ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ (ανά) γερανό 15 10

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10"

Transcript

1 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη: η πώληση ενός τρακτέρ αφήνει κέρδος 5,000 χρηματικών μονάδων κι ενός γερανού 4,000. Η παραγωγή των δύο μηχανημάτων πραγματοποιείται σε δύο διακριτά στάδια όπως αναλυτικά φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ (ανά) γερανό ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (hr) Επιπλέον, υπάρχει κι ένα τελικό στάδιο ποιοτικού ελέγχου. Εδώ, ένα τρακτέρ χρειάζεται 30 ώρες κι ένας γερανός μόλις 10, ενώ οι (εβδομαδιαίες) ώρες που υποχρεούται να διαθέσει η εταιρεία για το σκοπό αυτό δε μπορούν να αποκλίνουν περισσότερο του 10% από το όριο των 150 ωρών που ορίζει η σχετική νομοθεσία. Η TRACPRO πουλάει τα δύο μηχανήματα μόνο πακέτο: για κάθε τρία τρακτέρ τουλάχιστον ένα γερανό. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, η πώληση πέντε μηχανημάτων εβδομαδιαία είναι εξασφαλισμένη, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση της βέλτιστης γραμμής παραγωγής. Λύση Μεταβλητές. Φανερά, μεταβλητές απόφασης είναι ο αριθμός των τρακτέρ και γερανών που πρέπει να κατασκευάζονται εβδομαδιαία. Ορίζουμε να είναι x 1 ο αριθμός των τρακτέρ που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα, x 2 ο αριθμός των γερανών που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα. Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδομαδιαίο κέρδος της TRACPRO, αναζητούνται οι τιμές x 1, x 2 οι οποίες επιτυγχάνουν να μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση Z = (5,000x 1 + 4,000x 2 ) λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται σ αυτές. Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορισμένων ωρών στα δύο στάδια Α και Β της κατασκευαστικής διαδικασίας 10x x x x (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Α), (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Β).

2 90 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη οι ώρες που πρέπει να διατεθούν εβδομαδιαία για τον ποιοτικό έλεγχο -το 10% του 150 είναι 15-30x x (εβδομαδιαίος χρόνος για ποιοτικό έλεγχο), η υποχρεωτική αναλογία τρακτέρ και γερανών στις πωλήσεις x1 3 x1 3x2 0 (αναλογία τρακτέρ προς γερανούς), x 1 2 η υπάρχουσα παραγγελία για τα μηχανήματα x 1 + x 2 5 (εβδομαδιαία ζήτηση των μηχανημάτων), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x 1, x 2 0. Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η TRACPRO αφορά τον: προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x 1, x 2 (αριθμός τρακτέρ και γερανών αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να κάτω από περιορισμούς (όταν είναι) maximize Z = (5,000x 1 + 4,000x 2 ) 10x x x x x x x 1-3x 2 0 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. ορίζεται από το πολύγωνο ΑΒΓΔ (εικόνα 2.9) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(4.05, 1.35), Β(6.857, 2.286), Γ(4.5, 7) και Δ(1.5, 9). Με αντικατάσταση των συντεταγμένων τους στην αντικειμενική συνάρτηση, εντοπίζεται η κορυφή που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή στο Ζ. Πρόκειται για τη βέλτιστη λύση. ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ζ Α (4.05, 1.35) 25,650 Β (6.857, 2.286) 43,429 Γ (4.5, 7) 50,500 ΒΕΛΤΙΣΤΗ Δ (1.5, 9) 43,500

3 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 91 Εικόνα 2.9 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος Το μέγιστο κέρδος της TRACPRO, ύψους 50,500 χρηματικών μονάδων, επιτυγχάνεται με την εβδομαδιαία κατασκευή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών. Σημειώνεται επίσης το γεγονός ότι, ο 5 ος περιορισμός είναι πλεονάζων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.11 Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα ΔΛ1, ΔΛ2. Σε γενικές γραμμές, η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ1 απαιτούνται δύο ώρες στο τμήμα της μίξης και μία ώρα στο τμήμα καθαρισμού, ενώ για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ2 απαιτούνται μία ώρα στο τμήμα της μίξης και δύο ώρες στο τμήμα καθαρισμού. Το οικονομικό τμήμα της εταιρείας, γνωρίζοντας ότι το εργατικό δυναμικό «προσφέρει» εβδομαδιαία 230 ώρες για τη μίξη και 250 ώρες για τον καθαρισμό των δύο διαλυμάτων, υπολογίζει σ ένα κέρδος 300 χρηματικών μονά-

4 92 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας δων ανά lit ΔΛ1 και 500 χρηματικών μονάδων ανά lit ΔΛ2. Δεδομένου ότι η αγορά σε εβδομαδιαία βάση μπορεί να απορροφήσει άπειρες ποσότητες lit ΔΛ1 αλλά το πολύ 120,000 lit ΔΛ2 προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε διάλυμα ΔΛ1 και ΔΛ2 σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Στη συνέχεια, i. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν κάποιος από τους αντικειμενικούς συντελεστές αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι για λόγους ανταγωνισμού στην αγορά για το διάλυμα ΔΛ1, η εταιρεία μειώνει το κέρδος στις 275 χρηματικές μονάδες ανά lit. 74 ii. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν το δεξιό μέλος ενός εκ των περιορισμών αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ο χρόνος εργασίας στο τμήμα μίξης μειώνεται στις 220 ώρες. 54 Λύση Μεταβλητές. Εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι μεταβλητές απόφασης είναι η ποσότητα των διαλυμάτων ΔΛ1 και Δλ2 (σε χιλιάδες lit) που πρέπει να παράγονται σε μια εβδομάδα. Ορίζουμε να είναι x 1 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ1 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit), x 2 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ2 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit). Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδομαδιαίο κέρδος, αναζητούνται οι τιμές x 1, x 2 οι οποίες επιτυγχάνουν να μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση Z = (3x 1 + 5x 2 ) (εκατοντάδες χιλιάδες χρηματικές μονάδες) λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται σ αυτές. Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορισμένων ωρών στα δύο τμήματα (μίξης και καθαρισμού) της κατασκευαστικής διαδικασίας 2x 1 + x (εβδομαδιαίος χρόνος για μίξη των διαλυμάτων), x 1 + 2x (εβδομαδιαίος χρόνος για καθαρισμό των διαλυμάτων). Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η εβδομαδιαία απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2 74 Η αλλαγή αυτή επηρεάζει το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής που εντοπίστηκε ;

5 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 93 x (εβδομαδιαία ζήτηση του διαλύματος ΔΛ2), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x 1, x 2 0. Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία του παραδείγματος, αφορά τον: προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x 1, x 2 (ποσότητα σε,000 lit διαλύματος ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να κάτω από περιορισμούς (όταν είναι) maximize Z = (3x 1 + 5x 2 ) 2x 1 + x x 1 + 2x x x 1, x 2 0 Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. αντιστοιχεί στο πολύγωνο ΑΒΓΔE (εικόνα 2.10) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(115, 0), Γ(70, 90), Δ(10, 120) και E(0, 120). Για τον εντοπισμό Εικόνα 2.10 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 2.11.

6 94 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας της βέλτιστης λύσης (κορυφής), θα πρέπει να χαραχθούν ευθείες σταθερού κέρδους στην κατεύθυνση αύξησης της Ζ. Στην εικόνα 2.10 παρατηρούμε ότι, η τελευταία κορυφή από την οποία διέρχεται μια από αυτές τις παράλληλες πριν φύγει έξω από την εφικτή περιοχή, είναι η Γ. Επομένως, η εβδομαδιαία παραγωγή 70,000 lit ΔΛ1 και 90,000 lit ΔΛ2, οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό συνολικό κέρδος ύψους Ζ = 66,000,000 χρηματικών μονάδων. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.6, οι δύο πρώτοι περιορισμοί οι οποίοι αναφέρονται αντίστοιχα στο διαθέσιμο χρόνο (ώρες) για τη μίξη και τον καθαρισμό των δύο διαλυμάτων, είναι δεσμευτικοί (η βέλτιστη λύση του προβλήματος είναι το σημείο τομής των περιοριστικών ευθειών τους). Ο περιορισμός, που αφορά την απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή = Έτσι ονομάζεται η τιμή της χαλαρής (ή πλεονάζουσας) μεταβλητής ενός χαλαρού περιορισμού (βλ. και τον ορισμό 2.7).

7 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Λογισμικό για την Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η ραγδαία ανάπτυξη των προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών (PCs) κατά την τελευταία εικοσαετία, οδήγησε στην εμφάνιση μιας ποικιλίας λογισμικού με στόχο τη διευκόλυνση του χρήστη στην εφαρμογή των μεθόδων βελτιστοποίησης (μοντέλων) της Επιχειρησιακής Έρευνας. Επιπλέον, είναι πια καθολικά αποδεκτό ότι, οι μέθοδοι αυτές (μαζί με εκείνες της Στατιστικής) αποτελούν το αναγκαίο επιστημονικό υπόβαθρο για την τεκμηριωμένη υποστήριξη των καθημερινών αποφάσεων των διοικητικών στελεχών ακόμη και σε κλάδους που παραδοσιακά είχαν πολύ μικρή σχέση με τις Ποσοτικές Τεχνικές. Στις μέρες μας, ακολουθείται η λογική των εξειδικευμένων λογισμικών για την κάθε (σχεδόν) μέθοδο χωριστά τα οποία να περιέχουν όλους τους σχετικούς αλγόριθμους επίλυσής της. Ιδιαίτερα για τo Γραμμικό Προγραμματισμό, το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της Επιχειρησιακής Έρευνας, υπάρχουν διαθέσιμα στην αγορά περισσότερα από 70 διαφορετικά λογισμικά 76. Τις τελευταίες εκδόσεις των περισσοτέρων εξ αυτών ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να τις βρει δωρεάν για περιορισμένη χρήση, στις ιστοσελίδες των κατασκευαστών τους. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν τρεις διαφορετικές φιλοσοφίες για τη μοντελοποίηση και εν συνεχεία επίλυση/ανάλυση ενός π.γ.π. από κάποιο λογισμικό: i) Πρόσθετα εργαλεία (add-ins) σε λογιστικά φύλλα (π.χ. Solver, What s Best). Τα λογιστικά φύλλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση σχετικά απλών και μικρού μεγέθους π.γ.π. με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Έχουν το πλεονέκτημα να υπάρχουν πλέον σε κάθε χώρο εργασίας, αλλά η ανάπτυξη σύνθετων προβλημάτων σ αυτά απαιτεί μεγάλη επένδυση χρόνου από την πλευρά του χρήστη. ii) Ολοκληρωμένα πληροφοριακά συστήματα (π.χ. LINDO, WinQSB, DS for Windows). Προσφέρουν ένα αυτόνομο φιλικό περιβάλλον εργασίας και αποτελούν τον πιο εύκολο τρόπο για την ανάπτυξη και επίλυση ενός π.γ.π. Η μεταφορά του προτύπου που αναπτύσσεται στο περιβάλλον τους είναι άμεση και χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, όπως ακριβώς γράφεται στο χαρτί. 76 Λεπτομερείς πληροφορίες γύρω από αυτά μαζί με σχετικό πληροφοριακό υλικό υπάρχουν στις διευθύνσεις του διαδικτύου : και lionhrtpub.com/orms/surveys/lp/lp-survey.html.

8 96 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας iii) Γλώσσες μοντελοποίησης (π.χ. AMPL, MPL, GAMS, LINGO). Αποτελούν την ενδεδειγμένη επιλογή σε περιπτώσεις μεγάλων ή/και περίπλοκων π.γ.π. Στις περιπτώσεις αυτές το πρόβλημα παρίσταται με βάση τους συντακτικούς κανόνες και τη γραμματική της γλώσσας που χρησιμοποιείται. Στο Παράρτημα Β του παρόντος βιβλίου, παρατίθεται μια (σχετικά) λεπτομερής ανάπτυξη του πρόσθετου εργαλείου (add-in) Solver που υπάρχει ενσωματωμένο στο Excel, των πληροφοριακών συστημάτων LINDO και WinQSB, καθώς και της γλώσσας μοντελοποίησης LINGO. Υπάρχουν επίσης σχετικές αναφορές στις πολύ γνωστές συμβολικές γλώσσες μαθηματικών Mathematica και Maple V. Στην παρούσα παράγραφο περιοριζόμαστε στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων για τα παραδείγματα 2.11 και 2.10 όπως αυτά προκύπτουν από το WinQSB και το LINDO αντίστοιχα, επιχειρώντας ταυτόχρονα μια αντιπαραβολή με τη γραφική τους επίλυση που δόθηκε σε προηγούμενες σελίδες του βιβλίου. Επιπρόσθετα, ένα καινούριο παράδειγμα διατυπώνεται και στη συνεχεία αναλύεται με τη βοήθεια του Excel. Στην εικόνα 2.17 φαίνονται οι οθόνες μοντελοποίησης και λύσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB. Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε δύο τμήματα: το πρώτο αφορά τις μεταβλητές, ενώ το δεύτερο τους περιορισμούς. Στο πρώτο μέρος των αποτελεσμάτων καταγράφεται η βέλτιστη λύση του προβλήματος (Solution Value), η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Objective Function =), το κόστος ευκαιρίας των μεταβλητών απόφασης (Reduced Cost) καθώς επίσης και η ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειμενικούς συντελεστές (: στη στήλη που επιγράφεται Allowable Min c(j) δίνεται το κάτω όριο του εύρους αριστότητας, στη στήλη Allowable Max c(j) το άνω όριο, ενώ στη Unit Cost or Profit c(j) η υπάρχουσα τιμή). Η βέλτιστη λύση x 1 = 70, x 2 = 90 (χιλιάδες lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) αποφέρει εβδομαδιαίο κέρδος 660 εκατοντάδων χιλιάδων χρηματικών μονάδων. Σύμφωνα με τα υποδεικνυόμενα εύρη αριστότητας, διακύμανση του κέρδους από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ1 στο διάστημα των [2.5, 10] εκατοντάδων χιλιάδων χρηματικών μονάδων, ή του αντίστοιχου από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ2 στο διάστημα [1.5, 6] 77, δε θα αλλάξει την υπάρχουσα βέλτιστη λύση. 77 Βλ. εικόνα 2.11 για τη γραφική μέθοδο εύρεσής τους.

9 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 97 Εικόνα 2.17 Οι οθόνες μοντελοποίησης και επίλυσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB. Το κόστος ευκαιρίας μιας μεταβλητής απόφασης παριστά την ελάχιστη βελτίωση που πρέπει να υποστεί ο αντίστοιχος αντικειμενικός συντελεστής, ώστε αυτή να μπορεί να έχει θετική τιμή 78. Συνεπώς, μεταβλητές που συμμετέχουν στη βέλτιστη λύση έχουν μηδενικό κόστος ευκαιρίας μια και δε χρειάζεται να υποστεί καμία βελτίωση ο αντικειμενικός τους συντελεστής. Πράγματι, στο συγκεκριμένο παράδειγμα που και οι δύο μεταβλητές συμμετέχουν στην άριστη λύση, το κόστος ευκαιρίας τους είναι μηδέν: δε χρειάζεται να βελτιωθεί (εδώ μεγαλώσει) το ανά μονάδα κέρδος κάποιου από τα δύο διαλύματα για να ξεκινήσει η παραγωγή του, με το τρέχον κέρδος παράγονται και τα δύο. Το δεύτερο μέρος των αποτελεσμάτων αναφέρεται αποκλειστικά στους περιορισμούς του δοθέντος π.γ.π. Πιο συγκεκριμένα για τον καθένα εξ αυτών καταγράφεται η φορά του (Direction), το δεξιό μέλος του (Right 78 Ισοδύναμα (βλ. ορισμό 3.7), το κόστος ευκαιρίας μπορεί να θεωρηθεί ως η μείωση που θα υποστεί η βέλτιστη τιμή του Ζ αν εξαναγκάσουμε κάποια μεταβλητή να συμμετάσχει στη βέλτιστη λύση.

10 98 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Hand Side), η τιμή που έχει για τη βέλτιστη λύση (Left Hand Side), η περιθώρια τιμή του (Slack or Surplus), το κάτω (Allowable Min RHS) και άνω (Allowable Max RHS) όριο του εύρους εφικτότητας, και τέλος η αντίστοιχη δυϊκή τιμή (Shadow Price). Στο πρόβλημα όλοι οι περιορισμοί είναι της μορφής (το σύμβολο «<» σημαίνει μικρότερο ή ίσο κι όχι απλώς μικρότερο). Οι δύο πρώτοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ο τρίτος χαλαρός με περιθώρια τιμή (120-90=) 30. Άρα η παραγωγή του διαλύματος ΔΛ2 είναι μικρότερη κατά 30 χιλιάδες lit από τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με την ανάλυση που περιγράφηκε στη σελίδα 72. Η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού είναι , όσο είχε υπολογιστεί και με τη γραφική μέθοδο στην παράγραφο 2.4. Έτσι, όπως είναι ήδη γνωστό, αν αυξηθούν οι ώρες στο τμήμα της μίξης κατά μία, τότε αναμένεται ότι τα συνολικά κέρδη θα αυξηθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Από την άλλη πλευρά, αν οι ώρες στο τμήμα της μίξης μειωθούν κατά μία, τα κέρδη θα μειωθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Το επόμενο θέμα στο οποίο δίνει απάντηση το δεύτερο μέρος αποτελεσμάτων του WinQSB, σχετίζεται με τα όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται το δεξιό μέλος του 1ου περιορισμού (διάστημα εφικτότητας) ώστε οι δυϊκές τιμές να παραμένουν οι ίδιες. Έτσι βλέπουμε ότι για την πρώτη ύλη «ώρες στο τμήμα της μίξης», με τρέχουσα τιμή 230, τα όρια εφικτότητας είναι μεταξύ 140 και 500. Το διάστημα αυτό συμπίπτει προφανώς με εκείνο που βρέθηκε με τη γραφική ανάλυση ευαισθησίας και δημιουργείται από την κίνηση του σημείου Γ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ (βλ. εικόνα 2.13). Ανάλογα ερμηνεύονται τα ευρήματα για το δεύτερο περιορισμό (εικόνα 2.15). Η δυϊκή τιμή του τρίτου περιορισμού λογικά είναι μηδέν, αφού αν μπορούσε να αυξηθεί η απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, αυτό δε θα σήμαινε απολύτως τίποτα για την εταιρεία, μια και τη συμφέρει να παράγει λιγότερα από την ήδη μέγιστη απορροφητικότητα των 120 μονάδων. Το διάστημα εφικτότητας του b 3 είναι μεταξύ 90 και άπειρο (το γράμμα Μ παριστά έναν πολύ μεγάλο θετικό αριθμό, πρακτικά το άπειρο), με περίσσευμα 30 μονάδες. Το άπειρο ως άνω όριο υπογραμμίζει το γεγονός ότι, επειδή υπάρχει περίσσευμα αυτού του «πόρου», αν αυξηθεί η διαθέσιμη ποσότητά του δεν πρόκειται να αλλάξει ούτε η βέλτιστη λύση ούτε η αντικειμενική τιμή του προβλήματος. Αν όμως η διαθέσιμη ποσότητα του «πόρου» μειωθεί σε επίπεδο μικρότερο από =90 μονάδες, τότε η βέλτιστη λύση θα αλλάξει (βλ. εικόνα 2.16).

11 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 99 Η ταχύτητα με την οποία το λογισμικό επιλύει ένα π.γ.π. μας επιτρέπει να επιβεβαιώσουμε, σε πραγματικό χρόνο, θεωρητικές απαντήσεις ποικίλων σεναρίων. Για παράδειγμα, οι οθόνες από το WinQSB στην εικόνα 2.18 αποδεικνύουν αντίστοιχα ότι i) καμιά αλλαγή δε χρειάζεται να γίνει στην υπάρχουσα βέλτιστη γραμμή παραγωγής αν η εταιρεία χαμηλώσει το συντελεστή κέρδους του διαλύματος ΔΛ1 από τις 300,000 δρχ. ανά 1000 lit που είναι στις 275,000 δρχ. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα ανέρχονται στις 2.75(70)+5(90) = εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ. ii) νέο βέλτιστο σχέδιο που προβλέπει την παραγωγή x 1 = 63,333 και x 2 = 93,333 lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα πρέπει να υιοθετηθεί αν ο διαθέσιμος χρόνος εργασίας στο τμήμα της μίξης μειωθεί από 230 σε 220 ώρες. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα πέσουν τότε στις = εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ 3 Εικόνα 2.18 Επίλυση του παραδείγματος 2.11 για (i) c 1 = 2.75 και (ii) b 1 = 220.

12 100 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Με την ίδια ευκολία μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της αντικειμενικής συνάρτησης καθώς οι παράμετροι του προβλήματος κινούνται σε όλο το φάσμα της πιθανής μεταβολής τους κι όχι μέσα στα ευρεθέντα όρια αριστότητας (αντικειμενικοί συντελεστές) ή εφικτότητας (δεξιά μέλη των περιορισμών). Σύμφωνα με τα μέχρι στιγμής ευρήματα, το εύρος εφικτότητας του b 1 είναι το [140, 500], ενώ η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού ισούται με Ως απόκριση στη ζητηθείσα παραμετρική ανάλυση για το b 1, τo WinQSB δημιούργησε μια λεπτομερή αναφορά των αλλαγών που πραγματοποιούνται στο δοθέν π.γ.π. ως αποτέλεσμα της μεταβολής στις διαθέσιμες ώρες του τμήματος μίξης (εικόνα 2.19). Τα ευρήματα συμφωνούν με τα αντίστοιχα της γραφικής ανάλυσης που βρίσκονται στις σελίδες του βιβλίου (βλ. εικόνα 2.14). Η πρώτη γραμμή της αναφοράς επιβεβαιώνει 79 ότι, καθώς οι διαθέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης αυξάνονται από τις 230 που δόθηκαν στις 500, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Z μεγαλώνει από τις 660 μονάδες που είναι και φτάνει τις 750, με ρυθμό ίσο με τη δυϊκή τιμή (Slope) των μονάδων. Μόλις οι διαθέσιμες ώρες ξεπεράσουν τις 500 (δεύτερη γραμμή), η τιμή Z παραμένει σταθερή, μια και η δυϊκή τιμή του περιορισμού καθίσταται μηδέν και ο περιορισμός χαλαρός με περίσσευμα ωρών ίσο, με όλες τις επιπλέον των 500 ώρες. Από την άλλη μεριά (τρίτη γραμμή), ανά λιγότερη ώρα που θα διατίθεται στο τμήμα της μίξης και μέχρις των 140 ωρών (από 230 που είναι), η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται από 660 σε 630 μονάδες με ρυθμό μονάδων 77. Η επόμενη γραμμή υποδεικνύει ότι αν οι διαθέσιμες ώρες υποχωρήσουν κάτω από τις 140 και φτάσουν τις 120 (τέταρτη γραμμή), η Z τιμή μειώνεται από 630 σε 600 μονάδες με ρυθμό ίσο με τη νέα δυϊκή τιμή των 1.5 μονάδων. Περαιτέρω μείωση των διαθεσίμων Εικόνα 2.19 Παραμετρική ανάλυση του δεξιού μέλους b 1 του πρώτου περιορισμού (διαθέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης). 79 Γνωστά από την ανάλυση ευαισθησίας του προβλήματος.

13 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 101 Εικόνα 2.20 Μεταβολή του ύψους των εβδομαδιαίων κερδών Z σε σχέση με τις διαθέσιμες ώρες b 1 στο τμήμα μίξης. ωρών από τις 120 (πέμπτη γραμμή), θα ρίξει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από τις 600 μονάδες στις 0, με το ρυθμό να είναι 5 μονάδες. Τέλος (έκτη γραμμή), για b 1 < 0 το πρόβλημα γίνεται αδύνατο. Μεταβολές επέρχονται και στη βέλτιστη γραμμή παραγωγής: για τιμές του b 1 στο διάστημα [120, 500] παράγονται και τα δύο διαλύματα, για b μόνο ΔΛ1, ενώ για b μόνο ΔΛ2 80. Το λογισμικό έχει την επιπλέον δυνατότητα γραφικής αναπαράστασης (εικόνα 2.20) της παραμετρικής αναφοράς που δημιούργησε: επίδραση των αυξομειώσεων της τιμής του b 1 στο διάστημα [0, ) πάνω στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Z. Η μεταφορά στο περιβάλλον εργασίας του LINDO του μοντέλου που αναπτύχθηκε για το παράδειγμα 2.10 είναι προφανής (εικόνα 2.21). Για την επίλυσή του, αρκεί να πατήσουμε το κουμπί της γραμμής εργαλείων του προγράμματος. Τότε, στο σχετικό παράθυρο αποτελεσμάτων δημιουργούνται η αναφορά επίλυσης του π.γ.π. και, αν απαντήσουμε θετικά στο σχετικό ερώτημα, η αναφορά ευαισθησίας της λύσης του. 80 Για b 1 = 120, 500 υπάρχουν εναλλακτικές βέλτιστες γραμμές παραγωγής.

14 102 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Εικόνα 2.21 Τα παράθυρα εργασίας, κατάστασης και αποτελεσμάτων του παραδείγματος 2.10 στο περιβάλλον του LINDO. Σημειώστε την ονοματολογία μεταβλητών και περιορισμών και το ξεκάθαρο διαχωρισμό των αποτελεσμάτων σε δύο τμήματα : την αναφορά επίλυσης (με τις βέλτιστες, περιθώριες και δυϊκές τιμές) και την αναφορά για την ανάλυση ευαισθησίας (αντικειμενικών συντελεστών και δεξιών μελών).

15 2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 103 Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε τρία τμήματα. Το πρώτο αφορά την αντικειμενική συνάρτηση, το δεύτερο τις μεταβλητές, ενώ το τρίτο τους περιορισμούς. Αρχικά, το λογισμικό δίνει την τιμή Z της αντικειμενικής συνάρτησης για τη άριστη λύση (OBJECTIVE FUNCTION VALUE 50500) καθώς επίσης και το πλήθος των βημάτων που πραγματοποίησε η μέθοδος Simplex για να φτάσει σ αυτή (LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3). Επειδή στο LINDO η αντικειμενική συνάρτηση θεωρείται ως η πρώτη εξίσωση του προβλήματος, πριν τη βέλτιστη τιμή του Z εμφανίζεται ο αριθμός 1. Στη συνέχεια, για την κάθε μεταβλητή τυπώνεται η βέλτιστη τιμή της (VALUE) και το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας (REDUCED COST). Συνεπώς, και σύμφωνα με το γραμμικό πρότυπο που αναπτύχθηκε στη σελίδα 65, η γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος σχηματίζεται από την παραγωγή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών. Ακολουθούν οι τιμές των περιθώριων μεταβλητών (SLACK OR SUR- PLUS) για τον κάθε περιορισμό, και, δίπλα ακριβώς, οι δυϊκές (DUAL PRI- CES). Αν στους περιορισμούς του προβλήματος δεν είχαν αποδοθεί ονόματα, τότε οι σειρές αυτές θα είχαν αριθμηθεί αυτόματα από το 2 μέχρι το 6. Η πλεονάζουσα μεταβλητή του τρίτου περιορισμού ισούται με 70 και συνεπώς η άριστη λύση δημιουργεί ένα (εβδομαδιαίο) πλεόνασμα 70 ωρών στο στάδιο του ποιοτικού ελέγχου. Ανάλογα, από τις τιμές των περιθώριων μεταβλητών του 4ου (= 16.5) και 5ου περιορισμού (= 6.5) συμπεραίνουμε ότι στην ευρεθείσα λύση της βέλτιστης εβδομαδιαίας παραγωγής υπάρχει πλεόνασμα 16.5 : 3 = 5.5 γερανών (σε σχέση με τον απαιτούμενο συνδυασμό τρακτέρ-γερανών) και 6.5 οχημάτων 81 (σε σχέση με τις εξασφαλισμένες πωλήσεις). Η δυϊκή τιμή που αντιστοιχεί στον 1ο περιορισμό είναι ίση με 150, στον 2ο περιορισμό με 175, ενώ στον 3ο, 4ο και 5ο περιορισμό ισούται με 0. Επομένως, για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει η αυτοκινητοβιομηχανία στο στάδιο Α, θα αυξάνει τα κέρδη της κατά 150 χ.μ. Ανάλογα, κάθε επιπλέον ώρα στο τμήμα Β θα αυξάνει τα κέρδη κατά 175 χ.μ. Το γεγονός αυτό, έχει ισχύ μόνο σ' ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών που προσδιορίζεται στη συνέχεια, στην ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών μελών. Η ανάλυση ευαισθησίας της ευρεθείσας βέλτιστης λύσης έχει τίτλο RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED και σχηματίζεται από 81 Φανερά, πρόκειται για τους 5.5 γερανούς της περιθώριας τιμής του 4ου περιορισμού και 1 τρακτέρ.

16 104 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας δύο μέρη τα οποία περιγράφονται διεξοδικά στη συνέχεια. Το τμήμα που επιγράφεται OBJ COEFFICIENT RANGES αφορά την ανάλυση ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών c j του προβλήματος. Για την κάθε μεταβλητή, στη στήλη CURRENT COEF δίνεται ο αντίστοιχος αντικειμενικός συντελεστής, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE δίνουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία δε μεταβάλλει την άριστη λύση: Δc Δc (τα εύρη αριστότητας προκύπτουν άμεσα). Επειδή η λύση είναι μη εκφυλισμένη 82 : i) οσάκις η μεταβολή του συντελεστή είναι μικρότερη από τα επιτρεπόμενα όρια, η τρέχουσα βέλτιστη λύση παραμένει η μοναδική βέλτιστη λύση του προβλήματος. ii) αν κάποιος συντελεστής αυξηθεί όσο επιτρέπεται να αυξηθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση στην οποία, αν πρόκειται για πρόβλημα μεγιστοποίησης όπως εδώ, η αντίστοιχη μεταβλητή θα έχει μεγαλύτερη τιμή (μικρότερη σε προβλήματα ελαχιστοποίησης). iii) αν κάποιος συντελεστής ελαττωθεί όσο επιτρέπεται να ελαττωθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση, στην οποία, σε προβλήματα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) η αντίστοιχη μεταβλητή θα έχει μικρότερη (μεγαλύτερη) τιμή. Στο τμήμα των αποτελεσμάτων που επιγράφεται RIGHTHAND SIDE RANGES βρίσκεται η ανάλυση ευαισθησίας για τα δεξιά μέλη των περιορισμών (b i ). Για κάθε περιορισμό, στη στήλη CURRENT RHS δίνεται η τρέχουσα τιμή, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE αναφέρουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία διατηρεί σταθερές τις δυϊκές τιμές (δε μεταβάλλει την άριστη βάση): Δb Δb Δb Δb 4 Δb (τα εύρη εφικτότητας προκύπτουν άμεσα). 82 Η λύση ενός π.γ.π. χαρακτηρίζεται ως μη-εκφυλισμένη, όταν το πλήθος των θετικών συνιστωσών της, είτε αυτές αντιστοιχούν σε μεταβλητές απόφασης είτε σε περιθώριες μεταβλητές, ισούται με το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος.

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)

Ενδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.) Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)

maximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες) Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ 1 ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize

Διαβάστε περισσότερα

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000.

σει κανένα modem των 128Κ. Θα κατασκευάσει συνολικά = 320,000 τεμάχια των 64Κ και το κέρδος της θα γίνει το μέγιστο δυνατό, ύψους 6,400,000. Σ ένα εργοστάσιο ειδών υγιεινής η κατασκευή των πορσελάνινων μπανιέρων έχει διαμορφωθεί σε τρία διαδοχικά στάδια : καλούπωμα, λείανση και βάψιμο. Στον πίνακα που ακολουθεί καταγράφονται τα ωριαία δεδομένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)

Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος

Διαβάστε περισσότερα

RIGHTHAND SIDE RANGES

RIGHTHAND SIDE RANGES Μια εταιρεία εξόρυξης μεταλλευμάτων, έλαβε μια παραγγελία για 100 τόνους σιδηρομεταλλεύματος. Η παραγγελία πρέπει να περιλαμβάνει τουλάχιστον.5 τόνους νικέλιο, το πολύ τόνους άνθρακα κι ακριβώς 4 τόνους

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1

Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex )  1 Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η

Ανάλυση Ευαισθησίας. αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η Ανάλυση Ευαισθησίας αναζητάμε τις επιπτώσεις που επιφέρει στη βέλτιστη λύση η μεταβολή των αντικειμενικών συντελεστών c μεταβολή των όρων b i στο δεξιό μέλος του συστήματ των περιορισμ μεταβολή των συντελεστών

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού

Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Επιχειρησιακή Έρευνα Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200

ΠΡΟΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΘΗΚΕΣ Ζ1 Ζ2 Ζ3 Δ1 1,800 2,100 1,600 Δ2 1,100 700 900 Δ3 1,400 800 2,200 ΑΣΚΗΣΗ Η εταιρεία logistics Orient Express έχει αναλάβει τη διακίνηση των φορητών προσωπικών υπολογιστών γνωστής πολυεθνικής εταιρείας σε πελάτες που βρίσκονται στο Hong Kong, τη Σιγκαπούρη και την Ταϊβάν.

Διαβάστε περισσότερα

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20

Αναζητάμε το εβδομαδιαίο πρόγραμμα παραγωγής που θα μεγιστοποιήσει 1/20 Μια από τις εταιρείες γάλακτος στην προσπάθειά της να διεισδύσει στην αγορά του παγωτού πολυτελείας επενδύει σε μια μικρή πιλοτική γραμμή παραγωγής δύο προϊόντων της κατηγορίας αυτής. Πρόκειται για οικογενειακές

Διαβάστε περισσότερα

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές

είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις)

Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) Επιχειρησιακή έρευνα (ασκήσεις) ΤΕΙ Ηπείρου (Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής) Γκόγκος Χρήστος (06-01-2015) 1. Γραφική επίλυση προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού A) Με τη βοήθεια της γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ. (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ (Human Resources Scheduling Human Resources Programming) Management Ανθρώπινων Πόρων Κεφάλαιο 1 Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Case 05: Επιλογή Επενδύσεων (πολυσταδιακό πρόβλημα) ΣΕΝΑΡΙΟ Ο χρονικός ορίζοντας απαρτίζεται από διαδοχικές χρονικές περιόδους. Διαμόρφωση ενός χαρτοφυλακίου στο οποίο, καθώς ο χρόνος εξελίσσεται, το διαθέσιμο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου

Διαβάστε περισσότερα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα

Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα Case 15: Προστασία του Περιβάλλοντος ΣΕΝΑΡΙΟ Chemical A.E. χηµική βιοµηχανία Ρύπανση του παρακείµενου ποταµού µε απόβλητα 1 Σενάριο και υπόλοιπα δεδοµένα Συγκροτήθηκε οµάδα εργασίας για την επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 12: Προγραμματισμός Παραγωγής της «Tires CO» ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Ένα πολυσταδιακό πρόβλημα που αφορά στον τριμηνιαίο προγραμματισμό για μία βιομηχανική επιχείρηση παραγωγής ελαστικών (οχημάτων) Γενικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Case 11: Πρόγραμμα Παρακίνησης Πωλητών ΣΕΝΑΡΙΟ Η κ. Δημητρίου είναι γενική διευθύντρια σε μία επιχείρηση με κύρια δραστηριότητα την παραγωγή μαγνητικών μέσων και αναλώσιμων ειδών περιφερειακών συσκευών

Διαβάστε περισσότερα

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 09: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων ΙI ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Η βιομηχανική επιχείρηση «ΑΤΛΑΣ Α.Ε.» δραστηριοποιείται στο χώρο του φυσικού αερίου και ειδικότερα στις συσκευές οικιακής χρήσης. Πρόκειται να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η επιχειρησιακή έρευνα επικεντρώνεται στη λήψη αποφάσεων από επιχειρήσεις οργανισμούς, κράτη κτλ. Στα πλαίσια της επιχειρησιακής έρευνας εξετάζονται οι ακόλουθες περιπτώσεις : Γραμμικός προγραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

The Product Mix Problem

The Product Mix Problem Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα Μεταφοράς

Το Πρόβλημα Μεταφοράς Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex

Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής

ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής Εφαρμογές ΓΠ - Επίλυση με Χρήση Υπολογιστή ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΠ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ Το πρόγραμμα LINDO O Solver (Επίλυση) του Excel ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΠ ΣΕ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Το Πρόβλημα Μίξης Παραγωγής (Product mix)

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας

υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας υϊκή Θεωρία, Ανάλυση Ευαισθησίας Το δυϊκό πρόβληµα Χρησιµότητα, εφαρµογές Ανάλυση ευαισθησίας Παραδείγµατα 1 Το δυϊκό πρόβληµα Σε κάθε πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού πρωτεύον, primal - αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo)

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με χρήση κατάλληλου λογισμικού (Excel, Lindo) Μπουντούρης Ηρακλήs Επιβλέπουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Τ.Ε.Ι. Πειραιά Π.Μ.Σ. ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ακαδημαϊκό Έτος: 2013-2014 (Χειμερινό Εξάμηνο) Μάθημα: Σχεδιασμός Αλγορίθμων και Επιχειρησιακή Έρευνα Καθηγητής: Νίκος Τσότσολας Εργασία

Διαβάστε περισσότερα

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

2.1. ΑΠΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ . ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ( Linear Programming ) Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι μια τεχνική που επιτρέπει την κατανομή των περιορισμένων πόρων μιας επιχείρησης με τον πιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα

Θεωρία Δυαδικότητας ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου. Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρία Δυαδικότητας Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Βασικά Θεωρήματα 2. Παραδείγματα 3. Οικονομική Ερμηνεία

Διαβάστε περισσότερα

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

2.0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .0 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Έστω διανύσματα που ανήκουν στο χώρο δ i = ( a i, ai,, ai) i =,,, και έστω γραμμικός συνδυασμός των i : xδ + x δ + + x δ = b που ισούται με το διάνυσμα b,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING)

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ (Γ.Π.).) (LINEAR PROGRAMMING) Δρ. Βασιλική Καζάνα Αναπλ. Καθηγήτρια ΤΕΙ Καβάλας, Τμήμα Δασοπονίας & Διαχείρισης Φυσικού Περιβάλλοντος Δράμας Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής

Διαβάστε περισσότερα

Data Envelopment Analysis

Data Envelopment Analysis Data Envelopment Analysis Η μέθοδος των «Βέλτιστων Προτύπων Αποδοτικότητας», γνωστή στην διεθνή βιβλιογραφία ως «Data Envelopment Analysis», εφαρμόζεται για τον υπολογισμό της σχετικής αποδοτικότητας και

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,

Διαβάστε περισσότερα

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

12/10/2015 LINEAR_PROGRAMMING_EBOOK ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός

Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων

Επιλογή επιπέδου ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων http://users.uom.gr/~acg 1 Εισαγωγή στον Γραμμικό Προγραμματισμό (LP) Εντοπισμός της βέλτιστης κατανομής περιορισμένων πόρων μεταξύ ανταγωνιζομένων δραστηριοτήτων (resource allocation problems) Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις

Διαβάστε περισσότερα

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)

Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ (C) 2002 ΧΙΟΣ Παράδειγμα 8: Πρόβλημα ελαχίστης Διαδρομής (Shortest path problem)... 4 LINDO: Integer Linear

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Παραδείγματα 3 5 : Προβλήματα μεταφοράς (transportation problems)... 3 Παράδειγματα 3-5: Linear Programming

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #1: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO

ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO Το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 12 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΘΕΜΑ 1 ο Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο

ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Έβδομο Εξάμηνο Διδάσκων: Ι. Κολέτσος Κανονική Εξέταση 2007 ΘΕΜΑ 1 Διαιτολόγος προετοιμάζει ένα μενού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1)

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΗ ΛΗΨΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (1) 1 Προέλευση και ιστορία της Επιχειρησιακής Έρευνας Αλλαγές στις επιχειρήσεις Τέλος του 19ου αιώνα: βιομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix)

Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Case 02: Προγραµµατισµός Προϊόντων «MODA A.E.» ΣΕΝΑΡΙΟ (Product Mix) Εισάγει στην αγορά για την επόµενη χειµερινή περίοδο έξι νέα είδη γυναικείων ενδυµάτων µε µεγάλες προοπτικές πωλήσεων Η ζήτηση για τα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (11/05/2011, 9:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 00-0 ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (/05/0, 9:00) Να απαντηθούν 4 από τα 5

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ μέθοδοι των εσωτερικών σημείων ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γραμμικός Προγραμματισμός είναι η διαδικασία εύρεσης μιας βέλτιστης λύσης μιας γραμμικής συνάρτησης, η οποία να είναι συμβατή με ένα πεπερασμένο σύνολο γραμμικών ανισοτήτων, δηλαδή, ο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807

Fermat, 1638, Newton Euler, Lagrange, 1807 Εισαγωγή Μαθ Προγρ Κλασικά Προβλ Επεκτάσεις Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 1 Εισαγωγή Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 3 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ 1 ο Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων

Γραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Δ.Α.Π. Ν.Δ.Φ.Κ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΕΙΡΑΙΩΣ www.dap-papei.gr ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η FASHION Α.Ε είναι μια από

Διαβάστε περισσότερα

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 2. ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ο Συγκεντρωτικός Προγραμματισμός Παραγωγής (Aggregae Produion Planning) επικεντρώνεται: α) στον προσδιορισμό των ποσοτήτων ανά κατηγορία προϊόντων και ανά χρονική

Διαβάστε περισσότερα

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ

Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Case 01: Προγραµµατισµός Αγροτικής Παραγωγής «AGRO» ΣΕΝΑΡΙΟ Προγραµµατισµός τεσσάρων διαφορετικών προϊόντων Σιτάρι, σόγια, βρώµη καικαλαµπόκι Μέγιστη συνολική έκταση 1.500 στρέµµατα Ακριβώς 100 στρέµµατα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα.

Εισαγωγή και ανάλυση ευαισθησίας προβληµάτων Γραµµικού Προγραµµατισµού. υϊκότητα. Παραδείγµατα. Η ανάλυση ευαισθησίας και η δυϊκότητα είναι σηµαντικά τµήµατα της θεωρίας του γραµµικού προγραµµατισµού και εν γένει του µαθηµατικού προγραµµατισµού, αφού αφορούν την ανάλυση των προτύπων και την εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 3 3.1 Γενικά Τις τελευταίες δεκαετίες ένας μεγάλος αριθμός μεθόδων βελτιστοποίησης έχει αναπτυχθεί με βάση τη θεωρία του μαθηματικού λογισμού. Οι διάφοροι μαθηματικοί

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες

1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες 1.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή είναι μια εισαγωγή στις άπειρες διαδικασίες. Η εισαγωγή αυτή επιτυγχάνεται με την εφαρμογή της μεθόδου

Διαβάστε περισσότερα

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV)

Α) Κριτήριο Προσδοκώμενης Χρηματικής Αξίας Expected Monetary Value (EMV) 5. ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ (Decision Analysis) Επιχειρήσεις, Οργανισμοί αλλά και μεμονωμένα άτομα αντιμετωπίζουν σχεδόν καθημερινά το δύσκολο πρόβλημα της λήψης αποφάσεων. Τα προβλήματα αυτά έχουν σαν αντικειμενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014

ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα. Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 ΤΕΙ ΣΤΕΡΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Τμήμα Εμπορίας και Διαφήμισης ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μάθημα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ακαδημαϊκό Έτος 2013-2014 Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Άμφισσα, 2013 Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος.

Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Τι είναι Επιχειρησιακή Έρευνα (Operations Research); Η επιστήμη που ασχολείται με τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος. Το σύνολο των τεχνικών (μαθηματικά μοντέλα) οι οποίες δημιουργούν μια ποσοτική

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΜΑ 1 ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως,

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming)

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming) Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (Goal Programming Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

(sensitivity analysis, postoptimality analysis).

(sensitivity analysis, postoptimality analysis). Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 7 Ανάλυση ευαισθησίας Παραμετρική ανάλυση Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 11 Φεβρουαρίου 2016 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 3 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Μάρτιος / 31 Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός & Βελτιστοποίηση Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Καθηγητής Εφαρμογών Μάρτιος 2014 Δρ. Δημήτρης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Πανεπιστήμιο Πειραιώς ΤμήμαΠληροφορικής. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Πληροφορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Ονοματεπώνυμο φοιτητή Πατρώνυμο Γραμμικός Προγραμματισμός Γεώργιος Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Μία επιχείρηση κατασκευάζει τρία προϊόντα, έστω α, β και γ, τα οποία πουλάει

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 6 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας)

Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 6 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) Πληροφοριακά Συστήµατα ιοίκησης Τµήµα Χρηµατοοικονοµικής και Ελεγκτικής Management Information Systems Εργαστήριο 6 ΤΕΙ Ηπείρου (Παράρτηµα Πρέβεζας) ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ (OPTIMIZATION) (2 ο σετ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 ο : Ο Προσδιορισμός των Τιμών ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΝΙΚΟΣ Χ. ΤΖΟΥΜΑΚΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ Ασκήσεις 1. Οι συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς ενός αγαθού είναι: =20-2P και S =5+3P αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός

Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας κτηµατίας πρέπει να καθορίσει πόσα στρέµµατα καλαµποκιού και σιταριού να φυτέψει αυτή τη χρονιά. Ένα στρέµµα σιταριού

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ)

Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Εισαγωγή στον γραμμικό προγραμματισμό (ΓΠ) Εικονικές Παράμετροι Μέχρι στιγμής είδαμε την εφαρμογή της μεθόδου Simplex σε προβλήματα όπου το δεξιό μέλος ήταν θετικό. Δηλαδή όλοι οι περιορισμοί ήταν της μορφής: όπου Η παραδοχή ότι b 0 μας δίδει τη

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

1 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ. Παραδείγματα προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού ασχολούνται με καταστάσεις όπου ένας αριθμός πλουτοπαραγωγικών πηγών, όπως άνθρωποι,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ SOLVER 4.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Με την "Επίλυση", µπορείτε να βρείτε τη βέλτιστη τιµή για τον τύπο ενός κελιού το οποίο ονοµάζεται κελί προορισµού σε ένα φύλλο εργασίας. Η "Επίλυση" λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα