ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ & ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ " " ΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Σ. ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2011

2 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών «Στατιστική & Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά» Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης που απονέμει το Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών " " με ειδίκευση στα " " Επιμέλεια: Μητρόπουλος Σ. Γεώργιος Διπλ. Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Ε.Μ. Πολυτεχνείο M.Sc. Ηλεκτρονική και Υπολογιστές (Ραδιοηλεκτρολογία), Πανεπιστήμιο Πατρών Επιβλέψας Ξανθόπουλος Στέλιος, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή Ξανθόπουλος Στέλιος, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Αιγαίου Νικολέρης Θεόδωρος, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Αιγαίου Χατζησπύρος Σπύρος, Επικ. Καθηγητής Πανεπιστήμιο Αιγαίου Καρλόβασι Σαμου, Φεβρουάριος 2011

3

4 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Διαχείριση Χαρτοφυλακίων περιλαμβάνει μία σειρά από διαδικασίες οι οποίες έχουν ως στόχο την εύρεση του βέλτιστου επενδυτικού χαρτοφυλακίου. Για τον σκοπό αυτό, ανάμεσα στις αρμοδιότητες κάθε διαχειριστή χαρτοφυλακίων είναι και ο καθορισμός του κατάλληλου μοντέλου επιλογής χαρτοφυλακίου το οποίο θα ελαχιστοποιεί τον επενδυτικό κίνδυνο ενώ ταυτόχρονα θα συνάδει με την επιθυμία των επενδυτών, η οποία συνήθως είναι η επίτευξη της μεγαλύτερης δυνατής απόδοσης του χαρτοφυλακίου τους. Τα περισσότερα από τα διαθέσιμα μοντέλα επιλογής χαρτοφυλακίου που δεν ενσωματώνουν την έννοια της επενδυτικής απογοήτευσης (regret), αποτυγχάνουν να οδηγήσουν σε διαφοροποιημένες επενδυτικές επιλογές [4]. Για να ξεπεραστεί αυτή η αδυναμία καθώς και άλλες που σχετίζονται με τα στατιστικά χαρακτηριστικά των μοντέλων, εισάγεται η έννοια του regret στα μοντέλα επιλογής χαρτοφυλακίου. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι να διαμορφώσουμε ένα πρόβλημα επιλογής δυνατοθεωρητικού χαρτοφυλακίου το οποίο θα βασίζεται στην έννοια του regret και ακολούθως να προχωρήσουμε στην επίλυσή του με κριτήριο την ελαχιστοποίηση της μέγιστης δυνατής επενδυτικής απαγοήτεσης (minimization of the maximum regret minimax regret). Η εργασία αποτελείται από έξι κεφάλαια και δύο παραρτήματα. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια εισαγωγή στην ανάλυση διαστημάτων και συγκεκριμένα παρουσιάζεται η αριθμητική που χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς με διαστήματα. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρατίθενται κάποια βασικά στοιχεία από τον γραμμικό προγραμματισμό. Δεδομένου ότι τα περισσότερα μοντέλα επιλογής χαρτοφυλακίου λαμβάνουν τη μορφή προβλημάτων γραμμικής βελτιστοποίησης, η ενσωμάτωση του κεφαλαίου αυτού στο κείμενο καθίσταται αναγκαία. Το τρίτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στην ασαφή λογική και την θεωρία δυνατοτήτων. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται έννοιες από τη θεωρία των ασαφών συνόλων και την κατανομή δυνατοτήτων πάνω στις οποίες βασίζονται ορισμένα από τα διαθέσιμα μοντέλα επιλογής χαρτοφυλακίου. Το αντικείμενο του τέταρτου κεφαλαίου περιλαμβάνει την εισαγωγή στις βασικές αρχές της θεωρίας χαρτοφυλακίου και την παρουσίαση κάποιων εκ των βασικών μοντέλων επιλογής χαρτοφυλακίου. Στο πέμπτο κεφάλαιο εξετάζεται το πρόβλημα σχηματισμού αποτελεσματικού χαρτοφυλακίου με κριτήριο την ελαχιστοποίηση του μέγιστου regret και επιπλέον παρουσιάζονται ενδεικτικά κάποιες εφαρμογές. Το έκτο κεφάλαιο αποτελεί τον επίλογο του κειμένου. Η εργασία κλείνει με δύο παραρτήματα. Στο παράρτημα Α υπολογίζονται και απεικονίζονται γραφικά με το Matlab το αποτελεσματικό σύνορο καθώς και το ασαφές αποτελεσματικό σύνορο που προκύπτουν από επένδυση σε προσωπικό χαρτοφυλάκιο. Τέλος, το παράρτημα Β περιλαμβάνει βασικά στοιχεία και θεωρήματα από την μαθηματική βελτιστοποίηση. i

5 ABSTRACT Portfolio Management comprises a range of processes that aim at finding the optimal investment portfolio. Each portfolio manager, among other duties, is responsible for designating the appropriate portfolio selection model which minimizes the investment risk while at the same time it is consistent with the investors wishes, that is the maximization of the portfolio s expected return rate. Most of the available portfolio selection models that do not incorporate the regret concept, fail in producing distributive investment solutions. In order to surpass this weakness and some others related to the statistical attributes of portfolio models, the regret concept is introduced. In this Master Thesis, we formulate a possibilistic portfolio selection problem which relies on regret concept and then we proceed in its solution with criterion the minimization of the worst case regret, that is the maximum regret. Keywords minimax portfolio problem, portfolio selection model, probability portfolio,fuzzy probability portfolio, possibilistic portfolio problem, minimax regret, interval analysis, linear programming iii

6 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οφείλω ένα μεγάλο ευχαριστώ στον καθηγητή μου κ. Στέλιο Ξανθόπουλο για την καθοδήγηση, τη βοήθεια και τις καίριες υποδείξεις και επισημάνσεις του κατά τη συγγραφή της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας. v

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ABSTRACT ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ i iii v vii x xii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ ΑΡΙΘΜΗΤΚΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Range Πραγματικής Συναρτησης ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Παράδειγμα Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Προϋποθέσεις Εφαρμογής Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφική Μέθοδος Επίλυσης Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Η Κανονική Μορφή του Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Λύση Προβλήματος Γραμμκού Προγραμματισμού Η Μέθοδος Simplex Ο Αλγόριθμος Simplex ΓΕΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ...28 vii

8 Περιεχόμενα viii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ 3.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΤΟ ΑΣΑΦΕΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΤΟΜΕΣ ΑΛΦΑ (A CUTS) Ο ΑΣΑΦΗΣ ΚΑΝΟΝΑΣ Ο Ασαφής Συμπερασμός σε Σύστημα με ένα Ασαφή Κανόνα ΘΕΩΡΙΑ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ Κατανομή Δυνατοτήτων...40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΛΗΨΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ " " 4.1 ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Βασικές Έννοιες στη Θεωρία Χαρτοφυλακίου Αποδόσεις Περιουσιακών Στοιχείων Απόδοση Χαρτοφυλακίου Ανοιχτή Πώληση (Short Selling) Διάγραμμα Μέσης Τιμής Τυπικής Απόκλισης Εφικτό Σύνολο (Feasible Set) Η Περίπτωση των Δύο Περιουσιακών Στοιχείων Διαφοροποίηση Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Probability Portfolio Selection Model (Markowitz s Model) Fuzzy Probability Portfolio Selection Model Possibility Portfolio Selection Model Εφαρμογή: Exponential Possibility Portfolio Selection Model REGRET ΚΑΙ MINIMAX REGRET CRITERION Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ REGRET ΣΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Worst Regret Criterion...59

9 Περιεχόμενα ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ " " 5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ REGRET ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ " " ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ REGRET ΣΤΟ " " Γραμμική Περίπτωση Γραμμική Περίπτωση Κλασματική Γραμμική Περίπτωση 2.67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΛΟΓΟΣ 6.1 ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ...69 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ EFFICIENT FRONTIER ΚΑΙ FUZZY PROBABILITY EFFICIENT FRONTIER ΜΕ ΤΟ MATLAB ΣΕ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟ ΠΑ.1 ΠΑ.2 ΠΑ.3 ΠΑ.4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...70 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ EFFICIENT FRONTIER...71 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ FUZZY EFFICIENT FRONTIER...72 ΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΩΝ PROBABILITY EFFICIENT FRONTIER ΚΑΙ FUZZY PROBABILITY EFFICIENT FRONTIER ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΒ.1 ΠΒ.1.1 ΠΒ.2 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ...75 Βελτιστοποίηση Τετραγωνικής Συνάρτησης...77 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ...78 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...82

10 ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Γραφική απεικόνιση του αθροίσματος δύο διαστημάτων X, Y..2 Σχήμα 1.2: Γραφική απεικόνιση της διαφοράς δύο διαστημάτων X, Y... 2 Σχήμα 1.3: Γραφική απεικόνιση του γινομένου δύο διαστημάτων X, Y Σχήμα 1.4: Γραφική απεικόνιση της διαίρεσης δύο διαστημάτων X, Y... 3 Σχήμα 1.5: Γραφική απεικόνιση του παραδείγματος Σχήμα 2.1: Χώρος εφικτών λύσεων του παραδείγματος Σχήμα 2.2: Χώρος εφικτών λύσεων του παραδείγματος Σχήμα 3.1: Γραφική απεικόνιση ασαφών συνόλων...30 Σχήμα 3.2: Διάφοροι τύποι συναρτήσεων συμμετοχής...31 Σχήμα 3.3: Γραφική απεικόνιση ασάφειας ασαφούς συνόλου Σχήμα 3.4: Σχέσεις μεταξύ ασαφών συνόλων...34 Σχήμα 3.5: Διαμέριση μεταβλητών εισόδου και εξόδου...37 Σχήμα 3.6: Γραφική παράσταση του ασαφούς κανόνα...38 Σχήμα 3.7: Γραφική παράσταση του ασαφούς συμπερασμού...39 Σχημα 4.1: Τα περιουσιακά στοιχεία στο διάγραμμα αναμενόμενης τμής τυπικής απόκλισης...44 Σχημα 4.2: Feasible set όταν επιτρέπεται και όταν δεν επιτρέπεται το short selling...45 Σχημα 4.3: Minimum Variance Set, efficient frontier και MVP...45 Σχημα 4.4: Συνδυασμός δύο περιουσιακών στοιχείων...47 Σχημα 4.5: Το σύνορο των αποτελεσματικών χαρτοφυλακίων...51 Σχημα ΠΑ.1Γραφική απεικόνιση των Probability Efficient Frontier και Fuzzy Probability Efficient Frontier x

11 ΛΙΣΤΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 4.1: Εφαρμογή Minimax Regret Criterion, Πίνακας Αποτελεσμάτων...57 Πίνακας 4.2: Εφαρμογή Minimax Regret Criterion, Πίνακας Κόστους Ευκαιρίας...57 Πίνακας 4.3: Εφαρμογή Minimax Regret Criterion, Πίνακας Κόστους Ευκαιρίας-Μέγιστο Κόστος...58 xi

12

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Η Ανάλυση Διαστημάτων είναι ένας νέος κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών που έχει ως στόχο το σχεδιασμό μεθόδων, ώστε να αντιμετωπιστούν όλα τα είδη ανακρίβειας που εμποδίζουν τις κλασικές αριθμητικές μεθόδους να παρέχουν αξιόπιστα αποτελέσματα. Η κύρια ιδέα είναι η ανάπτυξη αλγορίθμων και τεχνικών ώστε να παράγονται όσο το δυνατόν πιο ακριβή φράγματα και κατά συνέπεια πιο αξιόπιστοι μαθηματικοί υπολογισμοί. Για τον σκοπό αυτό, εισάγεται ένας νέος τρόπος υπολογισμών που καλείται αριθμητική διαστημάτων, όπου οι πράξεις πλέον γίνονται με χρήση διαστημάτων και όχι με μεμονωμένους πραγματικούς αριθμούς. Η ανάλυση διαστημάτων βρίσκει εφαρμογές κυρίως σε πειραματικές επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία, η βιολογία αλλά και σε κλάδους όπως η ρομποτική, η ηλεκτρονική μηχανική, η χημική βιομηχανία και η οικονομία. Το κεφάλαιο αυτό έχει ως στόχο την εισαγωγή στην αριθμητική για τα στοιχεία του συνόλου, δηλαδή για τα διαστήματα αριθμούς ή πιο γνωστά ως i. Η αριθμητική διαστημάτων (interval arithmetic) εισήχθη από τον R. E. Moore στα τέλη της δεκαετίας του 50, ο οποίος την οραματίστηκε σαν ένα μέσο ελέγχου των σφαλμάτων στις υπολογιστικές διαδικασίες. Κατ ουσίαν, πρόκειται για μία επέκταση της κλασικής αριθμητικής και είναι βασικό μαθηματικό εργαλείο για την επαλήθευση αριθμητικών υπολογισμών. 1.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ Έστω, και, δύο διαστήματα και έστω ο τελεστής που ορίζει κάποιες τις τέσσερις πράξεις {+,, *, /}, τότε θα έχουμε:,. Συγκεκριμένα : Άθροισμα:, Για την συγγραφή του κεφαλαίου αυτού, χρησιμοποίηθηκε ως βασική βιβλιογραφική αναφορά το

14 1.2 Αριθμητική Διαστημάτων 2 Παράδειγμα 1.1: Εάν, 7,3 και, 2,12 είναι:,, 7 2, , 15 Σχήμα 1.1: Γραφική Απεικόνιση τους αθροίσματος δύο διαστημάτων X,Y Αντίθετο διαστήματος:,, Διαφορά:, Παράδειγμα 1.2: Εάν, 3,7 και,1,5 είναι:,,,, 3,7 5,1 2,8 Σχήμα 1.2: Γραφική Απεικόνιση της διαφοράς δύο διαστημάτων X,Y Γινόμενο:,,,,,,, Παράδειγμα 1.3: Έστω, 2,4 και, 2,5 είναι:,,,,,,, 4, 10,8,20, 4, 10,8,20 10,20 Σχήμα 1.3: Γραφική Απεικόνιση του γινομένου δύο διαστημάτων X,Y

15 1.2 Αριθμητική Διαστημάτων 3 Διαίρεση: Εάν, τότε,, για 0 ή 0, δηλαδή 0. Επομένως,, στην περίπτωση όπου το 0 δεν ανήκει στο διάστημα. Επομένως, εάν,,, και 0 θα είναι: Παράδειγμα 1.4: 1,,,,,,, Εάν, 2,6 και, 4,12 είναι:,,,,max,,, 2 4, 2 12, 6 4, 6, , 2 12, 6 4, , 6 4 Σχήμα 1.4: Γραφική Απεικόνιση της διαίρεσης δύο διαστημάτων X,Y Δύναμη διαστήματος Εάν,, τότε ισχύει: 1,1, 0,, 0 ή 0 ό,, 0 ό,, 0 ά 0,, 0 ά

16 1.3 Επεκτεταμένη Αριθμητική Διαστημάτων ΕΠΕΚΤΕΤΑΜΕΝΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ (EXTENDED INTERVAL ARITHMETIC) Στην προηγούμενη παράγραφο ορίστηκε η πράξη της διαίρεσης δύο διαστημάτων περίπτωση που ισχύει 0. για την Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουμε την περίπτωση που το 0 ανήκει στο διάστημα. Σε μια τέτοια περίπτωση, ο υπολογισμός του πηλίκου γίνεται χρησιμοποιώντας έ ή ά και όχι τον γνωστό κανόνα του πηλίκου που αναφέρθηκε παραπάνω. Πριν αναφέρουμε τα αποτελέσματα του πηλίκου σε τέτοιες περιπτώσεις, θα πρέπει να επεκτείνουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών προσθέτοντας το και το, οπότε τελικά θα έχουμε το σύνολο Επομένως, μπορούμε πλέον να θεωρούμε διαστήματα που θα έχουν ως άκρα τους το ή το ή και τα δύο μαζί. Δηλαδή, το σύνολο των επεκτεταμένων πραγματικών διαστημάτων θα είναι το Ι Ι, :, :, Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε δύο διαστήματα, και, με 0. Τότε για τη διαίρεση σύμφωνα με την επεκτεταμένη αριθμητική διαστημάτων θα έχουμε τα παρακάτω αποτελέσματα:,,,,,,,,,,,,,,,, ά 0 0 ά 0 0 ά 0 0 ά ά 0 0 ά 0 0 Ανάλογα με τη διαίρεση ορίζεται επεκτεταμένη αριθμητική και για τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Συγκεκριμένα, οι κανόνες που ισχύουν σε μια τέτοια αριθμητική είναι οι εξής:

17 1.3 Επεκτεταμένη Αριθμητική Διαστημάτων 5,,,,,,,,,,,,,,, Στις παραπάνω σχέσεις το και το μπορεί να είναι το κάθε ένα ξεχωριστά, ή και τα δύο μαζί. Αντίστοιχα, μπορούν και το και το να είναι. Παράδειγμα 1.5 Έστω, 3, 6 και, 2, 3, τότε:,,, , Αναλυτικά, η διαδικασία μιας τέτοιας διαίρεσης έχει ως εξής: Χωρίζουμε το διάστημα σε δύο διαστήματα και, όπου το ένα να έχει πάνω άκρο το μηδέν και το άλλο να έχει το μηδέν σαν κάτω άκρο. Δηλαδή, 2,0, 0,3 και. Επομένως, το αποτέλεσμα της διαίρεσης θα είναι της μορφής :, :, Το 3,6, άρα το πηλίκο όταν 0, ενώ όταν 0. Επομένως, το αποτέλεσμα της διαίρεσης είναι το,,. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1.1 Στην περίπτωση της διαίρεσης, με και, όταν 0 ή όταν 0 ή για 0, δεν μπορούμε να ξέρουμε πού τείνει το πηλίκο. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι όλος ο πραγματικός άξονας,.

18 1.3 Επεκτεταμένη Αριθμητική Διαστημάτων 6 ΠΡΟΤΑΣΗ 1.1: Για οποιαδήποτε διαστήματα,, ισχύουν οι εξής ιδιότητες (οι αποδείξεις έπονται από τους ορισμούς των πράξεων) αντιμεταθετική για την πρόσθεση: αντιμεταθετική για τον πολλαπλασιασμό: προσεταιριστική για την πρόσθεση: προσεταιριστική για τον πολλαπλασιασμό: Πρέπει να τονιστεί εδώ, ότι η επιμεριστική ιδιότητα δεν ισχύει πάντοτε. Δηλαδή, η ισότητα δεν είναι πάντοτε αληθής. Για παράδειγμα, έστω 1, 2, 3, 3 και 3, 3, τόττε θα είναι: 1,2 3, 3 3, 3 1,2 0, 0 0, 0 0, και 1, 2 3, 3 1, 2 3, 3 6, 3 3, 6 3, 3 0 Βλέπουμε λοιπόν ότι η σχέση δεν είναι πάντοτε αληθής. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1.2 Στο παραπάνω παράδειγμα παρατηρούμε ότι ισχύει η σχέση 0,0 3,3. Από αυτό εύκολα συμπεραίνουμε ότι για κάθε διάστημα,, ισχύει πάντα η σχέση. Η ιδιότητα αυτή του περιέχεσθαι καλείται υποεπιμεριστική (subdistributivity). Παράδειγμα 1.6: Πράγματι, αν θεωρήσουμε τα διαστήματα 5, 7, 7, 9 και 5, 3, τότε θα έχουμε 5, 7 7, 9 5, 3 5, 7 2, 6 10, 42 και 5, 7 7, 9 5, 7 5, 3 35, 63 35, 15 0, 48 Δηλαδή, 10, 42 0, 48 Η ισότητα ισχύει στις περιπτώσεις που: κάποιο από τα διαστήματα,, είναι εκφυλισμένο τα διαστήματα και έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή όταν 0 τα διαστήματα και είναι συμμετρικά

19 1.4 Διανύσματα και Πίνακες Διαστημάτων ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ Διάνυσμα διαστήματος λέγεται το διάνυσμα που έχει συντεταγμένες διαστήματα. Η αγγλική ορολογία που χρησιμοποιείται είναι interval vector. Συγκεκριμένα, ένα διαστηματικό διάνυσμα είναι της μορφής,,,, όπου οι συντεταγμένες του είναι τα διαστήματα, 1,2,., Πίνακας διαστημάτων λέγεται ο πίνακας εκείνος όπου τα στοιχεία του είναι διαστήματα. Ένας τέτοιος πίνακας έχει τη μορφή, όπου Θα συμβολίζουμε με, το σύνολο όλων των διάστατων πραγματικών διανυσμάτων με συντεταγμένες διαστήματα και με το σύνολο όλων των interval πινάκων διάστασης. Από γεωμετρική πλευρά, το σύνολο όλων των πραγματικών σημείων σε ένα interval διάνυσμα, σχηματίζουν ένα διάστατο παραλληλεπίπεδο με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες συντεταγμένων, αυτό το παραλληλεπίπεδο είναι γνωστό ως box. ΟΡΙΣΜΟΣ1.1 Για δύο interval διανύσματα,,, και,,, ορίζουμε: την τομή ως το διάνυσμα,,, Λέμε ότι η τομή είναι κενή εάν,, 1,2,.., την ένωση ως το διάνυσμα,,, Επιπλέον, επεκτείνεται η έννοια του "" της γραμμής των πραγματικών αριθμών στα διαστήματα ως εξής: αν και μόνο αν ΟΡΙΣΜΟΣ1.2 Ορίζεται σαν μέσο interval διαστήματος το διάνυσμα με συντεταγμένες τα μέσα των αντίστοιχων συντεταγμένων:,,, Αν, τότε,

20 1.5 Διαστηματικές Συναρτήσεις ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορίζουμε ως διαστηματικές συναρτήσεις εκείνες που έχουν πεδίο ορισμού το ή κάποιο υποσύνολό του και διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1) : λέγονται διαστηματικές συναρτήσεις πραγματικής τιμής (π.χ. το μέσο και η απόλυτη τμή ενός διαστήματος) 2) : λέγονται διαστηματικές με τιμή διάστημα και τις ξεχωρίζουμε σε εκφυλισμένες και μη εκφυλισμένες. Εκφυλισμένη συνάρτηση καλούμε μια συνάρτηση της οποίας ο τύπος περιέχει ως παραμέτρους μόνο διαστήματα με μηδενικό πλάτος, οι παράμετροι δηλαδή είναι πραγματικοί αριθμοί. Παράδειγμα 1.7: Δίνεται η συνάρτηση 2 6, 6, η οποία περιέχει παραμέτρους μηδενικού πλάτους, όπως το 6, 6 που ισούται με τον πραγματικό αριθμό 6. Η τιμή της λοιπόν, θα είναι μηδενικού πλάτους. Πράγματι για 4,4 είναι 2 6, 6 24, 4 6, 6 8, 8 6, 6 2, 2 2 Μη εκφυλισμένη συνάρτηση, καλούμε τη συνάρτηση που περιέχει παραμέτρους διαστήματα μη μηδενικού πλάτους. Παράδειγμα 1.8: Η συνάρτηση 3,5 περιέχει μια παράμετρο μη μηδενικού πλάτους. Για 1, 2, θα είναι 1, 2 3, 5 2, 7. Δηλαδή, η τιμή της θα είναι ένα διάστημα μη μηδενικού πλάτους. Παράδειγμα 1.9: Να υπολογιστεί η συνάρτηση με τύπο, 1. Εν συνεχεία, να γραφεί με την ισοδύναμη μορφή, της. και να υπολογιστεί ξανά η τιμή Πράγματι, αν πάρουμε σαν διάστημα 1, 2 και 1, 2, τότε από τον τύπο, 1 2/1 / θα έχουμε:, ,1 1,2 120,3 1,1 6,0 5,1 Ενώ, από την ισοδύναμη μορφή f, παίρνουμε

21 1.5 Διαστηματικές Συναρτήσεις 9, 1,2 1,2 1,2 1,2 3,1 0,3, Δηλαδή, από την πρώτη έκφραση παίρνουμε το ακριβές πεδίο τιμών, ενώ από τη δεύτερη έκφραση παίρνουμε ένα υπερεκτιμημένο (overestimate) πεδίο τιμών. Επομένως, το αν θα βρούμε διάστημα με μικρό ή όχι πλάτος το οποίο να περιλαμβάνει την πραγματική τιμή μιας συνάρτησης, εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο εμφανίζεται μια μεταβλητή η οποία είναι διάστημα. Έτσι, αν μια μεταβλητή διάστημα εμφανίζεται μόνο μια φορά στο δοθέντα προς υπολογισμό τύπο της συνάρτησης, τότε το φαινόμενο της εξάρτησης δεν εμφανίζεται. Αναλυτικά θα αναφερθούμε και στην επόμενη παράγραφο όπου θα μελετήσουμε τον υπολογισμό του range (πεδίο τιμών) συναρτήσεων Range Πραγματικής Συνάρτησης Στη διαστηματική ανάλυση, σε διαφορετικές εκφράσεις μιας συνάρτησης αντιστοιχούν διαφορετικές τιμές. Επομένως, αν θεωρήσουμε και, τότε το πεδίο τιμών ή αλλιώς της συνάρτησης δίνεται από το διάστημα: / min Παράδειγμα 1.10: Έστω μια συνάρτηση f με έκφραση,,, 0, 0, max Για 1,3 και για 2,1 το range θα είναι 2, 1, 1,3 /2 1, 1 3 Και αν χρησιμοποιήσουμε την ισοδύναμη έκφρασή της βρίσκουμε πάλι,2. Παράδειγμα 1.11: 1 1, 1, 0, 0 Θεωρούμε ένα πολυώνυμο της μορφής 2 3. Ψάχνουμε το range των τιμών του, όταν το είναι ένας αριθμός στο διάστημα 1, 2.

22 1.6 Το Πρόβλημα της Εξάρτησης 10 Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει παραπάνω, μια interval επέκταση του πολυωνύμου είναι της μορφής 2 3. Επομένως, 1, 2 1, 2 2 1, 2 3 1, 4 4, 2 3, 3 0, 5. Δηλαδή, το range των τιμών του, όταν το κινείται στο 1, 2 περιέχεται στο διάστημα 0, 5. Μια ακόμα interval επέκταση του είναι της μορφής 2 3. Τότε θα έχουμε 1,2 1, 2 1, 2 2, 2 3, 3 1,2 1,0 3,3 2,0 3,3 1,3 Βρήκαμε δηλαδή ένα πιο περιορισμένο διάστημα που περιέχει το range των τιμών του, παρόλο που αν το ήταν πραγματικός αριθμός, οι δύο μορφές είναι ισοδύναμες. Αυτό είναι από τα σπουδαιότερα προβλήματα της αριθμητικής διαστημάτων και καλείται πρόβλημα της εξάρτησης (the dependency problem) ( 1.6). Σκοπός λοιπόν, είναι η εύρεση εκφράσεων μιας συνάρτησης που θα οδηγούν στις καλύτερες interval επεκτάσεις και θα προσεγγίζουν το εύρος του πεδίου τιμών όσο το δυνατόν καλύτερα. Τέτοιες είναι οποιεσδήποτε interval επεκτάσεις μιας ρητής συνάρτησης, όπου κάθε μεταβλητή εμφανίζεται μια φορά και στην πρώτη δύναμη. Όσον αφορά τις μονότονες φραγμένες συναρτήσεις, έχουμε ότι:,,,, αν είναι γνησίως αύξουσα και αν είναι γνησίως φθίνουσα. 1.6 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΕΞΑΡΤΗΣΗΣ Αναλυτικά το πρόβλημα της εξάρτησης φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. Παράδειγμα 1.12: Έστω το διάστημα 3, 7. Τότε η πράξη δίνει σαν αποτέλεσμα Παράδειγμα 1.13: 3, 7 3, 7 3, 7 7, 3 10, Έστω το διάστημα 1, 1. Τότε η πράξη δίνει σαν αποτέλεσμα το διάστημα 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 0, 0 0. Παρατηρούμε δηλαδή, ότι μόνο όταν το διάστημα είναι εκφυλισμένο, η πράξη δίνει σαν αποτέλεσμα το μηδενικό διάστημα. Κάτι ανάλογο ισχύει και με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Πράγματι αυτό φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα

23 1.6 Το Πρόβλημα της Εξάρτησης 11 Παράδειγμα 1.14: Θεωρούμε το διάστημα 3, 2. Υπολογίζουμε το. Σύμφωνα με τον ορισμό της δύναμης που αναφέρθηκε σε προηγούμενη παράγραφο 1.2, θα έχουμε 0, 3, 2 0,9, 4 0, 9. Αν υπολογίσουμε το γινόμενο, τότε θα πάρουμε σαν αποτέλεσμα το διάστημα Συγκεκριμένα, έχουμε 0, 9 6, 9. 3, 2 3, 2 6, 9 0, 9. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο ορισμός της δύναμης ενός διαστήματος ξεπερνά το πρόβλημα της εξάρτησης το οποίο εμφανίζεται κατά τον πολλαπλασιασμό. Γενικότερα, έχουμε ότι:.... Ο ορισμός της στής δύναμης είναι πολύ σημαντικός, διότι μας βοηθά να κατανοήσουμε το πρόβλημα της εξάρτησης στον πολλαπλασιασμό. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1.3 Εάν μια συγκεκριμένη interval-μεταβλητή εμφανίζεται μόνο μια φορά κατά τον υπολογισμό μιας συνάρτησης, τότε δεν μπορεί να αυξήσει την εξάρτηση. Όταν όμως μια δοθείσα μεταβλητή εμφανίζεται περισσότερες από μια φορές σε έναν υπολογισμό με διαστήματα, τότε σε κάθε εμφάνισή της συμπεριφέρεται σαν να είναι διαφορετική μεταβλητή. Έτσι εξηγείται το γεγονός ότι ενώ περιμένουμε από την πράξη, να δώσει σαν αποτέλεσμα το διάστημα 0, 0, τελικά έχουμε το,, όταν το είναι μη εκφυλισμένο. Δηλαδή στην έκφραση που το διάστημα εμφανίζεται δύο φορές, είναι σαν να έχουμε, όπου το ίσο αλλά ανεξάρτητο του ΟΡΙΣΜΟΣ 1.3 Αν είναι μια διαστηματική επέκταση της συνάρτησης, τότε η καλείται πραγματικός περιορισμός της. Μια διαστηματική συνάρτηση :, λέγεται συνάρτηση εγκλεισμού της πραγματικής συνάρτησης :, αν ισχύουν τα παρακάτω: 1. για κάθε και 2. για κάθε

24 1.6 Το Πρόβλημα της Εξάρτησης 12 ώ ώ ά ά Μια διαστηματική συνάρτηση είναι συνάρτηση εγκλεισμού της αν έχει τις ιδιότητες: 1. για κάθε και 2. (απόδειξη [9]) Από το παραπάνω θεώρημα συνάγεται το συμπέρασμα ότι αν η είναι μια ρητή διαστηματική επέκταση της πραγματικής συνάρτησης, τότε έχει την ιδιότητα του εγκλεισμού και ισχύει:. Με άλλα λόγια η τιμής της περιέχει το πεδίο τιμών της. Δηλαδή υπάρχει μια σχέση που συνδέει το πεδίο τιμών μιας πραγματικής συνάρτησης και του διαστηματικού υπολογισμού της. Παράδειγμα 1.15: Να βρεθεί το range της συνάρτησης, για 2,5 Αντικαθιστώντας στον τύπο της, το διάστημα θα έχουμε: 2,5 2,5 32,5 1 2,5 6,15 1,1 2,5 0.14, 1 5,14 Αντικαθιστούμε τώρα τον τύπο της συνάρτησης με έναν ισοδύναμό του: και υπλογίζουμε ξανά το range για 2,5. Τότε θα προκύψει: 1 1 2, , , ,0.4 2,5 Παρατηρούμε ότι 0.357, ,1. Η γραφική απεικόνιση του παραδείγματος φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

25 1.7 Διαστηματικά γραμμικά Συστήματα 13 Σχήμα 1.5: Γραφική απεικόνιση του παραδείγματος 1.15: υπερεκτίμηση του πεδίου τιμών της f 1.7 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΙΚΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Οι μέθοδοι επίλυσης διαστηματικών γραμμικών συστημάτων συνοψίζονται στις ακόλουθες τρεις: Η μέθοδος interval Gaussian elimination Η interval Gauss-Seidel μέθοδος και Η μέθοδος Krawczyk Θεωρούμε πεπερασμένα συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής, όπου είναι ένας πίνακας και είναι διάστατο διάνυσμα. Εναλλακτικά, αν δεν είναι γνωστά ο πίνακας και το διάνυσμα και γνωρίζουμε έναν πίνακα που φράσει τον και ένα διάνυσμα Β που φράσει το, τότε μπορούμε να αντικαταστήσουμε το αρχικό μας σύστημα με το interval σύστημα Χ Β, η διαστηματική λύση του οποίου θα περιέχει τη λύση του. ΟΡΙΣΜΟΣ 1.4 Ένας interval πίνακας λέγεται κανονικός (ομαλός ή regular), όταν κάθε Α είναι non-singular, δηλαδή έχει μη μηδενική ορίζουσα. Παράδειγμα 1.16: Θεωρούμε τη γραμμική εξίσωση Χ Β, με 3, 1 και Β 2, 6. Τότε το σύνολο λύσεων είναι το διάστημα X 2,6 3, 1 6,2 3

26 1.7 Διαστηματικά γραμμικά Συστήματα 14 Αλλά η πράξη X3, 1 6,,6 δεν δίνει το Β. Συγκεκριμένα, παρατηρούμε ότι Χ Β. Στην πραγματικότητα δηλαδή, βρίσκουμε ένα μεγαλύτερο box το οποίο περιέχει το Χ. ό ί Α έ: Παράγουν ακριβή αποτελέσματα στην περίπτωση που οι συντελεστές των Α και Β είναι πραγματικοί αριθμοί. Η λύση προκύπτει μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων αν ο πίνακας Α είναι nonsingular και αν χρησιμοποιείται αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας. Ε ή έ έ: Παράγουν μία ακολουθία προσεγγιστικών λύσεων στην περίπτωση που οι συντελεστές των Α και Β είναι πραγματικοί αριθμοί. Οι τρεις πιο κοινές μέθοδοι για τον υπολογισμό μιας εξωτερικής εκτίμησης του Γ.Σ.(Α,Β) είναι: Η interval Gaussian απαλοιφή Απαιτεί ο διαστηματικός πίνακας Α να είναι κανονικός, αλλά δεν απαιτεί μια αρχική εκτίμηση του συνόλου λύσης. Η interval Gauss-Seidel μέθοδος Δεν απαιτεί ο πίνακας Α να είναι κανονικός και τετραγωνικός, αλλά απαιτεί μια αρχική εκτίμηση του συνόλου λύσης Γ.Σ.(Α,Β). Η μέθοδος Krawczyk Δεν απαιτεί ο πίνακας Α να είναι κανονικός και τετραγωνικός, αλλά απαιτεί μια αρχική εκτίμηση του συνόλου λύσης Γ.Σ.(Α,Β). Οι παραπάνω αλγόριθμοι δεν εφαρμόζονται στο αρχικό σύστημα αλλά στο λεγόμενο preconditioned. Το σύστημα αυτό προκύπτει πολλαπλασιάζοντας το αρχικό σύστημα με έναν πραγματικό πίνακα. ί: A XB Y Α X Y Β, δηλ. Μ X C, όπου Μ Y A και C Y B. Ο Y επιλέγεται έτσι ώστε να κάνει το σύνολο λύσεων του νέου συστήματος Μ X C ευκολότερο να φραχθεί. Ο Y συνήθως επιλέγεται να είναι ο αντίστροφος A. Η διαδικασία αυτή, επιτρέπει στις παραπάνω μεθόδους να υπολογίζουν πιο στενά διαστηματικά φράγματα για τις συντεταγμένες του συνόλου λύσεων.

27 1.7 Διαστηματικά γραμμικά Συστήματα 15 Παράδειγμα 1.17: Έστω Έστω, τότε θα έχουμε Άρα, και Οι συντεταγμένες της αρχικής τιμής θα είναι 1,1 1 1, , , , 1.66 Με αρχική τιμή το και χρησιμοποιώντας την επαναληπτική μέθοδο 0,1,2, θα έχουμε Για k=0 θα είναι , 1.66, 1.26, , , Για k=1 θα είναι , 1.26, , , , Η διαδικασία συνεχίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 2.1 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το γενικό πρόβλημα του μαθηματικού προγραμματισμού μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Να βρεθούν οι τιμές των μεταβλητών,,, που μεγιστοποιούν ή ελαχιστοποιούν τη συνάρτηση και επιπλέον ικανοποιούν ανισότητες (ή ισότητες):,,, (2.1),,,,,, 1,2,.., (2.2) Η συνάρτηση 2.1 ονομάζεται αντικειμενική συνάρτηση (objective function), οι συνθήκες 2.2 λέγονται περιορισμοί (constraints), οι μεταβλητές καλούνται μεταβλητές απόφασης (decision variables), οι σταθερές θεωρούνται γνωστές και για κάθε ισχύει ή ανισότητα ή ισότητα,,,. Κάθε,,,, που ικανοποιεί τους περιορισμούς καλείται εφικτή λύση (feasible solution) του προβλήματος και κάθε εφικτή λύση που βελτιστοποιεί (μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί) την αντικειμενική συνάρτηση, ονομάζεται βέλτιστη εφικτή λύση (optimal feasible solution). Το πρόβλημα του μαθηματικού προγραμματισμού είναι κατά συνέπεια ένα πρόβλημα μεγιστοποίησης ή ελαχιστοποίησης. Ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της αντικειμενικής συνάρτησης και των συναρτήσεων των περιορισμών, το πρόβλημα του μαθηματικού προγραμματισμού μπορεί να χαρακτηριστεί σαν ακέραιος, κυρτός, τετραγωνικός, δυναμικός, στοχαστικός, γραμμικός προγραμματισμός κλπ. 2.2 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Στο γραμμικό προγραμματισμό η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί δίνονται από,,, (2.3),,,,,, 1,2,.., (2.4) όπου οι και είναι δεδομένες πραγματικές σταθερές και μάλιστα οι σταθερές καλούνται συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ή συντελεστές κέρδους (ή κόστους). Για λόγους ευκολίας και χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να προσθέσουμε τους ακόλουθους περιορισμούς μη αρνητικότητας:

29 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 17 0, 1,2,, (2.5) Συνεπώς, το γενικό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού (ΠΓΠ) έχει τη μορφή:,,,,, (2.6),,,,, 0 Αν όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις ή ανισώσεις της ίδιας φοράς, το παραπάνω πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να γραφεί πιο συνοπτικά με τη μορφή πινάκων:,,, (2.7) 0 όπου,,,,,,,,,,,, 0 0,0,,0 και Παράδειγμα Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Τρία παραρτήματα ενός εργοστασίου, τα Α, Β, Γ, που παράγουν το ίδιο προϊόν, βρίσκονται σε τρεις διαφορετικές περιοχές της χώρας, που απέχουν πολύ μεταξύ τους. Οι αγοραστές του προϊόντος βρίσκονται σε πέντε διαφορετικές πόλεις. Τα παραρτήματα παράγουν ποσότητες αντίστοιχα 150, 350 και 280 μονάδων του προϊόντος, ενώ οι αγοραστές έχουν παραγγείλει αντίστοιχα 100, 130, 160, 210, και 150 μονάδες. Το κόστος μεταφοράς του προϊόντος από τα παραρτήματα Α, Β, Γ δίνεται στον πίνακα:

30 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 18 Θέλουμε να υπολογίσουμε τις απαραίτητες ποσότητες (μεταβλητές αποφάσεως) που θα πρέπει να μεταφερθούν από το παράρτημα στον αγοραστή ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος μεταφοράς. Λύση Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος (κόστος μεταφοράς), της οποίας αναζητάμε το ελάχιστο, είναι η Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να φορτώσουμε περισσότερα προϊόντα από ένα παράρτημα από όσα παράγονται στο σ αυτό. Συνεπώς έχουμε τους εξής περιορισμούς: 150 (παραγωγή παραρτήματος Α) 350 (παραγωγή παραρτήματος Β) 280 (παραγωγή παραρτήματος Γ) Επίσης κάθε αγοραστής πρέπει να εφοδιαστεί με τον επιθυμητό αριθμό μονάδων. Συνεπώς έχουμε τους περιορισμούς: 100 (ζήτηση αγοραστή 1) 130 (ζήτηση αγοραστή 2) 160 (ζήτηση αγοραστή 3) 210 (ζήτηση αγοραστή 4) 150 (ζήτηση αγοραστή 5)

31 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 19 Επίσης ισχύει: 0, με,, και 1,2,3,4,5 Επομένως, το ΠΓΠ που περιγράφει το εν λόγω πρόβλημα μεταφοράς είναι:

32 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Προϋποθέσεις Εφαρμογής Γραμμικού Προγραμματισμού Έχοντας αναφέρει ένα παράδειγμα εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού και διατυπώσει τη γενική μορφή ενός ΠΓΠ, είναι σημαντικό στο σημείο αυτό να εξετάσουμε τις απαιτούμενες προϋποθέσεις για την εφαρμογή του γραμμικού προγραμματισμού σε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα βελτιστοποίησης. Αυτές είναι που περιορίζουν γενικά το φάσμα των δυνατοτήτων εφαρμογής του γραμμικού προγραμματισμού. Οι προϋποθέσεις, που πρέπει να ισχύουν για να διατυπωθεί ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι οι εξής: α) Γραμμικότητα β) Διαιρετότητα και γ) Βεβαιότητα. ό Όλες οι συναρτήσεις του προβλήματος, αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμοί, πρέπει να είναι γραμμικές ως προς τις άγνωστες μεταβλητές,,.,. Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να ισχύουν οι ιδιότητες της απλής αναλογικότητας και της προσθετικότητας, δηλαδή εάν είναι μία συνάρτηση μεταβλητών και,,, είναι σταθερές, πρέπει να ισχύει: Σε πολλές περιπτώσεις στις οποίες δεν ισχύει απόλυτα η προϋπόθεση της γραμμικότητας, μπορεί να γίνει μια αρκετά καλή προσέγγιση με γραμμικές συναρτήσεις. ό Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού υποθέτει ότι κάθε δραστηριότητα (δηλ. μεταβλητή) είναι συνεχής και επομένως άπειρα διαιρετή. Αυτό συνεπάγεται ότι όλα τα επίπεδα δραστηριοτήτων και όλες οι χρήσεις πόρων επιτρέπεται να πάρουν κλασματικές τιμές ή ακέραιες τιμές. Όταν η υπόθεση της διαιρετότητας δεν ισχύει, υπάρχουν δύο ενδεχόμενα: 1) Να αγνοηθεί η υπόθεση αυτή, δηλαδή να λυθεί το πρόβλημα με μεθόδους γραμμικού προγραμματισμού, και οι τιμές των μεταβλητών να στρογγυλευτούν στην πλησιέστερη ακέραιη μονάδα. Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται κυρίως όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μεγάλες. 2) Όταν οι τιμές των μεταβλητών είναι μικρές (π.χ. 0 ή 1) όπως σε πολλά προβλήματα επενδύσεων, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν τεχνικές ακέραιου προγραμματισμού. ό Το μοντέλο του γραμμικού προγραμματισμού προϋποθέτει ότι όλες οι παράμετροι είναι γνωστές με απόλυτη βεβαιότητα. Στην περίπτωση που μερικοί ή όλοι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης ή των περιορισμών είναι τυχαίες μεταβλητές, το πρόβλημα γίνεται πρόβλημα στοχαστικού προγραμματισμού

33 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφική Μέθοδος Επίλυσης Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού Προβλήματα ΓΠ με δύο μόνο μεταβλητές απόφασης μπορούν να λυθούν εύκολα γραφικά. Αν και η πρακτική σημασία της γραφικής μεθόδου είναι πολύ μικρή, καθώς τα περισσότερα ΠΓΠ έχουν πολλές μεταβλητές και πολλούς περιορισμούς, εντούτοις η εξέταση της γεωμετρικής απεικόνισης σε δύο διαστάσεις οδηγεί σε πολύ χρήσιμες παρατηρήσεις για τα χαρακτηριστικά της βέλτιστης λύσης και μας προσφέρει μια διαισθητική εικόνα του ΠΓΠ. Στη συνέχεια περιγράφουμε αυτή τη μέθοδο με τη βοήθεια δύο παραδειγμάτων. Παράδειγμα 2.1 Έστω το ακόλουθο ΠΓΠ: Λύση , 0 Στο δισδιάστατο χώρο κάθε μία από τις ανισώσεις ορίζει ένα ημιεπίπεδο. Η τομή όλων των ημιεπιπέδων είναι το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων που παρουσιάζεται ως η σκιασμένη περιοχή στο ακόλουθο σχήμα (Σχήμ 2.1). Για να υπολογίσουμε τη βέλτιστη λύση προχωράμε ως εξής: Για κάθε πραγματική σταθερά θεωρούμε την ευθεία, όπου 1,1 και,. Διαφορετικές τιμές του μας δίνουν διαφορετικές ευθείες μεταξύ τους και κάθετες στο διάνυσμα. Η μετατόπιση των ευθειών αυτών προς την κατεύθυνση του διανύσματος οδηγεί στη μεγιστοποίηση της τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης. Συνεπώς για να μεγιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση μετακινούμαστε προς την κατεύθυνση του χωρίς όμως να εγκαταλείπουμε την περιοχή εφικτών λύσεων, δηλαδή θα πρέπει η γραμμή που αντιστοιχεί στην αντικειμενική συνάρτηση να έχει σημεία τομής με την περιοχή εφικτών λύσεων. Στην περίπτωση μας βλέπουμε ότι το μεγιστοποιείται όταν η ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης διέρχεται από το σημείο, 1,1 της περιοχής εφικτών λύσεων. Συνεπώς αυτή είναι η βέλτιστη λύση του ΠΓΠ που εξετάζουμε.

34 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 22 Παράδειγμα 2.2 Σχήμα 2.1: Χώρος εφικτών λύσεων του Παραδείγματος 2.1 (πηγή [13]) Έστο ΠΓΠ όπου η περιοχή εφικτών λύσεων καθορίζεται από τους περιορισμούς 1, 0 Να βρεθεί η βέλτιστη λύση για τις ακόλουθες τιμές του : 1,1, 1,0, 0,1 1, 1 όταν ζητείται η ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Ποια είναι η περιοχή εφικτών λύσεων αν προσθέσουμε τον περιορισμό 0.1; Λύση Η περιοχή εφικτών λύσεων φαίνεται στο Σχήμα 2.2. Όταν το διάνυσμα των συντελεστών της αντικειμενικής συνάρτησης είναι 1,1, τότε η βέλτιστη λύση είναι το σημείο (0,0). Εδώ αξίζει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση που έχουμε ελαχιστοποίηση, όπως εδώ, η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται με την μετακίνηση της ευθείας της αντικειμενικής συνάρτησης στην αντίθετη κατεύθυνση από αυτή του διανύσματος.

35 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 23 Σχήμα 2.2: Χώρος εφικτών λύσεων του Παραδείγματος 2.2 (πηγή [13]) Όταν το 1,0 έχουμε άπειρες βέλτιστες λύσεις. Σε αυτή την περίπτωση κάθε διάνυσμα 0,, όπου το ικανοποιεί την συνθήκη 0 2 1, δηλαδή κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (0,0) και (0,1) είναι βέλτιστη λύση. Αυτό οφείλεται στο ότι η ευθεία της αντικειμενικής συνάρτησης είναι παράλληλη στην ευθεία που αποτελεί το σύνορο του περιορισμού 0. Αντίστοιχα όταν 0,1 έχουμε επίσης άπειρες βέλτιστες λύσεις. Πιο συγκεκριμένα εδώ βέλτιστη λύση είναι κάθε διάνυσμα,0 όπου το ικανοποιεί τη συνθήκη 0. Σε αυτή την περίπτωση το σύνολο των βέλτιστων λύσεων δεν είναι φραγμένο. Όταν 1, 1 για κάθε εφικτή λύση 1, 2. μπορούμε να βρούμε μια άλλη λύση με μικρότερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, απλά αυξάνοντας την τιμή της, άρα δεν υπάρχει βέλτιστη λύση. Σε αυτή την περίπτωση η βέλτιστη τιμή τείνει στο. Ο λόγος που συμβαίνει αυτό είναι ότι η περιοχή εφικτών λύσεων δεν είναι φραγμένη. Αν προσθέσουμε τον περιορισμό 0.1, είναι προφανές ότι δεν υπάρχουν εφικτές λύσεις και το σύνολο των εφικτών λύσεων είναι ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.1 Γενικά υπάρχουν τα παρακάτω ενδεχόμενα σχετικά με την ύπαρξη και τη μορφή των βέλτιστων λύσεων ενός ΠΓΠ: 1. Υπάρχει μία μοναδική βέλτιστη λύση 2. Υπάρχουν άπειρες βέλτιστες λύσεις 3. Η βέλτιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης είναι (ή ) και δεν υπάρχει βέλτιστη λύση 4. Το σύνολο των εφικτών λύσεων είναι κενό

36 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 24 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.2 Η περιοχή των εφικτών λύσεων, αν υπάρχει, είναι κυρτό πολύγωνο. Αν υπάρχει βέλτιστη λύση, αυτή είναι μία από τις κορυφές του πολυγώνου (οπότε έχουμε μοναδική λύση), ή μία από τις πλευρές του, οπότε έχουμε άπειρες βέλτιστες λύσεις Η Κανονική Μορφή του ΠΓΠ Γενικά, υπάρχει μια ποικιλία στον τρόπο με τον οποίο παρουσιάζονται τα διάφορα ΠΓΠ. Για λόγους ευκολίας, κυρίως στην ανάπτυξη μιας γενικής μεθοδολογίας επίλυσης τέτοιων προβλημάτων, θέλουμε να τυποποιήσουμε κατά το δυνατόν τη μορφή παρουσίασης τους,,,. ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1: Ένα ΠΓΠ είναι σε κανονική μορφή όταν παρουσιάζεται ως εξής, ή σε μορφή πινάκων,,, 0, (2.8) 0 όπου,,,,,,,,,,,, 0 0,0,,0 και ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2.3 Κάθε ΠΓΠ μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή με την χρήση στοιχειωδών μετασχηματισμών, όπως οι παρακάτω. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής:

37 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 25 ώ έ Με την εισαγωγή περιθώριων μεταβλητών, οι ανισοτικοί περιορισμοί μετατρέπονται σε ισοτικούς. Γενικά, περιορισμοί της μορφής μπορούν να γραφούν ως και οι περιορισμοί της μορφής μπορούν να παρουσιαστούν ως, όπου η είναι μια νέα μεταβλητή που καλείται περιθώρια μεταβλητή για την οποία βέβαια ισχύει ότι 0. Με την προσθήκη των περιθώριων μεταβλητών δεν αλλάζει ουσιαστικά η αντικειμενική συνάρτηση αφού θέτουμε 0. ό ή ί Πολλαπλασιάζοντας την αντικειμενική συνάρτηση με 1 μετατρέπουμε ένα πρόβλημα από πρόβλημα ελαχιστοποίησης σε πρόβλημα μεγιστοποίησης. Έτσι, αν ζητάμε να προσδιορίσουμε το, τότε θέτουμε και μεγιστοποιούμε τη συνάρτση. Άρα, έ ί ό ό Στην περίπτωση που κάποια μεταβλητή δεν ικανοποιεί τον περιορισμό μη αρνητικότητας, δηλαδή 0 ή, την αντικαθιστούμε. Στην πρώτη περίπτωση με μια νέα μεταβλητή για την οποία ισχύει ότι και στη δεύτερη περίπτωση με δύο νέες μη αρνητικές μεταβλητές, για τις οποίες έχουμε ότι Λύση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Όπως φάνηκε από την παράγραφο 2.3.4, η γεωμετρική ερμηνεία των ΠΓΠ είναι αρκετά σημαντική ωστόσο δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για όλα τα ΠΓΠ και αυτό γιατί στην πράξη τα πρισσότερα ΠΓΠ έχουν περισσότερες από δύο μεταβλητές. Η κύρια μέθοδος επίλυσης ΠΓΠ είναι η μέθοδος Simplex, ένας αλγόριθμος βελτιστοποίησης ο οποίος χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό επαναλαμβανόμενων βημάτων τα οποία μπορούν να κωδικοποιηθούν στον Η/Υ. Πριν παρουσιάσουμε την μέθοδο αυτή, θα διατυπώσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς και θεωρήματα. Ας θεωρήσουμε την κανονική μορφή ενός ΠΓΠ,, το οποίο έχει μεταβλητές και γραμμικές εξισώσεις με. Βασική λύση είναι μία λύση που προκύπτει αν θέσουμε μεταβλητές ίσες με το μηδέν και λύσουμε ως προς τις υπόλοιπες μεταβλητές υπό τον όρο το γραμμικό σύστημα που προκύτει να περιλαμβάνει από τις στήλες (διανύσματα) του πίνακα έτσι ώστε τα διανύσματα αυτά να είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.. Δηλαδή ο πίνακας να περιέχει έναν υποπίνακα διάστασης για τον οποίο ισχύει ότι η ορίζουσα του είναι διάφορη του μηδενός. Η τετραγωνική μήτρα που προκύτει από τον και έχει γραμμικά ανεξάρτητες στήλες καλείται βάση του συστήματος ενώ οι μεταβλητές που

38 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 26 αντιστοιχούν στις στήλες της βάσης καλούνται βασικές μεταβλητές. Οι υπόλοιπες μεταβλητές που δεν περιλαμβάνονται στη βάση καλούνται μη βασικές μεταβλητές. Αν συμβολίσουμε τον υποπίνακα των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του με, επειδή 0, η βασική λύση μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση, όπου είναι το διάνυσμα των βασικών μεγεθών. Ο πίνακας Β ονομάζεται και βασικός πίνακας.. Βασική εφικτή λύση είναι μία βασική λύση όπου όλες οι βασικές μεταβλητές είναι μη αρνητικές. Μη εκφυλισμένη βασική λύση είναι μία βασική εφικτή λύση με ακριβώς θετικά. Επομένως, μία εκφυλισμένη βασική εφικτή λύση έχει λιγότερα από θετικά. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.2: Ένα υποσύνολο του λέγεται κυρτό αν για οποιοδήποτε στοιχεία, και για κάθε 0,1, ισχύει 1. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1: Το σύνολο όλων των εφικτών λύσεων ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού είναι ένα κυρτό σύνολο (απόδειξη βλ. [23]). ΟΡΙΣΜΟΣ 2.3: Ένα σημείο ενός κυρτού συνόλου καλείται ί ί αν δεν υπάρχουν, διαφορετικά μεταξύ τους, τέτοια ώστε 1 για κάποιο με 0 1. ΟΡΙΣΜΟΣ 2.4: Ένα πολύεδρο του είναι ένα σύνολο της μορφής ή ή, 1,2,, (2.9) Ένα ακραίο σημείο ενός πολυέδρου καλείται ή έ. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2: Υποθέτουμε ότι το σύνολο, 0 είναι φραγμένο και μη κενό. Τότε η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα ακραίο σημείο του (απόδειξη βλ. [23]). ΘΕΩΡΗΜΑ 2.3: (Ισοδυναμία ακραίων σημείων και βασικών εφικτών λύσεων) Για ορίζουμε το 1, 0. Ένα σημείο,0 είναι κορυφή του αν και μόνο αν οι στήλες, του πίνακα Α είναι ανεξάρτητες, δηλαδή αν το είναι βασική εφικτή λύση. (απόδειξη βλ. [23]) ΘΕΩΡΗΜΑ 2.4: Αν υπάρχει βέλτιστη λύση σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού τότε υπάρχει βέλτιστη βασική εφικτή λύση (απόδειξη βλ. [23]) Η Μέθοδος Simplex Η βέλτιστη λύση, όπως παρατηρήθηκε προηγουμένως, αντιστοιχεί σε μία κορυφή στη γεωμετρική απεικόνιση του εφικτού συνόλου. Η μέθοδος Simplex ξεκινώντας από μία αρχική κορυφή μπορεί να πάει σε άλλες γειτονικές κορυφές κατά μήκος των ακμών του πολυγώνου του εφικτού συνόλου.

39 2.2 Διατύπωση Προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού 27 Σε κάθε μετάβαση της μεθόδου από μία κορυφή σε άλλη, η μέθοδος simplex κατορθώνει να βρει την ακμή που την οδηγεί σε μία κορυφή η οποία δίνει βελτιωμένη τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση. Συνεχίζοντας κατά αυτό τον τρόπο, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από κορυφή σε κορυφή βελτιώνεται και τελικά φτάνουμε σε μια κορυφή όπου η αντικειμενική συνάρτηση βελτιστοποιείται. Οποιαδήποτε άλλη κορυφή δίνει χειρότερη λύση και έτσι η διαδικασία τερματίζεται. Η μέθοδος simplex είναι μια αλγεβρική επαναληπτική διαδικασία όπου σε κάθε βήμα έχουμε μια νέα βασική εφικτή λύση προβλημάτων της μορφής: (2.10) 0 Στη συνέχεια πρέπει να εξετάσουμε αν η τρέχουσα βασική εφικτή λύση είναι και η βέλτιστη. Συνεπώς, χρειαζόμαστε έναν έλεγχο για το αν η λύση είναι η βέλτιστη. Αν είναι τότε η διαδικασία τερματίζεται. Αν η τρέχουσα βασική λύση δεν είναι βέλτιστη τότε χρειαζόμαστε μια μέθοδο με την οποία θα μπορούμε να βρούμε μία καλύτερη βασική βέλτιστη λύση. Η διαδικασία θα περατωθεί ως ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων, επειδή ο αριθμός των βασικών εφικτών λύσεων είναι πεπερασμένος, και αν η λύση δεν επιστρέψει σε κάποια προηγούμενη τελικά θα φθάσουμε στη βέλτιστη,,, Ο Αλγόριθμος Simplex Τα βασικά σημεία του αλγόριθμου simplex είναι: Υπολογίζουμε μια αρχική βασική λύση, επιλέγοντας τη βάση από τις στήλες του πίνακα, με κατάλληλη επιλογή μεταξύ των γραμμικώς ανεξάρτητων στηλών του πίνακα. Εκφράζουμε τα διανύσματα του πίνακα που δεν ανήκουν στη βάση συναρτήσει των διανυσμάτων της βάσης και υπολογίζουμε τα αντίστοιχα σύμφωνα με τη σχέση:, όπου η στήλη του πίνακα. Υπολογίζουμε τις τιμές για τα διανύσματα εκτός βάσης εφαρμόζοντας τη σχέση Υπολογίζουμε τις ποσότητες. Αν για όλα τα ισχύει ότι 0, τότε έχουμε βέλτιστη λύση. Αν ένα ή περισσότερα 0, επιλέγουμε ένα διάνυσμα από τα εκτός βάσης για να εισέλθει στη βάση, εφαρμόζοντας το επόμενο κριτήριο:

40 2.3 Γενική Βελτιστοποίηση 28 min 0 Αν όλα τα 0, τότε υπάρχει μια μη φραγμένη λύση. Αν ένα τουλάχιστον 0, επιλέγουμε το διάνυσμα που θα φύγει από τη βάση σύμφωνα με το κριτήριο: min, 0 Υπολογίζουμε τη νέα βάση η οποία προκύπτει από την προηγούμενη αντικαθιστώντας το διάνυσμα με το νέο. Υπολογίζουμε τη νέα βασική εφικτή λύση, με τις σχέσεις: και τις νέες τιμές των, και. Επιστρέφουμε στο δεύτερο βήμα και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. 2.3 ΓΕΝΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Οι τεχνικές λύσεων που αναφέρθηκαν στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουν ότι το πρόβλημα μπορεί να διαμορφωθεί σαν γραμμικό, έχοντας την αντικειμενική συνάρτηση αλλά και τους περιορισμούς γραμμικούς. Πολλά όμως σημαντικά προβλήματα οικονομίας και διοίκησης περιέχουν μη γραμμικές σχέσεις. Για τη λύση τέτοιων προβλημάτων χρησιμοποιούνται τεχνικές γενικής βελτιστοποίησης, γραμμικών και μη γραμμικών μοντέλων. Μία από αυτές είναι με τη χρήση της μαθηματικής ανάλυσης. Με τη μαθηματική ανάλυση, και συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας έννοιες και στοιχεία από την συναρτησιακή ανάλυση (βλ. Παράρτημα Β), μπορούμε να βελτιστοποιήσουμε μια σχέση παίρνοντας την παράγωγο της και θέτοντας την ίση με μηδέν. Στη συνέχεια λύνοντας τη σχέση μπορούμε να βρούμε το μέγιστο ή το ελάχιστό της. Εάν υπάρχουν περιορισμοί, χρησιμοποιείται η μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange. Αυτές οι μέθοδοι μπορούν μα εφαρμοστούν περισσότερο σε μικρά προβλήματα και σε απλές σχέσεις. Ωστόσο, υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία από τεχνικές που έχουν αναπτυχθεί κυρίως για την λύση μη γραμμικών προβλημάτων. Για παράδειγμα, ο τετραγωνικός προγραμματισμός (quadratic programming) είναι μια τεχνική για να λύνονται προβλήματα με γραμμικούς περιορισμούς αλλά με τετραγωνική συνάρτηση.

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΔΥΝΑΤΟΤΗΤΩΝ 3.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στα μέσα της δεκαετίας του 60, ο Lotfi A. Zadeh, γνωστός ως θεμελιωτής της θεωρίας ασαφούς λογικής, παρατήρησε ότι ο παραδοσιακός τρόπος περιγραφής ενός συστήματος που στηρίζεται στην αυστηρή μαθηματική λογική συνεπάγεται απώλεια πληροφορίας καθώς η πολυπλοκότητα του συστήματος αυξάνεται. Συγκεκριμένα, αν υιοθετηθεί ένας αυστηρά αριθμητικός τρόπος περιγραφής ενός συστήματος, τότε υπάρχουν δύο επιλογές: α) το απλό μαθηματικό μοντέλο με απώλεια πληροφορίας ιδιαίτερα στις οριακές καταστάσεις και β) τη μη απώλεια πληροφορίας με πολύπλοκα μαθηματικά μοντέλα. Ο Zadeh διατύπωσε αυτό το αδιέξοδο με την περίφημη Αρχή της Ασυμβατότητας [22]: «...καθώς η πολυπλοκότητα ενός συστήματος αυξάνεται, η ικανότητα για ακριβείς και ταυτόχρονα σημαντικές δηλώσεις που αφορούν τη συμπεριφορά του μειώνεται, και πέρα από ένα σημείο η ακρίβεια και η σημαντικότητα αποτελούν σχεδόν αμοιβαία αποκλειόμενα χαρακτηριστικά». Ο Zadeh πρότεινε ένα διευρυμένο τρόπο αναπαράστασης, όπου ένα στοιχείο μπορεί να ανήκει ταυτόχρονα σε περισσότερα από ένα υποσύνολα, στο κάθε ένα με ένα βαθμό συμμετοχής. Κάθε τέτοιο υποσύνολο που περιλαμβάνει στοιχεία, όπου κάθε στοιχείο χαρακτηρίζεται από ένα βαθμό συμμετοχής, ονομάζεται ασαφές σύνολο (fuzzy set). Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα μία μεταβλητή η οποία εκφράζει την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου σε ένα αυτοκινητόδρομο με πεδίο ορισμού από 0 km/h έως 120 km/h και έστω τα παρακάτω τρία σύνολα: Α=μικρή ταχύτητα, Β=μέτρια ταχύτητα και Γ=μεγάλη ταχύτητα Αναρωτιόμαστε σε ποιο σύνολο ανήκει κάθε τιμή της μεταβλητής ταχύτητα. Θα μπορούσε για παράδειγμα να γίνει ο εξής διάλογος με κάποιον οδηγό: ΕΡ: πόσο σίγουρος είσαι ότι η ταχύτητα 15 km/h είναι μικρή? ΑΠ: 100%. ΕΡ: πόσο σίγουρος είσαι ότι η ταχύτητα 20 km/h είναι μικρή? ΑΠ: 100%. ΕΡ: πόσο σίγουρος είσαι ότι η ταχύτητα 40 km/h είναι μικρή? ΑΠ: 90% είναι και λίγο μέτρια. ΕΡ: πόσο σίγουρος είσαι ότι η ταχύτητα 60 km/h είναι μικρή? ΑΠ: λίγο ένα 10-20% διότι 60 km/h ταχύτητα είμαι πιο σίγουρος ότι είναι μέτρια. Άρα, κάθε σύνολο Α, Β, Γ δεν περιλαμβάνει απλά κάποια στοιχεία από το δίστημα [0.120] αλλά τα στοιχεία που περιλαμβάνει συνοδεύονται και από ένα βαθμό βεβαιότητας σχετικά με τη συμμετοχή

42 3.1 Βασικές Αρχές Ασαφούς Λογικης 30 τους στο εν λόγω σύνολο. Με αυτή την έννοια τα σύνολα Α,Β,Γ είναι ασαφή καθώς δεν είναι (τελείως) ξεκάθαρο αν περιλαμβάνουν ή δεν περιλαμβάνουν κάποιο στοιχείο. Αν κάνουμε παρόμοιες ερωτήσεις για μέτρια και για μεγάλη ταχύτητα και παραστήσουμε γραφικά τη βεβαιότητα του οδηγού από 0 έως 1 συναρτήσει της ταχύτητας, θα πάρουμε το ακόλουθο σχήμα (Σχήμα 3.1). Σχήμα 3.1: Γραφική απεικόνιση ασαφών συνόλων (πηγή [24]) Για παράδειγμα, για ταχύτητα 32 km/h μπορούμε να πούμε ότι είναι μικρή με βαθμό βεβαιότητας 0.8 και μέτρια με βαθμό βεβαιότητας 0.3. Ο βαθμός αυτός βεβαιότητας ονομάζεται ό ή μιας τιμής στο αντίστοιχο ασαφές σύνολο που εκφράζεται από την συνάρτηση. Η περιγραφή μιας μεταβλητής ως προς τη συμμετοχή της στα ασαφή σύνολα ονομάχεται ονομάζεται διαμερισμός της μεταβλητής και η περιγραφή μιας αυστηρά αριθμητικής τιμής ως προς τη συμμετοχή της σρα ασαφή σύνολα, όπως για παράδειγμα η ταχύτητα των 32 km/h, ονομάζεται ασαφοποίηση (fuzzification) της crisp τιμής. Οι συναρτήσεις του Σχήματος 3.1 ονομάζονται συναρτήσεις συμμετοχής (membership functions). Η μορφή των συναρτήσεων συμμετοχής δεν είναι απαραίτητα τραπεζοείδης αλλά μπορούν να έχουν οποιαδήποτε μορφή, π.χ. τριγωνική, Γκαουσιανή, γενικευμένη τραπεζοειδής η ακόμα και μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή. Διάφοροι τύποι συναρτήσεων συμμετοχής που αναπαριστούν ασαφή σύνολα απεικονίζονται στο Σχήμα 3.2.

43 3.1 Βασικές Αρχές Ασαφούς Λογικης 31 Σχήμα 3.2: Διάφοροι τύποι συναρτήσεων συμμετοχής Στην περίπτωση όπου η συνάρτηση συμμετοχής λαμβάνει συγκεκριμένη αριθμητική τιμή, έχουμε ένα εκφυλισμένο ασαφές σύνολο που ονομάζεται αυστηρό ή crisp ασαφές σύνολο. Η συνάρτηση συμμετοχής πρέπει να έχει συγκεκριμένες ιδιότητες προκειμένου να αναπαραστήσει ένα ασαφές σύνολο,. Το πεδίο τιμών της πρέπει να είναι το σύνολο [0,1] και πρέπει επίσης να είναι γνησίως αύξουσα μέχρι την ανώτατη τιμής της και εν συνεχεία γνησίως φθίνουσα μέχρι το τέλος του πεδίου ορισμού της. Από την μέχρι τώρα ανάλυση είναι προφανές ότι ένα ασαφές σύνολο εκφράζει κατανομή δυνατότητας (possibility distribution) και όχι κατανομή πιθανότητας (probability distribution), ενώ ο βαθμός συμμετοχής μιας τιμής x σε ένα ασαφές σύνολο συμβολίζει το βαθμό της συγγένειας της x στον εν λόγω ασαφές σύνολο. Επίσης, σύμφωνα με την ασαφή λογική μια τιμή x μπορεί να ανήκει ταυτόχρονα στο πεδίο ορισμού περισσότερων του ενός ασαφών συνόλων και κατα συνέπεια να υπακούει σε περισσότερες από μία συναρτήσεις συμμετοχής. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία πιθανοτήτων όπου μια τυχαία μεταβλητή ακολουθεί μία και μόνο δεδομένη κατανομή πιθανότητας.