ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση αυτή µπορεί να προσδιοριστεί µε βάση ορισµένες παρατηρήσεις. Σε κάθε σύστηµα, στο οποίο οι µεταβλητές ποσότητες αλλάζουν ή µεταβάλλονται, έχει ενδιαφέρον να εξεταστούν οι επιδράσεις που κάποιες µεταβλητές ασκούν (ή φαίνεται ότι ασκούν) σε κάποιες άλλες µεταβλητές. Στις φυσικές διαδικασίες η ύπαρξη µιας τέτοιας απλής σχέσης αποτελεί µάλλον την εξαίρεση παρά τον κανόνα. Συνήθως υπάρχει µια συναρτησιακή σχέση η οποία είναι τόσο πολύπλοκη ώστε δεν µπορεί να γίνει κατανοητή ή να περιγραφεί µε απλούς όρους. Σε µια τέτοια περίπτωση, το καλύτερο είναι να γίνει προσέγγιση αυτής της πολύπλοκης συναρτησιακής σχέσης µε µια απλή µαθηµατική συνάρτηση, όπως πολυώνυµο, που να περιλαµβάνει τις κατάλληλες µεταβλητές και να προσεγγίζει την κανονική συνάρτηση για κάποιο περιορισµένο εύρος µεταβλητών που εµπλέκονται στη διαδικασία. Η εξέταση αυτής της απλής µαθηµατικής συνάρτησης µπορεί να δώσει περισσότερες πληροφορίες για την υπάρχουσα αληθινή σχέση και οδηγήσει σε εκτίµηση των ξεχωριστών αλλά και των κοινών επιδράσεων που παράγονται από τις αλλαγές σε συγκεκριµένες σηµαντικές µεταβλητές. Ακόµα και όταν λογικά δεν υπάρχει φυσική σχέση µεταξύ των µεταβλητών, µπορεί να θέλουµε να τις συσχετίσουµε µε κάποια µαθηµατική εξίσωση. Ενώ η εξίσωση µπορεί να στερείται φυσικής έννοιας, µπορεί να είναι εξαιρετικά πολύτιµη για την πρόβλεψη των τιµών κάποιων µεταβλητών από τις γνώσεις που διαθέτουµε για άλλες µεταβλητές, όταν ισχύουν κάποιες συγκεκριµένες συνθήκες. 99

2 Προσδιορίζοντας τη σχέση των µεταβλητών, λέµε ότι έχουµε προσδιορίσει ένα µοντέλο. Όταν µας ενδιαφέρει να προσδιορίσουµε ένα µοντέλο για να ερµηνεύσουµε τη συµπεριφορά της µεταβλητής Υ µε βάση τη συµπεριφορά των µεταβλητών Χ 1,,Χ κ, τότε ονοµάζουµε την Υ εξαρτηµένη µεταβλητή και τις Χ 1,,Χ κ ανεξάρτητες ή ερµηνευτικές µεταβλητές. Η εκτίµηση ενός στατιστικού µοντέλου γίνεται µε ανάλυση στατιστικών δεδοµένων, δηλαδή παρατηρήσεων της εξαρτηµένης µεταβλητής Υ σε επιλεγµένα επίπεδά της ή των ερµηνευτικών µεταβλητών. Οι στατιστικές τεχνικές που χρησιµοποιούνται για το σκοπό αυτό αναφέρονται ως ανάλυση παλινδρόµησης. (I. Πανάρετος, 1997) Η γενική µορφή ενός µοντέλου παλινδρόµησης για την τυχαία µεταβλητή Υ µε ερµηνευτικές µεταβλητές τις Χ 1,Χ 2,,Χ κ είναι : Υ = f (Χ 1,Χ 2,,Χ κ ) + ε, µε Ε(ε) = 0 και Ε(Υ) = f (Χ 1,Χ 2,,Χ κ ) Η τυχαία µεταβλητή εκφράζεται ως άθροισµα µιας σχέσης που εκφράζει τη µέση τιµή της εξαρτηµένης ως συνάρτηση των ερµηνευτικών µεταβλητών Χ 1,Χ 2,,Χ κ και ενός τυχαίου όρου. Η f (Χ 1,Χ 2,,Χ κ ) ονοµάζεται συνάρτηση παλινδρόµησης της Υ επί των Χ 1,Χ 2,,Χ κ. Αν το µοντέλο που εξετάζουµε είναι τέτοιας µορφής που η τυχαία µεταβλητή Υ είναι γραµµική συνάρτηση των παραµέτρων του µοντέλου, τότε µιλάµε για ένα γραµµικό µοντέλο. Η απλούστερη µορφή τέτοιας σχέσης είναι : Y = α + βx + ε, µε Ε(ε) = 0, όπου α, β σταθερές (a, b εκτιµήσεις) Η µέση τιµή της Υ για ορισµένη τιµή της Χ βρίσκεται πάνω σε µια ευθεία µε σταθερό όρο α και κλίση β. Όταν το µοντέλο περιέχει παραπάνω από µια ερµηνευτικές µεταβλητές ονοµάζεται πολυµεταβλητό γραµµικό µοντέλο : Y = α + β 1 Χ 1 + β 2 Χ β κ Χ κ + ε και Ε(Υ) = α + β 1 Χ 1 + β 2 Χ β κ Χ κ 100

3 Το α είναι ο σταθερός όρος της συνάρτησης παλινδρόµησης, δηλαδή η τιµή της Υ όταν Χ 1 = Χ 2 = = Χ κ = 0. Ο συντελεστής β j (j=1,2, κ) είναι η µεταβολή της Υ όταν η ερµηνευτική µεταβλητή Χ j αυξηθεί κατά µια µονάδα και οι υπόλοιπες µεταβλητές παραµείνουν σταθερές. Η διαδικασία εκτίµησης του µοντέλου περιλαµβάνει τα εξής στάδια : Επιλογή των ερµηνευτικών µεταβλητών µε βάση τη σχετική θεωρία ή τη γνώση µας για τη διαδικασία παραγωγής των τιµών της Υ. Κάποιες απ αυτές µπορούν να κριθούν περιττές ή να προστεθούν επιπλέον ερµηνευτικές µεταβλητές. Επιλέγεται ο κατάλληλος µαθηµατικός τύπος για τον προσδιορισµό µέρους της σχέσης της Υ µε την ερµηνευτική µεταβλητή ( ή µεταβλητές). Επιλογή τιµών για τις παραµέτρους του µοντέλου, έτσι ώστε αυτό να εκτιµά τις παρατηρήσεις Υ 1,...Y κ καλύτερα, σύµφωνα µε κάποιο κριτήριο. Στο γραµµικό µοντέλο όταν η συµπεριφορά του τυχαίου µέρους ικανοποιεί ορισµένες συνθήκες, επιλέγεται ως κριτήριο καλής προσαρµογής η ελαχιστοποίηση του αθροίσµατος για όλες τις τιµές Υ i των τετραγωνικών σφαλµάτων εκτίµησης. Ισοδύναµα επιλέγεται ως µέθοδος εκτίµησης η µέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων. Τα αποτελέσµατα του προηγούµενου σταδίου γενικεύονται σ όλες τις παρατηρήσεις Υ i της Υ, οι οποίες θα µπορούσαν να είχαν συλλεχθεί µε τον ίδιο τρόπο που έχουν συλλεχθεί οι παρατηρήσεις των δεδοµένων µας. Ελέγχεται η καταλληλότητα του εκτιµηθέντος µοντέλου. Εξετάζεται αν οι υποθέσεις που έγιναν για τη συνάρτηση παλινδρόµησης και για τον όρο σφάλµατος, στηρίζονται από τα δεδοµένα ή αν θα πρέπει να γίνουν τροποποιήσεις στην εξειδίκευση του µοντέλου. Οι τροποποιήσεις µπορεί να υπαγορεύουν άλλη µέθοδο εκτίµησης από αυτή των ελάχιστων τετραγώνων. 6.2 ηµιουργία µοντέλων Τα Μαθηµατικά είναι µαζί µε την Ελληνική Γλώσσα τα βασικότερα µαθήµατα στο ηµοτικό Σχολείο. Πολλοί εκπαιδευτικοί λαµβάνουν υπόψη 101

4 τους την επίδοση των µαθητών στα µαθήµατα αυτά και καθορίζουν αποφασιστικά τη στάση τους για την αξιολόγηση των µαθητών στα υπόλοιπα µαθήµατα. Ο τελικός βαθµός δηλαδή είναι ο ίδιος ή περίπου ο ίδιος µε αυτόν των Μαθηµατικών ή της Ελληνικής Γλώσσας. Έχει διαπιστωθεί επίσης ότι τα Μαθηµατικά δυσκολεύουν περισσότερο τους µαθητές σε σχέση µε τα υπόλοιπα µαθήµατα. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η εύρεση και περιγραφή της σχέσης µεταξύ του βαθµού του Απολυτηρίου (εξαρτηµένη µεταβλητή) και του βαθµού στα Μαθηµατικά (ανεξάρτητη µεταβλητή) ηµιουργία µοντέλου για το σύνολο των µαθητών Θα καθοριστεί αν από τα υπό ανάλυση δεδοµένα προκύπτει γραµµική σχέση µεταξύ του βαθµού του Απολυτηρίου και του βαθµού στα µαθηµατικά, όπως αυτός αναγράφεται στο απολυτήριο. ηλαδή διερευνάται αν ο βαθµός στα µαθηµατικά είναι ικανός να προβλέψει το βαθµό που έχουν οι µαθητές στο απολυτήριό τους. Ο παρακάτω πίνακας µας επιτρέπει να εξετάσουµε αν οι δυο µεταβλητές συνδέονται µε γραµµική σχέση, επιπλέον δε πόσο στενή είναι η σχέση αυτή. Πίνακας 43 Συσχέτιση βαθµού µαθηµατικών και βαθµού απολυτηρίου ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο N Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο N ΒΑΘΜΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ 1,000,935,, ,935 1,000,000, Φαίνεται ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0,935. Εποµένως υπάρχει µεγάλη θετική γραµµική σχέση µεταξύ του βαθµού απολυτηρίου των µαθητών και του βαθµού που έχουν στα µαθηµατικά. Ο συντελεστής αυτός δείχνει ότι οι µαθητές µε µεγάλους βαθµούς στα µαθηµατικά έχουν κατά κανόνα µεγάλους βαθµούς και στο απολυτήριο, οι µαθητές µε µέσους βαθµούς στα 102

5 µαθηµατικά έχουν µέσους βαθµούς και στο απολυτήριο και οι µαθητές µε µικρούς βαθµούς στα µαθηµατικά έχουν µικρούς βαθµούς και στο απολυτήριο. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι το παρατηρούµενο επίπεδο, που αντιστοιχεί στο στατιστικό έλεγχο για την ύπαρξη ή όχι γραµµικής σχέσης µεταξύ των δυο µεταβλητών, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : ο συντελεστής συσχέτισης διαφέρει από το 0, έχει τιµή 0. Εποµένως απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση σε επίπεδο 5% και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. Θα προσπαθήσουµε να βρούµε µια εκτίµηση της ευθείας παλινδρόµησης, έστω yˆ = a + b x. Πρέπει να προσδιορίσουµε τους συντελεστές a και b (οι οποίοι είναι σηµειακές εκτιµήσεις των α και β), ώστε η γραµµή yˆ = a + b x να είναι όσο το δυνατό πλησιέστερα προς την πραγµατική ευθεία παλινδρόµησης της οποίας η συναρτησιακή µορφή είναι Ε(Υ) = α + βχ. Ο παρακάτω πίνακας δίνει πληροφορίες για τις εκτιµήσεις των παραµέτρων α και β του γραµµικού µοντέλου. Πίνακας 44 Εκτίµηση παραµέτρων (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών Σηµειακές εκτιµήσεις παραµέτρων 95% διάστηµα εµπιστοσύνης εκτιµήσεων παραµέτρων Τυπικά Παρατηρούµενο σφάλµατα επίπεδο B εκτιµήσεων t Κατώτερο όριο Ανώτερο όριο,770,162 4,759,000,452 1,089,904,019 48,7,000,868,941 Οι εκτιµήσεις των παραµέτρων α, β είναι a = 0,770 και b = 0,904. Τα τυπικά σφάλµατα των εκτιµώµενων παραµέτρων είναι 0,162 και 0,019 αντίστοιχα. Στην τέταρτη στήλη υπάρχουν οι τιµές των ελεγχοσυναρτήσεων t για κάθε παράµετρο, οι οποίες ελέγχουν εάν κάθε παράµετρος διαφέρει στατιστικά από το µηδέν. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι τα παρατηρούµενα επίπεδα, που αντιστοιχούν στο στατιστικό έλεγχο για τη στατιστική σηµαντικότητα ή όχι των παραµέτρων, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : η παράµετρος είναι µηδέν έναντι της εναλλακτικής Η 1 : η παράµετρος 103

6 διαφέρει από το µηδέν, έχουν τιµή 0. Εποµένως απορρίπτονται οι µηδενικές υποθέσεις σε επίπεδο 5% και γίνονται δεκτές οι εναλλακτικές. Στις τελευταίες στήλες υπάρχουν τα διαστήµατα εµπιστοσύνης των παραµέτρων του µοντέλου. Τα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι : (0,452, 1,089) για το α και (0,868, 0,941) για το β. Ο παρακάτω πίνακας δίνει πληροφορίες για τους συντελεστές προσδιορισµού του γραµµικού µοντέλου. Πίνακας 45 Συντελεστές προσδιορισµού Συντελεστής συσχέτισης Συντελεστής προσδιορισµού Προσαρµοσµένος συντελεστής προσδιορισµού Τυπικό σφάλµα της εκτίµησης,935,874,874,4550 Ο συντελεστής προσδιορισµού, όπως και ο προσαρµοσµένος συντελεστής προσδιορισµού, έχουν την τιµή 0,874. Οι υψηλές τιµές των συντελεστών δείχνουν ότι το µοντέλο ερµηνεύει πολύ καλά τις µεταβολές της εξαρτηµένης µεταβλητής µε τη βοήθεια της ανεξάρτητης. Το 87,4% της µεταβλητότητας που υπάρχει ερµηνεύεται µε το µοντέλο. Η βασιµότητα ή όχι της υπόθεσης της γραµµικής παλινδρόµησης µπορεί να ελεγχθεί και από τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης (ΑΝΟVΑ). Πίνακας 46 Ανάλυση διακύµανσης Πηγή µεταβλητότητας Παλινδρόµηση Λάθη Σύνολο Παρατηρούµενο Άθροισµα Βαθµοί Μέσο επίπεδο τετραγώνων ελευθερίας τετράγωνο Τιµή F 491, , ,051,000 70, , , Η συνολική µεταβλητότητα των δεδοµένων χωρίζεται και αποδίδεται εν µέρει στο µοντέλο και εν µέρει στα λάθη. Η µεταβλητότητα της εξαρτηµένης µεταβλητής µετράται µε βάση το άθροισµα των παρακάτω αποκλίσεων : Μεταβλητότητα της εξαρτηµένης εξαιτίας της ανεξάρτητης µεταβλητής : 104

7 SSR = ( ˆ Y ) 2 Y i = 491,706 Μεταβλητότητα της εξαρτηµένης εξαιτίας τυχαίων παραγόντων : SSE = ( ) 2 Y i Yˆi = 70,597 Συνολική µεταβλητότητα της εξαρτηµένης µεταβλητής : SST = ( Y ) 2 Y i = 562,304 Ο πίνακας µας δίνει τους βαθµούς ελευθερίας για τη µεταβλητότητα εξαιτίας της παλινδρόµησης (αριθµός µεταβλητών (k)-1), εξαιτίας των λαθών (αριθµός παρατηρήσεων (n) - αριθµός µεταβλητών (k)) και για το σύνολο (n-1). ιαιρώντας τα αθροίσµατα των τετραγώνων της δεύτερης στήλης µε τους αντίστοιχους βαθµούς ελευθερίας παίρνουµε τα αντίστοιχα µέσα τετράγωνα (διακυµάνσεις). Η προτελευταία στήλη µας δίνει το λόγο F ως τη διαίρεση της διακύµανσης από τις µεταβολές της ανεξάρτητης µεταβλητής προς τη διακύµανση από τα λάθη. Η τιµή της ελεγχοσυνάρτησης F και το αντίστοιχο παρατηρούµενο επίπεδο αντιστοιχούν στο στατιστικό έλεγχο της µηδενικής υπόθεσης Η 0 : β = 0 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : β 0. Απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση σε επίπεδο 5% και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. Προκειµένου να ελεγχθεί ότι τα αποτελέσµατα της παλινδρόµησης είναι αξιόπιστα πρέπει να γίνει έλεγχος προϋποθέσεων σχετικά µε τα σφάλµατα εκτίµησης (κατάλοιπα). Τα σφάλµατα πρέπει να κατανέµονται κανονικά να είναι οµοσκεδαστικά και τυχαία. Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Ο έλεγχος της υπόθεσης της κανονικότητας των καταλοίπων θα γίνει µε τη χρήση του ελέγχου Kolmogorov - Smirnov. Οι προς έλεγχο υποθέσεις είναι : Η 0 : Τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά Η 1 : Τα κατάλοιπα δεν κατανέµονται κανονικά 105

8 Πίνακας 47 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Τυποποιηµένα κατάλοιπα Statistic Kolmogorov-Smirnov a Βαθµοί ελευθερίας Παρατηρούµενο επίπεδο, ,081 a. Lilliefors Significance Correction Σε επίπεδο 5% δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση, δηλαδή τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά. ιάγραµµα 24 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων 1,00 Αναµενόµενη αθροιστική πιθανότητα,75,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 Παρατηρούµενη αθροιστική πιθανότητα Από το παραπάνω διάγραµµα φαίνεται ότι τα κατάλοιπα είναι συγκεντρωµένα (σχεδόν) γύρω από µια ευθεία. Έλεγχος οµοσκεδαστικότητας και τυχαιότητας των καταλοίπων Η υπόθεση των ίσων διασπορών ονοµάζεται πολλές φορές υπόθεση της οµοιογένειας των διασπορών ή οµοσκεδαστικότητα. Όταν υπάρχει ανισότητα 106

9 διασπορών το "άπλωµα" του y τείνει, συχνά, να αυξάνεται όσο µεγαλύτερες είναι οι τιµές της µεταβλητής χ. Ένας τρόπος ελέγχου της ισότητας των διασπορών είναι να χωριστούν τα κατάλοιπα σε δυο οµάδες, η µια από τις οποίες θα προέρχεται από τις "µικρές" τιµές του χ και η άλλη από τις "µεγάλες" τιµές του χ. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι δειγµατικές διασπορές που αντιστοιχούν στις δυο οµάδες των καταλοίπων. Κατόπιν χρησιµοποιείται ο έλεγχος F για την ισότητα δυο διασπορών, ώστε να ελεγχθεί αν τα δυο σύνολα των καταλοίπων έχουν ίσες διασπορές στους αντίστοιχους πληθυσµούς. Η οµοσκεδαστικότητα των καταλοίπων φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα, κάνοντας τον έλεγχο : Η 0 : S 2 1 = S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι ίσες Η 1 : S 2 1 S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι άνισες Πίνακας 48 Έλεγχος ισότητας διασπορών των καταλοίπων Levene's Test για ισότητα διασπορών Τυποποιηµένα κατάλοιπα Προϋπόθεση ίσων διασπορών F Παρατηρούµενο επίπεδο,754,386 Σε επίπεδο 5% δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτό ότι οι διασπορές των λαθών είναι ίσες. Από το παρακάτω διάγραµµα φαίνεται ότι τα κατάλοιπα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα και δεν παρουσιάζουν ανοµοιογένεια των διασπορών. Επίσης η γραφική παράσταση των καταλοίπων δείχνει µια τυχαία τοποθέτησή τους γύρω από τη γραµµή που αντιστοιχεί σε κατάλοιπο "0". 107

10 ιάγραµµα 25 Γραφική παράσταση των καταλοίπων 3 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ : ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ Η τυχαιότητα των καταλοίπων φαίνεται και από τον παρακάτω πίνακα, ελέγχοντας τη µηδενική υπόθεση ότι τα κατάλοιπα είναι τυχαία, έναντι της εναλλακτικής ότι δεν είναι. Πίνακας 49 Έλεγχος των ροών Test Value a Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Παρατηρούµενο επίπεδο a. Median Τυποποιηµένα κατάλοιπα, ,912,362 εν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτό ότι τα κατάλοιπα είναι τυχαία. 108

11 Η εξίσωση της ευθείας ελάχιστων τετραγώνων είναι η : Υˆ = 0, ,904 Χ Σύµφωνα µε το µοντέλο αυτό, η αύξηση της βαθµολογίας στα µαθηµατικά κατά µια µονάδα, θα επιφέρει αύξηση του βαθµού στο απολυτήριο των µαθητών κατά 0,904 µονάδες. Η τιµή 0,770 είναι το σηµείο στο οποίο η ευθεία ελάχιστων τετραγώνων τέµνει τον άξονα Υ για Χ = ηµιουργία µοντέλου διαφοροποιηµένο ως προς το φύλο Στο πέµπτο κεφάλαιο διαπιστώθηκε ότι η επίδοση των µαθητών, τόσο ως προς το βαθµό του απολυτηρίου όσο και ως προς το βαθµό των µαθηµατικών, διαφοροποιείται ως προς το φύλο. Οι µαθήτριες παρουσιάζονται να υπερτερούν έναντι των µαθητών τόσο στα µαθηµατικά και την ελληνική γλώσσα όσο και στη γενική επίδοση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η εύρεση και περιγραφή της σχέσης µεταξύ του βαθµού του απολυτηρίου (εξαρτηµένη µεταβλητή) και του βαθµού στα µαθηµατικά (ανεξάρτητη µεταβλητή), διαφοροποιηµένη όµως ως προς το φύλο. Ο πίνακας συσχέτισης δείχνει αν οι δυο µεταβλητές συνδέονται µε γραµµική σχέση. Πίνακας 50 Συσχέτιση βαθµού µαθηµατικών και βαθµού απολυτηρίου ως προς το φύλο ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο N Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο N Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο N Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο **. Η συσχέτιση έιναι σηµαντική στο 0,01 επίπεδο N ΒΑΘΜΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ 1,000,937**,, ,937** 1,000,000, ,000,933**,, ,933** 1,000,000,

12 Ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0,937 για τις µαθήτριες και 0,933 για τους µαθητές. Yπάρχει µεγάλη θετική γραµµική σχέση µεταξύ του βαθµού απολυτηρίου των µαθητών και του βαθµού που έχουν στα µαθηµατικά. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι το παρατηρούµενο επίπεδο, που αντιστοιχεί στο στατιστικό έλεγχο για την ύπαρξη ή όχι γραµµικής σχέσης µεταξύ των δυο µεταβλητών, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : ο συντελεστής συσχέτισης είναι 0, έναντι της εναλλακτικής Η 1 : ο συντελεστής συσχέτισης διαφέρει από το 0, έχει τιµή 0, τόσο για τους µαθητές όσο και για τις µαθήτριες. Εποµένως απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση σε επίπεδο 5% και γίνεται δεκτή η ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ της βαθµολογίας στα µαθηµατικά και του βαθµού του απολυτηρίου. Θα προσπαθήσουµε να βρούµε µια εκτίµηση της ευθείας παλινδρόµησης, έστω yˆ = a + b x. Πρέπει να προσδιορίσουµε τους συντελεστές a και b. Ο παρακάτω πίνακας δίνει πληροφορίες για τις εκτιµήσεις των παραµέτρων α και β του γραµµικού µοντέλου. Πίνακας 51 Εκτίµηση παραµέτρων ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Μοντέλο 1 1 (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών Σηµειακές εκτιµήσεις παραµέτρων 95% διάστηµα εµπιστοσύνης εκτιµήσεων παραµέτρων Τυπικά Παρατηρούµενο σφάλµατα επίπεδο Κατώτερο Ανώτερο B εκτιµήσεων t όριο όριο 1,071,226 4,734,000,624 1,517,879,025 34,591,000,828,929,640,229 2,798,006,189 1,092,911,027 34,034,000,858,964 Οι εκτιµήσεις των παραµέτρων α, β είναι a = 1,071, b = 0,879 για τις µαθήτριες και a = 0,640, b = 0,911 για τους µαθητές. Τα τυπικά σφάλµατα των εκτιµώµενων παραµέτρων είναι 0,226 και 0,025 για τις µαθήτριες και 0,229 και 0,027 για τους µαθητές. Στην τέταρτη στήλη υπάρχουν οι τιµές των ελεγχοσυναρτήσεων t για κάθε παράµετρο, οι οποίες ελέγχουν εάν κάθε παράµετρος διαφέρει στατιστικά από το µηδέν. Από τον παραπάνω πίνακα 110

13 φαίνεται ότι τα παρατηρούµενα επίπεδα, που αντιστοιχούν στο στατιστικό έλεγχο για τη στατιστική σηµαντικότητα ή όχι των παραµέτρων, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : η παράµετρος είναι µηδέν έναντι της εναλλακτικής Η 1 : η παράµετρος διαφέρει από το µηδέν, έχουν τιµή 0. Εποµένως απορρίπτονται οι µηδενικές υποθέσεις σε επίπεδο 5% και γίνονται δεκτές οι εναλλακτικές, δηλαδή οι παράµετροι διαφέρουν στατιστικά σηµαντικά από το µηδέν. Ο πίνακας δίνει διαστήµατα εµπιστοσύνης των παραµέτρων του κάθε µοντέλου. Τα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι : (0,624, 1,517) για το α και (0,828, 0,929) για το β (µαθήτριες) (0,189, 1,092) για το α και (0,858, 0,964) για το β (µαθητές) Ο παρακάτω πίνακας δίνει πληροφορίες για τους συντελεστές προσδιορισµού του γραµµικού µοντέλου. Πίνακας 52 Συντελεστές προσδιορισµού ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Μοντέλο 1 1 Προσαρµοσµένος Τυπικό Συντελεστής Συντελεστής συντελεστής σφάλµα της συσχέτισης προσδιορισµού προσδιορισµού εκτίµησης,937,878,877,4179,933,870,869,4780 Οι υψηλές τιµές των συντελεστών δείχνουν ότι τα µοντέλα ερµηνεύουν πολύ καλά τις µεταβολές της εξαρτηµένης µεταβλητής µε τη βοήθεια της ανεξάρτητης. Το 87,8% και το 87% της µεταβλητότητας που υπάρχει ερµηνεύεται µε τα µοντέλα. Η βασιµότητα ή όχι της υπόθεσης της γραµµικής παλινδρόµησης και για τα δυο µοντέλα µπορεί να ελεγχθεί και από τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης (ΑΝΟVΑ). Πίνακας 53 Ανάλυση διακύµανσης ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Πηγή µεταβλητότητας Παλινδρόµηση Λάθη Σύνολο Παλινδρόµηση Λάθη Σύνολο Παρατηρούµενο Άθροισµα Βαθµοί Μέσο Τιµή επίπεδο τετραγώνων ελευθερίας τετράγωνο F 208, , ,6,000 28, , , , , ,3,000 39, , ,

14 Ο πίνακας ανάλυσης διακύµανσης δίνει πληροφορίες για τη συνολική µεταβλητότητα των δεδοµένων. Τα παρατηρούµενα επίπεδα έχουν τιµή µηδέν, οπότε σε επίπεδο 5% γίνεται δεκτό ότι υπάρχει γραµµική σχέση. Τα αποτελέσµατα της παλινδρόµησης είναι αξιόπιστα µε την προϋπόθεση ότι τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά, είναι οµοσκεδαστικά και τυχαία. Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Με τον έλεγχο Kolmogorov - Smirnov ελέγχονται οι υποθέσεις : Η 0 : Τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά Η 1 : Τα κατάλοιπα δεν κατανέµονται κανονικά Πίνακας 54 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Τυποποιηµένα κατάλοιπα ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction Kolmogorov-Smirnov a Παρατηρούµενο Βαθµοί επίπεδο Statistic ελευθερίας, ,200*, ,200* εν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση, δηλαδή τα κατάλοιπα ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Η υπόθεση της κανονικότητας των καταλοίπων µπορεί να ελεγχθεί και διαγραµµατικά. Στα παρακάτω διαγράµµατα φαίνεται ότι δεν υπάρχει ένδειξη παραβίασης της υπόθεσης της κανονικότητας των καταλοίπων, αφού είναι συγκεντρωµένα γύρω από µια ευθεία. 112

15 ιάγραµµα 26 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων για τις µαθήτριες 1,00 Αναµενόµενη αθροιστική πιθανότητα,75,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 Παρατηρούµενη αθροιστική πιθανότητα ιάγραµµα 27 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων για τους µαθητές 1,00 Αναµενόµενη αθροιστική πιθανότητα,75,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 Παρατηρούµενη αθροιστική πιθανότητα 113

16 Έλεγχος οµοσκεδαστικότητας και τυχαιότητας των καταλοίπων Η οµοσκεδαστικότητα των καταλοίπων φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα, κάνοντας τον έλεγχο : Η 0 : S 2 1 = S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι ίσες Η 1 : S 2 1 S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι άνισες Πίνακας 55 Έλεγχος ισότητας διασπορών των καταλοίπων Levene's Test για ισότητα διασπορών ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ Τυποποιηµένα κατάλοιπα Προϋπόθεση ίσων διασπορών F Παρατηρούµενο επίπεδο,157,692 ΜΑΘΗΤΕΣ Τυποποιηµένα κατάλοιπα Προϋπόθεση ίσων διασπορών,514,474 Τα παρατηρούµενα επίπεδα έχουν τιµή 0,692 και 0,474 για τις µαθήτριες και τους µαθητές αντίστοιχα. Σε οποιοδήποτε επίπεδο δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση, δηλαδή δεχόµαστε ότι οι διασπορές των καταλοίπων είναι ίσες. Τα κατάλοιπα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα και δεν παρουσιάζουν ανοµοιογένεια των διασπορών. Η γραφική παράσταση των καταλοίπων δείχνει µια τυχαία τοποθέτησή τους γύρω από τη γραµµή που αντιστοιχεί σε κατάλοιπο "0". 114

17 ιάγραµµα 28 Γραφική παράσταση των καταλοίπων για τις µαθήτριες 3 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ : ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ιάγραµµα 29 Γραφική παράσταση των καταλοίπων για τους µαθητές 3 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ : ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 115

18 Η τυχαιότητα των καταλοίπων φαίνεται και από τον παρακάτω πίνακα, ελέγχοντας τη µηδενική υπόθεση ότι τα κατάλοιπα είναι τυχαία, έναντι της εναλλακτικής ότι δεν είναι. Πίνακας 56 Έλεγχος των ροών ΦΥΛΟ ΜΑΘΗΤΡΙΕΣ ΜΑΘΗΤΕΣ Test Value Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Παρατηρούµενο επίπεδο Test Value Cases < Test Value Cases >= Test Value Total Cases Number of Runs Z Παρατηρούµενο επίπεδο Τυποποιηµένα κατάλοιπα, ,776,438, ,227,820 Σε οποιοδήποτε επίπεδο δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτό ότι τα κατάλοιπα είναι τυχαία. Η εξίσωση της ευθείας ελάχιστων τετραγώνων είναι η : Υˆ = 1, ,879 Χ για τις µαθήτριες Υˆ = 0, ,911 Χ για τους µαθητές και εκφράζει τη σχέση µεταξύ των βαθµών στα µαθηµατικά και των βαθµών του απολυτηρίου,τόσο για τις µαθήτριες όσο για τους µαθητές. Σύµφωνα µε τα µοντέλα αυτά, η αύξηση της βαθµολογίας στα µαθηµατικά κατά µια µονάδα, θα επιφέρει αύξηση του βαθµού στο απολυτήριο των µαθητριών κατά 0,879 µονάδες, ενώ αύξηση της βαθµολογίας στα µαθηµατικά κατά µια µονάδα, θα επιφέρει αύξηση του βαθµού στο απολυτήριο των µαθητών κατά 0,911 µονάδες. 6.3 Γραµµικό µοντέλο µε εικονικές µεταβλητές 116

19 Ο όρος ανάλυση παλινδρόµησης χρησιµοποιείται όταν τόσο το Υ όσο και τα Χ είναι ποσοτικές µεταβλητές. Σε πολλές περιπτώσεις όµως τα προβλήµατα που µελετώνται αναφέρονται και σε ποιοτικές µεταβλητές οι οποίες πρέπει να ποσοτικοποιηθούν προκειµένου να µελετηθούν. Οι µεταβλητές που χρησιµοποιούνται στις εξισώσεις παλινδρόµησης είναι, συνήθως συνεχείς. Πολλές φορές όµως χρειάζεται να χρησιµοποιηθεί κάποιος παράγοντας που εµφανίζεται σε δυο ή περισσότερα διακεκριµένα επίπεδα. Χρειάζεται δηλαδή να ορισθούν µεταβλητές που θα προσδώσουν αριθµητική έκφραση σε ποιοτικά (κατηγορικά) χαρακτηριστικά. Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιµοποιούνται οι λεγόµενες εικονικές µεταβλητές ή ψευδοµεταβλητές. Οι µεταβλητές αυτές συνήθως χρησιµοποιούνται για να εκφράσουν δύο κατηγορίες (επίπεδα), οπότε είναι δίτιµες. Η συνήθης επιλογή για τον ορισµό µιας δίτιµης ψευδοµεταβλητής είναι η χρησιµοποίηση µιας µεταβλητής δείκτη (0-1), η οποία δείχνει αν µια συγκεκριµένη παρατήρηση ανήκει σ ένα από τα δύο καθορισµένα επίπεδα, ή κατηγορίες µιας κατηγορικής µεταβλητής. Οι ψευδοµεταβλητές χρησιµοποιούνται επίσης για να εκφράσουν µια ποιοτική µεταβλητή που παίρνει τιµές σε περισσότερες από δύο κατηγορίες (επίπεδα). (I. Πανάρετος, 2001) Αν χρειάζεται να περιληφθεί σ ένα µοντέλο παλινδρόµησης µε σταθερό όρο µια κατηγορική (ποιοτική) µεταβλητή µε k επίπεδα (κατηγορίες), πρέπει να οριστούν k-1 ψευδοµεταβλητές για να εκφράσουν την κατηγορική µεταβλητή. Όταν ορισθούν οι k-1 ψευδοµεταβλητές για µια ποιοτική µεταβλητή µε k επίπεδα, το επίπεδο (κατηγορία) που µένει ονοµάζεται κατηγορία αναφοράς ή κατηγορία βάσης. Η επιλογή της κατηγορίας αναφοράς εξαρτάται από τη φύση του προβλήµατος, γιατί συγκεκριµένες επιλογές µπορεί να οδηγήσουν σε µια καλύτερη ερµηνεία των συντελεστών παλινδρόµησης. Αυτό συµβαίνει όταν γίνονται συγκρίσεις µε κάποια "ελεγχόµενη" οµάδα η οποία χρησιµοποιείται ως κατηγορία αναφοράς. Το γενικό κίνητρο για να συµπεριληφθεί µια εικονική µεταβλητή σ ένα πρόβληµα παλινδρόµησης είναι το ίδιο µ εκείνο που οδηγεί στο να συµπεριληφθεί µια ποσοτική ανεξάρτητη µεταβλητή. Εποµένως : 117

20 Να µελετηθεί καλύτερα η εξαρτηµένη µεταβλητή µε την ελάττωση της επίδρασης του παράγοντα που οφείλεται στα λάθη. Να αποτραπεί µια µεροληπτική αποτίµηση της επίδρασης µιας ανεξάρτητης µεταβλητής που είναι απόρροια του ότι έχει παραληφθεί από το µοντέλο µια άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή η οποία σχετίζεται µε αυτή. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, χαρακτηριστικότερη περίπτωση χρησιµοποίησης εικονικής µεταβλητής είναι όταν θέλουµε να µελετήσουµε ποιοτικά δεδοµένα που είναι ενδεχόµενο να έχουν ένα από δύο διαφορετικά χαρακτηριστικά. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιµοποιούµε τη µεταβλητή - δείκτη 0-1 ως εικονική µεταβλητή. Όπως είναι προφανές, η ψευδοµεταβλητή χρησιµοποιείται ανάλογα µε το αν υφίσταται ή όχι κάποιο συγκεκριµένο χαρακτηριστικό ηµιουργία µοντέλου για το σύνολο των µαθητών Μας ενδιαφέρει να εξετάσουµε, αν, µελετώντας τους βαθµούς στην ελληνική γλώσσα και τα µαθηµατικά,, υπάρχουν σηµαντικές διαφορές στον τελικό βαθµό απόλυσης (βαθµός απολυτηρίου) µεταξύ µαθητών και µαθητριών, πρωτότοκων ή όχι, που φοιτούν σε δηµόσια ή ιδιωτικά σχολεία, µε διαζευγµένους ή όχι γονείς. Μας ενδιαφέρει εποµένως να εκτιµήσουµε την εξίσωση παλινδρόµησης : Υ = α + β 1 Χ 1 + β 2 Χ 2 + β 3 D 1 + β 4 D 2 + β 5 D 3 + β 6 D 4 + ε Όπου Υ είναι η τελική επίδοση των µαθητών, δηλαδή ο βαθµός του απολυτηρίου, Χ 1 είναι ο βαθµός στην ελληνική γλώσσα και Χ 2 είναι ο βαθµός στα µαθηµατικά. Η δίτιµη ψευδοµεταβλητή η οποία εκφράζει το φύλο ορίζεται ως : 1 για µαθητές D 1 = 0 για µαθήτριες όπου η κατηγορία των µαθητριών είναι η κατηγορία αναφοράς. Επίσης για την έκφραση της οικογενειακής κατάστασης, η µεταβλητή ορίζεται ως : 118

21 1 γονείς διαζευγµ ένοι D 2 = 0 µη διαζευγµ ένοι γονείς Τέλος για την έκφραση της σειράς γέννησης και του είδους του σχολείου φοίτησης, οι δίτιµες ψευδοµεταβλητές µεταβλητή ορίζονται ως : 1 πρωτότοκος D 3 = 0 άλλη σειρά γέννησης D 4 = 1 0 φοίτηση φοίτηση σε σε ιδιωτικό δηµ όσιο σχολείο σχολείο Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων της έρευνας θα βρεθεί κατά πόσο οι καταγεγραµµένες µεταβλητές (ανεξάρτητες µεταβλητές) επηρεάζουν τη βαθµολογία του απολυτηρίου (εξαρτηµένη µεταβλητή). Από το παρακάτω διάγραµµα διασποράς (της εξαρτηµένης µεταβλητής µε κάθε µια από τις ανεξάρτητες, όπως και µεταξύ των ανεξαρτήτων), φαίνεται ότι η εξαρτηµένη µεταβλητή (απολυτήριο) έχει µεγάλη θετική γραµµική συσχέτιση µε τις ανεξάρτητες (βαθµοί στα µαθηµατικά και τα ελληνικά). ε φαίνεται πρόβληµα πολυσυγγραµµικότητας µεταξύ των ανεξάρτητων µεταβλητών. ιάγραµµα 30 ιασπορά ανεξάρτητης µε κάθε µια από τις εξαρτηµένες µεταβλητές ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 119

22 Ο παρακάτω πίνακας µας επιτρέπει να εξετάσουµε αν µεταβλητές συνδέονται µε γραµµική σχέση, επιπλέον δε πόσο στενή είναι η σχέση αυτή. Πίνακας 57 Συντελεστές γραµµικής συσχέτισης ΒΑΘΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο Μέγεθος Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο Μέγεθος Pearson (συσχέτιση) Παρατηρούµενο επίπεδο Μέγεθος ΒΑΘΜΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΏΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ 1,000,852,875,,000, ,852 1,000,935,000,, ,875,935 1,000,000,000, Υπάρχει µεγάλη θετική γραµµική συσχέτιση τόσο µεταξύ των ανεξάρτητων µεταβλητών όσο και µεταξύ της εξαρτηµένης µε κάθε µια από τις ανεξάρτητες. Ο συντελεστής συσχέτισης µεταξύ των βαθµών στα µαθηµατικά και των βαθµών που έχουν οι µαθητές στα ελληνικά είναι 0,852, µεταξύ του βαθµού του απολυτηρίου και των βαθµών στα µαθηµατικά είναι 0,935 και τέλος, µεταξύ του βαθµού απόλυσης και των βαθµών στην ελληνική γλώσσα 0,875. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι τα παρατηρούµενα επίπεδα, που αντιστοιχούν στο στατιστικό έλεγχο για την ύπαρξη ή όχι γραµµικής σχέσης, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : o συντελεστής συσχέτισης είναι µηδέν έναντι της εναλλακτικής Η 1 : ο συντελεστής συσχέτισης διαφέρει από το µηδέν, έχουν τιµή 0. Εποµένως σε επίπεδο 5% απορρίπτονται οι µηδενικές υποθέσεις. Προκειµένου να βρεθεί το βέλτιστο µοντέλο περιγραφής των δεδοµένων, εφαρµόζουµε τη µέθοδο βηµατικής παλινδρόµησης (Stepwise). Σύµφωνα µε τη µέθοδο αυτή, ξεκινάµε µε µοντέλο χωρίς καµία µεταβλητή και σταδιακά σε κάθε βήµα µπορούµε είτε να προσθέσουµε είτε να αφαιρέσουµε µεταβλητές, ανάλογα µε τη σηµαντικότητα αυτών. 120

23 Ο παρακάτω πίνακας µας δίνει πληροφορίες για τις εκτιµήσεις των παραµέτρων του µοντέλου. Πίνακας 58 Εκτίµηση παραµέτρων Σηµειακές εκτιµήσεις παραµέτρων ιαγνωστικά Μοντέλο (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών βαθµός ελληνικών (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών βαθµός ελληνικών είδος σχολείου (σταθερά) βαθµός µαθηµατικών βαθµός ελληνικών είδος σχολείου φύλο Τυπικά Παρατηρούµενο σφάλµατα επίπεδο B εκτιµήσεων t,770,162 4,759,000,904,019 48,734,000 1,000 1,000,170,163 1,046,296 Ανοχή Παράγοντες µεταβολής (VIF),668,032 20,780,000,274 3,649,302,035 8,611,000,274 3,649,248,164 1,515,131,668,032 20,966,000,274 3,649,291,035 8,308,000,270 3,702,233,089 2,628,009,951 1,051,385,170 2,262,024,669,032 21,173,000,274 3,649,282,035 8,088,000,268 3,736,241,088 2,740,006,950 1,053 -,120,044-2,708,007,971 1,030 Τελικά κρίνονται σηµαντικές και επιλέγονται για το µοντέλο οι µεταβλητές Χ 1 (βαθµός στα ελληνικά), Χ 2 (βαθµός στα µαθηµατικά), D 1 (φύλο), D 4 (είδος σχολείου). Οι εκτιµήσεις των παραµέτρων α, β 1, β 2, β 3, β 6 είναι : a = 0,385, b 1 = 0,282, b 2 = 0,669, b 3 = 0,241, b 6 = -0,120. Τα τυπικά σφάλµατα των εκτιµώµενων παραµέτρων είναι 0,170, 0,035, 0,032, 0,088 και 0,044 αντίστοιχα. Στην τέταρτη στήλη υπάρχουν οι τιµές των ελεγχοσυναρτήσεων t για κάθε παράµετρο, οι οποίες ελέγχουν εάν κάθε παράµετρος διαφέρει στατιστικά από το µηδέν. Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι τα παρατηρούµενα επίπεδα, που αντιστοιχούν στο στατιστικό έλεγχο για τη στατιστική σηµαντικότητα ή όχι των παραµέτρων, µε µηδενική υπόθεση Η 0 : η παράµετρος είναι µηδέν έναντι της 121

24 εναλλακτικής Η 1 : η παράµετρος διαφέρει από το µηδέν, έχουν τιµή πολύ µικρότερη από την τιµή 0,05. Εποµένως απορρίπτονται οι µηδενικές υποθέσεις σε επίπεδο 5% και γίνονται δεκτές οι εναλλακτικές. Τα 95% διαστήµατα εµπιστοσύνης είναι : (0,05, 0,719) για το α, (0,607, 0,731) για το β 1, (0,068, 0,415 ) για το β 2, (0,213, 0,350) για το β 3 και (-0,208, -0,033) για το β 6. Στις δύο τελευταίες στήλες 1 του πίνακα υπάρχουν οι τιµές ανοχής (tolerance = ) και οι τιµές VIF VIF (Variance inflation factor), δηλαδή αυξητικοί παράγοντες µεταβολής. Είναι 1 VIF = 2 1 R, όπου R2 k είναι ο συντελεστής προσδιορισµού του γραµµικού Κ µοντέλου Χ k = α + β 1 Χ 1 + β 2 Χ 2 + β 1 k Χ k 1 + β k Χ k + β ρ Χ ρ. Υψηλές τιµές VIF υποδηλώνουν πρόβληµα πολυσυγγραµµικότητας. Εδώ δε φαίνεται υφίσταται τέτοιο πρόβληµα. Ο παρακάτω πίνακας δίνει πληροφορίες για τους συντελεστές προσδιορισµού του γραµµικού µοντέλου. να Πίνακας 59 Συντελεστές προσδιορισµού Μοντέλο Συντελεστής Συντελεστής Προσαρµοσµένος συντελεστής Τυπικό σφάλµα της συσχέτισης προσδιορισµού προσδιορισµού εκτίµησης,935 a,874,874,4550,947 b,897,896,4129 a. Μεταβλητές : (σταθερά), Mαθηµατικά,948 c,899,898,4093,949 d,901,900,4056 b. Μεταβλητές : (σταθερά), Mαθηµατικά, Ελληνικά c. Μεταβλητές : (σταθερά), Mαθηµατικά, Ελληνικά, Είδος σχολείου d. Μεταβλητές: (σταθερά), Mαθηµατικά, Ελληνικά, Είδος σχολείου, φύλο Ο συντελεστής προσδιορισµού έχει τιµή 0,901. Το 90,1% του αθροίσµατος των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιµών του Υ από το Υ εξηγείται από τους παράγοντες που έχουν χρησιµοποιηθεί στο µοντέλο. Η τιµή του προσαρµοσµένου πολλαπλού συντελεστή είναι 0,9. Είναι καλύτερο µέτρο αφού λαµβάνει υπόψη του και τον αριθµό των µεταβλητών που έχουν 122

25 χρησιµοποιηθεί. Η βασιµότητα ή όχι της υπόθεσης της γραµµικής παλινδρόµησης µπορεί να ελεγχθεί και από τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης. Πίνακας 60 Ανάλυση διακύµανσης Πηγή µεταβλητότητας Παλινδρόµιση Λάθη Σύνολο Παρατηρούµενο Άθροισµα Βαθµοί Μέσο Τιµή επίπεδο τετραγώνων ελευθερίας τετράγωνο F 506, , ,2,000 a 55, , , a. Ανεξάρτητες Μεταβλητές: (σταθερά), Μαθηµατικά, Ελληνικά, Είδος σχολείου, Φύλο Εξαρτηµένη µεταβλητή : Απολυτήριο Η συνολική µεταβλητότητα των δεδοµένων χωρίζεται και αποδίδεται εν µέρει στο µοντέλο και εν µέρει στα λάθη. Η µεταβλητότητα της εξαρτηµένης µεταβλητής µετράται µε βάση το άθροισµα των παρακάτω αποκλίσεων : Μεταβλητότητα της εξαρτηµένης εξαιτίας των ανεξάρτητων : SSR = ( ˆ Y ) 2 Y i = 506,709 Μεταβλητότητα της εξαρτηµένης εξαιτίας τυχαίων παραγόντων : SSE = ( ) 2 Y i Yˆi = 55,594 Συνολική µεταβλητότητα της εξαρτηµένης µεταβλητής : SST = ( Y ) 2 Y i = 562,304 Ο πίνακας µας δίνει τους βαθµούς ελευθερίας για τη µεταβλητότητα εξαιτίας της παλινδρόµησης (αριθµός µεταβλητών (k)-1), εξαιτίας των λαθών (αριθµός παρατηρήσεων (n) - αριθµός µεταβλητών (k)) και για το σύνολο (n-1). Για να εξετάσουµε αν κάθε µια από τις ανεξάρτητες µεταβλητές του µοντέλου συνεισφέρει πληροφορίες για την πρόβλεψη του Υ πρέπει να ελέγξουµε τη µηδενική υπόθεση Η 0 : β i = 0 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : τουλάχιστον µία από τις παραµέτρους διαφέρει από το µηδέν. Η τιµή της ελεγχοσυνάρτησης F είναι 770,2 και είναι µεγαλύτερη από την τιµή της κατανοµής F µε 4 και 338 βαθµούς ελευθερίας ( F=2,4). Επίσης το παρατηρούµενο επίπεδο έχει τιµή µηδέν. Απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση σε επίπεδο 5% και γίνεται δεκτή η 123

26 εναλλακτική, δηλαδή τουλάχιστον µια από τις παραµέτρους διαφέρει σηµαντικά από το µηδέν. Προκειµένου να ελεγχθεί ότι τα αποτελέσµατα της παλινδρόµησης είναι αξιόπιστα πρέπει να γίνει έλεγχος προϋποθέσεων σχετικά µε τα σφάλµατα εκτίµησης (κατάλοιπα). Τα σφάλµατα πρέπει να κατανέµονται κανονικά να είναι οµοσκεδαστικά και τυχαία. Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Ο έλεγχος της υπόθεσης της κανονικότητας των καταλοίπων θα γίνει µε τη χρήση του ελέγχου Kolmogorov - Smirnov. Οι προς έλεγχο υποθέσεις είναι : Η 0 : Τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά Η 1 : Τα κατάλοιπα δεν κατανέµονται κανονικά Πίνακας 61 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων Τυποποιηµένα κατάλοιπα Kolmogorov-Smirnov Παρατηρούµενο Βαθµοί επίπεδο Statistic ελευθερίας, ,059 Σε επίπεδο 5% δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση, δηλαδή τα κατάλοιπα κατανέµονται κανονικά. 124

27 ιάγραµµα 31 Έλεγχος κανονικότητας καταλοίπων 1,00,75 ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ,50,25 0,00 0,00,25,50,75 1,00 ΠΑΡΑΤΗΡΟΥΜΕΝΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Από το παραπάνω διάγραµµα φαίνεται ότι τα κατάλοιπα είναι συγκεντρωµένα (σχεδόν) γύρω από µια ευθεία. Έλεγχος οµοσκεδαστικότητας και τυχαιότητας των καταλοίπων Όπως έχουµε ήδη αναφέρει, κάνοντας τους ελέγχους και στα προηγούµενα µοντέλα, ένας τρόπος ελέγχου της ισότητας των διασπορών είναι να χωριστούν τα κατάλοιπα σε δυο οµάδες, η µια από τις οποίες θα προέρχεται από τις "µικρές" τιµές του χ και η άλλη από τις "µεγάλες" τιµές του χ. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι δειγµατικές διασπορές που αντιστοιχούν στις δυο οµάδες των καταλοίπων. Κατόπιν χρησιµοποιείται ο έλεγχος F για την ισότητα δυο διασπορών, ώστε να ελεγχθεί αν τα δυο σύνολα των καταλοίπων έχουν ίσες διασπορές στους αντίστοιχους πληθυσµούς. Η οµοσκεδαστικότητα των καταλοίπων φαίνεται από τον παρακάτω πίνακα, κάνοντας τον έλεγχο : 125

28 Η 0 : S 2 1 = S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι ίσες Η 1 : S 2 1 S 2 2, οι δειγµατικές διασπορές είναι άνισες Πίνακας 62 Έλεγχος ισότητας διασπορών των καταλοίπων Levene's Test για ισότητα διασπορών Τυποποιηµένα κατάλοιπα Προϋπόθεση ίσων διασπορών F Παρατηρούµενο επίπεδο,873,351 Σε επίπεδο 5% δεν απορρίπτεται η µηδενική υπόθεση και γίνεται δεκτό ότι οι διασπορές των λαθών είναι ίσες. Από το παρακάτω διάγραµµα φαίνεται ότι τα κατάλοιπα είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένα και δεν παρουσιάζουν ανοµοιογένεια των διασπορών. Επίσης η γραφική παράσταση των καταλοίπων δείχνει µια τυχαία τοποθέτησή τους γύρω από τη γραµµή που αντιστοιχεί σε κατάλοιπο "0". ιάγραµµα 32 Γραφική παράσταση των καταλοίπων 3 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ : ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟΥ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΚΑΤΑΛΟΙΠΑ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ,0-1,5-1,0 -,5 0,0,5 1,0 1,5 2,0 ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΠΡΟΒΛΕΠΟΜΕΝΗ ΤΙΜΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 126

29 Τέλος πρέπει ν αναφέρουµε ότι έγινε έλεγχος ύπαρξης ακραίων παρατηρήσεων και παρατηρήσεων µεγάλης επιρροής. Η εκτιµώµενη ευθεία παλινδρόµησης προσδιορίζεται ως : Υˆ = 0, ,282 Χ 1 + 0,669 Χ 2-0,120 D 1 + 0,241 D 4 Όπου Υ είναι η τελική επίδοση των µαθητών, δηλαδή ο βαθµός του απολυτηρίου, Χ 1 είναι ο βαθµός στην ελληνική γλώσσα, Χ 2 είναι ο βαθµός στα µαθηµατικά, D 1 είναι η εικονική µεταβλητή για το φύλο και D 4 είναι η εικονική µεταβλητή για το είδος σχολείου φοίτησης. Οι θετικοί και στατιστικά σηµαντικοί συντελεστές των µεταβλητών Χ 1 και Χ 2 αποτελούν ένδειξη ότι ο βαθµός του απολυτηρίου αυξοµειώνεται ανάλογα µε τις αντίστοιχες αυξοµειώσεις των βαθµών των µαθητών στα µαθηµατικά και την ελληνική γλώσσα. Ο αρνητικός συντελεστής για την εικονική µεταβλητή D 1 αποτελεί ένδειξη ότι οι µαθητές χάνουν µονάδες από το βαθµό στο απολυτήριο, σε σχέση µε τις µαθήτριες. Ο θετικός συντελεστής για την εικονική µεταβλητή D 4 αποτελεί ένδειξη ότι η φοίτηση των µαθητών σε ιδιωτικό σχολείο αποτελεί παράγοντα αύξησης της βαθµολογίας του απολυτηρίου σε σχέση µε αυτούς που φοιτούν σε δηµόσιο σχολείο. 127

30 128

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΧΟΛΕΙΟ ΚΑΙ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ - ΙΩΑΝΝΙΝΑ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΠΟΥ ΔΙΑΦΟΡΟΠΟΙΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΙΔΟΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Μάρτιος 2005 Σκοπός της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Πολλαπλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 7 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 12β ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 4β ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων

Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Στατιστική ανάλυση αποτελεσμάτων Βασίλης Αγγελής Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης

Κεφάλαιο 13. Εισαγωγή στην. Η Ανάλυση ιακύµανσης Κεφάλαιο 13 Εισαγωγή στην Ανάλυση ιακύµανσης 1 Η Ανάλυση ιακύµανσης Από τα πιο συχνά χρησιµοποιούµενα στατιστικά κριτήρια στην κοινωνική έρευνα Γιατί; 1. Ενώ αναφέρεται σε διαφορές µέσων όρων, όπως και

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 3.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 3 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΠΣ Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Διαγνωστικοί Έλεγχοι Διαπίστωσης της Αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι από τους διαγνωστικούς ελέγχους της αυτοσυσχέτισης αναφέρονται σε αυτοσυσχέτιση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ

ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΕΙΡΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ απόκλιση από την κανονικότητα µπορεί να σηµαίνει Ύπαρξη θετικής ή αρνητικής ασυµµετρίας Ύπαρξη λεπτοκύρτωσης, δηλαδή παρουσία ακραίων τιµών που δεν είναι συµβατές

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. Πίνακας 9. p ποσοστιαία Σημεία της Ελεγχοσυνάρτησης των. Προσημασμένων Τάξεων Μεγέθους του Wilcoxon ΠΙΝΑΚΕΣ Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Πίνακας 1. Διωνυμική Κατανομή Πίνακας 2. Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας 3. Oρια Εμπιστοσύνης για την Πιθανότητα p της Διωνυμικής Κατανομής Πίνακας 4. Ποσοστιαία Σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ

ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΑΞΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ (RANK REGRESSION).1 Μονότονη Παλινδρόμηση (Monotonic Regression) Από τη γραφική παράσταση των δεδομένων του προηγουμένου προβλήματος παρατηρούμε ότι τα ζευγάρια (Χ i, i )

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών

Ο είκτης Συσχέτισης. Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών Κεφάλαιο 8 Ο είκτης Συσχέτισης 1 Η έννοια της Αλληλεξάρτησης Υπάρχουν πολλές οι έρευνες στις οποίες µας ενδιαφέρει να µελετήσουµε αν υπάρχει ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΗ µεταξύ δύο µεταβλητών ηλαδή, µας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος

Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation. Σταμάτης Πουλακιδάκος Οι στατιστικοί έλεγχοι x τετράγωνο, t- test, ANOVA & Correlation Σταμάτης Πουλακιδάκος Μερικά εισαγωγικά λόγια Οι έλεγχοι των ερευνητικών υποθέσεων πραγματοποιούνται με διάφορους στατιστικούς ελέγχους,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Κεϕάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεϕάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ Η συγγραμμικότητα (collinearity) ή πολυσυγγραμμικότητα (multicollinearity) είναι εκείνη η ανεπιθύμητη κατάσταση (εμφανίζεται στην πολυμεταβλητή παλινδρόμηση) όπου μία ανεξάρτητη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ & ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μετά από την εκτίµηση των παραµέτρων ενός προσοµοιώµατος, πρέπει να ελέγχουµε την αλήθεια της υποθέσεως που κάναµε. Είναι ορθή η υπόθεση που κάναµε? Βεβαίως συνήθως υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου

τρόπος για να εμπεδωθεί η θεωρία. Για την επίλυση των παραδειγμάτων χρησιμοποιούνται στατιστικά πακέτα, ώστε να είναι δυνατή η ανάλυση μεγάλου όγκου ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η γραμμική παλινδρόμηση χρησιμοποιείται για την μελέτη των σχέσεων μεταξύ μετρήσιμων μεταβλητών. Γενικότερα, η γραμμική στατιστική συμπερασματολογία αποτελεί ένα ευρύ πεδίο της στατιστικής ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Εργαστήριο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική» ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ και ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Περιεχόμενα 1. Συσχέτιση μεταξύ δύο ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗ : ΜΠΑΡΔΑΚΗ ΘΕΟΔΩΡΑ ΛΑΚΟΥΜΕΝΤΑ ΙΩΑΝΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Περιεχόμενα Εισαγωγή Το πρόβλημα - Συντελεστής συσχέτισης Μοντέλο απλής γραμμικής παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα

Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ Έλεγχος για τις παραμέτρους θέσης δύο πληθυσμών με εξαρτημένα δείγματα Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τον έλεγχο της υπόθεσης της ισότητα δύο μέσων τιμών με εξαρτημένα δείγματα. Εξαρτημένα

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το

Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το ΜΑΘΗΜΑ 9ο ΣΥΝΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ (Έννοιες, Ορισµοί) Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι, όταν τα δεδοµένα που χρησιµοποιούνται σε ένα υπόδειγµα, δεν προέρχονται από στάσιµες χρονικές σειρές έχουµε το πρόβληµα της

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα