CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.
|
|
- Ὑπατος Παπανικολάου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1 Derivata unei funcţii Interpretarea geometrică Fie f : I R, unde I este un interval şi fie a I Definim funcţia R : I {a} R prin f x) f a) R x) := Ne interesează problema existenţei itei acestei funcţii în punctul a având în vedere că a este, evident, punct de acumulare pentru mulţimea I {a}) Definiţia 1 Spunem că funcţia f : I R este derivabilă în punctul a I dacă raportul R x) are ită fx) fa) finită în punctul a adică dacă x a R) Limita se va numi derivata funcţiei f în punctul a şi se va nota cu f a) Deci f f x) f a) a) = x a Derivata se mai notează şi cu df dx a) Remarca Se vede imediat că dacă notăm cu h := obţinem că x a h 0 şi evident a + h este tot din I) Deci f f h + a) f a) a) = h 0 h Remarca 3 Putem nota şi în modul următor: deci obţinem egalităţile Ne interesează ita cantităţii Deci : =, f : = f x) f a), x = a +, f x) = f a) + f f f x) f a) f a + ) f a) = = f f a + ) f a) a) = Remarca 4 Dacă funcţia f admite derivată în punctul a, atunci graficul său admite tangentă în punctul M a, f a)) de pe grafic Dacă derivata f a) este finită atunci panta acestei drepte este egală cu f a); dacă derivata este inifintă, tangenta este paralelă cu axa Oy tangentă este verticală, adică panta este infinită) 1
2 Lect dr Remarca 5 Vezi şi desenul cu cele două puncte M a, f a)), P a +, f a + )) şi cu graficul curba) y = f x), secanta dreapta) y = s x) şi tangenta y = t x) Secanta este dată de ecuaţia y = s x) = f a) + f ), y = t x) = f a) + f a) ) Remarca 6 Dacă s t) reprezintă legea de mişcare rectilinie neuniformă a unui mobil, atunci derivata s t 0 ) reprezintă viteza v t 0 ) a mobilului la momentul t 0 Definiţia 7 Dacă ita raportului fx) fa) există dar este infinită adică ± ) atunci spunem că funcţia are derivată care este ita obţinută ± ) dar nu este derivabilă Remarca 8 Derivata f a) poate fi definită echivalent în următoarele forme vezi definirile echivalente ale itei unei funcţii): 1 x n ) n I cu x n a şi x n a, f a) = n f x n ) f a) x n a V V f a)), U V a) astfel încât x U I cu x a, fx) fa) V 3 cazul f a) finită) ε > 0, δ = δ ε) > 0 astfel încât x I cu x a şi < δ, f a) < ε fx) fa) Teorema 9 Dacă funcţia f : I R este derivabilă în punctul a I atunci f este continuă în a Demonstraţie Evident f x) = f a) + fx) fa) ), x I {a} Deci, având în vedere că există finită ita f a), deducem [ ] f x) f a) f x) = f a) + ) = f a) + f a) 0 = f a) x a x a Remarca 10 Nu toate funcţiile continue într-un punct sunt derivabile în acel punct De exemplu, f x) = x, x R Avem, pentru a = 0, f f x) f 0) = = x { +1, dacă x > 0, x 0 x = 1, dacă x < 0, f deci nu există ita x 0 adică nu există derivata funcţiei x în origine dar există derivatele laterale) Derivabilitatea este deci o proprietate mai tare dacât continuitatea Definiţia 11 Spunem că f admite derivată la stânga în punctul a dacă x a x<a Definiţia 1 Spunem că f admite derivată la dreapta în punctul a dacă x a x>a fx) fa) =: f s a) fx) fa) =: f d a) Teorema 13 O funcţie are derivată într-un punct interior a I dacă şi numai dacă are derivate laterale egale în punctul a În acest caz f s a) = f d a) = f a) Definiţia 14 Dacă funcţia f admite în punctul a derivate laterale care sunt diferite şi cel puţin una dintre ele este finită atunci punctul M a, f a)) de pe grafic se numeşte punct unghiular al graficului vezi desenul) Definiţia 15 Dacă una dintre derivatele laterale este + şi cealaltă este atunci punctul M a, f a)) de pe grafic se numeşte punct de întoarcere al graficului vezi desenul)
3 Lect dr Operaţii cu funcţii derivabile Teorema 16 Presupunem că funcţiile f, g : I R admit derivatele f a) şi g a) în punctul a I şi că operaţia f a) + g a) are sens Atunci f + g are derivată în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în fx) fa) f + g) a) = f a) + g a) + gx) ga) Remarca 17 În teorema precedentă nu s-a cerut ca funcţiile să fie derivabile, deci cantităţile f a) şi g a) sunt din R := R {± } Teorema 18 Presupunem că funcţia f : I R admite derivata f a) în punctul a I Atunci C R, funcţia C f are derivată în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în C fx) fa) C f) a) = C f a) Proposiţia 19 Având în vedere cele două teoreme de mai sus deducem că operatorul de derivare este operator liniar definit pe mulţimea funcţiilor derivabile) Adică pentru orice α, β R are loc egalitatea αf + βg) a) = αf a) + βg a) Teorema 0 Presupunem că funcţiile f, g : I R sunt derivabile admite derivate care sunt finite) în punctul a I Atunci f g este derivabilă în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în egalitatea f g) a) = f a) g a) + f a) g a) f x) g x) f a) g x) + f a) g x) f a) g a) f x) f a) g x) g a) = g x) + f a) Teorema 1 Presupunem că funcţiile f, g : I R sunt derivabile admite derivate care sunt finite) în punctul a I şi că g a) 0 Atunci f g este derivabilă în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în f g x) f g a) = = ) f a) = f a) g a) f a) g a) g g a) 1 f x) g a) f a) g a) + f a) g a) f a) g x) g x) g a) [ ] 1 f x) f a) g x) g a) g a) f a) g x) g a) Teorema Presupunem că funcţia g : I R este derivabilă admite derivată care este finită) în punctul a I şi că f : J R este derivabilă în punctul g a) J Atunci funcţia compusă f g) x) := f g x)) este derivabilă în a şi are loc fără demonstraţie) f g) a) = f g a)) g a) 3
4 Lect dr Teorema 3 Fie f : I J o funcţie strict monotonă astfel încât J = f I) atunci f este bijecţie) Dacă f este derivabilă în punctul x 0 I astfel încât f x 0 ) 0, atunci funcţia sa inversă f 1 : J I este derivabilă în y 0 = f x 0 ) J şi f 1 ) 1 y0 ) = f x 0 ) fără demonstraţie) Remarca 4 Avem evident relaţia f 1 f ) x) = x = f f 1) x)) Derivăm acum această compunere în raport cu x folosind Teorema ) şi obţinem identitatea f 1 f ) x0 ) = f 1) f x0 )) f x 0 ) = 1 3 Derivatele funcţiilor elementare Vom da mai întâi demonstraţii ale derivatelor câtorva funcţii elementare Fie funcţiile afine f x) = ax + b, x R şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci f x 0 ) = [a x 0 + ) + b] [ax 0 + b] = Fie f x) = x, x R şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci f x 0 ) = x 0 + ) x 0 = Deci obţinem derivata x ) = x x 0 + ) Fie f x) = x n, x R cu n N, şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci a = a = a = x 0 + ) = x 0 f x 0 + ) n x n 0 x 0 ) = x n 0 + C = nx 1 n Cnx n 0 ) + + Cn n 1 x 0 ) n 1 + ) n x n 0 = Cnx 1 n Cnx n Cn n 1 x 0 ) n + ) n 1) = Cnx 1 0 n 1 = nx n 1 0 Deci obţinem derivata x n ) = nx n 1 Mai general, fie f x) = x α, x R + cu α R şi fie x 0 R + arbitrar ales Atunci f x 0 ) = x 0 + ) α x α 0 = x α 0 [ ) α ] 1 + x 0 1 = x α x 0 ) α 1 = notez y := ) = x α y) α 1 0 = folosesc ita fundamentală) x 0 y 0 y = x α 1 0 α Deci obţinem derivata x α ) = αx α 1 Deducem astfel că x) = 1 x, valabilă pentru orice x R + = 0, + ) dar de asemenea, 3 se poate demonstra că egalitatea x 5) ) = x 5/3 = 5 3 x/3 este valabilă pentru orice x R =, + ) x 0 4
5 Lect dr Temă) demonstraţi formula a x ) = a x ln a Putem astfel demonstra/deduce derivatele tuturor funcţiilor elementare: 1 fie f : R R, f x) = C Atunci, pentru orice x, există f x) = 0 fie f : R R, f x) = x Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 3 fie f : R R, f x) = x n, cu n N Atunci, pentru orice x, există f x) = nx n 1 4 fie f : R + R, f x) = x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 5 fie f : R + R, f x) = n x, cu n N Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 n n x n 1 6 fie f : R + R, f x) = 1 x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 7 fie f : R + R, f x) = x p, cu p R Atunci, pentru orice x R +, există f x) = px p 1 8 fie f : R R +, f x) = e x Atunci, pentru orice x R, există f x) = e x 9 fie f : R R +, f x) = a x, cu a > 0 Atunci, pentru orice x R, există f x) = a x ln a 10 fie f : R + R, f x) = ln x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 x x 11 fie f : R + R, f x) = log a x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 1 fie f : R R, f x) = sin x Atunci, pentru orice x R, există f x) = cos x 13 fie f : R R, f x) = cos x Atunci, pentru orice x R, există f x) = sin x x x ln a 14 fie f : R { } { } k + 1) π R, f x) = tgx Atunci, pentru orice x R k + 1) π, există f x) = 1 cos x 15 fie f : R {kπ} R, f x) = ctgx Atunci, pentru orice x R {kπ}, există f x) = 1 sin x 16 fie f : [ 1, 1] [ π, π ], f x) = arcsinx Atunci, pentru orice x 1, 1), există f x) = 1 1 x 17 fie f : [ 1, 1] [0, π], f x) = arccos x Atunci, pentru orice x 1, 1), există f x) = 1 1 x 18 fie f : R π, π ), f x) = arctgx Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 19 fie f : R 0, π), f x) = arcctgx Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 1+x 1+x Remarca 5 Toate formulele de mai sus se rescriu imediat adăugând u în dreapta) în cazul compunerii funcţiilor elementare cu o funcţie u x) De exemplu, arctg u) x) = 1 1+u x) u x) Exemplul 6 Derivata funcţiei polinomiale f x) = 3x 5 x 4 x 3 + 3x 5x + utilizează derivata lui x n precum şi liniaritatea operatorului de derivare Astfel: f x) = 3x 5 x 4 x 3 + 3x 5x + ) = 15x 4 8x 3 3x + 6x Exemplul 7 Derivata funcţiei raţionale f x) = x 3x+1 x 1 utilizează derivata lui x n precum şi regula de derivare a câtului Astfel: x f ) 3x + 1 x 3x + 1 ) x 1) x 3x + 1 ) x 1) x) = = x 1 x 1) = x 3) x 1) x 3x + 1 ) x 1) = x x + 1 x 1) 5
6 Lect dr Exemplul 8 Derivata funcţiei f x) = x 3 sin x utilizează derivata lui x n şi sin x precum şi regula de derivare a produsului Astfel: f x) = x 3 sin x ) = x 3 ) sin x + x 3 sin x) = 3x sin x + x 3 cos x Exemplul 9 Derivata funcţiei f x) = tgx = sin x cos x utilizează derivata lui sin x şi cos x precum şi regula de derivare a câtului Astfel: ) sin x f x) = = sin x) cos x sin x cos x) cos x cos x) = cos x + sin x 1 cos x) = cos x) = sau) = 1 + tg x Exemplul 30 Derivata funcţiei f x) = 1 x utilizează derivata lui 1 x precum şi regula de derivare a compunerii de funcţii Astfel f x) = u x) unde u x) = 1 x ) f 1 x) = u x) = 1 u x) u x) = 1 x ) x = 1 x 1 x Exemplul 31 Derivata funcţiei f x) = e cos3x) utilizează regula de derivare a compunerii de funcţii Astfel f x) = e ux) unde u x) = cos 3x) iar u x) = cos v x), unde v x) = 3x Deci iar Prin urmare f x) = e ux)) = e ux) u x) u x) = cos v x)) = sin v x) v x) f x) = e cos3x) sin 3x)) 3 = 3 sin 3x) e cos3x) Exemplul 3 Derivata funcţiei g x) = ln f x) este imediată: ln f) = f 4 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile Fie f : I R, unde I este un interval şi fie a I Definiţia 33 Spunem a este un punct de minim local al funcţiei f dacă U V a) astfel încât f x) f a), x U I Definiţia 34 Spunem a este un punct de maxim local al funcţiei f dacă U V a) astfel încât f x) f a), x U I Definiţia 35 Punctele de minim sau maxim local) se numesc puncte de extrem local) Teorema 36 lui Fermat) Dacă f are derivată într-un punct a din interiorul intervalului I care este punct de extrem local atunci derivata sa este nulă în acest punct f 6
7 Lect dr Demonstraţie Presupunem că a este punct de maxim local Atunci, există o vecinătate U a lui a U V a)) astfel încât f x) f a), x U I Pentru x < a avem că deci trecând la ită avem că Pentru x > a avem că deci trecând la ită avem că Dar derivata f a) există deci f f x) f a) = 0 f s f x) f a) a) = 0 x a x<a f f x) f a) = 0 f d f x) f a) a) = 0 x a x<a f a) = f s a) = f d a) ceea ce înseamnă că derivata f a) = 0 poz şi neg în acelaşi timp) Definiţia 37 Punctele în care funcţia este derivabilă şi pentru care derivata se anulează se numesc puncte critice; deci Th lui Fermat spune că punctele de extrem în care funcţia este derivabilă) sunt printre punctele critice Remarca 38 1 dacă punctul de extrem nu se află în interiorul intervalului ci la o extremitate a sa atunci este posibil ca derivata să nu se anuleze în acel punct funcţia f poate avea extrem într-un punct fără ca ea să admită derivată în acel punct de exemplu funcţia f x) = x ) 3 recoproca teoremei lui Fermat nu este adevărată; există deci punte în care derivata este nulă dar punctul nu este de extrem de exemplu funcţia f x) = x 3 care este strict crescătoare pe R iar 0 este punct critic) Teorema 39 lui Rolle) Fie a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f este continuă pe [a, b], f este derivabilă pe a, b), 3 f a) = f b) Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât f c) = 0 Demonstraţie Conform teoremei lui Weierstrass avem că f [a, b]) este intervalul [mm] astfel încât valorile maxime sunt atinse de puncte din [a, b]; mai precis, există punctele de extrem global) x m, x M [a, b] astfel încât f x m ) = min x [a,b] f x M ) = max x [a,b] f x) := m, f x) := M Acum dacă m = M atunci f este constantă pe [a, b] deci f = 0 pe [a, b] Deci prespunem că m < M Deoarece f a) = f b) avem fie f a) = f b) < M 7
8 Lect dr fie f a) = f b) > m Dacă f a) = f b) < M atunci x M nu poate fi a sau b deci x M a, b) şi, având în vedere că f este derivabilă în punctul de maxim x M deducem din teorema lui Fermat) că x M este punct critic, adică f x M ) = 0 Dacă f a) = f b) > m atunci x m nu poate fi a sau b deci x m a, b) şi, având în vedere că f este derivabilă în punctul de minim x m deducem din teorema lui Fermat) că x m este punct critic, adică f x m ) = 0 Remarca 40 1 condiţia ca domeniul să fie interval este esenţială pentru valabilitatea teoremei lui Rolle se deduce imediat că între două rădăcini ale funcţiei f se află cel puţin o rădăcină a derivatei 3 deci, între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcţiei 4 semnificaţia geometrică a teoremei lui Rolle) există cel puţin un punct c a, b) astfel încât tangenta la graficul lui f în punctul M c, f c)) este paralelă cu axa Ox vezi desenul) Exemplul 41 Fie f x) = x, x [ 1, 1] Atunci f este evident derivabilă şi continuă pe [ 1, 1] Ecuaţia f x) = 0 are exact o soluţie în intervalul [ 1, 1] punctul c = 0) ) Exemplul 4 Fie f x) = x sin π x, x 0, 1] Avem că f 1 n+1 = f 1 n), n N iar f este evident [ ] ) 1 derivabilă şi continuă pe Deci f 1 = 0 are cel puţin o soluţie x n în intervalul Deci n+1, 1 n ecuaţia f x) = 0 are o infinitate numărabilă de soluţii în intervalul 0, 1) Teorema 43 creşterilor finite a lui Lagrange) Fie a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f este continuă pe [a, b], f este derivabilă pe a, b), Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât să avem f b) f a) = f c) b a n+1, 1 n Demonstraţie Definim funcţia g : I R, g x) := fb) fa) b a ) f x) Evident g este contiunuă pe [a, b] şi derivabilă pe a, b) datorită lui f) În plus, g a) = g b) = f a) Aplicând acum Teorema lui Rolle obţinem că c a, b) astfel încât g f b) f a) c) = 0 1 f f b) f a) c) = 0 = f c) b a b a Remarca 44 1 formula de mai sus se numeşte formula creşterilor finite dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct cu excepţia eventuală a extremităţilor) atunci există cel puţin un punct de pe grafic care nu coincide cu extremităţile) în care tangenta este paralelă cu coarda care uneşte extremităţile vezi desenul) 3 semnificaţia geometrică a teoremei lui Lagrange) există cel puţin un punct c a, b) astfel încât tangenta la graficul lui f în punctul M c, f c)) este paralelă cu dreapta care uneşte punctele A a, f a)) şi B b, f b)) vezi desenul) Exemplul 45 Fie f : R + R, f x) = ln x Evidedent f x) = 1 x, x R + Fie acum 0 < a < b < + Aplicând Teorema lui Lagrange obţinem că c a, b) astfel încât f b) f a) b a = f c) ln b ln a b a = 1 c b a ln b ln a = c 8
9 Lect dr Deoarece 1 b < 1 c < 1 a rezultă inegalitatea b a b < ln b ln a < b a, 0 < a < b < + a În particular pentru a = 1 şi b = x + 1 > 0 rezultă inegalitatea x < ln 1 + x) < x, x 1, + ) 1 + x În particular pentru a = x > 0 şi b = x + 1 > 0 rezultă inegalitatea x < ln 1 + x) ln x < 1, x 0, + ) x Teorema 46 prima consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabilă pe un interval I Atunci f constantă pe I f = 0 pe I Demonstraţie Fie a I fixat şi x I oarecare x a Atunci, aplicând Teorema lui Lagrange, obţin că ξ a, x) sau în x, a)) astfel încât fx) fa) = f ξ) 0, deci f x) = f a) Remarca 47 Dacă f are derivata nulă nu pe un interval ci, spre exemplu, pe o reuniune de intervale) atunci f nu este constantă pe acea mulţime Teorema 48 a doua consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabilă pe un interval I Atunci 1 f strict) crescătoare pe I f este strict) pozitivă pe I, f strict) descrescătoare pe I f este strict) negativă pe I Demonstraţie 1 Fie x 0 I din interiorul intervalului I Atunci fx) fx0) 0, x I cu x > x 0 Deci x x 0 f x 0 ) = f d f x) f x 0 ) x 0 ) = 0 x x 0 x x x>x 0 0 Presupunem că f 0 pe I şi fie x 1 < x din I arbitrari aleşi Atunci, aplicând Teorema lui Lagrange pe [x 1, x ] deducem că c x 1, x ) astfel încât Deoarece f c) 0 obţinem f x ) f x 1 ) 0 f x ) f x 1 ) = x x 1 ) f c) Corolarul 49 Dacă derivata f nu se anulează pe I atunci f este strict monotonă pe I Exemplul 50 Vom arăta inegalitatea e x > 1 + x, x R Să notăm cu f x) = e x x 1, x R Calculăm f x) = e x 1 care are semnul > 0, dacă x > 0, f x) = < 0, dacă x < 0, = 0, dacă x = 0, deci, aplicând consecinţa teoremei lui Lagrange, obţinem că { strict cresc pe 0, + ), f = strict descresc pe, 0) 9
10 Lect dr Atunci f x) > f 0) = 0, x > 0 şi f x) > f 0) = 0, x < 0, adică f x) > 0, x R şi atinge valoarea 0 doar în x = 0 Deci e x x 1 > 0, x R Exemplul 51 Vom arăta inegalitatea e x x e, x R + şi faptul că e este singurul număr care verifică egalitatea Să notăm cu f x) = ln x x, x R + Calculăm f x) = 1 ln x x care are semnul > 0, dacă x 0, e), f x) = < 0, dacă x e, + ), = 0, dacă x = 1, deci, aplicând consecinţa teoremei lui Lagrange, obţinem că { strict cresc pe 0, e), f = strict descresc pe e, + ) Atunci f x) < f e) = 1/e, x 0, e) şi f x) < f e) = 1/e, x e, + ), adică f x) < 1/e, x R + {e} şi atinge valoarea 1/e doar în x = e Deci x R + {e} ln x x < 1 e e ln x < x ln xe < x x e < e x Teorema 5 a treia consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f continuă pe un interval I şi derivabilă pe I {x 0 } Dacă există x x0 f x) atunci există şi f x 0 ) şi fără demonstraţie) Exemplul 53 Fie f x) = f x 0 ) = f x) x x 0 { a sin x) 4, dacă x < 0, b x 1) + e x, dacă x 0 Dacă dorim ca f să fie derivabilă în origine atunci trebuie mai întâi ca f să fie continuă în origine; calculez deci impun ca Acum calculez şi itele f 0 0) : = f x) = 4 x 0 x<0 f 0 + 0) : = f x) = b + 1 f x) = x 0 x>0 4 = b + 1 b = 5 { a cos x), dacă x < 0, 5 + e x, dacă x > 0 f s x) = f x) = a, x 0 x<0 f d x) = f x) = 6 x 0 x>0 10
11 Lect dr Impun acum ca să existe f x) = x 0 x 0 x<0 f s x) = x 0 x>0 f d x) adică a = 3 şi deci f x) = 6 În x 0 concluzie, pentru a = 3, b = 5 funcţia f este continuă şi derivabilă în 0 şi derivata este dată de { 6 cos x), dacă x < 0, f x) = 5 + e x, dacă x 0 Teorema 54 lui Cauchy) Fie f, g : I R şi a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f, g sunt continue pe [a, b], f, g sunt derivabile pe a, b), 3 g x) 0, x a, b) Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât să avem f b) f a) g b) g a) = f c) g c) Demonstraţie Evident, din Teorema lui Rolle, g a) g b) altfel ar exista un punct în care derivata g se anulează) Definim funcţia h : I R, h x) := [f b) f a)] [g x) g a)] [g b) g a)] [f x) f a)] Evident h este contiunuă pe [a, b] şi derivabilă pe a, b) datorită lui f şi g) Aplicând acum Teorema lui Rolle obţinem că c a, b) astfel încât h c) = 0 [f b) f a)] g c) [g b) g a)] f f b) f a) c) = 0 g b) g a) = f c) g c) 5 Teorema lui l Hôpital Teorema 55 Fie f, g două funcţii definite pe o vecinătate a lui a exceptând eventual a) astfel încât f x) = g x) = l x a x a unde l este 0, sau + Dacă sunt derivabile în vecinătatea lui a exceptând eventual a) astfel încât g x) 0, x a, şi dacă f x) există ita x a g = L, finită sau infinită, x) fx) atunci există şi ita x a şi este egală tot cu L, adică fără demonstraţie) gx) f x) x a g x) = f x) x a g x) = L Remarca 56 1 Teorema lui l Hôpital se poate aplica de mai multe ori, de exemplu, f x) x a g x) = f x) x a g x) = f x) x a g x) = L Teorema lui l Hôpital se poate aplica şi în celelalte cazuri de nedeterminări Astfel, în cazul 0 se poate utiliza identitatea f g = f 1 g În cazul 0 0, 0, 1 se poate utiliza identitatea f g = e ln f g = e g ln f 11
12 Lect dr Exemplul 57 Pentru fracţia ex e x sin5x) observăm că suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital deci e x e x x 0 sin 5x) Exemplul 58 Pentru fracţia 1+3x 0 0 e x + e x = = e0 + e 0 = 4 x 0 5 cos 5x) 5 cos x) 3 x sin x observăm că suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital deci 1 + 3x 1 + x) x) x) x) 1/ = = x 0 x sin x x 0 sin x + x cos x x 0 sin x + x cos x Acum aplicăm încă o dată teorema lui l Hôpital şi obţin x) 1/ 0 0 = x 0 sin x + x cos x deci x x) x) cos x + cos x + x sin x) = x) 1 x 0 cos x x sin x 1 + 3x 1 + x) 3 f x) = x 0 x sin x x 0 g x) = f x) x 0 g x) = f x) x 0 g x) = 3 Exemplul 59 Pentru a demonstra că 0 sin x 0 = 1 x 0 x suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital Dacă o aplicăm obţinem sin x x 0 x = sin x) cos x x 0 x = = cos 0 = 1 x ) = cos 0 0 sin 0 = 3 Remarcăm că raţionamentul este greşit este un cerc vicios ) deoarece pentru a demonstra că derivata lui sin este cos se foloseşte această ită fundamentală x 0 sin x x ) Exemplul 60 Pentru a calcula ita x + x + sin x x + cos x nu putem aplica l Hôpital deoarece nu există x + sin x vezi capitolele precedente) Limita se va rezolva astfel x + sin x x + x + cos x = 1 + sin x x x + + cos x = = 1, deoarece avem 0 x + Exemplul 61 Temă) Calculaţi sin x x x + x + x 1 x = 0 x + sin x x sin x Exemplul 6 Temă) Aplicaţi l Hôpital pentru a demonstra e x x + x α = +, x + ln x x + x α = 0, sin x x = 0 1
13 Lect dr 6 Derivate de ordin superior Formula lui Taylor Definiţia 63 Fie f o funcţie derivabilă într-o vecinătate a lui a astfel încât derivata f să fie definită pe o vecinătate a lui a Dacă f este derivabilă în a atunci spunem că f este de două ori derivabilă în a Vom nota cu f a) = f ) a) derivata secundă a lui f în a Remarca 64 Vom nota derivata secundă şi cu Derivata de ordin trei va fi definită ca f ) a) sau cu d f dx a) f 3) a) = f a) := f ) a) Definiţia 65 În general, fie f o funcţie derivabilă de k 1) ori într-o vecinătate a lui a astfel încât derivata f k 1) să fie definită pe o vecinătate a lui a Dacă f k 1) este derivabilă în a atunci spunem că f este de k ori derivabilă în a Vom nota cu f k) a) = f k 1)) a) derivata de ordin k a lui f în a Remarca 66 Vom nota derivata de ordin k şi cu d k f dx k a) Exemplul 67 Fie f : R R, f x) = x n cu n N fixat Atunci, pentru k n, Pentru k n + 1 obţinem că f x) = nx n 1 f x) = n n 1) x n f 3) x) = n n 1) n ) x n 3 f k) x) = n n 1) n ) n k + 1) x n k f k) x) = 0 Exemplul 68 Fie f : R R, f x) = sin x Atunci f x) = cos x = sin x + π ) f x) = sin x = sin x + π ) f 3) x) = cos x = sin x + 3 π ) f 4) x) = sin x = sin x + 4 π ) f k) x) = sin x + k π ) 13
14 Lect dr Exemplul 69 Temă) Fie f : R R, f x) = cos x Demonstraţi că f k) x) = cos x + k π ) Exemplul 70 Fie f : R R, f x) = e x Atunci f x) = e x f x) = e x f k) x) = e x Definiţia 71 Fie f : I R derivabilă de n ori şi cu derivatele continue pe I Presupunem că derivata de ordin n + 1) există în fiecare punct din I Polinomul T n x) = f a) + f a) ) + f a) ) + f a) ) f n) a) ) n 1!! 3! n! se numeşte polinomul Taylor de grad n, ataşat funcţiei f în punctul a Definiţia 7 Formula lui Taylor) Dacă f : I R este o funcţie de n + 1) ori derivabilă pe I atunci pentru oricare două puncte x, a I formula f x) = f a) + f a) ) + f a) ) + f a) ) 3 + 1!! 3! + f n) a) ) n + R n x) n! se numeşte formula lui Taylor de ordin n corespunzătoare funcţiei f în punctul a Cantitatea R n x) se numeşte restul de ordin n din formula Taylor şi are diverse forme de exprimare Teorema 73 Restul de ordin n din formula lui Taylor este dat de următoarele formule: a) b) unde ξ este un punct între a şi x 7 Diferenţiale Fie f : I R cu I interval şi a I ) x ξ)n R n x) = f n+1) ξ) n! )n+1 R n x) = f n+1) ξ) n + 1)! restul lui Cauchy) restul lui Lagrange), Definiţia 74 Spunem că f este diferenţiabilă în punctul a I dacă există numărul finit A R şi funcţia α : I R continuă în a astfel încât α a) = 0 şi, x I, f x) = f a) + A ) + α x) ) Teorema 75 Funcţia f este diferenţiabilă în a I dacă şi numai dacă f este derivabilă în a 14
15 Lect dr Demonstraţie Presupunem că f este diferenţiabilă în a Pentru x a, avem că deci, α fiind continuă în a, obţinem că f x) f a) = A + α x) f x) f a) = A + α x)) = A + α x) = A + α a) = A x a x a x a Presupunem că f este derivabilă în a Atunci şi definim funcţia α : I R astfel Deci α x) = f f x) f a) a) = x a { fx) fa) f a), dacă x a 0, dacă x = a ) f x) f a) α x) = f a) = 0 =: α a), x a x a adică funcţia α satisface coniţia de continuitate în a şi de anulare în a Conform definiţiei 1) a lui α avem egalitatea valabilă x a şi evidentă pentru x = a) f x) = f a) + A ) + α x) ) Remarca 76 Funcţia f este deci diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă unde Remarca 77 Deoarece f x) = f a) + f a) ) + α x) ), α x) = α a) = 0 x a f x) f a) = [f a) + α x)] ) deducem că pentru valori ale lui x suficient de aproape de a, ţinem cont de continuitatea lui α şi de α a) = 0) Notând h :, obţinem aproximarea f x) f a) f a) ) f a + h) f a) f a) h Definiţia 78 Funcţia liniară h f a) h definită pentru h R, se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul a şi se va nota cu df a) Deci df a) h) := f a) h 1) 15
16 Lect dr Definiţia 79 Pentru un punct oarecare x I, df x) h) = f x) h Pe de altă parte, luând g x) = x identitatea) obţinem deci are loc dg x) h) = dx h) = h df x) h) = f x) dx h) Definiţia 80 Formula de calcul a diferenţialei unei funcţii într-un punct) Acum dacă nu îl mai scriem pe h, obţinem scrierea df x) = f x) dx Definiţia 81 În condiţiile în care există derivata secundă a lui f în a putem scrie dieferenţiala de ordinul doi notată d f a) := f a) dx În general Exemplul 8 Să calculăm diferenţiala )) d arctg 1 + x = = d k f a) := f k) a) dx k )) 1 ) arctg 1 + x dx = x ) 1 + x dx x 1 x x dx = 1 + x + x dx 1 + x 16
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE
Capitolul 7 DERIVATE. DIFERENŢIALE Noţiunea de derivată, elementul fundamental al calculului diferenţial, are o deosebită importanţă în studiul matematic al mărimilor variabile. Problemele principale care
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραJ F (ρ, ϕ, θ) = cos ϕ ρ sin ϕ 0. Teoremă (a diferenţiabilităţii compuse) (legea lanţului) Fie F : D deschis
3) Coordonate sferice Fie funcţia vectorială F : R + [ π, π] [0, π) R 3, F (ρ, ϕ, θ) = (ρ sin ϕ cos θ, ρ sin ϕ sin θ, ρ cos ϕ). Observăm că F exprimă legătura dintre coordonatele carteziene şi coordonatele
Διαβάστε περισσότεραz a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραf(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +
Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραOrice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).
Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότεραILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL
PROPRIETĂłILE ILE FUNCłIILOR DERIVABILE PE UN INTERVAL 1. Puncte de etrem ale unei uncńii Determinarea punctelor de etrem ale unei uncńii are o mare importanńă practică, iind legată de rezolvarea problemelor
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραSiruri de numere reale
Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)
Διαβάστε περισσότεραPuncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.
Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme
SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότερα1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.
Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Διαβάστε περισσότεραCURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.
Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul
Διαβάστε περισσότερα1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <
Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie
Διαβάστε περισσότεραFuncţii Ciudate. Beniamin Bogoşel
Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραConcurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραO generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013
O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραavem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Διαβάστε περισσότεραINTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0
INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă
Διαβάστε περισσότεραNOŢIUNI INTRODUCTIVE
1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραNumere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata
Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z)
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραTESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie
Διαβάστε περισσότεραAPLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE
1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCriterii de comutativitate a grupurilor
Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότερα2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu
2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραTimp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.
Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραCâmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Διαβάστε περισσότεραLucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi
Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii
Διαβάστε περισσότερα