ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: 1, 2,,, Άρτιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί που διαιρούνται με το 2 Περιττοί αριθμοί είναι οι φυσικοί που δεν διαιρούνται με το 2 Πράξεις μεταξύ φυσικών αριθμών Πρόσθεση: α + β = γ α και β λέγονται προσθετέοι και το γ λέγεται άθροισμα των α και β. Ιδιότητες της πρόσθεσης: α + β = β + α (Αντιμεταθετική) α + (β + γ) = (α + β) + γ (Προσεταιριστική) α + 0 = 0 + α = α (το 0 δεν τον μεταβάλλει) Αφαίρεση: α β = γ, α > β Το α λέγεται μειωτέος, το β λέγεται αφαιρετέος και το γ λέγεται διαφορά. Αν α β = γ τότε α = β + γ ή α γ = β α 0 = α Πολλαπλασιασμός: α β = γ α και β λέγονται παράγοντες και το γ λέγεται γινόμενο των α και β. Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: α β = β α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α 1 = 1 α = α (το 1 δεν τον μεταβάλλει) Τέλεια Διαίρεση α : β = γ, β 0 Το α λέγεται διαιρετέος, το β λέγεται διαιρέτης και το γ λέγεται πηλίκο. Αν α : β = γ τότε α = β γ ή α : γ = β α : 1 = α και α : α = 1 και 0 : α = 0 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: α (β + γ) = α β + α γ Του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α (β γ) = α β α γ 2

3 Δύναμη: α ν = α α α α (ν παράγοντες) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης Ευκλείδεια Διαίρεση: Δ = δ π + υ, 0 υ < δ Το Δ λέγεται διαιρετέος, το δ διαιρέτης, το π πηλίκο και το υ υπόλοιπο Προτεραιότητα Πράξεων 1 Δυνάμεις 2 Πολλαπλασιασμοί και Διαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά ΟΡΙΣΜΟΙ Το μικρότερο μη μηδενικό από τα κοινά πολλαπλάσια που έχουν δύο μη μηδενικοί αριθμοί λέγεται ΕΚΠ αυτών. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες που έχουν δύο αριθμοί λέγεται ΜΚΔ αυτών. Ένας αριθμός α που έχει διαιρέτες μόνο τον α και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, αλλιώς λέγεται σύνθετος Δύο αριθμοί α και β λέγονται πρώτοι μεταξύ τους όταν ΜΚΔ (α, β) = 1 Κριτήρια Διαιρετότητας: Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται: με το 10, 100, 1000,... αν λήγει σε 1, 2,,... μηδενικά με το 2, αν το τελευταίο ψηφίο του είναι 0, 2,, 6, 8. με το, αν λήγει σε 0 ή με το ή το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το ή το 9 με το ή 2, αν τα δύο τελευταία ψηφία του είναι αριθμός που διαιρείται με το ή 2

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να στρογγυλοποιηθεί ο αριθμός στις (α) εκατοντάδες, (β) χιλιάδες (γ) εκατομμύρια. (α) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατοντάδες. Προηγούμενη τάξη: <. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται (β) Τάξη στρογγυλοποίησης: χιλιάδες Προηγούμενη τάξη: 8 >. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνεται: + 1 = (γ) Τάξη στρογγυλοποίησης: εκατομμύρια Προηγούμενη τάξη: =. Όλα τα προς τα δεξιά ψηφία μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης γίνεται = Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α) 10, (β) , (γ) 1.000, (δ) (α) 10 = 0 (β) = (γ) =.000 (δ) = Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι για να πολλαπλασιάσουμε ένα αριθμό επί 10, 100, 1.000, γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, Να εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις: (α) , (β) , (γ) , (δ) (α) = 89 (7 + ) = = 890 (β) = (2 + 77) 9 = =.900 (γ) = 76 (1 ) = = 760 (δ) = 28 (100 1) = = = Να υπολογιστούν το τετράγωνο, ο κύβος, η τέταρτη, η πέμπτη και η έκτη δύναμη του αριθμού 10. Τι παρατηρείτε; 10 2 = 10 10= = = = = = = = = = = = =

5 Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις δυνάμεις του10, που υπολογίστηκαν, έχει τόσα μηδενικά όσος είναι και ο εκθέτης της δύναμης. Για παράδειγμα: 10 6 = (έξι μηδενικά).. Να εκτελεστούν οι πράξεις: (α) (2 ) + ( + 2) 2 (β) (2 + ) 8 2 (α) (2 ) + ( + 2) 2 = = = = (β) (2 + ) 8 2 = 8 9 = = 6. Να γραφεί το ανάπτυγμα του αριθμού 7.60 με χρήση των δυνάμεων του 10. Είναι: 7.60 = 7 χιλ. + 6 εκατ. + 0 δεκ. + μον. = = Η μορφή αυτή του αριθμού 7.60 είναι το ανάπτυγμα του αριθμού σε δυνάμεις του Ποιες από τις παρακάτω ισότητες εκφράζουν Ευκλείδεια διαίρεση ; (α) 120 = (β) 1. = (γ) 7 = (α) Έχουμε ν = 8, που είναι μικρότερος από το 28 και μεγαλύτερος το. Άρα, είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη μόνο το 28 και όχι το. (β) Έχουμε ν = 106, που είναι μεγαλύτερος από το 9 και από το 21. Άρα δεν είναι υπόλοιπο μιας Ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 9 ή το 21. (γ) Έχουμε ν = 6, που είναι μικρότερος από το 8 και από το 8. Άρα είναι υπόλοιπο της Ευκλείδειας διαί-ρεσης με διαιρέτη είτε το 6 είτε το Σε μια δισκέτα μπορούν να αποθηκευτούν 11 φωτογραφίες. (α) Πόσες δισκέτες χρειάζονται για να αποθηκευτούν φιλμ των 6 στάσεων το καθένα; (β) Για πόσες φωτογραφίες θα μείνει χώρος στην τελευταία δισκέτα; (α) Τα φιλμ των 6 στάσεων το καθένα έχουν συνολικά 6 = 180 φωτογραφίες. Η διαίρεση των 180 φωτογραφιών με τις 11 που μπορούν να αποθηκευτούν σε μια δισκέτα, έχει πηλίκο 16 και υπόλοιπο, δηλαδή έχουμε 180 = Έτσι, χρειαζόμαστε 16 δισκέτες, περισσεύουν όμως φωτογραφίες ακόμη, επομένως, θα πρέπει να πάρουμε επιπλέον μία δισκέτα, άρα θα χρειασθούν =17 δισκέτες. (β) Αφού στην τελευταία δισκέτα θα αποθηκευτούν οι φωτογραφίες, που περίσσεψαν, θα μείνει χώρος για 11 = 7 φωτογραφίες. 9. Δύο πλοία επισκέπτονται ένα νησάκι. Το πρώτο ανά ημέρες, το δεύτερο ανά ημέρες. Αν ξεκίνησαν από το νησάκι ταυτόχρονα, σε πόσες ημέρες θα ξαναβρεθούν στο λιμάνι του νησιού;

6 Βρίσκουμε τα πολλαπλάσια των αριθμών και. Πολλαπλάσια του Πολλαπλάσια του Οι αριθμοί 12, 2, 6, είναι κοινά πολλαπλάσια των αριθμών και. Επειδή, το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια είναι το 12, γράφουμε: ΕΚΠ (, ) = 12. Δηλαδή, ακριβώς μετά από 12 ημέρες θα ξαναβρεθούν τα δύο πλοία στο λιμάνι του νησιού και αυτό θα επαναλαμβάνεται κάθε 12 ημέρες. 10. Να αναλυθούν οι αριθμοί 220, 290, 780 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Με τη βοήθεια αυτής της ανάλυσης να βρεθεί ο ΜΚΔ και το ΕΚΠ αυτών των αριθμών. Αναλύουμε τους αριθμούς σε γινόμενα πρώτων παραγόντων και παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες με το μικρότερο εκθέτη για το ΜΚΔ και τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες με το μεγαλύτερο εκθέτη για το ΕΚΠ διαιρώ με το » 60 2» 1 διαιρώ με το 220 = » διαιρώ με το 7 7 διαιρώ με το διαιρώ με το » 7 διαιρώ με το 290= διαιρώ με το 9 7 διαιρώ με το 7 7 7» διαιρώ με το » 9 διαιρώ με το 780 = » 10» διαιρώ με το 7 7 διαιρώ με το 7 1 ΜΚΔ (220, 290, 780) = = 20 ΕΚΠ (220, 290, 780) = =

7 11. Να βρεθεί αν διαιρούνται οι αριθμοί 1210, 772, 22, 1600 με 2,,,, 9, 10, 2,

8 Κλάσματα k n Ίσα ή ισοδύναμα: αν Ισχύει: a ομώνυμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ανακεφαλαίωση όπου κ και ν φυσικοί αριθμοί, n 0 a a και τότε α δ = β γ a : : ανάγωγο όταν ΜΚΔ (α, β) = 1 a,, ετερώνυμα a, a όταν α > γ και όταν α > γ Ο Μεικτός αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας., είναι αντίστροφα όταν 1 Πράξεις μεταξύ κλασμάτων ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ και ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1 a a : a και : ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΥΝΘΕΤΟΥ ΣΕ ΑΠΛΟ a b ad c bc d 8

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια (α) Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι; (β) Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 0 gr;. (α) Το κάθε κομμάτι είναι το 6 1 της σοκολάτας. (β) Το βάρος κάθε κομματιού θα είναι το 6 1 του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή: gr. Άρα τα 0 gr είναι τα της σοκολάτας Δηλαδή, πρέπει να κόψουμε 2 κομμάτια για να πάρουμε 0 gr. 2. Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20 m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα του ύψους του καμπαναριού.ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Το Επομένως το 1 του ύψους του καμπαναριού είναι 20 m, αυτού θα είναι m = m = m. 20 m Τότε τα θα είναι m = 12 m. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι 12 m.. Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα.πόσα λίτρα πετρελαίου είχε η δεξαμενή; Η δεξαμενή ολόκληρη είναι τα και χωράει 2000 lt. 9

10 Το 1 της δεξαμενής θα χωράει lt = lt = 00 lt. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι τα θα περιέχουν 00 lt = 100 lt. Για να βρούμε την τιμή του μέρους ξεκινάμε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας.. Τα του κιλού τυρί κοστίζουν 27. Πόσο κοστίζουν τα 9 8 του κιλού. Τα κοστίζουν 27. Άρα το 1 θα κοστίζει 27 : = 9. Τα κοστίζουν 9 =. Για να βρούμε την τιμή του όλου ξεκινάμε από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμε την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα). 9 Τα κοστίζουν. 9 1 Άρα το κοστίζει =. 9 9 Έτσι τα 9 8 κοστίζουν 8 = : Διότι είναι: 1 = = 9 9 =. Να εξετάσετε αν τα κλάσματα: (α) και, (β) και είναι ισοδύναμα. (α) Υπολογίζουμε τα χιαστί γινόμενα, δηλαδή: 1 = 2 και 10 = 0 Τα γινόμενα δεν είναι ίσα, άρα και τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα. (β) Υπολογίζουμε τα χιαστί γινόμενα : 8 = 1 και 8 18 = 1 Τα γινόμενα είναι ίσα, άρα και τα κλάσματα είναι ισοδύναμα, δηλαδή: 8 18 και Να απλοποιηθεί το κλάσμα. 66 Ο ΜΚΔ των όρων του κλάσματος 0 και 66 είναι: ΜΚΔ (0, 66) = : 6 Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το 6 και έχουμε: :

11 7. Να μετατραπούν σε ομώνυμα τα κλάσματα, 2 και, 20 Πριν από κάθε μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα ελέγχουμε αν τα κλάσματα απλοποιούνται. ΜΚΔ (, 20) = Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος, 20 με το και έχουμε: : : Βρίσκουμε το ΕΚΠ των παρονομαστών των ανάγωγων ετερωνύμων κλασμάτων., 2 1 ΕΚΠ (,, ) = 60 Διαιρούμε το ΕΚΠ με καθένα από τους παρονομαστές 60 : = : = : = 1 Πολλαπλασιάζουμε τους δύο όρους κάθε κλάσματος επί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκαμε Επομένως τα κλάσματα μετατράπηκαν στα ισοδύναμα ομώνυμα:, και Να συγκριθούν τα κλάσματα 10. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι σε όσα περισσότερα μέρη χωρίζεται ένα συγκεκριμένο μέγεθος, τόσο μικρότερα είναι τα μέρη αυτά Δηλαδή: και και Να συγκριθούν τα κλάσματα 8 και. 9 Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα, ΕΚΠ (8, 9) = 72, επομένως 72 : 8 = 9 και 72 : 9 = 8 οπότε = 72 και 9 = 72. Άρα

12 10. Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: (α) (β) 8. (α) Για το κλάσμα 2 2 και 2 γνωρίζουμε ότι: 0 1Δηλαδή βρίσκεται μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1. Επειδή ο παρονομαστής είναι ο αριθμός, η απόσταση των φυσικών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε ίσα μέρη. Το σημείο Β απέχει 2 από το Ο απόσταση ίση με τα Ο 0 1. του ΟΑ (β) Για το κλάσμα 8 2 του ΟΑ. Έτσι, το τοποθετείται στο σημείο Β. 2. Β 8 10 γνωρίζουμε ότι: Α Καθένα, από τα τμήματα ΟΑ και ΑΒ του σχήματος είναι ίσο με τη μονάδα. Τα χωρίζουμε σε ίσα τμήματα, ώστε το καθένα να είναι ίσο με το 1 της μονάδας. Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ αποτελείται από 8 ίσα τμήματα ίσα με το 1 της μονάδας το καθένα. Το μήκος ΟΓ είναι 8 σημείο Γ Ο 0 1. του ΟΑ του ΟΑ. Άρα το κλάσμα 8 τοποθετείται στο 1 = = 10 Α Γ Β 11 Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το 2 και μικρότερο από τα. Τα κλάσματα 2 και είναι ομώνυμα και ανάμεσα στους αριθμητές τους 2 και δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός. Μπορούμε, όμως, να βρούμε ισοδύναμα κλάσματα με αυτά π.χ. τα 10 6 και 10, για τα οποία μεταξύ των αριθμητών τους και 6 υπάρχει ο αριθμός. 12

13 Επομένως, αφού το κλάσμα είναι μεταξύ των 10 και 6 10, θα είναι και Να υπολογισθεί το άθροισμα Μετατρέπουμε το φυσικό αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή. Είναι: a 1. Να αποδειχθεί ότι: α) 1 a (α) 1 a (β) 1 a και (β) Να υπολογισθεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων και Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα και πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ισοδύναμα ομώνυμα. Έχουμε: ΕΚΠ (12, 20) = 60 οπότε: 60 : 12 = και 60 : 20 = Να βρεθεί η διαφορά: 1 και το αποτέλεσμα να γίνει μεικτός Για να τρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση: 11 = 2 + και έχουμε: Να βρεθεί το άθροισμα

14 Την πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρεψε το γκαζόν στο 1/2 μιας στρογγυλής πλατείας. Την δεύτερη ήμερα, εξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφερε να κουρέψει μόνο το 1/ του αρχικού γκαζόν. Ποιο μέρος από το γκαζόν της πλατείας κουρεύτηκε μέχρι και το τέλος της δεύτερης μέρας; Για να βρούμε το μέρος της πλατείας που κουρεύτηκε, στο τέλος της δεύτερης ημέρας, δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε τα δύο κλάσματα, δηλαδή το ½ και το 1/ Αλλά, για να εκτελέσουμε αυτή την πρόσθεση πρέπει να μετατρέψουμε τα δύο κλάσματα σε ομώνυμα. Άρα, θα έχουμε: Για να βρούμε ποιο κλάσμα της πλατείας έχει απομείνει για κούρεμα, πρέπει να αφαιρέσουμε από το όλο μέρος, δηλαδή: Να βρεθεί το γινόμενο: η ημέρα Σε ένα σχολείο με 22 μαθητές, τα /9 είναι αγόρια. Να βρεις πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια έχει το σχολείο Αφού τα αγόρια είναι τα /9 των μαθητών, θα είναι: Επομένως, τα κορίτσια θα είναι: = 112. = 6 7 1η ημέρα = 1

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρανομαστή μια δύναμη του 10. Κάθε δεκαδικός αριθμός διακρίνεται σε ακέραιο μέρος και δεκαδικό μέρος, που διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. Ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή α 10 ν, δηλαδή, ως γινόμενο ενός αριθμού α επί μία δύναμη του 10. Ο αριθμός α είναι ένας δεκαδικός αριθμός με ακέραιο ψηφίο μεγαλύτερο ή ίσο του 1 και μικρότερο του 10. Τη μορφή αυτή ονομάζουμε τυποποιημένη. Πράξεις μεταξύ δεκαδικών αριθμών Η Πρόσθεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη και προσθέτουμε τα ψηφία της ίδιας τάξης. Η Αφαίρεση δεκαδικών αριθμών γίνεται, όπως και στους φυσικούς αριθμούς. Τοποθετούμε τους αριθμούς τον ένα κάτω από τον άλλο, έτσι ώστε οι υποδιαστολές να γράφονται στην ίδια στήλη και αφαιρούμε τα ψηφία της ίδιας στήλης. Ο Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών γίνεται όπως και των φυσικών αριθμών. Τοποθετούμε στο αποτέλεσμα της πράξης την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη και των δύο παραγόντων. Η Διαίρεση γίνεται όπως και η ευκλείδεια διαίρεση. Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη και το διαιρετέο με την κατάλληλη δύναμη του 10 έτσι ώστε να γίνουν και οι δύο φυσικοί αριθμοί. Όταν εξαντληθεί το ακέραιο μέρος του διαιρετέου, «κατεβάζουμε» το μηδέν ως πρώτο δεκαδικό ψηφίο από τον διαιρετέο και τοποθετούμε στο πηλίκο υποδιαστολή. Όταν πολλαπλασιάζουμε με 0,1, 0,01, 0,001,... ή όταν διαιρούμε με 10, 100, 1000,..., ένα δεκαδικό αριθμό μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά μία, δύο, τρεις αντίστοιχα θέσεις. Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα δεκαδικό αριθμό με 10, 100, 1000,... μεταφέρουμε την υποδιαστολή του αριθμού προς τα δεξιά μία, δύο, τρεις,... θέσεις, αντίστοιχα. Οι Δυνάμεις των δεκαδικών αριθμών έχουν τις ιδιότητες των δυνάμεων των φυσικών αριθμών. Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που έχει το αποτέλεσμα, προκύπτει από το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της βάσης, επί τον εκθέτη της δύναμης. 1

16 Προτεραιότητα Πράξεων Δυνάμεις Πολλαπλασιασμοί Διαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις. Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά. Μήκους: Υποδιαιρέσεις: Πολλαπλάσια: Μονάδες Μέτρησης το μέτρο (1m) 1 m = 10 dm = 10 2 cm = 10 mm 1 Km = 10 m Επιφάνειας: το τετραγωνικό μέτρο (1m 2 ) Υποδιαιρέσεις: 1 m 2 = 10 2 dm 2 = 10 cm 2 = 10 6 mm 2 Πολλαπλάσια 1 στρέμμα = 10 m 2 Όγκου: το κυβικό μέτρο (1 m ) Υποδιαιρέσεις: 1 m = 10 dm = 10 6 cm = 10 9 mm Πολλαπλάσια: 1 lt = 0,01 m Χρόνου: το δευτερόλεπτο (1 s) Πολλαπλάσια: 1min = 60s, 1 h = 600 s Μάζας: Υποδιαιρέσεις: Πολλαπλάσια: το χιλιόγραμμο (1 Κg) 1 Kg = 10 gr = 10 6 mg 1t = 10 Kg 16

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δεκαδικοί αριθμοί με την εκτέλεση των αντίστοιχων διαιρέσεων: (α) 20/, (β) 0/8, (γ) 20/67 (α) 20/=20:= (β) 0/8=0:8=6,2 (γ) 20/67=20:67=7,76119 Στην περίπτωση αυτή το πηλίκο δεν είναι ακριβές και συνήθως γράφεται με προσέγγιση δέκατου 7,8 ή εκατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,761 κλπ. 20, , , Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 2, και (β) 0,8. (α) 2, = 2 : 100 = 2/100 (β) 0,8 = 8 : 1000 = 8/1000. Να γραφούν, ως δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) 1/100 και (β) 769/1000 (α) 1/100 = 1 : 100 =,1 (β) 769 / 1000 = 769 : 1000 = 0, Να μετατραπεί το κλάσμα 10/8 σε δεκαδικό κλάσμα. Αρχικά, μετατρέπουμε το κλάσμα 10/8 σε δεκαδικό αριθμό, εκτελώντας τη διαίρεση και έχουμε: 10/8 = 10 : 8 = 1,2. Ο δεκαδικός 1,2 μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα 1,2 = 12 : 100 = 12/100. Άρα 10/8 = 12/ Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β) 1,. (α) Ισχύει, ότι: 0 < 0,8 < 1. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε 10 ίσα μέρη (δέκατα). 0,

18 (β) Επίσης, ισχύει: 1 < 1, < 2. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 1 και 2 πρέπει να χωριστεί σε 100 ίσα μέρη (εκατοστά). 1, 1,1 1,2 1, 1, 1, 1,6. Να γραφούν σε τυποποιημένη μορφή οι : (α) και (β) =, = Να εκφραστεί το μήκος των 2.7,89 m, σε όλες τις υποδιαιρέσεις του m. Για τις μετατροπές από μία μονάδα σε άλλη, φτιάχνουμε μια σκάλα, που για να την ανέβουμε, πρέπει από κάθε σκαλοπάτι στο επόμενο, να διαιρούμε με το 10, ενώ για να την κατέβουμε πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το ,89 m m. 27,89 m : 10 : ,89 dm dm. 27,89 dm : 10 : ,9 cm cm. 278,9 cm : 10 : mm mm mm. Η επιφάνεια ενός κύβου έχει εμβαδόν 96 cm 2. Να βρεθεί ο όγκος του. Επειδή ο κύβος έχει 6 έδρες, η κάθε έδρα του θα έχει εμβαδόν 96 cm 2 : 6 = 16 cm 2. Αλλά είναι 16 cm 2 = cm cm = ( cm) 2, άρα, η ακμή του κύβου είναι cm. Επομένως, ο όγκος του κύβου είναι: ( cm) = cm cm cm = 6 cm 6. Μια αμαξοστοιχία διανύει την απόσταση Αθήνας - Πύργου σε ώρες και 7 λεπτά. Αν η αμαξοστοιχία ξεκινά από την Αθήνα στις 9:10 π.μ., ποια ώρα θα φτάσει στον Πύργο; Η αμαξοστοιχία θα φτάσει στις 9h 10min + h 7min = 1h 67min = 1h 7min, δηλαδή, θα φτάσει στον Πύργο στις 2:07 μ.μ., μετά το μεσημέρι. 18

19 27,6 m 7. Να βρεθεί η περίμετρος του σχήματος: 2, m 22,17 m (α) σε μέτρα, (β) σε εκατοστά και (γ) σε χιλιόμετρα. 8, m (α) Η περίμετρος σε μέτρα είναι ίση με το άθροισμα των μηκών των πλευρών του, δηλαδή: 26,6 m + 2, m + 22,17 m + 8, m = 111,8 m. (β) Είναι 111,8 m =111,8 m 0,001 = 0,1118 Km. (γ) Επίσης είναι 111,8 m 100 = cm. 11.Μια δεξαμενή νερού τρύπησε και χύνονται 2 σταγόνες κάθε δευτερόλεπτο. Αν οι 2 σταγόνες έχουν μάζα 1, g, να βρεθεί η μάζα του νερού που χάνεται κάθε ώρα. Κάθε δευτερόλεπτο χύνονται 2 σταγόνες νερού, άρα σε 1h = 600s θα χυθούν: = 7200 σταγόνες νερού. Αυτές θα έχουν μάζα: (7200 : 2) 1, g = 288 1, g = 2 g = 0,2 Kg 19

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Ανακεφαλαίωση Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα. ή ρίζα της εξίσωσης είναι κάθε αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα. Η διαδικασία μέσω της οποίας, βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης, λέγεται επίλυση της εξίσωσης. Μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη, όταν όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της. Μία εξίσωση λέγεται αδύνατη, όταν κανείς αριθμός δεν την επαληθεύει ή δεν είναι λύση της. Εξίσωση x + α = β x - α = β α - x = β α x = β x : α = β α : x = β x = β - α x = α + β x = α - β x = β : α x = α β x = α : β 20

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.Να λυθούν οι εξισώσεις: x + = 12, y 2 =, 10 z = 1, 7 φ =, ω : =, 2 : ψ = 6 x + = 12 x = 12 ή x = 7, y 2 = y = + 2, ή y =, 10 z = 1 z = 10 1, ή z = 9, 7 φ = 1 φ = 1 : 7, ή φ = 2, ω : = ω = ή ω = 20, 2 ψ = 6 ψ = 2 : 6 ή ψ = 2.Μια δεξαμενή χωρητικότητας 6 m που έχει μήκος 1, m και πλάτος 2 m, έχει ύψος (α) 1, m ή (β) m ή (γ) 2 m; Αν συμβολίσουμε με x το ύψος της δεξαμενής, τότε ο όγκος της θα ισούται με: V = 1, 2 x. Όμως γνωρίζουμε ότι ο όγκος της δεξαμενής είναι 6 m, άρα x = 6. (Δεν γράφουμε τις μονάδες στις εξισώσεις, αλλά πρέπει να γνωρίζουμε ποιες μονάδες χρησιμοποιούμε). Επομένως, x = 6 :, δηλαδή x = 2m. Συνεπώς το σωστό ύψος της δεξαμενής είναι τα 2 m.. Να περιγράψεις κάποιο πρόβλημα, που να λύνεται με τη βοήθεια της εξίσωσης: 2 x = 1000 Για παράδειγμα τα δύο παρακάτω προβλήματα περιγράφονται από την εξίσωση αυτή. Με τι ισούται η μία πλευρά του ορθογωνίου, που έχει περίμετρο 1000 m και του οποίου η άλλη πλευρά είναι 00 m; Πόσο ζυγίζει καθένα από τα δύο κιβώτια, με τα οποία είναι φορτωμένο ένα αυτοκίνητο, που έχει βάρος 800Kg, όταν η πλάστιγγα που ανέβηκε δείχνει 1000 Kg;.Η Χριστίνα ξόδεψε τα μισά της χρήματα για να αγοράσει 2 τετράδια και μαρκαδόρους. Αν είναι γνωστό, ότι κάθε τετράδιο στοιχίζει 1 και όλοι οι μαρκαδόροι, ποιο είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα πριν από τις αγορές αυτές; Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το ποσό των χρημάτων που είχε η Χριστίνα, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί απλούστερα με την εξίσωση: «τα χρήματα που ξοδεύτηκαν» = «τα χρήματα που κόστιζαν οι αγορές» ή «τα μισά χρήματα της Χριστίνας»= «το κόστος των τετραδίων» + «το κόστος μαρκαδόρων» ή x : 2 = ή x : 2 = 2 + ή x : 2 = ή x = 2 ή x = 10 21

22 Επαλήθευση: Τα μισά των 10 είναι και τα έξοδα είναι =.. Η δεξαμενή της κοινότητας χωράει.000 m νερό. Κάθε μέρα ξοδεύονται 00 m από τα νοικοκυριά και άλλα 200 m από τις βιοτεχνίες. Για τη συντήρηση του δικτύου, σταμάτησε η παροχή νερού προς τη δεξαμενή. Τέσσερις ημέρες μετά την έναρξη των εργασιών αποφασίζεται να ξοδεύονται μόνο 00 m συνολικά κάθε ημέρα. Πόσες ημέρες ακόμη πρέπει να κρατήσουν τα έργα συντήρησης, ώστε να μη μείνουν χωρίς νερό οι κάτοικοι της κοινότητας; Το ζητούμενο του προβλήματος είναι το επιπλέον πλήθος των ημερών συντήρησης του δικτύου, δηλαδή ο άγνωστος x του προβλήματος. Το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί με την εξίσωση: ποσό νερού που καταναλώνεται = ποσό νερού δεξαμενής ή αναλυτικότερα ποσό νερού που καταναλώνεται στις τέσσερις ημέρες της συντήρησης + ποσό νερού που καταναλώνεται στις επιπλέον ημέρες συντήρησης = ποσό νερού δεξαμενής ή ( ) + 00 x =.000 ή x =.000 ή x =.000 ή 00 x = ή 00 x = ή x = : 00 ή x = 2, ημέρες Επαλήθευση: 2, 00 + ( ) =.000 ή =.000 ή.000 = Τα οικόπεδα που διαθέτει ένα μεσιτικό γραφείο, έχουν την ίδια τιμή και είναι όλα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, με σταθερή περίμετρο 160 m. Ποιο από αυτά συμφέρει να επιλέξουμε για αγορά; Έστω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με διαστάσεις α και β. Τότε η περίμετρος θα είναι: α + α + β + β ή 2α + 2β ή 2(α + β) Γνωρίζουμε ότι: 2(α + β) = 160 Άρα θα είναι : α + β = 160 : 2 ή α + β = 80 Το πιο συμφέρον για αγορά είναι το οικόπεδο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. Το εμβαδόν του ορθογώνιου παραλληλογράμμου είναι Ε = α β. Φτιάχνουμε ένα πίνακα και δίνουμε διάφορες τιμές στα α και β: Α Δ α Β β Γ 22

23 α β α β Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο εμβαδόν είναι το τετράγωνο με διαστάσεις ίσες α = β = 0 m. 7. Μετά τη συνεδρίαση και τα 10 μέλη του διοικητικού συμβουλίου μιας εταιρείας ανταλλάσσουν μεταξύ τους χειραψίες. Πόσες χειραψίες γίνονται συνολικά; 1ος τρόπος: Αν υποθέσουμε ότι φεύγει ένας - ένας και χαιρετάει τους υπόλοιπους θα έχουμε ότι: Ο πρώτος θα ανταλλάξει, συνολικά, 9 χειραψίες. Ο δεύτερος 8, ο τρίτος 7, ο τέταρτος 6, ο πέμπτος, ο έκτος, ο έβδομος ο όγδοος 2, ο ένατος 1 και δέκατος καμία. Επομένως, ο συνολικός αριθμός θα είναι: = (1 + 9) + (2 + 8) + ( + 7) + ( + 6) + = = Άρα, η λύση είναι ότι θα γίνουν συνολικά χειραψίες. 2ος τρόπος: Γνωρίζουμε ότι ο καθένας κάνει χειραψία με τους υπόλοιπους. Επομένως, αφού όλοι είναι 10, ο καθένας θα κάνει 10 1 = 9 χειραψίες. Άρα συνολικά θα γίνουν 10 φορές επί 9, δηλαδή 10 9 = 90 χειραψίες. Όμως, μεταξύ δύο ανθρώπων η χειραψία είναι μία και εμείς τη μετρήσαμε διπλή (μία για καθένα από τους δύο). Επομένως, αυτές που έγιναν συνολικά θα είναι οι μισές, δηλαδή 90 : 2 =. 2

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΟΣΟΣΤΑ Ανακεφαλαίωση Το σύμβολο α% ονομάζεται ποσοστό επί τοις εκατό ή απλούστερα ποσοστό και είναι ίσο με το α/100. Χρησιμοποιούμε ακόμη το ποσοστό α που διαβάζεται ποσοστό επί τοις χιλίοις και είναι ίσο με το α/1000. Το ποσοστό α% του β είναι (α/100) β Τα κλάσματα μπορούν να γράφονται και ως ποσοστά. 2

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να γραφούν, ως ποσοστά επί τοις εκατό, τα παρακάτω κλάσματα: (α) / (β) /8 (γ) 8/ (α) = = = 80%, 8 12, 8 12, 7, 100 (β) = = = 7,%, (γ) = 0,92 = = 92% Να γραφούν, ως κλάσματα τα ακόλουθα ποσοστά: (α) 12%, (β) 7%, (γ) 2,% (α) 12% = = =, (β) 7% =, :. 100 :. 2 2, (γ) 2,% = = = Ποια θα είναι η τιμή πώλησης ενός πουλόβερ, αξίας 10, με επιβάρυνση ΦΠΑ 19%; Γνωρίζουμε ότι: Τιμή πώλησης = Αξία + ΦΠΑ Ο φόρος που αντιστοιχεί θα είναι: Φόρος = Αξία 19% = 10 19% = 10 = = 28,. Άρα, η τιμή πώλησης θα είναι: , = 178,.. Ένας ηλεκτρολόγος είχε έσοδα 2.86 το δεύτερο τρίμηνο του έτους. Πόσα χρήματα πρέπει να αποδώσει στο κράτος, αν ο ΦΠΑ που παρακρατά από τους πελάτες του είναι 19%; Το ποσό Φ.Π.Α. έχει παρακρατηθεί από τον ηλεκτρολόγο, αφού κάθε πελάτης του έχει επιβαρυνθεί με 19%, επί της αξίας της εργασίας του ηλεκτρολόγου. Έτσι για εργασία 100 ο πελάτης έχει πληρώσει 119, δηλαδή ο ηλεκτρολόγος σε έσοδα 119 οφείλει στο κράτος 19, δηλαδή τα 19/119 των εσόδων. Οφειλόμενος ΦΠΑ = Έσοδα 19/119 = /119 =

26 . Στην περίοδο των εκπτώσεων, ένα κατάστημα έκανε έκπτωση % στα είδη ρουχισμού και 1% στα παπούτσια. Ποσό θα πληρώσουμε για ένα πουκάμισο και ένα ζευγάρι παπούτσια που κόστιζαν 8 και 170, αντίστοιχα, πριν τις εκπτώσεις. Η τιμή κάθε είδους υπολογίζεται από τη σχέση: Τιμή μετά την έκπτωση = Τιμή πριν την έκπτωση Ποσό έκπτωσης. Για το πουκάμισο έχουμε ποσό έκπτωσης: % 8 = (/100) 8 = 20,0. Η τιμή του πουκάμισου μετά την έκπτωση είναι: 8 20,0 = 7,70. Για τα παπούτσια έχουμε ποσό έκπτωσης: 1 % 170 = (1/100) 170 = 2,0. Η τιμή των παπουτσιών μετά την έκπτωση είναι: 170 2,0 = 1,0. Και για τα δύο μαζί θα πληρώσουμε: 7,70 + 1,0 = 182, Ποσό κατατέθηκε σε λογαριασμό ταμιευτηρίου, με επιτόκιο %. Πόσος είναι ο τόκος που θα αποδώσει το κεφάλαιο αυτό, μετά από 18 μήνες, αν οι τόκοι προστίθενται στο κεφάλαιο κάθε χρόνο; Γνωρίζουμε ότι: Τόκος = Κεφάλαιο Επιτόκιο Άρα: Τόκος α έτους είναι: 1000 % = /100 = 0 Στο τέλος των 12 μηνών το κεφάλαιο θα γίνει: = 100 Ο τόκος στους επόμενους 6 μήνες θα είναι τα 6/12 του ετήσιου τόκου, δηλαδή: 100 % (6/12) = 1.00 (/100) (6/12) = 26,2 Ο συνολικός τόκος που απέδωσαν τα για 18 μήνες είναι: ,2 = 76,2. 26

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΠΟΣΑ ΑΝΑΛΟΓΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ Ανακεφαλαίωση Λόγος δύο αριθμών: α. β = κ Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων α. β = γ. τότε α δ = β γ και = = δ α. γ. β = δ = α + γ. β + γ Τα ποσά x και y είναι ανάλογα, τότε και μόνο τότε, αν ισχύει η σχέση: y. x = α ή y = α x, όπου α συντελεστής αναλογίας Γραφική παράσταση της y = α x, Κάθε ζευγάρι τιμών (x, y) δύο ανάλογων ποσών αναπαρίσταται από ένα σημείο του επιπέδου με συντεταγμένες το ζευγάρι τιμών (x, y). Τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω σε μια ημιευθεία, με αρχή το σημείο Ο(0,0) Κάθε σημείο της ημιευθείας η οποία αναπαριστά μια σχέση αναλογίας, έχει συντεταγμένες που ικανοποιούν αυτήν τη σχέση αναλογίας y = α x Τα ποσά x και y είναι αντιστρόφως ανάλογα, τότε και μόνο τότε, αν ισχύει η σχέση: y x = α ή y = α., όπου x, y 0. x 27

28 Δύο μεγέθη λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν μεταβάλλονται έτσι ώστε το ένα μέγεθος πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό όταν το άλλο, ταυτόχρονα, διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά x και y, δεν μπορούν να πάρουν τιμές ίσες με μηδέν. Γραφική παράσταση y = α / χ, όπου x, y 0. Τα σημεία που παριστούν τα ζεύγη (x, y) βρίσκονται, σε μια καμπύλη γραμμή. Η καμπύλη αυτή, που έχει χαρακτηριστικό σχήμα και ιδιότητες, ονομάζεται υπερβολή. Η υπερβολή δεν τέμνει ποτέ τους ημιάξονες Οx και Οy, διότι οι συντεταγμένες των σημείων της δεν παίρνουν ποτέ την τιμή 0. 28

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Μετρούμε μια απόσταση, σε χάρτη, με κλίμακα 1: και τη βρίσκουμε ίση με 2, cm. Ποια είναι η πραγματική απόσταση των δύο σημείων; Αφού δίνεται η κλίμακα 1: , στο 1 cm του χάρτη αντιστοιχούν cm στην πραγματικότητα Συνεπώς, αν τα 2, cm του χάρτη αντιστοιχούν σε x cm 2, x στην πραγματικότητα θα έχουμε: = Επομένως ισχύει ότι: 1 x = 2, ή x = cm = m = 20 Km. 2. Να συμπληρωθεί ο πίνακας, αν γνωρίζουμε ότι τα ποσά x και y είναι ανάλογα, με συντελεστή αναλογίας α =2/ x 0 1 0,. y y = α x. Τα ποσά x και y συνδέονται με τη σχέση: y = 2/ x Άρα για x = 0, η τιμή του y θα είναι: y = 2/ 0 = 0 για x = 1 είναι y = 2/ 1 = 2/ για x = 0, είναι y = 2/ 0, = 2/ /10 = 2/10 = 0,2 x = y/α Για y = /, θα είναι x = / : 2/ = / 2/ = 1/6 = 2, Για y =, θα έχουμε, αντίστοιχα: x = : 2/ = /2 = 9/2 =,. Σε ένα διάλυμα ζάχαρης η περιεκτικότητα σε ζάχαρη είναι 2%. Πόσα γραμμάρια ζάχαρης υπάρχουν σε 00 gr διαλύματος; Περιεκτικότητα 2% σε ζάχαρη σημαίνει ότι σε 100 gr διαλύματος υπάρχουν 2 gr ζάχαρη. Άρα, τα 2/100 κάθε ποσότητας, από το διάλυμα, είναι ζάχαρη. Δηλαδή θα ισχύει: Ποσότητα ζάχαρης = 2/100 Ποσότητα διαλύματος Επομένως: y = 2/100 x. H σχέση αυτή κάνει φανερό ότι τα ποσά y και x είναι ανάλογα. Έτσι θα έχουμε: y = 2/ gr = 69 gr. 29

30 . Ένα πλοίο έχει σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 80 Κm σε 2 ώρες. Σε πόσο χρόνο θα καλύψει απόσταση Κm; Χρόνος (ώρες) 2 x Απόσταση (Km) Επομένως, έχουμε: = Άρα: 80 x = x Επομένως: 80 x =.000 Οπότε x = = 0 ώρες.. Δίνονται οι πίνακες Α, Β, Γ και Δ. (α) Να γίνει η γραφική απεικόνιση των ζευγών (x, y) των πινάκων στο επίπεδο και (β) να διαπιστωθεί σε ποια περίπτωση αυτά παριστάνουν ποσά ανάλογα. Α Β x x y , y 1 1, 2 2, Γ Δ x x y y 0 0, 1 1, Ο πίνακας Α είναι πίνακας τιμών των x και y που δεν είναι ανάλογα, αφού 1. 2 Ο πίνακας Β είναι πίνακας τιμών των x και y που δεν είναι ανάλογα, 1. αφού 1, , Ο πίνακας Γ είναι πίνακας αναλογίας των ποσών x και y, με συντελεστή αναλογίας το α = 1 Η ημιευθεία που την αναπαριστά έχει αρχή την αρχή των αξόνων και είναι η διχοτόμος της γωνίας των ημιαξόνων , xοy 0

31 καθαρό βύσσινο Ο πίνακας Δ είναι πίνακας αναλογίας των ποσών x και y με συντελεστή αναλογίας το α= 0, 6. Για να φτιάξουμε γλυκό βύσσινο πρέπει να καθαρίσουμε τα βύσσινα από τα κουκούτσια. Αν καθαρίσουμε 2, Κg βύσσινο, παίρνουμε 2 Κg καθαρό βύσσινο. Αν καθαρίσουμε Κg βύσσινο, τι ποσότητα καθαρού βύσσινου θα πάρουμε; Τα ποσά ακαθάριστο βύσσινο και καθαρό βύσσινο είναι ανάλογα. Συμβολίζουμε με y την άγνωστη ποσότητα καθαρού βύσσινου και δημιουργούμε τον πίνακα αναλογίας. Βύσσινο με κουκούτσι 2, Kg Kg Καθαρό βύσσινο 2 Kg y Θα έχουμε 2, =. δηλαδή: 2, y = 2, επομένως 2, y = 10 συνεπώς, 2 y y = 10. άρα, y = Kg. 2, Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί και με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης των δύο ανάλογων ποσών, από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε την ποσότητα καθαρού βύσσινου (τεταγμένη του σημείου Β), από την ποσότητα των Κg, βύσσινου με κουκούτσια ( τετμημένη ). Η ημιευθεία, που αναπαριστά τη σχέση αναλογίας του προβλήματος μας, ορίζεται από τα σημεία Ο(0, 0)και Α(2,, 2) Β 2 Α 1 Ο βύσσινο με κουκούτσια Στον ημιάξονα Οx (κιλά βύσσινο με κουκούτσια) και στο σημείο που βρίσκεται ο αριθμός φέρουμε κάθετη. Αυτή τέμνει τη γραφική παράσταση της σχέσης αναλογίας, σε σημείο Β. Το σημείο Β έχει τετμημένη. Η τεταγμένη του προκύπτει, αν φέρουμε κάθετη από το Β προς τον ημιάξονα Οy (καθαρό βύσσινο) και είναι Κg. 7. Ένας μεσίτης αγοράζει ένα σπίτι και σκοπεύει να το πουλήσει με κέρδος 28%. Σε ένα πελάτη έκανε έκπτωση 1%, επί της τιμής πώλησης. (α) Πόσο πουλήθηκε το σπίτι στον πελάτη αυτόν; (β) Ποιο είναι το ποσοστό κέρδους του μεσίτη, για το σπίτι αυτό; Γνωρίζουμε ότι: Δύο ποσά που συνδέονται με ποσοστιαία σχέση, είναι ποσά ανάλογα. 1

32 (α) Για να βρεθεί η τιμή πώλησης του σπιτιού πρέπει ν αφαιρεθεί η έκπτωση που έγινε στην αρχική τιμή πώλησης. Δηλαδή: Θα υπολογίσουμε την αρχική τιμή πώλησης του σπιτιού. Στην τιμή κόστους θα έχουμε κέρδος 28%, δηλαδή ένα προϊόν με τιμή κόστους 100 πωλείται 128. Τότε, ο πίνακας αναλογίας θα είναι: Τιμή αγοράς Δηλαδή: = 128 Τιμή πώλησης 128 y Επομένως, 100 y = συνεπώς, y = Άρα, y = Θα υπολογίσουμε την τιμή πώλησης μετά την έκπτωση που έγινε. Στην τιμή πώλησης έγινε έκπτωση 1%, δηλαδή ένα προϊόν με τιμή πώλησης 100 πωλείται 8. Ας γράψουμε τον πίνακα αναλογίας: Δηλαδή: = Αρχική τιμή πώλησης Τιμή πώλησης με έκπτωση 1% 8 y Επομένως, 100 y = συνεπώς, y y y = Άρα, y = Ο πελάτης αγόρασε το σπίτι (β) Για να υπολογίσουμε το ποσοστό κέρδους επί της τιμής αγοράς, πρέπει να ανάγουμε το κέρδος στα 100. Το κέρδος του εμπόρου είναι: = Έχουμε, λοιπόν, τον παρακάτω πίνακα αναλογίας: Τιμή αγοράς Κέρδος x Δηλαδή: = 100 x Επομένως, x = συνεπώς, x = Άρα x = 8,8. Το ποσοστό κέρδους του εμπόρου είναι 8,8%

33 8. Ένας ελαιοπαραγωγός χρησιμοποιεί δοχεία των 20 lt, 1 lt, 10 lt και lt, για να συσκευάσει το λάδι που παράγει. Η παραγωγή του είναι.600 lt. Θέλει να συσκευάσει την ίδια ποσότητα λαδιού σε κάθε μία από τις τέσσερις διαφορετικές συσκευασίες. (α) Πόσα δοχεία χρειάζεται από κάθε είδος; (β) Πόσο θα κοστίσει η συσκευασία της παραγωγής του αν στοιχίζει 0, το δοχείο των 20 lt, 0, το δοχείο των 1 lt, 0,2 το δοχείο των 10 lt και 0,1 το δοχείο των lt; (α) Ο παραγωγός θέλει να συσκευάσει την ίδια ποσότητα λαδιού σε διαφορετικά είδη δοχείων, άρα σε κάθε είδος δοχείου θα συσκευάσει το 1/ της παραγωγής του, δηλαδή (1/) 600 = 600/ = 900 lt για κάθε είδος δοχείων. Συνεπώς, θα ισχύει: x (Αριθμός Δοχείων) y (Χωρητικότητα) = 900 lt. Τότε, θα είναι: 900 x για x = 20 lt, είναι: y = = = για x = 1 lt, είναι: y = = = 60 για x = 10 lt, είναι: y = = = 90 για x = lt, είναι: y = = = 180 Έτσι, θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα και το αντίστοιχο διάγραμμα. x (χωρητικότητα) y (αριθμός δοχείων) x 900 x 900 x (β) Τα ποσά Αριθμών δοχείων και Κόστος συσκευασίας είναι ανάλογα. Έτσι σε κάθε είδος δοχείου θα έχουμε: Αριθμός δοχείων 1 Δοχεία 20 lt Κόστος δοχείων 0, ω Δηλαδή: ω = 0, άρα ω = 18

34 Αριθμός δοχείων 1 60 Δοχεία 1 lt Κόστος δοχείων 0, ω Δηλαδή: ω = 60 0, άρα ω = 18 Αριθμός δοχείων 1 90 Δοχεία 10 lt Κόστος δοχείων 0,2 ω Δηλαδή: ω = 90 0,2 άρα ω = 18 Αριθμός δοχείων Δοχεία lt Κόστος δοχείων 0,1 ω Δηλαδή: ω = 180 0,1 άρα ω = 18 Έτσι, το συνολικό κόστος της συσκευασίας θα είναι το άθροισμα του κόστους των δοχείων και των τεσσάρων ειδών. Συνολικό κόστος = = 72

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ανακεφαλαίωση Ακέραιοι αριθμοί:...,-, -, -2, -1, 0, 1, 2,,,... Ρητοί αριθμοί: Φυσικοί, Κλάσματα, Δεκαδικοί (Θετικοί και Αρνητικοί) Oμόσημοι ρητοί αριθμοί: Έχουν το ίδιο πρόσημο Eτερόσημοι ρητοί αριθμοί: Έχουν αντίθετο πρόσημο Απόλυτη τιμή ρητού α : Εκφράζει την απόσταση σημείου με τετμημένη α από την αρχή O του άξονα των ρητών Αντίθετοι ρητοί αριθμοί: Οι ετερόσημοι με ίδια απόλυτη τιμή Αν α > ο, τότε α =α και αν α < ο, τότε α = -α Πράξεις μεταξύ ρητών αριθμών Πρόσθεση α, β > 0 α+β = +( α + β ) α, β < 0 α+β = -( α + β ) α < 0 < β α+β = -( α - β ) αν α > β α+β = +( β - α ) αν α < > β Ιδιότητες της πρόσθεσης: α+β = β+α (Αντιμεταθετική) α+(β+γ)=(α+β)+γ (Προσεταιριστική) α+0=0+α=α α+(-α)=(-α)+α=0 (α και -α, αντίθετοι) Αφαίρεση: α-β=α+(-β) Πολλαπλασιασμός α, β>0 ή α,β<0 (ομόσημοι) α β= α β α<0<β ή β<0<α (ετερόσημοι) α β=- α β Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού: α β = β α (Αντιμεταθετική) α (β γ) = (α β) γ (Προσεταιριστική) α 1=1 α=α α 0=0 Διαίρεση: α : β = α/β = α 1/β

36 ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: Του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση: α (β + γ) = α β + α γ α (β-γ) = α β-α γ Προτεραιότητα Πράξεων Οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις προηγούνται και γίνονται με την παραπάνω σειρά ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί α ν = α α α... α (ν φορές) Το α λέγεται βάση και το ν εκθέτης α 0 = 1 και α1 = α Ιδιότητες των δυνάμεων α μ α ν = α μ+ν α μ :α ν = α μ-ν (αβ) ν = α ν β ν (α μ ) ν = α μν (όπου: α, β 0 και μ, ν φυσικοί αριθμοί) 6

37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκφραστούν με τη βοήθεια των θετικών και αρνητικών ρητών αριθμών: (α) 1,7 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, (β) 20 Κέλσιου πάνω από το μηδέν, (γ) κέρδος.68,97, (δ) αύξηση κατά 2.27,1, (ε) μείωση κατά 0 μονάδες και (στ) έκπτωση 1% επί της τιμής. (α) -1,7 m, (β) +20, (γ) +.68,07, (δ) +2.21,1, (ε) -0, (στ) -1% 2. Στον άξονα των αριθμών να τοποθετηθούν οι αριθμοί:. Το σημείο Κ έχει τετμημένη -7. Να βρεθεί το σημείο Λ με αντίθετη τετμημένη. Πάνω σε άξονα x'ox βρίσκουμε το σημείο K με τετμημένη -7. Τότε το Λ έχει τετμημένη τον αριθμό +7.. Εάν η απόλυτη τιμή του αριθμού α είναι 2, να βρεθεί ο αριθμός α. Εφόσον α =2 τότε ο αριθμός α θα είναι, είτε το +2 είτε το -2, διότι +2 = 2 και -2 = 2. Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί -2 και +2, έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά αντίθετο πρόσημο. 7

38 . Σε μια πόλη παρατηρήθηκαν οι παρακάτω αυξομειώσεις της θερμοκρασίας: Αρχικές θερμοκρασίες Αυξομειώσεις θερμοκρασίας (α) Βράδυ +1 C την επόμενη μέρα αυξήθηκε κατά C (β) Μεσημέρι -1 C το βράδυ μειώθηκε κατά 2 C (γ) Βράδυ -2 C την επόμενη μέρα αυξήθηκε κατά C (δ) Μεσημέρι + C το βράδυ μειώθηκε κατά 7 C (ε) Μεσημέρι - C το βράδυ μειώθηκε κατά C Ποια ήταν η τελική θερμοκρασία σε κάθε περίπτωση; (α) (β) (γ) (δ) Την επομένη ημέρα η θερμοκρασία έχει αυξηθεί κατά C, δηλαδή έχει μεταβληθεί κατά + C. H θερμοκρασία θα είναι C πάνω από το μηδέν, διότι: (+1) + (+) = + Από -1 C η θερμοκρασία μειώθηκε κατά 2 C, άρα μεταβλήθηκε κατά -2 C. H νέα θερμοκρασία είναι - C, διότι έχουμε: (-1) + (-2) = - Στην περίπτωση αυτή η θερμοκρασία από -2 C, αυξήθηκε κατά C, δηλαδή έχουμε μια μεταβολή + C. Η θερμοκρασία έφτασε στους + C, διότι: (-2) + (+) = + Η αρχική θερμοκρασία ήταν + C και μειώθηκε κατά 7 C, δηλαδή έχουμε μια μεταβολή κατά -7 C. H θερμοκρασία έγινε, τελικά -2 C, διότι: (+) + (-7) = -2 (ε) Από C η θερμοκρασία μειώθηκε κατά C, δηλαδή μεταβλήθηκε κατά - C. Η θερμοκρασία έγινε τελικά 0 C, διότι: (+) + (-) = 0 8

39 6. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: (α) (+,6) + (+8,7) + (-,2) + (-6,9) + (+,2) + (-7,) και (β) (-1,8) + (+,8) + (+9,7) + (-,8) + (-,) + (+1,) (α) (χωρίζουμε τους αρνητικούς από τους θετικούς) (προσθέτουμε χωριστά τους αρνητικούς και τους θετικούς) (β) 7. Ένα βράδυ το θερμόμετρο στο μπαλκόνι ενός σπιτιού έδειχνε - C και μέσα στο σπίτι 18 C. Πόση ήταν η διαφορά θερμοκρασίας; To πρόβλημα ζητάει να υπολογίσουμε τη διαφορά των θερμοκρασιών, δηλαδή τη διαφορά (+18) - (-). Αν παρατηρήσουμε το σχήμα θα δούμε ότι η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του εσωτερικού του σπιτιού και του εξωτερικού του ήταν +21 C. Σύμφωνα με τον ορισμό της αφαίρεσης ρητών θα έχουμε: (+18) - (-) = (+18) + (+) = (+21) 8. Ένας έμπορος χρωστάει στον προμηθευτή του 897,6 και του οφείλει ένας πελάτης 27,2. Πόσα πρέπει να έχει στο ταμείο για να ξεχρεώσει; Αν x είναι το ποσό των χρημάτων που χρειάζεται, θα είναι: x + (+27,2) = +807,6. Γνωρίζουμε ότι: x = (+807,6) - (+27,2). Σύμφωνα με τον κανόνα της αφαίρεσης ρητών, έχουμε ότι: x = (+807,6) + (-27,2). Άρα, x = +(807,6-27,2) ή x = +70,1 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) x + (+) = (-9), (β) (-8) - x = +7 (α) Αν είναι: x + (+) = (-9) τότε x = (-9) - (+) ή x = (-9) + (-) ή x = (-12). Δηλαδή, x =

40 (β) Εφ' όσον (-8) - x = +7 θα ισχύει ότι: (-8) = (+7) + x και επίσης: x = (-8) - (+7) ή x = (-8) + (-7) δηλαδή x = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: -1 - (0, ) + (0,8-11). Έχουμε: -1 - (0, ) + (0,8-11) = = -1-0, ,8-11 = = ,8 + 0, = = = Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α)(-1,) = -(1, ) = -7 (β) (+2/) (-2,1) = - (,2/) = -1, (γ)(-10) (-0, 7) = +(10 0,7) = Να υπολογιστεί το γινόμενο (-1)α, όταν το α παίρνει τις τιμές: 1. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων: 1. Να υπολογιστούν τα πηλίκα: (α) (+1,) : (+) = +(1, : ) = +0, (β) (γ) (-0,) : (-0,1) = +(0, : 0,1) = + 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: (α) -6x = -2, (β) -x = +1, (γ) x : (-2) = - 0

41 (α) -6x = -2 x= (-2):(-6) x= +(2:6) x = + (β) -x = +1 x= (+1):(-) x = -(1:) x = - (γ) -x:(-2) = - x=(-) (-2) x = +( 2) x = Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 17. Να γραφούν με κλασματική μορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί: 18. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) -, (β) (-), (γ) -, (δ) (-). Τι παρατηρείτε; (α) Η παράσταση θα είναι: = -27 (β) Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, η δύναμη θα είναι αρνητικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-) = (-) (-) (-) = - = -27 (γ) Η παράσταση θα είναι: - = - = -81 (δ) Επειδή ο εκθέτης είναι άρτιος, η δύναμη θα είναι θετικός αριθμός. Άρα, θα είναι: (-) = (-) (-) (-) (-) = + = +81 1

42 19. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Π=(-2) - +(-2) :16+[-1-(-1) 7 8] Η σειρά των πράξεων είναι η εξής: 1ο Δυνάμεις, 2ο Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, ο Προσθέσεις και αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν παρενθέσεις, προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την ίδια σειρά. Άρα: Π=(-2) - +(-2) :16+[-1-(-1) 7 8] Π= (-8) -81+(+16):16+[-1+8] Π= Π= Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: (α) (-2) -, (β) - -, (γ) (-267) 0. (α), (β), (γ) 21. Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) [(-) ] 2 = (-) 2 - (-) 6 = 729 (β) : -2 = -(-2) - +2 = = 2 (γ) (-2) (-2) 6 = (-2) +6 = (-2) 10 = 102 (δ) 22. Να υπολογιστούν οι δυνάμεις: 10-1, 10-2, 10 -, 10 -, 10 -, 10-6,

43 2. Να εκφραστεί με τυποποιημένη μορφή το βάρος ενός μορίου νερού, που είναι: 0, gr. Για να εκφράσουμε το βάρος ενός μορίου νερού με την τυποποιημένη μορφή πρέπει να βρούμε εκείνη τη δύναμη του 10 που, όταν πολλαπλασιάσει ένα δεκαδικό αριθμό με ένα μόνο ακέραιο ψηφίο, δίνει ξανά το παραπάνω βάρος. Δηλαδή: Για να βρούμε τον κατάλληλο ακέραιο εκθέτη της δύναμης του 10 μετράμε τις δεκαδικές θέσεις μετά την υποδιαστολή. 2. Να εκφραστούν με τυποποιημένη μορφή οι αριθμοί: (α) 0,126789, (β) 0, , (γ) 0,000008: (α) 0, = 1, (β) 0, =, (γ) 0,000008: = 0, =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ

ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ 1 η ΔΙΟΡΘΩΣΗ (Σελίδα 36, 3 ος στοίχος από κάτω): 1. Στην πρόσθεση που ακολουθεί να βρεθούν τα ψηφία που αντιπροσωπεύονται από τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ και Ε. ΑΒΓ +ΔΑΓ Α736 2. Στην πρόσθεση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α σ κ ή σ ε ι ς γ ι α τ ι ς δ ι α κ ο π έ ς τ ω ν Χ ρ ι σ τ ο υ γ έ ν ν ω ν () Στρογγυλοποίησε τον αριθμό 8.987. στις πλησιέστερες: (α) δ ε- κάδες, (β) εκατοντάδες, (γ) χιλιάδες,

Διαβάστε περισσότερα

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου

Διορθώσεις - Βελτιώσεις. στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου Διορθώσεις - Βελτιώσεις στα βιβλία μαθητή των Μαθηματικών του Γυμνασίου 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρες τους έξι διαφορετικούς τριψήφιους αριθμούς που. Βρες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου

Γιώργος Νάνος Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Μαθηματικά. Γυμνασίου Φυσικός MSc ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Μαθηματικά A Γυμνασίου Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Φυσικοί & Δεκαδικοί Αριθμοί Η θεωρία με Ερωτήσεις Ασκήσεις & Προβλήματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Μετρήσεις Μεγεθών Η

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Πρόσθεση Φυσικών Αριθμών Μάθημα 5 ο Για να προσθέσω φυσικούς αριθμούς πρέπει να προσθέσω τις μονάδες των αριθμών αυτών, μετά τις δεκάδες των αριθμών, μετά τις εκατοντάδες κλπ. Η πρόσθεση φυσικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μαθηματικά Α Γυμνασίου A/A Σελίδα Αντί Να γραφεί 1 11, 1 η Δραστηριότητα Βρε του έξι διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. Βρε όλου του διαφορετικού τριψήφιου αριθμού που. 2 11, Θυμόμαστε Η δυνατότητα αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις.: Δυνάμεις φυσικών αριθμών.4: Ευκλείδεια διαίρεση - διαιρετότητα.: Χαρακτήρες διαιρετότητας - ΜΚΔ - ΕΚΠ - Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα

Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 2 Περιεχόμενα Σελίδα 4: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Αριθμητική - Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2, Κλάσματα Σελίδα 22: Α Γυμνασίου,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 5 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Δουκάκης Σπυρίδων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΩΝ 2.1 Παράσταση αριθμών με σημεία μιας ευθείας. α) Στην παραπάνω εικόνα οι χρωματιστοί δείκτες μας δείχνουν κάποιους αριθμούς. Συμπληρώστε τον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ:

Καθηγήτρια : Ιωάννα Ερωτοκρίτου τηλ: ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13 5. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...25

Διαβάστε περισσότερα

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5

1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 25 να διαιρείται ακριβώς με το 2, το 3 και το 5 Μαθηματικά Α' Γυμνασίου - Ασκήσεις επανάληψης στην Άλγεβρα Σελίδα 1 1) Να συμπληρώσετε τα τετραγωνάκια με τον κατάλληλο μονοψήφιο αριθμό ώστε: (α) ο αριθμός 5 να διαιρείται ακριβώς με το, το και το 5 (β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ - ΑΛΓΕΒΡΑ Τόμος

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού

Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου. Μαθηματικά. για διαγωνισμούς. Ε & ΣΤ Δημοτικού Κωνσταντίνος Σάλαρης, Ανδρέας Τριανταφύλλου Μαθηματικά για διαγωνισμούς Ε & ΣΤ Δημοτικού Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Γυμνάσια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 40) α) Ο αριθμός 1.047 έχει διαιρέτη το 3; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να βάλετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ Α ΤΑΞΗΣ Το αναλυτικό πρόγραμμα που παρουσιάζουμε εδώ είναι μια πρόταση από περιεχόμενα που θα μπορούσαν να διδαχτούν στο σχολείο δεύτερης ευκαιρίας. Αυτό δεν σημαίνει ότι το πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Να γραφεί ο τύπος της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το, πότε με το, το, και πότε με το 9. ( Δώστε παράδειγμα) Ποιοι αριθμοί καλούνται πρώτοι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα