Σημειώσεις του Μαθήματος «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων»

Transcript

1 Σημειώσεις του Μαθήματος «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων» Θωμάς Καμαλάκης Λέκτορας Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεματικής του Χαροκοπείου Πανεπιστημίου

2 Σκοπός και Περιεχόμενο του Μαθήματος To μάθημα «Διάδοση Τηλεπικοινωνιακών Σημάτων» έχει την φιλοδοξία να σας μυήσει στα μυστικά της μεταφοράς της πληροφορίας από το ένα σημείο στο άλλο. Η μεταφορά αυτή λαμβάνει χώρα με την βοήθεια ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Κάθε φορά που απαντάμε το τηλέφωνο ή συνδεόμαστε στο internet, η αντίστοιχη συσκευή αποτυπώνει το μήνυμα που θέλουμε να μεταδώσουμε σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το οποίο διαδίδεται είτε στην ατμόσφαιρα, στην περίπτωση των ασύρματων τηλεπικοινωνιών, είτε σε ένα καλώδιο (το οποίο πιο επίσημα πλέον θα ονομάζουμε κυματοδηγό) στην περίπτωση των ενσύρματων. Χωρίς τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και την θεωρία που τα περιγράφει, όλες οι τηλεπικοινωνιακές υπηρεσίες που απολαμβάνουμε δεν μπορούσανε να υλοποιηθούν. Το μάθημα διδάσκεται στο 5 ο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεματικής του Χαροκοπείου Πανεπιστημίου και οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν μια προσπάθεια να σας δώσουν όσο το δυνατόν πιο στοχευμένη γνώση στο θέμα, όχι από την οπτική γωνία ενός φυσικού αλλά από αυτή ενός επιστήμονα πληροφορικής και τηλεπικοινωνιών. Ωστόσο, επειδή η διάδοση των σημάτων διέπεται από τους νόμους του ηλεκτρομαγνητισμού δεν είναι δυνατόν να την κατανοήσουμε χωρίς να έχουμε κάποιες στοιχειώδεις γνώσεις των βασικών νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού και συγκεκριμένα των εξισώσεων του Maxwell. Έχω προσπαθήσει να γράψω τις σημειώσεις αυτές έτσι ώστε να είναι αυτοδύναμες και να μην χρειάζεται κάποιο προηγούμενο μάθημα Φυσικής για την κατανόηση τους. Προετοιμαστείτε όμως για ένα μικρό σοκ καθώς θα πρέπει να μάθετε τα βασικά μαθηματικά εργαλεία της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας, δηλαδή τον τελεστή και τις ιδιότητες του. Μην ανησυχείτε όμως! Το αντικείμενο είναι πιο εύκολο από ότι αρχικά θα πιστέψετε. Παράλληλα θα αποκτήσετε μια ιδέα του πως αντιμετωπίζουμε τα πράγματα με επιστημονικό τρόπο: ξεκινάμε με κάποια αξιώματα και χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά και κάποια άλλα νοητικά εργαλεία όπως η διαίσθηση μας φτιάχνουμε ένα λογικό οικοδόμημα το οποίο το ονομάζουμε θεωρία και που είναι σε θέση να ερμηνέυσει πληθώρα φυσικών φαινομένων και να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό διαφόρων πρακτικών εφαρμογών.

3 Συχνά οι θεωρίες ανατρέπονται, δηλαδή παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα τα οποία δεν επαληθεύουν τις προβλέψεις τους. Νέες θεωρίες τότε γεννιούνται όπως συνέβει για παράδειγμα στην περίπτωση της της γενικής σχετικότητας του Αινστάιν ανέτρεψε το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτων. Ωστόσο οι παλιές θεωρίες δεν χάνουνε την αξία τους: για παράδειγμα, εφόσον οι ταχύτητες των σωμάτων είναι μικρές, η θεωρία του Νεύτωνα δίνει πολύ ακριβή αποτελέσματα και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει απάντηση σε πρακτικά προβλήματα. Το ίδιο συμβαίνει και με τον ηλεκτρομαγνητισμό. Οι 4 εξισώσεις του Maxwell περιγράφουν με μεγάλη ακρίβεια τη διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο χώρο στις περιπτώσεις που μας ενδιαφέρουν παρά το γεγονός ότι σήμερα γνωρίζουμε μία πιο πλήρη ηλεκτρομαγνητική θεωρία που μπορεί να περιγράψει με ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια την αλληλεπίδραση της ύλης με την ακτινοβολία, την κβαντική ηλεκτροδυναμική. Στο μάθημα θα χρησιμοποιήσουμε την κλασική θεωρία του Maxwell παραλείποντας κβαντικά φαινόμενα τα οποία βρίσκουν εφαρμογή στη γέννεση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος, αλλά δεν παίζουν κάποιο σημαντικό ρόλο στη διάδοση του αυτή καθεαυτή στις διατάξεις που θα μελετήσουμε. Είναι ένα ενδιαφέρον ταξίδι το οποίο είχα ξεκινήσει και εγώ όταν ήμουνα φοιτητής και ακόμα συνεχίζω. Ελπίζω να σας αρέσει και εσάς όσο είχε αρέσει και σε εμένα. Κλείνοντας, μία οικολογική σύσταση: Παρακαλώ πολύ μην τυπώνετε το κείμενο αυτό, αλλά προσπαθείστε να το διαβάσετε από την οθόνη του υπολογιστή σας! Λυπηθείτε τα δέντρα που χάνονται όταν δεν το κάνετε! Θωμάς Καμαλάκης Καλοκαίρι.

4 Κεφάλαιο : Τα μαθηματικά εργαλεία Με τον όρο θεωρία συχνά εννοούμε ένα σύνολο βασικών αξιωμάτων τα οποία με κατάλληλη επεξεργασία μπορούν να εξηγήσουν ένα πλήθος από φαινόμενα. Για παράδειγμα, οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα που μαθαίνουμε στο σχολείο, αποτελούν ένα συμπαγές σύνολο αξιωμάτων που είναι σε θέση να ερμηνεύσουν την κίνηση των διαφόρων σωμάτων. Ωστόσο, οι νόμοι του Νεύτωνα δεν έχουνε καμία αξία αν δεν διατυπωθούν με την μορφή εξισώσεων οι οποίες με την κατάλληλη μαθηματική επεξεργασία, μπορούν να ερμηνεύσουν την συμπεριφορά ενός σώματος στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει. Δεν είναι άλλωστε τυχαίο πως ο Νεύτωνας ο οποίος σύμφωνα με τους ιστορικούς ήτανε ένας πολύ δύσκολος χαρακτήρας, εκτός από μεγάλος φυσικός, θεωρείται και μεγάλος μαθηματικός. Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουμε τα βασικά μαθηματικά εργαλεία τα οποία θα χρησιμοποιήσουμε στην ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στα παρακάτω κεφάλαια. Πολλοί άνθρωποι πιστεύουν πως η μαθηματική μορφή των εξισώσεων Maxwell είναι δύσκολη στην κατανόηση αλλά κάνουνε λάθος! Απλά θα πρέπει κανείς να συνηθίσει τους διάφορους συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται για να γλιτώνουμε χώρο στο χαρτί (και στο μυαλό!).. Διανύσματα Η έννοια του διανύσματος είναι γνωστή σχεδόν σε όλους μας: Ένα διάνυσμα είναι εν μέρει ένα ευθύγραμμο τμήμα το οποίο συνδέει δύο σημεία Α και Β. Και λέμε «εν μέρει» γιατί σε κάθε διάνυσμα θα πρέπει να προσδώσουμε και μία φορά, δηλαδή να αποφασίσουμε αν πηγαίνει από το Α στο Β όπως δείχνουμε στο Σχήμα -, ή από το Β στο Α. Σχήμα -: Η έννοια του διανύσματος Στον τρισδιάστατο χώρο, κάθε διάνυσμα a καθορίζεται από τρεις συντεταγμένες ax,ay και a όπως δείχνει το και συχνά γράφουμε a = ( a, a, a ) (.) x y

5 Σχήμα -: Οι συντεταγμένες του διανύσματος Μπορούμε να ορίσουμε διάφορες πράξεις για τα διανύσματα: η πρώτη είναι η πρόσθεση διανυσμάτων. Αν θεωρήσουμε και ένα δεύτερο διάνυσμα b το οποίο έχει συντεταγμένες b = ( b, b, b ) (.) x y τότε το άθροισμα των δύο διανυσμάτων σχηματίζεται πολύ απλά προσθέτοντας τις συντεταγμένες τους, δηλαδή: ( ax bx, ay by, a b) a+ b = (.3) Επίσης μπορούμε να ορίσουμε και τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν πραγματικό ή μιγαδικό αριθμό λ ( λax, λay, λa) λa = (.4) Όπως φαίνεται από την (.4), το διάνυσμα λa σχηματίζεται αν απλά πολλαπλασιάζουμε κάθε συντεταγμένη του διανύσματος a με λ. Δύο διανύσματα b και a διανύσματα είναι παράλληλα αν υπάρχει ένα λ τέτοιο ώστε b=λa (.5) Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσει κανείς πως αν ορίσει τα διανύσματα x, y και ως x = (,,) (.6)

6 y = (,,) (.7) = (,,) (.8) τότε χρησιμοποιώντας τις (.3) και (.4), κάθε διάνυσμα του τρισδιάστατου χώρου μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των τριών αυτών διανυσμάτων, δηλαδή: a= a x+ a y+ a (.9) x y Τα μέτρο ενός διανύσματος είναι το μήκος του και δίνεται από την σχέση a = a + a + a (.) x y Τα μέτρα των x, y και είναι ίσα με την μονάδα και για το λόγο αυτό τα διανύσματα x, y και καλούνται μοναδιαία. Τα διανύσματα μπορούν να πολλαπλασιαστούν και μεταξύ τους! Έχουμε μάλιστα δύο είδη γινομένων: το εσωτερικό και το εξωτερικό. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων δεν είναι διάνυσμα αλλά αριθμός (ή όπως συχνά το αποκαλούμε βαθμωτό μέγεθος) και ορίζεται από την εξίσωση Παρατηρείστε ότι a b = a b + a b + a b (.) x x y y a a= axax+ ayay + aa = a (.) Το εξωτερικό γινόμενο είναι λίγο πιο πολύπλοκο. Καταρχήν είναι διάνυσμα και οι συντεταγμένες του καθορίζονται από την a b= ( a b b a ) x ( a b b a ) y+ ( a b b a ) (.3) y y x x y y Επειδή κατά κοινή ομολογία ο τύπος (.3) είναι κάπως πολύπλοκος υπάρχει ένας πιο απλός τρόπος να τον θυμόμαστε χρησιμοποιώντας μία ορίζουσα. Αν γράψουμε x y a b = a a a (.4) x y b b b x y τότε αν εφαρμόσουμε τις ιδιότητες των οριζουσών, θα έχουμε ay a ax a a x ay a b = x b b y b b + (.5) b b y x x y Αν υπολογίσουμε τις ορίζουσες τότε καταλήγουμε στην (.3). Το εξωτερικό γινόμενο έχει την ιδιότητα

7 a b= b a (.6) Επομένως η (.4) είναι ένας απλός τρόπος να θυμόμαστε τον τύπο του εξωτερικού γινομένου. Είναι σχετικά απλό να δείξει κανείς πως όταν τα διανύσματα a και b είναι παράλληλα τότε αφού ισχύει η (.5) θα έχουμε: x y a b= a ( λa ) = a a a = (.7) x y λa λa λa x y Δύο διανύσματα είναι κάθετα αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή a b = (.8) Τα διανύσματα x, y και είναι κάθετα μεταξύ τους. Επίσης χρησιμοποιώντας την (.3) μπορούμε να δείξουμε ότι x y= (.9) y = x (.) x= y (.) To εσωτερικό και το εξωτερικό γινόμενο έχουν μερικές πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες που απορρέουν από τους ορισμούς τους. Αναφέρουμε μερικές: ( a+ b) c= a c+ b c (.) ( a+ b) c= a c+ b c (.3) a ( b c) = b ( c a) = c ( a b ) (.4) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c (.5) ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( b c)( a d ) (.6) Η τελευταία ιδιότητα έχει μία πολύ ενδιαφέρουσα συνέπεια. Αν θέσουμε c=a και d=b τότε παίρνουμε: ή διαφορετικά, a b = ( a b) ( a b) = ( b b)( a a) ( a b)( a b) = b a a b (.7) a b + a b = b a (.8) Αν δύο διανύσματα είναι κάθετα τότε σύμφωνα με την παραπάνω εξίσωση το μέτρο του εξωτερικό τους γινομένου ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους, δηλαδή,

8 a b = b a (.9). Συστήματα Συντεταγμένων Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε πως κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των x, y και. Ωστόσο είναι συχνά χρήσιμο να επιλέγουμε άλλα μοναδιαία διανύσματα για να εκφράσουμε ένα διάνυσμα. Στη παρούσα ενότητα θα συνοψίσουμε τις βασικές σχέσεις που διέπουν την μετάβαση από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο. Οι εξισώσεις της ενότητας αυτής είναι πολύπλοκες, ωστόσο είναι χρήσιμες όταν θέλουμε να υπολογίσουμε την ακτινοβολία μίας κεραίας όπως θα δούμε στα επόμενα μαθήματα. Προφανώς δεν έχει νόημα να τις αποστηθίσει κανείς αλλά να τις χρησιμοποιήσει όπως ένα τυπολόγιο. Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων οι συντεταγμένες (ρ,φ,) ενός σημείου καθορίζονται από τον παρακάτω μετασχηματισμό x= ρ cosφ y= ρ sinφ = (.3) Η γωνία φ καθορίζεται στο Σχήμα -3. Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων γράφουμε τα διανύσματα μας ως: a= aρρ+ aφφ+ a (.3) όπου οι κυλινδρικές συντεταγμένες καθορίζονται ως εξής: aρ = a cosφ+ a sinφ (.3) x y aφ = a sinφ+ a cosφ (.33) x y

9 a = a (.34) ή σε μορφή πίνακα aρ cosφ sinφ ax a φ = sinφ cosφ a y a a (.35) Σχήμα -3: Συστήματα συντεταγμένων (δεξιά: κυλινδρικό, αριστέρα: σφαιρικό) Εάν γνωρίζουμε τις κυλινδρικές συντεταγμένες, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες αντιστρέφοντας τον πίνακα της (.35) ax cosφ sinφ aρ a y = sinφ cosφ a φ a a (.36) Τα διανύσματα ρ,φ και είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους. Δίνονται από τις σχέσεις: ρ= cosφx+ sinφy φ= sinφx+ cosφy = Στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων που εικονίζεται στο (.37)

10 Σχήμα -3:, έχουμε τις εξής σχέσεις που καθορίζουν τις συντεταγμένες ενός σημείου. x= r sinθ cosφ y= r sinθ sinφ = r cosθ Στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων γράφουμε τα διανύσματα μας ως: (.38) a= a r+ aφ+ aθ (.39) ρ φ θ όπου οι σφαιρικές συντεταγμένες του διανύσματος καθορίζονται ως εξής: ή σε μορφή πίνακα a = a sinθ cosφ+ a sinθ sinφ+ a cosθ (.4) r x y aθ = a cosθ cosφ+ a cosθ sinφ a sinθ (.4) x y aφ = a sinφ+ a cosφ (.4) x aρ sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ax a θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ a = y a φ sinφ cosφ a y (.43) Τα διανύσματα r,φ και θ είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους. Δίνονται από τις σχέσεις: r= sinθ cosφx+ sinθ sinφy+ cosθ θ= cosθ cosφx+ cosθ sinφy sinθ φ= sinφx+ cosφy (.44)

11 Εάν γνωρίζουμε τις σφαιρικές συντεταγμένες, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες αντιστρέφοντας τον πίνακα της (.43) ax sinθ cosφ cosθ cosφ sinφ aρ a y sinθ sinφ cosθ sinφ cosφ = aθ a cosθ sinθ aφ (.45).3 Μερικές Παράγωγοι Στο σχολείο, είχαμε μάθει την έννοια της παραγώγου μίας συνάρτησης f(x). Την συμβολίζαμε μάλιστα με δύο τρόπους είτε ως f (x) είτε ως df(x)/dx. Η παράγωγος ορίζεται από το όριο df ( x ) f ( x) f ( x ) = lim dx x x x x (.46) Τι γίνεται όμως όταν έχουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όπως για παράδειγμα η f(x,y)=x +y ; Μπορούμε να ορίσουμε ένα νέο είδος παραγώγου που θα το ονομάζουμε μερική παράγωγο είτε ως προς την μεταβλητή x είτε ως προς την μεταβλητή y ως εξής: f ( x, y ) = lim f ( x, y) f ( x y ) x x x x x f ( x, y ) = lim y y y y y, f ( x, y) f ( x y ), (.47) (.48) Η (.47) μας δίνει τη μερική παράγωγο της f ως προς τη μεταβλητή x ενώ η (.48) τη μερική παράγωγο της f ως προς την y. Στην πράξη, μπορούμε να υπολογίζουμε την μερική παράγωγο μίας συνάρτησης ως προς μία μεταβλητή χρησιμοποιώντας όλα όσα ξέρουμε για τις συνήθεις παραγώγους, αντιμετωπίζοντας όλες τις άλλες μεταβλητές ως σταθερές. Για παράδειγμα αν f(x,y)=x +y, τότε θα έχουμε f/ x=x αφού όπως είπαμε θα θεωρούμε πως η y είναι σταθερά οπότε (y )/ x=. Παρόμοια θα έχουμε f/ y=y. Τόσο εύκολα! Μπορούμε φυσικά να ορίσουμε και παραγώγους ανώτερης τάξης όπως και στις συνήθεις συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Στην ουσία παραγωγίζουμε παραπάνω από μία φορές. Για παράδειγμα η παράγωγος f/ y υπολογίζεται αν πάρουμε την f, την παραγωγίσουμε μία φορά ως προς y και στη συνέχεια παραγωγίσουμε και το αποτέλεσμα άλλη μια φορά ως προς y. Η f/ y/ x

12 υπολογίζεται αν παραγωγίσουμε μία φορά ως προς x και στη συνέχεια άλλη μία ως προς y. Στην περίπτωση όπου f(x,y)=x 3 +y 3 θα έχουμε: f y = 6 y f = y x (.49) (.5) Σαν τελευταίο παράδειγμα θα θεωρήσουμε την συνάρτηση f(r)=exp(jkxx+jkyy+jk) όπου με j έχουμε συμβολίσει την ρίζα του - και με r το διάνυσμα r=(x,y,). Τότε αν θεωρήσουμε πως τα kx, ky και k είναι σταθερές:.4 Διανυσματικοί Τελεστές f = jkxe x f = jk ye y f = jke j( kxx+ ky y+ k ) j( kxx+ ky y+ k ) j( kxx+ k y y+ k ) (.5) (.5) (.53) Χρησιμοποιώντας την έννοια των διανυσμάτων, μπορούμε να ορίσουμε και διανυσματικές συναρτήσεις. Μία διανυσματική συνάρτηση των συντεταγμένων (x,y,) στην ουσία είναι μία αντιστοίχηση ενός διανύσματος Α σε κάθε σημείο του χώρου r=(x,y,), A( r) = A ( r) x+ A ( r) y+ A ( r) (.54) x y Ένα πρώτο παράδειγμα διανυσματικής συνάρτησης είναι η x + y + A ( x, y, ) = 3x+ 5y+ 6 (.55) 9+ xy Ένα άλλο παράδειγμα: αν Α=(,,3) και k=(3,,) τότε μπορούμε να ορίσουμε μια διανυσματική συνάρτηση που να δίνεται από την σχέση ( ) ( ) ( ) jk r j x y j x y j x y A( r) = A e = e x+ e y+ 3e (.56) όπου προφανώς οι συντεταγμένες της συνάρτησης δίνονται από Ax Ay ( ) j x y ( r ) = e (.57) ( ) ( r ) = e j x y (.58)

13 A ( ) ( r ) = 3e j x y (.59) Μπορούμε να ορίσουμε μία σειρά από τελεστές πάνω στις διανυσματικές ή τις βαθμωτές συναρτήσεις. Με τον όρο τελεστής εννοούμε έναν μετασχηματισμό από μία συνάρτηση σε μία άλλη (διανυσματική ή μη). Ο πρώτος τελεστής που θα μας απασχολήσει είναι η κλίση f μιας βαθμωτής συνάρτησης f(x,y,) η δράση του οποίου περιγράφεται από την παρακάτω σχέση f f f f ( x, y, ) = x+ y+ (.6) x y Το σύμβολο ονομάζεται ανάδελτα. Σύμφωνα με την (.6), η δράση του τελεστή στην βαθμωτή συνάρτηση f έχει ως αποτέλεσμα μία νέα διανυσματική συνάρτηση, οι συντεταγμένες της οποίας καθορίζονται από τις μερικές παραγώγους της f. Για παράδειγμα αν η f είναι μια αρμονική συνάρτηση που δίνεται από την όπου j f ( r ) = e k r (.6) k = ( k, k, k ) (.6) x y τότε εφόσον f = x jk e x jk r, f = y jk e y jk r και f = jk e jk r (.63) εύκολα μπορούμε να δείξουμε πως jk r jk r jk r jk r f = jk e x+ jk e y+ jk e = ( je ) k (.64) x y Η (.64) φανερώνει ότι για τις αρμονικές συναρτήσεις, η δράση του τελεστή f είναι παρόμοια με αυτήν του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος (στην προκείμενη περίπτωση του k) με έναν αριθμό (το jexp(jk r) ). Μπορούμε να ορίσουμε έναν άλλο τελεστή Α για τις διανυσματικές συναρτήσεις, η δράση του οποίου περιγράφεται από την παρακάτω σχέση: A A A x y x y A = + + (.65) O τελεστής Α είναι βαθμωτή συνάρτηση και όχι διάνυσμα και η δράση του ισοδυναμεί με το άθροισμα ορισμένων εκ των παραγώγων των συνιστωσών του Α, σύμφωνα πάντα με την Για παράδειγμα αν

14 A( r) = A (.66) jk e r όπου A = ( A, A, A ) (.67) x y τότε A= jk A e + jk A e + jk A e = j( k A ) e (.68) jk r jk r jk r jk r x x y y Σύμφωνα με την (.68), ο τελεστής Α για τις διανυσματικές αρμονικές συναρτήσεις προκύπτει από το εσωτερικό γινόμενο του πλάτους Α της συνάρτηση με το διάνυσμα k. Όπως αναμένετε, ο επόμενος τελεστής που θα ορίσουμε έχει να κάνει με το εξωτερικό γινόμενο. Ορίζουμε τον τελεστή Α ως εξής: A A A A A A y x y y x y x A= x y+ (.69) Στην περίπτωση όπου η συνάρτηση δίνεται από την (.66), μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι A= jk A (.7) jk e r Ο τελευταίος τελεστής f που χρειαζόμαστε έχει να κάνει με το μέτρο της συνάρτησης και ονομάζεται Λαπλασιανή. Ορίζεται από την σχέση f f f x y f = + + (.7) Στην περίπτωση της αρμονικής συνάρτησης στην (.6), έχουμε ( x y ) jk r jk r f = k + k + k e = k e (.7) Η Λαπλασιανή ορίζεται και την περίπτωση διανυσματικών συναρτήσεων ως εξής: A= A x+ A y+ A (.73) x y Στην περίπτωση της αρμονικής διανυσματικής συνάρτησης (.66), εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι A= k A (.74) Οι διανυσματικοί τελεστές έχουν ορισμένες πολύ χρήσιμες ιδιότητες, ορισμένες εκ των οποίων μοιάζουν με τις ιδιότητες των παραγώγων των βαθμωτών συναρτήσεων. Αναφέρουμε μερικές χρήσιμες ιδιότητες των

15 οποίων η απόδειξη είναι σχετικά εύκολη δεδομένου του ορισμού των τελεστών: ( f) = (.75) ( A ) = (.76) ( fg) = g f + f g (.77) ( ) fa = f A+ f A (.78) A= ( A) A (.79) ( A B) = B A A B (.8) Τέλος μπορούμε να υπολογίσουμε τους τελεστές στο κυλινδρικό και στο σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων. Εδώ παραθέτουμε τους τελικούς τύπους χωρίς απόδειξη. Κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων ψ ψ ψ ψ = ρ + φ + (.8) ρ ρ φ Aφ A A = ( ρ Aρ) + + (.8) ρ ρ ρ φ A A φ Aρ A Aρ A = ρ + + ( ρ Aφ ) ρ φ φ ρ ρ ρ ρ φ (.83) f f f f = ρ + + ρ ρ ρ ρ φ (.84) Σφαιρικό σύστημα συντεταγμένων f f f f = r + θ + φ (.85) r r θ r sinθ φ Aφ A = ( r Ar) + ( Aθ sinθ) + (.86) r r r sinθ θ r sinθ φ r Aθ Ar Ar ( Aφ sinθ) θ ( raφ ) φ A= ( raθ ) r sinθ + + θ φ r sinθ φ r r r θ (.87) f r f sinθ f f = + + r r r r sinθ θ θ r sin θ φ (.88)

16 .5 Τι μάθαμε Το κεφάλαιο αυτό αφορούσε τα μαθηματικά εργαλεία της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας που βασίζεται στις εξισώσεις Maxwell. Παρουσιάσαμε τις βασικές ιδιότητες των διανυσμάτων, εξετάσαμε τα διάφορα συστήματα συντεταγμένων και μάθαμε μερικούς στοιχειώδης διανυσματικούς τελεστές. Τα μαθηματικά εργαλεία που εξετάσαμε, αποτελούν το «αλφάβητο» των εξισώσεων Maxwell. Στα επόμενα κεφάλαια θα χρησιμοποιήσουμε το αλφάβητο αυτό για να εξερευνήσουμε τις ιδιότητες της μετάδοσης των τηλεπικοινωνιακών σημάτων.

17 Κεφάλαιο : Οι εξισώσεις του Maxwell.. Εισαγωγή Τα τηλεπικοινωνιακά σήματα μεταφέρονται μέσω των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι μια ειδική κατηγορία ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αποτελείται από δύο συνιστώσες: την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου Ε και την ένταση του μαγνητικού πεδίου Η. Στην περίπτωση όπου τα φορτία κινούνται με μικρές ταχύτητες, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ηλεκτροστατική προσέγγιση και τον νόμο του Coulomb για να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο Ε. Σύμφωνα με τον νόμο του Coulomb, το ηλεκτρικό πεδίο δημιουργείται εξαιτίας των ηλεκτρικών φορτίων που υπάρχουν στο χώρο. Ένα φορτίο q δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο με ένταση Ε της οποίας το μέτρο δίνεται από την σχέση: E= = q E (.) 4πε R Στην (.), το R είναι η απόσταση μεταξύ το φορτίου q και το σημείου στο χώρο που μετράμε την ένταση. Η σταθερά ε είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού και ισούται με ε= Fm -. q r -r a(r -r ) r q r y x Σχήμα -: Δύο ηλεκτρικά φορτία στο χώρο. Παρατηρείστε πως η απόλυτη τιμή στην (.) εξασφαλίζει πως το μέτρο του διανύσματος Ε θα είναι πάντα θετικό. Το διάνυσμα Ε γράφεται στο σημείο r ως

18 q E( r ) = a( r, r ) (.) 4πε R όπου r είναι η θέση του φορτίου q στο χώρο και το a(r,r) είναι ένα διάνυσμα το οποίο έχει μέτρο ίσο με και συνδέει τα σημεία r και r με κατεύθυνση προς το r. Μπορούμε να δείξουμε πως το διάνυσμα αυτό δίνεται από την σχέση r a( r, r ) = r r r (.3) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι r-r =R μπορούμε να γράψουμε για την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου q E( r) = 4πε r ( r r) r 3 (.4) Σε κάθε άλλο φορτίο q το οποίο βρίσκεται στο χώρο, δρα μία ηλεκτρική δύναμη Fe της οποίας το μέτρο καθορίζεται από το γινόμενο της έντασης με το φορτίο q F e q q = F e = (.5) 4πε r Η διεύθυνση της δύναμης Fe καθορίζεται από την ευθεία που ενώνει τα δύο ηλεκτρικά πεδία. Η φορά της καθορίζεται από το πρόσημο των δύο φορτίων. Σε διανυσματική μορφή η Fe δίνεται από την σχέση: q q Fe = a( r, r ) = qe( r ) (.6) 4πε R Η εξίσωση (.6) μπορεί να ερμηνευθεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος συνίσταται στο να υποστηρίξουμε πως κάθε ηλεκτρικό φορτίο επιδρά με ένα άλλο απευθείας και πως αυτό είναι βασική ιδιότητα του ηλεκτρικού πεδίου. Ο δεύτερος τρόπος είναι να υποστηρίξουμε πως κάθε ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί στον περιβάλλοντα χώρο ένα ηλεκτρικό πεδίο με ένταση Ε(r) και πως το πεδίο αυτό επιδρά με τα άλλα ηλεκτρικά πεδία. Μαθηματικά και οι δύο ερμηνείες είναι σωστές αφού ούτως ή άλλως χρησιμοποιούμε τελικά την σχέση (.6) για να υπολογίσουμε την δύναμη που δέχεται το φορτίο. Από φυσικής άποψης ωστόσο έχουμε χρησιμοποιήσει την έννοια του πεδίου για να περιγράψουμε την αλληλεπίδραση των φορτίων. Παρόμοια μπορούμε να ερμηνεύσουμε και την ένταση του μαγνητικού πεδίου. Ένα φορτίο q το οποίο κινείται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο με ένταση Η θα δεχθεί δύναμη ίση με

19 m ( ) F = µ q v H (.7) όπου μ είναι η μαγνητική διαπερατότητα που στην περίπτωση του κενού και είναι ίση με μ=4π -7 Η/m ενώ v είναι η ταχύτητα του φορτίου q. Ωστόσο τι αποτελεί την πηγή του μαγνητικού πεδίου; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι πιο σύνθετη από ότι στην περίπτωση του ηλεκτρικού πεδίου. Μια πηγή μαγνητικού πεδίου είναι τα κινούμενα ηλεκτρικά φορτία. Μια άλλη πηγή είναι τα μεταβαλλόμενα με το χρόνο ηλεκτρικά πεδία. Η παραπάνω πρόταση έχει πολύ μεγάλες συνέπειες. Σημαίνει πως κάθε φορά που δημιουργείται ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο, δημιουργείται και ένα μαγνητικό πεδίο το οποίο καθορίζεται από τις μεταβολές του ηλεκτρικού πεδίου. Επομένως δεν έχει νόημα να μιλάμε για ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ξεχωριστά αλλά για ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Στην επόμενη ενότητα θα ασχοληθούμε με το πώς αλληλεπιδρούν η ηλεκτρική και η μαγνητική συνιστώσα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Παρουσία και ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, το φορτίο q δέχεται την επίδραση τόσο του ηλεκτρικού όσο και του μαγνητικού πεδίου. Η συνολική δύναμη που δέχεται το φορτίο δίνεται από την σχέση Η παραπάνω δύναμη ονομάζεται δύναμη Lorent... Οι εξισώσεις του Maxwell F= q E+ µ ( v H ) (.8) Οι τέσσερις εξισώσεις του Maxwell έχουνε την παρακάτω μορφή: B E = (Νόμος του Faraday) (.9) t D H= + J (Νόμος του Ampere) (.) t D =ρ (Nόμος του Gauss) (.) B = (Nόμος του Gauss για το μαγνητικό πεδίο) (.) Στις παραπάνω εξισώσεις εμφανίζονται όπως το περιμέναμε οι εντάσεις Ε και Η του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα. Το ρ είναι η πυκνότητα του ελεύθερου φορτίου που υπάρχει στο χώρο. Με τον όρο «ελεύθερο φορτίο» εννοούμε το φορτίο που μπορεί να μετακινηθεί ελεύθερα στο υλικό και οφείλεται σε εξωγενείς παράγοντες. Στο υλικό υπάρχει και φορτίο το οποίο είναι δεσμευμένο (bound) και δεν μπορεί να μετακινηθεί από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Το διάνυσμα J είναι η πυκνότητα του ελεύθερου ηλεκτρικού ρεύματος.

20 Για να καταλάβουμε καλύτερα τα μεγέθη ρ και J ας υποθέσουμε πως στο μέσο μας υπάρχει ένας πληθυσμός από σωματίδια τα οποία μπορούν να κινούνται ελεύθερα (δηλαδή δεν δεσμεύονται από τα άτομα του υλικού) φέρουν ένα ηλεκτρικό φορτίο q και κινούνται με ταχύτητα v. Αν υποθέσουμε πως η πυκνότητα των σωματιδίων ανά μονάδα όγκου είναι n(r), τότε η πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου είναι ίση με ενώ η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος είναι: ρ ( r) = n( r ) q (.3) J( r) = qn( r) v (.4) Εναλλακτικά αν γνωρίζαμε τις θέσεις ri και τις ταχύτητες vi=dri/dt των σωματιδίων αυτών θα γράφαμε τις πυκνότητες αυτές ως ρ( r) = q δ ( r r ) (.5) i i και J( r) = q vδ ( r r ) (.6) i i i όπου η συνάρτηση δ(r) είναι η συνάρτηση του Dirac που τόσο έχετε αγαπήσει από τα μαθήματα των Σημάτων και Συστημάτων. Σχήμα -: Ηλεκτρικά Φορτία που κινούνται ελεύθερα σε ένα μέσο. Υπάρχουνε άλλα δύο μεγέθη που πρέπει να εξηγήσουμε: Η πυκνότητα ηλεκτρικής και μαγνητικής ροής που στις εξισώσεις του Maxwell συμβολίζονται με D και Β αντίστοιχα. Αν και έχουνε δύσκολα ονόματα, ωστόσο δεν είναι τόσο μεγάλοι πονοκέφαλοι όσο ακούγονται. Η πυκνότητα ηλεκτρικής ροής D έρχεται να περιγράψει την επίδραση των δεσμευμένων φορτίων του μέσου, π.χ. ηλεκτρονίων τα οποία δεν μπορούν να κινηθούν εξαιτίας της ισχυρής έλξης των πυρήνων των ατόμων τους. Στα μέσα που θα μας απασχολήσουν, υπάρχει μία απλή σχέση που συνδέει το D με το Ε που είναι της μορφής: D=εE (.7) όπου το ε ονομάζεται διηλεκτρική σταθερά του μέσου και εξαρτάται από το υλικό. Αξίζει να σημειωθεί πως αν και ονομάζεται διηλεκτρική σταθερά εντούτοις υπάρχουνε μέσα διάδοσης στα οποία μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Επομένως στην γενική περίπτωση το ε μεταβάλλεται με την θέση δηλαδή ε=ε(r). Στην περίπτωση όπου το μέσο είναι το κενό ή ο αέρας η

21 διηλεκτρική σταθερά ισούται με ε=ε= Fm -. Τα πράγματα είναι ακόμα πιο απλά για το μαγνητικό πεδίο. Για τα υλικά που μας ενδιαφέρουν, τα μεγέθη Β και Η συνδέονται με την σχέση B=µ H (.8) όπου όπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα, το μ είναι η μαγνητική διαπερατότητα του κενού που είναι ίση με μ=4π -7 Η/m. Αν συνδυάσουμε τις (.7) και (.8) μπορούμε να απαλείψουμε τα Β και D από τις εξισώσεις του Maxwell και να τις γράψουμε στην εξής μορφή: = µ H E (.9) t ε E H= + J (.) t ( ε ) Ε = ρ (.) Η = (.) Παρατηρείστε πως η (.) προέκυψε από την (.) χρησιμοποιώντας την (.8) και το γεγονός πως το μ δεν εξαρτάται από την απόσταση. Στην (.) έχουμε κρατήσει το ε εντός του τελεστή επειδή δεν γνωρίζουμε αν το ε εξαρτάται ή όχι από την απόσταση. Στον ελεύθερο χώρο φυσικά το ε είναι ίσο με το ε. Επίσης αν θεωρήσουμε πως βρισκόμαστε σε μία περιοχή του χώρου όπου δεν υπάρχουνε ελεύθερα φορτία τότε J= και ρ=, επομένως οι εξισώσεις του Maxwell γράφονται ως εξής: = µ H E (.3) t =ε E H (.4) t Ε = (.5) Η = (.6) Παρατηρείστε πόση μεγάλη οικονομία χώρου επιφέρει ο τελεστής. Αν δεν χρησιμοποιούσαμε τον τελεστή αυτό τότε θα έπρεπε να γράψουμε τρεις εξισώσεις με μερικές παραγώγους για κάθε συνιστώσα των διανυσμάτων Ε και Η τόσο στην (.3) όσο και στην (.4). Ωστόσο παραμένει το ερώτημα: «τώρα που γράψαμε τις εξισώσεις Maxwell πως θα τις λύσουμε;». Με αυτό το ερώτημα θα ασχοληθούμε στα επόμενα κεφάλαια. Ένα πρώτο εργαλείο που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων, την οποία θα εξετάσουμε στην επόμενη ενότητα.

22 .3. Ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων Γνωρίζουμε πως ένα σήμα x(t) είναι στην ουσία μία συνάρτηση του χρόνου. Ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε που μεταφέρει ένα σήμα θα είναι επομένως μία συνάρτηση του χρόνου και της απόστασης, δηλαδή E= E( r, t) (.7) όπου με κάποιον τρόπο έχουμε αποτυπώσει το σήμα στις χρονικές μεταβολές του πεδίου. Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό Fourier, μπορούμε να αναπαραστήσουμε το σήμα μας στο πεδίο των συχνοτήτων: + jωt x( t) = X ( ω) e dω π (.8) όπου το Χ(ω) είναι το φάσμα του σήματος και υπολογίζεται ως εξής: + jωt X ( ω) = x( t) e dt (.9) Την ίδια διαδικασία ακολουθούμε για κάθε συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου. Για την x συνιστώσα έχουμε όπου + jωt Ex( r, t) = Ex(, ω) e dω π % r (.3) j t E % ω ( r, ω) E ( r, t) e dt (.3) x + = Οι υπόλοιπες συνιστώσες αναλύονται με τον ίδιο τρόπο. Τελικά σε διανυσματική μορφή αναλύουμε το ηλεκτρικό πεδίο ως εξής: + x jωt E( r, t) = (, ω) e dω π E % r (.3) + = jωt E( r, ω) E% ( r, t) e dt (.33) Η εξίσωση (.3) μας πληροφορεί πως ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να γραφεί ως άθροισμα πεδίων των οποίων η χρονική μεταβολή είναι αρμονική, δηλαδή της μορφής exp(jωt). Αντί επομένως να λύσουμε τις εξισώσεις Maxwell ως προς το χρόνο μπορούμε να Θυμηθείτε πως το ολοκλήρωμα της (.3) είναι στην ουσία ένα άθροισμα!

23 θεωρήσουμε πεδία με αρμονική μεταβολή και να τις λύσουμε στο πεδίο των συχνοτήτων όπου απλοποιούνται ακόμα περισσότερο. Πράγματι αν θεωρήσουμε αρμονικές μεταβολές, δηλαδή ότι E= E ( ) j t r e ω (.34) H= H ( ) j t r e ω (.35) τότε οι εξισώσεις Maxwell (.3)-(.6) θα γραφτούν ως εξής: E = jωµ H (.36) H = jωε E (.37) E = (.38) H = (.39) όπου οι χρονικές παράγωγοι έχουν αντικατασταθεί με το jω εφόσον e t jωt = jωe jωt (.4) Οι εξισώσεις (.36)-(.39) αποτελούν τις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων στην περίπτωση του κενού. Είναι προφανές πως σε παρόμοια μορφή θα μπορούσαμε να φέρουμε τις (.3)-(.6) αλλά και τις (.9)-(.). Θα πρέπει να σημειώσουμε πως αρμονικά πεδία exp(jωt) δεν υπάρχουνε στη φύση επειδή το exp(jωt) είναι ένα μιγαδικό σήμα και ως γνωστό κανένας δεν έχει καταφέρει να μετρήσει μιγαδικά σήματα σε έναν παλμογράφο. Επομένως μήπως δεν έχει νόημα η ανάλυση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο πεδίο των συχνοτήτων; Η απάντηση βρίσκεται στο ότι, όταν κάποιος συνθέτει τα σήματα στο πεδίο του χρόνου θα πρέπει να χρησιμοποιήσει την εξίσωση (.8) (ή αντίστοιχα την (.3) αν πρόκειται για ηλεκτρικό πεδίο) και η ολοκλήρωση θα εξασφαλίσει πως το τελικό πεδίο είναι πραγματικό. Θεωρείστε για παράδειγμα πως το πεδίο μας έχει την μορφή ( ωt φ) E( r, t) = E cos + (.4) όπου το Ε είναι ένα πραγματικό διάνυσμα και σταθερό (δεν εξαρτάται από το r). Το πεδίο (.4) είναι πραγματικό και επομένως υπάρχει ελπίδα να το συναντήσουμε κάποτε στον πραγματικό κόσμο. Η (.4) γράφεται και ως Ελπίζω να το θυμάστε αυτό από το εργαστήριο Ηλεκτρονικής!

24 jφ jωt jφ jωt E( r, t) = Ee e + E e e (.4) Στην ουσία η (.4) δείχνει πως ενώ στο πεδίο των συχνοτήτων το πεδίο μας έχει μιγαδικό πλάτος ½Εexp(jφ) στην συχνότητα ω και ½Εexp(-jφ) στην συχνότητα ω, τελικά το άθροισμα τους θα μας δώσει ένα πραγματικό πεδίο, επειδή τα πλάτη είναι συζυγή. Η συχνότητες που περιέχονται στο φάσμα του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου έχουνε πολύ μεγάλη σημασία για τις ιδιότητες του και τις εφαρμογές του. Στο Σχήμα -3 παρουσιάζεται το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα και μερικά χαρακτηριστικά του. Ανάλογα με την συχνότητα που βρίσκεται το κύμα μπορεί να γίνει αντιληπτό από το ανθρώπινο μάτι (ορατό φάσμα). Το φως είναι ηλεκτρομαγνητικό πεδίο το οποίο ανήκει στο ορατό τμήμα του φάσματος. Το σχήμα αναφέρει και άλλες ιδιότητες των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων τις οποίες θα εξετάσουμε στις επόμενες ενότητες. Σχήμα -3: Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα..4. Οι εξισώσεις Maxwell για επίπεδα κύματα. Θα ασχοληθούμε τώρα με την πιο απλή μορφή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων: τα επίπεδα κύματα. Το επίπεδα κύματα έχουν την εξής μορφή: j( k r+ωt ) E( r, t) = E e (.43) j ( k r+ωt ) H( r, t) = H e (.44)

25 Τα διανύσματα Ε και Η δεν εξαρτώνται από τo r=(x,y,). Τα πεδία αυτά είναι μία ειδικότερη περίπτωση των αρμονικών πεδίων (.34)-(.35), όπου οι χωρικές εξαρτήσεις δίνονται από τις εξισώσεις: E r E (.45) j ( ) e k = r H r H (.46) j ( ) e k = r Το διάνυσμα k ονομάζεται το κυματάνυσμα του επίπεδου κύματος. Τα επίπεδα κύματα είναι μία εξιδανίκευση και δεν υπάρχουν στην φύση (ειδικά εφόσον είναι μιγαδικά!). Ωστόσο κάθε ηλεκτρομαγνητικό σήμα μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα επίπεδων κυμάτων. Αν δεν το πιστεύετε αυτό τότε θυμηθείτε την ανάλυση συχνοτήτων που συζητήσαμε στην προηγούμενη ενότητα. Γράψαμε το ηλεκτρικό πεδίο ως άθροισμα αρμονικών μέσω του ολοκληρώματος της (.3). Γιατί να μην κάνουμε το ίδιο και για τις άλλες μεταβλητές (x,y,) που καθορίζουν την χωρική εξάρτηση του πεδίου; Για να καταλάβουμε την διαδικασία, ας θεωρήσουμε αρχικά μία συνάρτηση του f(x,t) που εξαρτάται μόνο από το x και το t. Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό Fourier, μπορούμε να γράψουμε την f(x,t) ως άθροισμα αρμονικών + jωt f ( x, t) = f ( x, ω) e dω π % (.47) Θα μπορούσαμε να γράψουμε και την f% ( x, ω) επίσης ως άθροισμα αρμονικών αλλά αυτήν τη φορά του x: + jk x f% ( x, ω) = F( k, ω) e dk π (.48) Θα μπορούσαμε βέβαια να κάνουμε μια αλλαγή μεταβλητής στην (.48) και να θέσουμε όπου k το k οπότε: Συνδυάζοντας τις (.47) και (.48), έχουμε + jkx f % ( x, ω) = F( k, ω) e dk π (.49) + + j ( ωt kx) f ( x, t) = F( k, ω) e dωdk 4π (.5) Παρατηρούμε πως σύμφωνα με την (.5), η εν γένει πολύπλοκη συνάρτηση f(x,t) έχει γραφεί ως άθροισμα σημάτων που είναι αρμονικά τόσο ως προς το t όσο και ως προς το x, και μάλιστα μοιάζουν με τα επίπεδα κύματα μας, με την διαφορά βέβαια πως τα τελευταία έχουνε το διάνυσμα k αντί του k στο

26 εκθετικό τους. Αυτό δεν μας ενοχλεί καθόλου! Αν οι συναρτήσεις μας εξαρτώνται και από άλλες μεταβλητές δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι να τις αναλύσουμε όλες ως άθροισμα αρμονικών. Έτσι το ηλεκτρικό πεδίο γράφεται E( r, t) = dω dkx dk y dke( k, ω) e ω π όπου στο εκθετικό το διάνυσμα k δίνεται από την όπου % j( t k r) (.5) k = ( k, k, k ) (.5) x y ω = % j( ωt k r) (.53) E( k, ω) d dx dy de( r, t) e Η (.5) εκφράζει το ηλεκτρικό μας πεδίο ως άθροισμα επίπεδων κυμάτων της μορφής (.43). Το ίδιο βέβαια μπορεί να γίνει και για το μαγνητικό. Επομένως αν και τα επίπεδα κύματα δεν υπάρχουνε στην φύση, έχει νόημα να τα αναλύσουμε καθώς κάθε ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να θεωρηθεί πως αποτελείται από ένα άθροισμα επίπεδων κυμάτων. Αν αντικαταστήσουμε τις (.45)-(.46) στις εξισώσεις Maxwell (στον κενό χώρο) (.36)-(.39), τότε συμβαίνει κάτι πολύ ευχάριστο. Οι τελεστές που τόσο μας ανησυχούν 3 τελικά εξαφανίζονται και την θέση τους παίρνει το διάνυσμα k. Πράγματι ας θεωρήσουμε το Ε. Αν χρησιμοποιήσουμε την (.69), τότε E E E E E E = + y x y y x y x E x y (.54) όπου έχουμε υποθέσει πως το διάνυσμα Ε έχει τις εξής συνιστώσες: E = ( E, E, E ) = ( E e, E e, E e ) (.55) jk r jk r jk r x y x y Στην (.55), Εx, είναι οι συνιστώσες του διανύσματος Ε στην (.43), δηλαδή: E = ( E, E, E ) (.56) x y Οι μερικές παράγωγοι της (.54) υπολογίζονται εύκολα. Για παράδειγμα E y = jk E e y jk r (.57) 3 Αν και δεν θα έπρεπε!

27 και η (.54) απλουστεύεται ως εξής: {( y y) ( x y ) ( x y y x) } E = je k E k E x k E k E y+ k E k E (.58) jk r Χρησιμοποιώντας την (.3) βλέπουμε ότι ( ) = j j e k r E k E (.59) Παρατηρούμε πως ο τελεστής έδωσε την θέση του στο εξωτερικό γινόμενο k. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με τον, αλλά και με το μαγνητικό πεδίο ( ) j j e k r E k E (.6) = ( ) = j j e k r H k H (.6) = ( ) j j e k r H k H (.6) Χρησιμοποιώντας τις (.59)-(.6) μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις Maxwell (.36)-(.39) ως εξής: k E =ωµ H (.63) k H= ωε E (.64) k E = (.65) k H = (.66) Οι εξισώσεις (.63)-(.66) θα μας βοηθήσουνε να αναλύσουμε τις ιδιότητες των επίπεδων κυμάτων στην επόμενη ενότητα. Παρατηρείστε πως στην (.64) έχουμε θέσει ε αντί ε για να συμπεριλάβουμε την περίπτωση όπου το μέσο έχει διαφορετική διηλεκτρική σταθερά από αυτή του κενού..5. Οι ιδιότητες των επίπεδων κυμάτων. Είναι φανερό πως οι εξισώσεις (.65) και (.66) υποδηλώνουνε πως στα επίπεδα κύματα που διαδίδονται στο κενό (ή στον αέρα), το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου Ε (και επομένως και το Ε αλλά και το Ε) είναι κάθετο στο k όπως διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου Η (και το Η και το Η). Αυτό προκύπτει και από τις (.63) και (.64). Εφόσον το Η είναι το εξωτερικό γινόμενο του k με το διάνυσμα Ε έπεται πως θα είναι κάθετο και με τα δύο. Επίσης εφόσον το Ε είναι το εξωτερικό γινόμενο του k με το διάνυσμα Η έπεται πως θα είναι και αυτό κάθετο και με τα δύο όπως φαίνεται και στο Σχήμα -4.

28 Σχήμα -4: Το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο στον κενό χώρο. Υπάρχει ένας πρακτικός τρόπος για να βρίσκουμε την διεύθυνση και την φορά του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου σε ένα επίπεδο κύμα: Ο κανόνας του δεξιού χεριού. Αν ανοίξουμε τα 3 πρώτα δάκτυλα του δεξιού χεριού ώστε να είναι μεταξύ τους κάθετα και ο αντίχειρας συμπέσει με την κατεύθυνση και τη φορά του k, o δείκτης με την κατεύθυνση του Ε τότε ο μέσος θα δείχνει την κατεύθυνση του Η όπως δείχνει το Σχήμα -5. Σχήμα -5: Ο κανόνας του δεξιού χεριού. Τι άλλο μπορούμε να μάθουμε από τις εξισώσεις (.63)-(.64); Υπάρχει ένας πολύ ενδιαφέρον περιορισμός που θέτουν οι εξισώσεις αυτές στο μέτρο του διανύσματος k. Αν αντικαταστήσουμε την (.63) στην (.64) θα έχουμε k k E = ω µ εe (.67) και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εξωτερικού γινομένου: ( ) ( ) ( ) k k E = k E k k k E = k k E = k E (.68) όπου χρησιμοποιήσαμε και την (.65). Επομένως θα έχουμε =ω µε και αν το Ε δεν είναι μηδενικό, αυτό σημαίνει ότι k E E (.69)

29 k =ω µε (.7) Επομένως το κυματάνυσμα του επίπεδου κύματος δεν μπορεί να έχει αυθαίρετο μέτρο. To μέτρο του θα είναι ανάλογο της συχνότητας και ο συντελεστής αναλογίας θα είναι το (με) /. Έχει κάποια πρακτική αξία αυτή η παρατήρηση; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα ας σκεφτούμε τι μας δείχνει το κυματάνυσμα k. Ας υποθέσουμε πως το διάνυσμα Ε μπορεί να γραφεί ως j E e φ = E r (.7) όπου Εr είναι ένα πραγματικό διάνυσμα. Από ότι φαίνεται από την (.43) το k καθορίζει το πώς μεταβάλλεται η φάση του επίπεδου κύματος. Ας υποθέσουμε επίσης πως το διάνυσμα k είναι παράλληλο με τον άξονα των x. Την χρονική στιγμή t= το ηλεκτρικό πεδίο Ε στα σημεία για τα οποία, k r= θα είναι j E e φ = E r (.7) και επομένως η φάση του Ε στα σημεία αυτά θα είναι ίση με φ. Τα σημεία όπου k r= ανήκουν σε ένα επίπεδο το οποίο είναι κάθετο στο k (και στον άξονα των x) και περνάει από την αρχή των αξόνων όπως δείχνει το Σχήμα -6. Τα σημεία του κύματος που έχουνε όλα την ίδια φάση αποτελούν ένα μέτωπο του κύματος. Όπως δείχνει και το σχήμα, το μέτωπο της φάσης φ την χρονική στιγμή t= είναι το επίπεδο x=. Μετά από χρονικό διάστημα Δt τα σημεία των οποίων η φάση είναι τώρα φ δίνονται από την σχέση k r=ωδt ή ισοδύναμα k (r-r)= όπου r=(ωδt/ k,,). Τα σημεία αυτά ανήκουν σε ένα επίπεδο που είναι πάλι κάθετο στο k και τέμνει τον άξονα τoυ x στο σημείο ωδt/ k. Πρόκειται επομένως για το επίπεδο x=ωδt/ k. Στο χρονικό διάστημα Δt το μέτωπο της φάσης μετακινήθηκε από το x= στο x=ωδt/ k και επομένως διένυσε απόσταση ω t x= = k Από την (.73) συνάγουμε πως το μέτωπο του κύματος κινείται με ταχύτητα v φ x ω = = = t k t µε µε (.73) (.74)

30 Σχήμα -6: Η μεταφορά της φάσης του επίπεδου κύματος Η ταχύτητα vφ με την οποία μετακινείται το μέτωπο ονομάζεται ταχύτητα φάσης. Αν θεωρήσουμε πως το μέσο μας είναι ο κενός χώρος και αντικαταστήσουμε τις τιμές των ε=ε και μ (ε= Fm - και μ=4π -7 Η/m) τότε θα πάρουμε vφ=c=3 8 m/sec. Σας θυμίζει κάτι αυτή η ταχύτητα; Και βέβαια! είναι η ταχύτητα του φωτός c στο κενό. Επομένως δείξαμε πως η φάση ενός ηλεκτρομαγνητικού επίπεδου κύματος ταξιδεύει με την ταχύτητα του φωτός στο κενό κάτι το οποίο δεν είναι καθόλου περίεργο αφού, όπως είδαμε και στα προηγούμενα, το φως είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα σε κατάλληλη συχνότητα. Χρησιμοποιώντας την (.7), μπορούμε επομένως να γράψουμε ότι στο κενό χώρο: ω k = (.75) c Θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί στο γεγονός πως η ταχύτητα φάσης αποτελεί την ταχύτητα που μετακινείται το μέτωπο της φάσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Στην συνέχεια θα δούμε πως η πληροφορία που έχει αποτυπωθεί στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα ενδέχεται να μεταφέρεται με διαφορετική ταχύτητα από την ταχύτητα φάσης. Στο κενό χώρο, οι δύο ταχύτητες ταυτίζονται αλλά αυτό δεν αποτελεί γενικό κανόνα και σε πολλά μέσα δεν ισχύει. Αλλά θα ξαναγυρίσουμε στο θέμα αυτό, σε επόμενη ενότητα. Υπάρχει ένα ακόμα χαρακτηριστικό του επίπεδου κύματος που μας ενδιαφέρει. Αν υποθέσουμε πως το διάνυσμα k έχει συνιστώσα μόνο ως προς τότε η χωρική εξάρτηση του επίπεδου κύματος θα είναι της μορφής: e = e jk r+ ωt jk+ ωt (.76) Από την (.76) προκύπτει πως αν το t είναι σταθερό, η χωρική εξάρτηση επαναλαμβάνεται με περίοδο λ όπου

31 π λ= (.77) k Το λ ονομάζεται μήκος κύματος και αποτελεί μία χαρακτηριστική ιδιότητα του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Το μήκος κύματος στον ελεύθερο χώρο σχετίζεται εύκολα με την συχνότητα αφού ισχύει η (.75), οπότε: π c λ= (.78) ω Είναι επίσης χρήσιμο να ορίσουμε την εμπέδηση του κύματος Ζ η οποία ορίζεται ως το πηλίκο του μέτρου του πλάτους του ηλεκτρικού πεδίου Ε προς το πλάτος του μαγνητικού πεδίου Η. Δεδομένου πως τα Ε και Η είναι μεταξύ τους κάθετα και κάθετα και στο k, η (.63) συνεπάγεται ότι: και χρησιμοποιώντας την (.7) θα έχουμε k E =ωµ H (.79) Z = E ωµ µ H = ω µε = ε (.8) Στην περίπτωση του κενού αν αντικαταστήσουμε ε= Fm - και μ=4π -7 Η/m θα πάρουμε Ζ=376.73Ω που αποτελεί την εμπέδηση του επίπεδου κύματος στον ελεύθερο χώρο. Χρησιμοποιώντας το Ζ μπορούμε να γράψουμε ότι k E k E H = = k = Z k E ( ) n ωµ ωµ k (.8) όπου το kn=k/ k είναι ένα διάνυσμα που είναι παράλληλο στο k και έχει μέτρο την μονάδα. Πριν τελειώσουμε αυτή την ενότητα, θα ορίσουμε και ένα επιπλέον μέγεθος που συχνά χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε τις ιδιότητες ενός υλικού, τον δείκτη διάθλασης. Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού n, δίνεται από την σχέση: ε n= (.8) ε Αν χρησιμοποιήσουμε την (.7) βλέπουμε ότι η σταθερά διάδοσης σχετίζεται με τον δείκτη διάθλασης ως εξής: ωn k = (.83) c

32 Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι ίσος με την μονάδα όπως και ο δείκτης διάθλασης του αέρα..6. Πόλωση των Επίπεδων Κυμάτων Στην προηγούμενη παράγραφο ασχοληθήκαμε με την διεύθυνση του ηλεκτρομαγνητικού επίπεδου κύματος, δηλαδή το διάνυσμα k και είδαμε πως σύμφωνα με το Σχήμα -4, θα πρέπει το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο να είναι κάθετα στο διάνυσμα k. Ωστόσο δεν έχουμε ακόμα ξεκαθαρίσει πως συμπεριφέρνονται τα διανύσματα των εντάσεων Ε και Η με την πάροδο του χρόνου. Επίσης έχουμε αποσιωπήσει και ένα ακόμα ερώτημα: τα διανύσματα Ε και Η μπορεί εν γένει να είναι μιγαδικά, δηλαδή να έχουνε μιγαδικές συνιστώσες. Αυτό δεν δημιουργεί κάποια σύγχυση; Πως μπορεί ένα πεδίο να έχει μιγαδικό πλάτος; Ας ξεκινήσουμε από το τελευταίο ερώτημα. Θυμηθείτε πως τα επίπεδα κύματα δεν υπάρχουν στη φύση αλλά κάθε πραγματικό κύμα μπορεί να αναλυθεί σε υπέρθεση επίπεδων κυμάτων σύμφωνα με την (.5). Επειδή όμως η εξίσωση αυτή μπορεί να σας φαίνεται πολύπλοκη 4 ας θεωρήσουμε ένα πεδίο της μορφής: ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t k+ (.84) x x x ( ω φ ) E ( r, t) = E cos t k+ (.85) y y y E ( r, t ) = (.86) όπου τα Εx, Εy είναι πραγματικοί αριθμοί. Σίγουρα τα (.84)-(.85) είναι πιο «καθώς πρέπει» συνιστώσες πεδίων αφού παίρνουνε πραγματικές τιμές για κάθε r και t. Και όμως μέσα τους κρύβονται δύο επίπεδα κύματα. Αν γράψουμε τις (.84)-(.85) ως: jφ ( ) x j ωt k jφx j( ωt k) Ex( r, t) = Exe e + Exe e (.87) jφ ( ) y j ωt k jφ y j( ωt k) Ey ( r, t) = Eye e + Eye e (.88) τότε αν ορίσουμε το μιγαδικό διάνυσμα 4 Αν και μόνο γαβγίζει κατά τα άλλα δεν δαγκώνει!

33 τότε το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να γραφεί jφx Exe jφ y E = Eye (.89) * j( ωt k ) j( ωt k) j( ωt k) E( r, t) = E e + e = Re{ e } E E (.9) Η (.9) μας πληροφορεί ότι το επίπεδο, μιγαδικό, πεδίο Εexp(jωt-k) αντιστοιχεί στο πραγματικό πεδίο Ε(r,t). Ένα πραγματικό ηλεκτρικό πεδίο (.84)-(.86) αντιστοιχεί σε ένα άθροισμα επίπεδων ηλεκτρικών κυμάτων που μάλιστα το ένα είναι το συζυγές του άλλου. Τα πεδία αυτά έχουνε πλάτος το ένα Ε το οποίο δίνεται από την (.89) ενώ το άλλο το συζυγές του Ε. Οι φάσεις φx και φy των συνιστωσών του Ε αντιστοιχούν στις φάσεις των συνημίτονων των συνιστωσών του πεδίου Ε(r,t). Με τον τρόπο αυτό καταλάβαμε καταρχήν πως είναι δυνατόν τα επίπεδα κύματα να έχουνε μιγαδικά πλάτη και τι σημαίνει αυτό για τα πραγματικά κύματα τα οποία συνθέτουν. Έχουμε να πούμε κάτι ακόμα για τα Εx και Εy της (.84) και (.85); Ας υποθέσουμε πως βρισκόμαστε στο =. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε γραφικά το ηλεκτρικό πεδίο ως ένα σημείο στο επίπεδο (x,y) του οποίου η συντεταγμένες σε κάθε χρονική στιγμή t είναι ( Ex(t),Ey(t) ) όπως δείχνει το Σχήμα -7. Προφανώς το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου Ε είναι το διάνυσμα που ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και καταλήγει στο σημείο (Ex(t),Ey(t)). Με την πάροδο του χρόνου το σημείο (Ex(t),Ey(t)) κινείται πάνω σε μία καμπύλη της οποίας τα χαρακτηριστικά μπορούμε να υπολογίσουμε. Σχήμα -7: Η μεταφορά της φάσης του επίπεδου κύματος Για το σκοπό αυτό επιστρέφουμε στις εξισώσεις (.84)-(.85). Με λίγη απλή τριγωνομετρία

34 { ( ω ) φ ( ω ) φ } Ex = Ex cos t k cos x sin t k sin x (.9) { ( ω ) φ ( ω ) φ } Ey = Ey cos t k cos y sin t k sin y (.9) Αν θεωρήσουμε πως τα Ex και Ey είναι γνωστά τότε από τις (.9)-(.9) είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε τα cos(ωt-k) και το sin(ωt-k). Κατά τα γνωστά υπολογίζουμε την ορίζουσα του συστήματος: Ex cos x Ex sin x D = φ φ ExE y sin( φy φx) E cosφ E sinφ = (.93) y y y y και τις ορίζουσες των αγνώστων: E E sinφ D = = E E E E (.94) x x x c x y sinφy y x sinφx Ey Ey sinφy E cosφ E D = = E E E E (.95) x x x s y x cosφx x y cosφy Ey cosφy Ey Αν η ορίζουσα D είναι ίση με μηδέν τότε το σύστημα έχει λύση μόνο αν Dc=Ds=. Για να είναι D= θα πρέπει Ex= ή Ey= ή sin(φy-φx)=, οπότε φy=φx ή φy=π+φx. Σε κάθε περίπτωση το σημείο (Ex(t),Ey(t)) θα κινείται πάνω σε μία ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Αν Ex= τότε η ευθεία αυτή είναι ο άξονας των y ενώ αν Ey= τότε πρόκειται για τον άξονα των x. Αν φy=φx ή φy=π+φx θα έχουμε: E y E = ± E y x E x (.96) όποτε πρόκειται για μια ευθεία που πάλι περνάει από την αρχή των αξόνων και η κλίση της είναι ±Εy/Εx. Όταν η ορίζουσα δεν είναι μηδέν, τότε επειδή cos (ωt-k)+sin (ωt-k)= θα έχουμε E E y E x y E x sinφy sinφx + cosφx cosφy = sin φy φ x Ex E y Ey E x η οποία αναπτύσσοντας τα τετράγωνα μετατρέπεται στην: E E x y E E x y + cos = sin E x E y Ex Ey ( φy φx) ( φy φx) ( ) (.97) (.98) Από την παραπάνω εξίσωση συνάγουμε πως αν φy=±π/+φx και Εx=Ey=Κ τότε E x E y + = K K (.99)

35 και επομένως τo σημείο (Ex(t),Ey(t)) βρίσκεται πάνω σε ένα κύκλο που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα Κ=Εx=Ey. Στην γενική περίπτωση μπορούμε να δείξουμε πως η εξίσωση (.97) αντιστοιχεί σε μία έλλειψη. Πράγματι αν έχουμε μία εξίσωση της μορφής Ax Bxy Cy F = (.) τότε η (.) είναι έλλειψη αν το Β -4ΑC είναι αρνητικό. Στην περίπτωση μας αυτό ισχύει αφού: B 4AC = 4 cos ( φy φx) < Ex Ey Ex Ey (.) H παραπάνω ποσότητα δεν μπορεί να είναι ίση με επειδή για να έχουμε cos(φy-φx)=± θα πρέπει φy=φx ή φy=π+φx. Στην περίπτωση όμως αυτή είδαμε πως η διακρίνουσα του συστήματος είναι ίση με μηδέν οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την (.97). Συνοψίζουμε τα παραπάνω συμπεράσματα: Έστω πως μας δίνουνε ένα επίπεδο κύμα της μορφής Εexp(jωt-k). Το κύμα δεν συναντιέται μόνο του στη φύση αλλά μπορεί να θεωρηθεί ότι αναπαριστά ένα κύμα με συνημιτονοειδή χωρική και χρονική εξάρτηση που δίνεται από τις (.84)-(.86). Τότε αν γράψουμε το πλάτος Ε του επίπεδου κύματος στην μορφή (.89) και υπολογίσουμε τα Ex, Ey, φy και φx τότε: α) Το σημείο (Ex(t),Ey(t)) θα κινείται πάνω σε μία ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων αν φy=φx ή Ex= ή Ey=. Στην περίπτωση αυτή λέμε πως το κύμα μας έχει γραμμική πόλωση. β) Το σημείο (Ex(t),Ey(t)) θα κινείται πάνω σε έναν κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα Κ αν φy=±π/+φx και Εx=Ey=Κ. Στην περίπτωση αυτή λέμε πως το κύμα μας έχει κυκλική πόλωση. γ) Σε κάθε άλλη περίπτωση το (Ex(t),Ey(t)) θα κινείται πάνω σε μία έλλειψη. Στην περίπτωση αυτή λέμε πως το κύμα μας έχει ελλειπτική πόλωση..7. Οριακές Συνθήκες Μέχρι τώρα θεωρήσαμε πως ο χώρος στον οποίο εξετάσαμε τα κύματα μας ήτανε ομογενής, δηλαδή η διηλεκτρική σταθερά ε δεν εξαρτιόταν από το χώρο και μάλιστα η τιμή της ήτανε ίση με την διηλεκτρική σταθερά του κενού. Αυτή είναι η πιο απλή περίπτωση που μπορούμε να φανταστούμε και μία πιο σύνθετη είναι το μέσο μας να χωρίζεται σε δύο περιοχές με διαφορετική διηλεκτρική σταθερά, όπως φαίνεται στο Σχήμα -8. Για παράδειγμα φανταστείτε κύματα που διαδίδονται πάνω από τη θάλασσα.

36 Κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας η διηλεκτρική σταθερά είναι περίπου ε=8ε (διηλεκτρική σταθερά του νερού) ενώ πάνω από την επιφάνεια της είναι ε=ε (διηλεκτρική σταθερά του αέρα) Σχήμα -8: Ένα ανομοιογενές μέσο Τι συμβαίνει στη διαχωριστική επιφάνεια (=) μεταξύ των δύο περιοχών στα ηλεκτρομαγνητικά πεδία; Σύμφωνα με αυτά που έχουμε πει μέχρι τώρα, οι εξισώσεις Maxwell θα έπρεπε να είναι σε θέση να περιγράψουνε τα φαινόμενα και στις διαχωριστικές. Ναι μεν αλλά Ναι μεν οι εξισώσεις Maxwell το κάνουνε αυτό άλλα όχι στη μορφή που τις έχουμε γράψει. Το πρόβλημα ξεκινάει από το γεγονός ότι η συνάρτηση της διηλεκτρικής σταθεράς ε(x,y,)=ε() για το μέσο που εικονίζεται στο Σχήμα -8 παρουσιάζει μία ασυνέχεια στο = (αφού αλλάζει απότομα τιμή από ε σε ε). Στο (x,y,)=(,,) θα έχουμε σύμφωνα με την εξίσωση (.) θα έχουμε D = [ ε Ex] + ε Ey + [ ε E] = ρ x y (.) Η τελευταία παράγωγος δεν μπορεί να υπολογιστεί επειδή η ε δεν είναι συνεχής στο = και συνεπώς δεν έχουμε λόγο να περιμένουμε να είναι συνεχής και η εe 5. Υπάρχει όμως ένας τρόπος να παρακάμψουμε την δυσκολία αυτή. Ας θεωρήσουμε πως η διηλεκτρική μας σταθερά δεν αλλάζει απότομα αλλά με συνεχή τρόπο όπως δείχνει το Σχήμα Ως γνωστό για είναι παραγωγίσιμη μια συνάρτηση σε ένα σημείο πρέπει να είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

37 Σχήμα -9: Μια πιο ομαλή μεταβολή της ε() Σχήμα -: Ο κύβος που χρησιμοποιούμε για την ολοκλήρωση του D Για την μεταβολή αυτή δεν έχουμε κανένα ενδοιασμό να υπολογίσουμε τις παραγώγους αρκεί βέβαια το Δ να μην είναι ίσο με μηδέν. Ας υποθέσουμε τώρα πως θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα a / a / a / dx dy d D (.3) a / a / a / του D μέσα σε έναν κύβο ο οποίος έχει κέντρο το (,,) και πλευρές του έχουν μήκος α όπως φαίνεται στο Σχήμα -. Για την πρώτη παράγωγο του D θα έχουμε: D a / a/ a / a/ a/ a / x x dx dy d = d dy dx x (.4) x a / a / a / a/ a/ a / και επιπλέον χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι D

38 Dx a a dx = Dx, y, Dx, y, (.5) x a / a / οπότε η εξίσωση μας γίνεται D a a dx dy d = dy dd, y, dy ddx, y, a / a/ a / a/ a / a / a / x x x a / a / a / a/ a / a / a/ (.6) Τα δύο ολοκληρώματα της (.6) είναι πάνω στις πλευρές 3 και 4 του κύβου στο Σχήμα -. Η (.6) μπορεί να γραφεί σε πιο συμπαγή μορφή: D a / a/ a / x dx dy d = dyddx dyddx x (.7) a / a/ a / 3 4 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και τα ολοκληρώματα των άλλων δύο παραγώγων του D. Θα έχουμε a / a / a/ dx dy d D= a / a / a/ dydd dydd + dxdyd dxdyd + dxdd dxdd x x y y (.8) Σχήμα -: Τα κάθετα διανύσματα στην επιφάνεια που περικλείει τον κύβο μας Υπάρχει ένας πιο συμπαγής τρόπος να γράψουμε την (.8). Ο κύβος που χρησιμοποιήσαμε στην ολοκλήρωση περιβάλλεται από μία επιφάνεια S η οποία περιλαμβάνει όλες τις πλευρές του κύβου. Σε κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής μπορούμε να φανταστούμε ένα διάνυσμα ni που θα έχει μοναδιαίο μέτρο και θα είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζει η i πλευρά στην οποία ανήκει το σημείο. Στο Σχήμα - παρουσιάζουμε τα διανύσματα αυτά για τις πλευρές,4 και 5. Τα διανύσματα έχουν φορά τέτοια ώστε να δείχνουν προς τον έξω από τον κύβο χώρο. Από το σχήμα φαίνεται ότι Τα υπόλοιπα διανύσματα δίνονται από την n = x, n = y και n = (.9) 4 5

39 a / a / a/ a / a / a/ n = x, n = y και n = (.) 3 6 dx dy d D= (.) dydn D dydn D+ dxdyn D dxdyn D+ dxdn D dxdn D Τελικά για κάθε σημείο της επιφάνειας S που όπως είπαμε περικλείει τον όγκο του κύβου V, ορίζουμε το διάνυσμα n(x,y,) ώστε να είναι το ni αν το (x,y,) ανήκει στην πλευρά i του κύβου. Η (.) γράφεται V DdV = dsn D (.) Όπως όμως δείχνει η (.), το ολοκλήρωμα του D θα πρέπει να είναι ίσο με το ολοκλήρωμα της πυκνότητας των ελεύθερων φορτίων, δηλαδή V V S S Q= ρdv = DdV = dsn D (.3) όπου Q το συνολικό ελεύθερο φορτίο που περιλαμβάνεται στον όγκο V. Η εξίσωση (.3) είναι ο νόμος του Gauss που μάθαμε και στο σχολείο 6 : «Η ηλεκτρική ροή που εξέρχεται από μία επιφάνεια ισούται με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται στην επιφάνεια αυτή». Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε το νόμο του Gauss για το μαγνητικό πεδίο, δηλαδή dsn B = (.4) S Κερδίσαμε κάτι με αυτή μας την προσπάθεια; Καταρχήν ας σκεφτούμε τι κάναμε: ξεκινήσαμε από την εξίσωση του Maxwell (.) που στην ουσία αποτελεί μία διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους και καταλήξαμε σε μία εξίσωση με ολοκληρώματα, την (.3). Το καλό με τα ολοκληρώματα, είναι ότι ισχύουν και σε συναρτήσεις οι οποίες είναι κατά τμήματα συνεχείς όπως η διηλεκτρική μας σταθερά στο Σχήμα -9 στην περίπτωση όπου το Δ. Αν δεν το πιστεύετε θεωρείστε την βηματική συνάρτηση f(x) που δείχνουμε στο Σχήμα -. Ενώ δεν μπορείτε να υπολογίσετε την παράγωγο στο σημείο x= επειδή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής, εντούτοις μπορείτε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ( x ) dx (.5) 6 Αν θυμάμαι καλά στην Δευτέρα Λυκείου. Δεν αισθάνεστε μια ικανοποίηση που τώρα τον αποδείξατε;

40 το οποίο είναι το εμβαδό που σχηματίζει η f(x) με τον άξονα του x ανάμεσα στις ευθείες x=- και x= Σχήμα -: Μια τμηματικά συνεχής συνάρτηση Λέει κάτι ο νόμος του Gauss για το τι συμβαίνει στο πεδίο όταν υπάρχει μία διαχωριστική επιφάνεια στο μέσο; Ας θεωρήσουμε τον κύβο στο Σχήμα -. Θυμηθείτε πως αυτός ο κύβος έχει κέντρο το (,,) και βρίσκεται ήμισυ στο άνω μέσο στο Σχήμα -8 με διηλεκτρική σταθερά ε και κατά το ήμισυ στο κάτω μέσο με διηλεκτρική σταθερά ε. Σύμφωνα με την (.8) για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του D θα πρέπει καταρχήν να ολοκληρώσουμε το Dx πάνω στις επιφάνειες 3 και 4 και να αφαιρέσουμε τα δύο αυτά ολοκληρώματα. Αν το μήκος της πλευράς του κύβου μας είναι πολύ μικρή (a ) τότε εφόσον η Dx θα πρέπει να είναι συνεχής για > και για < θα έχουμε a a D x, y, D x, y, (.6) Δηλαδή για κάθε σημείο της επιφάνειας 3, έστω (a/,y,) μπορούμε να βρούμε ένα σημείο της 4, το (-a/,y,) το οποίο βρίσκεται στο ίδιο μέσο που θα έχει σχεδόν το ίδιο Dx. Σχεδόν το ίδιο βέβαια είναι σχετικό αλλά αν το υπολογίσετε και βρείτε ότι δεν είναι ικανοποιητικά κοντά τα δύο Dx τότε μπορείτε να μικρύνετε και άλλο το a και τα δύο Dx θα πλησιάσουνε ακόμα περισσότερο 7. Αυτή είναι η ομορφιά της συνέχειας! Τελικά dyddx dyddx (.7) Εφόσον τα σημεία που υπολογίζονται τα Dx θα είναι είτε στο ένα μέσο είτε στο άλλο. Θυμηθείτε πως η μόνη πιθανή ασυνέχεια της Dx είναι στην διαχωριστική επιφάνεια και επομένως θα είχαμε πρόβλημα αν τα σημεία που (a/,y,) και (-a/,y,) ήτανε σε διαφορετικό μέσο πράγμα που δεν συμβαίνει αφού έχουνε το ίδιο.

41 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι Επομένως σύμφωνα με την (.3), dxddy dxddy (.8) 5 6 Q= D dv = dxdyd dxdyd (.9) V Προσέξτε πως δεν μπορούμε να διώξουμε τα δύο ολοκληρώματα επειδή υπολογίζονται σε διαφορετικό μέσο και επομένως μπορεί να υπάρχει μία ασυνέχεια για το D που να μας εμποδίζει να εξισώσουμε τα ολοκληρώματα στην επιφάνεια και. Αν το a είναι πολύ μικρό τότε και διαιρώντας με το a θα έχουμε a a Q= dv a D a D D,,,, (.) V,, a,, a D D Q a (.) Επομένως η συνιστώσα του D η οποία είναι κάθετη με την διαχωριστική επιφάνεια διαφέρει κατά Q/a ακριβώς πάνω και κάτω της διαχωριστικής επιφάνειας. Το ρs=q/a εκφράζει ένα είδος επιφανειακής πυκνότητας φορτίου (αφού μετριέται σε Cb/m ). Επομένως,, a a D D,, ρs (.) Δείξαμε συνεπώς ότι ακριβώς πάνω από την διαχωριστική επιφάνεια το D ενδεχομένως να παρουσιάζει μία ασυνέχεια! Αυτό βέβαια δεν ισχύει στην περίπτωση του Β επειδή σύμφωνα με την (.4), αν κάναμε την ίδια ακριβώς διαδικασία θα είχαμε: a a B,, B,, (.3) Δείξαμε συνεπώς ότι ακριβώς πάνω από την διαχωριστική επιφάνεια το Β ενδεχομένως είναι συνεχές σε αντίθεση με το άτακτο D. Χρησιμοποιώντας παρόμοιο σκεπτικό μπορούμε να αποφανθούμε και για τις υπόλοιπες συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου ως προς τον x και y άξονα. Συνοψίζουμε τα αποτελέσματα: Στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο μέσων ορίζουμε ένα διάνυσμα n το οποίο είναι κάθετο στην επιφάνεια (όπως π.χ. φαίνεται στο Σχήμα -8). Αν D και D είναι οι τιμές του D σε ένα σημείο ακριβώς επάνω και ακριβώς από κάτω από την διαχωριστική επιφάνεια τότε

42 ( ) n D D =ρ (.4) s Ορίζοντας παρόμοια και τα υπόλοιπα διανύσματα πάνω και κάτω από την επιφάνεια έχουμε: ( ) n B B = (.5) ( ) n H H = J (.6) s ( ) n E E = (.7) Στις παραπάνω σχέσεις, D και D είναι η ηλεκτρική ροή ακριβώς πάνω και κάτω από την διαχωριστική επιφάνεια αντίστοιχα και ορίζονται ως: Ομοίως ορίζονται και τα Βi, Ei και Ηi D ( x, y) = lim D ( x, y, ) (.8) + D ( x, y) = lim D ( x, y, ) (.9) Σχήμα -3: Μια διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων. Οι εξισώσεις (.4)-(.7) μας πληροφορούν ότι στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο μέσων, η κάθετη συνιστώσα του D παρουσιάζει μία ενδεχόμενη ασυνέχεια που καθορίζεται από μία ποσότητα που την ονομάσαμε επιφανειακή πυκνότητα φορτίου, οι κάθετη συνιστώσα του Β είναι συνεχής ενώ οι διαμήκεις συνιστώσες του Ε (δηλαδή οι συνιστώσες που είναι κάθετες στο n) είναι συνεχείς και οι διαμήκεις συνιστώσες του Η παρουσιάζουν μία ασυνέχεια που καθορίζεται από το Js το οποίο είναι η επιφανειακή πυκνότητα του ρεύματος στην διαχωριστική επιφάνεια. Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται οριακές συνθήκες των εξισώσεων Maxwell και προκύπτουν, όπως είδαμε από τις ολοκληρωτικές τους μορφές. Στο επόμενο κεφάλαιο θα τις χρησιμοποιήσουμε για να εξετάσουμε τι συμβαίνει

43 όταν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δύο μέσων με διαφορετική διηλεκτρική σταθερά. Κλείνουμε αυτή την ενότητα με μία παρατήρηση. Όταν αποδείξαμε την (.) δεν χρησιμοποιήσαμε καμία ιδιότητα του διανύσματος D που προκύπτει από τις εξισώσεις Maxwell. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία για οποιοδήποτε διανυσματική συνάρτηση Α η οποία είναι παραγωγίσιμη. Επίσης αν και αποδείξαμε την (.) για έναν μικρό κύβο, η σχέση γενικεύεται και στην περίπτωση ενός οποιοδήποτε όγκου V 8. Στην γενική περίπτωση η (.) αναφέρεται ως θεώρημα του Gauss: Έστω ένας όγκος V o οποίος περιβάλλεται από μία επιφάνεια S και έστω Α μία διαφορίσιμη συνάρτηση. Αν n(r) είναι το διάνυσμα το οποίο είναι μοναδιαίο, κάθετο στο σημείο r της S, με φορά από το εσωτερικό του V προς τα έξω, τότε ισχύει V AdV = A n ds (.3) S.8. Ανάκλαση και Διάθλαση κυμάτων Όλοι σχεδόν από εμάς, ιδιαίτερα οι πιο ρομαντικοί έχουμε παρατηρήσει πως όταν το φως προσπίπτει σε μία επιφάνεια που διαχωρίζει ένα μέσο από ένα άλλο τότε ένα τμήμα αυτού ανακλάται. Για το λόγο αυτό το φως της σελήνης ανακλάται στην επιφάνεια της θάλασσας δίνοντας την αίσθηση πως υπάρχει μία νέα πηγή φωτός στην επιφάνεια αυτή. Στην ουσία πρόκειται για ένα τμήμα από τις ακτίνες φωτός της σελήνης οι οποίες ανακλώνται εκεί και καταλήγουνε στα μάτια μας. Ένα άλλο μέρος των ακτινών διεισδύει στο εσωτερικό της θάλασσας. Το φαινόμενο αυτό το ονομάζουμε διάθλαση. Εφόσον οι εξισώσεις Maxwell εξηγούν τα φαινόμενα του ηλεκτρομαγνητισμού και επομένως και του φωτός περιμένουμε να έχουνε κάτι να μας πούνε τόσο για το φαινόμενο της διάθλασης όσο και για το φαινόμενο της ανάκλασης. Ας εξετάσουμε λοιπόν τι συμβαίνει όταν ένα επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό κύμα προσπίπτει σε μία επιφάνεια που χωρίζει δύο μέσα. Η γεωμετρία του 8 Αν δεν το πιστεύετε αυτό σκεφτείτε πως οποιοσδήποτε όγκος V αποτελείται από μικρά κυβάκια. Αν κάποιος εφαρμόσει την (.) σε κάθε κυβάκι τα ολοκληρώματα n A πάνω στις εξωτερικές επιφάνειες των κύβων θα αλληλοαναιρούνται με αυτά των γειτονικών κύβων και θα παραμείνουν μόνο τα επιφανειακά ολοκληρώματα στην εξωτερική επιφάνεια του όγκου V.

44 προβλήματος παρουσιάζεται στο Σχήμα -4. Σε προηγούμενη ενότητα είδαμε πως κάθε ηλεκτρομαγνητικό κύμα μπορεί να αναλυθεί ως υπέρθεση επίπεδων κυμάτων. Κατά συνέπεια θα ασχοληθούμε με την ειδική περίπτωση όπου τόσο το κύμα που προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια (προσπίπτων), το κύμα που ανακλάται (ανακλώμενο) αλλά και το κύμα που διαθλάται (διαθλώμενο) είναι επίπεδα κύματα. Στο σχήμα έχουμε παραστήσει το κυματάνυσμα ki ενός επίπεδου κύματος το οποίο διαδίδεται στο μέσο διάδοσης και το οποίο προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια που χωρίζει το μέσο από το μέσο. Επίσης έχουμε παραστήσει το κυματάνυσμα kr του ανακλώμενου επίπεδου κύματος και το κυματάνυσμα kt του διαθλώμενου. Σχήμα -4: Η γεωμετρία του προβλήματος της διάθλασης και της ανάκλασης Τα μέσα θεωρούνται πως δεν διαθέτουν ελεύθερα φορτία και στην διαχωριστική επιφάνεια δεν υπάρχει επιφανειακό ελεύθερο φορτία και ρεύμα. Πριν αρχίσουμε την ανάλυση υπάρχουν μερικά σημεία που πρέπει να ξεκαθαρίσουμε. Καταρχήν στο μέσο το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο προκύπτει από το άθροισμα του προσπίπτοντος και του ανακλώμενου κύματος τα οποία θα συμβολίζουμε με (Εi,Ηi) και (Εr,Ηr) αντίστοιχα. Πως διαχωρίζονται τα πεδία αυτά; Οι εξισώσεις Maxwell στην περιοχή θα πρέπει καταρχήν να γραφούν για το συνολικό πεδίο (Εi+Εr,Ηi+Ηr) και όχι για κάθε πεδίο ξεχωριστά. Θα πρέπει επομένως να σκεφτούμε ένα τρόπο να διαχωρίσουμε

45 τα δύο πεδία ώστε να είμαστε σε θέση να τα υπολογίσουμε. Πως γίνεται αυτό; Ας σκεφτούμε τι εννοούμε με τον όρο προσπίπτων κύμα. Είναι ένα κύμα το οποίο αν έλειπε το μέσο θα διαδιδόταν στο μέσο σαν ένα απλό επίπεδο κύμα σαν αυτά που γνωρίσαμε στην ενότητα.4. Επομένως το (Εi,Ηi) υπακούει στις σχέσεις E = jωµ H (.3) i i i i H = jωε E (.3) E i = (.33) H i = (.34) Εφόσον πρόκειται για επίπεδο κύμα, η χωρική εξάρτηση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου θα είναι της μορφής: E = E (.35) i i e jki r i H = H (.36) e jki r i όπου το μέτρο του διανύσματος ki θα καθορίζεται από την σχέση (.7), μόνο που τώρα αντί του ε θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το ε: k = ω µ ε = k (.37) i Τι γνωρίζουμε για το ανακλώμενο κύμα; Πως αν προστεθεί στο προσπίπτων τότε το άθροισμα τους πρέπει να υπακούει στις εξισώσεις Maxwell στο μέσο. Δηλαδή ( ) jωµ ( ) E + E = H + H (.38) i r i r ( ) jωε ( ) H + H = E + E (.39) i r i r ( ) E + E = (.4) i ( ) i r H + H = (.4) Ευτυχώς οι εξισώσεις Maxwell είναι γραμμικές. Έτσι αν αφαιρέσουμε από τις εξισώσεις του συνολικού κύματος (.38)-(.4) από τις (.3)-(.34) λαμβάνουμε τις εξισώσεις για το ανακλώμενο κύμα: r r E = jωµ H (.4) r r r H = jωε E (.43) E r = (.44) H r = (.45)

46 Παρατηρούμε πως το ανακλώμενο κύμα υπακούει τις ίδιες εξισώσεις με το προσπίπτον κύμα. Ωστόσο μην μπείτε στον πειρασμό να υποθέσετε πως αφού υπακούει τις ίδιες εξισώσεις θα είναι και το ίδιο κύμα! Οι εξισώσεις Maxwell είναι διαφορικές εξισώσεις και δεν καθορίζουν πλήρως την λύση. Πάρετε για παράδειγμα την διαφορική εξίσωση d f c f dx + = (.46) η οποία έχει λύση την f(x)=exp(jcx) αλλά και την f(x)=exp(-jcx) που δεν είναι ίσες μεταξύ τους. Το ότι δύο συναρτήσεις επαληθεύουν την ίδια διαφορική εξίσωση δεν συνεπάγεται ότι θα είναι και ίσες και το ίδιο συμβαίνει για τα πεδία μας. Εφόσον όμως το ανακλώμενο είναι επίπεδο κύμα τότε θα έχουμε: Οι εξισώσεις Maxwell επιβάλουν E = E (.47) r r e jk r r r H = H (.48) r e jk r r r k = ω µ ε = k (.49) Το διαθλώμενο κύμα υπακούει τις ίδιες εξισώσεις με το ανακλώμενο και το διαθλώμενο με μόνη διαφορά πως η διηλεκτρική σταθερά του μέσου είναι ε και όχι ε. Το κύμα αυτό θα είναι επίπεδο και η χωρική εξάρτηση Το διαθλώμενο πεδίο θα πρέπει να αποτελεί λύση των εξισώσεων Maxwell στο μέσο, επομένως αν θεωρήσουμε πως είναι επίπεδο, θα έχουμε και E = E (.5) t t e jkt r t H = H (.5) t e jkt r t k = ω µ ε = k (.5) Ας εστιάσουμε τώρα την προσοχή μας στην διαχωριστική επιφάνεια. Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε πως σε κάθε σημείο στην διαχωριστική επιφάνεια επαληθεύουν τις οριακές συνθήκες. Στην περίπτωση που δεν έχουμε ελεύθερα φορτία και ρεύματα στην επιφάνεια θα πρέπει να ισχύουν οι εξής σχέσεις: ( ε ε ) n E / E / = (.53) ( ) n H H = (.54) ( ) n H H = (.55)

47 ( ) n E E = (.56) Παρατηρείστε πως έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι D=εΕ, D=εΕ και Β=μΗ, Β=μΗ στις οριακές συνθήκες (.4)-(.7). Το πεδίο (Ε,Η) είναι το (Εi+Εr,Ηi+Ηr) ενώ το (Ε,Η) είναι το (Εt,Ηt) και οι σχέσεις (.53)-(.56) ισχύουν πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια την οποία μπορούμε να πάρουμε ως το επίπεδο =. Με αυτήν την επιλογή τα σημεία που ισχύουν οι (.53)-(.56) είναι τα r=(x,y,). Αν αντικαταστήσουμε τα πεδία (Εi+Εr,Ηi+Ηr) και (Εt,Ηt) στις (.53)-(.56) και χρησιμοποιήσουμε και τις (.35)-(.36), (.47)-(.48) και (.5)-(.5) τότε θα λάβουμε τις εξής εξισώσεις: n ( E e + E e ) = n E e (.57) ε jki r jk r r jkt r i r t ε ( ) n H e + H e = n H e (.58) jki r jkr r jkt r i r t ( i r ) ( t ) e + e = e jki r jk r r jkt r n H H n H (.59) ( i r ) ( t ) e + e = e jki r jkr r jkt r n E E n E (.6) οι οποίες πρέπει να επαληθεύονται για κάθε r=(x,y,). Μα για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει τα εκθετικά που παρουσιάζονται στις παραπάνω εξισώσεις να έχουνε την ίδια φάση, δηλαδή να ισχύει: k r = k r = k r (.6) i t r Αν επιλέξουμε r=(,,) ή r=(,,) τότε η (.6) συνεπάγεται ότι kix = ktx = krx (.6) kiy = kty = kry (.63) δηλαδή το κυματάνυσμα και των τριών κυμάτων έχουνε τις ίδιες συνιστώσες όταν προβάλλονται πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια =, δηλαδή το επίπεδο που ορίζεται από τους άξονες x,y. Η κατάσταση αυτή φαίνεται στο Σχήμα -5. Το σχήμα δείχνει και έναν τρόπο να απλοποιήσουμε το πρόβλημα: αν στρέψουμε κατάλληλα τους άξονες (x,y) ώστε να γίνουν οι (x,y ) τότε και τα τρία διανύσματα θα έχουν μόνο συνιστώσα ως προς x, δηλαδή kiy = kty = kry = (.64)

48 Σχήμα -5: Τα κυματανύσματα των κυμάτων Θέλουμε να συσχετίσουμε τα διανύσματα ki, kt και kr. Όπως φαίνεται στο Σχήμα -4 και το Σχήμα -5, τα διανύσματα ki, kt και kr σχηματίζουν γωνίες θi, θr και θt με τον άξονα των και έχουμε μέτρο ίσο με k, k και k αντίστοιχα όπως δείχνουν οι (.37),(.49) και (.5). Χρησιμοποιώντας λίγη τριγωνομετρία μπορούμε να γράψουμε: και από την (.6) k sin ix = k θi (.65) k sin tx = k θt (.66) k sin rx = k θr (.67) sinθ = sinθ (.68) i r k sinθ = k sinθ (.69) i Ο δείκτη διάθλασης για τα δύο μέσα δίνεται από τις n ε = και n ε ε Οι εξισώσεις (.68)-(.69) γράφονται και ως εξής i r t ε = (.7) θ = θ (.7) n sinθ = n sinθ (.7) i t

49 Σας θυμίζουνε κάτι οι εξισώσεις αυτές; Και βέβαια! Η πρώτη αποτελεί μέρος του νόμου της ανάκλασης τον οποίο ξέρουμε από την γεωμετρική οπτική και οποίος υπαγορεύει ότι: α) Οι ακτίνες 9 του προσπίπτοντος και του ανακλώμενου φωτός αλλά και της κάθετης στην επιφάνεια ανήκουν στο ίδιο επίπεδο. Αυτό φαίνεται στο Σχήμα -5 εφόσον η κάθετος στην επιφάνεια είναι παράλληλη με το και τα διανύσματα kr και ki (αλλά και το kt) ανήκουν στο επίπεδο (x,) στο οποίο ανήκει και το. Το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται τα kr, ki και το kt το ονομάζουμε επίπεδο πρόσπτωσης (δείτε το Σχήμα -4). β) Η γωνία την οποία η ακτίνα του προσπίπτοντος φωτός με την κάθετη στην επιφάνεια είναι η ίδια με την ακτίνα που σχηματίζει η ακτίνα του ανακλώμενου με την ίδια κάθετο. Αυτό μας το επιβεβαιώνει η (.7). Η εξίσωση (.7) ταυτίζεται με το νόμο του Snell που επίσης γνωρίζουμε από την γεωμετρική οπτική. Δηλαδή δείξαμε ότι οι εξισώσεις του Maxwell συνεπάγονται τον νόμο της ανάκλασης και το νόμο του Snell. Αυτό είναι χαρακτηριστικό μιας καλής θεωρίας! Εξηγεί με ενοποιημένο τρόπο τους εμπειρικούς νόμους που έχουνε διατυπωθεί πριν η θεωρία αυτή γίνει γνωστή. Και μία ενδιαφέρουσα παρατήρηση πριν προχωρήσουμε. Αν n>n τότε η (.7) δείχνει ότι: sinθ n θ t = sin i (.73) n και επομένως για θα έχουμε sin i n n θ > (.74) n sinθ i > (.75) n Συνεπώς υπάρχουνε γωνίες πρόσπτωσης θi που είναι αδύνατον να υπολογίσουμε την γωνία θt. Αυτό σημαίνει πως δεν υπάρχει διαθλώμενο κύμα στην περιοχή και το προσπίπτον ανακλάται πλήρως στην περιοχή. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται ολική ανάκλαση και αποτελεί έναν τρόπο να περιορίσουμε το φως χρησιμοποιώντας ένα υλικό με μικρότερο δείκτη 9 Θυμηθείτε ότι η ακτίνα είναι μια ιδεατή, πολύ στενή δέσμη φωτός. Τα επίπεδα μας κύματα αποτελούνται από πολλές ακτίνες οι οποίες όλες ταξιδεύουν με την κατεύθυνση που δείχνει το κυματάνυσμα k

50 διάθλασης n από ότι το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα μας. Θα δούμε περισσότερα για αυτό όταν ασχοληθούμε με κυματοδηγούς και οπτικές ίνες. Η μέγιστη γωνία για την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε το θt ονομάζεται κρίσιμη γωνία και καθορίζεται από την σχέση,.9. Εξισώσεις Fresnel n sinθ c = (.76) n Στην προηγούμενη ενότητα ασχοληθήκαμε με την κατεύθυνση του ανακλώμενου και το διαθλώμενου κύματος. Τι συμβαίνει όμως με τις εντάσεις των πεδίων τους; Οι εξισώσεις Maxwell μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε και τις εντάσεις των κυμάτων αυτών. Πριν ξεκινήσουμε ας απλοποιήσουμε λίγο το πρόβλημα. Ας υποθέσουμε πως οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου για το προσπίπτον κύμα είναι όπως φαίνονται στο Σχήμα -6. Σχήμα -6: Ηλεκτρικό Πεδίο κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης Στο Σχήμα -6 έχουμε θεωρήσει πως το ηλεκτρικό πεδίο του προσπίπτοντος του ανακλώμενου και του διαθλώμενου κύματος είναι κάθετα στο επίπεδο πρόσπτωσης και επομένως έχουνε συνιστώσα μόνο ως προς x, E y y (.77) j i i Eiy Ei e k = = r E y y (.78) j t t Ety Et e k = = r E y y (.79) j r r Ery Er e k = = r

51 Το μαγνητικού πεδίου που αντιστοιχεί στα παραπάνω πεδία είναι κάθετες στο κυματανύσμα και κάθετες και στο ηλεκτρικό πεδίο. Μας ενδιαφέρουν οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου που είναι παράλληλες με την διαχωριστική επιφάνεια =. Εφόσον το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο ηλεκτρικό δεν μπορεί να έχει y συνιστώσα. Οι x συνιστώσες των μαγνητικών πεδίων δίνονται από την σχέση: H H H rx tx ix E = Z i E = Z E = Z t r cos cos cos j i θie k r j r θre k r j t θte k r (.8) (.8) (.8) Παρατηρείστε πως στις (.8)-(.8) έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός πως το πλάτους του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου συνδέονται μέσω της εμπέδησης του μέσου στο οποίο βρίσκονται σύμφωνα με την (.8). Οι εμπεδήσεις Ζ και Ζ του μέσου και δίνονται από τις σχέσεις: Z µ = και Z ε ε µ = (.83) Τα συνημίτονα στις (.8)-(.8) έχουν προκύψει από την προβολή των διανυσμάτων του μαγνητικού πεδίου στον άξονα των y. Προσέξτε το μείον στην (.8)! Αν εφαρμόσουμε το κανόνα του δεξιού χεριού που είδαμε στο Σχήμα -5 τότε θα προκύψει ότι το ανακλώμενο και το προσπίπτον μαγνητικό πεδίο έχουν κατεύθυνση τέτοια ώστε η προβολή τους πάνω στον x να έχει αντίθετη φορά. Αν γράψουμε τις οριακές συνθήκες στην διαχωριστική επιφάνεια θα έχουμε: Ety = Ery+ Eiy (.84) Htx = H rx+ Hix (.85) Η πρώτη εξίσωση προκύπτει από την (.56) σύμφωνα με την οποία οι συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλη με την διαχωριστική επιφάνεια πρέπει να είναι συνεχής. Επίσης η δεύτερη εξίσωση προκύπτει από την (.55). Χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις των πεδίων, οι εξισώσεις (.84) και (.85) μετασχηματίζονται ως εξής: E = E + E (.86) t r i

52 E E E cosθ = Z Z Z t i r t cosθi (.87) Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις (.86)-(.87) ώστε να εκφράσουμε τα πλάτη του ηλεκτρικού πεδίου του ανακλώμενου και του διαθλώμενου ως προς το πλάτος του προσπίπτοντος. Πραγματοποιώντας τις πράξεις έχουμε: E ε cosθi ε cosθ r t n cosθi n cosθt ρv = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i i t i t (.88) t v E ε cosθ t i n cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i i i i t (.89) Οι συντελεστές ρv και tv ονομάζονται συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης αντίστοιχα για την περίπτωση όπου το ηλεκτρικό πεδίο του προσπίπτοντος είναι κάθετο με το επίπεδο πρόσπτωσης. Σχήμα -7: Ηλεκτρικό Πεδίο παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης Στο Σχήμα -7 παρουσιάζουμε την περίπτωση όπου το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης και επομένως το ηλεκτρικό πεδίο είναι παράλληλο με αυτό. Η συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης υπολογίζονται με παρόμοιο τρόπο ως εξής: ρ t p p E ε cosθt ε cosθ r i n cosθt n cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i t i t i E ε cosθ t i n cosθi = = = E ε cosθ + ε cosθ n cosθ + n cosθ i t i t i (.9) (.9)

53 Στο Σχήμα -8 έχουμε παραστήσει γραφικά τον συντελεστή ανάκλασης για την παράλληλη και την κάθετη πρόσπτωση σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση (δεξιό σχήμα) έχουμε n= και n= οπότε το κύμα διαδίδεται αρχικά στο μέσο με χαμηλότερο δείκτη διάθλασης. Στο αριστερό σχήμα έχουμε υποθέσει ότι n= και n= οπότε το κύμα διαδίδεται αρχικά στο μέσο με μικρότερο δείκτη διάθλασης. Παρατηρούμε ότι στη δεύτερη περίπτωση η γραφική παράσταση δεν εκτείνεται σε όλο τον άξονα την θi καθώς δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το sinθt όταν το θi ξεπερνάει την κρίσιμη γωνία που στην περίπτωση μας είναι θc=.6π. Παρατηρείστε πως κοντά στην γωνία αυτή, έχουμε ρv ρp κάτι που υποδεικνύει ότι το κύμα ανακλάται πλήρως στην διαχωριστική επιφάνεια. ρ v ρ v.5 ρ p.5 ρ p ρ ρ θ /π i θ /π i Σχήμα -8: Συντελεστές ανάκλασης συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης. Στο δεξιό σχήμα έχουμε υποθέσει ότι n= και n= ενώ στο αριστερό, n= και n=.. Ισχύς του Ηλεκτρομαγνητικού Κύματος Όπως είδαμε ήδη από την ενότητα., το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μπορεί να μετακινήσει ηλεκτρικά φορτία και επομένως να παράγει κάποιου είδους έργου. Πράγματι, αν υποθέσουμε ένα ηλεκτρικό φορτίο q το οποίο κινείται με ταχύτητα v και δέχεται την επίδραση ενός ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Ε και Η. Η συνολική δύναμη που δέχεται το φορτίο δίνεται από την δύναμη Lorent, ( ) F= qe+ µ q v H (.9) Για να βρούμε το έργο που παράγεται από την δράση της δύναμης αυτής στο φορτίο q θα πρέπει να σκεφτούμε ως εξής: Έστω πως το φορτίο στο χρονικό διάστημα dt μετακινείται από τη θέση r στη θέση r+dr. Το έργο που παράγεται από την μετακίνηση αυτή δίνεται από την σχέση: { µ ( )} dw = F dr= qe+ q v H dr (.93)

54 Η ενέργεια dw προσφέρεται από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο φορτίο. Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας που προσφέρεται υπολογίζεται από την (.93), διαιρώντας με dt dw dt dr = { qe+ µ q( v H) } = { qe+ µ q( v H) } v (.94) dt όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι v=dr/dt. Η (.94) απλοποιείται περαιτέρω αφού το διάνυσμα v H είναι κάθετο στο v και επομένως (v H) v=, οπότε dw P= = ( qv) E (.95) dt όπου P είναι η ισχύς που προσφέρεται από το πεδίο. Αν υποθέσουμε τώρα πως σε ένα πολύ μικρό όγκο V όπου το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι σταθερό, υπάρχουν Ν φορτία q με ταχύτητες vi v τότε η πυκνότητα ισχύος που προσφέρεται από το πεδίο στα φορτία του όγκου V είναι p loss = P Nq V = v V E = J E (.96) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος J δίνεται από την Nq J= nqv= v (.97) V όπου n=n(r) είναι η πυκνότητα των φορέων του ηλεκτρικού φορτίου (θυμηθείτε την (.4) ). Για να υπολογίσουμε την ισχύ Π που προσφέρει το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε έναν μη στοιχειώδη όγκο θα πρέπει να ολοκληρώσουμε την (.96) σε όλο τον όγκο: plossdv E J dv (.98) V V Π= = Μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ Π χωρίς να χρησιμοποιήσουμε την πυκνότητα του ρεύματος J; Καταρχήν αυτό φαίνεται παράξενο! Πως μπορούμε να εξαλείψουμε την πυκνότητα του ρεύματος J από την (.98); Θυμηθείτε πως οι εξισώσεις Maxwell (.9)-(.) μας δίνουνε έναν τρόπο να συσχετίσουμε την πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Ας ορίσουμε ένα διάνυσμα Χρησιμοποιώντας την (.8), έχουμε S= E H (.99) S= H E E H (.)

55 Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις Maxwell (.9) και (.) στην (.), έχουμε: B D S= H E E J (.) t t Ήδη στην (.) έχει παρουσιαστεί ο όρος Ε J της (.98). Απομένει να ολοκληρώσουμε στον όγκο V, οπότε η (.) δίνει B D SdV = S nds = H dv E dv E J dv (.) t t V S V V V Η πρώτη ισότητα της (.) προκύπτει από το θεώρημα του Gauss που είδαμε στην ενότητα.7. Αποδείξαμε συνεπώς το θεώρημα του Poynting B D E H nds+ H dv + E dv = E J dv (.3) t t ( ) S V V V To δεξιό μέλος της (.3) είναι η ισχύς που προσφέρεται στα κινούμενα φορτία από το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Το αριστερό μέλος μας δίνει έναν τρόπο να υπολογίζουμε τις απώλειες ισχύος γνωρίζοντας μόνο το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο. Αν θεωρήσουμε πως το Β και το D σχετίζονται με τα Ε και Η μέσω των (.7) και (.8) αντίστοιχα, τότε το θεώρημα Poynting εκφράζεται μέσω των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου: H E E H nds+ µ H dv + εe dv = E J dv (.4) t t ( ) Χρησιμοποιώντας το ότι τότε ορίζοντας το μέγεθος S V V V το θεώρημα Poynting γράφεται: ( ) H H = H (.5) t t E E = E (.6) t t u = µ H + ε E (.7) E H nds+ udv = E J dv (.8) t S V V Το u έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα όγκου και αναφέρεται ως η «πυκνότητα της αποθηκευμένης ενέργεια του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου». Το διάνυσμα S ονομάζεται διάνυσμα Poynting και έχει διαστάσεις ισχύος ανά μονάδα επιφανείας. Η (.8) παρέχει έναν τρόπο να υπολογίζουμε τις

56 απώλειες ισχύος του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου χωρίς να γνωρίζουμε το ρεύμα J. Σχήμα -9: Μία λεπτή πλάκα Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Poynting στην στενή διηλεκτρική πλάκα που εικονίζεται στο Σχήμα -9. Στο εσωτερικό της πλάκας υπάρχουνε διάφορα ελεύθερα φορτία και η πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος είναι ίση με J. Αν υποθέσουμε πως στην άκρη της πλάκας το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο είναι πολύ ασθενές τότε και η (.8) γράφεται ως εξής: ( ) ( ) ( ) E H nds E H n ds E H n ds (.9) S S S E H n ds E H n ds= E J dv udv (.) ( ) ( ) t S S V V Σύμφωνα με την (.) η μεταβολή στο επιφανειακό ολοκλήρωμα του διανύσματος S από την επιφάνεια S στην επιφάνεια S ισούται με τις απώλειες ισχύος λόγω των ελεύθερων φορτίων και το ρυθμό μεταβολής της πυκνότητας της ενέργειας του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Υπάρχει μία πιο ενδιαφέρουσα μορφή του θεωρήματος Poynting. Μέχρι τώρα υποθέσαμε πως τα πεδία Ε και Η είναι πραγματικά και έχουν γενική εξάρτηση με τον χρόνο. Τι συμβαίνει για τα αρμονικά πεδία; Ας υποθέσουμε πως το πεδίο μας έχει μία εξάρτηση της μορφής jωt * jωt E( r, t) = E( r) e + E ( r ) e (.) jωt * jωt H( r, t) = H( r) e + H( r ) e (.)

57 Το διάνυσμα S θα έχει μία εξάρτηση ενώ jωt * * jωt * * S( r, t) = ( E H) e + ( E H) e E H + E H ± j ωt * = { οροι που περιέχουν το e } + Re E H (.3) E * ( r j ωt j ωt, t) = [ ( )] e + ( ) e + ( ) 4 E r 4 E r E r (.4) H * ( r j ωt j ωt, t) = [ ( )] e + ( ) e + ( ) 4 H r 4 H r H r (.5) Αν αντικαταστήσουμε τις (.4)-(.5), στην (.7), θα έχουμε: ± j ωt u= ε E( r) + µ H( r ) + { οροι που περιέχουν το e } (.6) Τέλος ας υποθέσουμε πως και το ρεύμα J έχει αρμονική μεταβολή, δηλαδή: Τότε: jωt * jωt J( r, t) = J( r) e + J( r ) e (.7) { * * ± j } { ωt E J= EJ+ E J + οροι που περιέχουν το e } (.8) Αν αντικαταστήσουμε τις (.3) και (.6) στην (.8), θα έχουμε στα δύο μέρη της εξίσωσης όρους που έχουν χρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(jωt), όρους με χρονική εξάρτηση σύμφωνα με το exp(-jωt) και όρους που δεν έχουν καθόλου χρονική εξάρτηση. Οι αντίστοιχοι όροι στα δύο μέρη θα πρέπει να είναι ίσοι (αλλιώς δεν υπάρχει ελπίδα να επαληθεύεται η (.8) για κάθε t!). Συνεπώς: Re ( ) Re E H nds = dv E J (.9) S * * V Η (.9) αποτελεί το θεώρημα Poynting για τα αρμονικά πεδία. Παρατηρείστε πως αν δεν υπάρχουν ελεύθερα ρεύματα (J=) θα πρέπει Re * ( E H ) n ds = (.) S δηλαδή το ολοκλήρωμα του διανύσματος W= Re { E * H } (.)

58 που αποτελεί το διάνυσμα Poynting στην περίπτωση των αρμονικών πεδίων, πάνω σε μία κλειστή επιφάνεια S πρέπει να είναι ίσο με μηδέν! Στην περίπτωση της λεπτής πλάκας που εικονίζεται στο Σχήμα -9, το επιφανειακό ολοκλήρωμα του W πάνω στην επιφάνεια S μείον το ολοκλήρωμα πάνω στην S ισούται με τις απώλειες ισχύος λόγω των ελεύθερων ηλεκτρικών ρευμάτων. Στην περίπτωση που δεν υπάρχουνε ελεύθερα ηλεκτρικά ρεύματα, τότε η μεταβολή στο επιφανειακό ολοκλήρωμα ισούται με μηδέν. Έτσι το επιφανειακό ολοκλήρωμα P = W n ds (.) S μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιπροσωπεύει την ισχύ του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που διέρχεται από την επιφάνεια S. Για ένα επίπεδο κύμα, χρησιμοποιώντας την (.8), η πυκνότητα ισχύος W είναι: { } { } * * Re Re ( ) W= E H = E k n E = E k n (.3) Z Z Για να δείξουμε την (.3) χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι Α (Β C)=(Α C)B-(A B)C και πώς Ε kn=. H (.3) υπονοεί ότι η πυκνότητα ισχύος του επίπεδου κύματος έχει την ίδια διεύθυνση και φορά με το διάνυσμα kn άρα και με το κυματάνυσμα k του επίπεδου κύματος. Στην περίπτωση του προσπίπτοντος, ανακλώμενου και του διαθλώμενου κύματος που είδαμε στην παράγραφο., μπορούμε να υπολογίσουμε τις κάθετες στην διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσες των διανύσματων Poynting χρησιμοποιώντας την (.3). Θα έχουμε Z k n W E E i i = i = i cos i k i Z θ (.4) Z k n W E E r r = r = r cosθr k r Z Z k n W E E t t = t = t cos t k t Z θ (.5) (.6) όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η συνιστώσες των κυματανυσμάτων, δίνονται από τις σχέσεις k cos i = k θi (.7) k cos t = k θt (.8)

59 k cos r = k θr (.9) Χρησιμοποιώντας τους συντελεστές ανάκλασης και διέλευσης, οι (.4)- (.6) θα γραφτούν ως εξής W E k E cosθ i i i = i = n i Z ki Z Z k ρ cosθr W E E Z r r = r = n i k r Z k cos t τ θt t = t = n ι k t Z W E E (.3) (.3) (.3) όπου το ρ μπορεί να είναι είτε το ρv είτε το ρp και το τ μπορεί να είναι είτε το tv είτε το tp. Εφόσον θi=θr, o συντελεστής ανάκλασης ισχύος θα δίνεται από την σχέση: R= ρ (.33) ενώ ο συντελεστής διέλευσης ισχύος θα δίνεται από την σχέση: T n τ n t = (.34) cosθ cosθ i (a).8 (b).8.6 R v.6 R p ρ T v ρ T p θ /π i θ /π i Σχήμα -: Συντελεστές ανάκλασεις και διέλευσης ισχύος στην περίπτωση όπου n=, n= για a) την κάθετη και b) την παράλληλη πόλωση.

60 R v R p.8 T v.8 T p.6.6 ρ ρ θ /π i θ /π i Σχήμα -: Συντελεστές ανάκλασεις και διέλευσης ισχύος στην περίπτωση όπου n= n= για a) την κάθετη και b) την παράλληλη πόλωση. Στο Σχήμα - και στο Σχήμα - έχουμε παραστήσει γραφικά τους συντελεστές ισχύος ανάκλασης και διέλευσης για την περίπτωση όπου n=, n= και n=, n= αντίστοιχα...τι μάθαμε Στο παρόν κεφάλαιο είδαμε τα βασικά εργαλεία του εφαρμοσμένου Ηλεκτρομαγνητισμού που θα χρησιμοποιήσουμε για την μελέτη της μετάδοσης των τηλεπικοινωνιακών σημάτων στον ελεύθερο χώρο, στους κυματοδηγούς και τις οπτικές ίνες. Γνωρίσαμε τις τέσσερις εξισώσεις Maxwell που διέπουν την διάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Ασχοληθήκαμε με μία ειδική περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τα επίπεδα κύματα και υπολογίσαμε την διεύθυνση τους και τις σχέσεις που διέπουν τα ηλεκτρικά και τα μαγνητικά τους πεδία. Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Maxwell, αποδείξαμε τον νόμο της ανάκλασης και το νόμο του Snell ενώ υπολογίσαμε τους συντελεστές διέλευσης και ανάκλασης σε μία επίπεδη επιφάνεια που διαχωρίζει δύο μέσα διάδοσης. Τέλος αποδείξαμε το θεώρημα του Poynting που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των απωλειών ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Αν έχετε φτάσει μέχρι το σημείο αυτό και είστε ακόμα ζωντανοί τότε έχετε ήδη κατακτήσει ένα σημαντικό ποσοστό από τις γνώσεις που χρειάζονται για να καταλάβετε πως διαδίδεται ένα σήμα μέσα σε ένα μέσο διάδοσης. Στο επόμενο κεφάλαιο θα εξετάσουμε πως παράγονται τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα από ένα ηλεκτρικό ρεύμα κάτι που βρίσκει εφαρμογή στην ανάλυση των κεραιών.

61 Κεφάλαιο 3 : Βασικές Αρχές Κεραιών 3.. Εισαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο γνωρίσαμε τις βασικές ιδιότητες των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Πως όμως μπορούμε να παράγουμε ηλεκτρομαγνητικά κύματα; Επίσης πως αποτυπώνουμε την πληροφορία που θέλουμε να μεταδώσουμε στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα; Οι εξισώσεις Maxwell (.9)-(.) περιέχουν το ηλεκτρικό ρεύμα J και την πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου ρ που καθορίζουν την χρονική και χωρική κατανομή των εντάσεων Ε και Η. Όπως συζητήσαμε και στην ενότητα., το κινούμενο ηλεκτρικό φορτίο (δηλαδή το ηλεκτρικό ρεύμα) αποτελεί την πηγή των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων. Για να αποτυπώσουμε επομένως ένα σήμα στο ηλεκτρομαγνητικό μας πεδίο μπορούμε να το αποτυπώσουμε στο ηλεκτρικό ρεύμα J. Πως όμως θα υπολογίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που προκύπτει; Σε επόμενη ενότητα υπολογίζουμε το πεδίο που δημιουργείται από ένα ηλεκτρικό ρεύμα το οποίο κυκλοφορεί σε ένα πολύ λεπτό και μικρό καλώδιο. Πρόκειται για το πιο απλό παράδειγμα κεραίας και ονομάζεται το δίπολο του Hert. Πολλές από τις πιο σύνθετες κεραίες αναλύονται βάση του διπόλου του Hert το οποίο μας επιτρέπει παράλληλα να κατανοήσουμε πολλές από τις βασικές τους αρχές. Ωστόσο πριν εξετάσουμε το δίπολο του Hert ας μετασχηματίσουμε τις εξισώσεις Maxwell σε μια πιο βολική μορφή 3..Διανυσματικό Δυναμικό Τι συμβαίνει όταν στον ελεύθερο χώρο υπάρχει ένα ηλεκτρικό ρεύμα; Η απάντηση είναι κρυμμένη στις εξισώσεις του Maxwell. Πριν όμως αρχίσουμε να ασχολούμαστε με τις εξισώσεις Maxwell, ας κάνουμε την ζωή μας λίγο πιο εύκολη. Ας ορίσουμε ένα νέο μέγεθος Α το οποίο θα το ονομάζουμε διανυσματικό δυναμικό και το οποίο σχετίζεται με την πυκνότητα μαγνητικής ροής Β ως εξής: B= A (3.) Μπορούμε πάντα να βρούμε ένα μία διανυσματική συνάρτηση Α τέτοια ώστε να ισχύει η (3.); Ένα βασικό θεώρημα της διανυσματικής ανάλυσης λέει πως αν μία διανυσματική συνάρτηση Β έχει Β=, τότε υπάρχει μία συνάρτηση Α τέτοια ώστε να ισχύει η (3.). Η συνάρτηση Α ονομάζεται διανυσματικό αν και στην αρχή θα νομίζετε πως την κάνουμε πιο δύσκολη!

62 δυναμικό. Έχουμε και μία σχετική ελευθερία να επιλέξουμε την συνάρτηση Α. Αν θέσουμε A = A + φ (3.) τότε εφόσον ( φ)= για κάθε βαθμωτή συνάρτηση φ τότε B= A= A (3.3) Ο πιο απλός τρόπος να επιλέξουμε το φ είναι να απαιτήσουμε A = (3.4) Έστω για παράδειγμα ότι έχουμε βρει μία συνάρτηση Α για την οποία ισχύει η (3.) και θέλουμε να βρούμε την Α που να επαληθεύει ταυτόχρονα την (3.) και την (3.4). Τότε θα πρέπει να επιλέξουμε το φ έτσι ώστε όπου φ= ψ (3.5) ψ = A (3.6) Εφόσον γνωρίζουμε το Α μπορούμε να υπολογίσουμε το ψ και από την (3.6) να βρούμε το φ. Η εξίσωση (3.5) έχει πάντα μία λύση και ονομάζεται εξίσωση Poisson. Ας υποθέσουμε τώρα πως έχουμε καταφέρει να βρούμε το Α έτσι ώστε B= A (3.7) τότε στον ελεύθερο χώρο το μαγνητικό πεδίο δίνεται από την και το ηλεκτρικό πεδίο καθορίζεται από την H= A (3.8) µ E= jωµ H= jω A (3.9) Παρατηρείστε πως βρισκόμαστε στο πεδίο των συχνοτήτων αφού χρησιμοποιούμε την (.36). Η (3.9) δεν σημαίνει ότι Ε=-jωA. Όταν Φ= Φ τότε εν γένει υπάρχει μία συνάρτηση f για την οποία Φ=Φ+ f, συνεπώς η (3.9) συνεπάγεται ότι E= jωa + f (3.) Οι εξισώσεις Maxwell επιβάλουν και μία ακόμα σχέση μεταξύ των Ε και Η, H= J+ jωε E (3.) όπου αν αντικαταστήσουμε την (3.8) και (3.), θα έχουμε:

63 Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα η (3.) γράφεται ισοδύναμα ω ε jωε f µ A= J A + (3.) A= ( A) A (3.3) ( j f ) A ω εµ A µ J A ωµ ε (3.4) + = + + Θυμηθείτε πως έχουμε την δυνατότητα να επιλέξουμε το Α όπως θέλουμε! Αν επιλέξουμε τότε η (3.4) απλοποιείται σημαντικά και γράφεται ως A = jωµ ε f (3.5) + = A ω εµ A µ J (3.6) Η (3.6) συσχετίζει το διανυσματικό δυναμικό με το ηλεκτρικό ρεύμα. Αν κάποιος λύσει την (3.6) και βρει το Α τότε μπορεί να υπολογίσει το μαγνητικό πεδίο από την (3.8), το δε ηλεκτρικό πεδίο από την (3.) που λαμβάνοντας υπόψη την (3.5) γράφεται j E= jωa ( A ) (3.7) ωµ ε Πως όμως θα λύσουμε την (3.6); Πρόκειται για μια μερική διαφορική εξίσωση δεύτερου βαθμού που αν αντικαταστήσουμε τον τελεστή με το / x + / y + / και θέσουμε k =ω με, γράφεται ως: Ax Ax Ax k A x = µ J x y Ay Ay Ay k A y = µ J x y A A A k A = µ J x y x y (3.8) (3.9) (3.) Και όμως υπάρχει τρόπος να βρούμε μία λύση των παραπάνω εξισώσεων. Μπορούμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση όπου jkr µ e A x y = dx dy d J x y (3.) R x(,, ) x(,, ) 4π V

64 ( ) ( ) ( ) R= x x + y y + (3.) είναι λύση της (3.8). O όγκος V είναι ένας όγκος που περιλαμβάνει όλα τα σημεία του χώρου όπου η κατανομή του ρεύματος J δεν είναι μηδέν (δηλαδή περιλαμβάνει όλες τις πηγές του ηλεκτρομαγνητικού μας πεδίου). Προφανώς μπορούμε να γράφουμε παρόμοιες λύσεις για τις (3.9) και (3.). Σε διανυσματική (πιο επίσημη) μορφή γράφουμε ότι jk r r µ e A( r) = ( ) dv 4π J r r r V (3.3) όπου r=(x,y,), r =(x,y, ), dv =dx dy d και ( ) ( ) ( ) r r = x x + y y + = R (3.4) Ας συνοψίσουμε τα αποτελέσματα μας: Έστω ότι μας ζητούνε να βρούμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που παράγεται από μία κατανομή ρεύματος J η οποία περιλαμβάνεται σε έναν όγκο V. Αν υποθέσουμε πως όλος ο χώρος έχει διηλεκτρική σταθερά ε και μαγνητική διαπερατότητα μ, ενώ δεν υπάρχουνε άλλα ελεύθερα φορτία τότε εκτελούμε τα εξής βήματα:. Βρίσκουμε το διανυσματικό δυναμικό Α από την (3.3). Στην ουσία η (3.3) μας λέει πως για να βρούμε το Α(x,y,) θα πρέπει να προσδιορίσουμε τον όγκο V μέσα στον οποίο περιλαμβάνεται το ηλεκτρικό μας ρεύμα J(x,y, ) και στην συνέχεια να ολοκληρώσουμε jk r r το J(x,y, ) πολλαπλασιασμένο με τον παράγοντα e / r r όπου r=(x,y,) και r =(x,y, ). Στην ουσία το r r είναι η απόσταση του εκάστοτε σημείου (x,y, ) που θεωρούμε εντός του όγκου που περιλαμβάνει τις πηγές και του σημείου (x,y,) όπου θέλουμε να υπολογίσουμε το Α.. Βρίσκουμε το μαγνητικό πεδίο από την (3.8). 3. Βρίσκουμε το ηλεκτρικό πεδίο από την (3.7). Η παραπάνω διαδικασία φαίνεται πολύπλοκη αλλά όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα, μπορεί να οδηγήσει σε αποτελέσματα χωρίς ιδιαίτερα μεγάλο κόπο. Φυσικά το μεγάλο ερώτημα είναι πως προκύπτει η (3.3) ή ισοδύναμα η (3.) Η απόδειξη δεν είναι τόσο δύσκολη όσο φαντάζεστε αλλά την παραλείπουμε επειδή χρειάζεται λίγο μιγαδική ανάλυση.

65 3.3. Το δίπολο του Hert Μετά την γνωριμία μας με το διανυσματικό δυναμικό Α ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα μας. Μας δίνεται ένα ηλεκτρικό ρεύμα πυκνότητας J το οποίο διαρρέει ένα ευθύγραμμο σύρμα μήκους l όπου το l υποθέτουμε πως είναι πολύ μικρό. Επίσης το πάχος του σύρματος μας υποθέτουμε πως είναι απειροελάχιστο. Η γεωμετρία του προβλήματος φαίνεται στο Σχήμα 3-. J r r=(x,y,) l x y r =(x,y, ) Σχήμα 3-: Η γεωμετρία του προβλήματος του δίπολου του Hert Η πυκνότητα ρεύματος J θεωρείται πως είναι σταθερό σε όλο το μήκος του σύρματος. Υποθέτουμε επίσης πως η πυκνότητα του ρεύματος είναι προσανατολισμένη κατά τον άξονα των, δηλαδή J= (3.5) J Το κέντρο συμμετρίας του καλωδίου θεωρείται η αρχή των αξόνων (,,). Το ρεύμα που διαρέει το καλώδιο Ι μας δίνεται από την σχέση J πρ πρ (3.6) I = = J όπου ρ είναι η ακτίνα της διατομής του σύρματος μας. Η (3.6) μας δίνει το φορτίο που διέρχεται από την διατομή του σύρματος ανά μονάδα χρόνου. Επιθυμούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που παράγεται στο σημείο r=(x,y,). Σύμφωνα με την ενότητα 3., θα πρέπει να πρώτα να υπολογίσουμε το διανυσματικό δυναμικό από την εξίσωση jk r r l / jk r r l / jk r r e e I e dv πρ J d d r r r r r r V l / l / µ µ µ A( r) = J( r ) = 4π 4π 4π (3.7) Στο τελευταίο ολοκλήρωμα το διάνυσμα r είναι πάνω στον κεντρικό άξονα του σύρματος μας οπότε r =(,, ). Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της (3.7), υποθέτουμε πως το μήκος του σύρματος είναι τόσο μικρό σε σχέση με

66 την απόσταση μεταξύ του κέντρου του σύρματος και του σημείου r=(x,y,) έτσι ώστε να ισχύει: r r = x + y + ( ) x + y + = r (3.8) όπου r είναι η απόσταση του σημείου r από το κέντρο των αξόνων. Η (3.8) στην ουσία σημαίνει πως τόσο η φάση k r-r του εκθετικού όσο και ο παρανομαστής του ολοκληρώματος παραμένουν σταθεροί κατά μήκος του σύρματος. Επομένως jkr µ Il e A( r) (3.9) 4π r Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο από την εξίσωση H= A (3.3) µ Σχήμα 3-: Σφαιρικές Συντεταγμένες Η συνάρτηση Α εξαρτάται μόνο από το μέτρο του διανύσματος r =r το οποίο αποτελεί και την απόσταση του σημείου r=(x,y,) από το κέντρο των αξόνων. Ο υπολογισμός του Α πραγματοποιείται πιο εύκολα όταν περνάμε στις σφαιρικές συντεταγμένες όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-. Οι σφαιρικές συντεταγμένες του Α υπολογίζονται από την: Ar sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ Ax A θ cosθ cosφ cosθ sinφ sinθ A = y A φ sinφ cosφ A και εφόσον Ax=Ay=, θα έχουμε (3.3)

67 Ο τελεστής Α παίρνει την μορφή: A jkr µ Ile Ar = A cosθ = cosθ (3.3) 4π r θ jkr µ Ile = A sinθ = sinθ (3.33) 4π r A φ = (3.34) r Aθ Ar Ar ( Aφ sinθ) θ ( raφ ) φ A = ( raθ ) r sinθ + + θ φ r sinθ φ r r r θ (3.35) και εφόσον δεν έχουμε εξάρτηση από το φ και Aφ=, φ Ar A = ( raθ ) r r θ (3.36) Αντικαθιστώντας τις (3.3)-(3.33) στην (3.36) και χρησιμοποιώντας την (3.3), λαμβάνουμε για το μαγνητικό πεδίο και σε μορφή συντεταγμένων: φ Ar jkil sinθ jkr H = ( raθ ) e µ r r θ = + (3.37) 4π r jkr H φ H r = = (3.38) H θ jkil sinθ = + e 4π r jkr jkr Το ηλεκτρικό πεδίο μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Από την (3.4) βρίσκουμε (3.39) E= H (3.4) jωε Il cosθ Er = Z e + π r jkr jkr kil cosθ Eθ = jz + e 4π r jkr ( kr) jkr (3.4) (3.4) E φ = (3.43) όπου Ζ είναι η εμπέδηση του χώρου που όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο δίνεται από την Ζ=(μ/ε) /. Με τον τρόπο αυτό καταφέραμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που δημιουργείται εξαιτίας του

68 ηλεκτρικού ρεύματος Ι το οποίο διαρρέει ένα λεπτό σύρμα με πολύ μικρό μήκος. Η ισχύς ανά μονάδα επιφανείας του κύματος προσδιορίζεται από το διάνυσμα Poynting W= Re { E H * } (3.44) το οποίο εκφράζεται συναρτήσει των συντεταγμένων των πεδίων οπότε ( r ) ( ) E H = Eφ+ E r H θ = re H θ E H (3.45) * * * φ θ θ φ r φ * * W= Re { reθ Hφ θ ErHφ} (3.46) Ας υποθέσουμε τώρα πως ενδιαφερόμαστε να υπολογίσουμε την πυκνότητα ισχύος που διέρχεται από την γκρι επιφάνεια στο Σχήμα 3-. Το διάνυσμα το οποίο είναι κάθετο στην επιφάνεια είναι το r και επομένως η πυκνότητα ισχύος είναι * Z Il sin θ W n= W r = Re{ Eθ Hφ} = (3.47) 8 λ r όπου χρησιμοποιήσαμε την (3.4) μαζί με την (3.39) ενώ αντικαταστήσαμε το k με k=π/λ. Παρατηρούμε πως η πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ισχύος που εκπέμπεται από την κεραία μας μειώνεται με την απόσταση ως προς /r. Για το λόγο αυτό οι ειδικοί πολλές φορές συνιστούν να έχετε μακριά το κινητό από το κεφάλι σας! Η ισχύς που δέχεστε μειώνεται με το τετράγωνο της απόστασης και αν το τοποθετήσετε φορές πιο μακριά θα δέχεστε φορές πιο μικρή ισχύ. Επίσης παρατηρούμε πως η πυκνότητα ισχύος του ηλεκτρομαγνητικού κύματος εξαρτάται από την γωνία θ η οποία όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-, είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα θέσης r=(x,y,) με τον άξονα των. Όταν θ= ή θ=π, η πυκνότητα ισχύος είναι μηδέν, επομένως ακριβώς πάνω ή κάτω από το δίπολο, η πυκνότητα ισχύος είναι μηδέν ενώ είναι μέγιστη για θ=π/. Στην επόμενη ενότητα θα ορίσουμε μερικές βασικές παραμέτρους των κεραιών έχοντας σαν οδηγό το δίπολο του Hert Διάγραμμα Ακτινοβολίας Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε πως μπορούμε να λύσουμε τις εξισώσεις του Maxwell και να υπολογίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο και την ηλεκτρομαγνητική ισχύ που γεννάει η κεραία μας. Βέβαια, η κεραία που θεωρήσαμε είναι πολύ στοιχειώδης, ωστόσο θα δούμε στην συνέχεια πως

69 μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την ανάλυση πιο σύνθετων κεραιών. Στην ενότητα αυτή θα χρησιμοποιήσουμε το δίπολο του Hert για να ορίσουμε μερικές βασικές παραμέτρους που χαρακτηρίζουν τις επιδόσεις των κεραιών. Στην ενότητα 3.3 είδαμε πως η πυκνότητα ισχύος που ακτινοβολεί μια κεραία μεταβάλλεται τόσο με την απόσταση όσο και με την γωνία θ. Συχνά μας ενδιαφέρει το διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας. Δηλαδή αν απέχουμε «αρκετά μακριά» από την κεραία μας, μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε το ποσοστό της ισχύος που λαμβάνουμε σε μία μικρή επιφάνεια. Όπως δείχνει και η (3.47), αν το r θεωρηθεί σταθερό, δηλαδή r=r η πυκνότητα ισχύος εξαρτάται μόνο από την γωνία θ. Μπορούμε να κάνουμε ένα τρισδιάστατο γράφημα που να μας δίνει κάποια πληροφορία για την πυκνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας κανονικοποιημένη ως προς την μέγιστη τιμή της. Στην περίπτωση του δίπολου μας, η ποσότητα αυτή είναι W n ( φ θ) ( φ, θ, r ) { r W( φ θ r) } r W, = = sin θ max,, (3.48) όπου το μέγιστο του παρανομαστή λαμβάνεται για όλες τις τιμές των γωνιών θ και φ αλλά για σταθερό r=r και είναι ίσο με 8 λ r Z Il max { r W ( φ, θ, r )} = (3.49) Σχήμα 3-3: Η συνάρτηση Wn(φ,θ). Το Σχήμα 3-3 δείχνει μια πρώτη τρισδιάσταση απεικόνιση της πυκνότητας ακτινοβολίας του διπόλου μας. Στην ουσία έχουμε επιλέξει μια σφαίρα στο Και θα δούμε στη συνέχεια, τι εννοούμε ακριβώς «αρκετά μακριά»

70 χώρο η οποία έχει ακτίνα r και πάνω στην σφαίρα έχουμε χρωματίσει τα διάφορα σημεία της ανάλογα με την Wn(θ,φ). Όπως δείχνει και η μπάρα στα δεξιά του σχήματος όσο πιο κοντά είναι το Wn(θ,φ) στο τόσο πιο άσπρο χρώμα επιλέγουμε για να χρωματίσουμε την σφαίρα μας στα διάφορα σημεία. Υπάρχει και ένας άλλος τρόπος να παραστήσουμε το Wn(θ,φ) που δεν βασίζεται τόσο στην ικανότητα του ανθρώπινου ματιού να ξεχωρίζει τα χρώματα. Θεωρούμε πάλι τα σημεία στην σφαίρα μας r=(x,y,) τα οποία προφανώς επαληθεύουν την εξίσωση x +y + =r. Για κάθε σημείο πάνω στην σφαίρα μπορούμε να υπολογίσουμε ένα διάνυσμα v το οποίο να είναι παράλληλο με το r και του οποίου το μέτρο να ισούται με Wn(θ,φ), δηλαδή: ( φ, θ) = ( φ, θ) v r (3.5) W n Σχήμα 3-4: Το διάγραμμα ακτινοβολίας ενός στοιχειώδους διπόλου. Στο Σχήμα 3-4 έχουμε παραστήσει γραφικά, τα σημεία των οποίων η θέση στο χώρο καθορίζεται από το διάνυσμα v. Κοντά στον άξονα των έχουμε sin θ οπότε σύμφωνα με την (3.48) και την (3.5), v και τα αντίστοιχα σημεία βρίσκονται κοντά στην αρχή των αξόνων. Για τον λόγο αυτό σχηματίζεται μία τρύπα κοντά στον άξονα των. Aντίθετα πάνω στο επίπεδο (x,y) το sin θ μεγιστοποιείται και τα αντίστοιχα σημεία απομακρύνονται την μέγιστη απόσταση από το (,,). Η γραφική παράσταση που (μοιάζει με έναν λουκουμά ) ονομάζεται διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας και δίνει μια ιδέα της πυκνότητας ισχύος που ακτινοβολείται σε διάφορες κατευθύνσεις του χώρου. Μια κεραία η οποία ακτινοβολεί παντού την ίδια πυκνότητα ισχύος θα έχει ένα σφαιρικό διάγραμμα ακτινοβολίας σαν αυτό που εικονίζεται στο Σχήμα

71 3-5 και ονομάζεται ισοτροπικό διάγραμμα ακτινοβολίας. Αν και δεν υπάρχουνε κεραίες με τέτοιο διάγραμμα αποτελεί πολύ συχνά σημείο αναφοράς και πολλές παράμετροι των πρακτικών κεραιών ορίζονται βάση ισοδύναμων κεραιών που εκπέμπουν ισοτροπικά όπως θα δούμε σε επόμενη ενότητα. Σχήμα 3-5: Το ισοτροπικό διάγραμμα ακτινοβολίας. Το διάγραμμα ακτινοβολίας του απλού διπόλου που εικονίζεται στο Σχήμα 3-4 εξαρτάται μόνο από την γωνία θ ενώ δεν παρουσιάζει καμία εξάρτηση από την γωνία φ η οποία συχνά αναφέρεται και σαν αζιμούθιο. Ένα διάγραμμα ακτινοβολίας που δεν εξαρτάται από το αζιμούθιο ονομάζεται παν-κατευθυντικό διάγραμμα ακτινοβολίας. Σχήμα 3-6: Ένα πιο ρεαλιστικό διάγραμμα ακτινοβολίας.

72 Στο Σχήμα 3-6 παρουσιάζουμε ένα πιο ρεαλιστικό διάγραμμα ακτινοβολίας το οποίο αποτελείται από μία σειρά λοβούς. Εξαιτίας των μικρών λοβών οι οποίοι διέρχονται και από το επίπεδο x-y υπάρχει εξάρτηση από το αζιμούθιο και στην περίπτωση αυτή το διάγραμμα χαρακτηρίζεται ως κατευθυντικό. Ο μεγάλος λοβός που την ίδια διεύθυνση και φορά με τον άξονα των ονομάζεται κύριος λοβός. Στην πράξη το διάγραμμα στο Σχήμα 3-6 αντιστοιχεί σε μία κεραία η οποία μεταδίδει στην κατεύθυνση του κύριου λοβού. Ωστόσο επειδή τα πράγματα δεν είναι και τόσο ρόδινα, υπάρχει ένας μικρός οπίσθιος λοβός ο οποίος έχει κατεύθυνση τον ενώ παράλληλα εμφανίζονται μερικοί πλευρικοί λοβοί. Εξαιτίας των λοβών αυτών η κεραία δεν μεταδίδει μόνο προς την κατεύθυνση που επιθυμούμε κάτι που μπορεί να προκαλέσει αλληλεπίδραση με άλλες κεραίες και να οδηγήσει σε παραμόρφωση λόγω παρεμβολών. Καταλαβαίνουμε επομένως πως το διάγραμμα ακτινοβολίας είναι ένα από τα πιο βασικά χαρακτηριστικά μιας κεραίας και καθορίζει κατά πόσο μία κεραία μπορεί αν χρησιμοποιηθεί σε μία δεδομένη εφαρμογή Περιοχές του Πεδίου Οι εξισώσεις (3.39) και (3.4)-(3.4) παρέχουν μία κλειστή μορφή για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το στοιχειώδες δίπολο μας. Παρατηρούμε πως η μεταβλητή r δεν εμφανίζεται ποτέ μόνη της: πάντα στην φάση του κύματος εμφανίζεται ως γινόμενο kr, συνοδεύεται δηλαδή με το k=π/λ όπου λ το μήκος κύματος. Το γεγονός αυτό είναι μία πρώτη ένδειξη της κρισιμότητας του μήκους κύματος ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Η απόσταση r από μόνη της δεν έχει και πολύ μεγάλη σημασία. Σημασία έχει το γινόμενο kr ή ισοδύναμα ο λόγος r/λ, δηλαδή πως συγκρίνεται η απόσταση με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Επιθεωρώντας τις (3.39), (3.4)-(3.4) παρατηρούμε πως ανάλογα με την τιμή του kr διακρίνουμε τρεις περιοχές για το ηλεκτρομαγνητικό μας πεδίο. Η πρώτη περιοχή αντιστοιχεί σε τιμές kr<<, δηλαδή r<<λ. Η περιοχή αυτή ονομάζεται περιοχή κοντινού πεδίου, επειδή βρισκόμαστε πολύ κοντά στην κεραία. Δεδομένου ότι (kr) - >> οι εξισώσεις (3.39), (3.4)-(3.4) γράφονται: H φ jkr Ile sin θ (3.5) 4π r E = H = H = (3.5) φ r θ jkr Ile E cos r jz θ (3.53) 3 π kr

73 E θ jkr Ile = jz sin θ (3.54) 3 4π kr Η δεύτερη περιοχή αντιστοιχεί στην περιοχή όπου το kr είναι μεν μεγαλύτερο αλλά και συγκρίσιμο με την μονάδα. Η περιοχή αυτή που ονομάζεται περιοχή ενδιάμεσου πεδίου όπου το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δίνεται από τις σχέσεις: E E H φ jkr jkile sinθ (3.55) 4π r E = H = H = (3.56) r θ φ r θ jkr Ile Z cos θ (3.57) π r jkr kile jz sinθ (3.58) 4π r Παρατηρούμε πως η συνιστώσα Εr εξασθενεί πολύ πιο γρήγορα από το Eθ. Τέλος υπάρχει και η τρίτη περιοχή, η περιοχή του μακρινού πεδίου στην οποία kr>> και το πεδίο δίνεται από την H φ jkr jkile sinθ (3.59) 4π r E E = H = H = (3.6) r E θ φ r θ jkr kile jz sinθ (3.6) 4π r Στην περιοχή αυτή δεν υπάρχει συνιστώσα Er και οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι όπως φαίνονται στο Σχήμα 3-7. Σχήμα 3-7: Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο μακρινό πεδίο.

74 Από το Σχήμα 3-7 προκύπτει πως τόσο το ηλεκτρικό όσο και το μαγνητικό πεδίο είναι κάθετα στο μοναδιαίο διάνυσμα r. Επίσης αν βρισκόμαστε αρκετά μακριά από το κέντρο των αξόνων τότε στην γκρι επιφάνεια του σχήματος μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι εντάσεις αυτές είναι σχεδόν σταθερές. Επομένως ένας παρατηρητής που μετράει το πεδίο στην επιφάνεια αυτή βρίσκει πως πρόκειται σχεδόν για ένα επίπεδο κύμα το οποίο διαδίδεται προς την κατεύθυνση του r. Μάλιστα διαιρώντας κατά μέλη τις (3.59)-(3.6) προκύπτει πως E H Eθ Z = H φ µ ε (3.6) που είδαμε και για τα επίπεδα κύματα στην ενότητα.5. Στον ελεύθερο χώρο θα έχουμε ε=ε και E H E H θ Z = = φ µ ε π (3.63) Αν και τα ηλεκτρικά πεδία στις τρεις περιοχές έχουνε διαφορετικά χαρακτηριστικά, εντούτοις η συνολική ισχύς που ακτινοβολείται είναι η ίδια. Πράγματι αν χρησιμοποιήσουμε την (3.47) και ολοκληρώσουμε στην επιφάνεια μίας σφαίρας που έχει κέντρο το (,,) τότε από την (.) προκύπτει πως η συνολική ισχύς που ακτινοβολείται είναι: π π P= dφ dθr sinθwr = Z π Il 3 λ (3.64) Αν σας φαίνεται περίεργη η (3.64), θυμηθείτε πως όταν ολοκληρώνουμε πάνω σε μία σφαιρική επιφάνεια τότε στις σφαιρικές συντεταγμένες ολοκληρώνουμε την γωνία φ στο [ π] ενώ την θ την ολοκληρώνουμε στο [ π]. Επίσης η στοιχειώδης επιφάνεια ολοκλήρωσης είναι ds=dφdθsinθ στην (.). Η (3.64) δείχνει πως η συνολική ισχύς που ακτινοβολείται γύρω από την πηγή είναι ανεξάρτητη της απόστασης, πράγμα που περιμέναμε αφού εκτός του διπόλου δεν υπάρχουν ελεύθερα φορτία για να προκαλέσουν απώλειες ισχύος στο ηλεκτρομαγνητικό μας πεδίο Βασικές Παράμετροι μιας Κεραίας Τα διαγράμματα ακτινοβολίας που παρουσιάσαμε στην ενότητα 3.4 είναι αρκετά κατατοπιστικά όσο αφορά το πώς ακτινοβολείται η ηλεκτρομαγνητική ισχύς στον χώρο γύρω από την κεραία. Ίσως μάλιστα είναι υπερβολικά κατατοπιστικά. Θα θέλαμε πέρα από τα διαγράμματα ακτινοβολίας να έχουμε και έναν τρόπο να ποσοτικοποιήσουμε την

75 κατεθυντικότητα μιας κεραίας. Ας ορίσουμε καταρχήν την ένταση ακτινοβολίας U η οποία σχετίζεται με την πυκνότητα ακτινοβολίας Wr=W n σύμφωνα την σχέση: U = r W r (3.65) Στην περίπτωση του απλού δίπολου προκύπτει εύκολα από την (3.47) πως η ένταση ακτινοβολίας είναι ανεξάρτητη από την απόσταση r και δίνεται από την U Z Il = sin θ (3.66) 8 λ Το γεγονός πως το U είναι ανεξάρτητο από το r, κάνει την ένταση ακτινοβολίας περισσότερο κατάλληλη να εκφράζει τις ιδιότητες της κατεθυντικότητας της κεραίας. Ορίζουμε τώρα τo κατευθυντικό κέρδος (directive gain) D ως το πηλίκο U D= (3.67) U όπου το U είναι η ένταση ακτινοβολίας για μία υποθετική ισοτροπική κεραία η οποία ακτινοβολεί την ίδια συνολική ισχύ P με την κεραία μας. Εφόσον η κεραία αναφοράς μας είναι ισοτροπική, αν φανταστούμε μία σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r με κέντρο την κεραία αυτή, η πυκνότητα ισχύος θα είναι Wr=P/(4πr ), επομένως U=r Wr=P/(4π) και ( ) πw r 4 πu φ, θ 4 r D( φ, θ ) = = (3.68) P P Στην περίπτωση του δίπολου του Hert η ένταση της ακτινοβολίας γράφεται ως συνάρτηση της ισχύος P ως Z Il 3P U θ θ = sin sin 8 λ = 8π (3.69) όπου έχουμε αντικαταστήσει την (3.64). Χρησιμοποιώντας την (3.67) και το γεγονός ότι U=P/(4π), υπολογίζουμε το κατευθυντικό κέρδος της κεραίας ως 3 sin D= θ (3.7) Παρατηρούμε πως το κατευθυντικό κέρδος του διπόλου μας μεταβάλλεται με ελάχιστη και μέγιστη τιμή το και το 3/ αντίστοιχα ανάλογα με την γωνία θ. Η γραφική παράσταση του D στο χώρο στην ουσία ταυτίζεται με το Σχήμα 3-4. Για μία ισοτροπική κεραία θα είχαμε D= που αν παρασταθεί στο

76 χώρο λαμβάνουμε το Σχήμα 3-5. Το γεγονός ότι στην περίπτωση του διπόλου το μέγιστο κατευθυντικό κέρδος ξεπερνά το είναι αποτέλεσμα του πανκατευθυντικού διαγράμματος ακτινοβολίας: Η κεραία έχει την ιδιότητα να ακτινοβολεί περισσότερη ισχύ σε ορισμένες κατευθύνσεις από ότι η ισοτροπική κεραία (D>) ενώ σε άλλες κατευθύνσεις ακτινοβολεί λιγότερη (D<). Ορίζουμε τώρα την κατευθυντικότητα Dmax της κεραίας ως τη μέγιστη τιμή του κατευθυντικού κέρδους. Στην περίπτωση του δίπολου του Hert θα έχουμε Dmax = max{ D} (3.7) 3 D max = (3.7) Το κατευθυντικό κέρδος όπως το ορίσαμε στην ενότητα αυτή αφορά την ισχύ P που εκπέμπει η κεραία μας στο χώρο. Ισούται η ακτινοβολούμενη ισχύς P με την ισχύ Pin που προσφέρουμε στην κεραία; Σίγουρα θα υπάρχουν κάποιοι μηχανισμοί οι οποίοι θα προκαλούν απώλειες ισχύος. Ορίζουμε ως απόδοση ακτινοβολίας της κεραίας το πηλίκο: Επίσης ορίζουμε το κέρδος της κεραίας ως e cd P = (3.73) P in ( ) 4 πu φ, θ G( φ, θ ) = (3.74) P Από τις (3.68),(3.73) και (3.74) βρίσκουμε ότι το κέρδος της κεραίας και το κατευθυντικό κέρδος συνδέονται από την σχέση: in G( φ, θ ) = e U ( φ, θ ) (3.75) Που μπορεί να οφείλονται οι απώλειες ecd; Υπάρχουν διάφορες συνιστώσες απωλειών. Καταρχήν σκεφτείτε πως διεγείρουμε μια κεραία. Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με το ηλεκτρικό ρεύμα που την διαρρέει αλλά πως δημιουργείται το ηλεκτρικό ρεύμα αυτό; Ας δούμε το Σχήμα 3-8 στο οποίο χρησιμοποιούμε μία πηγή τάσης για να παράγουμε το ηλεκτρικό ρεύμα που διαρρέει ένα σύρμα που αποτελεί την κεραία μας (όπως π.χ. το στοιχειώδες δίπολο που συζητήσαμε μέχρι τώρα). Όταν δεν είναι συνδεδεμένη στο κύκλωμα η πηγή έχει τάση Vg και έστω Rg είναι η εσωτερική της αντίσταση. Το ρεύμα που δημιουργείται περνάει από μία αντίσταση RL που αντιπροσωπεύει τις απώλειες που οφείλονται στα καλώδια που συνδέουν την κεραία με την πηγή και τελικά εισέρχεται στην κεραία μας. Η κεραία cd

77 ακτινοβολεί κάποια ηλεκτρομαγνητική ισχύ την οποία προσφέρει η πηγή τάσης. I R g R L V g ~ VA R r Σχήμα 3-8: Διέγερση μίας κεραίας. Παρατηρείστε πως στα άκρα της κεραίας έχουμε προσθέσει μία αντίσταση Rr η οποία ονομάζεται αντίσταση ακτινοβολίας και ορίζεται ως το πηλίκο της ισχύος που ακτινοβολείται στην κεραία δια το τετράγωνο του ηλεκτρικού ρεύματος που την διαρρέει: R r P = (3.76) I η οποία αν γραφτεί λίγο διαφορετικά είναι ισοδύναμη με την γνωστή σχέση που μας δίνει τις Ωμικές απώλειες σε μία αντίσταση r P= I R (3.77) Στην περίπτωση του στοιχειώδους διπόλου από την (3.64) βρίσκουμε ότι: R r π l = Z 3 λ (3.78) Στην (3.77) το ½ προέρχεται από το γεγονός πως το ρεύμα Ι είναι στην ουσία το πλάτος του ηλεκτρικού ρεύματος Ιexp(jωt) το οποίο διαρρέει την αντίσταση και αφού δεν υπάρχουν μιγαδικά ρεύματα, στην ουσία θεωρούμε το ρεύμα jωt * jωt ( ) cos ( ω β) i t = Ie + I e = I t+ (3.79) όπου β η φάση του I, δηλαδή I= I exp(jβ). Η μέση ισχύς που καταναλώνεται πάνω σε μία αντίσταση R είναι

78 Το ρεύμα I δίνεται από την σχέση T ( ) (3.8) R PR = i t dt= I R T I Vg = R + R + R L r g (3.8) οπότε η ισχύς που ακτινοβολείται είναι P= V g R ( Rr + RL+ Rg) Η ισχύς που προφέρεται στο κύκλωμα είναι in = g = g RL+ Rr + Rg P V I V r (3.8) (3.83) οπότε διαιρώντας κατά μέλη: e cd P Rr = = P R + R + R in L g r (3.84) Πότε μεγιστοποιείται η ισχύς που ακτινοβολείται; Σύμφωνα με την (3.8), αν θεωρήσουμε πως η Vg είναι σταθερή, τότε η P μεγιστοποιείται όταν μεγιστοποιείται η f = R ( R ) r + RL+ Rg r (3.85) Αν θεωρήσουμε τα RL και Rg σταθερά, τότε έχουμε να ελαχιστοποιήσουμε μία συνάρτηση της μορφής: ( ) f a = a ( a+ β) (3.86) όπου a=rr και β=rl+rg. Υπολογίζοντας την παράγωγο της f(a), έχουμε f ( a) = β a ( a+ β) 3 (3.87) οπότε η (3.87) μεγιστοποιείται όταν β=a ή Rr = RL + Rg (3.88) και στην περίπτωση αυτή ecd=.5. Για ένα στοιχειώδες δίπολο με l=λ/5, θα έχουμε

79 Rr π = Z.36Ω 3 5 (3.89) Η μικρή αντίσταση ακτινοβολίας του στοιχειώδους διπόλου σημαίνει πως για να εξασφαλίσουμε την μέγιστη δυνατή μεταφορά ισχύος από την πηγή στο δίπολο, θα πρέπει η εσωτερική αντίσταση Rg και η αντίσταση των απωλειών να είναι πολύ μικρές, πράγμα που καθιστά αυτό το είδος κεραίας δύσχρηστο στην πράξη (αλλά πολύ βασικό για την ανάλυση πιο σύνθετων γεωμετριών όπως θα δούμε στη συνέχεια) Το θεώρημα της Αμοιβαιότητας Οι εξισώσεις Maxwell διέπουν τις εξαρτήσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου με την πυκνότητα ρεύματος J και φορτίου ρ. Διαφορετικές κατανομές του J δημιουργούν διαφορετικά πεδία Ε και Η. Υπάρχει κάποια σχέση ανάμεσα στα πεδία αυτά; Στην παρούσα ενότητα θα αποδείξουμε ένα βασικό θεώρημα του Ηλεκτρομαγνητισμού που ονομάζεται θεώρημα της αμοιβαιότητας. Ας θεωρήσουμε δύο διαφορετικές κατανομές του J έστω J και J κάθε μία από τις οποίες όταν βρίσκεται σε ένα μέσο απουσία της άλλης δημιουργούν τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία (Ε, Η) και (Ε, Η) αντίστοιχα. Οι εξισώσεις του Maxwell που διέπουν τα πεδία γράφονται: Αν ορίσουμε το διάνυσμα τότε έχουμε E = jωµ H (3.9) H = jωε E + J (3.9) E = jωµ H (3.9) H = jωε E + J (3.93) F= E H E H (3.94) F= H E E H H E+ E H (3.95) και αντικαθιστώντας τις (3.9)-(3.93), F= E J E J (3.96) και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Gauss, Μην τρομάζετε! Απλά έχουμε εφαρμόσει την (.8) δύο φορές!

80 S ( ) F nds = E J E J dv (3.97) V όπου V είναι ένας όγκος μέσα στον τρισδιάστατο χώρο και S η επιφάνεια που τον περιβάλλει. Ως συνήθως το διάνυσμα n είναι μοναδιαίο και κάθετο σε κάθε σημείο στην επιφάνεια S. Σχήμα 3-9: Μια σφαίρα που περιλαμβάνει τις πυκνότητες ρεύματος J και J Ας πάρουμε τον όγκο V να είναι μία σφαίρα με τεράστια ακτίνα η οποία περιλαμβάνει πλήρως το J και το J όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-9. Η επιφάνεια S είναι προφανώς η επιφάνεια που περιλαμβάνει την σφαίρα. Αν η ακτίνα της σφαίρας είναι πολύ μεγάλη τότε περιμένουμε πως τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία που παράγουν τα J και J θα είναι αμελητέα πάνω στην S και επομένως: V E J dv = E J dv (3.98) V Η (3.98) υποδεικνύει πως υπάρχει μία στενή σχέση ανάμεσα στο ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από το J και το J. Για να το δούμε αυτό πιο καθαρά, ας υποθέσουμε πως τα ρεύματα J και J βρίσκονται το κάθε ένα πάνω σε ένα πολύ στενό καλώδιο μήκους l και l αντίστοιχα. Τότε το θεώρημα της αμοιβαιότητας συνεπάγεται ότι: E J l A = E J l A (3.99) Στην (3.99) Α και Α είναι οι διατομές των αγωγών. Προφανώς τα J και J είναι παράλληλα με τα αντίστοιχα καλώδια τους. Αν ορίσουμε τα διανύσματα b και b να έχουν μέτρο την μονάδα και να είναι παράλληλα με τα καλώδια τότε η (3.99) μπορεί να γραφεί: I l E b = I l E b (3.)

81 όπου Ι=JA και Ι=JA είναι το ηλεκτρικό ρεύμα στον πρώτο και τον δεύτερο αγωγό αντίστοιχα. Ας υποθέσουμε τώρα πως με κάποιον τρόπο 3 μετράμε τη διαφορά δυναμικού στα άκρα των αγωγών. Η διαφορά δυναμικού στο πρώτο καλώδιο θα είναι: ενώ στο δεύτερο καλώδιο ra V = E dr= l E b (3.) ra rb V = E dr= l E b (3.) rb Χρησιμοποιώντας τώρα την διαφορά δυναμικού σε κάθε αγωγό, έχουμε: I V = I V (3.3) Τι πληροφορία συνάγουμε από την εξίσωση (3.3); Πως αν το ρεύμα Ι δημιουργήσει ένα πεδίο που έχει ως συνέπεια μία διαφορά δυναμικού ΔV πάνω στον δεύτερο αγωγό και αν το ρεύμα Ι δημιουργήσει ένα πεδίο που έχει ως συνέπεια μία διαφορά δυαμικού ΔV πάνω στον πρώτο αγωγό αυτές πρέπει να διέπονται από την (3.3). Πρόκειται για μία ιδιότητα του χώρου στις οποίες βρίσκονται οι πηγές ρεύματος. Ας προχωρήσουμε τον συλλογισμό μας λίγο παραπάνω. Σχήμα 3-: Δύο κεραίες που εκπέμπουν η μία προς την άλλη. Τι σημαίνει αυτό στην πράξη όμως; Θεωρείστε δύο κεραίες και όπως στο Σχήμα 3-. Η κεραία εκπέμπει ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο το οποίο λαμβάνεται από την κεραία προκαλώντας κίνηση των ελεύθερων φορτίων που βρίσκονται στους αγωγούς της. Αν στην το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δημιουργείται από το ρεύμα Ι έχει ως αποτέλεσμα 3 Π.χ. πηγαίνουμε στο εργαστήριο Ηλεκτρονικής και χρησιμοποιούμε ένα πολύμετρο!

82 μία διαφορά δυναμικού ΔV στην και στη το πεδίο δημιουργείται από το ρεύμα Ι έχει ως αποτέλεσμα μία διαφορά δυναμικού ΔV στην, τότε V I V = (3.4) I Θα ήτανε ακόμα πιο χρήσιμο αν αναπαριστούσαμε το σύστημα των δύο κεραιών με ένα κύκλωμα όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-. Στην είσοδο του κυκλώματος έχουμε την τάση και το ρεύμα της κεραίας και στην έξοδο τα αντίστοιχα μεγέθη για την κεραία. Η τάση V οφείλεται αφενός μεν στο ρεύμα Ι που διαρρέει την είσοδο του κυκλώματος (δηλαδή την κεραία ) και αφετέρου στην κεραία η οποία δημιουργεί μία επιπλέον διαφορά δυναμικού ΔV στα άκρα της. I I V V Σχήμα 3-: Αναπαράσταση ενός συστήματος δύο κεραιών με ένα ισοδύναμο κύκλωμα. Τι γνωρίζουμε για το κύκλωμα; Προφανώς είναι γραμμικό και επομένως μπορούμε να γράψουμε ότι V = ZI+ ZI (3.5) V = ZI+ ZI (3.6) όπου τα Ζij έχουν μονάδες Ω. Τα ΖΙ και ΖΙ είναι οι συνιστώσες της ΔV και ΔV που οφείλονται στα ρεύματα Ι και Ι αντίστοιχα: Αν αναλογιστούμε το σύστημα των κεραιών, είναι προφανές πως το ρεύμα Ι που διέρχεται στον αγωγό δημιουργεί μία πτώση τάσης ΖΙ ανεξάρτητα από το αν υπάρχει η κεραία ή όχι. Ομοίως ισχύει για το ΖΙ και τον αγωγό αντίστοιχα. Το θεώρημα της αμοιβαιότητας αφορά τη συνιστώσα τις τάσης ΔV=ΖΙ που οφείλεται στην ύπαρξη της άλλης κεραίας. Έτσι ΔVΙ=ΔVΙ και επομένως ΖΙΙ=ΖΙΙ ή ισοδύναμα Ζ=Ζ.

83 Μέχρι τώρα αναφερόμαστε στο πεδίο των συχνοτήτων. Στο πεδίο του χρόνου τα πράγματα είναι λίγο πιο πολύπλοκα αλλά αν οι εμπεδήσεις Ζij δεν μεταβάλλονται σημαντικά με την συχνότητα 4, μπορούμε να γράψουμε στο πεδίο του χρόνου πια v ( t) = Z i ( t) + Z i ( t) (3.7) v ( t) = Z i ( t) + Z i ( t) (3.8) όπου v(t) και v(t) είναι οι τάσεις στα άκρα του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου και i(t) και i(t) τα αντίστοιχα ρεύματα, τότε οι τάσεις Δv(t)=Ζi(t) και Δv(t)=Ζi(t) αντιστοιχούν στις τάσεις στα άκρα των κεραιών που οφείλονται στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που δημιουργείται στην άλλη κεραία. Η ισχύς ΔP που λαμβάνεται στην από την κεραία είναι ΔP=Δv(t)i(t)=Ζi(t)i(t) ενώ η ισχύς ΔP που λαμβάνεται στην από την κεραία είναι ΔP=Δv(t)i(t)=Ζi(t)i(t). Αφού Ζ=Ζ θα έχουμε και ΔP=ΔP. Καταλήξαμε επομένως στο εξής συμπέρασμα: «Σε ένα σύστημα δύο κεραιών, η ισχύς που λαμβάνει η μία κεραία από την άλλη είναι ίδια ανεξάρτητα με το ποια κεραία θεωρούμε πως εκπέμπει και ποια λαμβάνει!» Θα χρησιμοποιήσουμε το παραπάνω αποτέλεσμα για να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά μεγέθη των κεραιών όταν χρησιμοποιούνται για λήψη. Πριν κλείσουμε την παρούσα ενότητα, ίσως αναριωτιέστε πως καθορίζονται τα Z και Ζ. Σύμφωνα με την (3.5), το ΖΙ είναι η πτώση τάσης που προκαλείται στα άκρα της όταν δεν υπάρχει η (δηλαδή Ι= οπότε δεν υπάρχει το Ε). Σύμφωνα με το Σχήμα 3-8, η κεραία στην καλύτερη περίπτωση προκαλεί μία πτώση τάσης RrI όπου Rr είναι η αντίσταση ακτινοβολίας της κεραίας. Επομένως θα έχουμε Ζ=Rr και με τον ίδιο συλλογισμό καταλήγουμε ότι Ζ=Rr όπου Rr είναι η αντίσταση ακτινοβολίας της κεραίας. Στο Σχήμα 3-, έχουμε αντικαταστήσει το γκρι κουτί στο Σχήμα 3- με αντιστάσεις και πηγές τάσεις σύμφωνα με τις (3.5) και (3.6). 4 Θυμηθείτε την ιδιότητα του μετασχηματισμού Fourier: Αν X(ω) και Υ(ω) τα φάσματα του x(t) και y(t) τότε αν Α και Β είναι σταθερές, το φάσμα Z(ω)=ΑΧ(ω)+ΒΥ(ω), αντιστοιχεί στο σήμα (t)=ax(t)+by(t)

84 Σχήμα 3-: Αναπαράσταση ενός συστήματος δύο κεραιών με ένα πιο συγκεκριμένο ισοδύναμο κύκλωμα Η κεραία ως δέκτης Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν την κεραία ως δέκτη. Το βασικότερο μέγεθος είναι το ενεργό άνοιγμα της κεραίας Αe το οποίο ορίζεται ως το πηλίκο της ισχύος PT που η κεραία παραδίδει στα άκρα της προς την πυκνότητα ισχύος του προσπίπτοντος ηλεκτρομαγνητικού κύματος Wi: A P T e = (3.9) Wi Καταρχήν θα πρέπει να σημειώσουμε πως η ισχύς που λαμβάνουμε υπόψη στην (3.9) είναι η ισχύς που λαμβάνουμε στο όργανο μέτρησης που έχουμε συνδέσει στα άκρα της κεραίας και για τον λόγο αυτό θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μία σειρά από απώλειες ισχύος που σχετίζονται με την κεραία. Για παράδειγμα αν στα άκρα της κεραίας στο Σχήμα 3- τοποθετήσετε κάποιο όργανο μέτρησης με αντίσταση εισόδου R, τότε η τιμή της τάσης που θα καταγραφεί θα είναι V V = I R = R R + Rr (3.) και επομένως θα εξαρτάται από το πόσο καλά έχετε προσαρμόσει την R στην Rr. Αν θέλουμε με μεγιστοποιήσουμε την ισχύ λήψης τότε θα πρέπει R=Rr αλλιώς θα έχουμε επιπλέον απώλειες προσαρμογής όπως είδαμε στην ενότητα 3.6. Η μέγιστη ισχύς που μπορούμε να λάβουμε είναι:

85 V = (3.) 8R r P Η (3.) μας δίνει την μέγιστη ισχύ που λαμβάνουμε αν προσαρμόσουμε την κεραία μας σωστά. Το ενεργό άνοιγμα για την κεραία στην περίπτωση αυτή θα είναι A P V e = = (3.) Wi 8Rr Wi Στην (3.) το Wi είναι η πυκνότητα ισχύος του κύματος που δημιουργεί η κεραία. Αν η κεραία είναι αρκετά μακριά μπορούμε να θεωρήσουμε πως το κύμα της είναι σχεδόν επίπεδο 5. Στην περίπτωση η πυκνότητα ισχύος θα δίνεται από την σχέση (.3), Η τάση ΔV από την άλλη θα δίνεται από τη σχέση W i = E (3.3) Z V = l E (3.4) όπου όπως και πριν έχουμε υποθέσει πως η φορά του ρεύματος του διπόλου είναι παράλληλη με τον άξονα των. H τάση αυτή μεγιστοποιείται όταν το Ε είναι παράλληλο με τον άξονα των και η τιμή της στην περίπτωση αυτή είναι V = l E (3.5) max, Αντικαθιστώντας την (3.5) και την (3.3) στην (3.) καταλήγουμε στο ότι η μέγιστη τιμή Αmax,e του Αe είναι: A max, e και αντικαθιστώντας την (3.78) έχουμε: A 3λ 8π l = (3.6) 4R Z r max, e = =.9λ (3.7) Η μέγιστη δυνατή τιμή του ενεργού άνοιγματος της κεραίας Αmax,e είναι και αυτή ένα χαρακτηριστικό της κεραίας που μάλιστα δεν εξαρτάται από το πώς είναι προσανατολισμένη στο χώρο και επομένως χρησιμοποιείται πολύ 5 Ας σας φαίνεται περίεργο αυτό, θυμηθείτε ότι στην παράγραφο 3.5 δείξαμε πως ισχύει στην περίπτωση του στοιχειώδους διπόλου.

86 συχνά για τον χαρακτηρισμό της κεραίας ως δέκτη. Στην περίπτωση του στοιχειώδους διπόλου βλέπουμε πως το Αmax,e εξαρτάται μονάχα από το μήκος κύματος. Θα δείξουμε τώρα μία πολύ βασική σχέση που συνδέει το μέγιστο ενεργό άνοιγμα μίας κεραίας και την μέγιστη κατευθυντικότητα της. Ας θεωρήσουμε πάλι το σύστημα των δύο κεραιών στο Σχήμα 3-. Στην αρχή θεωρούμε πως η εκπέμπει και η λαμβάνει το σήμα της. Σύμφωνα με την σχέση (3.68), μπορούμε να γράψουμε την πυκνότητα ισχύος W του πεδίου της κεραίας ως εξής: P t D W = (3.8) 4π r όπου D είναι η κατευθυντικότητα της κεραίας (στην διεύθυνση της κεραίας ), r η απόσταση μεταξύ των δύο κεραιών και Pt η ισχύς που ακτινοβολεί η κεραία. Σύμφωνα με τον ορισμό της ενεργού επιφανείας Ae της κεραίας, η ισχύς Pr που λαμβάνει η κεραίας είναι που ισοδύναμα μας δίνει: Pt Ae Pr = W Ae = D (3.9) 4π r P 4 r D A r e P π = (3.) t Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να δείξουμε ότι αν θεωρήσουμε πως η εκπέμπει και η λαμβάνει το σήμα της θα έχουμε: P 4 r D A r e P π = (3.) t όπου Pt η ισχύς που ακτινοβολεί η κεραία, Pr η ισχύς που λαμβάνει η κεραίας, D είναι η κατευθυντικότητα της κεραίας και Ae η ενεργός επιφάνεια της κεραίας. Έστω τώρα πως η ισχύς που εκπέμπεται είναι ίδια και στις δύο περιπτώσεις, δηλαδή Pt=Pt=Pt. Σύμφωνα με το κύκλωμα στο Σχήμα 3-, αυτό σημαίνει ότι Pt=I Rr=I Rr. Η ισχύς που λαμβάνει η θα πρέπει να είναι Pr=ΖΙΙ ενώ η ισχύς που λαμβάνει η θα είναι πάλι Pr=ΖΙΙ δηλαδή Pr=Pr 6. Επομένως αν συνδυάσουμε το γεγονός ότι Pt=Pt και το ότι Pr=Pr τότε σύμφωνα με τις (3.)-(3.) 6 Αυτό βέβαια ισχύει ανεξάρτητα από το αν η ισχύς εκπομπής είναι η ίδια! Είναι συνέπεια του θεωρήματος της αμοιβαιότητας.

87 D A D = (3.) A e e δηλαδή σε ένα σύστημα δύο κεραιών, ο λόγος μεταξύ της κατευθυντικότητας και του ενεργού ανοίγματος τους πρέπει να είναι σταθερός! Αυτό το δείξαμε ανεξάρτητα του είδους των κεραιών χρησιμοποιώντας το θεώρημα της αμοιβαιότητας. Φανταστείτε τώρα πως στρέφετε στο χώρο τις δύο κεραίες ώστε να είναι ευθυγραμμισμένες, δηλαδή η κατεύθυνση μέγιστης εκπομπής της να συμπίπτει με την κατεύθυνση μέγιστης λήψης της, οπότε D=Dmax, και Αe=Amax,e. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα να μεγιστοποιείται η ισχύς λήψης της,pr και επομένως και η ισχύς λήψης της Pr αφού Pr=Pr. Με άλλα λόγια έχετε στρέψει τις κεραίες έτσι ώστε D=Dmax, και Αe=Amax,e και θα έχουμε: D A max, D max, = (3.3) A max, e max, e Η κεραία μπορεί να είναι οτιδήποτε είδους θέλουμε και επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ένα στοιχειώδες δίπολο. Στην ενότητα 3.6, υπολογίσαμε τη μέγιστη κατευθηντικότητα του ίση με 3/ ενώ η (3.7) μας δίνει το μέγιστο ενεργό άνοιγμα. Αντικαθιστώντας στην (3.3) βρίσκουμε: Αποδείξαμε δηλαδή ότι: A max, e D max, 4 λ = (3.4) π Το μέγιστο ενεργό άνοιγμα και η μέγιστη κατευθηντικότητα μίας κεραίας έχουν σταθερό λόγο ίσο με λ /4π.

88 Κεφάλαιο 4 Κυματοδηγοί 4.. Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο είδαμε πως ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό ρεύμα, δημιουργεί ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του οποίου η πυκνότητα ισχύος εξασθενεί γρήγορα με την απόσταση. Στην περίπτωση του διπόλου του Hert, για παράδειγμα η πυκνότητα ηλεκτρομαγνητικής ισχύος μειώνεται με το τετράγωνο της απόστασης. Υπάρχει τρόπος να μεταδώσουμε κάποιο σήμα χωρίς να έχουμε τόσο ισχυρή εξασθένιση; Ήδη από την ενότητα.8, έχουμε δει πως μπορούμε να συγκρατήσουμε το φως μέσα σε ένα μέσο διάδοσης με το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης. Στην παρούσα ενότητα θα εξερευνήσουμε με μεγαλύτερη προσοχή το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης το οποίο περιορίζει το ηλεκτρομαγνητικό κύμα μέσα σε διατάξεις που το μεταφέρουν από τον πομπό στο δέκτη χωρίς τις μεγάλες γεωμετρικές απώλειες που υφίστανται στον ελεύθερο χώρο. Η διάταξη αυτή ονομάζεται κυματοδηγός και ένα παράδειγμα φαίνεται στο Σχήμα 4-. Σχήμα 4-: Ένας κυματοδηγός με τετραγωνική διατομή Η διηλεκτρική σταθερά ε=ε(x,y) είναι συνήθως ανεξάρτητη από την μία διάσταση του χώρου, στην συγκεκριμένη περίπτωση την. Ο κυματοδηγός μας μπορεί να περιβάλλεται από έναν πολύ καλό αγωγό (μέταλλο) το οποίο να απαγορεύει στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο να διαδοθεί εκτός του κυματοδηγού. Ένας πολύ καλός αγωγός έχει πολλά ελεύθερα φορτία και αν στο εσωτερικό του αναπτυχθεί ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, έπεται πως όλη του η ισχύς θα καταναλωθεί στην μετακίνηση των φορτίων αυτών και επομένως το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα πάψει να υπάρχει.

89 Για να καταλάβουμε λίγο καλύτερα τι συμβαίνει, υποθέστε πως βρισκόμαστε σε ένα ομογενές μέσο το οποίο περιέχει ελεύθερα φορτία τα οποία δημιουργούν μία πυκνότητα ελεύθερου φορτίου J. Αναμένουμε το ρεύμα αυτό να σχετίζεται με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που υπάρχει στο χώρο, αφού τα φορτία θα τείνουν να κινηθούν προς την κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου Ε. Σε μία πρώτη προσέγγιση μπορούμε να υποθέσουμε πως J=σ E (4.) Η σταθερά αναλογίας σ ονομάζεται αγωγιμότητα του μετάλλου. και στο πεδίο των συχνοτήτων θα πρέπει να συμπεριλάβουμε και τον όρο της πυκνότητας του ηλεκτρικού ρεύματος στην (.37) η οποία θα γραφτεί: όπου H= jωε E+ J= jωε E (4.) ε ε j σ = ωε (4.3) Η (4.) υπονοεί πως για να συμπεριλάβουμε την επίδραση των ελεύθερων φορτίων στις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων αρκεί να αντικαταστήσουμε το ε με ε το οποίο δίνεται από την (4.3). Συνεπώς, οι εξισώσεις που αποδείξαμε για τα επίπεδα κύματα ισχύουν με την αλλαγή από ε με ε οπότε αν υποθέσουμε πως το επίπεδο κύμα διαδίδεται προς τον + άξονα θα έχουμε: / / k= ω ( µ ε ) = ω ( µ ε) σ jωε / (4.4) δηλαδή το διάνυσμα k θα είναι τώρα μιγαδικό. Τι σημαίνει αυτό; Ας υποθέσουμε ότι το σ είναι πολύ μεγάλο και επομένως όπου ( ) / / σ ω µ ε σ k ω ( µ ε) j = j = a j ωε ωε a µ σ ε / στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε ότι j ( j) / ( ) ( ) (4.5) = (4.6) = ± /. Το γιατί πήραμε την λύση με το και όχι με το + θα γίνει φανερό στη συνέχεια. Η φάση του εξάρτηση του κύματος από το θα περιγράφεται από την εκθετική συνάρτηση:

90 exp( jk) = exp( a ja) (4.7) δηλαδή το κύμα εξασθενεί κατά μήκος του άξονα! Αντίθετα αν θέταμε j / ( j) = + / θα λαμβάναμε ένα κύμα το οποίο ενισχύεται καθώς διαδίδεται το οποίο σίγουρα δεν υπάρχει (τουλάχιστον στις περιπτώσεις που εξετάζουμε εμείς) 7. Αν το σ είναι πολύ μεγάλο, το α είναι και αυτό πολύ μεγάλο και το κύμα εξασθενεί πολύ γρήγορα. Αν το σ ήταν άπειρο (είχαμε δηλαδή έναν αγωγό με πολύ μικρή αντίσταση) τότε το κύμα θα ήτανε μηδέν. Να λοιπόν γιατί μέσα σε έναν τέλειο αγωγό το ηλεκτρικό πεδίο (και επομένως και το μαγνητικό) είναι ίσο με μηδέν). Τι άλλο μπορεί να συγκρατήσει το πεδίο; Αν το περιβάλλον υλικό δεν είχε ελεύθερα φορτία τότε ένας τρόπος θα ήτανε να επιλέξουμε μικρότερη διηλεκτρική σταθερά εout για το υλικό αυτό από την ε(x,y). Σύμφωνα με αυτά που μάθαμε στην.8 περιμένουμε πως υπό ορισμένες συνθήκες το κύμα θα ανακλάται στην διαχωριστική επιφάνεια. Θα αναλύσουμε περισσότερο το σημείο αυτό στη συνέχεια, αφού πρώτα εξετάσουμε τους κυματοδηγούς που περιβάλλονται από τέλειους αγωγούς. Τι συμβαίνει στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσα στον κυματοδηγό; Οι εξισώσεις Maxwell επιλύονται λίγο δυσκολότερα στην περίπτωση αυτή επειδή πλέον έχουμε ένα μέσο το οποίο δεν είναι ομογενές. Ακόμα και αν η ε(x,y) είναι σταθερή μέσα στον κυματοδηγό, θα πρέπει να έχουμε είτε μεταλλικά τοιχώματα είτε μικρότερη από ε διηλεκτρική σταθερά έξω από τον κυματοδηγό για να συγκρατούμε την ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο του κυματοδηγού μπορεί να γραφεί ως υπέρθεση των τρόπων διάδοσης του κυματοδηγού. Στο πεδίο των συχνοτήτων, ένας τρόπος διάδοσης είναι ένα πεδίο της μορφής j E( r) = E ( x, y) e β (4.8) j H( r) = H ( x, y) e β (4.9) όπου το β ονομάζεται σταθερά διάδοσης του τρόπου διάδοσης. Το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ενός τρόπου μεταβάλλεται αρμονικά ως προς το και σε αντίθεση με τα επίπεδα κύματα που ταξιδεύουν στον άξονα τον 7 Αλλιώς θα είχαμε φτιάξει έναν πολύ καλό ενισχυτή. Το κύμα θα ενισχυόταν και δεν θα πλήρωνε κανείς το λογαριασμό, δηλαδή δεν θα πρόσφερε κανείς ισχύ. Αν κάποιος είναι διατεθειμένος να πληρώσει πάντως μπορούμε να υποστηρίξουμε τέτοιου είδους κύματα που ενισχύονται, π.χ. στις διόδους LASER.

91 εξαρτάται και από τις συντεταγμένες (x,y). Ο άξονας είναι η κατεύθυνση διάδοσης του κύματος μέσα στον κυματοδηγό. Σας φαίνεται περίεργο που το πεδίο μπορεί να αναπτυχθεί σε υπέρθεση των τρόπων διάδοσης; Κάτι ανάλογο είδαμε πως ισχύει για τα επίπεδα κύματα. Η φιλοσοφία δεν αλλάζει και πολύ στην περίπτωση μας. Ένα οποιοδήποτε ηλεκτρικό πεδίο αναλύεται ως + j E( x, y, ) = dβ ( x, y, β ) e β π E % (4.) δηλαδή ως υπέρθεση πεδίων της μορφής (4.8). Το ερώτημα είναι αν η ανάλυση στους τρόπους διάδοσης μας βοηθάει στην επίλυση του προβλήματος. 4.. Διαμήκεις και Εγκάρσιες Συνιστώσες Αφού κάθε τρόπος διάδοσης πρέπει να αποτελεί λύση του προβλήματος θα πρέπει να επαληθεύει τις εξισώσεις Maxwell: E= jωµ H (4.) H= jωε ( x, y) E (4.) ( ε ) E = (4.3) H = (4.4) Αντικαθιστώντας τις (4.8) και (4.9) στις (4.)-(4.4) τότε μπορούμε να διαχωρίσουμε την συνιστώσα από τις υπόλοιπες. Πράγματι αν ορίσουμε τα διανύσματα E = xe + y E (4.5) T x y H = xh + y H (4.6) T x y που αποτελούν τις συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου που είναι κάθετες στην διεύθυνση διάδοσης και τον τελεστή T = x + x y y (4.7) θα έχουμε ( ε ) ( ε Ey) ( ε ) Ex E E ( εe) = + + = T ( εe T) + ε (4.8) x y

92 H H x y H H H= + + = T H T + (4.9) x y αλλά το E και το Η έχουνε εξάρτηση της μορφής exp(-jβ) ως προς το, οπότε Επίσης έχουμε ( ε ) jβε E E= E = (4.) T T H= H jβ H = (4.) T T E E E E E E y x x y y x y x E= x y+ (4.) και χρησιμοποιώντας το γεγονός πως έχουμε εξάρτηση exp(-jβ), E E E E y x x y y x E= + jβ Ey x jβ Ex y+ (4.3) Επειδή ισχύει η (4.), θα έχουμε: όπου μπορούμε εύκολα να δείξουμε: οπότε: E E jβ( Ex Ey ) = jωµ T y x x y y x H (4.4) E E E E T = + = x y y x ( E ) x y x y x y (4.5) ( E E ) ( E E ) E = x+ y = y x (4.6) T x y x y ( E ) jβ( ) = jωµ E H (4.7) T T T και πολλαπλασιάζοντας με εξωτερικά με θα έχουμε ( E ) jβ( ) jωµ E = H (4.8) T T T όπου ( E ) = E (4.9) T T E = E (4.3) T T και τελικά ( ) E + jβe = jωµ H (4.3) T T T

93 και κάνοντας την ίδια ακριβώς δουλειά για την (4.), ( ) H + jβh = jωε E (4.3) T T T Απομένει να πάρουμε την για τις (4.) και (4.).Η συνιστώσα της (4.) γράφεται: E x και μπορούμε να αποδείξουμε ότι οπότε: και με ανάλογο τρόπο T E y y x = jωµ H (4.33) E x E y y x ET (4.34) = E = jωµ H (4.35) T T H = jωε E (4.36) T T Αν έχετε επιβιώσει μέχρι εδώ, συγχαρητήρια! Έχετε καταφέρει να γράψετε τις εξισώσεις Maxwell σε μία μορφή που οι εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου έχουν ως ένα σημείο απεμπλακεί από τις διαμήκεις (ως διαμήκη συνιστώσα εννοούμε αυτή που είναι παράλληλη με τον άξονα διάδοσης, δηλαδή την ). Ας μαζέψουμε τις εξισώσεις αυτές όλες μαζί για να γίνει πιο κατανοητό αυτό: ( ) E + jβe = jωµ H (4.37) T T T ( ) H + jβh = jωε E (4.38) T T T E = jωµ H (4.39) T T H = jωε E (4.4) T T ( ε ) jβε E E = (4.4) T T H jβ H = (4.4) T T Στους όρους στις εξισώσεις (4.37)-(4.4) έχουμε καταφέρει να ξεχωρίσουμε τις διαμήκεις από τις εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου. Αλλά μπορούμε να κάνουμε και κάτι καλύτερο. Μπορούμε να εκφράσουμε τις εγκάρσιες συνιστώσες ως προς τις διαμήκεις. Πράγματι ας γράψουμε μαζί τις (4.38) και (4.7):

94 ( ) H + jβh = jωε E (4.43) T T T ( E ) jβ( ) = jωµ E H (4.44) T T T Και στις δύο παραπάνω εξισώσεις εμφανίζονται το ΗΤ και ΕΤ οπότε μπορούμε να λύσουμε το σύστημα και να βρούμε τα ΗΤ και ΕΤ ως εξής: όπου η παράμετρος p δίνεται από την jβ jωµ ET = T E T H (4.45) p p jωε jβ HT = T E T H (4.46) p p p = ω µε β (4.47) Πολλαπλασιάζοντας δε την (4.45) εξωτερικά με έχουμε: jβ jωµ ET = T E+ T H (4.48) p p Δεδομένου ότι ισχύει η (4.46) και η (4.48), θα έχουμε: H E E x H x y y jωε E jβ H = p y p x jωε E jβ H = p x p y jβ E jωµ H = p x p y jβ E jωµ H = + p y p x (4.49) (4.5) (4.5) (4.5) Στις εξισώσεις (4.46) και (4.48) έχουμε εκφράσει τις εγκάρσιες συνιστώσες του πεδίου ΕΤ και ΗΤ συναρτήσει διαμηκών συνιστωσών Ε και H. Επομένως αν με κάποιον τρόπο μπορέσουμε να υπολογίσουμε τις συνιστώσες αυτές θα είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε και τις ΕΤ και ΗΤ χρησιμοποιώντας τις (4.46) και (4.48). Στις επόμενες ενότητες θα δούμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τα πεδία σε ορισμένες γεωμετρίες κυματοδηγών. Ξεκινάμε με τον ορθογώνιο μεταλλικό κυματοδηγό.

95 4.3. Ορθογώνιος Μεταλλικός Κυματοδηγός Σχήμα 4-: Ένας κυματοδηγός με ορθογώνια διατομή Στο Σχήμα 4- παρουσιάζεται η γεωμετρία ενός κυματοδηγού ο οποίος περιβάλλεται από τέλειο αγωγό και στο εσωτερικό του έχει ένα υλικό με διηλεκτρική σταθερά ε(x,y)=ε. Εφόσον η διηλεκτρική μας σταθερά είναι σταθερή τότε εντός του κυματοδηγού, η (4.4) γράφεται: οπότε από την (4.48) θα έχουμε E jβ E = (4.53) T T β ωµ T T E+ T H β E = (4.54) p p εφόσον το ε(x,y) είναι παντού σταθερό, έπεται πως και το p που δίνεται από την (4.47) είναι και αυτό σταθερό, επομένως: και β p E β = p E T T T (4.55) ωµ ωµ ωµ H H H { H } y x p p p x y T T = T T = T + = ωµ H H p y x x y + = οπότε η (4.54) δίνει για την συνιστώσα Ε: E E + = + + = x y T E p E p E Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι (4.56) (4.57) H H + = + + = x y T H p H p H (4.58)

96 Οι εξισώσεις (4.57) και (4.58) περιέχουν μόνο το E και H (επιτέλους!) και με λίγη προσπάθεια επιλύονται για να μας δώσουνε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο που επικρατεί μέσα στον κυματοδηγό μας. Πρόκειται για διαφορικές εξισώσεις και ως τέτοιες χρειάζονται και κάποιου είδους αρχικές συνθήκες για να επιλυθούν. Το γεγονός ότι έχουμε έναν τέλειο αγωγό να περιβάλλει τον κυματοδηγό μας επιβάλλει στο κάποιες συνθήκες για το πεδίο μας τις οποίες πρέπει να λάβουμε υπόψη και αποτελούν τις αρχικές συνθήκες για τις διαφορικές μας εξισώσεις. Εφόσον πάνω στον αγωγό το ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να είναι μηδέν τότε και στην διαχωριστική επιφάνεια τα εγκάρσια ως προς το διάνυσμα που είναι κάθετα στην επιφάνεια ηλεκτρικά πεδία και τα διαμήκη μαγνητικά θα πρέπει να μηδενίζονται όπως δείχνει το Σχήμα 4-3, δηλαδή: Σχήμα 4-3: Οριακές Συνθήκες για το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Επίσης η (.5) συνεπάγεται ότι E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = (4.59) E ( x,) = E ( x, b) = E (, y) = E ( a, y) = (4.6) x x y y H (, y) = H ( a, y) = H ( x,) = H ( x, b) = (4.6) x x y y Ωστόσο μην ξεχνάτε! Οι εγκάρσιες συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου εξαρτώνται από τις διαμήκεις σύμφωνα με τις (4.49)-(4.5). Οπότε:

97 jωε E (, y) jβ H (, y) H x(, y) = = p y p x jβ E (, y) jωµ H (, y) Ey (, y) = + = p y p x και λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε ότι E (, y) H (, y) = = y x (4.6) (4.63) (4.64) Ομοίως και E (, y) H (, y) E ( a, y) H (, y) = = = = y x y x E ( x,) H ( x,) E ( x, b) H ( x, b) = = = = x y x y (4.65) (4.66) Είμαστε όμως τυχεροί! Το γεγονός ότι σύμφωνα με την (4.6) έχουμε Ε(,y)=, συνεπάγεται αυτόματα ότι Ε(,y)/ y=. Παρόμοια μπορούμε να δείξουμε ότι και οι υπόλοιπες παράγωγοι του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι επίσης ούτως ή άλλως μηδέν εξαιτίας της (4.6). Επομένως οι εξισώσεις (4.65) -(4.66) παρέχουνε καινούργια πληροφορία μόνο όσο αφορά τη συνιστώσα H του μαγνητικού πεδίου: H ( x,) H ( x, b) H (, y) H ( a, y) = = = = x x y y Συνοψίζουμε τι έχουμε κάνει μέχρι τώρα: (4.67). Έχουμε εκφράσει τις x και y συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου συναρτήσει των συνιστωσών δηλαδή της H και E. Αν δεν το πιστεύετε ρίξτε μια ματιά στις (4.49)-(4.5). Αυτό έχει γίνει στην γενική περίπτωση όπου έχουμε μία τυχαία διατομή οπότε ισχύει και στην περίπτωση του μεταλλικού κυματοδηγού.. Έχουμε βρει δύο εξισώσεις οι οποίες περιγράφει τις συνιστώσες H και E. Πρόκειται για τις (4.57) και (4.58). Παρατηρείστε πως στην εξίσωση του E δεν εμφανίζεται καθόλου το H και το ανάποδο. 3. Από όλες τις πιθανές λύσεις των (4.57) και (4.58) θα πρέπει να επιλέξουμε αυτές που ικανοποιούν τις (4.59) και (4.67) γιατί μόνο τότε επαληθεύονται οι οριακές συνθήκες στην άκρη της διατομής του κυματοδηγού.

98 4.4. ΤΕ και ΤΜ κύματα Υπάρχει ένα πολύ βασικό συμπέρασμα που προκύπτει από τις παραπάνω παρατηρήσεις. Μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση για το E ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ από την εξίσωση για το Η αφού τόσο η ίδια η εξίσωση όσο και οι οριακές συνθήκες δεν περιέχουν το Η. Ομοίως μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση για το Η ΞΕΧΩΡΙΣΤΑ από την εξίσωση για το Ε αφού τόσο η ίδια η εξίσωση όσο και οι οριακές συνθήκες δεν περιέχουν το Ε. Έστω ότι καταφέρνουμε να βρούμε λύσεις των εξισώσεων Maxwell οι οποίες έχουνε την συνιστώσα Ε παντού ίση με μηδέν. Τα κύματα αυτά ονομάζεται μαγνητικά εγκάρσια (transverse electric - ΤΕ). Για τα ΤE κύματα έχουμε: H E E x H x y y jβ H = p x jβ H = p y jωµ H = p y jωµ H =+ p x (4.68) (4.69) (4.7) (4.7) Παρατηρείστε πως για τα κύματα αυτά, ο μηδενισμός των παραγώγων του H σύμφωνα με την (4.67) εξασφαλίζει τις (4.6) και (4.6). Οπότε Θα μπορούσαμε, αντί της Ε να μηδενίσουμε την H. Τα κύματα αυτά ονομάζονται ηλεκτρικά εγκάρσια (transverse electric - ΤΜ). Αν θέσουμε H= θα έχουμε, H x H E E x y y jωε E = p y jωε E = p x jβ E = p x jβ E = p y (4.7) (4.73) (4.74) (4.75) Αφού ισχύει η (4.59) τότε θα ισχύουν και οι (4.6) και (4.6). Άμα βρούμε τις ΤΕ και τις ΤΜ λύσεις τότε απλά προσθέτουμε τα πεδία τους για να βρούμε την συνολική λύση. Έτσι λοιπόν κατατάσσουμε τους ηλεκτρομαγνητικούς τρόπους σε δύο κατηγορίες: στους ΤΕ (E=) και στους ΤΜ (Η=).

99 Ωραία όλα αυτά τα γενικά αλλά πρέπει να λύσουμε και τις εξισώσεις (4.57) και (4.58) οι οποίες είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης. Ας δοκιμάσουμε να λύσουμε την (4.57) υποθέτοντας ότι το E(x,y) μπορεί να γραφεί ως γινόμενο δύο απλών συναρτήσεων X(x) και Y(y), δηλαδή E = X ( x) Y( y) (4.76) Η προσπάθεια να βρούμε λύσεις της μορφής (4.76), ονομάζεται μέθοδος των χωριζόμενων μεταβλητών. Αν αντικαταστήσουμε την (4.76), τότε έχουμε και διαιρώντας με XY θα έχουμε d X d Y Y + X + p XY = (4.77) dx dy d X d Y X dx Y dy Αν παραγωγίσουμε την (4.78) ως προς x θα έχουμε + = p (4.78) d X = d dx X dx οπότε υπάρχει μία σταθερά px τέτοια ώστε (4.79) X dx d X = p (4.8) Μην μου πείτε ότι σας ενοχλεί το τετράγωνο στο δεξιό μέρος! Δεν βάζει κανένα περιορισμό αφού το px μπορεί να είναι μιγαδικός εν γένει αριθμός. Ομοίως έχουμε: Y dy d Y και για να είναι συνεπείς οι (4.8) και (4.8) με την (4.78), x = p (4.8) y p = p + p (4.8) x y Πως λύνουμε την (4.8); Η γενική λύση είναι της μορφής: και σύμφωνα με τις (4.59) θα πρέπει να έχουμε και αν αντικαταστήσουμε στην (4.83) θα έχουμε jpxx jpx x X ( x) = Ae + Be (4.83) X () = X ( a) = (4.84) A+ B= (4.85)

100 Ae jpxa οπότε, συνδυάζοντας τις (4.85)-(4.86) θα έχουμε: e jpxa jpxa + Be = (4.86) jpxa = e (4.87) Τι σημαίνει η (4.87) για το px; Όταν έχουμε exp()=exp() όπου και είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε υπάρχει ένας ακέραιος m τέτοιος ώστε =+jπm. Επομένως η (4.87) συνεπάγεται ότι ή ισοδύναμα: οπότε p a= π m (4.88) p x x mπ = (4.89) a jpx x jpx x mπ x X ( x) = Ae Ae = jasin( pxx) = A sin a (4.9) όπου έχουμε θέσει A=jΑ. Με την ίδια λογική μπορούμε να δείξουμε πως υπάρχει ένας ακέραιος n τέτοιος ώστε οπότε η λύση της (4.8) γράφεται: p y nπ = (4.9) b Y ( y) sin n π y b = B και η συνολική λύση E=X(x)Y(y) θα είναι της μορφής: mπ x nπ y E ( x, y) = C sin sin a b (4.9) (4.93) όπου C=AB. Ποιες τιμές μπορούν να πάρουν τα m και n; Είπαμε πως είναι ακέραιοι αλλά θα πρέπει να αποφύγουμε ένα από αυτά να είναι ίσο με μηδέν επειδή τότε θα έχουμε E(x,y)= παντού πάνω στην διατομή και σύμφωνα με τις (4.7)-(4.75) όλο το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα είναι μηδέν! Δεν έχει νόημα επομένως να μας απασχολήσει μία τέτοια λύση. Όπως είδαμε στην ενότητα 4., το β (το οποίο από εδώ και στο εξής θα το ονομάζουμε σταθερά διάδοσης) δίνεται από την (4.47), oπότε χρησιμοποιώντας την (4.89), την (4.9) και την (4.8), θα έχουμε

101 mπ nπ β = ω µ ε p = ω µ ε a b (4.94) Παρατηρούμε πως οι ακέραιοι m και n καθορίζουν τις κατανομές των πεδίων και την σταθερά διάδοσης των τρόπων TM και για το λόγο αυτό τους συμβολίζουμε ΤΜmn για να δείξουμε πως σε κάθε δυνατό συνδυασμό των m και n αντιστοιχεί ένας ΤΜ τρόπος. Υπάρχουν τιμές του ω για τις οποίες θα έχουμε ω με<p οπότε το β θα είναι φανταστικό. Τι συμβαίνει στην παραπάνω περίπτωση; Ας υπολογίσουμε την την ισχύ που μεταφέρει ένας ΤΜ τρόπος. Έχουμε: * * * βωε E E ExH y EyH E H = x = + 4 (4.95) p x y ( ) οπότε η ισχύς που μεταφέρεται σε ένα επίπεδο κάθετο προς την κατεύθυνση διάδοσης είναι * ωε E Re { } 4 Re E P= ds { β} ds E H = p + (4.96) x y S S Παρατηρείστε πως αν το β είναι φανταστικό τότε Re{β}= και επομένως το κύμα ΤΜ δεν μεταφέρει ηλεκτρομαγνητική ισχύ. Αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει απλά ότι δεν μπορεί να προσφέρει ενέργεια σε ελεύθερα φορτία. Μάλιστα αφού έχουμε υποθέσει μία εξάρτηση της μορφής exp(-jβ) έπεται πως αν β=±jki όπου το ki είναι θετικός αριθμός τότε επειδή exp(-jβ)=exp(±ki) τότε έπεται πως το κύμα αυτό είτε θα ενισχύεται (πράγμα αδύνατον επειδή στο άπειρο θα απειρίζεται!) είτε θα εξασθενεί. Το κύμα αυτό ονομάζεται αποσβένον κύμα (evanescent wave). Ένα κύμα με πραγματικό β είναι φορέας ηλεκτρομαγνητικής ισχύος και ονομάζεται κυματοδηγούμενο κύμα. Όταν το β του τρόπου ΤΜmn είναι πραγματικό τότε λέμε πως ο τρόπος είναι πάνω από την αποκοπή ενώ στην αντίθετη περίπτωση βρίσκεται κάτω από την αποκοπή. Όταν β= βρισκόμαστε ακριβώς στην αποκοπή (βέβαια αφού β= ο τρόπος μας μεταφέρει πάλι μηδενική ισχύ). Όπως συζητήσαμε και παραπάνω το β εξαρτάται από την συχνότητα και ορίζουμε ως συχνότητα αποκοπής του τρόπου ΤΜmn την συχνότητα ωmn για την οποία β= ή ισοδύναμα ω mn / / mπ nπ mπ nπ = + = + µ ε a b c a b (4.97)

102 όπου c=(με) / είναι η ταχύτητα του φωτός σε ένα άπειρο μέσο με διηλεκτρική σταθερά ε (θυμηθείτε την ενότητα Οι ιδιότητες των επίπεδων κυμάτων..5). Για συχνότητες ω>ωmn o TMmn βρίσκεται πάνω από την αποκοπή ενώ ω<ωmn βρίσκεται κάτω από την αποκοπή. Σχήμα 4-4: Το πεδίο E των τρόπων ΤΜ για διάφορες τιμές του m και του n Στο Σχήμα 4-4 παρουσιάζουμε την κατανομή του E(x,y) πάνω στο επίπεδο (x,y) για διάφορες τιμές των ακεραίων m και n. Οι άσπρες περιοχές αντιστοιχούν στο μέγιστο των κατανομών και οι μαύρες σε τιμές κοντά στο μηδέν. Παρατηρούμε πως για m> ή n> η κατανομή του πεδίου παρουσιάζει περισσότερους μηδενισμούς κάτι που εξηγείται εύκολα αν κανείς αναλογιστεί την (4.93): Όσο μεγαλύτερο το m ή το n τόσο πιο συχνά μηδενίζεται η συνάρτηση sin(mπx/a)sin(nπy/b) στο διάστημα x a και y b. Οι κατανομές των υπολοίπων συνιστωσών του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου βρίσκονται από τις (4.7)-(4.75). Η παραπάνω ανάλυση εφαρμόζεται και για την περίπτωση των κυμάτων ΤΕ. Στην περίπτωση αυτή έχουμε να λύσουμε την εξίσωση H x H y + + p H = και οι οριακές μας συνθήκες όπως είδαμε στην ενότητα 4.4 είναι H ( x,) H ( x, b) H (, y) H ( a, y) = = = = x x y y (4.98) (4.99)

103 Δοκιμάζουμε πάλι την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών θα πάρουμε πάλι όπως και στα ΤΜ κύματα, οπότε X dx d X = p (4.) x αλλά τώρα θα έχουμε jpxx jpx x X ( x) = Ae + Be (4.) dx () dx ( a) = = (4.) dx dx Οι εξισώσεις που παίρνουμε αν αντικαταστήσουμε την (4.) στην (4.) είναι οπότε όπως και πριν αλλά αυτή τη φορά Ομοίως βρίσκουμε οπότε το Η δίνεται από την e p A B= (4.3) jpxa x jpxa = e (4.4) mπ = (4.5) a jpx x jpxx mπ x X ( x) = Ae + Ae = Acos( pxx) = A cos a p y (4.6) nπ = (4.7) b Y ( y) cos n π y b = B mπ x nπ y H ( x, y) = C cos cos a b Παρατηρείστε πως και στην περίπτωση αυτή, (4.8) (4.9) p ω mπ nπ β = ω µ ε = c a b (4.)

104 όπου λαμβάνουμε την ίδια σχέση με την (4.94). Επομένως ο τρόπος ΤΕmn και ο τρόπος TMmn έχουνε τις ίδιες σταθερές διάδοσης και συνεπώς τις ίδιες συχνότητες αποκοπής. Αυτή την φορά αν m= ή n= δεν συνεπάγεται μηδενικό E. Ωστόσο αν m=n= έχουμε σταθερή κατανομή του E σε όλη τη διατομή του κυματοδηγού, οπότε σύμφωνα με τις (4.68)-(4.7) θα έχουμε Ex=Ey=Hx=Hy= οπότε έχουμε ( ) E H = E H E H = (4.) * * * x y y x δηλαδή το κύμα δεν μεταφέρει καθόλου ισχύ. Επομένως δεν έχει νόημα να λάβουμε υπόψη μας τον συνδυασμό m=n=. Στην γενική περίπτωση βρίσκουμε: * * * βωµ H H ExH y EyH E H = x = + 4 (4.) p x y ( ) και η ισχύς του κύματος που διέρχεται από την διατομή του κυματοδηγού είναι: * ωµ H Re { } 4 Re H P= ds { β} ds E H = p + (4.3) x y S S Στο Σχήμα 4-5 έχουμε παραστήσει την κατανομή των τρόπων ΤΕmn για τις πρώτες τιμές των m και n. Σχήμα 4-5: Το πεδίο Η των τρόπων ΤΕ για διάφορες τιμές του m και του n. Οι κόκκινες περιοχές αντιστοιχούν σε τιμές κοντά στο μέγιστο ενώ οι μπλε τιμές σε τιμές κοντά στο μηδέν.

105 4.5.Διάδοση σημάτων μέσα σε έναν κυματοδηγό. Στην ενότητα.5 είχαμε συζητήσει την ταχύτητα φάσης ενός επίπεδου κύματος και είχαμε δει πως καθορίζει την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται η φάση του σήματος. Στην περίπτωση ενός τρόπου κυματοδηγού η ταχύτητα φάσης θα δίνεται από την v φ ω = (4.4) β και στην περίπτωση του μεταλλικού κυματοδηγού δεν έχουμε παρά να αντικαταστήσουμε την σταθερά διάδοσης από την (4.). Ταυτίζεται αυτή η ταχύτητα με την ταχύτητα που διαδίδεται το σήμα; Καταρχήν για πιο σήμα μιλάμε; Μέχρι τώρα έχουμε χρησιμοποιήσει τις εξισώσεις Maxwell στο πεδίο των συχνοτήτων και δεν αναφέραμε κάτι για το πεδίο του χρόνου. Ας θεωρήσουμε πως έχουμε πάρει έναν ορθογώνιο μεταλλικό κυματοδηγό μεγάλου μήκους και στην μία του άκρη έχουμε τοποθετήσει έναν πομπό (στη θέση =) ενώ στην άλλη άκρη του (=L) έχουμε τοποθετήσει έναν δέκτη όπως δείχνει και το Σχήμα 4-6. Ο πομπός θα μπορούσε για παράδειγμα να είναι μια πηγή ηλεκτρικού ρεύματος το οποίο όπως είδαμε και Κεφάλαιο 3, δημιουργεί στο χώρο ένα ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Ωστόσο ο κυματοδηγός μπορεί να υποστηρίξει ορισμένους τρόπους διάδοσης όπως είδαμε στην ενότητα 4.4 και επομένως η πηγή θα διεγείρει τους τρόπους του κυματοδηγού που βρίσκονται πάνω από την αποκοπή οι οποίοι θα μεταφέρουνε τμήμα της ισχύος της στο δέκτη. Σχήμα 4-6: Ένας κυματοδηγός που συνδέει έναν πομπό και έναν δέκτη. Γενικά η διέγερση των κυματοδηγών είναι ένα πολύπλοκο (αλλά πολύ ωραίο!) πρόβλημα το οποίο δεν θα εξετάσουμε στα πλαίσια του μαθήματος (οπότε μην πάθετε καρδιακή προσβολή ακόμα). Αρκεί να αναφέρουμε πως το ποσοστό διέγερσης κάθε τρόπου έχει να κάνει με την κατανομή του ηλεκτρικού ρεύματος που διεγείρει τον κυματοδηγό. Αν η πηγή ταιριάζει 8 με έναν συγκεκριμένο τρόπο διάδοσης τότε θα διεγείρει τον τρόπο αυτό και 8 Το τι σημαίνει «ταιριάζει» είναι μεγάλη κουβέντα. Έχει να κάνει με τον προσανατολισμό της πυκνότητας του ηλεκτρικού ρεύματος αλλά και την κατανομή του στην διατομή του κυματοδηγού.

106 όσους άλλους έχουνε παρόμοια κατανομή. Ας ξεχάσουμε όμως τις λεπτομέρειες της διέγερσης και ας υποθέσουμε πως οι συχνότητες του σήματος που παράγει η πηγή έχει συχνότητες ω οι οποίες είναι μεν μεγαλύτερες από την ω που είναι η συχνότητα αποκοπής του ΤΕ αλλά μικρότερες από του ΤΕ όπως δείχνει το Σχήμα 4-7, δηλαδή π π ω = ω = ω (4.5) c a c b όπου έχουμε υποθέσει πως a>b και έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι οι συχνότητες αποκοπής δίνονται από την (4.97). Είναι προφανές πως κάθε άλλος τρόπος εκτός του ΤΕ βρίσκεται κάτω από την αποκοπή, αφού για m και n οι συχνότητες αποκοπής ωmn είναι όλες μεγαλύτερες από την ω, δηλαδή ω mn / / mπ nπ π π π = + + > = ω c a b c a b c b (4.6) Σχήμα 4-7: Το φάσμα ενός σήματος x(t) Έτσι μονάχα ο ΤΕ μεταφέρει ηλεκτρομαγνητική ισχύ από τον πομπό στον δέκτη. Ας σκεφτούμε τώρα λίγο πως είναι το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο στο πεδίου του χρόνου. Αν υποθέσουμε πως το φάσμα X(ω) του σήματος x(t) που θέλουμε να μεταδώσουμε είναι γύρω από μία συχνότητα ω=ω. Κάθε φασματική συνιστώσα X(ω) θα υπόκειται μία μεταβολή φάσης εξαιτίας της εξάρτησης exp(-jβ(ω)) του τρόπου διάδοσης. Στον πομπό το σήμα x(t) θα δίνεται από την σχέση + j t x( t) = dω X ( ω) e ω π (4.7) Στον δέκτη το φάσμα Y(ω) του σήματος y(t) που λαμβάνουμε θα είναι Y ( ω) X ( ) e β ω j ( ) = ω (4.8)

107 και στο πεδίο των συχνοτήτων + + jωt jβ ( ω ) + jωt y( t) = Y( ω) e = X ( ω) e π π (4.9) Αν υποθέσουμε τώρα πως το φασματικό εύρος Δω του σήματος είναι πολύ μικρό, τότε μπορούμε να αναπτύξουμε την σταθερά διάδοσης χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα του Taylor πρώτης τάξης: β ( ω) β + β ( ω ω ) (4.) όπου οπότε: ( ) β = β ω (4.) β ( ) dβ ω = (4.) dω y t X e e X e e x t L + + j ( ) ( ) β L j βω L+ j ω t j β L j L ( ) jβω L j ω t = ω = ω + = β ( β ) π π (4.3) όπου στην τελευταία ισότητα έχουμε χρησιμοποιήσει την (4.7). Σύμφωνα με την (4.3) ο δέκτης λαμβάνει μία έκδοση του x(t) καθυστερημένη κατά βl ή ισοδύναμα για να φτάσει το σήμα στο δέκτη χρειάζεται χρόνο βl. Η ταχύτητα του σήματος είναι v L ( ) dβ ω g = = = βl β dω (4.4) Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το σήμα ονομάζεται ταχύτητα ομάδας και ισούται με το αντίστροφο της πρώτης παραγώγου της σταθεράς διάδοσης ως προς την συχνότητα. Αν η προηγούμενη ανάλυση σας φάνηκε δύσκολη, που να λάβετε υπόψη σας ότι δεν σας είπα όλη την αλήθεια. Καταρχήν, εφόσον το x(t) είναι πραγματικό έχουμε και ένα κομμάτι του φάσματος γύρω από το ω=-ω. Δεύτερον, αν το φάσμα του σήματος δεν είναι πολύ στενό, τότε πρέπει να περιλάβουμε και περισσότερους όρους στο ανάπτυγμα (4.). Ωστόσο και οι δύο παρατηρήσεις αυτές αποδεικνύεται πως δεν αλλοιώνουνε σημαντικά το αποτέλεσμα όσο αφορά την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το σήμα. Αν υποθέσουμε πως η σταθερά διάδοσης δίνεται από μία σχέση της μορφής: β = ( ω / c) p (4.5) όπως στην περίπτωση του μεταλλικού κυματοδηγού, τότε

108 = dβ = ω ω v ( ω / c) p = = φ vg dω c β c c (4.6) οπότε v v = g φ c (4.7) δηλαδή σε έναν κυματοδηγό, το γινόμενο των δύο ταχυτήτων είναι ίσο με το τετράγωνο της ταχύτητας του φωτός μέσα στο μέσο από το οποίο αποτελείται ο κυματοδηγός. Αν υποθέσουμε πως ο κυματοδηγός είναι κενός, τότε ε=ε, οπότε v φ ω ω ω = = > = c = β ω ω ( / c) p ( / c) 8 3 m/s (4.8) δηλαδή η ταχύτητα φάσης είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Πως είναι δυνατόν αυτό; Ο θείος Αλβέρτος (Αινστάιν) μας έχει πει πως κανείς δεν μπορεί να τρέξει πιο γρήγορα από ότι το φως στο κενό. Μην ανησυχείτε δεν έχουμε παραβεί τους νόμους της φύσης με τέτοιο φαντασμαγορικό τρόπο 9. Όπως είπαμε λίγο πιο πριν σημασία έχει η ταχύτητα ομάδας η οποία εξαιτίας της (4.7) θα είναι vg < c (4.9) δηλαδή μικρότερη της ταχύτητας του φωτός στο κενό. Οπότε όλα καλά! 4.6. Κυκλικός Μεταλλικός Κυματοδηγός Τι γίνεται στην περίπτωση όπου έχουμε άλλου είδους διατομή όπως στον κυκλικό μεταλλικό κυματοδηγό στο Σχήμα 4-8; Οι εξισώσεις της ενότητας 4. ισχύουν στη γενική περίπτωση οπότε μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε και για την ανάλυση του κυκλικού κυματοδηγού. Επίσης ισχύουν και οι (4.57)- (4.58), θα πρέπει ωστόσο να προσέξουμε πως γράφουμε τις οριακές συνθήκες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις κυλινδρικές συντεταγμένες για να διευκολύνουμε την ανάλυση μας. Επειδή η συνιστώσες του ηλεκτρικού πεδίου που είναι παράλληλες με την επιφάνεια θα πρέπει να είναι μηδέν, θα έχουμε 9 Αν και η παραβίαση αυτή δεν πρέπει να ξενίζει τους φίλους της επιστημονικής φαντασίας. Τόσο ο Κάπταιν Κερκ από το Σταρ Τρεκ όσο και ο Χαν Σόλο από τον Πόλεμο των Άστρων πετούσανε τα διαστημόπλοια τους με ταχύτητες πολύ μεγαλύτερες του c. Τώρα αν στο μέλλον θα μπορέσουμε να πετάξουμε διαστημόπλοια ή να διαδώσουμε σήματα με αυτές τις ταχύτητες κανείς δεν το ξέρει. Ο θείος Αλβέρτος μπορεί να έχει κάνει λάθος!

109 ενώ για το μαγνητικό πεδίο θα έχουμε E ( R, φ ) = (4.3) Eφ ( R, φ ) = (4.3) H r ( R, φ ) = (4.3) Σχήμα 4-8: Ένας μεταλλικός κυματοδηγός με κυκλική διατομή Σχήμα 4-9: Εγκάρσιες συνιστώσες των πεδίων Στο Σχήμα 4-9 παρουσιάζουμε τις συνιστώσες του πεδίου πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια εκτός αυτών που είναι παράλληλες με την διεύθυνση διάδοσης. Θα προσπαθήσουμε τώρα να εκφράσουμε τις (4.3) και

110 (4.3), μόνο συναρτήσει του E και H. Ας θυμηθούμε την εξάρτηση των εγκάρσιων συνιστωσών του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου από τα E και H: jωε jβ HT = T E T H (4.33) p p jβ jωµ ET = T E+ T H (4.34) p p Ο τελεστής Τ γράφεται σε κυλινδρικές συντεταγμένες: E ρ E φ T E = ρ+ φ (4.35) H ρ H φ T H = ρ+ φ (4.36) Δεδομένου ότι ρ=φ και φ=-ρ οι (4.33) και (4.34) γράφονται ως: H E H φ E φ ρ jωε E = p ρ φ jωε E = p ρ ρ jβ H p ρ jβ H p ρ φ jωµ H jβ E = p ρ φ p ρ jωµ H jβ E = p ρ p ρ φ (4.37) (4.38) (4.39) (4.4) Εξαιτίας των οριακών συνθηκών, για ρ=r θα πρέπει να ισχύουν οι (4.3) και (4.3). Επομένως θα πρέπει E H φ ρ ( φ R) ( φ R) ( φ, ) jβ ( φ, ) jωε E R H R, = = p ρ φ p ρ ( φ, ) j ( φ, ) jωµ H R β E R, = = p ρ p ρ φ (4.4) (4.4) και επομένως οι οριακές συνθήκες συνεπάγονται ότι H E ( φ, R) ρ ( φ, R) φ = = (4.43) (4.44)

111 Όπως και στην περίπτωση των ορθογώνιων κυματοδηγών, οι οριακές συνθήκες του E δεν περιέχουν το H και έτσι μπορούμε να επιλύσουμε τις (4.57)-(4.58) διαχωρίζοντας τους τρόπους μας σε ΤΕ και ΤΜ. Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων, οι εξισώσεις (4.57)-(4.58) γράφονται: E E T E+ p E = ρ + + p E = ρ ρ ρ ρ φ H H T H + p H = ρ + + p H = ρ ρ ρ ρ φ (4.45) (4.46) Για να επιλύσουμε την (4.45), χρησιμοποιούμε ξανά την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών και θέτουμε E=Ρ(ρ)Φ(φ) οπότε d dρ d Φ ρ dρ dρ ρ dφ Φ ρ +Ρ + p ΡΦ= Διαιρούμε με Ρρ - και οπότε η (4.47) δίνει d dρ d Φ ρ ρ ρ dρ dρ + dφ + = αν παραγωγίσουμε ως προς φ θα έχουμε p (4.47) (4.48) d Φ p = φ (4.49) dφ για κάποια σταθερά pφ. Η (4.49) φαινομενικά δεν έχει κάποια οριακή συνθήκη. Ωστόσο υπάρχει ένας σημαντικός περιορισμός για την συνάρτηση Φ(φ). Θα πρέπει Φ(φ+πκ)= Φ(φ) για κάθε ακέραιο κ. Η (4.49) θα έχει λύσεις της μορφής: ( φ) jpφφ jpφφ Φ = Ae + Be (4.5) και ο μόνος τρόπος για να ισχύει η οριακή μας συνθήκη είναι να έχουμε p = φ m (4.5) όπου m ένας ακέραιος οπότε η (4.5) γράφεται ισοδύναμα: όπου C=(A+B)/ και D=j(Α-Β)/. ( φ) C cos( mφ) Dsin( mφ) Φ = + (4.5) Πράγματι είναι δύσκολο να φανταστούμε πως το ηλεκτρικό πεδίο ή το μαγνητικό πεδίο δεν θα έχει αυτή την ιδιότητα, γιατί κάθε φυσικό μέγεθος θα πρέπει να έχει την ίδια τιμή αν προσθέσουμε στο φ ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του π.

112 Αντικαθιστώντας την (4.49) στην (4.48) και αναπτύσσοντας την παράγωγο ως προς ρ, θα έχουμε: Η (4.53) έχει οριακή συνθήκη την ρ d Ρ d ( p m ) d ρ Ρ + + ρ dρ ρ Ρ= (4.53) Ρ ( R) = (4.54) Πως λύνουμε την (4.53); Ευτυχώς έχει κάνει για εμάς την δουλειά ο κύριος Friedrich Bessel. Μάλιστα θεωρείται τόσο σημαντική διαφορική εξίσωση η (4.53) που οι λύσεις έχουν πάρει το όνομα του. Γενικά λοιπόν η λύση δίνεται από την ( ρ) ( ρ) ( ρ) P = AJ p + BY p (4.55) m όπου οι συναρτήσεις Jm(x) και Υm(x) ονομάζονται συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους αντίστοιχα. Η Υm(pρ) απειρίζεται για ρ= οπότε δεν αντιστοιχεί σε κάποιο πραγματικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Αντίθετα η Jm(pρ) είναι πεπερασμένη για όλα τα ρ και επομένως δεν έχουμε κάποιο λόγο να την απορρίψουμε. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως η λύση της (4.45) είναι ένα συνδυασμός λύσεων της μορφής: m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ) cos( mφ) (4.56) m E ( ρ, φ) = AJ ( pρ)sin( mφ) (4.57) m Σχήμα 4-: Συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους. Στο Σχήμα 4- έχουμε παραστήσει γραφικά τις συναρτήσεις Bessel Jm(x) που περιγράφουν την εξάρτηση του ηλεκτρικού πεδίου ως προς το ρ. Γενικά δεν

113 υπάρχει κάποιος τρόπος να γραφτεί η Jm(x) σαν ένας συνδυασμός απλών συναρτήσεων (δηλαδή εκθετικών, ημιτόνων, συνημίτονων, κτλ). Τυπικά ορίζεται μέσο της σειράς: ( ) J ( x) = x m m = ( 4 x ) µ (4.58) µ µ!( µ + m)! Για μεγάλα ορίσματα x αποδεικνύεται πως η Jm(x) προσεγγίζεται από την mπ π J m( x) cos x π x 4 (4.59) και για τον λόγο αυτό παρουσιάζει την συμπεριφορά που φαίνεται στο Σχήμα 4-. Θα πρέπει να σημειώσουμε και μερικές χρήσιμες ιδιότητες της Jm(x) που προκύπτουν από την (4.58) αλλά δεν θα αποδείξουμε: m J m+ ( x) = J m( x) Jm ( x) (4.6) x m m J m( x) = J m( x) + J m ( x) = J m( x) Jm ( x) = [ J m ( x) J m ( x) ] (4.6) x x Δεν πρέπει να ξεχνάμε την οριακή συνθήκη (4.54) η οποία συνεπάγεται πως το p θα πρέπει να καθορίζεται από την J ( ) m pr = (4.6) Όπως δείχνουμε στο Σχήμα 4-, η συνάρτηση Jm(x) παρουσιάζει πολλούς μηδενισμούς οι οποίοι διαφέρουν και ανάλογα με την τάξη m της συνάρτησης Bessel. Μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά τους μηδενισμούς xmn της εξίσωσης Jm(xmn)= οπότε το p=pmn για κάθε τρόπο ΤΜmn καθορίζεται από την: p x R mn mn = (4.63) Οι συχνότητες αποκοπής του τρόπου προκύπτουν από την (4.47) θέτοντας β= όπως και στην περίπτωση του ορθογώνιου κυματοδηγού, μόνο που αυτή τη φορά έχουμε: cx R TM mn ω mn = (4.64) Στο Σχήμα 4- φαίνεται πως ο πρώτος μηδενισμός xmn> προκύπτει για την J(x) και είναι στο.45, δηλαδή x=.45. Επομένως ο τρόπος ΤΜ έχει TM συχνότητα αποκοπής ω =.45 c / R. Όσο για τους τρόπους ΤΕ, εξαιτίας της (4.43) θα έχουμε:

114 dρ ( R) dρ = (4.65) ή dj m( pr) = (4.66) dρ Θυμηθείτε πως συνήθως η παράγωγος μίας συνάρτησης μηδενίζεται στα μέγιστα και στα ελάχιστα της. Από το Σχήμα 4- προκύπτει πως το πρώτο σημείο ymn> όπου έχουμε ακρότατο για κάποια από τις Jm(x) είναι το πρώτο μέγιστο της J(x) και αν κοιτάξουμε λίγο καλύτερα θα δούμε πως βρίσκεται περίπου στο.84 δηλαδή αριστερότερα του.45 που αντιστοιχεί στον πρώτο μηδενισμό των Jm(x). Οι συχνότητες αποκοπής δίνονται από την cy R TE mn ω mn = (4.67) TE Επομένως ο τρόπος ΤΕ έχει συχνότητα αποκοπής ω =.84 c / R. Σχήμα 4-: Παράμετροι p για τους πρώτους δέκα τρόπους του κυματοδηγού. Και λέω συνήθως διότι υπάρχει περίπτωση να μηδενίζεται και η δεύτερη παράγωγος στο ίδιο σημείο οπότε δεν είμαστε σίγουροι πως έχουμε ακρότατο

115 Στο Σχήμα 4- έχουμε παραθέσει τις τιμές του pmnr που προκύπτουν από την αριθμητική επίλυση των (4.6) και (4.66) για τους δέκα τρόπους ενός κυλινδρικού κυματοδηγού με την μικρότερη συχνότητα αποκοπής Ομοαξονικός Κυματοδηγός Τόσο ο κυκλικός όσο και ο ορθογώνιος κυματοδηγός χρησιμοποιούνται κυρίως στις μικροκυματικές συχνότητες. Υπάρχει και ένα άλλο είδος κυματοδηγού το οποίο είναι ιδαίτερα χρήσιμο: ο ομοαξονικός κυματοδηγός του οποίου η διατομή εικονίζεται στο Σχήμα 4- και στην ουσία πρόκειται για έναν κυκλικό κυματοδηγό στο εσωτερικό του οποίου υπάρχει ένας μεταλλικός κύλινδρος με ακτίνα a. Σχήμα 4-: Η διατομή του ομοαξονικού κυματοδηγού Τι συμβαίνει στο εσωτερικό του κυματοδηγού αυτού; Μέχρι τώρα χωρίσαμε τους τρόπους μας σε ΤΕ και ΤΜ και λύναμε τις αντίστοιχες εξισώσεις για το μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο. Υπάρχει άραγε περίπτωση ένας τρόπος να είναι ΤΕ και ΤΜ ταυτόχρονα; Δηλαδή να ισχύει E=H=; Θα δούμε πως ο εσωτερικός κύλινδρος του μετάλλου επιτρέπει την διάδοση τέτοιου είδους κυμάτων με ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Στην περίπτωση όπου E=H= θα έχουμε από τις (4.37)-(4.4), τις παρακάτω σχέσεις για το κύμα μας T ( ) βe = ωµ H (4.68) T ( ) T T β H = ωε E (4.69) E = (4.7) T T H = (4.7) T T E = (4.7) T T

116 H = (4.73) T Η σχέση (4.7) συνεπάγεται ότι υπάρχει μία βαθμωτή συνάρτηση V για την οποία οπότε αντικαθιστώντας στην (4.7), προκύπτει ότι T E = V (4.74) T T = (4.75) V T Δεν έχουμε επιλέξει τυχαία το γράμμα V για την συνάρτηση: πρόκειται για το δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου. Πράγματι, το έργο που καταναλώνεται κατά την μετακίνηση ενός φορτίου q από την θέση r στη θέση r+dr παρουσία του ηλεκτρικού πεδίου E=ET είναι: V V V dw = qe dr= q( V) dr = q dx+ q dy+ q d (4.76) x y και ολοκληρώνοντας έχουμε για το έργο που καταναλώνεται κατά την μετακίνηση από το r στο r : { } W ( r ) W ( r ) = q V ( r ) qv ( r ) (4.77) που αν θυμάστε αποτελεί τον ορισμό του δυναμικού. Στην περίπτωση του ομοαξονικού κυματοδηγού χρησιμοποιούμε το κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων για να γράψουμε την (4.75) ως: V V TV = ρ + = ρ ρ ρ ρ φ (4.78) Όσο αφορά την οριακή συνθήκη θα πρέπει να έχουμε Εφ= τόσο στο ρ=a όσο και στο ρ=b οπότε όπου το Εφ υπολογίζεται από την (4.74): E V V T = TV = ρ ρ ρ φ (4.79) από την οποία προκύπτει ότι E φ V = ρ φ (4.8) και επομένως η οριακή συνθήκη συνεπάγεται ότι Αν νομίζετε πως σας ξεγέλασα έχετε κάποιο δίκιο. Το δυναμικό V ορίζεται ως Ε=- V και όχι Ε=- ΤV. Αλλά στην περίπτωση μας δεν έχει σημασία αρκεί να μετακινούμαστε στο ίδιο επίπεδο = δηλαδή τα r και r να έχουν συντεταγμένες (x,y,) και (x,y,) αντίστοιχα.

117 V = φ (4.8) η με άλλα λόγια ότι το δυναμικό V θα πρέπει να είναι σταθερό στα σημεία ρ=a και ρ=b. Για να λύσουμε την (4.78) εφαρμόζουμε την παλιά καλή συνταγή των χωριζομένων μεταβλητών. Θέτουμε V=P(ρ)Φ(φ) και έχουμε όπως και στην περίπτωση του κυκλικού κυματοδηγού: d dφ Θυμηθείτε πως η (4.8) έχει ρίζες Φ = m (4.8) d Ρ dρ ρ + ρ m Ρ= (4.83) dρ dρ ( φ) C cos( mφ) Dsin( mφ) Φ = + (4.84) Η (4.83) είναι η ειδική περίπτωση της (4.53) όπου p =. Στην περίπτωση αυτή η λύση είναι ( ρ) ln P = A ρ+ B ( m= ) (4.85) m m ( ρ) ρ ρ P = A + B ( m ) (4.86) Η οριακή συνθήκη (4.8) επιβάλλει να μην έχουμε εξάρτηση όμως από το φ, στην συνάρτηση V=P(a)Φ(φ). Ο μόνος τρόπος για να γίνει αυτό είναι να υποθέσουμε πως m= γιατί διαφορετικά η (4.84) θα συνεπάγεται κάποια εξάρτηση από το φ 3. Επομένως η μόνη αποδεκτή λύση είναι για m= οπότε ( ρ) ln V = E ρ+ F (4.87) όπου E=AC και F=BC. Αν το δυναμικό στο ρ=a και στο ρ=b είναι Va και Vb αντίστοιχα, τότε: V = V ( a) = E ln a+ F (4.88) a V = V ( b) = E ln b+ F (4.89) b από όπου προκύπτει ότι Va ln b Vb ln a F = ln b ln a (4.9) 3 Αν νομίζετε πως μπορείτε να επιλέξετε τα C και D ώστε να μην έχουμε εξάρτηση από το φ όταν m δοκιμάστε το! Με λίγη τριγωνομετρία θα δείτε πως αυτό δεν γίνεται.

118 a E= ( Vb Va)ln b οπότε το δυναμικό γράφεται: lnρ Va ln b Vb ln a V( ρ) = ( Vb Va) + ln b / a ln b ln a ( ) (4.9) (4.9) Το ηλεκτρικό πεδίο υπολογίζεται από την (4.74), και το μαγνητικό πεδίο από την (4.69) ( Vb Va) ln ( b / a) ET = TV = ρ (4.93) ρ ( Vb Va) ln ( b / a) ωε ωε HT = ( ET) = ρ (4.94) β β ρ Πως υπολογίζουμε την σταθερά διάδοσης β; Από την (4.69) έχουμε 4 και χρησιμοποιώντας την (4.68) οπότε ωε ωε HT = ( ET) = E T (4.95) β β ωε β ET = E T (4.96) β ωµ β = ω µε (4.97) Δηλαδή η σταθερά διάδοσης είναι ίδια με το κυματάνυσμα ενός επίπεδου κύματος που διαδίδεται σε ένα άπειρο μέσο με διηλεκτρική σταθερά ε. Tα κύματα αυτά που είναι και ΤΕ και ΤΜ ονομάζονται ΤΕΜ και δεν έχουνε συχνότητα αποκοπής. Φυσικά ο ομοαξονικός κυματοδηγός μπορεί να υποστηρίξει και ΤΕ και ΤΜ κύματα και θα πρέπει να υπολογίσουμε την συχνότητα αποκοπής και σε αυτά. Οι τρόποι αυτοί έχουνε μη μηδενική συχνότητα αποκοπής. Στα ομοαξονικά καλώδια που χρησιμοποιούνται στις μικροκυματικές εφαρμογές, συνήθως διαδίδεται μόνο ο ΤΕΜ τρόπος. Τα ομοαξονικά καλώδια χρησιμοποιούνται συνήθως για την σύνδεση εξοπλισμού video, για την σύνδεση ραδιοφωνικών κεραιών με τον πομπό και το δέκτη και στα 4 Θυμηθείτε την ιδιότητα Α (B C)=B(A C)-C(A B)

119 ηλεκτρονικά συστήματα μέτρησης. Στο παρελθόν ήτανε αρκετά κοινά στις υλοποιήσεις δικτύων υπολογιστών και κυρίως του Ethernet αλλά στις μέρες μας έχουνε αντικατασταθεί με το καλώδιο UTP. Η καλωδιακή τηλεόραση χρησιμοποιεί σε μεγάλο ποσοστό ομοαξονικές γραμμές. Τα cable modem που χρησιμοποιούνται στην Αμερική αλλά και σε άλλες χώρες για την παροχή ευρυζωνικού internet από το δίκτυο της καλωδιακής τηλεόρασης συνδέονται συνήθως με ομοαξονικό καλώδιο Επίπεδοι Διηλεκτρικοί Κυματοδηγοί Μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε ένα μεταλλικό στρώμα για να αναγκάσουμε το ηλεκτρομαγνητικό κύμα να παραμένει στο εσωτερικό του κυματοδηγού. Αυτό αποτελεί καλή προσέγγιση για τις μικροκυματικές συχνότητες. Όσο όμως ανεβαίνουμε σε συχνότητα, τα μέταλλα παύουν να συμπεριφέρνονται ως τέλειοι αγωγοί όπως υποθέσαμε. Στις οπτικές συχνότητες, οι διαστάσεις του κυματοδηγού είναι πολύ μικρότερες και μία λύση είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα διηλεκτρικό διαφορετικής διηλεκτρικής σταθεράς και το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης που γνωρίσαμε στη ενότητα.8. Στο Σχήμα 4-3 παρουσιάζεται ένας κυματοδηγός που αποτελείται από τρία στρώματα διηλεκτρικού και διηλεκτρική σταθερά ε,ε και ε3. Το μεσαίο στρώμα έχει διηλεκτρική σταθερά ε και πάχος h, ενώ τα δύο ακριανά έχουνε άπειρο πάχος. Σχήμα 4-3: Ένας επίπεδος διηλεκτρικός κυματοδηγός Δεδομένου του φαινομένου της ολικής ανάκλασης υποψιαζόμαστε πως αν ε>ε και ε>ε3, το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο θα μπορούσε υπό προυποθέσεις να περιοριστεί στο εσωτερικό του μεσαίου στρώματος. Επειδή όμως δεν υπάρχει ένας τέλειος αγωγός να περιβάλλει το στρώμα αυτό, το πεδίο στα εξωτερικά στρώματα δεν είναι απαραίτητο να μηδενίζεται. Αλλά ας δούμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε τους τρόπους της διάταξης. Καταρχήν σε κάθε στρώμα το ε έχει σταθερή τιμή και επομένως ισχύουν οι (4.49)-(4.5) τις οποίες ξαναγράφουμε εδώ για ευκολία:

120 H E E x H x y y jωε E jβ H = p y p x jωε E jβ H = p x p y jβ E jωµ H = p x p y jβ E jωµ H = + p y p x (4.98) (4.99) (4.) (4.) όπου: E E + = + + = x y T E p E p E H H + = + + = x y T H p H p H (4.) (4.3) Στην περίπτωση που φαίνεται στο Σχήμα 4-3, η διηλεκτρική σταθερά της διάταξης δεν εξαρτάται από το y. Αυτό σημαίνει ότι και το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο δεν μπορεί να εξαρτάται από το y. Πράγματι ας υποθέσουμε πως ένας παρατηρητής βρίσκεται στο σημείο P (x,y,) και μετράει το ηλεκτρικό πεδίο ΕP. Οι συντεταγμένες μετρώνται αναφορικά με το σημείο Ο. Ας υποθέσουμε τώρα πως μετακινούμε τον άξονα συντεταγμένων πάνω στον άξονα των y κατά Δy οπότε η αρχή των αξόνων μετακινείται από το Ο στο Ο και μετράμε το πεδίο Ε P στο P το οποίο έχει συντεταγμένες (x,y+δy,) ως προς το O. Τα πεδία αυτά θα πρέπει να είναι ίσα επειδή, εφόσον το μέσο είναι ομογενές ως προς το δεν υπάρχει κάτι που να διαχωρίζει τα δύο σημεία Ο και Ο, δηλαδή E(x,y)=E(x,y+Δy). Κατά συνέπεια τόσο το ηλεκτρικό όσο και το μαγνητικό πεδίο δεν εξαρτάται από το y και μπορούμε να απαλείψουμε την παράγωγο / y και συνεπώς για το στρώμα i, οι (4.)-(4.3) γίνονται: όπου d Ei p i Ei dx + = (4.4) d H i p i H i dx p + = (4.5) = ω µ ε β (4.6) i i

121 ενώ οι εγκάρσιες συνιστώσες γράφονται: H E E H jβ dh i xi = (4.7) pi dx jωε de i yi = (4.8) pi dx jβ de i xi = (4.9) pi dx jωµ dh i yi = (4.) pi dx Οι εξισώσεις (4.4) και (4.5) λύνονται σχετικά εύκολα χωρίς μάλιστα την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών εφόσον είναι συνήθης διαφορικές εξισώσεις. Έτσι έχουμε: E Ae B e jpi x jpi x i = i + i (4.) H C e D e jpi x jpi x i = i + i (4.) Σύμφωνα με την (4.6) όταν το β είναι πραγματικό, το pi μπορεί να είναι είτε πραγματικό είτε φανταστικό ανάλογα με την συχνότητα ω. Στην περιοχή 3 στο Σχήμα 4-3, όπου αντιστοιχεί η διηλεκτρική σταθερά ε3 θα πρέπει τα κύματα να τείνουν στο μηδέν όταν x -. Αν p3=jq3 όπου q3>, τότε θα πρέπει να έχουμε 5 E = B e = B e (4.3) jp3x q3 x H = D e = D e (4.4) jp3 x q3x Παρόμοια θα πρέπει όταν x +, τότε τα κύματα πάλι θα πρέπει να τείνουν στο μηδέν E = A e = A e (4.5) jp ( x h) q ( x h) H = C e = C e (4.6) jp ( x h) q ( x h) Στο εσωτερικό στρώμα, το p μπορεί να είναι είτε θετικό είτε αρνητικό και δεν έχουμε κάποιον λόγο να απαλείψουμε εξ αρχής έναν από τους όρους των αθροισμάτων των εξισώσεων (4.)-(4.). 5 Θυμηθείτε πως η (4.6) είναι της μορφής με X X = Y και έχει δύο λύσεις, που τις συμβολίζουμε =± Y όπου αν Υ> τότε η Y είναι η θετική λύση ενώ αν Υ< τότε η Y = jq, είναι φανταστικός αριθμός με Q>.

122 Πως συνδέονται μεταξύ τους όλες αυτές οι σταθερές; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα πρέπει να αναλογιστούμε τι συμβαίνει αν λάβουμε υπόψη μας τις οριακές συνθήκες. Επειδή στην περίπτωση μας δεν έχουμε κάποιον αγωγό να περιβάλλει τα διηλεκτρικά στρώματα τότε έπεται πως οι οριακές συνθήκες θα γραφτούν: ( ) x D D = (4.7) ( ) x B B = (4.8) ( ) x H H = (4.9) ( ) x E E = (4.) δηλαδή όπως είδαμε στην.7, απουσία αγωγών, οι κάθετες στην επιφάνεια συνιστώσες της ηλεκτρικής ροής πρέπει να είναι συνεχείς όπως και οι εγκάρσιες συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου. Δεδομένου πως D=ε(x)E, έχουμε H D E H jβ dh i xi = (4.) pi dx jωε de i yi = (4.) pi dx jβε de i xi = (4.3) pi dx jωµ dh i yi = (4.4) pi dx Για να είναι συνεχείς οι Dx,Hx,Ey,Hy,E και H θα πρέπει να είναι συνεχείς και οι ε/pi de/dx και η /p dh/dx. Μπορούμε και πάλι να χωρίσουμε τα πεδία μας σε ΤΕ (E=) και TM (Η=) και στην περίπτωση των ΤΕ, η συνέχεια των H και /p dh/dx στο x=, δίνει ενώ στο x=h D3 = C + D (4.5) D C D q p p 3 = j j (4.6) 3 D e = C e + D e (4.7) qh jph jph D qh C jph D jph e = j e j e (4.8) q p p

123 Ας ορίσουμε τώρα τον πίνακα jp jp e e X ( ) = jp jp (4.9) je / p je / p τότε οι εξισώσεις (4.5)-(4.8) γράφονται: D C 3 ( ) D3 / q = X 3 D (4.3) οπότε όπου D C = ( h) D / q X D (4.3) D D X X (4.3) ( h) ( ) 3 D3 / q = 3 D / q jp jp p je / p e X ( ) = jp jp (4.33) j je / p e Μπορούμε να δείξουμε πως ( p h) p sin( p h) cos X( h) X () sin cos και επομένως: jph jph p j / p e e = jph / jph j je p ( ) ( ) je / p j / p = p h p h p που σημαίνει ότι: ( p h) p sin( p h) cos D3 D sin ( ph) cos ( ph) D3 / q = 3 D / q p (4.34) (4.35) D cos( p h) D p / q sin( p h) = D (4.36) ( ) D / p sin p h D / q cos( p h) = D / q (4.37) Διαιρώντας κατά μέλη τις (4.36) και (4.37) έχουμε: cos( ph) p / q3 sin( ph) = q / p sin p h / q cos( p h) ( ) 3 (4.38) ή ισοδύναμα:

124 ( ) cos( p h) + p / q sin( p h) = q / p sin p h + q / q cos( p h) (4.39) διαιρώντας με sin(ph) θα πάρουμε: δηλαδή: 3 3 cot( p h) + p / q = q / p + q / q cot( p h) (4.4) 3 3 p qq3 = cot( ph) p ( q + q ) 3 (4.4) Ίσως δεν το πιστεύετε άλλα καταφέραμε να καταλήξουμε σε μία σχέση στην οποία ο μόνος άγνωστος είναι το β. Για να το δούμε πιο καθαρά αυτό υπενθυμίζουμε ότι q = β ω µε (4.4) q = β ω µε (4.43) p 3 3 = ω µε β (4.44) οπότε αν αντικαταστήσουμε τις (4.4)-(4.44) στην (4.4), για κάθε ω o μόνος άγνωστος είναι το β. Στην περίπτωση των τρόπων TM η εξίσωση που δίνει το β συναρτήση του ω είναι λίγο διαφορετική: p qq3ε ε 3 / ε = cot( ph) p ( qε / ε + qε / ε ) 3 3 (4.45) Αν υπολογίσουμε το β στη συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε τα p, q και q3 βάσει των (4.4)-(4.44). Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις σταθερές C,D κτλ για να υπολογίσουμε το πεδίο των τρόπων. Για να απλοποιήσουμε λίγο την κατάσταση θα υποθέσουμε πως ε=ε3 δηλαδή πως τα ακριανά διηλεκτρικά στρώματα είναι από το ίδιο υλικό. Στην περίπτωση αυτή q=q3 και θα έχουμε: p / q = cot( ph ) (4.46) p / q για τους ΤΕ τρόπους και ( p ) q ε ε / / = cot( ph ) (4.47) p / q ε / ε για τους ΤΜ τρόπους. Αυτοί οι τύποι θυμίζουνε σε κάποιο βαθμό τους τύπους που γνωρίζουμε από την παλιά καλή τριγωνομετρία για την συντέμνουσα:

125 cot φ cot φ = (4.48) cotφ οπότε η (4.46) γράφεται p / q cot ( ph / ) = (4.49) p / q cot( p h / ) Αν θέσουμε Χ=p/q και φ=p/q θα πάρουμε: η οποία ισοδύναμα γράφεται X cot φ = (4.5) X cotφ ( φ) cot X + X = (4.5) cotφ Εύκολα επαληθεύουμε ότι η X=cotφ και η Χ=-/cotφ είναι λύσεις της εξίσωσης (4.5). Επομένως από την (4.46) θα έχουμε cot( p h / ) p q = (4.5) ή cot( p h / ) q p = (4.53) Στην περίπτωση των ΤΜ τρόπων θα έχουμε: ή cot( p h / ) cot( p h / ) p q ε ε = (4.54) q p ε ε = (4.55) Θα προσπαθήσουμε τώρα να υπολογίσουμε τους συντελεστές των τρόπων D, D3, C και D. Ας υποθέσουμε πως το D3 έχει γνωστή τιμή. Τότε σύμφωνα με την (4.36) θα έχουμε D cos( p h) D p / q sin( p h) = D (4.56) 3 3 όπου στην περίπτωση των τρόπων που επαληθεύουν την (4.5) θα έχουμε: cos = = ph p q ( p h) cot ( p h / ) ( p / q ) cot ( / ) + ( / ) + (4.57)

126 sin cot( p h / ) ( p / q ) cot ( / ) + ( / ) + ( p h) = = ph p q (4.58) και αντικαθιστώντας στην (4.5) βρίσκουμε D = D (4.59) 3 με τον ίδιο τρόπο αν χρησιμοποιήσουμε την (4.53) θα βρούμε: D = D (4.6) 3 Για να βρούμε τα C και D χρησιμοποιούμε την (4.3) από την οποία προκύπτει ότι: οπότε D 3 C X () = D3 / q D (4.6) C / p /( j) D3 () D3 D = X = / q / p /( j) / q (4.6) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι: p C = 3 D + j q (4.63) p D = 3 D j q (4.64) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι αν συμβολίσουμε με φ το όρισμα του+jp/q τότε / C = D3 + e p q jφ (4.65) / D = D3 + e p q jφ (4.66) όπου ως συνήθως με το αστεράκι συμβολίζουμε το συζυγές. To όρισμα φ του =+jp/q καθορίζεται από την tan Im { } { } φ = = (4.67) Re p q

127 Επειδή p> και q> τότε το όρισμα φ του =+jp/q θα βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο 6, δηλαδή: φ π/. Σύμφωνα με την (4.) θα έχουμε / / H = D3 + e + e = D3 + p x + p q p q { jp i x + j φ jp i x j φ} cos( i φ) Για τους τρόπους που επαληθεύουν την (4.53) θα έχουμε p ( p h ) cot / και συνδυάζοντας την (4.67) και (4.69), θα έχουμε (4.68) q = (4.69) ( p h ) ( π p h ) cotφ = tan / = cot / / (4.7) οπότε θα υπάρχει ένας ακέραιος κ τέτοιος ώστε φ κπ Στην περίπτωση αυτή η (4.68) γίνεται: π p h = + (4.7) / / h h H = D3 + sin p κπ i x D3 sin p i x p q =± + p q (4.7) Από την (4.7) προκύπτει για τους τρόπους που επαληθεύουν την (4.69), το H έχει περιττή συμμετρία εντός του ενδιάμεσου στρώματος γύρω από το x=h/ που αποτελεί το κέντρο συμμετρίας του κυματοδηγού ως προς τον άξονα των x. Αν λάβουμε υπόψη και την (4.59), προκύπτει πως η συμμετρία ισχύει για όλοκληρό τον άξονα των x όπως δείχνει και στο σχήμα Σχήμα 4-4. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι οι τρόποι που αντιστοιχούν στην (4.53) έχουν άρτια συμμετρία ως προς το x=h/. Επομένως σε ένα συμμετρικό επίπεδο διηλεκτρικό κυματοδηγό οι τρόποι διάδοσης ΤΕ έχουνε είτε άρτια είτε περιττή συμμετρία και το ίδιο συμβαίνει και για τους τρόπους ΤΜ. Πως όμως προσδιορίζουμε τη σταθερά διάδοσης κάθε τρόπου; Στην περίπτωση των μεταλλικών κυματοδηγών με ορθογώνια διατομή η σταθερά διάδοσης δίνεται από την (4.). Δηλαδή έχουμε μία εξίσωση που μας επιτρέπει να υπολογίζουμε ακριβώς την σταθερά διάδοσης των ΤΕ και ΤΜ τρόπων. Στην περίπτωση των επίπεδων διηλεκτρικών κυματοδηγών τα πράγματα είναι κάπως πιο πολύπλοκα, καθότι πρέπει να λύσουμε 6 Εφόσον Re{}= και Ιm{}=p/q

128 αριθμητικά τις (4.5)-(4.53) για τους τρόπους ΤΕ και τις (4.54)-(4.55) για τους τρόπους ΤΜ. Σχήμα 4-4: Συμμετρίες των τρόπων ΤΕ Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για την αριθμητική επίλυση των παραπάνω εξισώσεων τις οποίες δεν θα παραθέσουμε εδώ. Είναι ενδιαφέρον ωστόσο να παρατηρήσουμε πως αν θέσουμε τότε η (4.69) μετασχηματίζεται στην εξίσωση: u= p h / (4.73) v= q h / (4.74) v= u tan u (4.75) Υπάρχει και μία δεύτερη σχέση που συνδέει τα v και u. Αν συνδυάσουμε τις (4.4) και (4.44), έχουμε ( ) v + u = ω µ ε ε = V (4.76) Παρόμοια η (4.53) μετασχηματίζεται στην v= u cot u (4.77) Στο Σχήμα 4-5 έχουμε παραστήσει γραφικά την (4.75) και την (4.77) μαζί με τους κύκλους που αντιστοιχούν στην (4.76) για διάφορες τιμές του V. Προφανώς σε κάθε συχνότητα αντιστοιχεί μία τιμή του V και οι τρόποι ΤΕ που υποστηρίζονται προκύπτουν από τα σημεία τομής των (4.75) και της (4.77) με τον αντίστοιχο κύκλο. Ανάλογα με το αν το σημείο τομής αντιστοιχεί στην (4.75) ή την (4.77) καθορίζεται και συμμετρία του H ΤΕ

129 τρόπου ως προς το x. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε πως ανάλογα με την τιμή του V υποστηρίζεται διαφορετικός αριθμός τρόπων ΤΕ. Όσο αυξάνει η συχνότητα και επομένως αυξάνει και το V, τόσο περισσότεροι τρόποι υποστηρίζονται. Αριθμούμε τους τρόπους ΤΕ ως ΤΕ, ΤΕ, κτλ ανάλογα με το πόσο κοντά βρίσκεται το σημείο τομής τους στο σημείο τομής με το μικρότερο u. Παρατηρούμε πως ακόμα και για πολύ μικρές συχνότητες, (V ), ο τρόπος ΤΕ πάντα υποστηρίζεται. Σχήμα 4-5: Οι εξισώσεις v=utanu, v=-ucotu και u +v =V. Παρόμοια ανάλυση κάνουμε και για τους τρόπους ΤΜ. Αποδεικνύεται ο ΤΜ θα βρίσκεται πάνω από την αποκοπή ακόμα και για πολύ μικρές συχνότητες Οπτικές ίνες Θα κλείσουμε την ενότητα που αφορά τους κυματοδηγούς εξετάζοντας τις οπτικές ίνες οι οποίες χρησιμοποιούνται ευρέως στα δίκτυα μεγάλων αποστάσεων εξαιτίας του υψηλού εύρους ζώνης που διαθέτουν. Η οπτική ίνας μοιάζει πολύ με τον επίπεδο διηλεκτρικό κυματοδηγό με την μόνη διαφορά ότι το πεδίο είναι περιορισμένο σε ένα διηλεκτρικό κύλινδρο (πυρήνας) με διηλεκτρική σταθερά ε o οποίος περιβάλλεται από έναν άλλο κύλινδρο (μανδύας) με μικρότερη διηλεκτρική σταθερά ε και ο οποίος με την σειρά του περιβάλλεται από αέρα όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-6. Στο Σχήμα 4-7 έχουμε παραστήσει γραφικά τη διατομή που αντιστοιχεί στην οπτική ίνα.

130 Σχήμα 4-6: H γεωμετρία μίας οπτικής ίνας (α) (β) Σχήμα 4-7: α) Η πραγματική διατομή μίας οπτικής ίνας, β)η προσέγγιση Στις οπτικές ίνες που χρησιμοποιούμε στην πράξη ο μανδύας έχει πολύ μεγαλύτερη διάμετρο από τον πυρήνα, δηλαδή b>>a. Επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε πως όσο αφορά τους τρόπους που διαδίδονται δεν έχει πολύ μεγάλη διαφορά να αγνοήσουμε πλήρως τον αέρα και να υποθέσουμε πως όλος ο χώρος που περιβάλλει τον πυρήνα αποτελείται από ένα υλικό με διηλεκτρική σταθερά ε. Η ανάλυση των τρόπων διάδοσης προχωρά όπως ακριβώς έχουμε δείξει μέχρι τώρα. Στον πυρήνα τα πεδία υπακουούν τις εξισώσεις που είχαμε και στην περίπτωση του κυλινδρικού μεταλλικού κυματοδηγού, E E T E+ p E = ρ + + p E = ρ ρ ρ ρ φ (4.78)