ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι. Ιανουάριος 2012

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ιανουάριος 202 (Οι σημειώσεις αυτές είναι σε κάθε περίπτωση επικουρικές και σε καμμία περίπτωση δεν υποκαθίστουν τις διαλέξεις και τα φροντίστηρια. Επίσης δεν περιέχουν τις λύσεις όλων των ασκήσεων που περιλαμβάνονται στην ύλη και έχουν λύθει στο φροντιστήριο και στις διαλέξεις. Για την εξέταση θα πρέπει να έχετε όλες τις σημειώσεις από τις διαλέξεις και τα φρόντιστηρια.)

2 Problem Se I

3 Άσκηση Δίνεται ο εισοδηματικός περιορισμός της κυβέρνησης: B R B G T. () Όπου, B, το ονομαστικό δημόσιο χρέος στην αρχή της περιόδου, ονομαστικό δημόσιο χρέος στην αρχή της περιόδου, B, το G, οι ονομαστικές δημόσιες δαπάνες την περίοδο, T, δημόσια έσοδα την περίοδο και R i με i το ονομαστικό μεσοσταθμικό επιτόκιο την περίοδο. Το πραγματικό ΑΕΠ γράφεται ως εξής y το πραγματικό ΑΕΠ εξελίσσονται σύμφωνα με τις σχέσεις: P Y, έστω ότι το μέσο επίπεδο τιμών και P P (2) y y (3) όπου και είναι ο ρυθμός μεγέθυνσης του μέσου επιπέδου τιμών και του πραγματικού ΑΕΠ αντίστοιχα. (α) Δείξτε ότι ο κανόνας μετάβασης του πραγματικού χρέους ως ποσοστό του ΑΕΠ είναι: Όπου το πρωτογενές πλεόνασμα ή έλλειμα είναι: s y y b Rb Q s (4) T G y y g (5) Y Και R R i, Q. y (β) Το πραγματικό δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ είναι 35% ή b.35. Εξετάστε σε ποια από τα παρακάτω δυο σενάρια η δυναμικη εξίσωση διαφορών (4), δίνει μια ευσταθή λύση για το δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ. Ποια είναι η αναγκαία συνθήκη. Σενάριο χαμηλής οικονομικής ανάπτυξης: 2

4 i i... i 0.05, s s... s 0, , Σενάριο υψηλής οικονομικής ανάπτυξης: i i... i 0.05, s s... s 0, , y (γ) Η Ελλάδα το 2008 είχε b 00%, 4%, i 5% και 3%. Πόσο πρέπει να y είναι το έλλειμμα/πλεόνασμα ως ποσοστό του ΑΕΠ ώστε b 0 60% όπως προβλέπει το Σύμφωνο Σταθερότητας. (δ) Σε πόσα χρόνια θα έχει μειωθεί το χρέος σαν ποσοστό του ΑΕΠ στο 60% αν ισχύουν τα παρακάτω: b 00%, 4%, i 5%, 3% και s s... s. Να απαντηθεί το y παραπάνω ερώτημα για s0, s 0.02 και s Άσκηση 2 ν το δημόσιο χρέος μιας χώρας εξελίσσεται σύμφωνα με την Εξίσωση (4) της Άσκησης, εξηγείστε το ρόλο των παραμέτρων i, s,, (τον τρόπο με τον οποίο επηρεάζουν) και της αρχικής τιμής του b, στην μακροχρόνια πορεία σύγκλισης του δημοσίου χρέους σαν ποσοστό του ΑΕΠ στο μισό του Άσκηση 3 y y b. Η σημερινή (της περιόδου 0) παρούσα αξία ενός ομολόγου, PV 0, ορίζεται ως εξής: όπου, T PV0 C NV 0 j0 i j j0 i j (7) C, τοκομερίδιο της περιόδου,,αριθμός περιόδων μέχρι την (ωρίμανση) λήξη του ομολόγου, i, προεξοφλητικό επιτόκιο της περιόδου, NV, ονομαστική αξία του ομολόγου. (α) Υπολογίστε το «κούρεμα» (μείωση της ονομαστικής τιμής του ομολόγου στην λήξη του) που χρειάζεται, για να μειωθεί η παρούσα αξία του ομολόγου αυτού στο μισό από ότι είναι σήμερα, αν C 0.05, NV, 0 και i 0 i... i

5 (β) Τι θα γίνει στην παρούσα αξία του ομολόγου αυτού αν η λήξη του μετατεθεί κατά 0 περιόδους, όταν το προεξοφλητικό επιτόκιο παραμείνει το ίδιο. Απάντηση α) Γράφω τον εισοδηματικό περιορισμό ως εξής: Διαιρώ με το μέσο επίπεδο τιμών: P Θέτω, άρα: P B R B ( T G ) ( ) B B T G B P B T G R R P P P P P P P b R b g όπου b : πραγματικό χρέος. Διαιρώ με το συνολικό προϊόν (ΑΕΠ): b R b g b y R b g y y y y y y y y Θέτω, άρα y όπου, R R R b b ( g ) y y y y y x,υποδηλώνει ότι η μεταβλητή x εκφράζεται ως ποσοστό του ΑΕΠ. Θέτω:, Q και s g. Όπου, s, είναι το πρωτογενές y y δημοσιονομικό πλεόνασμα ως ποσοστό του ΑΕΠ. Άρα εχω: Και αποδείξαμε το ζητούμενο. y y b Rb Qs (2 ) β) Υποθέτω ότι R R.. R,.. και..., συνεπώς R R, Q =Q. Γράφω την (2 ) στις διαδοχικές χρονικές περιόδους: Άρα το δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ γράφεται για: 4

6 , y y b Rb Qs ( ) 2, y y b (2 ) 2 Rb Qs. T, Αντικαθιστώ την ( ) στην (2 ) : y y b (T ) T Rb T Qs T 2 b R Rb Qs Q s b R b RQs Q s y y y y (3') 2 2 y y Ομοίως αντικαθιστώ το b 2 από (3 ) στο b 3 και μετά από συνεχείς αντικαταστάσεις καταλήγω στην παρακάτω σχέση: T T y y j T T j j0 b R b Q R s (4 ) όπου ο όρος Q βγαίνει έξω από το άθροισμα γιατί είναι σταθερός. Καθώς το T, η εξίσωση διαφορών (4 ) δίνει μια ευστάθη λύση αν R. Αν R τότε το δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ αποκλίνει, και η λύση της (4 ) ειναι ασταθής και τείνει στο άπειρο. Στο σέναριο χαμηλής οικονομικής ανάπτυξης έχω ότι R, άρα η (4 ) δεν δίνει ευσταθή λύση. Αντίθετα στο σενάριο υψηλής οικονομικής ανάπτυξης ισχύει ότι R και το χρέος είναι ευσταθές ή βιώσιμο. γ) Από ερώτημα (β) ξέρω ότι η (4 ) δίνει μια ευσταθή λύση για κάθε T, αν R. Χρησιμοποιώντας τις υποθέσεις του υποερωτήματος δείχνω ότι R 0.98, άρα ισχύει η (4 ) και γράφεται ως: T T T y y j T T j j0 b R b Q R s j0 R T y y j R b b T st j Q Υποθέτω ότι s s... s : 5

7 s T y T R b b Q j0 R y T j (5 ) Και για T 0 έχω s 0 R b b y Q R y T 0 R. Άρα με βάση τις υποθέσεις αυτού του υποερωτήματος θα πρέπει s ή σταθερό δημοσιονομικό πλέονασμα 2,56% ώς ποσοστό του ΑΕΠ για τα επόμενα 0 χρόνια. δ) Σε αυτό το υποερωτημα πρέπει να λύσω την (4 ) ως προς, T,δεδομένου οτι ισχύει R. Άρα : y T T T y b R b Qs R j0 T R y y b T R b Qs R y T y T T y b R R b R Qs R T y y T b T R Qs y b R Qs b R Qs R b R Qs R R Παίρνω το λόγαριθμο και των δυο μελών: j T T T T log y b T R Qs log y b R Qs R (6 ) Άρα βρίσκω ότι για s 0 η χρόνικη διάρκεια είναι T 25, αντίστοιχα για s 0.02 και s 0.03, T και T 9. Απάντηση 2 Αναγκαία συνθήκη για την ευστάθεια του δημοσιου χρέους είναι: R R. Για το πως επηρεάζει η αύξηση ή μείωση των δημοσιονομικών μεγεθών βλεπε απάντηση (γ, δ). Η αρχική τιμή του δημοσίου χρέους δεν επηρεάζει την ευστάθεια 6

8 του, δηλαδή αν είναι βιώσιμο. Επηρεάζει μόνο την χρονίκη περίοδο της σύγκλισης του δημοσίου χρέους στη μακροχρόνια τιμή του. Απάντηση 3 Λυμένη στο φροντιστήριο. 7

9 Problem Se II 8

10 Άσκηση Δίνονται οι παρακάτω χρησιμότητες των καταναλωτών και Β: , B 20 B B U X Y U X Y Τα νοικοκυριά έχουν τις παρακάτω αρχικές προικοδοτήσεις κεφαλαίου και εργασίας: L K 20, L 0 B 0, K 20 Επίσης δίνονται οι συναρτήσεις παραγωγής των επιχειρήσεων XYπου, παράγουν αντίστοιχα τα προϊόντα XY,χρησιμοποιώντας, κεφάλαιο και εργασία που αγοράζουν από τα νοικοκυριά: B X X Y Y X 0 K L, Y 20K L α) Να βρεθεί το σημείο της ανταγωνιστικής ισορροπίας. β)είναι το σημείο ανταγωνιστικής ισορροπίας και Pareo Αποτελεσματικό;. Άσκηση 2 Φανταστείτε μια απλή οικονομία με μόνο δυο άτομα, τον Αύγουστο και τη Λίβια, α) Έστω ότι η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι : W UL U όπου U L και U είναι οι χρησιμότητες της Λίβιας και του Αυγούστου αντίστοιχα. Απεικονίστε σχηματικά τις κοινωνικές καμπύλες αδιαφορίας. Πως θα περιγράφατε τη σχετική σπουδαιότητα που δίνει η κοινωνία στην ευημερία του κάθε ατόμου; β) Απαντήστε στα πιο πάνω ερωτήματα όταν η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι : W U 2U. L Η λύση αυτής της άσκησης βρίσκεται στο τέλος των Problem Ses γραμμένη στην αγγλική γλώσσα. 9

11 γ) Υποθέστε ότι το όριο δυνατοτήτων χρησιμότητας είναι το εξής: U L Δείξτε σχηματικά πως διαφέρει η αρίστη λύση ανάμεσα στις συναρτήσεις ευημερίας που δίνονται στα ερωτήματα (α) και (β). U Άσκηση 3 Περιγράψτε τις καμπύλες αδιαφορίας που αντιστοιχούν στις παρακάτω συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας: B B B B B B B B B B a B a B B a) W U, U U U ) W U, U au a U, 0, ) W U, U U ) W U, U U ) W U, U U U ) W U, U U U, 0, ) W U, U max min U, U Παρατήρηση: Οι συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας στα β, γ, στ και ι λέγονται ωφελιμιστική, δικτατορική, Cobb Douglas και Rawlsian αντίστοιχα. 0

12 Απάντηση 2 α) Έχω την παρακάτω συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας: W( U, U ) U U () L L Η καμπύλη κοινωνικής αδιαφορίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των ( U, U ) όπου το ολικό διαφορικό ισούται με μηδέν, dw 0, δηλαδή η κοινωνία είναι αδιάφορη ανάμεσα στους συνδυασμούς αυτού του γεωμετρικού τόπου και το ύψος της κοινωνικής ευημερίας παραμένει σταθερό. Για να βρω την κλίση των καμπυλών κοινωνικής ευημερίας υπολογίζω το ολικό διαφορικό της W : Άρα έχω ότι: W W dw 0 du L du 0 U U L L du du L W U W U L (2) Οι καμπύλες αδιαφορίας της κοινωνίας είναι ευθείες. Υποθέτω σταθερή κοινωνική ευημερία W η παραπάνω συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας γράφεται: U W U L

13 Το παρακάτω διάγραμμα απεικονίζει τις καμπύλες αδιαφορίας της κοινωνίας με συνάρτηση την (): U L W 2 W W W 2 U Έχω ότι W2 W, και καθώς μεταφερόμαστε σε υψηλότερο επίπεδο κοινωνικής ευημερίας, η κοινωνική καμπύλη αδιαφορίας μετακινείται προς τα πάνω και δεξιά. Συνεπώς, du L du Για να παραμείνει η κοινωνική ευημερία στο ίδιο επίπεδο πρέπει για κάθε μια μονάδα που αυξάνω τη χρησιμότητα του L να μειώνω τη χρησιμότητα του κατά μια μονάδα. Η σχετική σπουδαιότητα που αποδίδει η συγκεκριμένη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας στις χρησιμότητες του και L είναι ίδια. Αυτό υπολογίζεται από τις μερικές παραγώγους: W U W U L β) Γράφω τη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας για δεδομένο W ως εξής: Και τα σημεία αυτής, U U W 2U L L L 0 U U W U W 2 0 2

14 Χρησιμοποιώντας τα δυο παραπάνω σημεία σχηματίζω το παρακάτω διάγραμμα: U L W W 2 U Για να βρούμε την κλίση των κοινωνικών καμπυλών αδιαφορίας υπολογίζουμε πάλι το ολικό διαφορικό: Άρα έχω, W W dw 0 du L du 0 U U du L L 2dU Για να παραμείνει η κοινωνική ευημερία στο ίδιο επίπεδο αν μειώσουμε τη χρησιμότητα του κατά μια μονάδα πρέπει να αυξήσουμε τη χρησιμότητα του W W L κατά δυο μονάδες. Βλέπω επίσης ότι 2, άρα η κοινωνική U U συνάρτηση ευημερίας αποδίδει διπλάσια βαρύτητα στη χρησιμότητα του. L 3

15 γ) Σχηματίζουμε διαγραμματικά τη λύση για την περίπτωση του ερωτήματος (α) χωρίς αυστηρή μαθηματική ακρίβεια: U L Ε Β U Παρατηρούμε ότι χρησιμοποιώντας την πρώτη συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας και το δοθέν όριο δυνατοτήτων χρησιμότητας έχουμε δυο σημεία ισορροπίας συμμετρικά ως προς την γραμμή των 45 μοιρών. Παρατηρώ επίσης ότι στο σημείο (Ε) UL U, ενώ στο σημείο (Β) έχω U UL. Το παραπάνω αποτέλεσμα οφείλεται τόσο στο σχήμα του ορίου δυνατοτήτων χρησιμότητας το οποίο θεωρείται από την άσκηση δεδομένο όσο και στην συναρτησιακή μορφή της συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας. Η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας υποδηλώνει μηδενική αποστροφή στην ανισότητα, δηλαδή στην συγκεκριμένη οικονομία δεν μας ενδιαφέρει η ανισότητα ανάμεσα στους καταναλωτές 2. Λόγω αυτής της ιδιότητας της συναρτήσεως κοινωνικής ευημερίας αναμένουμε μια άνιση κατανομή ατομικών χρησιμοτήτων. Επίσης η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας αποδίδει την ίδια βαρύτητα (βλέπε α) στις χρησιμότητες των δυο καταναλωτών έτσι προκύπτουν δυο συμμετρικές λύσεις όπου είτε ο L είτε ο απολαμβάνουν μεγαλύτερη χρησιμότητα, αλλά όπως βλέπουμε οι 2 Η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας είναι ειδική περίπτωση της συνάρτησης L W U U. Η παράμετρος είναι ένα μέτρο της κοινωνικής αποστροφής στην ανισότητα (aversion o inequaliy). Για 0 έχω μηδενική αποστροφή στην ανισότητα ( zero aversion o inequaliy) και η κοινωνική συνάρτηση ευημερίας που προκύπτει ονομάζεται Uiliarian ή Benhamie, ενώ για έχω απόλυτη αποστροφή στην ανισότητα και παίρνω τη συνάρτηση κοινωνικής χρησιμότητας του Rawls (Egaliarian) που οδηγεί σε μια εξισωτική κατανομή. 4

16 δυο λύσεις είναι συμμετρικές, δηλαδή σε κάθε περίπτωση η διαφορά μεταξύ των ατομικών χρησιμοτήτων είναι ίση. Αντιθέτως στη δεύτερη περίπτωση η συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας εμφανίζει επίσης μηδενική αποστροφή στην ανισότητα 0,αλλά αυτή τη φορά δίνει διπλάσια βαρύτητα στην χρησιμότητα του.η διαγραμματική λύση παρουσιάζεται παρακάτω: U L U Όπως παρατηρούμε από τη διαγραμματική λύση προκύπτει μια ισορροπία. Στο σημείο Δ έχω ότι U UL. Δηλαδή έχουμε μια άνιση κατανομή αλλά επειδή η κοινωνική συνάρτηση χρησιμότητας αποδίδει διπλάσια βαρύτητα στον αυτός απολαμβάνει μεγαλύτερη ατομική χρησιμότητα στην ισορροπία. Απάντηση 3 Όλες οι συναρτήσεις κοινωνικής ευημερίας που δίνονται είναι υποπεριπτώσεις της παράκατω CES συνάρτησης κοινωνικής ευημερίας: B W U U Όταν το ολικό διαφορικό είναι μηδέν έχω: (3) dw 0 du du B U U B 5

17 Η παράμετρος,, συμβολίζει την αποστροφή στην ανισότητα που έχει κάθε συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας. Η συνάρτηση (α) υποδηλώνει μηδενική αποστροφή στην ανισότητα άρα 0. Επίσης η κοινωνία αποδίδει την ίδια σχετική σπουδαιότητα στον και στον B, άρα. Παρατηρώ οτι για 0 και η (3) συμπιπτει με την (α). Επίσης για που σημαίνει ότι η κοινωνία έχει απόλυτη αποστροφή στην ανισότητα η (2) γράφεται σαν (ι) Rawlsian. (η σχετικη σπουδαιότητα για τα 2 μέλη της κοινωνίας είναι ίση). 6

18 Problem Se IIΙ 7

19 Άσκηση Η Θέλμα και η Λουίζ είναι γειτόνισσες. Το χειμώνα είναι αδύνατο ένα εκχιονιστικό μηχάνημα να καθαρίσει τα χιόνια στο δρόμο μπροστά από το σπίτι της Θέλμα χωρίς να τα καθαρίσει μπροστά από της Λουίζ. Το οριακό όφελος της Θέλμα από τις υπηρεσίες εκχιονισμού είναι 2 Ζ, όπου Ζ είναι ο αριθμός της συχνότητας που καθαρίζεται ο δρόμος. Το οριακό όφελος της Λουίζ είναι 8-2Ζ. Το οριακό κόστος καθαρισμού του δρόμου από τα χιόνια είναι 6 δολάρια. α) Σχηματίστε τις δύο καμπύλες οριακού οφέλους. β) Βρείτε το αποτελεσματικό ύψος παροχής εκχιονιστικών υπηρεσιών. γ) Υπολογίστε τις τιμές Lindahl που αντιστοιχούν στην απάντησή σας στο (β). δ) Εξηγείστε για ποιο λόγο δεν χρησιμοποιούνται οι τιμές Lindahl στην πράξη. ε)κατασκευάστε έναν μηχανισμό που δεδομένης της επιλογής της Θέλμα θα ανάγκαζε τη Λουίζ να αποκαλύψει τον πραγματικό της οριακό όφελος. Άσκηση 2 Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, μπορείτε να αιτιολογήσετε την κυβερνητική παρέμβαση στην οικονομία με βάση την Οικονομική της Ευημερίας; α) Μερικές (αμερικανικές) πολιτείες ορίζουν ένα μέγιστο ύψος επιτοκίου με βάση το οποίο οι δανειζόμενοι θα αποπληρώνουν τους δανειστές τους. β) Η παραγωγή μελιού επιδοτείται από την ομοσπονδιακή κυβέρνηση. γ)η πολιτεία Νιου Τζέρσεϊ χρησιμοποιεί δημόσια κεφάλαια για τη χορήγηση χαμηλότοκων στεγαστικών δανείων σε οικογένειες με μεσαία εισοδήματα για την αγορά στέγης. δ) Στην Ουάσινγκτον δεν επιτρέπεται να γίνει κάποιος κομμωτής, παρά μόνο αν έχει άδεια από την τοπική κυβέρνηση. Άσκηση 3 Ο Ταρζάν και η Τζέιν ζουν μόνοι μέσα στη ζούγκλα και έχουν εκπαιδεύσει την Τσίτα όχι μόνο να περιπολεί περιμετρικά στο ξέφωτο που μένουν, αλλά και να μαζεύει τα τροπικά φρούτα. Η Τσίτα μπορεί να μαζεύει 3 κιλά φρούτα την ώρα και προς το παρόν αφιερώνει 6 ώρες στην περιπολία, 8 ώρες στο μάζεμα φρούτων και 0 ώρες για να κοιμάται. 8

20 α) Ποια είναι τα δημόσια και τα ιδιωτικά αγαθά σ' αυτό το παράδειγμα; β) Αν ο Ταρζάν και η Τζέιν είναι επί του παρόντος διατεθειμένοι να θυσιάσουν καθένας τους μία ώρα περιπολία για 2 κιλά φρούτων, η ισχύουσα κατανομή του χρόνου της Τσίτας είναι αποτελεσματική κατά Pareo; Πρέπει να αφιερωθούν περισσότερες ή λιγότερες ώρες στην περιπολία; Άσκηση 4 Ένα εργοστάσιο που παράγει τσιμέντο μολύνει την ατμόσφαιρα της περιοχής όπου λειτουργεί. Έστω Τ και P η ποσότητα και η τιμή του τσιμέντου ανά τόνο, αντίστοιχα. Η ζήτηση για το προϊόν του εργοστασίου είναι: Τ= 0,000 2,500 P και το ιδιωτικό οριακό κόστος παραγωγής είναι :. + Τ/5,000. Αν το οριακό κόστος της μόλυνσης της ατμόσφαιρας είναι: Τ/0,000 Βρείτε: α) Το σημείο ισορροπίας της αγοράς. β) Το βέλτιστο σημείο κατά Pareo. Αν το σημείο ισορροπίας της αγοράς διαφέρει από το βέλτιστο κατά Pareo, εξηγείστε του λόγους για του οποίους συμβαίνει αυτό. γ) Βρείτε ένα φόρο που αν επιβληθεί στο εργοστάσιο, το σημείο της ισορροπίας της αγοράς είναι βέλτιστο κατά Pareo. δ) Εξηγείστε γιατί σύμφωνα με το θεώρημα του Coase αυτό που έχει σημασία είναι να υπάρξει αγορά για τη μόλυνση ή την αποφυγή της μόλυνσης της ατμόσφαιρας. Δεν έχει σημασία αν την αύξηση της μόλυνσης αγοράζει το εργοστάσιο από τους γείτονες ή αν οι γείτονες αγοράζουν το δικαίωμα της μείωσης από το εργοστάσιο. 9

21 Απάντηση Οι υπηρεσίες του εκχιονιστικού μηχανήματος είναι μη ανταγωνιστικές και μη αποκλείσιμες ως προς την κατανάλωση, άρα έχουμε να κάνουμε με δημόσιο αγαθό. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε τις καμπύλες του οριακού οφέλους της Θέλμα και της Λουίζ. Διάγραμμα Για να βρω την καμπύλη του συνολικού οριακού οφέλους αθροίζω κάθετα τα οριακά οφέλη για κάθε ποσότητα του δημοσίου αγαθού. Επίσης πρέπει να λάβω υπόψιν ότι τα οριακά οφέλη για τους δυο καταναλωτές πρέπει να είναι μεγαλύτερα του μηδενός. Οπότε έχω: Και για τη Λουίζ είναι Thelma MB Louise MB 0 z 2 0 z 4. Άρα για 0z 4 το συνολικό οριακό όφελος είναι το άθροισμα των δυο οριακών οφελών: Thelma Louise SMB MB MB 20 3z. Louise Όμως για z 4 έχω MB 0, άρα μόνο οι Θελμα αποκομίζει όφελος οπότε η συνάρτηση συνολικού οριακού οφέλους είναι: SMB 2 z. 20

22 Η συνάρτηση του κοινωνικού οριακού οφέλους γράφεται ως εξής: 0 z 4 SMB 20 3z z 4 SMB 2 z Στο παρακατω διαγραμμα απεικονιζεται η συναρτηση του συνολικου οριακου οφελους (Social MB) μαζι με τις ατομικες συναρτήσεις οριακου οφελους. Διάγραμμα 2 Παρατηρώ ότι MC 6 8 άρα είμαστε στο πρώτο μέρος της καμπύλης του οριακού κόστους άρα για να βρω ποιο είναι το αποτελεσματικό επίπεδο παραγωγής λύνω την παρακάτω εξίσωση: z 6 z 3 Αυτή η λύση απεικονίζεται διαγραμματικά στο διάγραμμα 3. Λύση είναι η τομή της ευθείας MC 6(πράσινο χρώμα) με την καμπύλη του συνολικού οριακού κόστους (κόκκινη γραμμή). 2

23 Διάγραμμα 3 γ) Τιμές κατά Lindahl: Οι τιμές κατά Lindahl χρησιμοποιούνται προκειμένου να επιτευχθεί ομοφωνία για την ποσότητα παραγωγής ενός δημοσίου αγαθού στην περίπτωση που οι καταναλωτές σε μια οικονομία έχουν διαφορετικές προτιμήσεις για το Δημόσιο Αγαθό. Για κάθε καταναλωτη επιβάλλεται διαφορετική τιμή κατά Lindahl ίση με το οριακό όφελος του κάθε καταναλωτή. Lindahl Ισορροπια: Είναι ένα διάνυσμα τιμών και ένα διάνυσμα ποσοτήτων (διαφορετικές για κάθε καταναλωτή) τέτοιο ώστε η συνολική ζήτηση για το δημόσιο αγαθό να ισούται με τη συνολικη προσφορά. Μπορεί να δειχθεί ότι κάθε Lindahl Ισορροπία είναι και Pareo αποτελεσματική. Άρα ξέρουμε ότι η Pareo 4 αποτελεσματική ποσότητα του Δημοσίου αγαθού ειναι z. Υπολογίζουμε τα 3 οριακά οφέλη σε αυτό το ύψος και βρίσκουμε τις τιμές κατά Lindahl: P Lindahl T P Lindahl L 4 32 MBT MBL Έστω ότι a T το μερίδιο Lindahl της Thelma άρα της Louise είναι at. Έχω ότι το συνολικό κόστος στο Pareo αποτελεσματικό σημείο είναι MC 6. Άρα το μερίδιο Lindahl της Thelma είναι: 22

24 PT 0.66 at MC PT at MC 6 Και της Louise: a T Στο διάγραμμα 4 παρουσιάζεται η Lindahl Ισορροπία: Διάγραμμα 4 δ) Για να υπολογίσουμε τα οριακά οφέλη των καταναλωτών πρέπει να ξέρουμε την Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης του καθενός. Όμως οι καταναλωτές δεν αποκαλύπτουν τις προτιμήσεις τους λόγω στρατηγικής συμπεριφοράς. Η ομοφωνία για την ποσότητα παραγωγής του Δημοσίου αγαθού απαιτεί μια χρονοβόρα διαδικασία διαπραγματεύσεων και ένα σημαντικό οικονομικό κόστος. ε) Η Thelma θα πληρώσει ένα φόρο που δεν θα εξαρτάται από το τι θα δηλώσει ως προτιμήσεις της. Απάντηση 2 T MC SMB MB T Social Marginal Cos We exclude Thelma's Marginal Benefi α) Η κρατική παρέμβαση στην αγορά δανειακών κεφαλαίων δικαιολογείται στην περίπτωση που δεν λειτούργει ο ανταγωνισμός μεταξύ των χρηματοπιστωτικών συστημάτων δηλαδή έχουμε ως συνέπεια την αποτυχία της αγοράς λόγω εξουσίας στην αγορά. Για παράδειγμα στην ακραία περίπτωση του μονοπωλίου τα χρηματοπιστωτικά ιδρύματα χρεώνουν ένα υψηλότερο επιτόκιο δανεισμού από αυτό που θα χρέωναν στην περίπτωση του τελείου ανταγωνισμού imonopoly ip. Compeiion. T 23

25 Αυτό έχει και ως συνέπεια η προσφορά δανειακών κεφαλαίων να είναι χαμηλότερη από την Pareo αποτελεσματική LMonopoly LP. Compeiion, όπου L Monopoly το ποσό χορηγήσεων στην περίπτωση μονοπωλίου και L P. Compeiion το ποσό χορηγήσεων στην περίπτωση του τέλειου ανταγωνισμού. Στην μονοπωλιακή αγορά δανειακών κεφαλαίων επειδή το κόστος δανεισμού είναι μεγαλύτερο οι δανειολήπτες με μικρή περιουσία δεν μπορούν να δανειστούν σε κανένα επιτόκιο και κανένα ποσό (credi raioning). Έτσι η αποτυχία αγοράς στη ακραία περίπτωση δημιουργεί ανυπαρξία προσφοράς, δεν προσφέρεται δηλαδή ένα χαμηλότοκο δάνειο σε δανειολήπτες με μικρή περιουσία. Σε αυτήν την περίπτωση δικαιολογείται η κρατική παρέμβαση γιατί βελτιώνει την Pareo αποτελεσματικότητα. β) Η μέλισσες δημιουργούν θετικές εξωτερικές οικονομίες έτσι το οριακό κοινωνικό όφελος είναι μεγαλύτερο από το οριακό ιδιωτικό όφελος. Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε πάλι αποτυχία της αγοράς και Pareo αναποτελεσματικότητα. Λόγω των θετικών εξωτερικών οικονομιών έχουμε υποπαραγωγή μελιού. Άρα η κρατική επιδότηση που οδηγεί στην αύξηση της παραγωγής μελιού βελτιώνει την Pareo αποτελεσματικότητα και κατά συνέπεια είναι δικαιολογημένη. γ) Σε αυτή την περίπτωση έχουμε αποτυχία της αγοράς. Όπως στο ερώτημα α) οι δανειολήπτες χαμηλού εισοδήματος που έχουν μικρή περιουσία (άρα δεν μπορούν να καλύψουν το δάνειο) αποκλείονται από την αγορά δανειακών κεφαλαίων (credi raioning). Επίσης αν υποθέσουμε ότι η ιδιοκτησία στέγης δημιουργεί θετικές εξωτερικότητες τότε πάλι μπορεί να δικαιολογηθεί η κρατική παρέμβαση. Όμως, πολλοί οικονομολόγοι θεωρούν ότι ένα δημόσιο χρηματοπιστωτικό ίδρυμα δεν λειτουργεί με βάση τα ιδιωτικοοικονομικά κριτήρια της αγοράς και με αυτόν τον τρόπο μειώνει την αποτελεσματικότητα του χρηματοπιστωτικού συστήματος. Αυτό συμβαίνει για παράδειγμα όταν δίνονται δάνεια σε άτομα υψηλού κινδύνου που δεν είναι σε θέση να τα αποπληρώσουν και έτσι καθίστανται ζημιογόνα, ενώ δεν χρηματοδοτούνται δάνεια που αποφέρουν κέρδος (διαφθορά). δ) Εφόσον λειτουργεί ο τέλειος ανταγωνισμός και δεν αναφέρεται η ύπαρξη κάποιας στρέβλωσης στην συγκεκριμένη αγορά δεν χρειάζεται η κρατική παρέμβαση παρά μόνο στην περίπτωση που η παροχή άδειας επιβάλλει στα κομμωτήρια να τηρούν κάποιες προδιαγραφές ποιότητας (π.χ κανόνες υγιεινής). Απάντηση 3 Δημόσια Αγαθά: Δυο χαρακτηριστικά διαφοροποιούν τα αμιγή δημόσια αγαθά απο τα αμιγή ιδιωτικά αγαθά. Τα αμιγή δημόσια αγαθά χαρακτηρίζονται απο μη αποκλεισιμότητα (non-excludabiliy) και απο μη ανταγωνιστικότητα (non-rivalry) ως προς την κατανάλωση. Δηλαδή η κατανάλωση ενός δημοσίου αγαθού από ένα άτομο δεν αποκλείει την κατανάλωση του ούτε μειώνει την αξία της από τα υπόλοιπα άτομα. 24

26 α) Υπάρχουν δυο αγαθά στην οικονομία η περιπολία που συμβολίζεται στο εξής με S και τα Φρούτα που συμβολίζονται με X. Η περιπολία είναι μη ανταγωνιστικό και μη αποκλείσιμο ως προς την κατανάλωση άρα είναι ένα δημόσιο αγαθό. Η περιπολία λοιπόν μπορεί να καταναλωθεί μόνο σε ίσες ποσότητες από τον Ταρζάν και την Τζέιν. Αντίθετα τα φρούτα είναι ανταγωνιστικά ως προς την κατανάλωση και ο Ταρζάν θα καταναλώσει X M ποσότητα και η Τζέιν X W. β) Για να βρούμε την Pareo αποτελεσματική κατανομή μεγιστοποιούμε την χρησιμότητα του Ταρζαν U M δεδομένης της χρησιμότητας της Τζειν U W και της συνάρτησης μετασχηματισμού των φρούτων σε περιπολία F( XW X M, S). Το πρόβλημα γράφεται ως εξής: Υπό τους παρακάτω περιορισμούς: Η Lagrangean είναι: max S, XW, X M U ( S, X ) M U ( X, S) U W W W M, W F( X X S) 0 W M W L U ( S, X M ) U ( XW, S) U W F ( XW X M, S) Οι συνθήκες πρώτης τάξης είναι: L U X M : 0 X F M M X L U XW : 0 X F W X W X L M W S : 0 US US FS 0 S Αντικαθιστώ τους Lagrange πολλαπλασιαστές στην τελευταία εξίσωση και παίρνω τον κανόνα του Samuelson (Samuelson s Rule): X Δηλαδή: U U F U U F M W S S S M W X X X MRS MRS MRT M W X S X S X S Έχω ότι: 25

27 MRS MRT M W X S X S XS MRS 3 2 Άρα ο κανόνας του Samuelson για την Pareo αποτελεσματικότητα δεν ικανοποιείται. Επειδή έχω: MRT MRS MRS M W X S X S X S 3 4 Για να αποδείξουμε ότι μια δεδομένη κατανομή των παραγωγικών πόρων δεν είναι Pareo αποτελεσματική αρκεί να δείξω ότι μπορεί να υπάρξει Pareo βελτίωση από την δεδομένη κατανομή, δηλαδή να βελτιωθεί η ευημερία ενός από τους δυο καταναλωτές χωρίς να χειροτερέψει η ευημερία του άλλου. Η αποτελεσματικότητα κατά Pareo μπορεί να βελτιωθεί αν αυξηθούν οι ώρες περιπολίας. Ο Ταρζαν και η Τζειν είναι διατεθειμένοι για μία επιπλέον ώρα περιπολίας να μειώσουν την κατανάλωση φρούτων κατά τέσσερις μονάδες. Ο ΟΛΜ δείχνει ότι απαιτείται μείωση της κατανάλωσης των φρούτων κατά τρεις μονάδες μόνο για να παραχθεί μια ώρα περιπολίας επιπλέον, άρα υπάρχει δυνατότητα βελτίωσης κατά Pareo. Απάντηση 4 α) Για το σημείο ισορροπίας της αγοράς λύνω: T T P MC C C Άρα, P 2, T β) Για την Pareo αποτελεσματική ποσότητα λύνω: P SMC T T T P C Άρα, T 4285 T. Η Pareo αποτελεσματική ποσότητα είναι μικρότερη από την ποσότητα που προκύπτει από την ανταγωνιστική ισορροπία γιατί η παραγωγή του αγαθού προκαλεί αρνητική εξωτερικότητα. γ) Ο φόρος Pigou ισούται με το οριακό εξωτερικό κόστος στο αποτελεσματκό σημείο: P 4285 MEC T

28 δ) Χωρίς κρατική παρέμβαση η αγορά θα καταλήξει στο σημείο ανταγωνιστικής ισορροπίας (βλέπε ερώτημα α). Σύμφωνα με το θεώρημα του Coase η αγορά θα καταλήξει στο Pareo αποτελεσματικό σημείο αν προσδιοριστούν δικαιώματα ιδιοκτησίας για την ατμόσφαιρα που υφίσταται τη μόλυνση. Αν τα δικαιώματα ιδιοκτησίας ανήκουν στην επιχείρηση, έχω οτι τα κέρδη της επιχείρησης στο σημείο C C ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι μηδέν, P( T ) MC( T ) 0. Όμως το οριακό C κοινωνικό κόστος είναι MEC( T ) 0.5. Σε αυτήν την περίπτωση, η κοινωνία είναι διατεθειμένη να πληρώσει στην επιχείρηση την απώλεια των κερδών της για να μειώση την παραγωγή της μέχρι το σημείο όπου P( T) MC( T) MEC( T) 0. Αν τα δίκαιωματα ιδιοκτησίας ανήκουν στην κοινωνία, τότε η κοινωνία έχει κίνητρο να χρεώσει την επιχείρηση με το κόστος που υφίσταται, οπότε πάλι η επιχείρηση λύνει P( T) MC( T) MEC( T) 0. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε στο Pareo αποτελεσματικό σημείο. εισοδήματος. Το μόνο που αλλάζει είναι η κατανομή του 27

29 Problem Se IV 28

30 Άσκηση Το ίδιωτικο οριάκο όφελος δίδεται από τη σχέση 0 x όπου, x, είναι το πλήθος των μονάδων που καταναλώνονται. Το ιδιωτικό ορίακο κόστος της παραγώγης του x είναι σταθερό στα 5 ευρώ. Για κάθε μονάδα x που παράγεται τα μέλη της κοινωνίας υφίστανται ένα εξωτερικό κόστος ύψους 2 ευρώ. α) Όταν δεν υπάρχει καμμία κυβερνητική παρέμβαση πόσες x μονάδες παράγονται; (Βρείτε την ανταγωνιστίκη ισορροπία). β) Ποιο είναι το αποτελεσματικό ύψος παραγωγής του x ; γ) Ποιο είναι το όφελος για την κοινωνία που συνεπάγεται η μετακίνηση απο το αναποτελεσματικό στο αποτελεσματικό ύψος παραγωγής; δ) Προτείνετε ένα φόρο που θα οδηγούσε στο αποτελεσμάτικο ύψος. Πόσα έσοδα θα προκύψουν απο την επιβολή αυτού του φόρου; Άσκηση 2 (Ερώτησεις Πολλαπλής Επιλογής, οι απαντήσεις είναι σε γκρι φόντο) Ι. Ένα αγαθό προκαλεί αρνητική εξωτερικότητα όταν: α) Όταν η καταναλώση του από ένα άτομο προκαλεί μείωση της χρησιμότητας ένος άλλου ατόμου. β) Όταν η καταναλώση του από ένα άτομο πρόκαλει αύξηση της χρησιμότητας ένος άλλου ατόμου. γ) Όταν η καταναλώση του από ένα άτομο αποκλείει την κατανάλωση από άλλο άτομο. δ) Όταν η κατανάλωση του από ένα άτομο μειώνει την αξία της καταναλώσης του ένος άλλου ατόμου. ΙΙ. Τα δικαιώματα της ιδιοκτησίας μπορούν να λύσουν: α) Τα προβλήματα των αρνητικών εξωτερικών οικονομιών. β) Τα προβλήματα των θετικών και των αρνητικών εξωτερικών οικονομιών. γ) Τα προβλήματα που δημιουργούνται απο έναν φόρο Pigou. δ) Την ανισοκατανομή του εισοδήματος. ΙΙΙ. Σε ποιά απο τις παρακάτω αγορές το σημείο ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι και βέλτιστο κατά Pareo (διευκρινίστε μονολεκτικά όπου δεν ισχύει): α) Αγορά μεταχειρισμένων αυτοκινήτων. (Λόγω ασύμμετρης πληροφόρησης) β) Αγορά πυρηνικών αποβλήτων. (Λόγω αρνητικών εξωτερικοτήτων) 29

31 γ) Μεταφορές απομακρυσμένων περιοχών. (Λόγω μονοπωλίου ή ανυπαρξία προσφοράς) δ) Αγορά χρηματιστηριακών αξιών. IV. Για ένα αγαθό που προκαλεί θετικές εξωτερίκοτητες ισχύει ότι: α) Αν το κρατος δεν παρέμβει η ποσότητα που θα παραχθεί θα ειναι μεγαλύτερη απο την Pareo αποτελεσματική. β) Αν το κράτος δεν παρέμβει η ποσότητα που θα παραχθεί θα ειναι μικρότερη απο την Pareo αποτελεσματική. γ) Αν το κρατος δεν παρέμβει η ποσότητα που θα παραχθεί θα ειναι ίση με την Pareo αποτελεσματική. δ) Το κράτος πρέπει να παρέμβει επιβάλλοντας φόρο Pigou στη παραγωγή του αγαθού. Άσκηση 3 Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις μπορεί να εφαρμοσθεί το θεώρημα του Coase, σε ποιες όχι και γιατί (δικαιολογήστε συνοπτικά); α) Μια ομάδα φοιτητών που μένουν σε κοιτώνες χρησιμοποιούν την ίδια κουζίνα. Μερικοί από αυτούς που χρησιμοποιούν την κουζίνα δεν τη συγυρίζουν ποτέ μετά το μαγείρεμα. β) Στις λίμνες της πολιτείας Βερμόντ, τα μηχανοκίνητα ταχύπλοα εκνευρίζουν τους λουόμενους και όσους χρησιμοποιούν κανό. γ) Η εταιρεία Burlingon Norhern Sana Fe Corporaion αποφάσισε πρόσφατα να δρομολογήσει μεταφορικές αμαξοστοιχίες που θα διέρχονται μέσα από την κωμόπολη Maple Valey της Ουάσιγκτον. Οι κάτοικοι θεωρούν το θόρυβο ανυπόφορο. δ) Κατά κανόνα οι χρήστες του Διαδικτύου δεν επωμίζονται κανένα αυξητικό κόστος για τη μετάδοση πληροφοριών. Αυτό έχει ως συνέπεια να δημιουργείται συνωστισμός και να απογοητεύονται οι χρήστες εξαιτίας των καθυστερήσεων. Άσκηση 4 Υποθέστε ότι υπάρχουν 2 τεχνολογίες παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας απο λιγνίτη και από πυρηνική ενέργεια. Οι συναρτήσεις κόστους αυτών των δύο τεχνολογιών είναι: 30

32 Για το λιγνίτη, 2 Q C Q 5Q 0 και για την πυρηνική ενέργεια, 2 Q C Q 5Q 20 Όπου, Q, μόναδες ηλεκτρικής ενέργειας σε Megawas. Η ζήτηση για ηλεκτρική ενέργεια είναι: D Q 200 0P α) Ποιά τεχνολογία χαρακτηρίζεται από αύξουσες οικονομίες κλίμακος; Υποθέστε ότι υπάρχουν μια ανταγωνιστική αγορά παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας από λιγνίτη και 0 παραγωγοί με την εξής συνάρτηση κόστους: 2 q i Ci qi 5qi 8 Η καύση του λιγνίτη μολύνει τον αέρα. Το συνολικό κόστος της μόλυνσης από την καύση του λιγνίτη είναι: CP 3Q β) Πόση ηλεκτρική ενέργεια θα παραχθεί χώρις κρατική παρέμβαση; γ) Ποία ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας είναι Pareo αποτελεσματική; δ) Βρείτε το φόρο Pigou που θα οδήγουσε την αγορά στο Pareo αποτελεσματικό σημείο. ε) Βρείτε το καθαρό όφελος για την κοινωνική ευημερία από τη μεταβάση στο Pareo αποτελεσματικό σημείο. 3

33 Απάντηση 4 CQ ( ) α) Βρίσκω το μέσο κόστος κάθε τεχνολογίας, C : Q Q Q Για το λιγνίτη, C 5 και για την πυρηνική ενέργεια, C 5. Για να έχω 5 20 αύξουσες οικονομίες κλίμακας θα πρέπει το μέσο κόστος να βαίνει μειούμενο καθώς αυξάνουμε την παραγωγή. Αυτό συμβαίνει για την πυρηνική ενέργεια, C 0. Q 20 β) Πρέπει να βρω την συνολική προσφορά, για τον παραγωγό i έχω: dci qi MCi( qi) 5 άρα qi 20 4P. Συνεπώς η συνολική προσφορά για dq 4 λιγνίτη δίνεται: Στην ισορροπία έχω: i Q 0q P i P 200 0P C C Άρα το σημείο ανταγωνιστικής ισορροπίας είναι P 8, Q 20. γ) Στο Pareo σημείο έχω: Άρα, MSB MC MEC Q Q P Το Pareo αποτελεσματικό σημείο είναι, Q 96. δ) Ο φόρος Pigou είναι MEC 3. e ε) Οι καταναλωτές έχουν απώλεια πλεονάσματος L 259, 2. Οι παραγωγοί έχουν f απώλεια πλεονάσματος L 64,8. Τα κρατικά έσοδα από το φόρο είναι R * Η κοινωνία μειώνει την εξωτερική ρύπανση και έχει όφελος W 72. Άρα η συνολική ευημερία βελτιώνεται κατά, e f 36. R W L L 32

34 Problem Se V 33

35 Άσκηση Υποθέτω 3 ψηφοφόρους που συμβολίζονται με V, V2, V3 και έχουν να διαλέξουν ανάμεσα σε τρεις επιλογές, B, C. Έστω ότι οι επιλογές αυτές συμβολίζουν Α: Μεγάλο Πάρκο Β: Μικρο Πάρκο C: Καθόλου Πάρκο. Ο παρακάτω πίνακας απεικονίζει τις προτιμήσεις του κάθε ψηφοφόρου ανάμεσα στα τρία ζευγάρια επιλόγων: V V2 V3 B B C B C C C? C B? B? C B α) Υποθέστε ότι οι προτιμήσεις των ψηφοφόρων ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας (ransiiviy) και συμπληρώστε τον παραπάνω πίνακα. β) Έστω ότι γίνεται ψηφοφορία με τη μέθοδο του Condorce, δείξτε ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις δεν ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας. γ) Ποιοι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. (Να γίνει το διάγραμμα) δ) Μετατρέψτε τις προτιμήσεις ενός ψηφοφόρου έτσι ώστε να ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου (Median Voer Theorem). Σε αυτήν την περίπτωση ικανοποιούν οι κοινωνικές προτιμήσεις το αξίωμα της μεταβατικότητας; Άσκηση 2 Υποθέτω 5 ψηφοφόρους που οι προτιμήσεις τους για τις επιλογές, B, C, Dαπεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα. Έστω ότι οι επιλογές αφορούν το ύψος των δημοσίων δαπανών για την Παιδεία και έχω 0, B 8, C 6, D 4. Voer B C D Voer 2 D C B Voer 3 C D B Voer 4 D C B Voer 5 B D C 34

36 α) Ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου και γιατί; β) Πόσοι και ποιοι ψηφοφόροι πρέπει να αποκλειστούν για να ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφορου. Σε αυτήν την περίπτωση ποιος είναι ο διάμεσος ψηφοφόρος; γ) Αν δεν αποκλειστεί κανένας ψηφοφόρος ποια επιλογή θα εκλεγεί με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας (majoriy voing); Άσκηση 3 Έστω το δημόσιο αγαθό G υποθέτουμε τρεις καταναλωτές του δημοσίου αγαθού με τις παρακάτω χρησιμότητες: G G U, U 2 G, U G α) Δείξτε ότι οι τρεις καταναλωτές έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. β) Έστω ότι G [0,2], ποιος είναι ο διάμεσος ψηφοφόρος; Ποια ποσότητα θα εκλεγεί να παραχθεί αν η εκλογή γίνει σύμφωνα με τον κανόνα της πλειοψηφίας; γ) H επιλογή της πλειοψηφίας μεγιστοποιεί την παρακάτω συνάρτηση κοινωνικής ευημερίας Άσκηση W U U U ; Εξηγείστε γιατί στην περίπτωση που δεν έχουμε μονοκόρυφες προτιμήσεις δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου. 35

37 Ορισμοί Ο κανόνας της πλειοψηφίας (Majoriy Rule): Δεδομένου ότι αποφασίζω ανάμεσα σε δυο επιλογές (binary decision rule), η επιλογή που εφαρμόζεται είναι αυτή που συγκεντρώνει τουλάχιστον τις μισές και μια ψήφους. ΠΡΟΣΟΧΗ! Ο κανόνας της σχετικής πλειοψηφίας (Pluraliy rule) συμπίπτει με τον κανόνα της πλειοψηφίας στην περίπτωση που αποφασίζω ανάμεσα σε δυο επιλογές. Όταν έχω άνω των δυο επιλογών με τον κανόνα της σχετικής πλειοψηφίας η επιλογή που εφαρμόζεται δεν συγκεντρώνει κατά ανάγκην τις μισές και μια ψήφους. Η μέθοδος Condorce (Condorce Mehod): Είναι μια μέθοδος ψηφοφορίας προκειμένου να εκλεγεί μια επιλογή με βάση τον κανόνα της πλειοψηφίας (Majoriy rule), όταν υπάρχουν άνω των δυο επιλογών. Έστω ότι έχω τρεις επιλογές,2 και 3,σύμφωνα με την μέθοδο Condorce διενεργώ διαδοχικές ψηφοφορίες ανά δυο επιλογές και ο νικητής όλων των δυαδικών ψηφοφοριών είναι ο Condorce Winner. Για παράδειγμα, αρχικά διενεργώ ψηφοφορία ανάμεσα στις επιλογές και 2 και ψηφίζεται η επιλογή 2, μετά ανάμεσα στην 2 και στην 3 και ψηφίζεται πάλι η 2,τοτε ο Condorce Winner είναι η επιλογή 2. Για να υπάρχει Condorce νικητής οι συλλογικές προτιμήσεις πρέπει να ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας (Transiiviy). Θεώρημα Διάμεσου Ψηφοφόρου(Median Voer Theorem): Εάν ο αριθμός των ψηφοφόρων είναι περιττός και οι επιλογές των ψηφοφόρων διατάσσονται σε μια μονοδιάστατη κλίμακα με τέτοιο τρόπο ώστε να ικανοποιούν το αξιώμα της μεταβατικότητας και όλοι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις τότε η πρώτη προτίμηση του Διάμεσου Ψηφοφόρου είναι Condorce Winner. Απάντηση α) Ξέρω ότι οι ιδιωτικές προτιμήσεις ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας. Άρα για τον V θα ισχύει ότι: Αφού Bκαι B C Από το αξίωμα της μεταβατικότητας (Transiiviy xiom) συνεπάγεται ότι: C Αντίστοιχα για τον V2 έχω: B Και για τον V3 έχω: 36

38 C B Οπότε ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τις ιδιωτικές προτιμήσεις των ψηφοφόρων: V B C V2 B C V3 C B β) Μέθοδος Condorce: Εφαρμόζω ανά ζεύγη τoν κανόνα της πλειοψηφίας versus B: ο V και ο V3 ψηφίζουν,ενώ ο V2 ψηφίζει B,άρα σύμφωνα με τον κανόνα της πλειοψηφίας επιλέγεται το,άρα η κοινωνική προτίμηση είναι B.Ακoλουθώντας την ίδια διαδικασία έχω: versus B versus C C versus B 2 > <2 <2 B C B C Η τελευταία γραμμή δείχνει τις κοινωνικές προτιμήσεις ανά ζεύγη. Παρατηρώ ότι C και Bάρα για να ισχύει το αξίωμα της μεταβατικότητας για τις κοινωνικές προτιμήσεις πρέπει C B. Όμως με βάση των κανόνα της πλειοψηφίας στο τελευταίο ζεύγος (στήλη 3) έχω B C,άρα δεν ισχύει το αξίωμα της μεταβατικότητας για τις κοινωνικές προτιμήσεις. 37

39 γ) Το παρακάτω διάγραμμα απεικονίζει τις προτιμήσεις των τριών ψηφοφόρων Διάγραμμα Μονοκόρυφες και Πολυκόρυφες Προτιμήσεις Είναι φανερό από το διάγραμμα ότι ο V (Μπλε συνεχής γραμμή) και ο V2 (Πράσινη διακεκομμένη γραμμή) έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις, ενώ V3 (Κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) έχει πολυκόρυφες προτιμήσεις. δ) Θα μετατρέψουμε τις προτιμήσεις του V3 έτσι ώστε να είναι μονοκόρυφες. Άρα έχω ότι οι καινούργιες προτιμήσεις του V3 θα είναι: C B 38

40 Και το καινούργιο διάγραμμα θα είναι το παρακάτω: Διάγραμμα 2 Διάγραμμα Μονοκόρυφων Προτιμήσεων Το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου ισχύει πλέον διότι όλοι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διατάξουμε τους ψηφοφόρους μονοδιάστατα σε μια γραμμή, κατ' αντιστοιχία με τις προτιμήσεις. Ψηφοφόροι (V,V2,V3) V2 V MEDIN V3 Α Β C 39

41 Απάντηση 2 Οι ψηφοφόροι έχουν να επιλέξουν ανάμεσα στις παρακάτω επιλογές για το ύψος των δημοσίων δαπανών στην Παιδεία: 0 B 8 C 6 D 4 α) Το θεώρημα του Μέσου Ψηφοφόρου προϋποθέτει ότι οι ψηφοφόροι έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Σχηματίζουμε το διάγραμμα των προτιμήσεων όλων των ψηφοφόρων. Διάγραμμα 3 Παρατηρούμε ότι ο V4 και ο V5 έχουν πολυκόρυφες προτιμήσεις. Άρα δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου. 40

42 β) Αν αποκλειστούν ο V4 και ο V5 που έχουν πολυκόρυφες προτιμήσεις τότε όλοι οι υπόλοιποι ψηφοφόροι που θα συμμετάσχουν στην ψηφοφορία θα έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις και το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου ισχύει. Διάγραμμα 4 (Condorce Winner) Παρατηρούμε ότι ο Condorce Winner θα είναι η επιλογή C,που αντιστοιχεί στην καλύτερη επιλογή του μέσου ψηφοφόρου που είναι ο V3. (Χρησιμοποιήστε την μέθοδο Condorce για να δείξετε ότι επαληθεύεται η ισχύς του θεωρήματος). γ) Αν δεν αφαιρέσω κανέναν ψηφοφόρο η διάταξη των ψηφοφόρων με βάση την πρώτη προτίμηση τους είναι η εξής: V4 V V5 V3 V2 B C D Άρα ο διάμεσος ψηφοφόρος φαινομενικά είναι ο V5 και κατά συνέπεια σύμφωνα με το Θεώρημα του Διάμεσου ψηφοφόρου η επιλογή που θα εκλεγεί θα είναι η B. Όμως όπως διαπιστώσαμε παραπάνω δεν έχουν όλοι οι ψηφοφόροι μονοκόρυφες προτιμήσεις, άρα το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου δεν ισχύει. 4

43 Χρησιμοποιώντας την μέθοδο Condorce (γενικευμένος κανόνας πλειοψηφίας) έχω ότι: versus B B versus C C versus D D versus D versus B C versus B C D D D C Άρα η επιλογή που θα εκλεγεί είναι η D που αποτελεί πρώτη επιλογή του V2 που δεν είναι ο διάμεσος ψηφοφόρος. Επίσης να δειχθεί ότι οι κοινωνικές προτιμήσεις ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας: D C B. Απάντηση 3 α) Για να δείξω ότι οι τρεις καταναλωτές έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις παραγωγίζω ως προς G τις συναρτήσεις χρησιμότητας: Για τον έχω: U G 0 4 Άρα ο έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και μέγιστο για Umax U( G max). Για τον 2 έχω ότι: U G 2 G Άρα ο 2 έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και μέγιστο για Umax U( G min). Για τον 3 έχω: U G 3 G Άρα ο 3 έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις και ολικό μέγιστο,σύμφωνα με το κριτήριο της 2 ης 3 παραγώγου, για Umax U( G ), αφού 2 3 U 0. 2 G 42

44 β) Υποθέτω ότι δημόσιο αγαθό προσφέρεται σε αδιαίρετες ποσότητες. Άρα G 0,,2.Με βάση τις παραπάνω συναρτήσεις χρησιμότητας μπορώ να εξάγω τις προτιμήσεις των τριών καταναλωτών. Άρα: Για τον έχω: Συνεπώς Για τον 2 έχω: Συνεπώς Για τον 3 έχω: Συνεπώς U G U G U G ( 2) ( ) ( 0) G 2 G G U G U G U G ( 0) ( ) ( 2) G 0 G G U G U G U G ( ) ( 2) ( 0) G G 2 G 0. Άρα έχω τον παρακάτω πίνακα που απεικονίζει τις προτιμήσεις των καταναλωτών για την ποσότητα παραγωγής του αγαθού G : Καταναλωτής 2 G 0 Διάμεσος Ψηφοφόρος G Καταναλωτής 3 Καταναλωτής G 2 Σύμφωνα με το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου και εφόσον ικανοποιούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:.περιττος αριθμός Ψηφοφόρων. 2.Μονοδιάστατη διάταξη των επιλογών των ψηφοφόρων. 43

45 3.Ολοι οι ψηφοφόροι να έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις. Τότε αν η εκλογή γίνει με τη μέθοδο Condorce, ο Condorce Winner θα είναι η πρώτη προτίμηση του διάμεσου ψηφοφόρου. Στην συγκεκριμένη περίπτωση θα παραχθούν G του δημοσίου αγαθού. γ) Δίνεται η παρακάτω συνάρτηση κοινωνικής χρησιμότητας: Αυτή μεγιστοποιείται στο G : G G W U U U 2 G G W G GG G G 0 () 4 4 Άρα για G G μεγιστοποιείται η κοινωνική ευημερία. Η επιλογή της πλειοψηφίας σύμφωνα με το θεώρημα του διάμεσου ψηφοφόρου θα είναι G. Αν αντικαταστήσω στη σχέση () όπου G έχω: W G G Άρα η επιλογή της πλειοψηφίας ( G ) δεν μεγιστοποιεί την κοινωνική ευημερία και κατά συνέπεια δεν οδηγεί σε Pareo Αποτελεσματικότητα. Γενικά η εκλογή με τη γενικευμένη μέθοδο της πλειοψηφίας δεν οδηγεί σε Pareo Αποτελεσματικότητα. Άσκηση 4 Το θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου υποθέτει ότι:.οι επιλογές των ψηφοφόρων μπορούν να διαταχθούν μονοδιάστατα από αριστερά προς τα δεξιά. και 2.Οτι οι ψηφοφόροι μπορούν να διαταχθούν μονοδιάστατα από αριστερά προς τα δεξιά (δηλαδή να έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις). Σχηματίζουμε το παρακάτω διάγραμμα και με βάση αυτό δικαιολογούμε γιατί όταν οι ψηφοφόροι δεν έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου. 44

46 Στο διάγραμμα οι ψηφοφόροι () και (2) έχουν μονοκόρυφες προτιμήσεις, ενώ ο (3) έχει μη-μονοκόρυφες προτιμήσεις. Ο ψηφοφόρος () (μπλε γραμμή) στην κλίμακα 0 έως 0 προτιμάει τις επιλογές κοντά στο 0 και καθώς μια επιλογή απομακρύνεται από το 0 μειώνεται μονοτονικά η χρησιμότητα που απολαμβάνει από αυτήν. Ομοίως ο ψηφοφόρος (2) (κόκκινη συνεχής γραμμή) προτιμάει τις επιλογές κοντά στο 5 και όσο απομακρυνόμαστε από το σημείο 5 μειώνεται η χρησιμότητα που απολαμβάνει από κάθε επιλογή. Αντίθετα ο ψηφοφόρος (3) δεν έχει μονοκόρυφες προτιμήσεις, η κορυφαία του προτίμηση είναι η 8 αλλά καθώς απομακρυνόμαστε προς τα αριστερά δεν μειώνεται μονοτονικά η χρησιμότητα που απολαμβάνει από κάθε επιλογή. Για παράδειγμα ο ψηφοφόρος (3) προτιμάει περισσότερο την επιλογή 2 από την επιλογή 4 ( choice 2 choice 4) παρότι η επιλογή 4 είναι πιο κοντά στην κορυφαία του προτίμηση. Γιατί δεν ισχύει το Θεώρημα του Διάμεσου Ψηφοφόρου? Με βάση τις κορυφαίες προτιμήσεις ο Διάμεσος ψηφοφόρος είναι ο (2). Όμως λόγω των μη-μονοκόρυφων προτιμήσεων του (3) δεν μπορούμε να διατάξουμε τους ψηφοφόρους από αριστερά προς τα δεξιά. Έτσι αν εφαρμόσουμε τη μέθοδο Condorce, ο Condorce Winner δεν θα είναι απαραίτητα η κορυφαία προτίμηση του Διάμεσου Ψηφοφόρου. Έστω ότι οι ψηφοφόροι (), (2), (3) έχουν να επιλέξουν ανάμεσα στις επιλογές, 4, 7 Choice Choice Choice που αντιστοιχούν στα σημεία,4 και 7 στον άξονα των x. 45

47 Παρατηρώ ότι αν διεξάγω ψηφοφορία με τη μέθοδο Condorce ανάμεσα σε αυτές τις τρεις επιλογές: Choice vs Choice 4 Choice vs Choice 7 Choice 4 vs Choice 7 2(V & V3 ) > (V2) (V) < 2 (V3&V2) 2 (V & V2) > (V3) Choice Choice 4 Choice Choice 7 Choice 4 Choice 7 Καταλήγω στο παράδοξο του Condorce καθώς οι συλλογικές προτιμήσεις δεν ικανοποιούν το αξίωμα της μεταβατικότητας και άρα δεν υπάρχει Condorce Winner. 46

48 General Equilibrium (Saic) Mehod & Seps for Soluion i) Se he price of is produc and consruc he budge consrains of households, you can normalize one price (i.e P Y = ) in his economy Y is he numeraire. ii)formulae he problem of each agen (households and rms). Especially, wha each agen chooses subjec o which consrain. iii)solve he problems so as o nd demand and supply for each produc. iv)de ne he equilibrium and he clearing condiions of each marke (goods,labour,capial ec). Then you mus come up wih a sysem of n equaions in n endogenous variables. v)solve for he General Equilibrium poin, his means you mus nd he price vecor and hen he equilibrium allocaions. Households There are wo households in he economy and B. In his secion we brie y describe and solve boh households problem. We normalize he price of good Y, hus P Y = :. Household The household solves he following problem: subjec o is budge consrain: max 0X 3 Y 3 fx ;Y g P x X +Y = RK +W L () given P X ; R; W and P Y = We form he Lagrangean in order o solve he above problem: L= 0X 3 Y 3 fp x X +Y RK W L g 2

49 The rs order condiions are: : : 0 3 X 3 Y 3 = P X (2) 0 3 X 3 Y 3 = (3) The soluions are he following Marshallian demands for produc X; Y of household : X = RK + W L 2P X (4) Y = RK + W L 2 (5).2 Household B Household B solves he following problem: subjec o is budge consrain: max 20X 4 B Y 4 B fx B ;Y B g P x X B +Y B = RK B +W L B (6) given P X ; R; W and P Y = Solving in a similar way we have he following Marshallian demands for household B: X B = RK B + W L B 2P X Y B = RK B + W L B 2 (7) 3

50 2 Firms 2. Firm X Firm X in order o choose is facor inpus solves a minimizaion problem: subjec o is echnology: min frk X + W L X g (8) fk X ;L X g X = 0K 2 X L 2 X given R and W The condiional facor demands of rm X are: K X = X 0 R 2 W (9) L X = X 0 R 2 W (0) Plug he condiional facor demands ino he objecive funcion (8) we ake he minimized cos funcion: C x (R; W; X) = X 5 W 2 R 2 From he sandard producion heory we know ha under perfec compeiion for rm X which maximizes is pro s he following condiion holds: 2.2 Firm Y P X (R; W; X) 5 W 2 R 2 () Similarly rm Y solves he following minimizaion problem: 4

51 subjec o is echnology: min frk Y + W L Y g (2) fk Y ;L Y g The condiional facor demands of rm Y are: Y = 20K 2 Y L 2 Y (3) K Y = Y 20 R 2 W (4) L Y = Y 20 R 2 W (5) Plug he condiional facor demands ino he objecive funcion (8) we ake he minimized cos funcion: C y (R; W; Y ) = Y 20 W 2 R 2 From he sandard producion heory we know ha under perfec compeiion for rm Y which maximizes is pro s he following condiion holds: = P Y (R; W; Y ) 20 W 2 R 2 (6) 3 De niion of Saic General Equilibrium under perfec compeiion saic general equilibrium is a vecor of prices Q = vecor of allocaion for households H = h h h P X P Y R W i 0 a X D Y D K S L S i 0 and a vecor of i 0 allocaion for rms F = X S Y S K D L D such ha: a) Households choose H in order o maximize heir uiliies subjec o heir budge consrain given heir endowmens and he vecor of prices Q: 5

52 b) Firms choose F in order o maximize heir pro s subjec o heir echnology given he vecor of prices Q: c)the vecor of prices Q is such ha all markes clear: Goods marke : X D = X +X B = X S (7) Y D = Y +Y B = Y S (8) Capial marke : K D = K X + K Y = K + K B = K S (9) Labour marke : L D = L X + L Y = L + L B = L S (20) So we have a vecor of 4 endogenous variables h Z = X X X B Y Y Y B K X L X K Y L Y P X P Y R W i 0 which saisfy he following 4 equaions: Demand for X from HH : Demand for Y from HH : X = 0R + 20W 2P X (GE) Demand for X from HH B : Y = 0R + 20W 2 (2GE) X B = 20R + 0W 2P X (3GE) 6

53 Demand for Y from HH B : Y B = 20R + 0W 2 (4GE) Demand for Capial from Firm X : K X = X 0 R 2 W (5GE) Demand for Labour from Firm X : L X = X 0 R 2 W (6GE) Supply of X : P X = W 2 R 2 5 (7GE) Demand for Capial from Firm Y : K Y = Y 20 R 2 W (8GE) Demand for Labour from Firm Y : L Y = Y 20 R 2 W (9GE) Supply of Y : P Y = W 2 R 2 0 (0GE) Equilibrium for X : X = X + X B (GE) Equilibrium for Y : Y = Y + Y B (2GE) Equilibrium for Capial : K = K X + K Y (3GE) 7

54 Equilibrium for Labour : L = L X + L Y (4GE) Where we have used ha endowmens are L = 20; L B = 0; K = 0 and K B = 20: 4 Soluion for he Perfec Compeiive General Equilibrium In order o solve for he perfec compeiive general equilibrium we have o nd he vecor of prices Q:Noice ha we have normalize P Y = : So from (0GE) we have ha: W 2 R 2 = 0 We plug his ino (7GE) and we ge a soluion for P X : P X = 2 (2) By using he clearing markes condiions for goods X and Y,respecively (GE) and (2GE) we have ha: 30R + 30W X = 4 (22) 30R + 30W Y = 2 Dividing (22) wih (23) we have he following fracion for he aggregae goods X and Y : (23) X Y = 2 We use he clearing marke condiion for labour (4GE) and he demands for labour from boh rms (6GE) and (9GE) so we have: (24) 8

55 L = L X +L Y = X 0 R 2 Y R 2 + W 20 W Subsiuing Y from (24) and hen X from (22),L = 30 we have: R 2, W L = X 5 20 = R (R + W ) W 2 (25) Similarly from he clearing marke condiion for capial (3GE): K = K X + K Y = X 5 R W R 2 20 = (R + W ) W 2, (26) Equaing (25) and (26) we have he following resul for he prices of facor inpus: So from (2) we ge ha: R = W (27) R = W = 0 5 Compeiive Equilibrium Thus we found a soluion for he vecor of prices h i 0.Then Q = P X = 2 P Y = R = 0 W = 0 plug his soluion o he above equilibrium relaions we ge a soluion for he equilibrium allocaions of rms and households: 9

56 H = H B = F X = F Y = h h h h X = 75 Y = 50 K = 0 L = 20 X B = 75 Y B = 50 K B = 20 L B = 0 X = 50 K X = 5 L X = 5 Y = 300 K Y = 5 L Y = 5 i 0 i 0 i 0 i 0 Some Remarks: Boh households consume he same quaniy of each produc despie he fac ha heir uiliies are no exacly he same. Noice ha from he funcional form of heir uiliies we can infer ha hey aribue he same relaive weigh o boh producs (power coe ciens in Cobb-Douglas Uiliy forms):noice also ha despie he fac ha households have differen iniial endowmens because he price of facor inpus are equal hey have he same income. Finally, he produced quaniy of Y is bigger han X,his fac is explained because rm Y is more producive han rm X: We can observe ha from heir producions funcion (he general form is O = K 2 L 2 ).Where is a measure of produciviy,in his economy we have ha Y = 20 > X = 0:Inuiively, his produciviy superioriy of rm Y explains he fac ha P Y = < P X = 2.The relaive price of produc X is higher because is more scarce in he economy and more expensive o produce i. 6 Pareo Problem In his secion we solve he Pareo problem of a social planner. Noice ha he Pareo problem involves no prices: max U = 0X 3 Y 3 fx ;Y ;K X ;L X g subjec o he following consrains: 20X 4 B Y 4 B U B (28) 0

57 X +X B = X (29) Y +Y B = Y (30) X 0K 2 X L 2 X (3) Y 20K 2 Y L 2 Y (32) K = K X +K Y (33) L = L X +L Y (34) Inuiively, he social planner chooses an allocaion fx ; Y ; K X ; L X g in order o maximize he uiliy of agen given ha he uiliy of agen B does no fall below an arbirary hreshold U B.This maximizaion is resriced by he resource consrains of he economy (29,30,33,34) and he producion echnology of rms (3,32). The soluion is: L= 0X 3 Y (X X ) 4 (Y Y ) 4 + 0K 2X L 2X + 20 (K K X ) 2 (L LY ) 2 : : X : 0 3 X 3 Y 3 = 20 4 (X B) 4 (Y B ) 4 (35) 0 3 X 3 Y 3 = 20 4 (X B) 4 (YB ) K 2 X L 2 X = 20 2 (K Y ) 2 (L Y ) 2 (36) (37)

58 X : 0 2 K 2 X L 2 X = 20 2 (K Y ) 2 (LY ) 2 (38) Divide (35)/(36) and (37)/(38) we ge he Pareo condiions: Y X = Y B X B (39) L X K X = L Y K Y (40) Noice ha here are in nie Pareo Poins, he Pareo Condiions (39) and (40) de ne a relaion among he allocaions of households B and as well as for rms Y and X in order o Pareo E ciency always sais ed. 7 Is he compeiive equilibrium allocaion Pareo E cien? From he Firs Fundamenal Theorem of Welfare Economics we have ha each compeiive equilibrium is Pareo e cien if decision-makers (households and rms) are only resriced by heir limied iniial endowmens and he producion echnology. In his economy his is he case, so he FFTWE holds and he compeiive equilibrium allocaion is Pareo E cien. We can show ha he compeiive equilibrium allocaion is Pareo E - cien by showing ha he chosen quaniies saisfy he Pareo Condiions (39) & (40).For example for he goods allocaion from he compeiive equilibrium we have ha: Y X = 2 = Y B X B So he compeiive equilibrium allocaion saisfy he Pareo Condiions, hus i is Pareo E cien. The FFTWE does no hold in several cases i.e disorive axaion,exernaliies,monopoly power, assymeric informaion ec. 2