ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE

Transcript

1 8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare, care costituie modelul matematic adecvat petru o serie de eomee aleatoare cu evoluţie temporală discretă, iar legat de aceasta u loc cetral îl ocupă covergeta şirurilor de variabile aleatoare. Vom prezeta î acest paragra pricipalele tipuri de covergeţă ale şirurilor de variabile aleatoare şi uele proprietăţi reeritoare la aceste tipuri de covergeţă. Fie (Ω,K,Ρ u spaţiu cu măsură de probabilitate complet aditivă şi ( u şir de variabile aleatoare, o variabilă aleatoare, toate deiite pe acelaşi câmp de probabilitate (, : Ω R şi cu valori reale. Deiiţia. Spuem că şirul de variabile aleatoare ( IN coverge î probabilitate către variabila aleatoare, dacă petru orice ε > 0 si δ > 0 există u umăr atural N(ε,δ astel îcât (8. P({ ω Ω : ( ω ( ω δ }< ε, petru orice Ν(ε,δ. Vom ota această covergeţă pri P 0 Observaţia. Di deiiţia de mai sus rezultă că şirul de variabile aleatoare ( coverge î probabilitate către variabila aleatoare, dacă (8.. lim P({ ω Ω : ( ω ( ω δ} = 0, oricare ar i δ > 0. Propoziţia. Fie (, şi g variabile aleatoare reale deiite pe acelaşi câmp de probabilitate (Ω,K,Ρ. Dacă şirul ( coverge î probabilitate către şi către g, atuci P({ ω Ω : (ω g(ω} = 0.

2 80 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 Demostraţie. Îtr-adevăr di iegalitatea g + g rezultă De aici deducem P + ε { ω Ω: (ω( g(ω( ε} { ω Ω:(ω( (ωω } { ω Ω: (ωω g(ω( } ε ε ({ ω Ω : ( ω g( ω ε} P( { ω Ω : ( ω ( ω } ε P( { ω Ω : g( ω ( ω } Iegalitatea de mai sus împreuă cu aptul că petru orice ε > 0 Î acelaşi timp avem P ({ ω Ω : ( ω g( ω 0} = P U = Di cele de mai sus rezultă că ceea ce trebuie demostrat ({ ω Ω : ( ω g( ω ε} P =0, = P si g implică { } ω : ( ω g( ω P( { ω Ω : ( ω g( ω } = ({ Ω : ( ω g( ω 0} 0 P ω =, Deiiţia. Şirul de variabile aleatoare ( IN coverge tare către variabila aleatoare dacă petru orice ε > 0 şi δ > 0 există umărul atural N(ε,δ astel îcât (8..3 P Uω Ω : ( ω ( ω δ < ε > N( ε, δ Observaţia. Dacă şirul de variabile aleatore ( IN coverge tare către variabila aleatoare, atuci ( IN coverge de asemeea î probabilitate către. P +

3 8.. Şiruri de variabile aleatoare 8 Deiiţia 3. Spuem că şirul de variabile aleatoare ( N coverge î repartiţie (î ses Beroulli către variabila aleatoare, dacă şirul ucţiilor de repartiţie ( F N asociate variabilelor ( N coverge la ucţia de repartiţie F asociată variabilei aleatoare, î iecare puct de cotiuitate a lui F. Notăm această covergetă pri r. Propoziţia. Fie : (Ω,K,Ρ R, N şi :(Ω,K,Ρ R u şir de variabile aleatoare şi respectiv, o variabilă aleatoare, deiite pe acelaşi câmp de probabilitate (Ω,K,Ρ. Atuci are loc: (8..4 P Demostratie. Fie F N, respectiv F ucţiile de repartiţie asociate variabilelor aleatoare cosiderate şi x 0 u puct de cotiuitate al lui F. Atuci, petru orice ε > 0 există δ > 0 astel ca (8..5 F(x 0 + δ F(x 0 δ < ε Dar F(x 0 δ = P({ ω Ω : ( ω < x 0 δ} = = P({ ω Ω : ( ω < x 0 δ} { ω Ω : ( ω < x 0} + + P({ ω Ω : ( ω < x 0 δ} { ω Ω : ( ω x 0} = = F (x 0 + P({ ω Ω : ( ω < x 0 δ} { ω Ω : ( ω x 0} F (x + P({ ω Ω : ( ω ( ω δ} 0 Di relatia ( rezultă că (8..6 (x δ lim F (x. F 0 0 Aalog se obţie : (8..7 (x + δ lim F (x F 0 0 r

4 8 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 Di relaţiile (5, (6 şi (7 rezultă că lim F (x 0 F (x 0, adică r. există şi este egală cu Observatia 8. Airmaţia reciprocă a propoziţiei de mai sus u este adevarată. Adică, dacă u sir de variabile aleatoare ( N coverge î repartiţie către variabila aleatoare, u rezultă că el coverge şi î probabilitate către variabila aleatoare. Avâd î vedere locul cetral ocupat de covergeţa î probabilitate î aplicaţiile di dierite domeii dăm următoarea proprietate a acestei covergeţe. Propozitia 9. Dacă şirurile de variabile aleatoare ( N, ( g N coverg î probabilitate către variabilele aleatoare, respectiv g, iar α şi β sut două costate reale, atuci: (8..8 α + βg α + βg P Deiitia 4. Fie variabilele aleatoare (,, deiite pe acelaşi câmp de probabilitate (Ω,K,Ρ. Spuem că şirul ( > coverge î medie de ordiul către dacă există mometele absolute de ordiul M[( ], M[ ], N şi dacă lim M [ ] = 0 Următoarea airmaţie stabileşte legătura ître covergeţa î medie de ordiul şi covergeţa î probabilitate a uui şir de variabile aleatoare. Propozitia 4. Fie şi, variabile aleatoare deiite pe acelaşi spaţiu cu măsură de probabilitate (Ω,K,Ρ. Dacă şirul ( coverge î medie de ordiul către, atuci ( coverge î probabilitate către. Demostraţie. Procedăm pri reducere la absurd. Dacă ( probabilitate la, atuci petru orice ε > 0 şi δ > 0 există u şir de umere astel ca ({ ω Ω : ( ω ( ω } δ ε P i, petru orice i. Atuci, di deiiţia mometului de ordiul rezultă u coverge î i

5 8.. Şiruri de variabile aleatoare 83 [ i ] δ ε M, ceea ce cotrazice că ( coverge î medie de ordiul la. Deci presupuerea ăcută duce la cotrazicerea ipotezei, aşa că airmaţia propoziţiei este adevarată. Fie ( A u şir de eveimete di (Ω,K,Ρ, ( ( A K. Pri eveimetul lim sup A îtelegem producerea de o iiitate de ori a eveimetelor A, (petru o iiitate de idici. Următoarea teoremă este recvet utilizată î diverse probleme de covergeţă. Teorema. (Borel-Catelli. Fie ( A u şir de eveimete. Dacă atuci P( lim sup A =0. = P ( <, A Deiiţia 5. U şir de variabile aleatoare ( deiite pe câmpul de probabilitate (Ω,K,Ρ coverge aproape sigur către variabila aleatoare dacă P({ ω Ω : lim ( ω există şi este egală cu (ωş=. Aceasta se otează pri a.s. Covergeţa aproape sigură este echivaletă cu covergeţa tare a şirurilor de variabile aleatoare şi este mai tare decât covergeţa î probabilitate, adică, dacă u şir de variabile aleatoare coverge aproape sigur către variabila aleatoare, atuci această covergeţă are loc şi î probabilitate. Î geeral îsă, airmaţia reciprocă u este adevarată, adică, covergeţa î probabilitate u implică covergeţa aproape sigură. Se poate demostra îsă airmaţia următoare: Propoziţia 4. Dacă ( este u şir de variabile aleatoare care coverge î probabilitate către variabila aleatoare, atuci există u subşir ( ( astel c a.s.

6 84 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice Legea umerelor mari Teoremele cuoscute sub umele de, lege a umerelor mari, exprimă aspecte ditre cele mai importate di teoria probabilităţilor. Ele exprimă legătura ditre recveţă, ca variabilă aleatoare şi ca probabilitate. Această legătura se maiestă la ivel de tediţă (limită. Fie (Ω,K,P u câmp de probabilitate ixat, ( u şir de variabile aleatoare reale deiite pe acest câmp şi g : R R, u şir de ucţii măsurabile Borel deiite pe R, B cu valori î R, B. Atuci se poate ( R h costrui şirul de variabile reale ( deiite pri : ( R (8.. h ( ω = g ( ( ω, ( ω,..., ( ω. Deiiţia. Spuem că şirul ( este slab stabil dacă există u şir de costate ( c se supue legii slabe a umerelor mari sau că astel îcât (8.. lim P( { ω Ω : h ( ω c ε} = 0 petru orice ε > 0 Deiiţia. Spuem că şirul ( u şir de costate ( c astel îcât este supus legii tari a umerelor mari dacă există (8..3 P { ω Ω : lim(h ( ω c 0} = =, adică şirul de variabile aleatoare ( c Petru dierite şiruri de ucţii măsurabile ( g h coverge aproape la sigur la 0., se obţi dierite legi a umerelor mari, atât sub orma slabă, cât şi sub orma tare. Î cotiuare presupuem că există si sut iite caracteristicile umerice ale variabilelor aleatoare care itervi î exprimarea legii umerelor mari.

7 8.. Legea umerelor mari 85 Teorema (Teorema lui Marov. Fie ( u şir de variabile aleatoare petru care (8..4 lim D = 0, = atuci şirul ( urmează legea slabă a umerelor mari. Demostraţie. Să cosiderăm ucţiile g : IR IR deiite pri g = şi costatele c = M(. = Aplicâd iegalitatea lui Cebâşev obţiem (8..5 P { ω Ω : ( ω M( ε} D. = = ε = Făcâd pe urmează legea slabă a umerelor mari. rezultă că şirul ( Dacă variabilele aleatoare ( D = = = D ( x = sut idepedete două câte două atuci şi di Teorema se deduce următorul corolar. Corolarul Fie ( u şir de variabile aleatoare idepedete două câte două, petru care (8..6 lim D ( = 0, = urmează legea slabă a umerelor mari. atuci şirul ( Dacă variabilele aleatoare ( sut idepedete două câte două şi petru iecare are loc D ( A <, atuci rezultă că (8..7 D = D ( A = =

8 86 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 şi di Teorema se deduce. Corolarul. Dacă u şir este de variabile aleatoare ( idepedete două câte două este astel îcât D ( A <, petru orice, atuci acesta urmează legea slabă a umerelor mari. Să presupuem că trebuie măsurată o mărime izică m. Se cuoaşte că orice măsurare este supusă uei erori de măsurare. Dacă se repetă măsurarea î aceleaşi codiţii se obţi rezultate,,3,...,, care î geeral u coicid. Regula mediei aritmetice costă î cosiderarea că valoarea aproximativă a procesului de măsurare, a valorii (8..8 m Legea slabă a umerelor mari sub orma teoremei următoare spue că atuci câd măsurătorile sut lipsite de erori sistematice, ( M( = M( =... = M( = m, petru suiciet de mare, cu o probabilitate oricât de apropiată de se poate obţie pri regula medie aritmetice o valoare oricât de apropiată de valoarea căutată. Teorema Fie ( u şir de variabile aleatoare, idepedete două câte două, avâd aceeaşi repartiţie cu M( = m si D ( A < petru orice. Atuci, (8..9 lim P { : ( m } = 0 ω ω ε. = Teorema de mai sus are o importată semiicaţie practică. Demostraţia ei se obţie ca u caz particular al Corolarului. U alt caz particular al Corolarului este cuoscut sub orma următoarei teoreme Teorema 3 (Teorema lui Poisso. Fie ν umărul de apariţii ale uui eveimet A î expresimete idepedete şi ie p probabilitatea eveimetului A i experimetul de rag K. Atuci

9 ν p + p p (8..0 lim P { ω Ω : } = Legea umerelor mari 87 Demostraţie. Cosiderăm şirul de variabile aleatoare (, ude ( ia valoarea sau 0 după cum î experimetul de rag s-a realizat eveimetul A sau cotrarul sau CA. Atuci (8.. ν = M( = p M ( = p D ( = p g = 4 petru orice si. Astel sut îdepliite codiţiile di Corolarul, de ude rezultă airmaţia teoremei. O altă ormulare celebră a legii umerelor mari este cuoscută sub umele de teorema lui J. Beroulli( Aceasta se opţie ca u caz particular al Teoremei lui Poisso. Teorema 4 (Teorema lui Beroulli. Fie α umărul de apariţii ale uui eveimet A î experimete idepedete şi p probabilitatea lui A î iecare experimet, atuci α (8.. lim P { ω Ω : p ε} = 0 Demostraţie. Acest rezultat este o coseciţă imediată a Teoremei 3 petru cazul p = p =... = p = p O altă ormulare a acestei teoreme pue mai bie î evideţă aptul că recveţa tide î probabilitate către probabilitate şi aume : Dacă î codiţiile teoremei de mai sus cosiderăm şirul recveţelor relative (, α = atuci, acest şir de variabile aleatoare coverge î probabilitate către p. Teorema lui Berouli pue î evideţă aptul că şirul recveţelor relative tide î probabilitate către o costată, către probabilitatea p. Tocmai î această tediţă se maiestă acţiuea obiectivă a legii umerelor mari, a creşterii ecoteite a umărului cazurilor observate. Eseţa acestei legi costă î aceea că ea este valabilă petru u îtreg asamblu de eomee şi u petru iecare eome î parte al acestui asamblu.

10 88 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 Teorema 5 (A.N.Kolmgorov. Fie ( u şir de variabile aleatoare reale deiite pe acelaşi câmp de probabilitate (Ω,K,P idepedete astel că D ( < petru orice şi (8..3 D ( <, = atuci lim = (8..4 ( M( = 0 aară de o mulţime ω de probabilitate ulă, adică şirul { } umerelor mari. Teorema 6 Fie ( probabilitate idepedete astel că şirul (, satisace legea tare a u şir de variabile aleatoare reale deiite pe acelaşi câmp de D urmează legea tare a umerelor mari. Îtr-adevăr di D ( ( A <, petru orice. Atuci A <, petru orice deducem : D ( (8..5 A <, = = şi astel codiţiile di teorema precedetă sut veriicate, ceea ce arată că şirul de variabile aleatoare satisace legea tare a umerelor mari, adică (8..6 P { ω Ω : lim ( ( ω M( = 0} =. = 8.3. Problema asimptotica cetrală Repartiţia ormală (Gauss-Laplace joacă u rol deosebit de importat î Teoria probabilităţilor şi Statistica matematică, atât di puct de vedere teoretic cât şi practic. O serie de eomee supuse la ilueţe îtâmplătoare coduc la această repartiţie.

11 8.3. Problema asimptotica cetrală 89 Aalizâd aceste aspecte a căpătat o deosebită importaţă determiarea codiţiilor î care, suprapuerea uui umăr mare de actori idepedeţi coduce la o ucţie de repartiţie ormală. Această problemă s-a costituit ca o problemă cetrală a Teoriei probabilităţilor. Î cotiuare vom amiti câteva rezultate clasice obţiute î această direcţie. Fie (Ω,K,P u câmp de probabilitate si : Ω R, u şir de variabile aleatoare idepedete, care admit dispersii iite. Vom ota (8.3. a a = M( = = a, σ, σ = = = D ( σ,, Se pue problema: î ce codiţii ucţia de repartiţie F( a variabilei aleatoare (8.3. ( = ( a σ( = coverge către ucţia de repartiţie ormală Φ câd? Amitim că x t (8.3.3 Φ( x = e dt. π Teoremele care stabilesc astel de rezultate se umesc teoreme limită cetrală. Î cele ce urmează vom da teoreme limită care oeră u răspus la problema ormulată, puâd î evideţă rolul importat al repartiţiei ormale. Teorema 7 (Teorema limită cetrală. Fie ( u şir de variabile aleatoare idepedete, avâd aceeaşi repartiţie. Să presupuem că, a = M( şi σ = D( > 0 există. Atuci petru orice x R ucţia de repartiţie F ( a variabilei aleatoare ( tide, petru, la ucţia de repartiţie ormală redusă Φ(x (ucţia lui Laplace. Adică, x u (8.3.4 lim F (x = e du π

12 90 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 Demostraţie. Vom arăta că ucţia caracteristică asociată variabilei aleatoare ( tide către ucţia de repartiţie a variabilei aleatoare ormale reduse. Fie ϕ ucţia caracteristică asociată variabilei aleatoare a. Atuci avem ϕ(t = M(e it( a = e ita M(e it = e De ude rezultă că ucţia de repartiţie a variabilei aleatoare se exprimă pri: ita (8.3.5 ϕ (t = e ϕ(t, petru orice. De aici rezultă că ucţia de repartiţie a variabilei aleatoare g este dată pri : = = l (8.3.6 i ta ϕ (t = e [ ϕ(t]. g ita ϕ (t Î acelaşi timp avem M[g ] = M[ = Cu aceste cosideraţii avem : (8.3.7 de ude rezultă ( = a şi D[g ] = σ g a g = = σ σ a σ ita t (8.3.8 ϕ (t = e σ ϕ (. ( g σ Ţiâd seama de ( rezultă ϕ de ude pri simpliicare avem ita i ta (t = e σ σ e [ ϕ( ( σ t ϕ (t = [ ϕ( ]. ( σ t ],

13 de ude rezultă 8.3. Problema asimptotica cetrală 9 t Dezvoltâd î serie de puteri ale lui t ucţia caracteristică ϕ( obţiem σ t t ϕ ( = + 0, σ t t lim ϕ (t = lim 0 = e ( +, adică ucţia caracteristică asociată variabilei aleatoare ( tide câd tide la către ucţia caracteristică a variabilei aleatoare ormale reduse. Cum ucţia caracteristică determiă, probabilistic complet variabila aleatoare, respectiv ucţia de repartiţie asociată rezultă că relaţia (0 este adevarată. O teoremă limtă mai geerală este. u şir de variabile aleatoare idepedete. Să presupuem că Teorema 8. (Teorema lui Leapuov. Fie ( M( = a, D( = σ > 0, M a = H petru iecare N şi să 3 există [ ] 3 otăm 3 = H = L. Dacă este veriicată codiţia lui Leapuov L lim σ ( ( = 0, atuci ucţia de repartiţie F ( a variabilei aleatoare ( tide petru către ucţia de repartiţie a variabilei aleatoare ormale Φ(x, petru orice x R. O altă teoremă limită cu aplicaţii multiple î statistică şi a cărei importaţă se datorează aptului că î ipotezele impuse u igurează aceea de idepedeţă este următoarea. Teorema 9. (Teorema lui P.L. Cebâsev. Fie ( u şir de variabile aleatoare care admit momete de orice ordi, adică există mărimile

14 9 Şiruri de variabile aleatoare. Probleme asimptotice - 8 m = x df (x ude F este ucţia de repartiţie asociată variabilei aleatoare IR Dacă lim m = m reduse, atuci, petru orice N, ude m sut mometele variabilei ormale lim F (x = Φ(x.