-ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "-ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA"

Transcript

1 -ELEKTROHEMIJA- OSNOVNI PRINCIPI REDOKS REAKCIJA

2 ŠTA SU TO REDOKS REAKCIJE? KAKVE SU REDOKS REAKCIJE? REDOKS PO ČEMU SE RAZLIKUJU U ODNOSU NA DRUGE REAKCIJE? Redoks je termin koji označava reakcije u kojima se istovremeno odigrava primanje elektrona (redukcija) i otpuštanje (oksidacija) elektrona. Rastvaranje elementarnog cinka u kiselini je klasičan primer oksido-redukcione reakcije: Zn (s) +2H + Zn 2+ +H 2(g)

3 Pravila za oksidacione brojeve i stanja su usvojena, prema konvenciji. Neka od najvažnijih su: 1. Svaki slobodni (nepobuđeni) element bez naelektrisanja ima oksidacioni broj 0. Dvoatomski gasovi kao što su O 2(g) and H 2(g) pripadaju toj kategoriji! 2. Sva jedinjenja imaju ukupno naelektrisanje 0. Oksidaciona stanja, odnosno brojevi svih atoma koji čine jedinjenj kada se saberu mora biti Svaki jon ima oksidacioni broj koji odgovara naelektrisanju tog jona. Poliatomski joni imaju oksidacioni broj koji odgovara celom naelektrisanju tog jona! Joni I, II,i VII (halogeni) grupe P.S.E. i još neki elementi imaju najčešće jedno oksidaciono stanje! 4. Kiseonik u jedinjenjima ima oksidacioni broj 2, osim u peroksidima, gde je naelektrisanje kiseonika Vodonik u jedinjenjima ima najčešće oksidacioni broj +1, osim u hidridima, gde je oksidacioni broj vodonika 1.

4 KAKO PREPOZNATI REDOKS REAKCIJU? Svaka redoks reakcija odigrava se uz razmenu elektrona! Jedan atom prima elektrone, a drugi istovremeno daje elektrone! Kako ćete najlakše uočiti da li je u pitanju redoks reakcija? Obeležite svaki atom i reaktanta i proizvoda kod hemijske jednačine oksidacionim brojem. Ako se oksidacioni broj menja sa jedne strane u odnosu na drugu, za isti atom, u pitanju je redoks reakcija! Svaka kompletna hemijska jednačina mora imati bar jednu atomsku vrstu koj gubi elektrone i bar jednu atomsku vrstu koja prima elektrone! Gubitak, kao i primanje elektrona će se odraziti na promenu oksidacionih brojeva!

5 PRIMER Sređivanje redoks reakcije I odrediti oksidacioni broj svakog atoma reaktanta i proizvoda Za reakciju: Ca (s) + O 2(g) CaO (s) Koji učesnici u reakciji menjaju oksidacione brojeve? To su i kalcijum i kiseonik! II Ca 0 Ca +2 atom kalcijuma je otpustio dva elektrona (oksidovao se redukciono sredstvo) III O 0 O -2 atom kiseonika je primio dva elektrona (redukovao se oksidaciono sredstvo) Broj otpuštenih i primljenih elektrona mora biti jednak u hemijskoj reakciji pa prema tome u reakciji moraju učestvovati dva atoma kalcijuma IV Sređena jednačina hemijske reakcije: 2 Ca (s) + O 2(g) 2 CaO (s)

6 Ravnoteže u redoks sistemima Redoks reakcije su reakcije razmene elektrona. U ovim reakcijama dolazi do promene oksidacionog broja supstanci koje učestvuju u procesu oksidacije (otpuštanja elektrona) i redukcije (primanja elektrona). Redukciona supstanca, Red, se oksiduje otpuštajući elektrone, oksidaciona supstanca, Ox, se redukuje primajući elektrone. U redoks reakcijama učestvuju konjugovani parovi redukcionih i oksidacionih supstanci: Red 1 Ox 1 + ne Ox 2 + ne Red 2 Red 1 + Ox 2 Ox 1 + Red 2

7 Hemijske redoks reakcije su spontane reakcije redukcionih i oksidacionih supstanci u reakcionom medijumu: tečnom ili gasovitom. Elektrohemijske redoks reakcije su reakcije koje se odigravaju posredstvom metalnih elektroda: anode na kojoj se odigrava proces oksidacije i katode na kojoj se odigrava proces redukcije: Anoda: Red 1 Ox 1 + ne Katoda: Ox 2 + ne Red 2 Red 1 + Ox 2 Ox 1 + Red 2

8 Koncentracije supstanci koje učestvuju u redoks reakcijama mogu se odrediti merenjem potencijala elektroda uronjenih u rastvore elektrolita. Elektrode i elektrolit čine elektrohemijski spreg. Vezu između elektrohemijskog potencijala, E ox/red, i koncentracije, c, nekog redoks para u rastvoru daje Nernstova jednačina (W. Nernst). Za neku elektrohemijsku reakciju redukcije: Ox + ne Red, Nernstova jednačina ima oblik: E = E Θ ox / red ox / red RT nf ln c c red ox

9 gde je: E θ ox/red - standardni potencijal elektrohemijske reakcije, V; RT/F - konstanta, gde je R = 8,315 J/mol K, T = 298,1 K, F = 9, C/mol; prelaskom sa prirodnog logaritma na dekadni logaritam, konstanta dobija brojnu vrednost 0,059; n - broj elektrona koji učestvuju u reakciji; c red ; c ox - koncentracije supstanci u redukovanom i oksidovanom obliku. Nernstova jednačina dobija sledeći oblik: E = E Θ ox / red ox / red 0,059 n log c c red ox

10 1. Napisati Nernstovu jednačinu za polureakcije redukcije a) Fe 3+ i b) MnO 4- jona. Rešenje: a)fe 3+ + e Fe 2+ E(Fe 3+ /Fe 2+ )=E θ (Fe 3+ /Fe 2+ )-0,059 log b)mno H + + 5e Mn H 2 O E(MnO 4- +8H + /Mn 2+ +4H 2 O)=E θ (MnO 4- +8H + /Mn 2+ +4H 2 O)-

11 Walther Hermann Nernst Nemački fizičar koji je poznat po svojim izučavanjima teorije o hemijskom afinitetu i izračunavanjima koja se baziraju na primeni III zakona termodinamike, za koja je dobio Nobelovu nagradu 1920 godine. Nernst je osnivač moderne fizičke hemije, a bavio se i dao značajan doprinos u oblasti elektrohemije, termodinamike, hemije čvrstog stanja i fotohemije. Walther Hermann Nernst (25 jun novembar 1941) Poznat je po Nernstovoj jednačini!

12 Pomoću Nernstove jednačine se može izračunati elektrodni potencijal Za svaku elektrodu karakterističan je elektrodni potencijal i elektrodna reakcija koja se odigrava na granici faza, a koja se može prikazati sledećom jednačinom: M z+ + ne - M Pomoću Nernstove jednačine se može izračunati elektrodni potencijal.

13 IZRAČUNAVANJE KARAKTERISTIČNIH VELIČINA REDOKS REAKCIJA POMOĆU NERNSTOVE JEDNAČINE Nernstova jednačina omogućava izračunavanje sledećih veličina bitnih za hemijske i elektrohemijske redoks procese: elektrodnih potencijala, koncentracije jona na osnovu elektrodnog potencijala, elektromotornih sila, tipa elektrohemijskog sprega, smera redoks reakcija u spregovima, određivanje konstanti ravnoteže na osnovu izmerenih EMS spregova i praćenje toka redoks titracija.

14 Elektrohemijski niz elemenata Ako se elementi poređaju po porastu standardnog elektrodnog potencijala dobija se elektrohemijski niz ili naponski red (Voltin niz). Nula elektrodnog potencijala, odgovara potencijalu standardne vodonične elektrode.

15

16 Elektrodni potencijal-definicija Elektrodni potencijal, E, predstavlja razliku potencijala na dodiru metala (čvrste faze) i rastvora (tečne faze). Standardni elektrodni potencijal, E θ, je konstantna vrednost, a predstavlja potencijal koji se uspostavlja na elektrodi uronjenoj u rastvor jona čija je aktivnost, a= 1,00.

17 Elektroda-funkcija i tipovi elektroda Elektroda ima funkciju: katode (ukoliko se na njima odigrava redukcija) ili anode (ukoliko se na njima odigrava oksidacija). Elektrode mogu da budu: indikatorske, kada potencijal elektrode direktno zavisi od koncentracije jona u rastvoru, i referentne koje imaju nezavisan, konstantan potencijal. Indikatorske elektrode su: vodonična (H+-jon), staklena (H+-jon), srebrova (Ag+-jon) i druge. Referentne elektrode su: zasićena kalomelova elektroda, ZKE; standardna vodonična elektroda, SHE; srebrosrebrohloridna elektroda, Ag/AgCl i druge.

18 2. ZADATAK Izračunati vrednost ravnotežnog elektrodnog potencijala redukcije Ag + -jona, E(Ag + /Ag), koja se odigrava na srebrovoj elektrodi: Ag Ag + (c= 2, mol/dm 3 ). Podatak: E θ (Ag + /Ag)= 0,80 V Polureakcija redukcije Ag+-jona: Ag + (aq) + e Ag(s).

19 Rešenje: Ag + (aq) + e Ag(s). E(Ox/Red) = E θ (Ox/Red) 0,059 n log [ Re d] [Ox] E(Ag + /Ag) = E θ (Ag + /Ag) 0,059 log E = E θ (Ag + /Ag) + 0,059 log [Ag + ] = 0, ,059 log (2, ) = 0,699 V

20 3. ZADATAK Izračunati vrednost ravnotežnog elektrodnog potencijala staklene indikatorske elektrode, E ind, uronjene u rastvor neke kiseline, ako je ph rastvora 2,00. Podatak: E θ (2H + /H 2 )= 0,00 V; c(h 2(g) =1)

21 Rešenje: 2H + (aq) + 2e H 2 (g). E(Ox/Red) = E θ (Ox/Red) E ind = E(2H + /H 2 ) E(2H + /H 2 )=E θ (2H + /H 2 ) log log = 0,00 + 0,059 log [H + ]= -0,059 ph E ind = -0,059 2,00 = -0,118 V

22 Izračunavanje koncentracije jona na osnovu elektrodnog potencijala 4. ZADATAK Izračunati koncentraciju Zn 2+ -jona, ako je izmeren elektrodni potencijal cinka uronjenog u rastvor cinkove soli, E (Zn 2+ /Zn)= -0,801 V. Podatak: E θ (Zn 2+ /Zn)= -0,76 V

23 Rešenje: Zn 2+ (aq) + 2e Zn(s) E(Ox/Red) = E θ (Ox/Red) 0,059 n log [ Re d] [Ox] 0,059 E(Zn 2+ /Zn) = E θ ( Zn 2+ /Zn) 2-0,801 = -0,76 + 0,0295 log [Zn 2+ ] [Zn 2+ ] = 5, mol/dm 3. log 1 [Zn 2+ ]

24 Elektromotorna sila, EMS Elektromotorna sila, EMS, predstavlja razliku elektrodnih potencijala elektroda unutar elektrohemijskog sprega. Elektrohemijska ćelija ili spreg je uređaj koji se sastoji od dve metalne elektrode uronjene u rastvor odgovarajućeg elektrolita a odvojene su polupropustljivim pregradama.

25 Elektrohemijska ćelija ili spreg Elementi sprega prikazuju se u skladu sa tačno utvrđenim standardima i dogovorima. Anoda se nalazi sa leve strane, a katoda s desne strane simbolično prikazanog sprega. Jedna okomita crta označava dodir čvrste i tečne faze (elektrode i elektrolita), dve okomite crte označavaju razdvojenost katodnog i anodnog prostora. Uobičajeno je da bude naveden sastav elektrolita i koncentracija elektrolita u mol/dm 3. Najopštije neki spreg se može predstaviti na sledeći način: Anoda, A (-) Elektrolit: Me 1 n+, c(me 1 n+ ) Elektrolit: Me 2 n+, c(me 2 n+ ) (+) K, katoda Elektromotorna sila, EMS Elektromotorna sila sprega se može izračunati kao: EMS = E katode - E anode EMS = E desna - E leva

26 5. Izračunati elektromotornu silu sprega koji se naziva Danijelov spreg (prikazan shematski na slici): Zn ZnSO 4, c(zn 2+ ) = 1,00 CuSO 4, c(cu 2+ )= 1,00 Cu Podaci: E θ (Zn 2+ /Zn)= -0,76 V; E θ (Cu 2+ /Cu)= 0,34 V Rešenje: Anoda (-) Zn ZnSO 4, (c(zn 2+ )= 1,00) CuSO 4, (c(cu 2+ )= 1,00) Cu (+) Katoda Redoks reakcije koje se odigravaju unutar sprega su: Zn 2+ (aq) + 2e Zn(s) Cu 2+ (aq) + 2e Cu(s) EMS = {E θ (Cu 2+ /Cu) + 0,059 log[cu 2+ ]} {E θ (Zn 2+ /Zn) + 0,059 log[zn 2+ ]} 2 2 EMS = E θ (Cu 2+ /Cu) - E θ (Zn 2+ /Zn) = +0,34 - (-0,76) = +1,10 V

27 Tip elektrohemijskog sprega Postoje dva tipa elektrohemijskih spregova: galvanski i elektrolitički. Galvanski su oni u kojima se elektrohemijske redoks reakcije odigravaju spontano, ovi spregovi predstavljaju hemijski izvor struje. Elektromotorna sila, EMS ovih spregova ima pozitivan predznak. Elektrolitički spregovi su oni u kojima se redoks reakcija ne odigrava spontano već se ostvaruje primenom spoljnjeg izvora struje, oni troše električnu energiju. EMS ovih spregova ima negativan predznak. Prethodni primer, Danijelov spreg, ima pozitivan predznak elektromotorne sile, EMS = +1,10 V, to potvrđuje da je ovaj spreg galvanski spreg.

28 Izračunavanje tipa elektrohemijskog sprega Ukoliko EMS sprega napisanog u standardnom obliku, ima pozitivan predznak, spontan je proces oksidacije na anodi i redukcije na katodi. Ukoliko EMS sprega napisanog u standardnom obliku, ima negativan predznak to znači da se radi o elektrolitičkoj ćeliji i da se reakcije odigravaju u smeru suprotnom od pretpostavljenog.

29 5. Izračunati: elektromotornu silu sprega, odrediti tip sprega i odrediti smer redoks reakcije. Ag AgI(s), HI, c(i - )= 2, mol/dm 3 HI, c(h + )= 2, mol/dm 3 c(h 2(g) =1) Staklena Podaci: E θ (2H + /H 2 )= 0,00 V, E θ (AgI/Ag + +I - )= -0,15 V Rešenje: EMS = E katode - E anode K: 2H + (aq) + 2e H 2 (g) A: AgI(s) + e Ag(s) + I - (aq)

30 Rešenje: EMS = E katode - E anode K: 2H + (aq) + 2e H 2 (g) A: AgI(s) + e Ag(s) + I - (aq) 0, [H ] EMS ={E θ (2H + /H 2 ) - log + 2 } {E θ (AgI/Ag+I - ) -0,059log[I - ]} EMS ={E θ (2H + /H 2 ) + 0,059log [H + ]} {E θ (AgI/Ag+I - ) - 0,059log[I - ]} EMS = (0,00 + 0,059log (2, ) - (-0,15-0,059log(2, )=-0,050V Znak minus: spreg je elektrolitički. Smer reakcije: Ag(s) + I - (aq) + 2H + (aq) AgI(s) + H 2 (g)

31 6.Izračunati elektromotornu silu sprega, odrediti tip sprega i odrediti smer redoks reakcije. Ag AgI(s), HI, c(i - )= 2, mol/dm 3 Hg 2 Cl 2 (s), KCl(zasićen), Hg Podaci: E (ZKE)= 0,24 V, E θ (AgI/Ag + +I - )= -0,15 V Rešenje: Ovaj spreg se može napisati i u sledećem obliku: Ag AgI(s), HI, c(i - )= 2, mol/dm 3 ZKE EMS = E katode - E anode K: Hg 2 Cl 2 (s) + 2e 2Hg( ) + 2Cl - (aq) E(Hg 2 Cl 2 /2Hg+2Cl - )=E(ZKE) = 0,24 V A: AgI(s) + 2e Ag(s) + I - (aq) E θ (AgI/Ag+I - ) = -0,15 V

32 Rešenje: Ovaj spreg se može napisati i u sledećem obliku: Ag AgI(s), HI, c(i - )= 2, mol/dm 3 ZKE EMS = E katode - E anode K: Hg 2 Cl 2 (s) + 2e 2Hg( ) + 2Cl - (aq) E(Hg 2 Cl 2 /2Hg+2Cl - )=E(ZKE) = 0,24 V A: AgI(s) + 2e Ag(s) + I - (aq) E θ (AgI/Ag+I - ) = -0,15 V EMS= E(ZKE) - {E θ (AgI/Ag + +I - ) - 0,059 log[i - ]} EMS= 0,24 [-0,15-0,059 log(2, )] = +0,289 V = +0,29 V Znak plus: spreg je galvanski. Smer reakcije: Ag(s) + I - (aq) + Hg 2 Cl 2 (s) AgI(s) + 2Hg(l) + 2Cl - (aq)

33 7. Za spreg: Pb Pb 2+ (aq), (1,00 mol/dm 3 ) Ag + (aq), (1,00 mol/dm 3 ) Ag odrediti smer odigravanja redoks reakcije: Pb(s)+ 2Ag + (aq) Pb 2+ (aq) + 2Ag(s), Pretpostaviti da se sve supstance nalaze u standardnim uslovima. Podaci: E θ (Pb 2+ /Pb)= -0,13 V; E θ (Ag + /Ag)= +0,80 V

34 Rešenje: A: Pb(s) - 2e Pb 2+ (aq) K: Ag + (aq) + e Ag(s) EMS = E katode - E anode =0,80-(-0,13) = 0,93 V Smer reakcije: Pb(s) + 2Ag + (aq) Pb 2+ (aq) + 2Ag(s).

35 8. Ako se u rastvor koji sadrži Fe 2+ i Cd 2+ - jone koncentracije 1,00 mol/dm 3 urone elektrode od gvožđa da li će doći do redukcije kadmijuma? Podaci: E θ (Fe 2+ /Fe)= -0,44 V; E θ (Cd 2+ /Cd)= -0,40 V

36 Rešenje: A: Fe(s) - 2e Fe 2+ (aq) K: Cd 2+ (aq) + 2e Cd(s) EMS = E katode - E anode = -0,40 (-0,44) = 0,04 V Smer reakcije: Fe(s) + Cd 2+ (aq) Fe 2+ (aq) + Cd(s) Dolazi do redukcije kadmijuma.

37 9. Ako se u rastvor CuSO 4 koncentracije 0,100 mol/dm 3 uroni elektroda cinka kolika će biti koncentracija jona Zn 2+ u rastvoru na kraju redoks reakcije? Podaci: E θ (Zn 2+ /Zn)= -0,763 V; E θ (Cu 2+ /Cu)= 0,337 V

38 Rešenje: E θ (Cu 2+ /Cu) + log[cu 2+ ] = E θ (Zn 2+ /Zn) + log[zn 2+ ]

39 Konstante ravnoteže redoks reakcija Ravnotežne redoks reakcije koje se odigravaju u vodenim rastvorima definisane su konstantama redoks sistema, K. Stanje ravnoteže nastaje u momentu kada se izjednače potencijali učesnika u redoks reakciji, odnosno kada je E 1 = E 2 = E. Za reakciju: Red 1 + Ox 2 Ox 1 + Red konstanta ravnoteže K =, može da se izračuna na osnovu Nernstove jednačine: log K = [Ox ][ Re d [ Re d 1 ][Ox n θ θ 2 (E1 E 0,059 log K = gde je: n- broj razmenjenih elektrona u redoks reakcijama, E 1θ - standardni potencijal oksidacione supstance, a E 2θ - standardni potencijal redukcione supstance. 2 ] ] ) θ ili θ n( E ox E red ) 0,059

40 ZADATAK 10. Izračunati konstantu reakcije oksidacije gvožđa kalijum-permanganatom: 5Fe 2+ (aq) + MnO 4- (aq) + 8H + (aq) 5Fe 3+ (aq) + Mn 2+ (aq) + 4H 2 O. Podaci: E θ (MnO 4- +8H + /Mn 2+ +4H 2 O)=1,51 V; E θ (Fe 3+ /Fe 2+ )=0,77 V Rešenje: K=, log K = = 62,7=> K = 5,

41 ZNAČAJ I PRIMENA ELEKTROHEMIJSKIH SPREGOVA I BATERIJE II KOROZIJA

42 Baterije Ćelija ili spreg u kome se prenos elektrona dešava preko spoljašnjeg provodnika a ne direktnim kontaktom između reaktanata. To je baterija koja se svakodnevno koristi. EMS u kojem se odvija pretvaranje hemijske energije u električnu.

43 Baterije Baterije su mali prenosni elektrohemijski izvori energije koje se sastoje od jedne ili više galvanskih ćelija. Obična baterija od 1,5 V se sastoji od jedne galvanske ćelije Ako se više galvanskih ćelija redno vežu tada se dobija napon koji je jednak zbiru napona svih ćelija. Primer za ovakav tip baterija su olovni akumulatori.

44 Baterije Teško je konstruisati dobru bateriju. EMS baterije zavisi od katodne i anodne polureakcije, a vek trajanja baterije od količine tih supstanci u bateriji. Treba osmisliti kako razdvojiti katodni i anodni prostor. Konstrukcija baterije zavisi i od njene namene. Akumulatori za automobile moraju da obezbede jaku struju u veoma kratko periodu (dok auto ne upali) i ne moraju biti mali i laki. Baterije koje se ugradjuju u pejsmekere moraju da obezbede slabu struju duži vremenski period i moraju biti male i lake.

45 Baterije olovni akumulator Akumulator od 12 V se sastoji od šest galvanskih ćelija vezanih redno sa naponom od 2 V. Katoda se sastoji od olovo(iv) oksida a anoda od čistog olova. Obe elektrode su uronjene u sumpornu kiselinu. Elektrodne reakcije tokom pražnjenja su: Standardna EMS ove reakcije je:

46 Baterije olovni akumulator Reaktanti (PbO 2 i Pb) služe kao elektrode. Pošto su čvrsti nema potrebe za odvajanjem katodnog i anodnog prostora. Jedini načini da reaktanti dođu u kontakt je da se elektrode dodirnu kada se jedna ploča iskrivi, akumulator se tada baca. Tokom pražnjenja nastaje čvrsti PbSO 4 koji se taloži na elektrodama. Dobra stvar je što su svi reaktanti (Pb, PbO 2 i PbSO 4 ) čvrsti tako da EMS ćelije ne zavisi od njihove koncentracije što omogućava da akumulator daje konstantnu EMS tokom duže vremena. EMS zavisi jedino od koncentracije sumporne kiseline koja se smanjuje tokom pražnjenja.

47 Baterije olovni akumulator Olovni akumulatori se mogu puniti (iz generatora, odnosno motora kad automobili radi). Tada nastaju Pb, PbO 2 i H 2 SO 4.

48 Baterije alkalne baterije Danas se najviše proizvode. Anoda je od praškastog cinka a katoda od MnO 2 i grafita. Elektrolit je koncentrovani rastvor KOH (zato se zovu alkalne) Katodni i anodni prostor odvojeni polupropustljivom membranom Reakcija je: EMS ove reakcije je 1,55 V. Ne mogu se puniti.

49 Korozija Skoro svi metali se oksiduju vazdušnim kiseonikom pri sobnoj temperaturi dajući okside. Ovaj proces se naziva korozija. Najviše štete prouzrokuje korozija gvožđa. To je elektrohemijski proces. Standardni redukcioni potencijal gvožđa manje je pozitivan od kiseonika, gvožđe se može oksidovati vazdušnim kiseonikom.

50 Korozija Jedan deo predmeta od gvožđa služi kao anoda i tu Fe prelazi u Fe 2+. Elektroni putuju kroz metal do drugog dela predmeta koji služi kao katoda gde se dešava redukcija kiseonika. Prilikom redukcije troše se H + joni tako da se korozija može sprečiti povećanjem ph vrednosti rastvora (gvožđe u kantaktu sa rastvorom koji ima ph iznad 9 neće korodirati).

51 Korozija Nastali Fe 2+ joni se dalje oksiduju vazdušnim kiseonikom i daju hidratisani gvožđe(iii)-oksid poznatiji kao rđa. Katoda je bogato kiseonikom rđa se veoma često nalazi na katodi (a ne na anodi na mestu sa koga su potekli joni gvožđa).

52 Korozija metala = elektrohemijsko trošenje metala uvek se više troši metal s negativnijim elektrodnim potencijalom

53 Rđanje gvožđa je spor proces

54 Zaštita od korozije 1. dodavanje inhibitora (npr. anodni -oksidansi koji stvaraju oksidni sloj na površini ili katodini sprečavaju dovod kiseonika na katodnu površinu). 2. katodna zaštita metal koji treba zaštititi spoji se s većim blokom metala elektronegativnijeg elektrodnog potencijala pa se taj trošiti (pr. Mg koji štiti Fe). 3. eloksiranjem elektrolitička oksidacija. Tako nastaje oksidni sloj koji čvrsto prijanja uz podlogu (Al). 4. galvanizacija presvlačenje metala drugim metalom (kromiranje, poniklavanje, pobakrivanje, pocinčavanje, pozlaćivanje).

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA

IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA IV RAČUNSKE VEŽBE RAVNOTEŽE U REDOKS SISTEMIMA Redoks reakcije su reakcije razmene elektrona. U ovim reakcijama dolazi do promene oksidacionog broja supstanci koje učestvuju u procesu oksidacije i redukcije.

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA

SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA SADRŽAJ PREDMETA PREDAVANJA ~ PRINCIPI HEMIJSKE RAVNOTEŽE ~ KISELINE, BAZE I SOLI RAVNOTEŽA U VODENIM RASTVORIMA ~ RAVNOTEŽA U HETEROGENIM SISTEMIMA SLABO RASTVORLJIVA JEDINJENJA PROIZVOD RASTVORLJIVOSTI

Διαβάστε περισσότερα

REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE)

REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE) REAKCIJE OKSIDO-REDUKCIJE (REDOKS REAKCIJE) OKSIDACIJA - REAKCIJE SA KISEONIKOM i NASTANAK OKSIDA... Najpoznatije takve reakcije jesu reakcije SAGOREVANJA! 2 Ca(s) + O 2 (g) 2 CaO(s) 2 H 2 (g) + O 2 (g)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA. hemijska reakcija je izvor energije

TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA. hemijska reakcija je izvor energije TRANSFORMACIJE HEMIJSKE ENERGIJE U ELEKTRIČNU - ELEKTROHEMIJA hemijska reakcija je izvor energije Baterija koristi spontanu hemijsku reakciju koja je praćena promenom slobodne Gibbs-ove energije G (ΔG

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

površina metala se naelektriše negativno u odnosu na rastvor. Metal je jače redukciono sredstvo a njegovi joni slabije oksidaciono sredstvo.

površina metala se naelektriše negativno u odnosu na rastvor. Metal je jače redukciono sredstvo a njegovi joni slabije oksidaciono sredstvo. ELEKTROHEMIJA II GRANIČNA OBLAST DODIRA ELEKTRODA-ELEKTROLIT Uranjanjem metala u vodeni rastvor njegovih jona nastaje REDOKS SISTEM: M s = M z+ aq + ze Pri rastvaranju, joni sa površine metala prelaze

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c.

HEMIJSKE RAVNOTEŽE. a = f = f c. II RAČUNSKE VEŽBE HEMIJSKE RAVNOTEŽE TEORIJSKI DEO I POJAM AKTIVNOSTI JONA Razblaženi rastvori (do 0,1 mol/dm ) u kojima je interakcija između čestica rastvorene supstance zanemarljiva ponašaju se kao

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x. 4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.

nvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA. IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Kiselo bazni indikatori

Kiselo bazni indikatori Kiselo bazni indikatori Slabe kiseline ili baze koje imaju različite boje nejonizovanog i jonizovanog oblika u rastvoru Primer: slaba kiselina HIn(aq) H + (aq) + In (aq) nejonizovani oblik jonizovani oblik

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Elektrokemijski članci

Elektrokemijski članci Elektrokemijski članci Elektrokemijski članci - sustavi u kojima dolazi do pretvorbe kemijske energije u električnu i obrnuto Vrste članaka Galvanski članci Spontana kemijska reakcija kao posljedica razlike

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE

HEMIJSKA VEZA TEORIJA VALENTNE VEZE TEORIJA VALENTNE VEZE Kovalentna veza nastaje preklapanjem atomskih orbitala valentnih elektrona, pri čemu je region preklapanja između dva jezgra okupiran parom elektrona. - Nastalu kovalentnu vezu opisuje

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA

UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA ŠIFRA DRŽAVNO TAKMIČENJE II razred UKUPAN BROJ OSVOJENIH BODOVA Test regledala/regledao...... Podgorica,... 008. godine 1. Izračunati steen disocijacije slabe kiseline, HA, ako je oznata analitička koncentracija

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Kemijska ravnoteža. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju

Kemijska ravnoteža. dr.sc. M. Cetina, doc. Tekstilno-tehnološki fakultet, Zavod za primijenjenu kemiju Kemijska ravnoteža Svaka povratna ili reverzibilna reakcija može se općenito prikazati sljedećom jednadžbom: m A + n B o C + p D. v = k [A] m [B] n v = k [C] o [D] p U trenutku kada se brzine reakcije

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

RAVNOTEŽE U RASTVORIMA KISELINA I BAZA

RAVNOTEŽE U RASTVORIMA KISELINA I BAZA III RAČUNSE VEŽBE RAVNOTEŽE U RASTVORIMA ISELINA I BAZA U izračunavanju karakterističnih veličina u kiselinsko-baznim sistemima mogu se slediti Arenijusova (Arrhenius, 1888) teorija elektrolitičke disocijacije

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

MIKRO-NANO FLUIDIKA 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU

MIKRO-NANO FLUIDIKA 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU MIKRO-NANO FLUIDIKA Handout 4 2012/2013 8. UVOD U ELEKTROHEMIJU Elektrohemija je grana hemije koja proučava hemijske reakcije koje se dešavaju na granici izmeďu električnog provodnika (metalne, poluprovodničke

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE

Konstruisanje. Dobro došli na... SREDNJA MAŠINSKA ŠKOLA NOVI SAD DEPARTMAN ZA PROJEKTOVANJE I KONSTRUISANJE Dobro došli na... Konstruisanje GRANIČNI I KRITIČNI NAPON slajd 2 Kritični naponi Izazivaju kritične promene oblika Delovi ne mogu ispravno da vrše funkciju Izazivaju plastične deformacije Može doći i

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost

ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE. Elektrolitička disocijacija. čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost ELEKTRIČNA STRUJA KROZ TEKUĆINE Elektrolitička disocijacija čista destilirana voda izolator, uz npr. NaCl bolja vodljivost otopine kiselina, lužina ili soli = elektroliti pozitivni i negativni ioni povećavaju

Διαβάστε περισσότερα

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima

Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje. u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Heterogene ravnoteže taloženje i otapanje u vodi u prisustvu zajedničkog iona u prisustvu kompleksirajućegreagensa pri različitim ph vrijednostima Ako je BA teško topljiva sol (npr. AgCl) dodatkom

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj

Termohemija. C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5 kj Termohemija Termodinamika proučava energiju i njene promene Termohemija grana termodinamike odnosi izmeñu hemijske reakcije i energetskih promena koje se pri tom dešavaju C(s) + O 2 (g) CO 2 (g) H= -393,5

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNA PITANJA Opšta i neorganska hemija I KOLOKVIJUM. 5. Navesti osobine amfoternih oksida i napisati 3 primera amfoternih oksida.

ISPITNA PITANJA Opšta i neorganska hemija I KOLOKVIJUM. 5. Navesti osobine amfoternih oksida i napisati 3 primera amfoternih oksida. Dr Sanja Podunavac-Kuzmanović, redovni profesor tel: (+381) 21 / 485-3693 fax: (+381) 21 / 450-413 e-mail: sanya@uns.ac.rs web page: hemijatf.weebly.com ISPITNA PITANJA Opšta i neorganska hemija I KOLOKVIJUM

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati:

Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: Staša Vujičić Konstruisati efikasan algoritam znači dati skup preciznih uputstava kako doći do rešenja zadatog problema Algoritmi se mogu opisivati: pseudo jezikom prirodnim jezikom dijagramom toka. 2

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom

Rastvori rastvaračem rastvorenom supstancom Rastvori Rastvor je homogen sistem sastavljen od najmanje dvije supstance-jedne koja je po pravilu u velikom višku i naziva se rastvaračem i one druge, koja se naziva rastvorenom supstancom. Rastvorene

Διαβάστε περισσότερα

Reverzibilni procesi

Reverzibilni procesi Reverzbln proces Reverzbln proces: proces pr koja sste nkada nje vše od beskonačno ale vrednost udaljen od ravnoteže, beskonačno ala proena spoljašnjh uslova ože vratt sste u blo koju tačku, proena ože

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα