Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike. Monika Jović. Skalarni produkt.

Transcript

1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Osijek, 2012.

2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Monika Jović Skalarni produkt Završni rad Voditelj: doc. dr. sc. Darija Marković Osijek, 2012.

3 Sažetak. U ovom radu definiran je skalarni produkt, te su pružene definicije osnovnih pojmova potrebni za shvaćanje skalarnog produkta. Takoder, definiran je pojam ortogonalnost. Konstruiran je skalarni produkt na prostorima L 2 i l 2, te je objašnjena ortogonalnost funkcija. Ključne riječi: vektorski prostor, norma, skalarni produkt, ortogonalnost, familije ortogonalnih funkcija Abstract. (Scalar product) This paper defines the scalar product, and provides definitions of the basic concepts necessary to understand the scalar product. The scalar product on spaces L 2 and l 2 is constructed and orthogonality of functions is explained. Keywords: vector space, norm, scalar product, orthogonality, families of ortogonal functions

4 Sadržaj 1 Uvod Pojam vektorskog prostora Baza vektorskog prostora Norma Skalarni produkt 5 3 Ortogonalnost Ortogonalna projekcija Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije Prostori L 2 i l Prostor L Prostor l Familije ortogonalnih funkcija Ortogonalni polinomi Trigonometrijske funkcije

5 1 1 Uvod 1.1 Pojam vektorskog prostora Definicija 1.1. Neka je G neprazan skup s binarnom operacijom +, tj. preslikavanje G G G, (a, b) a + b. Uredeni par (G, +) zovemo grupa ako vrijedi sljedeće: (1) asocijativnost a, b, c G (a + b) + c = a + (b + c) (2) postojanje neutralnog elementa e G t.d. a + e = e + a = a a G (3) postojanje inverznog elementa a G b G t.d. a + b = e = b + a Inverzni element od a obično se označava s a Grupa (G, +) naziva se Abelova grupa ako vrijedi i svojstvo (4) komutativnost a + b = b + a a, b G Primjer 1.1. (Z, +),(R, +), (R = R\{0}, ) jesu grupe, i to Abelove, dok (R, ) nije grupa Definicija 1.2. Polje je skup K s barem dva elementa na kome su zadane dvije komutativne i asocijativne binarne operacije, zbrajanje +: K K K, (α, β) α + β i množenje : K K K, (α, β) αβ tako da vrijedi [4]: 1. (K, +) je Abelova grupa s neutralnim elementom 0 2. (K\{0}, ) je Abelova grupa s neutralnim elementom 1 3. množenje je distributivno u odnosu na zbrajanje α, β, γ K α(β + γ) = αβ + αγ Primjer 1.2. (Q, +, ) je polje racionalnih brojeva, (R, +, ) je polje realnih brojeva, (C, +, ) je polje kompleksnih brojeva, dok (Z, +, ) nije polje.

6 2 Definicija 1.3. Neka je X neprazan skup i K polje, te neka su zadane operacija +: X X X (a, b X, (a, b) a+b) i operacija : K X X (λ K, a X, (λ, a) λa). Uredena trojka (X, +, ) naziva se vektorski prostor nad poljem K ako vrijedi [1]: (a) (X, +) je Abelova grupa (b) distributivnost obzirom na zbrajanje u X λ K a, b X λ(a + b) = λa + λb (c) distributivnost obzirom na zbrajanje u K λ, µ K a X (λ + µ) a = λa + µa (d) kvaziasocijativnost λ, µ K a X (λ µ) a = λ(µa) (e) ako je 1 K neutralni element za množenje u K, tada vrijedi 1 a = a za sve a X Elemente iz vektorskog prostora X zovemo vektorima i označavamo ih malim latinskim slovima. Elemente iz K nazivamo skalarima, te elemente polja označavamo malim grčkim slovima. K može biti bilo koje polje, no najčešće biti polje realnih (K = R) ili kompleksnih (K = C) brojeva. Ako je X vektorski prostor nad poljem realnih, odnosno kompleksnih, brojeva, X se naziva realni, odnosno kompleksni, vektorski prostor. Potprostor vektorskog prostora (X, +, ) je svaki podskup od X koji je i sam vektorski prostor obzirom na iste operacije. Neka su v 1,v 2,...,v n vektori iz (X, +, ). Linearna kombinacija vektora v 1,v 2,...,v n iz (X, +, ) je svaki vektor v oblika v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n = α j v j j=1 gdje su α 1, α 2,..., α n skalari iz K. Najmanji vektorski potprostor koji sadrži sve vektore v 1,v 2,...,v n je potprostor [S] kojemu su elementi linearne kombinacije skupa {v 1,v 2,...,v n }. Osim oznake [S] koristi se još i span{v 1, v 2,..., v n }. [S] se zove potprostor generiran skupom S ili potprostor razapet skupom S. Ako je W = [S] kažemo da skup S razapinje potprostor W.

7 3 1.2 Baza vektorskog prostora Kažemo da je skup vektora v 1,v 2,...,v n X linearno nezavisan ako njihova proizvoljna linearna kombinacija iščezava jedino na trivijalan način [2]: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 = λ 1 = = λ n = 0 U suprotnom kažemo da je skup vektora linearno zavisan, tj. postoji barem jedna njihova linearna kombinacija koja iščezava na netrivijalan način [2]: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 pri čemu λ i 0 Definicija 1.4. Neka je X vektorski prostor. Uredeni skup vektora B iz X zove se baza vektorskog prostora X ako zadovoljava [4]: (i) B je linearno nezavisan skup (ii) [B] = X Teorem 1.1. Neka je X vektorski prostor nad poljem K, te neka je B = {b 1, b 2,..., b n } baza za X. Tada za svaki x X postoje jedinstveno odredeni skalari α 1, α 2,..., α n K takvi da vrijedi x = α j b j j=1 Dokaz. Za neki x X vrijedi x = n j=1 α jb j. Pretpostavimo da se vektor x može zapisati na sljedeći način x = n j=1 β jb j Oduzimanjem dobijemo n j=1 (α j β j )b j = 0. Budući da je B linearno nezavisan skup, slijedi α j β j = 0, i = 1, 2,..., n. Primjer 1.3. (a) U prostoru R n promatramo vektore e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1). i-ta komponenta vektora e i iznosi 1 za i = 1, 2,..., n, dok su ostale komponente jednake 0. Skup {e 1, e 2,..., e n } je baza prostora R n (b) Neka je P n, n N skup svih polinama s koeficijentima iz polja K stupnja manjeg ili jednakog n. S definiranim operacijama zbrajanja polinoma a i t i + b i t i = (a i + b i )t i i množenja polinoma skalarima α i=0 a i t i = skup P n postaje vektorski prostor. {1, t, t 2,..., t n } je baza prostora polinoma P n Baze u navedenim primjerima zovu se standardne ili kanonske baze. i=0 i=0 i=0 αa i t i, te s nulpolinom, i=0

8 4 1.3 Norma Definicija 1.5. U vektorskom prostoru se definira duljina vektora ili norma kao funkcija : X K za koju vrijede sljedeća svojstva: (a) x 0, za svaki x X (b) x = 0 x = 0 (c) αx = α x, za sve α K, x X (d) x + y x + y, za sve x, y X Vektorski prostor na kojem je definirana norma zove se normirani vektorski prostor. Funkcija : X K koja zadovoljava svojstva (a)-(c) zove se polunorma ili seminorma. Primjeri vektorskih normi [3] p-norma za 1 p < : x p = Euklidova norma ili 2-norma: x 2 = ( n j=1 x j p ) 1/p n j=1 x j 2 Manhattan norma ili 1-norma: x 1 = n j=1 x j Čebiševljeva norma ili -norma: x = max j=1,...,n x j Definicija 1.6. Za vektor x X kažemo da je normiran ako je x = 1. Dakle, normirani vektori su vektori jedinične duljine, te se stoga nazivaju još i jedinični 1 vektori. Primjetimo da za svaki x 0, vektor x je normiran. x

9 5 2 Skalarni produkt Potrebu za uvodenjem pojma skalarni produkt pronalazimo u fizici. Fizikalna definicija rada sile F na putu s je skalarni produkt vektora F i s. Ukoliko su vektori istog smjera, odnosno ako rad obavlja sila F koja djeluje u smjeru puta s, onda je rad zadan s W = F s = F s Medutim, ako sila F ne djeluje u smjeru puta s, onda rad obavlja samo komponenta F s sile u smjeru puta s, točnije: F = F s + F n W = F s s = (F cos ϕ)s = F s cos ϕ Slika 1: Rad sile F na putu s. Primjetimo da je sila F s ortogonalna projekcija sile F u smjeru vektora puta s. Općenito ćemo projekciju vektora a na pravac odreden vektorom b označiti s a b. a b = a cos ϕ, 0 ϕ π Broj a cos ϕ može biti pozitivan (ϕ < π 2 ) ili negativan (ϕ > π 2 ). Euklidski skalarni produkt je funkcija koja vektorima a i b pridružuje skalar na sljedeći način { 0, ako je a = 0 ili b = 0 a, b = a b cos ϕ, ako je a, b 0, 0 ϕ π gdje je ϕ kut izmedu vektora a i b. Koristeći pojam projekcije vektora, skalarni produkt može se zapisati a, b = a b cos ϕ = { a ( b cos ϕ) = a ba ili b ( a cos ϕ) = b a b

10 6 Slika 2: Projekcija vekotra a u smjeru vektora b. Definicija 2.1. Skalarni produkt ili umnožak je preslikavanje, : X X K s svojstvima [3]: (i) x, x 0, za sve x X (ii) x, x = 0 ako i samo ako x = 0 (iii) x, y = y, x, za sve x, y X (iv) x, αy = α x, y, za sve x, y X i svaki α K (v) x, y + z = x, y + x, z, za sve x, y, z X Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt naziva se unitarni prostor. Oznake skalarnog produkta dva vektora su: x y ili x y ili x, y Standardni skalarni umnožak na C n dan je s x, y = x j y j = x y j=1 x, y C n Uvjeti (iv) i (v) ukazuju da je skalarni umnožak, linearna funkcija u drugoj komponenti. Ovako definiran skalarni produkt anti-linearan je obzirom na prvu komponentu. x + y, z = z, x + y = z, x + z, y = x, z + y, z za sve x, y, z C n αx, y = α x, y za sve α C, x, y C n

11 7 Analogno se može definirati linearnost obzirom na prvu komponentu. Tada je skalarni produkt anti-linearan po drugoj komponenti i na C n dan je s x, y = x j y j j=1 x, y C n Ukoliko je zadan realan prostor, kompleksno konjugiranje nema učinka, stoga skalarni produkt bilo koja dva vektora je realan. Svojstvo (iii) se tada naziva simetričnost i glasi x, y = y, x Ako vektore x, y X prikažemo kao vektor-stupce n 1 matricama, skalarni produkt se može pisati kao y 1 x, y = [ ] y 2 x 1 x 2... x n. = [ x ] T [ ] y = x T y y n gdje je [ x ] T vektor-redak, točnije x T je transponirana matrica matrice [ x ] [2]. Primjer 2.1. Neka je P n vektorski prostor polinoma stupnja n, s kompleksnim koefcijentima. Ako je p = n j=0 a jx j i q = n j=0 b jx j, dokažimo da je p, q = a j b j j=0 skalarni porodukt na prostoru P n Rješenje: Kako bismo dokazali navedenu tvrdnju, potrebno je provjeriti aksiome iz definicije skalarnog produkta. Vrijedi p, p = a j a j = j=0 a j 2 0 j=0 Budući da je apsolutna vrijednost uvijek nenegativna, slijedi da je p, p = 0 ako i samo ako je a 1 = a 2 =... = a n = 0. Dakle, p = 0 iz čega slijedi pozitivnost. Zbog svojstva operacije konjugiranja imamo p, q = a j b j = j=0 b j a j = q, p j=0

12 8 iz čega vrijedi konjugirana simetričnost. Neka je cp = n j=0 ca jx j. Sljedeće svojstvo koje treba dokazati je svojstvo homogenosti. cp, q = ca j b j = c a j b j = c p, q j=0 j=0 Ako je r = n j=0 c jx j, imamo p, q + r = a j (b j + c j ) = j=0 a j b j + a j c j = p, q + p, r j=0 j=0 time smo dokazali svojstvo aditivnosti. Budući da svojstva vrijede, tvrdnja je dokazana. Skalarni produkt iz predhodnog primjera može se identificirati sa standarnim skalarnim produktom u C n+1 gdje točku (a 0, a 1,..., a n ) identificiramo s polinomom p = n j=0 a jx j. Teorem 2.1 (Cauchy-Schwartzova nejednakost). Neka je X unitaran prostor. Tada je x, y 2 x, x y, y (1) za sve x, y X. Jednakost vrijedi ako i samo ako su vektori x i y linearno zavisni [3]. Dokaz. Pretpostavimo da x, y 0 tj. da su netrivijalni vektori, te λ bilo koji skalar. Vrijedi 0 x λy, x λy = x, x λ x, y λ y, x + λλ y, y Uvrstimo λ = y,x, što možemo napraviti jer y 0 y, y 0. y,y 0 x, x y, x y, y x, y x, y y, y y, x + y, x y, y Zadnja dva člana se poništavaju. Pomnožimo nejednakost s y, y : 0 x, x y, y y, x x, y x, y 2 = x, y y, x x, x y, y Ako je y = αx, za neki skalar α, očito se dobije jednakost. x, y y, y y, y Lema 2.2. Neka je, : X X K skalarni produkt. Tada je preslikavanje : X K definirano sa x = x, x vektorska norma.

13 9 Posljedica ove leme je da se izraz (1) može zapisati na sljedeći način x, y x y Dokaz. Trebamo provjeriti zadovoljava li preslikavanje : X K uvjete (a)-(d) def. (a) Vrijedi x, x 0 za sve x X. Dakle x, x je dobro definirano i nenegativno. (b) x = 0 x, x = 0 x = 0 (c) Neka su α K i x X. Imamo αx = αx, αx = αα x, x = α x (d) U dokazu ovog svojstva ćemo koristiti Cauchy-Schwarz nejednakost x, y x y x, y X Slijedi x + y 2 = x + y, x + y = x, x + x, y + y, x + y, y x x, y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2 x, y X Dokazali smo da je definirano preslikavanje vektorska norma. Zadatak 2.1. Za vektore a = ( 1, 1, 0) T, b = (1, 2, 2) T i c = (4, 3, 1) T odredite a) a, b, a, b + c b) kut izmedu vektora a i b gdje je, : V V R Euklidski skalarni produkt. Rješenje: a) a, b = ( 2) = 1 2 = 3 a, b + c = a, b + a, c = 3 1 = 4 b) a, b = a b cos ϕ cos ϕ = a = ( 1) = 2 b = ( 2) = 9 = 3 a, b cos ϕ = a b = = 2 2 a, b a b = ϕ = 3π 4

14 10 3 Ortogonalnost Definicija 3.1. Neka je X unitarni prostor. Za vektore x i y kažemo da su ortogonalni ako je x, y = 0 Za familiju vektora e i, i = 1, 2,..., n kažemo da je ortonormirana ako svaki vektor e i ima jediničnu duljinu, tj. e i = 1 te ako su svaka dva različita vektora iz te familije ortogonalna. Potprostori X 1 i X 2 prostora X su ortogonalni ako je bilo koji vektor iz prostora X 1 ortogonalan na bilo koji vektor iz prostora X 2. Ortonormirana baza unitarnog prostora X je baza koja se sastoji od vektora koji čine ortonormiranu familiju. Zadatak 3.1. Dokažimo da su pravci y = x i y = x medusobno okomiti. Rješenje: Pravac y = x je odreden vektorom (1, 1), dok je pravac y = x odreden vektorom (1, 1), stoga vrijedi (1, 1) (1, 1) = 1 1 = 0 Teorem 3.1. Neka je X 0 potprostor unitarnog prostora X te neka je {e 1, e 2,..., e n } ortonormirana baza potprostora X 0. Ako je x X 0, onda je x = x, e j e j. j=1 Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 13, URL hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf 3.1 Ortogonalna projekcija Neka je X 0 X, gdje je X unitarni prostor, te neka je x X vektor koji ne pripada potprostoru X 0. Zanima nas kako odrediti vektor x 0 X 0 koji je najbliži vektoru x. Odgovor nam donosi sljedeća definicija. Definicija 3.2. Neka je X 0 konačnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X. Ortogonalna projekcija vektora x X na potprostor X 0 je jedinstveni vektor x 0 X 0 koji je najbliži vektoru x, odnosno x x 0 = min y X 0 x y

15 11 Slika 3: Projekcija vektora na potprostor. Vektor x 0, koji je najbliži vektoru x mora biti odabran tako da vektor x x 0 bude okomit na potprostor X 0. Teorem 3.2. Neka je X 0 konačnodimenzionalni potprostor unitarnog prostora X te neka je x X. Vektor x 0 je ortogonalna projekcija vektora x na potprostor X 0 ako i samo ako je vektor x x 0 ortogonalan na bilo koji vektor u potprostoru X 0. Dokaz. Pretpostavimo da je vektor x 0 najbliži vektoru x. Pokažimo da je tada vektor x x 0 ortogonalan na bilo koji vektor y X 0. Zanima nas kvadrat udaljenosti izmedu vektora x 0 + ty X 0 i x, tj. funkcija f(t) = x 0 + ty x 2. Budući da je vektor x 0 najbliži vektoru x u potprostoru X 0, funkcija f poprima minimalnu vrijednost za t = 0. Stoga derivacija funkcije f u toj točki mora biti jednaka nuli f(t) = x 0 x + ty, x 0 x + ty = x 0 x 2 + 2t x 0 x, y + t 2 y 2 f (t) = 2 x 0 x, y + 2t y 2 0 = f (0) = 2 x 0 x, y (2) Dakle, vektori x 0 x i y su ortogonalni. Pretpostavimo da su vektori x 0 x i y ortogonalni, vektor y je bilo koji vektor iz potprostora X 0. Iz (2) slijedi da je f (0) = 0. S druge strane, kako je f(t) kvadratna funkcija koja poprima nenegativne vrijednosti, njezina stacionarna točka t = 0 mora odgovarati točki minimuma. Drugim riječima, funkcija x 0 + ty x poprima minimum za t = 0. Kako je y bilo koji vektor iz potprostora X 0, zaključujemo da je x 0 X 0 najbliži vektoru x. Teorem 3.3. Neka je X unitarni prostor i X 0 n-dimenzionalni potprostor s ortonormiranom bazom {e 1, e 2,..., e n }. Ortogonalna projekcija vektora x X na potprostor X 0 dana je izrazom x 0 = α j e j, gdje je α j = x, e j. j=1

16 12 Dokaz. Pogledaj u [6] Fourierova analiza, skripta, str. 14, URL hr/_download/repository/skripta_fourierova_analiza.pdf 3.2 Gramm-Schmidtov postupak ortogonalizacije Neka je zadan skup linearno nezavisnih vektora x 1,x 2,...,x n C m, m n. Gramm- Schmidtovim postupkom se konstruira ortonormirani skup vektora q 1,q 2,...,q n C m koji razapinju isti potprostor u C m na sljedeći način q 1 = x 1 x 1, q 2 = x 2 x 2, x 2 = x 2 (q 1 x 1 )q 1, q 3 = x 3 x 3, x 3 = x 3 (q 1 x 3 )q 1 (q 2 x 3 )q 2, q n =... x n x n, n 1 x n = x n (q i x n )q i. Postupak počinje normiranjem prvog vektora. U i-tom koraku od vektora x i oduzima se njegova projekcija na prvih i 1 vektora: q 1,..., q i 1. Time q i postaje ortogonalan na sve prethodne vektore. Teorem 3.4. Gramm-Schmidtov postupak primjenjen na linearno nezavisan skup vektora {x 1, x 2,..., x n } C m daje ortonormiran skup vektora {q 1, q 2,..., q n } za koji je za svaki i = 1, 2,..., n [1]. i=1 [{q 1, q 2,..., q i }] = [{x 1, x 2,..., x i }] Dokaz. Konstrukciju skupa {q 1, q 2,..., q n } provodimo induktivno. U bazi indukcije definiramo q 1 = 1 x 1 x 1, x 1 0 Očito su q 1 i x 1 kolinearni pa razapinju isti potprostor. Pretpostavimo da je naden ortonormalni skup {q 1, q 2,..., q j } takav da je [{q 1, q 2,..., q j }] = [{x 1, x 2,..., x j }] te konstruiramo q j+1. Uvodimo pomoćni vektor p j+1 = x j+1 j x j+1, q i q i i=1

17 13 Iz definicije okomitosti vidi se da je p j+1 q i, i = 1,..., j. Da bismo pokazali da vrijedi [{q 1, q 2,..., q j, p j+1 }] = [{x 1, x 2,..., x j, x j+1 }] (3) dovoljno je utvrditi da generatori s jedne strane jednakosti pripadaju potprostoru s druge strane jednakosti, i obratno. Sada je q 1,..., q j [{x 1,..., x j, x j+1 }] po pretpostavci indukcije, a p j+1 [{x 1,..., x j, x j+1 }] po definiciji vektora p j+1. Obratno je takoder jasno. Uočimo j x j+1 = p j+1 + x j+1, q i q i Jasno je da skup {q 1, q 2,..., q j, p j+1 } zadovoljava sva tražena svojstva, jedino ne znamo kolika je norma vektora p j+1. Umjesto vektora f j+1 uzmimo vektor λf j+1, za svaki skalar λ 0. f j+1, e i = 0 = λf j+1, e i = 0, i = 1,..., j Iz jednakosti (3) dobivamo Uzmimo λ = p j+1 1, te definirajmo i=1 [{q 1, q 2,..., q j, λp j+1 }] = [{x 1, x 2,..., x j, x j+1 }] q j+1 = 1 p j+1 p j+1 Problem može nastati ako je p j+1 = 0 jer je tada p j+1 = 0. No, to nije moguće. Kada bi f j+1 = 0 imali bi x j+1 = j x j+1, q i q i [{q 1,..., q j }] = [{x 1,..., x j }] i=1 što se kosi s nezavisnošću polaznog skupa {x 1,..., x k } [1]. Napomenimo da je Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije zapravo ime dokaza, odnosno konstrukcije, a ne tvrdnja teorema. Zadatak 3.2. Zadani su vektori a = (5, 0, 0) T, b = (2, 1, 4) T, c = (1, 0, 5) T. a) Dokažite da a, b, c čine bazu. b) Ortonormirajte bazu {a, b, c} Gramm-Schmidtovim postupkom ortogonalizacije.

18 14 c) Vektor d = (4, 3, 4) T prikažite u ortonormalnoj bazi {q 1, q 2, q 3 }. Rješenje: a) Kako bismo pokazali da vektori a, b, c čine bazu treba provjeriti jesu li linearno nezavisni, tj. αa + βb + γc = 0 α = β = γ = 0. Uvrstimo li vektore a, b, c dobivamo α(0, 5, 0) T + β(2, 1, 4) T + γ(1, 0, 5) T = 0 2β + γ = 0 5α β = 0 4β + 5γ = 0 Rješavajući ove tri jednadžbe s tri nepoznanice dobijemo α = β = γ = 0. b) q 1 = a a = (0, 5, 0)T 5 = (0, 1, 0) T ( b = b b, q 1 q 1 = (2, 0, 4) T, q 2 = b 5 b = 5, 0, 2 ) T 5 5 ( 6 c = c c, q 1 q 1 c, q 2 q 2 = 5, 0, 3 ) T (, q 3 = c c = 5, 0, 5 c) d = αq 1 + βq 2 + γq 3 Ovu jednadžbu množimo skalarno redom s q 1, q 2 i q 3. ) T α = d, q 1 α = 3 β = d, q 2 β = γ = d, q 3 γ =

19 15 4 Prostori L 2 i l Prostor L 2 Promatramo funkcije f(t) gdje t prolazi intervalom a t b, pri čemu može biti a = i b = +. Definicija 4.1. Prostor L 2 ([a, b]) je skup svih kvadratno integrabilnih funkcija na intervalu [a, b] [6]. Drugim riječima, L 2 ([a, b]) = { f : [a, b] C; b a } f(t) 2 dt < Primjetimo kako funkcije s konačnim brojem prekida takoder mogu pripadati prostoru L 2. Prostor L 2 ([a, b]) je beskonačno dimenzionalan. No, ako je a = 0 i b = 1, tada je skup funkcija {1, t, t 2, t 3,...} linearno nezavisan i pripada prostoru L 2 ([0, 1]) Skalarni produkt na L 2 Kako bismo konstruirali skalarni produkt na L 2 prvo ćemo diskretizirati interval [a, b]. Stoga ćemo pretpostaviti da su a = 0 i b = 1. Neka je N dovoljno velik prirodan broj, te neka je t j = j, 0 j N. Ukoliko je f neprekinuta, N možemo njezine vrijednosti na intervalu [t j 1, t j ) aproksimirati s f(t j ). Stoga, funkciju f možemo aproksimirati vektorom f N = (f(t 1 ), f(t 2 ),..., f(t N )) C N Bolju aproksimaciju funkcije f dobivamo za veći N. Ako su f i g dvije funkcije u L 2 ([0, 1]), onda ih možemo diskretizirati na opisani način, kao vektore f N i g N. Kako bismo definirali skalarni produkt f, g L 2 promotrimo standardni skalarni produkt vektora f N i g N na prostoru C N, kada broj N raste: f N, g N C N = N f(t j )g(t j ) = j=1 N j=1 ( ) ( ) j j f g n n Medutim, problem u ovakvom pristupu je kada N teži u beskonačnost, stoga suma na desnoj strani jednakosti teži k beskonačnosti. Rješenje je srednja vrijednost predhodnog skalarnog produkta 1 N f N, g N C N = N j=1 ( ) ( ) j j 1 f g n n N Kako se vektori f N i g N približavaju funkcijama f i g kada N raste, razumljivo je da za definiciju skalarnog produkta f, g L 2 uzmemo graničnu vrijednost prethodne srednje vrijednosti skalarnog produkta, kada N teži u beskonačnost.

20 16 Prethodnu relaciju možemo zapisati u obliku 1 N f N, g N C N = N f(t j )g(t j ) t, gdje je t = 1 N j=1 Ova suma predstavlja integralnu sumu za integral 1 f(t 0 j)g(t j ) dt s obzirom na razdiobu [0, t 1, t 2,..., t N ] segmenta [0, 1]. Dakle, skalarni produkt na L 2 ([0, 1]) definiramo f, g = 1 f(t)g(t) dt. 0 Definicija 4.2. Skalarni produkt na L 2 ([a, b]) definiran je relacijom [6] f, g L 2 = b a f(t)g(t) dt, f, g L 2 ([a, b]) Ovako definiran skalarni produkt naziva se i L 2 skalarni produkt. 4.2 Prostor l 2 Prostor l 2 sastoji se od diskretnog skupa brojeva, tj. niza X =..., x 1, x 0, x 1,..., pri čemu je svaki x j numerička vrijednost u intervalu [t j, t j+1 ]. Dakle, taj niz može biti beskonačan. Definicija 4.3. Vektorski prostor l 2 je skup svih nizova X =..., x 1, x 0, x 1,... C takvih da je n= x n 2 < [6]. Skalarni produkt na tom prostoru definira se kao X, Y l 2 = n= x n y n gdje je X =..., x 1, x 0, x 1,... i Y =..., y 1, y 0, y 1,....

21 17 5 Familije ortogonalnih funkcija Za dvije funkcije kažemo da su ortogonalne, ako je njihov skalarni produkt jednak 0. Ako za neprekidnu ili diskretnu mjeru dλ, te funkcije u i v koje imaju konačnu normu možemo definirati skalarni produkt kao u(x)v(x) dλ Postoji mnogo familija ortogonalnih funkcija, neke od njih su [3]: ortogonalni polinomi trigonometrijski polinomi 5.1 Ortogonalni polinomi Definiramo neprekidni ili kontinuirani skalarni produkt u, v = R b a w(x)u(x)v(x)dx gdje su u, v polinomi, w 0 težinska funkcija na [a, b]. Pripadna familija ortogonalnih polinoma označava se s {p n (x) n 0}. Stupanj polinoma p n je n, za svaki n 0 [3]. Takoder definiramo diskretan skalarni produkt u, v = w i u(x i )v(x i ) i=0 generiran medusobno različitim čvorovima x 0,..., x n, te težinama w 1,..., w n 0. Pripadni unitarni prostor funkcija na zadanoj mreži čvorova sadrži sve polinome stupnja manjeg ili jednakog n, pa sigurno postoji pripadna baza ortogonalnih polinoma koju označavamo s {p k (x) 0 k n}. Stupanj polinoma p k je jednak k, gdje je k {0,..., n}. 5.2 Trigonometrijske funkcije Trigonometrijske funkcije {1, cos x, cos 2x, cos 3x,..., sin x, sin 2x, sin 3x,...} čine ortogonalnu familiju funkcija na intervalu [0, 2π] uz mjeru { dx, na [0, 2π] dλ = 0, inače

22 18 Može se pokazati da vrijedi sljedeće (pogledaj [3] Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, Numerička analiza, str. 418) 2π { 0, k l sin kx sin lx dx = k, l = 1, 2,... 0 π, k = l 2π 0 2π 0 cos kx cos lx dx = 0, k l 2π, k = l = 0 π, k = l > 0 k, l = 0, 1,... sin kx cos lx dx = 0, k = 1, 2,..., l = 0, 1,... Fourierov red Za aproksimaciju periodičkih funkcija najčešće koristimo Fourierove redove. Neka je funkcija f periodična na [ π, π]. Tada je možemo aproskimirati sumom reda F(x) := a (a k cos kx + b k sin kx) (4) k=1 Red (4) nazivamo Fourierov red, a brojeve a 0, a 1, b 1,... Fourierovi koeficijenti funkcije f, gdje su a k = 1 π π π f(x) cos kx dx, b k = 1 π π π f(x) sin kx dx Čebiševljevi polinomi U aproksimaciji funkcija takoder se koristi sustav ortogonalnih polinoma na [ 1, 1] s težinskom funkcijom w(x) = 1 1 x 2 tzv. Čebiševljevi polinomi. Njihova eksplicitna formula glasi [5]: Vrijedi T 0 (x) = cos(0) = 1 za n = 1, T 1 (x) = x T n (x) = cos(n arccos x), n = 0, 1,... za n = 2, T 2 (x) = cos(2 arccos x) = 2 cos 2 (arccos x) 1 = 2x 2 1 Dakle, općenito vrijedi cos nρ = 2 cos ρ cos(n 1)ρ cos(n 2)ρ (5) gdje je ρ = arccos x Iz relacije (5) slijedi rekurzivna formula za Čebiševljeve polinome T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x)

23 19 Čebiševljevi polinomi, zbog definicije preko kosinus funkcije, imaju n + 1 ekstremnu vrijednost naizmjenično pozitivnu i negativnu na intervalu [ 1, 1] x k = cos kπ n, k = 0, 1, 2,..., n te n različitih nultočaka na [ 1, 1] definiranih formulom ( ) (2k 1)π ξ k = cos, k = 1, 2,..., n 2n

24 20 Literatura [1] D. Bakić, Linearna algebra, Školska knjiga, Zagreb, [2] D. Butković, Predavanja iz linearne algebre, Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku, Osijek, [3] Z. Drmač, V. Hari, M. Marušić, Numerička analiza, Sveučilište u Zagrebu, PMF - matematički odjel, Zagreb, [4] H. Kraljević, Vektorski prostori, Predavanja na Odjelu za matematiku Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, Osijek, [5] R. Scitovski, Numerička matematika, Odjel za matematiku Sveučilišta u Osijeku, Osijek, [6] Fourierova analiza pdf