7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina"

Transcript

1 Poglavlje 7 Stereometrija Stereometrijom nazovamo geometriju (trodimenzionalnog euklidskog) prostora. Osnovni elementi prostora su točke, pravci i ravnine. Aksiome geometrije prostora nećemo navoditi. 7.1 Međusobni položaji točaka, pravaca i ravnina Dvije točke mogu se podudarati i razlikovati. Točka i pravac mogu biti u ovim međusobnim položajima: a) točka T leži na pravcu p, b) točka T leži izvan pravca p. Točka i ravnina mogu biti u ovim međusobnim položajima: a) točka T leži u ravnini π, b) točka T leži izvan ravnine π. Dva pravca mogu biti u sljedećim međusobnim položajima: a) pravci p 1 i p 2 se podudaraju, b) pravci p 1 i p 2 su paralelni i različiti, c) pravci p 1 i p 2 se sijeku, d) ništa od ranije navedenog. U posljednjem slučaju pravci nisu paralelni i ne sijeku se. Za takve pravce kažemo da su mimosmjerni ili mimoilazni. Dvije ravnine mogu biti u ovim međusobnim položajima: a) ravnine π 1 i π 2 se podudaraju, b) ravnine π 1 i π 2 su paralelne i različite, c) ravnine π 1 i π 2 se sijeku. U posljednjem slučaju presjek ravnina π 1 i π 2 je pravac. 1

2 Pravac i ravnina u prostoru mogu biti u sljedećim međusobnim položajima: a) pravac p leži u ravnini π, b) pravac p i ravnina π se ne sijeku, c) pravac p probada ravninu π. Ako se pravac i ravnina ne sijeku, oni su paralelni. Ako pravac probada ravninu, njihov presjek je jedna točka. Uočimo i ovo: Ako dvije različite točke pravca p leže u ravnini π, onda pravac p leži u ravnini π. Paralelnost U navedenim međusobnim odnosima više puta se pojavila riječ "paralelni". Ovdje želimo precizno definirati te pojmove. Ranije smo definirali da su dva pravca u ravnini paralelna ako se podudaraju ili se ne sijeku. U geometriji prostora, tu definiciju moramo modificirati: Dva pravca u prostoru su paralelna ako se podudaraju, ili se ne sijeku ali leže u istoj ravnini. Definira se i paralelnost pravca i ravnine te paralelnost dviju ravnina. Dvije ravnine u prostoru su paralelne ako se ne sijeku ili se podudaraju. Za pravac i ravninu u prostoru kažemo da su paralelni ako se ne sijeku ili pravac leži u ravnini. Uočimo sljedeće: Ako je pravac p paralelan s ravninom π, onda u ravnini π postoji pravac paralelan s pravcem p. Određenost ravnine Ako su dani: a) tri nekolinearne točke b) pravac i točka koja ne leži na tom pravcu c) dva pravca koja se sijeku d) dva različita paralelna pravca onda postoji jedinstvena ravnina koja ih sadrži. U prvom slučaju ne treba posebno naglašavati da te tri točke trebaju biti različite, jer to slijedi iz nekolinearnosti. Podsjetimo se: Točke su kolinearne ako leže na istom pravcu. Dakle, točke su kolinearne ako postoji pravac na kojem sve te točke leže. Dvije točke su uvijek kolinearne. Točke su komplanarne ako leže u istoj ravnini. Tri točke su uvijek komplanarne. 2

3 Mimosmjernost / mimoilaznost Umjesto da kažemo dva pravca su mimosmjerna (mimoilazna) ako se ne sijeku i nisu paralelni možemo definirati: Za dva pravca kažemo da su mimosmjerni (mimoilazni) ako ne postoji ravnina u kojoj leže oba pravca. 7.2 Okomitost Okomitost pravaca Podsjetimo se, za dva pravca u ravnini kažemo da su okomiti ako zatvaraju pravi kut. To je kut koji je jednak (sukladan, iste mjere) svom sukutu. Sada želimo tu definiciju proširiti i na pravce koji ne leže u istoj ravnini, dakle na mimosmjerne pravce. Neka su p i q dva mimosmjerna pravca. Odaberimo jednu točku A na pravcu p. Kroz tu točku prolazi točno jedan pravac paralelan s pravcem q (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo taj pravac sa q 1. Kažemo da su pravci p i q okomiti ako su pravci p i q 1 okomiti. Ako su pravci p i q okomiti, pišemo p q. Kasnije ćemo na sličan način definirati i kut između mimosmjernih pravaca. Pravci p i q 1 se sijeku u točki A pa leže u istoj ravnini, te znamo odrediti jesu li oni okomiti ili nisu. Ipak, nismo još sigurni da je ova definicija dobra. Što bi bilo da smo umjesto točke A uzeli neku drugu točku B pravca p i kroz nju povukli paralelu q 2 s pravcem q? Recimo da vrijedi q 1 p, da li je nužno i q 2 p? Da, jer iz q 1 q, q 2 q slijedi q 1 q 2 (dokažite to!), a za pravce p, q 1, q 2 koji leže u istoj ravnini, zbog q 1 q 2, ekvivalentne su tvrdnje q 1 p i q 2 p. Dakle, svejedno je koju točku pravca p odaberemo. Možemo li zamijeniti ulogu pravaca p i q? Tj. ako je p q, da li je i q p? Dokažimo da je relacija simetrična. Treba provjeriti hoćemo li dobiti isti rezultat i ako odaberemo točku B na pravcu q, kroz nju postavimo paralelu p 1 s pravcem p te utvrdimo jesu li q i p 1 okomiti. Vrijedi p 1 p i q 1 q, pa je p q p q 1 q 1 p q p 1 q p. Pritom ekvivalencija q 1 p q p 1 vrijedi jer su p i q 1 pravci u jednoj ravnini, a pravci p 1 i q njima paralelni pravci u paralelnoj ravnini. Dokažite to svojstvo! 3

4 Okomitost pravca i ravnine Kažemo da je pravac p okomit na ravninu π ako je okomit na svaki pravac te ravnine. Postavlja se pitanje: treba li zaista gledati baš sve pravce u toj ravnini? Ne! Jasno je da je dovoljno gledati samo pravce koji prolaze ishodištem. No, dokazat ćemo puno više od toga: dovoljno je promatrati dva neparalelna pravca! Teorem 1. Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na neka dva neparalelna pravca te ravnine. Dokaz. Neka je π ravnina i p pravac koji probada tu ravninu u točki T. Neka su a i b pravci u ravnini π koji su okomiti na pravac p. Zbog definicije okomitosti mimosmjernih pravaca možemo pretpostaviti da a i b prolaze kroz T. Želimo dokazati da je pravac p okomit na sve pravce ravnine π. Opet, dovoljno je to pokazati za pravce koji prolaze kroz T. Neka je q pravac koji leži u ravnini π i prolazi točkom T. Dokazat ćemo da je p q. Neka su P 1 i P 2 točke na pravcu p, s različitih strana ravnine π, takve da je T P 1 = T P 2. Odaberimo u ravnini π pravac koji ne prolazi kroz T i koji siječe pravce a, b i q redom u točkama A, B i Q. Promotrimo trokute AT P 1 i AT P 2. Oni su sukladni (zašto?), pa zaključujemo AP 1 = AP 2. Analogno dobivamo BP 1 = BP 2. Sada možemo zaključiti da je ABP 1 = ABP2, pa je ABP 1 = ABP 2 tj. QBP 1 = QBP 2. Dalje slijedi QBP 1 = QBP2, pa je P 1 Q = P 2 Q. Konačno, P 1 QP = P 2 QP, pa je P 1 P Q = P 2 P Q. Kako su to sukuti, to su pravi kutovi i time smo dokazali da je p q. Primijetimo da je ravnina određena jednom svojom točkom i nekim pravcem koji je okomit na nju. Okomitost dviju ravnina Definicija: Kažemo da je ravnina okomita na drugu ravninu ako sadrži pravac koji je okomit na tu ravninu. Simbolima zapisano: π 1 π 2 ( p π 1 ) p π 2. Neka je π 1 π 2. Dokažimo da je tada i π 2 π 1. Prema definiciji, u ravnini π 1 postoji pravac p koji je okomit na π 2. Neka p probada ravninu π 2 u točki O, neka je p neki drugi pravac kroz O u ravnini π 1. Trebamo naći pravac q u ravnini π 2 koji je okomit na p i na p. Ravninu okomitu na p kroz O nazovimo σ. Kako je p p, vrijedi σ π 2. Obje ravnine sadrže točku O, pa se sijeku po pravcu. Nazovimo taj pravac q. Pravac q leži u ravnini σ pa je okomit na p, jer je p σ. S druge strane q leži u π 2, a p π 2, pa je q okomit na p. Dokazali smo da je q okomit na dva različita pravca p i p, pa je okomit i na ravninu određenu tim pravcima, tj. na ravninu π 1. Time je dokaz završen. 4

5 Primijetimo da za danu točku T i danu ravninu π postoji jedinstven pravac kroz T koji je okomit na ravninu π. Definicija: Ortogonalna projekcija točke T na ravninu π je probodište ravnine π i pravca q koji prolazi kroz T i okomit je na π. Što je ortogonalna projekcija pravca na ravninu? Po definiciji, to je skup ortogonalnih projekcija svih točaka pravca. Ortogonalna projekcija pravca na ravninu je najčešće pravac. Ortogonalna projekcija pravca okomitog na ravninu je jedna točka. Teorem o tri normale Teorem 2 (Teorem o tri normale). Ako je ortogonalna projekcija p pravca p na ravninu π okomita na neki pravac q te ravnine, onda je i pravac p okomit na q. Vrijedi i obratno, ako je p okomit na q, onda je p okomit na q. Dokaz. Treba dokazati da je p q p q. Neka je T točka u kojoj pravac p probada ravninu π. Neka je A bilo koja druga točka pravca p i A njena projekcija na ravninu. Pravac AA je normala ravnine π, označimo ga sa n. Pravac n okomit je na ravninu π, odnosno na svaki pravac u toj ravnini. Dokažimo najprije p q p q. Neka je p q. Kako je i n q, slijedi da je pravac q okomit na ravninu koja sadrži n i p, a to je ravnina određena točkama A, A i T. Stoga je pravac q okomit na pravac AT, tj. q p. Slično se dokazuje da p q p q: Neka je p q. Kako je q n, pravac q okomit je na ravninu određenu točkama A, A i T. Pravac p leži u toj ravnini, pa je q p. 7.3 Kut Kut između dva pravca Znamo odrediti kut između dvaju pravaca u ravnini. Kut između dva mimosmjerna pravca definira se slično kao okomitost mimosmjernih pravaca. Definicija: Neka su p i q dva mimosmjerna pravca. Odaberimo jednu točku A na pravcu p. Neka je q 1 pravac kroz točku A koji je paralelan s pravcem q. Kut između pravaca p i q definira se kao kut između p i q 1. Kut između paralelnih pravaca je 0, a kut između okomitih pravaca 90. U svim ostalim slučajevima, kut između pravaca je između te dvije vrijednosti. Kut između pravca i ravnine Kut između pravca i ravnine definira se kao kut između pravca i njegove ortogonalne projekcije na tu ravninu. Ovo naravno ima smisla samo ako je ortogonalna projekcija pravac. Ako je pravac okomit na ravninu, kut između pravca i ravnine je 90. Ako su pravac i ravnina paralelni, kut između njih je 0. 5

6 Kut između dvije ravnine Ako su ravnine paralelne, kut je 0. Neka se dvije ravnine π 1 i π 2 sijeku duž pravca p, i neka je σ bilo koja ravnina okomita na pravac p. Ravnina σ siječe ravninu π 1 duž pravca q 1, a ravninu π 2 duž pravca q 2. Kut između ravnina π 1 i π 2 definira se kao kut između pravaca q 1 i q 2. Uočimo da su pravci q 1 i q 2 okomiti na pravac p. 7.4 Udaljenost Neka su A i B dva skupa točaka u ravnini. Udaljenost tih skupova je "najmanja" udaljenost među točkama tog skupa. Malo preciznije: d(a, B) = inf {d(a, B) A A, B B}. Za naše potrebe, skupovi A i B su zatvoreni, pa se infimum može zamijeniti s minimumom. Udaljenost dvije točke je duljina dužine kojoj su te točke krajevi. Udaljenost točke od pravca je udaljenost te točke od njene ortogonalne projekcije na taj pravac. Dokažite to! Udaljenost točke od ravnine je udaljenost te točke od njene ortogonalne projekcije na tu ravninu. Uvjerite se u to! Udaljenost dva pravca. Udaljenost dvaju paralelnih pravaca je udaljenost jedne (bilo koje) točke prvog pravca od njene ortogonalne projekcije na drugi pravac. Udaljenost dvaju mimosmjernih pravaca postiže se na njihovoj zajedničkoj normali, tj. ako je n zajednička normala pravaca a i b, i ako n siječe pravac a u točki A, a pravac b u točki B, onda je d(a, b) = d(a, B). Zajednička normala dvaju pravaca je pravac koji je okomit na oba pravca. Svaka dva pravca imaju zajedničku normalu. Za mimosmjerne pravce ona je jedinstvena. Ako se pravci sijeku, udaljenost između njih je nula. Udaljenost pravca od ravnine Ako je pravac paralelan s ravninom, njihova udaljenost jednaka je udaljenosti bilo koje točke pravca od ravnine. Ako se pravac i ravnina sijeku, udaljenost među njima je nula. Udaljenost dvije ravnine Udaljenost dviju paralelnih ravnina jednaka je udaljenosti bilo koje točke prve ravnine od druge ravnine, tj. od njene ortogonalne projekcije na drugu ravninu. Ako se dvije ravnine sijeku, udaljenost među njima je nula. 6

7 7.5 Poliedri i obla tijela Konveksni poliedri Poliedar je geometrijsko tijelo koje zatvaraju barem četiri mnogokuta od kojih nikoja dva susjedna nisu u istoj ravnini. Ti mnogokuti se nazivaju strane poliedra, stranice tih mnogokuta se nazivaju bridovi poliedra, a vrhovi svakog od tih mnogokuta se nazivaju vrhovi poliedra. Iz definicije izravno slijedi da se svake dvije strane poliedra ili ne sijeku ili imaju samo jedan zajednički vrh ili imaju samo jedan zajednički brid. Mi ćemo uglavnom proučavati konveksne poliedre. Svaki konveksni poliedar je presjek konačnog broja poluprostora. Neka su u dvjema različitim paralelnim ravninama dana dva međusobno sukladna poligona s paralelnim odgovarajućim stranicama. Poliedar određen tim poligonima i spojnicama odgovarajućih vrhova tih poligona naziva se prizma. Ta se dva poligona zovu baze (osnovke) prizme, a spojnice odgovarajućih vrhova (sve su međusobno paralelne i sukladne) zovu se pobočni bridovi prizme. Dva susjedna pobočna brida i dva odgovarajuća brida baze čine paralelogram kojeg nazivamo pobočka prizme. Sve pobočke prizme čine njeno pobočje. Dužina koja spaja dva vrha prizme koji ne leže na istoj strani naziva se prostorna dijagonala prizme. Ako je baza prizme trokut (odnosno četverokut, peterokut,... ), govorimo o trokutnoj (odnosno četverokutnoj, peterokutnoj,... ) ili trostranoj (odnosno četverostranoj, peterostranoj,... ) prizmi. Uočimo da trokutna prizma ima pet strana: dvije osnovke i tri pobočke. Prizma kojoj su pobočni bridovi okomiti na ravnine baza naziva se uspravna prizma; inače se naziva kosa prizma. Bridovi uspravne prizme jednaki su njenoj visini, a pobočke uspravne prizme su pravokutnici. Uspravna prizma kojoj su baze pravilni poligoni naziva se pravilna prizma; njene pobočke su međusobno sukladni pravokutnici. Prizma kojoj su baze paralelogrami naziva se paralelepiped. Iz ove definicije slijedi da su sve strane paralelepipeda (ima ih šest) paralelogrami. Uspravni paralelepiped kojemu su baze pravokutnici naziva se pravokutni paralelepiped (kvadar). Definicija povlači da su sve strane pravokutnog paralelepipeda pravokutnici. Pravokutni paralelepiped kojemu su svi bridovi sukladni zove se kocka. Neka su zadani konveksni n-terokut A 1 A 2... A n u ravnini Π i točka V koja ne leži u Π. Poliedar određen tim n-terokutom i spojnicama točke V s vrhovima tog n-terokuta naziva se (n-terostrana ) piramida (za n = 3 trostrana piramida, za n = 4 četverostrana piramida,... ). Mnogokut A 1 A 2... A n naziva se baza (osnovka) piramide, točke A 1, A 2,..., A n nazivaju se vrhovi baze, a točka V vrh piramide. Stranice n-terokuta A 1 A 2... A n zovu se bridovi baze, a spojnice vrha V s vrhovima baze zovu se pobočni bridovi piramide. Trokut koji se sastoji od brida baze i dva odgovarajuća pobočna brida naziva se pobočka piramide. Sve pobočke piramide čine njeno pobočje. Spojnica vrha V i njegove ortogonalne projekcije na ravninu Π naziva se visina piramide. Za piramidu kažemo da je uspravna ako je ortogonalna projekcija vrha piramide središte baze (taj pojam ima smisla npr. kada je baza pravilni mnogokut ili pravokutnik). Kažemo da je piramida pravilna ako je uspravna, a baza joj je pravilni mnogokut. 7

8 Trostrana piramida naziva se tetraedar. Baza, ali i sve tri pobočke tetraedra su trokuti. Stoga se bilo koji od ta četiri trokuta može uzeti za bazu piramide. Piramidu presjecimo ravninom π 2 koja je paralelna ravnini njene baze π 1, tako da u ravnini π 2 dobijemo mnogokut koji je sličan bazi te piramide. Dio promatrane piramide omeđen ravninama π 1 i π 2 je krnja piramida. Njene baze su mnogokuti u tim dvjema ravninama. Njene pobočke su trapezi. Uočite da krnja piramida nije piramida! Teorem 3 (Eulerova formula). Za svaki konveksan poliedar vrijedi v b + s = 2, gdje je v broj njegovih vrhova, b broj bridova, a s broj strana. Dokaz. Zamislimo da je poliedar od rastezljive gume. Uklonimo jednu njegovu stranu i rastegnimo mrežu poliedra u ravninu, tako da bridovi uklonjene strane budu vanjski rubovi nastalog lika u ravnini. Kako nas zanima samo broj vrhova, strana i bridova, nije bitno što se pri rastezanju promijenio oblik. No, možemo postići da sve strane položene u ravninu ostanu mnogokuti, tj. da bridovi ostanu ravni. Odredit ćemo zbroj kutova u svim mnogokutima na nastaloj slici na dva načina. Neka su v, b i s redom broj vrhova, bridova i strana promatranog poliedra. Na slici je v vrhova, od kojih v 1 pripada uklonjenoj strani poliedra, pa su to vanjski vrhovi mnogokuta na slici. Preostalih v v 1 vrhova nalazi se u unutrašnjosti mnogokuta. Zato zbroj svih kutova možemo izračunati kao zbroj svih kutova jednog v 1 -terokuta i (v v 1 ) punih kutova: Z = (v 1 2) (v v 1 ) 360 = (2v v 1 2) 180. S druge strane, istu sumu možemo dobiti kao zbroj suma unutarnjih kutova svih "malih" mnogokuta na slici, nastalih od strana poliedra. Njih ima s 1, jer je jedna strana uklonjena. n 1, n 2,..., n s 1. Vrijedi Označimo brojeve njihovih vrhova s s 1 Z = (n i 2) 180 = (n 1 + n n s 1 2(s 1)) 180. i=1 Dakle, možemo izjednačiti n 1 + n n s 1 2(s 1) = 2v v 1 2. Pritom je n 1 + n n s 1 ukupan broj bridova na slici, ali su "unutarnji" brojani dvaput. Zato vrijedi n 1 + n n s 1 = 2b v 1. Uvrstimo li to u prethodnu jednakost, dobivamo: i konačno, v b + s = 2. (2b v 1 ) 2(s 1) = 2v v 1 2, 2b 2s + 2 = 2v 2, b s + 1 = v 1 8

9 Pravilni poliedri Kažemo da je konveksni poliedar pravilan ako su mu sve strane sukladni pravilni mnogokuti, a u svakom se vrhu sastaje jednako mnogo bridova. Odredimo sve konveksne poliedre. Strane konveksnog poliedra mogu biti jednakostranični trokuti, kvadrati ili pravilni peterokuti, ali ne šesterokuti, sedmerokuti,... U jednom vrhu može se sastati 3, 4 ili najviše 5 jednakostraničnih trokuta, te najviše tri kvadrata ili pravilna peterokuta. Zaključujemo postoji pet pravilnih tijela. Nazivi kao i ukupan broj bridova, vrhova i strana tih poliedara navedeni su u tablici. naziv v b s strane (pravilni) tetraedar trokuti (pravilni) oktaedar trokuti (pravilni) ikosaedar trokuti kocka (heksaedar) kvadrati (pravilni) dodekaedar peterokuti Pravilne poliedre zovemo i Platonova tijela. Obla tijela Neka je K = K(S, r) krug u ravnini Π te neka je S točka u ravnini Π paralelnoj sa Π. Skup svih točaka koje pripadaju dužinama T T paralelnim i sukladnim sa SS, pri čemu je T bilo koja točka kruga K, a T Π, naziva se valjak. Krugove K(S, r) i K(S, r) nazivamo baze (osnovke) valjka. Dužine T T paralelne sa SS, pri čemu T prolazi kružnicom k(s, r), nazivamo plašt valjka. Pravac SS naziva se os valjka. Presjek valjka ravninom koja sadrži os valjka zove se osni presjek valjka. Visina valjka je spojnica točke S i njene ortogonalne projekcije S na ravninu Π. Ako je os valjka okomita na osnovke, valjak nazivamo uspravan valjak, inače je kosi. Ako je valjak uspravan, visina mu je upravo SS. Neka je K = K(S, r) krug u ravnini Π i V točka koja ne leži u Π. Skup svih točaka koje leže na dužinama koje spajaju točku V i bilo koju točku kruga K naziva se stožac. Točka V se naziva vrh stošca, a krug K baza (osnovka) stošca. Dužine koje spajaju vrh V s točkama kružnice k(s, r) zovu se izvodnice stošca. Skup svih točaka na svim izvodnicama naziva se plašt stošca. Pravac V S naziva se os stošca. Presjek stošca ravninom koja sadrži os valjka zove se osni presjek. Visina stošca je spojnica vrha V i njegove ortogonalne projekcije V na ravninu Π. Ako je dužina V S okomita na osnovku, stožac nazivamo uspravan stožac, inače je kosi. Ako je stožac uspravan, visina mu je upravo V S. Presjecimo stožac ravninom koja je paralelna ravnini njegove osnovke. Dio stošca omeđen tim dvjema ravinama zovemo krnji stožac. Sfera je skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od jedne čvrste točke S tog prostora. Točka S naziva se središte sfere, a udaljenost od točke sfere do S zovemo polumjer (radijus) sfere i označavamo sa r. Kugla je skup svih točaka prostora čija je udaljenost od čvrste točke S tog prostora nije veća od određene konstante pozitivne vrijednosti. 9

10 Oplošje i volumen Oplošje geometrijskog tijela je ukupna površina svih ploha koje ga omeđuju. Oplošje poliedra je zbroj površina svih njegovih strana. Kod oblih tijela određivanje oplošja je složenije. Volumen geometrijskog tijela je mjera prostora kojeg tijelo zauzima. Prizma B površina baze, P površina pobočja, o opseg baze, v duljina visine Oplošje: O = 2B + P Volumen: V = Bv Za uspravnu prizmu vrijedi O = 2B + ov. Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i duljine visine. Piramida B površina baze, P površina pobočja, v duljina visine Oplošje: O = B + P Volumen: V = 1 3 Bv Volumen piramide jednak je trećini umnoška površine baze i duljine visine piramide. Krnja piramida B 1, B 2 površine baza, P površina pobočja, v duljina visine Oplošje: O = B 1 + B 2 + P Volumen: V = v (B 1 + ) B 1 B 2 + B 2 3 Valjak r polumjer baze, v duljina visine Oplošje: O = 2rπ(r + v) Volumen: V = r 2 πv Oplošje valjka jednako je zbroju površina dviju baza i plašta. Volumen valjka jednak je umnošku površine baze i duljine visine. Stožac r polumjer baze, v duljina visine, s duljina izvodnice Oplošje: O = rπ(r + s) Volumen: V = 1 3 r2 πv Oplošje stošca jednako je zbroju površina baze i plašta stošca. Površina plašta dana je formulom P = rπs. Volumen stošca jednak je trećini umnoška površine baze i duljine visine. Krnji stožac r 1, r 2 polumjeri baza, v duljina visine, s duljina izvodnice Oplošje: O = r1π 2 + (r 1 + r 2 )πs + r2π 2 Volumen: V = vπ ( r r 1 r 2 + r2) 2 Oplošje krnjeg stošca zbroju površina njegovih baza i plašta. Površina plašta dana je formulom: P = (r 1 + r 2 )πs. Kugla / sfera r polumjer kugle Površina sfere: O = 4r 2 π Volumen kugle: V = 4 3 r3 π 10

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela. S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela

Διαβάστε περισσότερα

2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0

2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

je B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O

je B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Radni materijal 17 PRIZME

Radni materijal 17 PRIZME Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

4. MONGEOVO PROJICIRANJE

4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog

Διαβάστε περισσότερα

Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1)

12 1. UVODNI DIO c 2 ) 2 2(a 4 + b 4 + c 4 ). (F1) 11 1. Uvodni dio Da bi se s potpunim razumijevanjem mogao pratiti sadržaj ove knjige, nužna su neka znanja iz srednjoškolske nastave matematike. To se u prvom redu odnosi na temeljne pojmove geometrije

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.

Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014. Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Prostorni spojeni sistemi

Prostorni spojeni sistemi Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija afinog prostora

Analitička geometrija afinog prostora Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijski trikovi i metode bez imena

Geometrijski trikovi i metode bez imena Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03

POLIEDRI. Ivana Bojović 171/03 POLIEDRI Ivana Bojović 171/03 Sadržaj Poliedarske površi...2 Prizma...5 Piramida...8 Zarubljena piramida...10 Pravilni poliedri...11 Površina poliedara...12 Površina prizme...12 Površina pravouglog paralelopipeda...13

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija prostora

Analitička geometrija prostora Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija u ravnini

Analitička geometrija u ravnini Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima

Διαβάστε περισσότερα

Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.

Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period. Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice

Διαβάστε περισσότερα

Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad

Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin

Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα