STATISTIKA. Miroslav M. Risti 2008/2009. Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu
|
|
|
- Θεόκλεια Μέλιοι
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 STATISTIKA Miroslav M. Risti Katedra za Matematiku Prirodno-matematiqki fakultet Univerzitet u Nixu 2008/2009
2 Literatura Miroslav M. Risti, Biljana Q. Popovi, Miodrag S. orđevi, Statistika za studente geografije, Prirodno-matematiqki fakultet, Nix, 2006.
3 Naqin polaganja ispita Deo ispita Poena Naqin polaganja I kolokvijum 20 Pismeno II kolokvijum 20 Pismeno Doma i zadaci 10 Ukupno 50 Uslov 15 Zavrxni deo 50 Pismeno Aktivnost na qasu Maksimalno 10
4 Osnovni elementi teorije verovatno e Eksperimenti Mogu biti: deterministiqki (u svakom ponavljanju eksperimenta pri istim uslovima dobija se uvek isti rezultat) sluqajni (ne moжemo da predvidimo rezultat) Primer Uslov eksperimenta: Zagrevanje vode preko 100 pri normalnom atmosferskom pritisku Rezultat eksperimenta: Agregatno stanje vode (uvek gasovito) Uslov eksperimenta: Bacanje kocke numerisane brojevima od 1 do 6 Rezultat eksperimenta: Broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke (moжe 1, 2, 3, 4, 5 ili 6)
5 Ishodi Ishod Rezultat eksperimenta naziva se i ishodom. Napomena Prilikom izvođenja eksperimenta potrebno je precizirati xta se registruje kao rezultat eksperimenta. Primer Eksperiment: Bacanje jednog novqi a Xta se registruje: Gornja strana novqi a Ishodi:
6 Primer Eksperiment: Bacanje dva novqi a Xta se registruje: Strane u prvom i drugom bacanju Ishodi: PP PG GP GG
7 Primer Eksperiment: Novqi se baca dva puta Xta se registruje: Broj palih grbova Ishodi: 0, 1, 2 Primer Eksperiment: Baca se kockaa Xta se registruje: Broj koji je pao na gornjoj strani Ishodi:aeimqu
8 Primer Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb Xta se registruje: Broj bacanja Ishodi: 1, 2, 3,
9 Primer Eksperiment: Na određenom mestu i u određeno vreme meri se vlaжnost vazduha u % Ishodi: Bilo koji broj iz intervala [0, 100] Elementaran ishod Elementaran ishod je osnovni pojam teorije verovatno e i oznaqava se sa ω. Skup svih mogu ih ishoda Skup svih mogu ih ishoda jednog eksperimenta oznaqava se sa Ω.
10 Primer Eksperiment: Bacanje jednog novqi a i registrovanje gornje strane novqi a Skup mogu ih ishoda: Ω = {P, G} Primer Eksperiment: Bacanje dva novqi a i registrovanje gornjih strana novqi a Skup mogu ih ishoda: Ω = {PP, PG, GP, GG} Primer Eksperiment: Novqi se baca dva puta i registruje se broj palih grbova Skup mogu ih ishoda: Ω = {0, 1, 2}
11 Primer Eksperiment: Baca se kocka numerisana brojevima od 1 do 6 i registruje se broj koji je pao na gornjoj strani kocke Skup mogu ih ishoda: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Primer Eksperiment: Novqi se baca sve dok ne padne grb i registruje se broj bacanja Skup mogu ih ishoda: Ω = {1, 2, 3,... } Primer Eksperiment: Na određenom mestu i u određeno vreme meri se vlaжnost vazduha u % Skup mogu ih ishoda: Ω = {v 0 v 100}
12 Skup mogu ih ishoda Skup mogu ih ishoda moжe biti: konaqan Ω = {P, G}, Ω = {PP, PG, GP, GG}, Ω = {0, 1, 2}, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} beskonaqno prebrojiv Ω = {1, 2, 3,... } neprebrojiv Ω = {v 0 v 100}
13 Sluqajni događaji Sluqajni događaj Bilo koji podskup skupa Ω zove se sluqajni događaj. Oznaqavanje Sluqajne događaje oznaqavamo velikim slovima abecede A, B, C, itd. Realizacija događaja Sluqajni događaj A se realizuje ako i samo ako se realizuje neki od elementarnih ishoda koji pripada događaju A.
14 Specijalni događaji Siguran događaj Skup mogu ih ishoda Ω je takođe događaj. On sadrжi sve elementarne ishode, te se uvek realizuje. Zove se siguran događaj. Nemogu događaj Prazan skup je takođe događaj. On ne sadrжi elementarne ishode, te se nikada ne realizuje. Zove se nemogu događaj.
15 Primer Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pada broj 6, b) B- pada broj ne ve i od 3, v) C- pada neparan broj, g) D- padaju istovremeno brojevi 2 i 3, d) E- pada broj razliqit od 2. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {6} B = {1, 2, 3} C = {1, 3, 5} D = E = {1, 3, 4, 5, 6}
16 Primer Baca se homogena numerisana kocka i registruje se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pada broj 3, b) B- pada broj manji od 3, v) C- ne pada nijedan broj, g) D- pada paran broj, d) E- padaju dva broja, đ) F - pada jedan od brojeva 2 ili 3, e) G- pada broj ve i od 1. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A = {3} B = {1, 2} C = D = {2, 4, 6} E = F = {2, 3} G = {2, 3, 4, 5, 6}
17 Primer Novqi se baca qetiri puta i registruje se gornja strana novqi a u svakom bacanju. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- pismo pada vixe puta nego grb, b) B- pismo pada taqno dva puta, v) C- pismo pada vixe od dva puta, g) D- rezultati svih bacanja su isti, d) E- sva qetiri puta pada grb. Rexenje: Skup mogu ih ishoda je Ω = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP, PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP, PGGG, GPGG, GGPG, GGGP, GGGG} A = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP} B = {PPGG, PGPG, PGGP, GPPG, GPGP, GGPP} C = {PPPP, PPPG, PPGP, PGPP, GPPP} = A D = {PPPP,GGGG} E = {GGGG}
18 Primer Bacaju se dve numerisane kocke i registruju se brojevi na gornjim stranama kocki. Odrediti skup mogu ih ishoda i događaje: a) A- na obema kockama pada broj qetiri, b) B- na obema kockama pada isti broj, v) C- padaju brojevi 2 i 3, g) D- padaju brojevi qiji je zbir 10, d) E- padaju brojevi qiji je zbir 8 ili 10. Rexenje: Ishod moжemo predstaviti kao uređeni par (x, y), gde je x broj na prvoj, a y broj na drugoj kocki.
19 Ω = {(x, y) 1 x, y 6} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
20 A = {(4, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
21 B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
22 C = {(2, 3), (3, 2)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
23 D = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
24 E = {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
25 Događaji Implikacija događaja Događaj A implicira događaj B i pixemo A B, ako kad god se realizuje A realizuje se i B. Ω A B
26 Događaji Suprotan događaj Suprotan događaj događaju A, u oznaci A c, je događaj koji se realizuje onda i samo onda kada se događaj A ne realizuje. A A c Ω
27 Događaji Presek događaja Presek dva događaja A i B, u oznaci A B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se istovremeno realizuju oba događaja A i B. Oznaka Presek dva događaja A B moжe se zapisati i kao proizvod dva događaja AB. A B
28 Događaji Unija događaja Unija dva događaja A i B, u oznaci A B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje bar jedan od događaja A ili B. A B
29 Događaji Disjunktni događaji Događaji A i B su disjunktni ili uzajamno iskljuqivi ako je A B =. Zbir događaja Ako su događaji A i B disjunktni, tada se umesto termina unija događaja koristi termin zbir događaja i pixe A + B.
30 Događaji Razlika događaja Razlika događaja A i B, u oznaci A\B, je događaj koji se realizuje ako i samo ako se realizuje događaj A i ne realizuje događaj B. A B
31 Primer Neka se eksperiment sastoji u istovremenom bacanju kocke i novqi a. Registruju se broj koji se pojavio na gornjoj strani kocke i gornja strana novqi a. Odrediti slede e događaje: A- pojavljuje se paran broj, B- pojavljuje se pismo, C- pojavljuje se broj deljiv sa 4, A B, A B, A c, A\B. Da li događaj C implicira događaj A? Rexenje: Ishod moжemo predstaviti kao uređeni par (x, y), gde je x broj na kocki, a y je pojavljivanje jedne strane novqi a.
32 Ω = {(x, y) 1 x 6, y {P,G}} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
33 A = {(2, P), (2, G), (4, P), (4, G), (6, P), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
34 B = {(1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
35 C = {(4, P), (4, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
36 A B = {(1, P), (2, P), (3, P), (4, P), (5, P), (6, P), (2, G), (4, G), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
37 A B = {(2, P), (4, P), (6, P)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
38 A c = {(1, P), (1, G), (3, P), (3, G), (5, P), (5, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
39 A\B = {(2, G), (4, G), (6, G)} G P (1,G) (2,G) (3,G) (4,G) (5,G) (6,G) (1,P) (2,P) (3,P) (4,P) (5,P) (6,P)
40 Primer Neka događaj A znaqi da je bar jedan od tri proizvedena artikla neispravan, a neka događaj B znaqi da su najmanje dva artikla neispravna. Odrediti događaje A c, B c, AB, AB c, A c B, A B. Rexenje: Oznaqimo sa I pojavu ispravnog artikla, a sa D pojavu neispravnog artikla.
41 Ω DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
42 Ω A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
43 Ω A B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
44 Ω A c A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
45 Ω B c B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
46 Ω AB = B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
47 Ω AB c DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
48 A c B = Ω A c B DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
49 Ω A B = A DII DDI III IDI DID DDD IID IDD
50 Primer Neka su A, B i C tri događaja. Napisati pomo u osnovnih operacija izraze za događaje: 1. ostvari se samo A, 2. ostvare se A i B, 3. ostvare se sva tri događaja, 4. ostvari se bar jedan od tih događaja, 5. ostvare se bar dva događaja, 6. ostvari se samo jedan od tih događaja, 7. ostvare se taqno dva događaja, 8. ne ostvari se ni jedan od tih događaja, 9. ostvari se vixe od dva događaja.
51 B C Ω A
52 Ostvari se samo A = AB c C c B C Ω A
53 Ostvare se A i B = AB B C Ω A
54 Ostvare se sva tri događaja = ABC B C Ω A
55 Ostvari se bar jedan događaj = A B C B C Ω A
56 Ostvare se bar dva događaja = AB AC BC B C Ω A
57 Ostvari se samo jedan događaj = AB c C c + A c BC c + A c B c C B C Ω A
58 Ostvare se taqno dva događaja = ABC c + AB c C + A c BC B C Ω A
59 Ne ostvari se ni jedan događaj = A c B c C c B C Ω A
60 Potpun sistem događaja Definicija Za međusobno disjunktne događaje A 1, A 2,..., A n kaжemo da qine potpun sistem događaja ako je njihov zbir siguran događaj Ω, tj. A 1 + A A n = Ω. A 1 A 2 A 3 Ω A 4 A 5
61 Potpun sistem događaja Primer Neka je skup mogu ih ishoda Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ispitati da li slede i događaji qine potpun sistem događaja: 1 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5}, A 3 = {7, 8, 9} 2 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {4, 7, 8} 3 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {7, 8}
62 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5}, A 3 = {7, 8, 9} Ω
63 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {4, 7, 8} Ω
64 A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {4, 5, 6, 9}, A 3 = {7, 8} Ω
65 Zadaci Zadatak 1 Strelac ima 4 metka i gađa u cilj sve dok ne pogodi dva puta uzastopno ili dok ne izgubi xansu da ispuni taj uslov. Beleжi se rezultat svakog gađanja. Odrediti skup mogu ih ishoda Ω i događaje: A- cilj je pogođen bar dva puta B- ostao je neiskorix en bar jedan metak C- bilo je vixe promaxaja nego pogodaka
66 Zadaci Zadatak 2 Neka je Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {3, 4, 5, 6}. Odrediti događaje A c, AC, (AC) c, A B, B\C.
67 Zadaci Zadatak 3 Neka je Ω = {a, b, c, d, e, f, g}. Ispitati da li slede i događaji qine potpun sistem događaja: 1 A 1 = {a, c, e}, A 2 = {b}, A 3 = {d, g} 2 B 1 = {a, e, g}, B 2 = {c, d}, B 3 = {b, e, f } 3 C 1 = {a, b, e, g}, C 2 = {c}, C 3 = {d, f } 4 D 1 = {a, b, c, d, e, f, g}
Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Testiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Jednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Statistika i osnovna mjerenja
Statistika i osnovna mjerenja Teorija vjerojatnosti M. Makek 2016/2017 Uvod Pokus bilo koji postupak ili proces koji rezultira opažanjem Ishod moguć rezultat pokusa (različiti ishodi se međusobno isključuju)
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Matematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri
Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Računarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
uniformno konvergira na [ 2, 2]?
![uniformno konvergira na [ 2, 2]?](/thumbs/69/60733220.jpg "uniformno konvergira na [ 2, 2]?")
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 27.6.2015. ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati diferencijabilnost funkcije u = u(x, y, z) u taqki (0, 1, 2). 2. Definisati
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra
1. Pojam fazi skupa. 2. Pojam fazi skupa. 3. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici. 4. Funkcija pripadnosti, osobine i oblici
Meko računarstvo Student: Indeks:. Poja fazi skupa. Vrednost fazi funkcije pripadnosti je iz skupa/opsega: a) {0, b) R c) N d) N 0 e) [0, ] f) [-, ] 2. Poja fazi skupa 2. Na slici je prikazan grafik: a)
Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
TEORIJA ALGORITAMA, JEZIKA I AUTOMATA. Zbirka zadataka
Irena Spasi Predrag Janiqi TEORIJA ALGORITAMA, JEZIKA I AUTOMATA Zbirka zadataka MATEMATIQKI FAKULTET Beograd, 2000 Autori: mr Irena Spasi, asistent Ekonomskog fakulteta u Beogradu mr Predrag Janiqi, asistent
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Skupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79
TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )
Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,
O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
ZADACI IZ VEROVATNO E I STATISTIKE ZA I SMER
ZADACI IZ VEROVATNO E I STATISTIKE ZA I SMER Zadatak. Dato je 0 kuglica numerisanih brojevima od do 0. Sluqajno se biraju 3 kuglice odjednom. Kolika je verovatno a događaja da je taqno jedna od izabranih
Rešenje predhodnog primera: Neka je A događaj izvlačenja crne kuglice, a B verovatnoća izvlačenja bele kuglice iz prvog izvlačenja.
USLOVNA VEROVATNOĆA Često smo u prilici da tražimo verovatnoću nekog događaja A, posedujući informaciju o tome da se događaj B realizovao ili pretpostavljajući da će se realizovati. U kesi se nalazi belih
Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:
Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave