ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"

Transcript

1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΚΩΣΤΑΣ ΦΡΑΓΚΙΑΔΑΚΗΣ, Ειδικός Επιστήμονας ΠΔ47 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ Ιανουαρίου Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag of 7

2 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Στατιστική ως επιστήμη αποτελεί εργαλείο υποστήριξης πολλών άλλων επιστημών, από τις ανθρωπιστικές επιστήμες και τα Οικονομικά έως την Φυσική. Το πλαίσιο λειτουργίας της Στατιστικής είναι το ακόλουθο: Μας ενδιαφέρει να μετρήσουμε μέσω κάποιας μεταβλητής (παραμέτρου) ένα χαρακτηριστικό ενός «πληθυσμού». Παραδείγματος χάριν την διαφορά αποτελεσματικότητας δύο θεραπειών (χαρακτηριστικό), όπως αυτή μετράται από την μείωση του επιπέδου κάποιου αιματολογικού παράγοντα (μεταβλητή). Δεν είναι όμως δυνατόν να υπολογίσουμε τη διαφορά στο σύνολο του πληθυσμού. Στην προκείμενη περίπτωση απλά διότι το σύνολο του πληθυσμού αλλάζει μέσα στο χρόνο, αλλά γενικά διότι το σύνολο του πληθυσμού είναι συνήθως πολύ μεγάλο. Άρα αντί του πληθυσμού επιλέγουμε ένα απλό τυχαίο δείγμα (δηλαδή ένα δείγμα όπου όλες οι τιμές του πληθυσμού έχουν την ίδια πιθανότητα να συμπεριληφθούν σε αυτό), και υπολογίζουμε την τιμή της παραμέτρου στο δείγμα, μέσω μιας εκτιμήτριας (συνάρτησης). Η τιμή αυτή λέγεται εκτίμηση. Κατόπιν γενικεύουμε και ισχυριζόμαστε ότι η υπολογισθείσα τιμή αποτελεί μια καλή προσέγγιση της πραγματικής τιμής της παραμέτρου του πληθυσμού. Για να ευσταθεί ο ισχυρισμός μας πρέπει να ισχύουν μια σειρά από προϋποθέσεις. Ο έλεγχος των προϋποθέσεων, η επιλογή του δείγματος και η διαδικασία υπολογισμού αποτελεί το αντικείμενο της Στατιστικής. Στα επόμενα κεφάλαια θα παρουσιάσουμε μια σειρά από έννοιες και μεθόδους για την ορθή εξαγωγή στατιστικών συμπερασμάτων.. ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Αντικείμενο της Εκτιμητικής είναι ο υπολογισμός εκτιμητριών, δηλαδή συναρτήσεων των δεδομένων, οι οποίες προσεγγίζουν («εκτιμούν») τις πραγματικές τιμές των παραμέτρων των πληθυσμών. Οι εκτιμήτριες εμπίπτουν σε δύο γενικές (αλλά συνδεδεμένες μεταξύ τους) κατηγορίες: (α) σημειακές εκτιμήτριες, δηλαδή εκτιμήτριες που λαμβάνουν μια συγκεκριμένη τιμή, και (β) εκτιμήτριες διαστημάτων, δηλαδή διαστήματα τιμών (υποσύνολα του συνόλου των Pag of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

3 πραγματικών αριθμών) που καλούνται διαστήματα εμπιστοσύνης, εντός των οποίων περιλαμβάνεται η παράμετρος του πληθυσμού με προκαθορισμένη πιθανότητα. Στο πλαίσιο του παρόντος μαθήματος θα χρησιμοποιήσουμε τρεις εκτιμήτριες: τον μέσο, τη διακύμανση και τα ποσοστά. Στόχος της Στατιστικής Συμπερασματολογίας, είναι ό έλεγχος υποθέσεων σχετικών με τις παραμέτρους του πληθυσμού. Για παράδειγμα, αν η διαφορά ταχύτητας δύο μεθόδων παραγωγής είναι μηδενική... ΓΕΝΙΚΗ ΔΟΜΗ ΕΛΕΓΧΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ένας τυπικός έλεγχος υπόθεσης, που αφορά κάποια παράμετρο θ του πληθυσμού, αποτελείται από την μηδενική υπόθεση Η, την εναλλακτική υπόθεση Η, μια στατιστική (συνάρτηση) ελέγχου και έναν κανόνα απόρριψης της Η (ή τον ορισμό μιας περιοχής απόρριψης της Η ). Ο ορισμός του κανόνα απόρριψης στηρίζεται στην εξίσωση Ρ(απορρίπτουμε την Η / η Η ισχύει)α όπου α προκαθορισμένη πιθανότητα (συνήθως λαμβάνουσα τις τιμές,,,5 ή,). Δεδομένου ότι ο κανόνας απόρριψης στηρίζεται στην στατιστική ελέγχου Τ, και η Τ είναι συνάρτηση κατάλληλης εκτιμήτριας της θ, την οποία ας συμβολίσουμε Jˆ, η εξίσωση παίρνει τη μορφή Ρ[Τ(Jˆ )Î(περιοχή απόρριψης) / η Η ισχύει] α. Γενικά, επειδή οι υπό έλεγχον παράμετροι είναι πραγματικοί αριθμοί, η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση έχουν μορφή ισότητας ή ανισότητας. Μπορεί, για παράδειγμα, η μηδενική υπόθεση να έχει τη μορφή Η : θ θ, έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η : θ>θ. Σημειωτέον ότι δεν είναι ανάγκη οι δυο υποθέσεις να καλύπτουν το σύνολο των πραγματικών αριθμών, αλλά συνήθως διατυπώνονται με αυτόν τον τρόπο. Επίσης, η στατιστική ελέγχου είναι πραγματικός αριθμός και συνεπώς ο κανόνας απόρριψης παίρνει και αυτός μορφή ανισότητας. Είναι προφανές ότι δυο ειδών σφάλματα μπορεί να γίνουν κατά τον έλεγχο μιας υπόθεσης. Είτε να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση ενώ ισχύει (σφάλμα τύπου Ι, με πιθανότητα α), είτε να μην απορριφθεί ενώ δεν ισχύει (σφάλμα τύπου ΙΙ, με πιθανότητα β). Επειδή τα δυο αυτά σφάλματα είναι ανταγωνιστικά, δηλαδή όσο μικρότερο είναι το α, τόσο μεγαλύτερο γίνεται το β, ο κανόνας απόρριψης υπολογίζεται με σταθερό α (συνήθως.5 ή.), ενώ το β ελαχιστοποιείται (δεδομένου του α) μεγιστοποιώντας το μέγεθος του δείγματος. Ο κανόνας απόρριψης υπολογίζεται μέσω της εξίσωσης Ρ(απορρίπτουμε την Η / Η ισχύει) α. Οι πιθανότητες Ρ(απορρίπτουμε την Η / Η ισχύει) π και Ρ(αποδεχόμαστε την Η / Η ισχύει) β είναι η ισχύς και η πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ, αντίστοιχα. Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 3 of 7

4 Παράδειγμα: έστω ότι επιλέγουμε τυχαία μια παρατήρηση x από μια κατανομή. Θέλουμε να ελέγξουμε αν η κατανομή αυτή είναι η Ομοιόμορφη επί του [3,5], (U[3,5]), ή η Κανονική με μέση τιμή μ5.9 και διακύμανση σ, (N(5.9,)). Εδώ το ρόλο της στατιστικής ελέγχου παίζει η παρατήρηση x (αν είχαμε επιλέξει περισσότερες παρατηρήσεις η στατιστική ελέγχου θα ήταν η μέγιστη παρατήρηση. Τότε όμως η κατανομή της θα ήταν πιο περίπλοκη). Η μηδενική και η εναλλακτική υπόθεση είναι: Η : η x προέρχεται από την U[3,5] Η : η x προέρχεται από την N(5.9,) Αφού η N(5.9,) βρίσκεται προς τα δεξιά της U[3,5], ένας λογικός κανόνας απόρριψης είναι «απορρίπτουμε την Η, όταν x x ή x < 3». Ο καθορισμός της μορφής του κανόνα απόρριψης στηρίζεται στο κριτήριο του λόγου πιθανοφάνειας και υπερβαίνει τους στόχους των σημειώσεων. Η μορφή θα θεωρείται δεδομένη για κάθε πρόβλημα. Αυτό που μπορεί να υπολογιστεί είναι το όριο της ανισότητας, στην παρούσα περίπτωση το x. Όπως είπαμε, η προς επίλυση εξίσωση είναι η Ρ(απορρίπτουμε την Η / η Η ισχύει) α. Η δέσμευση «η Η ισχύει» μεταφράζεται στο «η κατανομή της στατιστικής ελέγχου είναι αυτή που καθορίζεται από την Η». Με τα δεδομένα του προβλήματος, και με α.5, η εξίσωση παίρνει τη μορφή Ρ(x x ή x < 3/ x U[3,5]).5 Ρ(x x / x U[3,5]) + Ρ(x < 3/ x U[3,5]).5. Λύνοντας την 5 5 æ xù 5 - x εξίσωση ò dx.5 Û ç.5 Û.5 Û 5 -. Û è ú x x x û x (αφού Ρ(x < 3/ x U[3,5]) ), έχουμε την τελική μορφή του κανόνα απόρριψης, δηλαδή «απορρίπτουμε την Η, όταν το x 4.9». Με τα δεδομένα αυτά μπορούμε να υπολογίσουμε και την ισχύ του ελέγχου, δηλαδή την πιθανότητα να απορρίψουμε την Η, όταν ισχύει η Η. Η εξίσωση που πρέπει να λύσουμε είναι η Ρ(x 4.9 ή x < 3/ x N(5.9,)) π Ρ(x 4.9/ x N(5.9,)) + Ρ(x < 3/ x N(5.9,)) π æ ö æ ö Û Pç z ³ + Pç z < p Û P( z ³ -) + P( z -.9) p Û - P( z -) + P( z -.9) p è ø è ø Û p Û p Στις περισσότερες περιπτώσεις (για υποθέσεις της μορφής Η : θ θ ), η στατιστική ελέγχου Τ qˆ - q θα έχει τη μορφή T, και η κατανομή της θα είναι ή η τυπική τupkήapόklsh thv qˆ κανονική κατανομή, ή η κατανομή του Studt. Ένα ακόμη παράδειγμα θα αποσαφηνίσει το παραπάνω σχόλιο. Έστω ότι μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε αν το ποσοστό ελαττωματικών Pag 4 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

5 προϊόντων μιας γραμμής παραγωγής p είναι μικρότερο όταν χρησιμοποιείται μια νέα μέθοδος παραγωγής σε σχέση με την παραδοσιακή μέθοδο. Ουσιαστικά, αυτό που ενδιαφέρει (η νέα μέθοδος να είναι βελτίωση σε σχέση με το παρελθόν), διατυπώνεται στην εναλλακτική και όχι στη μηδενική υπόθεση. Γενικά οι έλεγχοι υποθέσεων «αποδεικνύουν» την εναλλακτική υπόθεση και όχι τη μηδενική! Οι υποθέσεις (μηδενική και εναλλακτική) παίρνουν τη μορφή: Η : p p Η : p < p όπου p είναι το ποσοστό ελαττωματικών της παραδοσιακής μεθόδου. Η στατιστική ελέγχου βασίζεται στην pˆ x/, εκτιμήτρια του p, και πιο συγκεκριμένα είναι η T pˆ - p p ( - p ) Με δεδομένη την Η, η κατανομή της Τ είναι η τυπική κανονική κατανομή, αφού η κατανομή της pˆ είναι κανονική με μέση τιμή μ p και διακύμανση σ p ( p )/. Ο κανόνας απόρριψης είναι «απορρίπτουμε την Η όταν Τ< z.5», που ισοδυναμεί με τον κανόνα «απορρίπτουμε την Η όταν το x/ είναι αρκετά μικρότερο από το p», και όπου z.5 θα αναλυθεί κατωτέρω (εδάφιο..). Στις περιπτώσεις ελέγχων που αφορούν μέσες τιμές και ποσοστά υποθέτουμε ότι οι στατιστικές ελέγχου ακολουθούν την κανονική κατανομή, η οποία έχει σχήμα κωδωνοειδές, και οι πιθανότητες της είναι πλήρως πινακοποιημένες, στην ειδική περίπτωση της τυπικής κανονικής κατανομής, δηλαδή μιας κανονικής κατανομής με μέση τιμή και διακύμανση, (ή την συγγενική με αυτήν κατανομή του Studt, επίσης πλήρως πινακοποιημένη). Το βασικό προτέρημα της κανονικής κατανομής είναι το ότι αποτελεί το όριο της κατανομής των μέσων τιμών, το γνωστό στη στατιστική θεωρία «Κεντρικό Οριακό Θεώρημα». Επίσης έχει την χρήσιμη ιδιότητα ότι αν μια τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή, με μέση τιμή μ και διακύμανση σ τότε η κανονική κατανομή. Επίσης ισχύει ότι η - m s -m s ακολουθεί την τυπική ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή, όπου ο μέσος όρος παρατηρήσεων. Στην περίπτωση ελέγχων που αφορούν διακυμάνσεις, οι στατιστικές ελέγχου ακολουθούν τις κατανομές χ ή F, οι οποίες σχετίζονται με την κανονική κατανομή και είναι ομοίως πλήρως πινακοποιημένες. Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε τις πιο συνηθισμένες περιπτώσεις ελέγχων. Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 5 of 7

6 .. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ. Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η ισότητα της μέσης τιμής μιας μεταβλητής με μια προκαθορισμένη τιμή. Παραδείγματος χάριν ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη στο γκισέ μιας τράπεζας να ισούται με κάποια τιμή μ. Η κανονική κατανομή των παρατηρήσεων του δείγματος αποτελεί βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή των τύπων που ακολουθούν. Είναι γεγονός ότι η εκτιμήτρια της μέσης τιμής τείνει να ακολουθεί την κανονική κατανομή όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο. Όταν όμως αυτό δεν συμβαίνει, τότε τα αποτελέσματα των ελέγχων δεν είναι έγκυρα. Σε αυτές τις περιπτώσεις πιο κατάλληλοι είναι οι λεγόμενοι απαραμετρικοί έλεγχοι. Είναι εκτός των στόχων της παρούσης να αναλυθούν και οι απαραμετρικοί έλεγχοι.... Περίπτωση Α. Στην περίπτωση αυτή η διακύμανση σ είναι γνωστή. Υπό αυτές τις συνθήκες η κατανομή της στατιστικής ελέγχου είναι η τυπική κανονική κατανομή. Το z α είναι το ( α) εκατοστημόριο της τυπικής κανονικής κατανομής, δηλαδή Ρ(Χ> z α ) α. Σημειώστε ότι η φορά της ανισότητας του κανόνα απόρριψης ακολουθεί τη φορά της ανισότητας της εναλλακτικής υπόθεσης, όταν ο έλεγχος είναι μονόπλευρος. Στους αμφίπλευρους ελέγχους είναι πάντοτε «>» και αναφέρεται στην απόλυτη τιμή της στατιστικής ελέγχου. Η παρατήρηση αυτή ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις που ακολουθούν. Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : μ μ Η : μ > μ Η : μ μ Η : μ < μ T - m s Τ > z α Τ < z α Η : μ μ Η : μ ¹ μ Τ > z α/... Περίπτωση Β. Στην περίπτωση αυτή η διακύμανση σ είναι άγνωστη. Υπό αυτές τις συνθήκες η κατανομή της στατιστικής ελέγχου είναι η κατανομή του Studt με - βαθμούς ελευθερίας. Το t -,α είναι το (-α) εκατοστημόριο της κατανομής του Studt με - Pag 6 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

7 βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή Ρ(Χ>t,α,) α. Το S ( - ) -, είναι η δειγματική τυπική απόκλιση. Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο του ή ίσο με 3 είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθούν τα εκατοστημόρια της τυπικής κανονικής κατανομής στη θέση των αντιστοίχων της κατανομής του Studt. Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : μ μ Η : μ > μ Τ > t -,α Η : μ μ - m T Η : μ < μ S Τ < t -,α Η : μ μ Η : μ ¹ μ Τ > t -,α/... Παράδειγμα: Έστω δέκα παρατηρήσεις που παριστάνουν χρόνους ολοκλήρωσης μιας διαδικασίας ελέγχου (σε λεπτά):, 35,, 8, 4,,, 45,, 8. Μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε αν (κατά μέσο όρο) η διαδικασία δεν υπερβαίνει τα 4 λεπτά. Διατυπώνουμε την υπόθεση Η : μ 4 με εναλλακτική την Η : μ < 4. Αφού το είναι μικρότερο από 3 και η διακύμανση είναι άγνωστη η στατιστική ελέγχου -4 T, ακολουθεί την κατανομή του S Studt με 9 βαθμούς ελευθερίας και ο κανόνας απόρριψης (μονόπλευρος έλεγχος) είναι: «απορρίπτουμε την Η όταν Τ < t -,α.». Υπολογίζουμε 4, S,8. Οπότε (μετά από τις κατάλληλες πράξεις), Τ 3.6 <,833 t -,α.. Άρα απορρίπτουμε την Η και καταλήγουμε ότι όντως ο μέσος χρόνος ελέγχου είναι μικρότερος από 4 λεπτά..3. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ. Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η ισότητα των μέσων τιμών μιας μεταβλητής σε δύο διαφορετικούς πληθυσμούς. Στην πράξη μπορεί να αναφέρεται, παραδείγματος χάριν, στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει η διαφορά (βελτίωση) των τιμών της μεταβλητής με τη εφαρμογή μιας νέας μεθόδου παραγωγής. Η κανονική κατανομή των παρατηρήσεων των δύο δειγμάτων αποτελεί και πάλι βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 7 of 7

8 των τύπων που ακολουθούν. Γενικά και εδώ ισχύουν ως προϋποθέσεις, όσα αναφέρονται της παράγραφο...3..περίπτωση Α. Στην περίπτωση αυτή οι διακυμάνσεις των δύο δειγμάτων σ, σ είναι γνωστές και ίσες (σ σ σ ). Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : μ μ Τ > z Η : μ μ > α - Η : μ μ T Τ < z Η : μ μ < s + α Η : μ μ Τ > z Η : μ μ ¹ α/.3.. Περίπτωση Β. Στην περίπτωση αυτή οι διακυμάνσεις των δύο δειγμάτων είναι άγνωστες, αλλά ίσες. Τότε με ( -) S + ( -) S S p και t + -, a το (-α)% εκατοστημόριο της κατανομής + - του Studt με ( + ) βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή Ρ(Χ> t + -, a) α, έχουμε: Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : μ μ Η : μ μ > Τ > t + -, a - Η : μ μ T Η : μ μ < Τ < t S p + + -, a Η : μ μ Η : μ μ ¹ Τ > t + -, a.3... Παράδειγμα: Έστω είκοσι παρατηρήσεις (σε δύο ομάδες των δέκα) που παριστάνουν χρόνους ολοκλήρωσης μιας διαδικασίας σε δυο διαφορετικά υποκαταστήματα μιας τράπεζας (σε λεπτά): Υποκατάστημα Α:, 35,, 8, 4,,, 45,, 8. Υποκατάστημα Β:, 5,, 9, 3,,, 5,,. Μας ενδιαφέρει να ελέγξουμε αν (κατά μέσο όρο) το Υποκατάστημα Β έχει μικρότερους χρόνους ολοκλήρωσης από το Α. Διατυπώνουμε την υπόθεση Η : μ Α μ Β με εναλλακτική την Η : μ Α μ Β > (αν το Β έχει μικρότερο χρόνο ολοκλήρωσης η διαφορά μ Α μ Β θα είναι θετική). Αφού το είναι μικρότερο από 3 Pag 8 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

9 και οι διακυμάνσεις είναι άγνωστες, αλλά ίσες, η στατιστική ελέγχου T S - +, με S ( -) S + ( -) S + -, ακολουθεί την κατανομή του Studt με + 8 βαθμούς ελευθερίας και ο κανόνας απόρριψης είναι: «απορρίπτουμε την Η όταν Τ > t,5, 8». Υπολογίζουμε 4, A B, S 8,6. Οπότε (μετά από τις κατάλληλες πράξεις), Τ,4 <,734,, 5 Άρα δεν μπορούμε να απορρίψουμε την Η και καταλήγουμε ότι ο μέσος χρόνος ολοκλήρωσης της διαδικασίας στο υποκατάστημα Β δεν είναι μικρότερος του αντίστοιχου χρόνου στο Α..3.3.Περίπτωση Γ (Πρόβλημα Bhrs-Fshr). Στην περίπτωση αυτή οι διακυμάνσεις των δύο δειγμάτων είναι άγνωστες, αλλά άνισες. - é c ( - c) ù s Τότε με ê + ú όπου c καιt, a το (-α)% ë - - û s + s εκατοστημόριο της κατανομής του Studt με ν βαθμούς ελευθερίας, δηλαδή Ρ(Χ> t, a) α, έχουμε: Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : μ μ Η : μ μ > Η : μ μ Η : μ μ < Η : μ μ Η : μ μ ¹ T s - + s T>t, a T< -t, a T >t,a/ Επειδή οι βαθμοί ελευθερίας είναι κλασματικοί, η λύση αυτού του προβλήματος μπορεί να γίνει μόνον μέσω στατιστικών προγραμμάτων σε Η/Υ. Όταν + > 3,τότε στους ανωτέρω τύπους τα εκατοστημόρια της κατανομής του Studt μπορούν να αντικατασταθούν με τα αντίστοιχα της τυπικής κανονικής κατανομής και το πρόβλημα επιλύεται χωρίς την ανάγκη Η/Υ..4. ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΠΟΣΟΣΤΑ. Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η ισότητα της τιμής του ποσοστού εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού με μια προκαθορισμένη τιμή. Παραδείγματος χάριν το ποσοστό δυσαρεστημένων πελατών μιας επιχείρησης, να είναι μικρότερο από t 8 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 9 of 7

10 κάποια τιμή p. Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (>5), τότε είναι δυνατόν ο έλεγχος να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια της τυπικής κανονικής κατανομής. Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : p p Η : p > p Η : p p Η : p < p Η : p p Η : p ¹ p T x - p ( - p ) p Τ > z α Τ < z α Τ > z α/ Pag of 7.5. ΕΛΕΓΧΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΠΟΣΟΣΤΩΝ. Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η διαφορά της τιμής των ποσοστών εμφάνισης ενός χαρακτηριστικού μεταξύ δυο πληθυσμών. Παραδείγματος χάριν το ποσοστό δυσαρεστημένων πελατών μιας επιχείρησης Α, να είναι μικρότερο από το ποσοστό δυσαρεστημένων πελατών μιας άλλης επιχείρησης Β. Όταν το μέγεθος των δειγμάτων είναι μεγάλο (>5), τότε είναι δυνατόν ο έλεγχος να πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια της τυπικής κανονικής κατανομής. Με pˆ x, όπου x, x οι παρατηρήσεις που εκφράζουν το χαρακτηριστικό στο δείγμα και αντίστοιχα, και, τα μεγέθη των δειγμάτων από καθέναν από τους δυο πληθυσμούς, έχουμε: Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : p p Η : p p > Η : p p Η : p p < Η : p p Η : p p ¹ x - æ pˆ( - pˆ) ç è.6. ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ. T x x ö ø Τ > z α Τ < z α Τ > z α/ Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η ισότητα της τιμής της διακύμανσης με μια προκαθορισμένη τιμή. Παραδείγματος χάριν η διακύμανση των τιμών κάποιας μεταβλητής, να είναι μικρότερη από κάποια τιμή σ. Ο έλεγχος πραγματοποιείται με τη βοήθεια της κατανομής χ. Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

11 Υποθέσεις Στατιστική ελέγχου Κανόνας απόρριψης Η : σ σ Η : σ > σ Η : σ σ Η : σ < σ T ( -) S s Τ > Τ < c -, a c -,-a Η : σ σ Η : σ ¹ σ Τ > c -, a ή Τ < c -,- a.7. ΕΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΩΝ. Το πρόβλημα αναφέρεται στην περίπτωση όπου ενδιαφέρει η ισότητα ή μη, των διακυμάνσεων μεταξύ δυο πληθυσμών. Βασική χρήση του ελέγχου είναι όταν ενδιαφέρει η ισότητα μέσων τιμών και πρέπει να εκτιμηθεί αν η κατανομή της διαφοράς είναι κανονική (ίσες διακυμάνσεις) ή Studt s t άνισες διακυμάνσεις). Ο έλεγχος πραγματοποιείται με τη βοήθεια της κατανομής F. Στατιστική Υποθέσεις Κανόνας απόρριψης ελέγχου Η : σ σ Η : σ > σ F > U f -, -, a Η : σ σ Η : σ < σ Η : σ σ Η : σ ¹ σ F S S F < f L -, -, a f U -, -, a L F < f -, -, ή a U F > f -, -, a Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag of 7

12 3. ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 3.. Η δομή της οδοντοστοιχίας προσφέρει αποτελεσματικό κριτήριο για την ταξινόμηση απολιθωμάτων. Προ καιρού, ανακαλύφθηκε το κρανίο ενός μπαμπουΐνου άγνωστης προέλευσης, σε ένα σπήλαιο στην Αγκόλα. Το μήκος του τρίτου τραπεζίτη ήταν 9 mm. Υπήρξαν θεωρίες ότι ο συγκεκριμένος μπαμπουΐνος ήταν ο «χαμένος κρίκος» και ανήκε στο γένος Papo. Μέλη του γένους αυτού έχουν τρίτους τραπεζίτες μήκους, κατά μέσον όρο 8.8 mm με τυπική απόκλιση.47 mm. Σχολιάστε την σημαντικότητα του τραπεζίτη με μήκος 9 mm. Τι μπορείτε να σχολιάσετε για την καταγωγή του μπαμπουΐνου; Λύση: Έστω Χ το μήκος του τραπεζίτη. Θεωρούμε ότι η Χ είναι μια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή. Τότε: P( ³ 9) P( Z ³ ) P( Z ³.745) - G(.745) Η εν λόγω πιθανότητα είναι πολύ μικρή και συνεπώς τίθεται εν αμφιβόλω η θεωρία περί «χαμένου κρίκου». Άρα ο μπαμπουΐνος δεν φαίνεται να ανήκει στο γένος Papo. 3.. Ένας καθηγητής Χημείας διδάσκει μεγάλη τάξη πρωτοετών. Για τη βαθμολογία των διαγωνισμάτων χρησιμοποιεί τυποποιημένη βαθμολογία που από πείρα γνωρίζει ότι ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή m 7 και τυπική απόκλιση s. Στόχος του είναι να τυποποιήσει τους βαθμούς κατά τέτοιον τρόπο ώστε η κατανομή της βαθμολογίας να έχει τα ακόλουθα ποσοστά: 4% Α, % Β, 3% C, % D και 4% F. Πιο πρέπει να είναι το όριο μεταξύ Α και Β, και πιο μεταξύ Β και C; Pag of 7 Λύση: Έστω Χ ο βαθμός του διαγωνίσματος. Τότε συμβολίζοντας το κάτω όριο του Α με A επιθυμούμε: Α) P( ).4 Û P( Z > Z ).4 Û Z.8. Αλλά > A A A A - 7 Z A Û A Z A Δηλαδή το όριο μεταξύ Α και Β πρέπει να είναι το 83. Β) συμβολίζοντας το κάτω όριο του Β με B : Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

13 P( B Û P( Z Z 83). Û P( 83) - P( B B ). Û P( ) P( 83) ) P( Z ) -. P( Z.8) Û Z B B.47 Αλλά: B B Z Άρα το Β κυμαίνεται μεταξύ 76 και 83. Δηλαδή το όριο μεταξύ Β και C πρέπει να είναι το Υποθέσατε ότι ο ετήσιος αριθμός σεισμών έντασης μεγαλύτερης των,5 Ρίχτερ που έχουν επίκεντρο μέχρι 4 χιλιόμετρα από το κέντρο των Αθηνών, είναι κατά μέσον όρο 6,5. Υπολογίστε την πιθανότητα να έχουμε το περισσότερους από 8 τέτοιους σεισμούς με δύο τρόπους και συγκρίνετε τα αποτελέσματα. Λύση: Έστω Χ ο ετήσιος αριθμός των σεισμών. Το Χ ακολουθεί την κατανομή Posso με παράμετρο λ6,5. Η ζητούμενη πιθανότητα, P ( ³ 9), μπορεί να υπολογιστεί είτε προσεγγιστικά μέσω της κανονικής κατανομής με μ6,5 και σ 6,5, είτε ακριβώς μέσω της Posso. Α) κανονική κατανομή (με διόρθωση συνέχειας): 8,5-6,5 P( ³ 9) P( ³ 8,5) P( Z ³ ) P( Z ³,784) - P( Z,784) 6,5 -,7838,6 Β) Posso: P( ³ 9) - P( 8) - ( P( ) + P( + P( 4) + P( 5) + P( 6) + P( ) + P( ) + P( 7) + P( 8)) æ -6,5-6,5-6,5-6,5 3-6,5 ç 6,5 6,5 6,5 6,5 6, è!!! 3! 4! 3) + æ -6,5 5-6,5 6-6,5 7-6,5 8 ö ç 6,5 6,5 6,5 6, è 5! 6! 7! 8! ø - (,5 +,98 +,38 +,688 +,8 +,454 +,575 +,46 +,88) -,796,84. 4 ö - ø Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 3 of 7

14 ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πρότυπο: Y b + b + () Παρατηρήσεις ( ), Y στο πρότυπο () Y b + b + Υποθέσεις α) E( ),,,...,. Η παραβίαση αυτής της υπόθεσης καλείται σφάλμα εξειδίκευσης. β) Var( ) s,,,...,. Η παραβίαση αυτής της υπόθεσης καλείται ετεροσκεδαστικότητα. γ) Cov(, ), ¹ j. Μια μορφή παραβίασης αυτής της j υπόθεσης καλείται αυτοσυσχέτιση. δ) Η τυχαία μεταβλητή είναι μη στοχαστική. Η υπόθεση α) οδηγεί στην E( Y) b + b Η υπόθεση β) οδηγεί στην VarY ( ) s Η υπόθεση γ) οδηγεί στην Cov( Y, Y ), ¹ j j Pag 4 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

15 . ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΕΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ˆ D( b, b ) ( Y Y) ( Y b b ) ( ˆ b, ˆ b ) argm D( b, b ) Ελαχιστοποίηση της D( b, b) ως προς b, b b και b Κανονικές Εξισώσεις D( b, b ) b D( b, b ) b b + b Û Y Y b + b Εκτιμήτριες Ελαχίστων Τετραγώνων bˆ Y -bˆ Y - Y ( - )( Y -Y) ( - ) Y ˆ b - ( -) ( -) wy w ( - ), όπου S ( ) και S - S S x ( ) Οι συντελεστές στάθμισης w και w w ικανοποιούν τις σχέσεις Επίσης, Sxy ( -)( Y -Y), S ( Y -Y) yy και S y S yy - Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 5 of 7

16 3. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΚΤΙΜΗΤΡΙΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ E( bˆ ) E( wy) wey ( ). Όμως E( Y ) b + b Αμεροληψία E( bˆ ) b w + b w b, αφού w και w bˆ Y - bˆ b + b + ( / ) - bˆ b + ( b - bˆ ) + E( $ b ) b + E( ) b + E( ) b Διακύμανση ( ˆ b) ( ) var( ) Var Var wy w Y Όμως Var( Y) Var( ) s ˆ s Var( b) s S w ˆ ˆ ˆ s s Var( b) Var( Y ) + x Var( b) - xcov( Y, b) + s æ ö + S ç S è ø Cov( bˆ, bˆ ) Cov( Y - bˆ, ˆ b ) Cov( Y, bˆ )- Cov( bˆ, bˆ ) Συγκεκριμένα ˆ s - Var( b) - διότι CovY ˆ S b (, ) ˆ æ ö s Cov( Y, b) Cov ç Y, wy wvar( Y ) w è. ø Pag 6 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

17 Αποτελεσματικότητα (Θεώρημα Gauss-Markov) Έστω κάποια άλλη γραμμική εκτιμήτρια b % του b. Αυτή γράφεται υπό την μορφή: b% wy %, w~ w + d, " Επειδή η b % είναι αμερόληπτη πρέπει να ισχύει E ( b ) %. b Έτσι E( % b) wey % ( ) b w % + b w % άρα πρέπει Όμως % ( ) w Û w + d Û d w% Û w + d Û d w%, w % Η διακύμανση της b % υπολογίζεται ως Var( % b ) s w% s ( w + d ) æ ö æ ö ç ç è ø è ø s w + d + wd s w + d ³ Var( ˆ b ) Επειδή - wd ( - ) d / S ( S ) ç d - d. æ è ö ø Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 7 of 7

18 Pag 8 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

19 4. ΠΟΙΟΤΗΤΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ SST SSR + SSE SST ( Y -Y) Συνολική μεταβλητότητα ˆ ( - ) SSR Y Y Ερμηνευόμενη μεταβλητότητα ˆ ( - ) SSE Y Y Ανερμήνευτη μεταβλητότητα R SSR b S $ SST S yy, ( ) ( ˆ ) æ ˆ ˆ ˆ ˆ ö ˆ ˆ ç b b b b b b è ø SSR Y - Y S ( ) και S - SST S ( Y -Y) yy Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 9 of 7

20 5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ s Var( ) E( )- E ( ) E( ) ˆ ˆ yy b b SSE S - S Y -Y - S ˆ ˆ b b E( SSE) E( Y -Y - S ) E( Y )-E( Y )-S E( ) é s ù æ s ö [ s + ( b+ b ) ]- ê +( b+ b) ú- S + b ê ú ç S ë û è ø ( - ) s + [( b + b ) -( b + b ) -b ( -)] ( -) s Αμερόληπτη Εκτιμήτρια SSE sˆ - - Σημείωση: ( ) ( ) + ( ( ) ) s + ( b+ b ) s ( ) ( ) + ( ) + b+ b E Y Var Y E Y ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ s ( b ) ( b) + æ ( b ö ç ) + b EY VarY EY E Var E è ø S Pag of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

21 6. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΛΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Υπόθεση: Τα σφάλματα ακολουθουν την κανονική κατανομή :, s N ( ) t bˆ -b ˆ b -b ~ t sˆ ˆ sˆ / S - b Διάστημα Εμπιστοσύνης bˆ mt sˆ bˆ mt -, a/ ˆ b -, a/ sˆ S Η : Η παλινδρόμηση δεν είναι στατιστικά σημαντική Û b Η : Η παλινδρόμηση είναι στατιστικά σημαντική Û b ¹ Κρίσιμη Περιοχή Ελέγχου bˆ -b t ³ t a sˆ ˆ b -, / Εναλλακτικά ο ίδιος έλεγχος μπορεί να γίνει με τη χρήση της F R ( - R ) ( - ) η οποία όταν N(, s ) F - : ακολουθεί την, F³ F - Συνεπώς, απορρίπτουμε την Η αν,, a Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag of 7

22 7. ΠΡΟΒΛΕΨΗ Πρόβλεψη για την Μέση Τιμή Y b + b + E( Y ) b + b Yˆ ˆ b ˆ + b με EY ( ˆ ) EY ( ) VarY ( ˆ ˆ - EY ( )) VarY ( ) ˆ Var( b ) + Var( bˆ ) + Cov( bˆ, bˆ ) από τις σχέσεις της σελ. 6 προκύπτει ότι ( ) s æ - + ö ç S è ø Το Διάστημα Πρόβλεψης για την μέση τιμή EY ( ) είναι Yˆ mt sˆ -, a/ ( -) + S Πρόβλεψη για την Εξειδικευμένη Τιμή Y Yˆ ˆ b + ˆ b Var( Yˆ - Y) Var( Yˆ ˆ ˆ - ) Var( Y) + Var( ) - Cov( Y, ) Var( Yˆ ) + Var( ) ( ) s æ ö ç S è ø Το Διάστημα Πρόβλεψης για την εξειδικευμένη τιμή Y είναι Yˆ mt s ˆ -, a/ ( -) + + S Pag of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

23 ΑΣΚΗΣΗ Το κόστος κατασκευής εξαρτάται από το μέγεθος του αντικειμένου σύμφωνα με το πρότυπο: Y + +. Με βάση τα παρακάτω δεδομένα: b b Χ: μέγεθος Υ: κόστος Να υπολογιστούν οι συντελεστές ελαχίστων τετραγώνων bˆ ˆ, b.. Να υπολογισθεί και ερμηνευθεί ο συντελεστής προσδιορισμού και να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα της παλινδρόμησης. Επίπεδο σημαντικότητας a Να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα της παλινδρόνησης με βάση την τιμή b ˆ. Επίπεδο σημαντικότητας a Να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα της παλινδρόμησης με την χρήση του πίνακα ανάλυσης διακύμανσης. Επίπεδο σημαντικότητας a Να κατασκευασθεί διάστημα εμπιστοσύνης 95% του προβλεπόμενου μέσου κόστους για μέγεθος αντικειμένου Να κατασκευασθεί διάστημα εμπιστοσύνης 95% της προβλεπόμενης τιμής του κόστους για μέγεθος αντικειμένου 45. Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 3 of 7

24 ΛΥΣΗ Πριν προχωρήσουμε στην απάντηση των 6 ερωτήσεων χρειαζόμαστε τους ακόλουθους υπολογισμούς: Χ: μέγεθος Υ: κόστος Y Y Σύνολα: Είναι:, 55, Y.45, ( ), S ( ) SST Y - Y Απάντηση. Y-Y Y-Y ˆ b S b ˆ Y - ˆ b Pag 4 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

25 Απάντηση. R SSR b S ( ) ˆ SST SST Άρα το 98.96% της μεταβλητικότητας στο Y (κόστος) ερμηνεύεται από την μεταβλητικότητα του (μεγέθους). F R ( - R ) ( - ) F > F 5.3, άρα η μηδενική υπόθεση b απορρίπτεται και b ¹, δηλαδή η παλινδρόμηση είναι στατιστικά σημαντική. Είναι, 8,.5 δεχόμαστε ότι Απάντηση 3. Η : b έναντι της εναλλακτικής Η : b ¹ T bˆ ˆ b sˆ sˆ / S ˆ b Η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται όταν: T ³ t-, a/. Όμως: SSE SST æ SSR ö SST sˆ ( SST SSR) ( R - ç - - ) - - -è SST ø - Þ sˆ ( ) Þ T ˆ b.88 sˆ / S T 7.58 ³ t.36 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση, δηλαδή συμπεραίνουμε Επειδή 8,.5 ότι υπάρχει γραμμική εξάρτηση μεταξύ (μεγέθους) και Y (κόστος). Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 5 of 7

26 Απάντηση 4. Πηγή Μεταβλητότητας Άθροισμα Τετραγώνων Βαθμοί Ελευθερίας Μέσο Άθροισμα Τετεραγώνων Παλινδρόμηση SSR Υπόλοιπα SSE Στατιστική F 9.5 F Σύνολο SST Όπου SSR b ˆ S (.88) ( ) SST Y - Y S yy 95.5 F > F 5.3 απορρίπτεται η μηδενική υπόθεση ότι b Επειδή,8,.5 απορρίπτεται και γίνεται δεκτή η εναλλακτική. Απάντηση 5. Yˆ bˆ + ˆ b Είναι: Συνεπώς για 45 έχουμε Y ˆ 9.57 ως προβλεπόμενο μέσο κόστος. Άρα για t-, a/ t8,.5.36 έχουμε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης: y - h< E( Y ) < yˆ + h, EY ( ) EY ( ) ˆ f f Όπου h ( - ) ( 45-55) sˆ t-, a/ S Άρα το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη μέση τιμή του κόστους σε επίπεδο μεγέθους 45 είναι: ( ) ( ) < EY < Þ 9.5 < EY <.5 Pag 6 of 7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ

27 Απάντηση 6. Το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη τιμή του κόστους για 45 είναι: Y ˆ - h< Y < Y ˆ + h, Όπου h ( - ) ( 45-55) sˆ t-, a/ S Άρα το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την προβλεπόμενη εξειδικευμένη τιμή του κόστους σε επίπεδο μεγέθους 45 είναι: < Y < Þ 8.7 < Y <.7 Σ. Μεϊντάνης, Ι.Κ. Μπασιάκος, Κ. Φραγκιαδάκης: Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ Pag 7 of 7

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III 0 TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III Νοέμβριος Eστω,,, τυχαίο δείγμα από κατανομή f( x; ), όπου συμβολίζει άγνωστη παράμετρο (a) Να ορισθεί η έννοια του επαρκούς στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 4 ου κεφαλαίου Ελεγχοσυναρτήσεις Γενικευμένου Λόγου Πιθανοφανειών Σταύρος Χατζόπουλος 27/03/2017, 03/04/2017, 24/04/2017 1 Εισαγωγή Έστω το τ.δ. X,,, από την κατανομή

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα