TEHNIČKA MEHANIKA II

Transcript

1 Seučilište u Splitu Seučilišni odjel z stručne studije Bože Plzibt Ado Mtokoić Vldimir Vetm TEHNIČKA MEHANIKA II Split, 06.

2

3 Predgoor O su skript nmijenjen u prom redu studentim stručnog studij Konstrukcijsko strojrsto n Seučilištu u Splitu, Seučilišnom odjelu z stručne studije, koji u drugom semestru slušju kolegij Tehničk mehnik II. Skript sdrže prednj iz nedenog predmet koj su proširen nizom ilustrtinih primjer nkon kojih slijede odbrni zdtci z smostln rd student. U prome, uodnom dijelu prikzn je podjel mehnike s osnonim pojmoim i definicijm. Kinemtik čestice obrđen je u drugom dijelu skript. N njjednostnijem, procrtnom gibnju studenti se upoznju s pojmoim pomk, preljeni put, brzin i ubrznje. Posebno je obrđeno ezno gibnje diju čestic. Slijedi definirnje kriocrtnog gibnj u ektorskom i nlitičkom obliku. Osobit je pozornost posećen rzmtrnju gibnj u prokutnim i prirodnim koordintm. N krju oog dijel obrđen je kosi hitc. U prim su poglljim trećeg dijel dn rzmtrnj ezn uz dinmiku čestice. Uz diferencijlne jedndžbe gibnj obrđeni su D'Alemberto princip, opći zkoni dinmike čestice te kinetičk energij, rd i sng. Pojšnjen je i zkon o očunju mehničke energije. U ksnijim su poglljim dn rzmtrnj ezn uz dinmiku sust čestic. Oj dio zrš prikzom element teorije udr. U četrtom dijelu skript obrđen je kinemtik elementrnih gibnj krutog tijel: trnslcije, rotcije oko nepomične osi te rninskog gibnj ko zbroj trnslcije krutog tijel i njegoe rotcije oko odbrne osi. Uedene su kinemtičke krkteristike rotcije krutog tijel: kut rotcije, kutn brzin i kutno ubrznje. Detljno su obrđeni nčini određinj brzin i ubrznj točk tijel pri rninskom gibnju. Peti dio skript posećen je složenom gibnju čestice. Pojšnjeni su pojmoi reltinog, prijenosnog i psolutnog gibnj te je prikzno određinje psolutne brzine odnosno psolutnog ubrznj čestice pri složenom gibnju. Posebno je obrđeno složeno gibnje čestice kd je prijenosno gibnje trnsltorno. Dinmik krutog tijel obrđen je u šestom dijelu skript. Definirni su momenti tromosti ms i prikzn je nčin određinj ksijlnih moment tromosti. U ksnijim je poglljim prikzn primjen D'Alemberto princip pri određinju dinmičkih rekcij. Obrđeni su i opći zkoni dinmike krutog tijel. i

4 Zršni, sedmi dio skript posećen je odbrnim poglljim iz dinmike. Tu je pojšnjen fenomen mehničkih ibrcij s jednim stupnjem slobode gibnj, iz područj nlitičke mehnike princip irtulnih rdo te opć jedndžb dinmike. U ooj prigodi zhljujemo recenzentim, prof. dr. sc. Zltnu Kulenoiću i prof. dr. sc. Frni Vlku, n pžljiom iščitnju tekst i korisnim sjetim koje su nm pružili. Zhljujemo i dosdšnjim genercijm student stručnog studij konstrukcijskog strojrst, čij su pitnj i dileme pridonijeli jsnijem prikzu pojedinih dijelo oih skript. Sim koji upozore n eentulne slone ili rčunske pogreške koje su promknule i utorim i recenzentim unprijed zhljujemo. Autori ii

5 S A D R Ž A J Predgoor Sdržj i iii. UVOD. KINEMATIKA ČESTICE 5.. OSNOVNI ZADATCI KINEMATIKE ČESTICE 5.. PRAVOCRTNO GIBANJE ČESTICE 5... Pomk čestice 5... Brzin i ubrznje čestice Posebni oblici zdnj procrtnog gibnj Grfičko rješnje problem procrtnog gibnj..5. Vezno gibnje čestic 5.3. KRIVOCRTNO GIBANJE ČESTICE Vektorski nčin definirnj gibnj Anlitički nčin definirnj gibnj čestice Prirodni nčin definirnj gibnj čestice Kosi hitc DINAMIKA ČESTICE OSNOVNI ZADATCI DINAMIKE ČESTICE DIFERENCIJALNE JEDNDŽBE GIBANJA ČESTICE Diferencijlne jedndžbe gibnj u nlitičkom obliku D'Alemberto princip (princip dinmičke rnoteže) OPĆI ZAKONI DINAMIKE ČESTICE Količin gibnj. Impuls sile Moment količine gibnj (kinetički moment) Kinetičk energij. Mehnički rd i sng DINAMIKA SUSTAVA ČESTICA Vnjske i unutrnje sile sust Opći zkoni dinmike sust čestic 95 iii

6 3.5. OSNOVE TEORIJE UDARA Osnon jedndžb teorije udr Koeficijent udr Udr čestice o nepomičnu pregrdu Sudr diju čestic 3 4. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA 4.. OSNOVNI ZADATCI KINEMATIKE KRUTOG TIJELA. STUPNJEVI SLOBODE GIBANJA KRUTOG TIJELA 4.. ELEMENTARNA GIBANJA KRUTOG TIJELA 4... Trnsltorno gibnje krutog tijel 4... Rotcij krutog tijel oko nepomične osi RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA Jedndžbe rninskog gibnj krutog tijel Rstljnje rninskog gibnj krutog tijel n trnsltorno i rotcijsko gibnje Brzine točk tijel pri rninskom gibnju Ubrznj točk tijel pri rninskom gibnju Teorem o projekcijm ektor brzin točk rne figure Trenutni pol brzin Trenutni pol ubrznj Pln brzin i pln ubrznj SLOŽENO GIBANJE ČESTICE RELATIVNO, PRIJENOSNO I APSOLUTNO GIBANJE SLOŽENO GIBANJE ČESTICE: prijenosno gibnje je trnsltorno Vektor položj čestice, psolutn brzin i ubrznje SLOŽENO GIBANJE ČESTICE: prijenosno gibnje nije trnsltorno Apsolutn brzin čestice Apsolutno ubrznje čestice. Corriolisoo ubrznje DINAMIKA KRUTOG TIJELA DINAMIČKI MOMENTI TROMOSTI Aksijlni i centrifuglni momenti tromosti Momenti tromosti z prlelne osi (Steineroo prilo) Momenti tromosti složenih tijel i

7 6.. DINAMIKA RAVNINSKOG GIBANJA KRUTOG TIJELA Aksijlni momenti tromosti nekih homogenih tijel Diferencijlne jedndžbe gibnj D'Almberto princip Impuls sile. Količin gibnj Kinetičk energij Moment količine gibnj 5 7. ODABRANA POGLAVLJA DINAMIKE VIBRACIJE S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE Slobodne hrmonijske ibrcije Prigušene ibrcije Prisilne ibrcije bez prigušenj. Rezonncij OSNOVE ANALITIČKE MEHANIKE Uod Princip irtulnih rdo. Opć jedndžb sttike Opć jedndžb dinmike 33 LITERATURA 37

8 i

9 . UVOD Teorijsk ili klsičn mehnik dio je mehnike u kojem se proučju opći zkoni mehničkog gibnj i rnoteže mterijlnih tijel. Pod mehničkim gibnjem rzumije se promjen položj jednog mterijlnog tijel u odnosu prem drugom u prostoru tijekom remen. Mterijlnim tijelom nzi se ogrničeni prostor ispunjen mterijom. Posebno, mterijlno tijelo čije dimenzije nemju utjecj n opisinje stnj gibnj ili stnj mironj nzi se česticom ili mterijlnom točkom. Prktički se tijelo može smtrti česticom u sim onim problemim kod kojih su preljeni putoi dleko eći od dimenzij smog tijel. Isc Newton ( ), koji se smtr osničem klsične mehnike, ueo je u mehniku tz. psolutno nepomični prostor, zjedno s tim i psolutno nepomični referentni koordintni sust u odnosu n koji se definir gibnje mterijlnih tijel. Z psolutno nepomični referentni koordintni sust odbrn je heliocentrični koordintni sust, z čije je ishodište uzeto sunce, tri međusobno okomite osi usmjerene su k trim zijezdm stjčicm. Newton je u mehniku ueo i tz. unierzlno rijeme koje se jednko mijenj u sim referentnim sustim, što im smisl kd su brzine čestice ili tijel dooljno mle u odnosu n brzinu sjetlosti (Einsteino teorij reltinosti). Gibnje čestice ili tijel u odnosu n psolutno nepomični referentni koordintni sust nzi se psolutno gibnje. Gibnje čestice ili tijel u odnosu n neko drugo pokretno tijelo (pokretni referentni koordintni sust) nzi se reltino gibnje. Međutim, i gibnje i mironje su reltini pojmoi jer ne postoji ni psolutno gibnje niti psolutno mironje s obzirom n to d je cijeli semir u stnju neprekidnog gibnj. Z tehničke probleme kki će se rzmtrti u oom kolegiju ko psolutno nepomični koordintni sust usojit će se sust črsto ezn z Zemlju (geocentrični sust), shodno tome s će se gibnj u odnosu n Zemlju smtrti psolutnim. Klsičn mehnik poči n Newtonoim zkonim koje je on definiro (z gibnje čestice) u odnosu n psolutno nepomični sust referencije. Te zkone Isc Newton objio je u som djelu Mtemtičk nčel prirodne filozofije 687. godine. Pri Newtono zkon (zkon tromosti ili inercije) glsi: Tijelo zdrž stnje mironj, odnosno jednolikog procrtnog gibnj ko je sust sil koji n njeg djeluje u rnoteži. Tj je zkon bio poznt još Glileju koji je gibnje tijel n koje ne djeluju sile nzo gibnje po inerciji.

10 Drugi Newtono zkon (osnoni zkon dinmike) glsi: Brzin promjene količine gibnj čestice jednk je po iznosu, prcu i smjeru sili koj djeluje n česticu: d dt. (.) m F Količin gibnj čestice definir se ko umnožk mse m čestice i ektor njene brzine. Uzeši u obzir d se u klsičnoj mehnici ms smtr konstntnom eličinom, te d je dericij ektor brzine čestice po remenu jednk ektoru ubrznj te čestice, izrz. može se npisti i u obliku: m F, (.) p se drugi Newtono zkon može izreći i n sljedeći nčin: Produkt mse i ubrznj čestice koje čestic dobije kd n nju djeluje zdn sil, jednk je toj sili po iznosu, prcu i smjeru. Iz drugog Newtono zkon zključuje se d je ms sklrn eličin te d predstlj mjeru otpor (inertnosti) čestice promjeni stnj gibnj ili mironj. Treći Newtono zkon (zkon kcije i rekcije) glsi: Dije čestice djeluju jedn n drugu silm jednkih iznos i prc, suprotnih smjero. Posebnu rstu sil tore gritcijske sile koje se izrčunju s pomoću zkon opće gritcije, koji je tkođer postio Newton, glsi: Dije čestice ms m i m, koje se nlze n međusobnoj udljenosti r, prilče se silm F i -F (slik.) intenzitet: mm F k (.3) r gdje je k unierzln gritcijsk konstnt utrđen eksperimentlno, iznosi: 3 k 6,67 0 m kg s (.4) Slik.. Zkon o prilčenju ms Sd se može odrediti sil prilčenj između Zemlje i bilo kojeg tijel n njezinoj poršini. Nime, srednji polumjer Zemlje je R r 6,370 4 m m Z 5,980 kg, p z tijelo mse m m t sil iznosi: mm k r 6 m, dok joj je približn ms 4 5,980 6,67 0 m 9,83m g m. (.5) 6 6,370 F 0

11 Konstnt g 0 nzi se jkost gritcijskog polj n poršini Zemlje. Mjerenjem je ustnoljeno d prilčn sil Zemlje nije bš jednk sili dobienoj prem (.5) zbog rotcije Zemlje oko soje osi. Strn sil prilčenj, koj se nzi težin tijel, dn je izrzom: G gm, (.6) gdje je G iznos težine tijel, g gritcijsko ubrznje koje se mijenj oisno o položju n Zemlji, z tehničke se prorčune uzim njen prosječn rijednost: g 9,8 ms. (.7) Teorijsk (klsičn) mehnik se prem osobitosti problem dijeli n sttiku, kinemtiku i dinmiku. Sttikom se nzi dio teorijske mehnike u kojem se proučju zkoni slgnj sil i ujeti rnoteže tijel pod djelonjem sil. Kinemtikom se nzi dio teorijske mehnike u kojem se proučju gibnj tijel ne uzimjući u obzir msu tijel i sile koje n njeg djeluju. Dinmikom se nzi dio teorijske mehnike u kojem se proučju zkoni gibnj mterijlnih tijel pod djelonjem sil. Prem sojstu tijel mehnik se dijeli n mehniku krutih tijel, mehniku črstih (deformbilnih) tijel i mehniku fluid. U teorijskoj su mehnici nužne tz. idelizcije, jedn od njih je kruto tijelo koje se ne deformir (ne mijenj soj oblik i obujm) pod djelonjem sil. U mehnici se upotrebljju mjerne jedinice Međunrodnog sust jedinic (SI sust), prem kojemu su osnone jedinice z duljinu metr (m), z msu kilogrm (kg), z rijeme sekund (s). Prem žećoj definiciji jedn metr jednk je duljini put koji u kuumu prijeđe sjetlost z rijeme od / sekunde. Jedn sekund predstlj trjnje period zrčenj koje odgor prijelzu između d hiperfin nio osnonog stnj cezij-33. Grešk pri okoj definiciji etlon remen od jedne sekunde iznosi smo 0 - %. Jedn kilogrm definirn je etlonom koji se ču u Seresu u Frncuskoj. S pomoću osnonih jedinic i drugog Newtono zkon izeden je jedinic z silu. Ako se u izrz (.) z msu ursti kg, z ubrznje m s, dobi se: kg m s N (njutn). Sil od jednog njutn jest on sil koj msi od jednog kilogrm dje ubrznje od m/s. 3

12 Ko izeden jedinic z kut upotreblj se rdijn (rd). Jedn rdijn definir se ko središnji kut koji n kružnici omeđuje luk duljine jednke polumjeru te kružnice. Z jedinicu kut dopušteno je upotrebljti i stupnj ( ). Budući d središnjem kutu od 360 odgor (u rdijnim) kut od π rd, proizlzi d je: rd, odnosno rd rd U prksi se ko izeden jedinic z brzinu umjesto metr po sekundi koristi kilometr po stu. Budući d km im 000 m, jedn st 3600 s, proizlzi d je: km 000 m m. h 3600 s 3,6 s Nsuprot klsičnoj (Newtonooj) mehnici, u reltiističkoj mehnici, koj se temelji n Einsteinooj teoriji reltinosti, rijeme i ms nisu psolutne eličine, eć oise o reltinom gibnju promtrč prem promtrnom objektu. Klsičn se mehnik poklp s reltiističkom smo u području reltino mlih brzin (brzine zntno mnje od brzine sjetlosti) i predstlj zpro posebn slučj teorije reltinosti. Uzimjući u obzir d su njeće brzine u prirodi i tehnici oko 0 4 put mnje od brzine sjetlosti, može se zključiti d klsičn mehnik u potpunosti odgor inženjerskoj prksi. U tblici. dn je prikz nekih prosječnih, odnosno njećih brzin koje se postižu u čojekou okruženju. Tblic.. Brzine koje se postižu u čojekou okruženju m/s km/h m/s km/h rst djetet (do god.) 9, ,4 0-8 zuk (u zrku, 0 C) rtni puž 0,03 0,048 putnički zrkoplo kornjč 0, 0,36 borbeni zrkoplo konj 3,9 50 Spce Shuttle engleski hrt 7,4 70 puščni metk geprd 7,8 00 točk n ektoru čojek (hod),4 5 mjesec (oko Zemlje) čojek (sprint, U. Bolt),4 44,7 Zemlj (oko Sunc) utomobil 47, 70 elektron (u tomu) 0 6 7, 0 6 bolid (formul, mx.) 97,5 35 sjetlost (u kuumu) 3 0 8, 0 9 4

13 . KINEMATIKA Č ESTIČE.. OSNOVNI ZADATCI KINEMATIKE ČESTIČE U kinemtici čestice rješju se d osnon problem: ) pronlženje nlitičkih postupk z definirnje gibnj čestice u odnosu n odbrni referentni koordintni sust; ) određinje kinemtičkih krkteristik gibnj (putnj, brzin i ubrznje) n osnou zdnog zkon gibnj čestice. Putnjom ili trjektorijom nzi se zmišljen neprekinut linij koju opisuje pokretn čestic u prostoru... PRAVOCRTNO GIBANJE ČESTIČE Procrtno gibnje čestice je gibnje kod kojeg je putnj čestice prc. Položj čestice P n prcu u potpunost je definirn udljenošću OP, tj. jednom jedinom koordintom x, slik.. Slik.. Položj čestice Točk O je po olji odbrn nepomičn točk i predstlj u oom slučju ishodište. Pozitin smjer koordinte x može se odbrti proizoljno. U prikznom slučju tj pozitin smjer je udesno. Ako je koordint x čestice zdn ko funkcij remen t x x (.) neprekinut i njmnje d put deribiln, td izrz (.) predstlj jedndžbu procrtnog gibnj čestice.... Pomk čestice Pomk čestice definir se ko promjen njen položj. Ako čestic prijeđe iz položj P u položj P' (sl..), td je njen pomk x x x. (.) Pomk čestice x je pozitin ko je njen končni položj (P') desno od početnog (P), tj. ko je x x. U suprotnom je tj pomk negtin. 5

14 Slik.. Pomk čestice Treb nglsiti kko se, u općem slučju, pomk čestice iz P u P' ne poklp s ukupnim putem koji je čestic u međuremenu prelil, ko što je to prikzno n slici.3. Čestic je mogl iz položj P doći u položj P' i putujući udesno do P'', ztim se rtiti ulijeo do P'. Slik.3. Rzlik između pomk čestice i preljenog put... Brzin i ubrznje čestice Iko su kinemtičke eličine: položj, pomk, brzin i ubrznje ektorske eličine, kod procrtnog gibnj moguće ih je prikziti i rzmtrti sklrno, odeći rčun o predznku koji određuje smjer gibnj po prcu. Ko što je rečeno, kod procrtnog gibnj rzmtrn čestic nlzi se n jednom te istom prcu u skom trenutku remen. Ako je položj čestice u trenutku t P, u trenutku t P' (sl..4), td je t čestic u remenskom interlu t t' t dožijel pomk x x' x. Slik.4. Pomk čestice u remenskom interlu t Srednjom brzinom čestice nzi se omjer pomk čestice kojem je tj pomk nsto: x i remenskog interl t u sr x' x x t ' t t. (.3) Ako je x dno u metrim (m), rijeme u sekundm (s), jedinic z brzinu je metr po sekundi ( m s ili - m s ). Brzinom (trenutčnom) čestice nzi se grničn rijednost kojoj teži srednj brzin čestice kd remenski interl t teži nuli: x dx lim sr lim t0 t0 t dt, (.4) odnosno brzin čestice jednk je proj dericiji položj čestice po remenu. 6

15 Brzin čestice je pozitin ko joj se smjer poklp s pozitinim smjerom koordinte položj čestice (sl..5.), u suprotnom je negtin (sl..5.b). Slik.5. Predznk brzine čestice: ) pozitin brzin, b) negtin brzin. Ako je čestic u trenutku t iml brzinu, u trenutku t brzinu (sl..6), td je brzin čestice u remenskom interlu t t' t dobil prirst '. Slik.6. Prirst brzine čestice u remenskom interlu Srednjim ubrznjem čestice nzi se omjer prirst brzine čestice t u kojem je tj prirst nsto: sr t i remenskog interl ' t ' t t. (.5) Ako je prirst brzine dn u metrim po sekundi (m/s), rijeme u sekundm (s), jedinic z ubrznje je metr po sekundi n kdrt (m/s, ili ms - ). Ubrznjem (trenutčnim) čestice nzi se grničn rijednost kojoj teži srednje ubrznje čestice kd remenski interl t teži nuli: lim sr lim, ili t0 t0 t dt dt d d x. (.6) Dkle, ubrznje čestice jednko je proj dericiji brzine čestice po remenu, odnosno drugoj dericiji koordinte položj čestice po remenu. Slik.7. Predznk ubrznj čestice: ) i b) pozitino ubrznje, c) i d) negtino ubrznje. 7

16 Ubrznje čestice je pozitino ko je brzin čestice pozitin i iznos joj se poeć (sl..7.) ili ko je brzin čestice negtin i iznos joj se smnjuje (sl..7.b). Ubrznje čestice je negtino ko je brzin čestice pozitin i iznos joj se smnjuje (sl..7.c) ili ko je brzin čestice negtin i iznos joj se poeć (sl..7.d). Primjer.. Procrtno gibnje čestice zdno je jedndžbom: 3 8 5, x t t t Gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti položj i brzinu čestice u trenutku t u kojem je ubrznje čestice jednko nuli. Rješenje: Brzin čestice ko funkcij remen dobije se prem (.4) dx d t t t t t dt dt, ubrznje čestice ko funkcij remen prem (.6) d d t t t dt dt. Ubrznje čestice bit će jednko nuli kd je odnosno 7t 36 0, t 0,5 s. Položj čestice i njen brzin u trenutku t 0,5 s su: Primjer.. 3 x x( t ) x(0,5) 0,5 8 0,5 0,5 5 3 m t 36 0,5 36 0,5 7 m s. Procrtno gibnje čestice zdno je jedndžbom: t x t 8cos, 4 3 Gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti položj i brzinu čestice u trenutku t 4 s. Rješenje: 8

17 Brzin čestice ko funkcij remen dobije se prem (.4) d 3 x d t 3 8cos t t t t 8 sin 3t sin, dt dt ubrznje čestice ko funkcij remen prem (.6) d d 3t dt dt t 3 sin t 4 t 3 cos t 4 4 t cos 4. Položj, brzin i ubrznje čestice u trenutku Imjući u idu d je 3 t 4 s su: 4 3 x 4 8cos 8 4 m sin m s cos 4,85 m s cos cos cos80, sin sin sin Zdtk.. Procrtno gibnje čestice zdno je jedndžbom: 4, , x t t t gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti položj, brzinu i ubrznje čestice u trenutku t s. Odgoor: x 76 m; 67 m s ; m. s Zdtk.. Poznt je zkon procrtnog gibnj čestice: 4 3 x t 8t 00, 3 Gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti položj čestice: ) u trenutku t 0 kd joj je brzin jednk nuli, b) u trenutku t kd joj je ubrznje jednko nuli. Odgoor: ) t 4 s, x 57,33 m; b) t s, x 78,67 m. 9

18 ..3. Posebni oblici zdnj procrtnog gibnj..3.. Zdn je brzin čestice ko funkcij remen Ako je zdn brzin čestice ko funkcij remen () t, td iz (.4) slijedi položj čestice odnosno, nkon integrirnj d x ( t)dt, ( )d, (.7) x t t C gdje je C konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z t t0 je x x0. Isto tko, deriirnjem brzine čestice dobije se prem (.6) njeno ubrznje. Primjer.3. Automobil prikzn n slici.8 gib se procrtno tko d mu se brzin mijenj prem zkonu: 3 m s, t t gdje je rijeme t u sekundm. Odrediti položj i ubrznje čestice u trenutku t 3s ko je u početnom trenutku t 0 koordint x0 0. Rješenje: Slik.8. Primjer.3: Položj, brzin i ubrznje utomobil. Položj utomobil mjeri se od ishodišne točke O s pozitinim smjerom udesno. Kko je zdn brzin utomobil ko funkcij remen, položj se određuje prem izrzu (.7): odnosno ( )d 3 d 3 d d, x t t C t t t C t t t t C 3 t t 3 x 3 C t t C. 3 Konstnt integrcije C slijedi iz početnog ujet (kd je t 0 i xx0 0), p je C 0. Končno je x t t 3 m. Ubrznje utomobil dobije se deriirnjem njegoe brzine po remenu (.6): d m. dt s 6t 0

19 U trenutku t 3s bit će: 3 ( ) (3) m x x t x m ( t ) (3) s m ( t) (3) s Zdtk.3. Poznt je zkon promjene brzine čestice pri njezinu procrtnom gibnju: 3 m cos t, 4 8 s gdje je rijeme t dno u sekundm. Ako se čestic u početnom trenutku nlzil u ishodištu koordintnog sust, odrediti zkon gibnj čestice ko i njezin položj, brzinu i ubrznje u trenutku t 4 s. Odgoor: t x 6sin m, x 6 m, 0 m s, 8. 0,95 m s..3.. Zdno je ubrznje čestice ko funkcij remen Ako je zdno ubrznje čestice ko funkcij remen () t, td iz prog od izrz (.6) slijedi brzin čestice odnosno, nkon integrirnj d ( t)dt, ( )d, (.8) t t C gdje je C konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z t t0 je 0. Dljnjim se integrirnjem, prem (.7), dobije položj čestice ko funkcij remen. Primjer.4. Ubrznje čestice upro je proporcionlno remenu t: k t ms, Gdje je k konstnt (fktor proporcionlnosti) dn u m/s 3, rijeme t u sekundm. Poznto je d je u trenutku t0 0s brzin čestice 0 6 m/s, te d je u trenutku t s koordint položj čestice x 0 m, njen brzin 5 m/s. Odrediti položj i brzinu čestice ko funkcije remen t te njihoe iznose u trenutku t 4s. Rješenje:

20 Brzin čestice ko funkcij remen dobije se prem (.8) t t t C k t t C k C ( )d d, koordint položj čestice ko funkcij remen prem (.7) t t x t t C k C t C k C t C 6 3 ( )d d. Fktor proporcionlnosti k te konstnte integrcije C i C odredit će se iz pozntih kinemtičkih eličin u trenutcim t 0 0s i t s, kko slijedi: odnosno t0 0s: t0 0 0 k C k C C 6 m/s, t s: t k C k 6 5 m/s, odkle je k ; 3 k m/s 3 t x k C t C 6 C 0 m, odkle je C 6 6 Položj čestice i njen brzin u funkciji remen su: 4,33 m. x t 3 / 36t 4,33 m, t 6 m/s. Položj čestice i njen brzin u trenutku t 4s su: 3 ( ) (4) 4 / ,33 47 m, x x t x m ( t ) (4) s. Zdtk.4. Poznt je zkon promjene ubrznj čestice u funkciji remen t: gdje je rijeme t dno u sekundm. 6 6 t m s, Ako se čestic u početnom trenutku ( t 0 0 s ) nlzil u ishodištu koordintnog sust, početn joj je brzin bil i ubrznje u trenutku 0 m t 9 s. s, odrediti zkon gibnj čestice ko i njezin položj, brzinu Odgoor: 5 x 3t t t m, x 50, m, 53 m s, 5,5 m s. 45

21 Zdn je brzin čestice ko funkcij položj Ako je zdn brzin čestice ko funkcij položj ( x), može se doći do funkcije oisnosti ubrznj čestice o položju proširinjem prog od izrz (.6) s dx dx: d d dx d. (.9) dt dt dx dx Isto tko, poznnjem brzine čestice ko funkcije položj ( x), iz (.4) slijedi rijeme ko funkcij položj: odnosno, nkon integrirnj t dx dt, x ( ) dx x ( ) C, (.0) 3 gdje je C 3 konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z t t0 je x x0. Dkle, dobije se funkcij t f ( x), odkle, ko inerzn funkcij, slijedi položj čestice ko funkcij remen: (). (.) x f t x t Ndlje, dericijom jedndžbe (.) dobije se brzin čestice ko funkcij remen, dericijom te funkcije i ubrznje čestice ko funkcij remen. Primjer.5. Zdn je dijgrm promjene brzine u funkciji položj kod procrtnog gibnj džip (sl..9). Odrediti ubrznje džip u položju x 00 m i u položju x 00 m. Rješenje: Slik.9. Primjer.5: Promjen brzine džip u funkciji položj. Kko je brzin džip zdn ko funkcij položj, ubrznje ko funkcij položj dobije se prem (.9): d. d x 3

22 U periodu od 0 do 00 m funkcij brzine (prc) glsi: 8 x x ms 00 5 p je ubrznje u tom periodu d d 4 x x x, dx 5 dx5 65 i u položju x 00 m iznosi ,64 m s U periodu od 00 do 00 m funkcij brzine (tkođer prc) glsi: x 6 x m s, p je ubrznje u tom periodu d d x 6 x 6 x x, dx 5 dx i u položju x 00 m iznosi 4, m s. 65 Zdtk.5. Brzin trkč rekretic u početnoj fzi njego procrtnog trčnj može se proksimirti izrzom: 0,06 0, 5 8 x, gdje je brzin dn u m/s, položj čestice x u m. Odrediti ubrznje trkč u početnom trenutku ( x 0 0 m ) te njegou brzinu i ubrznje u trenutku kd se nđe u položju x 00 m. Odgoor: 0 0,96 m s, 3,03 m s, 0,363 m s Zdno je ubrznje čestice ko funkcij brzine Ako je zdno ubrznje čestice ko funkcij brzine (), td iz (.9) slijedi koordint položj ko funkcij brzine: d x C () 4, (.) 4

23 gdje je C4 konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z t t0 je 0. Isto tko, ko je zdno ubrznje čestice ko funkcij brzine (), td iz (.6) slijedi rijeme ko funkcij brzine: odnosno, nkon integrirnj t d dt, () d () C, (.3) 5 gdje je C5 konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z t t0 je 0. Dkle, dobije se funkcij t f (), odkle, ko inerzn funkcij, slijedi brzin čestice ko funkcij remen:. (.4) f t () t Ndlje, dericijom jedndžbe (.4) dobije se (prem.6) ubrznje čestice ko funkcij remen, integrirnjem jedndžbe (.4) i položj čestice ko funkcij remen (prem.7). Primjer.6. Zdn je zkon promjene ubrznj čestice u funkciji njene brzine : gdje je ubrznje dno u m s, brzin u 3, m s definirnom koordintom x 40 m brzin čestice položju x 00 m. Rješenje: Položj čestice ko funkcij brzine dobije se prem (.9): d d dx d d ( ) 3 3 3, integrl dobienog izrz je 3 3 d x C C C.. Ako je poznto d je u položju čestice 9 m s, odrediti brzinu čestice u Konstnt integrcije C odredit će se iz pozntih kinemtičkih eličin u položju x 40 m :, odkle je C 34 m, / 9 C 6 C p funkcij položj čestice u oisnosti o njenoj brzini glsi: 5

24 x 3 34 m 9, odkle se može dobiti i brzin čestice u funkciji položj 3 9 m. s x34 Kd se čestic nđe u položju x 00 m, njen brzin bit će: m x ,5. s Zdtk.6. Čestic se gib procrtno pri čemu joj se ubrznje mijenj prem zkonu: k, gdje je ubrznje u m s, je brzin čestice dn u m s, k je konstnt. Ako je u trenutku kd se čestic nlzi u položju x m njen brzin 6 m s, njeno ubrznje 3 m, odrediti konstntu k i zkon promjene položj čestice u funkciji njene brzine. Odgoor: s k 0,5 s, x 4 m Zdno je ubrznje čestice ko funkcij položj Ako je zdno ubrznje čestice ko funkcij položj ( x), td iz izrz (.9) slijedi: ( x)dx d. (.5) Sd se, jer su rijble seprirne, može integrirti lije odnosno desn strn jedndžbe (.5) nkon čeg slijedi:, (.6) ( )d x x C gdje je C konstnt integrcije koj se određuje iz početnog ujet: z x x0 je 0. Dobije se, dkle, brzin čestice ko funkcij položj. Dlje se proodi postupk opisn u dijelu Primjer.7. Poznt je promjen ubrznj zrkoplo pri polijetnju u funkciji koordinte njego položj (sl..0). Odrediti brzinu zrkoplo nkon što preli put od 60 m iz stnj mironj. 6

25 Rješenje: Slik.0. Primjer.7: Promjen ubrznj zrkoplo u funkciji položj. Budući d je ubrznje zrkoplo zdno ko funkcij položj, brzin zrkoplo ko funkcij položj dobije se prem (.6):. ( )d x x C S slike.0 slijedi x funkcij (prc):,5 x x 50 -,5 0,5,5 m s, što nkon urštenj u prethodni izrz dje: 0,5 0,5x,5dx C x,5x C. Konstnt integrcije C dobije se iz ujet (sl..0) d je u početnom trenutku ( t 0 0 ) x0 0m i m s : Končno je 0,5 0 0,50 C C 0. 0,5 x 45 x ili x x - 0,5 45 m s. U trenutku kd zrkoplo preli put od 60 m, njego će brzin biti: , ,48 m s. Zdtk.7. Ubrznje čestice u funkciji položj dno je izrzom: gdje je ubrznje u 4 5, x m s, x je koordint položj čestice dn u m. 7

26 Ako je u trenutku kd se čestic nlzi u položju x 6 m njen brzin 8 m s, odrediti zkon promjene brzine čestice u funkciji njezin položj. Odgoor: 5 x m s. x Jednoliko i jednoliko ubrzno procrtno gibnje čestice Jednoliko procrtno gibnje čestice je gibnje čestice (po prcu) konstntnom brzinom. To znči d je ubrznje čestice pri tom gibnju jednko nuli ( d dt 0 jer je 0 konst. ). Položj čestice je, prem (.7): ( )d 0. (.7) x t t C t C Ako je u početnom trenutku ( t 0) x x0, položj čestice pri jednoliko procrtnom gibnju dn je izrzom: x x0 0t. (.8) Jednoliko ubrzno procrtno gibnje čestice je gibnje čestice s konstntnim ubrznjem. Brzin čestice je, prem (.8): ( )d. (.9) t t C t C Ako je u početnom trenutku ( t 0) 0, brzin čestice pri jednoliko ubrznom procrtnom gibnju dn je izrzom: 0 t. (.0) Poznnjem brzine ko funkcije remen položj čestice se dobije prem (.7): x t t C t t C t t C ( )d 0 d 0, pri čemu je konstnt integrcije C x0 jer je u početnom trenutku ( t 0) x x0. Slijedi zkon promjene položj pri jednoliko ubrznom procrtnom gibnju: x x t t 0 0. (.) U slučju gibnj čestice konstntnim ubrznjem može se s pomoću izrz.9 dobiti ez između brzine čestice i koordinte položj čestice: d dx, odnosno d dx, x x 0 0 p je 8

27 0 x x ili x x 0. (.) 0 0 Primjer.8. Vlk, koji se gibo brzinom od 36 km/h (sl..), zustio se min nkon početk kočenj. Ako se može pretpostiti d se lk z rijeme kočenj gibo konstntnim ubrznjem, odrediti put koji je u tom periodu prelio. Rješenje: Slik.. Primjer.8. Put što g preli lk z rijeme kočenj, uz konstntno ubrznje, dn je izrzom (.0): x x0 0t t 0t t, brzin lk izrzom (.9): 0 t. Kko se put preljen z rijeme kočenj mjeri od početk kočenj, to je x 0 = 0. Ako se lk zustio nkon remen t od početk kočenj, bit će brzin u tom trenutku jednk 0, p iz izrz z brzinu lk slijedi: t 0. D bi se ubrznje dobilo u m s, mor se brzin 0 urstiti u m s, rijeme t u s: m s ; t 60 s p je: ,67 m s. Put kočenj sd je: x , m. 9

28 Primjer.9. D utomobil, A i B, oze jedn iz drugog n udljenosti d 64 m konstntnim brzinm A0 B0 30 m/s (sl..). U jednom trenutku ozč utomobilom A zpočinje pretjecnje konstntnim ubrznjem A m/s. Odredite rijeme potrebno d utomobil A sustigne utomobil B. Kolik je brzin utomobil A u tom trenutku? Rješenje: Slik.. Primjer.9. Posti li se ishodište koordintnog sust n mjesto gdje se utomobil A nlzio u trenutku početk pretjecnj, položj utomobil B definirn je izrzom (.7): xb B0t xb0 B0t d 30t 64, položj utomobil A izrzom (.): xa At A0t xa0 t 30 t t 30 t. Kko su u trenutku sustiznj koordinte položj utomobil jednke ( x A x t 30t 30t 64, odkle je (rijeme mor biti pozitino) t 64 8 s. B ), može se pisti: Dkle, utomobilu A će trebti 8 s d sustigne utomobil B pri čemu će brzin utomobil A biti (prem.0): A A0 At m/s. Zdtk.8. Trkč n 800 metr pretrči prih 00 m z sekund, sljedećih 450 m z 6 sekunde. ) Kojom prosječnom brzinom trkč treb prijeći zdnjih 50 m p d ostri željenu klifikcijsku normu od minute i 4 sekunde? b) Kolik je u tom slučju njego prosječn brzin n 800 metr? Brzine izrziti u m/s i u km/h. 0

29 Odgoor: ) 8,99 m s 3,4 km h, b) 7,843 m s 8,4 km h. 3, sr sr Zdtk.9. Automobil polzi iz stnj mironj i nkon preljenih 00 m, gibjući se jednoliko ubrzno, dostigne brzinu od 5 m/s. Odrediti: ) ubrznje utomobil, b) rijeme koje je bilo potrebno d dostigne zdnu brzinu. Odgoor: ) ,563 m s, b) 6 s t. Zdtk.0. Čestic se gib jednoliko ubrzno po procrtnoj putnji. Ako je poznto d čestic između petneste i ddesete sekunde od početk gibnj preli put od 350 m, odrediti koliko je ubrznje čestice. Odgoor: 4 m s. Zdtk.. Pri brzini od 8 m/s ozč utomobil ugled pješke n oznčenom pješčkom prijelzu. Poznto je d je prosječnom ozču z rekciju potrebno 0,75 sekund, dok je ozču s (jedn promil) lkohol u kri z rekciju potrebno 3 sekunde. Ako se utomobil gib procrtno, njeće usporenje koje se može ostriti pritiskom n kočnicu iznosi m/s, odrediti put koji će preliti utomobil do trenutk zustljnj: ) ko njime uprlj normln ozč, b) ko njime uprlj ozč s lkohol u kri. Odgoor: ) x 94,5 0 m, b) x 35 m. (Put kočenj utomobil iznosi 8 m.) Npomen: Ako piješ ne ozi!!! Zdtk.. Čestice A i B gibju se duž istog prc, pri čemu se u početnom trenutku čestic B nlzi 60 m ispred čestice A. Čestic A gib se konstntnim ubrznjem 4 m s i uz početnu brzinu A 40 m s, dok se čestic B gib konstntnim ubrznjem B m s i uz početnu brzinu B 0 m s. Koliko će remen proći: ) do prog susret čestic A i B, b) do njiho drugog susret? A Odgoor: ) t,76 s, b) t 7,4 s. Zdtk.3. Automobili A i B gibju se procrtno jedn prem drugom. U jednom je trenutku utomobil A krenuo iz stnj mironj konstntnim ubrznjem 4 m s, dok se utomobil B gib konstntnom brzinom B 0 m s. Ako utomobil A do susret s utomobilom B preli /3 njihoe početne međusobne udljenosti, odrediti: ) rijeme koje je proteklo od početk gibnj do susret utomobil, b) početnu međusobnu udljenost utomobil. A Odgoor: ) t 0 s, b) AB 00 m.

30 ..4. Grfičko rješnje problem procrtnog gibnj Uzimjući u obzir diferencijlne eze između koordinte položj čestice, njene brzine i ubrznj, procrtno se gibnje čestice može rzmtrti i grfički. U oim će se izlgnjim ono ogrničiti n ezu između osnonih kinemtičkih dijgrm: dijgrm položj i remen ili x t dijgrm, dijgrm brzine i remen ili t dijgrm te dijgrm ubrznj i remen ili t dijgrm. U prethodnim se rzmtrnjim došlo do sljedećih četiriju relcij koje se mogu koristiti pri grfičkom rješnju problem procrtnog gibnj čestice: () Ngib tngente n kriulju položj i remen ( x t) u proizoljnom trenutku t jednk je ordinti u dijgrmu brzine i remen ( t) u istom tom trenutku (sl..3. i b) dx dt. () Ngib tngente n kriulju brzine i remen ( t) u proizoljnom trenutku t jednk je ordinti u dijgrmu ubrznj i remen ( t) u istom tom trenutku t (sl..3.b i c) d dt. Slik.3. Veze među osnonim kinemtičkim eličinm x (3) Prirst brzine u remenskom interlu t do t jednk je poršini u ( t) dijgrmu omeđenoj kriuljom ubrznj i ordintm koje odgorju remenskim trenutcim t i t (sl..4. i b) t d t. (.3) (4) Prirst koordinte položj čestice x (pomk čestice x ) u remenskom interlu t do t t jednk je poršini u ( t) dijgrmu omeđenoj kriuljom brzine i ordintm koje odgorju remenskim trenutcim t i t (sl..4.b i c) t d x x t. (.4) t

31 Primjer.0. Slik.4. Veze među osnonim kinemtičkim eličinm x Zdn je dijgrm promjene brzine čestice u funkciji remen (sl..5). Odrediti zkone promjene ubrznj čestice u pojedinim periodim gibnj (ncrtti t dijgrm gibnj čestice) te udljenost čestice od početnog položj u trenutku t 0 s. Rješenje: Slik.5. Primjer.0: -t dijgrm gibnj čestice. N slici.3 je idljio d je gibnje čestice podijeljeno u četiri period: I. (od 0 do s) u kojem brzin rste linerno, II. (od do 4 s) u kojem je brzin konstntn, te III. (od 4 do 8 s) i IV. (od 8 do 0 s) u kojim brzin konstntno pd, li po rzličitim zkonim. Prem izrzu (.0) ubrznje čestice jednko je ngibu tngente n kriulju u pojedinom trenutku remen. Budući d su zkoni promjene brzine u sim periodim prci, to su ngibi njihoih tngenti u pojedinom periodu konstntni i odgorju koeficijentu smjer odgorjućeg prc, p je - u I. periodu: - u II. periodu: - u III. periodu: - u IV. periodu: t - I I / I 4 / m s, t - II II / II 0 / 0 m s, t - III III / III / 4 0,5 m s, t - IV IV / IV / m s. Dijgrm promjene ubrznj čestice ( t) prikzn je n slici.6. Udljenost čestice od početnog položj jednk je ukupnom preljenom putu jer brzin čestice nije mijenjl soj smjer. 3

32 Zto je prem (.) t udljenost jednk ukupnoj poršini ispod t kriulje n slici.5, p je x x x x(0) x(0) dt A A A A, I II III IV 0 0 gdje su AI, AII, AIII i AIV poršine ispod t kriulje u pojedinom periodu gibnj. Dlje je: x Slik.6. Primjer.0: -t dijgrm gibnj čestice. x m. Zdtk.4. Zdn je dijgrm promjene ubrznj čestice u funkciji remen (sl. Z..4). Ako je čestic u početnom trenutku mirol u ishodištu, odrediti zkone promjene brzine i položj čestice u funkciji remen te skicirti odgorjuće dijgrme ( t i x t ). Odgoor: Slik Z..4. -t dijgrm gibnj čestice 0 3t m s, 8 8 t m s x 3 0 t m, x 8 8t m 8 t Slik Z t dijgrm gibnj čestice Slik Z..4.b. x-t dijgrm gibnj čestice 4

33 Zdtk.5. Čestic se gib procrtno pri čemu joj se položj tijekom remen mijenj prem dijgrmu prikznom n slici Z..5. Ako se čestic od dneste sekunde nstlj gibti konstntnom brzinom, odrediti zkone promjene položj, brzine i ubrznj čestice u funkciji remen te skicirti t i t. Slik Z..5. s-t dijgrm gibnj čestice Odgoor: x0 t 8 t m, x 6 t 8 m t 4 m s, m s ,5 m s, 0 6 Slik Z t dijgrm gibnj čestice Slik Z..5.b. -t dijgrm gibnj čestice..5. Vezno gibnje čestic U sustim kolotur i užetnih element (užd, sjle, lnci) često se jlj sust od dije ili iše međusobno poeznih čestic koje rše procrtno gibnje, kko je to prikzno n slici.7. Pri tome se pretpostlj d su užetni elementi nerstezljii, idelno sitljii, te d im se ms može znemriti. Iz nedenog slijedi rlo žn ujet d duljin skog užetnog element, izržen preko koordint položj pojedinih čestic, mor biti konstntn. Tj se ujet nzi ogrničenjem eze kod eznog procrtnog gibnj čestic. Z primjer prikzn n slici.7 može se ustrditi kko duljin užet OCDEB mor biti konstntn. S druge strne, duljin dijel užet OC odnosno CD rzlikuje se u odnosu n koordintu položj čestice A, xa z konstntnu eličinu (udljenost od čestice O horizontle kroz koloturnike D i E, te udljenost čestice C od čestice A). Tkođer, duljin dijel užet koji obuhćju koloturnik C i duljin dijel koji obuhć i spj koloturnike D i E jesu konstntne eličine. Zto se može pisti: x x konst. (.5) A B 5

34 T se jedndžb nzi ogrničenje eze. To ndlje znči d je smo jedn od koordint xa i xb neoisn (drug slijedi iz jedndžbe.5). Slik.7. Primjer eznog procrtnog gibnj čestic Budući d se brojem stupnje slobode nekog sust nzi se broj neoisnih podtk (koordint) kojim je u potpunosti definirno gibnje tog sust, zključuje se d sust prikzn n slici.7 im jedn stupnj slobode gibnj. Deriirnjem jedndžbe (.5) po remenu dobije se ez između brzin čestic A i B, potom i ez između ubrznj tih diju čestic, kko slijedi: dx dx dt dt ili 0; (.6) A B A B 0 d d dt dt ili 0. (.7) A B A B 0 Zključuje se d je ektor brzine čestice B dostruko eći od ektor brzine čestice A, te d je suprotno usmjeren. Isti se zključk može donijeti i z ektore ubrznj oih diju čestic. Primjer.. Blokoi A i B poezni su međusobno tnkim nerstezljiim užetom prebčenim preko koloturnik C, E i D. Odrediti brzinu blok A ko je poznt brzin blok B B.8). m s (sl. Slik.8. Primjer.: Sust z podiznje bloko. 6

35 Rješenje: N slici.9 prikzne su koordinte položj bloko A i B. Slik.9. Primjer.: Koordinte položj bloko. Duljin užet ACEDB mor biti konstntn. S druge strne t je duljin jednk koordinti položj blok A uećnoj z trostruku koordintu blok B i konstntu koj obuhć dijeloe užet oko koloturnik C, D i E, te dio užet od horizontle kroz središte koloturnik E do blok B (sl..9). Zto se može pisti x 3 x konst., A što nkon deriirnj po remenu dje B odnosno dx dt A dx dt A B 3 0, 3 0, B odkle se dobije brzin blok A: A - 3B 3 3 m s. Iz dobienog se rezultt zključuje d će se blok A gibti trostruko ećom brzinom od blok B i suprotno usmjerenom. U oom slučju brzin blok A bit će usmjeren prem gore. Zdtk.6. Z izlčenje brod n noz s srhom remont koristi se sust koloturnik prikzn n slici Z..6. Uže je jednim krjem ezno u točki T, drugi se krj užet nmt n bubnj koji pokreće elektromotor. Odrediti brzinu izlčenj brod ko je brzin točke A n užetu A 8 m s. 7

36 Slik Z..6. Zdtk.6. Odgoor: B m s. Zdtk.7. Čestic B gib se brzinom B,5 m s po horizontlnoj podlozi, te s pomoću užet i sust koloturnik polči česticu A uz kosinu (slik Z..7). Odrediti brzinu kojom se čestic A gib uz kosinu. Slik Z..7. Zdtk.7. Odgoor: A 0,5 m s. 8

37 .3. KRIVOCRTNO GIBANJE ČESTIČE Z definirnje kriocrtnog gibnj čestice u prostoru njčešće se primjenjuju sljedeć tri nčin: ) ektorski nčin b) nlitički nčin c) prirodni nčin..3.. Vektorski nčin definirnj gibnj Položj čestice P u proizoljnom trenutku remen može se definirti s pomoću ektor OP r s početkom u ishodištu usojenog koordintnog sust. Tj ektor nzi se još i rdijus ektor položj čestice P, u općem slučju mijenj se po prcu, smjeru i eličini tijekom remen. Stog se kže d ektor r predstlj ektorsku funkciju sklrnog rgument t, tj.: r r t ili r r t i r t j r t k xi yj zk, (.8) x y z gdje su i, j i k jedinični ektori (ortoi) u prcu triju nepomičnih osi koordintnog sust Oxyz, p prem tome konstntni po intenzitetu, prcu i smjeru. Ako je zdn funkcij neprekinut i njmnje dput deribiln, kže se d predstlj jedndžbu kriocrtnog gibnj čestice u ektorskom obliku. Putnj čestice dobije se spjnjem rho rdijus ektor položj r i još se nzi hodogrf rdijus ektor položj (sl..0.). Slik.0. Kriocrtno gibnje čestice: ) putnj čestice; b) brzin čestice Vektor brzine čestice Nek se promtrn čestic u trenutku t nlzi u položju P koji je određen ektorom položj r, u trenutku t u položju P određenom ektorom položj r. Td je ektorom PP r određen pomk čestice P u remenskom interlu t t t (sl..0.b). Vektor srednje brzine čestice definir se ko omjer: 9

38 sr PP r t t t. (.9) Prc ektor sr poklp se s prcem ektor PP, dok se smjer tog ektor podudr s smjerom gibnj čestice. Brzinom čestice P u proizoljnom trenutku remen nzi se ektorsk eličin kojoj teži ektor srednje brzine sr kd remenski interl t teži nuli: r dr lim sr lim r, (.30) t0 t0 t dt gdje se, rdi jednostnosti, dericij funkcije po prmetru t oznč točkom iznd funkcije ( r dr dt, y dy dt, i slično). Prem tome, ektor brzine čestice u proizoljnom trenutku remen jednk je proj dericiji rdijus ektor položj čestice po remenu. Budući d se u grničnom slučju prc seknte PP poklp s prcem tngente, ektor brzine čestice pd u prc tngente n putnju i usmjeren je u smjeru gibnj čestice Vektor ubrznj čestice Promjenu intenzitet i prc ektor brzine pri kriocrtnom gibnju krkterizir ektor ubrznj čestice. Promotre li se d uzstopn položj čestice P (P i P) s pripdjućim brzinm i, očito je d će u promtrnom remenskom interlu t t t brzin čestice dobiti prirštj. Koristeći se prilom prlelogrm, može se u točki P odrediti ektor. Tkođer se može zključiti d će tj ektor biti uijek usmjeren u konknu strnu kriulje (sl..). Slik.. Ubrznje čestice Vektor srednjeg ubrznj čestice definir se ko omjer: sr. (.3) t 30

39 Ubrznjem čestice P u proizoljnom trenutku remen nzi se ektorsk eličin kojoj teži ektor srednjeg ubrznj sr kd remenski interl d d r lim sr lim t0 t0 t teži nuli: r. (.3) t dt dt Prem tome, ektor ubrznj čestice u proizoljnom trenutku remen jednk je proj dericiji ektor brzine ili drugoj dericiji rdijus ektor položj po remenu. Ako je putnj čestice rninsk kriulj, td ektor ubrznj leži u istoj rnini i usmjeren je u konknu strnu kriulje. Ako je pk putnj prostorn kriulj, td ubrznje leži u tz. oskultornoj rnini koj je definirn tngentom i glnom normlom n putnju u zdnoj točki Velocid i hodogrf brzin čestice Pri proučnju rninskih gibnj, i to nročito pri primjeni grfičkih postupk, susreću se u kinemtici pojmoi elocid i hodogrf brzin, koji će se odje definirti. Velocidom se nzi kriulj koj prolzi rhoim ektor brzin nnesenim u odgorjućim točkm putnje (sl...). Vektori brzin, nneseni prlelno smim sebi iz jednog ishodišt, određuju sojim rhoim kriulju koj se nzi hodogrf brzin (sl...b). Slik.. ) Velocid; b) hodogrf brzin Teorem o projekcijm dericije ektor Teorem o projekcijm dericije ektor glsi: Projekcij dericije ektor n neku nepomičnu os jednk je dericiji projekcije zdnog ektor n tu istu os. Nek je zdn ektor c ko funkcij remen i nek je ektor d njego dericij po remenu. Po definiciji je: c dc d lim dsr lim. (.33) t0 t0 t dt Korištenjem teorem o projekcijm ektor n os, može se pisti: 3

40 d x c c c dc lim lim t0 t t0 t dt x x x x. (.34) Odje lj nglsiti d gore rečeno ne rijedi i z intenzitet, odnosno modul ektor, jer u općem slučju: d d c. (.35) dt To je lko pokzti n primjeru kružnog gibnj kod kojeg je intenzitet rdijus ektor položj konstntn, tj. r const., li je ektor položj funkcij remen r r t i rijedi: d r dt 0 i dr 0 dt. (.36).3.. Anlitički nčin definirnj gibnj čestice.3... Putnj, brzin i ubrznje čestice u prokutnim koordintm Slik.3. ) Položj čestice u prostoru; b) položj čestice u rnini. Položj čestice u prostoru može se u potpunosti definirti trim prokutnim koordintm x, y i z (slik.3.). Shodno tome i gibnje čestice u prostoru bit će u potpunosti određeno ko su poznte funkcije remen: x x() t, y y() t, z z() t (.37) koje, s obzirom n prirodu gibnj čestice, morju biti neprekinute i brem d put deribilne. Gibnje čestice u rnini određeno je jednkostim: x x() t, y y() t. (.38) Jedndžbe (.37) i (.38) predstljju putnju odnosno trjektoriju čestice u prmetrskom obliku. Izlučinjem remen t iz pre od jedndžb (.38) t ( x) i urštnjem u drugu dobije se jedndžb putnje čestice u rnini: y y ( x). (.39) 3

41 N osnoi teorem o projekcijm dericije ektor mogu se npisti izrzi z određinje projekcij ektor brzine n koordintne osi: x drx, dt y dry, dt z drz. (.40) dt Kko je idljio s slike.3, projekcije ektor položj n koordintne osi jednke su koordintm čestice, tj. odkle slijedi d je: x rx dx x, dt x, ry y y, rz dy y, dt z, z dz z, (.4) dt tj. projekcije brzin n pojedine koordintne osi jednke su prim dericijm odgorjućih koordint čestice po remenu. Poznjući projekcije brzine može se odrediti intenzitet ektor brzine i njezin prc (odnosno kutoi α, β i γ koje prc ektor brzine ztr s pojedinim koordintnim osim), kko slijedi: x cos (.4) x y z, y z cos, cos. (.43) N sličn nčin mogu se odrediti i projekcije ektor ubrznj n pojedine koordintne osi. Imjući u idu definiciju ektor ubrznj, može se pisti: x dx d x x dt dt, y dy d y y dt dt, z dz d z z dt dt, (.44) tj. projekcije ektor ubrznj n koordintne osi jednke su prim dericijm po remenu projekcij ektor brzine ili pk drugim dericijm odgorjućih koordint čestice po remenu. Slično ko kod brzin, intenzitet i prc ubrznj mogu se odrediti prem izrzim: (.45) x y z x cos, y z cos, cos. (.46) Prem tome, ko je gibnje čestice zdno u prokutnom (Descrtesou) koordintnom sustu jedndžbm (.37) ili (.38), ond se brzin čestice određuje prem izrzim (.40) do (.43), ubrznje prem (.44) do (.46). Kod rninskog gibnj otpdju treće projekcije koje se odnose n os z. Primjer.. Vektor brzine čestice koj zpočinje gibnje iz ishodišt mijenj se prem zkonu: m/s, t i t j t k 33

42 gdje je t dno u sekundm. Odrediti ektor ubrznj čestice i intenzitet tog ektor u trenutku t= s. Kolike su koordinte položj čestice u tom trenutku? Rješenje: Vektor ubrznj čestice dobije se prem (.3): d d t i t j t k t i t j k dt dt m/s i u trenutku t= s glsi: 64i 48 j 5k m/s, iznos ubrznj je prem (.45): x y z ,6 m/s. Koordinte ektor brzine su: 3 x y z 6 t, 4 t, 5t, p su koordinte položj čestice, zbog (.4): x, p je dx dt 6t dt 6 x t t t C d ; dy ydt 4t dt, p je y 4t dt t C ;, p je dz dt 5t dt z 5 z t t t t C 5 d 3. Konstnte integrcije C, C i C3 određuju se iz ujet d se u početnom trenutku (t=0) čestic nlzi u ishodištu koordintnog sust te je x0 y0 z0 0, p slijedi d su i se konstnte integrcije jednke nuli. Končno je: x t m, p je u trenutku t= s: y 4 t m, 5 z t t, x() 4,67 m, y() 6 m, z() 4. Primjer.3. Gibnje čestice u rnini zdno je prmetrskim jedndžbm: x 3t 6t, 4 8, y t t gdje su x i y dni u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti putnju, brzinu i ubrznje čestice. 34

43 Rješenje: D bi se odredil putnj, potrebno je njprije eliminirti prmetr t iz gornjih jedndžb. Pomnoži li se pr jedndžb s 4, drug s 3, bit će desne strne tko dobienih jedndžb jednke, odkle slijedi: 4x 3y odnosno 4 y x. 3 Prem tome, putnj je prc koji prolzi ishodištem i koji s osi x ztr kut α, pri čemu je tn 4 3 (sl..4). Slik.4. Primjer.3: putnj čestice. Brzin i ubrznje čestice odredit će se prem izrzim (.37) do (.4): x 6t 6, y 8t 8 x y, t x y 0 m/s x x 6, y 8, y x y 0 m/s. Iz zdnih prmetrskih jedndžb i dobienih rezultt mogu se izesti sljedeći zključci: u trenutku t0 0 s čestic se nlzi u ishodištu koordintnog sust, brzin joj je 0 m s, dok joj ubrznje iznosi 0 m s ; brzin čestice bit će jednk nuli u trenutku t s, i u tom će se trenutku čestic početi rćti k ishodištu O; čestic će se ponono nći u ishodištu u trenutku t s, i od tog trenutk će se stlno udljti od ishodišt; prci brzine i ubrznj poklpju se s prcem putnje čestice. Primjer.4. Odrediti putnju, brzinu i ubrznje čestice P elipsogrf prikznog n slici.5 ko se kut, što g polug 0A ztr s osi x, mijenj prem zkonu: t ( const.). 35

44 Zdno: OA AB 3l ; AP l Slik.5. Primjer.4. Rješenje: Potrebno je njprije odrediti koordinte čestice P u funkciji remen. Budući d je trokut 0AB jednkokrčn, bit će kut uz rh B tog trokut jednk kutu. Koordinte čestice P sd su: x 3l cos l cos y lsin x 4l cost y l sint. Dijeljenjem pre jedndžbe s 4l, druge s l; kdrirnjem obiju i zbrjnjem, dobije se putnj čestice P: x y, 6l 4l što je centrln elips s poluosim 4l i l. Brzin i ubrznje čestice P bit će prem (.4 i.4) te (.44 i.45): x 4lsin t, y lcos t x y x y 4sin cos l t t ; x 4 cos, x l t x y l sint y y x y 4cos sin OM l t t r. Brzin čestice P mijenj se tijekom remen u grnicm od l do 4l, dok je ubrznje proporcionlno udljenosti sme čestice od ishodišt O. Korištenjem izrz (.46): x x x cos r r može se pokzti d je ektor ubrznj z rijeme gibnj uijek usmjeren duž prc OP k točki O. 36

45 Zdtk.8. Čestic se gib u rnini Oxy tko d joj se ektor brzine mijenj prem zkonu t 3 i t, j gdje je brzin u metrim po sekundi, rijeme t u sekundm. Ako se čestic u početnom trenutku ( t 0 0 ) nlzil u položju x 0 m i y 4 3 m, 0 odrediti položj te iznos brzine i ubrznj čestice u trenutku t s. Odgoor: x m, y 0 m, 7,8 m s,. 4,47 m s Zdtk.9. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice t x sin, 3 t y 3cos, 3 gdje su x i y dni u metrim, rijeme t u sekundm. Potrebno je odrediti: ) jedndžbu putnje čestice, b) iznos brzine i ubrznj čestice u trenutku t 6 s. Odgoor: ) x y elips b) 4 4,89 m 3 s, 4 3,59 m s. 3 Zdtk.0. Čestic C doodi se u gibnje duž žlijeb oblik prbole klizč AB (sl. Z..0). y 3x s pomoću Slik Z..0. Zdtk.0. Ako se klizč AB gib duž odilice prem zkonu x 3t, gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm, potrebno je odrediti položj čestice te iznos njene brzine i ubrznj u trenutku t s. Odgoor: x 3 m, y 3 m, 6,7 m s,. 6 m s 37

46 .3... Putnj, brzin i ubrznje čestice u polrnim koordintm Rninsko gibnje čestice može se opisti i u polrnim koordintm. Ako su poznte koordinte r i čestice P: r r() t ; () t (.47) ko neprekinute i njmnje dput deribilne funkcije remen, td je gibnje čestice P u rnini potpuno određeno. Vez između polrnih i prokutnih koordint slijedi s slike.6: x rcos, y rsin. (.48) Slik.6. Gibnje u polrnim koordintm D bi se odredil brzin i ubrznje čestice u polrnim koordintm, potrebno je u rzmtrnjim uesti d no jediničn ektor: e - usmjeren duž spojnice ishodišt i čestice u zdnom trenutku; e - okomito n ektor e. T d ektor mogu se izrziti preko jediničnih ektor i i j nepokretnog koordintnog sust Oxy prem slici.6: e i cos j sin, e i sin j cos. (.49) S obzirom n to d je kut funkcij remen, to su e i e promjenjii ektori. Dericije tih ektor po remenu su: de d d d i sin j cos e e dt dt dt dt de d d d i cos j sin e e (.50) dt dt dt dt jer je: di 0 dt i dj 0 dt. Vektor položj čestice P moguće je npisti u obliku: 38

47 r re. Dericijom gornjeg izrz po remenu dobije se ektor brzine čestice: d d dr d r re e r e dt dt dt dt re re (.5) koji je sstljen od diju međusobno okomitih komponent: r re re - rdijln komponent brzine e re - cirkulrn komponent brzine. c c Rdijln komponent ektor brzine krkterizir promjenu intenzitet rdijus ektor položj čestice P, dok cirkulrn krkterizir promjenu prc tog ektor (sl..7). Intenzitet brzine moguće je odrediti iz jednkosti: r r (.5) r c pri čemu je kut što g ektor brzine ztr s koordintom r: tn c. (.53) r r r Slik.7. Rdijln i cirkulrn komponent brzine Dericijom izrz z brzinu čestice u polrnim koordintm po remenu dobije se ektor ubrznj čestice P: d d d d re re re r e re r e dt dt dt dt re re + re re r e ili, končno: r r e r r e. (.54) 39

48 Rdijln i cirkulrn komponent ubrznj su dkle: Intenzitet ektor ubrznj određen je izrzom: dok se iz jednkosti r r e r r e, (.55) c c e r r e. (.56) r c r r r r, (.57) r r tn c r r r (.58) određuje kut što g ektor ubrznj ztr s koordintom r (sl..8). Primjer.5. Slik.8. Rdijln i cirkulrn komponent ubrznj Gibnje čestice u rnini zdno je u polrnim koordintm: r cos ; 4t, gdje je r u metrim, u rdijnim, t u sekundm. Odrediti brzinu i ubrznje čestice te jedndžbe putnje i hodogrf brzin u prokutnim koordintm. Rješenje: Korištenjem izrz z određinje brzine i ubrznj čestice (.5) i (.54) dobije se: r r 8sin 4t, c r 8cos4t r c 8 m s ; r r t, c r r 64sin 4t r 64cos 4 r c 64 m s. 40

49 S pomoću pozntih ez između prokutnih i polrnih koordint dobije se: x rcos cos, yrsin cos sin ili, nkon kdrirnj jedndžb i njiho zbrjnj: x y cos (cos sin ) x ili x y x 0, što, nkon sođenj n puni kdrt, dje trženu jedndžbu putnje: x y. Putnj je dkle kružnic rdijus m, središte koje je pomknuto po osi x z m (sl..9.). Slik.9. Primjer.5: ) putnj; b) hodogrf brzin. Projekcij brzine i ubrznj n osi x i y su (prem prilu o dericiji složene funkcije): x 4cos sin 8sin, x y y sin cos 8cos ; x 6cos 64cos, x y 6sin 64sin. y Kdrirnjem končnih izrz z projekcije brzin i zbrjnjem dobije se jedndžb hodogrf brzin (sl..9.b): 8. x y Zdtk.. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice r t 0,5e, 4t, gdje je r dno u metrim, kut u rdijnim, rijeme t u sekundm. 4

50 Potrebno je odrediti jedndžbu putnje čestice te rdijlnu i cirkulrnu komponentu brzine odnosno ubrznj u funkciji remen t. Odgoor: r 0,5e - logritmsk spirl, r e t t, t c e, r 6e, t c 8e. Zdtk.. Polug OA njiše se oko zglob O tko d se kut mijenj prem zkonu sin t, gdje je kut dn u rdijnim, rijeme t u sekundm (slik Z..). Slik Z... Zdtk.. Duž poluge OA gib se klizč B kojemu je udljenost od zglob O dn izrzom: r 00 t 4, gdje je r dno u centimetrim, rijeme t u sekundm. Odrediti iznos brzine i ubrznj klizč B u trenutku Odgoor: t s. r 4 cm s, c 40 cm s, 40, cm s ; 78,4 cm, 6 cm, 80,0 cm. r s c s c s Putnj, brzin i ubrznje čestice u cilindričnim koordintm Cilindrične su koordinte kombincij polrnih (, ) i jedne prokutne (Descrtesoe) koordinte (njčešće je riječ o z koordinti), kko je to prikzno n slici.30. Slik.30. Gibnje čestice u cilindričnim koordintm 4

51 Umjesto koordinte r odje se koristi polrn koordint, s obzirom n to d se t koordint ne poklp s rdijus ektorom položj čestice P (r ). Položj čestice P u prostoru određen je dkle trim prmetrskim jedndžbm gibnj: () t, () t, z z() t. (.59) Gibnje čestice P može se zmisliti ko zbroj gibnj u rnini (, ) i prlelnog pomk te rnine duž osi z. N temelju izrz izedenih z prokutne i polrne koordinte mogu se, bez posebnog izođenj, npisti izrzi z brzinu i ubrznje u cilindričnim koordintm, kko slijedi: gdje su komponente ektor brzine, odnosno ektor ubrznj: ρ Odgorjući intenziteti oih ektor su: ρe ce zk (.60) ρe ce zk, (.6), c, z, z ρ, c c z z (.6) z. (.63) (.64). (.65) c z.3.3. Prirodni nčin definirnj gibnj čestice Određinje brzine čestice Ako je putnj čestice unprijed poznt, može se primijeniti i prirodni nčin definirnj gibnj čestice. Nek se čestic P gib u sustu Oxyz duž poznte putnje AB i nek je točkom P0 n toj putnji određen početni položj čestice P. Usoji li se uz to i pozitin, odnosno negtin smjer gibnj čestice, bit će položj čestice P n putnji AB jednoznčno određen kriocrtnom koordintom s (slik.3). Slik.3. Prirodni nčin definirnj gibnj čestice 43

52 Jedndžb: izrž pri tom zkon gibnj (zkon put) čestice P po putnji. s f () t (.66) Iz gore nedenog slijedi d je z prirodni nčin definirnj gibnj čestice neophodno poznti: ) putnju čestice; b) početk (ishodište) prirodnog koordintnog sust n putnji ko i pozitin odnosno negtin smjer gibnj odnosno prirst kriocrtne koordinte s; c) zkon put u obliku s f () t. Odje lj nglsiti d kriocrtn koordint s predstlj trenutnu udljenost čestice P od ishodišt P0 i d se, u općem slučju, t udljenost rzlikuje od ukupno preljenog put do tog trenutk remen. Ako čestic P u remenskom interlu t preli put s = s s n putnji td će brojčn rijednost srednje brzine biti: sr s s s t t t, (.67) prelskom n grnični slučj dobit će se brojčn rijednost brzine u proizoljnom trenutku remen: s ds lim, (.68) t 0 t dt tj. intenzitet brzine u proizoljnom trenutku remen jednk je proj dericiji kriocrtne koordinte s po remenu. Vektor brzine, koji prcem pd u prc tngente n putnju, usmjeren je u pozitinom smjeru (smjer porst koordinte s) ko je 0, u negtinom smjeru ko je Tngencijlno i normlno ubrznje Vektor ubrznj leži u tkoznoj oskultornoj rnini (rnini određenoj tngentom T i glnom normlom N n putnju čestice) p je z određinje ektor ubrznj dooljno odrediti projekcije tog ektor n dije po olji odbrne osi koje leže u toj rnini. Slik.3. Promjen ektor brzine čestice 44

53 Nek su te osi bš tngent T n putnju, kojoj se smjer poklp s prirstom koordinte s, te gln norml N, koj je okomit n T i usmjeren k središtu zkriljenosti putnje (sl..3). Odbrne osi sijeku se u točki P pod prim kutom i gibju se zjedno s česticom u prostoru. Prem definiciji, ektor ubrznj je: N osnoi teorem o projekcijm ektor, bit će: lim sr lim lim t0 t0 t t0 t. (.69) T t lim N N t lim T T, N t 0 t 0 (.70) S slike.3 mogu se odrediti projekcije ektor brzine i n tngentu i normlu n putnju, kko slijedi: T, 0, cos, sin N T gdje su i intenziteti ektor brzin u trenutku t i t. Sd se oe jednkosti mogu urstiti N u izrze (.70). Uzme li se pri tom u obzir d se, kd t 0, čestic P približ točki P, te d istoremeno bit će: 0, s 0,, cos te sin T T T cos d lim lim lim lim t0 t t0 t t0 t t0 t dt N N N sin sin lim lim lim lim t0 t t0 t t0 t0 t Proširinjem drugog od limes n krju izrz z N s / i s s/ s dobije se Kut sin s sin s N lim lim lim lim lim t 0 t 0 s t t 0 t 0 s t 0 t. između tngent n putnju u položjim P i P nzi se kontingentni kut. Grničn rijednost (kp) omjer / s kd s teži nuli: lim s 0 s (.7) nzi se zkriljenost kriulje u promtrnoj točki. Recipročn rijednost zkriljenosti jest rdijus zkriljenosti, tj. Zbog (.7) i (.7) izrz z normlno ubrznje čestice postje:. (.7) N. 45

54 Končno se može npisti: T d d s dt dt, N. (.73) S obzirom n izrze (.73) mogu se izući zključci koji slijede. Tngencijlno ubrznje čestice (projekcij ektor ubrznj n tngentu n putnju) jednko je dericiji intenzitet ektor brzine, odnosno drugoj dericiji kriocrtne koordinte s po remenu t. Normlno ubrznje čestice (projekcij ektor ubrznj n glnu normlu) jednko je omjeru između kdrt brzine čestice i rdijus zkriljenosti putnje u promtrnom trenutku remen. Kko je iz definicije idljio, normln je komponent ubrznj uijek pozitin. Oe dije komponente ektor ubrznj, tngencijln i normln, nziju se prirodnim komponentm ubrznj pokretne čestice. Komponent N ektor ubrznj usmjeren je uijek u konknu strnu putnje, dok smjer komponente T oisi o predznku tngencijlnog ubrznj (sl..33. i b). Slik.33. Normlno i tngencijlno ubrznje Ukupno ubrznje dobije se ko dijgonl prokutnik konstruirnog nd komponentm N i T. Intenzitet ubrznj bit će:. (.74) N T Kut α između ektor ubrznj i glne normle određen je izrzom: rctn. (.75) Ako je gibnje čestice zdno u prokutnim, polrnim ili cilindričnim koordintm, prirodne komponente ubrznj određuju se n sljedeći nčin: - njprije se odredi tngencijlno ubrznje prem izrzu d dt što dje: - u prokutnim koordintm: T N T 46

55 - u polrnim koordintm: d d x x y y z z T x y z dt dt x y z d d rr r r r T r r dt dt r r - u cilindričnim koordintm: T d d rr r r r zz z dt dt z (.76) (.77). (.78) Nzinici n desnim strnm izrz (.76) do (.78) z izrčun tngencijlne komponente ubrznj T predstljju u stri brzinu čestice u rzmtrnom trenutku. Normlno ubrznje čestice sd je: Primjer.6.. (.79) N T Odrediti njeću brzinu koju smije doseći gon n dijelu AB tobogn u zbnom prku (sl..34), gdje rdijus zkriljenosti iznosi R 50 m, ko njeće normlno ubrznje ne smije biti eće od trostruke rijednosti gritcijskog ubrznj. Rješenje: Slik.34. Primjer.6. Normlno ubrznje gon dno je drugim od izrz (.73): N R p se, budući d oo ubrznje ne smije biti eće od 3g, može pisti N 3g, R odkle slijedi njeć dopušten brzin gon: 3Rg 3509,8 47,5 47

56 47,5 38,36 m/s. Primjer.7. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice xt 3, y t t 4, gdje su x i y dni u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti putnju čestice, ztim, u trenutku t 0,5 s, položj čestice, njenu brzinu i ubrznje te rdijus zkriljenosti putnje. Rješenje: Z određinje putnje čestice potrebno je eliminirti rijeme t iz prmetrskih jedndžb gibnj. U tom se smislu drug od prmetrskih jedndžb može npisti u obliku: y 4t t 9 t 3. Budući d je izrz u zgrdi jednk rijbli x, končno je y x, p se zključuje d je putnj čestice prbol. Projekcije brzine i ubrznj čestice n osi koordintnog sust su, prem (.4) i (.44), dx dy d d x y x ; y 8t ; x 0; y 8. dt dt dt dt U trenutku t 0,5 s bit će x 4 m; y 8 m m/s; 6 m/s; 6 6,5 m/s x y x y 0 m/s ; 8 m/s ; m/s. x y x y Rdijus zkriljenosti putnje u trenutku t 0,5 s slijedi iz drugog od izrz (.73) N s tim d je normlno ubrznje dno izrzom (.79), N T pri čemu je tngencijlno ubrznje prem (.76) T x x y y ,938 m/s. 6,5 48

57 Slijedi: N T 8 7, 938 0, 99 m/s, 6,5 6 m. 0,99 N Zdtk.3. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice 3 t x 3 4cos, 3 t y 5 sin, gdje su x i y dni u metrim, rijeme t u sekundm. Potrebno je odrediti jedndžbu putnje čestice, iznos njene brzine i ubrznj te rdijus zkriljenosti putnje u trenutku x 3 y Odgoor: - elips, 8,85 m s, t s., m 44,4 m s 8. Zdtk.4. Čestic A gib se duž žlijeb oblik prbole y x tko d joj se koordint x mijenj prem zkonu 3 x t, gdje je x dno u metrim, rijeme t u sekundm. Odrediti položj čestice, iznos njene brzine i ubrznj te rdijus zkriljenosti putnje u trenutku t 4 s. Odgoor: Slik Z..4. Zdtk.4. x 4 m, y 8 m, 6,85 m s, 3,006 m, 70,09 m. s Zdtk.5. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice r t, t, 4 gdje je r dno u metrim, kut u rdijnim, rijeme t u sekundm. Potrebno je odrediti jedndžbu putnje čestice, iznos njene brzine i ubrznj te rdijus zkriljenosti putnje u trenutku Odgoor: t s. r - Arhimedo spirl, 0,65 m s,,,44 m. 0,67 m s 49

58 Neki posebni slučjei gibnj čestice - Procrtno gibnje čestice Koristeći se rezulttim dobienim u prethodnom pogllju, promotrit će se gibnje čestice z slučj kd je putnj prc, što je eć obrđeno u pogllju. oih skript. S obzirom n pozntu putnju (sl..35) primijenit će se prirodni nčin proučnj gibnj čestice. Slik.35. Procrtno gibnje čestice U oom slučju gibnj bit će rdijus zkriljenosti putnje u bilo kojoj točki ρ =, odkle slijedi d je normln komponent ubrznj: N 0 p je ukupno ubrznje čestice jednko tngencijlnom ubrznju, tj. T d. dt Budući d se u rzmtrnom slučju mijenj smo intenzitet brzine, ne i njezin prc, zključuje se d tngencijln komponent ubrznj krkterizir promjenu intenzitet ektor brzine. Ako je tngencijlno ubrznje jednko nuli, to znči d je intenzitet brzine konstntn, odnosno d se čestic gib jednoliko procrtno. Vlj npomenuti d je jednoliko procrtno gibnje jedini slučj gibnj kod kojeg je ukupno ubrznje z se rijeme gibnj jednko nuli. - Jednoliko i jednoliko promjenljio kriocrtno gibnje Ako se čestic P gib po kriocrtnoj putnji tko d je: T d 0 te dt N 0, ond je const. const. pri čemu zkon gibnj čestice po putnji im oblik: s s0 t. Čestic P rši u tom slučju jednoliko kriocrtno gibnje brzinom konstntnog intenzitet, li s totlnim ubrznjem rzličitim od nule, jer je: N. 50

59 Prem tome, pri jednolikom kriocrtnom gibnju čestice ukupno ubrznje čestice jednko je normlnom ubrznju i krkterizir promjenu prc ektor brzine pokretne čestice. To je ujedno i osnon rzlik između jednolikog procrtnog i jednolikog kriocrtnog gibnj čestice. Ako se čestic gib po kriocrtnoj putnji tko d je i T = const. 0, kže se d rši jednoliko ubrzno ili jednoliko usporeno kriocrtno gibnje, pri čemu je: 0 T t s s t t 0 0. T Posebn slučj kriocrtnog gibnj čestice jest kružno gibnje koje nstje u slučju d je R const., što znči d se čestic gib po kružnoj putnji. Slik.36. Kružno gibnje čestice: brzin i ubrznje. Gibnje čestice po kružnoj putnji može biti jednoliko, jednoliko ubrzno ili usporeno te u općem slučju proizoljno promjenljio, oisno o iznosu i krkteru tngencijlnog ubrznj. Vektor ubrznj čestice P određen je, ko kod skog kriocrtnog gibnj, geometrijskim tj. ektorskim zbrojem tngencijlnog i normlnog ubrznj, s tim što je u oom slučju normln komponent ubrznj usmjeren uijek k centru kružne putnje (sl..36). Primjer.8. Vozč utomobil, koji ulzi u zoj polumjer zkriljenosti A R 750 m brzinom od 08 km/h (sl..37), zpočinje kočiti tko d se 5 sekund nkon početk kočenj brzin utomobil smnji n A 7 km/h. Slik.37. Primjer.8: Putnj i brzin utomobil. 5

60 Pretpostljjući d se utomobil uspor jednoliko (konstntnim tngencijlnim ubrznjem), odrediti ukupno ubrznje utomobil u trenutku početk kočenj. Rješenje: U prom će se korku brzine utomobil iz km/h izrziti u m/s: A m/s, A 0 m/s, jer je 3,6 3,6 000 m m km/h s 3,6 s Ako je usporenje utomobil jednoliko, td je ez između brzine u trenutku t 5s i one u trenutku početk kočenj dn izrzom: odkle je t, A A T A A T m/s. t Kko je normlno ubrznje u trenutku zpočinjnj kočenj A 30 R 750 N, m/s, to je ukupno ubrznje utomobil u tom trenutku Primjer.9.,,33 m/s. N T Čestic A gib se jednoliko ( const. ) po kružnici rdijus R, pri čemu je početni položj čestice A0 dn koordintm x0 0, y0 R (sl..38). Odrediti zkon gibnj čestice M, koj predstlj projekciju čestice A n os x, ko se koordint s čestice M mjeri od ishodišt O (0;0). Skicirti i kotirti osnone kinemtičke dijgrme gibnj čestice M te odrediti oisnost njezin ubrznj o putu s. Rješenje: Slik.38. Primjer.9. Prirodn koordint s čestice M mijenj se u funkciji kut (sl..38): 5

61 s Rsin M pri čemu je: φ = AÂ 0 R. Budući d duljin luk AÂ 0 odgor koordinti s A čestice A, to je: Uede li se oznk bit će: AÂ 0 = s A = dt = t. R, t te sm Rsint. Brzin odnosno ubrznje čestice M jest: M sm Rcos t ; s R t. M TM M sin Odgorjući kinemtički dijgrmi prikzni su n slici.39. Iz dobienih rezultt slijedi ez između ubrznj čestice M i put s : M M sm. Slik.39. Primjer.9: osnoni kinemtički dijgrmi. Ubrznje je, dkle, proporcionlno i uijek usmjereno suprotno prirstu put, što predstlj definiciju jednostnog procrtnog hrmonijskog gibnj. Oo gibnje često se susreće u tehničkoj prksi (nek osciltorn gibnj, gibnj pojedinih dijelo nekih ltnih stroje i slično). Veličin R nzi se mplitud put. 53

62 Čestic se od početnog položj gib do njudljenijeg mjest s M položj i ponono udlj do mjest s M Vrijeme potrebno z tj ciklus gibnj iznosi: R, rć se kroz početni R te ponono dolzi u početnu točku. i nzi se period hrmonijskog gibnj. T s (.80) Recipročn rijednost period jest frekencij f hrmonijskog gibnj, mjeri se u hercim: f Hz T s. (.8) Zdtk.6. Biciklist ozi po kružnoj biciklističkoj stzi rdijus R. Polzeći iz stnj mironj, biciklist ubrz konstntnim tngencijlnim ubrznjem tko d nkon 0 sekund od početk gibnj dostigne brzinu od 36 km/h. Odrediti koliki je rdijus biciklističke stze ko je u trenutku postiznj brzine od 36 km/h iznos njego ukupnog ubrznj Odgoor: R 70,7 m..,5 m s Zdtk.7. N krju poluge OA rtuljk u zbnom prku nlzi se sjedlic z posjetitelj kojoj se u periodu ubrznj brzin mijenj prem zkonu, 5t, gdje je brzin dn u metrim po sekundi, rijeme t u sekundm. Odrediti brzinu i ubrznje sjedlice u trenutku znemriti. t 6 s ko je duljin poluge OA R 4 m. Dimenzije sjedlice Odgoor: 9 m s, 0,3 m. s Slik Z..7. Zdtk.7. 54

63 .3.4. Kosi hitc Nek čestic počinje gibnje početnom brzinom 0 pod kutom α 0 prem horizontli (sl..40). Anlizirt će se gibnje te čestice uz ujet d je njeno ubrznje u smjeru negtine osi y i jednko gritcijskom. Nek se čestic u početnom trenutku nlzil u ishodištu koordintnog sust. Jedndžbe gibnj čestice u promtrnom koordintnom sustu su: gdje je g gritcijsko ubrznje ( Integrirnjem se dobije: dx x x 0 ; dt - g 9,8m s ). gdje su, s obzirom n početne ujete gibnj, z 0 konstnte integrcije: dy y y g, dt x C ; y gt C, t x0 x 0 0cos 0, y0 y 0 0sin 0 C 0 cos0 ; C 0 sin0. Slik.40. Kosi hitc Slijede izrzi z projekcije brzine čestice u odnosu n osi x i y: x x 0cos 0 i y y gt 0sin 0. (.8) Integrirnjem izrz z brzine čestice dobiju se prmetrske jedndžbe gibnj čestice: x cos t C ; gdje su, zbog zdnih početnih ujet, z 0, y gt 0 sin0 t C4 t x0 0, y 0 0 konstnte integrcije C 3 i C 4 jednke nuli. (Ako bi čestic zpočel gibnje iz neke točke P0 s koordintm x 0 i y 0, td bi konstnte integrcije bile C3 x0 i C4 y0.) 55

64 Končno, prmetrske jedndžbe gibnj su: x cos t ; 0 0 Eliminirnjem remen t iz pre jedndžbe. (.83) y gt 0sin 0 t x t cos (.84) 0 0 i urštnjem u drugu dobi se jedndžb putnje čestice pri kosom hitcu: y x tn g x 0 0 cos 0. (.85) Čestic izbčen početnom brzinom 0 pod kutom 0 (kut elecije) prem horizontli (kosi hitc) opisuje dkle prboličnu putnju. Krkteristične rijednosti z tu putnju su domet D (nult točk prbole z x 0 ) i isin penjnj H (koordint y tjemen prbole). Iz ujet y 0 i x 0 dobije se domet D: 0 D sin, (.86) g 0 dok je isin H, zbog simetričnosti prbole, koordint y n mjestu x D što nkon urštnj u (.85) i sređinj dje:. (.87) 0 H sin 0 g Njeći domet uz istu početnu brzinu dobije se z kut elecije 0 45 jer je td sin 0. Primjer.0. Košrkš gđ tricu s udljenosti 8 m od koš (sl..4). Odrediti kojom brzinom košrkš mor izbciti loptu pod kutom od 30 u odnosu n horizontlu p d pogodi koš. Koju će njeću isinu u odnosu n pod doseći lopt u toj putnji? Otpor zrk znemriti. Slik.4. Primjer.0. 56

65 Rješenje: Posti li se koordintni sust u točku izbčj lopte, td će se lopt gibti po zkonu prbole (.85): y x tn g x 0 0 cos 0 p je potrebno odrediti uz koju će početnu brzinu 0 t prbol proći točkom B (0;,05). Iz gornje je jedndžbe gx cos xtn 0 0, 0 recipročn rijednost dobiene jedndžbe je odkle je 0 cos 0 gx x tn y, 0 y gx 0 cos xtn y 0 0. Odnosno 0 cos gx xtn y 0 0, gdje smisl im smo pozitin korijen, p nkon urštnj zdne početne rijednosti z kut 0, te koordint točke B, slijedi tržen brzin izbčj lopte: 0 9,88 m 0,83. cos 30 8 tn 30,05 s Njeću će isinu lopt doseći u tjemenu prbole. T isin jednk je zbroju koordinte y u tjemenu prbole, što je dno izrzom (.87), i početne isine lopte u odnosu n pod: H 0 0,83 ymx sin 0 sin 30 3, 49 m. g 9,8 Primjer.. Projektil je ispljen s rh zgrde početnom brzinom 0 00 m/s pod kutom od 0 45 (sl..4). Odrediti, znemrujući otpor zrk, n kojoj će udljenosti od zgrde projektil udriti o tlo u točki B ko je isin zgrde h 60 m. Kolik će biti brzin projektil u tom trenutku? 57

66 Rješenje: Slik.4. Primjer.. S obzirom n postljeni koordintni sust, putnj po kojoj će se gibti projektil dn je izrzom (.85): y x tn g x 0 0 cos 0 Ako se u tu jedndžbu urste zdne rijednosti, imjući u idu d je u točki B y B h 60 m, bit će. 9,8 x 60 x tn 45, odnosno 00 cos x 0,00098 x p se dobije kdrtn jedndžb rješenj koje su 0,00098 x x 60 0 x,, 40, , 3544,5, 0, ,0096 0,0096 trži se pozitino rješenje, p je x B,5 L 076, m. 0, 0096 Projekcije ektor brzine u točki B dne su izrzim (.8) B x 0 cos0 i By gt 0 sin0, rijeme potrebno d projektil dođe u točku B izrzom (.84) 58

67 t x 076, cos 00cos 45 B 0 0 5, s. Urštnjem oog remen u izrze z projekcije brzin dobije se cos 00 0,707 70,7 m/s Bx 0 0 By 9,8 5, 00 0,707 78,60 m/s, p je iznos brzine projektil u točki B: m/s. B Bx By 70, 7 78, 60 05, 7 Zdtk.8. Dije su lopte istoremeno bčene ertiklno uis. Lopt A bčen je početnom brzinom A0 5 m s s pltforme koj se nlzi 5 metr iznd pod, dok je lopt B bčen s pod početnom brzinom od B0 0 m s. Odrediti: ) nkon koliko će se remen obje lopte nći n istoj isini iznd pod, b) kolik će biti brzin točke B u trenutku kd lopt A dosegne mksimlnu isinu. Odgoor: ) t s, b) B B0 A0 5 m s. Zdtk.9. Čelične kuglice ispuštju se iz spremnik niz odilicu koju npuštju u točki A koj se nlzi n isini h m iznd pod. Kuglice morju psti u otor BC u podu širine l m od zid (sl. Z..9). d m. Rub B otor nlzi se n udljenosti Slik Z..9. Zdtk.9. Odrediti u kojim se grnicm može mijenjti brzin kuglice u točki A p d kuglic updne u prediđeni otor. Brzin kuglice u točki A je horizontln. Odgoor: 4,49 m s A 6,644 m s. Zdtk.30. Npr z zlijenje trnjk izbcuje odu brzinom 0 5 m npre može se zkretti z kut 30 u odnosu n ertiklu (sl. Z..30). s. Spnic 59

68 Odrediti horizontlnu projekciju udljenosti ( l?) između točk C i B do kojih će dosezti od pri zlijenju trnjk. Odgoor: l 39,76 m. Slik Z..30. Zdtk.30. Zdtk.3. Dječk se nlzi n udljenosti 6 metr od zid isokog 3,5 metr (sl. Z..3) i pokuš preko zid prebciti lopticu. Ako dječk lopticu izbcuje s isine od,5 metr brzinom pod kutom od 30 u odnosu n horizontlu, treb odrediti: ) kolik je minimln brzin kojom dječk treb izbciti lopticu p d prebci zid, b) koliki je rdijus putnje kmen u trenutku prelsk preko zid. Slik Z..3. Zdtk.3. Odgoor: ),03 m 0 s, b),44 m. 60

69 3. DINAMIKA Č ESTIČE 3.. OSNOVNI ZADATCI DINAMIKE ČESTIČE U dinmici čestice rješju se d osnon zdtk: ) poznt je zkon gibnj čestice, treb odrediti silu koj je prouzrokol to gibnje (pri, direktni zdtk); ) poznte su sile koje djeluju n česticu, treb odrediti zkon gibnj čestice (drugi, inerzni zdtk). 3.. DIFERENČIJALNE JEDNDŽBE GIBANJA ČESTIČE 3... Diferencijlne jedndžbe gibnj u nlitičkom obliku Vektorsk jedndžb (.) koj izrž drugi Newtono zkon u ektorskom obliku F m i u kojoj sil F predstlj rezultntu sih sil koje djeluju n česticu, m je ms čestice, ektor ubrznj čestice, može se prikzti i s pomoću sklrnih jedndžb, oisno o konkretnom problemu i odbrnom koordintnom sustu. N slici 3. prikzn je čestic mse m n putnji u proizoljnom trenutku remen. Vektor rezultnte poklp se po prcu i smjeru s ektorom ubrznj, li je z m put eći Prokutne koordinte Slik 3.. Čestic mse m n putnji U prokutnom (Descrtesou) koordintnom sustu ektori sile i ubrznj, izrženi preko sojih koordint, jesu: F Fxi Fy j Fz k xi y j zk xi yj zk p slijede diferencijlne jedndžbe gibnj čestice: 6

70 Fx mx ; Fy my ; Fz mz, (3.) odnosno d x d y d z Fx m, F,, y m F z m (3.) dt dt dt gdje je F FR Fi - rezultnt sih njskih sil koje djeluju n česticu. Ako se čestic gib u rnini Oxy, bit će jer je Fz 0. Fx mx ; Fy U slučju procrtnog gibnj duž osi x diferencijln jedndžb glsi: jer je u tom slučju F F Polrne koordinte y z Fx my (3.3) mx (3.4) Ako se rninsko gibnje čestice prikzuje u polrnim koordintm r i, sil F izržen preko rdijlne i cirkulrne komponente glsi: tko d uz F Fr e Fc e e e r r e r r e r c diferencijlne jedndžbe gibnj u polrnim koordintm glse: F m r r Prirodne koordinte r ; Fc mr r. (3.5) Budući d se ektor rezultnte poklp s ektorom ubrznj, ektor F će se u prirodnom koordintnom sustu prikzti s pomoću diju komponent: normlne F N i tngencijlne F T p će odgorjuće jedndžbe gibnj biti: F N m ; FT ms. (3.6) Ako se rješ. zdtk dinmike, tj. iz pozntog zkon gibnj određuje sil, do rezultt se dolzi jednostnim deriirnjem odgorjućih jedndžb gibnj. Postupk pronlženj zkon gibnj kd je poznt rezultnt sih sil koje n česticu djeluju zntno je teži. Nime, diferencijlne jedndžbe gibnj moći će se integrirti smo u nekim posebnim slučjeim, jer je u općem slučju sil funkcij remen t, brzine i položj ( x, y i z u prokutnim; r i u polrnim te s u prirodnim koordintm). 6

71 Primjer 3.. Zdne su prmetrske jedndžbe gibnj čestice mse m 4 kg x 4cos t m ; y 3sin t m. Odrediti silu F koj uzrokuje to gibnje ko funkciju remen. Rješenje: Prem izrzim (3.) projekcije sile u odnosu n koordintne osi su: Budući d je Fx mx ; Fy my. bit će: d x x 4cos t ; dt d y y 3sin t, dt F 4m cos t ; F 3m sin t x y ili Primjer 3.. F 6cos t i sin t j N. Dizlo težine F G podiže se ubrznjem (sl. 3.). Odrediti silu u užetu. Rješenje: Slik 3.. Primjer 3.. Dizlo se u promtrnom slučju može smtrti česticom mse m F / g G p, ko se umjesto eze užetom dod odgorjuć sil S eze, bit će prem drugoj od jedndžb (3.3): odkle je: m S F G S m F F g G G. 63

72 Primjer 3.3. Čestic mse m 0 kg gib se iz stnj mironj po gltkoj horizontlnoj podlozi pod djelonjem sile F koj se mijenj proporcionlno remenu: n slici 3.3. Odrediti zkon gibnj čestice. F 6t N, kko je to prikzno Rješenje: Slik 3.3. Primjer 3.3. Zbog poznte putnje čestice (prc) koristit će se prirodne koordinte z koje je prem (3.3): d m m F. dt Množenjem oe jednkosti s dt i integrirnjem dobije se:. m Fdt 6tdt 3t C Budući d je u trenutku t 0 brzin čestice jednk nuli, slijedi d je i konstnt integrcije C 0 p se, dijeljenjem gornje jedndžbe s m i urštnjem zdne rijednosti, dobije zkon promjene brzine: 0,3t m s. Zbog dx dt nkon seprcije rijbl i integrirnj slijedi:. 3 x dt 0,3t dt 0,t C Ako se čestic u početnom trenutku nlzi u ishodištu, tj. ko je u trenutku t 0 i koordint x 0, bit će i konstnt integrcije C 0 p je zkon gibnj čestice: Primjer 3.4. x 3 0,t m. Z rijeme projere kočionog sust utomobil mse m 500 kg s početne brzine od 00 km/h zusti se nkon 50 metr. Pretpostljjući d se utomobil usporo jednoliko ( const. ), odrediti silu kočenj. Slik 3.4. Primjer

73 Rješenje: Budući d se utomobil gib konstntnim ubrznjem, koristit će se ez između brzine čestice i koordinte položj čestice dn izrzom (.): x x odkle je ubrznje čestice x x, p, kko je 00 km/h 00 / 3,6 m/s 7,78 m/s, 0 te xx 50 m, slijedi 0 7, Sil kočenj sd je: 7,76 m/s. F m 500 7, kg m/s 574 N i usmjeren je u suprotnu strnu od smjer gibnj utomobil. Primjer 3.5. Vučn sil propeler helikopter težine F G (sl..4), pri njegou ertiklnom podiznju, iznosi,5f G. Otpor zrk izrž se relcijom: FW G kf, gdje je k konstntn eličin. Slik 3.5. Primjer 3.5. Odrediti brzinu helikopter u funkciji remen te njeću brzinu koju može postići pri podiznju. Rješenje: Dimenzije helikopter mogu se odje znemriti, p će diferencijln jedndžb gibnj biti: F g G m,5f G FG kfg ili, nkon množenj s g F i zbog d dt G 65

74 d 0,5g kg dt. Seprcijom rijbl dobije se sljedeć diferencijln jedndžb: d gt d -k, nkon integrirnj lijee i desne strne dobije se: d k u ln k gdt gt C -k kd du k. Iz početnog ujet, prem kojem je z t 0 brzin 0 je nkon sređinj: ln k kgt. Antilogritmirnjem se dolzi do brzine ko funkcije remen: kgt e. k, slijedi d je: C kln 0 Mksimln brzin koju može postići helikopter dobije se ko grničn rijednost gornjeg izrz kd rijeme t teži beskončno: mx lim lim e t k t k jer drugi čln u zgrdi u tom slučju teži nuli. Primjer 3.6. Sportski utomobil mse m gib se po kružnoj pisti rdijus zkriljenosti konstntnom brzinom. Pist je ngnut z kut od 30 prem horizontli. Koeficijent trenj između gum utomobil i piste iznosi 0,35. Odrediti njeću brzinu kojom se može gibti utomobil p d ne nstupi bočno prokliznje., p Rješenje: Slik 3.6. Primjer 3.6. Automobil oslobođen ez s ucrtnim njskim silm i rekcijm ez prikzn je n slici

75 Slik 3.7. Automobil oslobođen ez Automobil se gib konstntnom brzinom po kružnoj putnji, p je njegoo ukupno ubrznje jednko normlnom ubrznju ( d / dt 0), te se mogu postiti sljedeće jedndžbe gibnj: m F sin 30 F cos30 N N T 0 mg F cos30 F sin 30 N T T pri čemu je u grničnom slučju, neposredno prije prokliznj utomobil, F T F. N Iz druge od jedndžb gibnj slijedi: F N mg cos30 sin 30 što nkon urštnj u pru od jedndžb gibnj dje: mn sin 30 cos30 mg cos30 sin 30. Dijeljenjem te jedndžbe s m, te imjući u idu d je N /, slijedi: sin30 cos30 g cos30 sin30, odnosno sin 30 cos 30 0,5 0,35 0,866 m g 3009,8 58,5, cos 30 sin 30 0,866 0,35 0,5 s ili izrženo u kilometrim po stu 58,5 3,6 0,5 km h. Zdtk 3.. Čestic mse podlozi pod djelonjem diju sil, m 60 kg gib se iz stnj mironj po gltkoj horizontlnoj F 0 N i F 40 3 N (sl. Z.3.). 67

76 Slik Z.3.. Zdtk 3.. Odrediti zkon gibnj čestice. Kolik će biti brzin čestice u trenutku t 4 s? Odgoor: x 3t m; m s. Zdtk 3.. Čestic mse m 50 kg gib se uz hrpu kosinu kut ngib 0. N česticu djeluje sil F 400 N (sl. Z.3.). Slik Z.3.. Zdtk 3.. Ako je koeficijent trenj kliznj između čestice i podloge 0,, odrediti zkon promjene brzine čestice ko joj je početn brzin bil 0 m s. Odgoor:,59t m s. Zdtk 3.3. N česticu mse sust od triju sučeljenih sil F, F i F 3 (sl. Z.3.3). m 0 kg koj se nlzi n gltkoj horizontlnoj podlozi djeluje Slik Z.3.3. Zdtk 3.3. Intenziteti prih diju sil su F 60 N i F 80 N. Odrediti intenzitet sile F 3 i ubrznje čestice ko je poznto d se čestic gib procrtno duž koordintne osi x. Odgoor: F 3 3, N, x m s. 68

77 Zdtk 3.4. Ako se čestic mse m 00 kg pod djelonjem sile F 500 N (sl. Z.3.4) gib konstntnom brzinom, odrediti koliki je koeficijent trenj (?) između čestice i podloge. Odgoor: 0, 3. Slik Z.3.4. Zdtk 3.4. Zdtk 3.5. Poznt je zkon promjene brzine ( t ) čestice mse m 8 kg pri njezinu procrtnom gibnju (sl. Z.3.5). Odrediti i skicirti kko se mijenj iznos rezultnte sil koje djeluju n česticu u rzmtrnom periodu. Slik Z.3.5. Zdtk 3.5. Odgoor: F I 0 N ; F II 0 N ; F III 0 N. Zdtk 3.6. N utomobil mse Z.3.6). m 50 kg djeluje učn sil iznos F 6,5 V kn (sl. Slik Z.3.6. Zdtk 3.6. Ako je sil otpor F W jednk jednoj ddesetini težine utomobil, odrediti brzinu utomobil nkon što preli put od x 00 m iz stnj mironj. Odgoor: 30,69 m s. Zdtk 3.7. Klizč A mse m kg ezn je z oslonc O s pomoću opruge konstnte krutosti c 50 N m (sl. Z.3.7). 69

78 Klizč se gib duž gltke ertiklne odilice OB iz početnog položj u kojem je oprug bil nerstegnut. Slik Z.3.7. Zdtk 3.7. Odrediti ubrznje klizč u funkciji njego položj (y) ko je duljin nerstegnute opruge l 0,6 0 m. 9,8 5y 0,6 0,6 y m s. Odgoor: 3... D'Alemberto princip (princip dinmičke rnoteže) Prebcinjem čln s desne strne osnone diferencijlne jedndžbe F m, u kojoj je F rezultnt sih njskih sil koje djeluju n česticu, n desnu strnu dobije se: ili uođenjem oznke Fin m m 0 F FF in 0. (3.7) Jedndžb (3.7) predstlj ujet dinmičke rnoteže čestice, pri čemu je ektor F in inercijsk sil i nem odlike strne sile. To je fiktin sil, koj s strnim silm stoji u dinmičkom smislu u rnoteži. Po frncuskom fizičru i mtemtičru, koji je pri uočio mogućnosti tk zpisinj jedndžbe gibnj, nzi se oj postult D'Alembertoim principom. S pomoću D'Alemberto princip može se ski zdtk dinmike riješiti korištenjem pozntih princip i metod sttike. Nime, jedndžb (3.7), koj uz njske sile uključuje i inercijsku, dooljn je ujet dinmičke rnoteže s obzirom n to d se rdi o konkurentnom sustu sil. Primjer 3.7. Automobil mse m prelzi koneksno ispupčenje most polumjer zkriljenosti R brzinom (sl. 3.8). Odrediti silu pritisk utomobil n most u trenutku kd se nlzi n njegooj njišoj točki. Pri kojoj bi se brzini utomobil odojio od most? 70

79 Slik 3.8. Primjer 3.7. Rješenje: N slici 3.9 prikzne su se njske ktine i njske psine sile koje u promtrnom položju djeluju n utomobil. Slik 3.9. Dinmičk rnotež utomobil Tim silm dodn je i inercijsk sil zbog normlnog ubrznj utomobil. Sil pritisk utomobil n most jednk je normlnoj rekciji kolinernom sustu sil, jedndžb dinmičke rnoteže glsi: FN Fin mg 0, pri čemu je intenzitet inercijske sile: F N most. Budući d je riječ o p je: F in m mn R FP FN mg Fin mg N mg. R U trenutku odjnj utomobil od most bit će sil pritisk utomobil n most jednk nuli, p iz ujet g 0 R slijedi d je njmnj brzin pri kojoj će se utomobil odojiti od most: Primjer 3.8. Rg. Sust n slici, koji se sstoji od okir unutr kojeg je oješen disk mse m, ubrz se konstntnim ubrznjem pod djelonjem sile F (sl. 3.0). Odrediti sile u uždim i ko je zdno: m 30 kg, m/s. 7

80 Slik 3.0. Primjer 3.8. Rješenje: Ako se disk oslobodi ez, dodju njske ktine sile, rekcije ez i inercijsk sil suprotn smjeru ektor ubrznj (slik 3.), mogu se postiti ujeti dinmičke rnoteže disk: Slik 3.. Dinmičk rnotež disk F 0: S cos60 S cos60 F 0 x F x 0: S sin 60 S sin 60 mg 0. Jedndžbe dinmičke rnoteže sd se mogu npisti u obliku: S cos60 S cos60 m S sin60 S sin60 mg. Množenjem gornje jedndžbe s sin 60, donje s cos60 p njihoim zbrjnjem dobije se odkle je S sin 60cos60 m sin60 mg cos60 m sin60 g cos60 S sin 60 g cos 60 0,866 9,8 0,5 m 30 9,9 N sin 60cos60 0,5 0,866 p iz druge od jedndžb dinmičke rnoteže slijedi: mg 309,8 S S 9,9 339,8 9,9 09,9 N. sin 60 0,866 in Zdtk 3.8. Ako blok B mse m 6 kg klizi niz hrpu zkretnu podlogu konstntnom brzinom kd je kut 0, odrediti ubrznje blok kd je kut 45 (sl. Z.3.8). 7

81 Slik Z.3.8. Zdtk 3.8. Odgoor: 4,4 m s. Zdtk 3.9. Čestic A mse m 3 kg ezn je koncem duljine OA l m z oslonc O. Čestic se gib po kružnoj putnji u horizontlnoj rnini brzinom (sl. Z.3.9). Slik Z.3.9. Zdtk 3.9. Odrediti kojom se njećom brzinom smije gibti čestic ko konc ne može podnijeti silu eću od 36 N. Odgoor:,995 m mx s. Zdtk 3.0. Pilot mse m 70 kg izodi sojim zrkoploom ertiklnu kružnu petlju (looping) rdijus R 00 m (sl. Z.3.0). Slik Z.3.0. Zdtk

82 Odrediti silu pritisk pilot n sjedlo zrkoplo ko je brzin zrkoplo konstntn i iznosi 75 m s. Odgoor: F 8 N. p 3.3. OPĆI ZAKONI DINAMIKE ČESTIČE Pri rješnju niz problem u dinmici, umjesto metod integrirnj diferencijlnih jedndžb gibnj, primjenjuju se opći zkoni dinmike. Znčj oih zkon je u tome što oni dju oisnost između osnonih dinmičkih krkteristik gibnj tijel, proučjući smo onu strnu problem koj je od prktičnog interes. Primjenom oih zkon izbjeg se proces integrirnj čime se pojednostnjuje postupk rješnj pojedinog zkon Količin gibnj. Impuls sile Osnoni zkon dinmike, zpisn ektorski, glsi: Budući d je: m F. d / dt urštnjem u ektorski zpis osnonog zkon dinmike i množenjem s dt dobije se md Fdt. (3.8) Integrirnjem lijee strne jedndžbe (3.8) unutr interl t do t dobije se: md m m (3.9) pri čemu se umnožk mse čestice i ektor njene trenutčne brzine nzi količin gibnj B : Količin gibnj je ektorsk eličin, dimenzij joj je B m. (3.0) kg m s ili Ns. Integrirnjem desne strne jedndžbe (3.8) unutr interl t do t dobije se: dobien eličin nzi se impuls sile. F d t I, (3.) Dkle, impulsom sile nzi se ektorsk eličin koj je jednk određenom integrlu iz umnošk ektor sile i diferencijl remen. Impuls sile, prem (3.), mjeri se u Ns. Deriirnjem jedndžbe (3.) po remenu dobije se: db d m m F (3.) dt dt 74

83 ili dericij količine gibnj čestice po remenu jednk je rezultnti sih sil koje n djeluju n tu česticu Zkon o promjeni količine gibnj Tj zkon glsi: Promjen količine gibnj u nekom remenskom interlu t do t jednk je impulsu sile koj je prouzrokol to gibnje u istom remenskom interlu (sl. 3.). Slik 3.. Promjen količine gibnj Oj će se zkon prikzti u ektorskom zpisu izjednčnjem izrz (3.9) i (3.), nstlih integrcijom osnonog zkon dinmike: ili t d t m m F t Vektorsk jedndžb (3.3) može se izrziti i preko projekcij: BB I. (3.3) x x d x x B B I F t d y y y y B B I F t (3.4) d z z z z B B I F t. Ako je ektor rezultnte sih sil jednk nuli, bit će: odkle je: db 0 dt, B B 0 ili B const. Zključuje se: Ako je rezultnt sil koje djeluju n česticu jednk nuli, td je ektor količine gibnj konstntn. 75

84 To je zkon o održnju količine gibnj i predstlj smo drugčiju formulciju drugog Newtono zkon, može se primijeniti i z bilo koju od sklrnih jedndžb (3.4). Primjer 3.9. Čestic mse - m kg gib se konstntnom brzinom m s po kružnoj putnji (sl. 3.3). Odrediti impuls sile koj djeluje n česticu z rijeme u kojem će čestic doći iz položj M0 u položj M. Rješenje: Slik 3.3. Primjer 3.9. Prem zkonu o promjeni količine gibnj bit će: I B B 0, gdje je s B oznčen ektor količine gibnj u položju M, s B 0 u položju M 0. Slik 3.4. Grfičko rješenje Grfičko rješenje zdtk prikzno je n slici 3.4, odkle slijedi i intenzitet impuls: ili Primjer 3.0. I B B m m 0 0 I N s. Čestic mse m, koj se gib po hrpoj horizontlnoj podlozi, im u početnom trenutku brzinu (sl. 3.5). Koeficijent trenj između čestice i podloge je. 76

85 Odrediti nkon koliko će se remen čestic zustiti. Rješenje: Slik 3.5. Primjer 3.0. Zkon o promjeni količine gibnj z os x glsi: B B I. x x0 x Iz ujet zdtk očito je d će brzin čestice n krju gibnj biti jednk nuli. Ukupni impuls jednk je impulsu sile trenj: x d d x T T, I F t F t F t mgt jer je FT mg const. i usmjeren je suprotno od smjer gibnj. Zkon o promjeni količine gibnj z os x sd je: 0 m mgt p je rijeme potrebno z zustljnje čestice: Primjer 3.. t. g Pogonski kotči utomobil mse m 500 kg proizode učnu silu iznos koje se mijenj prem dijgrmu prikznome n slici 3.6. Odrediti brzinu utomobil u trenutku t 6s ko je njego brzin u početnom trenutku bil jednk nuli. Rješenje: Slik 3.6. Primjer 3.. Zkon o promjeni količine gibnj u smjeru gibnj utomobil glsi: 77

86 B B I. x 0x x Količin gibnj u trenutku t 6 s je B m 500, x dok je u početnom trenutku količin gibnj jednk nuli ( Bx0 0 ). Impuls sile u periodu od 0 do 6 s jednk je Ix Fdt što odgor ukupnoj poršini ispod F Sd je: odkle je t kriulje, p rijedi: I 6 / knm/s Nm/s. x m/s. 500 Zdtk 3.. Čestic mse m 4 kg gib se u horizontlnoj rnini brzinom m s kd n nju zpočne djeloti sil F (sl. Z.3..) intenzitet koje se mijenj prem dijgrmu prikznome n slici Z.3..b. Slik Z.3.. Zdtk 3.. Odrediti iznos brzine čestice u trenutku prestnk djelonj sile. Odgoor: 6,9 m s. Zdtk 3.. Dio brodskog uređj mse m 800 kg podiže se iz stnj mironj i u remenskom periodu od 4 s postigne brzinu od m/s ubrzjući se jednoliko (sl. Z.3.). Odrediti silu u užetu BAC koj će se pojiti pri tom podiznju. 78

87 Odgoor: S 848 N. Slik Z.3.. Zdtk 3.. Zdtk 3.3. Čestic mse m 0 kg nlzi se u stnju mironj n gltkoj horizontlnoj podlozi kd n nju zpočnu djeloti sile F i F (sl. Z.3.3.) intenzitet kojih se mijenj prem dijgrmu prikznom n slici Z.3.3.b. Slik Z.3.3. Zdtk 3.3. Odrediti ektor brzine čestice u trenutku prestnk djelonj sil. Odgoor: 5,5 i 7,5 j m s. Zdtk 3.4. Blok mse m polči se uz hrpu kosinu uz pomoć elektromotor konstntnom brzinom 0 6 m s (sl. Z.3.4). Slik Z.3.4. Zdtk 3.4. Odrediti nkon koliko će se remen, nkon pucnj užet, blok prestti gibti uz kosinu i početi kliziti ntrg ko je koeficijent trenj između blok i kosine 0, 5. Odgoor: t 0,75 s. 79

88 3.3.. Moment količine gibnj (kinetički moment) Moment količine gibnj (kinetički moment) z neku nepomičnu točku u prostoru jest ektorsk eličin koj je jednk ektorskom produktu iz rdijus ektor položj čestice s obzirom n tu točku i ektor količine gibnj (sl. 3.7): KO r B r m. (3.5) Slik 3.7. Moment količine gibnj Jedinic kinetičkog moment je kg m s ili Nm s. Vektor moment količine gibnj okomit je n ektore r i B r i. Slik 3.8. Moment količine gibnj kod rninskog gibnj Ako se čestic gib u rnini (npr. Oxy, sl. 3.8), td se moment količine gibnj može izrziti u sklrnoj formi: Zkon o promjeni moment količine gibnj Deriir li se izrz (3.6) po remenu, dobije se: ili KO Bh m h. (3.6) dko d d d Bh m h m h m h dt dt dt dt dk dt O F h M. (3.7) F O 80

89 Dkle, dericij moment količine gibnj z točku O po remenu jednk je momentu rezultnte sih sil koje djeluju n česticu z tu istu točku. Tj zkon nzi se zkon o promjeni moment količine gibnj. Zkon o održnju moment količine gibnj glsi: Moment količine gibnj z proizoljnu točku je konstntn ko je moment rezultnte sih sil koje djeluju n česticu z tu istu točku jednk nuli. Nime, uz MO 0, iz izrz (3.7) slijedi: ili K dk dt O 0 O konst. (3.8) Primjer 3.. Čestic mse m priezn je z tnki konc BM i gib se tko d se konc nmt n tnki ertiklni štp. U početnom trenutku brzin čestice je 0, 0 ABM, njen udljenost od štp je d 0 (sl. 3.9). Odrediti, znemrujući debljinu štp, brzinu čestice u trenutku kd njen udljenost od štp bude d. Rješenje: Slik 3.9. Primjer 3.. Kuglic se gib u rnini (prlelnoj Oxy ). N kuglicu djeluju dije njske sile: težin ko njsk ktin sil i sil rekcije užet S (psin sil). Moment oih sil z os z jednk je nuli. S pomoću izrz (3.8) dobije se: dk dt z F z M 0 ili d K konst. Dlje je: m d m0d0 ili končno: 0 d0 d. z F G 8

90 Zdtk 3.5. Čestic mse m 5 kg u trenutku prikznom n slici Z.3.5 im brzinu 0 m s 0. Odrediti moment količine gibnj čestice: ) u odnosu n os z kroz ishodište koordintnog sust, b) u odnosu n os z kroz točku P. Odgoor: ) Slik Z.3.5. Zdtk 3.5. K 89,44 N ms ; b) K 78,89 N ms. Oz Pz Kinetičk energij. Mehnički rd i sng Kinetičkom energijom (ili žiom silom) nzi se sklrn eličin koj je jednk poloini umnošk mse čestice i kdrt intenzitet njene brzine: E k m, (3.9) dimenzij joj je kg m s ili Nm. Množenjem ektorske jedndžbe m F sklrno s diferencijlom rdijus ektor položj dr dobije se: m dr F dr. (3.0) Čln n lijeoj strni jedndžbe (3.0) može se preurediti, kko slijedi: d dr m dr m dr m d m d md cos, d md dt dt p će, z se slučjee kd je ms konstntn, biti: m dr d m dek (3.) što je, dkle, diferencijl kinetičke energije čestice. Čln n desnoj strni jedndžbe (3.0) predstlj diferencijl rd sile dw (slik 3.0): dw F dr. (3.) 8

91 Slik 3.0. Diferencijl rd sile Integrirnjem jedndžbe (3.) od položj do položj dobije se rd sile F n tom pomku:, (3.3) W F dr F cos dr F cos ds gdje je uzeto dr ds, dok je kut između ektor F i dr. Ako se ektori F i dr izrze preko sojih koordint, bit će: d x d y d z d. (3.4) W F r F x F y F z Jedinic z rd je Nm ili J (Joul - džul). Sngom P nzi se eličin koj kzuje kojom brzinom sil oblj rd, i dn je jedndžbom: Sng je trenutčn eličin i mjeri se u Zkon o promjeni kinetičke energije dw P F. (3.5) dt Nms Js W (Wtt - t). Urštnjem izrz (3.) i (3.) u (3.0) dobije se: de k = dw, što nkon integrirnj od položj do položj dje: ili d E E W W k k (3.6) m m W. (3.7) Jedndžb (3.6) odnosno (3.7) izrž zkon o promjeni kinetičke energije, koji glsi: Promjen (prirst) kinetičke energije pri pomku čestice iz položj u položj jednk je rdu njskih sil koje n nju djeluju n tom pomku Neki primjeri izrčunnj rd - Rd sile teže Nek se čestic mse m pomkne iz položj M ( x, y, z ) u položj M ( x, y, z ). Z koordintni sust prikzn n slici 3. bit će: x d y d z d d W F x F y F z mg z mg z z G 83

92 ili, uz h z z, WG mgh. (3.8) Prem tome, rd sile teže jednk je umnošku iz intenzitet sile i negtine rzlike isin krjnjeg i početnog položj. Slik 3.0. Rd sile teže Iz dobienih rezultt zključuje se d rd sile teže ne oisi o obliku putnje čestice. Sile koje imju to sojsto nziju se konzertine (potencijlne) sile. Može se zključiti i sljedeće: Rd konzertinih sil n ztorenoj putnji jednk je nuli. - Rd sile elstičnosti (sile u opruzi) Nek je čestic mse m ezn oprugom konstnte krutosti c. Duljin opruge u nerstegnutom stnju je l 0 (sl. 3..). Slik 3.. Rd sile elstičnosti Ako se oprug rstegne n duljinu l, td se eličin x x l l 0 zoe produljenje opruge. Sil elstičnosti koj se pri tom jlj u opruzi proporcionln je nstlom produljenju: i usmjeren u suprotnom smjeru. Fo cx Odredit će se sd rd te sile pri pomku čestice iz položj M ( x ) u položj M ( x ) : c c W F x F y F z cx x x x x x x x d y d z d d x. (3.9) o x 84

93 Isti rezultt može se dobiti i izrčunnjem osjenčne poršine u dijgrmu n slici 3..b. Budući d je, prem (3.9), rd sile u opruzi funkcij smo koordint početnog i krjnjeg položj, zključuje se d je i to konzertin sil. - Rd sile trenj Sil trenj pd uijek u tngentu n putnju i usmjeren je u suprotnu strnu od one u koju se pomiče čestic. Istoremeno, sil trenj kolinern je s diferencijlom pomk ds. Rd te sile, prem izrzu (3.3), jest: Tds Nds. (3.30) W F F Očito je rd sile trenj oisn o duljini i obliku putnje te o tome d sil trenj nije konzertin (potencijln) sil. Primjer 3.3. Pket mse m doodi se pokretnom trkom brzinom A m/s do točke A gdje prelzi n rmpu s pomoću koje se spušt n niži nio skldišt gdje g u točki B prihć donj pokretn trk (sl. 3.3). Odrediti potrebnu brzinu donje pokretne trke ( B? ) p d u točki B ne nstupi kliznje pket po trci. Trenje između pket i rmpe te otpor zrk može se znemriti. Rješenje: Slik 3.3. Primjer 3.3. D ne bi nstupilo kliznje pket po donjoj pokretnoj trci, brzine pket i trke u točki B morju biti jednke. Brzin pket u točki B odredit će se s pomoću zkon o promjeni kinetičke energije (3.7): mb ma W. A-B Rd njskih sil jednk je rdu sile težine pket n putu od točke A do B: W WG mgh. Nkon urštnj dobienog izrz u pru jedndžbu, p množenjem dobienog s /m slijedi: 85

94 gh, B A odnosno brzin pket u točki B i potrebn brzin donje trke jest: Primjer 3.4. gh. B A 9,8 4 8,95 m/s Čestic mse m pd s isine h u cije u kojoj se nlzi oprug konstnte krutosti c (sl. 3.4). Odrediti: ) brzinu kuglice n ulsku u cije, b) njeće skrćenje opruge x, c) skrćenje opruge x 0 koje bi nstlo ispuštnjem čestice s isine h 0. Rješenje: Slik 3.4. Primjer 3.4. Položj čestice n isini h oznčit će se s, položj n ulzu u cijei s, pri njećem skrćenju opruge s 3. ) Brzin n ulzu u cije odredit će se s pomoću zkon o promjeni kinetičke energije (3.7): m m W, gdje je 0 (početn brzin čestice). Rd njskih sil jednk je rdu sile teže: W WG mgh i pozitin je z z z. Dlje je: gh. b) Kod njećeg skrćenj opruge bit će brzin čestice 3 0 p zkon o promjeni kinetičke energije z položj i 3 glsi: m3 m m W, gdje je W W W, pri čemu je: G o 86

95 G ; Wo x3 x x 0 x W mgh mgx c c c. Urštnjem u gornji izrz z promjenu kinetičke energije dobije se: c x mgx m mgh ili c x mgx mgh 0. Uzim se ono rješenje dobiene kdrtne jedndžbe koje je eće od nule: mg mg hmg x c c c. c) U gornjem izrzu omjer xst mg / c predstlj sttički progib opruge zbog težine mg čestice. Iz tog izrz slijedi d će skrćenje opruge u slučju ispuštnj čestice s isine h 0 biti: x mg x. c 0 st Dkle, ko se n nerstegnutu oprugu posti čestic mse m, skrćenje opruge bit će jednko dostrukom sttičkom progibu. Kd ne bi bilo otpor gibnju, čestic bi ibrirl oko položj rnoteže. No u relnoj situciji, zhljujući kkim-tkim otporim, ibrcije će se prigušiti, čestic će se umiriti u položju Primjer 3.5. x x. st Čestic mse m gurnut je iz položj A brzinom A gr /4 po gltkoj poršini polucilindr rdijus R (sl. 3.5). Odrediti pri kolikom će se kutu čestic odojiti od podloge i slobodno poletjeti zrkom. Rješenje: Slik 3.5. Primjer 3.5. D bi se čestic u položju B odojil od podloge, mor normln rekcij podloge u tom položju biti jednk nuli. Stog je potrebno česticu osloboditi ez i rzmotriti njenu dinmičku rnotežu (sl. 3.6). 87

96 Slik 3.6. Dinmičk rnotež čestice Jedndžb dinmičke rnoteže u smjeru osi y glsi: F y 0: F in, N F mg N cos 0, p, ko normln rekcij polucilindr mor biti jednk nuli ( FN 0), slijedi potrebn iznos inercijske sile F in, N : Fin, N mg cos, odnosno, kko je F m m R, slijedi: / in, N N B B mg cos m R ili gr cos. B Brzin čestice u položju B dobije se iz zkon o promjeni kinetičke energije: mb ma W. A-B Rd njskih sil jednk je rdu sile težine pket n putu od točke A do B: W W mgh mgr cos, G p slijedi: ili grcos gr cos gr B A cos. A Nkon urštnj brzine čestice u položju A slijedi: gr gr cos gr cos gr ili 4 9 3cos, odnosno 4 3 cos 4 p je kut kod kojeg će se čestic odojiti od podloge Primjer 3.6. Čojek mse 4,4. m 80 kg uspinje se stepeništem n kt (sl. 3.6) z 4 sekunde. Ako je isin kt,8 m, odrediti sngu koju čojek treb uložiti pri uspinjnju. 88

97 Slik 3.7. Primjer 3.6. Z koliko će remen žrulj snge 75 Wt potrošiti istu količinu energije? Rješenje:. nčin: Težin čojek je FG mg 80 9,8 784,8 N, dok je prosječn brzin kojom se čojek uspinje n kt h,8 m 0,7 t 4 s p je potrebn sng z uspinjnje prem (3.5) P FG 784,8 0,7 549,4 Nm/s 549,4 W.. nčin: Rd koji čojek treb uložiti pri uspinjnju je W mgh 809,8,8 97,4 N m p, kko je sng brzin izođenj rd, slijedi: W 97, 4 P 549,4 Nm/s 549,4 W. t 4 Žrulj od 75 W potrošit će jednku količinu energije ko i čojek pri uspinjnju u remenu od t ž W 97, 4 9,3 s. P 75 ž Zključk: Gsite sjetlo kd m nije potrebno. Zdtk 3.6. Čestic mse m klizi niz hrpu kosinu (sl. Z.3.6). Ako je brzin čestice kd se nlzi n isini h m jednk 0 4 m s, odrediti njenu brzinu u trenutku kd se spusti niz kosinu z isinu h. 89

98 Slik Z.3.6. Zdtk 3.6. Odgoor: 5,04 m s. Zdtk 3.7. Klizč A mse m 4 kg ezn je z oslonc O s pomoću opruge konstnte krutosti c 00 N m (sl. Z.3.7). Klizč se gib duž gltke ertiklne odilice BC iz početnog položj () u kojem mu je brzin bil jednk nuli. Slik Z.3.7. Zdtk 3.7. Odrediti brzinu klizč kd stigne u položj ko je duljin nerstegnute opruge l 0 0,5 m. Odgoor: 3,4 m s. Zdtk 3.8. Čestic mse m 0 kg pušt se iz stnj mironj, iz položj u kojemu su opruge OA i OA horizontlne (sl. Z.3.8). Opruge imju jednke konstnte krutosti c 500 N m, u početnom su položju nerstegnute. Odrediti brzinu čestice kd se spusti z iznos Odgoor: 3,33 m s. Slik Z.3.8. Zdtk 3.8. h m. 90

99 Zdtk 3.9. Čestic A mse m kg ezn je z oslonc O s pomoću tnkog štp duljine l 0,75 m i znemrie mse (sl. Z.3.9). Sust se pušt iz stnj mironj u kojem je štp OA horizontln. Slik Z.3.9. Zdtk 3.9. Odrediti iznos rekcije u osloncu O pri prolsku štp kroz ertiklni položj. Odgoor: F 353, O N. Zdtk 3.0. Elektromotor s pomoću užet polči teret A mse m 50 kg konstntnom brzinom 0 5 m s uz hrpu kosinu (sl. Z.3.0). Koeficijent trenj kliznj iznosi 0, 3. Odrediti potrebnu sngu elektromotor. Slik Z.3.0. Zdtk 3.0. Odgoor: P 7650,9 W Potencijln energij Dio sil koje se jljju u tehnici funkcije su smo položj čestice u prostoru. Tko npr. gritcijsk sil Zemlje oisi smo o položju čestice u odnosu n Zemljino središte; sil elstične eze (opruge) n česticu o udljenosti od položj u kojem je oprug nerstegnut; sil uzgon o položju uronjene čestice i slično. Z sku od tih sil može se nći funkcij E p, z koju rijedi: F x Ep ; x F y E p ; y F z Ep, (3.3) z tj. prcijln dericij funkcije Funkcij jer mor biti: E p po nekoj od koordint dje odgorjuću komponentu sile. E p nzi se potencijlnom energijom, ujet d on postoji slijedi iz izrz (3.8), 9

100 F x F y y x ; Fy Fz z y ; F z Fx x z. (3.3) Sile koje zdooljju ujet (3.3) jesu potencijlne (konzertine sile). Već je rečeno d rd tkih sil ne oisi o putnji čestice. Ako se (3.3) ursti u (3.4), dobit će se: E E E W E E E x y z p p p d p p p, (3.33) odnosno rd konzertinih sil jednk je rzlici potencijl. Iz jedndžbe (3.33) izrno slijedi d je rd konzertinih sil n ztorenoj putnji jednk nuli Zkon o održnju mehničke energije Ursti li se u jedndžbu (3.6), koj izrž zkon o promjeni kinetičke energije čestice, izrz z rd konzertinih sil (3.33), dobit će se: ili nkon sređinj: E E E E k k p p Ek Ep Ek Ep const. (3.34) Jednkost (3.34) izrž zkon o održnju mehničke energije: Zbroj kinetičke i potencijlne energije im n skom mjestu putnje, odnosno u skom trenutku gibnj istu rijednost. Tj zkon rijedi smo z konzertine sile. Primjer 3.7. Teret mse m 0 kg pušten je iz stnj mironj niz idelno gltku kosinu kut ngib 30(sl. 3.8). Nkon što preli put od 0 m, teret udr o oprugu konstnte krutosti c 5 kn/m. Odrediti z koliko će se skrtiti oprug ( x? ) u trenutku kd brzin teret postne jednk nuli. Rješenje: Slik 3.8. Primjer 3.7. Trenje se u oom slučju može znemriti p se u sustu jljju smo konzertine sile (težin teret i sil u opruzi). Stog se može primijeniti zkon o održnju mehničke energije, dn izrzom (3.34): Ek Ep Ek0 Ep0 const., 9

101 gdje je s 0 oznčen početni položj teret, s položj u kojem će se teret n trenutk zustiti nkon udr u oprugu. Kinetičk energij teret u ob rzmtrn položj jednk je nuli p slijedi d je Ep0 Ep, gdje je potencijln energij u položju 0 jednk potencijlnoj energiji teret, dok je potencijln energij u položju jednk potencijlnoj energiji kumulirnoj u opruzi konstnte krutosti c: Slijedi d je: odnosno Ep0 mgh mg(0 x)sin 30, Ep cx. (0 )sin30 ili cx mg sin 30 x 0mg sin 30 0, cx mg x 5000 x / 09,8 0,5 x00 9,8 0, x 49,05 x 490,5 0. Rješenje dobiene kdrtne jedndžbe, pri čemu smisl im smo pozitini x, jest: 49,05 49, ,5 49,05 5,3 0,453 m x Zdtk 3.. Kuglic mse kuglici nrine brzin P znemri promjer. A 6 m m kg isi n krju užet OA (sl. Z.3.). U jednom se trenutku s, pri prolzu kroz horizontlni položj uže se sije oko cijei Slik Z.3.. Zdtk 3.. Odrediti: ) brzinu kuglice u položju C, b) silu u užetu u tom položju. Odgoor: ),9 m C s ; b) S,5 N. 93

102 3.4. DINAMIKA SUSTAVA ČESTIČA Vnjske i unutrnje sile sust Sustom čestic nzi se skup međusobno poeznih čestic u kojem gibnje pojedine čestice oisi o gibnju sih ostlih čestic. Veze među česticm u sustu mogu biti krute, elstične i kinemtske, nziju se unutrnje eze. Promotrit će se sust sstljen od n čestic ms m, m, m i, m n (sl. 3.9.). Djelonje okoline n tj sust čestic može se prikzti s n sil, od kojih sk predstlj rezultntu njskih sil z promtrnu česticu, se te sile zjedno jesu njske sile sust. Oslobođenjem i-te čestice od ez s ostlim česticm treb umjesto ske eze dodti odgorjuću silu eze, kojih z tu česticu može biti n- (sl. 3.9.b). Slik 3.9. Sust čestic Tko se npr. pri oslobođenju eze i-te čestice s j-tom dobije sil S ko posljedic djelonj ij čestice j n česticu i. Se te sile nziju se unutrnjim i mjerodne su, zjedno s njskom silom F i, z gibnje i-te čestice. Bez obzir n rstu eze unutrnje se sile jljju u proim (prem 3. Newtonou zkonu o kciji i rekciji), tko d je: S ij S. (3.35) ji Zbog činjenice d sile S ij S,, ne postoje, ko i zbog (3.35), z cijeli sust rijedit će: ji Sij 0, (3.36) i j bit će i sum moment unutrnjih sil z po olji odbrnu točku O jednku nuli: r i Sij 0. (3.37) i j 94

103 3.4.. Opći zkoni dinmike sust čestic Kod upoznnj općih zkon dinmike čestice neden je mogućnost prikzinj jedne ektorske jedndžbe s pomoću triju projekcij te jedndžbe n osi odbrnog koordintnog sust, p se to odje neće posebno isticti Zkon o gibnju centr mse Iz sttike je poznto d se centr mse, koji je u tehničkim problemim istojetn s težištem, izrčun prem izrzim: mx m x ; myc mi y ; i mzc mi z, (3.38) i C i i odnosno prem izrzim: x C mx i i my i i ; m y C mz i i ; zc, (3.39) m m gdje je s m oznčen ukupn ms sust m m. Izrzi (3.39) mogu se prikzti i ektorskom jedndžbom: mr C m r (3.40) i i i ili pk u obliku: Diferencijln jedndžb gibnj i-te čestice glsi: r C mr i i. (3.4) m F S m m r, (3.4) i ij i i i i j p će, nkon zbrjnj, z sust čestic rijediti: F S m m r. (3.43) i ij i i i i i i j i i Drugi čln s lijee strne gornje jedndžbe jednk je nuli (prem izrzu 3.36), dok se dostrukim deriirnjem jedndžbe (3.40) po remenu dobije: p iz (3.43) končno slijedi: mr C m r (3.44) i i i F F mr. (3.45) R i C i 95

104 Jedndžb (3.45) izrž zkon gibnj centr mse, koji glsi: centr mse gib se ko čestic ukupne mse m pod djelonjem sile sil koje djeluju n sust. Tj zkon u nlitičkom obliku glsi: F R koj predstlj glni ektor sih njskih m Cx F ; Rx mc y F ; Ry mc z F. (3.46) Rz Zkon o održnju centr ms Kd je glni ektor sih njskih sil koje djeluju n promtrni sust čestic jednk nuli (nul ektoru), tj. ko je FR 0, td je: mc mrc const. (3.47) što znči d se u tom slučju centr mse gib jednoliko procrtno ili pk miruje. Ako centr mse im u početnom trenutku brzinu koj je jednk nuli, bit će zbog (3.47): odnosno: r rc 0, C const. (3.48) Jedndžb (3.48) izrž zkon o održnju centr ms, prem kojemu čestice u sustu mogu mijenjti soj međusobni položj, li se položj centr ms neće promijeniti ko je glni ektor njskih sil koje djeluju n sust jednk nuli. Ako je projekcij rezultnte njskih sil koje djeluju n sust čestic n neku os (npr. os x) jednk nuli i ko je početn brzin centr mse u smjeru te osi jednk nuli xc0 0, td će rijediti zkon o održnju centr mse u smjeru te osi, odnosno mxc mixi const. (3.49) Dkle, u oom slučju čestice u sustu mogu mijenjti soj međusobni položj, li će koordint x položj centr ms ostti nepromijenjen. C Ako je u početnom trenutku koordint x položj čestice x, čestice x, i tko dlje do zdnje čestice n s koordintom x, td će u promtrnom trenutku te koordinte biti n x x, x x,..., do xn x. n S obzirom n (3.38) i (3.49) može se pisti: ili nkon sređinj: m x m x... m x m x x m x x... x x n n n n m x m x... m x 0 (3.50) n n p se može zključiti kko je sum umnožk ms pojedinih čestic i prirst njihoih psolutnih pomk jednk nuli. 96

105 U skrćenom zpisu izrz (3.50) glsi: mx i i 0. (3.5) Zkon o promjeni količine gibnj Količin gibnj i-te čestice je Bi mii, sum količine gibnj sih čestic predstlj ukupnu količinu gibnj sust: ili B B m m r, i i i i i i i i Prem zkonu o promjeni količine gibnj z i-tu česticu rijedi: B m mr. (3.5) C C što zbrojeno z se čestice sust dje:, B B Fdt S dt i i i ij j. B B Fdt S dt i ij i i j Budući d je drugi čln n desnoj strni jednk nuli, slijedi:. (3.53) B B Fdt F dt i R i Jedndžb (3.53) jest ektorski zpisn zkon o promjeni količine gibnj sust čestic: Prirst količine gibnj sust čestic u nekom remenskom interlu jednk je sumi impuls sih njskih sil u tom interlu (što odgor impulsu glnog ektor sih sil). Deriirnjem izrz (650) po remenu dobije se: i d i i i i R dt i db m m F dt, (3.54) tj. dericij količine gibnj sust čestic po remenu jednk je glnom ektoru sih sil koje n tj sust djeluju. U posebnom slučju, kd je FR 0, bit će količin gibnj sust konstntn ektor: B B const., (3.55) tj zkon zoe se zkon o održnju količine gibnj sust čestic. Prem tom zkonu pojedine čestice mogu mijenjti brzine, li tko d količin gibnj sust ostne nepromijenjen. 97

106 Zkon o promjeni moment količine gibnj Moment količine gibnj i-te čestice z nepomičnu točku O je: KOi ri mii p se, ektorskim zbrjnjem, dobije z cijeli sust: Deriirnjem izrz (3.56) po remenu slijedi: K r m. (3.56) O i i i i dk dt O ri mii ri mii ri mii (3.57) d dt i i pri čemu je, zbog r, pri čln u zgrdi n lijeoj strni jednk nuli. i S pomoću jedndžbe (3.43) izrz (3.57) postje: dk dt O, r m r F r S i i i i i i ij i i i j gdje je drugi čln n desnoj strni jednk nuli, p je končno: dk dt O Fi ri Fi M O (3.58) i što izrž zkon o promjeni moment količine gibnj sust čestic: Dericij moment količine gibnj sust z točku O po remenu jednk je glnom ektoru moment sih sil z tu istu točku. Zkon o održnju moment količine gibnj slijedi iz jedndžbe (3.58). Nime, kd je glni ektor moment sih sil z točku O jednk nuli, td je moment količine gibnj sust čestic z tu istu točku konstntn ektor: Zkon o promjeni kinetičke energije Kinetičk energij i-te čestice je: p će ukupn kinetičk energij sust biti: KO KO const. (3.59) E E m ki i i m. (3.60) k i i i Zkon o promjeni kinetičke energije sust sd je: i i i i i d i ij i i i i j m m F r S dr (3.6) 98

107 ili skrćeno: E E W. (3.6) k Dkle, prirst kinetičke energije sust čestic, od položj do položj, jednk je rdu sih njskih i unutrnjih sil sust. Rd unutrnjih sil jednk je nuli smo ko su eze u sustu krute. Primjer 3.8. k U cilindru mse m nlzi se čestic mse m (sl. 3.30). U početnom trenutku sust je miroo, čestic se nlzil u položju definirnom kutom 0. Cilindr se može pomicti trnsltorno po gltkoj horizontlnoj podlozi. Odrediti z koliko će se pomknuti cilindr kd čestic dođe u njniži položj. Rješenje: Slik Primjer 3.8. N sust djeluju težine čestice i cilindr mg i mg te normln rekcij podloge. Projekcij glnog ektor njskih sil n os x jednk je nuli, tj. FRx 0. Budući d je u početnom trenutku sust miroo, primijenit će se zkon o održnju centr mse (3.5): m ixi 0 što u oom primjeru dje: m x m x 0. Oznči li se s x x psolutni pomk cilindr, koji je ujedno i prijenosni pomk čestice, bit će psolutni pomk čestice: p slijedi: x x Rsin, 0 m x Rsin m x 0, 0 99

108 odnosno: m x m m Rsin. 0 Primjer 3.9. Blokoi A i B, ms m A 0 kg i m B 5 kg ezni su štpom znemrie mse (sl. 3.3). Sust je pušten iz stnj mironj niz hrpu kosinu ( 0, 5). Slik 3.3. Primjer 3.9. Odrediti put koji će preliti blokoi u prih 5 sekund gibnj i iznos sile u štpu AB. Rješenje: Terete A i B treb osloboditi od ez te ucrtti sile koje n njih djeluju (sl i b). Slik 3.3. Tereti oslobođeni ez: ) teret A, b) teret B. Z teret A mogu se npisti sljedeće jedndžbe gibnj: m S F () A ma g sin 30 0 NA A AB TA F m g cos 30. () Z teret B te jedndžbe glse: m S F (3) B mbg sin 30 0 NB B AB TB F m g cos 30. (4) Iz jedndžb () i (4) slijedi: F m g cos 30, F m g cos 30, NA A NB B 00

109 p je F TA F m g cos 30, F F m g cos 30. NA A TB NB B Sd se jedndžbe () i (3) mogu npisti u obliku: m m g sin 30 S m g cos 30 (') A A AB m m g sin 30 S m g cos 30, (3'), B B AB nkon zbrjnj jedndžb (') i (3') slijedi: m m m m g sin 30 m m g cos 30 A g B A B A B sin 30 cos30 9,8 0,5 0,5 3,78 m s Budući d je ubrznje konstntno, put preljen u prih 5 sekund gibnj je s t,785 36,76 m. Sil u štpu AB slijedi iz jedndžbe ('): AB A g sin30 g cos30 0 S m. Iz rezultt je očeidno d se sust mogo rzmtrti ko jedn čestic ukupne mse ma m B. Primjer 3.0. Duž kosine klin oblik trpez i mse m 3, koji leži n gltkoj horizontlnoj podlozi, mogu se gibti čestice ms m i m (sl. 3.33). Čestice su međusobno poezne tnkim užetom. Odrediti: ) koliki će biti pomk klin kd se čestic spusti z isinu h iz stnj mironj; b) kolik će u tom trenutku biti brzin klin? Zdno: m 3m; m m; m3 m; h m. A B. Rješenje: Slik Primjer

110 ) Pomk klin. Kko je podlog po kojoj se gib klin gltk, bit će projekcij rezultnte njskih sil n os x jednk nuli, tj. FR x 0. Budući d je u početnom trenutku sust miroo, primijenit će se zkon o održnju centr mse (3.5): mx i i 0, što u oom primjeru dje: mx mx m3x 3 0, pri čemu su psolutni pomci čestic odnosno : jer je x x3 h / tn30, x x3 h / sin30 h / tn30 horizontlni pomk koji bi iml čestic kd bi klin miroo (reltini pomk čestice ), h / sin 30 horizontlni pomk koji bi iml čestic kd bi klin miroo (reltini pomk čestice ), pomk klin je z obje čestice prijenosni pomk. Slijedi d je m tn30 m sin30,99,99 m.. x3 h h m m m3 b) Brzin klin. Budući d je zdn pomk i početn brzin čestic, primijenit će se zkon o promjeni kinetičke energije sust čestic (3.6): E E W. k k0 Kinetičk energij sust n početku gibnj jednk je nuli tko d gornji izrz, rzijen, glsi: m m m33 WG WG WG 3 (A) gdje su, i brzine čestic i, odnosno klin 3 u krjnjem položju. Odje, međutim, 3 treb oditi rčun o tome d su si opći zkoni izedeni z psolutne pomke, psolutne brzine i psolutn ubrznj. Tko će brzin klin 3, koj jest njego psolutn brzin, biti prijenosn brzin z čestice i. Reltin brzin tih čestic, zbog eze užetom, međusobno je jednk po iznosu. Slik Primjer 3.0: psolutne brzine čestic i. 0

111 Apsolutne brzine dobiju se ektorskim zbrjnjem prijenosne i reltine brzine (sl i 3.34.b). Iz prikznih slik brzin slijedi: 3 r 3 r cos30 ; r 3. Rdoi njskih sil su: WGm gh 3mgh ; WG 0; WG 3 0, p jedndžb (A) postje: 3m m m3 3mgh ili nkon množenj s i dijeljenj s m : 3 3 6gh. (B) Očeidno je d će se urštnjem dobienih izrz z brzine u jedndžbu (B) dobiti jedn jedndžb s dije nepoznte eličine: 3 i r. Potrebno je, dkle, primijeniti još jedn od općih zkon dinmike sust čestic. Kko je projekcij glnog ektor sil n os x jednk nuli, može se npisti zkon o održnju količine gibnj u prcu te osi: B x B ili B B0 0, 0x 0 jer je sust u početku miroo. Dlje je: m m m, x x 3 3x 0 m cos30 m m 0 r 3 r ili nkon urštnj zdnih rijednosti: 3 3m r 3 mr 3 m3 0, p nkon krćenj s m i množenj s : odkle je r 3 r 3 3 r 3, Brzine čestic i sd su: x x 03

112 Dlje je, iz (B): 0,945 ; 0, ,945 0,668 6gh, ili 3 5,6 6gh gh. 3,08 3,383 m s Zdtk 3.. Kočeg mse m 80 kg koj su do tog trenutk mirol (sl. Z.3.). m 30 kg bčen je brzinom 0 4 m s n kolic mse Slik Z.3.. Zdtk 3.. Znemrujući trenje između kotč kolic i podloge, odrediti brzinu kočeg i kolic u trenutku kd se kočeg zusti n kolicim. Odgoor:,09 m s. Zdtk 3.3. Teret mse m 30 kg nlzi se n kosini prizme mse m 70 kg koj se s pomoću kotčić može kotrljti bez kliznj po horizontlnoj podlozi (sl. Z.3.3). Slik Z.3.3. Zdtk 3.3. Odrediti pomk prizme u trenutku kd se teret spusti niz prizmu z početnom trenutku pridržn u stnju mironj (položj n slici Z.3.6). Odgoor: x 0,6 m. Zdtk 3.4. Kmionet mse l m. Sust je u m 00 kg gib se duž rnog dijel ceste brzinom 0 m s i uče z sobom brod mse m 800 kg. Ms prikolice (trjler) n kojoj je 04

113 ezn brod jest m 3 30 kg (sl. 3.4). Zbog prepreke uočene n kolniku ozč zpočinje kočenje i uspije zustiti kmionet nkon 60 metr; kočioni sust n prikolici ne rdi. Izrčunti prosječnu silu kočenj ( F W ) i horizontlnu silu n kuku K ( F K ). Slik Z.3.4. Zdtk 3.4. Odgoor: 3,333 m s, F W 0433 N, F K 300 N. Zdtk 3.5. Oprug konstnte krutosti c 000 N m črsto je ezn z blok A mse m A 0 kg. Blokom B mse m B 5 kg rdnik je sbio oprugu z 00 mm (sl. Z.3.5). U jednom trenutku rdnik ispusti sust iz ruku. Slik Z.3.5. Zdtk 3.5. Znemrujući trenje između bloko i podloge, odrediti brzinu blok B u trenutku kd izgubi kontkt s oprugom. Odgoor: B,606 m s. Zdtk 3.6. Strijelc se nlzi n pltformi koj se gib po trčnicm brzinom Strijelc gđ metu n pltformi i u jednom trenutku ispljuje metk mse m 0 s. m 0,5 brzinom 000 m s u odnosu n pltformu. Izrčunti brzinu pltforme: ) ko strijelc pogodi metu koj zustlj metk, b) ko strijelc promši metu, ms seg što se n pltformi nlzi iznosi m 300 kg (sl. Z.3.6). kg Slik Z.3.6. Zdtk 3.6. Odgoor: ) m s ; b),5 m s. 05

114 3.5. OSNOVE TEORIJE UDARA Osnon jedndžb teorije udr Pri gibnju tijel pod djelonjem do sd upozntih sil brzine točk tijel mijenjle su se kontinuirno, tj. funkcij t bil je neprekinut i deribiln. Promotri li se promjen količine gibnj čestice u nekom krtkom remenskom interlu, bit će: gdje je F sr srednj sil u interlu. m m Fdt F, (3.63) 0 sr 0 Ako je rlo mleno (red eličin /000 s) bit će i impuls ndlje znči d će i prirst ektor brzine I F ml eličin. To u tom interlu biti mlen (odnosno težiti nuli). Međutim, ko se u promtrnom remenskom interlu poje jko elike sile (red eličin / ), bit će odgorjući impuls sile, prem tome i prirst brzine končn eličin. Poj pri kojoj se brzin čestice (tijel) u rlo mlom remenskom interlu promijeni z končnu eličinu nzi se udr. Sile koje izziju oke, končne promjene brzin u krtkom remenskom interlu nziju se udrne sile. U dljnjem izlgnju oznčt će se brzin prije djelonj udrnih sil s, nkon udr s '. Pretposti li se d n česticu z rijeme udr, osim udrnih, djeluje i niz neudrnih sil, čije se djelonje zmjenjuje rezultntom F r, ukupni impuls je: ud rd u r, (3.64) I F t F t I F 0 0 gdje je F r srednj rezultnt neudrnih sil u interlu. sr Veličin Fr sr može se znemriti u odnosu n I u, odnosno utjecj neudrnih sil n promjenu količine gibnj z trjnj udr se znemruje. Zkon o promjeni količine gibnj glsi: ili u nlitičkom obliku: u sr m ' m I (3.65) sr m m I, ' x x ux m m I, ' y y uy m m I. (3.66) ' z z uz 06

115 Može se zključiti sljedeće: Promjen količine gibnj čestice pri udru jednk je impulsu sih udrnih sil koje n česticu djeluju. Jedndžb (3.65) ili (3.66) predstlj osnonu jedndžbu teorije udr. Oznči li se put koji će čestic preliti z rijeme udr s s, bit će: u u d sr. (3.67) 0 s t Budući d je eličin končn eličin, rijednost sr s može se znemriti. Uzim se, dkle, u d nem pomk čestice z rijeme udr Koeficijent udr Teorij udr uodi u rzmtrnj i elstičn sojst tijel. Uođenjem elstičnih sojst tijel odstup se od hipoteze o psolutno krutom tijelu i u nlizi uodi črsto deformbilno tijelo. U tom smislu proces udr podijeljen je u dije krkteristične fze (sl. 3.35): ) fz kompresije u kojoj cjelokupn kinetičk energij prelzi u potencijlnu energiju deformirnih tijel; ) fz restitucije u kojoj unutrnje elstične sile nstoje portiti protni oblik tijel. Slik Fze sudr U fzi restitucije kumulirn potencijln energij prelzi ponono u kinetičku, li smo djelomično. Nime, dio energije ostje zrobljen u trjno deformirnom tijelu, dok se dio izgubi n zgrijnje tijel. Prem tome, brzin tijel (čestice) nkon udr bit će u općem slučju mnj od njegoe brzine prije udr. Koeficijent udr u teoriju udr ueo je Newton, definir se n sljedeći nčin: Koeficijent udr (restitucije) k predstlj omjer reltinih brzin točk koje se sudrju, nkon udr i prije udr, u smjeru normle udr: ' r k r N. (3.68) Oj koeficijent određuje se eksperimentlno, njime su obuhćen elstičn sojst tijel. Iz definicije koeficijent restitucije slijedi d k poprim rijednosti: 07

116 0k. (3.69) Kd je k 0, to znči d je reltin brzin u prcu normle nkon udr jednk nuli udr je idelno plstičn. Ako je k, iz jednkosti (3.68) slijedi d su reltine brzine prije udr i nkon njeg jednke udr je idelno elstičn Udr čestice o nepomičnu pregrdu Normlni udr Nek se čestic mse m gib brzinom duž normle AN n nepomičnu poršinu (sl. 3.36). Slik Udr čestice o nepomičnu pregrdu U trenutku dolsk čestice u položj A nstje udr. Tj udr je normln zto što se prc brzine poklp s prcem normle. Kko je brzin poršine jednk nuli, iz (3.68) slijedi: p je: ' k ' k. (3.70) Ako se odbere pozitin smjer normle prem gore, jedndžb (3.65), projicirn n normlu, glsi: odkle slijedi eličin udrnog impuls: Impuls udrne sile je, prem definiciji: u m ' m I, Iu m ' k m. (3.7) I F dt F, u 0 u u sr p je srednj rijednost udrne rekcije poršine: 08

117 u F u sr I. (3.7) Gubitk kinetičke energije pri udru jednk je rzlici kinetičkih energij prije udr i nkon njeg: što u promtrnom slučju iznosi: E E E, (3.73) ' k k k ' Ek m k m. (3.74) Rezultti, dobieni promtrnjem normlnog udr čestice o nepomičnu pregrdu, mogu se iskoristiti z eksperimentlno određinje koeficijent udr k. Slik Eksperimentlno određinje koeficijent udr Pusti li se čestic mse m s isine h d udri o nepomičnu poršinu, kko je to prikzno n 0 slici 3.37, njen će brzin neposredno prije udr biti: gh. Nkon udr čestic će doseći isinu h h, što znči d je neposredno nkon udr njen 0 brzin bil: Koeficijent restitucije sd je: k 0 ' gh. ' h h. (3.75) N oj nčin određeni koeficijenti restitucije su: k 8/ 9 z slonou kost; k 5/ 9 z čelik, k / z dro, i tko dlje. 0 09

118 Kosi udr Odje će se proučiti tk udr čestice o gltku nepomičnu podlogu kod kojeg se prc brzine čestice prije udr ne poklp s normlom N u točki udr, nego s njom grdi kut (sl. 3.38). Kut nzi se updni kut. Nkon udr brzin čestice bit će odbijnj i u općem slučju je. Slik Kosi udr čestice ', njen prc grdi kut s normlom N; nzi se kut Osnon jedndžb teorije udr, projicirn n normlu i tngentu udr, glsi: dok je koeficijent restitucije: Budući d su odgorjuće projekcije brzin: ' m m N N Iu () ' m m T T 0 k, (b) ' N. (3.76) N cos ; T sin ; N 'cos ; ' N 'sin, ' T iz jedndžb () i (b) slijedi: ' I m k m k m cos ; u N N N ' T ili 'sin sin, T tj. kod kosog udr čestice o gltku nepomičnu pregrdu nem promjene tngencijlne komponente brzine. Urštenjem posljednje jednkosti u (3.76) dobije se: 0

119 'cos tn k cos tn, (3.77) odnosno koeficijent restitucije kod kosog udr čestice o gltku nepomičnu pregrdu jednk je omjeru tngens kut upd i kut odbijnj. Gubitk kinetičke energije sd se može odrediti prem (3.74). Primjer 3.. Uređj z ispitinje klitete čeličnih kugli ispušt bez početne brzine kuglice mse m s isine od 3 m n idelno gltku kosinu kut ngib 45 (sl. 3.39). Koeficijent restitucije između kugle i kosine je k 0,8. Odrediti: ) brzinu kojom će kuglic udriti u točku B, b) brzinu kojom će se kuglic odbiti od kosine u točki B, c) kut koji će neposredno nkon udr brzin čestice ztrti s horizontlom. Rješenje: Slik Primjer 3.. ) Brzin udr kuglice o podlogu u točki B slijedi iz zkon o promjeni kinetičke energije dnog izrzom (3.7): m m mg h B A AB g h 09,83 58,86, p je B 58,86 7,67 m/s. B A AB b) Budući d se rdi o kosom udru čestice o gltku podlogu (sl. 3.40), bit će brzine kuglice u smjeru tngente udr nkon udr i prije njeg jednke: sin 45 7,67 0,707 5,44 m/s. ' BT BT B Brzin kuglice u smjeru normle sudr neposredno nkon sudr je (3.76): k k cos45 0,8 7,67 0,707 4,339 m/s ' BN BN B p je brzin kuglice nkon sudr:

120 ' ' ' B BN BT 4,339 5, 44 6,946 m/s. c) Kut što g brzin p je kut što g Slik Brzine kuglice prije udr i nkon njeg ' B ztr s normlom sudr slijedi iz izrz (3.77): tn 45 tn, 5 k 0,8 5,34, ' B ztr s horizontlom (sl. 3.35): ,34. Zdtk 3.7. Čestic mse m kg udr o ertiklni zid brzinom m s (sl. Z.3.7). Poznto je d nkon udr u zid prc brzine čestice ' ztr s horizontlom kut 45. Slik Z.3.7. Zdtk 3.7. Znemrujući trenje n mjestu udr, odrediti: ) koeficijent restitucije, b) gubitk kinetičke energije pri udru. Odgoor: ) k 0, 577; b) E 7 N m. k Zdtk 3.8. Djeojk izbcuje lopticu brzinom brzine je horizontln (sl. Z.3.8). 0 0 m s s isine,5 m iznd tl. Prc

121 Slik Z.3.8. Zdtk 3.8. Ako je koeficijent restitucije između loptice i tl k 0, 8, odrediti isinu h koju će loptic dosegnuti nkon prog odskok. Odgoor: h 0,96 m Sudr diju čestic Normlni sudr Nek se dije čestice, ms m i m gibju procrtno brzinm i i nek te brzine pdju u isti prc. Pod pretpostkom d je nstupit će sudr. S slike 3.4. idljio je d se norml n mjestu udr poklp s prcem brzin i, p se zto i kže d je sudr normln. Nkon sudr brzine čestic bit će ' i ', njiho je smjer n slici 3.4.b pretpostljen. Čestice djeluju jedn n drugu impulsim jednkog intenzitet, suprotno usmjerenim duž istog prc djelonj. Slik 3.4. Normlni sudr diju čestic Zkon o promjeni količine gibnj z sku od čestic glsi: zbrjnjem tih jedndžb dobije se: ' u m m I () ' u m m I, (b) ' ' m m m m, (c) tj. zbroj količin gibnj čestic prije sudr i nkon njeg ostje nepromijenjen. Koeficijent restitucije jednk je omjeru reltinih brzin čestic nkon sudr i prije sudr: 3

122 Rješenjem jedndžb (c) i (3.78) dobiju se brzine odredi impuls udr. ' ' ' r k. (3.78) r N ' i ' nkon sudr, ztim se iz () ili (b) Ako je nek od brzin dobien s negtinim predznkom, to smo znči d joj je smjer pogrešno pretpostljen. Gubitk kinetičke energije kod oog sudr bit će: gdje je: Primjer 3.. ' k k k E E E, (3.79) ' ' ' ; Ek m m E m m k. Poznte su brzine čestic ms m 3 kg i m kg neposredno prije sudr, te brzin čestice neposredno nkon sudr (sl. 3.4). Odrediti brzinu čestice nkon sudr i gubitk kinetičke energije pri sudru. Koliki je u zdnom primjeru koeficijent sudr? Rješenje: Slik 3.4. Primjer 3.. Količin gibnj sust čestic je konstntn, brzin čestice nkon sudr mor biti u desno ' ' m m m m, ili odkle je brzin čestice neposredno nkon sudr ' (38 3) 7 m s. ' 38 3 Kinetičk energij čestic prije sudr, odnosno nkon njeg je Ek m m kg m /s 00 N m, ' ' ' Ek m m kg m /s 55 N m, p je gubitk kinetičke energije pri sudru (3.5) E E E N m. ' k k k 4

123 Koeficijent restitucije dn je izrzom (3.68) ' r 7 k 0,5. r 8 N Zdtk 3.9. Kuglic A gib se brzinom A 0 m s po horizontlnoj podlozi i udr u kuglicu B koj je do tog trenutk mirol. Do kuglice B miruje i kuglic C (sl. Z.3.9). Se kuglice imju jednku msu, koeficijent restitucije iznosi k 0, 85. Slik Z.3.9. Zdtk 3.9. Znemrujući trenje između kuglic i podloge, odrediti brzinu kuglice C nkon sudr. Odgoor: C 8,556 m s. Zdtk Kugl mse m A 0 kg gibjući se procrtno udr brzinom A 3 m s u snduk s pijeskom ukupne mse m B 50 kg koji je do tog trenutk miroo. Snduk je oješen z strop s pomoću d tnk užet znemrie mse (sl. Z.3.30). Ako kugl probije snduk i ostne u pijesku, odrediti do koje će se isine podići snduk nkon tog sudr. Odgoor: h 0,04 m. Slik Z Zdtk Zdtk 3.3. Čestic A mse m A kg ezn je užetom znemrie mse z oslonc O, dok čestic B mse m B 3 kg isi n užetu OB znemrie mse (sl. Z.3.3). U jednom se trenutku čestic A pusti, dolskom u ertiklni položj udr u česticu B. Ako je koeficijent restitucije k 0, 7, odrediti njeći kut koji će doseći uže n kojem je čestic B nkon sudr. 5

124 Odgoor: 39, 75. Slik Z.3.3. Zdtk Kosi sudr - Sudr gltkih čestic Tk sudr prikzn je n slici Mse čestic koje se sudrju su m i m, njihoe brzine i. Vektori i ne pdju n prc normle u točki sudr, eć s njom ztrju kutoe i. Slik Kosi sudr diju gltkih čestic N slici 3.43.b prikzne su čestice i s pretpostljenim brzinm nkon sudr ' i ' te odgorjućim udrnim impulsim. Kd je trenje n mjestu sudr znemrio, nem impuls u smjeru tngente T. Osnon jedndžb teorije udr, projicirn n tngentu i normlu, z sku od čestic glsi: ' N N u m m I, () 6

125 ' T m T 0 m, (b) ' N N u m m I, (c) ' T mt 0 m. (d) Iz jedndžb (b) i (d) slijedi d se projekcije brzin čestic n tngentu sudr neće promijeniti. Zbrjnjem jedndžb () i (c) dobije se: ' ' N N N N m m m m (e) što znči d nem promjene količine gibnj sust pri sudru. Koeficijent restitucije, prem definiciji, dn je izrzom (3.68): ' ' r N k ' N r N N N. (f) Iz jedndžb (e) i (f) određuju se tržene projekcije brzin energije rčun prem jedndžbi (3.69), pri čemu je: ' N i ' N, dok se gubitk kinetičke ' ' ' N T ; ' ' ' N T. Primjer 3.3. Disk A rdijus A i udr u disk B rdijus r 0 mm i mse ma kg klizi po gltkoj horizontlnoj podlozi brzinom 3.44). Ako se nkon sudr disk A gib brzinom R 40 mm i mse mb 3 kg koji je do tog trenutk miroo (sl. m/s udesno, prlelno s osi x, odrediti brzinu disk B nkon sudr i koeficijent restitucije k. Trenje pri sudru može se znemriti. ' A Rješenje: Slik Primjer

126 N slici 3.45 prikzne su brzine disko prije sudr i nkon njeg. Slik Brzine disko prije sudr i nkon njeg Budući d su poznti prci brzin prije sudr i nkon njeg, može se pisti: cos, sin, ' ' sin, ' ' cos AN A AT A AN A AT A ' BN, ' B, ' BN BT BT 0 gdje je s slike 3.44 Slijedi d je: 0 sin r rr , p je kut 9,47. AN 4cos9, 47 3,77 m/s, AT 4sin9,47,333 m/s ' AN sin9, 47 0,333 m/s, ' AT cos9, 47 0,943 m/s. Z rzmtrni se sudr može postiti zkon o promjeni količine gibnj u smjeru normle sudr: odkle je m m m, ' ' A AN B B A AN 0 m m m, ili ' ' B B A AN A AN 3 ' ' B AN AN ' B 3,77 0,333,368 m/s. 3 Sd se s pomoću izrz (3.68) izrčun koeficijent restitucije: 8

127 ' ' ' r AN B 0,333,368 k 0,45. r AN 3,77 N Zdtk 3.3. Dije čestice, A mse m A kg i B mse m B kg, imju neposredno prije sudr brzine A 8 m s i B 4 m s (sl. Z.3.3). Slik Z.3.3. Zdtk 3.3. Koeficijent restitucije je k 0, 5. Znemrujući trenje pri sudru, odrediti komponente brzine čestice A u smjeru normle, odnosno tngente sudr neposredno nkon sudr. Odgoor:,47 m AN s ; AT 4 m s. Zdtk Igrč biljr udr u kuglicu A koj potom brzinom A udr u kuglicu B. Kuglic B je do tog trenutku mirol n stolu (sl. Z.3.33). Kuglice su jednkih ms. Slik Z Zdtk Koliki bi trebo biti koeficijent restitucije p d se kuglic A nkon sudr nsti gibti duž osi y? Odgoor: k. 9

128 - Sudr čestic s trenjem Ako n mjestu sudr postoji i trenje koje se ne može znemriti, doći će do poje impuls trenj, smim tim i do promjene projekcij brzin u smjeru tngente sudr. Odje će se rzmotriti smo grnični slučj, kd je trenje n mjestu sudr dooljno eliko d ne nstupi kliznje (sl i b). Ako je trenje n mjestu udr dooljno eliko d ne nstupi kliznje, bit će projekcije brzin čestic n tngentu nkon sudr međusobno jednke: ' T, () promjen količine gibnj obiju čestic u prcu tngente je: ' T m m I (b) ' T T t m m I. (c) ' T T t Rješenjem tih triju jedndžb dobiju se eličine određuju se n prethodno opisn nčin. ' T, ' T i I. Se ostle nepoznte eličine t Slik Kosi sudr diju čestic s trenjem 0

129 4. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA 4.. OSNOVNI ZADATCI KINEMATIKE KRUTOG TIJELA. STUPNJEVI SLOBODE GIBANJA KRUTOG TIJELA Pod krutim tijelom u mehnici se rzumije tijelo koje ne mijenj soj geometrijski oblik niti olumen, tj. udljenost se između diju po olji odbrnih točk tog tijel ne mijenj. Pri općem gibnju krutog tijel se njegoe točke opisuju rzličite putnje i imju u skom trenutku rzličite kinemtičke znčjke. Postoje međutim i kinemtičke znčjke koje su zjedničke, kko z kruto tijelo, tko i z sku njegou točku. Položj točke u prostoru jednoznčno je određen s tri prokutne koordinte x, y i z, tj. s tri nezisn podtk. Iko se kruto tijelo sstoji od beskončno mnogo točk, lko je dokzti d je njego položj u prostoru potpuno određen s šest nezisnih podtk. Slik 4.. Položj krutog tijel u prostoru Uoče li se tri točke krutog tijel A, B i C, koje ne leže n istom prcu, njiho položj određen je s deet podtk (sl. 4.). Budući d je, prem definiciji, udljenost među točkm nepromjenlji eličin, koordinte odbrnih točk morju zdooljiti tri jednkosti (4.): x x y y z z B A B A B A AB x x y y z z C B C B C B BC (4.) x x y y z z C A C A C A AC. Odtle slijedi d je smo šest od deet zdnih podtk nezisno. Odbere li se još jedn točk, npr. D, pojljuju se i tri no podtk koj određuju njen položj, li koj tkođer morju zdooljiti sust (4.) kojim se izrž osnono sojsto krutog tijel izrečeno u gornjoj definiciji. Prem tome, pri gibnju krutog tijel položj sih njegoih točk u odnosu n točke A, B i C jednoznčno je određen, odkle slijedi, uzimjući u obzir jednkost (4.), d

130 je položj krutog tijel u prostoru u proizoljnom sustu referencije potpuno određen s šest nezisnih prmetr. Broj nezisnih prmetr, s pomoću kojih je jednoznčno određen položj krutog tijel u prostoru u odnosu n proizoljno odbrni koordintni sust, nzi se broj stupnje slobode krutog tijel. U kinemtici se proučju gibnj ne smo slobodnih nego i djelomično eznih krutih tijel p je određinje broj stupnje slobode gibnj od elikog znčj pri definirnju gibnj tijel ili sust tijel u prostoru. D su osnon zdtk koj rješ kinemtik krutog tijel:. utrđinje mtemtičkih metod z definirnje položj krutog tijel pri gibnju u prostoru, u donosu n odbrni referentni sust;. određinje kinemtičkih znčjk krutog tijel u cijelosti i ske njegoe točke posebno, n osnoi pozntih jedndžb gibnj. 4.. ELEMENTARNA GIBANJA KRUTOG TIJELA Elementrn gibnj krutog tijel su trnsltorno i rotcijsko gibnje i iz njih se mogu izesti s ostl gibnj djelomično eznih krutih tijel Trnsltorno gibnje krutog tijel Trnsltornim gibnjem krutog tijel nzi se tko gibnje pri kojem spojnic diju po olji odbrnih točk tijel ostje sm sebi prleln u tijeku cijelog period gibnj. Slik 4.. Trnsltorno gibnje krutog tijel Trnslcij krutog tijel može biti procrtn ili kriocrtn u zisnosti od oblik putnje koju izodi jedn njego točk, pri trnsltornom gibnju se točke krutog tijel opisuju identične putnje. Veže li se z tijelo, koje se gib trnsltorno u odnosu n odbrni koordintni sust referencije Oxyz, pokretni koordintni sust A i n tijelu uoče dije točke A i B (sl. 4.), ond je položj tih točk u odnosu n nepomični koordintni sust određen rdijus ektorim r A i r B.

131 Položj točke B u odnosu n točku A u pokretnom sustu referencije određen je ektorom položj. S obzirom n definiciju trnsltornog gibnj očito je d je ektor konstntnog intenzitet i prc, tj. to je konstntn ektor. Prem slici 4. može se pisti: r r, (4.) B A dok je, prem definiciji, ektor brzine točke B određen prom dericijom ektor r B po remenu, p slijedi: B d r d d d d r r r dt dt dt dt dt B A A A jer je dericij ektor po remenu jednk nultom ektoru. Dlje je Deriirnjem jedndžbe (4.3) po remenu dobije se: ili B d dt A B. (4.3) A d dt A B (4.4) n osnoi čeg se zključuje d se pri trnsltornom gibnju krutog tijel se točke gibju n isti nčin, imju identične putnje, ektore brzin i ektore ubrznj Rotcij krutog tijel oko nepomične osi Rotcijom krutog tijel oko nepomične osi nzi se tko gibnje tijel pri kojem bilo koje dije točke tijel, po olji odbrne n toj osi, ostju stlno nepomične (sl. 4.3). Slik 4.3. Rotcij krutog tijel oko nepomične osi 3

132 Prc koji prolzi tim djem točkm nzi se os rotcije. Budući d je udljenost između točk krutog tijel nepromjenlji, očito je d će pri rotciji se točke koje pripdju osi rotcije miroti, dok će se ostle točke opisiti kružne putnje u rninm okomitim n os rotcije, s središtem upro n toj osi. To je dkle tipičn primjer gibnj djelomično eznog krutog tijel čije je pomicnje u prostoru ogrničeno postojnjem diju nepomičnih točk (A i B). Položj tijel pri rotciji oko nepomične osi određen je kutom rotcije, koji se mjeri od nepomične referentne rnine, koj prolzi kroz os AB tijel. Istoremeno, z os AB ezn je i pokretn rnin, črsto ezn z kruto tijelo tko d rotir zjedno s njim. T se rnin u početnom trenutku t0 0 poklp s, u trenutku t ztr s njom kut koji se mjeri u rdijnim. Očito je d se i sk drug rnin črsto ezn z kruto tijelo zkrenul z kut od sog početnog položj u promtrnome remenskom interlu. Jedndžb: t (4.5) izrž prem tome zkon rotcije krutog tijel oko nepomične osi. S obzirom n prirodu gibnj mor o funkcij biti neprekinut i njmnje dput deribiln. Položj krutog tijel pri rotciji oko nepomične osi određen je dkle smo jednim nezisnim prmetrom, kutom, što znči d tijelo u tom slučju im smo jedn stupnj slobode gibnj Kutn brzin i kutno ubrznje Proučnje gibnj krutog tijel ko cjeline proodi se n osnoi nlize promjene kut rotcije. Srednjom kutnom brzinom tijel nzi se omjer između prirst kut rotcije i remenskog interl t t t: sr sr. (4.6) t Kutnom brzinom tijel nzi se eličin kojoj teži srednj kutn brzin kd remenski interl t teži nuli: d lim, (4.7) t 0 t dt tj. kutn brzin tijel koje rotir oko nepomične osi jednk je po intenzitetu proj dericiji kut rotcije po remenu. Kutn brzin mjeri se u rdijnim po sekundi ili krće /s, tj. s -. Promjenu kutne brzine tijekom remen krkterizir fizikln eličin koj se nzi kutno ubrznje tijel. 4

133 Srednjim kutnim ubrznjem i remenskog interl t t t: sr tijel nzi se omjer između prirst kutne brzine sr. (4.8) t Kutnim ubrznjem tijel nzi se eličin kojoj teži srednje kutno ubrznje kd remenski interl t teži nuli: d d lim t 0 t d t d t, (4.9) tj. kutno ubrznje tijel koje rotir oko nepomične osi jednko je po intenzitetu proj dericiji kutne brzine, odnosno drugoj dericiji kut rotcije po remenu. Kutno ubrznje mjeri se u rdijnim po sekundi n kdrt ili krće /s (odnosno s - ). Kutn brzin i kutno ubrznje tijel koje rotir oko nepomične osi jesu ektorske eličine. Prc ektor kutne brzine poklp se s osi rotcije, usmjeren je tko d promtrč s njego rh idi zkretnje krutog tijel u smjeru suprotnom od smjer kzljke n stu (prilo desne ruke), dok mu je intenzitet određen izrzom (4.7). Prc ektor kutnog ubrznj poklp se s prcem kutne brzine, dok mu smjer zisi od predznk intenzitet (izrz 4.9) i bit će jednk smjeru ektor kutne brzine ko je 0. Jednolikom rotcijom nzi se tk rotcij krutog tijel oko nepomične osi pri kojoj je intenzitet kutnog ubrznj jednk nuli, tj. 0. Td je: 0 const. Ako je z t t0 kut 0 0, bit će: t, odkle je 0 t. (4.0). t Kut rotcije (u jedinici remen) može se izrziti i u funkciji brzine rtnje n krutog tijel (rniji nzi bio je broj okretj), p će z tijelo, koje se okrene oko osi n put u minuti, biti: p je kutn brzin tijel: n min n n rd min s. (4.) Jednoliko promjenljiom rotcijom nzi se rotcij krutog tijel oko nepomične osi pri kojoj je 5

134 p je: const. 0 0 t 0 t t. (4.) Rotcij kod koje je 0 nzi se jednoliko ubrzn, kod koje je 0 jednoliko usporen. Ako je t const. promjenlji., kže se d je rotcij tijel oko nepomične osi nejednoliko 4... Brzin i ubrznje točk tijel pri rotciji oko nepomične osi U prethodnom dijelu određene su znčjke rotcije tijel ko cjeline, dok će se u oom dijelu promtrti kinemtičke znčjke pojedinih točk tijel. Slik 4.4. Točk M pri rotciji tijel oko nepomične osi Uoči li se nek točk M n udljenosti r od osi rotcije (sl. 4.4), očito je d t udljenost predstlj ujedno i rdijus kružne putnje po kojoj će se točk gibti. Zkon gibnj točke M po putnji glsi: p je intenzitet brzine točke: s r t (4.3) ds d r r r, (4.4) dt dt tj. intenzitet brzine točke M krutog tijel, koje rotir oko nepomične osi, jednk je umnošku iz udljenosti r te točke od osi rotcije i kutne brzine tijel. Kutn brzin jest kinemtičk znčjk tijel ko cjeline, p su brzine pojedinih točk tijel pri njegooj rotciji oko nepomične osi proporcionlne udljenosti tih točk od osi rotcije (sl. 4.5). Budući d su putnje točk tijel koje rotir kružne, ubrznje po olji odbrne točke M izrž se preko prirodnih komponent ubrznj (sl. 4.6). Intenzitet tngencijlne komponente ubrznj dn je izrzom: d d T r r r, (4.5) dt dt 6

135 dok je normlno ubrznje: N r r r. (4.6) r Slik 4.5. Brzine točk krutog tijel pri rotciji oko nepomične osi Tngencijlno ubrznje uijek je usmjereno duž tngente n putnju, dok je normlno usmjereno duž rdijus r putnje k osi rotcije (sl. 4.6). Ukupno ubrznje bit će: ili r r 4 T N 4 r. (4.7) Slik 4.6. Prirodne komponente ubrznj točke Kut što g ektor ubrznj ztr s rdijusom r određen je izrzom: tn i mjeri se od rdijus r u suprotnom smjeru od smjer. T (4.8) N S obzirom n to d su i zjedničke znčjke sih točk rotirjućeg tijel, to iz (4.7) i (4.8) proizlzi d će ukupn ubrznj sih točk tijel biti proporcionln njihoim udljenostim od osi rotcije te d će grditi isti kut s rdijusim rotcije kružnih putnj koje te točke opisuju (sl. 4.7). 7

136 Slik 4.7. Ubrznj točk krutog tijel pri rotciji oko nepomične osi Vektorski izrzi z brzinu i ubrznje točk pri rotciji tijel oko nepomične osi Nek kruto tijelo prikzno n slici 4.8 rotir kutnom brzinom i kutnim ubrznjem. Td su ektori i usmjereni od točke 0 k točki B. Slik 4.8. Vektor kutne brzine i ektor kutnog ubrznj Rdijus ektor r, s početkom u nepomičnoj točki 0, koji određuje položj promtrne točke M u prostoru, pomnožen ektorski slije s ektorom kutne brzine, dje ektorski izrz z brzinu točke M (Eulero formul): Deriirnjem tog izrz po remenu dobije se: r. (4.9) r r. (4.0) U izrzu (4.0) pri čln n desnoj strni r jest tngencijln, drugi r normln komponent ektor ubrznj. Lko je pokzti d su intenziteti brzine i ubrznj koji se dobiju prem izrzim (4.9) i (4.0) identični onim dobienim s pomoću izrz (4.4), (4.5) i (4.6). 8

137 Primjer 4.. Zmšnjk, koji je imo brzinu rtnje n 80 min, rotir jednoliko usporeno po isključinju motor i zusti se nkon t 60 s. Odrediti broj okretj koje je z to rijeme nprio zmšnjk. Rješenje: Budući d zmšnjk rotir jednoliko usporeno, bit će (uzimjući d je 0 0 ): 0t t 0 t. Početn kutn brzin iznosi: n 80 rd 0 6, s dok je u trenutku t 60 s kutn brzin jednk nuli, tj.: p je: 0 6 t 6 60, rd. 0 s Ukupni kut koji će opisti jedn rdijus zmšnjk z period zustljnj jest: t 0t t rd. 0 Dijeljenjem ukupnog kut s dobit će se ukupni broj okretj koji će nčiniti zmšnjk pri zustljnju: Primjer 4.. N 90. Teret B isi n krju nerstezlji užet koje je nmotno n bubnj rdijus R. Bubnj je poezn s remenicom rdijus r s kojom rotir oko nepomične osi kroz A. Remenicu pogoni remen kojemu točk C im u početnom trenutku brzinu m / s i ubrznje 0,5 m / s (sl. 4.9). Brzin točke C remen usmjeren je udesno, tko d se teret B podiže, ektor ubrznj točke C usmjeren je u istom smjeru ko i njen brzin. Odrediti brzinu i ubrznje točke D n remenici te brzinu i ubrznje teret B u početnom trenutku ko je zdno: R0,5 m; r 0,3 m. 9

138 Rješenje: Slik 4.9. Primjer 4.. Brzin točke D n remenici mor biti jednk brzini točke C n remenu jer bi u suprotnom nstupilo kliznje n mjestu dodir remen i remenice (sl. 4.0): dok je T D C, odkle nkon deriirnj slijedi D C N D D. r U početnom trenutku bit će:, D C m/s, T D C 0,5 m/s, N D D 3,33 m/s r 0,3 T N. D D D 0,5 3,33 3,34 m/s Kutn brzin i kutno ubrznje koloture, odnosno bubnj je D 6,67/s, r 0,3 T D 0,5,67/s, r 0,3 p su brzin i ubrznje teret (koji morju biti jednki brzini, odnosno tngencijlnom ubrznju točke n obodu bubnj sl. 4.0): B R 0,5 6,67 3,33 m/s, B 0,5,67 0,83 m/s R. Slik 4.0. Primjer 4.. ) brzine točk, b) ubrznj točk. 30

139 Zdtk 4.. Rotcij zmšnjk oko osi definirn je izrzom: 3 t 3t 5t, 3 gdje je kut rotcije dn u rdijnim, rijeme t u sekundm. Odrediti kut rotcije, kutnu brzinu i kutno ubrznje u trenutku t 3 s. Odgoor: 3 rd ; 4 s, 0 s. Zdtk 4.. Elektromotor postiže mksimlnu brzinu rtnje od 3600 okretj po minuti 6 sekund nkon pokretnj. Nkon isključinj strujne sklopke motoru je treblo 80 sekund d se zusti. Uzimjući d je i u fzi pokretnj i u fzi zustljnj ubrznje odnosno uspornje bilo jednoliko, odrediti koliki je broj okretj nprio elektromotor u pojedinoj fzi. Odgoor: N 80 okretj ; N 400 okretj. P Z Zdtk 4.3. Zemlj npri jedn puni okret oko Sunc z 365,4 dn. Pretpostljjući d se Zemlj oko Sunc gib po kružnoj putnji rdijus R,450 m, odrediti brzinu i ubrznje Zemlje. Koliki je omjer kutnih brzin rotcije Zemlje oko Sunc i rotcije Zemlje oko lstite osi? Odgoor: 87,7 m s ; Z Z 0,0056 m s ; S Z 0, Zdtk 4.4. Teret A se spušto brzinom od n bubnju (sl. Z.4.4). A 5 m s kd se uključil utomtsk kočnic Slik Z.4.4. Zdtk 4.4. Ako se od trenutk uključinj kočnice do zustljnj teret spustio z 0 metr, i uz pretpostku jednolikog uspornj, odrediti rijeme zustljnj i kutno ubrznje bubnj. Odgoor: - t 4 s ; 3,5 s. z B 3

140 4.3. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA Jedndžbe rninskog gibnj krutog tijel Gibnje krutog tijel pri kojem se se njegoe točke pomiču prlelno prem nekoj nepomičnoj rnini, odnosno kd su brzine sih točk tijel prlelne nepomičnoj rnini, nzi se rninsko (plnrno) gibnje krutog tijel. Rninsko gibnje rše mnogi dijeloi mehnizm (npr. kol, koloturnici, stp i stpjic, dijeloi kulisnog mehnizm kod glodlic itd.). Rotcij krutog tijel oko nepomične osi posebn je slučj rninskog gibnj. Pri rninskom gibnju se točke tijel koje leže n prcu TTT, okomitom n rninu (sl. 4..), gibju se n isti nčin. Stog je z proučnje gibnj krutog tijel ko cjeline dooljno proučiti gibnje presjek tijel s rninom Oxy prlelnom s nepomičnom rninom. U dljnjem rdu podudrt će se rnin Oxy s rninom crtnj p će se umjesto cijelog tijel crtti smo njego presjek (sl. 4..b). Slik 4.. Rninsko gibnje krutog tijel: ) definicij, b) jedn presjek tijel. Položj presjek u rnini Oxy potpuno je određen poznnjem položj diju njegoih točk (npr. točke A i B) u odnosu n nepomični prokutni koordintni sust. To znči d je potrebno poznti četiri koordinte ( x A, x B, y A i y B ). S obzirom n to d je udljenost l između točk A i B konstntn, što slijedi iz osnonog sojst krutog tijel, bit će: A B A B x x y y l. To ndlje znči d su od četiriju nedenih koordint smo tri neoisne, četrt se može odrediti iz gornjeg izrz. 3

141 Prem tome, gibnje tijel u rnini određeno je s tri neoisn prmetr, tj. tijelo pri plnrnom gibnju im tri stupnj slobode gibnj i to: dije trnslcije duž osi x i y te jednu rotciju oko osi okomite n presjek tijel. Položj presjek određuje se, umjesto s tri neoisne prokutne koordinte, položjem proizoljno odbrne točke A ( x A, y A ), koj se nzi pol, i kutom koji ztr spojnic AB s osi x (sl. 4.). N tj nčin tri jedndžbe: Slik 4.. Uz jedndžbe rninskog gibnj krutog tijel xa xat ya yat (4.) potpuno određuju položj presjek u rnini i nziju se prmetrskim jedndžbm rninskog gibnj krutog tijel. Pre dije jedndžbe određuju trnsltorn gibnj presjek s kinemtičkim znčjkm točke odbrne z pol, dok treć prikzuje rotciju presjek oko osi okomite n, koj prolzi kroz tj odbrni pol. Jedndžbe gibnj točke M rne figure, određene ektorom položj u pokretnom sustu A, bit će: t xm xa AMcos ym ya AMsin. (4.) 33

142 4.3.. Rstljnje rninskog gibnj krutog tijel n trnsltorno i rotcijsko gibnje Rninsko gibnje krutog tijel može se uijek prikzti s pomoću d osnon gibnj: jedne trnslcije i jedne rotcije oko osi koj prolzi kroz proizoljno odbrnu točku (pol) u rnini presjek. Uoče li se d uzstopn položj presjek (I i II), određen remenim t i t t t (sl. 4.3), idljio je d se promtrni presjek može doesti iz položj I u položj II, bilo d se pomkne trnsltorno u pol A, ztim zkrene oko pol z kut trnsltorno pomkne u pol B, ond zkrene z isti kut i u istom smjeru., bilo d se Slik 4.3. Rstljnje rninskog gibnj n trnsltorno i rotcijsko gibnje Zključuje se d je rninsko gibnje krutog tijel potpuno određeno gibnjem pol A i rotcijom presjek oko tog pol, p su kinemtičke znčjke rninskog gibnj krutog tijel: brzin i ubrznje pol A te kutn brzin i kutno ubrznje tijel. Promjenom pol mijenjju se kinemtičke znčjke trnsltornog gibnj, dok znčjke rotcijskog gibnj ostju nepromijenjene, tj. one ne oise o odbiru pol Brzine točk tijel pri rninskom gibnju Položj po olji odbrne točke M, koj leži u presjeku, potpuno je određen, u koordintnom sustu Oxy, ektorskom jedndžbom (sl. 4.4): Deriirnjem te jedndžbe po remenu dobije se: r r. (4.3) M A drm dr d dt dt dt A. U dobienoj jedndžbi čln n lijeoj strni predstlj brzinu točke M; pri čln n desnoj strni brzinu pol A, dok je drugi čln n desnoj strni brzin koju bi iml točk M pri rotciji oko pol A, kd bi tj pol bio nepomičn, i oznč se s MA. 34

143 Slik 4.4. Vektor položj točke M pri rninskom gibnju Končno je: M A MA (4.4) pri čemu je MA AM i MA AM. Slik 4.5. Vektor brzine točke M pri rninskom gibnju Prem tome, brzin po olji odbrne točke M presjek jednk je ektorskom (geometrijskom) zbroju brzine točke A, koj je uzet z pol, i brzine rotcije točke M oko pol A pri rotciji presjek oko tog pol (sl. 4.5). Primjer 4.3. Kružni disk rdijus R 0, 5 m kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi. Brzin središt disk mijenj se prem zkonu: S 0,5t m s. Odrediti brzine točk A i B n obodu disk u trenutku t s, kd se te točke nlze u položju kko je to prikzno n slici

144 Slik 4.6. Primjer 4.3. Rješenje: U trenutku t s brzin središt disk iznosi: S 0,5 m s. Tržene brzine točk A i B odredit će se zbrjnjem trnslcije s polom u točki S disk i rotcije oko S. Koristit će se izrz (4.), prem kojem je: ; ;, A S AS B S BS D S DS pri čemu su intenziteti ektor AS udljenosti R od točke S., BS i DS jednki jer se točke A, B i D nlze n jednkoj Slik 4.7. Određinje brzin superpozicijom trnsltornog i rotcijskog gibnj N slici 4.7 prikzn je superpozicij trnslcije brzinom s i rotcije oko pol S. Točk D rzmtr se zbog tog što iz ujet kotrljnj bez kliznj slijedi d je njen brzin jednk nuli, te je: Sd je: S DS 0 ili DS S AS BS m s. A S AS 4 m s ; cos60 0,5 3,464 m s. B S BS S BS 36

145 Očito je d nije bilo potrebe z izrčunnjem kutne brzine disk, koj je jednk: Primjer 4.4. R DS 4s. 0,5 Prokutn ploč ABCD gib se u horizontlnoj rnini. Poznt je brzin točke B ploče, B 4 m s, te prc brzine točke A (sl. 4.8). Odrediti brzinu točke A i kutnu brzinu ploče ko je AB m, AD 0,5 m. Slik 4.8. Primjer 4.4. Rješenje: Brzin točke A je prem (4.4): pri čemu je A B AB AB AB i AB AB je to prikzno n slici 4.9, n kojoj je smjer ektor AB. T se ektorsk jedndžb može prikzti grfički kko pretpostljen. S slike 4.9 slijedi: Slik 4.9. Primjer 4.4: slgnje ektor brzin. A A x B cos sin AB y sin cos 0. A Budući d je BC tn, AB to je 6, 57, p je B AB 37

146 te končno AB B AB AB A B sin cos s cos B AB B tn m s, sin 4 cos 6,57 sin 6,57 4,47 m s. Zdtk 4.5. Štp AB duljine kosini. l m krjem A kliže po horizontlnoj podlozi, krjem B po Slik Z.4.5. Zdtk 4.5. Odrediti brzinu točke B i kutnu brzinu štp u položju prikznom n slici Z.4.5 u kojemu je brzin točke A A m s. Odgoor: - B,793 m s ;,464 s. AB Zdtk 4.6. Klizč A gib se po horizontlnoj odilici brzinom l m A 3 m s. Polug AB duljine, koj je zglobno ezn z klizč, rotir u ertiklnoj rnini konstntnom kutnom brzinom 4 s. Slik Z.4.6. Zdtk 4.6. Odrediti brzinu točke B poluge u položju prikznom n slici Z.4.6. Odgoor: B,053 m s. Zdtk 4.7. Disk polumjer 0,3 m rotir konstntnom kutnom brzinom 4 s oko osi kroz oslonc O. U točki A disk zglobno je ezn štp AB duljine l 0,7 m, koji je drugim krjem 38

147 zglobno ezn z klizč B. Odrediti brzinu klizč B i kutnu brzinu štp u položju prikznom n slici Z.4.7. Slik Z.4.7. Zdtk 4.7. Odgoor: - B,5 m s ;,449 s. AB Zdtk 4.8. Klizč A gib se po horizontlnoj odilici, klizč B po ertiklnoj. Klizči su međusobno poezni štpom AB duljine klizč A je A 3 m l m. U položju prikznom n slici Z.4.8. brzin s. Odrediti brzinu klizč B i kutnu brzinu štp AB. Slik Z.4.8. Zdtk 4.8. Odgoor: - B 5,96 m s ; 6 s. AB Ubrznj točk tijel pri rninskom gibnju Ubrznje točke M (slik 4.4) pr je dericij ektor brzine po remenu, p se deriirnjem izrz (4.4) dobije: M d dt d dt M MA, A pri čemu drugi čln n desnoj strni predstlj ubrznje točke M zbog rotcije presjek oko točke A i obično se prikzuje s pomoću prirodnih komponent ubrznj: gdje je: N MA (4.5) N T M A MA MA AM - normln komponent ubrznj točke M zbog rotcije oko A i usmjeren je duž spojnice AM od M do A; 39

148 T MA AM - tngencijln komponent ubrznj točke M zbog rotcije oko A, okomit je n spojnicu AM i usmjeren u smjeru kutnog ubrznj presjek. Zključuje se sljedeće: Ubrznje po olji odbrne točke M presjek tijel jednko je ektorskom (geometrijskom) zbroju ubrznj točke A, koj je uzet z pol, i ubrznj točke M oko pol A pri rotciji presjek oko tog pol (sl. 4.0). Primjer 4.5. Kružni disk rdijus Slik 4.0. Vektor ubrznj točke M pri rninskom gibnju R 0,5 m kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi. Kutn brzin disk mijenj se prem zkonu: t s. Slik 4.. Primjer 4.5. Odredite ubrznj točk A i B n obodu disk u trenutku t s, kd se te točke nlze u položju kko je to prikzno n slici 4.. Rješenje: Kutno ubrznje disk je d t, dt p će u trenutku t s biti: 4 s,. 4 s 40

149 Budući d se disk kotrlj bez kliznj, brzin točke C (točke disk u dodiru s podlogom) jednk je nuli, brzin središt disk S, koje rši procrtno gibnje, jest: S C SC SC S R 0,5 t, p je ukupno ubrznje te točke jednko njezinu tngencijlnom ubrznju: S d dt S t i u trenutku t s iznosi: S m s. Slično ko kod određinj brzin u primjeru 4.3, i ubrznj točk A i B odredit će se zbrjnjem trnslcije s polom u točki S disk i rotcije oko S (sl. 4.): A B S S AS BS S S N AS N BS T BS T AS. Slik 4.. Određinje ubrznj superpozicijom trnsltornog i rotcijskog gibnj Točke A i B nlze se n jednkoj udljenosti R od središt S, p će i ubrznj tih točk zbog rotcije tijel oko S biti jednk po intenzitetu. Normlne komponente su: N N AS BS R 0,5 4 8 m s, i usmjerene su rdijlno od A, odnosno B, k točki S. Z određinje tngencijlnih komponent potrebno je poznti kutno ubrznje disk. Tržene tngencijlne komponente iznose: T T AS BS R 0,5 4 m s. Ubrznje točk A i B sd je (sl. 4.3): A S AS AS 8 8, 944 m s T N 4

150 B B x B y 3,98 5,73 6,949 m s, gdje je: cos60 cos30 0,5 80,866 3,98 m s T N Bx S BS BS sin60 sin30 0,866 80,5 5,73 m s. T N By BS BS Slik 4.3. Ukupn ubrznj točk A i B Primjer 4.6. Štp AB duljine l 0,8 m im n sojim krjeim kotčiće znemriih dimenzij. U položju n slici poznti su brzin i ubrznje točke B: B 4 m s i B 4 m s. Slik 4.4. Primjer 4.6. Odrediti ubrznje točke A u prikznom položju. Rješenje: Ako se z pol odbere točk B (točk s čijim se kinemtičkim krkteristikm štp trnsltir), ubrznje točke A dno je izrzom (4.5) A. B AB B N AB T AB Ubrznje točke B je zdno, dok se prc ubrznj točke A poklp s prcem kosine duž koje se točk A gib. Prc ubrznj N AB poklp se s spojnicom AB, smjer mu je od A prem B, iznos N l. AB AB 4

151 Prc ubrznj T AB okomit je n spojnicu AB, smjer mu nije poznt, iznos mu je T AB AB l. Kutn brzin štp jednk je AB l, određuje se slgnjem ektor brzin (4.4). A B AB U gornjoj je jedndžbi poznt ektor brzine točke B te prci brzin A i AB (slik 4.5). Slik 4.5. Brzin točke A: ) pln položj, b) slgnje brzin. S slike 4.5. slijedi: A Ax cos 60 cos 75 B AB y sin 60 sin A B AB Iz druge od jedndžb dobije se sin 60 AB B 3,586 m s, sin 75 p je odnosno l 3,586 0,8 AB 4,483 s -, N AB l 0,8 4,483 6,08 m s. Slik 4.6. Ubrznje točke A: ) pln položj, b) slgnje ubrznj. Slijedi slgnje ektor ubrznj (sl. 4.6): A Ax N AB T AB sin30 cos5 cos 75 B 43

152 N T 0 y cos30 sin5 sin 75. Iz druge od tih jedndžb je T AB A B sin75 B AB cos30 N AB AB sin5 4 cos30 6,08sin5 0,697 T AB 0,697 sin75 0,7 m s p iz pre slijedi A Ax B sin30 N AB cos5 T AB cos75 4sin30 6,08cos5 0,7sin5 3,7 m s. Zdtk 4.9. Kružni disk rdijus prikznom n slici poznto je ubrznje točke A brzin disk s. R 0,4 m gib se u horizontlnoj rnini. U položju A 3 m s, prc ubrznj točke B i kutn Slik Z.4.9. Zdtk 4.9. Odrediti ubrznje točke B disk i njegoo kutno ubrznje. Odgoor: B - 0, m s ; 3,5 s. Zdtk 4.0. U položju prikznom n slici poznto je ubrznje točke A A 3 m s, kutn brzin s i kutno ubrznje 3 s trokutste ploče (sl. Z.4.0). Slik Z.4.0. Zdtk 4.0. Odrediti ubrznj točk B i C ploče. 44

153 Odgoor:,398 m s, B 3,6 m s. C Teorem o projekcijm ektor brzin točk rne figure Teorem o projekcijm ektor brzine diju točk rne figure glsi: projekcije brzin diju točk rne figure n prc koji prolzi tim djem točkm međusobno su jednke. Oj teorem dde se lko dokzti s pomoću rnije dobiene jedndžbe: M A MA. Uzimjući u obzir d je MA AM, projekcijom gornje jedndžbe n prc AM (sl. 4.7) slijedi: čime je teorem dokzn. M cos cos, Jednkost projekcij brzin diju točk rne figure slijedi i iz osnonog sojst krutog tijel nepromjenljiosti udljenosti između diju njegoih točk. Tko, kd bi projekcije promtrnih brzin n prc AM bile rzličite, to bi znčilo d se ili točk A približ točki M ili pk d se točk M udlj od točke A, što prem definiciji krutog tijel nije moguće. A Slik 4.7. Projekcij ektor brzin diju točk rne figure Iz gornjeg teorem slijedi poznt iko mlo upotrebljn metod koj služi z određinje brzin točk rne figure metod projicirnih brzin. Slik 4.8. Metod projicirnih brzin Nime, ko je poznt brzin točke A po intenzitetu, prcu i smjeru te prc brzine točke M, moguće je s pomoću teorem o projekcijm brzin odrediti intenzitet i smjer brzine točke M 45

154 n nčin d se projekcij brzine točke A n prc AM prenese u točku M, ztim iz rh projekcije podigne okomic do prc brzine M (sl. 4.8) Trenutni pol brzin Trenutnim polom brzin P nzi se točk u rnini presjek tijel čij je brzin u promtrnom trenutku jednk nuli. T točk može ležti n smom presjeku ili pk izn njeg, no smtrt će se d je uijek ezn uz tijelo. S obzirom n izrečenu definiciju i izrz (4.) bit će prem slici 4.9: ili P A PA 0 PA. A Budući d je PA AP, očito je d se trenutni pol brzin mor nlziti n prcu koji prolzi točkom A i okomit je n brzinu A. Intenzitet brzine PA dn je izrzom: PA AP, i jednk je intenzitetu brzine A p je udljenost pol od točke A: AP PA A. (4.6) Slik 4.9. Trenutni pol brzin Određinje brzin točk s pomoću trenutnog pol brzin Usoji li se trenutni pol brzin P z pol presjek tijel, td će u odbrnom trenutku remen brzin točke A presjek biti:, A P AP 46

155 odkle, s obzirom n to d je P 0, slijedi: A, tj. brzin po olji odbrne točke tijel u proizoljnom trenutku remen jednk je brzini rotcije koju t točk im pri rotciji presjek oko trenutnog pol brzin: A B AP AP BP... T TP, tj. intenzitet brzine bilo koje točke presjek jednk je produktu između kutne brzine tijel i udljenosti promtrne točke od trenutnog pol brzin. Neden udljenost nzi se još i trenutni rdijus rotcije. Iz gornjih izrz slijedi: A B T..., (4.7) AP BP TP tj. intenziteti brzin točk presjek proporcionlni su njihoim udljenostim od trenutnog pol brzin (sl. 4.30). Slik Određinje brzin točk s pomoću trenutnog pol brzin Posebni slučjei određinj trenutnog pol brzine Ako su poznti prci brzin diju točk presjek, koji nisu međusobno prlelni, td se pol brzin nlzi u presjecištu okomic podignutih n prce brzin kroz te točke (sl. 4.3.). Ako je poznt ektor brzine jedne točke presjek (npr. A ) i kutn brzin presjek, td se trenutni pol brzin nlzi n okomici podignutoj n tu brzinu u smjeru, n udljenosti AP A (sl. 4.3.b). 47

156 Trenutni pol brzin presjek nlzi se u beskončnosti ko su brzine diju točk presjek prlelne, spojnic tih diju točk nije okomit n prce brzin. Tijelo td rši trnsltorno gibnje, tj je slučj prikzn n slici 4.3.c. Slik 4.3. Posebni slučjei određinj trenutnog pol brzin Nek su poznte brzine diju točk presjek, nek su međusobno prlelne i okomite n spojnicu tih diju točk; trenutni pol brzin nlzi se u sjecištu prc koji prolzi tim točkm i prc koji prolzi rhoim njihoih brzin (sl. 4.3.d). Kd se jedno tijelo kotrlj bez kliznj po poršini drugog, nepomičnog tijel, td je točk dodir ujedno i trenutni pol brzin jer iz ujet kotrljnj slijedi d su brzine točk n mjestu dodir tijel koj ostruju kotrljnje međusobno jednke (sl. 4.3.e). Primjer 4.7. Kolo sstljeno od dju kružnih disko rdijus r 0,3 m i 0,5 m kliznj po horizontlnoj podlozi. Brzin središt disk je konstntn i iznosi R kotrlj se bez S 6 m s. Slik 4.3. Primjer

157 Odrediti s pomoću trenutnog pol brzin brzine točk A, B i C n obodu disk u trenutku kd se te točke nlze u položju kko je to prikzno n slici 4.3. Rješenje: Budući d se kolo kotrlj bez kliznj po horizontlnoj podlozi, mor trenutni pol brzin biti u točki koj je u rzmtrnom trenutku u dodiru s podlogom (sl. 4.3.e); točk D n slici Slik Određinje brzin s pomoću trenutnog pol brzin Iz poznte brzine točke S kol slijedi njego kutn brzin: S SP S r 6 0,3 0 s. Brzine točk A, B i C kol proporcionlne su udljenosti tih točk od trenutnog pol brzin: A B C AP BP CP 0,6 0 ms 0,7 0 4 ms 0,583 0,66 ms jer je (sl. 4.33): AP r 0,6 m BP r Rsin30 Rcos30 0,3 0,5 0,5 0,5 0,866 0,7 m Primjer 4.8. CP r R 0,3 0,5 0,583 m. Rninski mehnizm sstljen je od triju štpo: OA, AB i OB. Štp OA rotir - konstntnom kutnom brzinom 4 s. Odrediti s pomoću trenutnog pol brzin brzinu točke B u položju prikznom n slici Kolike su u tom trenutku kutne brzine štpo AB i OB. Zdno: O A 0,5 m, AB m, O B 0,4 m, h 0,6 m, l 0,4 m. 49

158 Slik Primjer 4.8. Rješenje: Brzin točke A okomit je n štp OA, dok je brzin točke B okomit n štp OB. Budući d točke A i B pripdju i štpu AB, trenutni pol brzin tog štp nlzi se u presjecištu okomic n prce brzin u točkm A i B (slučj prikzn n slici 4.3.), kko je to prikzno n slici Brzin točke A je O A 0,5 4 m s, A kko t točk pripd i štpu AB, to je 0. A hab, 6 AB Slik Primjer 4.8: Određinje brzin s pomoću trenutnog pol brzin. Slijedi kutn brzin štp AB: h A AB 3,33 s, odnosno brzin točke B: 0,6 50

159 B l O B 0,4 0,4 3,33,67 m s. AB Kutn brzin štp OB sd je,67 B AB 6,67 s. O 0,4 B Zdtk 4.. Riješiti zdtk 4.5 (str. 38) s pomoću trenutnog pol brzin. Odgoor: - B,793 m s ;,464 s. AB Zdtk 4.. Riješiti zdtk 4.8 (str. 39) s pomoću trenutnog pol brzin. Odgoor: - B 5,96 m s ; 6 s. AB Zdtk 4.3. Polug OA mehnizm prikznog n slici Z.4.3. rotir konstntnom kutnom brzinom 0 s i s pomoću štp AB pomiče klizč B duž horizontlne odilice. Odrediti brzinu klizč B u položju u kojem je 0. Odgoor: B,5 m s. Slik Z.4.3. Zdtk 4.3. Zdtk 4.4. Vodilice I i II gibju se konstntnim brzinm njim se kotrlj bez kliznj disk rdijus R 0,5 m. I m s i II 4 m s, po Slik Z.4.4. Zdtk 4.4. Odrediti kutnu brzinu disk te brzine točk S i A u položju prikznom n slici Z Odgoor:,98 s, m S s ; s A 3,55 m. AB 5

160 Zdtk 4.5. Polug OA mehnizm prikznog n slici rotir oko oslonc O konstntnom kutnom brzinom 0 s. Odrediti brzinu točke B u zdnom položju. Odgoor: B 0,36 m s. Slik Z.4.5. Zdtk Trenutni pol ubrznj Trenutnim polom ubrznj P nzi se točk u rnini presjek tijel čije je ubrznje u promtrnom trenutku jednko nuli. Ubrznje trenutnog pol brzin, prem (4.5), iznosi: N T P A PA PA i u općem slučju rninskog gibnj nije jednko nuli, p trenutni pol brzin nije ujedno i trenutni pol ubrznj. Slik Trenutni pol ubrznj Točk P mor zdooljiti sljedeći ujet: N T P A PA PA 0 5

161 ili. N T PA PA A T ektorsk jednkost prikzn je grfički (sl. 4.36). Kut, što g ektor ubrznj točke A ztr s prcem n kojem se nlzi pol ubrznj, određen je izrzom: tn. (4.8) T PA N PA Tj kut se nnosi od ektor ubrznj A u smjeru. Budući d je: ; N PA AP T PA AP, bit će intenzitet ubrznj PA : 4 PA AP, A odkle slijedi udljenost pol ubrznj od točke A: AP A 4 -. (4.9) Određinje ubrznj točk pomoću trenutnog pol ubrznj Usoji li se trenutni pol brzin P z pol presjek tijel, td će u odbrnom trenutku remen ubrznje točke A presjek biti: odkle, s obzirom n to d je P 0, slijedi:, A P AP A, AP tj. ubrznje po olji odbrne točke tijel u proizoljnom trenutku remen jednko je ubrznju koju t točk im pri rotciji presjek oko trenutnog pol brzin: Iz gornjeg izrz slijedi: 4 AP A 4 BP B... 4 T TP. A B T 4..., (4.30) AP BP TP 53

162 tj. intenziteti ubrznj točk presjek proporcionlni su njihoim udljenostim od trenutnog pol ubrznj (sl. 4.37). Slik Određinje ubrznj točk s pomoću trenutnog pol ubrznj Prc ektor ubrznj pojedine točke (npr. točke A) ztr s spojnicom te točke s polom ubrznj kut : rctn koji se mjeri od spojnice u smjeru suprotnom od smjer. Primjer 4.9. Kdrtn ploč gib se u horizontlnoj rnini. Poznt je kutn brzin ploče, njeno kutno ubrznje i ubrznje točke A. Odrediti ubrznj točk B, C i D ploče u položju n slici 4.38 s pomoću trenutnog pol ubrznj. Zdno: b m, s, 4 s, 4 m s. Slik Primjer 4.9. Rješenje: Kut što g ektor ubrznj točke A ztr s spojnicom te točke s trenutnim polom ubrznj ploče dn je izrzom (4.8): 4 tn, odkle je 45 ; mjeri se od rh ektor A u smjeru kutnog ubrznj. 54

163 Udljenost trenutnog pol ubrznj od točke A dn je izrzom (4.9): AP m A. 4 4 Zključuje se d se trenutni pol ubrznj poklp s točkom B ploče te d je ubrznje točke B u rzmtrnom trenutku jednko nuli. Prc ubrznj točke C ztr kut 45 s spojnicom točke C s točkom B (trenutnim polom ubrznj) mjereno u smjeru suprotnom od smjer kutnog ubrznj (sl. 4.39). N isti se nčin dolzi i do prc ubrznj točke D. Slik Primjer 4.9: Određinje ubrznj s pomoću trenutnog pol ubrznj. Intenziteti ubrznj točk C i D su C CP m s 4 D DP 4 8 m s. Zdtk 4.6. Kolo sstljeno od dju disko rdijus R 0,5 m i r 0, m kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi (sl. Z.4.6). N mnji disk kol nmotno je uže koje se polči konstntnom brzinom 4 m s. Slik Z.4.6. Zdtk 4.6. Odrediti ubrznj točk A i B s pomoću trenutnog pol ubrznj. Odgoor: A 6,53 m s ; 6,33 m s. B 55

164 Pln brzin i pln ubrznj Vektori brzine i ubrznj često se u nlizi rninskih mehnizm određuju nlitički ili grfički s pomoću pln brzin i pln ubrznj. Kod rninskog gibnj tijel obično je poznt brzin jedne njegoe točke i prc brzine neke druge. Tijelo koje rši rninsko gibnje crt se u odgorjućem mjerilu duljin, t se slik nzi pln položj. Nek je poznt ektor brzine točke A tijel i prc brzine točke B (sl ). A Slik Metod pln brzin: ) pln položj, b) pln brzin. S strne pln položj odbere se točk O i iz te se točke nnosi ektor A u odbrnom mjerilu brzin m. Tkođer se, iz točke O, nnese i prc prleln s prcem brzine točke B. Osnon ektorsk jedndžb, koj služi z crtnje pln brzin, jest (4.4): Budući d je prc ektor BA B A BA. poznt BA AB, polči se iz rh A u plnu brzin prc okomit n spojnicu AB. N tj nčin dobi se točk B koj predstlj rh brzine B. Iz trokut O,A,B određuju se intenziteti B i BA poslužiti z izrčunnje eličine i smjer kutne brzine: smjer joj slijedi smjer ektor BA. BA, AB. Intenzitet i smjer ektor BA mogu Brzin proizoljno odbrne točke C tijel može se sd odrediti n d nčin. Pri podrzumije korištenje diju ektorskih jedndžb: C A CA i C B CB. N tj nčin dobiju se u plnu brzin (sl b) d prc u čijem je presjecištu točk C rh ektor brzine točke C. 56

165 Brzin točke C može se odrediti i s pomoću gore izrčunne kutne brzine tijel: pri čemu je C A CA CA AC. Brzin neke točke D, koj leži n prcu koji prolzi točkm A i B, može se odrediti i n sljedeći nčin: D A DA i D B DB,, budući d je DA AD, te DB BD, rijedit će omjer: ili DA : AD : BD, DB A D : AD B D : BD, tj. rh brzine točke D (D) leži n prcu koji prolzi točkm A i B u plnu brzin i dijeli tu duljinu u istom omjeru ko i točk duljine AB u plnu položj. Ne treb posebno dokziti d je trokut ABC sličn trokutu ABC (to su d trokut s međusobno okomitim strnicm), te d je trokut ABC zkrenut z 90 u odnosu n trokut ABC i to u smjeru kutne brzine. Z konstrukciju pln ubrznj potrebno je poznti ubrznje jedne točke tijel, njegou kutnu brzinu (određuje se pomoću pln brzin) i prc ubrznj druge točke tijel. Nek je poznto ubrznje točke A, kutn brzin tijel i prc ubrznj točke B (sl. 4.4.). S strne pln položj odbire se točk O iz koje se u mjerilu ubrznj nnosi A, te prc ubrznj točke B. Z pronlženje ubrznj B koristi se ektorsk jedndžb (4.5):. N T B A BA A BA BA N Vektor BA pd u prc AB i usmjeren je od B k A, dok mu je intenzitet: AB. N BA T se komponent ndoezuje, u mjerilu, n ubrznje A, dok se n nju ndoezuje prc ubrznj T koji je okomit n spojnicu AB. U presjecištu tog prc s prcem ubrznj BA B nlzi se rh B (sl. 4.4.b). Mjerenjem, i množenjem s mjerilom ubrznj, određuju se ztim intenziteti ektor B i te smjer i eličin kutnog ubrznj: T BA. AB T BA 57

166 Slik 4.4. Metod pln ubrznj: ) pln položj, b) pln ubrznj. Z određinje ubrznj točke C mogu se koristiti jedndžbe: N T C A CA A CA CA N T C B CB B CB CB ili smo pr jedndžb korištenjem gore izrčunnog kutnog ubrznj : T CA AC. Slično ko kod pln brzin može se pokzti d rh ubrznj točke D, koj leži n spojnici AB, leži i n spojnici AB te d ju siječe u istom omjeru u kojem točk D siječe duljinu AB. I odje se može pokzti d je trokut ABC sličn trokutu ABC. Primjer 4.0. Polug OA mehnizm rotir oko nepomične osi kroz zglob O konstntnom kutnom brzinom 5s. Odrediti nlitički brzinu i ubrznje klizč B te kutnu brzinu i kutno ubrznje poluge AB s pomoću pln brzin, odnosno pln ubrznj u položju prikznom n slici 4.4. Zdno: OA 0,4 m, AB 0,6 m. Rješenje: Slik 4.4. Primjer 4.0. Brzin točke A okomit je n spojnicu OA i iznosi: 58

167 OA 0,4 5 m s. A Brzin točke B dobit će se s pomoću ektorske jedndžbe: B A BA u kojoj je poznto d je prc ektor B spojnicu AB (sl ). Slgnjem ektor A, B slici 4.43.b. horizontln te d je prc ektor BA i BA okomit n dobije se pln brzin prikzn n Trenutni pol brzin poluge AB dobije se ko presjecište okomic n prce brzin diju točk poluge, A i B (sl. 4.9), jer je brzin točke A okomit n spojnicu OA, dok je brzin točke B jednk brzini klizč koji se gib procrtno i horizontln je. S slike slijedi: Slik 4.43: ) pln položj; b) pln brzin. AC OA sin 45 0,4 0,707 0,83 m AC 0, 83 sin 0, 477 AB 0,6, p je 8,4. Sd je iz pln brzin (sl b): BA cos sin 45, odnosno A BA sin 45 sin 45 A,604 m s, cos cos 8,4 p je cos45 sin cos45,604 sin 8,4,7 m s. B A BA Slijedi kutn brzin štp AB kojoj se smjer poklp s smjerom kzljke n stu:,604 0,6 BA AB,673 s. AB Ubrznje točke B odredit će se s pomoću pln ubrznj korištenjem ektorske jedndžbe: N T. B A BA A BA BA 59

168 Budući d je kutn brzin poluge OA konstntn, njeno je kutno ubrznje jednko nuli, p je ubrznje točke A jednko njenom normlnom ubrznju: A N A OA 0,4 5 0 m s. Prc ubrznj točke B je horizontln, prc normlnog ubrznje točke B u odnosu n točku A poklp se s spojnicom AB, smjer tog ubrznj je od A k B, dok je prc tngencijlnog ubrznj točke B u odnosu n točku A okomit n spojnicu AB (sl ). N Intenzitet ubrznj BA je N BA ABAB 0,6,673 4,84 m/s. Slgnje ektor ubrznj u pln ubrznj prikzno je n slici 4.44.b. Slik 4.44: ) pln položj; b) pln ubrznj. S slike 4.44.b slijedi: T BA N cos sin sin 45 BA A B N T cos 45 cos sin. A BA Iz pre od tih jedndžb dobije se: T BA p iz druge slijedi: B A sin 45 cos N BA BA sin 0 sin 45 4,84 sin 8,4 5,78 m cos 8,4 0 cos 45 4,84 cos 8,4 5,78 sin 8,4 8,5 m s. s, Kutno ubrznj AB sd je 5,78 0,6 T BA AB 9,547 s, AB smjer mu je suprotn od smjer kzljke n stu. Primjer 4.. Odredite brzine i ubrznj točk A, B, C i D mehnizm, u položju prikznom n slici 4.45, korištenjem metod pln brzin i ubrznj. Zdno: OA AB 0, 4 m ; AC 0,6 m ; CD 0,4 m ; h 0,5 m; h 0,35 m ; R 0,35 m ; 5s. 60

169 Rješenje: Slik Primjer. Zdni mehnizm prikzn je n slici 4.45 u mjerilu duljin: 0, m ml. cm N slici prikzn je pln brzin u mjerilu brzin: 0,5 m/s m. cm Brzine krkterističnih točk mehnizm, prikzne n tom plnu brzin, određene su n sljedeći nčin: Brzin točke A: Točk A zjedničk je člnoim OA i ABC mehnizm. Njen brzin okomit je n spojnicu OA i slijedi smjer kutne brzine, dok joj je intenzitet: A OA 0,4 5 m s. Brzin točke B: Poznt je prc brzine točke B (točk B rši procrtno gibnje). S pomoću osnone ektorske jedndžbe:, pri čemu je BA AB, dobije se u plnu brzin B A BA točk B ko sjecište prc B, nnesenog iz točke O, i prc BA, nnesenog iz rh A brzine A. Mjerenjem i množenjem s mjerilom brzin dobije se: B O B m,6 0,5,3 m s ; BA A B m, 0,5,m s, p je kutn brzin čln ABC, kojoj se smjer poklp s smjerom kzljke n stu: BA ABC,8 s. AB 6

170 Slik Primjer 4.: ) pln brzin; b) pln ubrznj. Brzin točke C: Vrh brzine točke C leži n istom prcu n kojem se nlze rhoi A i B, pri čemu rijedi omjer: odnosno: p je: A C : A B AC: AB 0,6:0,4,5, AC,5 AB,5, 3,3 cm, C O C m 6,8 0,5 3,4 m s. Brzin točke D: Poznnjem prc brzine točke D (tngent n kružnu putnju) i s pomoću ektorske jedndžbe: D C DC, DC CD dobiju se u plnu brzin d prc, čije je sjecište rh brzine D. Sd se mogu odrediti brzin točke D, brzin točke D u odnosu n C i kutn brzin štp CD kojoj se smjer poklp s smjerom kzljke n stu: D O D m 4,6 0,5,3 m s ; DC C D m 7,0 0,5 3,5 m s ; 3,5 0,4 CD CD 8,8 s. CD Pln ubrznj prikzn je n slici 4.46.b, uz mjerilo ubrznj: m/s m 5,3 m s cm 6

171 konstruirn je n dlje opisn nčin. Ubrznje točke A: Točk A rši kružno gibnje p joj je ubrznje prikzno s pomoću prirodnih komponent:. N T A A A Tngencijln komponent ubrznj točke A jednk je nuli (jer je d dt 0), p je: A A OA 0,4 5 0 m s N, usmjereno je rdijlno od O k A. Ubrznje točke B: Vektor ubrznj točke B pd u prc njene putnje, z određinje intenzitet koristit će se i ektorsk jedndžb: gdje je: N T B A BA BA AB 0,4,8 3,m s N BA ABC i usmjereno je od B k A, dok je T nlzi rh B. Dlje je: BA AB, p se u presjecištu prc ubrznj točke B i prc T BA B O B m,5 5,5 m s ; T BA B'B m,5 m s te 0,4 T BA ABC 7,5 s, AB pri čemu je smjer kutnog ubrznj ABC suprotn od smjer kzljke n stu. Ubrznje točke C: Vrh ubrznj točke C leži n istom prcu n kojem su i rhoi ubrznj točk A i B, položj mu se određuje iz omjer: p je: A C : A B AC: AB 0,6:0,4,5 AC,5A B,5,5 3,4 cm. Ubrznje točke C iznosi: C O C m 4,6 5 3 m s. Ubrznje točke D: Z izrčunnje ubrznj točke D korištene su ektorske jedndžbe: N T i. N T D D D D C DC DC 63

172 Intenzitet komponente N D je:,3, R 0,35 N D - D 5,m s usmjeren je rdijlno k središtu S putnje točke D. Prc T D okomit je n N D. Intenzitet ubrznj CD 0,48,8 3m s, N DC CD N DC iznosi: sm ektor usmjeren je duž spojnice CD od D k C. Imjući u idu d je T T se do točke D ko sjecišt prc i DC. D Dlje je: CD, dolzi T DC D O D m 0,4 5 5 m s, T DC C'D m,7 5 3,5 m s, 3,5 0,4 T DC CD 33,8 s, CD pri čemu je smjer kutnog ubrznj CD suprotn od smjer kzljke n stu. Zdtk 4.7. Ploč oblik istostrničnog trokut ezn je zglobom A z horizontlni klizč, zglobom B z ertiklni. U položju prikznom n slici Z.4.7, kd je strnic AC ertikln, poznt je brzin i ubrznje klizč A. Odrediti brzine i ubrznj točk B i C ploče ko je zdno: b 0,4 m, A m s m s. A Slik Z.4.7. Zdtk 4.7. Odgoor: B 3,464 m s, m C s, 76,53 m s, B 78,8 m s. C Zdtk 4.8. Štp ABC ezn je zgloboim A i B z horizontlni, odnosno ertiklni klizč. Brzin klizč A je konstntn i iznosi A 4 m s. Zdno: AB AC 0,5 m. Odrediti brzine i ubrznj točk B i C štp. 64

173 Odgoor: Slik Z.4.8. Zdtk 4.8. B 5,333 m s,,39 m C s, 48, m s, B 96, m s. Zdtk 4.9. Disk rdijus r kotrlj se bez kliznj po podlozi. Brzin središt disk je konstntn. U točki B zglobno je ezn štp AB koji je zglobom A ezn z polugu OA. Polug može rotirti oko oslonc O. Odrediti brzine i ubrznj točk A i B u položju prikznom n slici Z.4.9 ko je zdno: C m s, r 0,5 m. C Odgoor: A,06 m s, B,36 m s, Slik Z.4.9. Zdtk ,48 m s, A B 4 m s. Zdtk 4.0. Klizč A gib se po ertiklnoj odilici konstntnom brzinom klizč B po kružnoj rdijus A m s, R m (sl. Z.4.0). Klizči su poezni štpom AB duljine l m. Odrediti brzinu i ubrznje klizč B u položju n slici. Slik Z.4.0. Zdtk

174 Odgoor: B m s, B 8 m s. Zdtk 4.. Rninski mehnizm sstoji se od štpo OA i AB te kružnog disk rdijus R (sl. Z.4.). Štp OA rotir konstntnom kutnom brzinom oko oslonc O. U točki B tog štp zglobno je poezn štp AB koji je zglobom B ezn z središte kružnog disk. Disk se po horizontlnoj podlozi kotrlj bez kliznj. Odrediti brzinu i ubrznje točke B te kutnu brzinu - i kutno ubrznje disk u položju prikznom n slici ko je zdno: 4 s, OA 0,4 m, AB 0,8 m, R 0,5 m. Odgoor: B m s, B Slik Z.4.. Zdtk 4.. 4,509 m s, 4 s, 8,04 s. D Zdtk 4.. Rninski mehnizm prikzn n slici Z.4. sstljen je od triju štpo: OA, OB i ABCD. Štp OA ezn je zglobom O, štp OB zglobom O z podlogu. Kutn brzin štp OA je konstntn. Odrediti brzine točk B, C i D te ubrznje točke B mehnizm u prikznom položju. - Zdno: 5 s, O A 0,6 m, O B 0,8 m, AB 0,8 m, BC 0,4 m, CD 0,4 m. D Slik Z.4.. Zdtk 4.. Odgoor: B,m s ; C,9 m s, D,5 m s, 4,3 m s. B 66

175 5. SLOŽ ENO GIBANJE Č ESTIČE 5.. RELATIVNO, PRIJENOSNO I APSOLUTNO GIBANJE U sim dosdšnjim rzmtrnjim proučn su gibnj čestice ili tijel u odnosu n jedn, odbrni, ujetno nepomični referentni sust. Međutim, u nizu problem koji se pojljuju u mehnici korisno je, ponekd i neophodno, d se gibnje čestice ili tijel istoremeno promtr u odnosu n d koordintn sust: jedn nepokretn, drugi pokretn pri čemu je gibnje pokretnog sust u odnosu n nepomični određeno. Gibnje koje pritom rši čestic i tijelo nzi se složeno gibnje. Ko njjednostniji primjer složenog gibnj može se rzmotriti gibnje čojek po plubi brod koje se sstoji od gibnj čojek u odnosu n brod (u oom slučju pokretni koordintni sust) i njego gibnj zjedno s brodom u odnosu n oblu (nepomični sust). Mogućnost rstljnj složenog gibnj n d jednostnij komponentn gibnj koristi se mnogo, kko u kinemtici tko i u dinmici čestice i tijel. Nek se čestic P gib u odnosu n pokretni koordintni sust 0, koji se pk gib u odnosu n nepomični sust Oxyz (slik 5.). Slik 5.. Složeno gibnje čestice Gibnje čestice P u odnosu n pokretni koordintni sust nzi se reltino gibnje; putnj AB koju pritom opisuje nzi se putnj reltinog gibnj; brzin čestice u odnosu n pokretni koordintni sust nzi se reltin brzin r (to je brzin koju bi čestic iml kd bi pokretni sust miroo); promjenu reltine brzine pri reltinom gibnju (smo zbog reltinog gibnj) krkterizir ektor reltinog ubrznj r. Gibnje koje izodi pokretni koordintni sust, zjedno s njim se točke tijel z koje je ezn, u odnosu n nepomični sust Oxyz predstlj z česticu P prijenosno gibnje; kriulj 67

176 CD putnju prijenosnog gibnj; brzin točke tijel z koje je ezn pokretni koordintni sust, koj se u promtrnom trenutku poklp s česticom P, nzi se prijenosn brzin p (to je brzin koju bi iml čestic P d je u promtrnom trenutku črsto ezn z tijelo koje izodi prijenosno gibnje); promjenu prijenosne brzine smo zbog prijenosnog gibnj krkterizir prijenosno ubrznje. p Gibnje koje čestic P rši u odnosu n nepomični sust Oxyz nzi se psolutno gibnje; kriulj EF jest putnj psolutnog gibnj; brzin pri tom gibnju jest psolutn brzin ; promjenu krkterizir psolutno ubrznje. Z rješenje određenih zdtk iz oog područj potrebno je odrediti zisnosti između brzin i ubrznj reltinog, prijenosnog i psolutnog gibnj. 5.. SLOŽENO GIBANJE ČESTIČE: prijenosno gibnje je trnsltorno Njjednostniji oblik složenog gibnj čestice je onj kod kojeg je prijenosno gibnje trnsltorno. Kko je to pojšnjeno u prethodnom pogllju, u tom se slučju i tijelo koje rši prijenosno gibnje može rzmtrti ko čestic. Pokretni koordintni sust može se ezti z bilo koju od čestic, pri rješnju se odbire onj koji će pojednostniti rješnje problem. Gibnje čestice A u odnosu n drugu (B) z koju je ezn pokretni koordintni sust nzi se reltino gibnje, gibnje pokretnog koordintnog sust (čestice B) u odnosu n nepomični jest z česticu A prijenosno gibnje, dok je gibnje čestice A u odnosu n nepomični koordintni sust psolutno gibnje Vektor položj čestice, brzin i ubrznje Nek se dije čestice A i B gibju u prostoru tijekom remen (sl. 5.). Vektori r A i r B definirju položje čestic u proizoljnom trenutku remen u odnosu n nepomični koordintni sust Oxyz. 68

177 Slik 5.. Vektor položj pri složenom gibnju; prijenosno je gibnje trnsltorno. Istodobno će se rzmotriti koordintni sust Ax'y'z' koji je prleln sustu Oxyz, im ishodište u A i ne mijenj orijentciju tijekom remen; kže se d sust Ax'y'z' trnsltir u odnosu n sust Oxyz. Vektor r B/A definir pritom reltini položj čestice B u odnosu n pokretni koordintni sust Ax'y'z' (ili jednostnije: položj čestice B reltino u odnosu n česticu A). S slike 5.. idljio je d je ektor položj čestice B (psolutno gibnje čestice B) r r jednk zbroju ektor položj čestice A i ektor položj čestice B u odnosu n A (reltino gibnje čestice B) r r B/A r : Dericijom (5.) po remenu dobije se: rb ra rb/a ili r rp r. (5.) B A B/A ili p, r (5.) gdje su A i B brzine čestic A odnosno B u odnosu n nepomični koordintni sust Oxyz, dkle psolutne brzine tih čestic, dok je B/A brzin točke B u odnosu n trnsltorni sust Ax'y'z', tj. to je brzin koju bi čestic B iml kd bi sust Ax'y'z' miroo. Brzin B/A krće se nzi reltin brzin B u odnosu n A ( r ). Ndlje, dericijom po remenu izrz (5.) dobije se: B A B/A ili p r, (5.3) gdje su A i B ubrznj čestic A, odnosno B u odnosu n nepomični koordintni sust Oxyz, dkle psolutn ubrznj tih čestic, dok je B/A ubrznje točke B u odnosu n trnsltorni sust Ax'y'z', tj. to je ubrznje koje bi čestic B iml kd bi sust Ax'y'z' miroo. Ubrznje B/A krće se nzi reltino ubrznje B u odnosu n A ( r ). Primjer 5.. Automobil A gib se konstntnom brzinom A 36 km/h s zpd prem istoku. Automobil B kreće iz stnj mironj s sjeer prem rskrižju, bš u trenutku kd A prolzi rskrižje, gibjući se konstntnim ubrznjem, m/s (sl. 5.3). B B 69

178 Slik 5.3. Primjer 5.. Odrediti položj, brzinu i ubrznje čestice B reltino u odnosu n česticu A u trenutku t 5s nkon što A prođe rskrižje. Rješenje: Posti li se ishodište nepokretnog koordintnog sust u rskrižje, psolutne kinemtičke znčjke gibnj točke A bit će:, xa0 0 A 0 m/s, A 36 km/h 36 / 3,6 0 m/s xa xa0 At At, dok će psolutne kinemtičke znčjke gibnj točke B biti: U trenutku t 5s je B, m/s, B0 0, yb0 35 m B B0 Bt 0, t, t yb yb0 B0t Bt 35 0,6t. A 0 m/s, A 0 m/s, xa m, B, m/s, B, 5 6 m/s yb 35 0,65 0 m. Slik 5.4. Reltino ubrznje, reltin brzin i reltini položj B u odnosu n A Sd je reltino ubrznje čestice B u odnosu n česticu A (sl. 5.4.): 70

179 B/A B, m/s, dok je reltin brzin čestice B u odnosu n A (sl. 5.4.b): B/A B A 6 j 0i m/s, B/A 6 0,66 m/s, reltini položj čestice B u odnosu n A (sl. 5.4.c): Primjer 5.. rb/a rb ra 0 j 50i m, rb/a ,85 m. Klin ABC gib se brzinom i ubrznjem po horizontlnoj podlozi i doodi u gibnje štp DE (sl. 5.5). Odrediti brzinu i ubrznje točke E štp ko je zdno:,,. Rješenje: Slik 5.5. Primjer 5.. N slici 5.5 idljio je d štp DE rši trnsltorno gibnje, p su brzine i ubrznj sih njegoih točk, te tko i točk D i E, međusobno jednke. Stog će se u dljnjem rdu odrediti brzin i ubrznje točke D štp. Točk D rši složeno gibnje pri čemu je gibnje klin ABC i prijenosno gibnje (procrtn trnslcij), gibnje točke D po kosini BC reltino gibnje. Apsolutn brzin točke D dn je ektorskom jedndžbom: D p r i D r. U ooj jedndžbi poznt je ektor te prci ektor D i r. Konstrukcijom odgorjućeg trokut brzin (sl. 5.6.) dobije se: r cos. ; tn D 7

180 Slik 5.6. Primjer 5.: ) trokut brzin; b) trokut ubrznj. Apsolutno ubrznje točke D slijedi iz ektorske jedndžbe: D p r r. Iz trokut ubrznj (sl. 5.6.b) slijedi: r cos. ; tn D Primjer 5.3. Kjkšic ozi kjk s jedne strne knl n drugu. Udljenost obl knl je brzin rijeke u knlu je 5 m AB 50 m, s, dok je reltin brzin kjk u odnosu n rijeku m s, prc joj je prleln s spojnicom AC. Obje su brzine konstntnog intenzitet. Odrediti rijeme potrebno d kjkšic stigne do druge oble knl i udljenost mjest D n obli do kojeg će stići kjkšic ozeći n opisni nčin od mjest B. Kolik je psolutn brzin kjk? Rješenje: Slik 5.7. Primjer 5.3. Brzin kojom ozi kjkšic je konstntn, put koji on treb preeslti jednk je duljini reltine putnje kjk: s r AC AB cos ,866 73, m p će joj zbog konstntne brzine ožnje z prelzk tog put trebti: 7

181 sr 73, t 4,43 s. r U istom tom remenu kjk će niz rijeku preliti put zbog prijenosnog gibnj: s p CD p t 54,43 7, m. Udljenost točke D u koju će stići kjkšic od mjest B jednk je: BD BC CD AB tn30 CD 50 0,577 7, 86,6 7, 58,8 m. Apsolutn brzin kjk dn je ektorskom jedndžbom:. p r Slgnjem ektor tih brzin (sl. 5.8) dobije se: r p r p cos ,5 5,3 m s. Slik 5.8. Primjer 5.3: psolutn brzin kjk. Zdtk 5.. Automobil B ozi konstntnom brzinom B 7 km/h preko ndožnjk iznd ceste po kojoj se gib utomobil A, tkođer konstntnom brzinom A 54 km/h smjeroim prikznim n slici Z.5.. Trčnice ztrju kut od 45 s cestom. Odrediti reltinu brzinu utomobil B u odnosu n utomobil A., s Odgoor: 4,68 m s. B A Slik Z.5.. Zdtk Z

182 Zdtk 5.. N pokretnim stepenicm u robnoj kući mimoilze se dije osobe: djeojčic i strij gospođ (sl. Z.5.). Brzin stepenic pri spuštnju iznosi,5 m 3 m s. Odrediti reltinu brzinu djeojčice u odnosu n striju gospođu. s, pri uspinjnju Odgoor:,784 m s. r Slik Z.5.. Zdtk Z.5.. Zdtk 5.3. Prizm oblik prikznog n slici Z.5.3. klizi niz kosinu konstntnom brzinom p 6 m s. Duž kružnog žlijeb n prizmi gib se čestic P tko d joj se kriocrtn koordint mijenj prem zkonu: s t m. 4 Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje čestice kd dođe u položj C ko je R 0,5 m. Slik Z.5.3. Zdtk Z.5.3. Odgoor: 7,40 m s, 5,79 m s. Zdtk 5.4. Polukružn ploč polumjer R 0,5 m ezn je zgloboim A i B z d štp jednkih duljin koji rotirju oko oslonc O odnosno O konstntnom kutnom brzinom 4 s. Duž kružnog žlijeb AB ploče gib se čestic P konstntnom reltinom brzinom 74

183 r 3 m s. Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje čestice P u položju prikznom n slici Z.5.4. ko je zdno: O A O B 0,5 m. Slik Z.5.4. Zdtk Z.5.4. Odgoor: 4,837 m s, 5,5 m s SLOŽENO GIBANJE ČESTIČE: prijenosno gibnje nije trnsltorno Apsolutn brzin čestice Promotri li se pomk čestice u remenskom interlu t t t, mogu se izesti sljedeći zključci: - pomk čestice P n reltinoj putnji AB određen je ektorom PP' (slik 5.9.); Slik 5.9. Apsolutn brzin čestice - putnj AB gib se u promtrnom interlu zjedno s pokretnim koordintnim sustom i u trenutku t zuzim položj AB; 75

184 - on točk kriulje AB koj se u trenutku t poklp s točkom P, izršit će prijenosni pomk PP'' ; - končni položj točke P rezultt je reltinog gibnj čestice po kriulji AB i prijenosnog gibnj sme kriulje pri čemu je ektor PP - ektor psolutnog pomk čestice. S slike 5.9. slijedi ektorsk jednkost: PP =PP'' P''P. (5.4) Podijeli li se oko dobien jednkost s interlom t i potrži grničn rijednost tog izrz kd t 0, dobije se: PP PP'' P''P lim lim lim t t t t0 t0 t0 (5.5) pri čemu je, prem definiciji: PP lim t t 0 PP'' lim. (5.6) t ; p t 0 Očito je tkođer d se kriulj AB teži poklopiti s kriuljom AB kd interl t 0. U tom slučju rijedi jednkost: Končno se može npisti (sl. 5.9.b): P''P PP' lim lim r. (5.7) t0 t t0 t p r, (5.8) odnosno: pri složenom gibnju čestice njen psolutn brzin jednk je geometrijskom (ektorskom) zbroju prijenosne i reltine brzine Apsolutno ubrznje čestice. Corriolisoo ubrznje Prem definiciji, reltinim ubrznjem čestice nzi se eličin r, koj krkterizir promjenu reltine brzine smo zbog reltinog gibnj; dok se prijenosnim ubrznjem nzi eličin p, koj krkterizir promjenu prijenosne brzine smo zbog prijenosnog gibnj, tj.: d r r r ; dt d p p p. (5.9) Može se međutim pokzti d pri složenom gibnju čestice dolzi do promjene i reltine brzine zbog prijenosnog gibnj i prijenosne brzine zbog reltinog gibnj, p rijedi: d d d r r r r p dt 76

185 d d d. (5.0) p p p p r Jednostn dokz isprnosti tih izrz slijedi iz rzmtrnj gibnj čestice P duž cijei OA koj rotir oko točke O u rnini Oxy, kko je to prikzno n slici 5.0. Slik 5.0. Prirsti ektor brzine: ) prirst reltine brzine zbog prijenosnog gibnj, b) prirst prijenosne brzine zbog reltinog gibnj. Ako se čestic P gib ubrzno duž cijei OA, td će, pri reltinom pomku čestice iz položj P u P', ektor reltine brzine dobiti prirst d. Istoremeno će, zbog rotcije cijei oko točke O, doći do zkretnj prc reltine putnje (točk P''), smim tim i reltine brzine. Tu promjenu reltine brzine opisuje prirst d (slik 5.0.). N sličn nčin može se rzmotriti i promjen prijenosne brzine. Nime, pri pomku čestice iz položj P u P' zbog reltinog gibnj dolzi do promjene udljenosti čestice od pol brzin cijei O, time i do promjene prijenosne brzine z iznos d p. Prirst d p nstje zbog zkretnj ektor prijenosne brzine pri prijenosnom gibnju u promtrnom interlu dt (slik 5.0.b). Prem tome, zbroj reltinog i prijenosnog ubrznj u općem slučju ne dje psolutno ubrznje, li je uođenje oih eličin bilo neophodno zbog jednostnosti njiho izrčunnj. Nime, pri izrčunnju ubrznj r ne uzim se u obzir prijenosno gibnje cijei OA, dok se pri izrčunnju ubrznj p reltino gibnje čestice P ne uzim u obzir. Apsolutno ubrznje čestice P može se prikzti zbrojem ili r r p r dr dp p r (5.) p r dt dt r p 77

186 gdje je p r cor (5.) cor dr dp p dt ubrznje koje obuhć promjenu reltine brzine zbog prijenosnog gibnj i promjenu prijenosne brzine zbog reltinog gibnj, nzi se Corriolisoo ubrznje. Ne ulzeći u izod Corrioliso ubrznj, odje će se nesti smo končni ektorski izrz: prem kojem je ektor kutne brzine p i ektor reltine brzine r. cor p r dt r (5.3) cor jednk dostrukom ektorskom produktu iz ektor prijenosne Intenzitet tog ubrznj definirn je intenzitetom ektorskog produkt dju ektor: cor p r p r sin,. (5.4) Prc mu je okomit n ektore p i r, smjer mu se određuje prem prilu desne ruke, kko je to prikzno n slici 5.. Iz izrz (5.4) slijedi d će Corriolisoo ubrznje biti jednko nuli u sljedećim slučjeim: ) p 0 - tj. ko je prijenosno gibnje stln ili trenutn trnslcij; b) p r - ektori prijenosne kutne brzine i reltine brzine čestice su prlelni p je p r sin, 0; c) r 0 - reltin brzin čestice jednk je nuli. Slik 5.. Prc i smjer Corrioliso ubrznj: ) prikz u prostoru, b) prikz u rnini. Primjer 5.4. Disk rdijus je konstntn i iznosi R 0,4 m kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi. Brzin središt disk C 5 m s. Duž žlijeb AB disk gib se jednoliko ubrzno čestic P. U 78

187 položju prikznom n slici 5.. reltin brzin čestice P je r 3 m s, dok je njeno reltino ubrznje r 5 m s. Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje čestice P u zdnom položju. Rješenje: Slik 5.. Primjer 5.4. Apsolutn brzin. Vektor psolutne brzine čestice P dn je izrzom (5.8): p r, gdje je prijenosn brzin jednk brzini točke B n disku, koj slijedi iz jedndžbe: p B C BC pri čemu je ektor BC okomit n spojnicu BC, iznos mu je BC R 0,4,5 5 m s jer je zbog položj trenutnog pol brzin disk (točk u dodiru s podlogom) kutn brzin disk Vektor BC R 5 0,4,5 s. C prti smjer kutne brzine disk (smjer kzljke n stu). N slici 5.3. prikzni su ektori brzin čijim se zbrjnjem dobije psolutn brzin čestice P. Slik 5.3. Primjer 5.4: psolutn brzin čestice P. Projekcije brzine čestice P n osi odbrnog koordintnog sust su x BC C cos ,5 7,5 m s 79

188 y r C sin ,866 7,33 m s p je (slik 5.3.b) x y 7,5 7,33 0,49 m s, rctn( ) x rctn(7,33 7,5) 44, 34. y Apsolutno ubrznje. Vektor psolutnog ubrznj čestice P dn je izrzom (5.): p r cor gdje je prijenosno ubrznje jednko ubrznju točke B n disku, koje slijedi iz jedndžbe: p B C BC pri čemu je ubrznje središt disk C C N BC T BC Komponente ubrznj točke B u odnosu n točku C su N BC T BC R 0,4,5 6,5 m s R 0 m s jednko nuli jer je brzin C konstntn. jer je kutn brzin disk konstntn R konst. p je kutno ubrznje disk jednko nuli. Corriolisoo ubrznje dno je izrzom (5.3): po iznosu je, cor p r cor p r sin90, m/s, C jer su ektori i r međusobno okomiti. Prc ektor cor okomit je n ektore p i r, smjer mu se dobije zkretnjem z 90 od rh r u smjeru ektor. N slici 5.4. prikzni su ektori ubrznj čijim se zbrjnjem dobije psolutno ubrznje čestice P. Slik 5.4. Primjer 5.4: psolutno ubrznje čestice P. 80

189 Projekcije ubrznj čestice P n osi odbrnog koordintnog sust su x cor 75 m s, y r N BC 5 6,5 47,5 m s p je (slik 5.4.b) Primjer ,5 88,78 m s x y 75, rctn 47,5 75 3, rctn 35. y x Kolo sstljeno od dju disko, rdijus po horizontlnoj podlozi (sl. 5.5). R 0,5 m i R 0,4 m, kotrlj se bez kliznj Slik 5.5. Primjer 5.5. Duž žlijeb n obodu ećeg disk gib se čestic P konstntnom reltinom brzinom m s. U položju prikznom n slici poznt je brzin i ubrznje središt S kol. Odrediti r psolutnu brzinu i ubrznje čestice P ko je Rješenje: S m s i 8 m s. Apsolutn brzin: koristit će se osnon ektorsk jedndžb (5.8): p r. Vektor reltine brzine poznt je po intenzitetu, prcu i smjeru, dok će se ektor prijenosne brzine odrediti s pomoću izrz:, p M S M S gdje je s P oznčen točk n kolu koj se u promtrnom trenutku poklp s česticom P. Brzin središt kol je zdn, dok je ektor smjeru kutne brzine kol, intenzitet mu je: jer je PS 0,4 8 3, m s R, MS S, kko je poznto, okomit n SP i usmjeren u 8

190 R S 8s. 0,5 Slik 5.6. Primjer 5.5: psolutn brzin čestice M. Uede li se koordintni sust Pxy s ishodištem u P, kko je to prikzno n slici 5.6., bit će (slik 5.6.b): gdje je: P P P 6,,73 6,437 m s x y rctn( ) rctn(,73 6.) 5,6 Py Px Px r PS S cos60 3, 0,5 6, m s ; Py S sin 60 0,866,73 m s. Apsolutno ubrznje: Apsolutno ubrznje čestice P dno je jedndžbom (5.): P r p cor. Reltin putnj je kružn, p je zgodno reltino ubrznje izrziti preko prirodnih komponent: gdje je:, N T r r r, N r r 0 m s R 0,4 T d r r 0 m s. dt Prijenosno ubrznje jednko je ubrznju čestice M n obodu kol, koj se poklp s točkom M u promtrnom trenutku, tj.:. N T P p S P S P S 8

191 Ubrznje središt S zdno je zdtkom; normln komponent ubrznj zbog rotcije oko S je: N PS R 0,48 5,6 m s, dok je z određinje komponente potrebno poznti kutno ubrznje kol. T M S Budući d je rijedi i R S, d dt R S 3 s, jer je udljenost R čestice S od pol brzin konstntn cijelo rijeme gibnj. Sd je: T PS R 0,43,8 m s. Vektor Corrioliso ubrznj dn je izrzom (5.3):, cor p r njego intenzitet izrzom (5.4): sin,. cor p r p r Budući d je ektor prijenosne kutne brzine ektor r leži u toj rnini, bit će p r cor 8 3 m s. p okomit n rninu slike (ulzi u sliku), sin, sin 90, p je: Prc cor okomit je n prce ektor p i r, smjer mu je određen prilom desne ruke (sl. 5.7.). 83

192 Slik 5.7. Primjer 5.5: ) smjer i prc cor; b) psolutno ubrznje čestice P. N slici 5.7.b prikzne su se nedene komponente psolutnog ubrznj čestice P, p ono iznosi (slik 5.7.c): gdje je: P P x P y 6,8 60,7 63,0 m s, P P rctn rctn 60,7 6,8 74,53, y x cos60,8 80,5 6,8 m s T 0 Px PS S sin , ,6 3 60,7 m s. 0 N N Py S r PS cor Zdtk 5.5. Kdrtn ploč rotir oko osi kroz oslonc O. U ploču je urezn žlijeb AB duž kojeg se gib čestic P konstntnom reltinom brzinom r 4 m s. U položju prikznom n slici Z.5.5, kd je strnic AB ertikln, poznt je kutn brzin i kutno ubrznje ploče. Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje čestice P ko je zdno: - 4 s. - b 0,8 m, 5 s Odgoor: 6 m s, 50,03 m s. Slik Z.5.5. Zdtk Z Zdtk 5.6. Štp OA rotir konstntnom kutnom brzinom s oko oslonc O. Duž štp se istoremeno gib klizč B (sl. Z.5.6.) kojemu se udljenost od oslonc O mijenj prem zkonu: s 3 r 0, 5 0,5 t m. Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje klizč B u trenutku t s. 84

193 Odgoor:,3 m s, Zdtk 5.7. Disk rdijus središt disk je konstntn i iznosi Slik Z.5.6. Zdtk Z ,67 m s. R 0,6 m kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi. Brzin C 3 m s. Duž žlijeb AB disk gib se jednoliko čestic P. U položju prikznom n slici Z.5.7. reltin brzin čestice P je r 3 m s. Odrediti psolutnu brzinu i psolutno ubrznje čestice P u zdnom položju. Odgoor: 3 m s, 5,98 m s. Slik Z.5.7. Zdtk Z

194 6. DINAMIKA KRUTOG TIJELA 6.. DINAMIČKI MOMENTI TROMOSTI Položj središt ms, kko sust čestic tko i krutog tijel, ne krkterizir u potpunosti rspored ms sust. Nime, promotri li se gibnje jednostnog mehnizm, sstljenog od poluge CD mse m i diju čestic A i B jednkih ms m, koje su n jednkim udljenostim r od osi z, oko koje sust može rotirti (sl. 6.), uočit će se d poećnjem udljenosti r rste otpor sust promjeni stnj gibnj iko nije došlo do promjene mse ni položj središt ms. Slik 6.. Uz dinmičke momente tromosti Zključuje se d ukupn ms sust i položj centr mse nisu dosttni z opisinje ukupne tromosti sust (krutog tijel). Veličine, koje osim o msi oise i o geometrijskim sojstim tijel, nziju se skupnim imenom dinmički momenti tromosti ili inercije Aksijlni i centrifuglni moment tromosti Aksijlnim momentom tromosti nzi se sklrn eličin koj je jednk sumi umnožk ms sih čestic tijel i kdrt njihoih udljenosti od te osi: ili z homogeno tijelo: I m r i i (6.) I r dm m, (6.) gdje je s r oznčen udljenost diferencijl mse (odnosno i-te čestice) od osi (sl. 6..). Iz slike 6..b idi se d su momenti tromosti z osi prokutnog koordintnog sust: jer je x d ; I y z x dm ; z I y z m m m I x y dm (6.3) m 85

195 r y z, x r y z, x r y z. x Slik 6.. Uz definiciju dinmičkih moment tromosti Iz definicije (6.) slijedi d je jedinic moment tromosti kg m te d je ksijlni moment tromosti uijek eći od nule. Polumjerom tromosti i nzi se eličin koj podignut n kdrt i pomnožen s msom tijel dje ksijlni moment tromosti tijel z os : ili I i m I i m. (6.4) Z rzliku od ksijlnog, centrifuglni ili deijcijski moment tromosti definir se z pr osi. Centrifuglnim ili deijcijskim momentom tromosti I nzi se sklrn eličin koj je jednk sumi produkt ms sih čestic tijel i njihoih udljenosti od osi i : ili z homogeno tijelo: I m i i i (6.5) Z osi prokutnog koordintnog sust je: I dm. (6.6) m I xy xydm ; I yzdm ; I zxdm (6.7) yz m m zx m i, prem definiciji, može biti eći od nule, mnji od nule ili pk jednk nuli. 86

196 6... Momenti tromosti z prlelne osi (Steineroo prilo) Momenti tromosti nekog tijel bit će u općem slučju rzličiti z rzličite osi (ili proe osi). Ako je međutim poznt moment tromosti tijel z neku os, može se moment tromosti z neku drugu, njoj prlelnu os, dobiti jednostnim prerčunnjem bez integrirnj. Postupk je nročito jednostn u slučju d jedn od tih osi prolzi kroz centr mse tijel. Nek je poznt ksijlni moment tromosti tijel prikznog n slici 6.3. z os x kroz centr mse i nek se trži moment tromosti z njoj prlelnu os x. Prem (6.3) je: Slik 6.3. Dinmički momenti tromosti z prlelne osi x d i x I y z m dok s slike 6.3.b slijede jednkosti: Urštenjem tih jednkosti u izrz z m y y ; z z b. I x dobije se: I x y z b dm m d, m I y z m y z dm ydm b zdm b dm. m m m m Pri integrl n desnoj strni predstlj ksijlni moment tromosti tijel z os x kroz centr mse. Drugi i treći integrl su po definiciji jednki nuli jer su koordinte centr mse u sustu Oxyz jednke nuli. Treći integrl jednk je produktu iz mse tijel i kdrt udljenosti između osi x i x ( d b ). Končno je: 87

197 I I md x x. (6.8) Jednkost (6.8) izrž tz. Steineroo prilo koje glsi: Moment tromosti z neku os jednk je zbroju moment tromosti z njoj prlelnu os koj prolzi kroz centr mse tijel i umnošk mse tijel i kdrt udljenosti između tih prlelnih osi Momenti tromosti složenih tijel Momenti tromosti rzličitih tijel prem jednoj te istoj osi mogu se zbrjti lgebrski: I x I. (6.9) ix To prilo olkš izrčunnje moment tromosti složenih tijel, koje je u geometrijskom smislu sstljeno iz nekoliko jednostnih oblik pozntih moment tromosti. Obično su poznti momenti tromosti pojedinih dijelo tijel z osi kroz njiho lstit težišt. Primjenom Steinero pril morju se ti momenti prerčunti z promtrnu os i tek ztim zbrjti. 6.. DINAMIKA RAVNINSKOG GIBANJA KRUTOG TIJELA 6... Aksijlni momenti tromosti nekih homogenih tijel 6... Tnki homogeni štp Odredit će se ksijlni moment tromosti tnkog štp AB duljine l i mse m (sl. 6.4). Slik 6.4. Tnki homogeni štp Nek je točk A ujedno i ishodište koordintnog sust Oxyz. Moment tromosti štp z os Az, prem (6.3) je: IA z x y dm m. Budući d se poprečne dimenzije štp mogu znemriti, bit će z ski djelić mse y 0. Diferencijl mse dm dn je izrzom: p gornji integrl prelzi u m dm dx l 88

198 l 3 l m x m IA z x dx ml l. (6.0) l Moment tromosti štp z os z kroz centr mse dobije se primjenom Steinero pril, prem kojem je: 6... Tnki kružni prsten l IC z IA z m ml. (6.) Slik 6.5. Tnki kružni prsten N slici 6.5 prikzn je tnki homogeni kružni prsten mse m i polumjer R. Odje će se odrediti moment tromosti prsten z os z kroz centr mse C prsten. Kko su si elementrni djelići prsten n jednkoj udljenosti r R od osi Cz, to je prem 6.:. (6.) m m IC z r dm R dm mr Kružn ploč Odredit će se moment tromosti kružne ploče z os z koj prolzi njenim centrom mse i okomit je n rninu ploče (sl. 6.6.). Slik 6.6: ) kružn ploč; b) ljk. 89

199 U tu srhu uočit će se elementrni prsten polumjer r i debljine dr, poršin kojeg je da rdr. Ms tog elementrnog dijel iznosi: m m dm da rdr rdr, R R gdje je m/ A - ms po jedinici poršine ploče. Dlje je: 4 R m 3 m r Cz d d R R 4 m m 0. (6.3) I r m r r mr Identičn izrz dobio bi se pri određinju moment tromosti ljk mse m i polumjer R z os z koj se poklp s njegoom uzdužnom osi (sl. 6.6.b) Prokutn ploč Tnk homogen prokutn ploč mse m, s strnicm i b, prikzn je n slici 6.7. Slik 6.7. Prokutn ploč Pri određinju moment tromosti z os z kroz centr mse koristit će se postupk sličn onomu koji je primijenjen z tnki štp. Moment tromosti ploče z os Az, koj prolzi kroz jedn rh i okomit je n rninu ploče, bit će: m m IA z x y m x y A x y A x x y y b b d d d d d, m A A gdje je m/ A ms ploče po jedinici poršine, da dxdy Integrirnjem gornjeg izrz dobije se: I m b 3 b 0 0 elementrn poršin. Az. (6.4) Primjenom Steinero pril dobije se izrz z moment tromosti ploče z os z kroz centr mse: 90

200 ili končno: Primjer 6.. b IC z IA z mac IA z m m b m b 3 4 I m b Cz. (6.5) Potrebno je odrediti moment tromosti ploče oblik četrtine krug polumjer R (sl. 6.8) z os z koj prolzi centrom mse ploče i okomit je n rninu slike. Ms ploče je m. Rješenje: Slik 6.8. Primjer 6.. Pretpostit će se, rdi općenitosti, d je ploč oblik kružnog isječk i ršnog kut (sl. 6.9). Slik 6.9. Ploč oblik kružnog isječk ršnog kut α Njprije će se, rdi jednostnosti, odrediti moment tromosti ploče z os z kroz točku S. Diferencijl mse ploče jednk je umnošku iz diferencijl poršine ploče da i mse ploče po jedinici poršine : m dm da rdr, R 9

201 gdje je r dr elementrn poršin. Urštenjem u izrz (3.) dobije se: R 4 R m 3 m r Az d d R R 4 m 0 0, I r m r r mr odkle je idljio d moment tromosti homogene ploče oblik kružnog isječk, z os kroz središte zkriljenosti, ne oisi o eličini ršnog kut. Moment tromosti z os kroz centr mse dobit će se primjenom Steinero pril, pri čemu je udljenost promtrnih osi (uz /4): Sd je: sin 4 SC R R IC z IA z msc mr 0,4mR. 9 Primjer 6.. Odrediti moment tromosti z os z koj prolzi centrom mse tnke homogene ploče oblik prikznog n slici 6.0. Koliki je rdijus inercije ploče z tu os? Ukupn ms ploče je m. Slik 6.0. Primjer 6.. Rješenje: Zdn ploč može se podijeliti n d jednostn dijel, prokutnik i četrtinu krug, čiji su momenti tromosti rnije određeni (moguće ih je nći i u tblicm priručnik). Mse prokutnog i kružnog dijel ploče odnose se ko njihoe poršine, jednke su produktu iz odgorjuće poršine i mse ploče po jedinici poršine m/ A : gdje je: m m mp Ap Ap m ; mk Ak Ak m, A A A p R - poršin prokutnog dijel k A R π - poršin kružnog dijel 9

202 AR π - ukupn poršin ploče. Koordinte centr mse ploče dobiju se s pomoću pozntih izrz z težište: Ax i i Ap xp Ak xk R; xc,34 A A gdje je: Ay i i Ap yp Ak yk R, yc,09 A A x 0,5 R; y R; x,849 R; y,5r. Prem izrzu (6.9) bit će: gdje je: Momenti tromosti p p k k I I I mr, cz czp czk 0,94 I cz - trženi moment tromosti I cp z - moment tromosti prokutnog dijel z os Cz I ck z - moment tromosti kružnog dijel z os Cz. Cp z I i I Ck z određeni su primjenom Steinero pril, s tim d je pri određinju I Ck z to prilo korišteno dput: czp p p I I ŠD 0,6mR 0, 67mR 0, 49mR ; czk k k I I ŠD 0,34mR 0,7mR 0,53mR, gdje je I p moment tromosti prokutnog dijel z lstito težište: I p mp R 4R 0,6mR, ŠD p je Steinero dodtk z prokutni dio: ŠDp m p xc xp yc y p 0, 67mR I k je moment tromosti kružnog dijel z lstito težište: dok je 3 Ik I m ŠK kdk mk 4R mk 4R 0,559m kr 0,34mR, 9 ŠD k Steinero dodtk z kružni dio: ; 93

203 ŠD 0,7 k mk xc xk yc yk mr Rdijus tromosti rzmtrne ploče z os z kroz centr mse dobije se prem (6.4):. i z ICz 0,94 m R 0, 97 R. m m Zdtk 6.. Rdijus tromosti tijel mse mse je i z m 0 kg z os z koj prolzi njegoim centrom, m. Odrediti moment tromosti tog tijel z os z koj je prleln s osi z, od nje je udljen z 0,6 m. Odgoor: z 8 kg m I. Zdtk 6.. Odrediti moment tromosti homogene ploče mse njenim centrom mse. Ploč je oblik kdrt strnice r 0,5 m (sl. Z.6.). Koliki je polumjer inercije ploče? m 0 kg z os z koj prolzi b m iz koje je izrezn krug rdijus Odgoor: I,998 kg m, i 0,447 m. z z Slik Z.6.. Zdtk Z.6.. Zdtk 6.3. Tijelo je sstljeno od dju homogenih štpo OA i BC jednke duljine l m i ms m kg i m 6 kg koji su črsto ezni u točki A (sl. Z.6.3). Odrediti moment tromosti tijel z os z koj prolzi točkom O okomito n rninu slike. Slik Z.6.3. Zdtk Z

204 Odgoor: I zo 0,5 kg m. Zdtk 6.4. Z krj štp OA mse m 4 kg i duljine l m črsto je ezn čestic mse m 3 kg (sl. Z.6.4). Odrediti moment tromosti tijel z os zo kroz oslonc O i z os z koj prolzi centrom mse zdnog tijel. Slik Z.6.4. Zdtk Z.6.4. Odgoor: I zo kg m, I zc,667 kg m Diferencijlne jedndžbe gibnj Ako n kruto tijelo djeluje proizoljni rninski sust sil F, F,..., F i,... F n (slik 6..), td se tj sust sil može reducirti n proizoljno odbrnu točku A pri čemu se dobije jedn sil (rezultnt zdnog sust) i jedn spreg sil kojemu je moment jednk lgebrskoj sumi moment zdnih sil z točku A. Slik 6.. Rninski sust sil: ) zdni sust sil; b) sust reducirn n centr mse. Ako se rzmtrni sust sil reducir n centr mse C, td je (slik 6..b): F R Fi M R C M (6.6) Fi C odnosno F F Rx Ry F ix F (6.7) iy M R C M. Fi C 95

205 Kko je poznto iz kinemtike rninskog gibnj krutog tijel, sko gibnje tijel moguće je prikzti ko zbroj dju elementrnih gibnj: jedne trnslcije s kinemtičkim krkteristikm točke odbrne z pol i jedne rotcije oko tog pol. Slik 6.. Ubrznje i-tog djelić mse Ako se, rdi jednostnijeg izođenj, z pol odbere točk centr mse C z koju je ezn koordintni sust Cxy (sl. 6..), ubrznje i-tog djelić mse bit će (sl. 6..b): gdje je Uzimjući u obzir d je te d je, N T i C ic ic r ; r. N T ic i ic r cos ; r sin ; r sin ; r cos N N T T icx i icy i icx i icy i cos x / r; sin y / r, i i i i bit će projekcije ubrznj i-tog djelić mse n koordintne osi: ix Cx i i iy Cy i i i x y ; y x. (6.8) Dkle, ko je promtrno kruto tijelo mse m s centrom mse u točki C podijeljeno n n elementrnih djelić mse gdje je mi, osnon jedndžb dinmike z i-ti djelić mse glsit će: mi i Fi Si, (6.9) Fi rezultnt sih njskih sil koje djeluju n tj djelić mse, Si unutrnjih sil koje n njeg djeluju. Jedndžb (6.9) projicirn n osi koordintnog sust glsi: mi i x Fi x Si x, mi i y Fi y Si y rezultnt sih. (6.0) 96

206 Urštnjem (6.8) u (6.0) i sumirnjem po sim česticm dobije se: ili zbog sojst unutrnjih sil: mi Cx xi yi Fi x Si x, m y x F S i Cy i i iy iy mi Cx xi yi FR x; y mi C yi xi FR y, (6.) gdje je F R glni ektor sih njskih sil koje djeluju n promtrno tijelo. Sum n lijeoj strni prog od izrz (6.) može se prikzti u obliku: mi Cx x i y i C xmi xim i yimi, gdje je sum u prom člnu n desnoj strni ukupn ms tijel m, dok su sume u drugom i trećem člnu koordinte centr mse u sustu s ishodištem upro u centru mse, dkle jednke nuli. N isti se nčin može rzmotriti sum n lijeoj strni drugog od izrz (6.). Izrzi (6.) postju: ili m F, m F (6.) Cx Rx Cy Ry m C F. (6.3) Vektorskim množenjem jednkosti (6.9) ektorom r s lijee strne i sumirnjem po sim česticm tijel dobije se: r i m i i r F r S i i i i. Pri čln n desnoj strni gornje jedndžbe jest glni ektor moment sih njskih sil z točku C, zbog sojst unutrnjih sil drugi je jednk nuli. Urštenjem izrz z ubrznje i-te čestice dobije se: Nkon rzijnj sume n lijeoj strni slijedi: N T R r i m i C M ic ic C. R r N T R i m i C m r m r M i i ic i i ic C. (6.4) Pri je čln n lijeoj strni jednk nuli jer je mi ri mrc, rc 0, dok je drugi čln n lijeoj strni jedndžbe (6.4) jednk nuli jer su ektori r i i N ic kolinerni. 97

207 Kko ektori r i, F i, C i projekciju smo n os z. S obzirom n to d je Budući d je prem definiciji T ic leže u istoj rnini, to će odgorjući ektorski produkti imti T ic r i r i i R mi ri ri mi ri MC. mi ri ICz te I Cz R C T ic, končno je:, rijedi: M. (6.5) Izrzi (6.3) i (6.5) predstljju diferencijlne jedndžbe rninskog gibnj krutog tijel: I m Cz C F R M R C (6.6) ili I mx my Cz C C F Rx F (6.7) Ry M. Jedndžbe (6.7) predstljju diferencijlne jedndžbe rninskog gibnj krutog tijel u nlitičkom obliku. Integrirnjem tih jedndžb dobiju se x C, y C i ko funkcije remen, time je određen i zkon gibnj tijel. Očito je d su se pre dije od jedndžb (6.7) mogle dobiti izrno iz zkon o gibnju centr mse sust čestic. Iz treće od jedndžb (6.7) slijedi d će kruto tijelo ršiti trnsltorno gibnje smo td kd R prc rezultnte njskih sil prolzi upro centrom mse tijel MC 0. Ako tijelo rši rotciju oko osi z kroz točku C, iz (6.7) slijedi diferencijln jedndžb rotcije krutog tijel oko nepomične osi: I Cz R C M, ko tijelo rši rotciju oko osi z kroz točku A, može se pokzti d će diferencijln jedndžb rotcije krutog tijel oko nepomične osi biti: I Az R C M. (6.8) R A D'Almberto princip Ako se u jedndžbm rninskog gibnj (6.6) člnoi s lijee strne prebce n desnu, dobit će se: F M R mc 0 R C IC z 0 98

208 ili uođenjem oznk Fin m i Min ICz : C F M R Fin 0 R C Min 0 te projicirnjem n osi prokutnog koordintnog sust: F Rx Fin x 0 (6.9) F M Ry Fin y 0 (6.30) R C Min 0. Jedndžbe (6.9) odnosno (6.30) izržju D'Almberto princip z kruto tijelo, prem kojem je moguće zdtke rninskog gibnj krutog tijel rješti principim sttike ko se njskim silm dod inercijsk sil F in suprotn ektoru ubrznj centr mse i inercijski moment suprotn smjeru kutnog ubrznj ε tijel. Primjer 6.3. Biciklist mse m 70 kg nglo zustlj bicikl mse m 8 kg. Odrediti njeće usporenje koje biciklist može ostriti p d ne dođe do prertnj preko prednjeg kotč. Centr mse biciklist je u točki C, bicikl u točki C (slik 6.3). M in Rješenje: Slik 6.3. Primjer 6.3. Sust biciklist-bicikl oslobođen ez, s ucrtnim njskim ktinim silm, rekcijm ez i inercijskim silm, prikzn je n slici 6.4. Sum moment sih sil u odnosu n točku A mor biti jednk nuli: F M i m g,7 m g 0,5 F, F 0,7 F,5 0. A 0 in in NB Sust će se početi prertti preko prednjeg kotč (oko točke A n slici) u trenutku kd normln rekcij u osloncu B postne jednk nuli, p se gornj jedndžb može npisti u obliku: 99

209 F A M i m g 0,7 mg 0,5 m, m 0,7 0, Slik 6.4. Dinmičk rnotež biciklist i bicikl odkle je m, m 0,7 g m 0,7 m 0,5 m 0,7 m 0,5 700,7 80,5 g 9,8 5,89. m, m 0,7 70, 80,7 s m Primjer 6.4. Vljk polumjer R i mse m kotrlj se bez kliznj niz kosinu ngib (slik 6.5). Odrediti kutno ubrznje ljk i minimlni koeficijent trenj potrebn d ne nstupi kliznje. Slik 6.5. Primjer 6.4. Rješenje: Odbere li se koordintni sust prem slici 6.6, bit će diferencijlne jedndžbe gibnj ljk: F 0: mxc mg sin F x T () F 0: myc FN mg cos y () MC 0: IC z FT R. (3) 00

210 Slik 6.6. Dinmičk rnotež ljk Budući d centr mse ljk rši procrtno gibnje duž osi x, bit će yc 0, odnosno F mg cos. N Iz ujet kotrljnj bez kliznj slijedi dodtn kinemtičk ez xc sile trenj iz jedndžb () i (c) dobije: ili Cz I m g sin R mg sin g sin, I mr 3R Cz gdje je I odje je konstntn eličin i nije oisno o msi smog ljk. R, p se elimincijom Cz mr moment inercije ljk z os z kroz centr mse. Kutno ubrznje ljk Iz jedndžbe (c) slijedi sil trenj: F T I R Cz mg sin. Kliznje neće nstupiti ko je ispunjen ujet: odkle je: F F F, T Tmx N F F T. N tn 3 Ako bi koeficijent trenj μ bio mnji od odje dobiene eličine, ljk bi se niz kosinu kotrljo s kliznjem, td ne bi rijedil kinemtičk ez xc R. Kutno ubrznje ljk ostlo bi u tom slučju nepromijenjeno, dok bi se ubrznje centr mse ljk x izrčunlo iz jedndžbe C () pri čemu bi n mjesto F T došl grničn rijednost sile trenj F. Tmx 0

211 Primjer 6.5. Prokutn ploč mse m ezn je z podlogu cilindričnim zglobom u A i užetom u B (sl. 6.7.). Odrediti rekciju u zglobu A u trenutku kd pukne uže BD. Zdno: m 0 kg, 0,8 m, b 0,6 m. Rješenje: Slik 6.7: ) primjer 6.5, b) ploč oslobođen ez. U trenutku kidnj užet u B kutn brzin ploče bit će jednk nuli, dok će kutno ubrznje biti rzličito od nule. N slici 6.7.b prikzn je ploč oslobođen eze u A. N ploču osim lstite težine i rekcije eze u A djeluje i inercijsk sil suprotn smjeru tngencijlnog ubrznj: F in m T m AC te spreg inercijskih sil u odnosu n centr mse (suprotno smjeru ) moment: M in I zc, p se mogu npisti jedndžbe dinmičke rnoteže ploče: gdje je: F F x y 0 : F F sin 0 Ax in 0 : F mg F cos 0 Ay M A 0 : mg Fin AC M in 0, in OA 0,4 0,3 0,5 m b 0,6 tn 0,75, p je 36, 87 0,8 Fin mt m AC 0, 5m 0

212 jer je M in I zc m, b m0,8 0,6 m I zc m. Jedndžbe dinmičke rnoteže sd su: Fx 0: FAx 0,5m sin 36,87 0 () Fy 0: FAy mg 0,5m cos 36,87 0 () M A 0 : 0,4mg 0,5m m 0. (3) Iz jedndžbe (3), nkon množenj s i dijeljenj s m, dobije se 4,8 4 g, 9,8,77 s nkon čeg iz jedndžb () i () slijedi: F Ax F Ay 0,5m sin 36,87 0,5 0,77sin 36,87 70,63 N mg 0,5m cos 36,87 09,8 0,5 0,77 cos 36,87 0,0 N. Sd je F F 70,63 0,0 4, N F. A Ax Ay Zdtk 6.5. Putnički zrkoplo ukupne mse od 50 ton slijeće n pistu brzinom 0 50 m s. Usporjući se jednoliko zrkoplo se zusti n udljenosti od 500 metr od početk kočenj. Odrediti normlne rekcije podloge n prednje odnosno stržnje kotče zrkoplo (sl. Z.6.5). Slik Z.6.5. Zdtk Z.6.5. Odgoor: 6 6 F 0,330 N, F,40 N. NP NZ 03

213 Zdtk 6.6. N disk mse m 0 kg i polumjer R 0,3 m nmotno je uže n čijem drugom krju isi čestic A mse m 5 kg. Sust je pridržn u stnju mironj u položju prikznom n slici Z.6.6. Odrediti brzinu čestice A 4 sekunde nkon puštnj iz stnj mironj. Kolik je sil u užetu? Slik Z.6.6. Zdtk Z.6.6. Odgoor: 4 3,08 m s, S 3,7 N. Zdtk 6.7. N prsten mse m 50 kg i polumjer R 0,5 m djeluje spreg sil moment M 50 N m (sl. Z.6.7.). Prsten se po horizontlnoj podlozi može kotrljti bez kliznj. Koliko je kutno ubrznje prsten, kolik sil trenj između prsten i podloge koj osigur d ne nstupi kliznje? Odgoor: s, F 50 N. T Slik Z.6.7. Zdtk Z.6.7. Zdtk 6.8. Homogen kdrtn ploč mse m 5 kg i strnice b 0,5 m ezn je zglobom O z podlogu (sl. Z.6.8). U točki A ploče črsto je ezn čestic mse m kg, koj je užetom AB ezn z strop. Odrediti rekciju u osloncu O koj će se pojiti u trenutku pucnj užet. Slik Z.6.8. Zdtk Z

214 Odgoor: F 40,3 N. O Zdtk 6.9. Štp mse m 00 kg i duljine l m ezn je zglobom O z podlogu, dok se u točki A oslnj n horizontlnu prepreku (sl. Z.6.9). U jednom je trenutku uklonjen preprek u A. Odrediti kutno ubrznje štp i rekciju u osloncu O u tom trenutku. Odgoor: 5,03 s, F 75 N Impuls sile. Količin gibnj O Slik Z.6.9. Zdtk Z.6.9. Kruto tijelo predstlj, u dinmičkom smislu, beskončno mnogo kruto poeznih čestic elementrne mse dm. Stog će ektor količine gibnj krutog tijel biti: d. C (6.3) m B m m Ukupni impuls sile jednk je sumi impuls sih njskih sil koje n tijelo djeluju: id Rd. (6.3) I F t F t Nime, zbog sojst unutrnjih sil sum impuls unutrnjih sil jednk je nuli Zkon o promjeni količine gibnj Deriirnjem jedndžbe (6.3) po remenu dobije se: d dt d, (6.33) dt B m C m C F R odnosno pr dericij količine gibnj krutog tijel po remenu jednk je glnom ektoru sih njskih sil koje n tijelo djeluju Zkon o prirstu količine gibnj Množenjem jedndžbe (6.33) s dt i integrirnjem dobije se: B B F dt I. (6.34) R Jedndžb (3.34) izrž zkon o prirstu količine gibnj koji glsi: Prirst ektor količine gibnj u nekom remenskom interlu jednk je ukupnom impulsu njskih sil u tom istom remenskom interlu. 05

215 Projicirnjem ektorske jedndžbe (6.34) n osi prokutnog koordintnog sust dobije se: B B I x x x B B I (6.35) y y y B B I. z z z Zkon o održnju količine gibnj Ako je glni ektor sih njskih sil jednk nuli, jedndžb (6.33) postje: ili db 0 dt B konst., (6.36) tj. ektor količine gibnj krutog tijel neće se promijeniti ko je glni ektor njskih sil jednk nuli. S obzirom n teorem o projekciji dericije ektor oj se zkon može primijeniti i u slučju d je projekcij glnog ektor sil n neku od osi koordintnog sust jednk nuli. Ako je npr. Fr x 0, bit će: Kinetičk energij Kinetičk energij djelić mse gibnje, iznosi: B 0. x mi krutog tijel prikznog n slici 6.8, koje rši rninsko E m. ki i i Slik 6.8. Kinetičk energij djelić mse pri rninskom gibnju Kko je poznto iz kinemtike, sko se rninsko gibnje može prikzti ko zbroj jednog trnsltornog i jednog rotcijskog gibnj. 06

216 Uzme li se pri tom z pol trenutni pol brzin tijel, brzin i-tog djelić bit će: jer je po definiciji P 0, p je: i P ip ip, i i i i i cos0 i ip i r. Ukupn kinetičk energij tijel jednk je sumi kinetičkih energij sih djelić tijel: gdje je po definiciji sum: Ek Eki mi ri mi ri, m r I i i Pz jednk momentu tromosti mse z os z kroz trenutni pol brzin. Končno je: E I k, (6.37) Pz tj. kinetičk energij krutog tijel jednk je poloini umnošk moment inercije tijel z os z kroz trenutni pol brzin i kdrt kutne brzine tijel. U općem slučju rninskog gibnj položj trenutnog pol brzin se mijenj, p bi moment inercije I treblo izrčunti z određene položje tijel. Međutim, primjenom Steinero Pz pril može se dobiti još jedn izrz z izrčunnje kinetičke energije krutog tijel pri rninskom gibnju. Kko je prem Steinerou prilu: bit će: I I m CP, Pz Cz Ek mcp IC z te končno zbog C CP : Ek mc IC. (6.38) z Iz jedndžbe (6.38) slijedi: kinetičk energij krutog tijel pri rninskom gibnju jednk je zbroju kinetičke energije trnslcije brzinom centr mse i kinetičke energije rotcije oko centr mse. I odje će rijediti zkon o prirstu kinetičke energije: E E W, tj. prirst kinetičke energije jednk je rdu njskih sil. k k 07

217 Rd spreg sil Nek n kruto tijelo djeluje spreg sil F, F moment M F h, kko je to prikzno n slici 6.9, i nek promtrno kruto tijelo rotir oko osi kroz točku 0. Diferencijl rd spreg sil je: dw Fds Fds. Kko je d Slik 6.9. Rd spreg sil s h d i ds d, slijedi: što nkon integrirnj dje: dw Fhd Md, W Md. (6.39) Iz jedndžbe (6.39) slijedi d će rd spreg sil u slučju trnsltornog gibnj biti jednk nuli (jer je td d 0). Sng, dn izrzom (3.5), sd se može pisti i u obliku: Primjer 6.6. dw P dt Md M. (6.40) dt Kolo mse m i polumjer R kotrlj se bez kliznj po horizontlnoj podlozi pod djelonjem spreg sil konstntnog moment M (sl. 6.8). Odrediti kutnu brzinu kol u trenutku kd mu centr mse preli put s. U početnom trenutku kutn brzin kol bil je 0. Koliko je kutno ubrznje kol? Zdno: R ; s ; m ; M ; 0. Slik 6.0. Primjer

218 Rješenje: Zdtk će se riješiti s pomoću zkon o prirstu kinetičke energije: gdje je: E E W, () k k0 3 E I mr 4 k Pz - kinetičk energij u promtrnom trenutku; 3 Ek0 IP z0 mr - kinetičk energij u početnom trenutku; 0 4 I I mr Pz Cz - moment inercije kol z os kroz trenutni pol brzin; s W M M - rd njskih sil. R Rd njskih sil jednk je rdu moment M jer je rd sile trenj pri kotrljnju jednk nuli: s W Md M d M M R, pri čemu je kut određen iz ujet kotrljnj bez kliznj iz kojeg proizlzi jednkost: s R. Urštnjem dobienih rijednosti u početnu jedndžbu () slijedi: 4Ms 0, (b) 3 3mR 4Ms mR Deriirnjem izrz (b) po remenu dobije se: Budući d je d 4M ds. dt 3mR dt bit će: d ds, te C R, dt dt Primjer 6.7. M. 3mR Tijelo prikzno n slici sstljeno je iz štp duljine R i mse 3m te kružnog disk rdijus R i mse m. 09

219 Slik 6.. Primjer 6.7. Odrediti kutnu brzinu tijel u trenutku kd, nkon puštnj iz stnj mironj (položj n slici 6.), štp prođe kroz ertiklni položj. Zdno: R 0,4 m. Rješenje: Primijenit će se zkon o promjeni kinetičke energije: E E W, () k k0 pri čemu je kinetičk energij n početku gibnj Ek0 0. Budući d je točk O stlni pol brzin prikznog tijel, kinetičk energij prem izrzu (6.36): E odredit će se k Ek IP z IO z, (b) gdje je I moment tromosti tijel z točku O, i jednk je: Oz š d 7 IO z IOz IOz 4mR 9,5mR mr, š d gdje je I moment tromosti štp, Oz I moment tromosti disk z točku O: Oz š d gdje su I i Vz š š š IOz IVz ŠD 3m R 3mR 4mR ; d d d 9 IOz IVz ŠD mr m 3R mr ; I lstiti momenti tromosti štp, odnosno disk, dok su Vz dodtci z moment tromosti u odnosu n točku O. Rd njskih sil je: W W W 6mgR, š G d G pri čemu su pojedini rdoi: W 3mgR, š G š ŠD i d ŠD Steineroi 0

220 W d G 3mgR. Urštnjem dobienih rijednosti u () dobije se: 7 4 te nkon sređinj: Primjer 6.8. mr 6mgR 4 g 4 9,8 7 R 7 0, 4 4,67 s. Štp mse m i duljine l pridrž se u stnju mironj u položju prikznom n slici 6.. O točku B štp ezn je oprug konstnte krutosti c koj je u prikznom položju nerstegnut. Oprug je drugim krjem ezn z horizontlni klizč C. Odrediti, znemrujući trenje, kutnu brzinu štp pri njegou prolsku kroz njniži položj. Zdno: m 60 kg, l m, c 500 N m. Rješenje: Slik 6.. Primjer 6.8. Primijenit će se zkon o promjeni kinetičke energije: E E W () k k0 pri čemu je kinetičk energij n početku gibnj Ek0 0. Kinetičk energij štp pri prolzu kroz ertiklni položj (6.36): E odredit će se prem izrzu k 60 Ek IP z IO z ml 0, 6 6 gdje je I moment tromosti štp z točku O: Oz I 3 Oz ml. Rd njskih sil je zbroj rdo težine štp i sile u opruzi (sl. 6.3): W WG WO 94,3 40,6 53,7 N m, pri čemu su pojedini rdoi:

221 W G l mg 609,8 0,5 94,3 N m c c c l O W x x x 0,75 40,6 N m. 4 Slik 6.3. Prolz štp kroz njniži položj Urštnjem dobienih rijednosti u () dobije se: odkle je: 0 53, 7, 53,7 0 3,9 s. Zdtk 6.0. D bubnj rdijus tijelo ukupne mse mse R 0,4 m i r 0,3 m međusobno su poezn u jedno m 80 kg. N mnji je bubnj nmotno uže n čijem krju isi teret A m 30 kg, n eći uže n čijem krju isi teret B mse m 40 3 kg. Sust je u početnom trenutku miroo. Slik Z.6.0. Zdtk Z.6.0.

222 Odrediti brzinu teret A u trenutku kd se teret B spusti z metr iz početnog položj (sl. Z.6.0) ko je polumjer inercije tijel koji čine eći i mnji bubnj z os kroz točku O i 0,3 m. zo Odgoor: A,377 m s. Zdtk 6.. Disk mse m i polumjer R ezn je zglobom O z zid, zglobom A z oprugu konstnte krutosti c. U početnom trenutku sust je miroo, oprug je bil nerstegnut (sl. Z.6.). Slik Z.6.. Zdtk Z.6.. Odrediti krutost opruge ko je u položju kd je spojnic OA ertikln kutn brzin disk jednk nuli. Zdno: m 5 kg, R 0,5 m. Odgoor: c 3, N m. Zdtk 6.. Odrediti kutnu brzinu disk oblik kružnog prsten (sl. Z.6.) u položju kd je 90 ko je u položju 0 kutn brzin disk bil 5. Vnjski polumjer 0 disk je R 0,6 m, unutrnji r 0,5 m. 0 s - Odgoor: 3,9. s Slik Z.6.. Zdtk Z.6.. Zdtk 6.3. Štp mse m 0 kg i duljine l, m n koji je črsto ezn čestic A mse m kg pridrž se u stnju mironj u položju prikznom n slici Z.6.3. Odrediti brzinu čestice A pri njezinu prolzu kroz njniži položj. 3

223 Slik Z.6.3. Zdtk Z.6.3. Odgoor: A 6,808 m s. Zdtk 6.4. Disk mse m 0 kg i polumjer R 0,4 m može se kotrljti bez kliznj po horizontlnoj podlozi. O središte A disk ezno je uže koje je prebčeno preko dju koloturnik (I i II) znemriih ms, te ezno z strop u O (sl. Z.6.4). Z središte koloturnik II ezno je drugo uže n čijem krju isi teret B mse m 8 kg. Odrediti kutnu brzinu disk u trenutku kd se teret B spusti z metr ko je sust u početku miroo. Slik Z.6.4. Zdtk Z.6.4. Odgoor: 7,83 s. 4

224 6..6. Moment količine gibnj N slici 6.4 prikzno je kruto tijelo mse m koje rši rotciju oko nepomične osi z. Slik 6.4. Moment količine gibnj z točku Količin gibnj elementrne čestice mse dm iznosi: moment količine gibnj z točku O: Integrcijom po ukupnoj msi tijel dobije se: db dm r dm, dk r db r r dm. O KO r r dm. (6.4) m Slik 6.5. Moment količine gibnj z os Z proučnje rninskog gibnj krutog tijel od prktičnog je znčj projekcij moment količine gibnj n os rotcije. Tko je, prem slici 6.5, moment količine gibnj elementrne čestice mse dm z os z : dk dm r r dm. Az 5

225 Nkon integrirnj po cjelokupnoj msi tijel dobije se projekcij moment količine gibnj n os z kroz točku A: Az d Az, (6.4) m K r m I tj. projekcij moment količine gibnj n os rotcije jednk je umnošku iz moment inercije promtrnog tijel z tu os i kutne brzine ω Zkon o promjeni moment količine gibnj z os Deriirnjem po remenu jedndžbe (6.4) dobije se: dk dt Az d IAz IAz, dt pri čemu je izrz n desnoj strni, prem (6.7), jednk momentu sih njskih sil z os rotcije. Končno je: dk dt Az R A M. (6.43) Jedndžb (6.43) izrž zkon o promjeni moment količine gibnj koji glsi: Pr dericij moment količine gibnj z os po remenu jednk je projekciji glnog ektor moment njskih sil z tu os Zkon o održnju moment količine gibnj z os Ako je projekcij glnog ektor moment n neku os jednk nuli, td je moment količine gibnj z tu os konstntn eličin. Zbog R M 0 bit će odnosno: Primjer 6.9. dk dt Oz Oz 0, K konst. Štp mse m i duljine l črsto je ezn z osoinu koj rotir oko ertiklne osi kutnom brzinom ω. N štpu su smještene čestice D i E jednkih ms m (sl. 6.6). Slik 6.6. Primjer

226 Nkon ispuštnj iz početnog položj čestice se zuste n krjeim štp AB. Odrediti kutnu brzinu sust u tom položju čestic. Kolik je promjen kinetičke energije sust? Zdno: m ; l ; ω. Rješenje: R Budući d je moment sih njskih sil z os z jednk nuli M z 0, primijenit će se zkon o održnju moment količine gibnj z os, p je: gdje je: Iz jednkosti () slijedi: I I konst, () z z. l 0 Iz ml m ml 8 Iz m l ml ml. Iz 5. I 4 z Promjen kinetičke energije iznosi: gdje je: Ek Ek Ek ml ml ml, Ek Iz ml, 5 Ek Iz ml. 68 7

227 8

228 7. ODABRANA POGLAVLJA DINAMIKE 7.. VIBRACIJE S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE Teorij ibrcij (oscilcij s mlom mplitudom) predstlj osnou čitog niz područj u fizici (mehnik, kustik, rdiotehnik, ). Iko su rzličite fizičke prirode, ipk se pokorju istim osnonim zkonim. Stog je izučnje mehničkih ibrcij korisno ne smo zbog žnosti mjest koje zuzimju u tehnici nego i zbog lkšeg i boljeg rzumijenj tkih poj u drugim područjim Slobodne hrmonijske ibrcije Promotrit će se gibnje čestice mse m po gltkoj horizontlnoj podlozi. Nek je čestic z zid ezn oprugom konstntne krutosti c, kko je to prikzno n slici 7.. Slik 7.. Slobodne hrmonijske ibrcije Čestic se gib pod djelonjem elstične sile u opruzi, koj je proporcionln produljenju opruge. Produljenjem opruge x nzi se rzlik trenutčne duljine opruge i njene duljine u neopterećenom stnju x l l0. Sil u opruzi je: Fo Diferencijln jedndžb gibnj čestice glsi: što se može npisti i u obliku: gdje je: konstnt koj ne oisi o ujetim gibnj. cx. (7.) mx Fo cx, x x 0, (7.) c m Diferencijln jedndžb (7.) jest homogen diferencijln jedndžb drugog red s konstntnim koeficijentim i zoe se diferencijln jedndžb slobodnih hrmonijskih ibrcij. 9

229 Rješenje oe jedndžbe je: gdje su C i C konstnte integrcije. Rješenje (7.3) može se prikzti i u obliku: x C sint C cost, (7.3) x Asint (7.4) ko se umjesto konstnt integrcije C i C uedu noe, A i, tko d rijedi: C Acos ; C Asin. Deriirnjem jedndžbe (7.4) po remenu dobije se brzin čestic: x A cost. (7.5) x Vibrcije koje rši čestic prem zkonu (7.4) nziju se slobodne hrmonijske ibrcije. Kinemtičke krkteristike tk gibnj dne su u dijelu Kinemtik čestice u primjeru.9 (str. 55) z kut 0. Konstnt A nzi se mplitud ibrcij, eličin t zoe se fz ibrcij. Veličin nzi se lstit kružn frekencij ibrcij, remenski interl T, z koji točk ponono dođe u početni položj, jest period ibrcij. Z jedn period ibrcij fz se promijeni z, tj. T, odnosno: T. (7.6) Veličin f, koj je jednk recipročnoj rijednosti period ibrcij, nzi se frekencij ibrcij: f. (7.7) T Konstnte integrcije A i određuju se iz početnih ujet. Nek su početni ujeti z x x0 x x. Iz jedndžb (7.4) i (7.5) dobije se: i 0 x0 x0 0 ; tn x0 A x. (7.8) 7... Prigušene ibrcije Odje će se proučiti utjecj iskoznog prigušič n ibrcije, kko je to prikzno modelom n slici 7.. Pretpostit će se tkođer d je sil otpor prigušič proporcionln brzini čestice i suprotno usmjeren. Fktor proporcionlnosti nzi se koeficijentom prigušenj k (kg/s), p je: 0

230 Fw k. Diferencijln jedndžb gibnj sd glsi: Slik 7.. Prigušene ibrcije koj se, nkon dijeljenj s m, može npisti u obliku: gdje su uedene oznke: mx cx kx, (7.9) x px x 0, (7.0) c k ; p m m. Jedndžb (7.) jest diferencijln jedndžb prigušenih ibrcij. Rješenje oe diferencijlne jedndžbe, uz ujet p, jest: gdje je: pt sin k x Ae t, (7.) k p. (7.) Vibrcije koje se rše prem zkonu (7.) nziju se prigušene ibrcije. Dijgrm tih ibrcij prikzn je n slici 7.3 i to između kriulj Ae i rijednost sinusne funkcije između i -. pt Ae pt, s obzirom n to d je Slik 7.3. Dijgrm prigušenih ibrcij

231 S slike je idljio d oe ibrcije nisu periodične premd imju sojsto nekk ponljnj, p se i odje može gooriti o remenu potrebnom d se izede jedn ciklus. Iz dobienih jedndžb to rijeme je: T k k p, (7.3) nzi se period prigušenih ibrcij. Omjer između mplitud ibrcij u trenutku t i t t Tk zoe se dekrement ibrcij. Budući d je pt sin i x t Ae t k pttk x t T Ae sin t T, k k k k bit će dekrement ibrcij: x t T k e ptk (7.4) xt jer je, prem definiciji, ktk te t t sin sin. k k Prirodni logritm dekrement ibrcij jest logritmski dekrement, i jednk je: pt k. (7.5) Gore rečeno rijedi ko je p. Ako je p, odnosno k c, rješenje diferencijlne jedndžbe (7.0) neće sdržti trigonometrijske funkcije; gibnje točke neće biti periodično, nego će se on pod utjecjem sile elstičnosti postupno približti položju rnoteže. Dijgrmi gibnj u funkciji remen z rzličite početne ujete prikzni su n slici 7.4. i to: kriulj z x x0 i x x0 0 ; kriulj b z x x0 i x x0 0 ; kriulj c z x x0 i x x0 0. Slik 7.4. Dijgrm put i remen

232 7..3. Prisilne ibrcije bez prigušenj. Rezonncij Posebno žno mjesto u proučnju ibrcij predstlj slučj kd n česticu osim sile elstičnosti djeluje i periodičn sil F, kojoj prc pd u prc gibnj čestice (sl. 7.5), intenzitet joj se mijenj prem zkonu: F F 0 sin t. (7.6) T sil nzi se poremećjn sil; ibrcije koje nstju pod djelonjem te sile jesu prisilne ibrcije, dok se eličin zoe frekencij poremećjne sile ili frekencij prisilnih ibrcij. Slik 7.5. Prisilne ibrcije bez prigušenj Poremećjn sil može se u općem slučju mijenjti po proizoljnom zkonu, no odje će se pobliže rzmotriti poremećjn sil koj se mijenj prem (7.6) i još se nzi hrmonijsk poremećjn sil. Diferencijln jedndžb gibnj čestice koj se gib pod djelonjem sile elstičnosti i poremećjne sile glsi: mx cx F0 sin t ili nkon dijeljenj s m i uođenj oznke h F 0 / m: x x h sint. (7.7) Jedndžb (7.7) jest diferencijln jedndžb prisilnih ibrcij bez prigušenj, po som krkteru to je nehomogen linern diferencijln jedndžb drugog red s konstntnim koeficijentim. Ko što je poznto iz teorije diferencijlnih jedndžb, rješenje oe jedndžbe dobije se ko zbroj rješenj homogenog dijel jedndžbe x h, tj. rješenje jedndžbe (7.0) u obliku (7.), i prtikulrnog integrl Uz ujet x p nehomogene jedndžbe (7.7)., prtikulrno rješenje može se pretpostiti u obliku: x p C sin t, gdje je C konstntn eličin koj se dobije iz ujet d gornje prtikulrno rješenje zdoolj diferencijlnu jedndžbu (7.7). Kko je bit će: xc sint, te x C sint, 3

233 C sin t Csin t h sin t, odkle je: h C. (7.8) Prtikulrno rješenje nehomogene jedndžbe je: dok je njeno opće rješenje: x h p sin t, (7.9) h x xh xp A sin t sint. (7.0) Konstnte integrcije A i određuju se iz početnih ujet. Iz rješenj (7.0) idljio je d su ibrcije čestice sstljene iz d dijel: ) ibrcij s mplitudom A, koj oisi o početnim ujetim, i frekencijom, zou se lstite ibrcije; b) ibrcij s mplitudom C, koj nije oisn o početnim ujetim, i frekencije, koje se zou prisilne ibrcije. S obzirom n to d se u relnim konstrukcijm, u ećoj ili mnjoj mjeri, uijek jlj nekk otpor (prigušenje), to se lstite ibrcije rlo brzo priguše (mortizirju). Stog pri proučnju primrni znčj imju prisilne ibrcije. Frekencij prisilnih ibrcij jednk je frekenciji poremećjne sile, dok mplitud C, prem (7.8), oisi i o frekenciji lstitih ibrcij i o frekenciji prisilnih. Dijgrm te oisnosti prikzn je n slici 7.6. Veličin fst FO c je sttički pomk čestice zbog djelonj sile F O. Slik 7.6. Oisnost mplitude prisilnih ibrcij o omjeru σ/ω Iz dijgrm, ko i iz izrz (7.0), idljio je d se z rzličite odnose i mogu dobiti prisilne ibrcije s rzličitim mplitudm. 4

234 Tko se z rijednost dobije mplitud eličine h F 0 C (7.) što je sttički pomk čestice zbog djelonj sile F 0 ; z mplitud teži nuli, dok u slučju, odnosno kd je frekencij prisilnih jednk frekenciji lstitih ibrcij, mplitud C neogrničeno rste. T poj nzi se rezonncij. U mnogim inženjerskim konstrukcijm poj rezonncije nepoželjn je i treb je izbjeći. Obično se teži odnosu, kd eličin mplitude prisilnih ibrcij teži nuli. Prisilne ibrcije s prigušenjem odje se neće proučti, no u skom slučju lj npomenuti d će poj otpor gibnju smnjiti mplitudu C prisilnih ibrcij, kko je to prikzno isprekidnom kriuljom n slici OSNOVE ANALITIČKE MEHANIKE 7... UVOD Metode koje su proučne u sttici nziju se metodm geometrijske sttike. Pri korištenju tih metod osnoni princip jest oslobđnje tijel od ez i postljnje odgorjućih ujet rnoteže. U slučju sust tijel tj se princip mor primijeniti z sko tijelo, što z elik broj tijel u sustu doodi do elikog broj jedndžb koje treb postiti i riješiti. Odje će se, s pomoću spoznj iz kinemtike i dinmike, prikzti metod koj omogućuje određinje ujet rnoteže bilo kojeg mehničkog sust ne uzimjući u obzir rekcije ez. Veze se, nime, uzimju u obzir preko pomk točk tijel koje im te eze omogućuju. Tki pomci nziju se u mehnici irtulnim pomcim. Virtulni pomci morju zdooljiti sljedeć d ujet: ) pomci su beskončno mli, ) pomci su tki d se ne nrušju eze kojim je promtrni sust podrgnut. Pri je ujet postljen zbog tog što kod elikih pomk sust može prijeći u drugi položj u kojem se ujeti rnoteže mogu promijeniti. Drugi ujet sprječ d se nruše eze jer bi se inče dobio neki noi sust. Prem tome, irtulnim pomcim sust nzi se skup beskončno mlih pomk točk sust, koje, u promtrnom trenutku remen, dopuštju eze sust. Virtulni pomk neke točke oznč se s rirnj. Kže se d je r rijcij od r. r, pri čemu simbol predstlj opertor Opertor rirnj rzlikuje se od opertor diferencirnj d po tome što je rgument funkcije pri rirnju konstntn (u promtrnom slučju to je rijeme t ). 5

235 Sklrni produkt iz sile F koj djeluje n neku točku promtrnog sust i irtulnog pomk r te točke jest irtulni rd: ili u nlitičkom obliku: 7... Idelne eze W F r (7.) W F F F. (7.3) x x y y z z Ako je ez n nekom mjestu gltk poršin ili gltki oslonc (oslonc bez trenj), ond je rekcij tke poršine usmjeren duž normle n poršinu i pri bilo kojem mogućem pomku rd te rekcije bit će jednk nuli: F N W F r, N 0 jer su ektori F N i r međusobno okomiti. Ako su se eze u sustu tke, bit će: FN W i 0. (7.4) Veze kod kojih je sum irtulnih rdo sih rekcij ez jednk nuli nziju se idelne eze. U te eze spdju se eze bez trenj ko i ez s trenjem kd se tijelo kotrlj po toj ezi Princip irtulnih rdo. Opć jedndžb sttike Nek se sust čestic nlzi u rnoteži pod djelonjem sil koje n njeg djeluju. Z i-tu česticu može se pisti: gdje je: F N i i i 0 Fi - rezultnt sih njskih sil koje djeluju n česticu; u F F S, (7.5) F F i N - rezultnt njskih psinih sil (rekcij ez); u Si - rezultnt sih unutrnjih sil n i-tu česticu. Sklrnim množenjem jedndžbe (7.5) s irtulnim (mogućim) pomkom δr i i sumirnjem po sim česticm sust dobije se: FN u Wi Wi Wi 0. (7.6) Treći čln n lijeoj strni jedndžbe (7.6) jednk je nuli što slijedi iz sojst unutrnjih sil. U slučju idelnih ez, kko je rnije pokzno, bit će i drugi čln te jedndžbe jednk nuli, p ostje: 6

236 W i 0. (7.7) Jedndžb (7.7) izrž princip irtulnih rdo, koji glsi: ko se sust koji je podrgnut idelnim ezm nlzi u rnoteži, ond je sum irtulnih rdo sih ktinih sil koje n njeg djeluju jednk nuli. Vrijedi i obrt, tj. ko se ktine sile koje djeluju n promtrni sust podrgnut idelnim ezm zdooljju jedndžbu (7.7), td se promtrni sust nlzi u rnoteži. Jedndžb (7.7) nzi se opć jedndžb sttike, može se zpisti i u nlitičkom obliku: Fi x ix Fi y iy Fi z iz 0. (7.8) Ako promtrni sust im jedn stupnj slobode gibnj, jedndžb (7.7) ili (7.8) odmh dje ujete rnoteže sust. Ako sust im iše stupnje slobode gibnj, jedndžbe (7.7) ili (7.8) trebju se postiti posebno z ski od nezisnih pomk sust. D bi se općom jedndžbom sttike riješio sttički određen zdtk, potrebno je ukloniti jednu od ez i njeno djelonje zmijeniti odgorjućom rekcijom eze. N tj nčin dobije se sust s jednim stupnjem slobode, obično je t rekcij eze ujedno i tržen eličin. Korištenjem princip irtulnih rdo zdtci se rješju geometrijskim i nlitičkim metodm. Pri primjeni geometrijske metode pro se odrede trenutni poloi brzin sih člno sust, pretposti se jedn mogući pomk, ztim se crtju plnoi sih pomk. Rdi preglednosti obično se posebno crtju ertiklni, posebno horizontlni pomci. Nime, projekcij irtulnog pomk r točke A štp OA n os x (sl. 7.7) može se dobiti i n nčin d se projekcij štp n os y zkrene z kut r. l Slik 7.7. Projekcije irtulnog pomk 7

237 Slično rijedi i z pomk y : x r sin l sin ly, y r cos l cos lx. Pri primjeni nlitičke metode pro se odbere koordintni sust ezn z nepomičnu točku, ztim se koordinte sih krkterističnih točk sust prikžu s pomoću nezisnih prmetr, nkon čeg se postupkom rirnj (koji u potpunosti odgor postupku diferencirnj) odrede irtulni pomci krkterističnih točk. Primjer 7.. Sust n slici 7.8 sstljen je od štpo AB i BC jednkih duljin l i znemriih ms. Odrediti kut z koji će zdni sust biti u stnju rnoteže pod djelonjem sile F i moment M. Zdtk riješiti primjenom princip irtulnih rdo. Zdno: F ; M ; l. Rješenje: Slik 7.8. Primjer 7.. Promtrni sust im jedn stupnj slobode gibnj, zdtk će se riješiti geometrijskom i nlitičkom metodom. ) Geometrijsk metod: N slici 7.9 određeni su plnoi horizontlnih i ertiklnih pomk i to n nčin d su njprije određeni trenutni poloi brzin člno AB i BC, ztim je člnu AB nrinut irtulni zkret. Točk B zjedničk je obm štpoim te mor imti jednke pomke n jednom i drugom štpu. S slike je: y l cos l cos. B 8

238 Opć jedndžb sttike z promtrni sust glsi: W W M F x. N F c 0 Slik 7.9. Primjer 7.: pln irtulnih pomk. Kko je xc lsin, te nkon dijeljenj s, slijedi: b) Anlitičk metod: M M sin ili rcsin. Fl Fl Odbrn je nepomični koordintni sust Axy s ishodištem u točki A. Z nezisni prmetr odbrn je kut. Pozitin smiso prirst tog kut u smjeru je suprotnom od smjer kzljke n stu. Koordint x c htišt sile F je: x l cos, njen rijcij je: c x c l sin. Sum irtulnih rdo sih njskih sil mor biti jednk nuli: odkle je: M F l sin 0, M M sin, rcsin. Fl Fl 9

239 Primjer 7.. Odrediti komponentu F rekcije u osloncu A okirnog nosč zdnog i opterećenog prem Ay slici 7.0. Zdno: F ; ; q F / ; M F. Rješenje: Slik 7.0. Primjer 7.. Budući d je sust n slici sttički određen i nem mogućih pomk tk sust, mor se osloboditi jedn ez i dodti odgorjuć rekcij oslobođene eze. Odbire se upro on ez čij se rekcij trži (sl. 7.). Nkon određinj trenutnog pol brzin konstruirni su plnoi ertiklnih i horizontlnih pomk. Opć jedndžb sttike glsi: Slik 7.. Primjer 7.: pln irtulnih pomk. 30

240 W 0 ili F Q M FA y 0. Dijeljenjem te jedndžbe s δφ i urštnjem zdnih rijednosti dobije se: M FA y q F F. Primjer 7.3. Odrediti silu u štpu rešetkste konstrukcije zdne i opterećene prem slici 7.. Zdno: ; F 4 kn ; F 5 kn. Rješenje: Uklnjnjem štp i dodnjem sil Slik 7.. Primjer 7.3. ' S i '' S u čoroim u kojim je štp bio ezn, dobije se mehnizm od d čln i s jednim stupnjem slobode gibnj, kko je to prikzno n slici 7.3. Slik 7.3. Primjer 7.3: pln irtulnih pomk. 3

241 Sil je oznčen s ' i '' d bi se znlo koj od njih djeluje n čln ('), koj n čln ('') mehnizm. Nkon određinj trenutnih polo brzin P i P, člnu nrinut je irtulni zkret u smjeru prem slici, ztim su konstruirni plnoi pomk. Koordint y pol P određen je iz sličnosti trokut: y :3 : 3 y, ez između irtulnih zkret iz ertiklnog pomk točke C: y. c Opć jedndžb sttike z sust n slici 7.3 glsi: ' '' F S 0 S y F y 0, iz koje jednkosti, nkon zmjene s i dijeljenjem s, slijedi: Primjer 7.4. ' '' F F S S 3 kn. 3 Odrediti moment sijnj u presjeku - okirnog nosč zdnog i opterećenog prem slici 7.4. Zdno: ; F ; q F / ; M F. Rješenje: Slik 7.4. Primjer

242 U presjeku - zdnog okir krut ez zmijenjen je zglobnom. Stog je u promtrnom presjeku dodn odgorjuć unutrnj sil koj zmjenjuje oslobođenu ezu - moment sijnj ' M y i '' M y. Oslobđnjem te eze dobien je mehnizm s jednim stupnjem slobode i s poloim brzin člno P i P. Pol brzin čln je u beskončnosti p se zključuje d će tj čln smo trnsltirti. Nkon što je člnu nrinut irtulni zkret, ncrtni su plnoi pomk (sl. 7.5). Slik 7.5. Primjer 7.4: pln irtulnih pomk. Sd je, prem (7.8): odkle je: ' y '' y F M M 0 Q 0 M 0 0, ' '' y y M M F OPĆA JEDNADŽBA DINAMIKE Princip mogućih pomk dje opću metodu z rješnje zdtk sttike. Budući d D'Almberto princip omogućuje korištenje princip sttike z rješnje zdtk dinmike, istoremenim korištenjem tih dju princip dolzi se do opće metode z rješnje zdtk dinmike. Nek je gibnje sust čestic podrgnuto idelnim ezm. Ako se silm koje djeluju n i- tu točku sust dod odgorjuć sil inercije D'Almbertou principu, biti u rnoteži: F F u in in i mii N i i i i 0, tk će sust sil, prem F F S F. (7.9) 33

243 Primjenom princip irtulnih rdo n sust (7.9) i zbrjnjem po sim česticm sust slijedi: jer su rdoi rekcij idelnih ez i unutrnjih sil jednki nuli. in Wi Wi 0, (7.30) Jedndžb (7.30) jest opć jedndžb dinmike, u nlitičkom obliku glsi: F ix mi xi xi Fi y mi yi yi Fi z mi zi z i 0. (7.3) Jedndžbe (7.30) i (7.3) omogućuju d se poste diferencijlne jedndžbe gibnj bilo kojeg mehničkog sust. Kd je riječ o rninskom gibnju, njskim ktinim silm treb pridodti silu inercije u centru mse i odgorjući spreg čiji je moment jednk momentu inercije tijel z centr mse. Primjer 7.5. Odrediti, korištenjem opće jedndžbe dinmike, kutno ubrznje ljk sust prikznog n slici 7.6. Vljk se po podlozi može kotrljti bez kliznj. Zdno: m m; m m; F mg. Rješenje: Slik 7.6. Primjer 7.5. N slici 7.7 prikzn je zdni sust n kojem su ucrtne se njske ktine sile, inercijske sile i inercijski momenti. Pomci, x C i x nisu nezisni jer među tim pomcim rijede sljedeće kinemtske eze: x R; x R. C Ako se te jednkosti dput deriirju po remenu i jednom rirju, dobije se: x R; x R; C x R ; x R. C 34

244 Opć jedndžb dinmike sd glsi: I m x x m x x F x. c c c 0 Kko je Slik 7.7. Primjer 7.5: dinmičk rnotež sust. I m R, c nkon urštnj kinemtičkih ez i zdnih rijednosti u gornju jedndžbu i njezin dijeljenj s dobije se: odkle je: mr mr 4mR mg R 0, 4 g 7 R. 35