VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

Transcript

1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije

2 Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo intuitivno shvatiti kao vrijednost kojoj funkcija f teºi kada ide u a. Ozna avamo ga sa a f i on moºe, ali i ne mora postojati. Zadatak Odredite sljede e ese: a + b c sin a Ako ide u, onda + ide takožer u pa imamo b Funkcija f 0 i dobivamo c Analogno kao i gore: je dobro denirana u nuli pa samo uvrstimo sin sin Vrijedi sljede e: ako postoje esi a f i a f, onda a f + f a f + a f, a f f a f a f,

3 f 3 a f a f a f ako a f 0. Zadatak Nažite sljede e ese koriste i gornja svojstva esa: a b 3 e + 3 c a Imamo: c Imamo: Ako traºimo es kvocijenta dvaju polinoma u kada, preporu ljivo je oba lana kvocijenta prethodno podijeliti sa n gdje je n najve a potencija tih polinoma. analogno postupamo i u mnogim slu ajevima razlomaka sa iracionalnim izrazima. Ako su, nadalje, P i Q polinomi i P a 0 ili Qa 0, es P a Q dobivamo direktno. U slu aju da P a Qa 0, razlomak P Q dijeo sa a onoliko puta dok ne dožemo u situaciju gdje moºemo ra unati direktno. Zadatak 3 Izra unajte: a e b 3+ 3 f q + + c g a a++a 3 a 3 d h h 3 3

4 a Dijeo s najve om potencijom od i brojnik i nazivnik, a to je o ito 5 : jer faktori oblika a n gdje je a neka konstanta a n prirodan broj o ito idu u nulu ako ide u. c Oba polinoma i onaj u brojniku i onaj u nazivniku poprimaju konkretnu vrijednost za. Kako vrijednost nazivnika nije nula, es dobivamo direktno: e Ovdje su za i brojnik i nazivnik nula. Dijeo, dakle, oiba polinoma sa i dobivamo: Limese koji sadrºe iracionalne izraze moºemo esto dovesti u racionalni oblik uvoženjem nove varijable. Drugi na in rje²avanja takvih esa je prebacivanje iracionalnosti iz brojnika u nazivnik ili obrnuto.. Izra unajte: a 3 e + b f + a c d h 0 +h h g + h a Koristimo jednakost za racionalizaciju: f Opet racionaliziramo: + a + a + a + + a + + a + a + a + a + 3

5 Tu je najve a potencija u brojniku i nazivniku pa dijeo s tim: a + a + Za ra unanje esa korisne su sljede e formule: i 0 sin, ii + e, 0 + e. a + a + a Neka je f pozitivna funkcija u nekoj okolini to ke a a. Pri odreživanju esa oblika a fg C, vrijedi sljede e: ako egzistiraju kona ni esi f A > 0 i g B a a gdje je 0 A + i < B < + tada je C A B. ako je a f A i a g ± onda C pronalazimo neposredno, 3 ako je a f i a g, onda stavljamo f +α gdje α 0 kada a i prema tome [ ] αg C + α α e a αg e af g. a Koriste i gornja pravila lako dobivamo da je op enito + k e k. Zadatak 4 Izra unajte: a 0 sin 5 sin 7 e sin π b 0 tan sin 3 f 0 sin +sin 3 c π 3 cos π 3 g 0 arcsin arctan π d 0 cos a Koristimo 0 sin : h 0 π arccos + sin 5 0 sin sin 5 5 sin sin 5 5 sin

6 b Imamo: tan sin sin cos sin cos sin sin 0 3 cos 0 3 cos jer cos 0. Zadatak 5 Izra unajte: + a d 0 sin cos cos b + e +3 sin sin cos + sin 8 c 0 + sin f 0 cos a Ovo je slu aj kod esa oblika a f g C: e Ovo je slu aj 3 jer imamo o ito. + 3 [ ] e 4 +3 e 4 + Ako egzistira i pozitivan je a f, onda Pomo u toga odmah dobivamo ln f ln f. a a ln + ln + ln + ln e Zadatak 6 Izra unajte: a + ln + ln + b ln + ln c 0 ln + ln 0 ++ d 0 arcsin ln e 0 a f 0 e a e b g 0 e sin h 0 cosh 5

7 a Koriste i svojstva logaritamske funkcije dobivamo: + ln + ln + ln + ln ln e Imamo: a { a t, 0 } lnt + ln a t 0 t lnt+ ln a ln a.0. L'Hospitalovo pravilo L'Hospitalovo pravilo: koristi se za neodrežene oblike tipa 0 0 i. Drugim rije ima, ako imamo f i g funkcije takve da f g teºi ka 0 0 ili ako a, onda je f a g f a g pod uvjetom da es kvocijenta derivacija postoji. Ako razlomak f g iznova daje neodreženi oblik u to ki a jednog od dva navedene tipa i f, g udovoljavaju ranije navedenim zahtjevima za f i g, onda se moºe prije i na kvocijent drugih derivacija itd. Da bi na²li vrijednosti neodreženog oblika 0 pretvaramo odgovaraju i produkt f f, gdje je a f 0 i a f, u razlomak oblika f f oblik 0 0 ili f f oblik. U slu aju neodreženog oblika treba odgovaraju u razliku f f pretvoriti u produkt f f f i rije²iti prvo neodreženi oblik f f. Ako f je kojim slu ajem a f, onda razliku f f pretvaramo u f f f oblik 0 0. Zadatak 7 Koriste i L'Hospitalovo pravilo izra unajte: e a + e π +cos b +sin f cot ln c 0 tan sin sin g ln π cos d ln ln h 6

8 a Ovo je o ito situacija pa primjenjujemo L'Hospitalovo pravilo i dobivamo e e L H e L H jer e e, i kona no c Ovo je slu aj 0 0, primjenjujemo L'Hospitalovo pravilo: tan sin L H 0 sin 0 L H Deriviranje funkcija cos cos cos 3 cos sin cos sin + 3 cos sin 0 0 cos 3 cos cos 3 3 cos cos + 3 cos Derivacijom f 0 funkcije f u to ki 0 nazivamo es kvocijenta f0+h f0 h kada h teºi u nulu, odnosno f f 0 + h f 0 0, h 0 h ako taj es postoji. U tom slu aju kaºemo da je funkcija f derivabilna u to ki 0. Vrijednost derivacije f 0 daje koecijent smjera tangente u to ki 0 na graf funkcije f. Odreživanje derivacije nazivamo deriviranjem funkcije. Zadatak 8 Koriste i deniciju derivacije, izra unajte derivaciju sljede ih funkcija: a f, b f 3, c f, d f sin. b Traºimo derivaciju u to ki 0. Imamo: f 0 + h f h h 0 h h 0 h h h + h h 0 h h 0 0h h + h 3 0 Zna i, op enito moºemo re i da je 3 3, odnosno derivacija funkcije 3 je funkcija 3. Osnovna pravila deriviranja: Neka je c konstanta a f i g funkcije koje imaju derivacije. Onda je 7

9 c 0,, 3 f ± g f ± g, 4 cf cf, 5 fg f g + fg, 6 f g f g fg g g 0. Zadatak 9 Izra unajte derivacije sljede ih funkcija koriste i gornja pravila: a f e f 6 sin + cos b f a 3 + b + c + d f f tan c f π + ln g f 3 + 5e d f a+b c+d h f ln arcsin + sin +cos sin cos e Imamo: 6 sin + cos 6 sin + cos 6sin sin 6 cos sin g Imamo: 3 + 5e e e e e 3 + 5e e Pravilo deriviranja sloºenih funkcija: Ako je h f g sloºena funkcija, a funkcije f i g imaju derivacije u g, tj, onda je f g f g g ili kra e f g f g g. Zadatak 0 Izra unajte derivacije sljede ih funkcija: a f 5 sin cos b f cose + e f ln + + ln + f ft t sin e t c f g f a n +b c n d d f ln4 sin arccos h f arctan m 8

10 b Imamo: cose + sine + e + sine + e +e + h Deriviramo: arctan Zadatak Izra unajte f ako je a f, b f, c f ln. Zadatak Izra unajte f i f 0 ako je f e 5 sin 3. Imamo f e 5 sin 3 5e 5 sin 3 + 3e 5 cos 3 i specijalno je vrijednost derivacije u to ki 0 jednaka f 0 5e 0 sin 0 + 3e 0 cos 0 3. Zadatak 3 Pokaºite da je f cos ako je f ln tan + π 4. Zadatak 4 Pokaºite da je sin n cosn n sin n cosn +. zadovoljava diferencijalnu jed- Zadatak 5 Pokaºite da funkcija y e nadºbu y y. Traºimo derivaciju zadane funkcije, y e e e. Sada lijeva strana jednakost y y izgleda: y e e e dok desna daje y e To je o ito isto stoga zaklju ujemo da vrijedi y y, odnosno y zadovoljava danu diferencijalnu jednadºbu. 9