Моделовање математичких проблема у почетној настави математике

Transcript

1 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У СОМБОРУ МАСТЕР РАД Моделовање математичких проблема у почетној настави математике Ментор: проф. др Љубица Опарница Студент: Радослава Стојановић 15/21/008 Сомбор, маj 2017.

2 УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ ПЕДАГОШКИ ФАКУЛТЕТ У СОМБОРУ МАСТЕР РАД Моделовање математичких проблема у почетној настави математике Ментор: проф. др Љубица Опарница Студент: Радослава Стојановић 15/21/008 Сомбор, маj 2017.

3 ЗАХВАЛНИЦА Захваљујем се пријатељицама Соњи Орлић, Лидији Сладаковић и Горани Дацић на свесрдној стручној помоћи. Велику захвалност дугујем проф. др Љубици Опарници на посвећеном времену, стручној помоћи и прихватању менторства, као и члановима комисије проф. др Данијели Петровић и доц. др Бојану Лазићу.

4 РЕЗИМЕ Mатематичко моделовање има широку примену у многим научним дисциплинама, а увођење математичког моделовања у наставу математике у основним школама доприноси развоју креативности и стваралаштва код ученика. Рад се бави математичким моделовањем, са освртом на појам и порекло, на досадашња истраживања из ове области и анализом значаја за наставу математике истичући циљеве и задатке како наставе математике, тако и целокупног образовања. Нагласак је на решавању реалних проблема као и на проблемским задацима у нижим разредима основне школе. Циљ рада је био да се направи преглед математичких модела који се најчешће користе у решавању реалних проблема у настави математике у нижим разредима основне школе и да се сваки математички модел детаљно објасни и илуструје примерима диференцираним на три нивоа сложености. КЉУЧНЕ РЕЧИ: модел, математички модел, математичко моделовање, решавање проблема

5 Title: Mathematical Modeling and Problem Solving in Elementary Mathematics Education Abstract: Мathematical modeling is applied in various scientific disciplines, and introduction of mathematical modeling in mathematics education in primary schools fosters the development of creativity in students. This thesis examines the concept and the origin of mathematical modeling, previous research in this field and analyses the importance of mathematical modeling in mathematics education, focusing on the objectives and problems in mathematics and education in general. The emphasis is on solving real problems and word problems in the lower grades of elementary school. This thesis aims to use theoretical analysis to examine mathematical models that are commonly used to solve real problems in mathematics education in primary schools and to provide a detailed explanation of each of the mathematical models and illustrate them with examples differentiated into three levels of complexity. Key words: model, mathematical model, mathematical modeling, problem solving

6 Садржај УВОД Математичко моделовање и настава математике Математичко моделовање Циљеви наставе математике Решавање проблема Еблиејва оперативна метода Проблемски задаци у почетној настави математике Кратак осврт на досадашња истраживања и релевантна схватања Математичко моделовање у нижим разредима основне школе Преглед математичких модела са примерима за ниже разреде основне школе Моделовање једначинама и неједначинама Метода дужи Метода правоугаоника Моделовање скуповима Метода погађања Метода пребројавања Моделовање таблица Метода инверзије Модели пресипања и мерења Проблеми резања и састављања. 73 ДИСКУСИЈА И ЗАКЉУЧАК 82 Литература 85 БИОГРАФИЈА. 89

7 УВОД Математичко моделовање је, jедноставно речено, процес транслирања проблема из реалног света у математички проблем, односно апстраховање реалног проблема или ситуације путем језика математике. Тако добијени математички проблем се најчешће може решити користећи се познатим математичким техникама, што доводи до математичког решења. Решење се, онда тумачи и преводи у реално. Можемо рећи да је математика и настала као продукт човекове потребе да реши одређене проблеме са којима се сусретао у свом окружењу, тако да математичко моделовање постоји, од када постоји и сама математика. Циљеви савремене наставе су развијање креативности и стваралаштва код сваког појединца. Стваралаштво подразумева флуентност идеја, осетљивост за проблем, као и флексибилност мишљења. Управо развој дивергентног мишљења јесте предуслов да се остваре пожељне способности. Настава математике може својим садржајима, методама и облицима рада допринети остварењу претходно наведеног циља образовања (Zech, 1999). Примењујући математичко моделовање, ученици, са једне стране, сагледавају математичке структуре, као апстрактне феномене на њима ближи начин, а са друге стране, активно учествују у настави и тако развијају своје стваралачке способности. Решавање проблема, као највиши вид учења у математици, требало би да полази од реалних животних ситуација, које се затим преводе на језик математике, како би се успешно решиле. Математичко моделовање пружа могућности за креативно решавање математичких проблема и математички језик приближава ученику. Користећи математичке моделе, ученик се функционално оспособљава да реши одређени проблем и тиме развија сопствене потенцијале. Животна ситуација, формулисана као проблем, требала би бити блиска и интересантна ученику. На тај начин се ученик мотивише за рад и буди се његова радозналост. Проблемска ситуација сe конвертује у математички проблем, креирањем адекватних модела, што директно подстиче мисаоне процесе. Како би се проблем представиo математичким језиком, потребно је да ученик добро познаје, а на тај начин и усавршава одређена математичка знања и стратегије. Математичко моделовање 1

8 задовољава све захтеве савремене методике, односно наставе, па би требало бити њен неизоставан део. Математичко моделовање није једноставно уврстити у наставу математике, јер, са једне стране, захтева доста времена, које је ограничено плановима и програмима, као и трајањем наставног часа, а са друге стране, стручност наставника, односно учитеља, који мора бити сам способан да осмишљава математичке моделе, да прихвата другачија решења и да сваком ученику приступи на одговарајући начин. Едукација самих учитеља би требало да се усредсреди на испуњење предочених захтева. У постојећој литератури, која се односи на математичко моделовање, појављује се велики број математичких модела за ниже разреде основне школе. Циљ рада је био: 1. Да се направи преглед математичких модела који се најчешће користе у решавању реалних проблема у настави математике у нижим разредима основне школе; 2. Да се сваки математички модел објасни и илуструје примерима диференцираним на три нивоа сложености, уважавајући Опште стандарде постигнућа (2011). Издвојили смо десет најзначајнијих типова математичког моделовања: Моделовање једначинама и неједначинама; Метода дужи; Метода правоугаоника; Моделовање скуповима; Метода погађања; Метода пребројавања; Моделовање таблица; Метода инверзије; Модели пресипања и мерења и Проблеми резања и састављања. Рад је подељен на четири одељка. У првом одељку се бави појмом и пореклом математичког моделовања, као и циљевима наставе матемике, истичући решавање проблема и проблемске задатке у почетној настави математике. У другом одељку се даје кратак осврт на досадашња истраживања и релевантна схватања. У тећем одељку је стављен акценат на математичко моделовање у нижим разредима основне школе, а у четвртом се даје преглед математичких модела, од којих је сваки модел илустрован бројним задацима диференцираним по тежини са подробним објашњењима, како би се читатељи упутили у процес математичког моделовања. 2

9 1. Математичко моделовање и настава математике 1.1. Математичко моделовање Реч модел потиче од латинске речи modulus и значи образац, узорак, мустра. Модел је копија оригинала, објекат који у лику физичког предмета, цртежа, шеме или логичко-математичког исказа на једноставан, приступачан и егзактан начин изражава структуру, својства и функције оригинала (Педагошка енциклопедија, 1989: 268). Моделовање се, под утицајем кибернетике, развило у опште-научну, гносеолошку методу највише током двадесетог века, због разумевања динамичке комплексности уређаја, попут компјутера. Првенствено је било намењено инжињерима и велики напредак је остварило у електронском инжињерству. Средином прошлог века два велика догађаја су утицала на развој теорије математичких система: усавршавање компјутера и интересовање за динамику животних система. Из ових разлога се теорија математичких система све више користила за моделовање природних система. Реч систем се односи на објекат интересовања, који може бити део природе, као што је ћелија, атом или галаксија, или вештачки технолошки систем. Коришћење речи modeling је у науци релативно нов термин. Настао је у прошлом веку, а данас је модерна реч, иако математичко моделовање није нова делатност. Као што знамо, класичне теорије физике изражавају своје законе кроз математички језик. Некада се користила реч једначина, нарочито се мислило на диференцијалне једначине, за оно што данас представља математички модел. Фокус, међутим, није на овој врсти модела Око године, математички модел је представљен као три различите једначине утврђене на бази Њутнових закона механике за вештачке системе. Током времена је теорија аутомата развила, за своје потребе, теорију математичког моделовања, базирајући се на високо софистицираном математичком концепту (Lobry, 2001). Процес моделовања није само чулно представљање и физичко имитирање, већ и свако психичко представљање, замишљање било ког предмета или појаве. Сваки процес моделовања заснива се на чињеници да се слично понашање, под одређеним условима може уочити код система који се битно разликују по структури, облику и по природи процеса који се у њима одвијају. 3

10 Карактеристика добрих математичких модела подразумева да обликују адекватне алате за разбијање комплексности и да омогуће решавање проблема. Комлексан свет тражи моделе. Генерално гледајући, научници покушавају да схвате, унапреде и оптимализују системе. На том путу се суочавају са веома комплексним системима, па су им потребне одређене, специфичне методе. Како би се изборили са том комплексношћу, стратегија коју користе, начелно је слична оној која се користи у свакодненом животу - поједностављење. Идеја је да се нешто што је комплексно, адаптира да буде једноставније. На пример, када научник жели да схвати процес фотосинтезе, користиће поједностављене описе биљака и фокусираће се на процесе на нивоу једне ћелије биљке. Најбољи модел је најједноставнији модел, који и даље служи својој сврси и који је и даље довољно комплексан да би нам помогао да схватимо систем и решимо проблем. Цела процедура моделинга и симулације је регулисана својом сврхом решавања проблема. Термин симулација потиче од латинске речи simulare, што значи претварати се. У симулацији, модел се претвара да је прави систем. Моделинг и симулација су увек усмерени ка циљу, па бисмо требали да знамо сврху нашег потенцијалног модела, пре него што кренемо да га креирамо. Да бисмо схватили математичке моделе, требали бисмо поћи од генералне дефиниције. Много различитих дефиниција математичких модела могу се пронаћи у литератури. Разлике између ових дефиниција, често могу бити последица различитих научних занимања њихових аутора. На пример, Bellomo и Preziosi, (према: Velten, 2009) дефинишу математички модел као скуп једначина које могу бити коришћене за рачунање просторно-временске еволуције физичког система. Иако ова дефиниција ограничава проблеме, на оне које изучавају поменути научници, ипак укључује велики број математичких модела. Много економских и социолошких проблема не може бити решено у просторно-временском оквиру базираном само на једначинама. Значи да нам је потребна генералнија дефиниција математичких модела, ако желимо да покријемо све врсте математичких модела који се у науци користе. Једна од њих је, да је математички модел тројка (S, Q, M) где је S систем, Q питање које се односи на S, а M je више математичких исказа M = E 1, E 2...En, који се могу искористити како би се Q решио (Velten, 2009). Математичко моделовање представља скуп математичких релација које описују или дефинишу везу између појединих физичких величина у посматраном 4

11 процесу. Моделовање је мисаона или материјалана репродукција оригинала са неких релевантних аспеката. Предмет моделовања може бити сваки објекат физичке, органске, психичке, друштвене и мисаоне стварности, односно њихова структура и понашање. Задатак и циљ моделовања је одражавање стварности предмета, појмова и релација који су човеку ближи, познатији од оних које истражује и доприносе потпунијем сазнању стварности. Моделовање се заснива на аналогији и на дијалектичком закону о међусобној повезаности појава. Основна улога модела је да замени предмет истраживања који му на неки начин одговара и да даје нове информације о њему (Пинтер, 1997: 11). Постоји више врста модела у односу на њихову гносеолошку улогу, али се издвајају две основне врсте, а то су материјални модели и апстрактни модели. Математички модели су апстрактни модели који помоћу логичких и математичких симбола представљају стварност. Математичким моделовањем се остварује дубљи увид у скривене тајне сложених система и откривање вишеструких и суштинских релација тог система. Да би математички модели могли да пруже нове информације о системима на основу познатих стања и релација, потрeбно је да елементи, структуре и сличне карактеристике оригинала буду на одговарајући начин рефлектовани у моделу. Математичко-кибернетички модели су апстрактни модели који помоћу математичких и логичких симбола и релација представљају стварност из датих аспеката и служе њеном схватању и даљем изучавању (Пинтер, 1997: 11). У моделу морају бити рефлектовани елементи, структуре и друге специфичности оригинала али на такав начин да се истакну битна својства оригинала, а споредна занемаре. Математичко моделовање је сложен процес и састоји се од: - одређивања оригинала; - анализе оригинала; - одлуке о увођењу модела; - изградње информационе базе за моделовање; - дефинисања модела; - испитивања на моделу; - преноса информација са модела на оригинал; - верификације добијених информација на оригиналу и - модификација модела. 5

12 Приликом одређивања и анализирања оригинала користе се напосредне методе сазнања. Модел се уводи након добијања основних информација о оригиналу у случају да је непосредно испитивање оригинала неефикасно, или је немогуће. Пошто је утврђено да је неопходно, целисходно и могуће увођење модела, приступа се системском сакупљању информација о моделу. Дефинисање модела и одређивање релација између елемената и особина оригинала и модела је најзначајнији моменат процеса стварања модела. Након ове фазе модел постаје предмет испитивања. На модел система ће се примењивати законитости у области модела и испитивање оригинала се своди на математичко-логичке објекте, операције и релације. Добијене информације о моделу примењују се на оригиналу. Да би се разумела важност примене математичког моделовања у настави, потребно је истаћи циљеве наставе математике Циљеви наставе математике Највиши домет и циљ савремене наставе јесте развијање креативности и стваралаштва код ученика. Циљ образовања, поред осталог, се односи на развијања оригиналности, које подразумева, сем способности оригиналног решавања проблема и богатство идеја, могућност комбиновања и проналажење нових релација или својстава, што претпоставља тежњу што већој самосталности ученика. Цех (Zech, 1999) је разврстао циљеве наставе математике, а овде су само таксативно набројани. Циљеви се односе на развијање разних способности код ученика у које спадају: способност опажања; логичког мишљења; способност комуникације и кооперације; унапређивање језика и способност за критику; унапређивање приступа решавању проблема и креативности; самосталност и самосталан рад; способност упоређивања; способност сређивања/распоређивања; способност апстраховања; способност уопштавања; способност класификовања; конкретизовањеспецијализовање; формализовање; способност аналогизовања; способности и ставови битни за појединачне садржаје (односи се, на пример, на владање културним тековинама, као што је таблица множења); разумевање алгоритмизације; способност математизирања ситуација из наше околине; способност разумевања математичких животних појава и њиховог критичког процењивања; способност да се виде могућности и границе математике; радост због естетске и разигране стране математике. 6

13 Посебно се издвајају циљеви који се тичу оспособљавања даровитих ученика за: појачану способност математичког мишљења, резоновање на повишеном нивоу апстракције, брзо генерализовање, откривање релација и њихово математичко изражавање, проналажење оригиналних решења проблема, сналажење у простору и времену Решавање проблема Издавјамо таксономију когнитивних циљева математике према Цеху (Zech, 1999): 1. Разумевање појмова, теорема и поступака 2. Знања 3. Владање поступцима 4. Анализа и једноставна примена 5. Синтеза и стварно решавање проблема Из наведене таксономије се види да је решавање проблема најкомплекснији вид когнитивних способност и крајњи циљ наставе математике. Решавање проблема у хијерархијском смислу представља и највиши тип учења. Остали типови учења, који претходе поменутом, су: асоцијативно учење (које подразумева често понављање, поткрепљивање и брзу повратну информацију); учење опажањем (јасно истицање оног што је битно, вишеструко понављање и повратна информација); дискриминаторно учење (истаћи рзлике, као и блискост, односно додирљивост); учење математичких појмова (кроз разне примере); учење математичких правила; учење хеуристичких правила (које се односи на когнитивно моделовање). Решавање проблема подразумева добро познавање релевантних појмова и правила, као и спретно оперисање са њима - оперативне вежбе. Прво, треба добро изградити основне појмове и правила, као и способност за примену хеуристичких правила. Током решавања проблема, ученик не би требао бити временски ограничен, нити бити подвргнут било каквом притиску. Потребно је стварати опуштену атмосферу уз мотивациону и минималну садржинску помоћ од стране учитеља. Сам ученик би требао да поседује способности битне за решавање проблема, као што су способности анализе, синтезе, апстраховања и слично (Zech, 1999). 7

14 Хеуристика има за циљ проналажење стратегија које би помогле при решавању проблема. Поља (Polya, 1966), који се сматра творцем модерне методологије за решавање математичког проблема, наводи опште савете за решавање проблема: принцип рационалности (односи се на то да се човек мора одупрети осећањима, која могу бити сметња при размишљању); принципи економисања и неограничености (снаћи се са што мање материјала који није у директној вези са задатком и бити спреман удаљити се од задатка, ако је то потребно); принципи издржавања и промене (треба бити истрајан и не одустајати брзо и бити у стању мењати правце мишљења). Уважавајући наведене принципе Цех (Zech, 1999) помиње и принцип рефлексије разматрања унапред који помаже да се избегне неекономичан и погрешан рад, а односи се на то да ученик прво размисли о томе шта би хтео да уради, како то жели да уради и слично. Поља (Polya, 1966), указује на значај хеуристичких правила за фазе које су одлучујући важне у решавању проблема. Прва фаза се односи на разумевање задатка. Ученик треба да увиди шта је непознато, шта је дато, како гласи услов. Требало би, затим, направити цртеж са унетим одговарајућим ознакама. Друга фаза подразумева стварање плана. У овој фази би прво требало утврдити да ли се познаје неки сличан задатак, затим се подсетити теореме која би била корисна; размотрити да ли се задатак може другачије изразити и онда се вратити на дефиницију. Ако задатак и онда не може да се реши, покушати решити неки сличан задатак или део задатка. Утврдити да ли се може извести нешто корисно из података и да ли су сви подаци употребљени. Трећа фаза представља спровођење плана у току којег треба контролисати сваки корак, да ли је он сигурно тачан, односно, да ли се може проверити да је тачан. Проверити решење представља последњу фазу и односи се на могућност увида у проверу резулатата, односно, да ли се резултат може извести на различите начине. Корисна су упутства за наставнике, а тичу се поставке одговарајућих помоћних средстава за ученике, која би ученицима омогућила одређену оријентацију у даљем раду. Постоје мотивациона помоћна средства, која подразумевају разне врсте охрабривања ученика, као на пример: Можеш ти то!; Одлично размишљаш! (ако је заиста тако) и слично. Повратна информација, као помоћно средство, обавештава ученика да ли је на добром путу да реши проблем: Размисли још мало.; Јеси ли сигуран?. Под опште-стратегијским помоћним средствима се подразумевају она средства која усмеравају на решавање проблема методама ван оквира струке или опште 8

15 стручним методама, указујући на то шта се тражи у задатку: Погледај шта је дато у задатку, а шта се тражи. Следе, затим, стратегијска помоћна средства усмерена на садржај, која представљају сва она средства за решавање проблема методама која се тичу струке, што управо подразумева математичко моделовање, јер су у питању скице, односно модели. На крају се дају и садржинска помоћна средстава, којима се ученицима предочавају одређена упутства за задате појмове, правила, везе између њих, за тачно одређене помоћне величине, као и парцијална решења и слично. Идеални услови за решавање проблема, подразумевали би индивидуалан рад са учеником. Да би се ученици оспособили да самостално реше проблем, требало би да науче да самостално употребљавају раније научене појмове, правила и мисаоне стратегије. Требало би, такође, да буду способни да издвајају математичке податке из датог контекста, као и да их комбинују на нов начин. Идеално би било да знају да поставе план решења, да расправљају о хипотезама и алтернативама, извлаче и образлажу логичке закључке, контролишу кораке и резутате решавања, представе и формулишу решење задатка или доказа, постану свесни мисаоних стратегија које су од помоћи, осмишљено решавају сродне проблеме и да при решавању даљих проблема употребе садржајна и хеуристичка правила која су стекли (Zech, 1999). Учитељ би требао да формулише проблем језиком који је разумљив и близак ученицима; да запише могуће начине ученичких решења; направи преглед задатих појмова и правила; формулише у оквиру циља, развијање когнитивних, афективних или психомоторних способности ученика, као и да постави посебне циљеве и помоћна средства нарочито битна за постављени проблем. Избор правог, уједно и интересантног задатка, који је у складу са способностима ученика, веома утиче на мотивацију ученика да реши задатак (Polya, 1966). Било би добро враћати се на такве ситуације у којима се проблем први пут појавио. Важно је разјаснити уназад пут решења, помоћу поновног вагања и проверавања резултата и пута. На тај начин ученици учвршћују своје знање и развијају способност за решавање проблема Еблиејва оперативна метода Поред циљева и задатака наставе математике требало би се упознати и са Еблијевом (Hans Aebli ) оперативном методом која се бави дидактичким 9

16 питањем како се нека операција мишљења у когнитивној структури ученика може изградити, унапредити и учврстити. Ебли сматра да је за то потребно интернализовање - поунутарњивање операције и оперативна обрада. Интернализовање се спроводи у три нивоа. Први ниво се односи на ефективно извршавање на конкретном предмету (на пример, слагање модела квадратића у одређени модел правоугаоника, ради израчунавања његове површине). Други ниво подразумева да се предмет приказује сликовито, а ученик замишља операцију на основу тога, што представља облик математичог моделовања (у датом примеру, цртање модела правоугаоника, који се састоји од јединичних квадрата). На трећем, симболичком нивоу, ученик користи само знакове, који представљају предмет и операцију (ученик користи формулу за израчунавање површине правоугаоника, односно формални запис: P = a b). Ако се појаве тешкоће у раду, наставник треба да се врати на претходни ниво. Поунутарњивање операције продубљује се вербализацијом поступака на конкретном и сликовитом нивоу. При томе, у настави, није одлучујуће битан редослед нивоа, већ обезбеђивање услова који ће да доведу до процеса унутар ученика, који ће га кроз сталну сопствену рефлексију у свом деловању и опажању довести до представе. Тада опажајна помоћ више није потребна и нарочито је битно да се ученик наведе да размисли о опаженом и да се о томе изрази, шта је заправо радио. Под оперативном обрадом подразумева се стварање покретљивих операција (способност за компоновање, реверзибилно мишљење, формално-апстрактно, дедуктивно и хипотетичко), које се суштински разликују од стереотипних радњи (Zech, 1999). На основу примера које је Ебли навео за други ниво оперативне методе, а један од њих смо и ми навели (цртање скице правоугаоника подељеног на јединичне квадрате), намеће се закључак да је математичко моделовање управо други степен оперативне методе и веома важан пут у формирању математичких појмова и модела, као и у моделовању животних ситуација, а све у циљу решавања проблема, односно развоја креативности и стваралаштва Проблемски задаци у почетној настави математике Природа математичких садржаја је, пре свега, апстрактна, па је мишљење основно средство којим се усвајају математички појмови и објекти. У остваривању 10

17 очекиваних исхода у почетној настави математике, међу којима је најважније развијање креативности и стваралаштва, проблемски задаци су посебно значајни. Проблемски задатак је, према Милинковић (2013) логички структуирана целина која садржи квантитативне податке о различитим везама и односима међу одређеним величинама, из које произилази потреба да се из познатих података и услова, мисаоним активностима, пронађе решење које се тражи постављеним питањем. Решавањем проблемских задатака ученици посредно решавају различите проблеме из свакодневног живота, чиме се припремају да усвојена математичка знања примењују у реалним ситуацијама. Њиховом применом се знања брже усвајају, развија се математичко мишљење и способност, као и већи интерес за математику. Проблемски задаци би требали да испуњавају одређене дидактичкометодичке захтеве у циљу остваривања васпитно-образовне улоге у почетној настави математике: приближно тачно одражавати стварност и бити у складу са реалношћу; подаци и услови које садрже морају бити разумљиви ученицима и бити јасно формулисани, концизни, прегледни; морају бити прилагођени ученичким способностима и интересима и бити степеновани по тежини. У многим случајевима проблемско питање није потребно формулисати, већ препустити да то ученик учини, јер на тај начин представља стваралачки рад. Ученик који је сам формулисао питање, скоро је решио задатак и оспособљава се за самостално постављање проблемских задатака (Ничковић, 1970). (На пример, проблем би могао бити постављен овако: Цена такси услуге се рачуна на следећи начин: старт кошта 100 динара, а сваки пређени километар 40 динара. Једна такси услуга је плаћена 300 динара. Препуштамо, затим, ученику да потсави могуће питање.) Избор проблемских задатака се врши на основу циљева и задатака наставе математике, а степен тежине треба да буде прилагођен типу часа и узрасту. При обради користити једноставније задатке, како би ученици могли да примењују новоусвојене појмове и правила. Утврдити ниво захтевности задатка је веома сложен процес, а истичу се опште прихваћени параметри као што су: степен прегледности, степен апстракције, степен формализације-математизације, степен познавања и степен комплексности (Zech, 1999). 11

18 2. Кратак осврт на досадашња истраживања и релевантна схватања У наставној пракси се користе већ добро познате врсте математичких модела, као на пример, модели једначина и неједначина или основних рачунских операција. Познато је, међутим, да се један проблем може решити на више начина, што зависи од онога ко га решава. Метода математичког моделовања подразумева, управо подстицање различитости и оригиналности, што за собом повлачи потребу за математичком компетентношћу предавача. Учитељ би требао бити оспособљен да сам креира моделе, да прихвата и разуме различита решења, да прилагођава свој начин рада, планове и програме у складу са интересовањима, потребама и могућностима ученика. Истраживања (Niss, Blum & Galbraith, 2007) показују да су учитељи веома мало обучени за то. Велики број земаља света не подстиче примену моделовања у настави, међутим код развијенијих земаља, које га примењују у пракси, математичко моделовање је у порасту. Стандардни модели се добро уклапају са конвенционалним наставним плановима и програмима (Zlokapa, 2012). На простору бивше Југославије моделовање се, пре свега, почело примењивати на факултетском нивоу и њиме се баве стручњаци из области математичке едукације (Zlokapa, 2012). Постоје разлози, не само код нас, него и у свету, због којих је отежана примена математичког моделовања у настави. Један од најчешћих је некомпетентност наставника, односно учитеља. Моделовање подразумева велика математичка знања и квалификације, као и способности управљањa наставним процесом. Учитељи, као што истраживања показују (Stjepanović, 2012), не познају довољно примера моделовања погодних за инструкцију и од њих се тражи већа активност и додатни напор. Мора се водити рачуна и о прилагођавању задатака или модела узрасту ученика. Моделовање захтева и много времена, па не може да се уклопи у наставни план и програм, као и у наставни час који траје четрдесет и пет минута. Како је само моделовање комплексан процес, чини и предмет обраде компликованијим, што за собом повлачи захтевније задатке, који се стављају пред ученика и утичу на успех a самим тим и на мотивацију (Zlokapa, 2012). 12

19 Поједини аутори, попут Барбаросе (2006) се не слажу са научницима Watters, English и Mahoney (2000), који тврде да се моделовање треба примењивати у почетној настави математике, јер сматрају да најмлађи ученици немају нити знања, нити потребан виши ниво мишљења, али истичу значај увођења основних модела од најранијег узраста. Велики број математичара попут Watters, English и Mahoney (2000) потенцира примену математичког моделовања код деце почевши већ од узраста од 8 година. Одговор, на који начин се моделовање може предавати у школи, дају многа емпиријска истраживања (Niss, Blum & Galbraith, 2007). У свом раду поменути аутори истичу компетенције предавача, односно да предавач мора да зна оно шта предаје и да осмисли начин на који ће то другоме да објасни и покаже. Да би научили некога да ствара нове моделе, предавачи сами морају знати да их стварају, да би објаснили сам поступак рада. У својим истраживањима дошли су до закључка да већина наставника није довољно стручна да би се бавили математичким моделовањем. Да је математичко моделовање веома битно у савременој настави математике потврђује и истраживање спроведено међу ученицима основних школа у Бањалуци. Претпоставка је била да ће проблемско моделски приступ настави позитивно утицати на успех ученика на крају једне школске године, колико је експеримент трајао. Резултати су показали да су ученици експерименталне групе постигли значајно бољи успех од ученика контролне групе. Тако је потврђена теза да је моделско проблемским приступом могуће повећати образовне ефекте наставе математике на виши ниво. Овим истраживањем је потврђено и то да је примена моделског приступа у настави дала веће ефекте у напредовању ученика који нису нарочито надарени за решавање математичких проблема (Stjepanović, 2012). У истраживачком чланку Моделски приступ диференцираној обради проблемских задатака (Милинковић, 2003), наводи се поступно увођење математичких модела у нижим разредима основне школе, почевши од логичко-комбинаторних модела у 1. разреду, па до сложенијих модела. Интересантно истраживање је спроведено у Манчестеру и Њухемпширу, тридесетих година прошлог века, када се један наставник запитао, како аритметику, која је, знајући из искуства, била сувопарна ученицима, приближити и учинити занимљивом. Осмислио је такав програм рада, где су ученици на конкретним примерима из живота, учили односе међу величинама и на тај начин усвајали, између 13

20 осталог, и основне рачунске операције. После завршеног експеримента, ученици, који су у њему учествовали, су показали знатно боље и функционалније знање од вршњака који су градиво усвајали класичним путем (Benezet, 1936). Овај експеримент показује колико је битно приближити математику ученику, односно реалности, а што се једним делом постиже применом математичког моделовања на проблемским задацима. Инглиш (English) и Вотерс (Watters) су у Аустралији године спровели истраживање у нижим разредима основне школе, у којем су ученици решавали реалне, актуелне проблеме дате у ширем контексту, односно требали су да одреде најбоље услове за узгој одређене врсте махунарки. Учесници су били сви полазници четвртог разреда основне школе (осмогодишњаци) у делу Бризбејна, припадници средње класе. Ток активности за наставнике је подразумевао следеће: спроведене су две полудневне радионице, како би се наставници упознали са моделовањем, затим су биле организоване још две радионице, у току и на крају експеримента, за анализу постојећег и планирање даљег рада. Експеримент није ометао редовну наставу и добро се уклопио у ваннаставне активности. Циљ истраживања је био да се код ученика развију следеће вештине: - интерпретирање математичких и научних података у форми текста и дијаграма; - читање једноставних табеларних података; - прикупљање, анализа и представљање података; - израда писмених извештаја са подацима добијеним анализом резултата; - групни рад; - размена крајњих модела са вршњацима. У току експеримента, наставници су ученицима задавали активности за проналажење модела на недељној бази. Свака лекција је трајала четрдесет минута, а формиране су групе од по 3 до 4 ученика. Наставници нису давали директне математичке инструкције, нису наметали форму, него су ученицима пуштали да сами дођу до решења. Као помоћ, ученици су добијали на располагање постојеће студије, али не и математичке моделе коришћене у тим студијама. Групе су добијале различите задатке. Из готових табела са подацима деца су требала да: - одреде који услови су најпогоднији за узгој одређене врсте махунарки, где се од њих очекује извештај у којем образлажу одговор; 14

21 - предвиде која ће бити маса добијених производа у дванаестој недељи за сваку врсту. Деца су пронашла шаблоне у подацима, на основу којих су могла да предвиде могућу масу производа. Креирани модели су били различитог нивоа комплексности, јер су постојали стимулишући и ометајући фактори, као и у реалном свету. Било је деце која нису разумела шта се мери, па су погрешно закључила да се број килограма односи на количину сунчеве светлости из табеле коју су добила. Већина деце је успешно и оригинално испунила све задатке. Експеримент је показао да је овакав начин рада могућ и у нижим разредима и да је развио метакогнитивне вештине и вештине критичког резоновања, као важан чинилац математичког моделовања (English, Watters, 2005). На основу наведеног истраживања из Аустралије, намећу се питања, да ли је овако схваћено математичко моделовање заступљено код нас и ако није, који су разлози за то и на који начин се може развијати и уврстити у наставу. Проучавајући постојећу литературу са наших простора која се тиче математичког моделовања, претпостављамо да се код нас још увек примењују готови модели, тако да ћемо се у овој студији њима бавити, отварајући, међутим, потребу за новим истраживањима из ове области. 3. Математичко моделовање у нижим разредима основне школе У нижим разредима основне школе, математичко моделовање заузима веома важну улогу. Због својих карактеристика утиче на мотивацију, подстиче радозналост, развија когнитивне способности и стваралачко мишљење. Сваком ученику требало би дати шансу да на свој начин реши постављени проблем. У методици је добро познат став да је важно показати да се један задатак може решити на више начина. Примењујући овај принцип, код сваког ученика се развија флексибилност мишљења, флуентност идеја, оригиналност и од почетка формалног образовања испуњавају се задати циљеви савремене наставе и образовања. Ученици се са моделима у настави математике сусрећу већ у првом разреду. У наредним разредима се увећава број модела које користе. Формирање математичких 15

22 модела је резултат креативног мишљења и стваралачког рада ученика, а наставник у том процесу има улогу координатора. Ученици који овладају одређеним моделима брже усавајају нова знања и лакше се сналазе у проблемским ситуацијама и мотивисанији су за рад (Barbosa, 2006). Приликом избора, односно ставарања адекватних модела при решавању проблема наставник треба да води рачуна о развојним карактеристикама ученика. Ученика би требало оспособити да анализира проблем, да открива релевантне факторе, да асоцира, упоређује, јер ће тек тада његова теоријска знања бити довољно флексибилна, диференцирана, еластична и активна. Улога наставника у овом процесу је веома одговорна и значајна (Watters, English& Mahoney, 2000). Уколико се ученици сусрећу само са задацима који су без противречности, са потребним и довољним подацима и са унапред датим моделима, тешко ће довести до развоја логичког мишљења, креативности и активног знања ученика Требало би да ученици самостално формирају математичке моделе, јер ако нису учествовали у њиховом креирању, неће бити схваћени на адекватан и функционалан начин. Квалитет математичких модела се може заиста проверити тек у фази њихове примене. За решавање проблема у почетној настави математике, методе математичких игара, сценске комуникације, примена алгоритма, модула, разних стратегија и кибернетичких метода показале су се као веома значајне и пожељне (Пинтер,1997). Приступ математичким проблемима на адекватан начин, колико год они били тешки, подстиче радозналост. Математичко моделовање је од изузетне важности у нижим разредима, јер приближава ученицима апстрактан свет математике превођењем конкретних проблема на математички језик. Математички садржаји, као што су основне рачунске операције, или геометријски објекти, пружају велике могућности за формирање разних модела. Основна улога модела је да замени предмет истраживања на основу кога је пројектован и да даје нове информације о њему. У нижим разредима је важно организовати решавање одређених проблема математичким моделовањем у мањим групама и на тај начин развијати сарадничке односе, остварити размену и флуентност идеја. Важно је, такође, да проблем из реалног света буде близак ученику, да схвати сврху његовог решавања. Треба почети са проблемима који нису строго математички, као што наводе аутори Инглиш (English) и Вотерс (Watters) (2009). У својој студији дају пример експеримента из Аустралије, који смо раније описали, а где ученици треба 16

23 да одреде најбоље услове за узгој одређене врсте махунарки. Поменути аутори сматрају да типична искуства са којима се ученици сусрећу у школама више нису адекватна за потребе модерног света. Решавање математичких проблема подразумева више него што је само стизање од задате до крајње ситуације, где су задате вредности, циљ и дозвољени кораци јасно дефинисани. Највећи изазов у решавању проблема, данас, подразумева развијање корисних и употребљивих начина математичког резоновања о релевантним односима, шаблонима и правилима. Математичка интерпретација ситуације подразумева моделовање где је фокус на структури ситуације, а не на површинским одликама. У поменутом експерименту проблеми моделовања захтевају од деце да развију математички начин размишљања о новој, значајној ситуацији за задату сврху. Најважнији математички конструкти се налазе унутар проблемског концепта и деца их сама проналазе. Модели дозвољавају приступ за различита решења и могу се развити на разним нивоима комплексности, чиме се деци омогућава приступ најбољем математичком садржају. Такви проблеми су вишеслојни, дају могућност различитог поступка, различитих решења и на тај начин сваком ученику омогућавају да развија математичке способности. Како се ради у мањим групама, свако дете има учешће у раду, односно улогу у групи, сходно својим афинитетима. Математички модели помоћу математичких и логичких симбола и релација представљају оригинал и служе његовом разумевању и даљем проучавању. Појмови, операције, релације, једначине, неједначине, алгоритми, геометријске структуре и слично, представљају математичке моделе, који служе као средство индиректног изучавања објективне стварности. Оно у чему се сви слажу јесте обучити ученике да самостално откривају моделе. То је наважније, али и најтеже, јер се на тај начин најинтензивније развија креативност и стваралаштво. Проучавајући збирке и уџбенике који се баве математичким моделовањем у нижим разредима основне школе у Србији, налазимо да се у решавању проблема користе математички модели које смо груписали у следеће типове: Метода једначина и неједначина је најуниверзалнија метода, али се често уместо ње, проблемски задаци могу решавати применом методе инверзије. Користећи се само основним рачунским операцијама, а крећући од последњег податка врло лако се долази до решења. 17

24 Метода дужи је веома примењива метода, којом се могу решити врло једноставни, али и они компликованији проблеми. Врло често се њоме упрошћава облик једначине и на тај начин једначина постаје погодна за решавање у нижим разредима. Метода правоугаоника је метода која се базира на могућности претварања једног правоугаоника, одређених димензија у други правоугаоник, који има различите димензије од првог, али исту површину, или се разликује за задату величину. Користи се у задацима где се јавља производ две величине и упрошћава се облик једначине. Моделовање скуповима се веома успешно може примењивати, али се теорија скупова мало изучава у нижим разредима. Веновим дијаграмом се сликовито истичу нека својства одређених објеката. Метода погађања успешно решава проблеме у којима се појављују две непознате величине и доприноси подстицању домишљатости код ученика. Метода пребројавања доприноси развоју комбинаторног мишљења и омогућава пребројавање коначних скупова. Моделовање таблица пружа прегледност, када се јави велики број података и на тај начин омогућава успешно решавање проблема. Проблеми пресипања и вагања доприносе јачању когнитивних способности код ученика, а метода резања и састављања испуњава све оне захтеве који су потребни ученицима oдређеног узраста како би се, вршећи конкретне операције упознали са основним геометријским појмовима и односима. Одабир математичког модела зависи од самог проблема, афинитета ученика, али и учитеља, како би имао ефекта, односно, како би испунио сврху увођења математичког моделовања. У следећем одељку ће се показати, да се различитим математичким моделима може решити исти проблем, што подстиче креативност, флексибилност и оригиналност, али и да се различити проблеми могу решити истим математичким моделом, чиме се ученици оспособљавају за примену готових образаца. Датим списком математичких модела њихов број није исцрпен и пожељно је да се у настави примењују оригинални модели, које сами ученици, али и учитељи обликују. 18

25 4. Преглед математичких модела са примерима за ниже разреде основне школе 4.1. Моделовање једначинама и неједначинама Да бисмо објаснили појам једначина и неједначина полазимо од неких појмова и идентитета, као што су изрази и једнакост. Бројевне изразе са реалним бројевима сачињавају ознаке за реалне бројеве повезане знацима четири основне рачунске операције и правилнно постављене заграде, уколико су потребне. Пример за бројевни израз: (5+354) 23. Када израчунамо бројевни израз добијамо његову вредност, у нашем примеру је то број 336. Када запишемо (5+354) 23= 336, добијамо једнакост, која је тачна, јер лева и десна страна једнакости имају једнаке вредности. Једнакост се не мења ако и левој и десној страни додамо или одузмемо исти број; помножимо или поделимо истим бројем; степенујемо или коренујемо истим бројем. Све оно што се може добити од бројева и знакова (које обично означавамо словима) примењујући коначно много пута основне рачунске операције, уз правилну употребу заграда, називамо алгебарским изразима. На пример, алгебарски изрази су: (x+2b)(y x 2 +4(5 x)) или 1 x 2 + x Свака од ознака (слово) која се налази у изразу може бити замењена неким бројем и тада се израз може израчунати, односно додељује му се један број који називамо нумеричка или бројевна вредност израза. Неке од ознака називамо параметрима (константама), а друге ознаке називамо променљивим или непознатим величинама. Обично се латинична слова са почетка алфабета, као што су a, b, c... користе као ознаке за константе, а слова са краја алфабета, као x, y, z... означавају променљиве величине - оне које су непознате. Функције се задају изразима као на пример: f(x) =x 2 2ax+b, где за конкретне вредности параметара, на пример: a= 1 и b= 3 можемо сваком броју x доделити (израчунати ако је могуће) вредност израза f(x) =x 2 2x 3, односно f( 1) = 0, f(3) = 0, f(1) = 4. Ако се ради о изразу у коме имамо две променљиве, на пример x и y, ми тај израз можемо означавати, као и функцију са две непознате: f(x, y), или g(x, y), или неким другим словом, при томе водећи рачуна која је прва, а која друга променљива. 19

26 Једначину дефинишемо као два израза, на пример f(x) и g(x, y), између којих је знак једнакости: f(x) =g(x, y), или, на основу особина једнакости, могућ је и другачији запис f(x) g(x, y) = 0. Ако имамо једну, две, три и тако даље непознатих, онда говоримо о једначини са једном, две, три,... непознате-променљиве. Вредности променљивих за које је једначина тачна се називају решењима једначине. Решити једначину значи наћи њена решења. За две једначине кажемо да су еквивалентне ако имају иста решења. Решавање једначине у неком скупу бројева, на пример са једном непознатом x у скупу Z (скуп целих бројева), је налажење свих бројева које из Z може да узме непозната x тако да се, њеном заменом у датој једначини, добија нумерички идентитет. Ово се постиже прелазећи са једначине на њој еквивалентну једначину допустивим трансформацијама у које спадају: -додавање истог броја или идентичних израза и левој и десној страни једначине; - множење обе стране једначине бројем различитим од нуле; - применом закона који важе у скупу бројева (комутативни, асоцијативни, дистрибутативни закони); - замена израза њему идентичним изразом (нумерички једнаким). Ако имамо више једначина (бар две) са једном или више непознатих, онда говоримо да је дат систем једначина. Решење система једначина са n непознатих је уређена n-торка константи (први елемент одговара првој непознатој, други другој и тако редом) тако да заменом у свакој једначини долазимо до идентитета. Неједначина се добија када се између два математичка израза стави неки од знакова уређења <,, >,, као на пример x 2 1 x. Као и једначине и неједначине се решавају прелазећи на еквивалентне, допустивим трансформацијама, као што су: - ако се обемама странама неједначине дода исти број (или идентични израз) добијамо еквивалентну неједначину; - ако се неједначина помножи истим бројем (или изразом чији је знак константан) неједначина не мења знак уређења, ако је тај број позитиван, а мења знак уређења, ако је тај број негативан; 20

27 - неједначина се не мења ако се неки израз замени њему идентичним изразом. Квадратне неједначине, на пример, можемо решавати растављањем на чиниоце и слично. Модели једначина и неједначина у нижим разредима основне школе имају знатна ограничења. Најпростије типове једначина сусрећемо већ у првом разреду, када се непознати број представља квадратићем уместо x, као на пример: 2+ = 5. Моделовање једначинама и неједначинама је врло корисно у решавању проблема. Прво треба формирати одговарајућу једначину (неједначину), која одговара датом проблему моделује га, а потом и решити је. Често се уместо једначина користе други типови моделовања, као што је, на пример, метода дужи или метода правоугаоника, како би се ученицима олакшало решавање или упростио облик једначине. Релације које се најчешће користе у моделовању једначинама: а) a је за x већи од b, a = b+ x; б) a је за x мањи од b, a = b - x; ц) a је x пута већи од b, a = b x; в) a је x пута мањи од b, a = b : x; г) узастопни природни бројеви n, n+1; n ϵ N ; д) двоцифрени број 10n+m; n и m цифре декадног система; ђ) збир бројева x и y ( x + y) ; е) производ бројева x и y ( x y) Неједнакости које се појављују у задацима: а) x је веће од y ( x y); б) x је мање од y (x y); в) x је веће или једнако од y ( x y); г) x је мање или једнако од y ( x y); Даћемо неколко типичних примера моделовања једначинама и неједначинама. Диференцирање извршено у складу са прописаним образовним стандардима (Општи стандарди постигнућа, 2011). 21

28 I ниво Пример 1. Љубица је на разним такмичењима из математике освојила 6 медаља. Колико медаља треба још да освоји, да би их имала 10, као њена другарица Маја? Решење: Означимо са x број медаља које треба да освоји Љубица. Тада број Љубициних медаља у збиру са x даје тражени број. Постављамо једначину: 6 + x = 10 (непознат сабирак), x = 10 6, x = 4. Љубица треба да освоји још 4 медаље. Напомена: Задатак се може решити методом дужи, погледати Пример 12. Пример 2. Иван пита учитеља, колико њихова школа има ђака? Учитељ одговара: Када би их било пет пута више него што их заправо има и још 100, било би их Колико Иванова школа има ђака? Решење: Ако са x обележимо број ђака, имамо Школа има 980 ђака. 5 x = 5000 (непознат сабирак), 5 x = , 5 x = 4900 (непознат чинилац), x = 4900 : 5, x = 980. Напомена: Задатак сe може решити методом дужи, Пример 13.; методом инверзије, Пример 52. Пример 3. У касици има 1000 динара. Колико се из касице може узети динара, да би у касици остало више од 300 динара? Решење: Ако са x означимо број динара које можемо узети, постављамо неједначину: 22

29 x 300 (непознат умањилац), x , x 700, Пошто x ϵ N, закључујемо да x ϵ {1, 2, 3,..., 699}. Значи да из касице можемо узети од 1 до 699 динара. II ниво Пример 4. Бака је 5 пута старија од унуке Вање, а Вањина мама је 21 годину млађа од баке. Колико свака од њих има година, ако заједно имају 100 година? Решење: Означимо са x број Вањиних година. Тада бака има пет пута више, односно 5x, а мама има 5x 21. Како заједно имају 100 година, добијамо једначину x + 5 x + 5 x - 21 = 100, 11 x - 21 = 100 (непознат умањеник), 11 x = , 11 x = 121 (непознат чинилац), x = 121 : 11, x = 11. Дакле, Вања има 11 година, бака 5 11=55 година, а мама 55-21=34 године. Пример 5. Ана je отишла на пијацу да купи јабуке. Дође до једне баке која их продаје и пита: Бако, колико има јабука у тој кошари? Бака одговори: Хајде погоди. Ако би овој количини јабука која је у кошари, додала два пута више јабука и још десет јабука, било би их више од 52 и мање од 64. Колико јабука је могло бити у кошари? Решење: Обележимо са х број јабука у кошари. Према бакиним речима формирамо 2 неједначине и решавамо их: x + 2 х и х + 2 х , 3 х и 3 х , 3 х и 3 х 64-10, 3 х 42 и 3 х 54, x 42 : 3 и х 54 : 3, 23

30 х 14 и х 18. Значи, хϵ{15, 16, 17}. Дакле, могло је бити 15, 16 или 17 јабука у кошари. III ниво Пример 6. Мама и ћерка имају заједно 50 година. Пре пет година мама је од ћерке била старија 4 пута. Колико година има мама, а колико ћерка? Решење: Означимо словом М мамине година, а словом Ћ ћеркине године. Из услова задатка знамо да је М + Ћ = 50, односно да је М = 50 - Ћ. Затим, знамо да је пре 5 година мама имала М - 5 година, а ћерка Ћ - 5 година, па следи једначина: 4 (Ћ - 5) = М - 5, заменимо М са 50 Ћ и добијамо 4 (Ћ - 5) = 50 - Ћ - 5, након множења и одузимања добијамо једначину 4 Ћ - 20 = 45 Ћ, 5 Ћ = 65, Ћ = 65 : 5, Ћ = 13. Ако ћерка има 13 година, онда мама има = 37 година. Напомена: Задатак се може решити методом дужи, Пример 17. Пример 7. Колико килограма бомбона чија је цена 80 динара по килограму, треба помешати са 16 килограма бомбона чија је цена 50 динара по килограму, да би се добила мешавина бомбона која би се продавала по цени од 60 динара по килограму? Решење: Означимо са х килограме бомбона по цени од 80 динара по килограму. Следећи услове задатка имамо једначину 80 х = (х + 16) 60, 80 х = 60 х + 960, 20 х = 160, х = 8 24

31 Значи да треба помешати 8 килограма бомбона по цени од 80 динара по килограму са 16 килограма бомбона по цени од 50 динара по килограму, да би 24 килограма мешавине коштало 60 динара по килограму. Напомена: Задатак се може решити методом правоугаоника, видети Пример Метода дужи Метода дужи представља једну од најуниверзалнијих метода за графичко илустровање проблемских задатака. Да би се проблем решио, односно разумео, веома је погодно послужити се сликом. Метода дужи се користи, пре свега, за разумевање односа међу задатим величинама, почевши од основних рачунских операција, као што су: сабирање, одузимање, множење и дељење-разломци, па све до формирања једначина. Step by step метода, односно, корак по корак, је сингапурска метода намењена најмлађим ученицима, за решавање проблема, која у себи садржи математички модел, као обавезан. Састоји се од 7 корака: 1. Прочитај цео проблем; 2. Препиши питање у форми изјавне реченице и остави место за одговор; 3. Утврди ко и/или шта је умешан у проблем; 4. Нацртај модел решења, представи решење правоугаоником; 5. Уситни проблем на делове, усклади са правоугаоником и стави знак питања; 6. Правилно израчунај и реши проблем; 7. Напиши одговор у виду реченице и буди сигуран да има смисла. Упоређујући кораке Step by step методе са фазама решавања проблема које је навео Поља или са корацима самог математичког моделовања, налазимо велике подударности. Закључујемо да није реч о случајности, јер је сваки метод, теорија настала као последица дубоког промишљања о начину решавања одређених проблема. Метода дужи поједностављује једначине, упрошћава њихов облик, који постаје доступан за решавање и на нижем степену математичке образованости. Суштина ове методе је у томе да се бројеви на цртежу представљају одговарајућим дужима (може и другим геометријским фигурама, као што су квадрат, круг или правоугаоник). Једнаки бројеви - једнаким дужима, мањи бројеви - мањим, а 25

32 већи - већим дужима. За ученике првог и другог разреда примеренија је Step by step метода, која као моделе укључује правоугаонике, а у каснијим разредима се може увести дуж као модел. Илустроваћемо методу Step by step, на примерима основних рачунских операција, као добре основе за усвајање математичког моделовања код проблемских задатака. I ниво Пример 8. Ана има 5 хаљина и за рођендан добије још 3 хаљине. Колико хаљина има Ана после рођендана? Решење: 1. Корак: прочитај текст задатка. Ана има 5 хаљина и за рођендан добије још 3 хаљине. Колико хаљина има Ана после рођендана? 2. Корак: препиши питање у форми изјавне реченице и остави место за одговор. Ана има хаљина после рођендана. 3. Корак: Утврди ко и/или шта је умешан у проблем. Ана и Анине хаљине. 4. Корак: Нацртај модел решења, представи решење правоугаоником. Анине хаљине: 5. Корак: Уситни проблем на делове, усклади са правоугаоником и стави знак питања. Анина хаљина: Ана има 5 хаљина: Добије још 3хаљине: Аниних 5 и још 3 хаљине Анине хаљине? 6. Корак: Реши проблем. Анине хаљине: = 8 7. Упиши одговор. 26

33 Ана има 8 хаљина после рођендана. Пример 9. Ђорђе има 6 лопти, а његов брат 2 лопте мање. Колико лопти има Ђорђетов брат? Решење: 1. Корак: Ђорђе има 6 лопти, а његов брат 2 лопте мање. Колико лопти има Ђорђетов брат? 2. Корак: Ђорђетов брат има лопте. 3. Корак: У проблем је умешан Ђорђе, Ђорђетов брат и лопте. 4. Корак: Лопте Ђорђетовог брата: 5. Корак: 1 лопта: Ђоршетове лопте: Лопте Ђорђетовог брата: 6. Корак: Решење: Лопте Ђорђетовог брата: 6 2 = 4 7. Корак: Ђорђетов брат има 4 лопте. Пример 10. Ирена је купила 7 фломастера, а Милена 3 пута више. Колико је фломастера купила Милена? Решење: 1. Корак: Ирена купи 7 фломастера, а Милена 3 пута више. Колико је фломастера купила Милена? 2. Корак: Милена је купила фломастера. 3. Корак: Ирена, Милена и фломастери су умешани у проблем. 4. Корак: Миленини фломатери: 5. Корак: Иренини фломастери: =7 Миленини фломастери:? 6. Корак: Решење: = Корак: Милена је купила 21 фломастер. 27

34 Пример 11. Петар је уштедео 6000 динара. Колико динара је уштедео Марко, ако се зна да његова уштеђевина представља 4/5 Петрове уштеђевине? Решење: 1. Корак: Петар је уштедео 6000 динара. Колико динара је уштедео Марко, ако се зна да његова уштеђевина представља 4/5 Петрове уштеђевине? 2. Корак: Марко је уштедео динара. 3. Корак: Петар, Марко, уштеђени динари. 4. Корак: Марко је уштедео динара: 5. Корак: 1/5 Петрове уштеђевине: Петрова уштеђевина: =6000 Маркова уштеђевина:? 6. Корак : Решење: 1/5 Петрове уштеђевине: 6000:5=1200 динара. Маркова уштеђевина: = Корак: Марко је уштедео 4800 динара. Приказаћемо неколико основних математичких релација дужима, помоћу којих се уочљиво представља однос два броја: Број а је једнак броју b. a: b: A C B D Број а је за 7 већи од броја b. (Исто значење имају тврђења: Број b је за 7 мањи од броја а; Разлика броја а и броја b је 7). a: A 7 B b: C D 28

35 Број а је 3 пута већи од броја b. (Исто значење имају тврђења: Број b је 3 пута мањи од боја а; Количник боја а и броја b је 3). b: a: C A D B дужи. У наставку дајемо неколико типичних задатака који се могу решити методом Пример 12. Љубица је на разним такмичењима из математике освојила 6 медаља. Колико медаља треба још да освоји, да би их имала 10, као њена другарица Маја? Решење: Љубица: другарица: Из слике се види да Љубици треба да освоји још 4 медаље. Напомена: Задатак се може решити методом једначина, Пример 1. Пример 13. Иван пита учитеља, колико њихова школа има ђака? Учитељ одговара: Када би их било пет пута више него што их заправо има и још 100, било би их Колико Иванова школа има ђака? Решење: Цртамо модел: Број ђака: По речима учитељa: = Слика показује да је број ђака у школи: 4900 : 5 = 980. Напомена: Задатак се може решити методом једначина, Пример 2.; методом инверзије, Пример

36 II ниво Пример 14. Чоколада је скупља од сладоледа 2 пута. Шта је скупље 3 чоколаде или 6 сладоледа? Решење: I корак: чоколада: A B На првој слици представљене су цене чоколаде и сладоледа: AB=2 CD. сладолед: C D II корак: У другом кораку се црта однос између 3 чоколаде и 6 сладоледа. 3 чоколадe: 6 сладоледa: Из друге слике се види да 3 чоколаде коштају исто као 6 сладоледа. Пример 15. Милан има 6 кликера више од Бранка. Колико Бранко у игри са Миланом треба да освоји кликера, да би обојица имали једнак број кликера? Решење: Цртамо одговарајуће моделе: Пре игре: Милан: A B C D Бранко: E Како је Милан имао 6 кликера више од Бранка, дуж BC поделили смо на 6 једнаких делова, који представљају 6 кликера. Тај део истичемо, јер се у њему дешавају промене. После игре: A B C 1 Милан : D 1 E F 1 Бранко: У другом делу се уочава да је дуж BC скраћена за онолико кликера колико је додато дужи DE, како бисмо добили исте дужине. Значи, Бранко треба да освоји 3 кликера од Милана. 30

37 Пример 16. Каћа и Мила пођу једна другој у сусрет из својих кућа које су удаљене 840 метара. Каћа крене бициклом, Мила пешице. У тренутку сусрета Каћа је прешла 3 пута дужи пут него Мила. Колико је минута до сусрета Мила пешачила, ако се зна да за 1 минут пређе 30 метара? Решење: К Како је Каћа прешла 3 пута дужи пут од Миле, значи да је Мила прешла 840 : 4 = 210 метара, а Каћа = 630 метара. Када се зна да за 1 минут Мила пређе 30 метара, онда је Мила пешачила 210 : 30 = 7 минута. Пут који је прешла Каћа 630m 840m Пут који је прешла Мила 210m М Напомена: Задатак се може решити методом погађања, Пример 37. Пример 17. Мама и ћерка имају заједно 50 година. Пре пет година мама је од ћерке била старија 4 пута. Колико година има мама, а колико ћерка? Решење: Прва слика, пре 5 година: x ћерка: x x x x мaмa: Друга слика: x 5 ћерка: x x x x мaмa: 5 Пре пет година мама је била 4 пута старија од ћерке. Ако са x означимо дуж која представља ћеркине године, онда су мамине године представљене 4 пута дужом дужи. Друга слика представља садашње године, када су и мама и ћерка старије за 5 година. 31

38 Трећа слика: x 5 x x x x 5 заједно: = 50 x x x x x = 40 Знајући да је збир година маме и ћерке 50, гледајући трећу слику имамо: 5 x = 40, x = 8. Значи, ћерка има 8 + 5= 13 година, а мама = 37 година. Напомена: Задатак сe може решити методом једначина, Пример 6. Пример 18. Ана, Вања и Сања потрошиле су заједно 9840 динара купујући поклоне за Божић. Вања је потрошила 530 динара више од Ане, а 5 пута мање од суме новца коју су заједно потрошиле Ана и Сања. Колико је новца потрошила свака од њих? Решење: Ана: Вања: Ана и Сања: x x 530 x 530 x 530 x 530 x 530 x 530 Ако је Ана потрошила x динара, онда се из слике види да је Вања потрошила x+530 динара, а Сања 530+x+530+x+530+x+530+x+530= 4 x динара. Посматрајући слику, а знајући да су заједно потрошиле 9840 динара, постављамо једначину: 6 (x + 530) = 9840, x = 1640, x = Из тога следи да је Ана потрошила 1110 динара, Вања = 1640 динара, а Сања = 7090 динара. Пример 19. Када је Коста прешао 1/6 целог пута и још 10 километара, остало му је да пређе 2/3 целог пута и још 6 километара. Колика је дужина пута? 32

39 Решење: А B C D E F G 10 6 прешао остало да пређе Ако смо са дужи АG обележили цео пут, онда су дужи AB = BC = CD = DE = =EF = FG = 1/6 AG. Посматрајући слику, на којој је приказано шта је Коста прешао и шта још треба да пређе, долазимо до закључка да је једна шестина пута BC= ; BC =16 километара. Према томе дужина целог пута је 6 16= 96 километара. III ниво Пример 20. Ана је првог дана прочитала четвртину књиге, други дан је прочитала трећину преосталог дела књиге, трећи дан је прочитала половину преосталог дела књиге и остало јој је да прочита до краја још 70 страна. Колико је књига имала страна? Решење: Цртамо модел: I дан: x x x x II дан: прочитала x x x III дан: прочитала x прочитала x 70 Слика показује да је x = 70, што значи да је књига имала 4 70= 280 страна. Напомена: Задатак се може решити методом инверзије, Пример

40 Пример 21. У једној корпи има два пута више јабука него у другој. Ако се из сваке корпе узме по 30 јабука, онда ће у првој корпи остати 5 пута више јабука него у другој. Колико је јабука било у свакој корпи? Решење: I корпа: II корпа: x x x x x 30 x 30 првој корпи има 2 пута више јабука, из слике следи једначина: 3 x = 30, x = 10. Модел показује да ако узмемо 30 јабука из сваке корпе, у првој ће остати 5 x, а у другој x јабука. Како у Значи да је у првој корпи било = 80 јабука, а у другој = 40 јабука. Пример 22. Група ученика жели да купи збирку задатака из математике. Ако сваки од њих приложи по 100 динара, преостаће им 130 динара, а ако сваки да по 70 динара недостајало би им 140 динара. Колико је било ученика и која је цена збирке? Решење: Означимо са x број ученика у групи и цртамо: 100 x 70 x x 130 Из слике се види да је 30 x = , 30 x = 270, x = 9. Израчунавамо и цену збирке: = 770 динара. Напомена: Задатак се може решити методом правоугаоника, Пример 27. Пример 23. Једна жена је донела корпу бресака на пијацу. Првом купцу је продала половину бресака и још једну брескву, другом половину остатка и још две брескве, а 34

41 трећем половину остатка и још две брескве. Тада је продала све брескве. Колико је бресака имала на почетку продаје? Решење: број бресака: ½ x ½ преосталих = x продато I купцу продато II купцу продато III купцу Из слике видимо да је трећи купац купио 4 брескве, јер је купио половину остатка и 2 брескве, што значи да је половина остатка 2 брескве, јер није остала ни једна бресква. Из слике, затим, следи да је половина преосталих бресака после прве куповине: 6 бресака, јер је други купац купио половину остатка и још две, односно 8 бресака. Значи да су други и трећи купац купили укупно 12 бресака, па из слике следи да је: 1/2 x = , x = 26. Значи да је на почетку било 26 бресака. Напомена: Задатак се може решити методом једначина:(1/4 x-5/2) - 1/2 (1/4 x-5/2) - 2= 0. Задатак се може решити методом инверзије, Пример Метода правоугаоника Метода правоугаоника се користи у решавању проблемских задатака, код којих се једна величина може представити као производ друге две величине (под условом да су све величине позитивне). Производ те две величине, које представљају димензије правоугаоника, можемо графички представити као површину тог правоугаоника. У оквиру ове методе врши се претварање једног правоугаоника у други правоугаоник тако да настали правоугаоник 35

42 а) има једнаку површину: Дати правоугаоник ABCD претворити у правоугаоник AEFG једнак му по површини, једне странице АЕ, тако да важи (А В Е) (значи да су тачке колинеарне и да се тачка В налази између А и Е) и друге странице АG и да важи (А G D). D C y b G M F A a B x E Увешћемо ознаке: AB = а, AD = b, GD = y и BE = x. Ако страницу а продужимо за x, а страницу b смањимо за y, површина насталог правоугаоника је једнака површини почетног правоугаоника. Да би ово било задовољено важи: PMCDG = PBEFM, што се из слике јасно види. Доказ: Знамо да је PABCD = PAEFG, из тога следи: a b = (a + x) (b y), a b = a b + x b a y xy, a y = x (b y). б) има различиту површину (зависи од услова задатка). Метода правоугаоника пружа могућност упрошћавања облика једначина и на тај начин поједностављује решавање. Због своје релативне сложености, препорука је да се користи од 4. разреда, мада, у зависности од надарености ученика, може и раније. Следе примери задатака који се могу успешно решити овом методом. I ниво Пример 24. Башта облика правоугаоника има дужину 8 метара. Ако би се та дужина умањила за 2 метра, а ширина баште повећала за 3 метра, површина баште би остала непромењена. Колика је површина баште? 36

43 Решење: D C G 2 x H F 6 6 A x B 3 E Како површина баште представља производ дужине и ширине баште, можемо применити метод правоугаоника. Правоугаоник ABCD представља површину баште. Означимо са x ширину баште. Претворићемо правоугаоник ABCD, чија је једна страница 8, у други правоугаоник једнаке површине, чија је једна страница 6. Значи, за колико се површина правоугаоника ABCD умањи, за толико се површина правоугаоника ABHG увећа, односно: PGHCD = PBEFH, 2 x = 6 3, x = 9. Следи да је ширина баште 9 метара, односно површина баште је 9 8 = 72 метра. Пример 25. Аутомобил је растојање од Сомбора до Врања прешао за 10 сати. Да је ишао 30 km/h брже, стигао би 2 сата раније. Одреди брзину којом се аутомобил кретао. Решење: G 30 D H F C x x A 8 E 2 B 37

44 Ако дужина дужи AB представља времe, дужина дужи AD брзину, коју смо означили са x, онда је пређени пут, који је једнак производу брзине и времена, представљен површином правоугаоника ABCD. Значи, потребно је овај правоугаоник претворити у други исте површине, са странцом AD увећаном за 30 и страницом AB умањеном за 2. Како је површина правоугаоника ABCD умањена за онолико за колико је површина правоугаоника AEFD увећана следи: PEBCF = PDFHG, x 2 = 30 8, x = 120. Значи да се аутомобил кретао брзином од 120 km/h. Напомена: Задатак се може решити пропорцијом: x : ( x + 30) = 8 : 10. II ниво Пример 26. Продавница воћа је наручила неколико гајби наранџи, са по 20 килограма наранџи у свакој гајби и исто толико гајби лимуна, са по 34 килограма лимуна у свакој гајби, при чему је лимуна било за 126 килограма више. Колико је продавница наручила килограма наранџи, а колико лимуна? Решење: D F C x 126 A 20 E 14 B Нека страница AD, означимо је са x, представља број гајби наранџи који је једнак броју гајби лимуна. Тада површина правоугаоника AEFD представља број килограма наранџи, а површина правоугаоника ABCD, број килограма лимуна, јер је 38

45 број килограма воћа једнак производу броја гајби и броја килограма воћа у свакој гајби. Како је лимуна за 126 килограма више од наранџи, онда је површина правоугаоника EBCF једнака 126. Пошто је његова страница ЕВ=14, јер је лимуна за 14 килограма више по гајби, онда је његова друга страница BC = x; x = 126 : 14; x = 9. Значи да гајби има 9. Према томе, наручено је 9 20=180 килограма наранџи и 9 34= 306 килограма лимуна. Напомена: Задатак се може решити методом једначина: 20 x = 34 x. Пример 27. Група ученика жели да купи збирку задатака из математике. Ако сваки од њих приложи по 100 динара, преостаће им 130 динара, а ако сваки да по 70 динара недостајало би им 140 динара. Колико је било ученика и која је цена збирке? Решење: H G 30 D F C E A x B На слици је цена збирке представљена површином правоугаоника ABCD, као производа странице AB = x која представља број ученика, и странице АD која представља износ новца који свако од ученика даје. Ако свако од ученика да по 70 динара, сакупиће толико новца колика је површина правоугаоника АBEF. До цене збирке недостаје 140 динара, што представља површину правоугаоника FECD. Када би свако од њих дао по 100 динара, сакупили би 39

46 онолико новца колика је површина правоугаоника ABGH, а што је за 130 динара више од цене збирке. Видимо да је PDCGH = 130 и PFEGH = = 270, па пошто је страница правоугаоника FEGH, FH = = 30. Тада је друга страница истог правоугаоника FЕ = x; x = 270 : 30; x = 9. Закључујемо, дакле, да је ученика било 9. Из тога следи да је PABEF = 9 70; PABEF = 630, па је PABСD = =770. То је цена збирке, 770 динара. Напомена: Задатак се може решити методом дужи, Пример 22. III ниво Пример 28. Један посао 16 радника обаве за 12 дана. После 6 дана, 4 радника напусте посао. За које ће време преостали радници завршити посао? Решење: L J x D H C 6 G 12 6 F 4 E A 16 B Ако правоугаоник ABCD представља посао који треба да ураде 16 радника за 12 дана, онда правоугаоник АBEG представља посао који су 16 радника обавили за 6 дана, јер посао представља производ броја радника и броја дана. Правоугаоник GECD представља преостали део посла. Са x ћемо означити број дана које су простали радници дуже радили. 40

47 Како се број радника смањио за FE = 4 радника, онда је тај посао који представља правоугаоник GFJL завршило GF = 12 радника. PGECD = PGFJL - исти посао, односно PFECH = PDHJL. Према томе, знајући да је FE = 4; CE = 6; DH = 12; LD = x, имамо: 12 x = 4 6, x = 2. Значи да ће преостали радници за 6 + x = 6 + 2= 8 дана завршити преостали део посла. (Уместо да су цео посао завршили за 12 дана, завршиће га за 14 дана). Пример 29. Колико килограма бомбона чија је цена 80 динара по килограму, треба помешати са 16 килограма бомбона чија је цена 50 динара по килограму, да би се добила мешавина бомбона која би се продавала по цени од 60 динара по килограму? Решење: D C 20 L K H G F A x B 16 E Зарада од x kg бомбона по 80 динара представљена је правоугаоником ABCD, а зарада од 16 kg бомбона по цени од 50 динара по килограму, представљена је правоугаоником BEFG, јер је зарада производ количине продатих бомбона и цене по килограму бомбона. Зарада од тражене мешавине која се продаје по цени од 60 динара по килограму представљена је правоугаоником AEHL. 41

48 Како су зараде од посебне продаје различитих врста бомбона и продаје мешавине, једнаке, онда је PABСD + PBEFG = PAEHL. Из тог следи да је: PLKCD = PGFHK, односно: DL LK = GF HF. Како је DL = 20, LK = x, GF = 16 и HF = 10 следи: 20 x = 16 10, x = 8. Значи, треба помешати 8 килограма бомбона по цени од 80 динара по килограму, са 16 килограма бомбона по цени од 50 динара по килограму, да би 24 килограма мешавине коштало 60 динара по килограму. Напомена: Задатак се може решити методом једначина, Пример Моделовање скуповима Скуп је један од основних појмова у математици који се експлицитно не дефинише. Често се уместо скуп, може рећи мноштво, колекција, па тако можемо говорити о скуповима, односно мноштву људи, животиња, предмета, бројева... Оно што карактерише скуп су елементи који му припадају, а које повезује једно или више заједничких својстава. Скупови су погодни за решавање неких врста сложених логичких проблема. Скупови се графички могу представити помоћу Веновог дијаграма. Венов дијаграм је затворена аморфна крива која представља скуп. На пример, скуп А, дат експлицитно А={1,2,3}, можемо представити помоћу Веновог дијаграма: А Даћемо неколико основних напомена у вези скупова, како би се ова метода успешно могла примењивати у решавању проблема. 42

49 1. Релација чланства Ако са Ѕ означимо скуп, а са р један од објеката из колекције Ѕ, значи да је р елеменат скупа Ѕ, пишемо р ϵ Ѕ. (Негацијом, релација р ϵ Ѕ постаје р Ѕ, што значи да р није елеменат скупа Ѕ.) 2. Подскуп скупа Ако су А и В два скупа, где је сваки елеменат скупа А истовремено и елеменат скупа В, онда се каже да је А подскуп В и пише се А В. У математичкој нотацији: А В { x x ϵ A x ϵ B }. 3. Једнакост скупова Ако је А В и В А, онда се каже да су скупови А и В једнаки. Дакле, def def А = В А В В А. 4. Пресек скупова Пресек датих скупова је скуп састављен од оних и само оних елемената који припадају свим датим скуповима. За два скупа: А В ={ x x ϵ A x ϵ B }. 5. Унија скупова Под унијом скупова подразумевамо скуп који је састављен од оних и само оних елемената који припадају бар једном од задатих скупова. А U В ={ x x ϵ A x ϵ B }. 6. Разлика два скупа Разлика два скупа А и В у ознаци А \ В је скуп чији су елементи само они елементи скупа А који не припадају скупу В. А \ В ={ x x ϵ A x B }. 7. Симетрична разлика Нека су А и В два непразна скупа, а А \ В и В \ А њихове разлике. Унија скупова А \ В и В \ А назива се симетрична разлика. A В = (A\B) (B\A). 43

50 8. Комплемент скупа Нека је А било који подскуп универзалног скупа Е. Разлика скупа Е и ма ког његовог подскупа А назива се комплемент скупа А и означава се са А'. Дакле, то је скуп свих елемената у Е који нису у А, односно А' ={ x x ϵ E \ A}. 9. Партитивни скуп Ако је А произвољан непразан скуп, са Р(А) означава се скуп свих његових подскупова и назива се партитивни скуп скупа А. Р(А) ={ X X A}. Подскупови скупа А су и празан скуп у ознаци ø или{}, и сам скуп А. 10. Уређени парови Пар елемената a и b код кога се зна који је елеменат први, а који други назива се уређен пар. Ако је, на пример, a први елеменат, а b други, онда такав пар означавамо са (a, b). Уређен пар (a, b) се разликује од уређеног пара (b, a), код кога је први елеменат b, а други а. 11. Декартов производ Декартов производ непразних скупова А и В у ознаци А х В је скуп уређених парова (x,y), при чему је x ϵ А и y ϵ В. А х В = { (x, y) x ϵ A y ϵ B }. Декартов производ непразног скупа А са самим собом назива се квадрат скупа А у ознаци А 2 =А х А. Нека је скуп А дат експлицитно, на пример А={1, 2, 3}, онда је број елемената скупа А у ознаци A једнак 3 и пише се A = 3. (Исти елементи скупа се броје само једанпут, на пример, ако је дат скуп В={5, 5, 6}, онда је В = 2.) Неколико примера, како скуповне операције и релације можемо представити помоћу Венових дијаграма за два скупа: А В А В А U В А \ В А В А В А В 44

51 Пример скуповних операција три скупа представљених Веновим дијаграмима: А \ (В U С) (А В) \ С А В С Број елемената сваког означеног скупа можемо написати унутар или изван скупа на Веновом дијаграму, ради прегледности. На пример: а) У одељењу има 30 ученика, односно A = 30: А-30 или А 30 б) У том одељењу од 30 ученика има 18 девојчица и 12 дечака: А-30 М Ж Скупови се обрађују у првом разреду основне школе и то само основни појмови, као што су елементи скупа, припадност. Скупове, као основни појам у математици и операције са њима, деца врло лако могу интуитивно разумети већ у почетној настави математике. Следе типични примери задатака, који се решавају методом скупова, а које би ученици у нижим разредима успешно могли савладати. I ниво Пример 30. У једном одељењу првог разреда 15 ученика воли нутелу, 20 ученика воли еурокрем, а 5 ученика воли оба намаза. Колико има ученика у том одељењу? Колико ученика воли само нутелу? 45

52 Решење: Цртамо Венове дијаграме и према датим подацима попуњавамо скупове одговарајућим бројем елемената. Са N означимо скуп ученика који воле нутелу. Са Е означимо скуп ученика који воле еурокрем. Знајући да 5 ученика воле оба намаза, у пресек скупова N и Е уписујемо 5. Како нутелу воли укупно 15 ученика, у скуп N \ Е уписујемо 10, јер их је већ 5 уписано у пресек. Исто тако, пошто укупно 20 ученика воли еурокрем, у Е \ N уписујемо 15, јер је = 20. N E На основу дијаграма закључујемо да је у одељењу = 30 ученика, а да само нутелу воли 10 ученика. II ниво Пример 31. У одељењу трећег разреда које има 29 ученика, њих осморо тренира тенис, 14 фудбал, а 9 ученика не тренира ни један од та два спорта. Колико ученика тренира и фудбал и тенис, а колико ученика тренира само фудбал? Решење: Ако 9 ученика не тренира ни један од понуђених спортова, значи то је посебан скуп, онда 20 ученика, од њих 29, тренира фудбал или тенис. Како њих 8 тренира тенис, а 14 фудбал, а то је у збиру 22 (веће од 20), значи да се 2 ученика налазе у пресеку, односно тренирају и фудбал и тенис. Цртамо дијаграм, слично претходним примерима и уписујемо одговарајуће бројеве елемената за сваки скуп. Како се 2 ученика налазе у пресеку онда, пошто њих осам тренира тенис у скуп Т \ F уписујемо 6; а пошто 14 ученика тренира фудбал у скуп F \ Т уписујемо

53 Т F N На основу Веновог дијаграма видимо да 2 ученика тренирају и фудбал и тенис, а да 12 ученика тренира само фудбал. III ниво Пример 32. Од 88 ученика 4. разреда, сваки учи бар један страни језик: енглески, немачки или руски. Руски учи 48 ученика, енглески 58, енглески и немачки 32, а руски и немачки 24. Седам ученика учи само немачки; само два страна језика учи 51 ученик, а сва три језика 10 ученика. Колико ученика учи немачки, а колико само енглески језик? Решење: Цртамо Венове дијаграме тако што ћемо означити скупове: Е- скуп ученика који уче енглески језик; N- скуп ученика који уче немачки језик и R- скуп ученика који уче руски језик. На основу примера скуповних опрерација за три скупа, у одређене скупове уписујемо одговарајући број елемената: Е =58; R =48; затим у пресек сва три скупа E N R (ученици који уче сва три језика) уписујемо 10 ( E N R = 10); како само немачки језик учи њих седам ( N\(EUR) = 7) у скуп N\(EUR) уписујемо 7; енглески и немачки учи 32 ученика ( E N = 32) у скуп E N уписујемо 32; руски и немачки учи 24 ученика ( R N = 24) у скуп R N уписујемо 24. У оне скупове за које не знамо податке уписујемо непознате тако што ћемо обележити: E\(NUR) са D ; R\(EUN) са G ; (E R)\N са A ; (E N)\R са C ; (N R)\E са B. 47

54 32 88 E-58 D A С 10 В 7 N G 24 R Ṟ-48 ученика. На основу дијаграма имамо: C + 10 = 32, па је C = 22; B + 10 = 24 B =14; Знамо да је: A + B + C = 51, јер 51 ученик учи само два језика. Из тога следи: А = 51, односно А = 15. Значи, немачки језик учи: С + В = , односно 53 Само енглески језик учи : D = E - (32+A ); D = 58-47; D = 11 ученика. Пример 33. У одељењу од 30 ученика већина њих похађа неку секцију. Осамнаест ученика иде на ликовну секцију, 14 ученика на информатичку, 10 на музичку, а 1 ученик не похађа ни једну секцију. Музичку и информатичку секцију похађа 3 ученика, а ликовну и информатичку 7 ученика. Ако 2 ученика похађају све три секције, колико ученика похађа само ликовну и музичку секцију? Решење: Цртамо Венове дијаграме према датим подацима. Знамо да 29 ученика од њих 30 похађа секције, па цртамо посебан скуп од једног елемента и три скупа која се 48

55 секу. Уносимо одговарајуће податке полазећи од пресека, као у претходном примеру, и обележимо: L\(MUI) са A ; M\(LUI) са C ; а са B (L M)\I - што представља скуп ученика који похађају само ликовну и музичку секцију. 30 L-18 A 5 6 I-14 B 2 1 C 1 M-10 На основу дијаграма имамо да је: A+B+C=15, јер укупно 29 ученика похађа секције, а I =14. Из тога следи да је A+B+C=23, односно LUM =23. Са друге стране: L + M =28, па на основу LUM =23, следи да је L M =5. Према томе је В+2=5, односно B=3. Три ученика похађа само ликовну и музичку секцију Метода погађања Метода погађања (у литератури се често може наћи и под именом метода лажне претпоставке) је погодна за решавање проблема који су везани за постојање две непознате величине. Такви задаци, сходно својој комплексности, захтевају посебну домишљатост од стране ученика у нижим разредима основне школе. Метод се састоји у томе да, за решење одаберемо произвољан број, који ћемо према условима задатка мењати, а затим анализом вршити корекцију тако добијеног погрешног решења и на тај начин доћи до тачног решења. Приликом одабира произвољног броја, треба бити посебно досетљив, како би се управо тај податак могао адекватно искористити за добијање тачног решења. Ево неколико типичних примера који се могу решити методом погађања. 49

56 I ниво Пример 34. Вања и Сања имају заједно 100 динара. Колико динара има Вања, а колико Сања, ако Вања има три пута више динара него Сања? Решење: Претпоставимо да Вања има 3 динара, а Сања 1 динар (згодно због услова задатка). Заједно онда имају = 4 динара. То је 100 : 4 = 25 пута мање од онога што оне заправо имају. Следи да Вања има 3 25=75 динара, а Сања 1 25=25 динара. Напомена: Задатак се може решити методом једначина: x + y = 100; x = 3 y. Пример 33. На реци је било 11 чамаца, од којих већи имају по 9, а мањи по 4 седишта. Колико је било већих, а колико мањих чамаца, ако је укупан број седишта 74? Решење: Ако претпоставимо да су сви чамци већи, онда би било 11 9 = 99 седишта. То је за 25 седишта више од постојећих 74. Ако заменимо већи чамац мањим, број седишта се смањује за 9 4 = 5 седишта. Како имамо 25 седишта вишка, требало би заменити 5 (25 : 5 = 5) већих чамаца, мањим чамцима. Значи да ће мањих чамаца бити 5, а већих 6. II ниво Напомена: Задатак се може решити методом једначина: x + y = 11; 4 x + 9 y = 74. Пример 36. На писменом испиту требало је решити 30 задатака. За сваки решени задатак ученик добија 3 бода, а за сваки нерешен одузима му се 1 бод. Колко тачних задатака је решио ученик ако је на крају имао 70 бодова? Решење: Ако претпоставимо да је ученик решио све задатке, онда би имао 3 30 = 90 бодова. Како за сваки нерешени задатак ученик губи 4 бода (3 не добије, а 1 му се 50

57 одузима) и како је ученик сакупио 70 бодова, то значи да је изгубио 20 бодова: = 20, а број задатака које ученик није решио је: 20 : 4 = 5 задатака. Дакле, ученик је решио 30 5 = 25 задатака. III ниво Пример 37. Каћа и Мила пођу једна другој у сусрет из својих кућа које су удаљене 840 метара. Каћа крене бициклом, Мила пешице. У тренутку сусрета Каћа је прешла 3 пута дужи пут него Мила. Колико је минута до сусрета Мила пешачила, ако се зна да за 1 минут пређе 30 метара? Решење: Ако бисмо претпоставили да је Мила прешла 30 метара, онда је Каћа морала прећи 3 пута дужи пут, значи 3 30 = 90 метара. То је укупно 120 метара, што је 7 пута мање од стварне раздаљине између њихових кућа (840 : 120 = 7). Дакле, Мила је прешла 210 метара. Када се зна да за 1 минут Мила пређе 30 метара, значи да је до места сусрета пешачила 7 минута. Напомена: Задатак се може решити методом дужи, Пример Метода пребројавања Постоје проблеми, који захтевају пребројавање коначних скупова. Пожељно је, наравно, пронаћи одговарајући систем за њихово ефикасно пребројавање. Комбинаторика је грана математике која се бави проучавањем дискретних и најчешће коначних скупова и изучава се у средњој школи. Задаци овог типа погодни су за решавање управо применом методе пребројавања, односно у разредној настави, када су коначни скупови мале кардиналности, тако да се могући распореди могу пребројавати. У оквиру методе пребројавања, ради лакшег долажења до решења, често се може користити такозвани фокусни дијаграм.* Цртежом се, тако, омогућава лакше сагледавање свих могућих комбинација, које задатак намеће и самим тим долази до решења. 51

58 I ниво Пример 38. У групи од 2 дечака и 3 девојчице, сваки дечак је плесао са сваком девојчицом. Израчунај укупан број плесова. Решење: Обележићемо дечаке са Д 1 формирамо могуће парове: и Д 2, а девојчице са Ж 1, Ж 2 и Ж 3. Сада редом Д 1 Ж 1 Д 1 Ж 2 Д 1 Ж 3 Д 2 Ж 1 Д 2 Ж 2 Д 2 Ж 3 Када пребројимо парове, видимо да их има 6. Укупан број плесова је 6. Напомена: Задатак се може решити методом таблица, Пример 47. Пример 39. Ана, Богдан, Вања, Горан и Дејан су играли шах, сваки са сваким по једну партију. Колико је укупно партија одиграно? Решење: Обележићемо пријатеље иницијалима: А, Б, В, Г, Д. Упарујемо свако слово са сваким, почевши прво од А, водећи рачуна да се парови не понављају: АБ БВ ВГ ГД АВ БГ ВД АГ БД АД Када пребројимо парове слова, видимо да их има 10. Значи да је одиграно 10 партија шаха. Пример 40. На колико различитих начина се три другара могу сместити на клупу? А ако им се придружи још један друг? Решење: Прво ћемо одредити број начина за три друга. Означимо другаре словима А, Б и Ц. Ређамо их : I II III А Б Ц А Ц Б 52

59 Б А Ц Б Ц А Ц А Б Ц Б А Када пребројимо могућности, видимо да их има 6, односно 6 различитих начина седења за три друга. Четвртог друга ћемо обележити словом Д и на основу претходног ређамо: I II III IV. A Б Ц Д А Б Д Ц А Ц Б Д А Ц Д Б А Д Б Ц А Д Ц Б Међутим, не морамо ређати до краја, јер увиђамо да је број могућих распореда седења, када је друг А на првом месту исти као број могућих распореда седења за три друга, односно 6. Како другара има четири, сваки од њих би се требао наћи на првом месту, па је укупан број могућности 4 6 = 24. Пример 41. Саша може да, од своје куће до школе допутује преко 4 улице: А, Б, В и Г. Од школе до продавнице може да допутује преко 3 улице: Д, Ђ, Е. На колико различитих начина Саша може да дође од куће до продавнице, а да при томе обавезно прође поред школе? Решење: Цртамо фокусни дијаграм*, тако што ћемо на цртежу словом К обележити Сашину кућу, словом Ш школу, а словом П продавницу. Улице између њих обележавамо у задатку датим словима. А Д K Б В Г Ш Ђ Е П

60 На основу дијаграма, када пребројимо могуће путање: АД, АЂ, АЕ, БД, БЂ, БЕ, ВД, ВЂ, ВЕ, ГЂ, ГД, ГЕ, видимо да их има 12. Можемо уочити да је 12 = 4 3, 4 улице између К и Ш и 3 улице између Ш и П. Напомена: Задатак је пример за такозвани принцип производа у комбинаторици, који се може уопштити: Ако се одређени избор састоји из n корака и при томе у првом кораку имамо m 1 могућих избора, у другом m 2 могућих избора, и тако даље, у к-том кораку имамо m к могућих избора, за свако кϵ{1,2,3,..., n}, онда је број могућих коначних избора једнак m 1 m 2... m n (Опарница, 2014: 8). II ниво Пример 42. На колико начина се 4 девојчице могу обући у 4 различите хаљине? Решење: Разматрамо могућности: 1. девојчица има 4 могућности 4 различите хаљине; 2. девојчица има 3 могућности прва девојчица је искористила једну хаљину; 3. девијчица има 2 могућности прве две су искористиле 2 хаљине; 4. девојчица има 1 могућност остаје јој једна хаљина. Значи да се, позивајући се на принцип производа, девојчице могу обући на =24 различита начина. Пример 43. У Марковој улици, са десне стране се налази 120, а са леве 105 кућа. Куће са леве стране нумерисане су узастопним непарним, а куће са десне стране узастопним парним бројевима. Колико је цифара употребљено за њихову нумерацију? Решење: Укупан број нумерисаних кућа је = 225. Сада пребројавамо: - кућа са једноцифреним бројевима има 9; - кућа са двоцифреним бројевима има: 99 9 = 90; - кућа са троцифреним бројевима има: = 126. Сада рачунамо укупан број цифара: = 567. Употрбљено је 576 цифара. 54

61 III ниво Пример 44. Колико се троцифрених парних бројева може написати, ако је цифра стотина непаран број, а цифра десетица број мањи од 4? Решење: Направимо модел троцифреног броја, у виду таблице, где словом С означавамо место стотина, Д место десетица и Ј место јединица и убацимо број могућих цифара за одређено место на основу следећег разматрања: цифре стотина могу бити: 1, 3, 5, 7, 9 - непарни бројеви, којих има 5, уписујемо у одговарајући квадратић 5, број могућности за то место; цифре десетица: 0, 1, 2, 3- бројеви мањи од 4, којих има 4, уписујемо 4 у одговарајући квадратић, а цифре јединица: 0, 2, 4, 6,8 - парни бројеви којих има 5 и уписујемо у одговарајући квадратић број 5. С Д Ј Таквих бројева, према принципу производа, онда има = 100. Пример 45. На правој р дате су редом тачке: A, B, C и D, а на правој q тачке: M, N, P,Q и R. Колико је правих одређено датим тачкама? Решење: Праву одређују две тачке, па цртајући слику увиђамо: p А B q M N P C Q D R Из једне тачке са праве р (А) можемо повући 5 правих, као на слици. Како на правој р имамо 4 тачке, из сваке означене тачке праве р можемо повући по 5 правих, па примењујући принцип производа, имамо 4 5 = 20 правих. Када додамо још 2 праве p и q, добијамо 22 праве одређене датим тачкама. 55

62 Пример 46. Колико аутомобила би могло да се региструје, ако би се регистрација састојала од 3 слова латинице којима се придодаје 5 цифара? Решење: Знајући да има 27 слова латинице и 10 цифара, цртамо модел таблице и као у Примеру 44, уписујемо број могућности за свако место у таблици: аутомобила Значи, број могућих регистрација је: = Моделовање таблица У решавању проблемских задатака у којима се појављују два или више скупова објеката, који су, на основу услова задатка, повезани одређеним односима, често се користи моделовање таблица. Ова метода пружа прегледност, када се јави велики број података, па се на изглед компликовани задаци, врло лако могу решити. Моделовање таблица је корисно, због развијања способности за систематичност и прегледност. Алгоритам моделовања таблица се састоји у томе да, елементе једног скупа уписујемо у врсте, а елементе другог у колоне таблице, добијајући тиме прегледност података. У поља пресека врста и колона, стављамо знак + (или 1), ако су елементи у релацији и знак - (или 0), ако елементи нису у релацији. До решења проблема долазимо на основу распореда уписаних знакова. Таблице попуњавамо тако, што прво у одговарајућа празна поља уписујемо податке који су дати у задатку, сходно претходно објашњеном поступку. Затим, логичким расуђивањем, а на основу знакова које смо уписали, стављамо у преостала празна поља одговарајуће знакове, чиме долазимо до самог решења. Објаснићемо поступак на примерима који следе. I ниво Пример 47. У групи од 2 дечака и 3 девојчице, сваки дечак је плесао са сваком девојчицом. Израчунај укупан број плесова. 56

63 Решење: Парове дечака (чланова првог скупа) и девојчица (чланова другог скупа) приказаћемо таблицом чије колине чине 3 девојчице, а врсте 2 дечака. Попуњавамо редом поља плусевима, јер се каже да је сваки дечак играо са сваком девојчицом: 1. девојчица 2. девојчица 3. девојчица 1. дечак дечак На основу таблице и формираних различитих парова дечака и девојчица, односно пребројавајући плусеве, добијамо одговор да је одиграно 6 плесова. Напомена: Задатак се може решити методом пребројавања, Пример 38. Пример 48. Ива, Гога и Сања су различито годиште. Једна има 7 година, друга 8 година, а трећа 10 година. Колико година има свака од њих, ако се зна да Гога нема 10, да Ива нема 8 година, а да Сања нема ни 7, ни 8 година? Решење: Цртамо одговарајућу таблицу. У врсте смештамо године, а у колоне девојчице. Стављамо минусе у она поља, која одговарају условима задатка, да одређена девојчица нема одређени број година, а то су поља: Гога/10; Ива/8; Сања/7; Сања/8, где је поље дато као колона/врста. Добија се таблица 1. Закључујемо да у колони Сања можемо ставити + само на поље Сања/10. Из тога следи - на Ива/10, јер су све три девојчице различито годиште, па у сваком реду и свакој колони може бити само један плус. Пошто у колони Ива има већ - на Ива/8, значи стављамо + на Ива/7. Из тога следи - на Гога/7 и преостаје + на Гога/8. Добијамо таблицу 2. таблица 1 таблица 2 Ива Гога Сања Ива Гога Сања 7 год. - 7 год год год год год

64 Из таблице 2 се види (са поља где су плусеви) да, Ива има 7 година, Гога 8, а Сања 10. II ниво Пример 49. На крају школске године Мира, Ана, Нина и Љиља су питале наставницу математике које закључене оцене су добиле. Наставница им је одговорила следеће: Две од вас имају једнаке оцене. Ниједна нема оцену недовољан и довољан. Нина нема оцену врлодобар, Мира нема добар и одличан, а Љиља и Нина су боље од Ане. Коју закључну оцену из математике има свака девојчица? Решење: На основу података цртамо табелу. Колоне чине ученице, а врсте оцене из математике, с тим да нема недовољних и довољних. Из податка да Нина нема оцену врлодобар у поље Нина/врлодобар уписујемо -. Како Мира нема добар и одличан, у поља Мира/добар и Мира/одличан, такође уписујемо -, а из тога закључујемо да се + налази у Мира/врлодобар. Пошто су Љиља и Нина боље од Ане, Ана не може бити одлична, па стављамо - на Ана/одличан, а када претпоставимо да је Ана врлодобра, као и Мира, што је могуће из услова задатка да две ученице имају исту оцену, онда би Нина и Љиља обе морале бити одличне, како би биле боље од Ане, што је контрадикторно са условом задатка да само две ученице имају исте оцене, у овом случају би била два пара ученица са истим оценама. Значи пишемо - у Ана/врлодобар из чега следи + на Ана/добар. Лако се долази до закључка да се плусеви налазе на пољима Нина/оличан и Љиља/одличан, јер су обе боље од Ане, али пошто само две имају исте оцене, морају бити одличне, јер је Мира врлодобра. Мира Ана Нина Љиља добар врлодобар одличан Дакле, Нина и Љиља имају закључене петице, Мира четворку, а Ана тројку. III ниво Пример 50. На одржаном школском кросу, 4 ученика из исте улице, заузели су прва четири места. Сви четворо иду у различите разреде, од петог до осмог. Иван није 58

65 заузео прво место и не иде у пети разред. Саша је заузео треће место и не иде у шести разред. Милан није заузео четврто место, а иде у седми разред. Игор није заузео друго место и није ученик осмог разреда. Онај ученик који иде у шести разред заузео је друго место. Које место на кросу је заузео и у који разред иде сваки од ученика? Решење: Цртамо табелу тако да врсте чине четири дечака из исте улице, прве четири колоне чине заузета места од првог до четвртог, а друге четири колоне разреди од петог до осмог. Из тврдњи да су сва четворица заузела прва четири места и да иду у различите разреде закључујемо да у свакој колони мора бити само један плус, а да у свакој врсти има два плуса, јер је сваки од њих заузео неко место и иде у неки разред. На основу тврдњи да Иван није заузео прво место и да не иде у пети разред, у поља 1. место/иван и 5. разред/иван уписујемо -. Исто тако, пошто је Саша заузео треће место и не иде у шести разред, уписујемо + на 3. место/саша и одмах уписујемо минусе у преостала поља у колони 3. место, као и у преостала поља у врсти Саша која се тичу заузетих места, а затим уписујемо - на 6. разред/саша. По истом принципу уписујемо - на 4. место/милан, + на 7. разред/милан и минусе на преостала поља у колони 7. разред, као и у преостала поља у врсти Милан, а која се тичу разреда. Уписујемо, затим, минусе на поља 2. место/игор и 8. разред/игор. Како се даље тврди да је онај ученик који иде у шести разред заузео друго место, а на основу празних поља 6. разред/иван и 6. разред/игор закључујемо да јеј један од њих заузео друго место. Како је већ у пољу 2. место/игор уписан минус, стављамо + у поље 2. место/иван, а у остала преостала празна поља колоне 2. место, минусе. Такође стављамо онда + на 6. разред/иван, а у остала преостала празна поља колоне 6. разред, минусе. Попуњавамо затим минусима врсту Иван, јер има два плуса. Попуњавамо затим плусевима оне колоне које имају три минуса, а то су колоне 4. место и 8. разред. Значи у поља 4. место/игор и 8. разред/саша стављамо +. На основу стања у табели остаје празно поље 1. место/милан у врсти Милан и како су три минуса која се односе на место у тој врсти, стављамо + на 1. место/милан и одмах - на 1. место/игор. По истом принципу следи + на 5. разред/игор и - на 5. разред/саша. 59

66 1.место 2.место 3.место 4.место 5.разред 6.разред 7.разред 8.разред Иван Саша Милан Игор Из табеле имамо: прво место је заузео Милан и иде у 7. разред; друго место је заузео Иван, који иде у 6. разред; Саша је заузео треће место и иде у 8. разред; четрврто место је заузео Игор и иде у 5. разред. Пример 51. Мила, Дуња, Вања и Сања слушају различиту врсту музике. Две имају плаве очи, а две смеђе. Вања и другарица исте боје очију не слушају народну и поп музику. Мила воли рок музику, а Сања слуша народну и никако класичну музику. Сања има смеђе очи. Коју боју очију има свака од њих и коју врсту музике слуша? Решење: На основу претходног примера, цртамо одговарајућу табелу, попуњавајући је редом познатим подацима, па затим онима који логички следе из постојећих. народна поп рок класична плаве смеђе Мила Дуња Вања Сања На основу табеле закључујемо: Мила има плаве очи и слуша рок музику; Дуња има смеђе очи и слуша поп музику; Вања има плаве очи и воли класичну музику, а Сања има смеђе очи и слуша народну музику Метода инверзије У решавању оних проблемских задатака код којих је познат крајњи резултат и услови који су до њега довели, а непозната почетна величина, често је веома згодно применити методу инверзије. Ученици млађег узраста, примењујући ову методу, врло 60

67 једноставно и успешно могу доћи до решења и то користећи само четири основне рачунске операције. Решавајући задатке на овај начин, развијамо код ученика осећај за инверзне операције. Применом методе инверзије, полази се од последњег датог податка, па се операције врше обрнутим-инверзним редоследом од онога који се у задатку наводи. На пример: 1) Замислио сам један број, додао му тридесет и добио број сто. Који број сам замислио? Цртамо модел: + 30? Да бисмо нашли решење полазимо од последњег податка, што је број сто и извршимо инверзну операцију, значи одузмемо број тридесет, јер се у задатку каже да сам замишљеном броју додао број тридесет и добијемо решење = 70. Значи број који сам замислио је 70. 2) Појео сам половину чоколаде и остало ми је још 4 штангле. Колико штангли има цела чоколада? Цртамо модел: : 2? Полазимо од последњег податка, а то је број четири. Како се у задатку каже да сам појео половину чоколаде, то значи поделио са два, па ћемо извршити инверзну операцију и помножити са два. Добијамо 4 2 = 8. Значи да цела чоколада има 8 штангли. 3) Узео сам једну четвртину бомбона и остало их је шест. Колико бомбона је било пре узимања? 61

68 Цртамо модел вршећи инверзне операције, односно 6 делимо на 3, затим добијени резултат помножимо са 4 и добијамо решење: 8 бомбона. : 4 3? : 3 Полазазимо од последњег податка, броја 6. Ако је поједена 1/4 бомбона, значи да је остало 3/4 бомбона, од укупне количине, а то је 6 бомбона. Три четвртине неке целине, значи да ту целину делимо на 4 и множимо са 3. I ниво Пример 52. Иван пита учитеља, колико њихова школа има ђака? Учитељ одговара: Када би их било пет пута више него што их заправо има и још 100, било би их Колико Иванова школа има ђака? Решење: Полазимо од последњег податка 5000, затим вршећи инверзне операције, уместо да саберемо са 100, ми ћемо од 5000 одузети 100 и добити 4900, као на слици. Добијени резултат ћемо поделити, уместо помножити са 5 и добијамо решење ? : Школа има 980 ученика. Напомена: Задатак се може решити методом једначина, Пример 2.; методом дужи, Пример

69 Пример 53. Коста је замислио један број, помножио га са 8, затим од добијеног резултата одузео 12, затим нови резултат поделио са 11, додао томе 35 и добио 39. Који број је Коста замислио? Решење: Као у претходном задатку цртамо модел, полазећи од последњег податка и вршећи супротне операције добијамо: 8-12 :11 +35? : Значи, полазећи од последњег податка (39), уместо да саберемо са 35, ми га одузимамо и добијамо број: = 4. Идући од назад даље, овај резултат ћемо помножити, уместо поделити са 11 и добијамо: 4 11 = 44. Затим ћемо, сходно претходном, добијеном резултату додати 12 и добити: = 56. Последња операција је дељење, уместо множење, бројем 8: 56 : 8 = 7. Коста је замислио број 7. Напомена: Задатак се може решити методом једначина: (8 x 12) : 11+35=39. II ниво Пример 54. Возећи се лифтом у једној вишеспратници, Иван се нађе на њеној половини. Затим се лифтом попне за 5 спратова више, па се спусти 7 спратова ниже, па се опет попне 8 спратова више и на крају се спусти за 16 спратова и изађе из зграде. Колико спратова је имала та вишеспратница? Решење: Слично Примеру 53, само са упрошћеним моделом, полазимо од последњег податка и вршимо супротне операције: 63

70 5.вожња: = 16 4.вожња: 16-8 = 8 3.вожња: = 15 2.вожња: 15-5 = 10 1.вожња: 10 2 = 20. Вишеспратница има 20 спратова. Пример 55. Једна жена је донела корпу бресака на пијацу. Првом купцу је продала половину бресака и још једну брескву, другом половину остатка и још две брескве, а трећем половину остатка и још две брескве. Тада је продала све брескве. Колико је бресака имала на почетку продаје? Решење: Цртамо модел полазећи од последњег податка и вршећи инверзне операције, као у претходним примерима: :2-1 :2-2 :2-2? Трећем купцу је продала: = 4 брескве; Другом купцу је продала: = 6; 6 2 = 12; 12-4 = 8 бресака; Првом купцу је продала: = 13; 13 2 = 26; 26 - (4 + 8) = 14 бресака. На почетку је имала 26 бресака. Напомена: Задатак се може решити методом једначина: (1/4 x 5/2) 1/2 (1/4 x 5/2) 2 = 0. Задатак се може решити методом дужи, Пример 23. Пример 56. Јанко, Ранко и Марко имају заједно 63 сличице. Када је Јанко дао Ранку 8 сличица, а Ранко Марку 6 сличица, сваки од њих је имао исти број сличица. Колико је сличица имао сваки од њих на почетку? 64

71 Решење: Полазимо од последњег податка, да сваки има исти број сличица, што значи: 63:3=21. Пре него што је Јанко дао Ранку 8 сличица, Јанко је имао: 21+8=29, а Ранко 21-8=13 сличица. Аналогно, пре него што је Ранко дао Марку 6 сличица, Ранко је имао 13+6=19 сличица, а Марко 21-6=15 сличица. Модел може да изгледа овако: Јанко Ранко Марко Према томе, Јанко је имао 29, Ранко 19, а Марко 15 сличица. III ниво Напомена:Задатак се може решити методом једначина: Ј + Р + М = 63; Ј 8 = Р + 2; Ј 8 = М + 6. Пример 57. Дуле, Сале и Рале имају, сваки, по известан број жетона. Дуле даје осталој двојици онолико жетона, колико сваки од њих двојице већ има. Затим Сале даје од својих жетона осталој двојици онолико, колико сваки од њих двојице већ има. Када Рале да од својих жетона осталој двојици онолико, колико сваки од њих двојице већ има, сваком остане 24 жетона. Колико жетона је сваки од њих имао на почетку игре? Решење: Како је на крају сваки од њих имао по 24 жетона, онда је укупан број жетона 72. Крећемо од последњег податка. Пре него што је Рале дао осталој двојици онолико жетона, колико је сваки од њих имао, а да би на крају имали по 24 жетона, Дуле и Сале су онда имали по половину жетона мање, односно по 12 жетона, а он 48, дупло више. Следећи исту логику, имамо да је, пре него што је Сале дао жетоне, Дуле имао 6 жетона, Сале 42, а Рале 24 жетона. И на самом почетку, Сале је имао 21 жетон, Рале 12, а Дуле 39 жетона. Можемо и краће приказати поступак, моделом: Дуле Сале Рале Коначно стање: После другог давања:

72 После првог давања: Почетно стање: Напомена: Задатак се може решити методом једначина: 7Р С Д = 24; 3С Р Д =12 и Д С Р = 6. Пример 58. Ана је првог дана прочитала 1/4 књиге, други дан је прочитала 1/3 преосталог дела књиге, трећи дан је прочитала 1/2 преосталог дела књиге и остало јој је да прочита до краја још 70 страна. Колико је књига имала страна? Решење: Можемо направити модел по угледу на пример са бомбонама: :4 3 :3 2 :2? :3 3 :2 2 Полазимо од последњег податка. Како је 70 страна остало трећег дана, онда је половина од преосталог дела књиге исто 70 (објашњено на примеру штангли чоколаде): Пре трећег дана остало је да прочита: 140 страна, што је 2/3 страна које је имала да прочита други дан, јер је други дан прочитала 1/3 преосталог дела књиге; Пре другог дана остало да прочита: = 210 страна, што је 3/4 страна књиге, јер је првог дана прочитала 1/4 књиге; Пре првог дана остало да прочита: = 280 страна. Књига је имала 280 страна. Напомена: Задатак се може решити методом дужи, Пример 20. Пример 59. У три бурета налазе се извесне количине сока. Ако из првог бурета прелијемо једну половину сока у друго буре, затим из другог бурета прелијемо једну 66

73 трећину сока у треће буре и затим, из трећег бурета прелијемо једну четвртину сока у прво буре, тада ћемо у сваком бурету имати по 24 литре сока. Колико је било сока по бурадима пре преливања? Решење: Обележимо буради редом: Б 1, Б 2 и Б 3. Полазимо од крајњег стања, да је у сваком бурету по 24 литре сока и вршимо супротна преливања: Б 1 Б 2 Б 3 1. Крајње стање : Б 3 =24+8=32, јер је 32:4=8; Б 1 =24-8=16; Б 2 =24: 2. Стање пре трећег преливања : Б 1 =16, нема пресипања; Б 2 =24 3:2=36; Б 3 =32-36:3=20: 3. Стање пре другог преливања: Б 1 =2 16=32; Б 2 =36-16=20; Б 3 =20 (остало исто): 4. Почетно стање: Одговор: У првом бурету је било 32 литре сока, а у другом и трећем по 20 литара. Напомена: Задатак се може решити методом једначина: 13Б 1 + 2Б 2 + 6Б 3 = 24; Б 1 + 2Б 2 = 72; Б 1 + 8Б 2 = Модели пресипања и мерења Веома често се можемо сусрести са проблемима пресипања и мерења у отежаним условима. Под отежаним условима подразумевамо проблеме који се тичу одређивања јединичне мере, проблеме вагања у недостатку одговарајућих тегова, проблеме преливања и пресипања у недостатку одговарајућих судова и многе друге сличне проблеме мерења нестандардним јединицама. Отежани услови стварају изузетну прилику за проналажење специфичних алгоритама за решавање поменутих проблема и због тога су погодни за развијање домишљатости и оригинлности код ученика. На изглед једноставни, поменути проблеми, изискују изузетну довитљивост, како би се дошло до решења, као и познавање основних принципа мерења, односно функционисања саме ваге, као мерног инструмента. 67

74 Пример 60. Како ћемо из реке помоћу судова од 3 и 5 литара, одмерити тачно 4 литре воде? Решење: Пресипања ћемо вршити по следећој шеми: Прва колона ће представљати редни број пресипања. Друга колона ће нам показати колико има литара воде у суду од 3 литре. Трећа колона представља количину воде у суду од 5 литара. 3l 5l Пресипања су могућа и на следећи начин: 3l 5l Пример 61. У бурету има 16 литара сока. Сок поделити на два једнака дела помоћу судова од 7 и 9 литара. Решење: Пресипања ћемо вршити по сличној шеми као у претходном задатку. Прва колона ће представљати редни број пресипања, друга количину сока у бурету од 16 литара, трећа количину сока у бурету од 9 литара, а четврта количину сока у бурету од 7 литара: 68

75 16l 9l 7l Почетно стање Напомена: Пресипања можемо вршити и другачије, као и у претходном примеру. Пример 62. Из следеће равнотеже на теразијама, одреди масу једне јабуке, ако се претпоставља да свака јабука има исту масу и свака диња има исту масу. 200g Решење: Ако скинемо са сваког таса по једну јабуку и дињу остаће у равнотежи: 200g 69

76 Из слике видимо да две јабуке имају масу 200 грама, па је маса једне јабуке 100 грама. Напомена: Задатак на сликовит начин приказује принцип одрживости једнакости леве и десне стране, што се примењује код једначина, аналогно одрживоси равнотеже код ваге. Пример 63. Од девет по изгледу једнаких новчића, један има већу масу. Како се може наћи тај новчић, са највише два мерења на теразијама без тегова? Решење: Поделимо новчиће на три скупа по 3 новчића. Ставимо по 3 новчића на оба таса: Ако теразије нису у равнотежи, онда је тежи новчић на тасу који је тежи, а ако су у равнотежи, онда је тежи новчић у скупу од она три новчића која нису на теразијама. Када издвојимо скуп у којем је тежи новчић, поново на теразије стављамо, али по један новчић на сваки тас и један оставимо на страни: Поново, ако теразије нису у равнотежи, тежи новчић је онај на тежем тасу, а ако су у равнотежи. Тежи новчић је онај са стране. Пример 64. Од 27 по изгледу једнаких новчића, један има мању масу. Како се може наћи тај новчић, са највише три мерења на теразијама без тегова? 70

77 Решење: Поделићемо новчиће на 3 скупа по 9 новчића, по угледу на претходни пример. Ставимо по 9 новчића на оба таса и 9 изван ваге. Ако су теразије у равнотежи, онда бирамо скуп од 9 новчића које нису на ваги, ако претегне десни тас, бирамо 9 новчића са левог таса и обрнуто. Затим, аналогно претходном задатку, у још 2 мерења долазимо до траженог новчића, с тим да водимо рачуна да се сада тражи лакши новчић. Пример 65. Од 8 бомбона, једнаких по изгледу, један је лакши или тежи од осталих. Како ћемо са 3 мерења на теразијама без тегова, утврдити који је бомбон другачији и да ли је лакши или тежи? Решење: Обележићемо бомбоне са А 1, А 2, А 3, А 4, B 1, B 2, B 3, B 4. Прво мерење: A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 1. Ако су теразије у равнотежи, онда је различит бомбон А 4 или B 4, па ћемо их упоредити са исправним бомбоном, рецимо А 1 и утврдити да ли је лакши или тежи. 71

78 Друго мерење: Проверавамо А 4 A 1 A 4 Ако су теразије у равнотежи онда трећим мерењем, упоређујући бомбон B 4 са А 1, утврђујемо да ли је B 4 лакши или тежи, односно тражени, а ако теразије нису у равнотежи видимо одмах да ли је бомбон А 4 лакши или тежи и тако га налазимо. 2. Ако теразије у првом мерењу нису у равнотежи, претпоставимо да је претегла страна са А бомбонама ( исто би било и обрнуто) тада је један од бомбона А 1, А 2, А 3 тежи или је један од бомбона B 1, B 2, B 3 лакши, а А 4 и В 4 су исправни. Друго мерење: Пошто су А 4 и B 4 исправни бомбони користимо следеће мерење: A 1 A 4 B 4 A 2 B 1 B 2 Ако претегне десна страна, тада је бомбон А 2 тежи, али, ако претегне лева страна, тада је А 1 тежи, или је један од новчића B 1, B 2 лакши, па се врши треће мерење: Треће мерење: B 1 B 2 72

79 Ако су теразије у равнотежи, тада је А 1 тежи бомбон. Ако претегне B 1, онда је B 2 лакши бомбон и обрнуто, ако претегне B 2, онда је B 1 лакши новчић. Ако је у другом мерењу била равнотежа, онда је неисправан новчић или А 3 или B 3. У трећем мерењу бисмо лако утврдили који је, упоређујући на пример А 3 са исправним А 1. Ако су у равнотежи онда је B 3 тражени лакши бомбон, а ако претегне А 3, онда је управо он тражени тежи новчић Проблеми резања и састављања Неки геометријски проблеми се могу решити резањем и састављањем геометријских фигура. Овај начин моделовања представља веома значајан метод у почетној настави математике јер подстиче, пре свега, радозналост, подржавајући основни дидактички принцип очигледности. Ученици су веома активни приликом решавања оваквих проблема, јер метод решавања често подразумева више покушаја, затим ученици могу да користе маказе, папире, картоне и остали потребан материјал, па на конкретном моделу повезују искуствено и мисаоно, стичући основна геометријска знања на најбољи могући начин. Управо се због тога, веома препоручују у нижим разредима, приликом обраде основних геометријских фигура, али се, на жалост, због времена које захтева реализација оваквог начина рада, ретко примењују. Обично се такви проблеми убрајају у групу занимљивих задатака и обрађују се само у додатној настави. У геометријске проблеме резања и састављања убрајамо задатке о подели, односно резању и спајању (састављању) дводимензионалних геометријских фигура. То су, првенствено, геометријске фигуре које се изучавају у почетној настави математике: правоугаоник, квадрат, троугао, круг, а потом и друге геометријске слике. Како се геометријске слике могу резати на делове на различите начине, аутори Липовац и други (1995) истичу неке од могућих начина резања квадрата и састављања нових фигура од разрезаних делова. Слика 1. показује како се од квадрата резањем може добити правоугаоник чија је једна димензија једнака страници квадрата, а друга половини странице датог квадрата. 73

80 Слика 1. Слика 2. представља неке од фигура које се могу саставити од правоугаоника добијених резањем квадрата (Слика 1.). Слика 2. Слика 3. представља квадрат раздељен по дијагонали (дуж која спаја два наспрамна темена квадрата) на два подударна троугла, те фигуре добијене састављањем модела добијених троуглова. Слика 3. Слика 4. представља квадрат подељен на 4 подударна дела: правоугаонике, квадрате, троуглове. Слика 4. Слика 5. показује на које се још начине може резати квадрат и какве се фигуре од добијених делова могу саставити. 74

81 Слика 5. Пример 66. Дате фигуре са слике треба расећи на 4 једнака дела. ( тако да се добијеним деловима све ивице подударају) Решење: Треба показати сва могућа решења, прво нацртати, а затим и изрезати. Напомена: Задатак представља пример раног увођења појма подударности. Решења проверити упоређивањем изрезаних делова. Пример 67. На колико делова се круг може поделити помоћу: а) две праве? б) три праве? в) четири праве Решење: Цртамо могућности: 75

82 а) б) в) Пример 68. Како би уклапао плочице облика као на слици? Решење: Напомена: Сваки ученик би требало да добије неколико модела датих плочица од картона, да покуша да их уклапа. Задатак може да се ради и у вишим разредима, али тако да се тражи само нацртано решење, без готових модела плочица. 76

83 Пример 70. На слици је приказана потковица. Треба је пресећи, дуж две праве линије на: а) пет делова б) шест делова Решење: a) б) Напомена: Очекује се да ученик нацрта решење. Пример 73. Приказане фигуре на слици расећи: фигуру а) на 4 једнака дела, а фигуру б) на 6 једнаких делова. a) б) 77

84 Решење: Напомена: Када ученик нацрта решење, проверава га резањем. Пример 74. Од три дела облика као на слици а), саставити фигуру под бројем 1, а од три дела облика као на слици б) саставити фигуру под бројем 2. а) 1) б) 2) Решење: Пример 71. На слици је приказана фигура сачињена од 3 квадрата, треба је расећи на 2 дела, тако, да када се они споје, сачине рам облика квадрата, чија унутрашњост има површину као сваки од три дата квадрата. 78

85 Решење: Напомена: Проверити сечењем. Пример 69. Од понуђених делова састави (попуни) једнакостранични троугао. Решење: 79

86 Пример 72. На слици је приказана фигура рака, сложена од 17 делова. Треба од тих делова саставити две фигуре: круг и квадрат Решење: Напомена: Танграм је математичка игра пореклом из Кине, стара око 3000 година. Пример 75. Од делова квадрата-слика под а), саставити дату фигуру-слика под б). а) б) 80

87 Решење: 81