Identificarea sistemelor
|
|
- Γολγοθά Ευτροπια Αλεβίζος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Identificarea sistemelor Ingineria sistemelor, anul 3 Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca Lucian Buşoniu
2 Partea II Analiza răspunsurilor la treaptă şi impuls
3 Motivare În general: În anumite cazuri un model simplu de ordinul 1 sau 2 este suficient; analiza răspunsurilor la treaptă şi impuls este o metodă uşoară de a obţine astfel de modele. Pentru studenţi: Metoda cea mai apropiată de cunoştinţele de la teoria sistemelor o tranziţie mai uşoară către alte metode.
4 Reamintim Cap de citire-scriere pentru un hard disk, cu intrarea = voltajul motorului, şi ieşirea = poziţia capului
5 Clasificare Reamintim clasificarea modelelor din Partea I: 1 Modele mentale sau verbale 2 Grafice şi tabele 3 Modele matematice, cu două subtipuri: Modele analitice, din principii de bază Modele din identificarea sistemelor Răspunsurile la treaptă şi impuls sunt modele grafice, aparţinând celei de-a doua categorii.
6 Classificare (continuare) Răspunsurile la treaptă şi impuls sunt de asemenea modele neparametrice: sunt funcţii de timp continuu care, în general, nu pot fi reprezentate printr-un număr finit de parametri. Studiul răspunsurilor la treaptă şi impuls se numeşte analiza în domeniul timp. De notat: În practică vom obţine un model parametric (funcţie de transfer) din modelul grafic neparametric.
7 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
8 Definiţie sistem liniar Un sistem este liniar dacă satisface principiile de: Superpoziţie: Dacă sistemul răspunde la intrarea u 1 (t) cu ieşirea y 1 (t); şi la u 2 (t) cu y 2 (t); atunci la intrarea u 1 (t) + u 2 (t) va răspunde cu ieşirea y 1 (t) + y 2 (t). Omogeneitate: Dacă sistemul răspunde la intrarea u(t) cu ieşirea y(t); atunci la αu(t) va răspunde cu αy(t).
9 Reprezentarea prin funcţii de transfer Funcţia de transfer este: H(s) = Y (s) U(s) = b ms m + b m 1 s m b 1 s + b 0 a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0, m n unde U(s) şi Y (s) sunt, respectiv, transformatele Laplace ale semnalelor de intrare şi ieşire în domeniul timp u(t), y(t). (Important: în condiţii iniţiale nule.) Transformata Laplace a unui semnal f (t) este: F (s) = L[f (t)] = 0 f (t)e st dt
10 Interpretarea transformatei Laplace s se numeşte argument complex (este un număr complex), iar transformata Laplace efectuează trecerea a unei funcţii din domeniul timp t în domeniul complex s. Avantajul este că multe operaţii aplicate uzual în inginerie (derivare, integrare etc.) devin mult mai simple în domeniul s. Intuitiv, L[f (t)] poate fi interpretată ca o reprezentare a funcţiei f sub formă de componente exponenţiale, la fel cum transformata Fourier este o reprezentare sub formă de componente periodice.
11 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 Sisteme de ordinul 1 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
12 Sistem de ordinul 1: Exemplu Sistemele de ordinul 1 sunt frecvent întâlnite. Exemplu tipic: un sistem termic. Considerăm un obiect la temperatura θ 1 (variabila de ieşire) plasat într-un mediu la temperatura θ 2 (variabila de intrare). Avem: C θ 1 (t) = θ 2(t) θ 1 (t) R unde C este inerţia termică şi R este rezistenţa termică. Aplicăm transformata Laplace de ambele părţi ale ecuaţiei: obţinând funcţia de transfer: CsΘ 1 (s) = Θ 2(s) Θ 1 (s) R H(s) = Θ 1(s) Θ 2 (s) = 1 C R s + 1
13 Sistem de ordinul 1: Forma generală unde: H(s) = K Ts + 1 K este factorul de proporţionalitate (= 1 în exemplu) T este constanta de timp (= C R în exemplu)
14 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 Sisteme de ordinul 1 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
15 Semnalul treaptă ideal u S (t) = { 0 t 0 1 t > 0
16 Răspunsul la treaptă (indicial) de ordinul 1 ideal Rezolvând ecuaţia diferenţială pentru y(t) (sau mai simplu: rezolvând pentru Y (s) şi aplicând transformata Laplace inversă L 1 ), obţinem: ducând la: y(t) = K (1 e t/t ) lim y(t) = K (1 0) = K t ẏ(t) = K T e t/t, ẏ(0) = K T e0 = K T y(t ) = K (1 e 1 ) 0.632K şi în mod similar pentru t = 2T, 3T, 4T (vezi figura).
17 Determinarea parameterilor Până acum, totul cunoscut de la: TS, Modelarea proceselor. Mai departe, considerăm că este dat răspunsul unui sistem real necunoscut: acesta este modelul neparametric. Îl vom folosi pentru a găsi o funcţie de transfer aproximată (model parametric). Algoritm pentru identificarea sistemului 1 Citeşte ieşirea în regim staţionar. Factorul de proporţionalitate K este egal cu această ieşire. 2 Găseşte valoarea timpului la care ieşirea atinge din valoarea staţionară. Aceasta este constanta de timp T.
18 Condiţii iniţiale nenule În practică, adeseori semnalul treaptă ideal nu poate fi folosit, fiindcă sistemul trebuie menţinut în jurul unui punct de funcţionare sigur/profitabil. Vom presupune că înaintea experimentului sistemul era în regim staţionar la ieşirea y 0 cu intrarea constantă u 0. Realizarea practică a treptei este un semnal rectangular de tipul reprezentat în figură. Răspunsul sistemului este aşadar non-ideal. Dar sistemul este liniar! Noua intrare este u(t) = u 0 + (u ss u 0 )u S (t) unde u S (t) este treapta ideală. Aşadar, dacă notăm răspunsul la treaptă ideal cu y S (t), avem noua ieşire: y(t) = y 0 + (u ss u 0 )y S (t) adică o simplă translatare şi scalare a semnalului ideal.
19 Condiţii iniţiale nenule (continuare) Obţinem aşadar: y ss = y 0 + (u ss u 0 )K y(t ) = y (y ss y 0 )
20 Condiţii iniţiale nenule: Algoritm general Timpul la care are loc treapta poate fi şi el diferit de 0, o problemă rezolvată uşor prin translatarea axei de timp. Algoritm general 1 Citeşte u 0, y 0, u ss, y ss, valorile iniţiale şi în regim staţionar ale intrării şi ieşirii. Calculează K = yss y 0 u ss u 0. 2 Citeşte timpul t 1 unde are loc treapta, şi t 2 unde ieşirea urcă la din diferenţă. Calculează T = t 2 t 1.
21 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 Sisteme de ordinul 1 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
22 Exemplu: Sistem termic Considerăm sistemul termic din figură (diferit de exemplul anterior). Intrarea este voltajul V aplicat lămpii, iar ieşirea este temperatura θ citită de un termocuplu montat pe spatele plăcii de oţel.
23 Sistem termic: Date experimentale Datele sunt obţinute din baza de date Daisy. Semnalele sunt în timp discret, cu T s = 2 s, dar pentru analiza în domeniul timp le vom trata ca fiind în timp continuu. De notat: prezenţa zgomotului în date! Zgomotul apare aproape întotdeauna în experimentele de identificare. Vom folosi prima treaptă pentru identificare, şi restul pentru validare.
24 Sistem termic: Model şi parametri Modelul neparametric este graficul, şi îl vom folosi pentru estimarea unei funcţii de transfer (parametrică). Avem y ss 192 C, y C. Intrarea u ss = 9 V şi ştim din experiment că intrarea iniţială u 0 = 6 V. Aşadar: K = y ss y u ss u Mai departe, y(t ) = y (y ss y 0 ) 169, şi identificând acest punct pe grafic obţinem T 60.
25 Sistem termic: Modelul ca funcţie de transfer K = 21 T = 60 Ĥ(s) = K T s + 1 = 21 60s + 1 Notaţia evidenţiază faptul că parametrii, şi aşadar modelul, sunt o aproximare. Matlab: H = tf(num, den), cu polinoamele num (numărător) şi den (numitor) reprezentate prin vectori de coeficienţi în ordinea descrescătoare a puterilor lui s. (De notat: Calculele sunt de fapt efectuate cu numere double în Matlab, deci folosirea numerelor din prezentări va duce la rezultate uşor diferite. Această observaţie se aplică tuturor exemplelor.)
26 Sistem termic: Validare De notat că o este necesară procedură specială pentru a lua în considerare condiţia iniţială nenulă; o vom detalia când studiem răspunsul la impuls. Modelul nu este excelent de ex. dinamica de răcire este mai înceată decât cea de încălzire, deci în realitate sistemul nu este unul simplu de ordinul 1. Cu toate acestea, funcţia de transfer este suficientă pentru un prim model aproximativ utilizarea tipică a analizei în domeniul timp.
27 Sistem termic: Validare (continuare) Eroarea medie pătratică (MSE) pe datele de validare (de la treapta 2 încolo): J = 1 N N e 2 (k) = 1 N k=1 N (ŷ(k) y(k)) k=1 MSE are sens fiindcă datele sunt de fapt eşantionate în timp discret.
28 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 Sistem de ordinul 2 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
29 Sistem de ordinul 2: Exemplu Sistemele de ordinul 2 sunt şi ele adeseori întânite. Considerăm o masă m ataşată unui arc, căreia îi aplicăm o forţă f (intrarea) în direcţia opusă arcului. Măsurăm poziţia x a masei relativ la poziţia de repaus a arcului (ieşirea). Din legea a doua a lui Newton: mẍ(t) = f (t) kx(t) unde k este constanta elastică a arcului. Aplicând transformata Laplace de ambele părţi: ducând la funcţia de transfer: ms 2 X(s) = F(s) kx(s) H(s) = X(s) F (s) = 1 ms 2 + k
30 Sistem de ordinul 2: Forma generală unde: K ωn 2 H(s) = s 2 + 2ξω n s + ωn 2 K este factorul de proporţionalitate (= 1 k în exemplu) ξ este factorul de amortizare (= 0 în exemplu) ω n este pulsaţia naturală (= k/m în exemplu)
31 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 Sistem de ordinul 2 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
32 Forme tipice ale răspunsului la treaptă de ordinul 2 Factorul de amortizare ξ determină forma răspunsului. ξ = 0, neamortizat ξ (0, 1), subamortizat; valori ξ mai mici duc la oscilaţii mai mari
33 Forme tipice (continuare) ξ = 1, critic amortizat ξ > 1, supraamortizat
34 Răspuns la treaptă de ordinul 2 subamortizat Ne ocupăm în principal de cazul subamortizat, ξ (0, 1) Rezolvând pentru y(t) obţinem: [ ] 1 y(t) = K 1 1 ξ 2 e ξωnt sin(ω n 1 ξ2 t + arccos ξ)
35 Caracteristicile răspunsului Valoarea staţionară: lim t K [ ] 1 1 ξ 1 e ξωnt sin(... ) = K 2 Aflăm maximele şi minimele fixând derivata la zero: ẏ(t) = t m = K ω n 1 ξ 2 e ξωnt sin(ω n 1 ξ2 t) = 0 mπ ω n 1 ξ 2, m 0 y(t m ) = K [1 + ( 1) m+1 M m ], unde suprareglajul M = e ξπ 1 ξ 2
36 Model neparametric Considerăm acum că este dat răspunsul unui sistem real necunoscut: acesta este modelul neparametric. Folosind elementele de mai sus, vom afla o funcţie de transfer aproximată (model parametric) a sistemului.
37 Determinarea parametrilor Algoritm 1 Determină ieşirea staţionară y ss. Acesta este factorul de proporţionalitate K. 2 Determină suprareglajul M, (a) din primul maxim: M = y(t1) yss y ss, sau (b) din raportul între primul minim şi maxim: M = yss y(t2) 3 Rezolvă M = e ξπ 1 ξ 2, obţinând ξ = log 1/M π 2 +log 2 M y(t 1) y ss. 4 Citeşte perioada de oscilaţie, între maxime succesive 2π T 0 = t 3 t 1 = ; sau de 2 ori maxim minim, ω n 1 ξ2 2π T 0 = 2(t 2 t 1 ). Apoi ω n =, sau ω T 0 1 ξ 2 n = 2 T 0 π 2 + log 2 M.
38 Condiţii iniţiale nenule Ca şi la ordinul 1: noua intrare este u(t) = u 0 + (u ss u 0 )u S (t), iar noua ieşire este versiunea translatată şi scalată a răspunsului ideal y S (t): y(t) = y 0 + (u ss u 0 )y S (t). Algoritm modificat: 1 Factor de proporţionalitate K = yss y 0 u ss u 0. 2 Suprareglaj (a) M = y(t 1) y ss y ss y 0 (trebuie scăzut y 0 ), sau (b) M = yss y(t 2) y(t 1 ) y ss (nici o schimbare aici). 3 ξ: la fel ca înainte. 4 T 0 : la fel ca înainte, axa de timp nu se schimbă.
39 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 Sistem de ordinul 2 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
40 Exemplu de ordinul 2 Datele sunt generate în simulare, 500 de eşantioane cu perioada de eşantionare De notat din nou zgomotul. De asemenea, condiţiile iniţiale sunt nule (u 0 = y 0 = 0) dar treptele au valori nonstandard, diferite de 1. Folosim prima treaptă pentru identificare, şi treptele 3 5 pentru validare, (treapta 2 readuce sistemul în condiţii nule).
41 Exemplu: Răspunsul la treaptă pentru identificare Cum ieşirea este afectată de zgomot, vom determina valoarea sa staţionară prin efectuarea mediei câtorva eşantioane din regim staţionar, mai exact eşantioanele de la 90 la 100, între t 4 and t 5 : y ss k=90 y(k) 1.00 Citim pe grafic: t , t , t , y(t 1 ) 1.37, y(t 2 ) De asemenea, u ss = 4.
42 Exemplu: Determinarea parametrilor 1 Factor de proporţionalitate K = yss y 0 u ss u 0 = yss u ss Suprareglaj M = y(t 1) y ss y ss y 0 3 Factor de amortizare ξ = = y(t 1) y ss y ss log 1/M π 2 +log 2 M Perioada T 0 = t 3 t , ducând la pulsaţia naturală 2π ω n = T 0 1 ξ 2
43 Exemplu: Modelul ca funcţie de transfer K = 0.25 ξ = 0.31 ω n = 5.05 K ω n 2 Ĥ(s) = s ξ ω n s + ω n 2 = 6.38 s s
44 Exemplu: Validare Calitatea modelului este foarte bună (ceea ce nu este surprinzător, datele fiind generate în simulare). Eroarea medie pătratică (MSE): J = 1 N N e 2 (k) = 1 N k=1 N (ŷ(k) y(k)) k=1
45 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 Sistem de ordinul 2 Răspuns la treaptă. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
46 Alegerea ordinului Chiar dacă este critic sau supraamortizat, la t = 0 răspunsul unui sistem de ordinul 2 va avea derivata egală cu 0: va fi tangent la axa timpului. În schimb, panta tangentei este de K /T pentru sistemele de ordinul 1.
47 Întârzieri Răspunsul unui sistem de ordinul 1 sau 2 cu întârzierea τ are aceeaşi formă ca şi mai sus, dar după ce intrarea se schimă, există o întârziere τ înainte ca efectul să se propage la ieşire. Întârzierea este reprezentată în funcţia de transfer după cum urmează: H(s) = K Ts + 1 e sτ, H(s) = Valoarea lui τ se citeşte direct pe grafic. K ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n e sτ
48 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 Semnal impuls. Relaţia între răspunsurile la treaptă şi impuls Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
49 Intrarea impuls ideală Impulsul ideal este funcţia delta a lui Dirac. O definiţie informală: { t = 0 u I (t) = 0 t 0 cu o condiţie suplimentară: u I(t)dt = 1. (De fapt, impulsul ideal nu este o funcţie, ci o aşa-numită distribuţie.)
50 Realizarea practică a impulsului În realitate, evident nu putem crea semnale de amplitudine infinită. Impulsul este aşadar aproximat de către un semnal rectangular: u IR (t) = { 1 α t [0, α) 0 otherwise unde α (mult mai mic decât constantele de timp ale sistemului). De notat că dreptunghiul are aria 1, u IR(t)dt = 1. Această aproximare introduce diferenţe (erori) faţă de răspunsul real la impuls, dar pentru α mic eroarea este acceptabilă. Vom dezvolta analiza în cazul ideal, dar exemplele folosesc realizarea practică.
51 O proprietate utilă a răspunsului la impuls În domeniul complex: treapta U S (s) = 1 s, impulsul U I(s) = 1 Reamintim că răspunsul în domeniul timp al unui sistem se poate scrie: y(t) = L 1 {Y (s)}, iar Y (s) = H(s)U(s). Deci: Y S (s) = 1 s Y I(s), y S (t) = t 0 y I (τ)dτ, Y I (s) = sy S (s) y I (t) = ẏ S (t) Răspunsul la impuls este derivata răspunsului la treaptă.
52 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 Semnal impuls. Relaţia între răspunsurile la treaptă şi impuls Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
53 Reamintim: Sistem de ordinul 1 unde: H(s) = K Ts + 1 K este factorul de proporţionalitate T este constanta de timp
54 Răspunsul la impuls de ordinul 1 ideal Folosind relaţia cu răspunsul la treaptă, şi derivata acestui răspuns pe care am calculat-o deja, avem direct răspunsul la impuls: y I (t) = K T e t/t, t 0 de unde rezultă: y I (0) = K T = y max y I (T ) = K T e 1 = y max e y max De notat: y I (4T ) = y max, ieşirea este aproximativ staţionară după 4T.
55 Condiţii iniţiale nenule În condiţii iniţiale nenule, impulsul este translatat pe axa verticală. Vom presupune că la înaintea experimentului sistemul era în regim staţionar cu ieşirea y 0 şi intrarea constantă u 0. Din liniaritatea sistemului, şi intrarea fiind u(t) = u 0 + u I (t), avem o ieşire translatată y(t) = y 0 + y I (t). Intrarea nu este scalată, fiindcă rezultatul nu ar mai fi un impuls aproximat (aria ar fi diferită de 1). y max = y 0 + K Aşadar, comportamentul este: T y(t ) = y (y max y 0 ) De notat că u 0 = u ss, y 0 = y ss.
56 Determinarea parametrilor Considerăm acum că este dat răspunsul la impuls al unui sistem real necunoscut (model neparametric). Vom folosi acest răspuns pentru a găsi o funcţie de transfer aproximată (model parametric). Presupunem întâi condiţii iniţiale nenule fiindcă sunt favorabile: oferă o metodă robustă de a estima factorul de proporţionalitate K. Algoritm 1 Citeşte ieşirea staţionară (sau iniţială) y ss = y 0, la fel şi intrarea u ss = u 0. Apoi, K = y ss /u ss. 2 Citeşte y max şi determină timpul la care ieşirea descreşte la din diferenţa y max y 0. Aceasta este constanta de timp T.
57 Determinarea parametrilor în condiţii iniţiale nule Putem estima factorul de proporţionalitate folosind y max = K T, dar în practică această metodă nu este la fel de precisă, datorită zgomotului şi a caracterului non-ideal al impulsului. Algoritm 1 Citeşte y max şi determină timpul la care ieşirea descreşte la din y max. Aceasta este constanta de timp T. 2 Calculează K = y max T.
58 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 Semnal impuls. Relaţia între răspunsurile la treaptă şi impuls Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2
59 Exemplu de ordinul 1 Date generate în simulare, 330 eşantioane cu T s = 0.28 (30 eşantioane partea staţionară iniţială, apoi câte 100 pentru fiecare impuls). Impulsurile sunt realizate prin dreptunghiuri cu α = T s = 0.28 şi amplitudine 1/α De notat zgomotul de măsurare şi condiţiile iniţiale nenule. Folosim primul impuls pentru identificare şi celelalte pentru validare.
60 Exemplu: Model şi parametri Folosim graficul pentru a estima funcţia de transfer. Avem u 0 = u ss = 0.5. Găsim ieşirea staţionară (egală cu cea iniţială) efectuând media câtorva eşantioane: y ss = y k=120 y(k) 0.13
61 Exemplu: Model şi parametri (continuare) Ieşirea maximă este y max 0.19, atinsă la t Valoarea y (y max y 0 ) 0.15 este atinsă la t Aşadar: 1 K = y ss /u ss T = t 2 t De notat că luăm în considerare timpul nenul t 1 la care este aplicat impulsul!
62 Exemplu: Modelul ca funcţie de trannsfer K = 0.25 T = 3.92 Ĥ(s) = K T s + 1 = s + 1
63 Exemplu: Validare Comparăm datele de la sistem cu răspunsul modelului la intrarea de validare (impulsurile 2 şi 3): Simularea nu ia în considerare condiţiile iniţiale nenule ale sistemului, şi de aceea partea iniţială are diferenţe mari. Vom prezenta o metodă de simulare din condiţii iniţiale nenule, care funcţionează nu doar pentru impulsuri, ci pentru orice semnal de intrare (treaptă, etc.).
64 Model în spaţiul stărilor pentru un sistem de ordinul n Un model în spaţiul stărilor, în timp continuu, reprezintă un sistem liniar sub forma: ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) unde: y(t) = Cx(t) + Du(t) x este vectorul de stare, x R n cu n ordinul sistemului u şi y sunt intrarea şi ieşirea obişnuite. Pot fi vectori dacă sistemul are mai multe intrări sau ieşiri, dar aici semnale scalare sunt suficiente. Matricile A de stare, B de intrare, C de ieşire, D de transfer direct. Acestea au dimensiunile potrivite, aici: A R n n, B R n 1 (vector datorită intrării scalare), C R 1 n (vector datorită ieşirii scalare), D R (un scalar, de obicei 0).
65 Model în spaţiul stărilor pentru un sistem de ordinul 1 Pornind de la funcţia de transfer: H(s) = K Ts + 1 = Y (s) U(s) şi întorcându-ne în domeniul timp, dinamica sistemului este: ẏ(t) = 1 T y(t) + K T u(t) Luând x = y (cum sistemul este de ordinul 1, o singură variabilă de stare este suficientă), putem scrie: ẋ(t) = 1 T x(t) + K T u(t) y(t) = x(t) deci modelul în spaţiul stărilor are A = 1 T, B = K T, C = 1, D = 0.
66 Înapoi la exemplu: Model aproximat în spaţiul stărilor ẋ(t) = 1 T x(t) + K u(t) = 0.26x(t) u(t) T y(t) = x(t) Matlab: Hss = ss(a, B, C, D)
67 Exemplu: Validare din condiţia iniţială corectă Pentru a lua condiţia iniţială în considerare, iniţializăm x(0) = y 0 la începutul simulării. Eroarea medie pătratică (MSE) pe datele de validare: J = 1 N e 2 (k) N k=1
68 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2 Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale
69 Reamintim: Sistem de ordinul 2 unde: K ωn 2 H(s) = s 2 + 2ξω n s + ωn 2 K este factorul de proporţionalitate ξ este factorul de amortizare ω n este pulsaţia naturală
70 Forme tipice ale răspunsului la impuls de ordinul 2 Ca şi la treaptă, factorul de amortizare ξ determină forma răspunsului ξ = 0, neamortizat ξ (0, 1), subamortizat ne vom concentra pe acest caz
71 Forme tipice (continuare) ξ = 1, critic amortizat ξ > 1, supraamortizat
72 Răspunsul la impuls subamortizat Folosind derivata răspunsului la treaptă calculată mai sus, avem răspunsul la impuls: y I (t) = K ω n 1 ξ 2 e ξωnt sin(ω n 1 ξ2 t) Observăm deja că perioada este neschimbată, deci T 0 = t 3 t 1 = 2(t 2 t 1 ).
73 Răspunsul la impuls subamortizat (continuare) Cum y S (t) = t 0 y I(τ)dτ, şi reamintindu-ne valorile primului maxim şi minim din răspunsul la treaptă în funcţie de suprareglajul M: A + = t0,1 0 y I (τ)dτ = y S (t 0,1 ) = K + KM, t0,2 A = y I (τ)dτ = t 0,1 = [y S (t 0,2 ) y S (t 0,1 )] = [K KM 2 (K + KM)] = KM 2 + KM
74 Răspunsul la impuls subamortizat (continuare) Obţinem aşadar: A = KM2 + KM A + K + KM = M
75 Condiţii iniţiale nenule: estimarea lui K În condiţii iniţiale nenule, impulsul este translatat, u(t) = u 0 + u I (t), ducând la y(t) = y 0 + y I (t). De notat că u 0 = u ss, y 0 = y ss. Din valorile staţionare estimăm factorul de proporţionalitate: K = yss u ss. Perioada T 0 nu se schimbă, dar ariile trebuiesc găsite relativ la ieşirea staţionară: A + = A = t0,1 0 t0,2 (y(τ) y 0 )dτ t 0,1 (y(τ) y 0 )dτ = t0,2 = K + KM t 0,1 (y 0 y(τ))dτ = KM 2 + KM
76 Determinarea parametrilor Dat fiind răspunsul la impuls al unui sistem necunoscut: Algoritm 1 Determină ieşirea şi intrarea staţionară y ss, u ss. Factorul de proporţionalitate este K = yss u ss. 2 Citeşte valorile de timp unde y(t) intersectează y ss : t 0,1, t 0,2,. Calculează ariile A + = t 0,1 (y(τ) y 0 0 )dτ, A = t 0,2 t 0,1 (y 0 y(τ))dτ. Găseşte suprareglajul M = A A +. 3 Factorul de amortizare este ξ = log 1/M π 2 +log 2 M. 4 Citeşte valorile de timp la maxime, t 1, t 3, sau la maxim şi minim t 1, t 2. Calculează perioada T 0 = t 3 t 1, sau T 0 = 2(t 2 t 1 ). 5 2π Pulsaţia naturală este ω n =, sau ω T 0 1 ξ 2 n = 2 T 0 π 2 + log 2 M. De notat că relaţiile între M, T 0, ξ, şi ω n sunt valide în general, deci paşii 3 şi 5 folosesc aceleaşi formule ca şi pentru treaptă.
77 Estimarea lui K în condiţii iniţiale nule Rezolvăm ẏ(t) = 0 pentru a obţine t 1 pentru primul maxim, şi îl înlocuim în y(t) pentru a obţine valoarea maximă în sine. Obţinem după câteva calcule: y(t 1 ) = K ω n e ξ arccos ξ 1 ξ 2 relaţie ce poate fi folosită pentru a estima factorul de y(t proporţionalitate: K = 1 ). Este nevoie de ξ şi ω n, care pot fi ξ arccos ξ ω ne 1 ξ 2 calculate cu metodele de mai sus independent de condiţia iniţială. Din aceleaşi motive ca la ordinul 1, această metodă este mai puţin precisă decât determinarea lui K din valori staţionare nenule.
78 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2 Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale
79 Exemplu de ordinul 2 Simulare, 330 de eşantioane cu perioada de eşantionare Din nou avem condiţii iniţiale nenule, şi ca de obicei zgomot de măsurare. Vom folosi primul impuls pentru identificare şi celelalte două pentru validare.
80 Exemplu: Valori staţionare şi factor de proporţionalitate Avem u 0 = u ss = 2. Determinăm ieşirea staţionară (egală cu cea iniţială) prin efectuarea mediei ultimelor 11 eşantioane: y ss = y k=120 y(k) 0.5
81 Exemplu: Factor de amortizare Citim t 0,0 1.6, t 0,1 2.3, t 0, Trebuie ţinut cont că impulsul este aplicat la timpul t 0,0 0. Ariile sunt estimate numeric: A + = A = t0,1 t 0,0 t0,2 t 0,1 (y(τ) y 0 )dτ T s (y 0 y(τ))dτ T s k 0,1 k=k 0,0 (y(k) y 0 ) 0.34 k 0,2 k=k 0,1 (y 0 y(k)) 0.12 unde k 0,0, k 0,1, k 0,2 indicii eşantioanelor corespunzând la t 0,0, t 0,1, t 0,2.
82 Exemplu: Factor de amortizare (continuare) Din aceste arii, M = A log 1/M A , şi ξ = π log 2 M
83 Exemplu: Perioada de oscilaţie Citim t şi t 3 3.2, ducând la T 0 = De aici, 2π ω n = T 0 1 ξ 2
84 Exemplu: Modelul ca funcţie de transfer K = 0.25 ξ = 0.31 ω n = 5.16 K ω n 2 Ĥ(s) = s ξ ω n s + ω n 2 = 6.64 s s
85 Model în spaţiul stărilor pentru un sistem de ordinul 2 Reamintim că pentru a simula modelul din condiţii nenule, avem nevoie de un model în spaţiul stărilor ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t). Pornind de la H(s) şi trecând în domeniul timp: ÿ(t) = 2ξω n ẏ(t) ω 2 ny(t) + K ω 2 nu(t) Luând x 1 = y, x 2 = ẏ (fiindcă sistemul are ordinul 2), scriem: ] [ ] [ẋ1 (t) x = 2 (t) ẋ 2 (t) 2ξω n x 2 (t) ωnx 2 1 (t) + K ωnu(t) 2 [ ] [ ] [ ] 0 1 x1 (t) 0 = ωn 2 + 2ξω n x 2 (t) K ωn 2 u(t) y(t) = x 1 (t) = [ 1 0 ] [ ] x 1 (t) + 0u(t) x 2 (t) de unde se obţin imediat matricile A, B, C, D.
86 Înapoi la exemplu: Model (aproximat) în spaţiul stărilor [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + u(t) y(t) = [ 1 0 ] x(t) + 0u(t) [ ] x1 (t) unde x este vectorul de stare, x(t) =. x 2 (t)
87 Exemplu: Validare Pentru a porni din condiţia iniţială nenulă, iniţializăm x 1 (0) = y 0, x 2 (0) = 0 la începutul simulării (pornim din regim staţionar, de aceea x 2 (0) = ẏ(0) = 0). Eroarea medie pătratică (MSE) pe datele de validare: J = 1 N e 2 (k) N k=1
88 Conţinut 1 Recapitulare: Modele liniare în timp continuu 2 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 1 3 Analiza răspunsului la treaptă al sistemelor de ordinul 2 4 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 1 5 Analiza răspunsului la impuls al sistemelor de ordinul 2 Răspuns la impuls. Determinarea parametrilor Exemplu Remarci adiţionale
89 Întârzieri Ca şi cel la treaptă, răspunsul la impuls al unui sistem de ordinul 1 sau 2 cu întârzierea τ are forma tipică, dar după schimbarea intrării există o întârziere τ până când efectul se propagă la ieşire. Valoarea lui τ se citeşte direct pe grafic. Funcţii de transfer: H(s) = K Ts + 1 e sτ, H(s) = K ω 2 n s 2 + 2ξω n s + ω 2 n e sτ
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departamentul de Automatică Str. Dorobanţilor 7, sala C2, tel: 0264-40267 Str. Bariţiu 26, sala C4, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραErori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραLaborator 6. Integrarea ecuaţiilor diferenţiale
Laborator 6 Integrarea ecuaţiilor diferenţiale Responsabili: 1. Surdu Cristina(anacristinasurdu@gmail.com) 2. Ştirbăţ Bogdan(bogdanstirbat@yahoo.com) Obiective În urma parcurgerii acestui laborator elevul
Διαβάστε περισσότεραV O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα8 Intervale de încredere
8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραSeminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0
Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:
Διαβάστε περισσότεραTratarea numerică a semnalelor
LUCRAREA 5 Tratarea numerică a semnalelor Filtre numerice cu răspuns finit la impuls (filtre RFI) Filtrele numerice sunt sisteme discrete liniare invariante în timp care au rolul de a modifica spectrul
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar
Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Problema 1. a) Reprezentaţi spectrul de amplitudini şi faze pentru semnalul din figură.
Seminar 3 Problema 1. a) Reprezentaţi spectrul de amplitudini şi faze pentru semnalul din figură. b) Folosind X ( ω ), determinaţi coeficienţii dezvoltării SFE pentru semnalul () = ( ) xt t x t kt şi reprezentaţi
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραMiscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )
Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραExemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότεραCIRCUITE LOGICE CU TB
CIRCUITE LOGICE CU T I. OIECTIVE a) Determinarea experimentală a unor funcţii logice pentru circuite din familiile RTL, DTL. b) Determinarea dependenţei caracteristicilor statice de transfer în tensiune
Διαβάστε περισσότεραProiectarea sistemelor de control automat
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 7-73, sala C2, tel: 264-4267 Str. Baritiu 26-28, sala C4, tel: 264-22368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραSisteme liniare - metode directe
Sisteme liniare - metode directe Radu T. Trîmbiţaş 27 martie 2016 1 Eliminare gaussiană Să considerăm sistemul liniar cu n ecuaţii şi n necunoscute Ax = b, (1) unde A K n n, b K n 1 sunt date, iar x K
Διαβάστε περισσότερα4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Διαβάστε περισσότεραAnaliza sistemelor liniare şi continue
Paula Raica Departmentul de Automatică Str. Dorobantilor 71-73, sala C21, tel: 0264-401267 Str. Baritiu 26-28, sala C14, tel: 0264-202368 email: Paula.Raica@aut.utcluj.ro http://rocon.utcluj.ro/ts Universitatea
Διαβάστε περισσότεραOvidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Διαβάστε περισσότεραTransformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
Διαβάστε περισσότερα( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite
Διαβάστε περισσότεραCircuite cu diode în conducţie permanentă
Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea
Διαβάστε περισσότεραProiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Διαβάστε περισσότερα7 Distribuţia normală
7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare
Διαβάστε περισσότεραValori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότερα11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραSisteme de ecuaţii diferenţiale
Curs 5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale 5. Sisteme normale Definiţie 5.. Se numeşte sistem normal sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi dx dt = f (t, x, x 2,..., x n ) dx 2 dt = f 2(t, x, x
Διαβάστε περισσότεραIV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραStabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότεραCURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1
Διαβάστε περισσότερα