ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Transcript

1 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane Axa prioritară nr. 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere Domeniul major de intervenţie 1. Calitate în învăţământul superior Numărul de identificare al contractului: Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA Curs: 6. Elemente de analiza matematica. Graficul unei functii. Proprietatile unei functii. Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M1 Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir 1

2 Etape in construirea graficului unei functii: 1. Domeniu maxim de definitie - Domeniu maxim de definitie - Intresectia cu axa Ox - Intersectia cu axa Oy - Asimptota orizontala. Semnul functiei - Semnul functiei - Paritatea functiei - Continuitatea functiei - Periodicitatea functiei 3. Asimptote - Orizontale - Verticale - Oblice

3 Etape in construirea graficului unei functii: 4. Derivata de ordin I - Calculul derivatei de ordin I - Radacinile derivatei de ordin I si plasarea in tabel 5. Derivata de ordin II - Calculul derivatei de ordin I - Radacinile derivatei de ordin I si plasarea in tabel - Determinarea punctelor de inflexiune 6. Tabelul functiei - Orizontale - Verticale - Oblice 7. Reprezentarea grafica 3

4 Continuitatea functiilor Fie functia f : D R si x I 0 f este continua in punctul x0 daca Fie functia lim f (x) = f (x ) x x0 x x f (x) = x+ x> 0 lim f (x) = 4 = f () x,x lim f (x) = 4 = f () x,x> functia f este continua in punctul x= 4

5 Asimptotele functiilor (orizontale, oblice, verticale Asimptotele orizontale: Fie functia f : D R Dreapta y=a este asimptota orizontala catre infinit daca: lim f (x) = a x Dreapta y=a este asimptotat orizontala catre + infinit daca: lim f (x) x = a Asimptotele orizontale: Fie functia 3 f : D R, f(x)= x 9 Functia nu are asimptota orizontala lim f (x) x lim f (x) x = = x Asimptotele orizontale: Fie functia f : (1, ), f(x)= ln x + R ln x + 1 Functia are asimptota orizontala lim f (x) = 1 x 5

6 Asimptotele functiilor (orizontale, oblice, verticale Asimptotele verticale: Fie functia f : D R Dreapta x=x0 este asimptota verticala daca: lim f (x) sau lim f (x) exista si este infinita x x0 x x0 Asimptotele verticale: Fie functia 3 f : D, f(x)= x 9 Functia are asimptote verticale in x=-3 si x=3 lim f (x) x 3 lim f (x) x 3 = = x 6

7 Asimptotele functiilor (orizontale, oblice, verticale Asimptotele oblice: Fie functia Daca f nu are asimptote orizontale si daca f : D R f (x) lim = m, m R * si lim(f (x) mx) = n x x x atunci functia f are asimptota oblica catre +infinit dreapta y=mx+n Asimptotele orizontale: Fie functia 3 f : D R, f(x)= x 9 Functia nu are asimptote orizontale y=x este dreapta asimptota oblica pentru functia f x 7

8 Rolul derivatei de ordin I in studiul unei functii:determinarea intervalelor de monotonie si a punctelor de extrem. f : I R Fie f o functie derivabila pe un interval I. Atunci: a) functia f este monoton crescatoare pe intervalul I daca si numai daca f '(x) 0, x I b) functia f este monoton descrescatoare pe intervalul I daca si numai daca f '(x) 0, x I Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii se procedeaza astfel: se calculeaza derivata I a functiei pe domeniul de derivabilitate se rezolva ecuatia se determina semnul functiei pe intervalele pe care functia nu se anuleaza se stabilesc intervalale de monotonie in functie de semnele derivatei 8

9 Determinarea intervalelor de monotonie Fie functia 3 f : D, f(x)=x 6x Domeniul maxim de definitie: D=R Derivata de ordin I: f '(x)=3x 6 Solutiile ecuatiei f (x)=0 x 1, x = ± Semnul functiei f (x) strict crescatoare pe (-,- ) (,+ ) si strict descrescatoare pe [-, ] x f (x)

10 Rolul derivatei de ordin I in studiul unei functii:determinarea intervalelor de concavitate sau convexitate. f :[a,b] R, a < b Fie f o functie derivabila pe un intervalul (a,b). Atunci: a) functia f este convexa pe intrevalul [a,b) daca f ''(x) 0, x (a, b) b) functia f este concava pe intrevalul [a,b) daca f '(x) 0, x (a,b) Pentru determinarea intervalelor de monotonie ale unei functii se procedeaza astfel: se calculeaza derivata II a functiei pe domeniul de derivabilitate se rezolva ecuatia se determina semnul functiei pe intervalele pe care functia nu se anuleaza se stabilesc intervalale de convexitate/concavitate 10

11 Determinarea intervalelor de convexitate/concavitate si a punctelor de inflexiune Fie functia Puncte de inflexiune: x= x f (x) f : D R, f(x)= x x 1 Domeniul maxim de definitie: D=R\{} x 4x + 1 Derivata de ordin I: f '(x)= (x ) Solutiile ecuatiei f ''(x) 0, x R\{} Starea functiei f (x) concava pe (-,) convexa pe (, ) Derivata de ordin II: 6 f ''(x)= (x )

12 Funcţii: Exercitii Exercitiul nr.1 Sa se studieze continuitatea functiei 3x x 1 f : R R, f(x)= x-1 Exercitiul nr. Sa se stabileasca semnul functiei si domeniul de definitie 4 f : D R, f(x)=x 10x + 9 Exercitiul nr.3 Sa se arate ca functia f nu este continua in punctul (0,0). 3 x + y daca(x, y) (0, 0) f(x)= x + y 0 daca(x, y) (0, 0) 1

13 Funcţii: Exercitii Exercitiul nr.4 Fie functia f. Demonstrati ca functia f este continua in 0 si 1 si discontinua pe R\{0,1} f : R R f (x) = f :[ 1,1] R x x Q 3 x x \ R Q Exercitiul nr.5 Fie functia f. Aratati ca f este continua si derivabila in 0. n 1 daca x=, n N f (x) n = 1 1 daca x, n N n Exercitiul nr.6 Fie functia f. Calculati a,b,c a.i.f sa fie de doua ori derivabila f :[ 1,1] R sin x + cos x daca x 0 f (x) = ax +bx+c daca x < 0, a,b,c R 13

14 Funcţii: Exercitii Exercitiul nr.7 Fie functia f. Sa se traseze graficul, stabilind natura asimptotelor daca exista f : R R f : D R 1/ x, pentru x > 0 f (x) = 5, pentru x 0 Exercitiul nr. 8 Sa se determine asimptotele orizontale si oblice ale functiei f (x) = x + 1 x 1 Exemplul 9. Fie dreapta y=5 x+7.5. Să se determine intersecţia cu axa absciselor şi cu axa ordonatelor 14

15 Funcţii: Exercitii exemple din ingineria chimica Exemplul 1. Ecuaţia dreaptei de operare a unui proces de distilare continuă este y = 0.9 x Să se determine intersecţia cu axa ordonatelor şi cu prima bisectoare. Să se determine mulţimea imagine a acestei drepte dacă x є [0,1]. Exemplul. Să se determine punctul de intersecţie al dreptelor de operare ale unui proces de distilare continuă. Variabilele x şi y reprezintă fracţii molare. Dreapta de operare pentru zona superioară a coloanei y = 0.93 x Dreapta de operare pentru zona inferioară a coloanei y= 1.0 x Exemplul 3. Să se determine punctul de intersecţie al dreptei de operare y = 0.9 x cu curba de echilibru y= x/(1+x). Să se scrie ecuaţia dreptei de operare care trece prin acest punct de intersecţie şi care intersectează prima bisectoare în punctul x=0.1 15

16 Funcţii: Exercitii exemple din ingineria chimica Exemplul 1. Ecuaţia dreaptei de operare a unui proces de distilare continuă este y = 0.9 x Să se determine intersecţia cu axa ordonatelor şi cu prima bisectoare. Să se determine mulţimea imagine a acestei drepte dacă xє[0,1]. Exemplul. Să se determine punctul de intersecţie al dreptelor de operare ale unui proces de distilare continuă. Variabilele x şi y reprezintă fracţii molare. Dreapta de operare pentru zona superioară a coloanei y = 0.93 x Dreapta de operare pentru zona inferioară a coloanei y= 1.0 x Exemplul 3. Să se determine punctul de intersecţie al dreptei de operare y = 0.9 x cu curba de echilibru y= x/(1+x). Să se scrie ecuaţia dreptei de operare care trece prin acest punct de intersecţie şi care intersectează prima bisectoare în punctul x=0.1 16

17 Funcţii: Exercitii exemple din ingineria chimica Exemplul 4. Să se reprezinte grafic profilul de temperatură în regim staţionar într-un perete de grosime δ=0.3 m (temperatura t în funcţie de variabila spaţială x). Pe feţele peretelui temperatura este t1=30 C şi respectiv t=00 C. Ecuaţia profilului de temperatură este t= t1 + (t -t1) x/δ. Exemplul 5. Un perete solid compozit este format din două plăci plane din materiale diferite (notate 1 şi respectiv ). Să se determine temperatura interfeţei tx dintre cele două plăci în regim staţionar, cunoscând că prima placa are grosimea δ1=0.05 m şi conductivitatea termică λ1 =0.4 W/(m K), iar placa a doua are grosimea δ = 0.3 m şi conductivitatea termică λ = 0.04 W/(m K). Se ştie că faţa externă a plăcii 1 are temperatura t1= 50 C, iar faţa externă a plăcii are temperatura t= 50 C. Condiţia de conducţie a căldurii în regim staţionar este : (t1 tx) λ1/δ1 = (tx t) λ/δ Să se reprezinte grafic profilul de temperatură în cele plăci ce formează peretele solid. 17