ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ТЕЗИ ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У A Ù y'..' Х СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА"

Transcript

1 ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н «Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РСКИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ ЧЛАНОВА ИСПИТНОГ ОДБОРА г. г. д-ра МИХАИЛА ПЕТРОВИЋА ред. проф. универз. д-ра МИЈ1УТИНА МИЛАНКОВИЂА ванр. проф. универз. A Ù y'..' Х "X У БЕОГРАДУ Ш Т А М П А Н О У Д Р Ж А В Н О Ј Ш Т А М П А Р И Ј И К Р А Љ Е В И Н Е О Р Б И ЈЕ 1914.

2 C A Д P Ж A J C IP A H A Увод...5 I ТраноФ ормације...1! II Квалитативна и н т е гр а ц и ја...14 III Приближна и н т е г р а ц и ј а IV М еханичка и н т е гр а ц и ја * т» I*

3 i * y B 0 д Италијански математичар Јасоро Riccati ( ) испитивао je први, почетком XVIII века, једначину облика du, bu2= exη dx 1 која je од тога доба позната под именом Riccati-еве једначине. И Riccati и многи велики геометри његовога доба, међу којима ваља нарочито истаћи Daniel Bernoulli-a., уложили су били врло много труда да пронађу све оне вредности параметра п које he допустити да ce променљиве y једначини 1) раздвоје. И, независно један од другога, сви су нашли исте вредности п које омогућавају раздвајање променљивих. Све те вредности n дате су општим обрасцем 4 λ где je λ ма какав цео и позитиван број, рачунајући ту и нулу. Ако y једначинн 1) извршимо просту смену независно променљиве t X 2) т

4 она добија облик du dt - - и' = at". 3) и ова једначина 3) обично ce данас зове саецијална Riccati-eea једначина. Услов да ce једначина 3) може y коначном облику интегралити, и то само помоћу алгебарских и логаритамских Функција, дат je опет истим обрасцем 4 λ П ' 2Х±1 пошто y смени 2) не Фигурише параметар п. Предмет овога рада неће бити испитивање специјалне него опште Riccati-еве једначине, a оиштом Riccati-евом једначином назваћемо сваку једначину облика U ~ј~ XL ' 0) tocј где je ω произвољна Функција од х. Општа Riccati-ева једначина, доклегод je ω(χ) произвољна Функција од х, не може ce интегралити, средствима данашње Анализе, y коначном облику, него помоћу редова и одређених интеграла. Али, захваљујући једној интересантној особини, коју, од свих диференцијалних једначина првога реда, има само Riccati-ева једначина. као што je το Kronecker показао и општа Riccati-ева једначина може ce и«- тегралити, т. ј. њен интеграл свести на квадратуре, само ако je познат један њен партикуларни интеграл. Кад je познат један партикуларни интеграл Riccati-еве једначине, општи интеграл добија ce помоћу две квадратуре. A кад су позната два партикуларна

5 интеграла, Minding je показао да ce општи интеграл добија само помоћу једне квадратуре. Међутим, ако су позната три партикуларна интеграла, онда, према једној значајној особини Riccati-еве једначине : да je анхармонијски одвос четири ма која, међу сооом независна, партикуларна интеграла константан, општи интеграл добија ce без иједне квадратуре. Општи интеграл Riccati-еве једначине има облик С fix) + 9(х) С γ (х) -)- ψ (х) Интеграциона константа С Ф и гурише, дакле, линеарно и y бројиоцу и y имениоцу општега интеграла. Општи интеграл Riccati-еве једначине je, дакле, рационална и линеарна Функција интеграционе константе. Да поменемо још једну важну особину Riccati-еве једначине. Ако, са Picard-ou, под есенцијелним сивгуларитетима једнога интеграла разумемо све његове сингуларитете осим полова. и алгебарских критичких тачака, онда je познато из Аналитичне Теорије Ди- Ференцијалних Једначина да су за интеграле једначине 7 где je f рационална Функција по и, сви есендијелни сингуларитети стални, док полови u алгебарске критичке тачке уопште варирају са интеграционом конставтом.

6 8 од ивтеграционе константе. Интеграли Riccati-еве једначине имају, дакле, сталне алгебарске критичке тачке. На Riccati-еву једначину наилази ее често, и то не само y области Теоријске него и y области Примењене Математике. У Аналитичној Теорији ДиференциЈалних Једначина. Riccati-ева једначина игра врло значајну улогу. као штото показују многобројни радови Poincaré-a, Painlevé-a, Picard-a, Goursat-a, Appel-a, M. Петровића и т. д. Осим тога, на н>у ce често наилази и y разноврсним проблемима y Геомегрији, Механнци, Физици и Хемији. У Геометрији ce, н. мр.. наилази на Riccati-еву једначину: приликом одредбе једнога система асим- TOTHJIX линија праволинијских површина; y проблему изогон-алних трајекторија једне Фамилије кругова што зависе од једног променљивог параметра; y модерној теорији природних једначина кривих y простору y теорији површ ина; затим y многим задатцима овакве врсте: да ce нађе крива линија код које између cekтора S, рачунатог од Θ= о, и поларних координата ο π Θ постоји, и. пр., однос S a θ + b (j У Механици ce, н. пр., своде на Riccati-еву једначину : проблем падања материјалне тачке кроз средину која даје отпор пропорционалан квадрату брзине; проблем вертикалног хитца кад ce узме да je отпор ваздуха пропорционалаи квадрату брзине. Darhoux je показао да ce и ироблем обртања једног чврстог тела око једне сталне тачке, проблем којн ce обично своди на систем од трп симултане дифе-

7 ренцијалне једначине, може свести на интеграцију једне једине Riccati-еве једначине и т. д. У Физиг^и ce на Riccati-еву једначину наилази н. пр. y прнмени модерне теорије јонова на ировођење електрицитета кроз гасове и т. д. У Хемијској Ћинетици ce, н. лр., све хомогеие реакцнје другога реда (бимолекуларне реакције) своде на Riccati-еву једначину м т. д. Језиком Математичке Феиоменологије можемо уопште рећи да ce' на Riccati-еву једначину своде све просте појаве што резултују из симултане акције два узрока: једнога, депресивног или импулсивног, са независним варијацијама, који може бити y специјалном случају и константне јачине, и другога, такође депресивног пли импулсивног, алн пропордионалног квадрату величине непосредног објекта. Јер je тада X, =f(t)x2 = + λ ν 'λ тако да je диференцијална једначина појаве г/?' k ~ ± = f(tj dt Као што ce види, област примена Riccati-еве једначине одиста je веома пространа и то je, поред.њених интересантних ннтимних особина, био поглавпти разлог што јој je од увек указивана велика пажња. Riccati-ева једначина била je предмет многих испитивања y прошлости, она и данас у. највећој мери занима математички свет, a нема сумње да ће π убудуће привлачити на себе особиту пажњу. Наш рад садржи неколико нових прилога теорији Riccati-еве једначине и и.ча за циљ да допри- 9

8 10 несе што бољем и потпуннјем познавању ове значајне једначине. Тежиште рада биће y квалитативним нспитиватћима. Ваља још да нагласимо да ce све наше испитивање односи на реалне, одређене, коначне и непрекидне интеграле, на оне, дакле, интеграле који су од највећега значаја за примену.

9 I ТРАНСФО РМ АЦИЈЕ Трансформација Riccati-еве једначине ироширена облика h (X)!/ + ^ у + ψ»(*)=о на оигити облик tl w (о {хј b) Треба С41МО y једначини 5) извршити смену V = L u - S Æ z ^ l... 7 ;!Pl па he ce она свести на општи облик 6), где je (ΨλΨι Ψι ω(χ) = ψ\ фг ( \ г Ψχ г (<Рг f ^ψг- T i_ V _ roi Ψι I» φ ΐ I / ι ψ3 Ψι ψ%-- Ψι 2Ψ11 Исто тако, ако бисмо y једначини 5) извршили смену V- и Ψ, 1 i Ψι ψ3 + Уа + 2<р% 8)

10 V 12 добили бисмо оншти облик и' -ј- U' = 0) (х) где je о) (х) = срг <рз Ψ* ψι φ* % 2 <Psl φ ϊ φ 3 φ 3 5 ψ, φ* φ 2 ψ3 2 <ρ> ψχψ* Транеформација линварпе једиачиие другога peda на оишти облик Riccati-eee једначине и обратпо. Ако y линеарној једначпни у " + f(x )y ' + φ (х)у = о 9), V извршимо смену У =.е 10) добијамо Riccati-еву једначину и' и' ω (х) 11) где je f 1, f' ω >ν! = -;t 1 J ψ Лако ce увиђа, из смене 10), да je интеграл и Pâccati-еве једначине 11) везан са интегралом y лннеарне једначине 9) релацијом и V

11 У специјалном случају, кад je линеарна једначина дата y скраћеном облику она простом сменом у" = ω (х) y ) ^udx y = e 13) прелази y Riccati-еву једначину и и 2 ω (х) 14Ј Лако ce увиђа, из смене 13), да између интеграла и Riccati-еве једначине 14) и интеграла y линеарне једначине 12) постоји прост однос и У_ У 13

12 II КВАЛИТАТИВНА ИНТЕГРАЦИЈА Поменули смо већ да није могуће Riccati-еву једначину, y општем случају, интегралити. Али je, поред свега тога, ипак могуће доћи до приличног броја иодатака о њеним интегралима и то баш оних који су понајчешће од интереса за примену. Другим речима: и ако није могућна квантитативиа., увек je могућна квалитативна интеграција. A задатак je квалитативне интеграције да ce на самој датој диференцијалној једначини проучи гато више појединости о њеним интегралима, као н. ир. : i да ce испита ток интегралне криве удагом размаку; 2 да ce нађу границе броја нула и бесконачница интеграла y датом размаку и да ce проучи њихов распоред; 3 да ce исгшта ритам и честина, затим појачавање или амортизирање осцилација y случају кад интеграли имају осцилаторан карактер; 4 да ce испита егзистенција максимума и минимума, сингуларних тачака; 5 да ce проуче асимтотне вредности и т. д. Скуп свих таквих појединости сачињава квалитативну слику проучаваних интеграла и та ће слика бити, очевидно, y толико гштпунија y колико све

13 квалитативне појединости, које улазе као елементи V оастав те слике, буду потпуније и прецизније. Сам облик Riccati-еве једначине и њена интимна веза са линеарним једначинама другога реда доиушгају да ce на самој једначини, као μίτο ћемо видети, нспитају многе интересантне појединости о њеним интегралима. i l. Интимна веза између Pàccati-еве једначине ii линеарне једначине оличена y сбрасду и' + и' = 0) (х) 1 у" со ( X ) y... '2 ј У показује : da je сваки интеграл u једначпие 1) логаритамспи извод одговарајупег интеграла y једначине 2). Ако сад претпоставимо да je Функција ω х) холоморфна y посматраном размаку, образац 3) нам одмах истиче на видик овај резултат: a бесконачнице интеграла u једначине 1 аоклаиају ce са нулама интеграла y једначине 2), пошто, према једној познатој особини једначине 2), не може бити, док je Функција ω (х) холоморфна, y исто време и y о и у' о ; đ нуле иитеграла u иоклаиају ce са нулама ирвог изводa интеграла у, т. ј. са нулама од у'. 2. Што ce тиче токa интегралне криве и узајамног расиореда бескопачница и нула y једном размаку (aß),

14 113 извешћемо, на један врло прост начин, ове већ лознате резултате.*) ;n ов.ц 1 Претпоставимо да je Функција ω ίχ)[непрестано негативна y размаку (а, β) и напишимо једначину 1), с обзиром на реладију 3), y облику Пошто je, Функција ω (х) непрестано негативна t У y размаку (а, β), логаритамски извод, т. ј. инте- У грал и, једначпне 1), непрестано he оладати y том размаку, као што то очигледрто показује једначина 4). Међутим, за сваку вредност х за коју je y равно нули, т. ј. за сваку бесконачницу интеграла и, логаритамски t V извод, т. ј. интеграл и, прелази из негативцог y позитивно стање. С за коју je у' равно друге стране, за сваку вредносг х нули, т. ј. за сваку нулу ннте- грала и, израз V' т. ј. и, пошто према једначини 4) У непрестано опада, мора прећи из позитивног y негативно стање'; затим, док X непрестано расте т ј и, бескрајно опада узимајући све мање негативне вредности док не постане y равно нули, т. ј. док ce не наиђе на једну бесконачниду интеграла и. Тада I У, т. ј..,. интеграл и, лостаје оескрајан и ме?ва знак пре- лазећи и з оо y -ј- оо. После тога, док х опет расте, *) Види М. Petrovitch, Remarques algébriques sur les fonctions définies par les équations differentielles du premier ordre (Bulletin de la Société Mathématique de France стр. 58).

15 17 --, т. j. интеграл u, опет оаада узимајући све мање и мање ттозитивне вредности све док не постаие у' равно нули, т. ј. док ce не наиђе на једну нулу интеграла, и и т. д. Из свега овога закључујемо : кад je y размак?/ ία, β) функција ω (х) неирестано негативна, интеграл u једначине 1) y томе размаку неирестано оиада ; нуле и бесконачнице интеграла једначине 1), што ce налазе y размаку (a, β), раздвајају ce међу собом, тако да интеграл u иостаје наизменце раван нули и бескрајан док X варира pacryfiu y размаку (α, β). 2 Претпоставимо да оункција ω (х) није непрестано у' негативна y размаку (α, β). Тада израз, т. ј. интеграл u, може час расти час опадати. Али, ношто ce бесконачнице интеграла и поклапају са нулама од y, a нуле од и са нулама од у', то применом Rolle-oBe теореме изводимо непосредно ове закључке : а) између две узастоине бесконачнице интеграла u, што ce налазе y размаку (α, β), мора ce налазити бар jedua нула, или, ако их има више, њихов je број увек неиаран ; б) између две узастоине нуле интеграла u, што св налазе y размаку (α,βι, не може ce налазити више од једне бесконачнгеце. з. Одредимо сад број бесконачница и нула шти ce налазе y размаку (α, β). Најпре ћемо ce бавити само о бесконачницама и потражићемо податке о њиховом броју y датом размаку. Ошпта Riccati-ева једнач. првога реда 2

16 18 У том циљу извешћемо прво извесне теореме што ce односе на бесконачнице интеграла Riccati-еве једначине, аналоге Штурмовим теоремама гато важе за нуле интеграла линеарне једначине другога реда. Наведимо, тога ради, Штурмове теореме y оном облику y коме ће нам требати. 1 Кад су дате линеарне једначине z" = ω1(х) ζ ix s t" = сог (x) t 6) где cy и ω2 холоморфне функције y размаку (a, β), онда, кадгод je y размаку (a, β) непрестано задовољен услов (х) < <у2 (х) а) две узастопне нуле од t што леже y том размаку увек обухватају бар једну нулу од z ; б) ако z и t нмају једну заједничку нулу, н. пр. х = а, онда, кад х расте, почевши од а, прво he наићи на једну нулу интеграла z, иа тек онда на нулу интеграла t. 2 Кад су дате линеарне једначине 5) и 6), онда, кадгод je y размаку (a, β) непрестано задовољен услов* оу, (х) а) две узастопне' нуле од t хпто леже y том размаку могу обухватати највише једну нулу од z; б) ако z и t имају једну заједничку нулу, н. пр. х = а, онда, кад х расте, ночевши од а, прво he наићи на једну нулу од t, па тек онда на нулу од z. Комбинујући теореме под i и 2 добија ce ова основна. Штурмова теорема : 3 кад су дате три линеарне једначине (х)

17 z" f')t (x) z y" = ω (x) y t" = c», (x) t где cy Функције ω1} ω2 и ω холоморфне y размаку (α,β), онда, кад год je y размаку (α,β) непрестано задовољен услов (х) < ω (x) <аг, χ) а) две узастопне нуле од t што леже y том размаку увек обухватају бар једну нулу од у, а ДВе узастопне нуле од z обухватају највише једну НУЛУ од y ; б) ако интеграли z и t имају са интегралом y једну заједничку нулу, н. пр. х = а. онда, кад х расте, почевши од а, прво ће наићи на једну нулу од z затим на једну нулу од у, па налпосле на једну нулу од t. Водећи рачуна о једном мало пре поменутом резултату, по коме ce нуле интеграла линеарних једначина поклапају са бесконачницама инте грала одговарајућих Riccati-евих једначина, као непосредне последице Штурмових теорема изводимо ове теореме: 1 Над су датв Riccati-eee једначине v' -f ν' =z (у1(χ)... η/j w' + w2= ω2 (χ)... 8) где cy ω ι u ω2 холоморфне ф ункције y размаку <α, β)} ондa, кадгод je y размаку (α, β) неирестано задовољеи услов ω1(χ) ^ ω2 (χ) а) две узастоине бесконачнице од w што леже y том размаку увек обухватају бар једну бесноначницу од V ; 19 2*

18 20 б) ако V и w имају једну заједничку бесконачницуf н. ир. X = а, онда, кад х расте, иочевши од a, ирво fie naufiu на једну бесконачницу интеграла v, иа тек онда на једну бесконачницу интеграла w. 2 Иад су дате исте Riccati-eee једначине 1) и 8)т онда, кадгод je y р а зм ф у (α, β) неирестано задо- вољен услов ωι ix) ω2 (х) а) две узастоине бесконачиице од w што леже y ίομ размаку могу обухватаги највише једну беско- начницу од v ; б) ако v и w имају једну заједничку бесконачницу н. ир. X ~ а, онда, кад х расте, иочевши од а, ирво fie uaufiu на једиу бесконачницу од w, пa тек онда на бесконачницу од v. Комбинујући теореме под Г и 2 изводимо ову основну теорему, аналогу основној Штурмовој теореми: 3 кад су дате три Riccati-eee једначине v' -}_ v2 = ωλ(χ) 9) и' и 1 ω (х) 10 w' -\-w ï = 6 ) i (хј. 1Ц& где су ωχ, ω и холоморфне функције y разм аку (α, β), ондa, кадгод je y размаку (α, β) неирестано задовољен услов ω, (х) < ω ix) < ωι χ) ' ' 12') а) àee узастоине бесконачнице од w што леже y том размаку увек обухватају бар једну бесконачницу од и, a dee узастоине бесконачнице од v обухватају највише једну бескопачџицу од и; б) ако интеграли v и w имају са интегралом u једнy за једничку бесконачницу, н. ир. х а, онда, кад х

19 расте иочевши од а, ирво ће наићи на једну бесконачницу од v, затим на једну бесконачницу од и. иа најиослв на једну бесконачницу од w. Први део ове теореме можемо исказати и y овом облику који ћ<емо чешће употребљавати : интеграл u y размаку (a, ß) имаће најмање оцрлико бесконачница колико их има y том размаку интеграл: ч> или само једку ман,(\ а највише онолико колико их буде имао y том размаку интеграл v или само једну више. Последња теорема,. под 3, може да послужи као основа ва проучавање бесконачнида интеграла једне дате Riccati-еве једначнне, ако ову будемо упоређивали са другим Riccati-евим једначинама чије су бескоиачвице бо.ве познате. Нека je дата, н. пр., једначина 10) коју треба проучити; узимајући за компаративне једначине 9) и 11) такве једначине које ce могу интегралитн и које уз то задовољавају услов 12), имаћемо, према последњој теореми 3, податке о броју и распореду бееконачнпца y датом размаку и самога проучаванога интеграла. За кбмпаративне једначине могу ce узимати разноврсне једначине према природи случаја с којим ce има посла; од њих ce захтева само то : да ce могу интегралитп или бар да ce има колико толико noтребних података о гвиховим интегралима Упогребимо сад неколико згодно изабраних једначина за компарадију. Најлре ћемо узети за компарацију једначину y којој ce Функција ω своди на константу, као што je

20 22 поступио Штурм прм проучавању линеарних једначина другога реда. 1 Нека je и I и ' (0 ( хј * 1 ) дата једначина која пма да ce проучи y размаку (а, β). Претпоставимо да Функција ω (х) y размаку (а, β) задржава стално један исти знак и разликујмо тада ова два случаја: а) претпоставнмо, најпре, да je Функција о) (х, неирестано позитивна y размаку (а, β) и означимо ca N њену најмању вредност y томе размаку. Узмимо сад за компарадију једначину v' -ј- v' = Ν 2) чији je један партикуларан интеграл, као што знамо? V = fn 3) Према једној ранијој теореми, пошто je y размаку (а, β) непрестано N < ω (rj две узастопне бесконачнице од и што ce налазе y том размаку морале би обухватати бар једну бесконачницу од V, a иошто v, као што ce види из обрасца 3)7 уопште нема бесконачница, значи да интеграл и y размаку (а, ßj не може ни y ком случају имати две бесконачнице већ једну или ниједну. Из тога ce изводи оватеорема; кадгод је функција ω (х) y датом размаку (α. β) немрестано иозитивна, ниједан интеграл и дате једначине i) ие.можв имати y том размаку више од једне бес.коначнице ;

21 б) претпоставимо сад да je Функција ω (х) непрестано негативна y размаку а, β). Означимо са N и М најмању и највећу вредност коју има Функција <у (х) y размаку а. β), па узмимо за компаративне једначине ове две чији су партикуларни интеграли v' -ј- V- = N U) w' + W2= Μ 5) 23 V = ψν cotg X /iv 6 w УM cotg X y Μ 7) Према једној ранијој теореми, погито je y размаку (а, β) непрестано N о) fx) Μ, интеграл и имаће y размаку (<х, β) најмање онолико оесконачница колико их има y томе размаку интеграл w или само једну мање, a највише онолико колико их буде имао y томе размаку интеграл v или само једну више, па пошто интеграл w, дефиниеан обрасдем 7), има y размаку а, β) онолико бесконачница колико вредност β a тг Ym + еадржи целих јединица, το ce добија ова теорема : сваки интеграл u dare једначипе 1) имаће y размаку (сс, β) најмање онолпко бескоиачница колико има целих јединица y вредности β a

22 24 IIcTO тако, према истој теореми, интеграл и имаће y размаку (а, β). највише онолико бесконачница колико их буде имао y томе размаку интеграл v или само једну више,' па пошто интеграл r, дефинисан обрасцем 6), има y размаку' (U, β) онолико бесконачншда колико вредност ß a УN + ί садржи целих јединица, то ce добија ова теорема: сваки иитеграл u дате једналине 1 'ј има y размаку (a, β) највише онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности ß π a 1[N Границе које смо на овај начин добили за број бесконачница y једном датом размаку зваћемо Ш турмовим границама. Ш то ce тиче расиореда бесконачница интеграла и y размаку (a, β), о њему :се можемо обавестита, y овом случају, на овај начин. Уочимо једну бесконачницу х = a интеграла и. Ако за компаративне интеграле v и w узмемо оне партикуларне лднтеграле које добијамо из општих интеграла једначина 4) и 5) v = fn totg [ ix с,у YM ] u [ М cotg [ (χ c j V Μ ] кад интеграционим константама c t и с2 дамо такве вредности да и интеграли v и w имају вредност х = a као бесконачницу, онда, прем а једној ранијој тео-

23 реми, кад х буде расло, почевши од а, ирво ће наићи на једну бесконачницу х = λ интеграла v, затим на једну бесконачницу х = а' интеграла и, па најпоеле на једну бесконачницу х = μ интеграла w, што значи да he постојатд реладнја λ < а' < μ 8} Алп, пошто je х = а бесконачница и одд и од w, το je, очевидно, бесконачница од v што долази нелосредно после a дата вредношћу 9) a бесконачница од w што долази непосредно после a вредношћу π џ a -ј 10) 1 Г \М Заменом вредности 9) и 10) y неједначинама 8), добија ce a <С а' <ј a или π, 7t 77= < a a <С -τγ= ]f N ]f Μ U ) ' Неједначине il) дају могућност да ce проучи варијација раздаљина узастопних бесконачница интеграла u, кад х буде расло y једном датом правцу. У том диљу, разликујмо ова два случаја: 1) претпоставимо да Функција ω (х) непрестано расте, по апсолутној вредности, y размаку (а, β).

24 26 Неједначине 11) можемо написати и y облику једначине а' a Tt ]/ ω (θ') где θ' означава извесну вредност што ce налази нзмеђу a и а. За бесконачницу а" што долази одмах после а' биће тс \ίω (Θ"), где Θ" означава извесну вредност πιτο ce налази између а и а" и т. д., тако да ћемо имати низ jeдначина тс }fω (θ') TC TäW) 13) a = TC ][ω(θ"') Међутим, пошто апсолутна вредност Функције ω (х), по претпоставци, расте y размаку (α, β), биће, очевидно, y томе размаку ω (θ') < ω θ") < <: N

25 «27 па према томе и _ тг π π π У < o W ) > }!аг ((Г'7 > ј / > ' ' > f~n~ или, с обзиром на једначине 13), а' a J> a" a'oa'" a" 7> >> ~ =.. ίί) У N 1 Неједначине 14) исказују ова.ј резултат : разјика измвђу двеју узастоиних бесконачница интеграла u иостаје све мања и мања кад х расте, y размаку ία, β), т. ј. бесконачпице су све ближе јвдне другима, али ири том ириближавању разликa између двеју узастоиних бесконачница не може бити мања π У N λ = ; 2) претпоставимо да Функција ω (х) непрестано опада, по аисолутиој вредности, y размаку (α, β). Тада, употребивши исте ознаке и исто резоновање као и мало пре, долазимо до низа неједначина ω (θ') > ω (θ") > ω (θ'") > > Μ _ η τι π Ϊ&ΤΘΥ < 1ioTW) < W W 1 < < a < a" a' < a'" a" < < π У μ π У~м одакле читамо овај р езу л тат: разлика између двеју узастоиних бесконачница интеграла u иостаје све ввпа и већа, кад х расте y размаку (α, β) ; бесконачнице ce, дакле, размичу, ио-

26 28 'Стају све разређвније, али разлика између двеју,узастоиних бесконачница не може бити никако већа π 2 Узмимо сад за компарацију једначину облпка w ' - - w 2 A B x im 4 x ' 15) где je A m~ 1 Њен партикуларни интсграл дат je обрасцем W = ,,4-amx cotg ax lo 2 x где ce a одређује из једначине B = 4 a 2rn ' Бесконачнице партнкуларног интеграла w, као што ce види из обрасца 16, дате су оиштим условом ј fe.t I a одакле ce лако налази да интеграл w има y размаку (α, ß) онолико бесконачнида. колико има делих јединица y вредности ß"1- а a -ј 1 Нека je и -ј- u ' = ω (x) П) дата једначина која треба да ce проучи.

27 Ако изаберемо коефициенте A и В, па према томе и т и a, y једначини 15) тако, да y размаку (а, ßj буде непрестано задовољен услов 29 А В Х-" ω Μ < - 4 X ' 18) онда ће, према пређашњем, интеграл и, y размаку [а, /3), имати бар онолико бескоаачиица колико их има y томе размаку интеграл w или само једну мање, па како интеграл w, дефинисан обрасдем 16), има, као што смо видели, y размаку (a, ß) онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности то ce добија ова теорема: сваки интеграл u дате једначине П ) имаће y размаку [a, ß) најмање онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности 3 a a тс Да би доња граница, дата обрасцем 19), за број бесконачница интеграла u y размаку \a, ß), била повољнија од раније Штурмове, дате обрасцем ß «тс лако ce увиђа да треба да буде a ß a a > Jf M или M < λ

28 30 или, најзад, где Је Л = Ч ^ г ^ ај > М > л 20) одакле добијамо правило: ако крива линија y = ω(χ) y размаку (a, β) нијв сва исиод ираве y = λ, онда je граница 19) иовољнија од Штурмове границе. (Сл. 1). Потврдимо ове последње резултате на једноме примеру. Нека je дата једначина и' + иг = 4х2-21) па ce тражи да ce одреде доња и горња граница броја бесконачница ингеграла и y размаку (1, 4). Штурмова доња граница за број бесконачница интеграла и једначине 21) y размаку (1, 4) била би равна ономе целом броју јединица који je садржан y вредности β «π 22) Пошто вредност 22) садржи свега једну целу јединицу, значи да je Штурмова доњаграница y овом случају равна јединици.

29 Међутим, ако за компаративну једначину узмемо, н.пр., једначину 31,, j 3 4х4 w + w =. τ К0ЈУ добијамо из опш ге једначине 15) кад изберемо 1 коефициенте A = 3, В = 4, па дакле т 2, а =, онда, пошто je y размаку (1, 4) непрестано 3 4 х 2 4х2< 4 X4 4 X2 проучавани интеграл u једначине 21) имаће y размаку (1, 4) бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w компара,тивне једначине 28) или само једну мање. Другим речима: пошто интеграл w y једном датом размаку *\а, β) има уопште онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности βτ - а' π проучавани интеграл и имаће y размаку (1, 4) бар онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности л т m /2 i 3 a 4 1 i С ο ο 24) π 3,1ί 2 ~ z Пошто вредност 24) садржи две целе 'јединиде, као доњу границу за број бесконачнида интеграла и y размаку (1, 4) добијамо број 2. Ова je граница. дакле, повољнија од Штурмове. Ако сад коефициенте ' A и Б, па дакле и т и а, y једначини 15) изберемо тако да y размаку (а, β) буде непрестано задовољен услов

30 32 Α Βχ2" ω (χ) Дг 4χ онда he проучавани интеграл и једначине 17) имати y размаку [а, ß) највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w нове компаративне једначине или само једну више, па како интеграл w y размаку [a, ß) има онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности ßm «тс a -ј~ 7, то ce добија ова теорема: сваки интеграл u дате једначине 17) имаће y размаку (ct, ß) највише онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности F a а + Ί 26) Да. би горња граница за бро) бесконачница ннтеграла u y размаку (a, ß), дата обрасцем 26), била повољнија од Штурмове горње граниде дате обрасцем a тс N, треоа да j или, најзад, /Г am r Π« a < N ß a где je λ = или N )> λ rim m ~ β a 3 a N < - λ, 27)

31 одакле добијамо ово правило : кадгод крива линија y = 6) (х) y размаку [a, ß) није ce a изнад ираве y = λ. граница 26) иовољнија je од Штурмове (Сл. 2). 33 Iако н-.пр., ако уочимо малопређашњу једначину 21) и 4- и па потражимо горњу границу за број бесконачница y размаку (1, 4i, налазимо да je Штурмова горња граница равна броју целих јединица садржаних y вредности ß - «\Г N π '3, 14 f 63,9... 2=9. 28) Пошто вредност 28) има 9 целих јединица, значи да je Штурмова горња граница за број бесконачница y овом случају број 9. Међутим, ако за компаративну једначину узмемо w w = 25 λ Λ X ) 29) коју добијамо из опште једначине 15) кад изберемо Општа Biccati-ева једнач. ирвога реда 3

32 34 коефициенте тако да je y A 3, B 25, па дакле m = 2, a размаку (1, 4) непрестано 5 Τ a X > 4χ 7 -* / X х ' онда ће проучавани интеграл и y размаку (1, 4) имати највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w компаративне једначинс 29) или само једну више, т. ј. највише онолико колико има делих јединица y вредности βπ a lu тс 3, =7. 30) Пошто вредност 30) има 7 целих јединица, значи да интеграл и има y размаку (1, 4) највише 7 бесконачница. Штурмове граниде дате су бројевима 1 и 9 ; наше границе 26) и 30) бројевима 2 и 7. Лако ce, међутим, уверавамо да проучавана једначина има као партикуларан интеграл израз u = 2xcotgx'1 v 11 Бесконачнице овога партикуларнога интеграла дате су општим условом X2 = ћтт, одакле ce лако налази да проучавани интеграл и y размаку (1, 4) има 5 бесконачница.

33 Као што ce види, наше граниде 26) и 30) y лоематраном случају уже су и, према томе, повољније од Штурмових. Што ce тиче распореда бесконачница проучаванога интеграла и y размаку (а, β), о њему нас већ обавепггава распоред бесконачница комдаративних интеграла w. Распоред бесконачница интеграла w, дефинисаног обрасцем 16), уираво je распоред нула Функције sin axm, a тај je, као што знамо, збијен кад je m 1, a разређен кад je m <С 1. Из тога закључујемо да ће и распоред бесконачница проучаванога интеграла' и, y главном, бити збијен кад je m > 1, a разређен кад je m < 1, т. ј. y једном довољно великом размаку проучавани интеграл показиваће тежњу да има, y првом случају, бесконачнице све гушће, a y другом све разређеније. 3 Узмнмо за компарадију једначпну облика 35 v ' - f V 1 = A B e 2 ρ ι ' 3 2 ) где je p 2 A = l^ Њен партикуларни интеграл дат je обрасцем V = apepi cotg аерх 33) где ce a одређује из једначиде B = a V Бесконачнице дартикуларнога интеграла v, као што ce види из обрасца 33), дате су општим условом _ 1 'Х~ р log з*

34 36 одакле ce лако налази да интеграл v има y размаку (а, ß) онолико бесконачница колико има целих je диница y вредности Нека je ββρ _ e<4' ји 1 И јж a 4-1 π 1 и -ј- и 1 ω(χ) 34ј дата једначина која треба да ce проучи y размаку ja, /3). Ако изберемо коефициенте A и В, па дакле и р ii а, y једначини 32) тако да y размаку (a, /3) буде непрестано задовољен услов 6Ј (х) A Ве"1 1 35) онда he интеграл и једначине 34) y размаку (a, ß) имати бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл v изабране компаративне једначине или само једнумање, п а како интеграл двфинисан обрасцем ЗЗј, има, као што смо већ поменули, y размаку (a, ß) онолико бесконачнида колико има целих јединица y вредности eßp еар ~---- а + ^ 3 ТС то ce добија теорема: сваки интеграл u dare једнa-, чине 34ј има y размаку (а, ßj најмање онолико оесконачница колико има целих јединица y вредности. eßp еар a 36) π

35 .37 Да би доња граница за број бесконачница интеграла и y размаку (a, ß), дата обрасдем 36) била повољнија од Штурмове, дате обрасцем треба да je 7t eßp β σ Ρ ß a a > Ум или м < и где je /i = e ßp e ap ß a - нли, најзад, Μ > μ 37) одакле добијамо слично правило као ираније: кадгод крива линија y = O) (х) y размаку (a, ß) није сва исиод праве y μ, грапица 36) иовољнија je oô Штурмове. Ако изберемо, y једначини 32), коефиценте АиВ, па дакле и р и a тако да y размаку (а, ß) буде непрестано задовољен услов 0) (х) ^ A Beipx, онда he интеграл и y размаку [a, ß) имати највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл v нове компаративне једначине или само једну више, па како интеграл v има y размаку (a, 3) онолико бесконачница колико има целих јединнда y вредности eßp е Р : a 4-1 тс

36 38 το ce добија ова теорема: сваки интеграл u dare једначине 34ј имаће y размаку (α, β) највишв онолико бесконачпица колико има це.гих јединица y вредности eßp el'p a ) TT 1 Да би горња граница за број бесконачница иитеграла u y размаку (α β), дата обрасцем 38), била повољнија од Штурмове, треба да je eßp eßp ο _ ~ a < /ΛΓ или N > μ где je μ = eßp e«p β α или, најзад, N < μ 30 j одакле добијамо правило: кадгод крива линија y = о)(х) y размаку (α. β) није ce a изнад ираве y = μ, граница 38) иовољнија je од Штурмове. Потврдимо ове резултате на једноме примеру. Нека je дата једначина u' и ' / 4е4х -iof па ce тражи да ce одреде доња и горња граница бесконачнида интеграла u y размаку (0, 3). Ако за комиаративне једначине узмемо ове две п 4- v ' = 1 9 eix 41) w' + w2= 1 - е4х 4 2)

37 39 чији cy партикуларни интеграли р = 2 a V = 3 e2xcotg -ÿ e2* 1 43; p = 2 a = w e2xcofg -g e2 44; онда, пошто je y размаку (0, 3) непрестано задовољен услов i 9e41 < i 4eix < 1 eix, проучавани интеграл u мора, према пређашњем, имати y размаку (0, 3) бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w или само једну мање, a највише онолико колико нх има y томе размаку интеграл v или само једну више ; другим речима: интеграл и имаће y размаку (0, 3) бар онолико бесконачница колико има делих јединица y вредности eßp --- еар е6 Ј 1,, 1 a највише онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности eßp π е ар a -јi Пошто израз 45) садржи 64 целе јединице, a израз 46) садржи 190 целих јединица, то закључујемо да проучавани интеграл u y размаку (0,3) има најмање 64 бесконачнице, a највише 190 бесконачница.

38 40 Ако бисмо потражили Штурмове границе, добили бисмо за доњу границу i, a за горњу 768. Међутим, дако ce уверавамо да интеграл проучаване једначине 40) u = 2 e coig e i, чије cy све бесконачнице дате општим условом е2* = ћтг, има y размаку (0,3) свега 120 бебконачница. Наше границе 45) и 46) знатно су, дакле, уже и повољније од Штурмових. Што ce тиче рас-пореда бесконачница проучаванога интеграла u, о њему нас обавештавају распореди бесконачница компаративних ингеграла w и V. Лако ce увиђа, нпр., да je y нашем случају распоред бесконачница изабраних компаративних интеграла врло збијен, па he зато и распоред бесконачница проучаваног интеграла u y посматраном размаку бити врло збијен 4 Узмимо, напослетку, за компарацију и једначииу v' -ј- V2= ^,j -47) 4 X која има, као што већ знамо, за партикуларан интеграл израз a V = cotg a log X 1 где ce a одређује из једначине A =2 1 4 a '

39 Бесконачнице партикуларнога интеграла v, као што ce види из обрасца 48), дате су општнм условом к:гг 41 одакле ce лако налази да интеграл v y размаку (α,β) има онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности «Нека je a log ~Ј- 7 7Г a и' -ј- и 1 ω (ж) 49) дата Једначина која треба да ce проучи y разма^у [а, β). Ако изберемо сад коефициенат А, па дакле и а, y једначини 47) тако, да y размаку (α,β) буде нелрестано задовољен услов ω (х) 4,х2 50) онда he интеграл и y размаку («, β) имати бар онолико оесконачгшца колико их има y томе размаку интеграл v или само једну мање, па како интеграл v, дефинисан обрасцем 48), има, као што смо већ поменули, онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности a 3 - lo g il 4-1 ττ a το ce дооија ова теорема:* сваки интеграл u дате једначине 40. имапе y размаку (a, β) најмање онолико бесконачница колико има целих јединица y вредчости а 3 ~ log 5l) π * a I

40 42 Да би доња граница броја бесконачница интеграла и y размаку (α, β), дата обрасцем 51), била повољнија од Штурмове, треба да je a log ^ a β a > или Μ < ς, или, најзад, где je ς logpy a β α Μ > ç 5'2) одакле опет добијамо слично правило као и пре : кадгод крива линија y = ω [x] y размаку [a, β) nu je сва исиод ираве y = ς, грапица 51) аовољнија je од Штурмове. Ако изберемо сад коефициенат А, па дакде и à, y једначинн 47) тако да y размаку («, β) буде непрестано задовољен услов W > ' 4 ' ' ' 53' онда ће интеграл a имати y размаку (α, β) највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл v нове компаративне једначине или само једну више, па како интеграл v y размаку (et, β') има онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности a β i, ж 109 α +

41 ιό ce добија ова теорема : сваки интеграл u dare једначине 49) имаће y размаку (α, ß) највише онолико бесконачница колино има целих јединица y вредности a 3 - l o g ~ ) 43 Да би горња граннца броја бесконачница интеграла и у, ра.змаку («, ß), дата обрасцем 54), била повољнија од Штурмове, треба да je II л н 7 ß a log Ј- α ~β~=^α< - Ar< - s, где je ζ = α --- a одакле дооијамо правило: кадгод крива линија y = со (х) У розмаку [α, β) није ce a изнад ираве y = ς, граница ο4) повољнија je од Штурмове. Што ce тиче распореда бесконачнпца проучаванога интеграла, о њему нас може обавестити распоред бесконачница компаративних интеграла. Бесконачнице компаративних интеграла v дате су, као што смо већ раније видели, општим условом одакле ce види да je њцхов распоред разређен, па je, према томе, y једном довољно великом размаку

42 44 a распоред бесконачница проучаванога интеграла и такође разређен. Потврдимо и ове резултате наједноме примеру. Нека je дата једначина па ce траже доња и горња граница бесконачница интеграла и y размаку (1,100). Ако за компаративне једначине узмемо ове две T fv λ-'2 25 w2= 2 X2 чији су партикуларни интеграли = s y log X 7 7, Ί w = T x Cotg \Ύ iog '] + 2х 1 2х -58) 59) онда, пошто je y размаку (1,100) непрестано задово- љен услов 41 2х2 65 < 7 5" < 4.x проучавани интеграл и мора имати y размаку (1,100) бар онолико бесковачница колико их има y том размаку интеграл w или само једну мање, a највише онолико колико их има y томе размаку интеграл v или само једну више; другим речима: ичтеграл и 25

43 имаће y размаку, (1,100) бар онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности 45 a A _ 7 π a 2.3,7 4 a највише онолико колико има целих јединица y вредности a 9 Т a лг «β lo9 37 ~l ,74 2 = ) Пошто израз 60) има Oee целе јединице, a израз 61) чвтири целе јединиде, то закључујемо да проучавани интеграл и једначине 55) има y размаку (1,100) најмање две, a највише четири бесконачнице, не рачунајући ту β/вентуалну бесконачницу х = 7. Ако иотражимо Штурмове границе, нашли бисмо да je доња граница равна броју целих јединица садржаних y изразу β a ' јт ]f Μ 99 ~~ 3,74 ][б5. T.Wœ Tl Р ЈУ * За горњу границу налазимо број целих јединида садржаних y изразу β a JT yn У , тј. број ,1k Међутим, лако ce уверавамо да интеграл проучаване једначине 55) и = cota X 4 log X + Ј_ 2х 62) чије су све бесконачнице дате општим условом

44 46 има y размаку (1,100) свега 3 бесконачнпце, не рачунајући ту бесконачницу х = 1. Као што ce види, и y овом случају наше границе 60) и 6f) знатно су уже и повољније од Штурмових. ТТТтп ce тиче распореда бесконачнида интеграла и једначине 55), о њему нас обавештавају распореди бесконачница компаративних интеграла v и w. Ти су распореди, као што смо већ видели, разређени, па he зато y једном довољно великом размаку и распоред бесконачница проучаванога интеграла и бити такође разређен. 5. Можемо ce сад запитати како стоје по целисходности међу собом разне границе које смо навели y прошлом. Можемо ce, нпр. питати кад he доња гранида облика />vr. 0 р a тс бити повољнија од доње границе облика 6 3 ј ^ π log * 1 a, 6 4, Очевидно je да he το бити случај онда кад je a j m а У > а2log ß а2 log а 65) одакле добијамо правило : кадгод je ирираштај функције y atx m y размаку ία, β) већи од ирираштаја

45 функције y а2log х y истом размаку, граница 63) иовољнијa je од границе 6i). Или другим речима: кад криеа линија y atx m y размаку (α, β) брже расте од криве линије y а2log х, граница 63) иовољнија je од границе 6i). Тако, нпр. нека je дата једначнна 47 и -ј- u' = ίχ 2 66) па ce тражи доња граница броји бесконачнида интеграла и y размаку (3, 5). Компарацијом са једначином V I- V 7 * X 1 4х чији je партикуларни интеграл m 1 Ύ X cotg X l_ 2х и која задовољава y размаку (3,5) услов 3 4х2 4х2 < X налазимо као доњу границу броја бесконачница интеграла и y размаку (3,5) број целих јединица садржаних y вредности π α a, = 1 Y, тј. број dea. 67 ί Компарацијом, пак, са једначином

46 48 w' - j - W х2 je партикуларни интеграл II K i. Г п 1 w = cotq X а 11 log X + à и која такође, y размаку В, 5), задовољ ава услов 3 4х2 4 X2 < Ύχ~ налазимо као доњу границу броја беск?оначница интеграла и y размаку (3,5), број целих јединица садрж аних y изразу а, π log A 11 5 a S,1k log J T. j. број један 68) Међутим, лако ce уверавамо да интеграл и једначине 66) и = 2 X cotg X * 1 има y размаку (3, 5) шест бе.сконачнпца. Граница 67) боља je од границе 68), јер je задовољен услов 65), пошто je y овом случају очевидно 5 '1 З2 > П log 5 11 log 3 Ha сличан начин могли бисмо поредити међу собом и остале границе. 6. Ми смо до сад, y 3, 4 и 5, проучавали само бесконачнице интеграла и. Али ce све то досадашње

47 испитивање може применити и на ироучавање нула интеграла јер ce једначина 49 може сменом u' -(- и 2== /х) 69) и V (,)' (х) ω(χ) ' 2 ω2 fx) ΊΟ) трансформисати y једначину где je w' -f v- = G (χ) -. 71) тако да, кадгод je Функција <у(х) холоморфна y посматраном размаку, што уосталом увек претпостављамо, бесконачнице интеграла v поклапају ce са нулама интеграла' и. На тај начин, посматрајући једначину 71), ми смо y стању да нађемо доњу и горњу границу броја нула интеграла и једначине 69) што леже y једном датом размаку (а, /3); моћи ћемо, затим, обележити размаке y којима уопште нема нула ; можемо проучити распоред нула y датом размаку и т. д.. Уочимо једначину 7. и' ј и ~ (.) {х; 1) Лако ce увиђа да двоструке нуле интеграла u могу бити само нуле Функције ω (х), пошто y том случају мора y исто време бити Огшта Riccati-ева једнач. ирвога реда 4

48 50 Il = 0i u' 0 Према томе, двоструке нуле интеграла u сталнв су. ДиФеренцирајући једначину 1) добијамо и" Îj-τ 2ии' = о) (х) одакле видимо да троструке нуле интеграла и могу бити само нуле Функције ω (х), јер за троструке нуле интеграла и мора бити y исто време и == О U 0 u" = 0 И гроструке нуле су, дакле, сталне. На сличан начин налазимо да четвороструке нуле интеграла u могу бити само нуле Функције ω" (х) и уопште : да n струке нуле интеграла u могу бити само нуле «кункције (»-2) < >(х) где (n 2) означава ред извода. Према томе, све вишеструкв нуле интеграла Rîccati-еве једначине 1) сталне су. Узмимо, као пример, једначину и' и 1 ;\ ' ) И нтеграл и једначине 2) може, према малопређашњем, имати као двоструке нуле само вредностм X = i и X = 1. Лако ce, међутим, уверавамо да једначин а 2) има као један интеграл израз u = X 1 2 X 1 и он одиста има као двоструку нулу вредност х = + i.

49 51 8. Хоризонталне превојне тачке. тачке Mj и М2 y сликама 3 и 4. Испитајмо сад, мо- fÿ же ли ce на датој Riccati-евој једначини И, То су, н. лр., и'.-j-, u'- = (0!χι.. i) Ο ->х распознати да ли њени интеграли имају тих CU. 3. хоризонталних превојних тачака. Да би, уопште, једна Функција u имала коју прев јну тачку као y сл. 1, треба, као што je лако У увидети, да за из- Мх весну вредност независно променљиве буде y исто време Сл. 4. u о u = 0 u > ο, a да би имала коју превојну тачку као y сл. 2, треба да за извесну вредност независно променљиве буде y исто време u' = о u" = о u'" < ο Ако ово резоновање применимо на један интеграл u Riccati-еве једначине 1), добићемо ове резултате. * Крива линија. у г = ω (X; предетављаће нам геометријско место евенгуалних хоризонталних превојних тачака. 4*

50 52 Интеграл и имаће хоризонталних превојних тачака,. као y сл. 1, за оне вредности х за које je y исто време ω (х) = о 0)" (х) > 0, a превојних тачака као y сл. 2. за оне вредности х за које je y исто време ω' (х) о 0)" (х) < о Тако, н. ир., за једначину и' 4- и 2 = х6 -f 2,τ3 :ix 2-r l 2) имамо да je eo (x) = χ 6 -j- ~ ^'3 H 3 x~ ω' (x) = 6 xs -f 6 χ 1 -j- 6 χ 0)" ix) == 30 x* 12 x 6 i Из последња два израза видимо да je за вредност χ = о ω (о) = о ω" (о) > о Према томе, тачка чија je апсциса х = о биће за интегралну криву и једна хоризонтална превојна тачка као y сл. i. Ha сличан начин налазимо да интеграл и једначине и' + и 1 = χ 2 χ 3 3 x 2 -ј- 1-3) има за хоризонталну превојну тачку као y сл.2 ону тачку која одговара оиет вредности х = о.

51 Ове резултате можемо врло лако верификовати, јер једначина 2) има као један интеграл израз a једначина 3) израз и = / -} -.v. 4ј и 1 X3. 5 ) Крива линија, међутим, чија je једначина 4), има одиста једну превојну тачку као y сл. i. и она одговара баш апсциси х = о. Исто тако, лако ce увиђа да крива линија, чија je једначина δ), има једну превојну тачку као y сл. 2 н она такође одговара аисциси X = о. Вертикалне npeeojне тачке. То су, н.пр., тачке Nj и N2 y сликама 5 и 6. Очевидно je да je y вертикалним превојним тачкама и' = ec Сл. 5. Према томе, интеграл и може имати вертикалних превојних тачака на коначној раздаљини само за оне \У коначне вредности х за које je 1, ω (х)' οβ Ако je, н. пр., ω (х) ма какав полином по х, -> ж ниједан интеграл одговарајуће Eiccati-еве Сл. 6.. i Једначине неће имати на коначној раздаљини вертикалних превојних тачака ; a ако je на пр. 53

52 54 ω [x) P(x) ~ Q (4 где cy P и Q полиноми no x, који немају заједничких нула, онда интеграл и одговарајуће Riccati-еве једначине може имати вертикалних превојних та.чака само за нуле полинома Q. 9. Посматрајмо једначину и' -ј- и* ω (х) 1) и покушајмо да нађемо и раздвојимо области y којпма интеграли и могу имати максимуме п м инимуме. Интеграл и може имати максимуме и минимуме само за оне вредностп х за које je и' = о Ако y једначини 1) ставимо u' = о, добијамо једначину и1 ω (x ) 2) која нам иредставља геометријско место евентуалннх максимума и минимума. ДиФеренцирајући једначину 1), добијамо и" -ј- 2ии' = ω' (х), па како je, за све вредности х за које и може достићи који максимум или мигшмум, u' = о, имаћемо v" = ω' (x ) 3) одакле закључујемо: Један ингеграл и може иматн максимуме само за оне вредности х које задовољавају неједначину < ) (х) < о

53 a може имати минимуме само за оне вредности х које задовољавају неједначину со' (X) >- 0 С обзиром на једначине 2) и 3), последње резултате можемо исказати и y овом облику : један интеграл u Riccati-еве једначине 1) може имати мансимуме само за онв вредности х што ce налазе y размацима y којима крива линија 2) ouada, a може имати минимуме само за оне вредности х што ce налазе y размацима y којима крива линија 2) расте. % 10 Предмет овога биће испитивање aсимтотних вредности интеграла Riccati-еве једначине 55 XI XI (0 ( х ј Задалак je, дакле : да ce исшгса како ce понаinajy интеграли и кад х бескрајно расте. Напишимо Riccatî-еву једначину y облику xi1= 0) (х) ix ' 1) Пустимо сад да х бескрајно расте, и нека Функција ω(χ), кад х бескрајно расте, тежи једној коначној и одређеној граници ω0., т.ј. нека буде lim ω Iх) ω0 за X = oc Према томе : да ли je та граница ој0 позитивна, равна нули или негативна, разликоваћемо ова три случаја. 1. Нека буде, најпре, «о 0

54 56 Онда ће једначина О>0 п = о очевидно пмати реалне корене, и нека ти корени буду I a п ~~а. Корени једначине ω и~ (I. ; ' - V :.. v -.. <. v'..? <Ј, нека буду -f- a н : a. Очевидно je де ће корени -(-α н a бити извеене Функције од х, које he тежити граничним вредностима -ј-a и а, кад х буде бескрајно расло. Према томе : да ли корени a. теже својим границама a опадајућп нли растући, ра.зликоваћемо ова два случаја. А). Нека коренп «теже евојим границама a опадајући, т.ј. нека je a > a Посматрајмо сад један интеграл једначине 1), који je, за иницијалну вредност' х 0, већи од а. Нека то буде, нпр., интеграл и. Пустимо оад да х расте од х 0 до ~н oe и испитајмо шта he за то време бити са интегралом и. Очевидно je, пошто je и' < о, да ће О.Н одмах почети да опада и опадаће све дотле док буде већи од а. Међутим, ofi не може никад бити мањи од а, јер чим би постао мањн од a морао би почети да расте, пошто би тада, као што ce видп из једначине i), било и ^> о. Отуда закључујемо : да he интеграл и стално опадати, али he при том остати увек већи од а Постојаће, дакле, једна граница, којој ће интеграл и тежитн кад х буде бескрајно расло. И та граница мора бити баш вредност а, јер ако би интеграл ц

55 тежио некој другој граници а,п која би била већа од а, једначина 57 К0ЈУ лако изводимо из једначине i), довела би до једне контрадикције, пошго би десна страна оетала коначна кад би и тежило вредности а,. Посмаграни интеграл u има, дакле, за границу вредност а. В). Нека корени a теже својим границама a растући, т.ј. нека je. a <γ a Посматрајмо оиет један интеграл једначине ij, који ће, за иницијалну вредност х л-0, бити већи од a. Нека тај интеграл буде и. Очевидно je, да he интеграл и одмах почети да опада и опадаће све дотле док не постане раван a. Кад постане раван а, онда ће почети да расте, али неће мођи сад никако да достигне сс, јер ако^ би интеграл и превазишао вредност a, морао би y исто време и расти и onaдати. У сваком случају, интеграл,и тежиће једној граници и, као!i мало пре, налазимо да je та граница баш вредност а. Уочимо, н.пр., једначину u 3} и потражимо асимтотну вредност једнога њенога интеграл и. Y овом случају je

56 ί.8 па he, дакле, бити и lim ω [χ) = ω0 = 1, за χ ββ a - i Отуда закључујемо : да he ce интеграл и једначине 3), кад х бескрајно расте, бескрајно приближавати вредности 1. 4 а бисмо ce уверили о тачности овога ззкључка, довољно je само да, напоменемо да je један интеграл посматране једначине 3) χ Нз досадашњега 1Авођења види ce да сви интеграли, који y једном моменту постају већи од а, пмају за границу а. Исти закључак важи и за интеграле који y једном моменту постају једиаки каквој вредности што ce налази између -f α и flt, јер они тада расту и бескрајно ce приближују краници а. Остаје још само да ce испита случај кад je непрекидно.» и < a Кад je <х веће од а, може ce десити, ако ce иницијална вредност од u налази између ά џ а, да интеграл и има за границу вредност а. Ако граничва вредност интеграла и није - а, као што πо правилу неће нл бити, пнтеграл u продужиће да беекрајно опада све до œ; једначина 2) показује да ће интеграл и достати œ за једп) коначну вредност х. Затим he наступити за инте-. грал и скок од œ на -ј- и тада ве!) имамо

57 посла са мало пре исиитаним случајем, т. ј. да ингеграл и тежи опет граничној вредности а. Тако, н.пр, интеграл и једначине X2 i (4 х)2 има за асимтотну вредност 4, као што ce лако увиђа из обрасца, којим je представљен интеграл u, 59 X Интеграл u имаће: даклв, као асимтотну вредиост, по иравилу, -f- a. a само ao изузетку a. Све досадашње извођење претпоставља, као што смо већ раније поменули, да Функција ω (х), кад.r бескрајно расте, тежи једној коначној, одређеној и позитивној граници ω0 ; другим речима: да корени једначине буду реални. 2. Нека буде сад <у0 и 1 о «о = т.ј. нека Функција ω (.х), кад х бескрајно расте, тежи нули. Онда he, очевидно, бити и a = о Интеграл u имаће, y овом случају, као граничну вредност нулу ; другим речима: интегрална кривa ириближаваће ce асимтотно аисцисној осовики

58 60 Уочимо, Η. ιίρ., једначину^ 1 S x и' + u 2 = gf 1ч и потражимо асимтотну вредност једнога њенога интеграла и. У овом случају je i S x (0 (х) = па ће, дакле, бити и lim ω (X) о)0 = ο, saa; οο a о Интегрална крива, y овом случају, асимтотно he ce приближавати апсцисној осови-ни. Да бисмо ce уверили о тачности овога закључка, довољно je само да напоменемо да je један интеграл посматране једначине 4) 1 U 2 X 3 Нека буде, најзад, ω0 < ο, т. ј. нека Функција ω[χ), кад х бескрајно расте, тежи једној коначној, одређеној и негативној граници ω0, другкм речима: нека корени једначине буду имагинарни.

59 Закључци, су, тада, сасвим друкчији. У овом последњем случају биће, очевидно, u' увек негативно, па he зато интеграл и стално опадати почевши од једне довољно велике вредности х. Међутим, заједну коначну вредност.х интеграл и мораће пос/гати оо. Јер, пре свега, није могуће, према пређашњем, да за X = + оо мнтеграл и има какву коначну и одређену границу. Осим тога, исто тако није могуће да интеграл и достигне само вредност ос за X = -)- оо, као што то показује једначина 2), чија би лева страна бескрајно расла, док би десна страна остала коначна. Сваки интеграл u, y овом случају, осциловапе бескрајно много иута између + оо и <х, сa наглим прелазом од ос на -ј- оо. Такав je случај, н. пр., са интегралима једначине и' -)- и~ = 1, који су, као што je лако уверити ce, сви дати општим обрасцем и = tang (с - х) где je с интеграциона константа. Наномена. Poincaré, Picard и М. Петровић испитали су асимтотне вредности интеграла Riccati-еве једначине y проширеном облику. Резултати, које смо ми, по Picard-y, извели непосредним посматрањем Riccati-еве једначине y општем облику, y потпуној су хармонији са тим резултатима што ce односе на интеграле Riccati-еве једначине y проширеном облику. 61

60 III ПРИБЛИЖ НА И Н ТЕГРАЦ И ЈА Познато je да ce проблем приближне интеграције какве диференцијалне једначине f (х, и, и'.... ) = о 1) може схватити на два разна начина: 1 може ce тражити место тачног интеграла и таква једна вредност v да резултат, који ce добија кад ce v смени на левој страни једначине 1), буде y датом размаку (а, ß) један врло мали број. Тада ce тај врло мали број може, y првој апроксимацији, занемарити, т. ј. права вредност интеграла и идентификује ce са ориближном вредности v. Тако, н. пр., ако je дата једначина и ' + и 2= ω (х) 2) која ce не може интегралити или ce уопште тешко интеграли, па ce нађе друга једначина v -)- v 1 Θ(х)... 3) која ce може интегралити и чија ce Функција Θ(х) разлнкује од Функције ω (х) за Функцију г ;хј, тако да je ω (XJ = Θ(х) -f- (x), 4j

61 онда, ако y једначини 2), сведеној на нулу, сменимо u са», водећи рачуна о релацији 4), добија ce као резултат на левој страни G3 V - ј V)1 Θ(хј. f (х) Међутим, пошто je идентички v ' - ј - V 1 Θ(х ) = 0, то ce горњи резултат своди на Функцију f(x). Ако сад Функција г(х), y посматратзм размаку («, ß), остаје, по апсолутној вредности, мања од извесног броја којим ce можемо задовољити, онда ce y лриближности сматра као да je é(x) = о. Сматра ce, дакле, као да интеграл v задовољава једначину 2), па нам зато v представља приближну вредност непознатога интеграла и. Овај начин приближне интеграције има ту незгодну страну што ce не зна y којој ce мери приближна вредност v разликује од праве вредности и ; 2 могу ce тражити такве две иознате и одређене функције п и w, за које смо y стању тврдити да ce y посматраном размаку (а, β) права вредност интеграла и непрестано налази између њих. Ако je, н. пр., чевидно je да he бити v V + w ^ w где je e, no апсолутној вредности, увек ί < W V 2 /

62 64 Ha тај начин, знајући Функције v и v>, знаћемо одмах и једну приблпжну вредност интеграла u, која ie дата обрасцем Ц -)- w a, осим тога, познаваћемо и граниду за највећу могућну грешку коју чинимо замењујући, y посматраном размаку, праву вредност интеграла приближном. Ta je граница, очевидно, дата обрасцем w V 2 ~ Овај други начин приближне интеграције има, као што ce видп, ту добру страну што увек знамо и степен приближности до које смо y датом случају дошли. Израз за највећу могућну грешку w --- V 2 ' показује да he грешка y толико бити мања, y колико су Функције v и w, y посматраном размаку, ближе једна другој. Приближна интеграција, на овај други начин схваћена, има, дакле, за циљ да одреди доњу и горњу границу проучаванога интеграла y посматраном размаку. 3. Нагшшимо дату Riccati-еву једначину y облику u' -ј- u 1 ω (х) u (J[ώ -(- uj ( у.ω u) i) \

63 65 Претпоставимо да je Функција о) (х) y размаку (о, а) позитивна и да не опада и посматрајмо интеграл и једначине 1) који иостаје раван нули за х = о. За њега можемо доказати ове резултате. За све вредности х y размацу (о, a) интеграл u je иозитиван и неирестано расте, aли не достиже никад вредност ][ω. Пре свега, интеграл и не може ни почети да опада, jep би тада био негативан, a његов први извод u', према једначини 1), позитиван. Ако Функција ω не постаје равна нули за х = о, за ту вредност х, пошто je u = о, биће, ако са u'0 означимо вредност првога извода интеграла u y тачки чија je апсциса х = о, и'о = (0 (о), па како je, према претпоставци, ω (о) > о, интеграл и, пошто постаје раван нули за х = о, растб почеви::! од х = о и остаје, нрема томе, позитиван. И доклегод je u <с Y ω интеграл и стално lie расти, jep je извод u ', према једначини 1), за све то време позитиван. Али, растући, интеграл и не може никако превазићи па ни достићи одговарајућу вредност Функције / «,јер, чим би je прешао, морао би почети да опада, пошто би извод и постао негативан, јер би тада било Y ω + u > ο Y ω u < ο Општа Riccati-ева једнач. првога реда 5

64 G6 С друге стране, међутим,. чим би интеграл и почео да опада, ттостао би мањи од ]/ ω, извод и био би иозитиван, те би тако интеграл и морао y исто време и опадати и расти, што je очевидно немогућно. Тиме je доказан горжи резултат. Ако Функција со постаје равна нули за х = о. a крива линија y = I о) (Ш не тангира y координатном почетку осу х, интегрална крива имаће y координатном почетку, према ономе што смо раније рекли о максимумима и минимумима, један м иним ум, јер. диференцирајући једначину 11, добијамо да je тада за х = о и = о и' = о и" со' (о) > о A ако крива липија y = f ω (х) тангира осу х y координатном почетку и ако je додир прост, координатни почетак биће, према ономе што смо раније рекли о превојним тачкама, једна хоризонтална превојна тачка интегралне криве, јер бисмо тада имали да je за х о и = о и = о и" о u'" со" (о) > о Ако за размак (о, a) узмемо размак (о, вв) и ако Функција У ω y том размаку асимтотно тежи једној коначној и одређеној гранпци а, интеграл и такође he асимтотно тежитп тој истој граници. Јер, како и непресгано расте, a не може, према пређашњем, никако да превазиђе вредност а, извод

65 и' тежиће нули кад х бескрајно расте, што значи, према једначини 1), да интеграл и асимтотно тежи граници а; резултат који, уосталом, излази и непосредно из онога, што смо рекли y одељку о асимтотним вредностима уопште Нека су дате две Riccati-еве једначине и -ј- иг (х) 1) V v'1= «2(х) 2) где су (0λ ii ω коначне и непрекидне Функције од X y посматраном размаку. Претпоставимо да je y датом размаку (о, a) непрестано «, > ωχ π нека интеграл и постаје бескрајан за х о, a да то није случај са интегралом v Онда ће, под иретпоставкама које су садржане још ii y доказу, y посматраном размаку, бити y исто време и U >> V Да бисмо горње тврђење доказал1р трансформишимо најпре дате Riccati-еве једначине 1) и 2) простим сменама У' U = о У y одговарајуће линеарне једначине другога реда 5*

66 68 y" = ωι (x) y ζ" ω2 (χ) ζ 5) 6 ) и посматрајмо оне интеграле y и z који y проучаваном размаку задржавају исти знак ; нека, поред тога, интеграл. y постаје раван нули за х = о, a το н.ека не буде случај са интегралом z. Помножимо једначину 5) са z, једначину 6) са y и одузмимо другу тако добијену једначину од прве, па ћемо добити zy" - yz" = i]ζ\ωλ ω2) 7) Помноживши, затим, једначину 7) са dx и интегралећи je y границама од /i до х, где je h један ма какав број, добија ce где je Гх zy' yz С 4- \ yz (<а, <у.2) dx 'h... gj Вредност константе С зависи од посматраних интеграла y и z једначина 5) и 6Ј. Кад je један утврђен. вредност константе С зависиће једино од оног другог посматраног интеграла. Поделимо једначину 8) количином y z, која je, no иретпоставци, позитивна, па ћемо добити Ако узмемо h = + f, чина, биће где je е врло мала коли- С = yz У_ У z за x ~ј- 10)

67 69 врло велику позитивну вредност, a производ yz no претпоставци je стално позитиван, το he и константа С бити очевидно позитивна. С друге стране, пошто je y размаку (о, а) непрестано, по иретпоставци, то he и интеграл У z > о о), > о бити позитиван y посматраном размаку. Једначина 9) тада показује да he y размаку (о, a) непрестано бити или, према једначинама 3) и 4), U > V, што je и требало доказати. 3. Посматрајмо две Riccati-евб једначине ν' V2= ωι (х) 1) w' -f w2 = 0)г (х) 2)

68 70 За Функције «, и а г претпостављамо да су y посматраном размаку (о, а) гшзитивне и да не опадају. Ако je, осим тога, y размаку (о, а) неттрестано (о, > о)2,... o') биће такође y томе размаку и V > w где су ü и w интеграли једначина l) и 2) који постају равни нуии за х о. Пре свега, из једначина 1) п 2), према услову 3i, добпјамо неједначину V + V ' > w ' - [ - w 1 4 ) Неједначину 4) можемо написати н \ оолику ν' w' > w ' 5) Ако би сад за једну вредност.v, блиску вред- ности X = о, било W > V, морало би y исто време бити, према неједначини 5), н или v > w' d dx ( V w) > ο Το значи да д и Ф е р е н ц и ј а v - w расте почевшн од те вредности х. Па како je она за х = о равна нули, морало би, почевиш од х = о, оити i: > w G друге стране, међутим, да би диференцпја v w могла постати негативна почевши од једне вредности

69 .r = 5 itiïo ce налази y размаку {o, a), треба да ce сведе на нулу за х = b, па пошто би, према малопређашњем, почевши од х b диференција v w морала расти, наилазимо опет на контрадикцију, чиме je горњп резултат доказан Нека су дате три Riccati-еве једначине v' 4- υ* = ωι (χ)... i, и' u1= ω (χ) 2) w w = (χ) 3) где за Функције ω и ω., опет претпоставља.мо да су y посматраном размаку (о, а) позитивне и да. не оиадају. Ако je, поред тога, y томе размаку непрестано ω, > (о > «,г биће y нсто време y томе размаку и V >» и > w где су v, и и w интеграли једначина 1), 2) и 3) који постају равни нули за х = о Овај резултат je, очевидно, непосредна последида резултата доказаног y 3. Последњи резултат може имати врло корисну примену y приближној интеграцији Riccati-еве једначине, Ако, нпр., треба да проучимо једначину 2) која ce не може интегралвти, онда ћемо за компаративне једначине 1) и 3) изабрати такве једначине које можемо интегралити или бар такве о чијпм интегра-

70 72 лима можемо имати довољно потребних података. На тај начин добићемо и податке о гранпцама између којих ce непрвстано, y посматраном размак\ (о. а), налази проучавани интеграл и. Тако бисмо са извесном приближношћу могли створити и олику о току проучаване интегралне криве линије. Очевидно je да ћемо интеграл и y толико боље познавати y колико компаративне Функције м, и сог буду тешње обухватале Функцију ω. 5. Наведимо y овом једну познату методу која ce може корисно употребити за приближну интеграцију диференцијалних једначина првога реда уопште.. Ta метода. заснива ce на генералисаној познатој теореми средљих вредности*). Нека je дата једначина 1 ) где je F ма каква, алгебарска или трансцендентна, Функцнја од X и и и нека je дата тгочетна тачка (х0, и0) траженог реалног интерала u. Тада ћемо бити увек y стању да изберемо, и то на оескрајно много начина, друге две једначине ;.2) 3) и један размак, с једне и друге стране вредности X = х о, тако да ce за сваку вредност х, обухваћену *) М. Petroviteh, Sur une manière d étendre le théorème de la moyenne aux équations differentielles du premier ordre. Math. Annalen LTV Bd. 3. Hft.

71 Тим размаком, вредноет интеграла u налази између одговарајућих вредности интеграла v и w једначина 2i и 3) који за л' =,v0 имају вредности v0 = w0 ип. И ова одредба доње и горње граннце интеграла и биће могућна па ма каква била почетна тачка (х0, и0), само ако ce не налази на извесним утврђеним кривим линијама y равни (х, и) које ce, уосталом, могу унапред знатп за дату једначину i). Дату...једначину 1) можемо на бескрајно многр начина написати y облику 73 du = F (х, u,f)... 1 ) где je f један коефициент који зависи од х, који ФигурицЈе y Функдији F и на који обраћамо нарочиту пажњу Претпоставимо да су за иницијалну вредност (х0, и0) ii Функција F и њен парцијални извод df df H (х, u, fi одређени, коначни и непрекидни, да осим тога не мењају детерминацију и да парцијални извод за ту тачку не иостаје раван нули Тачке које не испуњавају ове услове припадају извесним утврђеним кривим линијама y равни (х, и) које можемо унапред знати за дату једначину 1) или су, пак, изоловане ii сталие Ставивши f (х0) = (j можемо увек одредити две константне вредности λ и μ тако да буде λ < о < μ

72 h да Функција Н (х, и, t), сматрана као Фуакција од t, остаје коначна, одређена, неирекидна и различита од нуле, док t варира од λ до μ. Можемо загим увек, н то на бескрајно много начина, одредити две функције φ (х) и ψ (х) које he задовољавати ове услове: l v да буде ψ (д-ј = λ ψ{χ0) = μ 2 0 да буду коначне, одређене п непрекидне y једном размаку [х0 a l5 'х0 -f a ä); 3 да интеграли v и w једначина d v -^ = ϊ(χ,υ,φ)... i dw = F(x, ai који за X x0 имају заједничку вредност νυ = w0 = u0, буду коначни, одређени и непрекидни y једном размаку (х0 ö,, х 0 Изабравш и на'тај начин Функције φ u ψ, сгавимо Rv (χ} 0J = φ + [f φ) ΘΎ Η, { χ,θ 2) = ψ -f [ψ f) д г где су 0j n 0а два броја што ce налазе између о ц i, и уочимо Функције G, ix, θλ) Н ix, v, RJ G t [x, θ2) H [X, w, R t) сматране као Функције од.v, 0, н 0,, иошто ce n, w, R 1 n R 2 смене њиховим вредностима пзраженим помоћу x, 0, и 02. Лако ce доказује да Функције G, ii G2 не постају равне нули за.v =.v и да за ту вредност х

73 имају заједннчки знак, па ма какве биле вредности вх и 0г y размаку од 0 до l. Другим речима: увек he постојати један такав размак (х0 с13 х0 -ј- с,) да за сваку вредност х обухваћену тим размаком и за о < 0, < 1 о < 02 < i, Функције Gj ii G, буду одређене, коначне, непрекидне, да не мењају детерминацију и не иостају равне нули. Доњу границу овога размака имаћемо н.пр. ако потражимо такав размак (х0 g v х0 j-gra) да, означпвши са (М М2) и (JV,, iv2) одговарајуће граниде између којих варирају Функције \φ, ψ) и (v, w), за вредностп,v y томе размаку, Функцпја Н (х, и, t.) остајс одређена, коначна^ непрекидна и различита од нуле, док X варира од х 0 9, λ'0 -\~ У. и Д N, до iv, и t од М, до М2. Најзад, како je Функција F (х, и, fj, где je п f Функција од X, одређена, коначна и непрекидна за х = х0, и и0, noctojahe увек један размак, н.пр. од х0 d, до х Д- d,, такав да, означивши ca (Nt', N,') доњу и горњу границу взмеђу којих варирају v и w, са (М/, М2') доњу h горњу границу између којих варирају ψ и ψ, Функција F (х, и, f) остаје непрестано одређена, коначна h непрекидна, док х варира y размаку (х0 di; х0-f-d2), и између Nx' и N,', a f између М/ и 31,'. Уочимо сад један размак (х0 h 1, х0 -ј- h j који ce садржи y сва четири раније поменута размака (х0 a w х0 -ј- ад, (л'0 б,, (х0 + б2), (х0 с х0+ с 2), (X d,.v -ј- đ2). Тада ce лако доказује ова теорема која управо представља генералисану теорему средњих вредности : за сваку вредност х, обухвапену раз- Умапом (х0! д о + ^i) интеграл u једначине 1), који за X = X u.vta унаиред дату вредност и и0 одређен je, крначан и неирекидан и неирестано ce налази 75

74 76 између одговарајупих вредности интеграла v и w једпачина 4) и 5) који за х = х0 имају исту вредност v0 = W0 = u0. Очевидно je, ирема напред изложеном, да hé свакој диферендијалној једначини 1) μ сваком скупу иницијалних вредности (х0, и0) осим ако ce тачка (х0, и 0) не налази на раније поменутим утврђеним кривим линијама одговарати један размак (i0 hv х о "f чија ће величина бити различита, према случају с којим ce има посла, али који никад није раван нули. Употреба ове теореме сасвим je слична употреби теореме средњих вредностп. За дату ј.едначину, написану y облику 1*ј, треба одредити две функције φ и ψ које y близини вредности.r =.v0 обухватају што je могућно тешње Функцију f и које би биле такве даједначиве 4) и 5), које њима одговарају, или можемо потпуно интегралити или их бар можемо лакш е проучити него дату једначину. Размак (х0 /г1; х 0 -f \ ) мора, да укратко поновимо, задовољаватн ове у слове: 1 y њему су Функције ψ и ψ холоморфне и tieпрекидно задово-љавају услов ψ < f < гр; 2 интеграли v и w једначина dv Тп = F ι',φ) dw = F (x, w, ψ) к.оји за X = хо имају заједиичку вредност и(), холоморфни су ;

75 3' Функције Q1(x, 0,) и G2 (x, θ2) холоморфие cy ii не иостају равне пули па x\ia какве вредности, између 0 и i, имале променљиве θ{ и Ö, ; 4 Функција F (х, м, t,) холоморфнаје док u варпра између JV/ и NJ, t између М/ и М 2, где (М/, М'2) означавају дошу и горњу границу између којих варирају Ψ и ψ, a (iv1", iv2') доњу и горњу границу између којих варирају v и док х варира између х h И х0 + h2. Применимо последње резултате на Riccati-еву једначину написану y облику du ~ + и1= 6} И du - - = a (X, - e 77 Нека иницијална вредност х = х0 не буде никакав сингуларитет Функције ω(χ), која he тада бити непрекидна y извесном размаку (а2, а2) који обух вата вредност х = хо. Функција Н(х, u, t) овде ce своди на ï, na je G r (x, θ χ) 1 G 2 (χ, θ 2) = 1 Остаје нам још само да одредимо размак (bj, b2) тако да буде а, < К < Х0 < b2 < а 2 У коме he комиаративни интеграли. v и w бити хо- ЛОМОрФНИ. Да бисмо имали што простије интеграле v и w, претпоставимо да y размаку (а2, а2) Функција ω (х)

76 78 задржава ста.шо један исти знак. Разликујмо, према томе, ова два случаја : 1 Нека буде ω[χ) > о. Ако означимо са М, и М2 (где je М, <С М2) два позитивна броја између којих ce налази Функција ω док X варира y размаку (а,, а.,), ставпвши имаћемо φ (χ) = Μ, ψ (х) = М2 С ][м^ e2\mix - Ce2VMi x 2 Р, 6 ) w С \.м e2xvmi -ј- -ç С е2х ίλ,2 2 ] [ м 2 одакле ce лако налазе границе траженога размака (b,, ba). И y тако одређеном размаку, интеграл и биће холоморфан и стално о.бухваћен одговарајућим вредностима интеграла v и w дефинисаних обрасцима 6 ) и 7); 2 Нека буде ω (х) <С о Ако тада М, и М2 имају малопређашње значење, ставивши φ (χ) = Μ, ψ (х) = М,, имаћемо v = [ Д/, cotg fm, {χ e) 8) w = јim, cotg J Μ, (χ c)... 9)

77 И y сваком размаку, који обухвата иницијалну вредност X = хо, y коме су интеграли v и \v, дефинисани обрасцима 8) и 9), холоморфни, биће и проучавани интеграл и холоморфан и обухваћен одговарајућим вредностима. интеграла v и w. Напомена. Постоји још једна метода која ce додуше не заснива на досадашњем нашвм схвагању приближне интеграције, али која ce ипак корисно може употребити за приближну нумеричку интеградмју свих обичних диференцијалних једначпна, ла, дакле, τι за [Îiccati-еву једначину. Метода ce заснива на генерализацији познатог Simpson-овог правила, a развио ју je професор Runge, 1894 године.* Runge-овој методи могли бисмо учинити ове две замерке : прво, рачунање које je скопчано са њеном применом заметно je, често врло заметно; и друго, она није y стању да нам да никаква обавештења о ' тепену приолижности са којом радимо. Но и поред тпх двеју слаоих страна, Runge-ова, метода чини чесго велике услуге, јер je од свих метода за прпближна нумерпчка израчунавања интеграла ииак ова понајбоља. 79 Види Mathematische Annalen, Band 46, S

78 IV М ЕХАН И ЧКА ИНТЕГРАЦИЈА Апарати који служе за механичку интеграцију извесних типова диференцијалних једначина зову ce општим именом интегратори. Њих има од две врсте : једни апарати дају нам могућности да за произвољну дату вредност независно променљпве одмах нађемо одговарајућу нумеричку вредност траж ене Функције то су интегрометри ; други апарати, међутим, директно дртају интегралне криве које представљају траж ен е оункције то су интеграфи. Француски инжињер Јасов конструисао je год. једаи интегрометар који ce може корисно употребити за механичку интеграцију Riccati-еве једначине. Јасов тај свој апарат зове интегратор са ошгрицом (intégrateur à lame coupante). Прпнцип му je овај : Једну оштрицу y облику котура (1) носи део i2), којп ce налазп на шипци (3), по којој може клизити, a може бити и утврђен за њу y једној тачки помоћу завртњ а (4). На крају (3) налази ce једна писаљка (5) коју мон-:емо помоћу дугмета (6) вући по каквој одређеној кпивој y равни цртежа. Кад буде сад писаљка (5) ншла no једној кривој коју смо претходно нацртали π коју ћемо звати директрисом, пресек AB равни котура са равни цртеж а обавијаће једну криву коју he додиривати тачно y тачки В.

79 Нека je директриса нацртана y координатном систему чије су осовине ох и оу. Нека je A тачка директрисина која ce поклапа са врхом писаљке, X п y нека буду њене координате ; X и У нека буду 8i координате тачке В; (ј нека je дужина базе AB која не мора бити константна, a ω угао ове базе са осовином ох. Пошто права AB тангира своју анвелсшу y В, имаћемо dx dy cos ω sin ω ' ' 1) или, ако X и У изразимо помоћу х, у} о и ω, р d ω -ј- cos ω dy sin ω dx = ο... 2) Abû je једначина директрисе дата y иараметарском облику, нпр. једначина 2) постаје * = М*ј- y = fr (t). dо)? ~dt ' ^ ' 2 c o s ω ~ Γι sino) ~ 0 ' 3) о п ш т ж R i c c a t i - е в а Ј Е д н а ч. п р в о г а р е д а 6

80 82 и та једначина управо дефинише угловно кретање базе AB. Ако ставимо сад једначина 3) постаје ω fang - = и 2? + (i U') f, ~~ 2uf\ = ο 4) Ако je (), дужина базе, константна количина и Јвднака, рецимо, i, једначина'4) биће управо једна Riccati-ева једначина. И ако сад при померању базе будемо увек мерили угао ω који она склапа са једвим утврђеним правцем ох, одмах ћемо знати и нумеричку вредност интеграла и = tang једначине 4), која ће на тај начнн бити механички интеграљена.*) Да би ce Јасов-ов интегратор могао применити на Riccati-еву једначину, ова ce мора најпре идентификовати са једначином која регулише кретање базе апарата ω du _, f \ dt U где je l константна дун^ина базе. Да би ce на Riccati-еву једначину облика du = A u'2-i' Bu -f C dt 5; *) Детаљније o самом апарату и његовој уцотреби видн y Le caleul mécanique par L. Jacob ; cip (Encyclopédie scientifique, Paris, 1911).

81 где су A, В и С Функције од t, могао лрименити Јаcob-OB интегратор, потребно je и довољно да буде A -f С = о 7) што ce налази простим идентификовањем једначине 6) са δ). Међутим, кад je дата једначина 6), она уопште неће a priori задовољавати услов 7). Али je Јасов покађао да je лако трансформисати сваку једначину облика 6) тако да ce интегратор увек може применити. Ако су Функције A и С y интервалу интеграције супротнога знака, онда једначина 6) простом сменом y --- Λ п, где je λ = j 83 добија облик на који ce интегратор непосредно може употребити. Лако ce налази да he y овом случају директриса бити дата једначинама x = c.-\-2l[a dt 11 Ј 8) У = с, + l j' B dt где ce константе c( и c2 одређују према иницијалним условима задатка. Знајући, н. пр., иницијалне вредности независно променљиве t0 и одговарајуће Функције u0, знаћемо и тачку хо, уо од које полази писаљка која иде по директрисп. Из релације, затим, ωη и0 = tang y одређује ce и иницијални правац со0 базс апарата. 6*

82 84 Ακο ce сад тражи вредност интеграла за t = t,, писаљка ce повлачи по директриси док ce не дође до тачке х,, y, која одговара вредности t, ; тада ce измери угао ω,. па he вредност траженог интеграла бити ul = tang Ако су Функције A и G y интервалу интеграције истога знака, горња смена издаје и онда ce овако ради. Нека je ω угао базе са осовином ο х, β угао тангенте директрисине са истом осовином, a θ = β ο) угао између базе и тангенте. ТТошто знамо аналитичну вредност з.а угао β, знаћемо y свакој тачки и нумеричку вредност његову; о друге стране, апарат нам даје угао ω, тако да ћемо y сваком моменту бити y стању да одредимо и угао Θ. Пођимо од познате једначине 2) ω l deo -f- dy cos ω dx sin o>= o Ακο y њој извршимо најпре смену ω = β θ водећи рачуна ο томе да je na затим опет емену добићемо једначину (Iß, dy tan3li== d x tang Θ u

83 ä, το je Riccati-ева једначина y којој je A = C Лако ce уверавамо да сваку Riccati-еву једначину облика 6), y којој су Функције A и С y интервалу интеграције истога знака, простом сменом y = λ и, гдв je λ = доводимо на облик 9), где je, дакле, задовољен уелов A = С. Кад смо једна,чину 6) довели на облик који задовољава услов A = С, онда простим идентификовањем те једначине са једначином 9) налазимо једначнне директрисине где je X = ćj -ј- l ) В cos ßt dt y = c2 -j- l $ B sin ßt dt ß 'Ј \ Λ dl -f~ const η где ce интеграциове константе одређују према инидијалним условима. Знајући, н.пр., иницијалну вредност f0 и u0, знаћемо одмах и,v0, у0 и ß0. Релација 0 0 «0 = ta n g -r,... даће нам 00, ua ће, према томе, иравад базе a Hapax a y почетку бнти одређен углом «ο = β ο ~ θο A ko ce тражи интеграл за t == i,, 1шсаљка,се повлачи по директриси док ce не дође до тачке лд,

84 86 Vi која одговара вредности tx; тада ce измери угао ωχ, па пошто y тој тачки знамо и вредност ßt, тражени интеграл за t = tt оиће 1 и\ = tg~2 {ß> ~ Сад ћемо показати како ce општа Riccaù-ева једначина облика V + У ' ω (х) ' може довести иа облик на који ce непосредно приметвује механичка интеграција. Претпоставимо најпре да je Функција ω (х) y интервалу интеграције позитивна. Ако извршимо смену једначина 11) постаје У = ± и Y (0 (xi ^ и'2 ±]/Γω a ова последња једначина задовољава потребан и довољан услов да ce на њу може применити Jacob-ов интегратор. Ако je пак Функција ω (х) y интервалу интеградије негативна, једначина 11), помоћу смене y u]/ ω (х) доводм ce нa облик 9), на који ce, као што смо впдели, такође непосредно примењује механичка интеграција.

85 Jacob-ов интегратор je доста прост апарат и згодан je за нрактичну употребу. Он ce може употребити за интеграцију сваке Riccati-еве једначине за коју смо y стању да нацртамо одговарајућу директрису. Како ce директриса одређује помоћу квадратура 8) и 10), το можемо казати : да, иомопу Jacob-oeoz аиарата можемо интегралити сваку Riccati-еву једначину за коју смо y стању извести одговарајупе квадратуре 8) и 10). Одредба директрисе истиче на видик и сингуларитете интеграла Riccati-еве једначине којц су стални. Овим вредностима независно променљиве одговарају на директриси или бескрајне или имагинарне гране. Jacob-OB интегратор има у главном исту конструкцију као тракториограф, који je Клврић* конструисао 1897 год., дакле читавих 10 година пре Jacob-a. Клерићев апарат, поред тога што може корисно да ce употреби за тачну конструкцију трансцендентних бројева е и тс, за поделу кружне периферије на п једнаких делова ит.д., имао je главни свој задатак да на један врло лак начин конструише трактрисе за једну дату Функцију f (х), па му je и име дошло од те њ егове поглавите намене. Г. П етровићје показао** како ce Клерићев тракториограф може употребити и као интеграф за извесне типове диференцијалних једначина првога реда. Лако je, међутим, показати како ce Клерићев апарат може употребити и као интегрометар за Riccati-еву једначину. Јер ако писаљку (stylet) на Клерићевом апарату будемо вукли не ио датој ли- * Dingler s polytech. Journal, 1897; Bd Petrovits, Integration graphique de certains types d'équations aiilerentielles du premier ordre (Bulletin de la Société mathématique de France: 1899, стр. 200). 87

86 88 нији чије ce трактрисе траже, него по директриси какве Riccati-еве једначине, онда Клерићев апарат управо постаје Jacob-ов ингегратор и може ce употребити, на исти начин као и овај, за механичку интеграцију Riccati-еве једначине. Напомена. И Jacob-ов интегратор и Клерићев тракториограф по својој суштини нису ништа друго него познати аланиметар који je Prytz, капетан y данској војсци, конструисао још 1887 године. Апарати, Jacob-OB и Клерићев, разликују ce од Prytzовог управо само по својим спедијалним наменама. Ј * f \ ч. -

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ДВЕ НЕПОЗНАТЕ 8.. Линеарна једначина с две непознате Упознали смо појам линеарног израза са једном непознатом. Изрази x + 4; (x 4) + 5; x; су линеарни изрази. Слично, линеарни

Διαβάστε περισσότερα

1.2. Сличност троуглова

1.2. Сличност троуглова математик за VIII разред основне школе.2. Сличност троуглова Учили смо и дефиницију подударности два троугла, као и четири правила (теореме) о подударности троуглова. На сличан начин наводимо (без доказа)

Διαβάστε περισσότερα

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА

2. Наставни колоквијум Задаци за вежбање ОЈЛЕРОВА МЕТОДА . колоквијум. Наставни колоквијум Задаци за вежбање У свим задацима се приликом рачунања добија само по једна вредност. Одступање појединачне вредности од тачне вредности је апсолутна грешка. Вредност

Διαβάστε περισσότερα

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ

7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7. ЈЕДНОСТАВНИЈЕ КВАДРАТНЕ ДИОФАНТОВE ЈЕДНАЧИНЕ 7.1. ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ху = n (n N) Диофантова једначина ху = n (n N) има увек решења у скупу природних (а и целих) бројева и њено решавање није проблем,

Διαβάστε περισσότερα

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве

г) страница aa и пречник 2RR описаног круга правилног шестоугла јесте рац. бр. јесу самерљиве в) дијагонала dd и страница aa квадрата dd = aa aa dd = aa aa = није рац. бр. нису самерљиве г) страница aa и пречник RR описаног круга правилног шестоугла RR = aa aa RR = aa aa = 1 јесте рац. бр. јесу

Διαβάστε περισσότερα

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису.

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА. k, k 0), осна и централна симетрија и сл. 2, x 0. У претходном примеру неке функције су линеарне а неке то нису. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА 5.. Функција = a + b Функционалне зависности су веома значајне и са њиховим применама често се сусрећемо. Тако, већ су нам познате директна и обрнута пропорционалност ( = k; = k, k ),

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . Решимо једначину 5. ( * ) + 5 + Провера: + 5 + 0 5 + 5 +. + 0. Број је решење дате једначине... Реши једначину: ) +,5 ) + ) - ) - -.. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем. ) - 0

Διαβάστε περισσότερα

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm

налазе се у диелектрику, релативне диелектричне константе ε r = 2, на међусобном растојању 2 a ( a =1cm 1 Два тачкаста наелектрисања 1 400 p и 100p налазе се у диелектрику релативне диелектричне константе ε на међусобном растојању ( 1cm ) као на слици 1 Одредити силу на наелектрисање 3 100p када се оно нађе:

Διαβάστε περισσότερα

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда

ОБЛАСТИ: 1) Тачка 2) Права 3) Криве другог реда ОБЛАСТИ: ) Тачка ) Права Jov@soft - Март 0. ) Тачка Тачка је дефинисана (одређена) у Декартовом координатном систему са своје две коодринате. Примери: М(5, ) или М(-, 7) или М(,; -5) Jov@soft - Март 0.

Διαβάστε περισσότερα

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x)

Хомогена диференцијална једначина је она која може да се напише у облику: = t( x) ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Врсте диференцијалних једначина. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНА ЈЕДНАЧИНА КОЈА РАЗДВАЈА ПРОМЕНЉИВЕ Код ове методе поступак је следећи: раздвојити

Διαβάστε περισσότερα

5.2. Имплицитни облик линеарне функције

5.2. Имплицитни облик линеарне функције математикa за VIII разред основне школе 0 Слика 6 8. Нацртај график функције: ) =- ; ) =,5; 3) = 0. 9. Нацртај график функције и испитај њен знак: ) = - ; ) = 0,5 + ; 3) =-- ; ) = + 0,75; 5) = 0,5 +. 0.

Διαβάστε περισσότερα

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

I Линеарне једначине. II Линеарне неједначине. III Квадратна једначина и неједначина АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? АЛГЕБАРСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ I Линеарне једначине Линеарне једначине се решавају по следећем шаблону: Ослободимо се разломка Ослободимо се заграде Познате

Διαβάστε περισσότερα

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је:

b) Израз за угиб дате плоче, ако се користи само први члан реда усвојеног решења, је: Пример 1. III Савијање правоугаоних плоча За правоугаону плочу, приказану на слици, одредити: a) израз за угиб, b) вредност угиба и пресечних сила у тачки 1 ако се користи само први члан реда усвојеног

Διαβάστε περισσότερα

6.2. Симетрала дужи. Примена

6.2. Симетрала дужи. Примена 6.2. Симетрала дужи. Примена Дата је дуж АВ (слика 22). Тачка О је средиште дужи АВ, а права је нормална на праву АВ(p) и садржи тачку О. p Слика 22. Права назива се симетрала дужи. Симетрала дужи је права

Διαβάστε περισσότερα

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице.

КРУГ. У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. КРУГ У свом делу Мерење круга, Архимед је први у историји математике одрeдио приближну вред ност броја π а тиме и дужину кружнице. Архимед (287-212 г.п.н.е.) 6.1. Централни и периферијски угао круга Круг

Διαβάστε περισσότερα

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10

Tестирање хипотеза. 5.час. 30. март Боjана Тодић Статистички софтвер март / 10 Tестирање хипотеза 5.час 30. март 2016. Боjана Тодић Статистички софтвер 2 30. март 2016. 1 / 10 Монте Карло тест Монте Карло методе су методе код коjих се употребљаваjу низови случаjних броjева за извршење

Διαβάστε περισσότερα

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ

2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2. EЛЕМЕНТАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ 2.1. МАТЕМАТИЧКИ РЕБУСИ Најједноставније Диофантове једначине су математички ребуси. Метод разликовања случајева код ових проблема се показује плодоносним, јер је раздвајање

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола i i i Милка Потребић др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА

предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Висока техничка школа струковних студија у Нишу предмет МЕХАНИКА 1 Студијски програми ИНДУСТРИЈСКО ИНЖЕЊЕРСТВО ДРУМСКИ САОБРАЋАЈ II ПРЕДАВАЊЕ УСЛОВИ РАВНОТЕЖЕ СИСТЕМА СУЧЕЉНИХ СИЛА Садржај предавања: Систем

Διαβάστε περισσότερα

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ.

Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама r и ϕ. VI Савијање кружних плоча Положај сваке тачке кружне плоче је одређен са поларним координатама и ϕ слика 61 Диференцијална једначина савијања кружне плоче је: ( ϕ) 1 1 w 1 w 1 w Z, + + + + ϕ ϕ K Пресечне

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА МАТЕМАТИКА ТЕСТ УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

Количина топлоте и топлотна равнотежа

Количина топлоте и топлотна равнотежа Количина топлоте и топлотна равнотежа Топлота и количина топлоте Топлота је један од видова енергије тела. Енергија коју тело прими или отпушта у топлотним процесима назива се количина топлоте. Количина

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ

ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Универзитет у Источном Сарајеву Електротехнички факултет НАТАША ПАВЛОВИЋ ЗБИРКА РИЈЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Источно Сарајево,. године ПРЕДГОВОР Збирка задатака је првенствено намијењена

Διαβάστε περισσότερα

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја.

Први корак у дефинисању случајне променљиве је. дефинисање и исписивање свих могућих eлементарних догађаја. СЛУЧАЈНА ПРОМЕНЉИВА Једнодимензионална случајна променљива X је пресликавање у коме се сваки елементарни догађај из простора елементарних догађаја S пресликава у вредност са бројне праве Први корак у дефинисању

Διαβάστε περισσότερα

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011

Аксиоме припадања. Никола Томовић 152/2011 Аксиоме припадања Никола Томовић 152/2011 Павле Васић 104/2011 1 Шта је тачка? Шта је права? Шта је раван? Да бисмо се бавили геометријом (и не само геометријом), морамо увести основне појмове и полазна

Διαβάστε περισσότερα

Семинарски рад из линеарне алгебре

Семинарски рад из линеарне алгебре Универзитет у Београду Машински факултет Докторске студије Милош Живановић дипл. инж. Семинарски рад из линеарне алгебре Београд, 6 Линеарна алгебра семинарски рад Дата је матрица: Задатак: a) Одредити

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни ТАЧКА. ПРАВА. РАВАН Талес из Милета (624 548. пре н. е.) Еуклид (330 275. пре н. е.) Хилберт Давид (1862 1943) 3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни Настанак геометрије повезује

Διαβάστε περισσότερα

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003.

ПРИЈЕМНИ ИСПИТ. Јун 2003. Природно-математички факултет 7 ПРИЈЕМНИ ИСПИТ Јун 00.. Одредити све вредности параметра m за које су оба решења једначине x x + m( m 4) = 0 (a) реална; (b) реална и позитивна. Решење: (а) [ 5, + (б) [

Διαβάστε περισσότερα

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1

1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 1. 2. МЕТОД РАЗЛИКОВАЊА СЛУЧАЈЕВА 1 Метод разликовања случајева је један од најексплоатисанијих метода за решавање математичких проблема. У теорији Диофантових једначина он није свемогућ, али је сигурно

Διαβάστε περισσότερα

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x)

Тангента Нека је дата крива C са једначином y = f (x) Dbić N Извод као појам се први пут појављује крајем XVII вијека у вези са израчунавањем неравномјерних кретања. Прецизније, помоћу извода је било могуће увести појам тренутне брзине праволинијског кретања.

Διαβάστε περισσότερα

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c

6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c 6. ЛИНЕАРНА ДИОФАНТОВА ЈЕДНАЧИНА ах + by = c Ако су а, b и с цели бројеви и аb 0, онда се линеарна једначина ах + bу = с, при чему су х и у цели бројеви, назива линеарна Диофантова једначина. Очигледно

Διαβάστε περισσότερα

Анализа Петријевих мрежа

Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Анализа Петријевих мрежа Мере се: Својства Петријевих мрежа: Досежљивост (Reachability) Проблем досежљивости се састоји у испитивању да ли се може достићи неко, жељено или нежељено,

Διαβάστε περισσότερα

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2

8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х 2 + у 2 = z 2 8. ПИТАГОРИНА ЈЕДНАЧИНА х + у = z Један од најзанимљивијих проблема теорије бројева свакако је проблем Питагориних бројева, тј. питање решења Питагорине Диофантове једначине. Питагориним бројевима или

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

Испитвање тока функције

Испитвање тока функције Милош Станић Техничка школа Ужицe 7/8 Испитвање тока функције Испитивање тока функције y f подразумева да се аналитичким путем дође до сазнања о понашању функције, као и њеним значајним тачкама у координантном

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА

РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА РЕШЕНИ ЗАДАЦИ СА РАНИЈЕ ОДРЖАНИХ КЛАСИФИКАЦИОНИХ ИСПИТА 006. Задатак. Одредити вредност израза: а) : за, и 69 0, ; б) 9 а) Како је за 0 и 0 дати израз идентички једнак изразу,, : : то је за дате вредности,

Διαβάστε περισσότερα

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г.

Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 2010/11 г. Скрипта ријешених задатака са квалификационих испита 00/ г Универзитет у Бањој Луци Електротехнички факултет Др Момир Ћелић Др Зоран Митровић Иван-Вања Бороја Садржај Квалификациони испит одржан 9 јуна

Διαβάστε περισσότερα

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( )

I Тачка 1. Растојање две тачке: 2. Средина дужи y ( ) ( ) 2. II Права 1. Једначина прамена правих 2. Једначина праве кроз две тачке ( ) Шт треба знати пре почетка решавања задатака? АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА У РАВНИ I Тачка. Растојање две тачке:. Средина дужи + ( ) ( ) + S + S и. Деоба дужи у односу λ: 4. Површина троугла + λ + λ C + λ и P

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 013/014. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ

F( x) НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ НЕОДРЕЂЕНИ ИНТЕГРАЛ Штa треба знати пре почетка решавања задатака? Дефиниција: Интеграл једне функције је функција чији је извод функција којој тражимо интеграл (подинтегрална функција). Значи: f d F F

Διαβάστε περισσότερα

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ

МАСТЕР РАД УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ. Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ МАСТЕР РАД Тема: ГОРЊА И ДОЊА ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ НИЗА И НИЗА СКУПОВА И ЊИХОВЕ ПРИМЕНЕ У РЕЛНОЈ АНАЛИЗИ МЕНТОР: КАНДИДАТ: Проф. др Драгољуб Кечкић Милинко Миловић

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 014/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА

TAЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА TЧКАСТА НАЕЛЕКТРИСАЊА Два тачкаста наелектрисања оптерећена количинама електрицитета и налазе се у вакууму као што је приказано на слици Одредити: а) Вектор јачине електростатичког поља у тачки А; б) Електрични

Διαβάστε περισσότερα

Примена првог извода функције

Примена првог извода функције Примена првог извода функције 1. Одреди дужине страница два квадрата тако да њихов збир буде 14 а збир површина тих квадрата минималан. Ре: x + y = 14, P(x, y) = x + y, P(x) = x + 14 x, P (x) = 4x 8 Први

Διαβάστε περισσότερα

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила.

Вектори vs. скалари. Векторске величине се описују интензитетом и правцем. Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Вектори 1 Вектори vs. скалари Векторске величине се описују интензитетом и правцем Примери: Померај, брзина, убрзање, сила. Скаларне величине су комплетно описане само интензитетом Примери: Температура,

Διαβάστε περισσότερα

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ

ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Универзитет у Крагујевцу Машински факултет Краљево ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА ЗА ПРИЈЕМНИ ИСПИТ ИЗ МАТЕМАТИКЕ Краљево, март 011. године 1 Публикација Збирка решених задатака за пријемни испит из математике

Διαβάστε περισσότερα

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре

6.1. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре 0 6.. Осна симетрија у равни. Симетричност двеју фигура у односу на праву. Осна симетрија фигуре У обичном говору се често каже да су неки предмети симетрични. Примери таквих објеката, предмета, геометријских

Διαβάστε περισσότερα

Ознаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2

Ознаке: f и. Парцијални изводи, парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције z = f (x, y): 2. извод другог реда по x 2 2 Довољан услов за M M Дефинисати парцијалне изводе I реда и II реда функције I реда: Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима

Διαβάστε περισσότερα

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце

ТРАПЕЗ РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ. Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце РЕГИОНАЛНИ ЦЕНТАР ИЗ ПРИРОДНИХ И ТЕХНИЧКИХ НАУКА У ВРАЊУ ТРАПЕЗ Аутор :Петар Спасић, ученик 8. разреда ОШ 8. Октобар, Власотинце Ментор :Криста Ђокић, наставник математике Власотинце, 2011. године Трапез

Διαβάστε περισσότερα

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде

7.3. Површина правилне пирамиде. Површина правилне четворостране пирамиде математик за VIII разред основне школе 4. Прво наћи дужину апотеме. Како је = 17 cm то је тражена површина P = 18+ 4^cm = ^4+ cm. 14. Основа четворостране пирамиде је ромб чије су дијагонале d 1 = 16 cm,

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ОЦЕЊИВАЊЕ ОБАВЕЗНО ПРОЧИТАТИ ОПШТА УПУТСТВА 1. Сваки

Διαβάστε περισσότερα

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВОЈИСЛАВ АНДРИЋ МАЛА ЗБИРКА ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА ВАЉЕВО, 006 1 1. УВОД 1.1. ПОЈАМ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ У једној земљи Далеког истока живео је некад један краљ, који је сваке ноћи узимао нову жену и следећег

Διαβάστε περισσότερα

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА. - удаљеност између двије тачке. 1 x2 АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА d AB x x y - удаљеност између двије тачке y x x x y s, y y s - координате средишта дужи x x y x, y y - подјела дужи у заданом односу x x x y y y xt, yt - координате тежишта троугла

Διαβάστε περισσότερα

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x,

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, РЕШЕЊА ЗАДАТАКА - IV РАЗЕД 1. Мањи број: : x, Већи број: 1 : 4x + 1, (4 бода) Њихов збир: 1 : 5x + 1, Збир умањен за остатак: : 5x = 55, 55 : 5 = 11; 11 4 = ; + 1 = 45; : x = 11. Дакле, први број је 45

Διαβάστε περισσότερα

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске

Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске Ротационо симетрична деформација средње површи ротационе љуске слика. У свакој тачки посматране средње површи, у општем случају, постоје два компонентална померања: v - померање у правцу тангенте на меридијалну

Διαβάστε περισσότερα

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z.

(1) Дефиниција функције више променљивих. Околина тачке (x 0, y 0 ) R 2. График и линије нивоа функције f: (x, y) z. Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону

Διαβάστε περισσότερα

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0

Предмет: Задатак 4: Слика 1.0 Лист/листова: 1/1 Задатак 4: Задатак 4.1.1. Слика 1.0 x 1 = x 0 + x x = v x t v x = v cos θ y 1 = y 0 + y y = v y t v y = v sin θ θ 1 = θ 0 + θ θ = ω t θ 1 = θ 0 + ω t x 1 = x 0 + v cos θ t y 1 = y 0 +

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 011/01. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

Теорија електричних кола

Теорија електричних кола Др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, вежбе, Универзитет у Београду Електротехнички факултет, 7. Теорија електричних кола Милка Потребић Др Милка Потребић, ванредни професор,

Διαβάστε περισσότερα

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова

4. Троугао. (II део) 4.1. Појам подударности. Основна правила подударности троуглова 4 Троугао (II део) Хилберт Давид, немачки математичар и логичар Велики углед у свету Хилберту је донело дело Основи геометрије (1899), у коме излаже еуклидску геометрију на аксиоматски начин Хилберт Давид

Διαβάστε περισσότερα

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева

ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције. Diffie-Hellman размена кључева ЗАШТИТА ПОДАТАКА Шифровање јавним кључем и хеш функције Diffie-Hellman размена кључева Преглед Биће објашњено: Diffie-Hellman размена кључева 2/13 Diffie-Hellman размена кључева први алгоритам са јавним

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ У ОСНОВНОМ ОБРАЗОВАЊУ И ВАСПИТАЊУ школска 0/06. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака

Решења задатака са првог колоквиjума из Математике 1Б II група задатака Решења задатака са првог колоквиjума из Математике Б II група задатака Пре самих решења, само да напоменем да су решења детаљно исписана у нади да ће помоћи студентима у даљоj припреми испита, као и да

Διαβάστε περισσότερα

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ

ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ ВИСОКА ТЕХНИЧКА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА У НИШУ предмет: ОСНОВИ МЕХАНИКЕ студијски програм: ЗАШТИТА ЖИВОТНЕ СРЕДИНЕ И ПРОСТОРНО ПЛАНИРАЊЕ ПРЕДАВАЊЕ БРОЈ 2. Садржај предавања: Систем сучељних сила у равни

Διαβάστε περισσότερα

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА

ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА ПОВРШИНа ЧЕТВОРОУГЛОВА И ТРОУГЛОВА 1. Допуни шта недостаје: а) 5m = dm = cm = mm; б) 6dm = m = cm = mm; в) 7cm = m = dm = mm. ПОЈАМ ПОВРШИНЕ. Допуни шта недостаје: а) 10m = dm = cm = mm ; б) 500dm = a

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 01/01. година ТЕСТ

Διαβάστε περισσότερα

Од површине троугла до одређеног интеграла

Од површине троугла до одређеног интеграла Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.i.ac.rs/mii Математика и информатика (4) (5), 49-7 Од површине троугла до одређеног интеграла Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање

Διαβάστε περισσότερα

Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина

Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Нумеричко решавање парцијалних диференцијалних једначина и интегралних једначина Метода мреже за Дирихлеове проблеме Метода мреже се приближно решавају диференцијалне једначине тако што се диференцијална

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ПРОБНИ ЗАВРШНИ ИСПИТ школска 016/017. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА УПУТСТВО ЗА ПРЕГЛЕДАЊЕ

Διαβάστε περισσότερα

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези

8.2 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА 2 Задатак вежбе: Израчунавање фактора појачања мотора напонским управљањем у отвореној повратној спрези Регулциј електромоторних погон 8 ЛАБОРАТОРИЈСКА ВЕЖБА Здтк вежбе: Изрчунвње фктор појчњ мотор нпонским упрвљњем у отвореној повртној спрези Увод Преносн функциј мотор којим се нпонски упрвљ Кд се з нулте

Διαβάστε περισσότερα

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ:

Ваљак. cm, а површина осног пресека 180 cm. 252π, 540π,... ТРЕБА ЗНАТИ: ВАЉАК P=2B + M V= B H B= r 2 p M=2rp H Pосн.пресека = 2r H ЗАДАЦИ: Ваљак ВАЉАК P=B + M V= B H B= r p M=rp H Pосн.пресека = r H. Површина омотача ваљка је π m, а висина ваљка је два пута већа од полупрчника. Израчунати запремину ваљка. π. Осни пресек ваљка је квадрат површине

Διαβάστε περισσότερα

π[a, b] = π[a=x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2... x n-1 ξ n x n =b]

π[a, b] = π[a=x 0 ξ 1 x 1 ξ 2 x 2... x n-1 ξ n x n =b] Дефиниција одређеног интеграла Дефинисати: поделу одсечка одговарајућу броју e потподелу дијаметар поделе Дефинисати одређени интеграл Формулисати и доказати теорему о вези непрекидности и интеграбилности

Διαβάστε περισσότερα

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима

4.4. Паралелне праве, сечица. Углови које оне одређују. Углови са паралелним крацима 50. Нацртај било које унакрсне углове. Преношењем утврди однос унакрсних углова. Какво тврђење из тога следи? 51. Нацртај угао чија је мера 60, а затим нацртај њему унакрсни угао. Колика је мера тог угла?

Διαβάστε περισσότερα

10.3. Запремина праве купе

10.3. Запремина праве купе 0. Развијени омотач купе је исечак чији је централни угао 60, а тетива која одговара том углу је t. Изрази површину омотача те купе у функцији од t. 0.. Запремина праве купе. Израчунај запремину ваљка

Διαβάστε περισσότερα

КА КО КОД НАС ЦР КВЕ И ДА ЉЕ ЛЕ ТЕ

КА КО КОД НАС ЦР КВЕ И ДА ЉЕ ЛЕ ТЕ Н И КО Л И Н А Т У Т У Ш КА КО КОД НАС ЦР КВЕ И ДА ЉЕ ЛЕ ТЕ Мо тив ле те ће цр кве чест је у на род ним пре да њи ма и ле генда ма о на с т а н к у по је д и н и х ц р к а в а и ма на с т и ра. 1 Ро ма

Διαβάστε περισσότερα

Површине неких равних фигура

Површине неких равних фигура Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.rs/mii Математика и информатика 3() (5), -6 Површине неких равних фигура Жарко Ђурић Париске комуне 4-/8, Врање zarkocr@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ТЕ МАТ: 80 ГО ДИ НА ДА НИ ЛА КИ ША ( )

ТЕ МАТ: 80 ГО ДИ НА ДА НИ ЛА КИ ША ( ) ТЕ МАТ: 80 ГО ДИ НА ДА НИ ЛА КИ ША (1935 1989) А Л Е К СА Н Д А Р Ј Е Р КОВ УВЕК О КИ ШУ, А СА ДА ЈОШ И О ПИ ТА ЊУ ЉУ БА ВИ У ЈЕ СЕН ГО ДИ НЕ 7464. ( ПО ВИ ЗА Н Т И Ј СКОМ РА Ч У Н А ЊУ ВРЕ М Е Н А), НА

Διαβάστε περισσότερα

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА

4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА 4. Закон великих бројева 4. ЗАКОН ВЕЛИКИХ БРОЈЕВА Аксиоматска дефиниција вероватноће не одређује начин на који ће вероватноће случајних догађаја бити одређене у неком реалном експерименту. Зато треба наћи

Διαβάστε περισσότερα

Упутство за избор домаћих задатака

Упутство за избор домаћих задатака Упутство за избор домаћих задатака Студент од изабраних задатака области Математике 2: Комбинаторика, Вероватноћа и статистика бира по 20 задатака. Студент може бирати задатке помоћу програмског пакета

Διαβάστε περισσότερα

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА Универзитет у Београду Математички факултет Virul Librry of Fculy of Mhemics - Uiversiy of Belgrde elibrry.mf.bg.c.rs ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ И ИНТЕГРАЛНИ РАЧУН РАЗЛОМЉЕНОГ РЕДА Мастер рад студент: Петар Чукановић

Διαβάστε περισσότερα

Осцилације система са једним степеном слободе кретања

Осцилације система са једним степеном слободе кретања 03-ec-18 Осцилације система са једним степеном слободе кретања Опруга Принудна сила F(t) Вискозни пригушивач ( дампер ) 1 Принудна (пертурбациона) сила опруга Реституциона сила (сила еластичног отпора)

Διαβάστε περισσότερα

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља

Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља Универзитет у Машински факултет Београду Математички модел осциловања система кугли око равнотежног положаја под утицајем гравитационог поља -семинарски рад- ментор: Александар Томић Милош Живановић 65/

Διαβάστε περισσότερα

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО

ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ ПОЧИЊЕМО ТАЧКЕ КОЈЕ ЕКСПЛОДИРАЈУ ПОГЛАВЉЕ 5 ДЕЉЕЊЕ Сабирање, одузимање, множење. Сад је ред на дељење. Ево једног задатка с дељењем: израчунајте колико је. Наравно да постоји застрашујући начин да то урадите: Нацртајте

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Тест Математика Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 00/0. година ТЕСТ МАТЕМАТИКА

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2016/17. бр. LI-4 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 06/7. бр. LI-4 РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ III разред. а) 50 4 = 00; б) 0 5 = 650; в) 0 6 = 6; г) 4 = 94; д) 60 : = 0; ђ) 0 : = 40; е) 648 :

Διαβάστε περισσότερα

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q

Разлика потенцијала није исто што и потенцијална енергија. V = V B V A = PE / q Разлика потенцијала Разлика потенцијала између тачака A и B се дефинише као промена потенцијалне енергије (крајња минус почетна вредност) када се наелектрисање q помера из тачке A утачку B подељена са

Διαβάστε περισσότερα

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје)

L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) L кплп (Калем у кплу прпстпперипдичне струје) i L u=? За коло са слике кроз калем ппзнате позната простопериодична струја: индуктивности L претпоставићемо да протиче i=i m sin(ωt + ψ). Услед променљиве

Διαβάστε περισσότερα

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић

Скупови (наставак) Релације. Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Скупови (наставак) Релације Професор : Рака Јовановић Асиситент : Јелена Јовановић Дефиниција дуалне скуповне формуле За скуповне формулу f, која се састоји из једног или више скуповних симбола и њихових

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван 2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3.

Διαβάστε περισσότερα

Minion Pro Condensed A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

Minion Pro Condensed A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U Minion Pro Condensed Latin capitals A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z & Æ Ł Ø Œ Þ Ð Á Â Ä À Å Ã Ç É Ê Ë È Í Î Ï Ì İ Ñ Ó Ô Ö Ò Õ Š Ú Û Ü Ù Ý Ÿ Ž Ă Ā Ą Ć Č Ď Đ Ě Ė Ē Ę Ğ Ģ Ī Į Ķ Ĺ Ľ Ļ Ń

Διαβάστε περισσότερα

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3

МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 2017/18. бр. LII-3 МАТЕМАТИЧКИ ЛИСТ 07/8. бр. LII- РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА ИЛИ РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ИЗ РУБРИКЕ ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ . III разред. Обим правоугаоника је 6cm + 4cm = cm + 8cm = 0cm. Обим троугла је 7cm + 5cm + cm =

Διαβάστε περισσότερα

Теорија друштвеног избора

Теорија друштвеног избора Теорија друштвеног избора Процедура гласања је средство избора између више опција, базирано на подацима које дају индивидуе (агенти). Теорија друштвеног избора је студија процеса и процедура доношења колективних

Διαβάστε περισσότερα

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1

Слика 1. Слика 1.2 Слика 1.1 За случај трожичног вода приказаног на слици одредити: а Вектор магнетне индукције у тачкама А ( и ( б Вектор подужне силе на проводник са струјом Систем се налази у вакууму Познато је: Слика Слика Слика

Διαβάστε περισσότερα

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика

Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике, 1. део, Електростатика Штампарске грешке у петом издању уџбеника Основи електротехнике део Страна пасус први ред треба да гласи У четвртом делу колима променљивих струја Штампарске грешке у четвртом издању уџбеника Основи електротехнике

Διαβάστε περισσότερα

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала

Универзитет у Крагујевцу Факултет за машинство и грађевинарство у Краљеву Катедра за основне машинске конструкције и технологије материјала Теоријски део: Вежба број ТЕРМИЈСКА AНАЛИЗА. Термијска анализа је поступак који је 903.год. увео G. Tamman за добијање криве хлађења(загревања). Овај поступак заснива се на принципу промене топлотног садржаја

Διαβάστε περισσότερα

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12

Cook-Levin: SAT је NP-комплетан. Теодор Најдан Трифунов 305M/12 Cook-Levin: SAT је NP-комплетан Теодор Најдан Трифунов 305M/12 1 Основни појмови Недетерминистичка Тјурингова машина (НТМ) је уређена седморка M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0,, ) Q коначан скуп стања контролног механизма

Διαβάστε περισσότερα

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА

Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ И НАУКЕ ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ЗАВРШНИ ИСПИТ НА КРАЈУ ОСНОВНОГ ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2011/2012. година ТЕСТ 3 МАТЕМАТИКА УПУТСТВО

Διαβάστε περισσότερα

КОД Х И П ЕР БО РЕ ЈА Ц А: ЛОМ ПАР И ЦР ЊАН СКИ

КОД Х И П ЕР БО РЕ ЈА Ц А: ЛОМ ПАР И ЦР ЊАН СКИ ВЕ СНА ТРИ ЈИЋ КОД Х И П ЕР БО РЕ ЈА Ц А: ЛОМ ПАР И ЦР ЊАН СКИ 1. У књи зи есе ја Ми ла Лом па ра Ап о л о но в и п у т о ка з и, 1 посв еће ној опусу Милоша Црњанског, нарочито место заузимају тумачења

Διαβάστε περισσότερα

Писмени испит из Метода коначних елемената

Писмени испит из Метода коначних елемената Београд,.0.07.. За приказани билинеарни коначни елемент (Q8) одредити вектор чворног оптерећења услед задатог линијског оптерећења p. Користити природни координатни систем (ξ,η).. На слици је приказан

Διαβάστε περισσότερα

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23

6.3. Паралелограми. Упознајмо још нека својства паралелограма: ABD BCD (УСУ), одакле је: а = c и b = d. Сл. 23 6.3. Паралелограми 27. 1) Нацртај паралелограм чији је један угао 120. 2) Израчунај остале углове тог четвороугла. 28. Дат је паралелограм (сл. 23), при чему је 0 < < 90 ; c и. c 4 2 β Сл. 23 1 3 Упознајмо

Διαβάστε περισσότερα