Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Transcript

1 Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, d, d, d, d, 2 36 d, d, (2)2 d, d,

2 (m) sinh d, 2 (n) d, 3 +cos 2 (o) +cos2 d. 2. Z uvedbo nove spremenljivke izračunaj naslednje nedoločene integrale: 3+9 d, d, kjer je a, a+b d, ( 2 +5) d cos2+sin2d, (f) cos 2 d, sin (g) cos d, (h) tand, (i) (j) (k) (l) (m) (n) cos 3 sin d 2 e 3 d, 2e 2 e d, ln d, 2 2 (2 +) 24 d. (+ 2 )arctan d, 2 Pripravil Matevž Črepnjak

3 (o) (p) (q) d, ( 2 +4) d, d. 3. Z uporabo integriranja po delih izračunaj naslednje nedoločene integrale: cosd, ( 2 +)sind, 2 arctand, 2e 2 d, (f) (g) (h) (i) arctane d, e 2 coshd, lnd, 2 ln 2 d, 9 ln 3 d. 4. Izpelji formulo za integrale e a sind in ter izračunaj e sin2d in e 2 cos4d. e a cosd 5. S pomočjo parcilanih ulomkov izračunaj naslednje nedoločene integrale racionalnih funkcij: d, 3 Pripravil Matevž Črepnjak

4 (f) d, (+) 2 (+2) d, ( ) d, ( 2 ++3)( 2 +) d, 2 2 (+2) 2 ( ) d. 6. S pomočjo metode Ostogradskega izračunaj naslednje nedoločene integrale racionalnih funkcij: 2 2 ( 2 ) d, 2 (+)(+2) d, 2 (+) 2 (+2) d, 2 ( 2 +4) d Izračunaj naslednje nedoločene integrale iracionalnih funkcij: 3 (3+6)4, d, (5+) 7 5 2d, 2 +d, (f) (g) 2 d, d, d, 4 Pripravil Matevž Črepnjak

5 (h) 2 d, (i) (j) (k) (l) d, 8. Izračunaj d, d, ( 2) Integrale oblike R (, p spremenljivko t p = a+b c+d. d, (uporabi t = 2 ). + d. ) d izračunamo tako, da uvedemo novo a+b c+d 9. Izračunaj naslednje nedoločene integrale funkcij sinus in cosinus: sin 4 d, sin 3 cosd, cos n sind, (f) (g) (h) (i) sin+cos +sin d, +sin sincos d, sin 3 cos d, 2sin 3cos+3 d, 4 3cos 2 d, sin 2 cos 2 d, 5 Pripravil Matevž Črepnjak

6 (j) (k) (l) sin2cos3d, sin2sin5d, coscos4d. 6 Pripravil Matevž Črepnjak

7 Določeni integral in njegova uporaba v geometriji. Izračunaj naslednje določene integrale: 2 3π 2 ( 3 2 )d, d, +sin2d, d. 2. Izračunaj ploščino lika, ki ga omejujejo grafi funkcij y =,y = 2 +4 in y = Izračunaj ploščino območja med f() = in g() = Izračunaj ploščino območja pod grafom funkcije f() = 2 4 na intervalu [ 2,2]. 5. Izračunaj ploščino območja pod grafom funkcije f() = 2+ na intervalu [ 2,]. 6. S pomočjo integrala izračunaj ploščino elipse y S pomočjo integrala izpelji formulo za računanje ploščine elipse 2 a 2 + y2 b Izračunaj ploščino tistega dela elipse y2 9 funkcije f() = , ki leži nad grafom 9. Izračunaj dolžino loka krivulje y = +2 v mejah. 7 Pripravil Matevž Črepnjak

8 . Izračunaj dolžino loka krivulje y = ln() na intervalu [,e].. Izračunaj obseg lika, ki ga ograjujeta parabola 2 = 4y in premica =. 2. Izračunaj obseg lika, ki ga določata krivulji = y 2 in y =. 3. Izračunaj prostornino rotacijske telesa, ki nastane z vrtenjem krivulje y 2 = ( 3) okoli osi na območju Izračunaj prostornino rotacijskega telesa, ki nastane z vrtenjem krivulje y = sin med njenima dvema zaporednima ničlama okoli osi. 5. Izračunaj volumen torusa s polmeroma R in r, R > r. 6. Izračunaj prostornino rotacijskih teles, ki jo dobiš z vrtenjem lika, ki ga ograjujejo parabola y 2 = 4, premica y = 2 in os y, okrog osi oziroma osi y. 7. Izračunaj površino ploskve, ki nastane z vrtenjem krivulje y = (3 ) okoli osi na intervalu [,3]. 3 8 Pripravil Matevž Črepnjak

9 Posplošeni integral. Izračunaj posplošene integrale: d, 2 +4 d, lnd, ln 2 d, 2 d. 2. Izračunaj naslednje posplošene integrale 3 e d, 5 2 e d. 3. Ali obstajata integrala ln + 2d. ln (+ 2 ) 2d. 4. Dokaži, da obstaja integrala π 2 Preveri, da sta enaka. ln(sin)d in π 2 ln(cos ) d. 5. Izračunaj volumen in površino vrtenine, ki nastane, če graf funkcije y = 5 2, [, ] zavrtimo okoli osi. 9 Pripravil Matevž Črepnjak

10 Numerično integriranje. S pomočjo trapeznega in Simpsonovega pravila izračunaj 2,2 + d. Primerjaj izračunane vrednosti z rezultatom, ki ga dobiš, ko integral izračunaš z Mathematico. Pripravil Matevž Črepnjak