TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA 2"

Transcript

1 TEHNIČKO VELEUČILIŠTE U ZAGREBU ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA Poglvlj. Nodrđni ingrl Poglvlj. Odrđni ingrl Poglvlj. Nprvi ingrli Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Mr.sc. Pronil Loknr

2 SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL.... Dfinicij nodrđnog ingrl.... Osnovn svojsv nodrđnog ingrl.... Tlic nodrđnih ingrl.... Mod ingrirnj..... Dirkno ingrirnj..... Mod supsiucij Zdci z vjžu..... Mod prcijln ingrcij..... Zdci z vjžu Ingrl rcionln funkcij... 9 P ( ).. Ingrli olik d... 9 Q ( ) P ( ).. Ingrli olik d... 9 Q ( ).. P ( ) Ingrli olik d... Q ( ).. Ingrirnj prv rcionln funkcij..... Ingrirnj nprv rcionln funkcij Zdci z vjžu Ingrirnj rigonomrijskih funkcij Ingrli olik R (sin,cos ) d... 9 n n.6. Ingrli olik sin d i cos d Zdci z vjžu... 7 m n.6. Ingrli olik sin cos d Ingrli olik sin sin d, sin cos d i cos cos d Zdci z vjžu... ODREĐENI INTEGRAL.... Dfinicij odrđnog ingrl.... Osnovn svojsv odrđnog ingrl Mod supsiucij kod odrđnog ingrl.... Zdci z vjžu... Mr.sc. Pronil Loknr

3 . Prcijln ingrcij kod odrđnog ingrl....6 Zdci z vjžu... NEPRAVI INTEGRALI.... Ingrli nd nomđnim inrvlim.... Ingrli nomđnih funkcij... 8 PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA Površin Površin u prvokunim koordinm Zdci z vjžu Površin u prmrskim koordinm Površin u polrnim koordinm Zdci z vjžu Duljin luk krivulj Duljin luk u prvokunim koordinm Duljin luk u prmrskim koordinm Zdci z vjžu Volumn rocijskog ijl Zdci z vjžu Mr.sc. Pronil Loknr

4 Poglvlj. Nodrđni ingrl NEODREĐENI INTEGRAL Nk j f rln funkcij zdn n sgmnu [, ]. Ako funkcij f im drivciju u svkoj očki ovornog inrvl I,, ond j im dfinirn jdn nov funkcij f ' (), z svki I. N primjr, sinus funkcij im drivciju z svki R i ko j R, ond j (sin)' cos, j.drivcijom sinus dfinirn j nov kosinus funkcij. Posvlj s sd supron prolm. Z zdnu funkciju f:, R, d li posoji funkcij F:, R, kv d j F '() f(), z svki,? Odgovor n o pinj i odrđivnj funkcij F j sdržj ovog poglvlj.. Dfinicij nodrđnog ingrl Dfinicij. Nk j f rln funkcij zdn n I,. Svku funkciju F nzivmo primiivnom funkcijom ili nidrivcijom funkcij f n inrvlu I, ko z svki I vrijdi d j F '() f(). Primjr. F() j primiivn funkcij funkcij f(), jr j F '() () f(). Primjr. F() rcg j primiivn funkcij funkcij f() F '() (rcg) f()., jr j Ako j f(), ond j F (), li i F (), jr j F '() F '() f(). Slijdi d j F () F () konsn. Dkl svk dvij primiivn funkcij nk zdn funkcij rzlikuju s z konsnu. To znči d ko znmo jdnu primiivnu funkciju F nk funkcij f, drugu primiivnu funkciju možmo nći dodvnjm proizvoljn konsn. Dfinicij. Skup svih primiivnih funkcij dn funkcij f n inrvlu I nodrđnim ingrlom funkcij f n inrvlu I. Nodrđni ingrl funkcij f oznčvmo s, nzivmo f ( ) d. Mr.sc. Pronil Loknr

5 Poglvlj. Nodrđni ingrl Dkl j šo krć pišmo u oliku f ( ) d {F() c: R} f ( ) d F() c, c R. Primjr. ) Budući d j (), o j funkcij F() primiivn funkcij funkcij f(), p j d d c, c R. ) Kko j (g) cos, o j F() g nidrivcij funkcij f() cos d g c, c R. cos, p j c) Kko j (cos) sin, o j F() cos nidrivcij funkcij f() sin. Dkl j ( sin ) d cos c, c R.. Osnovn svojsv nodrđnog ingrl Iz dfinicij nodrđnog ingrl i svojsv drivcij slijdi: d d. ( f ) d ( ) f(), j. drivcij ilo koj primiivn funkcij F() c j jdnk f(). df. d f() c. d. f ( ) d f ( ) d, j konsn.. [ ) g( ) ] d f ( ) d ± f ( ± g( ) d. Svojsv. i. pokzuju d su drivirnj i ingrirnj n nki nčin jdn drugom invrzni. Svojsv. i. pokzuju d nodrđni ingrl im svojsvo «linrn funkcij». Nim nk funkcij f j linrn, ko z nju vrijdi d j: f() f() f( ) f() f(). Mr.sc. Pronil Loknr

6 Poglvlj. Nodrđni ingrl Ilusrirjmo nvdn svojsv sljdćim primjrom. Primjr. d d d d ( sin d) ( cos c) sin sin d d d cos d sin c 8 d 8 d 8 c ( cos ) d d cos d d d sin ln c.. Tlic nodrđnih ingrl. d c. d c. n n d c,( n ) n. d ln c, ( ) (N svkom inrvlu koji n sdrži ). d c, ( > i ) ln 6. d c 7. sin d cos c 8. cos d sin c 9. d g c,( (k), k Z) cos. d cg c, ( k, k Z) sin. cos cgd d ln sin c,( k, k Z) sin. sin gd d ln cos c,( (k ), k Z) cos. d rcg c Mr.sc. Pronil Loknr

7 Poglvlj. Nodrđni ingrl. d ln c. d rcsin c, < 6. d ln ± ± c, shd d ch c chd d sh c d ch c sh. d h c ch. hd ln ch c c c. chd ln sh c. Odrđivnj primiivn funkcij F z zdnu funkciju f nij uvijk ko jdnosvno. Čk z jdnosvn funkcij ko šo su, sin sin, primiivn funkcij nij ni jdn od poznih lmnrnih funkcij. Ingrl kvih funkcij nij jdnosvno izrčuni i z njih kžmo d nisu lmnrni, z funkciju F z koju j F'() jdn od kvih funkcij kžmo d nij lmnrn. Evo nkoliko kvih ingrl: d, sin d d,, sin d ln.. Mod ingrirnj.. Dirkno ingrirnj Njjdnosvnij mod ingrirnj j dirkno ingrirnj, gdj korisimo osnovn svojsv i licu nodrđnih ingrl. Primjr. Dirknim ingrirnjm nđimo sljdć ingrl: ) ) d ln g c cos ln Mr.sc. Pronil Loknr

8 Poglvlj. Nodrđni ingrl 8 7 ) ( ) d ( ) d c c 7 c) d d d d 6 d d c c d) d d d d d c c 9 d ) d d d rcsin c ln d d ch ch f) sh d shd ln ch h c 7 d d ln g) d d h) rcg c rcg c rcg ( ) c c Mr.sc. Pronil Loknr

9 Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr 6. Trnsformcijom podingrln funkcij, zim dirknim ingrirnjm rjšimo sljdć ingrl: cos sin ) sin d d d cos d c cos cos sin d c ) cos d d d sin cos sin c 8 8 c) sin cos d d d cos sin cos d d c sin cos cos sin d) d d g cg sin sin cos d g c cos cos cos ) d d d d g.. Mod supsiucij Ako primiivnu funkciju F funkcij f odnosno f ( ) d n možmo nći dirknim ingrirnjm pokušvmo o nprvii modom supsiucij: uvođnjm nov vrijl ili nov funkcij. Dkl, pokušv s uvsi nk supsiucij ϕ( ) kojom s dni ingrl svodi n lični ili j jdnosvniji z izrčunvnj od polznog. Primjr 7. Rjšimo sljdć primjr uvođnjm odgovrjuć nov vrijl:, d d, d ) d d c d, d d, c d d ) sin( ) d sin d cos c cos( ) c) ln ln d ln, d d d c c d) cos cos cos sin d d c c d d sin ln ln Mr.sc. Pronil Loknr 6

10 Poglvlj. Nodrđni ingrl d d rcsin c ) d, d d rcsin c cos d sin d f) rcg rcg(sin ) c sin cod d d, d d, g) rcg c rcg d d d 8, d d d h) d ln c ln( 8 ) c 8 d d d d i) ln c ln c. d d cg(ln ) d cos j) d ln d cgd d sin z,cosd dz sin dz ln z ln sin ln sin ln c. z c Primjr 8. Modom supsiucij rjšimo sd nšo složnij primjr:, ) d ( ) ) d ( ) d d d 8 8 d 8 d c ( ) ( ) c ln ln d c ln d d ) d d ( ) ln ( ln ) c ( ln ) ln c Mr.sc. Pronil Loknr 7

11 Poglvlj. Nodrđni ingrl cos sin d d c) cos sin d d rcsin c cos d sin cos rcsin c rcsin d) d rcsin d d d rcsin c sin sin sin cos cos g cos, d cos d d sin d g cos g, d d cos ) ln c ln g c d d ( ), d ( ) f) d d d d d ln ln c ln ln( ) c ln( ) c,, g) sh h d ln d d, ln d d hd d ln ln ch d d ln ln d ( ch) ch ln ln ch ln ln ch c d h) d d d rcsin J, gdj j d, d d d J c c, p j d d d rcsin c Mr.sc. Pronil Loknr 8

12 Poglvlj. Nodrđni ingrl d d i), d d d zdz z, d zdz dz z c z d d d d j) ( ) ( ) d d rcsin c rcsin( ) c [ ] Mod supsiucij mož s ssoji i u uvođnju nov funkcij, ko šo s o vidi u sljdćm primjru: Primjr 9. sin, cosd cos d ) d sin cosd rcsin sin rcsin c,cos, cos ) d cos sin d sin d cos d cos cos sin cos d cos d g c c cos cos cos cos. Uoči d smo nvdni ingrl mogli puno rž rjšii supsiucijom ko u zdku 8 h): ko j, d j d d, p j d d d c. d Iso ko, mož s uočii d j: [ c] npm mogo rjšii, ko s zn doro driviri. d, p s ingrl Mr.sc. Pronil Loknr 9

13 Poglvlj. Nodrđni ingrl Z ingrl koji u podingrlnoj funkciji sdrž, čso s koris hiproln supsiucij. Kod kvih supsiucij koris s sljdć osnovn rlcij: ch sh ch sh ch ch sh shch ch ch sh d Td i, korisći hiprolnu supsiuciju ch, odkl j d shd, pršo u ch ch shd shd chd sh ch c. ch sh d c) g, d d d ( ) cos cos ( g ) g Korisći rigonomrijsk rnsformcij: sin cos g g g slijdi d j dni ingrl jdnk cos cos d d cos sin cos c sin,cos d d d) cos sin d ( sin ) sin cos d cos sin 6 7 ( ) d ( ) d d d sin 7 7 sin c sin sin c Mr.sc. Pronil Loknr

14 Poglvlj. Nodrđni ingrl ch sh sh ch d sh 8 8 ) ( ) d ch, d shd ( ch ) shd sh d d ch d chd d 8 ( ) sh sh c shch sh ch rch c 8 8 ( ch ) ch ch ln( ) shch c 6 8 ( ) ln( ) c ( ) ln( ) c Kod nkih ingrl, koj smo svili u licu nodrđnih ingrl, primiivn funkcij nij š odmh vidljiv. Ingrl. u lici mož s jdnosvno ojsnii supsiucijom: Primjr. sin cos d gd d ln ln cos c. cos sin d d.. Zdci z vjžu. Dirknim ingrirnjm izrčunj sljdć nodrđn ingrl ) ( ) d ) ( ) d c) ( ) d d) d ) d f) d g) d h) cg d Mr.sc. Pronil Loknr

15 Poglvlj. Nodrđni ingrl. Modom supsiucij rijši sljdć jdnosvn d ) ( ) ) d c) d d) d d ) ( 8 ln f) d d g) 7) h) ( ) 9 d. Modom supsiucij izrčunj nšo složnij sljdć nodrđn ingrl ) d ln ln(ln ) ) d sin c) cos sin cos d) d sin sin d ) cos d f) sin cg rcg g) d rcg h) d Rjšnj. 7 6 ) 8 c 7 ) c 7 c) c 7 d) c 7 ) c ln ln Mr.sc. Pronil Loknr

16 Poglvlj. Nodrđni ingrl f) c g) ln c h) cg c. ) ( ) c ) ( ) c 6 7 c) ( ) ( ) c 7 d) ln( ) c ) 8 7 c 8 f) ln c 6 g) rcg 8 6 h) ( 9). ) ln(ln(ln))c ) cos c c) 7 9 sin sin sin c 7 d) ln(sin )c ) cos c Mr.sc. Pronil Loknr

17 Poglvlj. Nodrđni ingrl f) cg c g) rcg c h) rcg c... Mod prcijln ingrcij Čso s kod ržnj primiivn funkcij f(), koj s n mož nći dirknim ingrirnjm ili supsiucijom, korisi mod prcijln ingrcij. Nk su u, v:, R difrncijiln funkcij n ovornom inrvlu, Z drivciju produk dviju difrncijilnih funkcij u() i v() vrijdi d j [u() v()]' u'() v() u() v'() Odvd slijdi u() v'() [ u() v()]' u'() v() Ingrirnjm slijdi: ' u( ) v'( ) d [ u( ) v( ) ] d u'( ) v( ) d u( ) v( ) u'( ) v( ) d Ingrirnj primjnom npisn formul zov s prcijln ingrcij s im d npisn drivcij i npisni ingrli posoj (dovoljno j uzi d su u i v nprkidno driviln funkcij). Kko j u'()d du v'()d dv, krći olik formul z prcijlnu ingrciju glsi: u dv u v v du. Očio s modom prcijln ingrcij n rjšv dni nodrđni ingrl, vć s prolm svodi n prolm uz nki izor u i dv. Tj izor mor ii kv d ud udv vdu vdu jdnosvniji ili rm iso oliko žk ko i počni udv. Ako s prcijlnom ingrcijom doij složnij podingrln funkcij, primjnjuj s ili drugi izor u i dv ili drug mod z rjšvnj dnog ingrl. Mod prcijln ingrcij s čso korisi i zhjv odrđnu vjšinu, koj s sjč smo vjžnjm. Mr.sc. Pronil Loknr

18 Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. u, du d, ) d dv d, v d c ( ) c ; u, du d, dv d, ) d d v d, d d d d u,du d d c d dv d,v d 8 6 c ; u sin, du cosd u cos, du sind c) sin d sin d dv d v d cos, dv d, v [ cos sin d] sin cos 9 sin sin d Iz doivn jdnkosi, koju smo doili primjnom dvosruk prcijln ingrcij, slijdi: odkl j: sin d sin cos, sin d (sin cos) c ; u, du d d) cos d sin sin d dv cos d, v cos d sin u, du d, dv sin d cos cos sin cos d v sin d sin cos sin c. Mr.sc. Pronil Loknr

19 Poglvlj. Nodrđni ingrl Općnio ingrli olik F( ) α cos βd, α, β R, α, β, rjšvju s prcijlnom ingrcijom u kojoj uzimmo d j ksponncijln funkcij u, rigonomrijsk v, slijdi: Odl j u α, du α α d sin β cos βd dv, v β α sin β α α F( ) sin βd. β β Ponovnom primjnom prcijln ingrcij s isim izorom u i v: slijdi d j: α u, du α α cos β sin βd dv, v β α α α sin β α cos β α α sin β α α α F( ) cos βd cos β F( ) β β β β β β β Odl j odnosno α β β F( ) β sin β α cos β β α α F( ) ( β sin β α cos β) c. α β, d u rcg, du rcg ) rcgd d d dv, v Jr j: slijdi d j rcg d rcgd d d rcg rcg c ( ) rcg ( ) c. Mr.sc. Pronil Loknr 6

20 Poglvlj. Nodrđni ingrl ln d u ln, du d u ln, du Primjr. ) ln d ln ln d dv d, v dv d, v d ln ln ln ( ln ) ln ln c d u sinln, du cosln d cosln d dv d, v ) sin lnd sinlncosln sinln ; d u cos ln, du sin ln d sin ln cos ln sin ln sin ln cos ln sin ln d dv d, v Odl j odnosno sin ln d sin ln cos ln, sin ln d (sin ln cosln ) c ; d u ln, du ln c) d ln d ln ln ln ln d dv d, v u ln, du dv d, v d ln d ln 8 8 ln ln d ln ln 9 7 c ( 9ln ln 8) c 7 ; Mr.sc. Pronil Loknr 7

21 Poglvlj. Nodrđni ingrl u, d du, d d) d g gd g ln cos c cos dv, v g cos... Zdci z vjžu.modom prcijln ingrcij izrčunj sljdć jdnosvn nodrđn ingrl: ) ln( ) d ) sin d c) rcgd d) d ) sin d f) rccos d g) d Rjšnj: ) ( )ln( ) c ) cos sin c c) rcg ln( ) c d) c ) (sin cos ) c f) rccos c 9 g) ( ) c Mr.sc. Pronil Loknr 8

22 Poglvlj. Nodrđni ingrl. Rzličiim modm izrčunj sljdć nšo ž nodrđn ingrl: ln ) d cos ) d sin rcsin c) d d) ln d ) rccos d Rjšnj ) ( ) c ) ( cg) c sin c) rcsin c d) ln( ) ln c ) rccos rccos c. Ingrl rcionln funkcij Pn ( ) Ingrirnj rcionln funkcij d, gdj su P n () i Q m () polinomi n-og odnosno m- Qm ( ) og supnj, zpoč ćmo s njjdnosvnijim slučjm: P ( ).. Ingrli olik d Q ( ) P ( ) Ingrli olik d, gdj j P() A i Q(). Q ( ) P ( ).. Ingrli olik d Q ( ) A A d A d, d d ln( ) c. P ( ) Ingrli olik d, gdj j P () A i Q () c. Q ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 9

23 Poglvlj. Nodrđni ingrl d c A rjšvmo ko d Q () npišmo u oliku punog kvdr c ) ( ) ( ) ( ) ( k u u k k u k u zim supsiucijom doijmo ili lični ingrl roj ili. Primjr. ) ( ) c rcg d d d d d, 8 ; ) d d d d d, 9 c c c ln 8 ln ln ; c) ( ) ( ) d d d d d, c rcg rcg d 6 ; d) ( ) ( ) d d d d d d 6 c rcg rcg d ) ( ; Mr.sc. Pronil Loknr

24 Poglvlj. Nodrđni ingrl.. Ingrli olik d Q P ) ( ) ( Ingrli olik d Q P ) ( ) (, gdj j P () A B i Q (), d ingrl c d c B A rjšvmo ko d prvo P () npišmo ko difrncijl Q (), n j nčin ć prvi ingrl uvjk ii lnq (), drugi ili. ili. lični ingrl. Primjr. ) ( ) ( ) d d d d ( ) ( ), d d d d d d ( ) ( ) c rcg c rcg 8 ln 8 ln ; ) ( ) ( ) d d d d ( ) ( ) ( ) d d d d d d ( ) ( ) c rcg c rcg 8 8 ln 8 ln... Ingrirnj prv rcionln funkcij Ingrirnj prv rcionln funkcij ) ( ) ( Q P m n, n < m, provodimo ko d j rsvljmo n prcijln rzlomk. Ako j polinom Q m () prv rcionln funkcij ) ( ) ( Q P m n dn u fkorizirnom oliku Q m () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m l r r k l k k g f c L L Mr.sc. Pronil Loknr

25 Poglvlj. Nodrđni ingrl Td s ) ( ) ( Q P m n mož npisi ko zroj prcijlnih rzlomk, odnosno d B d B d A d A Q P k k k k m n ) ( ) ( ) ( ) ( L L d c E D d c E D d C d C r r r k l k l l l ) ( ) ( L L L d g f G F d g f G F m m m r r r ) ( L L, gdj su konsn koj s odrđuju modom nodrđnih koficijn. l rm r k k G G D D C C A A,,,,,,,,,,,,, K K K K K K Primjr. ) d d ) )( (. Rsv podingrln funkcij j: ) )( ( C B A. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi:. C C B B A A Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni jdnkosi doivmo susv: A B C B C A Slijdi d j A. Zrjnjm prv dvij jdndž i uvršvnjm A, slijdi d j B i C. Sd j ) )( (, Mr.sc. Pronil Loknr

26 Poglvlj. Nodrđni ingrl p j d d d d c ln ln( ) ln( ) ln ( ) ( ) gdj smo u drugom ingrlu korisili supsiuciju i u rćm ingrlu z. c ) d. ( )( ) Rsv podingrln funkcij n prcijln rzlomk j: ( )( ) A B c. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi: A A B B C C. Ako izjdnčimo koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni jdnkosi doivmo: A B B C A C. Zrjnjm prv dvij jdndž doivmo A C. Zrjnjm s rćom jdndžom slijdi: A, B, C. Sd j ( )( ), p j ( )( ) d d d ln( ) d ln( ) ln( ) rcg c, gdj smo u prvom ingrlu korisili supsiuciju, u drugom z. d ) c) d (. Mr.sc. Pronil Loknr

27 Poglvlj. Nodrđni ingrl Rsv podingrln funkcij n prcijln rzlomk j: ( ) A B C. Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi: A A B B C. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij, doijmo sljdći susv: A C A B B. Odl proizlzi d j A, B, C. Prm om j: d ( ) d d.. Ingrirnj nprv rcionln funkcij d ln ln( ) c Pn ( ) Ingrirnj nprv rcionln funkcij, n m Qm ( ) Ako j supnj polinom rojnik vći ili jdnk supnju polinom nzivnik, uvijk ćmo prvo podjlii rojnik s nzivnikom: P n () : Q m () C n m () R(), Gdj j C n m () polinom (n m ) supnj, R() osk Q (m) m j prv rcionln funkcij. 9 Primjr 6. ) I d. 8 Djljnjm polinm rojnik s onim u nzivniku slijdi: p j I d ( ) Mr.sc. Pronil Loknr

28 Poglvlj. Nodrđni ingrl 8 8 d( 8 ) ( 8) d d 8 8 d 7 8 d 8 8,( 8) d d d d 7 ( ) z d dz dz ln 7 z ln( 7 8 ) rcg c. ) I d Djljnjm polinom rojnik s polinomom u nzivniku slijdi: :( ) p j I d d d I Gdj j I j prv rcionln funkcij, koju d i ingrirli mormo rsvii n prcijln rzlomk : A B C. ( )( )( ) Množnjm jdnkosi s zjdničkim nzivnikom slijdi d j: (A B C) ( A 6B) ( A B C). Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni doivmo susv: A B C A 6B A B C. Mr.sc. Pronil Loknr

29 Poglvlj. Nodrđni ingrl Zrjnj prv i rć jdndž, zim novo doivn jdndž i drug sljd koficijni: A, B, C, p j I d d ( )( )( ) d d d Dkl j ln( ) ln( ) ln( ) c. I ln( ) ln( ) ln( ) c. Primjr 7. Ingrl olik ( ) d F,( n,,,...; ) ( ) n koji s jko čso n pojvljuj ćmo posno rzmorii. Krnimo s prcijlnom ingrcijom: d j u n ( ) ( ) d dv, v, du n n d ( ) F d ) n ( ) n ( n d n n ( ) ( ) ( ) d d d n ( ) ( ) n n n n ( ) ( ) n n n Slijdi d j: odkl j: F nf ( ) n F ( ). ( ) ( ) n n n ) nf ( ) n F ( ), n ( n n n n Fn ( ) F ( ) n n. n n ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 6

30 Poglvlj. Nodrđni ingrl Kko j z n, F () lični ingrl j.: o j F d ) rcg c (, F ( ) F ( ) rcg c. Primjr 8. Rjšimo jdn složniji primjr u kojm ćmo iskorisii rkurzivnu formulu iz primjr 7: F() d. ( ) Prvo ćmo podingrlnu funkciju rsvii n prcijln rzlomk ko d j: A B ( ) ( ) C D. D ismo odrdili koficijn A, B, C, D, pomnoži ćmo cijlu jdndžu s ( ). Tim doivmo: C D (A C) B D. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom s lijv i s dsn srn jdnkosi doivmo susv Odl j C D A C B D A, B, C, D. Slijdi d j ( d F ) ( ) ( ) d d d d d,d d rcg ln rcg ). ln( rcg c Mr.sc. Pronil Loknr 7

31 Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr 9. d d d ( ), d d (( ) ) ( ) I gdj j d ( ) ( d ) I I, d z dz I c ( ) d dz, z z ( ) I ( d ) j prm rkurzivnoj formuli vrijli, z n i jdnk: n Fn ( ) F ( ) n n u n n ( ) Dkl j I rcg c. ( ) I rcg c rcg c ( ) ( ) ( ) ( [ ) ] rcg( ) c rcg( ) c..6 Zdci z vjžu ) d 8 ) d ( 8) c) d ( )( ) d) ( )( ) d ) d Mr.sc. Pronil Loknr 8

32 Poglvlj. Nodrđni ingrl Rjšnj: ) ln( 8) rcg c ) ln( 8) ln c 8 8 c) ln( ) c d) ln( ) ln( ) rcg c ) ln ( ) c..6 Ingrirnj rigonomrijskih funkcij.6. Ingrli olik Ingrli olik R (sin,cos ) d R (sin,cos ) d, gdj j R rcionln funkcij koj ovisi o sin i cos, P supsiucijom g n ( ) (zv. univrzln supsiucij), s svod n ingrl d, j. Qm ( ) rcionln funkcij u vrijli. Ako j g d j sin sin cos sin cos g sin cos g cos cos sin cos sin sin cos g g Ako j g, d j rcg d, odkl j d. Primjr. Korisći s univrzlnom supsiucijom rjši sljdć ingrl: d d d ) d sin cos Mr.sc. Pronil Loknr 9

33 Poglvlj. Nodrđni ingrl d d rcg c rcg( ) c rcg(g ) c d ) I cos d d ln g ln g c ; Ingrl I možmo rjšii i drugom rigonomrijskom supsiucijom, nkon šo smo rnsformirli podingrlnu funkciju: I cos d cos d d sin,cos d d cos sin ln ln sin sin ln sin sin c ; Čini s ko d su rjšnj rzliči. To s čso dogđ kod ingrl rigonomrijskih funkcij. Jdnosvnom rnsformcijom mož s pokzi d su rjšnj is: ln sin sin g g ln g g ln g g g g ln g g g ln. g sin c) sin cos d ( sin ) d ( ) sin cos d ln c g g ln g c. sin cos d) d d sin cos Mr.sc. Pronil Loknr

34 Poglvlj. Nodrđni ingrl d ( )( d. ) Rsvimo podingrlnu funkciju n prcijln rzlomk: j. ( )( ) A B C D, (A B C) (A C D) (A B D) A. Iz jdnkosi proizlzi d j A, B, C i D. P j sin cos d sin cos d d d g [ ln ln( ) rcg c] ln g ln( g ) c ln c. g Čso s umjso univrzln supsiucij rigonomrijsk supsiucij: g, rdi jdnosvnosi koris i sljdć. cos, ko podingrln funkcij R(sin, cos) mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji sin koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji j. ko j R( sin, cos) R(sin, cos);. sin, ko podingrln funkcij R(sin, cos) mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji j. ko j R(sin, cos) R(sin, cos);. g, ko podingrln funkcij R(sin, cos) n mjnj prdznk, kd s promjni prdznk svkoj funkciji sin i cos koj s pojvljuju u podingrlnoj funkciji j. ko j Kod supsiucij g : R( sin, cos) R(sin, cos). sin g i g cos, g d I kko j rcg slijdi d. Mr.sc. Pronil Loknr

35 Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. Korišnjm odgovrjućih supsiucij rjši sljdć ingrl rigonomrijskih funkcij: sin sin ) d. cos Ako promjnimo prdznk funkciji sin u podingrlnoj funkciji, doivmo sin ( sin ) cos ( sin ) sin sin cos sin j. R( sin, cos) R(sin, cos), p j njolj korisii supsiuciju cos, d j sin d d sin ( sin ) d d d cos sin d d d d d ln c cos cos ln c ; cos cos cos ) d sin sin Ako promjnimo prdznk svkoj funkciji cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji, doivmo ( cos ) ( cos ) sin sin cos sin cos sin, j. R(sin, cos) R(sin, cos). Kko j podingrln funkcij pri oj promjni prdznk cos promjnil prdznk, korisimo supsiuciju sin, cos d d. Slijdi d j cos sin cos sin d cos cos cos sin sin sin sin sin sin ( ) ( )( ) d d ( )( ) ( )( ) d ( ) d d c sin cos sin c ; Mr.sc. Pronil Loknr

36 Poglvlj. Nodrđni ingrl cos c) d sin cos Ako promjnimo prdznk svkoj funkciji sin i cos koj s pojvljuj u podingrlnoj funkciji doivmo cos cos cos ( sin ) ( cos ) ( sin cos ) ( sin cos ) j. R( sin, cos) R(sin, cos). Kko podingrln funkcij pri oj promjni prdznk sin i cos nij promjnil prdznk, korisimo supsiuciju g,, z koju j ond Slijdi d j sin cos cos d sin, ( ) ( ) d cos i d d d. Rsvom podingrln funkcij n prcijln rzlomk j B C ( )( ) A Množnjm s zjdničkim nzivnikom slijdi A A A B B C C. Izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinm n lijvoj i dsnoj srni slijdi susv A B A B C A C Odl j A, B i C, p j d d d ln( ) d 6 ln( ) d ln( ) d d Mr.sc. Pronil Loknr

37 Poglvlj. Nodrđni ingrl ln( ) 6 ln( ) rcg ln(g ) 6 ln(g g ) g rcg c. g, rcg d) I g d d d d Djljnjm polinom rojnik i polinom nzivnik doivmo: p j : ( ), g g ( ) ln( g ) c I d ln. n n.6. Ingrli olik sin d i cos d n sin d, n cos d, n N, n, mogu s rjšii korisći rkurzivn formul )sin n n n n n n sin cos sin d d n n n n )cos d cos sin cos d. n n Dokz nvdnih rkurzivnih formul s mož provsi prcijlnom ingrcijm. Dokz z ): I n ( n ) n n n u cos, du cos cos d cos cod dv cosdv, sin cos n n sin ( n ) cos sin d n ( sin) d Mr.sc. Pronil Loknr

38 Poglvlj. Nodrđni ingrl Dkl j n n cos sin ( n ) cos ( cos ) d cos n sin ( n ) cos n d ( n ) cos n d. p j I ) I n n cos sin ( n ) I n ( n I, n n n ( n ) I n cos sin ( n ) I n odnosno odkl j ni, n n cos sin ( n ) I n n n n cos sin I n I. n n Primjr. 6 ) cos d cos sin d cos d 6 6 Ponovnom primjnom rkurzivn formul n cos d, slijdi d j 6 cos d cos sin cos sin cos d 6 6 cos sin cos sin cos d 6 i ponovnom primjnom n cos d j 6 cos d cos sin cos sin cos sin d 6 cos 6 sin cos sin sin c. 6 ) sin d mož s rjšii n sljdći nčin: cos sin d ( sin ) d d ( cos cos ) d Mr.sc. Pronil Loknr

39 Poglvlj. Nodrđni ingrl sin cos sin d sin 8 c ( cos sin ) sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin 8 ( ) sin cos 8 cos sin sin sin cos c. 8 6 Primjnom rkurzivn rlcij imli i d j: sin d sin cos sin d 8 sin cos sin cos d sin cos sin c. 6 8 c) sin d mož s rjšii n sljdći nčin: sin d sin sin d ( cos ) d( cos ) ( cos cos ) d(cos ) cos cos cos c, ili rkurzijom sin d sin cos sin d 8 sin cos sin cos sin d sin cos sin cos cos c Isi olik rjšnj zhjvo i viš vrmn z rnsformirnj jdnog u drugo ngo smo izrčunvnj ingrl. Mr.sc. Pronil Loknr 6

40 Poglvlj. Nodrđni ingrl.6. Zdci z vjžu. d ) sin d ) cos d c) sin sin d) d sin cos sin ) d cos (sin cos ) f) d sin g) cos d 6 h) sin d Rjšnj. ) ln g c ) g rcg c) g rcg d) ln( g ) ln( g ) c ) cos g cos f) ln g g) sin sin sin h) sin sin sin Mr.sc. Pronil Loknr 7

41 Poglvlj. Nodrđni ingrl m n.6. Ingrli olik sin cos d Ingrli olik I m m n, n sin cos d, m, n Z mogu s rjšii primjnom rkurzivnih formul: m n sin cos n m n I m, n sin cos d m n m n ili m n sin cos m m n I m n m n d m, n sin cos m n Ingrli olik I m, n sin cos d, m, n Z mogu s rjšii i pogodnim rnsformcijm podingrln funkcij u ovisnosi o om d li su m i n prni rojvi ili j rm jdn od njih nprn prirodn roj. Ako j r jdn ksponn m ili n nprn i vći od nul, ond s korisi supsiucij sin ili cos, uz korišnj osnovn rigonomrijsk jdnkosi: sin cos. Ako su m i n prni rojvi ond podingrlnu funkciju možmo rnsformiri pomoću poznih rigonomrijskih formul: sin sin cos sin cos cos,cos. Pimjr. ) sin cos d sin cos cos d sin ( sin ) ( sin sin ) d(sin ) sin sin d(sin ) sin, d(sin ) cos d d c. cos sin cos sin cos cos sin d ) d ( ) d cos [ sin d sin cos d] d sin d(sin 8 8 ) sin sin sin, d(sin ) cos d c. 6 6 Mr.sc. Pronil Loknr 8

42 Poglvlj. Nodrđni ingrl Primjr. Rjšimo jdn ži primjr. sin sin cos d d sin,cos d d cos cos ( ) Podingrlnu funkciju rsvimo n prcijln rzlomk: d A ( ) ( ) ( ) ( ) B C D. Množnjm jdnkosi s ( ) ( ) j ( ) B( )( ) C( ) D( )( ) A, odkl izjdnčvnjm koficijn uz is poncij polinom n lijvoj i dsnoj srni slijdi susv Odkl j A C, B D. Prm om j sin d cos B D A B C D A B C D A B C D. ln ( ) ) ln( ) c sin sin ln c cos sin. sin g g g g sin cos cos g g cos sin cos cos Mr.sc. Pronil Loknr 9

43 Poglvlj. Nodrđni ingrl.6. Ingrli olik sin sin d, sin cosd i cos cosd Ingrli olik: sin sin d, sin cosd, cos cosd, gdj j, R,, s mogu rjšii ko d s podingrln funkcij rnsformir pomoću jdn od sljdćih formul: sin sin [cos( ) cos( )] sin cos [sin( ) sin( )] cos cos [cos( ) cos( )]. Primjr. Jr j ) sin cos d sin cos [sin sin6], sin cos d [ sin sin 6 ] cos cos 6. d d c 8 ) sin sin d Jr j sin sin [cos - cos8] sin sin d [ cos cos8 ] sin sin 8. d d c 6 Mr.sc. Pronil Loknr

44 Poglvlj. Nodrđni ingrl c) cos cosd Jr j cos cos [cos cos] cos cosd [ cos cos ] sin sin. d d c.6.6 Zdci z vjžu ) sin cos d ) sin cos d sin c) d cos Rjšnj d) cos d sin ) g d f) sin cos d d g) sin cos d d h) sin cos ) sin sin sin d ) sin 6 ) cos ) g ln cos c) cos ln cos f) cos cos6 c 8 g) g cg cg g h) g cg ln g c Mr.sc. Pronil Loknr

45 Poglvlj. Odrđni ingrl ODREĐENI INTEGRAL. Dfinicij odrđnog ingrl Promrjmo skup T očk rvnin koji j odozgo omđn grfom nprkidn funkcij f() dfinirn n I [, ], prvcim i i, sgmnom [, ] osi, ko n slici. Tkv skup zovmo krivocrni rpz. Posvlj s pinj kko nći površinu og skup T? f() Slik. Osnovn prposvk j nprkidnos funkcij i njzin poziivnosi j. d j f: [, ] R f(), z svko I. U svrhu odrđivnj površin ko dfinirnog skup T, podjlimo inrvl [, ], <, n n djlov očkm,,, n, n, ko d j Tkvom podjlom doili smo inrvl < < < < n < n. [, ], [, ],, [ k, k ], [ n, n ]. N svkom inrvlu odrimo ilo koju očku k [ k, k ], k,, n. Mr.sc. Pronil Loknr

46 Poglvlj. Odrđni ingrl S T oznčimo prvokunik kojmu j jdn srnic duljin inrvl [, ], j., drug duljin f( ). Općnio s T k oznčvmo prvokunik kojmu j jdn srnic duljin inrvl [ k, k ], j. k k, drug duljin f( k ) z k,,, n. Površin prvokunik T k jdnk j P(T k ) f( k ) ( k k ), k,,, n. f() k k- k n Slik. Površin skup T d ć priližno ii jdnk zroju površin prvokunik P(T ), P(T ),, P(T n ), P(T n ), j. n ( ) P(T) f ( ). () k k Sum () nziv s ingrln sum funkcij f n inrvlu [, ]. Ako inrvl [, ] dijlimo n sv vći i vći roj inrvl, duljin k k svkog od njih ć ii sv mnj i žii prm. Inuiivno j jsno d ć pri om sum površin prvokunik P(T ), P(T ),, P(T n ), P(T n ) sv olj i olj proksimiri ukupnu površinu P(T) skup T. Lims ingrln sum u () kd n, ( k k ) z svki k,,, n, zovmo odrđnim ingrlom funkcij f n [, ] i pišmo n f ) d lim n k k k ( f ( k )( k k ).() Uvođnj pojm ingrl pripisuj s Nwonu i Linizu, iko s osnovn idj prpoznj vć kod srogrčkih mmičr. Mđuim, Cuch j prvi dokzo d z nprkinu funkcij posoji dni lims. Rimnn j dfiniciju () proširio n širu klsu funkcij koj nisu nužno nprkinu, n zv. Rimnn ingriln funkcij. Z ogrničnu funkciju f: [, ] R, kžmo d j Rimnn ingriln n [, ] ko lims () posoji i ko n ovisi ni o nčinu podjl inrvl [, ], ni o izoru očk k. Mr.sc. Pronil Loknr

47 Poglvlj. Odrđni ingrl Ingrl u () nziv ćmo Rimnnovim ingrlom ili smo odrđnim ingrlom funkcij f n [, ], oznčvi s: f ( ) d, i čii odrđni ingrl funkcij f od do. Funkcij f nziv s podingrln funkcij, j donj, gornj grnic ingrcij. Vidimo iz () d j lim zmjnjn s, f( k) zmjnjn j s f(), oznk d dolzi od j. od duljin inrvl [ k, k ]. k k k, Odrđni ingrl f ( ) d u () dfinirli smo z <. Z > i dfinirmo n n k f ( ) d f ( ) d i f ( ) d Iz sm dfinicij odrđnog ingrl slijdi d j f ( ) d f ( ) d f ( ) d, j. vrijlu po kojoj ingrirmo možmo oznčii kko žlimo.. Osnovn svojsv odrđnog ingrl. c f ( ) d c f ( ) d, c R, ( ). f ( ) ± g( ) d f ( ) d ± g( ) d, Mr.sc. Pronil Loknr 6

48 Poglvlj. Odrđni ingrl c. f ( ) d f ( ) d f ( ) d, < c <. c Mr.sc. Pronil Loknr 7

49 Poglvlj. Odrđni ingrl Gomrijsku inrprciju svojsv. ilusrir sljdć slik f() c Slik.. Ako j f() g(), z svki [, ], ond j i f ( ) d g ( ) d. Prv ri svojsv proizlz dirkno iz dfinicij odrđnog ingrl. Svojsvo. slijdi iz činjnic d ko j f() g() z [, ], ond j i n k n k ) g( k )( k k ) k f ( )(. k k Kko is njdnkos vrijdi i z lims, iz dfinicij () slijdi d j f ( ) d g ( ) d. Iz svojsv. slijdi d ko j f() n [, ], ond j i f ( ) d. Npomn: Ako j f ogrničn i ingriln funkcij n [, ] i ko f poprim i ngivn vrijdnosi, ond j c ) d f ( ) d f ( f ( ) d. c Mr.sc. Pronil Loknr 8

50 Poglvlj. Odrđni ingrl f() c Slik. Dfinicij odrđnog ingrl () gomrijski j prirodn i orijski vrlo vžn, li j kod rčunnj odrđnog ingrl goovo nuporljiv. Z rčunnj odrđnog ingrl korisimo s Liniz Nwonov formulom, njvžnijom formulom difrncijlnog i ingrlnog rčun. Torm. Nk j I R ovorni inrvl i f: I R nprkinu funkcij.. Z svki inrvl [, ] I posoji f ( ) d.. Funkcij f im primiivnu funkciju n I.. Ako j F ilo koj primiivn funkcij od f n I, ond j f ( ) d F() F() F(). () Formul () nziv s Liniz Nwonov formul. Iz () vidimo d j z rčunnj odrđnog ingrl, ko i kod nodrđnog, porno zni nći primiivnu funkciju. Zo j porno doro uvjži posupk drivirnj, ond i nidrivirnj. Primjr. Primjnom Liniz Nwonov formul nđimo sljdć odrđn ingrl lmnrnih funkcij: ) ) d ; ( ) d ; c) sin d cos cos cos ( ) ; Mr.sc. Pronil Loknr 9

51 Poglvlj. Odrđni ingrl d) rcg rcg rcg d ; ) ; d f) ln ln ln d ; g) sin sin sin cos sin d d ; Primjr. Izrčunjmo sljdć odrđn ingrl: ) d ) ( ; ) ) ( ) rcsin( rcsin rcsin d ; c) ln ln ln ln ln d ; d) ) ( cos g g g d ; ) ln ln ln ln ) ( d d. Mr.sc. Pronil Loknr

52 Poglvlj. Odrđni ingrl. Mod supsiucij kod odrđnog ingrl U odrđnom ingrlu f ( ) d, kod zmjn vrijli nročio r pzii d s i grnic i, koj s odnos n vrijlu, promjn i nđu odgovrjuć grnic novo uvdn vrijl. Primjr. Modom supsiucij rjšimo sljdć odrđn ingrl: 9,d d ) 9d 9 d ( 9) d ( 9 ) 6 8 ; sin ln ln, d d ) d ln sin d cos cos cos ln cos; c) cos sin sin,cos d d d sin sin d ; d, d d, d ln d) d ( ) d d d ln [ ] ( ) d rcg [ rcg rcg] ( ) ; ln Mr.sc. Pronil Loknr

53 Poglvlj. Odrđni ingrl ) d ln d ln, d d ln ln 8.. Zdci z vjžu. Modom supsiucij rjši sljdć odrđn ingrl: ) 9 d ; ln d d) ; 6 ln g) cos sin d ; ) sin d ; c) sin( ) d ; ) d ln zdz f) ; z ; d h). Rjšnj ) ) ; c) ; 98 ; d) ) ; 8 ; f) ln ; g) ; h) ln. Mr.sc. Pronil Loknr

54 Poglvlj. Odrđni ingrl. Prcijln ingrcij kod odrđnog ingrl Prcijlnu ingrciju možmo primjnii i n odrđn ingrl. Iz Nwon Linizov formul () i iz slijdi d j Odl j šo op krć zpisujmo: [ u ( ) v( ) u( ) v ( ) ] d u( ) v( c ) [ u ( ) v( ) u( ) v ( ) ] d u( ) v( ) u( ) v( ) u( ) v( ) ) v ( ) d u( ) v( ) u u ( ( ) v( ) d, ( u v) udv vdu. () Primjr. ingrl: Primjnom prcijln ingrcij izrčunjmo sljdć odrđn d u ln, dv ln ln d ln d ) d ( ) d dv, v ln ln ; d u rcsin d, du d ) rcsin d rcsin dv d, v, d d rcsin d ; Mr.sc. Pronil Loknr

55 Poglvlj. Odrđni ingrl u ln( ) du d c) ln( ) d ln( ) d dv d v 9 ln d ln ( ) d ln 9ln( ) ln 9ln 9ln ln 9 ln 9 ln ln ln d, d d, d d d) d, ln d d d 8 rcg. rcg 9 ln ;.6 Zdci z vjžu. Primjnom prcijln ingrcij izrčunj sljdć odrđn ingrl: ) ln( ) d ; ln ) d ; c) ln( ) d ; 8 ( ) 6 d) d. Rjšnj ) ln ; ) ; c) ln ; d) ( 6 ). Mr.sc. Pronil Loknr

56 Poglvlj. Nprvi ingrl NEPRAVI INTEGRALI Ingrl nngivn funkcij f n inrvlu [, ], f ( ) d, jdnk j površini onog područj ispod grf funkcij f, i znd osi, koj s nlzi izmđu i. Ako pusimo d od u skončnos, područj posj nomđno, ko šo s vidi n sljdćoj slici: f() Slik Osjnčn dio rvnin ispod grf j nogrničn, p s n prvi pogld čini d j i njgov površin skončn. To j u nkim slučjvim očno, li mož ii i krivi zključk, jr j njvći dio og skup oliko nk d mu j površin znmrivo ml. Primjr. ) Izrčunjmo ingrl d, koji j jdnk površini područj koj s prož nd inrvlom [, ], do grf funkcij f(). Šo s dogđ kd? Kko j d ( ), kd, ingrl kođr ži u skončnos jr j lim. Dkl j ( ) lim( ) lim d lim Mđuim, prv miso d j površin nomđn područj skončn, ko ni ovj primjr koji o povrđuj, n smiju ns zvri. Primjr koji slijdi jsno ć nm pokzi d površin nomđn područj mož ii končn.. Mr.sc. Pronil Loknr

57 Poglvlj. Nprvi ingrl ) Izrčunjmo ingrl d, koji j jdnk površini područj koj s prož nd inrvlom [, ], do grf funkcij f(). Šo s dogđ kd? Kolik j površin područj koj s prož nd nomđnim inrvlom [, >, do grf funkcij? Kko j d, kd, jr j lim, ingrl d ži prm, dkl j d lim lim lim. Nim, grf funkcij f() pod ) s priližv osi sporij ngo grf funkcij f() pod ) p j površin ispod njg skončn. Ovj ns primjr upućuj n o d grnic odrđnih ingrl udu, p npr. d lim u d gornjm primjru, oznčimo s i uvdmo ko novu vrsu zv. nprvih ingrl n nomđnim inrvlim.. Ingrli nd nomđnim inrvlim Ako j f() ingriln n [, ] z svki > i ko posoji končni lims lim f ( ) d ond s j lims nziv nprvi ingrl funkcij f n skupu [, i oznčv s s f ( ) d lim f ( ) d. () Mr.sc. Pronil Loknr

58 Poglvlj. Nprvi ingrl U om slučju još s kž d f ( ) d konvrgir. Ako lims u dfiniciji nprvog ingrl n posoji ili j jdnk ±, ond kžmo d ingrl f ( ) d divrgir (ili n posoji). Slično, ko j f() ingriln n [, ], z svki i i ko posoji končni lims lim f ( ) d ond s j lims nziv nprvi ingrl funkcij f n skupu, ] i oznčv s s Tkođr s u om slučju kž d f ( ) d lim f ( ) d. () f ( ) d konvrgir, ko lims iz dfinicij n posoji ili j jdnk ±, kž s d f ( ) d divrgir ili n posoji. Ako j f() ingriln n [, ], z svki i i ko posoj končni limsi c c lim f ( ) d i lim f ( ) d, c R, ond posoji nprvi ingrl f ( ) d Mr.sc. Pronil Loknr 6

59 Poglvlj. Nprvi ingrl koji dfinirmo ko c f ( ) d f ( ) d f ( ) d lim f ( ) d lim f ( ) d. () gdj j c ilo koj očk og inrvl. c c c Ako j u im izrzim lims dsn srn končn, odrđn roj, kž s d ingrl konvrgir, ko kv roj n posoji, d ingrl divrgir. Primjr. Izrčunjmo sljdć nprv ingrl: d d ) lim lim( rcg) lim( rcg rcg) Drugim rjčim, površin ispod krivulj f(). od do j jdnk. ( ) ( ) α ) d lim d lim lim. α α Površin ispod krivulj od do jdnk j. α α α f() c) d lim d, d d lim α α α lim α α α, ingrl konvrgir. d) d d lim lim ( ) ( ) d [ rcg( ) ] lim[ rcg( ) lim ] Mr.sc. Pronil Loknr 7

60 Poglvlj. Nprvi ingrl [ ] [ ]. lim rcg rcg( ) lim rcg( ) rcg Posoji i drugi ip nprvog ingrl. Ako grf od f im vriklnu simpou u runoj očki inrvl [, ], ond ingrl f ( ) d nij dfinirn n uoičjn nčin, jr funkcij nij omđn u okolini run očk, j. f() ili, kd ili. I u s susrćmo s površinom nomđn područj, šo s prož nd inrvlom [, ] ispod grf funkcij f. Područj j ovog pu nomđno u smjru osi. Njgovu površinu op možmo pronći ko lims prvih ingrl, njg ćmo op zvi nprvim ingrlom. Dkl posoj dv ip nprvog ingrl: ili područj ingrcij [, ] nij končno ili f() nij končn n dnom području ingrcij.. Ingrli nomđnih funkcij Promorimo prvo slučj kd j funkcij f nomđn n lijvom krju inrvl [, ],j. lim f ( ) ±. Ako j funkcij ingriln z sv, ] i ko posoji končn lims lim f ( ) d ond s j lims zov nprvi ingrl funkcij f n, ] i oznčv s ko oični ingrl f ( ) d lim f ( ) d. () U om slučju, rći ćmo d nprvi ingrl f ( ) d konvrgir, u supronom d divrgir. Mr.sc. Pronil Loknr 8

61 Poglvlj. Nprvi ingrl Ako j funkcij f nomđn n dsnom krju inrvl [, ],j. lim f ( ) ±, i ko j ingriln z sv [,, posoji končn lims lim f ( ) d, ond s j lims zov nprvi ingrl funkcij f n [, i oznčv ko oični ingrl f ( ) d lim f ( ) d. () I u ovom slučju kžmo d nprvi ingrl konvrgir, ko j lims u dnoj dfiniciji jdnk ± ili n posoji, kžmo d ingrl divrgir, j. n posoji. Gomrijsk inrprcij nprvog ingrl funkcij f n [,, kd f nij ogrničn u j osjnčni dio n slici f() Slik Promorimo sd i slučj kd j podingrln funkcij nogrničn u nkoj očki c,, j. lim f ( ) ±. c Td s ingrl f ( ) d rsvlj očkom c,, n dv ingrl koji su nprvi prm prhodnim dfinicijm. c c f ( ) d i f ( ) d. Mr.sc. Pronil Loknr 9

62 Poglvlj. Nprvi ingrl Dkl dfinirmo f ( ) d c f ( ) d c f ( ) d lim c f ( ) d lim c f ( ) d, (6) ko nprvi ingrl. Ako su limsi n dsnoj srni končni kžmo d ingrl f ( ) d konvrgir, ko kv roj n posoji ingrl divrgir. Gomrijsk inrprcij ovog ingrl j površin osjnčnog lik n sljdćoj slici: f() c Slik Primjr. Ispijmo konvrgnciju sljdćih nprvih ingrl: d d ) lim lim lim(rcsin ) lim rcsin rcsin lim rcsin rcsin ; Iko j lik nogrničn, vidimo d j površin končn i jdnk. Dkl d konvrgir. Mr.sc. Pronil Loknr 6

63 Poglvlj. Nprvi ingrl ) [ ] [ ln lim ln ln lim ln lim limln ln d d ] lim lim ln lim ln lim. Ingrl ln d konvrgir. c) ) lim( ) lim( lim lim lim d d d d d lim lim, p d divrgir. Dkl, površinu n možmo izrčuni j. skončn j. d) ) lim( ) lim( lim lim lim d d d d d lim lim ; ) 6 lim lim lim lim d d. Primjr. Izrčunjmo sljdći odrđni ingrl supsiucijom g. d cos. Mr.sc. Pronil Loknr 6

64 Poglvlj. Nprvi ingrl Uz nvdnu supsiuciju znmo d j cos d i d. Sd promjnimo još i grnic: z slijdi d j g, z j Td j g. d cos d d. 9 Dkl, doili smo nprvi ingrl, kojg možmo rjšii prm () pomoću lims: d p j lim d lim rcg 9 9 lim rcg rcg, 6 d cos... Zdci z vjžu. Izrčuni sljdć nprv ingrl: d ) ; c) ( d ) ; ) d ; ln g) d ( ) rcg ) d ; d) ln d ; f) d ;. Pokzi d sljdći nprvi ingrli divrgirju: ) ln( ) d ) cos d c) d d d) 7 d ) Mr.sc. Pronil Loknr 6

65 Poglvlj. Nprvi ingrl Rjšnj:. ) ) ; ; 8 c) d) ; ) ; f) ; ln ; g) 6. Mr.sc. Pronil Loknr 6

66 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA. Površin.. Površin u prvokunim koordinm Ako j nprkidn funkcij zdn u prvokunim koordinm jdndžom f() i f(), ond s površin krivocrnog rpz omđnog om krivuljom, prvcim i, osi pscis od do odrđuj formulom: P f ( ) d. () f() P Slik. Ako j f() i f(), [, ], ond s površin izmđu osi i grf ngivn funkcij omđn prvcim i rčun ko d ingrirmo funkciju f, n f: P f ( ) d. () Mr.sc. Pronil Loknr 6

67 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl P f() Slik. Nk j c nuločk funkcij f, j. f(c). Ako funkcij f mjnj prdznk, j. n djlu inrvl [, ] od do c funkcij f(), n djlu inrvl [, ] od c do funkcij f(), d j površin omđn grfom funkcij f, osi, prvcim i jdnk c P P P f ( ) d f ( ) d. () c P f() c P Slik. Ako j područj nd inrvlom [, ] omđno grfovim nprkinuih funkcij f i g koj ispunjvju njdnkosi g() f() z [, ], d j površin kvog područj P [ f ( ) g( ) ] d. () Mr.sc. Pronil Loknr 6

68 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() P g() Slik. Primjr. Izrčunjmo površin područj omđn grfovim funkcij: ) f() i prvcim,,. Skicirjmo površinu. Slik. Iz slik s vidi d j površin područj smjšn nd inrvlom [, ], p j prm () P d 9 ; ) f() i g(). Mr.sc. Pronil Loknr 66

69 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik 6. Površin područj, koj j smjšno nd inrvlom [, ] izmđu grfov funkcij f i g prm () j P d d ; c) f() i prvcim,. Slik 7. Mr.sc. Pronil Loknr 67

70 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Nuločk funkcij f su i, p j prm () P P P ( ) d ( ) d ; d) f() i prvcm Slik 8. Grfovi ih funkcij s sjku u pscism u kojim j, Odkl j, p j i. P ( ) d ( ) d ; Mr.sc. Pronil Loknr 68

71 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl ) f() i prvcm. Rjšimo susv jdndži i, d ismo doili prsjčn očk zdnih krivulj. Slijdi kvdrn jdndž, čij su rjšnj i. Prsjčn očk su A(, ) i B(, ). Prm () j: Slik 9. P ( ) d ln ln ln ln ; f) f() ( ) od do. Slik. Područj dfinicij funkcij f j D(f) [,, nul-očk su i, p s površin koju ržimo nlzi izmđu nul-očk. Prm () j: Mr.sc. Pronil Loknr 69

72 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl 6 P d. g) Izrčunjmo površinu omđnu lipsom:. Eksplicini olik krivulj iznd osi OX j: - - Slik. sin, d cosd P P d sin, cos cosd sin, cos sin cos d d, p j površin lips jdnk P. Primjr. Izrčunjmo površinu područj omđnu grfovim funkcij f ( ) i g ( ). Grfovi s sjku u očkm gdj j. Mr.sc. Pronil Loknr 7

73 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slijdi d j, rln rjšnj ov jdndž su i, p su prsjčn očk A(, ) i B(, ). A, B - Slik. Primjnom formul () slijdi d j P d ( ) 6 d rcg rcg rcg 6 6. Primjr. ) Izrčunjmo površinu područj omđno grfom funkcij f(), ngnom iz ishodiš n u krivulju i simpoom krivulj. A Slik. Jdndž prvc ngn kroz ishodiš j k Mr.sc. Pronil Loknr 7

74 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Jr j k ( ) f(). Kko j f( ), gdj j A(, f( )) očk u kojoj ngn dodiruj grf funkcij, slijdi d j p j, f( ), j.: A(, ). Slijdi d j jdndž ngn Horizonln simpo funkcij f() j prvc, jr j lim Površinu područj ispod z [, oznčimo s P. P ( ) d d lim d ( ) lim lim( ). Površinu područj ispod ngn z [, ] oznčimo s P i ono prdsvlj površinu roku, p j Ukupn površin područj koj smo ržili j P. P P P. ) Izrčunjmo površinu područj omđnu grfovim funkcij f ( ) i g() cg, sin od do. Mr.sc. Pronil Loknr 7

75 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik. Prm formuli () j sin cos P P P cg d lim d lim d sin sin cos limln cos limln cos limln cos ln. c) Izrčunjmo površinu područj omđnu grfom funkcij f() i njnom simpoom. Slik. Funkcij f j nprn p j grf simričn s ozirom n ishodiš koordinnog susv Funkcij f() im horizonlnu simpou prvc, jr j lim f ( ). Iz slik s vidi d j površin jdnk ± Mr.sc. Pronil Loknr 7

76 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Nodrđni ingrl supsiucij, zim prcijln ingrcij: P d lim d. d možmo rjšii ko d prvo primjnimo modu d d, d d d u du d, ( ) ( ) d dv, v. Sd j lim lim ( ) lim lim d p j P... Zdci z vjžu. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f(), prvcim, i.. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f() i prvcm.. Izrčunj površinu omđnu krivuljom 6 i osi.. Izrčunj površinu omđnu krivuljm i.. U očkm prvc i prol povučn su ngn n prolu. Izrčunj površinu omđnu prolom i ngnm. 6. Izrčunj površinu omđnu krivuljm i. 7. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij f() i prvcm Izrčunj površinu omđnu krivuljm i. 9. Izrčunj površinu omđnu krivuljom i osi. Mr.sc. Pronil Loknr 7

77 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Rjšnj:.... ( P ) d ; 6 9 P ; P (6 ) d ; 6 6 P ( ) d ; P ; 6 P ; 7. P ln; 8. P ; 9. P... Površin u prmrskim koordinm Površin ispod krivulj zdn prmrski s ϕ( ) ψ ( ) gdj j ψ() n inrvlu [, ], dn j s gdj s i odrđuju iz jdnkosi P d ψ ( ) ϕ ( ) d () ϕ( ) ϕ( ). Primjr. ) Ako j lips zdn prmrski cos sin prm formuli () ć dio lips u prvom kvdrnu ii P ψ ( ) ϕ ( ) d p j površin lips P P. cos sin cos d d, Mr.sc. Pronil Loknr 7

78 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl ) Ako s krug rdijusr korlj (z kliznj) po prvcu, ond očk n ruu og krug opisuj krivulju čij j jdndž dn prmrski: Tu krivulju nzivmo cikloidom. ( sin ),. ( cos) Slik 6. Nći površinu ispod jdnog luk cikloid. Prm () slijdi d j P d ( ) ( ) d ( cos) ( cos) d ( cos) d ( cos cos ) d cos sin ( sin ) d... Površin u polrnim koordinm Kd j nprkidn funkcij zdn u polrnim koordinm r r(ϕ) d j površin isjčk AOB ogrničn lukom krivulj r r(ϕ) i s dv polrn rdijus OA i OB kojim odgovrju kuvi ϕ i ϕ dn s ϕ ϕ r( d P [ ϕ ] ϕ ) (6) Mr.sc. Pronil Loknr 76

79 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl B P A rr(ϕ) Slik 7. Primjr. ) Izrčunjmo površinu lik omđnog krdioidom r ( cosϕ). r ϕ Slik 8. Kko j površin iznd i ispod -osi jdnk, krivulj j zdn u polrnim koordinm, prm (6) j ukupn površin koj j omđn krdioidom jdnk: P ( cosϕ) dϕ dϕ cosϕdϕ cos ϕdϕ cos ϕ cos d cos d ; ( ϕ ϕ) ϕ ϕ ϕ ) Izrčunjmo vći dio površin lik omđnog kružnicom i prvcm u polrnim koordinm. Mr.sc. Pronil Loknr 77

80 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Kružnicu izrzimo u polrnim koordinm u kojim j: rcosϕ rsinϕ: Jr j u polrnim koordinm r, slijdi d jdndžu zdn kružnic možmo npisi ko odkl j r rsinϕ, r sinϕ, jdndž pomknu kružnic po osi z, s srdišm u S(, ) i rdijusom, j.ngir os OX u ishodišu. Slik 9. Dio rvnin izmđu prvc i kružnic ( ) odnosno r sinϕ, Mr.sc. Pronil Loknr 78

81 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl nlzi s izmđu polrnih kuv ϕ i ϕ, p j površin koju ržimo prm (6) jdnk: φ P cos ϕ sin ϕ r dϕ sin ϕdϕ dϕ ϕ ϕ. sin sin ( ) Primjr 6. Nđimo mnju površinu izmđu 8 i, korisći polrn koordin. A B Slik. Prsjčn očk grfov kružnic 8 i prol nlzimo rjšvnjm susv dvij jdndž. U u svrhu uvrsimo iz jdndž prol u jdndžu kružnic, slijdi 8, odkl j, z koji j i. P su prsjčn očk: U polrnim koordinm j: A(, ) i B(, ). 8 r 8, p j jdndž cnrln kružnic rdijus u polrnim koordinm dn s r. Mr.sc. Pronil Loknr 79

82 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Ako sd i jdndžu prolu izrzimo u polrnim koordinm, slijdi d j r cos ϕ r sinϕ, p j jdndž zdn prol u polrnim koordinm sinϕ r. cos ϕ Površinu područj, koj j smjšno izmđu polrn osi ϕ i ϕ, ogrnično prolom sinϕ r, oznčimo s P. Površinu područj, koj j smjšno izmđu cos ϕ polrn osi ϕ i ϕ, ogrnično kružnicom r, oznčimo s P.Ukupn površin j d jdnk: gdj j P (P P ), P sin ϕ cos ϕ dϕ dϕ r dϕ dϕ dϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ g ϕ ( g ϕ) d( gϕ) gϕ gϕ gϕ, dok j P r dϕ 8dϕ ( ), p j P ( ). Mr.sc. Pronil Loknr 8

83 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl.. Zdci z vjžu. Izrčunj površinu omđnu grfom funkcij: ) r cosϕ, ko j ϕ ; ) r cosϕ, ko j ϕ ; c) r cosϕ, ko j ϕ. Rjšnj:. ) ; ) ; c). 8. Duljin luk krivulj Prolm odrđivnj duljin luk kružnic i još nkih drugih krivulj, pojvio s još kod Grk, d i u 7. soljću o io jdn od prolm n kom s rzvijo difrncijilni i ingrlni rčun... Duljin luk u prvokunim koordinm Nk j f: [, ] R nprkidn funkcij. Skup svih očk grf funkcij f: (, f()), [, ] nzivmo njzinim lukom. Mr.sc. Pronil Loknr 8

84 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() s f() f() Slik. Podjlimo inrvl [, ], <, n n djlov očkm,,, n, n, ko d j < < < < n < n. Točkm,,, n, n n osi odgovrju očk n grfu A T, T, T,, T n B Udljnos očk T k ( k, f( k )) i T k ( k, f( k )) j Sum svih udljnosi d k j d d k ( ) ( f ) f ( ) n. k k ( k k) s n ( ) ( f ( ) f ( ) k k k k k ) Oznčimo s s skup rojv s n koj doivmo z rzliči izor očk T, T, T,, T n. Ako roj očk ži prm, d udljnosi d k ž prm nuli i vrijdi sljdći orm: Torm Nk j f: [, ] R nprkidn funkcij, koj im nprkidnu drivciju u,. Duljin luk s krivulj f() izmđu očk A i B s pscism i ( < ) j roj: s d. (7) Dokz: Udljnos f ( ) f ( ) k k ( k k) k k. k k k k d k ( ) ( f ) f ( ) ( ) Mr.sc. Pronil Loknr 8

85 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Prm Lgrngovom ormu f ( k ) f ( k k k ) f (c k ), k < c k < k, p j d k ( ( c ) ) ( ) k k k f. Ingrln sum n s n [ f ( ck )] ( k k ) k Lims ingrln sum u (?) kd n, ( k k ) z svki k,,, n, ć d ii ingrl funkcij ( ( ) ) f n [, ]. Slijdi d j: s d. Primjr 7. ) Nći duljinu luk sroid. - - Slik. Iz općg olik sroid slijdi njzin ksplicini olik:, Mr.sc. Pronil Loknr 8

86 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl odkl j. Primjnom formul (7) j s d d d, p j duljin luk sroid s 6. ) Odrdii duljinu luk krivulj zdn ksplicino: rcsin, od do. Drivcij zdn funkcij j:, p j primjnom formul (7) s d d. Primjr 8. Nći duljinu luk s krivulj rcsin od do Kko j o j d d d d s Mr.sc. Pronil Loknr 8

87 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl d d d d, ( ) d ln ) ln( ) ln( ) ln(... Duljin luk u prmrskim koordinm Duljin luk s krivulj zdn u prmrskom oliku: ) ( ) ( ψ ϕ gdj su ϕ () i ψ() nprkidno driviln funkcij j: s d, (8) vrijdnosi prmr i odgovrju krjvim luk. Primjr 9. ) Odrdimo duljinu luk krivulj zdn prmrski: ( ) izmđu očk prsjk s osi pscis. Z j: ( ). Slijdi d su očk prsjk s osi i, ±. S drug srn j i p j s ( ) d d d ; ) Duljin luk sroid zdn prmrski: sin cos Mr.sc. Pronil Loknr 8

88 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Jr j cos sin sin cos, z, cos, p j, dok z j cos, p j, slijdi d j s 9 cos sin 9 sin cos d 9 cos sin (sin cos ) d cos sin cosd sin d ( cos cos) p j duljin luk sroid s 6.,.. Zdci z vjžu. Nđi duljinu luk krivulj zdn ksplicino: ), od do 8; ) lnsin( ), izmđu očk i. Nđi duljinu luk krivulj zdn prmrski: ( ) ) ( ) od do ; sin cos ),. ( ) cos sin Rjšnj:.. ) s ; ) s ln.. ) s ; ) s. Mr.sc. Pronil Loknr 86

89 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl. Volumn rocijskog ijl Nk j f: [, ] R nprkinu nngivn funkcij. Žlimo izrčuni volumn rocionog ijl koj nsj rocijom oko osi površin P omđn grfom funkcij f, osi, prvcim i. f() P Slik. Podijlimo ijlo rvninm okomiom n os n n nkih dijlov, svki dio proksimirmo nkim vljkom. Ako su dijlovi jko nki, j proksimcij dor. Zim zrojimo volumn ih vljk i doijmo proksimcij volumn rocijskog ijl. Aproksimcij j im olj šo j n vći, j. šo j vći roj dijlov n koj smo podijlili ijlo. Ponovimo opisni posupk kork po kork. Podijlimo inrvl [, ] n n dijlov ko d j Iz svkog inrvl [ i, i ], i,, n izrimo po jdnu očku i [ i, i ]. Volumn nkog vljk visin i i i i rdijus f( i ) iznosi Zrojimo li doivn volumn, doivmo V i [f( i )] i n n S n Vi [ f ( i )] i i i S n j ingrln sum funkcij g() [f ()], p j lim S f ( ) d. n n Mr.sc. Pronil Loknr 87

90 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Dkl, volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđno grfom funkcij f, - osi, prvcim, jdnk j [ ] d V f ( ). (9) N sličn nčin doivmo i formulu z volumn ijl koj nsj rocijom površin P oko - osi: f() Slik. V f ( ) d () Ako površin omđn grfom funkcij f(), prvcm j. - osi, prvcim c i d roir oko - osi, ko šo s vidi n slici., d f() - f () c Slik. volumn ko nslog ijl j jdnk: d d [ ] d V d f ( ) () c c Mr.sc. Pronil Loknr 88

91 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Primjr. Izrčunjmo volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđn grfom funkcij ) f() sin n [, ] i Skicirjmo površinu koj roir sin Slik 6. Prm formuli volumn rocijskog ijl jdnk j V sin cos d d ( sin ) ) f() cg, prvcim i Skicirjmo površinu koj roir. cg Slik 7. Mr.sc. Pronil Loknr 89

92 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Prm formuli volumn ijl jdnk j ) ( ) sin ( sin sin cg d d d d cg V ) ( cg cg. c) f(), prvcim, i. Ncrjmo površinu koj roir, omđn j s zdnim krivuljm. - - Slik 8. Volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi, koj s ssoji od dvij površin oznčn n slici 8.,doi ćmo ko zroj volumn dvju ijl koji nsju rocijom ih dviju površin: ( ) 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d d d d V Primjr. Izrčunjmo volumn ijl koj nsj rocijom oko - osi površin omđn grfom funkcij ) f() i prvcim i Skicirjmo površinu koj roir Mr.sc. Pronil Loknr 9

93 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik 9. Invrzn funkcij, > j, p prm formuli () immo V d d 8 ) f() ln, prvcim, i. Ncrjmo površinu koj roir - Slik. Invrzn funkcij funkcij f() ln j. Prm formuli () volumn ijl j V ( ) ( ( ) d d ). c) f(), prvcim, i. Skicirjmo površinu Mr.sc. Pronil Loknr 9

94 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl - Slik. Prm formuli () immo d j V u, du d d dv d, v d ln d ln ln. ln ln ln ln ln ln ln Prm formuli () immo d j j isi volumn jdnk: V d ln d. ln Jdnosvnim rčunom ćmo doii isi rzul. d) f() cos, koordinnim osim. Mr.sc. Pronil Loknr 9

95 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Osnovni priod funkcij f() sljdćoj slici: cos j, p ć površin koj roir ii ko n - Slik. Slijdi d j volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi, prm () jdnk: V u, du d cos d cos dv d, v sin 8 sin cos 8. sin sin d ) f(), g() osi Odrdimo domn funkcij, sjciš grfov, ncrjmo površinu koj roir. Lko s vidi d j područj dfinicij D f [, i D g, ]. Budući d pscis sjciš grf krivulj zdovoljv jdndžu kvdrirnjm doivmo j. pscis sjciš j. Ordin sjciš j f() Mr.sc. Pronil Loknr 9

96 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl - Slik. Pomoću formul () doivmo d j volumn ijl koji nsj rocijom površin P oko - osi d d V Drugi ingrl rijši ćmo supsiucijom, d. Prm om j d d d d d V ) ( Isi rzul smo mogli doii prm () korisći invrzn funkcij i ( ). Td j: ( ) 9 d V. Nk su funkcij f i g nprkinu n [, ] i f() g() z svki [, ]. Mr.sc. Pronil Loknr 9

97 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl f() g() P Slik. Budući d površinu P doivmo oduzimnjm površin ispod grf funkcij g od površin ispod grf funkcij f, iso j i s volumnim rocijskih ijl koj s doiju rocijom ih površin. Prm om, ko površin P roir oko - osi volumn nslog ijl j V ( f ( ) g( ) ) d () Ako površin P roir oko - osi, ond j volumn ijl V ( f ( ) g( )) d. () Primjr. Odrdimo volumn ijl koj nsj rocijom površin omđn grfom funkcij f() sin n [, ], prvcim i ) oko osi ) oko - osi ) Skicirjmo površinu koj roir oko - osi Mr.sc. Pronil Loknr 9

98 Poglvlj. Primjn odrđnog ingrl Slik. Volumn ijl koj nsj rocijom površin oko - osi prm () j: V cos ( sin ) d cos d d sin ; ) Skicirjmo površinu koj roir oko - osi: Slik 6. Mr.sc. Pronil Loknr 96

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA INTEGRALA

PRIMENA INTEGRALA www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2

Budući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2 Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y

Διαβάστε περισσότερα

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.

Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006. šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td

Διαβάστε περισσότερα

ZI. NEODREðENI INTEGRALI

ZI. NEODREðENI INTEGRALI ZI. Nodrđni intgrali 7 ZI. NEODREðENI INTEGRALI. Antidrvacij. Pronañi tri antidrivacij funkcij.. Odrdi sv antidrivacij funkcij.. Pronañi dvij antidrivacij funkcij.. Pronañi antidrivaciju funkcij za koju

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

Teme predavanja. Teorija signala. Motivacija za T-F analizu. Motivacija za T-F analizu. Grupno kašnjenje. Motivacija za T-F analizu

Teme predavanja. Teorija signala. Motivacija za T-F analizu. Motivacija za T-F analizu. Grupno kašnjenje. Motivacija za T-F analizu Dr. sc. Dmir Sršić -7 Tm prdvnj Torij signl rof. dr. sc. Dmir Sršić hp://s.soi.fr.hr Moivcij vrmnso-frvncijs obrd STT ourirov rnsformcij n vrmnsom ovoru dfinicij, svojsv, primjri. Disrn STT, Gborov spnij

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit - RJEŠENJA

Priprema za ispit - RJEŠENJA Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)

15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike) Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.

Poučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c. Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu

Διαβάστε περισσότερα

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx

7. INTEGRALA IMPROPRIE. arcsin x. cos xdx 7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2 Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac

a) Kosi hitac Krivolinijsko gibanje materijalne toke Sastavljeno gibanje Specijalni sluajevi kosog hica: b) Horizontalni hitac c) Vertikalni hitac ) Kosi hic Kriolinijsko ibnje merijlne oke Ssljeno ibnje 5. dio 3 4 Specijlni slujei koso hic: b) orizonlni hic c) Veriklni hic b) orizonlni hic c) Veriklni hic 5 6 7 ) Kosi hic 8 Kosi hic (bez opor zrk)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj

GEOMETRIJSKA VEROVATNOĆA. U slučaju kada se ishod nekog opita definiše slučajnim položajem tačke u nekoj oblasti, pri čemu je proizvoljni položaj GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a

Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

1. NEODREÐENI INTEGRAL

1. NEODREÐENI INTEGRAL . NEODREÐENI INTEGRAL Pitnj: Je li dn reln funkcij f : A! R, A R, derivcij neke relne funkcije g : A! R? Riješiti jedndbu g = f, pri cemu se z dni f tri g. T jedndb ili nem rješenj ili ih im beskoncno

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Diskretne matematièke strukture

Diskretne matematièke strukture UNIVERZITET U BEOGRADU Fkultt orgnizcionih nuk dr Mirjn Èngloviæ Diskrtn mtmtièk struktur (nrdigovn skript) Bogrd, 997. SADRŽAJ. UVOD... 3.. RELACIJA. OPERACIJA. FUNKCIJA... 3.. OSNOVNI POJMOVI LOGIKE...

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1 Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)

Διαβάστε περισσότερα

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x =

0 = x 0 < x 1 <... < x n = 1, x k = k n, x = 1 0 n. f(x k ) x = Chpter Odredjen ntegrl Problem Nek je zdn funkcje f : [,b] R, f(x). Kko odredt površnu omedjenu grfom funkcje f(x) x-os? Površn prvokutnk: S = b Površn trokut: S = 1 v Kko defnrt površnu lk čje su strnce

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sistem sučeljnih sila

Sistem sučeljnih sila Sistm sučljnih sila Gomtrijski i analitički način slaganja sila, projkcija sil na osu i na ravan, uslovi ravnotž Sistm sučljnih sila Za sistm sila s kaž da j sučljni ukoliko sil imaju zajdničku napadnu

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β

TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1, 1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο.

5 Ι ^ο 3 X X X. go > 'α. ο. o f Ο > = S 3. > 3 w»a. *= < ^> ^ o,2 l g f ^ 2-3 ο. χ χ. > ω. m > ο ο ο - * * ^r 2 =>^ 3^ =5 b Ο? UJ. > ο ο. 728!. -θ-cr " -;. '. UW -,2 =*- Os Os rsi Tf co co Os r4 Ι. C Ι m. Ι? U Ι. Ι os ν ) ϋ. Q- o,2 l g f 2-2 CT= ν**? 1? «δ - * * 5 Ι -ΐ j s a* " 'g cn" w *" " 1 cog 'S=o " 1= 2 5 ν s/ O / 0Q Ε!θ Ρ h o."o.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( )

( ) ( ) ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!

#% )*& ##+, $ -,!./ %#/%0! %,! -!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3

Διαβάστε περισσότερα

Osnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N

Osnovna škola. b) Koliko prstenova treba objesiti na kukicu s lijeve strane na slici 2 da bi poluga bila u ravnoteži? 1 3 F/N ŠKOLSKO/OPĆINSKO NTJENJE IZ FIZIKE 2.2.2009. Osnovn škol Uut: U svim zdcim gdje je to otrebno koristiti g = 10 N/kg. 1. zdtk (7 bodov) ) Slik 1 rikzuje olugu u rvnoteži n kojoj se nlze dv rsten i neoznti

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka? MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα