ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
|
|
|
- Οὐλιξεύς Νικολάκος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
2 ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα υθύγραμμα τμήματα υθία υθία ημιυθία το σημίο χωρίζι μια υθία σ δύο ημιυθίς και τμνόμνς κάθτς υθίς παράλληλς υθίς υθίς ο από το μία μόνο κάθτη στην από το μία μόνο παράλληλη στην ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
3 Π τρία σημία ορίζουν ένα πίπδο Π Η υθία ανήκι ολόκληρη στο πίπδο Π Π Π Π 1 Η υθία τέμνι το πίπδο Π Η υθία χωρίζι ένα πίπδο σ δύο ημιπίπδα απόσταση δύο σημίων 1 απόσταση σημίου από υθία απόσταση δύο παράλληλων υθιών ΩΝΙ πλυρά κορυφή O ω διχοτόμος z πλυρά διχοτόμος γωνίας κατακορυφήν γωνίς φξής γωνίς 9 ο Δ διαδοχικές γωνίς φ ω z ο 18 ο παραπληρωματικές γωνίς β α συμπληρωματικές γωνίς ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
4 οξία γωνία Είδη γωνιών ορθή γωνία 9 9 αμβλία γωνία υθία γωνία 9 9 Μηδνική γωνία 9 Μη κυρτή γωνία O O Πλήρης γωνία O 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
5 Κύκλος ρ χορδή διάμτρος κύκλος(, ρ) και χορδή η διάμτρος κυκλικός δίσκος χωρίζι τον κύκλο σ ημικύκλια ρ Μ 1 Μ Μ O B τόξο A δύο σημία και Μ1 σωτρικό του (, ρ) του κύκλου ορίζουν Μ σημίο του (, ρ) δύο τόξα του κύκλου Μ ξωτρικό του (, ρ) Επίκντρη γωνία Σχτικές θέσις υθίας και κύκλου ρ Μ ρ Μ ρ Μ ξωτρική φαπτόμνη τέμνουσα φαπτόμνα τμήματα 1 Μ 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
6 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. ς πάρουμ από τα γνωστά μας σχήματα το τρίγωνο, μ κορυφές τα σημία,, και το ττράπλυρο, μ κορυφές τα σημία,,, Δ και ας δούμ, ποια ονομασία έχουν τα υθύγραμμα τμήματα που βλέπουμ στα σχήματα αυτά. Στο τρίγωνο, τα τμήματα, και που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλυρές του τριγώνου. Το ττράπλυρο Δ μ κορυφές τα σημία,,, Δ έχι πλυρές τα τμήματα,, Δ, Δ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές. Τα τμήματα και Δ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνις του ττραπλύρου. Δ. Έστω τρία σημία, και που δν ανήκουν και τα τρία σ μια υθία. Πόσς υθίς πρνούν από το ; Πόσς από τις υθίς αυτές πρνούν από το ; Το ίναι σημίο της υθίας ; α β πό το διέρχονται άπιρς υθίς. Μια από αυτές πρνάι και από το. Επιδή τα σημία, και δν ανήκουν και τα τρία σ μια υθία, το σημίο δν μπορί να ίναι σημίο της υθίας.. Στο σχήμα φαίνονται πέντ σημία, τα,,, Δ και Ε. Να χαράξτ όλα τα υθύγραμμα τμήματα, που έχουν άκρα τα σημία αυτά. Πόσα διαφορτικά υθύγραμμα τμήματα ίναι; Κάθ σημίο ίναι άκρο νός από τα τέσσρα υθύγραμμα τμήματα, που το συνδέουν μ τα υπόλοιπα τέσσρα σημία. Επομένως: Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ,Ε Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ, Ε Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ, Ε Το σημίο Δ ίναι άκρο των τμημάτων: Δ, Δ, Δ, ΔΕ Το σημίο Ε ίναι άκρο των τμημάτων: Ε, Ε, Ε, ΕΔ Στα παραπάνω, κάθ τμήμα μφανίζται δύο φορές π.χ. το και, αφού το τμήμα έχι δύο άκρα. Έτσι, στο σχήμα, δν ίναι ίκοσι () διαφορτικά τμήματα, αλλά δέκα (1) τα:,, Δ, Ε,, Δ, Ε, Δ, Ε, ΔΕ. Ε Δ γ 4. Να σχδιαστί το υθύγραμμο τμήμα Δ, το οποίο ίναι ίσο μ το τμήμα : (α) μ το υποδκάμτρο και (β) μ διαβήτη. (α) Μ το υποδκάμτρο μτράμ το υθύγραμμο τμήμα και βρίσκουμ ότι 1 4 5, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
7 Δ 1 4 5, =, cm. Στη συνέχια πάνω σ μια υθία παίρνουμ ένα υθύγραμμο τμήμα Δ μ μήκος ίσο μ, cm, όπως δίχνι το σχήμα. (β) νοίγουμ το διαβήτη, ώστ η μία άκρη Δ του να ακουμπάι στο και η άλλη στο. Μτακινούμ το διαβήτη, χωρίς να μταβάλλουμ το άνοιγμα του. αράζουμ μια υθία. Τοποθτούμ τη μία άκρη του διαβήτη σ ένα σημίο της και μ το άλλο άκρο, που έχι τη γραφίδα, βρίσκουμ το σημίο Δ της. Τότ το υθύγραμμο τμήμα Δ ίναι ίσο μ το 5. Να βρθί το μέσο νός υθύγραμμου τμήματος. Μ το υποδκάμτρο βρίσκουμ ένα σημίο Μ του, για το οποίο ίναι: Μ =,8 : = 1,9 cm. λλά τότ και Μ =,8 : = 1,9 cm. 1 M 4 5 Δηλαδή: Μ = Μ.,8 : =1,9,8 ποιοδήποτ υθύγραμμο τμήμα έχι πάντα ένα μέσο Μ, που ίναι και μοναδικό. 6. Να συγκριθούν οι προσκίμνς στη βάση γωνίς νός ισοσκλούς τριγώνου. Το ισοσκλές τρίγωνο έχι δύο πλυρές ίσς, δηλαδή =. Μ το διαφανές χαρτί συγκρίνουμ τις προσκίμνς στη βάση γωνίς και. Διαπιστώνουμ ότι: ι προσκίμνς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου γωνίς ίναι ίσς. Όπως κάθ υθύγραμμο τμήμα έχι ένα σημίο, το μέσο του, που το διαιρί σ δύο ίσα μέρη, έτσι και κάθ γωνία έχι μία ημιυθία στο σωτρικό της, που τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. Διχοτόμος γωνίας ονομάζται η ημιυθία που έχι αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. ω ω βάση διχοτόμος z 7. Να σχδιαστί υθία, που διέρχται από σημίο και ίναι κάθτη σ υθία. 1η πρίπτωση: Το σημίο ανήκι στην ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
8 η πρίπτωση: Το σημίο δν ανήκι στην Δίνται η υθία και τα σημία,, και Δ. Να σχδιαστούν υθίς 1, και 4, που διέρχονται από αυτά τα σημία αντίστοιχα, κάθτς στην. Τοποθτούμ τον γνώμονα πάνω στην υθία έτσι, 1 4 Ώστ η μία από τις δύο κάθτς πλυρές του να συμπίπτι μ την υθία. Σύρουμ τον γνώμονα στην υθία, έως ότου η άλλη κάθτη πλυρά του να έρθι σ παφή μ ένα από τα δοσμένα σημία. πό το σημίο αυτό χαράζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην. Επαναλαμβάνουμ τη διαδικασία αυτή, για κάθ σημίο,, και Δ και κατασκυάζουμ τις υθίς 1,, και 4 αντίστοιχα, που ίναι κάθτς στην υθία. 9. Να βρθί σημίο της υθίας, η απόσταση του οποίου από ένα σημίο κτός αυτής να ίναι η λάχιστη. πό το σημίο φέρνουμ το κάθτο τμήμα ο στην υθία και συνδέουμ το σημίο μ διάφορα σημία 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 της.μτράμ τις αποστάσις του από αυτά και παρατηρούμ ότι αυτές μγαλώνουν συνχώς όσο απομακρυνόμαστ αριστρά και δξιά από το ο, άρα η λάχιστη απόσταση ίναι το υθύγραμμο τμήμα ο.επομένως το ο, ίναι το ζητούμνο σημίο και ονομάζται ίχνος της κάθτης από το. A 8 A 6 A 4 A Δ A A ο A 1 A A 5 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ A 7 A 9
9 1. Να σχδιαστούν και να συγκριθούν τα υθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από τα σημία, και και κφράζουν τις αποστάσις των παραλλήλων υθιών 1 και. Φέρνουμ τις κάθτς Δ, ΕΖ και Η από τα σημία, και στις υθίς 1 και. Μτράμ τα υθύγραμμα τμήματα Δ, ΕΖ και Η και βρίσκουμ ότι 1 ίναι όλα μταξύ τους ίσα. Άρα η απόσταση των παραλλήλων υθιών 1 και ίναι σταθρή και ίση μ,5 cm. 11. Να σχδιαστούν δύο υθίς 1 και παράλληλς προς μια υθία, που να απέχουν από αυτή cm. δ Σ τυχαίο σημίο Μ της σχδιάζουμ υθία δ κάθτη στην. cm Πάνω στην υθία δ βρίσκουμ μ το υποδκάμτρο δύο M σημία και έτσι, ώστ να ίναι: Μ = Μ = cm. πό τα και, μ τον γνώμονα, σχδιάζουμ υθίς 1 και cm κάθτς στην. ι υθίς αυτές ίναι οι ζητούμνς, γιατί B η απόσταση τους από την ίναι cm.,5 cm Δ Ζ Ε,5 cm Η,5 cm 1 1. Να σχδιαστί ένα τρίγωνο, αν γνωρίζουμ τα μήκη των πλυρών του. γ = 1,5 cm β = cm α = cm ς υποθέσουμ ότι τα υθύγραμμα τμήματα α = cm, β = cm και γ = 1,5 cm ίναι οι πλυρές του τριγώνου που πρέπι να σχδιάσουμ. κολουθούμ την ξής διαδικασία: Παίρνουμ ένα από αυτά και το ονομάζουμ πλυρά = α. Μτά χαράζουμ τους κύκλους (,γ = 1,5 cm) (,β = cm). ι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται στο σημίο. Το τρίγωνο ίναι το ζητούμνο διότι έχι πλυρές: = cm, = 1,5 cm, ως ακτίνα του κύκλου (,1,5 cm) και = cm, ως ακτίνα του κύκλου (, cm), αφού το ανήκι και στους δύο κύκλους. 1. Να κατασκυαστί γωνία ίση μ ο. γ α β ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
10 5 ω = ο ω ια να κατασκυάσουμ μία γωνία χρησιμοποιούμ το μοιρογνωμόνιο. Το μοιρογνωμόνιο ίναι ένα όργανο μ το οποίο μπορούμ να μτρήσουμ το μέτρο νός τόξου ή μιας γωνίας. Κάθ μοιρογνωμόνιο αντιστοιχί σ ημικύκλιο που έχι βαθμολογηθί έτσι, ώστ να δίχνι τα μέτρα των τόξων από ο έως 18 ο. τρόπος που μπορούμ να κατασκυάσουμ τη ζητούμνη γωνία ο φαίνται στα διαδοχικά παραπάνω σχήματα. 14. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι δύο πλυρές cm και 4 cm και των οποίων η πριχόμνη γωνία ίναι 55 ο ο 18 ο 15. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι μία πλυρά cm και τις προσκίμνς γωνίς 4 ο και 1 ο. 5 5 ο 4 cm ο 14 ο 4 ο 18 ο 1 ο 4 ο 1 ο Να σχδιαστί κύκλος που να φάπτται σ σημίο μιας υθίας. Παίρνουμ μια υθία και το σημίο της. Σχδιάζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην στο σημίο. Μ Κ κέντρο ένα οποιοδήποτ σημίο Κ της κάθτης αυτής και ακτίνα το τμήμα Κ γράφουμ κύκλο. 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
11 κύκλος που φέραμ θα φάπτται στην υθία, διότι αυτή ίναι κάθτη στην ακτίνα Κ του κύκλου στο άκρο της. 17. Να σχδιαστί υθία που να φάπτται σ σημίο νός κύκλου. Παίρνουμ ένα κύκλο (, ρ) και το σημίο του. Σχδιάζουμ την υθία, που ίναι κάθτη στην ακτίνα στο σημίο. Η υθία θα φάπτται στον κύκλο στο σημίο, διότι ίναι κάθτη στην ακτίνα στο άκρο της. 18. Να σχδιαστούν φαπτόμνς νός κύκλου (, ρ) στα άκρα και μιας χορδής του. Σχδιάζουμ τις ακτίνς και. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 1 κάθτη 1 στην ακτίνα αυτή. Η υθία 1 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία κάθτη στην ακτίνα αυτή. Μ Η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. ν ίναι Μ το σημίο που τέμνονται οι φαπτόμνς, τα υθύγραμμα τμήματα Μ και Μ λέγονται φαπτόμνα τμήματα του κύκλου 11 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
12 ΚΕΦΛΙ ο ΣΥΜΜΕΤΡΙ 1. Μια γραμμή γ τέμνι την υθία στα σημία, και. Να βρθί ο λόγος για τον οποίο και η συμμτρική γ της γ, ως προς την υθία, θα πρνάι από τα ίδια σημία. Η συμμτρική γραμμή γ της γ ως προς την, αποτλίται από τα γ συμμτρικά όλων των σημίων της γ. Επομένως στη γ ανήκουν και τα συμμτρικά σημία των, και. Επιδή όμως τα, και ίναι A σημία της τα συμμτρικά τους γ ίναι τα ίδια τα σημία. Άρα τα, και ανήκουν και στη γ.. Να χαραχθί η πορία των ακτίνων του φωτός, που κπέμπονται από ένα φωτινό σημίο και ανακλώνται σ έναν πίπδο καθρέφτη (ο οποίος στο σχήμα φαίνται ως μία υθία ). A ρίσκουμ το συμμτρικό του σημίου ως προς την υθία. ι ακτίνς ανακλώνται στον καθρέφτη και ακολουθούν την πορία, που θα ίχαν, αν η πηγή του φωτός ήταν το σημίο. Επιδή οι γωνίς που σχηματίζουν οι ακτίνς μ την ίναι συμμτρικές, θα ίναι και ίσς. Άρα, η γωνία μ την οποία μια ακτίνα πέφτι στον καθρέφτη ίναι ίση μ τη γωνία μ την οποία ανακλάται. A. Στο σχήμα τα σημία και ' ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. Να βρθί μ τη βοήθια μόνο του χάρακα το συμμτρικό του ως προς την υθία. Επιδή μ το χάρακα μπορούμ να φέρουμ μόνο υθίς γραμμές, ακολουθούμ τα παρακάτω βήματα, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: Φέρνουμ την υθία και την προκτίνουμ μέχρι να τμήσι τον άξονα στο σημίο Κ. Φέρνουμ την υθία Κ, η οποία ίναι συμμτρική της Κ, αφού νώνι δύο συμμτρικά σημία αυτής, τα Κ και. Κ Κ Κ 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ Κ Κ 4 5
13 Φέρνουμ την, που τέμνι την στο. Τέλος, φέρνουμ την, που η συμμτρική της ίναι η. ι υθίς Κ και ίναι συμμτρικές των Κ και αντίστοιχα και οι τομές τους θα ίναι συμμτρικά σημία, τα και. 4. Να συγκριθούν μταξύ τους οι γωνίς, που σχηματίζονται στα σημία και, στα οποία τέμνι μια υθία δ δύο παράλληλς υθίς 1 και αντίστοιχα. φ δ 1 ω 1 Μπορούμ να διαπιστώσουμ (μτρώντας μ το ω 4 φ μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίς που σχηματίζονται φ και στα δύο σημία τομής και, ίναι δύο ιδών: ι οξίς γωνίς ω, που ίναι μταξύ τους ίσς και 1 ω 4 ι αμβλίς γωνίς φ, που ίναι κι αυτές μταξύ ω τους ίσς. φ Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς οξίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : 4 = πό τις κτός ναλλάξ : = 4 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : = και 4 = 4. Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς αμβλίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : = 1 πό τις κτός ναλλάξ : 1 = πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 1 = 1 και = Επιδή όμως οι γωνίς 1 και ίναι παραπληρωματικές, θα ισχύι γνικά: ω + φ = 18 ο. πότ συμπραίνουμ ότι τα υπόλοιπα ζυγάρια των γωνιών ίναι ζυγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και ίναι τα ξής: ι ντός πί τα αυτά : + = 18 ο και = 18 ο ι κτός πί τα αυτά : = 18 ο και 4 + = 18 ο ι ντός- κτός ναλλάξ : 1 + = 18 ο και + 1 = 18 ο και + 4 = 18 ο και 4 + = 18 ο 5. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // να υπολογίστ όλς τις γωνίς, που ίναι σημιωμένς, αν ίναι α = 4 ο. ι γωνίς α και γ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: α = γ = 4 ο ι γωνίς α και γ ίναι παραπληρωματικές, άρα θα 1 ίναι: α + β = 18 ο από τη σχέση αυτή συμπραίνουμ ότι: β = 18 ο α = 18 ο 4 ο = 14 ο. ι γωνίς β και δ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: β = δ = 14 ο λλά πιδή 1 // και η τέμνουσα των δύο παραλλήλων υθιών θα ίναι: = α, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα = 4 ο. ζ + α = 18 ο ως ντός πί τα αυτά, άρα ζ = 18 ο α = 18 ο 4 ο = 14 ο. η = α, ως ντός ναλλάξ, πομένως: η = 4 ο και θ = δ, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα: θ = 14 ο. β δ α ζ η θ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
14 ΚΕΦΛΙ ο ΤΡΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ 1. Να βρθούν τα μέτρα των γωνιών νός ισοσκλούς τριγώνου, αν ίναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του ίναι 4 ο. Έστω ένα ισοσκλές τρίγωνο μ =. Τότ θα ίναι =. Επιδή ίναι + + = 18 ο, διακρίνουμ τις ξής δύο πριπτώσις: (α) ν ίναι = 4 ο. Συνπώς θα ίναι 4 ο + + = 18 ο, πομένως + = 18 ο 4 ο. Επομένως θα ίναι: + = 14 ο, από την οποία προκύπτι ότι: = 14 ο, δηλαδή = 14 ο : = 7 ο άρα και = 7 ο. (β) ν ίναι = = 4 ο. Θα ίναι + 4 ο + 4 ο = 18 ο, δηλαδή + 8 ο = 18 ο, συνπώς θα έχουμ: = 18 ο 8 ο = 1 ο. Παρατηρούμ ότι μ τα ίδια ακριβώς δδομένα προκύπτουν δύο τλίως διαφορτικά ισοσκλή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δδομένα. 4 ο 4 ο. Τοποθέτησ ένα στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση ΝΜΣΙ ΖΕΥΥΣ ΩΝΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΜΕΝΕΣ Π ΕΥΘΕΙ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΙΣΕΣ ΣΕΣΗ ΠΡΠΛΗΡΩ- ΜΤΙΚΕΣ 14 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
15 . Τοποθέτησ ένα στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και πριπτώσις που πρισσότρς από μία απαντήσις ίναι σωστές). 1. Το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι: 7 ο 18 ο 9 ο. Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και: Άξονας συμμτρίας Ύψος Διχοτόμος. Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο όλς οι ξωτρικές του γωνίς ίναι ίσς μ: 145 ο 7 ο 1 ο 4. Σ κάθ ισοσκλές τραπέζιο ίναι ίσς οι: ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του Όλς οι πλυρές του ι διαγώνιοι του. 5. Σ κάθ ρόμβο οι διαγώνις του ίναι: Άξονς συμμτρίας Κάθτς και διχοτομούνται Διχοτόμοι των γωνιών του. 6. Σ κάθ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άξονς συμμτρίας ίναι: ι διαγώνιές του ι μσοκάθτοι των πλυρών του ι πλυρές του. 15 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
16 7. Σ κάθ ττράγωνο οι υθίς των διαγωνίων του ίναι: Διχοτόμοι των γωνιών του Μσοκάθτοι των πλυρών του Άξονς συμμτρίας. 8. Σ κάθ παραλληλόγραμμο ίναι: Κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του. ι διαγώνιές του άξονς συμμτρίας ι διαγώνιές του διχοτομούνται. 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή
φ = ω Β=Γ Α= Β=Ε Γ=Ζ φ Ο
1 Η Π ΕΙΞΗ ΣΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙ ΕΙ ΕΩΜΕΤΡΙ. ΩΝΙΕΣ ΙΣΕΣ ια να αποδίξουμ ότι δύο γωνίς ίναι ίσς πρέπι να αποδίξουμ: 1. Ότι ίναι άθροισμα ή διαφορά γωνιών αντίστοια ίσων. α = β α+ γ = β + δ ν τότ γ = δ α γ = β δ.
Στοιχεία από τη Γεωμετρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου)
Στοιχία από τη Γωμτρία του χώρου (αναλυτικά στο βιβλίο: Ευκλίδια Γωμτρία Α και Β Ενιαίου Λυκίου) Σχήματα των οποίων τα σημία δν βρίσκονται όλα στο ίδιο πίπδο ονομάζονται γωμτρικά στρά (π.χ. σφαίρα, κύλινδρος,
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμετρία ως προς άξονα
ΕΝΟΤΗΤΑ Β.2.1. Συμμτρία ως προς άξονα ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Δραστηριότητα 1 Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς την υθία Βρίτ το συμμτρικό του Β ως προς την υθία 1 Α Β Βρίτ το συμμτρικό του Α ως προς
Σχεδίαση µε τη χρήση Η/Υ
Σχδίαση µ τη χρήση Η/Υ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 0 Ο Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Τ Ο Υ Χ Ω Ρ Ο Υ Ρ Λ Ε Ω Ν Ι Α Σ Α Ν Θ Ο Π Ο Υ Λ Ο Σ, Ε Π Ι Ο Υ Ρ Ο Σ Α Θ Η Γ Η Τ Η Σ Τ Μ Η Μ Α Ι Ο Ι Η Σ Η Σ Α Ι Ι Α Χ Ε Ι
2 1 1+ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ:2 ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ: 2.1 2.2. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ο - ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ:.. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 8575 Β (Αναρτήθηκ 8 4 ) ίνονται τα σηµία Α(,) και Β(5,6). α) Να βρίτ την ξίσωση της υθίας που διέρχται από τα σηµία Α και B.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
ΕΩΜΕΤΡΙ ΘΕΩΡΙ ΚΕΦΛΙ ο: ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι ορίζουν αυτά και πως κατασκυάζουμ ένα τμήμα; πάντηση Η άκρη του μολυβιού
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι
Γωνία που σχηματίζει η ε με τον άξονα. Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ε μια ευθεία που τέμνει τον άξονα
ΕΥΘΕΙΑ Γωνία που σχηματίζι η μ τον άξονα. Έστω O ένα σύστημα συντταγμένων στο πίπδο και μια υθία που τέμνι τον άξονα στο σημίο Α. Α ω Α ω Τη γωνία ω που διαγράφι ο άξονας όταν στραφί γύρω από το Α κατά
ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΑΞΟΝΑ
1 1-2 ΣΥΜΜΕΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΞΝ ΞΝΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΣ ΘΕΩΡΙ Συµµτρικό σηµίου ως προς υθία Όταν το ν βρίσκται πάνω στην νοµάζουµ συµµτρικό του ως προς την υθία το σηµίο µ το οποίο συµπίπτι το όταν ιπλώσουµ το σχήµα κατά
6.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x) = αx + β
1 6.3 Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + β ΘΕΩΡΙ 1. Η πρίφηµη γωνία ω Έστω υθία που τέµνι τον άξονα σ σηµίο. Στρέφουµ την ηµιυθία κατά θτική φορά µέχρι να πέσι πάνω στην. Η γωνία ω που διαγράφται λέγται γωνία που σχηµατίζι
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 3 Ευθεία - Επίπεδο ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ/2010-11
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΔΙΥ 3 Ευθία - Επίπδο ΣΧΛΗ ΠΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΝΙΚΩΝ/00-.(α) Τα διανύσματα Β = (,, ), Γ = (,, 3) ίναι μη συγγραμμικά και παράλληλα προς το πίπδο Π, νώ το σημίο (,,3) μ διάνυσμα θέσης r = (,,3) ίναι σημίο
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ. είναι όλοι ίσοι και επιπλέον δεν υπάρχουν οι όροι xy, yz, zx. Γενικά µια εξίσωση της µορφής: 0 + Β + Α.
Suies & Publishing ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΗΛ.:.38..57 www.arnοs.gr 3 Ο γωµτρικός τόπος των σηµίων που έχουν σταθρή απόσταση από το σηµίο,, του 3 ονοµάζται σφαίρα. Η σφαίρα µ κέντρο το,, και ακτίνα έχι
Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
3.3 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ
1 3 ΠΛΛΗΛΟΜΜΟ ΟΘΟΩΝΙΟ ΤΤΩΝΟ ΟΜΟΣ ΤΠΙΟ ΙΣΟΣΛΣ ΤΠΙΟ ΘΩΙ Παραλληλόγραµµο Λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες. ( // και // ) άσεις και ύψη στο παραλληλόγραµµο άθε πλευρά του µπορεί
5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
1.11 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ
1 11 ΥΣ Ι ΣΤΙΧΕΙ ΤΥ ΥΥ ΘΕΩΡΙ ύκλος µε κέντρο : νοµάζεται το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που απέχουν από το την ίδια απόσταση. Το σηµείο το λέµε κέντρο του κύκλου και τη σταθερή απόσταση που συνήθως
Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ. Ιωάννης Βανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φερεντίνος
ΥΠΥΡΕΙ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΙ ΕΙΣ ΚΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΤΩΝ ΠΙ ΩΙΚ ΙΝΣΤΙΤΥΤ Ιωάννης ανδουλάκης Χαράλαμπος Καλλιγάς Νικηφόρος Μαρκάκης Σπύρος Φρντίνος ΜΘΗΜΤΙΚ υμνασίου ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος 2ος Μαθηματικά ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ωμτρία Τόμος
Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.
Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε
6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Η θεωρία στην ευθεία σε ερωτήσεις - απαντήσεις
Η θρία στην υθία σ ρτήσις - απαντήσις Τι ονομάζουμ ξίσση γραμμής Μια ξίσση μ δύο αγνώστους λέγται ξίσση μιας γραμμής C, όταν οι συντταγμένς τν σημίν της C, και μόνο αυτές, την παληθύουν Ποιό ίναι το βασικό
3.4 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ
1 3.4 ΙΙΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜΥ ΡΘΩΝΙΥ ΡΜΥ ΤΕΤΡΩΝΥ ΤΡΠΕΖΙΥ ΙΣΣΚΕΛΥΣ ΤΡΠΕΖΙΥ ΘΕΩΡΙ 1. Ιδιότητες παραλληλογράµµου Το σηµείο τοµής των διαγωνίων του είναι κέντρο συµµετρίας (Το κέντρο συµµετρίας) ι διαγώνιες διχοτοµούνται,
# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ
Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ
1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 6) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η 1Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θτική Τχνολογική Κατύθυνση ασκήσις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ)
Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;
5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ
ΘΕΜΑΤΑ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΘΕΜΤ & ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΘΕΜ 1. α) Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες. α+0=.. α 1=. α-α=.. α:α=. 0 α=. 0:α=. Το α είναι ένας αριθµός διαφορετικός του 0. β) Στις παρακάτω προτάσεις να
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Θεώρηµα ( ) x x. f (x)
Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + ΓΩΝΙ ΕΥΘΕΙΣ ΜΕ ΤΝ ΞΝ Η ΣΥΝΡΤΗΣΗ f() = α + Έστ ( ) µία υθία στ καρτσιανό πίπδ η πία τέµνι τν άξνα στ σηµί A. Γνία της υθίας ( ) µ τν άξνα λέγται η γνία πυ διαγράφι η ηµιυθία, αν στραφί
2018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προετοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β' Γενικού Λυκείου. Θετικών Σπουδών. Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ Α 018 Φάση 1 ιαγωνίσµατα Προτοιµασίας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β' νικού Λυκίου Θτικών Σπουδών Παρασκυή 5 Ιανουαρίου 018 ιάρκια Εξέτασης: ώρς Α1. Δίνονται τα διανύσματα α, β, γ ΘΕΜΑΤΑ. Να δίξτ ότι ισχύι α β + γ
Απέναντι πλευρές παράλληλες
5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας
ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ
1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x
1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο
Ερωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΦΥΛΛΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙ ΣΙΛΗΣ ΥΕΡΙΝΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙ: ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙ ΜΕΡΣ ο : ΛΕΡ ΚΕΦΛΙ ο ΦΥΣΙΚΙ ΡΙΘΜΙ. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; πάντηση ι
Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας
5. 5.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 04 ρωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι Ορθογώνια, ρόµβοι, i τετράγωνα, ποια όχι και γιατί; (α) 5 (β) 5 (γ) (δ) (ε) (ζ) φ 5 φ 5 φ φ (η)
ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο
Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να
Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ
1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ. Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου. Σκεφτόμαστε. Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων. Όχι κάθετες πλευρές
- 218 - Μέρος Kεφάλαιο 3 ο - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε Κύρια στοιχεία τριγώνου κορυφή Κάθε τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,,
3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ
1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου
1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..
(1) (2) A ΑE Α = AΒ (ΑΒΕ) (Α Ε)
9. Τα τρίγωνα και έχουν κοινή γωνία, άρα: () () A E AB A E A (1) Όµοια τα τρίγωνα και, άρα: () () A E AB A A () E Όµως από το θεώρηµα του Θαλή: A A () ( // ) () () πό (1), (), () έχουµε. () () Άρα () ()
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΑΝΘΟΠΟΥΛΟΣ, ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ
Σχδίαση μ τη χρήση Η/Υ ΚΕΦΛΙ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΤΣΚΕΥΕΣ ΔΡ ΛΕΩΝΙΔΣ ΝΘΠΥΛΣ, ΕΠΙΚΥΡΣ ΚΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΔΙΙΚΗΣΗΣ ΚΙ ΔΙΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΡΓΩΝ ΤΕΙ ΛΡΙΣΣ Θέμα 16 ο : αρμονική σωτρική ρική διαίρση υθύγραμμου τμήματος σ λόγο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
1.2 ΓΩΝΙΑ ΒΑΣΙΚΑ ΕΠΙΠΕ Α ΣΧΗΜΑΤΑ
1 2 ΩΝΙ ΣΙΚ ΠΙΠ ΣΧΗΜΤ ΘΩΡΙ ωνία : ίναι κάθε µία από τις χρωµατισµένες περιοχές του διπλνού σχήµατος µαζί µε τις ηµιευθείες Οx και Οy Τεθλασµένη γραµµή : ίναι µία πολυγωνική γραµµή που αποτελείται από διαδοχικά
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες
Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο
Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις
Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση
1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜA. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
εωμετρία και Λυκείου ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜA Ορισμός Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, όταν // και //. Ιδιότητες παραλληλογράμμων
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ 2 ο. Α. 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 61
ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 5 / / 0 ΘΕΜΑ ο Α Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 7 Θωρία σχολικό βιβλίο σλ 6 Β Λ, Σ, Λ, 4 Λ, 5 Λ, 6 Λ, 7 Λ, 8 Σ, 9 Λ, 0 Σ Γ Β,, Α, 4 Α, 5 Α ΘΕΜΑ ο A λ, µ Β µ, λ 6 α xa
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα
Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179
8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς
1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ
1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός
1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό
Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α
1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο
Νόμος του Gauss 1. Ηλεκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). είναι διάνυσμα μέτρου Α και κατεύθυνσης κάθετης στην επιφάνεια. Στην γενική περίπτωση:
Νόμος του Gauss 1. Ηλκτρική Ροή ( πλήθος δυναμικών γραμμών). ( a) cosφ ( b) ίναι διάνυσμα μέτρου Α και κατύθυνσης κάθτης στην πιφάνια. Στην γνική πρίπτωση: d d d ( ) (πιφανιακό ολοκλήρωμα) Νόμος του Gauss
Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α
ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς
5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //
1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε
5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
5 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 4. ίνεται παραλληλόγραµµο και έστω, Μ τα µέσα των και αντίστοιχα Οι προεκτάσεις των τµηµάτων Μ και τέµνονται στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα Μ και ΜΖ είναι ίσα i Το τετράπλευρο
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων
Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1
2 Η γωνία - Ο κύκλος Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ηµιεπίπεδο Κάθε ευθεία ε επιπέδου Π χωρίζει τα σηµεία του επιπέδου που δεν ανήκουν στην ε σε δύο σηµειοσύνολα Π 1, Π 2 τα οποία ονοµάζονται ηµιεπίπεδα
[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]
![[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]](/thumbs/26/9169893.jpg "[Ολοκληρωτική μορφή του νόμου του Gauss στο κενό ή τον αέρα]")
Παν/μιο Πατρών Τμήμα Φυσικής. Μάθημα : Ηλκτρομαγνητισμός Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΤΡΩΝ - ΤΜΗΜ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΘΗΜ : HΛΕΚΤΡΟΜΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Ι (Υποχρωτικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων :Δ.Σκαρλάτος, Επίκουρος
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΩΜΤΡΙ ΛΥΚΙΟΥ ΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΙΟ ΠΙΜΛΙ ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ ΘΜΤ ΘΩΡΙΣ ΚΦΛΙΟ ο Τ ΣΙΚ ΩΜΤΡΙΚ ΣΧΗΜΤ ΘΜ ο Τι καλείται μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος και τι ισχύει γι αυτό ; ΠΝΤΗΣΗ Μέσο ενός ευθύγραμμου
ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε
1. Εύρεση µήκους ενός κύκλου : Για να βρω το µήκος ενός κύκλου βρίσκω την ακτίνα του κύκλου και εφαρµόζω τον τύπο
1 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙ 1. Μήκος κύκλου ακτίνας ρ : Το µήκος L ενός κύκλου δίνεται από τον τύπο L = 2πρ ή L = πδ όπου δ η διάµετρος του κύκλου και π ένας άρρητος αριθµός του οποίου προσέγγιση µε δύο δεκαδικά
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ
Πριοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α ΒΑΘΜΟΥ A. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ Γραμμική ξίσωση μ δύο αγνώστους ονομάζται κάθ ξίσωση της μορφής: α + βψ = γ (), μ α,β,γ π.χ. ψ =, =, ψ =, κλπ.
ÊåöÜëáéï 7 ï. âéâëéïììüèçìá 22: -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ
ÊåöÜëáéï 7 ï Åõèýãñáììá ó Þìáôá âéâëéïììüèçìá : -ºóá ó Þìáôá -ºóá ôñßãùíá -ÊáôáóêåõÝò ìå êáíüíá êáé äéáâþôç -Åßäç ôåôñáðëåýñùí -Éäéüôçôåò ôïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ âéâëéïììüèçìá 3: -Åìâáäü ôñéãþíïõ -Åìâáäü
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΑΡΑΛΛΗΛOΓΡΑΜΜΑ - ΤΡΑΠΕΖΙΑ. Εισαγωγή
ΚΦΛΙΟ 5ο ΠΡΛΛΗΛOΡΜΜ - ΤΡΠΙ ισαγωγή. Τι καλείται τετράπλευρο ; Πόσες διαγώνιες έχει ένα κυρτό τετράπλευρο ; Τι καλείται παραλληλόγραμμο και τι τραπέζιο ; Το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις πλευρές λέγεται
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.
Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1
υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι
ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Ευκλείδεια Γεωμετρία
Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου
Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια Γεωµετρία Α τάξης Γενικού Λυκείου
Τρύφων Παύλος - Ευκλείδεια εωµετρία τάξης ενικού υκείου ΩΝΙΕΣ ρισµός: Έστω χ και ψ δύο ηµιευθείες που δεν έχουν κοινό φορέα και έστω p το ηµιεπίπεδο που έχει ακµή τον φορέα της Oχ και περιέχει την ψ και