ЗАПИТАЈМО СЕ... Jens Carstensen, Алија Муминагић, Данска

Transcript

1

2

3 ЗАПИТАЈМО СЕ... Jens Carstensen, Алија Муминагић, Данска Сви ученици, почев од 7. разреда основне школе, упознати су са Питагорином теоремом, која гласи: Ако је троугао правоугли, површина квадрата над хипотенузом једнака је збиру површина квадрата над катетама. Нешто мање ученика има праву представу о обрнутој Питагориној теореми, а још мање о Питагорином троуглу и Питагориним тројкама бројева. Подсетимо се: Правоугли троугао код кога су дужине страница природни бројеви зове се Питагорин троугао. За уређену тројку бројева (a, b, c) кажемо да је Питагорина тројка ако су a и b катете, а c хипотенуза неког Питагориног троугла, тј. ако важи: a 2 + b 2 = c 2. (1) Једначина (1) је једна диофантска једначина, тј. једначина чија решења тражимо у скупу целих бројева. Занимљиво би било знати колико ученика се запитало: Постоје ли троуглови код којих су величине углова α, β, γ, мерене у степенима, природни бројеви, такви да важи α 2 + β 2 = γ 2? (2) У тексту који следи дајемо одговор на постављено питање: Приметимо прво да нисмо поставили захтев да троуглови буду правоугли. Из α + β + γ = 180 следи да је γ = 180 (α + β), па је α 2 + β 2 = (180 (α + β)) 2. У даљем излагању, ради једноставности, изостављаћемо ознаку за степене, тј. уместо 180 писаћемо 180 и слично. Последњу једнакост можемо записати у облику α 2 + β 2 = (α + β) + (α + β) 2. и после сређивања β (180 β 16200) 180β ( β 180) α= = = = 180 β ( β 180) β 180 β 180 и коначно α= (3) β 180 Једначине типа (3) се често јављају у такмичарским задацима, па су вероватно добро познате неким ученицима. Да би α био природан број, β 180 мора бити делитељ броја Ако би решење тражили испитивањем редом случајева β = 1, 2, 3,... био би то мукотрпан посао. Зато даље радимо овако: Једначина (3) је еквивалентна са α= = =, β 180 (180 β) 180 β 1

4 ЗАПИТАЈМО СЕ... тј α=. (4) 180 β Знамо да важи 0 < α < 180, тј. 0 > α > 180, односно 180 > 180 α > 0, па на основу (4) добијамо 180(180 β) > 16200, тј. 180 β > = 90, односно 180 β > 90, тј. 180 β < 90. Како је = , за 180 β имамо следеће могућности: 2 3 4, , 3 3 5, , , Дакле, имамо: 180 β = = 162, тј. β = 18, 180 β = = 108, тј. β = 72, 180 β = = 135, тј. β = 45, 180 β = = 150, тј. β = 30, 180 β = = 120, тј. β = 60, 180 β = = 100, тј. β = Сада из (3), тј. на основу α= 180 израчунавамо α. 180 β За β = 18 је α= 180 = 180 = = 80. Слично за остале вредности β добијамо одговарајуће вредности α: 30, 60, 75, 45, 18. Сада из γ = 180 (α + β) налазимо следеће три тројке (α, β, γ) које задовољавају услове задатка: (80, 18, 82), (30, 72, 78), (60, 45, 75). Та решења се сада могу и непосредно проверити. Заиста: = 82 2, = 78 2, = Проблем разматран у овом чланку може се посматрати и као специјалан случај задатка да се пронађу Питагорине тројке бројева (x, y, z) које задовољавају услов x + y + z = n, за дати број n. У чланку је решаван случај n = 180, а неке друге случајеве читаоци могу испитати решавајући задатке дате на крају. Ако неко од младих читалаца после читања овог чланка пожели да научи нешто више о Питагориним тројкама, а надамо се да хоће, чланак је испунио циљ. Задаци за самостални рад 1. Да ли постоји Питагорина тројка (x, y, z) таква да је x + y + z = 2013? 2. Да ли постоји Питагорина тројка (x, y, z) таква да је x + y + z = 2014? СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БР. 66 Десет најуспешнијих решавалаца овог задатка биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Да ли постоји Питагорина тројка (x, y, z) таква да је x + y + z = 2012? 2

5 ЈЕДАН ЗАДАТАК ВИШЕ РЕШЕЊА Јожеф Варга, Темерин Корисније је решити један исти задатак на неколико различитих начина него решити неколико задатака сваки на само један начин. Ако се један исти задатак реши на разне начине, може се упоређивањем решења утврдити које је од њих краће, ефектније, елегантније. На тај начин се стиче и изграђује вештина решавања задатака. W. W. Sawyer, Prelude to Mathematics У оквиру ове рубрике на конкретним примерима указиваћемо на могућностима да се једна исти задатак решава на различите начине. При томе ћемо настојати да се у решавању задатака користе само она знања која су доступна ученицима основне школе, трудећи се да поступци решавања буду елегантни и једноставни, јер у математици је лепо оно што је једноставно Задатак. Ако је x природан број већи од 1 и x + = 2, x 9 Решење 1. Користећи квадрат бинома добијамо израчунај x+ 1, x = + + = + + = + = = 10 x x 2 x x x x x x С обзиром да је x позитиван број, то је 1 10 x+ =. x 3 Слично, из x x = + = = = x x следи 1 8 x =. x 3 јер је број x већи од Сабирањем једнакости (1) и (2) добија се 2x= + = = 6, односно x = Решење 2. Из једначина x Даље имамо да је: 2 x 1 x и x. 4 1 x = = добија се једначина 9x 4 82x = x x x 82x + 9= 9 x x 81x = x ( 9x 1) 9( 9x 1) 2 2 = ( x 9)( 9x 1) = ( x 3)( x+ 3)( 3x 1)( 3x+ 1 ), (1) (2) 3

6 РАЧУНАРСТВО па једначина постаје (x 3)(x + 3)(3x 1)(3x + 1) = 0. Производ je једнак нули само ако је неки од чиниоца нула. Значи x 3 = 0 или x + 3 = 0 или 3x 1 = 0 или x + 1 = 0. Одавде једино решење je x = 3. Из тога je x+ = и x =. x 3 x 3 4 x + 1 Решење 3. Како је x природан број, то је NZD(x 2, x 4 + 1) = 1, односно је 2 x нескратив разломак. То је могуће једино ако је x = 82 и x 2 = 9, односно x = 3. Из тога je x+ = и x =. x 3 x 3 1 Решење 4. Како је x природан број, то је x 2 1 па је 0 1. Из овога следи да је 2 x x, односно 73 2 x 82, тј. 8 x 2 9. Из овога 2 < x 3 (x је природан број, значи негативан не може бити) тј. x = 3. Одавде je x+ = и x x =. x 3 РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 156 (ЗА I КАТЕГОРИЈУ) I категорија су ученици петог и шестог разреда Оља је замолила маму, која ради у књижари Насмејани црв да одабере поклон за три своје другарице којима је ускоро рођендан. Оља жели да свим другарицама купи исти поклон и пронашла је две књиге које јој се свиђају, али има одређену количину новца који може да потроши и не зна да ли може да купи обе књиге или само једну од њих. Написати програм који учитава најпре цену књиге која је Ољин први избора, уколико нема довољно новца за обе, затим цену друге књиге и потом количину новца који је Ољи на располагању. Програм треба да испише колико је новца остало Ољи након куповине поклона. Пример. Улаз: P = 200 D = 250 O = 900 Излаз: 300 4

7 РАЧУНАРСТВО КОНКУРСНИ ЗАДАТАК ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 157 (ЗА II КАТЕГОРИЈУ) II категорија су ученици седмог и осмог разреда Kњижара Насмејани црв је добила проширње простора и нову просторију неправилног облика у који треба поставити нове полице за књиге. За сваки зид у овој просторији се задаје максимална дужина полица која ту може да стане. Ако је дужина зида мања од 2 метра, уз тај зид се постављају уже полице, а на остале зидове се постављају шире полице. Оља помаже својој мами да наруче полице и потребан јој је програм у коме се задаје ширина уже полице, затим ширина шире полице, број зидова и за сваки зид максимална укупна ширина свих полица, а програм треба да одреди колико им је потребно ужих, а колико ширих полица. Све величине се задају у центиметрима. Пример. Улаз: U = 50 S = 95 B = 5 Z: Излаз: 3 14 РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 154 Program KonZad154; Var p,d,u:integer; Begin readln(p,d); u:=p div 20 + d div 22; writeln(u) End. На почетку програма се уносе вредности P и D које представљају број примерака прве и друге књиге. Број полица које ће бити попуњене првом књигом добија се целобројним дељењем са 20, а број полица које ће бити попуњене другом књигом добија се целобројним дељење са 22. Збир ова два количника представља укупан број полица које ће бити попуњене. Петар Тијанић, V3, ОШ Јован Цвијић, Лозница РЕШЕЊЕ КОНКУРСНОГ ЗАДАТКА ИЗ РАЧУНАРСТВА БР. 155 Program KonZad155; Var v,k:integer; Begin readln(v,k); if k<=v then writeln('jedna POLICA') else writeln('dve POLICE') End. Након учитавања висине полице и књиге, проверава се да ли књига може да стане у једну полицу, тј. да ли је висина књиге мања или једнака од висине полице. Уколико је овај услов испуњен исписује се коментар да књига стаје у једну полицу, а у супротном се исписује комантар да књига стаје у две полице. Марија Митровић, VI4, ОШ Јанко Веселиновић, Београд 5

8 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Задаци из ове рубрике имају за циљ помоћ како ученицима, тако и наставницима. Разврстани су у три групе у складу са стандардима знања из математике за крај обавезног образовања. Дати су предлози контролних и писмених задатака, при чему је у угластим заградама [ ] дата варијанта за другу групу. III РАЗРЕД САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ ДО ЈЕДНАЧИНЕ. КРУГ, УГАО, НОРМАЛНЕ И ПАРАЛЕЛНЕ ПРАВЕ. МЕРЕЊЕ ДУЖИ. Основни ниво 1. Израчунај: а) = ; б) = ; в) = ; г) = ; д) = ; ђ) =. 2. Нацртај кружницу са центром у тачки О и на њој тачке А и B тако да угао АОB буде оштар. 3. Означи на одговарајућим полуправама тачке B и D тако да је: а) АB = 65mm б) CD = 7сm 2mm A C Средњи ниво 4. Ако су у обојеним пољима сабирци, доврши попуњавање табеле одговарајућим збировима Ненад је измерио да је једна књига ширине 2dm, а друга 17сm 2mm. За колико милиметара се разликују ширине ових књига? 6. Напиши на црти одговарајуће бројеве: а) 872 = ; б) = 900; в) 1000 =198; г) 495= Гледај слику па у кругове упиши одговарајуће знаке за паралелне ( ) и/или нормалне ( ) праве. а) e a; б) d e; в) a c; г) a d; д) c e; ђ) b d. a b c d e 6

9 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Напредни ниво 8. Реши једначине: а) (160 + x) = 777; б) (x 350) = 333; в) x = ; г) 1000 (x + 300)= Од збира највећег и најмањег броја пете стотине одузми број 376, па израчунај добијену разлику. 10. Нацртај две кружнице полупречника 3cm и 2cm које се секу у две тачке тако да центри обеју кружница припадају и једном и другом кругу. 11. Страницама три слепљена правоугаоника (види слику) одређено је шест правих. Колико парова нормалних правих је на тај начин одређено? 12. Напиши бројеве који недостају: а) 370cm = m 17dm; б) 777dm = 75m cm; в) dm = 14m 790cm. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Сабирање и одузимање до Израчунај: а) [ ]; б) [ ]; в) [ ]; г) [ ]. 2. а) Који број је за 734 [654] већи од броја 287 [378]? б) Који број је за 333 [444] мањи од броја 800 [900]? 3. Попуни табелу: x 500 x +250 [150] 568 x 267 [376] 222 КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Круг, угао, паралелне и нормалне праве 1. Нацртај прав [туп] угао aоb и тачку А која је у том углу, тачку B која је ван тог угла и тачку C која је на краку Оb. 2. Користећи лењир и троугаоник доцртај на слици: 7

10 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ а) праву c која је нормална на[паралелна] правој a; б) праву d која је паралелна [нормална на] правој b. У каквом су односу праве c и d? b a 3. Нацртај кругове K1 и K2 са заједничким центром у тачки О и полупречницима 3cm и 5cm, редом. а) Нацртај тачку А тако да је АО = 4cm [АО = 2cm]. б) Нацртај тачку B тако да је BО = 2cm [BО = 6cm]. в) Нацртај тачку C тако да је CО = 6cm [CО = 4cm]. За сваку од тачака А, В и С напиши којим од кругова припадају. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Мерење дужи 1. Нацртај дужи: а) АB дужине 5cm [6cm]; б) CD дужине 1dm 25mm [1dm 15mm]. 2. Напиши бројеве који недостају: а) 400cm = m = dm [600cm = m = dm]; б) 707cm = m cm = dm cm [606cm = m cm = dm cm]. 3. Нацртај тачке А, B и C које нису на једној правој и тако да је АB = 4cm [6cm] и BC = 7cm [5cm]. Измери дужину дужи АC. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 15 минута Једначине са сабирањем и одузимањем до Реши једначине: а) x = 750 [360 + x = 870]; б) x 353 = 377 [x 427 = 188]; в) (x 440) = 278 [(x 550) = 289]. 2. Милован је путујући аутомобилом од Новог Сада [Зрењанина] до Ниша прешао 145 километара. Колико још километара треба да пређе, ако зна да је растојање између та два града 310 [330] километара? Прво постави одговарајућу једначину, па затим одреди њено решење. 3. Јулијана је нацртала дуж дужине 1dm 45mm [1dm 39mm]. Колика је дужина линије коју треба да избрише ако треба да нацрта дуж дужине 12cm? Прво постави одговарајућу једначину, па затим одреди њено решење. 8

11 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ IV РАЗРЕД САБИРАЊЕ И ОДУЗИМАЊЕ У СКУПУ N0. МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ЈЕДНОЦИФРЕНИМ БРОЈЕМ. ПОВРШИНА ПРАВОУГАОНИКА И КВАДРАТА. Основни ниво 1. Израчунај: а) ; б) Израчунај: а) = ; б) = ; в) 5436 : 4 = ; г) : 5 =. 3. Израчунај површину траке, облика правоугаоника, чија ширина 5cm, а дужина 372cm. Средњи ниво 4. Користи особине сабирања и одузимања, па израчунај: а) ( ) ; б) ( ) + ( ); в) ( ) ( ); г) ( ) ( ). 5. Доврши попуњавање табеле множећи одговарајуће једноцифрене и вишецифрене бројеве: Доврши попуњавање табеле делећи вишецифрени број одговарајућим једноцифреним бројем: : Од 6 једнаких квадрата са страницом дужине 4cm могу се саставити два различита правоугаоника (један типа 2 3 и један типа 6 1). Упореди обиме и површине тако добијених правоугаоника. Напредни ниво 8. Трима цифрама у броју треба заменити места да би се тај број повећао за Које цифре мењају места? 9

12 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 9. Ако се неки број помножи са 2 добија се број Одреди број који је 12 пута већи од првобитног броја. 10. Доврши попуњавање табеле: Једна страница правоугаоника је 2011 пута дужа од друге. Ако је обим тог правоугаоника 8048cm, израчунај његову површину. 12. На основу података са слике, израчунај обим и површину обојене фигуре (мере су дате у центиметрима) КОНТРОЛНА ВЕЖБА 20 минута Сабирање и множење једноцифреним бројем 1. Израчунај: а) [ ]; б) [ ]; в) [ ]; г) [ ]. 2. Израчунај: а) [ ]; б) 2388 : 3 [2608 : 4]; в) [ ]; г) : 7 [48048 : 8]. 3. Који је број 6 [5] пута већи од броја који је за 2378 [2593] већи од броја 3774 [5883]? ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Израчунај: а) [ ]; б) [ ]; 10

13 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ в) [ ]; г) [ ]. 2. Израчунај: а) [ ]; б) : 3 [35000 : 5]; в) [ ]; г) : 6 [ : 9]. 3. Израчунај збир и разлику највећег и најмањег четвороцифреног броја записаног цифрама 0, 3, 5 и 8 [0, 2, 4 и 9] (у сваком од бројева свака наведена цифара се појављује по једном). 4. Израчунај површину: а) квадрата чија је страница дужине 9dm [8dm]. б) правоугаоника чије су странице дужина 7cm и 9dm 4cm [6cm и 8dm 7cm]. 5. Обим правоугаоника је 140cm [160cm]. Израчунај површину тог правоугаоника ако је једна његова страница 9 пута краћа од друге. V РАЗРЕД ДЕЉИВОСТ. УГАО Основни ниво 1. Да ли је скуп {1, 2, 3, 9, 18} једнак скупу свих делилаца броја 18? 2. Који од бројева 12, 34, 48, 126, 250, 342, 312, 545, 830, су дељиви бројем: а) 3; б) 5; в) 10? 3. Дати су углови: α1 = 92, α2 = 35, α3 = 87, α4 =102, α5 = 200, α6 = 360, α7 = 90, α8 = 192, α9 = 180, α10 = 2, α11 = 176. а) Који угао је прав? б) Који углови су оштри? в) Који углови су тупи? г) Који угао је опружен? д) Који углови су неконвексни? ђ) Који угао је пун? Средњи ниво 4. Којом цифром треба да се замени у броју да се добије број дељив са 9? 5. Користећи цифре 0, 4, 5, 7 само једанпут напиши све троцифрене бројеве дељиве са: а) 5; б) Најмањи заједнички садржалац бројева 12, 32 је: а) шест пута већи од броја 12; б) два пута већи од броја 32; в) три пута већи од броја 32; г) четири пута већи од броја 12. Заокружи слово испред тачног одговора. 11

14 7. Користећи слику израчунај угао α. а) б) ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 150 α α 110 α Колико степени има угао који је једнак: а) петини свог комплементног угла; б) половини свог суплементног угла? Напредни ниво 9. а) Одреди x тако да је НЗД(18, x) = 9 и 20 < x < 60. б) Одреди x тако да је НЗС(30, x) = Одреди цифре x и y тако да број 220 xy 4 буде дељив са Користећи слику израчунај угао α α Колики је угао у степенима који опише мала казаљка на сату за: а) један сат; б) пола сата; в) 20 минута? КОНТРОЛНА ВЕЖБА 1. Који од бројева 16, 25, 32, 48, 88, 96, 102, 105, 240 су садржаоци броја [је дељив бројем]: а) 6 [3]; б) 8 [4]? 2. Одреди цифре x и y тако да број 220 x4 [103 x8] буде дељив са: а) 3; б) Израчунај најмањи заједнички садржалац и највећи заједнички делилац за бројеве: а) 15 и 14 [11 и 15]; б) 45 и 30 [50 и 80]. 4. Колико пута је НЗД (36, 84) мањи од сваког од тих бројева? [Колико пута је НЗС(30, 54) већи од сваког од датих бројева?] 5. Бака Јеца има 18 јабука и 24 чоколаде. Она је сваком унучету дала исти број јабука и исти број чоколада. Колико највише унука има бака Јеца и колико је јабука и колико чоколада дала сваком од њих? 12

15 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ [Јована је у среду послала СМС поруке другарицама Маји и Цеци, сестри Милени и брату Милошу. Јована шаље поруке другарици Маји сваких 8 дана, Цеци сваких 6 дана, сестри Милени сваких 12 дана и брату Милошу сваких 16 дана. За колико најмање дана ће им поново у истом дану послати поруке? Који је то дан у недељи?] ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Одреди све садржаоце броја 12 [18] који су мањи од 100 и већи од Напиши број 240 [330] као производ простих бројева. 3. Колико пута је најмањи заједнички садржалац бројева 12, 54, 60 [12, 32, 56] већи од највећег заједничког делиоца тих бројева? 4. Дат је угао α = 42 30' [α = 10 40']. Израчунај: a) угао 3α; б) угао комплементан углу α; в) угао суплементан углу α. 5. Нацртај углове α = 46, β = 130 [α = 65, β = 100 ]. Конструиши угао: а) δ = 2α; б) γ = β α. VI РАЗРЕД ЦЕЛИ БРОЈЕВИ. МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА. ТРОУГАО. ПОДУДАРНОСТ, КОНСТРУКЦИЈЕ, ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ ТРОУГЛА Основни ниво 1. Израчунај: а) ( 3) 4, 5 4, 2 ( 8), ( 1) ( 19); б) ( 12) : 3, 14 : ( 7), 24 : ( 6), 8 : ( 1). 2. Троуглови ABC, PQR, MNT су једнакокраки (види слику!). Ако је AB = PQ = MN = 2cm, BAC = 70, PRQ = 30, MTN = 40 утврди који троуглови су подударни. C R T P N A B Q M 3. Центар кружнице описане око правоуглог троугла налази се у: а) темену правог угла; б) средишту хипотенузе; в) пресеку симетрала углова; г) пресеку тежишних дужи. Заокружи слово испред тачног одговора. 13

16 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Средњи ниво 4. Бројевна вредност израза а а 7 а : а + 2 а за а = 8 једнака је: a) 87; б) 41; в) 55; г) 41; д) 73. Заокружи слово испред тачног одговора. 5. Попуни празна места у табелама: а 5 9 b 4 8 2a + b : ( 2) a 7 3 b 8 8 ( 2a + b) : Нека су АА1 и ВВ1 тежишне дужи, а Т тежиште троугла АВС. Тачке М и N су средишта дужи АТ и ВТ. Види слику! Докажи да је: а) А1В1= МN; б) А1В1 МN. C B1 A M T A1 N 7. Конструиши троугао чије су две странице 4cm и 5cm, а полупречник описане кружнице 6cm. Напредни ниво 8. На колико начина се број 210 може написати као производ шест целих бројева? 9. Нека је а = 20 и b = 5. Израчунај: а) x = 10 a : b, y = (10 a) : b, z = (10 + a) : 5; б) x + y + z x y z. B 10. Конструиши једнакокраки троугао чија је основица 5cm, а угао при врху је 2 5 угла на основици. 11. У правоуглом троуглу катета наспрам угла од 30 је 9cm. Израчунај растојање: а) тежишта троугла од темена правог угла; б) ортоцентра од средишта хипотенузе; 14

17 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ в) центра описане кружнице од темена правог угла. 12. Конструиши правоугли троугао коме су висина и тежишна дуж које одговарају хипотенузи, редом, 3cm и 4cm. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 1. Израчунај: а) ( 12) ( 20) 7 : ( 4) [( 15) 8 ( 25) : 5]; б) ( ) ( ) [( ) (5 4 7)]. 2. Којим бројем је потребно помножити [поделити] збир ( 3) [разлику 8 ( 8) ( 2)] да би се добио број 64 [ 2]? 3. Одреди број за 5 већи [мањи] од броја ( ) : 9 + ( 27) 6 3 [ : 9 + ( 27 6) 3]. 4. Конструиши углове од 105, 22 30' [75, 67 30']. ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Ако је a = 16 : 4, b = 16 ( 4), c = 12 4 [a = 12 : ( 4), b = 12 + ( 4), c = 9 ( 4)] израчунај: а) (2a + b) (a c), б) 2c : a [а) (2a b) (a + c), б) c : (2a)]. 2. Којим бројем треба поделити [помножити] број х = : (9 + 27) 6 3 [х = : (9 + 27) 6 ( 4)] да би се добио број 11 [100]? 3. Дат је квадрат АBCD и тачке M и N на страници AB, тако да је AM = NB. Докажи да је MD = NC [DN = CM]. D C A M N B 4. Конструиши троугао АВС ако је АВ = 6cm, ВС = 4cm, ВАС = 120 [АВ = 7cm, ВАС = 60, АВС = 45 ]. Затим конструиши висину СC' [АA'] и тежишну дуж СС1 [АА1]. VII РАЗРЕД ЦЕЛИ РАЦИОНАЛНИ ИЗРАЗИ Основни ниво 1. Који број је већи и за колико: 3 3 или ( 3) 3? 15

18 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 2. Колико је (x x 2 x 3 x 4 x 5 ) : (x 5 x 4 x 3 x 2 x) ако је x = 2? 3. Реши једначину 5 (x 2) + 3 (1 x) = Израчунај ( ) ,2 ( 1). Средњи ниво 5. Израчунај вредност израза 5 a b a+ 3b ако је a пет пута веће од b. 6. Ако је A = B, онда је A B = 0. Користећи претходну једнакост реши следеће једначине: а) 2x 2 3x + 8 = 2x 2 x + 6; б) 2x(x 3) = 2(x 2 x + 6). 7. Дати су полиноми: A = 3x 2 x 2, B = 2x 2 + x + 5, C = 3x 2 и D = 3x + 2. Одреди полиноме A + B, C B, C D, C 2. Напредни ниво 8. Одреди све четвороцифрене бројеве са различитим цифрама код којих је збир прве три цифре 3, а збир задње три цифре , ,2 0, 8+ 0, 8 9. Скрати разломак. 4(3,2 5,2) 10. Реши једначину 2(x 3)(x + 1) = 2(x 2 + 2x 1). 11. Разлику квадрата бинома 3х 5 и бинома 2х + 1 увећај за квадрат њихове разлике. 12. Дужине катета правоуглог троугла су 3х 1 и 4х + 3, а дужина његове хипотенузе 5х + 2. Израчунај површину тог троугла. 1. Ако је КОНТРОЛНА ВЕЖБА x x x : x x= 2 x= 2+ колико је? ( x ) ( x ) 2. Од збира квадрата бројева 1 и 1 одузми квадрат њихове разлике. [Од разлике квадрата бројева 2 и 3 одузми квадрат њиховог збира.] 16

19 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ 3. Полином A = 5x 2 (3 3x) (4x 3 x 2 + x 1) [A = 1 (x 3 2x 2 3x 6) (5x 2)] уреди по опадајућим [растућим] степенима променљиве. 4. Дати су полиноми A = 2x 2 3x + 5 и B = 2x 2 3x + 5 [A = 4x 2 5x + 1 и B = 4x 2 x 3]. Одреди збир и разлику тих полинома. 5. Ако је 1 P = 3x [ 4x + P = 1] и Q 2 = 5x [3x Q = 2] колико мора бити x да би разлика полинома P и Q била једнака 5? ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Одреди вредност израза 12x 2 y 3 z : ((3xy 2 ) 2yz) ако је x = 1, y = 3 и z = 2012 [(3x 2 y 3 z) ( 6x 2 z) : ( 9x 3 y 3 ) ако је x = 2, y = 2012 и z = 1]. 2. Упрости изразе: а) 3x(1 2x) x(3x + 2) [ x(3 4x) + 3x(x 1)]; б) 5x 2 (x 2)(5x + 2) [4x 2 (2x 1)(2x + 3)]. 3. Квадрирај следеће биноме: а) x + 2; б) 3x 5; в) x+ 1 а) 3 x; б) 5x 2; в) x Одреди вредност a, b, c тако да је: ax 2 + bx + c = (x 2) 2 3(2x 3) [ax 2 + bx + c = (x 2)(x + 2) 2(1 2x)] Једна катета правоуглог троугла је хипотенузе, а друга катета је 12cm. 5 Израчунај обим и површину тог троугла. [Хипотенуза правоуглог троугла је за 2cm дужа од једне катете. Израчунај обим и површину тог троугла ако је друга катета 8cm.] VIII РАЗРЕД ЛИНЕАРНЕ НЕЈЕДНАЧИНЕ. ПРИЗМА Основни ниво 1. Реши неједначине: а) x 3 > 4; б) x > 1; в) x + 1 < 1; г) 1 x Израчунај површину коцке чија је запремина 1m Збир свих ивица коцке је 36cm, а ивице квадра су 2cm, 3cm и 4cm. Чија је запремина већа, коцке или квадра? 17

20 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Средњи ниво 4. Реши неједначину и скуп решења прикажи на бројевној правој: а) 2 x 5; б) (x 2) ( 2) > 6; в) 1 2x 3; г) 2 x+ 1 < Основна ивица правилне тростране призме два пута је дужа од њене висине. Површина омотача је 150cm 2. Израчунај површину и запремину те призме. 6. За које вредности промењиве x израз: a) x 2 (x 5) 2 ; б) (x + 5) 2 x 2 ; в) (x 5) 2 (x + 5) 2 ; има позитивну вредност? 7. Правилна четворострана призма има запремину 160cm 3. Израчунај њену површину ако је површина дијагоналног пресека 40 2 cm 2. Напредни ниво 8. Колико има целих бројева z таквих да је: z+ 3 1 а) 1 2 < 1; б) 1< ( 2z 1) 1? Камена коцка површине 864dm 2 изрезана је на једнаке квадрове чије су ивице 20cm, 15cm и 2cm. Добијеним квадрима је поплочан плато правоугаоног облика. а) Колико је квадрова добијено резањем коцке? б) Колика је дужина платоа ако је ширина 8m? 10. Израчунај површину и запремину квадра, ако су површине три његове различите стране 12cm 2, 15cm 2 и 20cm Терапијски базен у бањском комплексу је правоугаоног облика (као на слици). Дужина му је 12m, ширина 6m, а дубина од 1m до 2m. Колико литара воде је потребно да би се базен напунио до врха? 12m 1m 6m 2m 12. Пресек правилне шестостране призме и равни, која садржи краће дијагонале основа, је квадрат површине 48cm 2 (види слику). Израчунај: а) основну ивицу; б) дијагоналу; 18

21 ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ в) површину већег дијагоналног пресека те призме. КОНТРОЛНА ВЕЖБА 1. Испитај да ли број 2 [ 5] припада скупу решења неједначине 2 5x > x + 5 [5 2x < x + 2]. 2. Одреди скуп решења неједначине: x x а) 7x 3 4x + 9 [9x 4 7x + 8]; б) + 1> < 4 3. Реши неједначину x x x x < x x > Одреди целе бројеве x за које важи: x(x 1) + 10 > (x + 1)2 и (x + 2)(x 2) x(x 3) > 13 [(x + 2)2 > x(x 3) 10 и (x + 1)(x 1) x(x + 5) < 11]. ДРУГИ ПИСМЕНИ ЗАДАТАК 1. Одреди најмањи [највећи] цео број који задовољава неједначину 5 (x 1) 6 (1 x) > 10 [2 (3 x) 5 (3 x) < 6]. 2. Дијагонала једне стране коцке има дужину 3 2 cm [5cm]. Израчунај запремину [површину] те коцке. 3. Збир свих ивица једнакоивичне правилне шестостране призме је 180cm [72cm]. Израчунај површину и запремину те призме. 4. На слици је дата мрежа тростране призме. Израчунај површину те призме. 16cm [18cm] 4,5cm [5,5cm] 3cm [4cm] 24cm [30cm] 5. Израчунај површину дијагоналног пресека квадра чије се ивице односе као 2 : 3 : 4 и чија је запремина 192cm 3 [750cm 3 ]. 19

22 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА ДРЖАВНО ТАКМИЧЕЊЕ УЧЕНИКА ОСНОВНИХ ШКОЛА Вршац године VI разред 1. Производ шест узастопних целих бројева је седмоцифрен број Одреди те бројеве. 2. Дат је четвороугао ABCD у коме је AB = BC, ACB = 50, ACD = 30 и CBD = 20. Одреди CAD. 3. Дате су тачке C, B1 и права p. Конструиши троугао ABC, ако је тачка С теме троугла, тачка B1 средиште странице АС и ако је права p симетрала угла ABC. p C B1 4. Милашин је записао три броја. Златана је у тим бројевима заменила различите цифре различитим словима, а исте цифре истим словима и добила следећи запис ОХО, СЛОЖЕН, БРОЈ. Радашин тврди да је збир та три броја увек сложен број. Да ли је Радашин у праву? 5. Школа математике Интеграл има два разреда. У првом разреду су 65% девојчице. У другом разреду су 45% девојчице. Укупно у оба разреда су 53% девојчице. Колико процената ученика школе је у првом разреду? VII РАЗРЕД 1. Бане је записао низ бројева 7, 14, 17,... Сваки члан низа, почевши од другог, добија се тако што се претходни члан квадрира, саберу се цифре добијеног квадрата и на тај збир дода 1 (На пример, 7 2 = 49, = 13, = 14, па је други члан низа 14). Који број се налази на месту овог низа? 2. Пред фудбалску утакмицу између Звезде и Партизана пет лица је дало следеће прогнозе: А: Неће бити нерешено; Б: Звезда ће примити бар један гол; В: Партизан ће победити; Г: Партизан неће изгубити; Д: На утакмици ће се постићи тачно три гола. 20

23 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА По завршетку утакмице испоставило се да су три прогнозе биле тачне, а две нетачне. Којим резултатом је завршена утакмица? 3. Централни угао кружног исечка полупречника 12cm је (види слику). Израчунај површину четвороугла OABC са слике. А B O C 4. Ако су p и q прости бројеви већи од 3, онда је p 4 q 4 дељиво са 48. Докажи. 5. Нека је у правоуглом троуглу АВС тачка D подножје висине из темена С правог угла и О1, О2 центри уписаних кружница троуглова ACD и BCD. Кружница са центром С и полупречником CD сече катете АС и ВС у тачкама M и N, редом. Докажи: а) Тачке O1, O2, M и N су колинеарне. б) MN > 2O1O2. VIII РАЗРЕД 1. Акцијама компаније за промет сулундара Milashin & Radashin Ltd из Петловца тргује се на Лондонској берзи. У току једног месеца, сваког радног дана у часова вредност акција повећава се или се смањује за 17%. Да ли је могуће да је цена акција те компаније у два различита радна дана после часова имала исту вредност? 2. Полупречник круга је r. Тетива CD тог круга сече пречник AB у тачки M под углом од 45. Докажи да је MC 2 + MD 2 = 2r На дну језера постоји извор који сваког дана допуњава језеро константном количином воде. Крдо од 183 слона попије воду из језера за 1 дан, а крдо од 37 слонова за 5 дана. Колико дана би на језеру могао да пије један слон? 4. У правилну четворострану призму чија је основна ивица a = 12cm и висина H = 24cm, уписана је правилна четворострана пирамида. Темена основе те пирамиде су на ивицама једне основе призме, а врх је у центру друге основе призме. Израчунај површину оне пирамиде која има најмању запремину. 5. Бројеви од 1 до 9 исписани су на 9 картица, на свакој по један. Два играча виде бројеве на свим картицама и наизменично узимају по једну картицу. Победник 21

24 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА је онај који први објави да од изабраних карата, коришћењем операција +,,, : и заграда, може саставити израз чија је вредност једнака 50. Није допуштено од карата састављати вишецифрене бројеве. Који играч има победничку стратегију, тј. може да осигура победу без обзира на начин игре његовог противника? Решења VI РАЗРЕД 1. Међу шест узастопних целих бројева сигурно је један дељив са 5, три су сигурно парна па је њихов производ дељив са 8, а како су два броја сигурно дељива са 3 производ ових бројева је сигурно дељив са 9. Из дељивости са 2 и 5 добијамо да је производ облика Из дељивости са 8 имамо да је троцифрени завршетак дељив са 8 па производ може бити облика или или , а из дељивости са 9 да је производ један од бројева или или Растављањем на чиниоце датих бројева имамо да је само производ шест узастопних целих бројева, а они су 10, 11, 12, 13, 14, 15 или 10, 11, 12, 13, 14, У троуглу BCD је BDС = 180 ( CBD + BCD) = 80, па је троугао BCD једнакокрак и BC = BD. Како је AB = BC = BD, то је и троугао ABD једнакокрак па је BAD = BDA = 60 и CAD = BAD BAC = 10. B А C D 3. Како је В1 средиште странице АС, теме А добијамо преношењем дужи СВ1 на праву СВ1 тако да је CB1 = B1A и C B1 A. Како је права p симетрала угла ABC то се тачка CS, осносиметрична слика тачке С у односу на праву p, налази на страници АВ. Конструкцијом ове тачке добијамо праву АСS. У пресеку ове праве са правом p добијамо треће теме троугла В. C p B1 В А СS 22

25 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА 4. У запису ова три броја јавља се свих 10 цифара. Девет цифара се јавља тачно једанпут, а једна се јавља четири пута. Збир свих ових цифара је ( ) + 3 О = О = 3 (15 + О). Како је овај збир сигурно дељив са 3 и збир цифара збира три дата броја је увек дељив са 3, па је и сам збир дељив са 3 па је увек сложен број. Дакле, Радашин је у праву. 5. Означимо број ученика првог разреда са p, а број ученика другог разреда са d. У првом разреду је 65%p девојчица, а у другом разред 45%d. Како је укупан број девојчица у оба разреда 53% (p + d), то је 65%p + 45%d = 53% (p + d). Сређивањем ове једнакости добијамо да је 3p = 2d, а додавањем и левој и десној страни по 2p имамо 5p = 2 (p + d), односно p = 2 5 (p + d) = 40% (p + d). Дакле, у првом разреду је 40% од укупног броја ученика. VII РАЗРЕД 1. Првих 10 чланова низа су: 7, 14, 17, 20, 5, 8, 11, 5, 8, 11. Ако склонимо прва четири члана низа имамо да је потребно одредити члан низа у коме се три броја 5, 8 и 11 узастопно понављају. Како је 2008 = , закључујемо да је тражени члан Размотримо три могућности: а) Ако је Партизан победио тада су прва четири исказа тачна, па претпоставка није тачна. б) Ако је било нерешено онда су искази А, В и Д нетачни, па ни ова претпоставка није тачна. Закључујемо да је тачна трећа могућност, тј. да је Звезда победила. У том случају искази В и Г су нетачни. Остала три исказа морају бити тачна. Из тачности исказа Б и Д следи да је резултат утакмице 2 : 1 за Звезду. 3. D А P O C Нека је D тачка осносиметрична тачки О у односу на праву AB и нека је пресек дужи OD и AB тачка K. Троуглови AOK, BOK и OBC су подударни (све три једнаке странице) па је тражена површина једнака трострукој површини троугла AOK. Троуглови AOK и ADK су подударни (две једнаке странице и угао између њих) па је троугао AOD једнакокрак са углом при врху од 45. Нека је DP нормала из 23 K B

26 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА тачке D на крак AO. Сада је троугао APD jеднакокрако правоугли и његова хипотенуза је 12cm, па је DP= 6 2cm. Површина троугла AOD је AO DP 2 2 = 36 2cm, па је површина троугла AOK једнака 18 2cm, а површина 2 траженог четвороугла cm = 54 2cm. 4. p 4 q 4 = (p 2 + q 2 )( p 2 q 2 ). Број p 2 + q 2 је сигурно дељив са 2 јер је збир два непарна броја. Покажимо да је p 2 q 2 дељиво са 24. p 2 q 2 = (p 2 1) (q 2 1) = (p 1)(p + 1) (q 1)(q + 1). Како бројеви p и q нису дељиви са 3 онда је сигурно њихов претходник или следбеник дељив са 3, па је и (p 1)(p + 1) и (q 1)(q + 1) дељиво са 3, а одатле и њихова разлика. Како су p и q прости бројеви облика су p = 2a + 1, q = 2b + 1. Тада је p 2 q 2 = (4а 2 + 4а + 1) ( 4b 2 + 4b + 1) = 4(a(a + 1) b(b + 1)). a(a + 1) и b(b + 1) су производи два узастопна броја, парни су, па је и њихова разлика дељива са 2, а самим тим је и 4(a(a + 1) b(b 1)) дељиво са 8, па је p 2 q 2 дељиво са 24, одакле следи тврђење задатка. 5. a) Како је CM = CN то је троугао CMN једнакокрако правоугли и CMN = 45. Нека је P пресек симетрале угла ACD и дужи MN. Троуглови MPC и DPC су подударни (CM = CD, CP = CP, MCP = DCP), па је CMP = CDP = 45. Дакле, полуправа DP је симетрала угла CDA па је тачка P центар уписане кружнице, односно P O1. Дакле, тачка О1 припада правој MN. Аналогно се показује и да тачка О2, припада правој MN. б) Како су троуглови MО1C и D О1C подударни то је MО1 = DО1. Аналогно је и NО2 = DО2. Из троугла O1DO2 имамо да је O1О2 < O1D + O2D, па је MN = MO1 + O1O2 + O2N = DO1 + DO2 + O1O2 > 2O1O2. C А M O1 D O2 N B C M P O2 N А D B 24

27 МАТЕМАТИЧКА ТАКМИЧЕЊА VIII РАЗРЕД 1. Нека је вредност акција на берзи једног дана била x. После извесног броја дана вредност акција ће бити 1,17 k 0,83 p x где је са k означен број дана када се цена акција повећавала, а са p број дана када се цена акција смањивала. Доказаћемо да једначина 1,17 k 0,83 p x = x нема решења. Једначина је еквивалентна са k ( ) ( ) p x = x. Наиме, у том случају бисмо имали да је 117 k 83 p једнако k+p где су k и p ненегативни цели бројеви. Међутим то је немогуће јер је на левој страни непаран број, а на десној страни паран број. Дакле, цена акција у два различита радна дана после часова не може бити иста. 2. Нека је тачка Е осносиметрична слика тачке D у односу на пречник АВ. Како су троуглови MDP и MEP подударни то је троугао DME једнакокрако правоугли и DME = 90, MD = ME и MDE = 45. Сада је и CME = 90 и COE = 90 (централни угао над тетивом чији је периферијски угао 45 ). Важи да је CE 2 = MC 2 + ME 2 = MC 2 + MD 2, али и CE 2 = CO 2 + OE 2 = 2r 2, па је MC 2 + MD 2 = 2r 2. D 45 А M 45 O P B C 3. Означимо количину воде коју попије један слон са s, количину воде у језеру са j и количину воде коју извор допуни за један дан са i. Сада је i + j = 183s и 5i + j = 37 5s. Из ове две једначине добијамо да је i = 0,5s, па је j = 182,5s. Ако један слон попије воду из језера за k дана имамо да је ks = j + ki, односно ks = 182,5s + 0,5ks, одакле добијамо да је k = 365. Дакле, једном слуну би вода из језера била довољно за 365 дана. 4. Како је висина призме једнака висини пирамиде, пирамида најмање запремине је она чија је површина основе најмања. Означимо страницу квадрата PQRS који је у основи пирамиде са a. Теме P дели страницу АВ квадрата ABCD који је у основи призме на делове дужина x и 12 x. Из подударности троуглова APS и BQP (SP = PQ и два налегла угла на страницу SP једнака са одговарајућим угловима налеглим на страницу PQ) следи да је BQ = 12 x. Сада је a 2 = x 2 + (12 x) 2 = E 25

28 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ 2x 2 24x = 2(x 6) Страница a ће имати најмању вредност када (x 6) 2 има најмању вредност, а то је за x = 6, па је a= 6 2. Тражена површина је 2 72 (1+ 33)cm. D R C x S Q a А 12 x P a x 12 x B 5. Победу може да осигура први играч у три извлачења (у два извлачења није могуће остварити победу јер нема два броја која могу дати резултат 50 било којом датом операцијом). Приметимо да се број 50 може добити на следеће начине: ; 8 7 6; (6 + 4) 5; и да се број 6 јавља у свим изразима, бројеви 8 и 4 у два и бројеви 2, 7, 5 и 9 у по једном Победничка стратегија првог играча може бити следећа: Прво извлачи карту са бројем 6. Ако је други играч узео карту са неким од бројева 4, 5 или 9 узима карту са бројем 8. Ако је други играч узео карту са неким од бројева 2, 7 или 8 први узима карту са бројем 4. Ако други играч узме карту са бројевима 1 или 3, први може узети било који од бројева 4 или 8. У трећем извлачењу узима карту са којом може да састави један од дата четири израза и на тај начин осигурава победу. ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Одабрани задаци служе за вежбу и припрему за такмичења. Препоручују се ученицима као корак који претходи решавању конкурсних задатака. Решења која следе искористити за проверу сопствених. ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА При сабирању бројева ученик је направио две грешке. Једну цифру јединица 2 је заменио са 9, а једну цифру десетица 4 је заменио са 7. Тако је добио збир 800. Одреди прави збир. 26

29 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Тачка M је на дужи AB и три пута је ближа тачки B него тачки A. Одреди дужину дужи AB ако је тачка M од средине дужи AB удаљена 4сm. ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА Шест узастопних месеци мај, јун, јул, август, септембар и октобар имају особину да је збир броја дана прва три месеца једнак збиру броја дана последња три месеца (по 92 дана). Колико има још узастопних шест месеци са истом особином? Златни ретривер је веста паса која просечно живи од 10 до 12 година. Да ли можемо да очекујемо да ће неки златни ретривер у нормалним условима живети сати? А сати? ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА Близанци, Марија и Бранко, славили су свој 11. рођендан. За прославу је њихова мајка Вера направила 100 колача. Марија и Бранко су колаче украшавали орасима, сувим грожђем и млевеном чоколадом. Колаче су послагали у ред, a затим на сваки други су ставили чоколаду, на сваки трећи суво грожђе, а на сваки пети орахе. Колико колача је било украшено само чоколадом и сувим грожђем? Колико колача није било уопште украшено? Свако слово замени неком цифром (различита слова различитим цифрама) тако да сабирање ДВА + ТРИ = ПЕТ буде тачно и да ПЕТ буде највећи могући број. ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА Зорка је редом записивала бројеве: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... (наизменично мења знак бројева који по апсолутној вредности формирају низ непарних природних бројева). Колико бројева Зорка може да запише тако да збир свих записаних бројева буде делилац броја 2013? Конструиши троугао ако је a = 5cm, β = 45 и полупречник описане кружнице 3cm. ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА Одреди све двоцифрене природне бројеве ab за које важи ab+ ba= n 2, где је n N Краци трапеза су 6cm и 8cm и припадају правама које су узајамно нормалне. Израчунај површину тог трапеза, ако је једна основица дупло дужа од друге. 27

30 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА Свеска кошта 11, а оловка 5 динара. На колико начина се за тачно 2012 динара може купити известан број свески и оловки? У координатној равни су дате тачке А(2, 3) и В(10, 11). Одреди: а) Дужину дужи АВ; б) Дужину ортогоналних пројекција дужи АВ на x и y осу; в) Угао који дуж АВ заклапа са својом ортогоналном пројекцијом на x осу. РЕШЕЊА ОДАБРАНИХ ЗАДАТАКА Замењујући цифру јединица 2 са цифром 9, добијени збир је увећао за 7, а замњујући цифру десетица 4 са цифром 7, добијени збир је увећао још за 30. Према томе прави збир је мањи за 37 и једнак је = Тачка М је на средини дужи чији је један крај тачка B а други средиште дужи AB. Значи дужина дужи МB је 4сm а онда је дужина дужи AB = = 16. Дакле AB = 16cm Поред датих месеци постоји још 5 пута по шест узастопних месеци који задовољавају дати услов: 1) јануар, фебруар (29), март, април, мај, јун; 2) март, април, мај, јун, јул, август; 3) јул, aвгуст, септембар, октобар, новембар, децембар; 4) aвгуст, септембар, октобар, новембар, децембар, јануар; 5) септембар, октобар, новембар, децембар, јануар, фебруар (29); Како је = = то значи да можемо очекивати да ће неки златни ретривер живети сати и не можемо очекивати да ће неки златни ретривер живети сати Задатак решавамо коришћењем Веновог дијаграма. Означимо скупове: S суво грожђе, О ораси, С чоколада. Скуп С има елемената колико има парних бројева до 100, значи 50. Број елемената скупа S је 33, пошто до 100 има 33 броја који су дељиви са 3. Бројност скупа О је 20. Пошто су колачи поређани, у пресеку сва три скупа ће бити толико елемената колико има бројева дељивих са 2, са 3 и са 5, то јест са 30. Таквих бројева до100 има 3. Бројева дељивих са 3 и са 5 (са 15) има 6, од којих су 3 дељива и са 30, они су већ уписани у дијаграм, тако да ћемо уписати само разлику, 3 у пресек скупова О и S. Бројева дељивих са 2 и 5 (са 10) има 10, од којих 3 су дељива и са 30, па у пресек скупова О и С уписујемо 7. Бројева дељивих са 6 има 16, па у пресек скупова С и S уписујемо 13. Скуп С има 50 елемената, од којих смо већ уписали = 23, па треба још да додамо 27. У скуп О треба још да упишемо број = 7, то су бројеви који су дељиви само са 5, а нису дељиви ни са 2 ни са 3. А у скуп S треба још да упишемо =

31 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ Ако од 100 одузмемо збир бројева који су уписани у Венов дијаграм, добијемо 26, то су они бројеви који нису дељиви ни са 2, ни са 3, ни са 5. Само сувим грожђем и чоколадом било је украшено 13 колача. Неукрашених колача је било 26. S O C Запажамо: потребно је осам различитих цифара; збир два троцифрена броја је троцифрен број; на два места слово Т; Д, Т и П су цифре различите од 0. С обзиром на услов задатка, број ПЕТ не може бити већи од 987. Испитајмо да ли ПЕТ може бити 987. Види се да је А+И=7, В+Р=8 и Д=2. Лако се проверава да су једина решења: = 987, = 987, = 987, = Како је 2013 = то збир мора бити једнак неком од бројева 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671 и Ако збир има паран број сабирака, тада је збир првог и другог, трећег и четвртог, петог и шестог,... записаног броја константан и износи 2. Одавде су све могуће негативне вредности збира по апсолутној вредности парне па ниједан не може бити делилац броја Ако збир има непаран број сабирака приметимо следеће: 1 + ( 3) + 5 = 3, 1 + ( 3) ( 7) + 9 = 5, 1 + ( 3) ( 7) ( 11) + 13 = 7,... тј. збир непарног броја сабирака једнак је броју сабирака, па закључујемо да је Зорка могла да запише 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671 или 2013 бројева Нека је на слици дат троугао АВС који задовољава услове задатка. Како је центар описане кружнице једнако удаљен од темена троугла то га можемо одредити у пресеку кружница са центрима у теменима В и С чији су полупречници по 3cm. Конструкцију изводимо на следећи начин: а) на произвољној прави конструишемо страницу ВС; б) у тачки В конструишемо угао од 45 ; в) центар О конструишемо на претходно описан начин; г) тачку А добијамо у пресеку описане кружнице троугла и крака констрисаног угла. 29

32 ОДАБРАНИ ЗАДАЦИ A O B β a C ab+ ba= 10a+ b+ 10b+ a= 11a+ 11b = 11( a+ b), дакле 11(a + b) = n 2. Како су а и b цифре, онда a + b 18. Да би 11(a + b) био потпун квадрат то је а + b = 11. Тражени бројеви су 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83 и Нека је ABCD трапез који испуњава услове задатка (види слику). Тачка Е је на основици АВ, таква да је CE AD. AMB = 90, па је и ECB = 90 (као углови са паралелним крацима). Дакле, троугао ЕСВ је правоугли, а његове катете су ВС = 8cm и ЕС = АD = 6cm (четвороугао АЕСD је паралелограм јер је CE AD и AE DC). Хипотенузу овог троугла рачунамо преко Питагорине теореме па је EB = 10cm. Како је АЕ = DC = b, то је EB = AB AE = a b = 10cm. A пошто је a = 2b, то је 2b b = 10cm, b = 10cm, a = 20cm. Висина трапеза једнака је висини троугла ЕВС и можемо је израчунати преко површине тог троугла, EB h EC CB 10 h 6 8 a+ b =, =, h = 4,8cm. Површина трапеза је P= h, P= 4, 8, P = 72cm 2. 2 М D C A E F B Нека је број оловки x, а број свески y. Тада је 5x + 11y = Једно од могућих решења линеарне Диофантове једначине 5x + 11y = 2012, je y0 = 2. Тада је 5x = 2012, па је 5x0 = 1990, тј. x0 = 398. Сва могућа решења дата су формулама: x = k, y = 2 + 5k, где је k цео број. Међутим, како x и y морају бити природни бројеви, то је 0 < x = k < 2012 и 0 < y = 2 + 5k < Из добијених неједначина следи да је 146 k 36, односно 0 k 402. Дакле, 0 k 36, па се тражена куповина може извршити на тачно 37 начина. 30

33 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ k x = k y = 5k а) Дужина дужи AB једнака је = 128 = 8 2. б) Дужине ортогоналних пројекција дужи AB на x и y осу једнаке су 10 2 = 8, односно 11 3 = 8. в) Дуж AB са x осом заклапа угао од 45. КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Конкурсни задаци намењени су првенствено ученицима који се у већој мери интересују за математику. Истовремено то је својеврсно такмичење које Математички лист организује сваке школске године. Решења задатака са именима решавалаца објављују се у наредним бројевима часописа. Предност имају они решаваоци који у првих 20 дана по изласку броја из штампе пошаљу исправна решења. Имена решавалаца са бар шест тачних решења објављују се у првом броју следеће школске године. За најбоље решаваоце предвиђене су награде. Упутство за слање решења налази се на страни 48. ЗА УЧЕНИКЕ III РАЗРЕДА При сабирању бројева ученик је направио три грешке. Једну цифру јединица 8 је заменио са 3, једну цифру десетица 2 је заменио са 8 и једну цифру стотина 6 је заменио са 7. Тако је добио збир 555. Одреди прави збир Тачка N је на правој одређеној тачкама A и B, ван дужи AB и 5 пута је ближа тачки B него тачки A. Одреди дужину дужи AB ако је тачка N од средине дужи AB удаљена 14сm. ЗА УЧЕНИКЕ IV РАЗРЕДА Могу ли се месеци поделити у две групе, по 6 узастопних, тако да у свакој групи буде једнак број дана? Најдуговечнији људи живе преко 100 година, чак и 1З8 година. Да ли је постојао неки човек који је живео сати? А сати? ЗА УЧЕНИКЕ V РАЗРЕДА На рођенданску прославу Марија и Бранко су позвали своје пријатеље, па је деце на журци било укупно 30. На крају журке се испоставило да је њих петоро јело само празне колаче (без чоколаде, ораха и сувог грожђа). Од осталих, њих десет није јело колаче на којима су били ораси, двоје нису јели колаче који су били украшени чоколадом и орасима.четворо деце није јело 31

34 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ колаче на којима је било ораха и сувог грожђа. Петоро је јело само колаче са орасима, а њих дванаест није јело колаче са сувим грожђем, а двоје су јели од сваке врсте. Колико деце је јело колаче и са орасима и са сувим грожђем, ако је свако дете појело бар један колач? Свако слово замени неком цифром (различита слова различитим цифрама) тако да сабирање ТРИ + ТРИ = ШЕСТ буде тачно. Нађи сва решења. ЗА УЧЕНИКЕ VI РАЗРЕДА Да ли је производ непарних природних бројева мањих или једнаких од 2013 дељив са збиром тих истих бројева? Конструиши троугао АВС ако је дужина једне странице троугла 6cm, њој одговарајућа висина 5cm, а дужина полупречника описане кружнице 4cm. ЗА УЧЕНИКЕ VII РАЗРЕДА Одреди све двоцифрене природне бројеве ab за које важи је n N ab ba= n, где Дијагонале трапеза су 6cm и 8cm и узајамно су нормалне. Израчунај висину и површину трапеза. ЗА УЧЕНИКЕ VIII РАЗРЕДА На колико начина се број 2013 може приказати као збир узастопних природних бројева? Равни α и β заклапају угао од 60. Њихова пресечна права је права p. У равни β дат је једнакокраки трапез ABCD тако да су основице трапеза AB и CD паралелне са правом p. Ако је површина трапеза ABCD једнака 2012, колика је површина четвороугла A B C D који представља пројекцију трапеза ABCD на раван α. РЕШЕЊА КОНКУРСНИХ ЗАДАТАКА Збир два броја је 45. Ако се први број повећа четири пута, а други (повећа) два пута, онда се добија збир 100. Који су то бројеви? Решење. Како је П + Д = 45, то је П + П + Д + Д = 90. Међутим како је П + П + П + П + Д + Д = 100, то је П + П = 10, односно П = 5. Према томе је Д = 40. Миро Рашковић, III2, ОШ Петар Петровић Његош, Врбас Напиши све троцифрене бројеве којима је производ цифара 36 и при том је цифра стотина мања или једнака од цифре десетица и цифра десетица мања или једнака од цифре јединица. Решење. Таквих бројева има 5 и то су бројеви 149, 166, 229, 236 и 334. Вељко Вранић, III3, ОШ Светозар Марковић, Краљево

35 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Збир два броја је Ако се један од њих увећа за 2012, а други подели са 2, добијају се два једнака броја. Који су то бројеви? Решење. Ако је а и b означимо те сабирке, онда је а + b = и а = b : 2. Према томе је 2 а = b и онда а + 2 а = , па је а = и b = Војин Радовановић, IV1, ОШ Дринка Павловић, Београд Укупна маса лубенице и диње је 6 килограма и 400 грама. Маса лубенице и тега од 50 грама има исту масу као диња и тег од 4 килограма. Колика је маса лубенице? Решење. Обележимо масу лубенице са L, а масу диње са D. Тада по услову задатка L + D = 6kg 400g, L = D + 4kg 50g, L = D + 3kg 950g, 2D+ 3kg 950g = 6kg 400g, 2D = 2kg 450g, D = 1kg 225g, L = 5kg 175g. Михаило Батавељић, IV1, ОШ Татомир Анђелић, Мрчајевци Петра је за 11. рођендан добила поклон од родитеља. Они су се мало нашалили, па су поклон ставили у једну од три кутије. На сваку кутију су закачили по један натпис: 1) Поклон је у овој кутији. 2) Поклон није у овој кутији. 3) Поклон је у овој кутији. Да ли Петра може да закључи у којој кутији се налази поклон, ако је речено да међу натписима има и тачних и нетачних? Решење. Како је у задатку наведено да има и тачних и нетачних натписа то значи да нити су сви натписи тачни, нити су сви натписи нетачни. Следи разматрање појединачних случајева: Случај 1. кутија 2. кутија 3. кутија Закључак Тачан натпис Нетачан натпис Нетачан натпис I Немогуће Тачан натпис Тачан натпис Нетачан натпис II Могуће Тачан натпис Нетачан натпис Тачан натпис III Немогуће 33

36 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ Нетачан натпис Тачан натпис Тачан натпис IV Могуће Нетачан натпис Тачан натпис Нетачан натпис V Немогуће Нетачан натпис Нетачан натпис Тачан натпис VI Немогуће На основу закључака приказаних у претходној табели види се да су само II и IV случај могући. Односно, постоје две могуће опције: 1) Ако је на првој и другој кутији тачан натпис, а на трећој нетачан онда је поклон у првој кутији. 2) Ако је на првој кутији нетачан натпис, а на другој и трећој тачан, онда је поклон у трећој кутији. Што значи, да Петар зна да поклон сигурно није у другој кутији, али не зна да ли је он у првој или трећој кутији. Димитрије Анђелић, V1, ОШ Милан Ракић, Београд Од 27 једнаких коцки за игру је састављена једна велика коцка. (На странама коцке су бројеви 1, 2, 3, 4, 5 и 6, а збир на супротним странама тих коцки је 7.) Колики је најмањи могући збир на видљивим странама тих коцки? Решење. Састављена коцка је димензија У теменима коцке постављамо коцкице тако да им се виде стране са бројевима 1, 2 и 3. На средини сваке ивице коцке се налази по једна коцкица коју ћемо наместити тако да се виде стране са бројевима 1 и 2. На средини сваке стране коцке налази се по једна коцкица на чијој јединој видљивој страни је број 1. Према томе, најмањи могући збир је 8 ( ) + 12 (1 + 2) = = 90. Јована Стојановић, V, ОШ Свети Сава, Ниш Бора је на папиру записао низ целих бројева тако да је сваки следећи за 2 већи од претходног. Ако је збир свих записаних бројева 66 и производ најмањег и највећег записаног броја 64, које бројеве је Бора записао? Решење. Како су сви бројеви у низу исте парности и више има позитивних него негативних бројева (јер је збир свих бројева позививан) и како је 64 = 1 64 = 2 32 = 4 16 = 8 8, могући низови бројева су 2, 0,..., 32 или 4, 2, 0,..., 14, 34

37 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ 16. Збир бројева у првом низу је 270, а у другом 66, па је Бора записао други низ бројева. Ивана Николић, VI1, ОШ Бора Станковић, Београд У троуглу АВС угао који граде симетрале спољашњих углова код темена В и С једнак је унутрашњем углу код темена А. Ако је угао код темена В за 13 већи од угла код темена С, упореди дужине страница троугла АВС. Решење. Означимо углове код темена А, В и С са α, β и γ, редом. Обележимо тачку пресека симетрала спољашњих углова код темена В и С са S. Посматрајмо β γ троугао ВСS. Углови код темена В и С једнаки су 90 и 90, па је угао 2 2 α α код темена S једнак 90. Како је по услову задатка 90 = α то је α = , а како је β = γ + 13, закључујемо да је β = и γ = и b > a > c. С γ γ 90 2 α 90 2 β 90 2 α β А В Александар Симић, VI2, ОШ Милица Стојадиновић Српкиња, Врдник Коста је написао програм који у сваком кораку изврши једну од операција: број помножи са 4 или број сабере са 5. У колико најмање корака можемо доћи до броја 2012, ако унесемо као почетни број 2? Решење. У 10 корака. Кренућемо од броја који треба да се добије, а то је број Он је дељив са 4, па може да се добије као производ броја 4 и 503. Даље, 503 није дељив са 4, па га не можемо добити када неки број помножимо са 4, већ сабирамо неки број са 5, а то је 498 и тако даље... (498 5 = 493, = 488, 488 : 4 = 122, = 117, = 112, 112 : 4 = 28, 28 : 4 = 7, 7 5 = 2). Урош Илић, VII1, ОШ Јован Јовановић Змај, Свилајнац Покажи да је дуж која спаја средишта основица трапеза једнака полуразлици основица, ако је збир углова на већој основици једнак правом углу. Решење. Нека је ABCD трапез који задовољава услове задатка (види слику). Тачка N је средиште основице CD и М средиште основице АВ. Повучемо дуж ЕN паралелно са АD и дуж FN паралелно са ВС. Ако су углови на дужој основици α и β, онда је NEF = α и NFE = β (као углови са паралелним крацима). Како је по услову задатка α + β = 90, то је у троуглу EFN трећи угао 90. Закључујемо S 35

38 КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ да је троугао EFN правоугли, а дуж МN је тежишна дуж која одговара хипотенузи ( јер је М средиште ЕF, ЕМ= a b и MF= a b ). Онда је EF a b MN= =. 2 2 D N C A B E M F Сања Васиљковић, VII5, ОШ Владислав Рибникар, Београд Дата је кружница k(o, r) и тачке A, B, C и D које припрадају датој кружници. Ако се праве AB и CD секу у тачки S, онда је AS BS = CS DS. Решење. Ако је тачка S у кругу k онда доказ следи из одабраног задатка C S D A B Ако је тачка S изван круга онда добијамо распоред као на слици. Како је ASC = BSD и како је ACS = DBS (као периферијски углови над тетивом AD), следи да је ASC BSD, јер имају два пара, а то значи све, одговарајуће углове једнаке. Из сличности троуглова следи да је AS : CS = DS : BS, па је AS BS = CS DS. Стеван Војиновић, VIII2, OШ Јован Јовановић Змај, Панчево Одреди збир свих решења неједначине: x x + x x + x Решење. Ако је x < 0, онда је x = x, па се из x x + x x + x 2012 добија x x + x x x Следи да је x x + x 2012, па је x x x Коначно се добија да је x 2012, па су решења дате неједначине сви негативни реални бројеви x такви да је 2012 x < 0. Ако је x 0, онда је x = x, па се из x x + x x + x 2012 добија x x + x x + x Следи да је x x + x 2x 2012, па је x x + x Коначно се добија да је x 2x = x 2012, па су решења дате неједанчине сви реални бројеви x такви да је 0 x

39 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Закључујемо да свако решење a > 0 из другог интервала има одговарајући број а < 0 из првог интервала, тј. да је збир свих решења дате неједначине једнак 0. Андрија Петрић, VIII1, OШ Влада Аксентијевић, Београд НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Ова рубрика је, као и конкурсни задаци, позив свим нашим читаоцима за такмичење. У сваком броју нашег листа дајемо један задатак за сваки разред. Из сваког разреда, пет најуспешнијих решавалаца биће награђено. Упутство за слање решења налази се на страни 48. Наградни задатак бр. 375 (за ученике III разреда) Када једна права сече кружницу у две тачке, онда је одговарајући круг подељен на два дела. Када две праве секу кружницу (свака у две тачке), онда је одговарајући круг подељен на 3 или 4 дела. Како треба нацртати 4 праве тако да свака од њих сече једну кружницу у две тачке и тако да је одговарајући круг подељен на: а) најмањи могући број делова; б) највећи могући број делова; в) тачно 6 делова? Наградни задатак бр. 376 (за ученике IV разреда) Три пријатеља желе да поделе 7 пуних, 7 напуњених до половине и 7 празних чаша лимунаде тако да сваки добије исту количину лимунаде и исти број чаша. Како то могу да ураде а да се не врши пресипање из чаше у чашу? Наградни задатак бр. 377 (за ученике V разреда) Свако слово замени неком цифром (различита слова различитим цифрама) тако да сабирање УДАР + УДАР = ДРАМА буде тачно. Наградни задатак бр. 378 (за ученике VI разреда) Конструиши троугао АВС ако је a = 6cm, α + γ = 120 и полупречник уписане кружнице r = 1,5cm. Наградни задатак бр. 379 (за ученике VII разреда) Коста прави фигуре од шибица на следећи начин:... 37

40 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ На слици су представљене фигуре са једним, два и три спрата. Колико шибица му је потребно за фигуру која ће имати 40 спратова? Наградни задатак бр. 380 (за ученике VIII разреда) Одреди све троцифрене бројеве који су 25 пута већи од збира својих цифара. РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 369 (МЛ XLVII-1) Решење. Како су 2 разгледнице за 60 динара скупље од две поштанске маркице, то се цена једне маркице израчунава на следећи начин: ( ) : 6 = 120 : 6 = 20. Дакле, цена једне маркице је 20 динара, а једне разгледнице 50 динара. Награђени Маја Шкорић, III2, ОШ Светолик Ранковић, Аранђеловац Владимир Ненадић, III2, ОШ Јајинци, Јајинци Карла Пејић, III, ОШ Доситеј Обрадовић, Ћићевац Сташа Вељковић, III5, ОШ Стефан Немања, Ниш Валентина Милетић, III, ОШ Велизар Станковић Корчагин, Велики Шиљеговац РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 370 (МЛ XLVII-1) Решење. Ако је а дужина дуже странице, а b дужина краће странице, онда је обим већег квадрата 4а + 4b, а обим мањег 4а 4b. Дакле, обим те фигуре је 4а + 4b + 4а 4b = 8а. Лако рачунамо да је а = 1000, а затим и b = 6. Награђени Марија Ристић, IV1, ОШ Бошко Ђуричић, Јагодина Алекса Милинчић, IV2, ОШ Бане Миленковић, Ново Село Маја Јовановић, IV6, ОШ Душан Радовић, Ниш Јован Бјеговић, IV2, ОШ Влада Аксентијевић, Београд Тодор Остојић, IV4, ОШ Младост, Београд РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 371 (МЛ XLVII-1) Решење. Број одељења у школи је 672 : 24 = 28. Укупан број часова свих одељења је = 700. Сваки наставник треба да одржи 20 часова недељно, па у школи ради 700 : 20 = 35 наставника. Награђени Александар Стојковић, V3, OШ Синиша Јанић, Власотинце Ђорђије Рашковић, V2, ОШ Петар Петровић Његош, Врбас Емилија Недељковић, V2, ОШ Јован Јовановић Змај, Брус Јелена Нешковић, V2, ОШ Рајак Павићевић, Бајина Башта Катарина Бугарин, V1, ОШ Жарко Зрењанин, Банатско Ново Село 38

41 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 372 (МЛ XLVII-1) Решење. Израз можемо записати у облику 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + ( 6 + 7) + ( 8 + 9) +... Вредност сваког израза у загради је 1. Ако се израз састоји од броја 1 и n заграда тада је последњи записани број 2n + 1, па важи: 1 + n = 2n , одакле је n = 2012, па је последњи записани број У случају када израз садржи паран број чланова, задатак нема решења. Награђени Стеван Аџић, VI2, ОШ Краљ Александар I, Горњи Милановац Никола Ристић, VI4, ОШ Бошко Ђуричић, Јагодина Петар Војиновић, VI2, ОШ Јован Јовановић Змај, Панчево Божидар Стојковић, VI3, ОШ Први мај, Владимировац Бриндза Маћаш, VI1, ОШ Петефи Шандор, Дорослово РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 373 (МЛ XLVII-1) Решење. a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = Како је a онда je a 44. За a = 44 (исто је и са негативним бројевима) добићемо b 2 + c 2 + d 2 = 76; b 2 76 онда b 8, за b = 8 добићемо c 2 + d 2 = 12, што је немогуће у скупу Z. Слично можемо показати да ни за једно b 8 није могуће одредити c и d. Онда разматрамо за a = 43, b 2 + c 2 + d 2 = 163, b 2 163, b 12. Лако можемо проверити да решење постоји за b = 9, а онда је c = 9 и d = 1. Дакле, једно од решења је 2012 = Награђени Мартин Пошмуга, VII4, ОШ Учитељ Таса, Ниш Милица Теохаревић, VII3, OШ Доситеј Обрадовић, Умка Никола Милев, VII2, ОШ Свети Сава, Владичин Хан Нина Николић, VII4, ОШ Петар Петровић Његош, Зрењанин Стефан Кечина, VII2, ОШ Десанка Максимовић, Ковин РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНИ ЗАДАТАК БР. 374 (МЛ XLVII-1) x1+ x3 Решење. Нека је x1 = a и x2 = b. Тада је = x2, тј. a + x3 = 2b, па је x3 = 2b a. 2 Слично је x2 + x4 = 2x3, па је x4 = 2x3 x2 = 4b 2a b = 3b 2a. Даље је x3 + x5 = 2x4, па је x5 = 2x4 x3 = 6b 4a (2b a) = 4b 3a. И још даље је x4 + x6 = 2x5, па је x6 = 2x5 x4 = 8b 6a (3b 2a) = 5b 4a. Закључујемо да је xn = (n 1)b (n 2)a. Дакле, x11 = 10b 9a и x12 = 11b 10a. Како је x11 + x1 = 2x12, то је 10b 9a + a = 2 (11b 10a), то је 10b 8a = 22b 20a, па је 12a = 12b, тј. a = b. То значи да је xn = (n 1)b (n 2)a = (n 1)a (n 2)a = a, што значи да су свих 12 бројева међусобно једнаки. Како је x1 + x x12 = 12a = 2012, то је a= = =

42 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Награђени Данко Ђорђевић, VIII, ОШ при Првој крагујевачкој гимназији, Крагујевац Ивана Ђурђев, VII1, ОШ Ђура Јакшић, Чуруг Стеван Војиновић, VIII2, ОШ Јован Јовановић Змај, Панчево РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА НАГРАДНЕ ЛЕТЊЕ ЗАДАТКЕ (МЛ XLVI-5) Трећи разред Замени слова цифрама (различита слова различитим, а иста слова истим цифрама) тако да следеће обе једнакости MA MA = MIR AM AM = RIM буду тачне. Решење. Из прве једнакости јасно је да је M = 1, а из друге да је A 3. Не може бити A = 2, јер је = 144, па је А = 3. Решење ребуса је: = 169, = 961. Награђени Владан Королија, III1, OШ Владислав Рибникар, Београд Тодор Остојић, III4, OШ Младост, Нови Београд Павле Добић, III1, ОШ Попински борци, Врњачка Бања Марија Стојиљковић, III1, OШ Петар Петровић Његош, Зрењанин Анђела Минашевић, II3, OШ Живадин Апостоловић, Трстеник Димитријње Гламочанин, III3, OШ Доситеј Обрадовић, Пожаревац Милица Ђурђевић, III1, OШ Петар Петровић Његош, Зрењанин Четврти разред У низу бројева (а) AABB, CDD, CB, B; (б) ABB, CAA, CB, B сваки члан, почев од другог, једнак је производу цифара претходног. Одреди први члан низа. У поставци задатка су цифре замењене словима (једнаке једнаким, различите различитим). Решење. (а) Лако се види да је С = 1 и да онда мора бити D = 4. Даље се лако одређују све цифре. Низ је 2266, 144, 16, 6. (б) 466, 144, 16, 6. Награђени Златан Васовић, IV3, ОШ Свети Сава, Чачак Невена Денић, IV1, ОШ С. М. Мика, Ниш Никола Васић, IV4, OШ Иво Андрић, издвојено одељење, Ниш Ања Бећировић, IV1, OШ Јован Цвијић, Дебрц Душан Јанковић, IV4, OШ Мома Станојловић, Крагујевац 40

43 НАГРАДНИ ЗАДАЦИ Пети разред За нечији рођендан кажемо да је прост ако слављеник тога дана пуни прост број година. Професор шумарског факултета Примоје Буквић и његова ћерка Јасенка имају рођендан истог дана. Десило се да су седам узастопних простих рођендана професора Буквића били и прости рођендани његове ћерке. Дан пре следећег простог рођендана пала је буква на професоров ауто и убила га на месту. Колико година је живео професор Буквић! Решење. 59. Седам заједничких простих рођендана професора и његове ћерке су: професор (ћерка): 29 (5), 31 (7), 37 (13), 41 (17), 43 (19), 47 (23), 53 (29). Следећи прост професоров рођендан је 59, уочи кога је професор трагично скончао. Решење редакције Шести разред Перина плата је повећана за p процената, а Јоцина смањена за q процената. После тога је Пера имао плату као раније Јоца, а Јоца као раније Пера. 1) Одреди q ако је познато p. 1) Одреди p ако је познато q. Решење. (а) Нека је на почетку Перина плата била a, а Јоцина b. Имамо: (1 + p)a = b, (1 q)b = a. Множењем добијамо да је b = (1 + p)(1 q)b, тј. (1 + p)(1 q) = 1. Одавде p q добијамо да је q=. (б) p=. 1 + p 1 q Награђени Адриана Васовић, VI2, ОШ Свети Сава, Чачак Стефан Степановић, VI3, OШ Јован Цвијић, Лозница Седми разред Доказати да се дијагонале A1A5, A2A7 и A3A11 правилног четрнаестоугла А1А2...А14 секу у једној тачки. Решење. Посматрати кружницу описану око датог правилног четрнаестоугла. Лако се види да су A1A5, A3A11 и A7A2 симетрале углова троугла A1A3A7. Награђени Данко Ђорђевић, VII, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац Осми разред Квадрат странице a = 30 је заједничка доња основа правилне четворостране призме и правилне четворостране пирамиде при чему је врх пирамиде у центру горње основе призме. Одреди запреминну пирамиде ако се зна да је површина омотача пирамиде два пута већа од површине омотача призме. Решење. Нека је H заједничка висина призме и пирамиде, а h висина бочне стране пирамиде. Тада је површина омотача призме Ppr = 120 H, a површина омотача пирамиде Ppir 1 = 120 h. Следи да је h = 4H. С друге стране, h је хипотенуза, а H 2 41

44 ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ a катета правоуглог троугла чија је друга катета = 15, па применом Питагорине 2 теореме на тај троугао налазимо да је H= 15. Одатле је Vpir 2 = a H= Награђени Димитра Јездимировић, VIII4, OШ Стојан Новаковић, Блаце Тамара Бошњаковић, VIII1, OШ Краљ Александар I, Горњи Милановац ЗАДАТАК СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ Одреди: а) највећу; б) најмању вредност збира: ВЕРА + РАТКО + НЕНAД + БРАНКО Свако слово замени цифром (различита слова различитим, а иста слова истим цифрама). РЕШЕЊE ЗАДАТКА СА НАСЛОВНЕ СТРАНЕ ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА (МЛ XLVII-1) Дато сабирање је збир два иста петоцифрена броја, при чему се као резултат добија петоцифрен број са различитим цифрама, па I може да се замени једино са 1, 2, 3 или 4. Даље, можемо закључити да слово А можемо заменити парним цифрама 0, 2, 4, 6 или 8, слова Т, I и Š не можемо заменити нулом итд. Нека од решења су: = 29630, = 29036, = 70268, = 70862, = 71864, = 62870, = 68270, = 87092, = 93082, = 82690, = 90682, = 83092, = Награђени Богдан Миловановић, III1, OШ Милинко Кушић, Ивањица Никола Даниловић, IV2, OШ Рашка, Рашка Сандра Смиљковић, V4, ОШ Вук Караџић, Крушевац Момчило Мицић, V5, OШ Браћа Недић, Осечина Милица Тубин, VI1, OШ Никола Тесла, Београд Кристина Марјановић, VI1, OШ Јован Цвијић, Костолац Урош Илић, VII1, OШ Јован Јовановић Змај, Свилајнац Дејан Тодоровић, VII1, OШ Иван Вушовић, Ражањ Исидора Бикицки, VIII1, OШ Петар Петровић Његош, Врбас Алекса Ђекић, VIII2, OШ Јован Поповић, Крагујевац 42

45 ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ РЕЗУЛТАТИ КОНКУРСА ЗА СПЕЦИЈАЛНИ ЗАДАТАК БРОЈ 65 (МЛ XLVII-1) Решење. Разлика два троцифрена узајамно симетрична броја, нпр. Т1 = 100а + 10b + с и Т2 = 100с + 10b + а, je: Т1 Т2 = 100а + с (100с + а) = 99(а с). Цифре а и с су различите од 0. Ако су цифре a и c различите тада је а с минимално 1, а максимално 8, што значи да је најмања могућа разлика Т1 Т2 = 99 1 = 99, а највећа Т1 Т2 = 99 8 = 792. Ако су цифре a и c једнаке, онда је тражена минимална разлика 0. Награђени Божидар Стојковић, VI3, ОШ Први мај, Владимировац Филип Херчек, VI1, OШ 15.октобар, Пивнице Александар Симић, VI2, OШ Милица Стојадиновић Српкиња, Врдник Анђела Минашевић, III3, OШ Живадин Апостоловић, Трстеник Адриана Васовић, VII2, ОШ Свети Сава, Чачак Марина Тубин, V1, OШ Никола Тесла, Београд Павле Ристић, V2, OШ Учитељ Таса, Ниш Каролина Буздика, VII1, ОШ Жарко Зрењанин, Банатско Ново Село Данко Ђорђевић, VIII, Прва крагујевачка гимназија, Крагујевац Предраг Цветковић, VII1, OШ Ђура Јакшић, Јелашница ЗАДАТАК ЗА РОДИТЕЉЕ Р34. У краљевству Јутутуту краљ тринаести Балакаха обећао свом народу да ће извршити монетарну реформу. Он жели да број типова новчаница (по вредности) буде што мањи, а да се при томе свака сума од 1 до 25 може исплатити са највише 2 новчанице (истих или различитих вредности). Колико типова новчаница је потребно одштампати? РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Р33. Мама је дала Васи новац за куповину 30 оловака. Десило се да је у трговинском центру била у току рекламна акција: у замену за купон о куповини 20 оловака, на излазу враћају 25% уплаћене суме, а за куповину 5 оловака враћају 10% уплаћене суме. Колико највише оловки може да купи Васа за суму коју је добио за куповину 30 оловки? Решење Р33. Приметимо да је 25% од цене 20 оловки једнако цени 5 оловки, а 10% од цене 5 оловки је половина цене једне оловке. За добијање максималног попуста Васа треба да поступи овако: 1. Све док је могуће купује 20 оловки и одмах трчи да мења купон на излазу. 43

46 ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ 2. Ако недостаје новац за 20 оловки, али доста је за 5 оловки, он купује 5 оловки и одмах мења купон на излазу. 3. После тога купује појединачне оловке. Поступајући тако, Васа прво купује 20 оловки, добија на излазу новац за 5 оловки. Затим купује три пута по 5 оловки и на излазу добија новац вредности 1,5 оловки. За тај новац купује још једну оловку и још му остаје пара за један мањи сладолед. Дакле, Васа може да купи 36 оловки. За решење задатка награђен је Душко Галић, Здравка Челара 167, Футог. Решења су послали још и Биљана Марковић Николић, Београд и Александар Стојковић, Београд. ЗАДАТАК ЗА НАСТАВНИКЕ Н34. Да ли је број прост или сложен? РЕШЕЊЕ ЗАДАТКА ИЗ ПРОШЛОГ БРОЈА Н33. Растојање између градова А и В је 15000km, а растојање између градова В и С је 10000km. Колико највише, а колико најмање може да износи растојање између градова А и С? Претпостављамо да је површ Земље идеална сфера и да дужина екватора износи 40000km. Решење Н33. Уз претпоставку да је површ Земље идеална сфера, можемо град А сместити на јужни пол. Тада се град В налази на 45 северне географске ширине. Претпоставимо да је он на нултом (гриничком) меридијану (на југозападу Француске). Град С се тада налази на кружници чији је центар у пресеку нултог меридијана и упоредника на 45 северне географске ширине (тачка В), а дужина полупречника (мерено по површини Земље) износи километара. Та кружница додирује посматрани упоредник у његовој дијаметрално супротној тачки (на 180 географске дужине), а сече нулти меридијан на 45 јужне географске ширине. Прва од тих тачака је тачка посматране кружнице на највећем растојању од јужног пола, које износи километара (налазе се у северном Пацифику, јужно од Алеутских острва). Друга тачка (у јужном делу Атлантског океана) је тачка кружнице на најмањем растојању од јужног пола, које износи километара. За решење задатка награђен је Велибор Минашевић, ОШ Васа Пелагић, Падеж. Решење које дајемо је његово мало модификовано решење. 44

47 ПРЕДЛОГ КАЛЕНДАРА ТАКМИЧЕЊА ПРЕДЛОГ КАЛЕНДАРА ТАКМИЧЕЊА ИЗ МАТЕМАТИКЕ УЧЕНИКА ОСНОВНИХ ШКОЛА У 2012/13. ГОДИНИ Школско такмичење Општинско такмичење Окружно такмичење Државно такмичење Српска математичка олимпијада Јуниорска балканска олимпијада крај јуна Међународно математичко такмичење Кенгур без граница 21. март (четвртак) у 10:00 часова јединствено време у целој Европи ПРЕДЛОГ КАЛЕНДАРА ТАКМИЧЕЊА ИЗ РАЧУНАРСТВА УЧЕНИКА ОСНОВНИХ ШКОЛА У 2012/13. ГОДИНИ Општинско такмичење Окружно такмичење Државно такмичење Српска информатичка олимпијада Јуниорска балканска олимпијада јула

48 ЕНИГМАТСКА СТРАНА Ратко Тошић, Нови Сад Задаци Често се у занимљивим задацима римски бројеви представљају помоћу палидрваца, при чему се до траженог решења долази премештањем неких од палидрваца. У следећим задацима представљамо помоћу палидрваца арапске бројеве, при чему се арапске цифре записују у облику уобичајеном за представљање тих цифара на дисплеју дигитрона или дигиталног часовника. 1. Премести једно палидрвце тако да од броја 8024 добијеш највећи могући број. 2. Премести два палидрвца тако да од броја 8643 добијеш највећи могући број. 3. Премести три палидрвца тако да од броја 8664 добијеш највећи могући број. 4. Премести четири палидрвца тако да од броја 4737 добијеш највећи могући број. 5. Премести пет палидрваца тако да од броја 5819 добијеш највећи могући број. Решење задатака из претходног броја = Приметимо следеће: Ако је бар један одговор Нула, онда у том друштву постоји бар један витез. (Из претпоставке да су сви лажови следи да је онај који је дао одговор Нула рекао истину. Контрадикција.) Дакле, у нашем друштву је барем један витез. Претпоставимо да су у друштву бар два витеза. Тада је немогуће да сви дају одговор Нула. Дакле, у друштву је тачно један витез. (Заиста, ако је у друштву тачно један витез, онда ће на постављено питање сви одговори бити Нула.) 46

49 47

50 УПУТСТВО ЗА РЕШАВАОЦЕ Решења можете слати на два начина: Елекронском поштом на адресу: Откуцана решења (Word 2003 или LaTex) морају сaдржати образложење и прецизно нацртане слике. У поруци обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика слати у одвојеним порукама којима у Subject-у стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр На пример: Као и до сада стандардном поштом. Решења писати читко, сваки задатак на посебном листу уз обавезно образложење и прецизно нацртане слике. На сваком листу обавезно написати име и презиме, разред и одељење, назив школе, адресу школе и место, као и кућну адресу и место. Задатке из различитих рубрика стављати у засебне коверте на којима стоји назив рубрике: Задатак са насловне стране или Конкурсни задатак бр На пример: To: Subject: Конкурсни задатак бр Име и презиме, одељење, школа, адреса школе, место, кућна адреса, поштански број, место. Математички лист Задатак са насловне стране Кнез Михаилова 35/IV, п.п Београд Решења која не испуњавају наведене услове неће се узимати у обзир. Решења задатака из овог броја послати најкасније до ВАЖНО ОБАВЕШТЕЊЕ ЗА ТАКМИЧАРЕ И ЊИХОВЕ НАСТАВНИКЕ Друштво математичара Србије, односно Комисија за тамичење из математике ученика основних школа, у припреми задатака за такмичења користи задатке из Математичког листа текуће, као и две претходне школске године (у обзир долазе сви задаци, дакле из чланака, припремни, одабрани, конкурсни, наградни, као и задаци са такмичења), и то по принципу: најмање 3 задатка за школски, најмање 2 задатка за општински и најмање 1 задатак за окружни ниво такмичења. У тим задацима неки од података могу бити промењени. 48