Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ámbito científico tecnolóxico. Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. Módulo 3 Unidade didáctica 8"

Transcript

1 Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Módulo 3 Unidade didáctica 8 Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Páxina 1 de 45

2 Índice 1. Programación da unidade Encadramento da unidade no ámbito Descrición da unidade didáctica Obxectivos didácticos Contidos Actividades e temporalización Recursos materiais Avaliación Desenvolvemento A función cuadrática Estudo da función cuadrática Gráfica das funcións de tipo y = ax Gráfica das funcións de tipo y = ax 2 + c Gráfica da función cuadrática completa y = ax 2 + bx + c A ecuación de segundo grao Resolución da ecuación de segundo grao ax 2 + bx + c = Número de solucións dunha ecuación de segundo grao Ecuación de segundo grao incompleta Solucións dunha ecuación e puntos de corte co eixe OX Resolución de problemas utilizando ecuacións de segundo grao Sistemas de ecuacións lineais Métodos para resolver un sistema de ecuacións lineais Resolución de problemas mediante sistemas de ecuacións Actividades finais Cuestionario de avaliación...44 Páxina 2 de 45

3 1. Programación da unidade 1.1 Encadramento da unidade no ámbito Módulo 1 Bloque 1 Bloque 2 Unidade 1 Unidade 2 Unidade 3 Unidade 4 Unidade 5 Unidade 6 Unidade 7 Unidade 8 Módulo 2 Bloque 1 Bloque 2 Unidade 1 Unidade 2 Unidade 3 Unidade 4 Unidade 5 Unidade 6 Unidade 7 Unidade 8 Módulo 3 Bloque 1 Bloque 2 Unidade 1 Unidade 2: Unidade 3 Unidade 4 Unidade 5 Unidade 6 Unidade 7 Unidade 8: Ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións Módulo 4 Bloque 1 Bloque 2 Unidade 1 Unidade 2 Unidade 3 Unidade 4 Unidade 5 Unidade 6 Unidade 7 Unidade Descrición da unidade didáctica Dedícase esta unidade ao estudo das funcións cuadráticas, as ecuacións de segundo grao e os sistemas de ecuacións lineais, aplicados para resolver problemas de móbiles e doutros contornos do coñecemento. Páxina 3 de 45

4 1.3 Obxectivos didácticos Relacionar as funcións de primeiro e segundo grao coa súa representación gráfica Identificar as características máis salientables na gráfica da parábola. Utilizar un programa informático tipo Descartes, Derive, funcións para Windows, etc., para representar gráficas e visualizar as súas propiedades. Resolver ecuacións de segundo grao completas e incompletas, e comprobar as solucións, se as houber. Relacionar o número de solucións dunha ecuación de segundo grao co valor do discriminante e co número de puntos de corte co eixe OX. Utilizar as ecuacións de segundo grao para calcular o tempo que tarda un móbil con aceleración en alcanzar unha certa posición, despexándoo da ecuación s = s o + V o t+1/2at 2. Resolver problemas mediante a formulación e a resolución da ecuación de segundo grao resultante, e interpretar a pertinencia ou non das solucións atopadas. Coñecer o uso das técnicas alxébricas de resolución dun sistema de ecuacións lineais. Interpretar graficamente a solución dun sistema de ecuacións como o punto de corte das rectas asociadas. Formular sistemas de ecuacións e resolvelos en problemas de encontro e alcance de móbiles, e dos ámbitos socioeconómico e científico. 1.4 Contidos Representación gráfica posición/tempo do movemento uniformemente acelerado, coñecidas s o, v o e a aceleración: a función cuadrática. Estudo da función cuadrática. Táboa de valores. Representación gráfica. Puntos notables: vértice e eixe de simetría. Utilización das TIC para observar a influencia dos parámetros a, b e c na gráfica das funcións cuadráticas. Cálculo do tempo no movemento uniformemente acelerado a partir da ecuación 1 2 s = so + vot + a t : necesidade das ecuacións de segundo grao. 2 Resolución de ecuacións de segundo grao: tipos. Número de solucións da ecuación: discriminante. Resolución de problemas doutros ámbitos do coñecemento utilizando ecuacións de segundo grao. Problemas de encontros e alcance de móbiles: necesidade dos sistemas de ecuacións. Sistemas de ecuacións lineais con dúas ecuacións e dúas incógnitas. Solución do sistema. Significado. Métodos de resolución de sistemas. Aplicación dos sistemas de ecuacións na resolución de problemas noutros contornos. Páxina 4 de 45

5 1.5 Actividades e temporalización 16 períodos lectivos. 1.6 Recursos materiais Acceso as TIC para representación de funcións alxébricas. 1.7 Avaliación A avaliación dos aspectos procedementais e a participación nos debates farase observando e valorando as tarefas propostas polo profesorado. A avaliación dos aspectos conceptuais pódese facer con cuestionarios de tipo variado. Páxina 5 de 45

6 2. Desenvolvemento Ata agora estudamos os movementos uniforme e acelerado, ecuacións de primeiro grao, e funcións lineal e afín. Agora afondamos no coñecemento de funcións e ecuacións ao describirmos a función cuadrática, ecuacións de segundo grao e sistemas de ecuacións. 2.1 A función cuadrática Comecemos cun exemplo: un móbil parte da posición s o = 2 m con velocidade inicial v o = 1 m/s e aceleración a = 4 m/s 2. Debuxamos a súa gráfica s/t (posición/tempo). Solución: 1 1 s = so + vot + a t s = t + 4t = 2 + t + 2t s = 2 + t + 2 t 2 t s A gráfica obtida é unha parábola (máis ben un arco de parábola). Esta curva está asociada ás funcións cuadráticas, que son as que se expresan mediante un polinomio de grao 2: y = ax 2 + bx + c (con a 0). A gráfica dunha función cuadrática é sempre unha parábola Estudo da función cuadrática A función cuadrática máis sinxela é y = x 2. Vexamos a súa gráfica: y = x 2 x y Páxina 6 de 45

7 Na gráfica anterior observamos: O punto máis baixo da curva é, neste caso, o punto de coordenadas (0, 0). A este punto máis baixo chámaselle vértice da parábola. A curva é simétrica respecto do eixe OY. A función é decrecente para valores de x menores que cero (x < 0) e crecente para valores positivos de x (x > 0). A curva é convexa: está aberta cara arriba (ten forma de χ) Gráfica das funcións de tipo y = ax 2 Vexamos agora as gráficas das funcións y = 2x 2 e y = 3x 2, comparándoas coa anterior. y = 2x 2 y = 3x 2 x y x y Todas as parábolas teñen o vértice no mesmo punto (0, 0) e son convexas (forma de χ), pero canto maior é o valor do coeficiente a, máis estreita é a curva. Que ocorre cando o coeficiente a é negativo? Fíxese: y = - x 2 y = - 2x 2 y = - 3x 2 x y x y x y Xa ve o resultado: se o coeficiente a é negativo, a parábola é cóncava, é dicir, está aberta cara abaixo (ten forma de 1). O vértice da parábola agora é o punto máis alto dela. Páxina 7 de 45

8 Secuencia de actividades S1. Das funcións cuadráticas seguintes, cales son cóncavas e cales convexas? y = -3/2 x 2 y = 7 x 2 y = 3/5 x 2 y = x Gráfica das funcións de tipo y = ax 2 + c Comparemos entre si as gráficas das funcións y = x 2, y = x 2 +3 e y = x 2-4: y = x 2 y = x y = x 2-4 x y x y x y Vemos que a forma das tres parábolas é idéntica, pero y = x está desprazada cara a arriba tres unidades, e y = x 2-4 está desprazada catro unidades cara a abaixo respecto da parábola y = x 2. Xa que logo, o parámetro libre c ten como efecto subir c unidades a parábola, se c é positivo, e baixala c unidades se é negativo. Páxina 8 de 45

9 Secuencia de actividades S2. Comprobe que o efecto do parámetro c nas parábolas de tipo y = ax 2 + c tamén é desprazalas cara a arriba ou a abaixo, debuxando a gráfica das parábolas. y = 2x y = 2x 2 y = 2x 2-3 x y x y x y S3. Compare as gráficas das funcións cuadráticas. Que observa? y = - x 2 y = - x x y x y Páxina 9 de 45

10 2.1.4 Gráfica da función cuadrática completa y = ax 2 + bx + c Exemplo. Facemos a gráfica da parábola y = x 2 + 2x - 3: y = x 2 + 2x - 3 x y Como a > 0, a parábola é convexa (aberta cara arriba). Pode demostrarse que, para calquera parábola, a coordenada x do vértice vén dada pola expresión: Isto quere dicir que se a e b teñen o mesmo signo, o eixe de simetría da parábola e o vértice estarán desprazados cara á esquerda do eixe OY (como no exemplo anterior), e se teñen signos contrarios estarán desprazados cara á dereita. O parámetro c xoga o mesmo papel de subir ou baixar a gráfica que xa vimos antes. Para representarmos unha parábola é conveniente calcularmos primeiro a posición do seu vértice, e logo completar a táboa de valores x-y dándolle a x valores simétricos respecto de x v. Exemplo.Representar a función cuadrática y = x 2-4x - 1 Solución: a coordenada x v do vértice é: Así que lle damos a x os valores 2, 2 ± 1, 2 ± 2, 2 ± 3, etc. Páxina 10 de 45

11 y = x 2-4x - 1 x y xv = 2 yv = Exemplo. Representar a parábola y = - 2x 2-4x + 5 b 4 Solución: coordenada x do vértice: xv = = = 1 2 a 2.2 y = - 2x 2-4x + 5 x y xv = - 1 yv = Observe que como o coeficiente a é negativo, a parábola é cóncava (aberta cara a abaixo), e que como a e b teñen o mesmo signo, o vértice está á esquerda do eixe OY. Páxina 11 de 45

12 Secuencia de actividades S4. Calcule as coordenadas do vértice das parábolas: y = x2-8 y = x2- x + 5 y = 1/2 x2-4x + 1 y = - x2-2x + 4 y = 3x2 + 6x - 1 S5. Represente graficamente as funcións cuadráticas seguintes: y = x2-9x y = 1/2 x 2-3/2x + 1 x y x y y = x2-6x + 1 y = x2-2 x y x y Páxina 12 de 45

13 S6. Sen debuxar a gráfica, determine se o eixe de simetría e o vértice das parábolas están á esquerda ou á dereita do eixe OY: y = x 2-3x + 5 y = x 2-4x S7. Entre nalgunha destas páxinas de internet; nelas pode confirmar todo o que aprendeu sobre parábolas a golpe de rato! Vaia variando os parámetros a, b, e c e observe como cambia a gráfica e a posición do vértice nelas. [ [ Pinche en "parábola". [ Páxina 13 de 45

14 2.2 A ecuación de segundo grao Un problema de movemento uniformemente acelerado: un móbil parte da posición inicial s o = 3 m cunha velocidade de 10 m/s e aceleración 2 m/s 2. Canto tempo tardará en pasar pola posición s = 78 m? Solución: Hai que despexar t e deixalo só nun membro pero... non sabemos facelo! Por iso temos que aprender agora a resolver ecuacións de segundo grao. En que puntos cortan as parábolas o eixe OX? Podémolo saber sen as representar graficamente? Pois si que podemos: neses puntos a coordenada y vale cero; xa que logo: y = 0 = ax 2 +bx + c Así que para saber o valor de x nos puntos de corte atopámonos de novo co problema de resolver unha ecuación de segundo grao. Vexamos xa como se fai Resolución da ecuación de segundo grao ax 2 + bx + c = 0 Unha ecuación de segundo grao é completa cando os coeficientes a, b e c son todos distintos de cero. Se os coeficientes b ou c, ou os dous, son nulos, a ecuación chámase incompleta. As solucións da ecuación de segundo grao completa veñen dadas pola expresión (que non deducimos): 2 - b± b - 4ac x = ( sempre a ¹ 0) 2a O dobre signo ± diante da raíz cadrada quere dicir que en xeral hai dúas solucións: b + b - 4 ac - 4 1, x b b - = ac 2 = x 2a 2a Exemplo. Resolver a ecuación x 2-6x +8 = 0 Solución: As solucións son 4 e 2. Podémolas comprobar substituíndo estes valores na ecuación e vendo se realmente dan cero: x 2-6x + 8 = 0; x 1 = = = = 0 Solución correcta. x 2-6x + 8 = 0; x 2 = = = = 0 Solución correcta. Páxina 14 de 45

15 Secuencia de actividades S8. Resolver as ecuacións de segundo grao completas: x2-5x + 6 = 0 2 x2-12x + 10 = 0 4 x2 + 4x - 3 = 0 x2 +9x - 10 = Número de solucións dunha ecuación de segundo grao Unha ecuación de segundo grao pode ter dúas solucións, unha ou ningunha, e iso depende do valor do discriminante. x= - b± 2 b - 2a 4ac Na ecuación anterior o discriminante é a parte vermella, o que está dentro da raíz cadrada: discriminante da ecuación = b 2-4ac Se o discriminante é positivo, b 2-4ac > 0, a ecuación ten dúas solucións distintas; se o discriminante vale cero a ecuación ten unha solución (ou dúas de igual valor, que vén sendo o mesmo); e se o discriminante é negativo, b 2-4ac < 0, a raíz cadrada non se pode calcular (con números reais) e a ecuación non ten ningunha solución. Exemplos. A ecuación x 2 + 3x + 10 = 0 non ten ningunha solución, porque: A ecuación 2x x + 18 = 0 ten unha soa solución, porque: A solución única x = - 3 tamén se chama solución dobre. A ecuación 3x 2 + 3x - 36 = 0 ten dúas solucións distintas: Páxina 15 de 45

16 Secuencia de actividades S9. Determine, sen as resolver, cantas solucións ten cada ecuación: 3x 2-6x + 3 = 0 x 2 + x - 3 = 0 x 2 + x + 3 = 0 -x 2-2x - 3 = 0 2x 2 + 5x + 1 = Ecuación de segundo grao incompleta Vemos primeiro o caso en que b = 0 e logo cando c = 0. Ecuacións de tipo ax 2 + c = 0. Pódese usar o método xeral de resolución visto anteriormente pero é máis sinxelo despexar directamente a incógnita x: Se o valor de c é positivo a raíz pódese facer e a ecuación ten dúas solucións, pero se o a cociente é negativo, a raíz non existe e a ecuación non ten ningunha solución real. Exemplo. Resolver a ecuación 2x 2-32 = 0. Solución (a ecuación ten dúas solucións): Exemplo. Resolver a ecuación x = 0. Solución (a ecuación ten dúas solucións): Páxina 16 de 45

17 Ecuacións de tipo ax 2 + bx = 0 Pódese usar o método xeral de resolución, pero o máis sinxelo é sacar factor común x: ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0 Temos a multiplicación de dous factores, (x) e (ax + b). A única forma de que multiplicando dous factores dea cero é que un deles, ou os dous, sexan nulos: Así que este tipo de ecuacións incompletas sempre ten dúas solucións. Exemplo. Resolver a ecuación 5x 2-125x = 0. Solución: Secuencia de actividades S10. Ache as solucións das ecuacións: 3x2-27 = 0 3/2 x = 0 1/3 x2-25/3 = 0 x2-9/4 = 0 S11. Resolva as ecuacións incompletas seguintes: -2x2 + 50x = 0 13x2 + 52x = 0 x2 + x = 0 Páxina 17 de 45

18 2.2.4 Solucións dunha ecuación e puntos de corte co eixe OX Na figura está representada a gráfica dunha certa función f(x). Fíxese en que nos puntos en que a curva corta o eixe OX a coordenada y vale cero, é dicir, nestes puntos ocorre que f(x) = 0 e, daquela, os valores da coordenada x son as solucións da ecuación f(x) = 0. No caso da función da figura as solucións son x = - 4, x = - 3 e x = 1: a ecuación ten tres solucións. Coas funcións cuadráticas ocorre igual. Vexamos varios exemplos. Exemplo 1. f(x) = y = 2x 2-4x - 6. Nos puntos de corte co eixe OX pasa que 2x 2-4x - 6 = 0; a solución desta ecuación é: A ecuación ten dúas solucións, así que a parábola ten que ter dous puntos de corte co eixe OX: son os puntos (-1, 0) e (3, 0). Compróbeo vendo a gráfica da función: y = 2x 2-4x - 6 x y Exemplo 2. Fagamos o mesmo coa función y = 3/2x 2 + 6x + 6. Primeiro resolvemos a ecuación asociada, 3/2x 2 + 6x + 6 = 0. Páxina 18 de 45

19 Só hai unha solución (ou dúas iguais), polo tanto a parábola corta ao eixe OX nun único punto. Fíxese na gráfica desta parábola: y = 3/2 x 2 + 6x + 6 x y / / /2 Exemplo 3. Por último, unha parábola que non corta o eixe OX: y = x 2 + 2x + 5. Achamos os puntos de corte resolvendo a ecuación. O discriminante é negativo así que non ten solucións, logo non hai puntos de corte co eixe OX. Fíxese como é a gráfica da parábola: y = x 2 + 2x + 5 x y Resolución de problemas utilizando ecuacións de segundo grao Por fin podemos resolver xa o problema co que iniciamos esta sección: cando pasará o móbil pola posición s = 78 m? (vaia atrás e léao novamente). Solución: Páxina 19 de 45

20 Resolvendo a ecuación: A primeira solución (t = - 15 s) non ten sentido físico, xa que non existen os tempos negativos, así que a rexeitamos. A solución válida é que aos 5 s o móbil pasará pola posición 78 m. As ecuacións de segundo grao permiten resolver problemas de móbiles e de moitos outros campos da ciencia e da vida cotiá. Vexamos uns cantos. Exemplo. Desde unha altura de 100 m lanzamos verticalmente cara abaixo un corpo cunha velocidade inicial de 10 m/s. Canto tempo tarda en chegar ao chan? Solución: o movemento é uniformemente acelerado, usamos a ecuación da posición: Exemplo. O produto dun número natural polo seguinte é 272. Cal é ese número? Solución: sexa x o número buscado. Daquela x(x+1) = 272; facendo as operacións temos: Resolvendo: O número natural buscado é 16. A solución x 2 = -17 corresponde a un número enteiro. Exemplo. Nun cadrado a área é igual ao dobre do perímetro. Cando mide o lado do cadrado? Solución: sexa x a lonxitude do lado do cadrado. Área = x 2 ; perímetro = x + x + x + x = 4x Condición do problema: área = 2. perímetro x 2 = 2. 4x; Páxina 20 de 45

21 É unha ecuación incompleta. O lado do cadrado mide 8. Exemplo. Un almacén mercou un lote de caixas e pagou por todas elas 300 euros. Cos mesmos cartos podería comprar dez caixas máis se cada unha custase 5 euros menos. Cantas caixas mercou? Solución: sexa x o número de caixas. O prezo de cada caixa é 300 x. Condición do problema: Facendo as operacións: Resolvendo a ecuación de segundo grao: Comprou 20 caixas a 15 euros cada unha. Páxina 21 de 45

22 Secuencia de actividades S12. A idade de Xosefa era hai seis anos a raíz cadrada da idade que terá dentro de seis anos. Cantos anos ten Xosefa hoxe? S13. Unha deportista correu 30 km nun certo número de horas. Se correse cada hora 1 km máis tardaría unha hora menos en percorrer a mesma distancia. Cantos quilómetros percorreu cada hora? S14. Reparta o número 10 en dous sumandos de xeito que a suma dos seus cadrados sexa 50. S15. Un gandeiro merca años e paga euros. Mórrenlle tres e os restantes véndeos cada un a 500 euros máis do que lle custou, e perde na venda euros. Cantos años mercou e a que prezo? S16. Dun capital de euros colocouse unha parte ao 5 % e o resto ao 4 %. A primeira parte produciu 280 euros máis de xuros que a segunda parte. Ache cantos euros ten cada parte do capital. Páxina 22 de 45

23 2.3 Sistemas de ecuacións lineais Para resolver algúns problemas de móbiles precisamos outra ferramenta matemática, os sistemas de ecuacións lineais. Vemos un exemplo. Un coche está na posición inicial s o = 300 m e móvese a 20 m/s. Un motorista está inicialmente na posición 10 m e persegue o coche cunha velocidade de 25 m/s. Onde e cando o alcanza? Solución. Datos do coche (A): s o = 300, v a = 20 Datos da moto (B): s o = 10, v b = 25 Aplicamos a ecuación da posición do movemento uniforme (s = s o + v.t) aos dous móbiles: s a = t; s b = t No momento do alcance os dous móbiles están na mesma posición, polo tanto s a = s b. Reunindo todas as ecuacións, temos: Hai tres incógnitas (s a, s b, t) e tres ecuacións: isto é un sistema de ecuacións lineais. No que segue aprenderemos como resolvelos. Que son Unha ecuación é lineal cando é de grao 1 respecto de todas as incógnitas, e non hai produtos nin divisións entre elas; así, 3x + 2y - 8 = 0 é unha ecuación lineal, pero 3x 2-2y - 5 = 0 non é unha ecuación lineal, e 3xy + 8y = 8 tampouco é unha ecuación lineal. Un sistema de dúas ecuacións lineais con dúas incógnitas ten a forma xeral: Onde x e y son as incógnitas, e a, b, c, a', b', c' son os coeficientes e termos independentes (números normalmente). Resolver o sistema de ecuacións lineais consiste en atopar os valores das incógnitas que fan certas as dúas ecuacións simultaneamente. Páxina 23 de 45

24 Por exemplo: Neste sistema a solución é x = 1 e y = 2, xa que fan verdadeiras as dúas igualdades: A maioría das veces os sistemas de ecuacións teñen unha única solución (un valor para cada incógnita), pero pode ocorrer tamén que o sistema non teña ningunha solución e mesmo que teña infinitas; veremos isto máis adiante Métodos para resolver un sistema de ecuacións lineais Hai catro métodos (ou técnicas) de resolución dun sistema: substitución, igualación, redución e representación gráfica Método de substitución Despexamos unha incógnita nunha ecuación e substituímos o seu valor na outra ecuación. Exemplo. A incógnita máis doada de despexar é a y da primeira ecuación: E agora substituímos este valor de x en calquera das ecuacións para despexar a outra incógnita; o máis fácil é facelo na ecuación y = 4-2x: A solución do sistema é x = 1, y = 2. Método de igualación Despexamos a mesma incógnita nas dúas ecuacións e logo igualamos os resultados. Páxina 24 de 45

25 Exemplo: Multiplicamos en cruz: E o valor de y = 2 obtido substituímolo en calquera das ecuacións do principio; neste caso o máis doado é facelo nesta ecuación: Obtemos a mesma solución que co método da pregunta anterior, como é lóxico. Método de redución Neste método multiplicamos as dúas ecuacións por números adecuados de xeito que os coeficientes dunha das incógnitas sexan iguais nas dúas ecuacións. Vexamos como se fai co mesmo sistema anterior: Imos conseguir que os coeficientes das y sexan iguais nas dúas ecuacións. Para iso multiplicamos a primeira ecuación por 4 e a segunda por 1: E agora sumamos as dúas ecuacións membro a membro: Páxina 25 de 45

26 E o derradeiro paso é substituír este valor de x = 1 en calquera das ecuacións anteriores para calcular o valor de y; por exemplo, en 2x + y = 4: O sistema está resolto. Interpretación gráfica da solución dun sistema de ecuacións Os métodos de substitución, igualación e redución son métodos alxébricos, e son os que usamos habitualmente. Pero hai un cuarto xeito de achar a solución (ás veces menos preciso), o método gráfico. Se en cada ecuación do sistema despexamos a y obteremos dúas funcións lineais. A representación gráfica desas funcións son dúas liñas rectas, que se cortarán nun punto: as coordenadas deste punto son os valores de x e y da solución do sistema, xa que nese punto os valores de x e y satisfán simultaneamente as dúas ecuacións. Exemplo. Sexa o sistema Facemos as táboas de valores x,y para as dúas funcións lineais obtidas e representamos: y = 4-2x y = 5+ 3x 4 x y x y O punto de corte das rectas é o (1, 2), así que a solución do sistema é x = 1, y = 2 Que ocorrería se as dúas rectas resultasen ser paralelas? Non habería punto de corte e o sistema de ecuacións non tería ningunha solución: sería un sistema incompatible. E se as dúas rectas coincidisen xusto unha enriba da outra? Neste caso hai infinitos puntos de contacto (de corte) entre as dúas rectas: o sistema ten infinitas solucións, é un sistema indeterminado. Páxina 26 de 45

27 Secuencia de actividades S17. Resolva os sistemas de ecuacións seguintes polos tres métodos indicados: Substitución Igualación Redución S18. Calcule graficamente a solución dos sistemas: x y x y Páxina 27 de 45

28 x y x y x y x y Na páxina que se indica pode practicar o aprendido sobre sistemas de ecuacións e ver graficamente as solucións dos exercicios que resolva. Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/ Sistemas_ecuaciones.htm#DESCRIPCI%D3N Pode tamén usar programas como Derive ou Funcións para Windows Páxina 28 de 45

29 2.3.2 Resolución de problemas mediante sistemas de ecuacións Resolvamos agora o problema da moto que alcanza ao coche. As ecuacións eran Despexamos s a da terceira ecuación (de feito xa está despexada) e substituímos o seu valor nas outras dúas ecuacións: Resolvemos polo método de igualación, despexando nas dúas ecuacións s b (en realidade xa están despexadas): e s b = t = = metros. Graficamente: sa = t sb = t t sa t sb Vexamos máis problemas que poden resolverse mediante sistemas de ecuacións: Nun exame hai dez preguntas. Por cada unha ben contestada danme dous puntos, e por cada pregunta mal contestada quítanme un punto. No exame saquei un 8. Cantas preguntas fallei? Solución. Preguntas acertadas = x; preguntas falladas = y. As condicións do problema resúmense nas ecuacións seguintes: x + y = 10 (preguntas). 2x - 1y = 8 (puntos). Resolvendo o sistema, a solución é: x = 6, y = 4. Fallei catro preguntas. Páxina 29 de 45

30 Calcule dous números sabendo que se diferencian en 14 unidades e que a súa media aritmética é 25. Solución: sexan x e y os números que nos piden. As condicións do problema son: Diferenza en 14 unidades: x - y = 14 x+ y Media aritmética: = 25 2 A solución do sistema é x = 32, y = 18. A idade de Antía é o dobre que a de Xiana. Se Antía tivese 12 anos menos e Xiana 8 anos máis, as dúas terían a mesma idade. Cantos anos ten cada unha das irmás? Solución. Idade de Antía = x; idade de Xiana = y. Condicións do problema: Idade dobre: x = 2y Outra condición: x - 12 = y + 8 A solución do sistema é x = 40 anos, y = 20 anos. Secuencia de actividades S19. Temos dous tipos de pensos, un de 0.50 euros o quilogramo e outro de 0.80 euros o quilogramo. Que cantidade de cada tipo debemos mesturar para termos 100 kg de penso a euros cada quilogramo? S20. Unha persoa percorre km, parte en coche e parte en bicicleta. No coche vai a 90 km/h e na bicicleta a 20 km/h. Tardou 15 horas en completar a viaxe. Cantos quilómetros fixo en bicicleta? Páxina 30 de 45

31 S21. Un hotel ten cuartos dobres e individuais; en total son 120 cuartos. O número de camas é 195. Cantos dos cuartos son dobres? S22. Nunha festa, se cada invitado come cinco pasteis daquela sobran tres, e se come seis falta un. Cantos invitados e cantos pasteis hai na festa? Páxina 31 de 45

32 2.4 Actividades finais Función cuadrática S23. Atope o vértice e os puntos de corte co eixe OX das parábolas seguintes: y = 8x 2 y = x 2-2x y = - x 2-2x + 1 S24. Represente as seguintes funcións cuadráticas: y = 2x 2 y = - x 2 + 3x - 5 x y x y y = 3x 2 + 2x y = 1/4 x 2 - x + 3/4 x y x y Páxina 32 de 45

33 S25. Atope as coordenadas do vértice das parábolas: y = x x + 25 y = 2x 2 - x +1 y = - x 2-8x + 9 S26. Sabemos que a función cuadrática y = ax 2 + bx pasa polos puntos (-1, -5) e (1, - 3). Determine o valor dos coeficientes a e b. S27. Atope a función cuadrática que ten o vértice no punto (2, -1) e pasa polo punto (0, 3). Páxina 33 de 45

34 Ecuacións de segundo grao S28. Resolva as ecuacións: x 2-6x + 9 = x x 1 x(2 x 1) + = x = - 5 2x 2-6x = 6x 2-8x x 2-3x + 2 = 0 2(3x + 2) 3x+ 4 = x 1 x x 2x+ 1 2 x 3x 2 x + = Páxina 34 de 45

35 Problemas con ecuacións de segundo grao S29. Un concesionario de coches crea unha campaña publicitaria. Espera que o número y de coches vendidos (en centos) en cada ano x veña dado pola función y = 0.5 x 2 - x + 1. Represente graficamente a función, comezando en x = 0. y = 0.5 x 2 - x + 1 x y Cal será o ano de menos vendas? Cantos coches venderá ese ano? A partir de que ano se recuperan as vendas? S30. Se ao triplo dun número se lle suma o seu cadrado obtense 88. Cal é o número? Páxina 35 de 45

36 S31. Ache a idade dunha persoa sabendo que se ao seu cadrado se lle resta o triplo da idade resulta nove veces esta. S32. Un rectángulo ten 24 m de perímetro e 35 m 2 de área. Ache as dimensións do rectángulo. S33. Determine o perímetro dun triángulo rectángulo isóscele cuxa área é 12 m 2. S34. O Instituto regala 525 euros para os repartir entre o alumnado de ESA. Como 25 alumnos non asisten hoxe á clase, cada un dos presentes obtivo 0.50 euros máis. Cantos alumnos hai en total en ESA? Páxina 36 de 45

37 S35. Un campo de fútbol mide 30 m máis de longo que de largo; a súa área é m 2. Canto miden os lados do campo? S36. Dous números diferéncianse en sete unidades, e o seu produto é 60. Cales son eses números? S37. Nun triángulo rectángulo de 24 m de perímetro, a lonxitude dun cateto é igual aos 3/4 do outro. Determine as dimensións do triángulo. S38. Para embaldosar un salón de 8 m de lonxitude por 6 m de largo utilizáronse 300 baldosas cadradas. Canto mide o lado das baldosas? Páxina 37 de 45

38 S39. A diagonal dun rectángulo mide 10 cm. Calcula as súas dimensións se un lado mide 2 cm menos que o outro. S40. Dentro de 12 anos a idade de Pedro será a metade do cadrado da idade que tiña hai 13 anos. Cal é a idade actual de Pedro? Sistemas de ecuacións S41. Resolva os sistemas de ecuacións. Páxina 38 de 45

39 Páxina 39 de 45

40 S42. Resolva graficamente os sistemas: x y x y x y x y Páxina 40 de 45

41 x y x y x y x y S43. Ache dous números que sumen 84 e que o seu cociente sexa 6. Páxina 41 de 45

42 S44. Nun curral hai galiñas e coellos; hai 50 cabezas e 134 patas. Cantos coellos e cantas galiñas hai? S45. O produto de dous números é 4 e a suma dos seus cadrados é 17. Cales son os números? S46. Ao mesturarmos dous líquidos obtemos seis litros cunha densidade de 1.1; calcule o volume de cada un dos líquidos mesturados, sabendo que as súas densidades son 0,7 e 1,3 respectivamente. S47. Dous capitais diferéncianse en euros. Sábese que se se colocan os dous á mesma porcentaxe de xuros, o primeiro durante catro meses e o segundo durante 13 meses, ambos producen os mesmos xuros. Calcule o importe de cada capital. Páxina 42 de 45

43 S48. A suma dun número máis o seu inverso é 37/6. Calcula o número. S49. O perímetro dun triángulo rectángulo isóscele mide 16 cm e a altura mide 4 cm. Ache a medida dos lados do triángulo. S50. A suma de dous números é o dobre que a súa diferenza, e un deles é triplo do outro. Calcule o valor deses números. S51. Berta paga por dous cafés puros e tres con leite 3.45 euros; Edelmiro paga 0.30 euros menos por catro puros e un con leite. Canto vale cada tipo de café? S52. Un deportista é dez veces máis rápido correndo que nadando. Nunha proba percorre m correndo durante 10 minutos e nadando durante 5 minutos. Con que velocidades corre e nada o deportista? Páxina 43 de 45

44 3. Cuestionario de avaliación 1. A parábola y = 3x 2 + 6x: Non pasa pola orixe de coordenadas. Ten o vértice en xv = - 1. É aberta cara a abaixo. 2. A parábola y = - 2x 2 + 3: Pasa polo punto (0, 3). Ten o vértice no punto (3, 1). Pasa pola orixe de coordenadas. 3. As solucións da ecuación x 2-8x + 15 = 0 son: 3 e 5-1 e 6 4 e 0 4. As solucións da ecuación 3x 2-18x + 27 = 0 son: 3 3 e -3 3 e 0 5. Das vilas A e B, distantes 132 km, saen ao mesmo tempo dous ciclistas en sentidos contrarios pola mesma estrada. O que sae de A vai a 19 km/h, e o que sae de B vai a 14 km/h. A que distancia de A se atoparán? En canto tempo? 70 km, 4 h 70 km, 5 h 76 km, 4 h 76 km, 5 h 6. A solución do sistema do cadro é: x = 2, y = 5 x = 3, y = 5/2 x = 3/5, y = 2/5 Páxina 44 de 45

45 7. Resolva graficamente o sistema de ecuacións do cadro. x y x y 8. O cociente de dous números é 3/4. Se se suma 10 a cada un deles, o seu cociente é 11/14. Eses números son:. 30 e e e 60 Páxina 45 de 45

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O?

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS. 3. Cal é o vector de posición da orixe de coordenadas O? Cales son as coordenadas do punto O? EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: RECTAS E PLANOS Representa en R os puntos S(2, 2, 2) e T(,, ) 2 Debuxa os puntos M (, 0, 0), M 2 (0,, 0) e M (0, 0, ) e logo traza o vector OM sendo M(,, ) Cal é o vector de

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS

EXERCICIOS DE REFORZO: RECTAS E PLANOS EXERCICIOS DE REFORZO RECTAS E PLANOS Dada a recta r z a) Determna a ecuacón mplícta do plano π que pasa polo punto P(,, ) e é perpendcular a r Calcula o punto de nterseccón de r a π b) Calcula o punto

Διαβάστε περισσότερα

Sistemas e Inecuacións

Sistemas e Inecuacións Sistemas e Inecuacións 1. Introdución 2. Sistemas lineais 2.1 Resolución gráfica 2.2 Resolución alxébrica 3. Método de Gauss 4. Sistemas de ecuacións non lineais 5. Inecuacións 5.1 Inecuacións de 1º e

Διαβάστε περισσότερα

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral,

Tema 3. Espazos métricos. Topoloxía Xeral, Tema 3. Espazos métricos Topoloxía Xeral, 2017-18 Índice Métricas en R n Métricas no espazo de funcións Bólas e relacións métricas Definición Unha métrica nun conxunto M é unha aplicación d con valores

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Números e álxebra. Unidade didáctica 1. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo Unidade didáctica 1 Números e álxebra Índice 1. Introdución... 1.1 Descrición da unidade

Διαβάστε περισσότερα

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x

ln x, d) y = (3x 5 5x 2 + 7) 8 x EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a)

Διαβάστε περισσότερα

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

Tema: Enerxía 01/02/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Tema: Enerxía 01/0/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nome: 1. Unha caixa de 150 kg descende dende o repouso por un plano inclinado por acción do seu peso. Se a compoñente tanxencial do peso é de 735

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 21 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os que A ten inversa.

Διαβάστε περισσότερα

Procedementos operatorios de unións non soldadas

Procedementos operatorios de unións non soldadas Procedementos operatorios de unións non soldadas Técnicas de montaxe de instalacións Ciclo medio de montaxe e mantemento de instalacións frigoríficas 1 de 28 Técnicas de roscado Unha rosca é unha hélice

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2012 MATEMÁTICAS II PAU Código: 6 XUÑO 01 MATEMÁTICAS II (Responder só aos exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio 3= puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo.

XEOMETRÍA NO ESPAZO. - Se dun vector se coñecen a orixe, o módulo, a dirección e o sentido, este está perfectamente determinado no espazo. XEOMETRÍA NO ESPAZO Vectores fixos Dos puntos do espazo, A e B, determinan o vector fixo AB, sendo o punto A a orixe e o punto B o extremo, é dicir, un vector no espazo é calquera segmento orientado que

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO. F = m a Física P.A.U. ELECTOMAGNETISMO 1 ELECTOMAGNETISMO INTODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. Calcúlase a resultante polo principio de superposición. Aplícase a 2ª lei

Διαβάστε περισσότερα

Inecuacións. Obxectivos

Inecuacións. Obxectivos 5 Inecuacións Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Resolver inecuacións de primeiro e segundo grao cunha incógnita. Resolver sistemas de ecuacións cunha incógnita. Resolver de forma gráfica inecuacións

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz:

NÚMEROS COMPLEXOS. Páxina 147 REFLEXIONA E RESOLVE. Extraer fóra da raíz. Potencias de. Como se manexa k 1? Saca fóra da raíz: NÚMEROS COMPLEXOS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE Extraer fóra da raíz Saca fóra da raíz: a) b) 00 a) b) 00 0 Potencias de Calcula as sucesivas potencias de : a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) 5 a) ( ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Punuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 punos, eercicio = 3 punos, eercicio 3 =

Διαβάστε περισσότερα

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes

IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes IX. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Aplicacións ao cálculo de distancias, áreas e volumes 1.- Distancia entre dous puntos Se A e B son dous puntos do espazo, defínese a distancia entre A e B como o módulo

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas 5 Expresións alxébricas Obxectivos Crear expresións alxébricas a partir dun enunciado. Atopar o valor numérico dunha expresión alxébrica. Clasificar unha expresión alxébrica como monomio, binomio,... polinomio.

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 2011 MATEMÁTICAS II Código: 26 (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio 1= 3 puntos, exercicio 2= 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos)

MATEMÁTICAS. (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) 1 MATEMÁTICAS (Responder soamente a unha das opcións de cada bloque temático). BLOQUE 1 (ÁLXEBRA LINEAL) (Puntuación máxima 3 puntos) Opción 1. Dada a matriz a) Calcula os valores do parámetro m para os

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico.

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Polinomios. Manexar as expresións alxébricas e calcular o seu valor numérico. Polinomios Contidos 1. Monomios e polinomios Expresións alxébricas Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 2. Operacións Suma e diferenza Produto Factor común 3. Identidades notables Suma

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21

MATEMÁTICAS. PRIMEIRA PARTE (Parte Común) ), cadradas de orde tres, tales que a 21 PRIMEIRA PARTE (Parte Común) (Nesta primeira parte tódolos alumnos deben responder a tres preguntas. Unha soa pregunta de cada un dos tres bloques temáticos: Álxebra Lineal, Xeometría e Análise. A puntuación

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS M.H.S.. 1. Dun resorte elástico de constante k = 500 N m -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio

Polinomios. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Polinomios... páx. 4 Grao. Expresión en coeficientes Valor numérico dun polinomio 3 Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Achar a expresión en coeficientes dun polinomio e operar con eles. Calcular o valor numérico dun polinomio. Recoñecer algunhas identidades notables,

Διαβάστε περισσότερα

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados

1_2.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1_.- Os números e as súas utilidades - Exercicios recomendados 1. Ordena de menor a maior as seguintes fraccións: 1 6 3 5 7 4,,,,, 3 5 4 8 6 9. Efectúa as seguintes operacións e simplifica o resultado:

Διαβάστε περισσότερα

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO

VII. RECTAS E PLANOS NO ESPAZO VII. RETS E PLNOS NO ESPZO.- Ecuacións da recta Unha recta r no espao queda determinada por un punto, punto base, e un vector v non nulo que se chama vector director ou direccional da recta; r, v é a determinación

Διαβάστε περισσότερα

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016

Tema 1. Espazos topolóxicos. Topoloxía Xeral, 2016 Tema 1. Espazos topolóxicos Topoloxía Xeral, 2016 Topoloxía e Espazo topolóxico Índice Topoloxía e Espazo topolóxico Exemplos de topoloxías Conxuntos pechados Topoloxías definidas por conxuntos pechados:

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico

Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Exercicios de Física 02a. Campo Eléctrico Problemas 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4,0) e B( 4,0) (en metros). Caalcula: a) o campo eléctrico en C(0,5) e en D(0,0) b) o potencial

Διαβάστε περισσότερα

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome:

Física e química 4º ESO. As forzas 01/12/09 Nome: DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Problemas Física e química 4º ESO As forzas 01/12/09 Nome: [6 Ptos.] 1. Sobre un corpo actúan tres forzas: unha de intensidade 20 N cara o norte, outra de 40 N cara o nordeste

Διαβάστε περισσότερα

Áreas de corpos xeométricos

Áreas de corpos xeométricos 9 Áreas de corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Antes de empezar 1.Área dos prismas....... páx.164 Área dos prismas Calcular a área de prismas rectos de calquera número de caras.

Διαβάστε περισσότερα

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS

INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS INICIACIÓN AO CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIÓNS Páina 0 REFLEXIONA E RESOLVE Coller un autobús en marca Na gráfica seguinte, a liña vermella representa o movemento dun autobús que arranca da parada e vai,

Διαβάστε περισσότερα

Expresións alxébricas

Expresións alxébricas Expresións alxébricas Contidos 1. Expresións alxébricas Que son? Como as obtemos? Valor numérico 2. Monomios Que son? Sumar e restar Multiplicar 3. Polinomios Que son? Sumar e restar Multiplicar por un

Διαβάστε περισσότερα

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS

ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS Índice 1. Ecuacións de primeiro e segundo grao... 1 1.1. Ecuacións de primeiro grao... 1 1.. Ecuacións de segundo grao.... Outras ecuacións alébricas... 5.1. Ecuacións

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2010 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 010 MATEMÁTICAS II Código: 6 (O alumno/a deber responder só aos eercicios dunha das opcións. Puntuación máima dos eercicios de cada opción: eercicio 1= 3 puntos, eercicio = 3 puntos, eercicio

Διαβάστε περισσότερα

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109

PÁGINA 106 PÁGINA a) sen 30 = 1/2 b) cos 120 = 1/2. c) tg 135 = 1 d) cos 45 = PÁGINA 109 PÁGINA 0. La altura del árbol es de 8,5 cm.. BC m. CA 70 m. a) x b) y PÁGINA 0. tg a 0, Con calculadora: sß 0,9 t{ ««}. cos a 0, Con calculadora: st,8 { \ \ } PÁGINA 05. cos a 0,78 tg a 0,79. sen a 0,5

Διαβάστε περισσότερα

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta.

A proba constará de vinte cuestións tipo test. As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Páxina 1 de 9 1. Formato da proba Formato proba constará de vinte cuestións tipo test. s cuestións tipo test teñen tres posibles respostas, das que soamente unha é correcta. Puntuación Puntuación: 0.5

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS

Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS Física P.A.U. VIBRACIÓNS E ONDAS 1 VIBRACIÓNS E ONDAS INTRODUCIÓN MÉTODO 1. En xeral: a) Debúxanse as forzas que actúan sobre o sistema. b) Calcúlase cada forza. c) Calcúlase a resultante polo principio

Διαβάστε περισσότερα

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 101 a 119 Página 0. a) b) π 4 π x 0 4 π π / 0 π / x 0º 0 x π π. 0 rad 0 π π rad 0 4 π 0 π rad 0 π 0 π / 4. rad 4º 4 π π 0 π / rad 0º π π 0 π / rad 0º π 4. De izquierda a derecha: 4 80 π rad π / rad 0 Página 0. tg

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos

Funcións e gráficas. Obxectivos. 1.Funcións reais páx. 4 Concepto de función Gráfico dunha función Dominio e percorrido Funcións definidas a anacos 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer o dominio e o percorrido dunha función. Determinar se unha

Διαβάστε περισσότερα

A circunferencia e o círculo

A circunferencia e o círculo 10 A circunferencia e o círculo Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar os diferentes elementos presentes na circunferencia e o círculo. Coñecer as posicións relativas de puntos, rectas e circunferencias.

Διαβάστε περισσότερα

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II

XUÑO 2018 MATEMÁTICAS II Proba de Avaliación do Bacharelato para o Acceso áuniversidade XUÑO 218 Código: 2 MATEMÁTICAS II (Responde só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Movementos e forzas. Unidade didáctica 5. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 5 Movementos e forzas Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da

Διαβάστε περισσότερα

Problemas xeométricos

Problemas xeométricos Problemas xeométricos Contidos 1. Figuras planas Triángulos Paralelogramos Trapecios Trapezoides Polígonos regulares Círculos, sectores e segmentos 2. Corpos xeométricos Prismas Pirámides Troncos de pirámides

Διαβάστε περισσότερα

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z]

1. Formato da proba [CM.PM.001.Z] [CM.PM.00.Z]. Formato da proba Formato! A proba consta de vinte cuestións tipo test.! As cuestións tipo test teñen tres posibles respostas das que soamente unha é correcta. Puntuación! Puntuación: 0,50

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa

TRIGONOMETRIA. hipotenusa L 2. hipotenusa TRIGONOMETRIA. Calcular las razones trigonométricas de 0º, º y 60º. Para calcular las razones trigonométricas de º, nos ayudamos de un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. cateto opuesto

Διαβάστε περισσότερα

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á

NÚMEROS REAIS. Páxina 27 REFLEXIONA E RESOLVE. O paso de Z a Q. O paso de Q a Á NÚMEROS REAIS Páxina 7 REFLEXIONA E RESOLVE O paso de Z a Q Di cales das seguintes ecuacións se poden resolver en Z e para cales é necesario o conxunto dos números racionais, Q. a) x 0 b) 7x c) x + d)

Διαβάστε περισσότερα

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS

PAAU (LOXSE) XUÑO 2005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS PAAU (LOXSE) XUÑO 005 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CC. SOCIAIS Código: 61 O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra

Διαβάστε περισσότερα

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS

LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS LUGARES XEOMÉTRICOS. CÓNICAS Páxina REFLEXIONA E RESOLVE Cónicas abertas: parábolas e hipérboles Completa a seguinte táboa, na que a é o ángulo que forman as xeratrices co eixe, e, da cónica e b o ángulo

Διαβάστε περισσότερα

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas.

Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio CMPM001. Proba de. Código. Matemáticas. Parte matemática. Matemáticas. Probas de acceso a ciclos formativos de grao medio Proba de Matemáticas Código CMPM001 Páxina 1 de 9 Parte matemática. Matemáticas 1. Formato da proba Formato A proba consta de vinte cuestións tipo test.

Διαβάστε περισσότερα

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE

1. O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES 1.1. DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE O ESPAZO VECTORIAL DOS VECTORES LIBRES DEFINICIÓN DE VECTOR LIBRE MATEMÁTICA II 06 Exames e Textos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atribución Compartir igual 40 Internacional

Διαβάστε περισσότερα

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema)

Exame tipo. C. Problemas (Valoración: 5 puntos, 2,5 puntos cada problema) Exame tipo A. Proba obxectiva (Valoración: 3 puntos) 1. - Un disco de 10 cm de raio xira cunha velocidade angular de 45 revolucións por minuto. A velocidade lineal dos puntos da periferia do disco será:

Διαβάστε περισσότερα

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO

TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO TEORÍA DE XEOMETRÍA. 1º ESO 1. CORPOS XEOMÉTRICOS No noso entorno observamos continuamente obxectos de diversas formas: pelotas, botes, caixas, pirámides, etc. Todos estes obxectos son corpos xeométricos.

Διαβάστε περισσότερα

Volume dos corpos xeométricos

Volume dos corpos xeométricos 11 Volume dos corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Comprender o concepto de medida do volume e coñecer e manexar as unidades de medida do S.M.D. Obter e aplicar expresións para o

Διαβάστε περισσότερα

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido

Funcións e gráficas. Obxectivos. Antes de empezar. 1.Funcións páx. 4 Concepto Táboas e gráficas Dominio e percorrido 9 Funcións e gráficas Obxectivos Nesta quinceer na aprenderás a: Coñecer e interpretar as funcións e as distintas formas de presentalas. Recoñecer ou dominio e ou percorrido dunha función. Determinar se

Διαβάστε περισσότερα

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro

Corpos xeométricos. Obxectivos. Antes de empezar. 1. Poliedros... páx. 4 Definición Elementos dun poliedro 9 Corpos xeométricos Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Identificar que é un poliedro. Determinar os elementos dun poliedro: Caras, arestas e vértices. Clasificar os poliedros. Especificar cando un

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II

PAU XUÑO 2016 MATEMÁTICAS II PAU XUÑO 06 Código: 6 MATEMÁTICAS II (O alumno/a debe responder só os exercicios dunha das opcións. Puntuación máxima dos exercicios de cada opción: exercicio = 3 puntos, exercicio = 3 puntos, exercicio

Διαβάστε περισσότερα

Física e Química 4º ESO

Física e Química 4º ESO Física e Química 4º ESO DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Física: Temas 1 ao 6. 01/03/07 Nome: Cuestións 1. Un móbil ten unha aceleración de -2 m/s 2. Explica o que significa isto. 2. No medio dunha tormenta

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar.

Trigonometría. Obxectivos. Antes de empezar. 7 Trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Calcular as razóns trigonométricas dun ángulo. Calcular todas as razóns trigonométricas dun ángulo a partir dunha delas. Resolver triángulos rectángulos

Διαβάστε περισσότερα

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza

I.E.S. CADERNO Nº 6 NOME: DATA: / / Semellanza Semellanza Contidos 1. Semellanza Figuras semellantes Teorema de Tales Triángulos semellantes 2. Triángulos rectángulos. Teoremas Teorema do cateto Teorema da altura Teorema de Pitágoras xeneralizado 3.

Διαβάστε περισσότερα

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común.

Obxectivos. polinomios. Valor. por diferenza. Factor común. ao cadrado. Suma. Resumo. titor. numérico. seu grao. Polinomios. Sacar factor. común. Polinomios Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Manexar as expresiónss alxébricas e calcular o seu valor numérico. Recoñecer os polinomios e o seu grao. Sumar, restar e multiplicar polinomios. Sacar

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais

CADERNO Nº 2 NOME: DATA: / / Os números reais CADERNO Nº NOME: DATA: / / Os números reais Contidos. Os números reais Números irracionais Números reais Aproximacións Representación gráfica Valor absoluto Intervalos. Radicais Forma exponencial Radicais

Διαβάστε περισσότερα

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo.

CADERNO Nº 11 NOME: DATA: / / Estatística. Representar e interpretar gráficos estatísticos, e saber cando é conveniente utilizar cada tipo. Estatística Contidos 1. Facer estatística Necesidade Poboación e mostra Variables 2. Reconto e gráficos Reconto de datos Gráficos Agrupación de datos en intervalos 3. Medidas de centralización e posición

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos Puntuación máxima de cada un dos exercicios: Álxebra 3 puntos; Análise 3,5 puntos;

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 PAU XUÑO 2014 FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU XUÑO 2014 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Semellanza e trigonometría

Semellanza e trigonometría 7 Semellanza e trigonometría Obxectivos Nesta quincena aprenderás a: Recoñecer triángulos semellantes. Calcular distancias inaccesibles, aplicando a semellanza de triángulos. Nocións básicas de trigonometría.

Διαβάστε περισσότερα

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos

1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos V. PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 1 Experimento aleatorio. Espazo de mostra. Sucesos 1 Experimento aleatorio. Concepto e exemplos Experimentos aleatorios son aqueles que ao repetilos nas mesmas condicións

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2

EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. 2. Dada a ecuación lineal 2x 3y + 4z = 2, comproba que as ternas (3, 2, 2 EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física P.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS SATÉLITES 1. O período de rotación da Terra arredor del Sol é un año e o radio da órbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpiter ten un período de aproximadamente 12

Διαβάστε περισσότερα

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior.

Ano 2018 FÍSICA. SOL:a...máx. 1,00 Un son grave ten baixa frecuencia, polo que a súa lonxitude de onda é maior. ABAU CONVOCAT ORIA DE SET EMBRO Ano 2018 CRIT ERIOS DE AVALI ACIÓN FÍSICA (Cód. 23) Elixir e desenvolver unha das dúas opcións. As solución numéricas non acompañadas de unidades ou con unidades incorrectas...

Διαβάστε περισσότερα

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA

INTERACCIÓNS GRAVITATORIA E ELECTROSTÁTICA INTEACCIÓNS GAVITATOIA E ELECTOSTÁTICA AS LEIS DE KEPLE O astrónomo e matemático Johannes Kepler (1571 1630) enunciou tres leis que describen o movemento planetario a partir do estudo dunha gran cantidade

Διαβάστε περισσότερα

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO

Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO Física P.A.U. ELECTROMAGNETISMO 1 ELECTROMAGNETISMO PROBLEMAS CAMPO ELECTROSTÁTICO 1. Dúas cargas eléctricas de 3 mc están situadas en A(4, 0) e B(-4, 0) (en metros). Calcula: a) O campo eléctrico en C(0,

Διαβάστε περισσότερα

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene

Caderno de traballo. Proxecto EDA 2009 Descartes na aula. Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Departamento de Matemáticas CPI A Xunqueira Fene Nome: 4º ESO Nº Páx. 1 de 36 FIGURAS SEMELLANTES 1. CONCEPTO DE SEMELLANZA Intuitivamente: Dúas figuras son SEMELLANTES se teñen a mesma forma pero distinto

Διαβάστε περισσότερα

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerase a opción A ou B; non é necesario escoller en todos os problemas a mesma opción).

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerase a opción A ou B; non é necesario escoller en todos os problemas a mesma opción). 37 MECÁNICA (2,5 puntos cada problema; escollerase a opción A ou B; non é necesario escoller en todos os problemas a mesma opción). PROBLEMA 1 OPCIÓN A.- Tres forzas están aplicadas a un mesmo punto e

Διαβάστε περισσότερα

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación:

a) Ao ceibar o resorte describe un MHS, polo tanto correspóndelle unha ecuación para a elongación: VIBRACIÓNS E ONDAS PROBLEMAS 1. Un sistema cun resorte estirado 0,03 m sóltase en t=0 deixándoo oscilar libremente, co resultado dunha oscilación cada 0, s. Calcula: a) A velocidade do extremo libre ó

Διαβάστε περισσότερα

Física A.B.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN

Física A.B.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN Física A.B.A.U. GRAVITACIÓN 1 GRAVITACIÓN PROBLEMAS 1. A luz do Sol tarda 5 10² s en chegar á Terra e 2,6 10³ s en chegar a Xúpiter. a) O período de Xúpiter orbitando arredor do Sol. b) A velocidade orbital

Διαβάστε περισσότερα

Resorte: estudio estático e dinámico.

Resorte: estudio estático e dinámico. ESTUDIO DO RESORTE (MÉTODOS ESTÁTICO E DINÁMICO ) 1 Resorte: estudio estático e dinámico. 1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA. (No libro).. OBXECTIVOS. (No libro). 3. MATERIAL. (No libro). 4. PROCEDEMENTO. A. MÉTODO

Διαβάστε περισσότερα

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL)

Métodos Matemáticos en Física L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro APL) L4F. CONDICIONES de CONTORNO+Fuerzas Externas (Cap. 3, libro Condiciones de contorno. Fuerzas externas aplicadas sobre una cuerda. condición que nos describe un extremo libre en una cuerda tensa. Ecuación

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 XUÑO 2014 PAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 XUÑO 2014 PAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B PAU Código: 25 XUÑO 204 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos ( cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos ( cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos

VIII. ESPAZO EUCLÍDEO TRIDIMENSIONAL: Ángulos, perpendicularidade de rectas e planos VIII. ESPZO EULÍDEO TRIDIMENSIONL: Áglos perpediclaridade de rectas e plaos.- Áglo qe forma dúas rectas O áglo de dúas rectas qe se corta se defie como o meor dos áglos qe forma o plao qe determia. O áglo

Διαβάστε περισσότερα

Ámbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial

Ámbito científico tecnolóxico. Estatística. Unidade didáctica 4. Módulo 3. Educación a distancia semipresencial Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 3 Unidade didáctica 4 Estatística Índice 1.1 Descrición da unidade didáctica... 3 1.

Διαβάστε περισσότερα

24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE

24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE NOME: CALIFICACIÓN PROBLEMAS (6 puntos) 24/10/06 MOVEMENTO HARMÓNICO SIMPLE 1. Dun resorte elástico de constante k= 500 Nm -1 colga unha masa puntual de 5 kg. Estando o conxunto en equilibrio, desprázase

Διαβάστε περισσότερα

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico

Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico 1 Introdución á análise numérica. Erros no cálculo numérico Carmen Rodríguez Iglesias Departamento de Matemática Aplicada Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 01. Gravitación

Exercicios de Física 01. Gravitación Exercicios de Física 01. Gravitación Problemas 1. A lúa ten unha masa aproximada de 6,7 10 22 kg e o seu raio é de 1,6 10 6 m. Achar: a) A distancia que recorrerá en 5 s un corpo que cae libremente na

Διαβάστε περισσότερα

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas).

MECÁNICA. (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas). 37 MECÁNICA (2,5 puntos cada problema; escollerá a opción A ou B; non é necesario escoller a mesma opción en tódolos problemas). PROBLEMA 1 OPCION A.- Sabendo que o conxunto bicicleta+ciclista da figura

Διαβάστε περισσότερα

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS

MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS 61 MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS O alumno debe resolver só un exercicio de cada un dos tres bloques temáticos. BLOQUE DE ÁLXEBRA (Puntuación máxima 3 puntos) Un autobús transporta en certa

Διαβάστε περισσότερα

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::...

Eletromagnetismo. Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística. ...:: Solução ::... Eletromagnetismo Johny Carvalho Silva Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Matemática, Física e Estatística Lista -.1 - Mostrar que a seguinte medida é invariante d 3 p p 0 onde: p 0 p + m (1)

Διαβάστε περισσότερα

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA

PAU SETEMBRO 2013 FÍSICA PAU SETEMBRO 013 Código: 5 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Uso e transformación da enerxía

Uso e transformación da enerxía Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 4 Unidade didáctica 5 Uso e transformación da enerxía Páxina 1 de 50 Índice 1. Introdución...3

Διαβάστε περισσότερα

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2

ELECTROTECNIA. BLOQUE 1: ANÁLISE DE CIRCUÍTOS (Elixir A ou B) A.- No circuíto da figura determinar o valor da intensidade na resistencia R 2 36 ELECTROTECNIA O exame consta de dez problemas, debendo o alumno elixir catro, un de cada bloque. Non é necesario elixir a mesma opción (A ou B ) de cada bloque. Todos os problemas puntúan igual, é dicir,

Διαβάστε περισσότερα

O principio de Hamilton

O principio de Hamilton Mecánica Clásica II 1 O principio de Hamilton José M. Sánchez de Santos Departamento de Física de Partículas Facultadede Física Grao en Física Vicerreitoría de estudantes, cultura e formación continua

Διαβάστε περισσότερα

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( )

a) Calcula m de modo que o produto escalar de a( 3, 2 ) e b( m, 5 ) sexa igual a 5. ( ) .. MATEMÁTICAS I PENDENTES (º PARTE) a) Calcula m de modo que o produto escalar de a(, ) e b( m, 5 ) sea igual a 5. b) Calcula a proección de a sobre c, sendo c,. ( ) 5 Se (, ) e y,. Calcula: a) Un vector

Διαβάστε περισσότερα

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS

EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo

Διαβάστε περισσότερα

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas

O MÉTODO CIENTÍFICO. ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES. cifras significativas PROGRAMACIÓN DE AULA MAPA DE CONTIDOS 1. OBTENCIÓN DA INFORMACIÓN O MÉTODO CIENTÍFICO ten varias etapas 2. BUSCA DE REGULARIDADES 3. EXPLICACIÓN DAS LEIS PROGRAMACIÓN DE AULA E mediante utilizando na análise

Διαβάστε περισσότερα

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES

1. A INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA 1.2. PROPRIEDADES TEMA / CÁLCULO INTEGRAL MATEMÁTICA II 07 Eames e Tetos de Matemática de Pepe Sacau ten unha licenza Creative Commons Atriución Compartir igual.0 Internacional. A INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINICIÓN DE INTEGRAL

Διαβάστε περισσότερα

Exercicios de Física 03b. Ondas

Exercicios de Física 03b. Ondas Exercicios de Física 03b. Ondas Problemas 1. Unha onda unidimensional propágase segundo a ecuación: y = 2 cos 2π (t/4 x/1,6) onde as distancias se miden en metros e o tempo en segundos. Determina: a) A

Διαβάστε περισσότερα

Código: 25 MODELO DE EXAME ABAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B

Código: 25 MODELO DE EXAME ABAU FÍSICA OPCIÓN A OPCIÓN B ABAU Código: 25 MODELO DE EXAME FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como

Διαβάστε περισσότερα

PAU XUÑO 2011 FÍSICA

PAU XUÑO 2011 FÍSICA PAU XUÑO 2011 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución

Διαβάστε περισσότερα

Problemas y cuestiones de electromagnetismo

Problemas y cuestiones de electromagnetismo Problemas y cuestiones de electromagnetismo 1.- Dúas cargas eléctricas puntuais de 2 e -2 µc cada unha están situadas respectivamente en (2,0) e en (-2,0) (en metros). Calcule: a) campo eléctrico en (0,0)

Διαβάστε περισσότερα

Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría

Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica 2 Xeometría Educación secundaria para persoas adultas Ámbito científico tecnolóxico Educación a distancia semipresencial Módulo 1 Unidade didáctica Xeometría Índice 1. Introdución... 3 1.1 Descrición da unidade didáctica...

Διαβάστε περισσότερα