OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
|
|
- Δημήτηρ Δοξαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x <. Tražena rješenja su x = 1 i x =. 5 x 0 (uključeno rješenje x = i/ili x = 0, 4 boda). Odredi sve parove prirodnih brojeva (a, b) takve da je a + b = 78 i D(a, b) = 6 (D(a, b) je najveći zajednički djelitelj). Rješenje. Iz a = 6x, b = 6y dobivamo 6x + 6y = 78 i x + y = 6, x, y N, D(x, y) = 1. Tada je x {1, 5} i y = 6 x te je (a, b) {(6, 15), (15, 6)} (ako napiše x {, 4} i (a, b) {16, 5), (5, 16)} ili x {, } i (a, b) {189, 189)}, 4 boda). Za koje realne brojeve m jednadžba x + 9 = m(m x) ima jedinstveno rješenje? Rješenje. Sredivanjem dobivamo (m + )x = m 9. Za m je m + 0 pa postoji jedinstveno rješenje x = m. (za rješenje x = m (uvijek), 0 bodova) 4. U kvadratu ABCD stranice duljine 6 cm na dijagonali AC dana je točka T tako da je T C = 1 AC. Pravac kroz točke B i T siječe stranicu CD u točki P. 4 Odredi udaljenost P C.
2 Rješenje. Trokuti ABT i CP T su slični (jednaki kutovi) i vrijedi AB : P C = AT : T C = 4 AC : 1 AC = : 1, 4 pa je P C = 1 AB =. Udaljenost P C je cm. (za postavljene omjere 4 boda) 5. Paralelogram ABCD se može podijeliti na četiri jednakostranična trokuta stranice duljine cm. Kolika je duljina dulje dijagonale paralelograma? Rješenje. Nožište okomice iz vrha C na pravac AB označimo s E. Trokut BCE je polovina jednakostraničnog, pa imamo <) CBE = 60, CB = cm, CE = cm, BE = 1 cm. Po Pitagorinom poučku na ACE dobivamo: AC = AE + EC, tj. AC = 5 + ( ) = 8 (ili 7). ( ) (za primjenu Pitagorinog poučka ( ) 4 boda) 6. (0) Ako je a + b + c = ab + bc + ca, koliko je (a + b c) 009? Rješenje. Pomnožimo li zadanu jednakost s i prebacimo sve na lijevu stranu dobit ćemo
3 Preuredimo li jednakost dobivamo a + b + c ab bc ca = 0. odnosno a + b ab + b + c bc + c + a ca = 0. ( boda) (a b) + (b c) + (c a) = 0 (7 bodova) odakle je a = b = c (5 bodova) pa je tražena vrijednost jednaka nula. (5 bodova) 7. (0) Pas trči za zecom koji je za 90 svojih skokova ispred njega. Dok zec skoči 6 puta, pas skoči samo 5 puta, a dva pseća skoka jednako su dugačka kao tri zečja. Koliko će skokova napraviti zec do trenutka kada ga pas uhvati? Rješenje. Duljina psećeg skoka je jednaka duljine zečjeg, pa je 4 pseća skoka jednako duljini 6 zečjih skokova. (5 bodova) Dok zec skoči 6 skokova pas skoči 5 puta pa za to vrijeme pas prevali udaljenost od 5 6 = 5 zečjih skokova. (5 bodova) 4 Ako je x broj zečjih skokova, iz jednadžbe 90 + x = 5 x dobivamo x = 60. Pas će 4 uloviti zeca nakon 60 zečjih (ili 00 psećih skokova). (10 bodova) 8. (0) Poredaj po veličini vrijednosti izraza A, B i C, ako je a 1, b 1, a < b, x y: A = B = [ ( a + z xy ) ( a z xy ) + x y x y ( a + 1 a ) ( a + 1 : 1 ) (a + b), a a a + ( ) ] z xy : b, x y C = a a + 1 a + 1 a a + a a + 1. a
4 Rješenje. A = = [ ( a + z xy ) ( a z xy ) + x y x y [ a ( ) z xy + x y ( ) ] z xy : b x y ( ) ] z xy : b = a x y b < 1; B = ( a + 1 a ) ( a + 1 : 1 ) (a + b) a a a + (6 bodova) = a(a + 1) + a + a(a + ) : (a + )(a + 1) a (a + b) a(a + )(a + )(a + 1) a = a + a + a(a + ) a(a + ) (a + b) = a + b ; a + a + (6 bodova) C = a a + 1 a + 1 a a + a a + 1 a = a a + a a + 1 a + a a + 1 a = a + 1 a + a + a + 1 = 1. (6 bodova) Poredak je A < C < B, tj. najmanja je vrijednost izraza A, a najveća je izraza B. ( boda)
5 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja Racionaliziraj razlomak Rješenje = = = ( + ) 5 = ( ) = 6( + + 5) 1 (za dio rješenja do ( ) 4 boda) (u nazivniku se može grupirati i na druge načine). Polinom f(x) = x + px + q pri dijeljenju s polinomom g 1 (x) = x 1 daje ostatak 6, a pri dijeljenju s g (x) = x ostatak 1. Odredi polinom f(x). Prvo rješenje. p + q + 1: Dijeljenjem polinoma f(x) s polinomom g 1 (x) dobije se ostatak (x + px + q) : (x 1) = x + p + 1 x + x (p + 1)x + q (p + 1)x + (p + 1) p + q + 1
6 Dijeljenjem polinoma f(x) s polinomom g (x) dobije se ostatak p + q + 4: (x + px + q) : (x ) = x + p + x + x (p + )x + q (p + )x + (p + ) p + q + 4 Dobijemo sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice: čija su rješenja p =, q =. p + q + 1 = 6, p + q + 4 = 1, Traženi polinom je f(x) = x + x +. ( ) (za barem jednu od jednadžbi sustava ( ) 4 boda) Drugo rješenje. Poznato je (Bezoutov teorem) da je ostatak pri dijeljenju polinoma f(x) s x α zapravo vrijednost f(α). Stoga je: f(1) = 6 i f() = 1. Dobijemo isti sustav kao u prvom rješenju. Treće rješenje. Imamo odakle je (bodovanje isto kao u prvom rješenju) x + px + q = (x 1)(x + α) + 6 = x + (α 1)x α + 6 x + px + q = (x )(x + β) + 1 = x + (β )x β + 1, α 1 = p, α + 6 = q, β = p, β + 1 = q. Rješavanjem ovog sustava jednadžbi dobijemo: ( ) α 1 = β, α + 6 = β + 1, tj. α β + 1 = 0, α β + 6 = 0. Rješenje ovog sustava je α = 4, β = 5, i onda p =, q =. (za sustav jednadžbi ( ) 4 boda)
7 . Odredi kvadratnu jednadžbu s realnim koeficijentima kojoj je rješenje. ( ) i jedno i Rješenje. Kako je i 009 = i = i, izraz u zagradi jednak je Sada je ( i) 009 = i 009 = i. i + 1 i 1 = i + 1 i 1 i + 1 i + 1 = i = i. Kako je jedno rješenje jednako x 1 = i, drugo je x = i, tražena kvadratna jednadžba je (x + i)(x i) = 0 tj. x + 1 = 0, ili svaka jednadžba oblika ax + a = 0 za a R\{0}. (za odredeno jedno rješenje kvadratne jednadžbe 4 boda) 4. Riješi nejednadžbu x + x 5 x + x + 5 < 1. Prvo rješenje. Kako je diskriminanta kvadratne jednadžbe x + ( x + 5 = 0, D = = 11 < 0 lli se pokaže da vrijedi x + x + 5 = x + ) > 0, nazivnik se strogo pozitivan za svaki x. ( ) Množenjem nejednakosti s x + x + 5 dobivamo x + x 5 < x + x + 5 tj. 5 < 5. Kako je ova nejednakost istinita i polazna vrijedi za svaki x R. Drugo rješenje. Redom imamo: x + x 5 x + x + 5 = 1 10 x + x + 5 < 1 10 x + x + 5 > 0. (za tvrdnju ( ) 4 boda) Kako je diskriminanta kvadratne ( jednadžbe x + x + 5 = 0 negativna ili se pokaže da vrijedi x + x + 5 = x + ) + 11 > 0 za svaki x R, polazna najednakost 4 vrijedi za svaki x R. ( ) (za dobivenu nejednakost ( ) 4 boda)
8 5. Nadi sva rješenja jednadžbe (x + 1)(x + )(x + )(x + 4) = 10 u skupu kompleksnih brojeva. Rješenje. Zgodnim grupiranjem, množenjem i supstitucijom t = x + 5x dobivamo: (x + 1)(x + 4) (x + )(x + ) = 10 (x + 5x + 4)(x + 5x + 6) = 10 (t + 4)(t + 6) = 10 Sada treba riješiti dvije kvadratne jednadžbe t + 10t 96 = 0 ( ) t 1 = 6, t = 16. x + 5x = 6, x + 5x = 16, tj. x + 5x 6 = 0, x + 5x + 16 = 0. Njihova rješenja su x 1 = 6, x = 1, x = 5 i 9, x 4 = 5 + i 9. (za rješenja t 1, jednažbe (*) 4 boda) (moguće su i druge supstitucije, npr. t = x + 5x + 5) 6. (0) Dva pravokutna trokuta imaju zajedničku hipotenuzu. Razlika duljina kateta jednog od njih je 9 cm, a drugog 1 cm. Zbroj površina ta dva trokuta je 90 cm. Izračunaj duljine njihovih kateta. Prvo rješenje. Neka su a i b katete jednog te m i n katete drugog trokuta, a c njihova zajednička hipotenuza. Iz uvjeta zadatka imamo: a + b = c, m + n = c, a b = 9, m n = 1, 1 ab + 1 mn = 90.
9 Dobijemo sustav jednadžbi: a b = 9, (1) m n = 1, () ab + mn = 180, () a + b = m + n. (4) Iz prve i druge jednadžbe imamo (4 boda) a = b + 9, m = 1 + n, Iz (4) + () dobivamo (a + b) (m n) = 60, (9 + b) 1 = 60, b + 9b 11 = 0. Zadovoljava samo pozitivno rješenje b = 7. Iz (1) je a = 16. Duljine kateta prvog trokuta su 16 cm i 7 cm. Za drugi trokut imamo: m n = 1 mn = 180 ab = 68 n(1 + n) = 68 n + 1n 68 = 0. (8 bodova) Zadovoljava samo pozitivno rješenje n = 4. Sada je m = 17. Duljine kateta drugog trokuta su 17 cm i 4 cm. Drugo rješenje. Iz uvjeta zadatka dobivamo ove jednadžbe: a + b = c (1) a b = 9 () m + n = c () m n = 1 (4) 1 ab + 1 mn = 90 = ab + mn = 60 (5) (8 bodova) (4 boda)
10 Iz (1) i () imamo a + b = m + n. (6) Zbrajanjem (5) i (6) i sredivanjem dobivamo Konačno je (a + b) = (m n) + 60 tj. (a + b) = = 59. a + b =. (7) Iz () i (7) imamo a = 16, b = 7. Zbrajanjem a + b = m + n i 60 = ab + mn dobivamo (8 bodova) i zatim (a b) + 60 = (m + n) tj. (m + n) = = 441 Iz (4) i slijedi m = 17 i n = 4. m + n = 1. (8 bodova) 7. (0) Za koje cijele brojeve k kvadratna jednadžba kx + (k 1)x + k = 0 ima racionalna rješenja. Rješenje. Nužno je i dovoljno da diskriminanta D = (k 1) 4k(k ) = 4k + 1 bude kvadrat racionalnog broja m tj. 4k + 1 = m. Odavde vidimo da m mora biti neparan cijeli broj. (5 bodova) Kako je m neparan, tj. m = a + 1, imamo 4k + 1 = (a + 1) 4k + 1 = 4a + 4a + 1 k = a + a = a(a + 1) (15 bodova) Dakle, broj k mora biti oblika a + a, a Z odnosno a(a + 1), tj. jednak umnošku dva uzastopna cijela broja. Diskriminanta je D = 4k + 1 = (a + 1).
11 8. (0) Dan je jednakokračan trokut ABC takav da je AC = BC = 1 cm. Paralela s krakom prolazi polovištem visine na osnovicu trokuta i siječe osnovicu u točki M a drugi krak u točki N. Kolika je duljina dužine MN? Prvo rješenje. Dužina MP je srednjica trokuta C 1 BC (pri čemu je C 1 nožište visine na osnovicu). Stoga je M polovište od C 1 B. (10 bodova) Trokuti AMN i ABC su slični (jednaki kutovi). Koeficijent sličnosti je k = AM AB = 4. (5 bodova) Odavde slijedi MN = BC = 9 cm. 4 (5 bodova) Drugo rješenje. Dužina MP je srednjica trokuta BCC 1 i MP = 1 BC = 6 cm. (5 bodova) Dužina NP je srednjica trokuta XC 1 C, a XC 1 je srednjica trokuta ABC. Zato je XC 1 = 1 BC, pa je NP = 1 XC 1 = 1 BC = cm. 4 Stoga je MN = MP + P N = 6 cm + cm = 9 cm. (10 bodova) (5 bodova)
12 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja Izračunaj vrijednost izraza log 5 + log log 50. Prvo rješenje. Redom imamo: log 5 + log log 50 = log 5 + log (log 5 + log ) = log 5 + log ( log 5 + log ) = log 5 + log 5 log + log = (log 5 + log ) = (log 10) = 1. Drugo rješenje. Slično dobivamo: log 5 + log log 50 = log 5 + log (log 5 + log 10) = log 5 + log (log 5 + 1) = log 5 + log 5 log + log = log 5 (log 5 + log ) + log = log 5 log 10 + log = log 5 + log = log 10 = 1.. Odredi zbroj svih rješenja jednadžbe log 8 (sin x) = 1 na intervalu [0, π]. Rješenje. Uz uvjet sin x > 0 iz log 8 (sin x) = 1 = log = log8 1 dobivamo sin x = 1, odakle je zadovoljen uvjet i imamo tj. x = π 1 x = π 6 + kπ ili x = 5π 6 + kπ, 5π + kπ ili x = + kπ. ( ) 1
13 Na intervalu [0, π] rješenja su x 1 = π 1, x = 5π 1, x = 1π 1, x 1 = 17π 1. Zbroj svih rješenja je π 1 + 5π 1 + 1π π 1 = π. (za dio rješenja ( ) 4 boda). Duljina stranice pravilnog šesterokuta A 1 A A A 4 A 5 A 6 jednaka je cm. Njegove stranice A 1 A, A A, A A 4, A 4 A 5, A 5 A 6, A 6 A 1 su preko vrhova A, A, A 4, A 5, A 6, A 1 produžene za 5 cm do vrhova B 1, B, B, B 4, B 5, B 6 novog pravilnog šesterokuta. Kolika je duljina njegove stranice? Rješenje. Po kosinusovom poučku vrijedi: b = B 1 B 6 = A 1 B 6 + A 1 B 1 A 1 B 6 A 1 B 1 cos <) B 1 A 1 B 6 = = 49, odakle je b = 7 cm. (za pravilnu primjenu kosinusovog poučka, ali grešku u računu, 4 boda) 4. S iste strane središta kugle položene su dvije paralelne ravnine čija su presjecišta s kuglom krugovi s površinama 4π cm i 49π cm. Ako je udaljenost tih ravnina jednaka cm, koliki je polumjer kugle? Rješenje. Označimo s r 1 = cm i r = 7 cm polumjere presjeka paralelnih ravnina s kuglom, s l = cm njihovu udaljenost te s R polumjer kugle.
14 Primjenom Pitagorinog poučka, iz slike dobivamo R = r 1 + (d + l) = r 1 + d + dl + l = 1 + d + 6d, R = r + d = 49 + d, a odavde 6d = 6 tj. d = 6, R = = 85. Polumjer kugle je R = 85 cm. (za pravilnu primjenu Pitagorinog poučka barem u jednom slučaju 4 boda) 5. Dokaži da za sve realne brojeve x vrijedi sin 4 x + cos 4 x 1. Prvo rješenje. Imamo sin 4 x + cos 4 x = (sin x + cos x) sin cos x = 1 1 sin x 1 1 = 1. Drugo rješenje. Slično dobivamo sin 4 x + cos 4 x = (sin x) + (1 sin x) = sin 4 x sin x + 1 = 1 (4 sin4 x 4 sin x + 1) + 1 = 1 ( sin x 1)
15 Treće rješenje. Polazna nejednakost je ekvivalentna sljedećima: sin 4 x + cos 4 x 1 (sin x + cos x) sin x cos x 1 1 sin x cos x 1 4 sin x cos x 1 sin x 1, a ovo uvijek vrijedi. Zato vrijedi i polazna nejednakost. 6. (0) Koliki su šiljasti kutovi pravokutnog trokuta ako za njegove katete a, b i hipotenuzu c vrijedi 4ab = c? Prvo rješenje. Za dani pravokutan trokut vrijedi a + b = c. Za kut α nasuprot stranici duljine a uvrštavanjem u danu jednakost dobivamo: 4ab = a + b / : b 4 a b = ( a ) + b tg α 4 tg α + = 0. Odavde dobivamo: tg α 1 = tj. α 1 = 60, β 1 = 0 ili tg α = tj. α = 0, β = 60. Šiljasti kutovi tog trokuta su 0 i 60. (10 bodova) (10 bodova) Drugo rješenje. Iz dane jednakosti dobivamo: 4ab = c / : c 4 a c b c = 4 sin α cos α = tj. sin α =. (10 bodova)
16 Odavde slijedi α = 60 ili α = 10 tj. α = 0 ili α = 60, odnosno β = 60 ili β = 0. (10 bodova) Treće rješenje. Iz a = c sin α, b = c cos α i dane jednakosti imamo 4 c sin α c cos α = c / : c sin α cos α = odnosno sin α =. (10 bodova) Kutovi traženog trokuta su 0 i 60. (10 bodova) 7. (0) Riješi nejednadžbu (x + 1) x x > x + 1. Rješenje. Za x+1 < 0 izraz na lijevoj strani nije definiran, a za x+1 = 0 i x+1 = 1 nejednakost ne vrijedi. Preostaje promatrati slučajeve: 1 0 < x + 1 < 1 tj. 1 < x < 0, 1 < x + 1 tj. x > 0. 1 Redom dobivamo: (6 bodova) što je zadovoljeno za x 1. x 1, 0. x x < 1 x + x + 1 > 0 (x + 1) > 0, U ovom slučaju nejednadžba je zadovoljena za (6 bodova) Dobivamo x x > 1 x + x + 1 < 0 (x + 1) < 0. U ovom slučaju nijedan x ne zadovoljava nejednadžbu. Konačno rješenje je x 1, 0. (6 bodova) ( boda) 8. (0) Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta je 15 cm, a jedan njegov kut je 15. Izračunaj duljinu odreska simetrale pravog kuta koji je unutar trokuta. Prvo rješenje. Simetrala pravog kuta siječe hipotenuzu u točki D. Označimo s s duljinu odreska simetrale pravog kuta unutar trokuta. Promatrajmo trokute ABC i ADC:
17 cos 15 = b c tj. b = c cos 15 = 15 cos 15 ; b s = sin(180 ( )) = sin 15 sin 10 sin 60 = sin 15 sin 15 = sin 15, (10 bodova) odakle dobivamo s = b sin 15 = 15 cos 15 sin 15 = 15 sin 0 = 15 = 5. Duljina odreska simetrale pravog kuta je s = 5 cm. (8 bodova) ( boda) Drugo rješenje. Kako je s simetrala pravog kuta, površina trokuta ABC jednaka je zbroju površina trokuta ADC i BDC, pa imamo odavde je P = sa sin 45 + sb sin 45 = s(a + b). 4 s = 4P (a + b) = ab (a + b). (8 bodova) Iz a = c sin 15 i b = c cos 15 dobivamo ab = c sin 15 cos 15 = c sin 0 = c. (5 bodova) Nadalje, (a + b) = a + b + ab = c + ab = c tj. a + b = c. (5 bodova) Konačno je
18 c s = c = c = c 6. Duljina odreska simetrale pravog kuta je s = 5 cm. ( boda) Treće rješenje. Odrezak simetrale pravog kuta unutar trokuta je dijagonala kvadrata CF DE stranice duljine x. Tada je tražena duljina s = x. Iz trokuta ADF i DBE dobivamo c 1 = c 1 + c = c = 15 = x x sin 15, c = ( 1 sin cos 15 ) x cos 15 i Pomnožimo li ovo sa sin 15 cos 15 = sin 0 = 1 dobivamo = x (sin 15 + cos 15 ) sin 15 cos 15. (10 bodova) Kvadriranjem slijedi x (sin 15 + cos 15 ) = 15. odakle imamo 4x (1 + sin 0 ) = 5 4 Konačno je x = 15 4 x = = (8 bodova) i s = 15 4 = 5. ( boda)
19 OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja Odredi umnožak kvadrata rješenja jednadžbe z (1 + i) = 0. Prvo rješenje. Redom imamo: z = (1 + i) = 1 + i 1 = i, ( i = cos π + i sin π ) ; ( z = cos π + i sin π ), z k = cos π π + (k 1)π + i sin = ( π + 4(k 1)π cos + i sin 6 + (k 1)π z 1 = ( cos π 6 + i sin π ) ( ) = i, z = ( cos 5π 6 + i sin 5π 6 z = ( cos 9π 6 + i sin 9π 6 ) ( = ) ) π + 4(k 1)π, k = 1,,, ( ) 6 ) + 1 i, = ( cos π + i sin π ) = i. Sada je z 1 z z = i z 1 z z = (i) = 4. ( ) ( + 1 ) i + 1 ( i = i 1 4 ) = i, 4 (za odredivanje rješenja ( ), 4 boda)
20 Drugo rješenje. Zadatak se može riješiti i pomoću Vièteovih formula. Za jednadžbu trećeg stupnja ax + bx + cx + d = 0, gdje su x 1, x, x njezina rješenja, vrijedi x 1 x x = d a. U danom slučaju imamo: z (1 + i) = 0, z i = 0, ( ) z 1 z z = i, z1 z z = (i) = 4. (za preuredenu jednadžbu ( ) 4 boda). Dokaži da je za svaki prirodan broj n znamenka jedinica broja n jednaka 6. Rješenje. Dokaz provodimo matematičkom indukcijom. Baza indukcije: Za n = imamo pa tvrdnja vrijedi. = 4 = 16, Pretpostavka indukcije: Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodan broj n, tj. znamenka jedinica broja n je 6. Korak indukcije: Dokažimo da tvrdnja vrijedi za n + 1: n+1 = n = ( n ) = ( 6) = 6. Dakle, tvrdnja vrijedi i za n + 1, pa po principu matematičke indukcije vrijedi za svaki prirodan broj n. (za točnu bazu i pretpostavku indukcije 4 boda). U raspisu izraza drugog člana. Odredi član koji ne sadrži x. ( x x + 1 x 4 ) n koeficijent trećeg člana je za 44 veći od koeficijenta Rješenje. Uvjet zadatka može se zapisati u obliku Odavde sredivanjem dobivamo ( ) n = ( ) n
21 n(n 1) = n + 44 n n 88 = 0 n 1 = 11, n = 8. Jedina mogućnost je n = 11. Neka je A k koeficijent uz onaj član koji je jednak nuli. Tada je A k = ( ) ( ) 11 (x ) k 11 k 1 x = k x 4 Kako A k ne sadrži x imamo ( ) 11 ( ) 11 k x x 4k = k (11 k) 4k = 0 k =. ( ) 11 Član koji ne sadrži x je A = = 165. ( ) 11 x (11 k) 4k. k (za izračunato n = 11, 4 boda) 4. U trokutu ABC pravac vrhom A raspolavlja težišnicu iz vrha B. U kojem omjeru taj pravac dijeli stranicu BC? Prvo rješenje (vektorsko). Prikažimo vektor AD na dva načina. AD = AB + BD = AB + α BC, AD = β ( ) 1 AS = β AB + BP = β ( 1 AB + 1 ( ) ) BC AB = β ( AB + 1 ) BC. 4 4
22 Zbog linerne nezavisnosti vektora ( AB i BC iz AB + αbc = β AB + 1 ) BC 4 4 imamo 1 = 4 β, α = 1 4 β β = 4, α = 1, odakle dobivamo BD = 1 BC, odnosno točka D dijeli dužinu BC u omjeru 1 :. Četverokut ABEP je paralel- Drugo rješenje (geometrijsko). Neka je AS = SE. ogram. Iz sličnosti trokuta BED i CAD dobivamo pa je traženi omjer jednak 1. BD CD = BE CA = 1, 5. Odredi kut izmedu tangenata parabole y pravcem x + y 1 = 0. = 4x u točkama njezinog presjeka s Rješenje. Točke presjeka parabole i pravca dobivamo iz jednadžbi: Odavde je y = 4x i y = x + 1. Jednadžbe tangenata parabole su: ( x + 1) = 4x, x 1x + 6 = 0, x 1 = 9, x = 4, S 1 (9, 6), S (4, 4).
23 t 1... y ( 6) = (x + 9) y = 1 x k 1 = 1, t... y 4 = (x + 4) y = 1 x + k = 1. Kut α izmedu tangenata odreduje se iz relacije pa je traženi kut jednak α = 45. tg α = k k k 1 k = = 1, (za točne koeficijente smjerova tangenata k 1, k, 4 boda) 6. (0) Odredi sva rješenja jednadžbe (x 5x + 5) 4x 9 x +4 = 1. Rješenje. Promatrat ćemo tri slučaja. 1 Baza je jednaka 1. x 5x + 5 = 1 x 1 = 1, x = 4. Oba rješenja zadovoljavaju polaznu jednadžbu. Eksponent je jednak nuli, a baza različita od nule. (6 bodova) 4 x 9 x + 4 = 0. Uz supstituciju t = x dobivamo kvadratnu jednadžbu t 9t + 4 = 0 čija su rješenja t 1 = 4 i t = 1. Odavde dobivamo x = i x 4 = 1. Kako je za ova rješenja baza različita od nule, oba zadovoljavaju polaznu jednadžbu. (8 bodova) Eksponent je paran broj, a baza jednaka 1. x 5x + 5 = 1 x 5 =, x 6 =. U oba slučaja je eksponent paran pa su ovo rješenja polazne jednadžbe. (6 bodova) Sva rješena jednadžbe su: 1, 1,,, 4.
24 7. (0) Prvi član aritmetičkog niza je a 1 = 7. Za članove niza vrijedi: a n a n 1 = n + 5, n. Koliko je a 100? Rješenje. Raspišimo: Odavde zbrajanjem dobivamo a 1 = 7 a a 1 = 9 a a = 11 a 4 a = 1. a 100 a 99 = 05 (10 bodova) a 1 + a a 1 + a a + a 4 a a 100 a 99 = a 100 = 100(7 + 05) a 100 = (10 bodova) 8. (0) Dana je hiperbola x y = a. Odredi površinu paralelograma kojem dvije stranice leže na njezinim asimptotama, a jedan vrh mu je točka na hiperboli. Dokaži da površina ne ovisi o odabiru točke! Rješenje. Točka T ove hiperbole dana je s T (x 0, y 0 ) = T (x 0, ± x 0 a ).
25 Asimptote hiperbole su: y = x, y = x. Kako su one medusobno okomite, odreduju pravokutnik. ( boda) Označimo s d 1 i d udaljenosti točke T od asimptota. Tada je tražena površina dana s P = d 1 d. (5 bodova) Nadalje, udaljenosti točke T (x 0, y 0 ) od asimptota su d 1 = x 0 + y 0, (od x + y = 0) d = x 0 y 0, (od x y = 0) pa je tražena površina jednaka P = x 0 + y 0 x 0 y 0 = x 0 y 0 = a, jer je T na hiperboli. Vidimo da površina ne ovisi o izboru točke T! (10 bodova) ( boda)
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραRJEŠENJA ZA 4. RAZRED
RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJEJEDANJEDANNAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI NAČIN.
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 27. siječnja 2014.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 7. siječnja 014. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 24. siječnja razred rješenja
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. siječnja 011. 4. razred rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO (GRADSKO) NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 4. veljače 2010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 3. svibnja 2007. Zadatak
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 2007.
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 9. ožujka 007. 1. Izračunaj:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, 2.travnja-4.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Šibenik, travnja-4travnja 014 5 razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραJoš neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραMINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO
4. razred-osnovna škola 1. Umjesto zvjezdica upiši odgovarajuće znamenke i obrazloži. * * 8 5 * * 5 5 * 0 + 4 * * 5 * * * * * 2. U jednoj auto-radionici u jednom mjesecu popravljena su 44 vozila i to motocikli
Διαβάστε περισσότερα