Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata. Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom
|
|
- Αγαθίας Δημητρακόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 e 2 f 2 e 2 φ + π 2 Q f 1= f 1 φ e 1 O e 1 f 2 Slika 9: Izometrijske transformacije koordinata Ovo razmatranje možemo sumirati sledećom teoremom Teorema 3.1 Formule transformacija koordinata ravni iz ortonormiranog repera Oe u ortonormiran reper Qf iste orjentacije su: ( ) ( )( ) ( ) x1 cos φ sin φ x = 1 q1 x 2 sin φ cos φ x +. (8) 2 q 2 Ukoliko su reperi različitih orjentacija formule su: ( ) ( )( x1 cos φ sinφ x = 1 x 2 sinφ cos φ x 2 ) ( q1 + q 2 ). (9) Formula (8) predstavlja kompoziciju translacije koordinatnog sistema za vektor (q 1,q 2 ) i rotacije za ugao φ. Matrica u toj formuli naziva se matrica rotacije za ugao φ. Formula (9) predstavlja kompoziciju translacije koordinatnog sistema za vektor (q 1,q 2 ) i refleksije u odnosu na pravu koja sadrži tačku Q i gradi ugao od φ 2 u odnosu na vektor e 1. Primetimo da je determinanta prve transformacije jednaka jedan, a druge transformacije 1, što odgovara činjenici da su baze e i f iste, odnosno različite orjentacije. Naime, orjentaciju na vektorskom prostoru je algebarski moguće uvesti na sledeći način. Ako su e i f baze vektorskog prostora V n kažemo da su one iste orjentacije ako je det(c ef ) > 0, gde je C ef matrica prelaska. Ova algebarska definicija se poklapa sa intuitivnim definicijama iz poglavlja Da li formule ( x1 x 2 ) = ( ) ( x 1 x 2 ) ( ). (10) prestavljaju transformaciju koordinata izmedju dva ortonormirana repera. Precizno nacrtati uzajamni položaj tih repera. 15
2 4 Linearni likovi u ravni Radi tradicije i jednostavnosti koordinate tačaka u ravni označavaćemo sa (x, y), a ne sa (x 1,x 2 ). Pretpostavićemo da su to koordinate u nekom ortonormiranom koordinatnom sistemu O e 1 e2, pozitivne orjentacije. 4.1 Prava u ravni Dobro poznatom jednačinom y = kx + n nisu predstavljene sve prave u ravni. Naime, vertikalne prave, tj. prave x = const nisu tog oblika. To je jedan od razloga što taj oblik jednačine prave ovde nećemo koristiti. Kada bi ga koristili, svaki algoritam bi sadržao obradu oba slučaja Implicitna jednačina prave Prava p je odredjena tačkom P(x 0,y 0 ) koja joj pripada i normalnim vektorom prave koga obično označavamo sa n p. To je nenula vektor sa koordinatama n p (a,b). Da bi izveli jednačinu prave, neka je M(x,y) p proizvoljna tačka prave. Tada je PM upravan na normalni vektor pa važi: 0 = n p PM= (a,b) (x x 0,y y 0 ) = a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = = ax + by ax 0 by 0. Dakle jednačinu proizvoljne prave u ravni možemo zapisati u obliku ax + by + c = 0, (11) pri čemu nisu oba koeficienta a i b istovremeno jednaka nuli. Jednačina (11) se naziva implicitna jednačina prave. Primer 4.1 a) Odrediti jednačinu prave p koja sadrži tačku P(3, 2) i ima normalni vektor n p = (4,7). Ako je normalni vektor prave jedinični, tj. n p 2 = a 2 + b 2 = 1 onda se jednačina (11) naziva normalizovana jednačina. Tada se može izabrati a = cos φ,b = sin φ za neki ugao φ. Primer 4.2 Odrediti normalizovanu jednačinu prave p : 3x 4y + 35 = 0. f > 0 n p (a, b) p p M(x, y) P(x 0, y 0) f < 0 p t p P(x 0, y 0) M(x, y) Slika 10: Implicitna i parametarska jednačina prave Posmatramo funkciju f p : E 2 R, f(x,y) = ax + by + c. Ona je jednaka 0 na tačkama prave p, pa je zbog neprekidnosti veća od 0 u jednoj poluravni, a manja od nule u drugoj poluravni odredjenoj pravom p. To nam obezbedjuje način da karakterišemo poluravan, tj. da proverimo da li su dve tačke sa iste strane prave p ili ne. Naime, tačke X i Y pripadaju istoj poluravni ako i samo ako su f(x) i f(y ) istog znaka. 16
3 4.1.2 Parametarska jednačina prave Drugi način da opišemo pravu jeste da joj zadamo jednu tačku P(x 0,y 0 ) i nenula vektor pravca p (p x,p y ). Tada se svaka tačka M prave p može zapisati u obliku M(t) = M = P + t p, (12) za neko t R. Recimo, tačka P se dobija baš za t = 0. Vektorska jednačina (15) se u koordinatama zapisuje kao x = x 0 + tp x, y = y 0 + tp y, (13) t R, što obično zovemo parametarska jednačina prave. Možemo toj parametarskoj jednačini dati sledeću mehaničku interpretaciju. Krenemo li iz tačke P u trenutku t = 0 konstantom brzinom p (brzina je vektorska veličina!) onda ćemo u trenutku t, tj. nakon t sekundi, biti u tački M(t). Ako je t < 0, to znači da se krećemo u smeru suprotnom od smera vektora p Prelazak iz jednog oblika prave u drugi Iz jednačina (13) eliminacijom parametra t dobijamo odnosno x x 0 p x = y y 0 p y (= t), p y x p x y + (p x y 0 p y x 0 ) = 0 odakle se vide vrednosti a,b,c implicitnog oblika. Obrnuto, ako je data prava implicitnim oblikom (11), može se direktno proveriti da je ona odredjena sa ac P( a 2 + b 2, bc a 2 + b 2 ), p = ( b,a), (14) odakle se mogu pročitati vrednosti x 0,y 0,p x,p y Predstavljanje duži i poluprave Neka su A(x A,y A ) i B(x B,y B ) različite tačke koje odredjuju pravu p. Vektor prave AB je AB= (x B x A,y B y A ). Duž AB je sada predstavljena sa M(t) = A + t AB, t [0,1], (15) pri čemu je M(0) = A,M(1) = B. Ova reprezentacija je veoma pogodna za deljenje duži AB. Središte duži AB, recimo, je tačka M( 1 2 ). Poluprava [AB) sa temenom u tački A koja sadrži B predstavljena je istom jednačinom za t 0, a njoj komplementna poluprava za t Trougao Parametrizacija trougla Tri nekolinearne tačke A,B i C odredjuju trougao ABC. Neka je f 1 = AB, f 2 = AC. Tada se svaka tačka trougla može zapisati u obliku X(t 1,t 2 ) = A + t 1 f1 +t 2 f2, 0 t 0,t 1 1, t 0 + t 1 1. Prethodna jednačina se naziva parametarska jednačina trougla. 17
4 4.2.2 Orjentacija trougla i površina trougla Kažemo da je trougao ABC pozitivne orjentacije ako je smer obilaska od tačke A, preko B do tačke C suprotan smeru kazaljke na satu. Nadjimo analitički zapis orjentacije trougla. Neka je A(x 0,y 0 ), B(x 1,y 1 ), C(x 2,y 2 ). Lako se vidi da je trougao ABC pozitivne orjentacije ako i samo ako je pravac od vektora AB prema vektoru AC, kraćim putem, suprotan smeru kazaljke na satu, tj. da je vektorski proizvod AB AC usmeren ka pozitivnom smeru z-ose. Vektore AB i AC možemo smatrati vektorim prostora tako što ćemo im dodati treću koordinatu jednaku nuli, pa imamo AB AC= e 2 e3 e1 x 1 x 0 y 1 y 0 0 x 2 x 0 y 2 y 0 0 = ((x 1 x 0 )(y 2 y 0 ) (x 2 x 0 )(y 1 y 0 )) e 3. Dakle, trougao ABC je pozitivne orjentacije ako i samo ako je D ABC = D = (x 1 x 0 )(y 2 y 0 ) (x 2 x 0 )(y 1 y 0 ) > 0. Pošto je površina trougla jednaka polovini površine paralelograma razapetog vektorima AB i AC, dobijamo da je površina trougla P ABC = 1 2 AB AC = 1 2 D e 3 = 1 2 D e 3 = 1 2 D Odredjivanje da li tačka pripada trouglu Pretpostavimo da je trougao ABC zadat temenima kao u prethodnom poglavlju. Želimo da proverimo da li tačka P pripada trouglu ABC. Pretpostavimo da je trougao ABC pozitivne orjentacije. Tada tačka P pripada trouglu ako i samo ako je svaki od trouglova ABP, BCP, CAP pozitivne orjentacije, tj. ako i samo ako je D ABP > 0, D BCP > 0, D CAP > 0. (16) U slučaju kada je trougao ABC negativne orjentacije, tačka P je unutar trougla ako su svi trouglovi ABP, BCP, CAP negativne orjentacije, tj. u nejednakostima (16) važi znak <. Ako je neka od tih vrednosti jednaka nuli, tada tačka P pripada odgovarajućoj pravoj. Recimo, ako je D ABP = 0, tačka P pripada pravoj AB. C P A B Slika 11: Tačka unutar pozitivno orjentisanog trougla Dakle važi 18
5 Teorema 4.1 Tačka P pripada unutrašnjosti trougla ABC ako i samo ako su brojevi D ABP, D BCP, D CAP istog znaka. Primer 4.3 Da li tačka P(5,1) pripada trouglu ABC gde je A(1,2),B(4,3),C(6,0)? Primedba 4.1 (Kolinearnost tačaka) Primetimo da su tačke A, B, C kolinearne ako i samo ako su vektori AB i AC linearno zavisni odnosto ako i samo ako je D ABC = 0. U poglavlju biće reči o tome kako izbeći numeričke greške pri proveravanju tog uslova. 4.3 Vežbanja 4.1 Data je prava p : 3x 2y + 7 = 0. a) Odrediti normalizovani oblik te jednačine. b) Odrediti implicitni oblik prave p c) Koji ugao prava p gradi sa x osom? 4.2 Data je prava q : x = t + 4,y = 2t 7,t R. a) Odrediti implicitni oblik prave q. b) Odrediti implicitni oblik prave r koja sadrži tačku R(3, 7) i paralelna je q. 4.3 Odrediti jednačinu normale n iz tačke A(1,7) na pravu p ako je a) p : x = 2t + 4,y = 3t 5,t R b) p : 4x 2 3 y + 7 = Neka je A(2,3),B( 1,4). a) Odrediti parametarsku jednačinu prave AB. b) Ispitati da li tačka C(14, 1) polupravoj [AB). c) Ispitati da li tačka D(1, 10 3 ) i u kom odnosu ona deli duž AB. 4.5 Ispitati da li tačke C(1, 1) i D( 7, 11) pripadaju istoj poluravni odredjenoj pravom AB, A(2, 2), B(1, 3). 4.6 a) Odrediti parametarsku jednačinu paralelograma ABCD ako su date tačke A(x 0,y 0 ), B(x 1,y 1 ), C(x 2,y 2 ). b) Odrediti koordinate četvrtog temena D tog paralelograma. 4.7 Ispitati da li tačka M(2,3) pripada trouglu ABC, ako je A(1,7), B( 3,3), C(3, 3)? 4.4 Krug Krug sa centrom C(x 0,y 0 ) je geometrijsko mesto tačaka M(x,y) koje su od centra udaljene za rastojanje r - poluprečnik kruga. Jednačina tog kruga je (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. (17) Krug je specijalni slučaj elipse, tj. krivih drugog reda kojima se bavimo u poglavlju 7. y C(x 0, y 0) M(x, y) φ x 19
6 Slika 12: Krug sa centrom u tački C(x 0,y 0 ) i poluprečnikom r Deljenjem jednačine (17) sa r 2 i upotrebom identiteta cos 2 φ + sin 2 φ = 1 dobijamo parametarsku jednačinu kruga x = x 0 + r cos φ, y = y 0 + r sin φ, φ [0,2π). (18) Parametar φ je orjentisani ugao izmedju Ox ose i vektora CM. 5 Krive u ravni Definicija 5.1 Parametrizovana kriva u ravni je neprekidno preslikavanje α : (a,b) R 2, intervala u ravan. Parametrizovana kriva je glatka ako je α (t) (0,0) za svako t (a,b). Kad kažemo kriva, obično mislimo na skup njenih slika α(t), t (a,b). Taj skup slika može imati razne parametrizacije. Geometrijski, glatkost krive znači postojanje jedinstvene tangente u svakoj tački krive. Nenula vektor α (t) zove se vektor brzine krive i on predstavlja vektor pravca tangente u tački α(t). Tangenta p krive α u tački M 0 = α(t 0 ) se parametarski može zapisati p M(s) = α(t 0 ) + sα (t 0 ), s R. (19) Tangenta p je prava koja najbolje od svih pravih aproksimira krivu α u tački M 0. α α (t 0)... a t 0 b Slika 13: Tangenta glatke parametrizovane krive Primer 5.1 Zvuči paradoksalno, ali najjednostavnija kriva je prava. Prava y = ax + b je glatka kriva. Naime, uzmemo li x = t za parametar, dobijamo jednu njenu parametrizaciju α(t) = (t,at + b), t R. Vektor brzine α (t) = (1,a) (0,0) je konstantan vektor pravca prave. Tangenta na pravu u ma kojoj njenoj tački je ona sama. Primer 5.2 Data je kriva cikloida parametarskom jednačinom α(t) = (a(t sin t),a(1 cos t)). a) Odrediti parametar a tako da tačka M 0 ( π 2 2,2 2) pripada cikloidi. b) Zatim odredit tangentu te cikolide u tački M 0. 20
7 6 Bezierove krive Neka su P 0,P 1...P n tačke ravni. Bezierova kriva stepena n je n ( ) n n α(t) = t i (1 t) n i P i i = B i (t)p i, t [0,1]. i=0 Tačke P i nazivaju se kontrolne tačke, a polinomi B i (t) Bernštajnovi polinomi. Najviše se primenjuju, a i imaju geometrijski najjasniju interpretaciju Bezijerove krive stepena 2 i 3, tj. one sa 3, odnosno 4 kontrolne tačke. One su, redom, date sledećim parametrizacijama: i=0 α 2 (t) = (1 t) 2 P 0 + 2t(1 t)p 1 + t 2 P 2, t [0,1]; α 3 (t) = (1 t) 3 P 0 + 3t(1 t) 2 P 1 + 3t 2 (1 t)p 2 + t 3 P 3, t [0,1]. Primer 6.1 Date su tačke A 0 (0,1), A 1 (1,2), A 2 (2,1), A 3 (1,0). Odrediti Bezijerovu krivu stepena 3 čije su to kontrolne tačke. P 1 P 2 P 1 P 0 P 2 P 0 P 3 Slika 14: Bezijerove krive stepena 2 i 3 Teorema 6.1 a) Početak krive α 2 je u tački P 0, a kraj u tački P 2. Tangentni vektori u tim tačkama su redom 2 P 0 P 1, odnosno 2 P 1 P 2. b) Početak krive α 3 je u tački P 0, a kraj u tački P 3. Tangentni vektori u tim tačkama su redom 3 P 0 P 1, odnosno 3 P 2 P 3. Dokaz: Dokazaćemo slučaj a), a slučaj b) prepuštamo čitaocu. Direktno se proverava da je α 2 (0) = P 0, a α 2 (1) = P 2, tj. početak i kraj krive su u tačkama P 0 i P 2, redom. Da bi dokazali tvrdjenje za tangentne vektore, imamo odakle je α (t) = 2(1 t)p 0 + 2(1 2t)P 1 + 2tP 2, α (0) = 2P 0 + 2P 1 = 2(P 1 P 0 ) = 2 P 0 P 1. Slično se dobija da je α (1) = 2 P 1 P 2, što je i trebalo dokazati. 6.1 Vežbanja 6.1 a) Odrediti parametrizaciju kruga (x 2) 2 + (y 1) 2 = 5. b) Odrediti tangentu kruga u tački T(0,2). 6.2 Date su tačke A 1 (1,7), A 2 ( 3,3), A 3 (3, 3). Odrediti Bezijerovu krivu stepena 2 čije su to kontrolne tačke. 21
8 7 Krive drugog reda Kriva drugog reda je skup tačaka čije koordinate (x,y) u nekom reperu Oe zadovoljavaju jednačinu drugog stepena a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 33 = 0. (20) Pri tome možemo pretpostaviti da je reper ortonormiran, što ćemo mi u nastavku i činiti. Koliko god prethodna jednačina izgledala komplikovano, može se pokazati da ona geometrijski opisuje elipsu, hiperbolu, parabolu, par pravih, pravu, tačku ili prazan skup. Naime, izborom boljeg ortonormiranog repera Qf jednačina nedegenerisane krive se može dosta pojednostaviti i postati jedna od kanonskih jednačina o kojima je reč u sledećem poglavlju. Proces nalaženja tog boljeg repera, naziva se svodjenje jednačine krive na kanonski oblik izometrijskom transformacijom koordinata. On predstavlja suštinu Teoreme??. 7.1 Krive drugog reda u kanonskom obliku Elipsa Kanonska jednačina elipse glasi: x 2 a 2 + y2 = 1. (21) b2 Pozitivni brojevi a i b (a b) se nazivaju poluose elipse. Tačke F 1,2 (±c,0), za c = a 2 b 2, nazivaju se žiže elipse. Lako je proveriti da je x = acos φ, y = bsin φ, φ [0,2π) (22) parametarska jednačina elipse. Za razliku od parmetrizacije kruga, parametar φ NIJE ugao izmedju vektora položaja tačke i x ose, sem za uglove 0, π 2,π, 3π 2. y F 2 b a F 1 x Slika 15: Elipsa Primer 7.1 Dokazati da je tangenta p u tački M 0 (x 0,y 0 ) elipse (21), data jednačinom p : xx 0 a 2 + yy 0 b 2 = 1. 22
9 Rešenje: Neka je M 0 (x 0,y 0 ) = (acos φ 0,bsin φ 0 ). Na osnovu jednačine (19) dobijamo da je parametrizacija tangente p u tački M 0 x = acos φ 0 tasin φ 0, y = bsin φ 0 + tbcos φ 0. i saberemo, elimin- Pomnožimo li prvu jednačinu sa isaćemo parametar t i dobiti: cos φ0 a, a drugu sa sin φ0 b 1 = x cos φ 0 a iz čega sledi tražena formula Hiperbola + y sinφ 0 b Kanonska jednačina hiperbole glasi: = x(acos φ 0) a 2 + y(bsin φ 0) b 2, x 2 a 2 y2 = 1, (23) b2 gde su a b > 0. Tačke F 1,2 (±c,0), za c = a 2 + b 2 nazivaju se žiže hiperbole, a prave a 1,2 : y = ± b ax asimptote hiperbole. Jednačine x = ±acosh φ, y = bsinh φ, φ R (24) predstavalju parametarsku jednačinu hiperbole. To sa lako dokazuje uvrštavanjem tih jednačina u jednačinu (23) i upotrebom identiteta cosh 2 φ sinh 2 φ = 0. Izbor znaka + paremetrizuje desnu, a znak levu granu hiperbole. y F 2 a b F 1 x Slika 16: Hiperbola Parabola Kanonska jednačina parabole glasi: y 2 = 2px, (25) pri čemu je p > 0. 23
10 Tačka F( p 2,0) naziva se žiža parabole, a prava d : x = p 2 direktrisa parabole. Korisna je očigledna parametrizacija parabole x = t2, y = t, t R. (26) 2p d y p 2 p 2 F x Slika 17: Parabola 7.2 Vežbanja 7.1 Dokazati da je tangenta p u tački M 0 (x 0,y 0 ) hiperbole (23), data jednačinom p : xx 0 a 2 yy 0 b 2 = Dokazati da je tangenta p u tački M 0 (x 0,y 0 ) parabole (25), data jednačinom p : yy 0 = p(x + x 0 ). 7.3 Svodjenje krive drugog reda na kanonski oblik Dokažimo sada teoremu koja klasifikuje krive drugog reda do na izometrijske transformacije koordinata. Njen dokaz nam daje efektivan način za svodjenje krive na kanonski oblik. Teorema 7.1 Za svaku krivu drugog reda (20) datu u ortonormiranom reperu, postoji novi ortonormirani reper Qf u čijim koordinatama (x, y ) ona ima tačno jednu od sledećih jednačina: (E) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, (elipsa), (H) x 2 a 2 y 2 b 2 = 1, (hiperbola), (P) y 2 = 2px, (parabola), (D1) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, (prazan skup), (D2) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 0, (tačka), (D3) x 2 a 2 y 2 b 2 = 0, (dve prave koje se seku), (D4) x 2 = a 2, (dve paralelne prave), (D5) x 2 = 0, ( dvostruka prava), 24
11 (D6) x 2 = a 2, (prazan skup), gde je p > 0, a b 0. Dokaz: Svodjenje krive (20) na jedan od kanonskih oblika navedenih u tvrdjenju teoreme sastoji se od dva koraka. Prvo, vršimo rotaciju (x,y) (x,y ) koordinatnog sistema, čime je moguće eliminisati član uz x y. Zatim vršimo translaciju (x,y ) (x,y ) koordinatnog početka u centar krive. Nekad je potrebno izvršiti i treći korek - refleksiju, tj. zamenu koordinatnih osa x = y,y = x (recimo, da bi se dobio oblik y 2 = 2px, a ne x 2 = 2py ili da bi se postiglo da bude a b.). y y O x φ x y Q x Slika 18: Svodjenje krive drugog reda (na slici elipse) na kanonski oblik Odredimo prvo ugao rotacije x = cos φx sin φy (27) y = sinφx + cos φy tako da eliminišemo član x y. Zamenom formula (27) u jednačinu krive (20) dobijamo da je koeficient uz x y jednak 2a 11 cos φsinφ + 2a 12 (cos 2 φ sin 2 φ) = 2a 12 cos(2φ) (a 11 a 22 )sin(2φ). Da bi on bio jednak nuli mora biti cot 2φ = cos 2φ sin 2φ = a 11 a 22 2a 12, odakle je jedinstveno odredjen ugao φ [0, π 2 ). Formule rotacije (27) dobijamo sledećim računom: cot 2φ cos 2φ = cot 2 2φ, 1 + cos 2φ 1 cos 2φ cos φ = +, sin φ = Zamenom jednačina (27) u jednačinu krive (20) dobijamo jednačinu bez člana x y, recimo: mx 2 + ny 2 + 2cx + 2dy + e = 0, gde je bar jedan od m ili n različit od nule (u suprotnom je jednačina linearna, pa je i jednačina (20) linearna). Tada razlikujemo dva slučaja. 25
12 Slučaj 1: Pretpostavimo da su oba broja, m i n, različita od nule. Poslednja jednačina se napakuje na pune kvadrate : m (x cm ) x + c2 m 2 + n (y dn ) y + d2 c2m d2 n 2 n + e = 0, odnosno m(x + c m )2 + n(y + d n )2 + e = 0 (28) za e = c2 m d2 n +e. Sada transliramo koordinatni sistem u tačku O ( c m, d n ), tj. zamenjujemo relacije u formulu (28) i dobijamo x = x + c m, (29) y = y + d n, mx 2 + ny 2 + e = 0. U zavisnosti od znaka brojeva m, n i e dobijamo krive (E), (H), (D1), (D2) ili (D3). Slučaj 2: Kada je jedan od brojeva m ili n jednak nuli sličnim postupkom dobijamo krive (P), (D4), (D5) ili (D6). Primedba 7.1 Može se pokazati da rotacijom za veći ugao φ [0,π) možemo eliminisati potrebu za trećim korakom, tj. refleksijom koordinatnog sistema. To znači da se u tvrdjenju teoreme može zahtevati da novi koordinatni sistem Qf bude iste orjentacije kao polazni. 7.4 Vežbanja 7.3 Svesti datu krivu na kanonski oblik izometrijskom transformacijom: a) x 2 + y 2 xy 3x 1 = 0; b) 8x y xy + 32x + 44y + 20 = 0; c) 4x 2 + 9y 2 2x + 2y 12xy 19 = 0; d) 2x 2 + 3xy 2y 2 + 4x + 3y 7 = 0. 8 Rastojanja i preseci likovi u ravni 8.1 Rastojanje tačke od prave, poluprave i duži Pretpostavimo da je data tačka M i prava p. Rastojanje d = d(m, p) tačke M od prave p jednako je rastojanju tačke M od njene projekcije N na pravu p. Sledećim teoremama dajemo formule za to rastojanje u zavisnosti od toga na koji je način zadata prava p. M... d p... p P N 26
Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni
Geometrija (I smer) deo 3: Analitička geometrija u ravni Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd 19. novembar 2014. Prava u ravni Prava p je zadata tačkom P(x 0, y 0 ) p i normalnim vektorom n
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραMilan Merkle. (radni naslov) Verzija 0 ( ), novembar 2015
Milan Merkle M A T E M A T I K A (radni naslov) III Verzija (1999-23), novembar 215 Sadržaj: Analitička geometrija Funkcije više promenljivih Integrali (krivolinijski, višetruki, površinski) Kompleksna
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραSadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4
Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija - vežbe
Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραOTPORNOST MATERIJALA
3/8/03 OTPORNOST ATERIJALA Naponi ANALIZA NAPONA Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m Pa=0 6 Pa GPa=0 9 Pa F (N) kn/cm =0 Pa N/mm =Pa Jedinična površina (m ) U tečnostima pritisak jedinica bar=0
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραDužina luka i oskulatorna ravan
Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom
Διαβάστε περισσότερα1.1 Tangentna ravan i normala površi
Površi. Tangentna ravan i normala površi Zadatak Data je površ r(u, v) = (u cos v, u sin v, a 2 u 2 ), a = const. Ispitati o kojoj se površi radi i odrediti u i v linije. Zadatak 2 Data je površ r(u, v)
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραPOGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:
POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραRAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
Διαβάστε περισσότεραPrimene kompleksnih brojeva u geometriji
Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim
Διαβάστε περισσότερα1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.
Διαβάστε περισσότεραDrugi deo (uvoda) Vektori
Drugi deo (uvoda) Vektori Vektori i skalari Skalar je običan broj. Vektor je lista (uređena n-torka) skalara (komponente vektora). Pomeranje (recimo, 10 koraka prema zapadu) izražavamo vektorom. Rastojanje
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραMatematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραKompleksni brojevi i Mebijusove transformacije
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Kompleksni brojevi i Mebijusove transformacije Master rad Student: Marina Durica, 1043/016 Mentor: prof dr. Miodrag Mateljević Beograd, 017. Sadržaj Uvod 1 Kompleksni
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA
LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference
Διαβάστε περισσότερα