n ) + n= funkcija s domenom Z (skaliranom s π/l) pridružena periodičnoj funkciji f, tako je F(f ) funkcija s domenom R pridružena apsolutno integrabilnoj funkciji f. Općenito će fizikalna dimenzija varijable ω Fourierovog transformata neke funkcije f biti recipročna jedinici varijable t od f. kontekst varijabla funkcije f varijabla od F(f ) akustika, telekomunikacije vrijeme t frekvencija ν p kvantna teorija pozicija x difrakcija vektor r vektor s Fourierova transformacija F apsolutno integrabilnoj funkciji f pridružuje njen Fourierov transformat F(f ). Fourierova transformacija je linearan operator, tj. vrijedi: F(f + g)(ω) = F(f )(ω) + F(g)(ω), F(αf )(ω) = αf(f )(ω),
59 Svojstva Fourierove transformacije Vrijedi i svojstvo pomaka: Pomak nezavisne varijable polazne funkcije za t 0 rezultira skaliranjem odgovarajućeg Fourierovog transformata s e iωt 0. Takoder, skaliranje polazne funkcije s e iω 0t znači pomak za ω 0 za pripadni Fourierov transformat.
60 Svojstva Fourierove transformacije Vrijedi i svojstvo pomaka: Pomak nezavisne varijable polazne funkcije za t 0 rezultira skaliranjem odgovarajućeg Fourierovog transformata s e iωt 0. Takoder, skaliranje polazne funkcije s e iω 0t znači pomak za ω 0 za pripadni Fourierov transformat. Ako je f realna, F(f )(ω) je oblika a(ω) + ib(ω) s a parnom, a b neparnom realnom funkcijom.
61 Svojstva Fourierove transformacije Vrijedi i svojstvo pomaka: Pomak nezavisne varijable polazne funkcije za t 0 rezultira skaliranjem odgovarajućeg Fourierovog transformata s e iωt 0. Takoder, skaliranje polazne funkcije s e iω 0t znači pomak za ω 0 za pripadni Fourierov transformat. Ako je f realna, F(f )(ω) je oblika a(ω) + ib(ω) s a parnom, a b neparnom realnom funkcijom. Ako je f parna i realna, F(f ) je realna, a ako je f neparna i realna, F(f ) je čisto imaginarna. Teorem Funkcija f je realna ako i samo ako njen Fourierov transformat F(f ) ima svojstvo da je za sve ω R F(f )( ω) = F(f )(ω).
62 Skaliranje: Ako je g(t) = f (αt), onda je F(g)(ω) = 1 α F(f ) ( ω α). Promjena smjera: Ako je g(t) = f ( t), onda je F(g)(ω) = F(f )( ω). Simetrija: Ako je g(t) = F(f )(t), onda je F(g)(ω) = 2πf ( ω). Deriviranje: F(f )(ω) = iωf(f )(ω); Modulacija: Ako je g(t) = f (t) cos ω 0 t, onda je F(g)(ω) = 1 2 (F(f )(ω ω 0) + F(f )(ω + ω 0 )); Konvolucija obzirom na vrijeme: F(f g) = F(f )F(g); Konvolucija obzirom na frekvenciju: F(f ) F(g)(ω) = F(2πf (t)g(t)). Konvolucija???
63 Definicija (Konvolucija) Konvolucija a dviju funkcija f, g : I R (gdje je I neki, ne nužno ograničen, interval u R) je funkcija f g definirana s: f g(x) = f (t)g(x t) dt. I a Naravno, konvolucija nije definirana za sve funkcije f i g, već za tzv. Schwartzove funkcije. Jedan način kako vizualizirati konvoluciju dvije funkcije je da zamislimo da se graf jedne giba u smjeru osi apscisa jednolikom brzinom preko grafa druge funkcije te da u svakom trenutku računamo površinu presjeka iznos te površine je vrijednost njihove konvolucije u tom trenutku. Convolution_Animation_(Boxcar).gif
64 http: //
65 Kao i Fourierov red, tako i Fourierov transformat odreduje dva spektra: spektar amplituda i fazni spektar: M(ω) = F(f )(ω), ϕ(ω) = arctg b(ω) a(ω).
66 Kao i Fourierov red, tako i Fourierov transformat odreduje dva spektra: spektar amplituda i fazni spektar: M(ω) = F(f )(ω), ϕ(ω) = arctg b(ω) a(ω). Često pitanje je: ako znamo funkciju F i znamo da je ona Fourierova transformacija nepoznate funkcije f, kako odrediti f? Odgovor na to daje sljedeći teorem. Teorem (Inverzna Fourierova transformacija) Neka je F L 1 (R) A(ˆR). Pretpostavimo da je F = F(f ) za neku f L 1 (R). Tada za sve t R vrijedi f (t) = 1 2π + F (ω)e iωt dω.
67 Gornje ideje lako se poopćavaju na trodimenzionalni slučaj: F(f )(s) = f (r)e iπs r dr R 3 gdje je r radij-vektor promatrane točke u R 3, a s je vektor u recipročnom prostoru (izomorfnom s R 3 ). Posjetimo se da je jedinica duljine u recipročnom prostoru recipročna jedinici duljine u direktnom prostoru to je u skladu s već uočenom činjenicom da je jedinica varijable Fourierovog transformata (ovdje je to s) recipročna jedinici varijable osnovne funkcije f (ovdje je to r). U standardnoj situaciji kakva se susreće u difrakcijskoj strukturnoj analizi, r je radij-vektor nekog atoma ili iona u kristalu, f je funkcija elektronske gustoće (nepoznata), a F(f ) je rezultat dobiven difrakcijom na kristalu. Cilj je odrediti točke maksimuma funkcije elektronske gustoće, tj. pozicije atoma.
Osnove Fourierove analize. Franka Miriam Brückler
Osnove Fourierove analize Franka Miriam Brückler Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane s f (x) = 2 cos(3x)? Trigonometrijski redovi Zadatak Kako izgleda graf funkcije zadane
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler
Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Uvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Laplaceova transformacija
Laplaceova transformacija Laplaceova transformacija je integralna transformacija s brojnim primjenama u matematici, fizici, elektrotehnici, teoriji vjerojatnosti i drugdje. Koristi se za rješavanje diferencijalnih
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima
KOMPLEKSNI BROJEVI 1 1. Osnovne operacije s kompleksnim brojevima Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva. Naime, ne postoji broj koji zadovoljava kvadratnu jednadžbu x 2 + 1 = 0. Baš uz
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
4 Elementarne funkcije
4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Periodične funkcije. Branimir Dakić, Zagreb
Periodične funkcije Branimir Dakić, Zagreb Periodičnost 1 je pojava koju susrećemo na svakom koraku. Periodične su mnoge prirodne pojave, primjerice izmjena dana i noći ili izmjena godišnjih doba, pojava
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), u, v : R 2 R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw
1. Funkcije kompleksne varijable f : C C f(z) = w = f(x + iy) = u(x y) + iv(x y) u v : R R u(x y) = Rew v(x y) = Imw Elementarne funkcije kompleksnog argumenta. 1. Eksponencijalna funkcija w = e z z C
x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
![x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x](/thumbs/55/37735885.jpg "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x")
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t