Κροφςεισ Αν ζνα κινοφμενο ςϊμα ςυγκρουςτεί μετωπικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο ίςθσ μάηασ, τότε θ ταχφτθτά

Transcript

1 Κροφςεισ - - Ερωτθςεισ πολλαπλθσ επιλογθσ Οδηγία: Για να απαντιςετε ςτισ παρακάτω ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ αρκεί να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεων τον αρικμό τθσ ερϊτθςθσ και δεξιά από αυτόν το γράμμα που αντιςτοιχεί ςτθ ςωςτι απάντθςθ ι που αντιςτοιχεί ςτο ςωςτό ςυμπλιρωμά τθσ. 5.. Μια μπάλα, κινοφμενθ κατά τθ κετικι φορά του άξονα yϋy, πζφτει κατακόρυφα ςε οριηόντιο ζδαφοσ με ορμι 0 kg /s. Θ κροφςθ κεωρείται ελαςτικι και διαρκεί 0, s. Α. Θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ (ςτο SI) είναι α. 0. β. 0. γ δ Β. Ο μζςοσ ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ τθσ (ςτο SI) είναι α. 00. β. 00. γ δ Θ ορμι ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων διατθρείται ςτακερι μόνον όταν οι εξωτερικζσ δυνάμεισ που αςκοφνται ςτο ςφςτθμα α. είναι ςυντθρθτικζσ. β. είναι μθ ςυντθρθτικζσ. γ. ζχουν ςυνιςταμζνθ μεγαλφτερθ του μθδενόσ. δ. ζχουν μθδενικι ςυνιςταμζνθ το μικρόκοςμο, κροφςθ (ςκζδαςθ) μεταξφ δφο ςωματίων ςυμβαίνει όταν τα ςωμάτια, α. ζρχονται ςε επαφι. β. ανταλλάςςουν τισ ορμζσ τουσ. γ. αλλθλεπιδροφν για πολφ μικρό χρονικό διάςτθμα, αναπτφςςοντασ πολφ ιςχυρζσ απωςτικζσ δυνάμεισ. δ. ανταλλάςςουν τισ ταχφτθτζσ τουσ Δφο ςϊματα ςυγκροφονται μετωπικά. Αν ςυμβολίςουμε με p αρχ και p τελ τα μζτρα των ολικϊν ορμϊν πριν και μετά τθν κροφςθ τουσ, αντίςτοιχα, τότε το πθλίκο p αρχ /p τελ παίρνει α. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι ελαςτικι. β. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι θμιελαςτικι. γ. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι πλαςτικι. δ. ίδια τιμι για όλα τα είδθ των κροφςεων Δφο ςϊματα ςυγκροφονται μετωπικά. Αν ςυμβολίςουμε με Κ αρχ και Κ τελ τισ ολικζσ κινθτικζσ ενζργειεσ πριν και μετά τθν κροφςθ τουσ, αντίςτοιχα, τότε το πθλίκο Κ τελ /Κ αρχ παίρνει α. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι ελαςτικι. β. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι θμιελαςτικι. γ. τθ μζγιςτθ τιμι του, όταν θ κροφςθ είναι πλαςτικι. δ. ίδια τιμι για όλα τα είδθ των κροφςεων Ζνα ςϊμα μάηασ κινείται με ταχφτθτα υ και ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο ςϊμα τθσ ίδιασ μάηασ. Αν θ διάρκεια τθσ κροφςθσ είναι Δt, τότε το μζτρο τθσ μζςθσ δφναμθσ που αςκικθκε πάνω ςτο δεφτερο ςϊμα είναι α.υ/δt. β. υ/δt. γ.υ/δt. δ. μθδζν Μία ςφαίρα μάηασ που κινείται οριηόντια με ταχφτθτα υ, ςυγκροφεται κάκετα και απολφτωσ ελαςτικά ςε κατακόρυφο τοίχο. Ο χρόνοσ επαφισ ςφαίρασ τοίχου είναι Δt. Α. Θ μεταβολι του μζτρου τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ είναι α.υ. β. υ. γ. μθδζν. δ.υ/δt. Β. Σο μζτρο τθσ μεταβολισ τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ είναι α.υ. β. υ. γ. μθδζν. δ.υ/δt. Γ. Σο μζτρο τθσ μζςθσ δφναμθσ που αςκικθκε από τθ ςφαίρα ςτον τοίχο είναι α.υ/δt. β. υ/δt. γ.υ/δt. δ. μθδζν Αν ζνα κινοφμενο ςϊμα ςυγκρουςτεί μετωπικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο ίςθσ μάηασ, τότε θ ταχφτθτά του α. κα διπλαςιαςτεί. β. κα διατθρθκεί ςτακερι.

2 - - γ. κα μθδενιςτεί. δ. κα αναςτραφεί. Κεφάλαιο Μια ςφαίρα Α ςυγκροφεται μετωπικά και ελαςτικά με αρχικά ακίνθτθ ςφαίρα Β ίςθσ μάηασ. Θ ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ Α μετά τθν κροφςθ κα είναι α. ίςθ με τθν ταχφτθτα που είχε πριν τθν κροφςθ. β. αντίκετθ τθσ ταχφτθτασ που είχε πριν τθν κροφςθ. γ. ίςθ με τθν ταχφτθτα που κα αποκτιςει θ ςφαίρα Β. δ. μθδζν Όταν δφο ςϊματα ίςθσ μάηασ, ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά, τότε ανταλλάςουν α. μόνο τισ ταχφτθτζσ τουσ. β. μόνο τισ ορμζσ τουσ. γ. μόνο τισ κινθτικζσ τουσ ενζργειεσ. δ. και τισ ταχφτθτεσ και τισ κινθτικζσ ενζργειεσ και τισ ορμζσ τουσ. 5.. Για να χαρακτθρίςουμε ωσ ελαςτικι μια κροφςθ δφο ςωμάτων, πρζπει να α. διατθρείται ςτακερι θ ςυνολικι κινθτικι ενζργεια των ςωμάτων που ςυγκροφονται. β. διατθρείται ςτακερι θ ςυνολικι ορμι των ςωμάτων που ςυγκροφονται. γ. παραμζνει ακίνθτο το ζνα από τα δφο ςϊματα μετά τθν κροφςθ. δ. είναι ίςεσ οι μάηεσ των δφο ςωμάτων. 5.. Κατά τθν ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων α. θ ολικι κινθτικι ενζργεια των ςωμάτων παραμζνει ςτακερι. β. θ κινθτικι ενζργεια κάκε ςϊματοσ παραμζνει ςτακερι. γ. θ ολικι κινθτικι ενζργεια των ςωμάτων αυξάνεται. δ. θ ολικι κινθτικι ενζργεια των ςωμάτων ελαττϊνεται Δφο ςϊματα και, τθσ ίδιασ μάηασ που κινοφνται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο με ταχφτθτεσ 0 /s και 5 /s αντίςτοιχα, ςυγκροφονται μετωπικά και τελείωσ ελαςτικά. Μετά τθν κροφςθ θ ταχφτθτα του ςϊματοσ ςε /s είναι α. 5. β. 0 γ. 5. δ Μετά τθ μετωπικι κροφςθ θ ςφαίρα μάηασ ζχει ταχφτθτα μζτρου 5 /s με φορά προσ τα αριςτερά. Θ κροφςθ αυτι α. είναι ελαςτικι. β. είναι θμιελαςτικι. γ. είναι πλαςτικι. δ. με τα δεδομζνα αυτά δε μπορεί να χαρακτθριςτεί Κατά τθν πλαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ κινθτικι ενζργεια α. του ςυςτιματοσ των ςωμάτων παραμζνει ςτακερι. β. του ςυςτιματοσ των ςωμάτων αυξάνεται. γ. του ςυςτιματοσ των ςωμάτων ελαττϊνεται. δ. και θ ορμι του ςυςτιματοσ των ςωμάτων ελαττϊνεται. υ = 0 /s = kg υ = 0 /s = 4 kg 5.6. Μια ςφαίρα Α μάηασ ςυγκροφεται κεντρικά και τελείωσ ελαςτικά με μια άλλθ ςφαίρα Β τετραπλάςιασ μάηασ. Αν θ ςφαίρα Α αςκεί δφναμθ F ςτθ ςφαίρα Β, τότε θ ςφαίρα Β αςκεί ςτθ ςφαίρα Α δφναμθ με μζτρο α.f. β.f. γ.4f. δ.f / Δφο ςϊματα Α και Β με μάηεσ kg και 6 kg αντίςτοιχα, κινοφνται με αντίκετθ κατεφκυνςθ. Λίγο πριν τθν κεντρικι και πλαςτικι κροφςθ τουσ ζχουν αντίςτοιχα ταχφτθτεσ με μζτρα 8 /s και /s. To ποςό τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ που μετατράπθκε ςε κερμικι εξ αιτίασ τθσ κροφςθσ ςτο S.I. είναι α. 75. β. 64 γ. δ Ζνα ςϊμα που ζχει μάηα και κινείται με ταχφτθτα υ ςυγκροφεται κεντρικά και πλαςτικά με αρχικά ακίνθτο ςϊμα ίςθσ μάηασ. Σο κλάςμα τθσ κινθτικισ ενζργειασ που ζχαςε το ςφςτθμα είναι

3 Κροφςεισ α. /4. β. /. γ. /3. δ Δφο ςϊματα με ίςεσ μάηεσ κινοφνται ςτθν ίδια ευκεία με ταχφτθτεσ υ και υ τθσ ίδιασ φοράσ και ςυγκροφονται πλαςτικά και κεντρικά. Σο ποςοςτό επί % τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ που χάκθκε κατά τθν κροφςθ είναι α. 90%. β. 0%. γ. 5%. δ. 50% Αν ζνα κινοφμενο ςϊμα ςυγκρουςτεί μετωπικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο μεγαλφτερθσ μάηασ, τότε κα α. ελαττωκεί το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του και θ φορά τθσ ταχφτθτασ κα διατθρθκεί. β. ελαττωκεί το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του και θ φορά τθσ ταχφτθτασ κα αναςτραφεί. γ. αυξθκεί το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του και θ φορά τθσ ταχφτθτασ κα διατθρθκεί. δ. αυξθκεί το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του και θ φορά τθσ ταχφτθτασ κα αναςτραφεί. 5.. Κατά τθ μετωπικι ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ διαφορά των ταχυτιτων τουσ πριν τθν κροφςθ είναι α. μεγαλφτερθ από τθ διαφορά των ταχυτιτων τουσ μετά τθν κροφςθ. β. μικρότερθ από τθ διαφορά των ταχυτιτων τουσ μετά τθν κροφςθ. γ. ίςθ με τθ διαφορά των ταχυτιτων τουσ μετά τθν κροφςθ. δ. αντίκετθ από τθ διαφορά των ταχυτιτων τουσ μετά τθν κροφςθ. 5.. Δφο ςφαίρεσ κινοφνται με ταχφτθτεσ και και ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά. Αν μετά τθν κροφςθ οι δφο ςφαίρεσ κινοφνται με ταχφτθτεσ και, τότε ιςχφει α... β.. γ.. δ Όταν μια ελαςτικι ςφαίρα προςπίπτει πλάγια ςε ζνα λείο τοίχο α. γυρίηει πίςω με ίδια ταχφτθτα. β. δζχεται δφναμθ από τον τοίχο, θ οποία ζχει διεφκυνςθ κάκετθ ςτον τοίχο. γ. γυρίηει πίςω με ίδια ορμι. δ. γυρίηει πίςω ςτθν ίδια διεφκυνςθ με τθν αρχικι Ζνα πρωτόνιο με μάηα p εκτοξεφεται προσ ακίνθτο πυρινα Π με ταχφτθτα μζτρου υ και τελικά επανζρχεται ςτο ςθμείο βολισ με ταχφτθτα ςχεδόν του ίδιου μζτρου υ. Ο πυρινασ Π κα μποροφςε να είναι ζνασ πυρινασ α. υδρογόνου (M H = p ). β. θλίου (M He = 4 p ). γ. ςιδιρου (M Fe = 56 p ). δ. χρυςοφ (M Au = 97 p ) Μια ςφαίρα προςκροφει κάκετα ςτθν επιφάνεια ενόσ δαπζδου. Αν θ κροφςθ είναι ανελαςτικι, τότε α. θ μθχανικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ διατθρείται κατά τθν κροφςθ. β. το μζτρο τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ είναι το ίδιο με αυτό λίγο πριν τθν κροφςθ. γ. θ ολικι ενζργεια του ςυςτιματοσ Γθ ςφαίρα διατθρείται. δ. θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ Γθ ςφαίρα διατθρείται Όταν δφο ςϊματα ςυγκροφονται πλάγια τότε α. οι ταχφτθτεσ των ςωμάτων πριν και μετά τθν κροφςθ βρίςκονται ςε διαφορετικζσ διευκφνςεισ. β. θ ορμι του ςυςτιματοσ των δφο ςωμάτων μεταβάλλεται. γ. θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι. δ. μετά τθν κροφςθ κινοφνται ςαν ζνα ςϊμα το διπλανό ςχιμα θ κροφςθ των, είναι απολφτωσ ελαςτικι. Με δεδομζνα και ςτακερά τα και υ i) θ ταχφτθτα του ςϊματοσ Β μετά τθν κροφςθ είναι μζγιςτθ (ςε μζτρο) όταν υ Α Β α. = β. >> γ. << δ. τίποτα από όλα αυτά. ii) θ ορμι του ςϊματοσ Β μετά τθν κροφςθ είναι μζγιςτθ κατά μζτρο όταν

4 - 4 - Κεφάλαιο 5 α. = β. >> γ. << δ. τίποτα από όλα αυτά. iii) θ κινθτικι ενζργεια του ςϊματοσ Β μετά τθν κροφςθ είναι μζγιςτθ αν α. = β. >> γ. << δ. τίποτα από όλα αυτά Ζνα ςϊμα Α με πολφ μεγάλθ μάηα, το οποίο κινείται με ταχφτθτα, ςυγκροφεται με ακίνθτο ςϊμα Β μικρισ μάηασ. υνεπϊσ α. το ςϊμα Β μετά τθν κροφςθ παραμζνει ακίνθτο. β. το ςϊμα Β μετά τθν κροφςθ κινείται με ταχφτθτα. γ. το ςϊμα Α μετά τθν κροφςθ αποκτά ταχφτθτα. δ. το ςϊμα Α μετά τθν κροφςθ παραμζνει ακίνθτο Λεία ςφαίρα μάηασ ενϊ κινείται με ταχφτθτα υ 0 (βλ. ςχιμα) χωρίσ να περιςτρζφεται πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο, ςυγκροφεται κεντρικά και τελείωσ ελαςτικά με άλλθ υ 0 επίςθσ λεία ςφαίρα μάηασ που είναι ακίνθτθ. Παρατθροφμε ότι μετά υ υ τθν κροφςθ τα δφο ςϊματα κινοφνται με τθν ίδια ταχφτθτα, αλλά με αντίκετεσ φορζσ (όπωσ ςτο ςχιμα). Ο λόγοσ των μαηϊν των δφο ςφαιρϊν / είναι ίςοσ με: α. 3 β. γ. 3 δ.

5 Κροφςεισ Ερωτθςεισ του τφπου ωςτό/λάιοσ Οδθγία: Για να απαντιςετε ςτισ παρακάτω ερωτιςεισ αρκεί να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεων τον αρικμό τθσ ερϊτθςθσ και δεξιά από αυτόν το γράμμα Σ αν τθ κρίνετε ςωςτι ι το γράμμα Λ αν τθν κρίνετε λανκαςμζνθ Θ κροφςθ των δφο ςωμάτων του διπλανοφ ςχιματοσ είναι κεντρικι και ελαςτικι. Επομζνωσ α. θ ορμι του ςυςτιματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ ζχει μζτρο υ και φορά προσ τα δεξιά. υ υ = 0 β. θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ είναι υ. γ. αν < οι ταχφτθτεσ μετά τθν κροφςθ ζχουν αντίκετεσ φορζσ. δ. αν = θ ςφαίρα μετά τθν κροφςθ ζχει αντίκετθ ταχφτθτα απ τθν αρχικι Θ κροφςθ των δφο ςωμάτων του ςχιματοσ είναι κεντρικι και ελαςτικι. θμειϊςτε τισ ςωςτζσ ςχζςεισ: α. Κ ολ,αρχ = Κ ολ,τελ. β. Κ ολ,αρχ > Κ ολ,τελ γ. p = p δ. Δp = -Δp αρχ τελ υ υ ε. ΔΚ = -ΔΚ 5.3. α. τισ μετωπικζσ κροφςεισ δφο ςωμάτων οι ταχφτθτεσ των ςωμάτων πριν και μετά τθν κροφςθ ζχουν τθν ίδια διεφκυνςθ. β. Κατά τθν ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ μθχανικι ενζργεια του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι. γ. Κατά τθν πλαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ ενζργεια του ςυςτιματοσ μεταβάλλεται. δ. Αν θ μετωπικι κροφςθ δφο ςφαιρϊν με ίςεσ μάηεσ είναι ελαςτικι, οι ςφαίρεσ ανταλλάςςουν ταχφτθτεσ ε όλεσ τισ κροφςεισ α. αναπτφςςονται εςωτερικζσ δυνάμεισ κατά πολφ ιςχυρότερεσ από τισ τυχόν υπάρχουςεσ εξωτερικζσ δυνάμεισ. β. θ μεταβολι τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ είναι ίςθ με μθδζν. γ. θ μεταβολι τθσ μθχανικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ είναι ίςθ με τθ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ. δ. θ ςυνολικι ορμι του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ είναι ίςθ με τθ ςυνολικι ορμι μετά τθν κροφςθ Για τθ μετωπικι και ελαςτικι κροφςθ των δφο ςφαιρϊν του ςχιματοσ, ποιεσ από τισ παρακάτω ςχζςεισ είναι ςωςτζσ; Α υ υ Β υ Α Β υ (πριν) (μετά) (πριν) (μετά) α. p ολ =pολ. β. Κ ολ =Κ ολ. Δp + Δp = 0. δ. Δp Α = ΔpΒ. ε. ΔΚ Α = - ΔΚ Β. ςτ. ΔΚ ολ = 0. ζ. ΔΚ Α = ΔΚ Β. η. ΚΑ -Κ Β =Κ Β -Κ Α γ. Α Β Δφο ςϊματα με κινθτικζσ ενζργειεσ Κ και Κ ςυγκροφονται ελαςτικά και αποκτοφν κινθτικζσ ενζργειεσ και. Για τισ κινθτικζσ ενζργειεσ πριν και μετά τθν κροφςθ ιςχφει α.. β.. γ.. δ Δφο ςφαίρεσ που κινοφνται με ταχφτθτεσ αλγεβρικϊν τιμϊν υ και υ, ςυγκροφονται ελαςτικά και κεντρικά. Αν οι αλγεβρικζσ τιμζσ των ταχυτιτων των ςφαιρϊν μετά τθν κροφςθ είναι υ και υ αντίςτοιχα, ποιεσ από τισ παρακάτω προτάςεισ είναι ςωςτζσ και ποιεσ λανκαςμζνεσ; α. Θ διαφορά υ -υ μπορεί να είναι και μθδζν. β. Θ διαφορά υ -υ αποκλείεται να είναι μθδζν, γιατί κάκε ςφαίρα δζχεται υ υ δφναμθ από τθν άλλθ κατά τθν κροφςθ, με αποτζλεςμα να ζχουμε μεταβολι τθσ ορμισ τθσ. γ. Οι διαφορζσ υ -υ και υ -υ είναι ίςεσ.

6 - 6 - δ. Όταν =, τότε οι διαφορζσ υ -υ και υ -υ είναι αντίκετεσ. Κεφάλαιο α. Ελαςτικι ονομάηουμε κάκε κροφςθ ςτθν οποία ιςχφει θ αρχι διατιρθςθσ τθσ ορμισ. β. Ελαςτικι ονομάηουμε τθν κροφςθ ςτθν οποία θ ολικι κινθτικι ενζργεια ενόσ μονωμζνου ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ είναι ίςθ με τθν αντίςτοιχθ μετά τθν κροφςθ. γ. Ανελαςτικι ονομάηουμε τθν κροφςθ ςτθν οποία παρατθρείται μείωςθ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ. δ. Ανελαςτικι ονομάηουμε τθν κροφςθ ςτθν οποία ζχουμε μείωςθ τθσ ορμισ του ςυςτιματοσ Βλιμα μάηασ κινείται με ταχφτθτα υ 0. Σο βλιμα ςφθνϊνεται ςτο ξφλο μάηασ Μ = 9. τθ ςυνζχεια το ςυςςωμάτωμα 0 ςυμπιζηει το ελατιριο κατά Δl. Σριβζσ δεν υπάρχουν. α. Θ κινθτικι ενζργεια που χάκθκε κατά τθν κροφςθ είναι τα 9/0 τθσ αρχικισ κινθτικισ ενζργειασ του βλιματοσ. β. Θ μζγιςτθ δυναμικι ενζργεια του ελατθρίου είναι το /0 τθσ αρχικισ κινθτικισ ενζργειασ του βλιματοσ. γ. ε όλθ τθ διάρκεια του φαινομζνου ζχουμε διατιρθςθ τθσ ορμισ του ςυςτιματοσ. δ. Θ κινθτικι ενζργεια του βλιματοσ πριν τθν κροφςθ είναι ίςθ με τθ μζγιςτθ δυναμικι ενζργεια του ε- λατθρίου Μια μάηα = 3 κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ =υ 0 και ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με αρχικά ακίνθτθ μάηα =. 3υ α. Θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ μετά τθν κροφςθ ζχει μζτρο υ= 0. υ υ = 0 4 3υ0 β. Θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ μάηασ ζχει αλγεβρικι τιμι Δp = -. 4 γ. Οι μεταβολζσ των ορμϊν των δφο μαηϊν είναι ίςεσ, δθλαδι Δp = Δp. δ. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ παραμζνει ςτακερι Ζνα ςϊμα μάηασ που ζχει ταχφτθτα υ ςυγκροφεται πλαςτικά με ακίνθτο ςϊμα διπλάςιασ μάηασ. α. Σο ςυςςωμάτωμα αμζςωσ μετά τθν κροφςθ ζχει ορμι μζτρου υ. β. Θ ορμι του αρχικά κινοφμενου ςϊματοσ ελαττϊνεται κατά υ. γ. Θ ορμι του αρχικά ακίνθτου ςϊματοσ αυξάνει κατά υ 3. δ. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ μετά τθν κροφςθ είναι υ Δφο ςϊματα, που κινοφνται ςτθν ίδια ευκεία, ζχουν αντίκετεσ ορμζσ. Σα ςϊματα ςυγκροφονται κεντρικά και πλαςτικά. α. Μετά τθν κροφςθ ςχθματίηεται ζνα ςϊμα. β. Πριν τθν κροφςθ θ ολικι ορμι ιταν ίςθ με μθδζν. γ. Θ ολικι κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ πριν τθν κροφςθ ιταν ίςθ με μθδζν. δ. Θ ολικι κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ μετά τθν κροφςθ είναι ίςθ με μθδζν Δφο μάηεσ = και = κινοφνται με ταχφτθτεσ μζτρου υ = υ 0 και υ = υ 0 αντίςτοιχα και με α- ντίκετεσ κατευκφνςεισ. Θ κροφςθ είναι πλαςτικι. α. Θ μεταβολι τθσ ορμισ του ςυςτιματοσ είναι μθδζν. υ υ β. Για τισ μεταβολζσ των ορμϊν των δφο μαηϊν κατά τθν κροφςθ ιςχφει Δp = -Δp. γ. Για τισ μεταβολζσ των ορμϊν των δφο μαηϊν κατά τθν κροφςθ ιςχφει Δp = Δp. δ. Θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ μάηασ κατά τθν κροφςθ ζχει αλγεβρικι τιμι Δp = -υ 0. ε. Δεν ζχουμε μεταβολι τισ ορμισ τθσ μάηασ, γιατί το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ τθσ είναι πάλι υ 0.

7 Κροφςεισ Δφο ςφαίρεσ ίδιασ μάηασ κινοφνται με ταχφτθτεσ υ και υ ςε κάκετεσ διευκφνςεισ πάνω ςε λείο οριηόντιο δάπεδο. Οι ςφαίρεσ ςυγκροφονται πλαςτικά. Αν υ θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ μετά τθν κροφςθ, τότε ιςχφει α. υ = υ +υ. β. υ=υ +υ. γ. ()υ = υ + υ. δ. υ= υ +υ Ζνα κομμάτι πλαςτελίνθσ, με μάηα = kg, πριν ακριβϊσ κολλιςει ςε ζνα αρχικά ακίνθτο ςϊμα μάηασ = 3 kg ζχει οριηόντια ταχφτθτα μζτρου υ = 5 /s. Μετά τθν κροφςθ το ςυςςωμάτωμα κινείται με ταχφτθτα υ, όπου: α. υ=/ s β. υ = υ γ. υ = + + υ υ δ. υ= Θ ολικι ορμι ενόσ μονωμζνου ςυςτιματοσ ςωμάτων αλλάηει όταν αλλάηουν οι ταχφτθτεσ των ςωμάτων ζνα μονωμζνο ςφςτθμα ςωμάτων, που αλλθλεπιδροφν μεταξφ τουσ, θ ορμι κάκε ςϊματοσ παραμζνει ςτακερι Θ αρχι τθσ διατιρθςθσ τθσ ορμισ ιςχφει μόνον όταν δφο ι περιςςότερα ςϊματα που αποτελοφν μονωμζνο ςφςτθμα ςυγκροφονται μεταξφ τουσ Θ αρχι τθσ διατιρθςθσ τθσ ορμισ ιςχφει ανεξάρτθτα από το αν οι δυνάμεισ μεταξφ των ςωμάτων που αποτελοφν το μονωμζνο ςφςτθμα είναι ςυντθρθτικζσ ι όχι Κατά τθ μετωπικι ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ διαφορά των ταχυτιτων τουσ πριν τθν κροφςθ είναι αντίκετθ τθσ διαφοράσ των ταχυτιτων μετά τθν κροφςθ Κατά τθν κροφςθ δφο ςωμάτων θ μεταβολι τθσ ορμισ του ενόσ ςϊματοσ είναι αντίκετθ τθσ μεταβολισ τθσ ορμισ του άλλου ςϊματοσ Κατά τθν ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων θ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ενόσ ςϊματοσ είναι αντίκετθ τθσ μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του άλλου ςϊματοσ Κατά τθ διάςπαςθ ραδιενεργϊν πυρινων δεν ιςχφει θ αρχι τθσ διατιρθςθσ τθσ ορμισ τισ μετωπικζσ κροφςεισ οι ταχφτθτεσ των ςωμάτων πριν και μετά τθν κροφςθ ζχουν τθν ίδια διεφκυνςθ τθν ανελαςτικι κροφςθ θ ολικι κινθτικι ενζργεια των ςωμάτων πριν τθν κροφςθ είναι μεγαλφτερθ από τθν ολικι κινθτικι τουσ ενζργεια μετά τθν κροφςθ Κατά τθ μετωπικι ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων ίςων μαηϊν παρατθρείται ανταλλαγι ορμϊν μεταξφ των ςωμάτων Ζνα βλιμα κινοφμενο με ταχφτθτα υ ςυναντά ζνα κομμάτι ξφλου το οποίο διαπερνά και βγαίνει από τθν άλλθ πλευρά. α. Σο παραπάνω φαινόμενο είναι μια πλαςτικι κροφςθ. β. Θ ορμι του βλιματοσ διατθρικθκε ςτακερι. γ. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ βλιμα ξφλο διατθρικθκε ςτακερι. δ. Θ ορμι του ξφλου αυξικθκε. ε. Επειδι μεταξφ ξφλου και βλιματοσ αναπτφχκθκαν εςωτερικζσ δυνάμεισ, θ μθχανικι ενζργεια του ςυςτιματοσ παρζμεινε ςτακερι.

8 - 8 - Κεφάλαιο 5 Ερωτθςεισ αντιςτοίχιςησ Οδθγία: Για να απαντιςετε ςτισ παρακάτω ερωτιςεισ αρκεί να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεων τον αρικμό τθσ ερϊτθςθσ και τα κατάλλθλα ηεφγθ γραμμάτων - αρικμϊν Να αντιςτοιχίςετε τα ςτοιχεία τθσ ςτιλθσ Α με τα ςτοιχεία τθσ ςτιλθσ Β. ΣΗΛΗ Α ΣΗΛΗ Β α. Σα ςϊματα μετά τθν κροφςθ ςχθματίηουν ςυςςωμάτωμα.. Ελαςτικι κροφςθ β. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ ελαττϊνεται και τα ςϊματα κινοφνται με διαφορετικζσ ταχφτθτεσ.. Έκκεντρθ κροφςθ. γ. Οι διευκφνςεισ των ταχυτιτων πριν τθν κροφςθ είναι παράλλθλεσ. 3.Ανελαςτικι κροφςθ (Ημιελαςτικι). δ. Οι διευκφνςεισ των ταχυτιτων πριν και μετά τθν κροφςθ βρίςκονται πάνω ςτθν ίδια διεφκυνςθ. 4. Πλαςτικι κροφςθ. ε. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι. 5.Κεντρικι κροφςθ Μια ςφαίρα κινοφμενθ με ταχφτθτα υ ςυγκροφεται ελαςτικά με ακίνθτθ ςφαίρα. Να αντιςτοιχίςετε τα ςτοιχεία τθσ ςτιλθσ Α με τα ςτοιχεία τθσ ςτιλθσ Β ϊςτε να ςυμπλθρϊνεται ςωςτά θ πρόταςθ. (Ζνα ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ Β περιςςεφει και ζνα ςτοιχείο τθσ κα χρθςιμοποιθκεί δφο φορζσ.) ΣΗΛΗ Α ΣΗΛΗ Β α. Θ ορμι τθσ ςφαίρασ. αυξικθκε. β. Θ κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ. παρζμεινε ςτακερι/ό. γ. Θ ορμι τθσ ςφαίρασ 3. ελαττϊκθκε. δ. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ 4. είναι ίδιο ε. Σο μζτρο των δυνάμεων επαφισ μεταξφ των δφο ςφαιρϊν 5. είναι διαφορετικό Ζνα βλιμα κινοφμενο με ταχφτθτα υ ςφθνϊνεται ςε ζνα ακίνθτο και ελεφκερο να κινθκεί κομμάτι ξφλου. Να αντιςτοιχίςετε ςε κάκε γράμμα τθσ ςτιλθσ Α ζναν αρικμό τθσ ςτιλθσ Β ϊςτε να ςυμπλθρϊνεται ςωςτά θ πρόταςθ. (ε ζναν αρικμό τθσ ςτιλθσ Β είναι δυνατό να αντιςτοιχοφν περιςςότερα από ζνα γράμματα τθσ τιλθσ Α). ΣΗΛΗ Α ΣΗΛΗ Β α. Θ ορμι του βλιματοσ.διατθρικθκε ςτακερι. β. Θ κινθτικι ενζργεια του βλιματοσ.ελαττϊκθκε. γ. Θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ 3.Αυξικθκε. δ. Θ κινθτικι ενζργεια του ξφλου ε. Θ ορμι του ςυςτιματοσ Ερωτθςεισ ςυμπλθρωςησ Οδθγία: Για να απαντιςετε ςτισ παρακάτω ερωτιςεισ αρκεί να γράψετε ςτο φφλλο απαντιςεων τον αρικμό τθσ ερϊτθςθσ, το γράμμα που βρίςκεται ςε παρζνκεςθ ςτθν αρχι κάκε διάςτικτου και ό,τι λείπει Μια κροφςθ λζγεται ελαςτικι, όταν (α)... του ςυςτιματοσ διατθρείται ςτακερι. τθν πλαςτικι κροφςθ διατθρείται ςτακερι μόνο (β) του ςυςτιματοσ Θ μθχανικι ενζργεια ενόσ ςυςτιματοσ ςωμάτων διατθρείται ςτακερι μόνον όταν οι δυνάμεισ που α- ςκοφνται ςτα ςϊματα του ςυςτιματοσ είναι (α)... ενϊ θ ορμι του διατθρείται ςτακερι α- κόμθ και ςτθν περίπτωςθ (β)... δυνάμεων Κατά τθ μετωπικι ελαςτικι κροφςθ δφο ςωμάτων, ίδιασ μάηασ, γίνεται. ταχυτιτων Κατά τθ μετωπικι ελαςτικι κροφςθ μεταξφ δφο ςωμάτων, θ διαφορά των ταχυτιτων τουσ πριν τθν κροφςθ είναι... τθσ διαφοράσ των ταχυτιτων τουσ μετά τθν κροφςθ Κατά τθν πλαςτικι κροφςθ τα ςϊματα μετά τθν κροφςθ παραμζνουν Όταν ζνα ςϊμα ςυγκροφεται μετωπικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο ςϊμα μάηασ, θ ταχφτθτά του περίπου αναςτρζφεται.

9 Κροφςεισ Ερωτιςεισ ανοικτοφ τφπου Δφο ςϊματα ςυγκροφονται μετωπικά και πλαςτικά. ε ποια περίπτωςθ «χάνεται» εξ ολοκλιρου θ κινθτικι ενζργεια που είχαν τα ςϊματα λίγο πριν τθν κροφςθ; Ποιεσ αρχζσ διατιρθςθσ ιςχφουν ςτθ μθ ελαςτικι κροφςθ; Θ πλαςτικι κροφςθ είναι ελαςτικι ι μθ ελαςτικι; Για ζνα ςϊμα μάηασ kg θ γραφικι παράςταςθ τθσ ορμισ του ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο p = f(t), φαίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. Αν θ κροφςθ του με αρχικά ακίνθτο ςϊμα είναι κεντρικι και πλαςτικι, θ μάηα του δεφτερου ςϊματοσ ςε kg, είναι α. 0,5. β.. γ.. δ. 5. ε. 0. Να μεταφζρετε το ςχιμα ςτο τετράδιό ςασ και να ςχεδιάςετε ςϋαυτό τθν ορμι p = f(t) του δεφτερου ςϊματοσ Ποιεσ είναι οι διαφορζσ μεταξφ ελαςτικισ και πλαςτικισ κροφςθσ; p (kg /s) t Δφο ςφαίρεσ με ίςεσ μάηεσ κινοφνται ςτθν ίδια κατεφκυνςθ, με ταχφτθτεσ μζτρου υ και υ και ςυγκροφονται ελαςτικά και μετωπικά. Να βρεκοφν οι ταχφτθτεσ των ςφαιρϊν μετά τθν κροφςθ Θ ορμι ενόσ ςϊματοσ μεταβάλλεται από 7 kg /s ςε 0 kg /s, ςε χρόνο s. Ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ του (ςτο SI) είναι: α.,5 β. 3 γ.0,6 δ Ζνα βλιμα εκτοξεφεται από ακίνθτο όπλο με ορμι μζτρου 00 kg /s. Εξ αιτίασ τθσ ανάκρουςθσ θ ορμι του όπλου, αμζςωσ μετά τθν εκπυρςοκρότθςθ, κα ζχει μζτρο α. 00 kg /s β. μεγαλφτερο από 00 kg /s γ. μικρότερο από 00 kg /s το διπλανό ςχιμα φαίνεται θ γραφικι παράςταςθ τθσ ταχφτθτασ για δφο ςϊματα () και (), ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο, που ςυγκροφονται μετωπικά, πριν και μετά τθν κροφςθ τουσ. α. Σα δφο ςϊματα πριν τθν κροφςθ κινοφνται ςτθν ίδια κατεφκυνςθ. β. Σα δφο ςϊματα μετά τθν κροφςθ κινοφνται ςε αντίκετεσ κατευκφνςεισ. γ. Θ κροφςθ των δφο ςωμάτων είναι ελαςτικι. Με ποιο ι ποια από τα παραπάνω ςυμφωνείτε; Να δικαιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ υ(/s) () () πριν τθν κροφςθ χρόνος επαφής (αμελητέος) μετά τθν κροφςθ t(s) Πάνω ςε ακίνθτο ςϊμα Α που ζχει μάηα προςπίπτει ςϊμα Β, που ζχει μάηα = 4, με ταχφτθτα + υ. Θ κροφςθ των δφο ςωμάτων είναι κεντρικι και ελαςτικι. Σο ςϊμα Β μετά τθν κροφςθ α. ζχει ταχφτθτα. β. ελάττωςε τθν κινθτικι του ενζργεια κατά τα 6/5 τθσ αρχικισ τθσ τιμισ. Με ποιο ι ποια από τα παραπάνω ςυμφωνείτε ι διαφωνείτε; Να δικαιολογιςετε τισ απαντιςεισ ςασ Δφο τελείωσ ελαςτικζσ ςφαίρεσ με μάηεσ και κινοφνται ςτθν ίδια ευκεία με αντίκετεσ ταχφτθτεσ. Μετά τθν κεντρικι τουσ κροφςθ θ ςφαίρα μάηασ ακινθτοποιείται. Για το λόγο των μαηϊν τουσ ιςχφει α.. β.. γ..

10 - 0 - Κεφάλαιο Ζνα ςϊμα μάηασ ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με άλλο ακίνθτο ςϊμα μάηασ. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα μάηασ ζχει κινθτικι ενζργεια ίςθ με το /9 τθσ αρχικισ τθσ τιμισ. Για το λόγο, των μαηϊν τουσ ιςχφει α.. β.. γ.. δ Όταν ζνα ςϊμα μάηασ ςυγκρουςτεί κεντρικά και πλαςτικά με άλλο ακίνθτο ςϊμα, μεγαλφτερθσ μάηασ Μ, τότε το 90% τθσ κινθτικισ του ενζργειασ μετατρζπεται ςε κερμικι. Αν προςπζςει το ςϊμα μάηασ Μ ςτο ακίνθτο ςϊμα μάηασ, τότε από τθν κινθτικι ενζργεια του Μ, κα μετατραπεί ςε κερμικι το α. 0%. β. 45%. γ. 90% Μικρό ςϊμα μάηασ κινείται με ταχφτθτα και ςυγκροφεται μετωπικά με ακίνθτο ςϊμα μάηασ 4. Εξ αιτίασ τθσ κροφςθσ τα δφο ςϊματα ανταλλάςςουν τισ ορμζσ τουσ. Θ κροφςθ είναι α. ελαςτικι. β. ανελαςτικι. γ. πλαςτικι Ζνα ςϊμα μάηασ κινείται ςε οριηόντιο επίπεδο ζχοντασ ταχφτθτα, ορμι και κινθτικι ενζργεια Κ. Σο ςϊμα αυτό ςυγκροφεται μετωπικά και ελαςτικά με ακίνθτο ςϊμα μάηασ. Θ μεταβολι τθσ ορμισ του ςϊματοσ εξαιτίασ τθσ κροφςθσ ιςοφται με. α. Θ μεταβολι τθσ ορμισ του ςϊματοσ ιςοφται με i.. ii.. iii.. β. Θ κινθτικι ενζργεια του ςϊματοσ μάηασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ ιςοφται με i.. ii.. iii το διπλανό ςχιμα φαίνεται ζνα βλιμα μάηασ το οποίο κινείται οριηόντια και ςφθνϊνεται ςε ακίνθτο ςϊμα μάηασ Μ = 3, το οποίο ακουμπά ςε τοίχο. Θ ελάχιςτθ κινθτικι ενζργεια που πρζπει να ζχει το βλιμα για να ςφθνωκεί ολόκλθρο ςτο ςϊμα είναι Κ. Αν δεν υπάρχει ο τοίχοσ και το ςϊμα μάηασ Μ είναι ελεφκερο να κινθκεί ςτο λείο οριηόντιο επίπεδο, τότε θ ελάχιςτθ κινθτικι ενζργεια που πρζπει να ζχει το βλιμα ϊςτε να ςφθνωκεί ολόκλθρο ςτο ςϊμα είναι α.. β.. γ.. (Τποκζτουμε ότι θ απϊλεια ενζργειασ είναι ίδια και ςτισ περιπτϊςεισ.) υ το διπλανό ςχιμα φαίνονται δφο ελαςτικζσ ςφαίρεσ και (Α) (B) με μάηεσ και, αντίςτοιχα, που μποροφν να κινοφνται d ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Αρχικά οι δφο ςφαίρεσ είναι ακίνθτεσ, με τθ ςφαίρα να απζχει απόςταςθ d/4 από τον τοίχο 4 d υ (Β), όπου d είναι θ απόςταςθ μεταξφ των δφο κατακόρυφων λείων τοίχων (Α) και (Β). Κάποια ςτιγμι εκτοξεφουμε τθ ςφαίρα προσ τθ ςφαίρα με ταχφτθτα, ζτςι ϊςτε να μθν περιςτρζφεται. Οι δφο ςφαίρεσ ςυγκροφονται μετωπικά και ελαςτικά και ςτθ ςυνζχεια ξαναςυναντϊνται ςτο μζςο τθσ απόςταςθσ των δφο τοίχων αφοφ ζχουν ςυγκρουςτεί ελαςτικά από μία φορά με αυτοφσ. Θ αλγεβρικι τιμι τθσ ταχφτθτασ, τθσ ςφαίρασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ τθσ με τθ, και θ αλγεβρικι τιμι τθσ ταχφτθτασ ςυνδζονται με τθ ςχζςθ α. β.. γ Δφο όμοιεσ μπάλεσ, θ μια ςκλθρι και θ άλλθ μαλακι, κινοφνται οριηόντια με τθν ίδια ταχφτθτα και ςυγκροφονται ελαςτικά με κατακόρυφο τοίχο. Να παραςτιςετε ποιοτικά, ςε κοινοφσ άξονεσ δφναμθσ - χρόνου, τθ δφναμθ που αςκεί ο τοίχοσ ςε κάκε μπάλα Μπορεί ζνα ςφςτθμα ςωμάτων να ζχει κινθτικι ενζργεια χωρίσ να ζχει ορμι; Μπορεί να ζχει ορμι M

11 Κροφςεισ - - χωρίσ να ζχει κινθτικι ενζργεια; Να δικαιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ Ζνα ελαφρφ και ζνα βαρφ αυτοκίνθτο κινοφνται ζχοντασ τθν ίδια ορμι. Για ποιο από τα δυο κα ξοδζψουμε περιςςότερθ ενζργεια για να το ςταματιςουμε; Δφο ςφαίρεσ με μάηεσ και κινοφνται με ταχφτθτεσ και και ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά. Κατά τθ διάρκεια τθσ κροφςθσ οι ςφαίρεσ παραμορφϊνονται παροδικά και ςτθ ςυνζχεια αποκτοφν το αρχικό τουσ ςχιμα. Σθ ςτιγμι τθσ μζγιςτθσ παραμόρφωςθσ των δφο ςφαιρϊν α. ποια είναι τα μζτρα των ταχυτιτων τουσ; β. ποια είναι θ δυναμικι ενζργεια εξαιτίασ τθσ παραμόρφωςισ τουσ; Δφο ςϊματα με μάηεσ και που κινοφνται με ταχφτθτεσ υ και υ ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά.να αποδείξετε ότι άν <<, τότε μετά τθν κροφςθ ιςχφει ότι: και Δφο ςϊματα με μάηεσ και που κινοφνται με ταχφτθτεσ υ και υ ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά.να αποδείξετε ότι άν >>, τότε μετά τθν κροφςθ ιςχφει ότι:. Α Κ Η Ε Ι - Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Σ Α Ζνα αγωνιςτικό αυτοκίνθτο, μάηασ 600 kg, κινείται με ταχφτθτα 44 k/h ςε μια κυκλικι πίςτα αγϊνων ακτίνασ 000. Να υπολογίςετε το μζτρο του ρυκμοφ μεταβολισ τθσ ορμισ του. *Απ. 960 N] φαίρα μάηασ = 8 kg κινείται με ταχφτθτα υ και ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με αρχικά ακίνθτθ ςφαίρα μάηασ = kg. Αν θ ςφαίρα μάηασ μετά τθν κροφςθ ζχει κινθτικι ενζργεια = 56 J, πόςθ είναι θ κινθτικι ενζργεια τθσ ςφαίρασ μάηασ, μετά τθν κροφςθ; (μετα) Κ *Απ. 44 J] ε αρχικά ακίνθτθ μάηα = 6 kg χτυπά μετωπικά και ελαςτικά μάηα = kg. Αν θ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ μάηασ είναι ΔΚ = - 48 J, πόςθ κα είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ; [Απ. 4 kg /s] 5.9. φαίρα Α μάηασ κινείται ευκφγραμμα και ομαλά χωρίσ να περιςτρζφεται πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο με ταχφτθτα υ 0 και ςυγκροφεται μετωπικά με ακίνθτθ ςφαίρα Β μάηασ Μ. Μετά τθν κροφςθ θ ςφαίρα Α κινείται αντίκετα με ταχφτθτα μζτρου υ 0 /4. α. Ποια είναι θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ Β; β. Για ποια τιμι του λόγου λ = M/ θ κροφςθ είναι ελαςτικι; *Απ. α. 5/4υ 0 β. 5/ Δφο ςφαίρεσ Α και Β ίςου όγκου με μάηεσ = 8 kg και = kg αντίςτοιχα, κινοφνται ευκφγραμμα και ομαλά, χωρίσ να περιςτρζφονται, πάνω ςε λείο οριηόντιο δάπεδο. Σα κζντρα μάηασ των ςφαιρϊν βρίςκονται πάνω ςτον άξονα x x, οι ταχφτθτζσ τουσ ζχουν τθ κετικι κατεφκυνςθ του άξονα και μζτρα υ = 0 /s και υ. α. Πόςο πρζπει να είναι το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ ϊςτε μετά από τθ μετωπικι κροφςθ, οι ςφαίρεσ Α και Β να κινοφνται προσ τθ κετικι κατεφκυνςθ με ταχφτθτεσ μζτρων 8 /s και 3 /s αντίςτοιχα; β. Πόςθ είναι θ μζγιςτθ δυναμικι ενζργεια παραμόρφωςθσ των ςφαιρϊν; γ. Πόςθ είναι θ δυναμικι ενζργεια λόγω παραμόρφωςθσ των ςφαιρϊν τθ ςτιγμι κατά τθν οποία θ ςφαίρα Α ζχει ταχφτθτα μζτρου 9,5 /s; δ. Να εξετάςετε αν θ κροφςθ είναι ελαςτικι ι όχι. *Απ. α. 5 /s β. 0 J γ. 5 J δ. ελαςτικι φαίρα μάηασ = kg κινείται οριηόντια και ςυγκροφεται ελαςτικά και κεντρικά με ςφαίρα μάηασ = kg που κρζμεται από το ελεφκερο άκρο κατακόρυφου αβαροφσ νιματοσ μικουσ l = 8. Αν θ ςφαίρα μάηασ πριν τθν κροφςθ ζχει ταχφτθτα μζτρου υ = 8 /s, να υπολογίςετε α. τθν τάςθ του νιματοσ ακριβϊσ μετά τθν κροφςθ, β. το μζγιςτο φψοσ ςτο οποίο κα φτάςει θ ςφαίρα μάηασ. Δίνεται: g = 0 /s. *Απ. 8 N, 3, ]

12 το διπλανό ςχιμα θ ςφαίρα Α ςυγκροφεται απολφτωσ ελαςτικά με τθ ςφαίρα Β και ςτθ ςυνζχεια θ Β ςυγκροφεται απολφτωσ ελαςτικά με τον A τοίχο. Για ποια τιμι του λόγου λ = B Κεφάλαιο 5 α. θ απόςταςθ μεταξφ των ςφαιρϊν Α, Β μετά τθν κροφςθ τθσ Β με τον τοίχο κα παραμείνει ςτακερι; β. κα ζχουμε και δεφτερθ κροφςθ μεταξφ των Α, Β αν A < B ; γ. θ ςφαίρα Α απομακρφνεται από τθν Β με διπλάςια ταχφτθτα αν A < B ; *Απ. α. λ = /3, β. /3 < λ <, γ. λ = / Δφο ςφαίρεσ με μάηεσ = kg και = 9 kg κινοφνται με ταχφτθτεσ μζτρου υ = 60 /s και υ = 0 /s αντίςτοιχα με αντίκετεσ φορζσ και ςυγκροφονται κεντρικά και ελαςτικά. Να υπολογίςετε τθ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ κάκε ςφαίρασ κατά τθν κροφςθ τουσ. *Απ. 378 J, 378 J] Ελαςτικι ςφαίρα μάηασ = kg ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με αρχικά ακίνθτθ ςφαίρα μάηασ = 9 kg. Αν θ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ μάηασ ζχει μζτρο Δp = 45 kg /s, να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ μάηασ πριν και μετά τθν κροφςθ. *Απ. 5 /s, 0 /s] Μια ςφαίρα Α μάηασ kg κινείται με ταχφτθτα 3 3 /s και ςυγκροφεται πλάγια με άλλθ ςφαίρα Β μάηασ 4 kg που αρχικά είναι ακίνθτθ. Αν θ κροφςθ είναι ελαςτικι και θ ςφαίρα Α αμζςωσ μετά τθν κροφςθ κινείται κάκετα ςτθν αρχικι τθσ διεφκυνςθ να υπολογίςετε α. τισ ταχφτθτεσ των δφο ςφαιρϊν μετά τθν κροφςθ. β. το ποςοςτό τθσ αρχικισ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ςφαίρασ Α που μεταβιβάςτθκε τθ ςφαίρα Β κατά τθν κροφςθ. γ. τθ μεταβολι τθσ ορμισ τθσ ςφαίρασ Α λόγω τθσ κροφςθσ. [Aπ. α. υ = 3 /s, υ = 3 /s, 30 0, β....] Σρεισ όμοιεσ λείεσ ςφαίρεσ ζχουν μάηα και ακτίνα R. Αρχικά οι ςφαίρεσ Β και Γ Β είναι ακίνθτεσ πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο, ενϊ θ ςφαίρα Α κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ = 6 /s, πάνω ςτθ μεςοκά-κετο τθσ διακζντρου των Β και Γ, ζτςι ϊςτε τθ Α 60 0 ςτιγμι τθσ επαφισ τθσ με τισ ςφαίρεσ Β και Γ θ διεφκυνςθ τθσ ταχφτθτάσ τθσ να υ ςχθματίηει γωνία 60 0 με τθ διάκεντρό τθσ με τθ ςφαίρα Β, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Θ ςφαίρα Α ςυγκροφεται ταυτόχρονα και ελαςτικά με τισ ςφαίρεσ Β και Γ και μετά τθν Γ κροφςθ κινείται ςτθν ίδια με τθν αρχικι διεφκυνςθ. Να υπολογίςετε τισ ταχφτθτεσ των τριϊν ςφαιρϊν μετά τθν κροφςθ τουσ. *Απ. ] Α υ υ B = 0 B φαίρα Α με μάηα = kg κινείται με ταχφτθτα υ = 5 3 /s και ςυγκροφεται μθ μετωπικά και ελαςτικά με ακίνθτθ ςφαίρα Β μάηασ. Αν οι ταχφτθτεσ μετά τθν κροφςθ ςχθματίηουν τισ γωνίεσ του ςχιματοσ, να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα υ και τθ μάηα. *Απ. 0 /s, kg] Α υ Β υ υ φαίρα κινείται με ταχφτθτα με 00 /s και πζφτει πάνω ςε άλλθ ςφαίρα ίδιασ μάηασ που αρχικά είναι ακίνθτθ. Θ κροφςθ είναι ελαςτικι και θ αρχικά κινοφμενθ ςφαίρα κινείται ςε διεφκυνςθ θ οποία ςχθματίηει γωνία 60 0 με τθν αρχικι. Να υπολογίςετε τισ ταχφτθτεσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. *Απ. 00 /s, 00 3 /s, 300 ] 5.0. Δφο ςϊματα με μάηεσ = kg και = kg αντίςτοιχα, κινοφνται ςε κάκετεσ διευκφνςεισ πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο, με ταχφτθτεσ υ = 0 /s και υ = 0 3 /s αντίςτοιχα. Αν τα ςϊματα ςυγκροφονται πλαςτικά, να υπολογίςετε α. τθν ταχφτθτα του ςυςτιματοσ μετά τθν κροφςθ, β. τθν απϊλεια τθσ κινθτικισ ενζργειασ για κάκε ςϊμα και για το ςφςτθμα ςυνολικά.

13 Κροφςεισ *Απ. α. 0 /s, 30 0, β. 0, 00 J, 00 J] 5.0. Δφο ςϊματα τθσ ίδιασ μάηασ κινοφνται με ταχφτθτεσ ίδιου μζτρου υ 0 ςε διευκφνςεισ που ςχθματίηουν μεταξφ τουσ γωνία φ. Αν θ κροφςθ είναι πλαςτικι και μετά τθν κροφςθ το ςυςςωμάτωμα που ςχθματίηεται κινείται με ταχφτθτα μζτρου υ = υ, να υπολογίςετε τθ γωνία φ. *Απ ] Ζνα καροτςάκι μάηασ κινείται χωρίσ τριβζσ με ταχφτθτα υ. Ζνασ άνκρωποσ μάηασ κυνθγάει το καροτςάκι με ταχφτθτα υ και όταν το φτάνει πθδάει μζςα ςε αυτό. Αν θ ταχφτθτα του καροτςιοφ αυξάνεται κατά 0% να υπολογίςετε τον λόγο. *Απ Βλιμα μάηασ = 0, kg εκτοξεφεται οριηόντια εναντίον δφο κιβωτίων με μάηεσ = 5 kg και =,9 kg που βρίςκονται αρχικά υ 0 ακίνθτα πάνω ςε οριηόντιο επίπεδο. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ με το επίπεδο είναι μ = 0, (και για τα δφο). Σο βλιμα διαπερνά το πρϊτο κιβϊτιο και ενςωματϊνεται ςτο δεφτερο. Μετά τθν κροφςθ τα κιβϊτια μετατοπίηονται αντίςτοιχα κατά Δx = 8 και Δx = 3 και ςταματοφν. Να υπολογίςετε τθν αρχικι ταχφτθτα υ του βλιματοσ. Θεωριςτε ότι ςτθ διάρκεια των κροφςεων τα κιβϊτια δεν μετατοπίηονται και 0 ότι g = 0 /s. *Απ. 540 /s] Σα ςϊματα Α και Β του ςχιματοσ ςυγκροφονται κεντρικά και πλαςτικά. Σο ςϊμα Α ζχει μάηα και πριν τθν κροφςθ ζχει ταχφτθτα μζτρου υ = /s. Σο ςϊμα Β ζχει μάηα και πριν τθν κροφςθ ιταν ακίνθτο. Να υπολογίςετε τθν απόςταςθ που κα υ διανφςει το ςυςςωμάτωμα μζχρι να ςταματιςει, αν ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςε αυτό και ςτο οριηόντιο επίπεδο είναι μ = /8. A B Δίνεται: g = 0 /s. *Απ. 0,4 ] Βλιμα μάηασ = 0, kg εκτοξεφεται οριηόντια με ταχφτθτα μζτρου υ = 300 /s εναντίον ξφλινου κιβωτίου μάηασ = kg που θρεμεί ςε οριηόντιο επίπεδο. Σο βλιμα βγαίνει ςε πολφ λίγο χρόνο από το κιβϊτιο με ταχφτθτα μζτρου υ = 00 /s. Αν μετά τθν κροφςθ το κιβϊτιο ολιςκαίνει ςτο οριηόντιο επίπεδο και ςταματά αφοφ διανφςει διάςτθμα s = 0, να υπολογίςετε: α. το ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ μεταξφ κιβωτίου και επιπζδου, β. τθν κινθτικι ενζργεια που χάνεται κατά τθν κροφςθ. Δίνεται: g = 0 /s. *Απ. 0,5, 3900 J] Μάηα = 4 kg είναι δεμζνθ ςτο ελεφκερο άκρο οριηοντίου ελατθρίου ςτακεράσ k = 00 N/ και αρχικά βρίςκεται ςτθ κζςθ όπου το ελατιριο ζχει το φυςικό του μικοσ. Μάηα = kg κινείται ςτθ διεφκυνςθ του άξονα του ελατθρίου με ταχφτθτα k,l 0 0 μζτρου υ 0 = 0 /s και ςυγκροφεται μετωπικά και ελαςτικά με τθν αρχικά ακίνθτθ μάηα. Να υπολογίςετε: α. το ποςοςτό % απϊλειασ τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ μάηασ κατά τθν κροφςθ, β. τθ μζγιςτθ ςυμπίεςθ του ελατθρίου. Σριβζσ δεν υπάρχουν. *Απ. 64%,,6 ] ϊμα μάηασ είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο Κ=3U ελ οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k, του Θ.Ι. οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Σο ςϊμα εκτελεί αρμονικι ταλάντωςθ με υ υ k, π 3 Σ πλάτοσ Α = 0, και περίοδο Σ = s. Όταν Σ το ςϊμα διζρχεται από τθ κζςθ ςτθν οποία θ κινθτικι του ενζργεια είναι τριπλάςια από τθ δυναμικι ενζργεια του ελατθρίου, ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με ςϊμα μάηασ 3, το οποίο κινείται αντίρροπα με ταχφτθ-τα υ. Σο ςυςςωμάτωμα που προκφπτει από τθν κροφςθ εκτελεί αρμονικι ταλάντωςθ με πλάτοσ Α = 0,. Να υπολογίςετε

14 - 4 - Κεφάλαιο 5 α. το χρόνο που χρειάηεται το ςυςςωμάτωμα για να μεταβεί από τθ κζςθ που ζγινε θ κροφςθ ςτθ κζςθ ιςορροπίασ του για πρϊτθ φορά. β. τθν ταχφτθτα του λίγο πριν ςυγκρουςτεί με το. γ. το % ποςοςτό ελάττωςθσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ, εξαιτίασ τθσ κροφςθσ ϊμα μάηασ = 0,5 kg κινείται ευκφγραμμα και ομαλά κατά τθ διεφκυνςθ του άξονα xϋx πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο με ταχφτθτα υ 0. Σο ςϊμα ςυγκροφεταιμετωπικά και ανελαςτικά (θμιελαςτικά) με ακίνθτο ςϊμα μάηασ M = kg. Λόγω τθσ κροφςθσ θ απϊλεια τθσ μθχανικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ είναι ΔΕ = 45 J. Να υπολογίςετε α. το ελάχιςτο μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ 0. β. τισ ταχφτθτεσ των ςωμάτων και μετά τθν κροφςθ, αν δίνεται θ υ 0 = 7 /s. [Απ. α. 5 /s, β. 3 /s, 5 /s] 5.0. Σρεισ ελαςτικζσ ςφαίρεσ με μάηεσ, και 3 είναι δεμζνεσ ςτα άκρα κα-τακόρυφων νθμάτων με τρόπο που να εφάπτονται μεταξφ τουσ και τα κζντρα τουσ να βρίςκονται ςτθν ίδια οριηόντια ευκεία. Αν θ ςφαίρα με μάηα πζςει πάνω ςτθ ςφαίρα μάηασ με οριηόντια ταχφτθτα μζτρου υ = 0 /s να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα υ 3 με τθν οποία αρχίηει να κινείται θ ςφαίρα μάηασ 3. Δίνεται: = = 6 3. *Απ. 0 /s] 5.. Μια ςφαίρα Α μάηασ A κινοφμενθ με ταχφτθτα υ ςυγκροφεται ελαςτικά και κεντρικά με ακίνθτθ ςφαίρα Βμάηασ B. Ποιοσ πρζπει να είναι ο λόγοσ A / B ϊςτε: α. οι ςφαίρεσ να κινθκοφν μετά τθν κροφςθ με ταχφτθτεσ ίςου μζτρου αλλά αντίκετεσ κατευκφνςεισ. β. θ ςφαίρα Α αμζςωσ μετά τθν κροφςθ να κινθκεί αντίκετα προσ τθν αρχικι τθσ ταχφτθτα με ταχφτθτα μζτρου υ/. γ. θ ςφαίρα Β αμζςωσ μετά τθν κροφςθ να κινθκεί με ταχφτθτα 3 υ. *Απ. α. 3, β. 3, γ. ] 5.. ϊμα μάηασ M = kg είναι ακίνθτο πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Βλιμα μάηασ = kg που κινείται οριηόντια με ταχφτθτα 00 /s α. ςφθνϊνεται ςτο ςϊμα. β. εξζρχεται από αυτό με ταχφτθτα 40 /s. Να υπολογίςετεκαι ςτισ δφο περιπτϊςεισ τθν απϊλεια τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ. *Απ. α J, β J] το διπλανό ςχιμα δίνονται: = kg, υ = 4 /s, = 4 kg και υ = 4 /s. α. Ποιεσ οι ταχφτθτεσ μετά τθν ελαςτικι κροφςθ τουσ; β. Ποια θ μζςθ δφναμθ που άςκθςε θ μία ςφαίρα ςτθν άλλθ κατά τθ διάρκεια τθσ κροφςθσ αν αυτι διιρκθςε 0-3 s; γ. Ποια θ % μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ςφαίρασ μάηασ ; *Απ. α. - / s, / s β. - 0 N, 0 N, γ. 77,7%. ] υ υ 5.4. το διπλανό ςχιμα θ ςφαίρα μάηασ = kg αφινεται ελεφκερθ να κινθκεί από φψοσ h = 0,8. Ο δίςκοσ μάηασ M = 3 kg ιςορροπεί ςτο άκρο ελατθρίου ςτακεράσ k = 300 N/. Θ κροφςθ των δφο ςωμάτων είναι ελαςτικι. α. Ποιεσ οι ταχφτθτεσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ; β. Να υπολογίςετε το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ Μ, αν μετά τθν κροφςθ το ςϊμα απομακρφνεται. γ. Ποια θ μζγιςτθ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου και ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ορμισ τθ ςτιγμι τθσ μζγιςτθσ ςυςπείρωςθσ; Δίνεται g = 0 /s. [Απ. α. /s, - /s, β. 0,, γ. 0,3, - 60 kg /s ] M k h y

15 Κροφςεισ Δίςκοσ μάηασ Μ = 3 kg είναι ςυνδεδεμζνοσ ςτο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k = 00 N/ του οποίου το άλλο άκρο είναι ςτερεωμζνο ςτο ζδαφοσ. Από φψοσ h =,6 πάνω από το κζντρο του δίςκου αφινεται να πζςει ελεφκερα μικρι ςφαίρα μάηασ = kg (βλ.ςχιμα προθγοφμενθσ άςκθςθσ) θ οποία ςυγκροφεται με το δίςκο μετωπικά και πλαςτικά. Θ διάρκεια τθσ κροφςθσ κεωρείται αμελθτζα. Να υπολογίςετε α. τθν ελάττωςθ τθσ μθχανικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ εξ αιτίασ τθσ κροφςθσ. β. το πλάτοσ τθσ αρμονικισ ταλάντωςθσ τθν οποία κα εκτελζςει το ςυςςωμάτωμα. γ. τθν ελαςτικι δυναμικι ενζργεια του ελατθρίου όταν το ςυςςωμάτωμα βρίςκεται ςτισ ακραίεσ κζςεισ τθσ τροχιάσ του. δ. το χρονικό ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ και όταν βρίςκεται ςτισ ακραίεσ κζςεισ τθσ τροχιάσ του. Δίνεται g = 0 /s. [Απ. α. J β. 0,3 γ. 4,5 J, 0,5 J δ. 0 N, - 30 N, 30 N] 5.6. Οι ςφαίρεσ του ςχιματοσ με μάηεσ και είναι δεμζνεσ με νιματα ίςου μικουσ. Κρεμάμε τα νιματα από το ίδιο ςθμείο και απομακρφνουμε τθ ςφαίρα μάηασ από τθ κζςθ ιςορροπίασ τθσ μζχρι φψουσ h = 0,. Θ ςφαίρα ςυγκροφεται ελαςτικά και κεντρικά με τθν αρχικά ακίνθτθ ςφαίρα μάηασ. Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα τθσ ςφαίρασ μάηασ μετά τθν κροφςθ αν: α. =, β. =. Δίνεται: g = 0 /s. [Απ. α. /s, β. 8/3 /s] h φ υ x 5.7. Δφο ςφαίρεσ Α, Β με μάηεσ και αντίςτοιχα κρζμονται με κατακόρυφα νιματα που ζχουν το ίδιο μικοσ l = 0 c. Αρχικά οι δφο ςφαίρεσ εφάπτονται μεταξφ τουσ. Εκτρζπουμε τθ ςφαίρα Α κατά γωνία 60 0 και τθν αφινουμε ελεφκερθ. Θ κροφςθ είναι απολφτωσ ελαςτικι. Αν =, να υπολογίςετε α. τθν ταχφτθτα με τθν οποία θ ςφαίρα Α κα χτυπιςει τθ Β. β. τισ ταχφτθτεσ με τισ οποίεσ κα κινθκοφν οι ςφαίρεσ μετά τθν κροφςθ. γ. τισ μζγιςτεσ εκτροπζσ (φψθ) ςτθν οποία κα βρεκοφν οι ςφαίρεσ μετά τθν κροφςθ. δ. τθν τάςθ του νιματοσ που αςκείται ςτθ ςφαίρα Β αμζςωσ μετά τθν κροφςθ αν = 00 g; Δίνεται g = 0 /s. [Απ. α. /s, β. /3 /s, /3 /s, γ., 80 45, δ. 3 N ] Δφο ςϊματα και με μάηεσ αντίςτοιχα και, είναι ςυνδεδεμζνα ςτα άκρα οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k και το ςφςτθμα ιςορροπεί πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα. Σο ελατιριο βρίςκεται ςτο φυςικό του μικοσ. Ζνα βλιμα μάηασ που κινείται οριηόντια κατά τθ διεφκυνςθ του άξονα του ελατθρίου ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με το ςϊμα. Να k υπολογίςετε α. το ποςοςτό % τθσ αρχικισ κινθτικισ ενζργειασ του βλιματοσ που μετατράπθκε ςε κερμικι κατά τθν κροφςθ. β. τθ μζγιςτθ ςυμπίεςθ του ελατθρίου. Θ διάρκεια τθσ κροφςθσ κεωρείται αμελθτζα. Δίνονται: = kg, υ 0 = 0 /s, k = 800 N/. *Απ. α. 50% β. 0,5 ] υ το διπλανό ςχιμα φαίνεται ζνα βλιμα μάηασ = 0 g, που πρόκειται να ςφθνωκεί ςε ζνα κομμάτι ξφλου μάηασ Μ = 980 g. Σο ξφλο είναι δεμζνο από τθν οροφι με τθ βοικεια ενόσ αβαροφσ νιματοσ ςτακεροφ μικουσ l = 0 c. Σο βλιμα λίγο πριν ςφθνωκεί ςτο ξφλο ζχει ταχφτθτα μζτρου υ = 00 /s, που ςχθματίηει γωνία φ = 60 0 με τον ορίηοντα. Να υπολογίςετε τθ μζγιςτθ γωνία εκτροπισ του νιματοσ από τθν αρχικι κατακόρυφθ κζςθ ςτθν οποία ιςορροποφςε το ξφλο. Απ. ςυνκ = 0,75+ φ υ l Μ

16 το διπλανό ςχιμα το ςφθνϊνεται ςτο Μ. Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ πάνω ςτο λείο οριηόντιο επίπεδο. Δίνονται υ = 0 3 /s, = 00 g, Μ = 900 g και φ = 300. [Απ.,5 /s] Κεφάλαιο 5 φ υ Μ 5.. Δφο ςφαίρεσ με μάηεσ = kg και = 4 kg κινοφνται με ταχφτθτεσ μζτρων υ = 4 /s και υ = /s πάνω ςε διευκφνςεισ που ςχθματίηουν μεταξφ τουσ γωνία Αν θ κροφςθ είναι πλαςτικι να υπολογίςετε: α.τθν ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ. β. τθν απϊλεια τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ. [Aπ. α. 4 3 / s 3, 30 0 με τθ υ, β. 8 J] 5.. το ςχιμα, το ςϊμα μάηασ Μ = kg εκετελεί αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ 0 c. Κάποια ςτιγμι ενϊ βρίςκεται ςτθ κζςθ x = c και κινείται κατά τθ κετικι κατεφκυνςθ ςυγκροφεται κεντρικά και πλαςτικά με ςϊμα μάηασ = 3 kg που κινείται αντίκετα με ταχφτθτα υ 0. Να υπολογίςετε Α. τθν περίοδο τθσ αρμονικισ ταλάντωςθσ πριν και μετά τθν κροφςθ. Β. τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ μάηασ Μ λίγο πριν γίνει θ κροφςθ. Γ. το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ 0 ϊςτε θ ταλάντωςθ του ςυςςωματϊματοσ να ζχει Γ. πλάτοσ ταλάντωςθσ ίςο με αυτό που είχε το ςϊμα μάηασ Μ πριν γίνει θ κροφςθ. Γ. το ελάχιςτο δυνατό πλάτοσ. Δίνεται k = 900 Ν/ *Απ. Α. π s, π s, Β. 3 /s, Γ. 3 /s Γ. /s] 5 5 k ΦΜ Μ υ υ0 x 5.3. το ςχιμα Μ = 900 g, = 00 g, υ = 0 /s. Πόςο κα ανζλκει το ςϊμα Μ αν α. το ςφθνωκεί ςτο Μ β. το εξζρχεται από το Μ με ταχφτθτα 0 /s. Ποια θ απϊλεια ενζργειασ κατά τθν κροφςθ; Ποια θ τάςθ του νιματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ ςε κάκε περίπτωςθ; Δίνεται l = 0 c, g = 0 /s *Απ. α. 0,, 8 J, 30 N, β., J, N ] υ l Μ 5.4. Δφο ςφαίρεσ Α, Β είναι κρεμαςμζνεσ με ίςα νιματα και ιςορροποφν κακϊσ τα νιματα είναι κατακόρυφα οπότε οι ςφαίρεσ εφάπτονται μεταξφ τουσ. i) Οριηοντιϊνουμε το νιμα τθσ ςφαίρασ Α και τθν αφινουμε ελεφκερθ να κινθκεί. Αν το μικοσ του νιματοσ είναι 0 c και θ κροφςθ ελαςτικι να υπολογίςετε τισ μζγιςτεσ γωνιακζσ αποκλίςεισ από τθν A αρχικι κζςθ ιςοροπίασ των ςφαιρϊν αν: α. = A β. = 5 ii) Εκτρζπουμε και τισ δφο ςφαίρεσ αντίκετα κατά γωνίεσ φ και κ και τισ αφινουμε ελεφκερεσ. Αν θ κροφςθ είναι τελείωσ ελαςτικι και γίνεται ςτθν αρχικι κζςθ ιςορροπίασ των ςφαιρϊν, ποιοσ πρζπει να A είναι ο λόγοσ των μαηϊν τουσ ϊςτε οι ςφαίρεσ να ξαναγυρίςουν ςισ αρχικζσ κζςεισ εκτροπισ τουσ. B Δίνονται ςυνφ = 0,998, ςυνκ=0,997. *Απ. i) α. 0 0, 90 0, β. ςυνκ = 5 9, ςυνκ = 8 9, ii) 3 ] 5.5. Δφο ςφαίρεσ Α και Β με μάηεσ A = 8 kg και B = kg κινοφνται πάνω ςτθν ίδια ευκεία με αντίκετθ φορά χωρίσ τριβζσ και οι ταχφτθτζσ του είναι υ Α = 5 /s και υ Β = 8 /s. Θ κροφςθ που ςυμβαίνει μεταξφ τουσ είναι κεντρικι και τελείωσ πλαςτικι και διαρκεί 0, s. Να υπολογίςετε: α. το μζτρο τθσ κοινισ ταχφτθτασ των δφο ςφαιρϊν μετά τθν κροφςθ. β. τθ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ κάκε ςφαίρασ. γ. τθ μζςθ δφναμθ που αςκικθκε ςτθν κάκε ςφαίρα κατά τθ διάρκεια τθσ κροφςθσ. δ. να παραςτακεί γραφικά θ ορμι ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο p = f(t), για τισ δφο ςφαίρεσ ςτο ίδιο διάγραμμα για χρονικό διάςτθμα s ςτο οποίο θ κροφςθ να φαίνεται ότι ζγινε μεταξφ 0,4 s και 0,6 s. B B

17 Κροφςεισ τθ διάρκεια τθσ κροφςθσ κεωροφμε ότι θ ορμι μεταβάλλεται γραμμικά. [Απ. α.,4 /s, β. -76,96 J, -58,4 J, γ N, +04 N] {ΚΤΠΡΟ} 5.6. Σεμάχιο ξφλου μάηασ Μ = 0, 98 kg είναι αναρτθμζνο από αβαρζσ νιμα μικουσ l = ζτςι ϊςτε να μπορεί να εκτελζςει κατακόρυφθ κυκλικι τροχιά. Βλιμα μάηασ = 0 g κινείται οριηόντια με ςτακερι ταχφτθτα υ και ςφθνϊνεται μζςα ςτο ξφλο. Σο ςφςτθμα των δφο ςωμάτων μόλισ διαγράφει κατακόρυφθ κυκλικι τροχιά. Ηθτοφνται: α. να υπολογιςκεί θ ταχφτθτα του ςυςτιματοσ των ςωμάτων ςτο ψθλότερο ςθμείο τθσ τροχιάσ. β. να υπολογιςκεί θ ταχφτθτα υ του βλιματοσ. γ. το κλάςμα τθσ μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςτιματοσ κατά τθν κροφςθ; δ. να υπολογιςτεί θ ταχφτθτα του βλιματοσ, αν αντικαταςτιςουμε το νιμα με αβαρι ράβδο ίδιου μικουσ (ϊςτε το ςφςτθμα των δφο ςωμάτων μόλισ να διαγράφει κατακόρυφθ κυκλικι τροχιά). Δίνεται g = 0 /s. *Απ. α. 5 / s β. 500/s, γ. 49 δ / s ] Πάνω ςε λείο οριηόντιο δάπεδο και μπροςτά από κατακόρυφο ανζνδοτο τοίχο δίνονται δφο ςθμεία Α και Β των οποίων οι αποςτάςεισ από τον τοίχο είναι,75 και 4 αντίςτοιχα. Θ απόςταςθ ΑΒ είναι 0. Από το ςθμείο Α εκςφενδονίηεται μικρι ελαςτικι ςφαίρα προσ τον τοίχο και μετά από ελαςτικι κροφςθ με αυτόν, διζρχεται από το ςθμείο Β. Να υπολογίςετε το μικοσ τθσ διαδρομισ τθσ ςφαίρασ από το Α ςτο Β. *Πολυτεχνείο 964+ *Απ. ] 5.8. Ομογενισ και ιςοπαχισ ράβδοσ μικουσ l 0 =,8 και μάηασ M =,5 kg μπορεί να περιςτρζφεται χωρίσ τριβζσ γφρω από οριηόντιο άξονα ο οποίοσ είναι κάκετοσ ςτο μικοσ τθσ και διζρχεται από το άκρο τθσ Α. Κρατάμε τθ l0 ράβδο ακίνθτθ ςε κζςθ όπου ο άξονάσ τθσ A ςχθματίηει γωνία 0 0 με τθν κατακόρυφθ κζςθ ιςορροπίασ τθσ. Κάποια ςτιγμι αφινεται ελεφκερθ και όταν γίνει κατακόρυφθ ςυγκροφεται με ακίνθτο ςϊμα μάηασ = 0,5 kg, του οποίου οι διαςτάςεισ κεωροφνται πολφ μικρζσ. Αμζςωσ μετά τθν κροφςθ θ ράβδοσ παραμζνει ακίνθτθ. Σο ςϊμα αφοφ διανφςει απόςταςθ l = χωρίσ τριβι πάνω ςτο οριηόντιο δάπεδο, ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με ςϊμα μάηασ = kg το οποίο θρεμεί δεμζνο ςτθ μία άκρθ οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k = 7 N/. Σο ελατιριο ζχει το φυςικό του μικοσ και το άλλο άκρο του δεμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο.θ ταχφτθτα του ζχει τθ διεφκυνςθ του άξονα του ελατθρίου. Α. Να υπολογίςετε: α. το μζτρο τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ τθσ ράβδου τθ ςτιγμι κατά τθν οποία γίνεται κατακόρυφθ. β. το μζτρο τθσ ταχφτθτασ τθν οποία αποκτά το ςϊμα αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. Β. Θ κροφςθ τθσ ράβδου με το ςϊμα ζχει αμελθτζα χρονικι διάρκεια. Είναι ελαςτικι ι όχι; Γ. Θ χρονικι διάρκεια τθσ κροφςθσ μεταξφ των ςωμάτων και είναι πολφ μικρι και ο ςυντελεςτισ κινθτικισ τριβισ μεταξφ δαπζδου και ςυςςωματϊματοσ είναι μ = 0,3. Να υπολογίςετε τθ μζγιςτθ ςυμπίεςθ του ελατθρίου. Δίνεται για τθ ράβδο I = M και g = 0 /s. A 0 3 [Aπ. A. 5 rad/s, 9 /s B. ΕλαςτικιΓ. 3/8 ] 5.9. Ζνα ςϊμα μάηασ M = 3 kg είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο κατακόρυφου ελατθρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο ςε οροφι και αρχικά ιςορροπεί με το ελατιριο τεντωμζνο κατά d = 0,3. Σθ χρονικι ςτιγμι t = 0, λόγω κάποιου εςωτερικοφ αιτίου, το ςϊμα διαςπάται βίαια ςε δφο κομμάτια με μάηεσ και για τισ οποίεσ ιςχφει =. Σο ςϊμα μάηασ παραμζνει δεμζνο ςτο ελατιριο εκτελϊντασ αρμονικι ταλάντωςθ με πλάτοσ A = 0,, ενϊ το ςϊμα μάηασ κινείται κατακόρυφα προσ τα κάτω. Δίνεται g = 0 /s. k l

18 - 8 - Κεφάλαιο 5 α. Να υπολογίςετε τθ ςτακερά επαναφοράσ τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ. β. Να υπολογίςετε τθν ενζργεια που εκλφκθκε κατά τθ διάςπαςθ του ςϊματοσ Μ. γ. Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςϊματοσ μάηασ από τθ κζςθ ιςορροπίασ του, κεωρϊντασ κετικι τθ φορά του βάρουσ. δ. Να υπολογίςετε το ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ του ςϊματοσ μάηασ τθ ςτιγμι τθσ διάςπαςθσ Μια ομογενισ ράβδοσ ΟΗ μικουσ l = 0,4 O και μάηασ Μ = 9 kg μπορεί να ςτρζφεται χωρίσ τριβζσ ςε κατακόρυφο επίπεδο, γφρω από οριηόντιο άξονα που διζρχεται από το άκρο τθσ Ο και είναι κάκετοσ ςτο επίπεδο περιςτροφισ τθσ. Αρχικά θ ράβδοσ ιςορροπεί ςε κατακόρυφθ l κζςθ, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. το άλλο άκρο τθσ είναι προςαρμοςμζνθ μικρι ςυςκευι εκτόξευςθσ, αμελθτζασ μάηασ, που περιζχει ζνα μικρό ςϊμα μάηασ = kg. Κάποια ςτιγμι το Z υ k ςϊμα μάηασ εκτοξεφεται οριηόντια από τθ ςυςκευι εκτόξευςθσ και αμζςωσ ςφθνϊνεται ςτο κζντρο μάηασ ενόσ ςϊματοσ μάηασ = 4 kg, που εκτελεί αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ Α = 0,3 δεμζνο ςτο ζνα άκρο ελατθρίου ςτακεράσ k = 400 N/, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Ελάχιςτα πριν τθν κροφςθ τα ςϊματα με μάηεσ και ζχουν αντίρροπεσ ταχφτθτεσ, ενϊ αμζςωσ μετά τθν πλαςτικι κροφςθ το ςυςςωμάτωμα ζχει μθδενικι ορμι. Θ ράβδοσ, μετά τθν εκτόξευςθ του ςϊματοσ μάηασ, ανεβαίνει και ακινθτοποιείται ςτιγμιαία ςτθ κζςθ όπου ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ςτροφορμισ τθσ είναι μζγιςτοσ. Να υπολογίςετε α. το μζτρο τθσ ςτροφορμισ τθσ ράβδου αμζςωσ μετά τθν εκτόξευςθ του. β. το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ του ςϊματοσ λίγο πριν τθν κροφςθ. γ. τθν απϊλεια μθχανικισ ενζργειασ εξαιτίασ τθσ πλαςτικισ κροφςθσ. δ. το πλάτοσ τθσ αρμονικισ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g = 0 /s και ότι θ ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου ωσ προσ άξονα που διζρχεται από το μζςον τθσ και είναι κάκετοσ ςε αυτι, υπολογίηεται από τθ ςχζςθ I c = M ε οριηόντιο επίπεδο υπάρχει ελατιριο, του οποίου το ζνα άκρο είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Σο ελατιριο ζχει φυςικό μικοσ. το ελεφκερο άκρο του ελατθρίου ακουμπάμε ςϊμα μάηασ και ςπρϊχνουμε το ςϊμα, ϊςτε το ελατιριο να ςυμπιεςτεί κατά l 0/4. τθ κζςθ αυτι θ δφναμθ που αςκεί το ελατιριο ςτο ςϊμα ζχει μζτρο ίςο με το βάροσ του ςϊματοσ. Σο ςφςτθμα αφινεται ελεφκερο να κινθκεί και αφοφ διανφςει απόςταςθ l 0/8, το ςϊμα διαςπάται ςε δφο ςϊματα ίδιασ μάηασ. Σο ζνα κινείται κατακόρυφα προσ τα πάνω με αρχικι ταχφτθτα ίςθ κατά μζτρο με τθν ταχφτθτα που είχε το λίγο πριν τθ διάςπαςθ. Σο άλλο ςυνεχίηει τθν κίνθςι του ςτο οριηόντιο επίπεδο, χωρίσ να αναπθδιςει και αφοφ κάποια ςτιγμι αποχωριςτεί από το ελατιριο ςταματά ςε απόςταςθ l 0/8 από το ελεφκερο άκρο του. Να υπολογίςετε α. το ςυντελεςτι τριβισ, που είναι ίδιοσ, μεταξφ ςωμάτων και οριηοντίου επιπζδου. β. το φψοσ που κα φτάςει το ςϊμα που κινικθκε κατακόρυφα. γ. τθ μεταβολι τθσ κινθτικισ ενζργειασ και τθσ ορμισ, τθ ςτιγμι τθσ διάςπαςθσ. δ. το ςυνολικό ποςό τθσ κερμικισ ενζργειασ. Εφαρμογι: l 0 = 0,96, = kg, g = 0 /s. *Απ. α. 7, β. c, γ. 0,3 J, 0 Kg, δ.,4 J] 0 s k k, k k Fε λ υ = υ υ υ