Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
|
|
- Ἀρέθουσα Παπαφιλίππου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN AprilÐou 2013
2 Eisagwgikˆ sthn ektðmhsh paramètrwn t.m. X me katanom F X (x; θ) Parˆmetroc θ: ˆgnwsth θ µ, σ 2, p DeÐgma {x 1,..., x n }: gnwstì EktÐmhsh paramètrou 1 Shmeiak ektðmhsh: ˆθ 2 EktÐmhsh diast matoc: [θ 1, θ 2 ] 'Allo deðgma ˆlla dedomèna {x 1,..., x n } {x 1,..., x n } sumbolðzoun: 1. Parathr seic 2. t.m. {X 1,..., X n } me katanom F X (x; θ)
3 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Shmeiak EktÐmhsh ˆθ: ektim tria thc θ ˆθ eðnai sunˆrthsh twn t.m. {x 1,..., x n } ˆθ eðnai t.m., E(ˆθ) µˆθ, Var(ˆθ) σ 2ˆθ EktÐmhsh mèshc tim c (deigmatik mèsh tim ) θ µ x = 1 n x i n EktÐmhsh diasporˆc (deigmatik diasporˆ) θ σ 2 s 2 = 1 n (x i x) 2 n ( s 2 = 1 n n ) (x i x) 2 = 1 xi 2 n x 2 n 1 n 1
4 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Krit ria kal n ektimhtri n 1. AmerolhyÐa ˆθ amerìlhpth: E(ˆθ) = θ alli c h merolhyða eðnai b(ˆθ) = E(ˆθ) θ ParadeÐgmata H deigmatik mèsh tim x eðnai amerìlhpth: E( x) = µ ( ) 1 n E( x) = E x i = 1 n E(x i ) = 1 n µ = µ n n n H deigmatik diasporˆ s 2 eðnai amerìlhpth: E(s 2 ) = σ 2? H deigmatik diasporˆ s 2 eðnai merolhptik : b( s 2 ) = E( s 2 ) σ 2 = n 1 n σ2 σ 2 = σ2 n Asumptwtikˆ (n ) h s 2 eðnai amerìlhpth
5 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Krit ria kal n ektimhtri n (sunèqeia) 2. Sunèpeia ˆθ sunep c: P( θ ˆθ ɛ) 1 ìtan n ParadeÐgmata x, s 2, s 2 eðnai sunepeðc H ektim tria thc µ: x d = (x min + x max )/2 den eðnai sunep c 3. Apotelesmatikìthta DÔo ektim triec ˆθ 1 kai ˆθ 2 thc θ: ˆθ 1 eðnai pio apotelesmatik apì ˆθ 2 ìtan σ 2ˆθ 1 < σ 2ˆθ 2 Parˆdeigma x eðnai piì apotelesmatik apì th x d giatð σ 2 x < σ 2 x d.
6 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Krit ria kal n ektimhtri n (sunèqeia) 4. Epˆrkeia ˆθ eðnai epark c ìtan qrhsimopoieð ìlh thn plhroforða apì to deðgma pou sqetðzetai me th θ. ParadeÐgmata x, s 2, s 2 eðnai eparkeðc giatð qrhsimopoioôn ìlec tic parathr seic {x 1,..., x n } x d den eðnai epark c giatð qrhsimopoieð mìno x min kai x max. Parathr seic Jèma 4 Mia kal ektim tria prèpei na plhreð autèc tic idiìthtec. Bèltisth ektim tria: amerìlhpth kai me elˆqisth diasporˆ Exisorrìphsh merolhyðac kai diasporˆc ektðmhshc: to mèso tetragwnikì sfˆlma (mean square error).
7 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Upologismìc shmeiak c ektðmhshc Jèloume na ektim soume th θ parˆmetro katanom c F (x; θ) miac t.m. X apì ta anexˆrthta dedomèna {x 1,..., x n }. Mèjodoc twn Rop n 1 EktimoÔme pr ta tic ropèc thc katanom c: ροπή πρώτου βαθμού: µ x ροπή δευτέρου βαθμού: σ 2 s 2 2 Apì th sqèsh thc θ me tic ropèc upologðzoume thn ektðmhsh ˆθ. ParadeÐgmata Kanonik katanom : parˆmetroi µ kai σ 2 eðnai oi Ðdiec ropèc (ˆmesh ektðmhsh). Omoiìmorfh katanom sto [a, b]: parˆmetroi a kai b upologðzontai apì µ = a+b 2 kai σ 2 = (b a)2 12 (èmmesh ektðmhsh).
8 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Parˆdeigma: Metr seic por douc hlðou se gaiˆnjrakec A/A x i xi SÔnolo
9 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Upojètoume kanonik katanom : parˆmetroi µ kai σ 2 EktÐmhsh mèshc tim c: x = 1 25 x i = = Gia s 2, upologðzoume pr ta to ˆjroisma tetrag nwn 25 xi 2 = EktÐmhsh diasporˆc: s 2 = ( 25 ) 1 xi 2 25 x = 1 24 ( ) = Upojètoume omoiìmorfh katanom sto [a, b]: parˆmetroi a kai b EktÐmhsh twn a kai b: x = a+b 2 s 2 = (b a)2 12 â = x 3s ˆb = x + 3s â = 4.61 ˆb = 6.73
10 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Mèjodoc MegÐsthc Pijanofˆneiac DÐnontai anexˆrthta {x 1,..., x n }, x i F (x; θ) poia eðnai h pio pijan tim gia th θ? f (x i ; θ) P(X = x i ; θ) gia kˆpoia tim X = x i Sunˆrthsh pijanofˆneiac (πιθανότητα να παρατηρήσουμε {x 1,..., x n } σ ένα τυχαίο δείγμα) L(x 1,..., x n ; θ) = f (x 1 ; θ) f (x n ; θ) 'An L(x 1,..., x n ; θ 1 ) > L(x 1,..., x n ; θ 2 ) tìte θ 1 pio alhjofan c apì θ 2 H piì alhjofan s tim thc θ: aut pou megistopoieð th L(x 1,..., x n ; θ) log L(x 1,..., x n ; θ). Ektim tria megðsthc pijanofˆneiac ˆθ dðnetai apì thn exðswsh log L(x 1,..., x n ; θ) θ = 0.
11 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc Mèjodoc MegÐsthc Pijanofˆneiac (sunèqeia) Jèloume na ektim soume θ 1,..., θ m Sunˆrthsh pijanìfaneiac: L(x 1,..., x n ; θ 1,..., θ m ) Ektim triec megðsthc pijanofˆneiac ˆθ 1,..., ˆθ m dðnontai apì log L(x 1,..., x n ; θ 1,..., θ m ) θ j = 0 j = 1,..., m. Parathr seic H mèjodoc megðsthc pijanofˆneiac mporeð na efarmosjeð gia opoiod pote θ an xèroume thn katanom F X (x; θ). H mèjodoc twn rop n den efarmìzetai an h θ de mporeð na upologisjeð apì tic ropèc. H ektim tria megðsthc pijanofˆneiac eðnai amerìlhpth (asumptwtikˆ), sunep c, apotelesmatik ki epark c.
12 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc EktÐmhsh paramètrwn kanonik c katanom c {x 1,..., x n } apì kanonik katanom N(µ, σ 2 ) kai σ 2 gnwst f X (x; µ) f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 ektðmhsh tou µ? sunˆrthsh pijanìfaneiac ( ) [ 1 n/2 L(x 1,..., x n ; µ) = 2πσ 2 exp 1 2σ 2 ] n (x i µ) 2 log L(x 1,..., x n ; µ) = n 2 log 2π n 2 log(σ2 ) 1 2σ 2 n (x i µ) 2 Ektim tria megðsthc pijanofˆneiac ˆµ log L µ = 0 1 n σ 2 (x i µ) = 0 ˆµ = 1 n x i = x n
13 Krit ria kal n ektimhtri n Mèjodoc upologismoô thc shmeiak c ektðmhshc EktÐmhsh paramètrwn kanonik c katanom c (sunèqeia) Kai h diasporˆ σ 2 ˆgnwsth log L µ = 0 1 σ 2 n (x i µ) = 0 log L σ 2 = 0 n 2σ σ 4 H epðlush dðnei gia µ, ˆµ = x, kai gia σ 2 n (x i µ) 2 = 0 ˆσ 2 = 1 n n (x i ˆµ) 2 = 1 n n (x i x) 2 = s 2
14 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x; θ), tìte brðskoume th ˆθ me 1 Mèjodo rop n 2 Mèjodo megðsthc pijanofˆneiac Anexˆrthta apì thn katanom thc X èqoume touc ektimhtèc: θ := µ ˆθ = x θ := σ 2 ˆθ = s 2 ˆθ = s 2 H tim thc ektim triac ˆθ exartˆtai apì to deðgma {x 1,..., x n }. ˆθ eðnai t.m. me E(ˆθ) µˆθ, Var(ˆθ) σ 2ˆθ Katanom thc ˆθ? E(ˆθ)? Var(ˆθ)? Me bˆsh thn katanom thc ˆθ jèloume na orðsoume èna diˆsthma [θ 1, θ 2 ] pou ja perièqei me kˆpoia pijanìthta thn pragmatik tim thc θ.
15 Diˆsthma empistosônhc thc µ Ektim tria (shmeiak ektðmhsh) thc µ: x µ x = E(ˆµ)= µ σ 2 x = Var( x) = Var ( 1 n ) n x i = 1 n n 2 Var(x i ) = 1 n 2 n = 1 n 2 (n σ2 )= σ2 n σ x = σ/ n stajerì sfˆlma H katanom thc x exartˆtai apì 1 th diasporˆ thc X, σ 2 (gnwst / ˆgnwsth) 2 thn katanom thc X (kanonik ìqi) 3 mègejoc tou deðgmatoc n (megˆlo / mikrì) σ 2
16 Diˆsthma empistosônhc thc µ - gnwst diasporˆ σ 2 Gia thn katanom thc x èqoume dôo peript seic 1 X N(µ, σ 2 ) 2 n > 30 x N(µ, σ 2 /n) X N(µ, σ 2 ) n < 30 x? 1 An h katanom thc X eðnai kanonik κατανομή της X X n είναι κανονική h katanom thc x eðnai kanonik 2 An to deðgma eðnai megˆlo n > 30 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα h katanom thc x eðnai kanonik
17 Jèma 5 An rðxoume pollˆ nomðsmata o sunolikìc arijmìc twn kefal n ja akoloujeð kanonik katanom
18 gnwstì σ 2 kai x akoloujeð kanonik katanom x N(µ, σ 2 /n) z x µ σ/ N(0, 1) n Gia kˆje pijanìthta α (kai 1 α) upˆrqoun oi antðstoiqec timèc thc z, z α/2 = z 1 α/2 : P(z < z α/2 ) = Φ(z α/2 ) = α/2 P(z > z 1 α/2 ) = 1 Φ(z 1 α/2 ) = 1 (1 α/2) = α/2 P(z < z α/2 z > z 1 α/2 ) = α P(z α/2 < z < z 1 α/2 ) =Φ(z 1 α/2 ) Φ(z α/2 ) = 1 α Apì ton statistikì pðnaka tupik c kanonik c katanom c DÐnetai pijanìthta 1 α krðsimh tim z 1 α/2 = Φ 1 (1 α/2) }
19 gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) h z an kei sto diˆsthma [z α/2, z 1 α/2 ] = [ z 1 α/2, z 1 α/2 ] me pijanìthta 1 α. Apì to metasqhmatismì z x µ σ/ n diast matoc [ z 1 α/2, z 1 α/2 ] z 1 α/2 = x µ σ/ n LÔnoume wc proc µ èqoume gia ta ˆkra tou z 1 α/2 = x µ σ/ n µ = x + z 1 α/2 σ n µ = x z 1 α/2 σ n Diˆsthma empistosônhc thc µ se epðpedo empistosônhc 1 α [ x z 1 α/2 σ n, x + z 1 α/2 σ n ]
20 gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) ErmhneÐa diast matoc empistosônhc me pijanìthta (empistosônh) 1 α h mèsh tim µ brðsketai mèsa s' autì to diˆsthma OQI an qrhsimopoioôsame pollˆ tètoia diast mata apì diaforetikˆ deðgmata, posostì (1 α)% apì autˆ ja perieðqan th µ NAI me 1 α pijanìthta (empistosônh) to diˆsthma autì ja perièqei thn pragmatik µ NAI
21 gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 Epilog tou 1 α, σ gnwstì, x apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c z 1 α/2 apì ton pðnaka gia tupik kanonik katanom. 3 Antikatˆstash ston tôpo [ x z 1 α/2 σ n, x + z 1 α/2 σ n ]
22 Parˆdeigma Shmeiak EktÐmhsh Diˆsthma empistosônhc se epðpedo 95% gia to mèso posostì por dec hlðou se gaiˆnjraka tou koitˆsmatoc A? DÐnetai σ 2 = Iστoγραμμα πoρωδoυς ηλιoυ για κoιτασμα A 7 Θηκoγραμμα πoρωδoυς ηλιoυ για κoιτασμα A συχνoτητα ευρoς 4.5 A summetrða, ìqi makrièc ourèc, ìqi akraða shmeða X N(µ, 0.38) µ =?
23 Parˆdeigma (sunèqeia) X N(µ, 0.38) x N(µ, 0.38/25) x = x i = = 5.67 DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 1 α = 0.95, σ = 0.38, x = KrÐsimh tim : z = Φ 1 (0.975) = x ± z 1 α/2 σ n 5.67 ± [5.43, 5.91] Sumpèrasma: Se 95% epðpedo empistosônhc perimènoume to mèso posostì por douc hlðou se gaiˆnjraka me bˆsh to deðgma tou koitˆsmatoc A na kumaðnetai metaxô 5.43 kai 5.91
24 Diˆsthma empistosônhc thc µ, ˆgnwsth diasporˆ σ 2 PerÐptwsh 1: megˆlo deðgma (n > 30) s 2 σ 2 : [ x z 1 α/2 s n, x + z 1 α/2 s n ] PerÐptwsh 2: mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) Tìte isqôei t x µ s/ n t n 1 katanom student me n 1 bajmoôc eleujerðac N(0,1) t 5 t 24 t 50 f (x) X x
25 'Agnwsth diasporˆ σ f X (x) t 24,0.025 = t 24,0.975 = x DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 Epilog tou 1 α, σ ˆgnwsto, x kai s apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c t n 1, 1 α/2 apì ton pðnaka gia katanom student. 3 Antikatˆstash ston tôpo [ x t n 1,1 α/2 s n, x + t n 1,1 α/2 s n ]
26 'Agnwsth diasporˆ σ 2 PerÐptwsh 3: mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) Mh-parametrik mèjodoc Jèma 6 Mh-parametrik mèjodoc: diˆsthma empistosônhc gia th diˆmeso (Wilcoxon) Jèma 7 Mh-parametrik mèjodoc: diˆsthma empistosônhc gia th mèsh tim me th mèjodo bootstrap
27 Parˆdeigma Shmeiak EktÐmhsh Diˆsthma empistosônhc se epðpedo 95% gia to mèso por dec hlðou gaiˆnjraka apì to koðtasma A? [σ 2 ˆgnwsto] Mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) t x µ s/ n t n 1, bajmoð eleujerðac: n 1 = 24 s 2 = 1 24 ( 25 ) xi 2 25 (5.67) 2 = 1 ( ) = DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 1 α = 0.95, x = 5.67, s 2 = KrÐsimh tim : t 24,0.975 = x ± t n 1,1 α/2 s n 5.67 ± [5.42, 5.92] An z = 1.96 antð t 24, = ± [5.52, 5.82]
28 EktÐmhsh diast matoc empistosônhc thc µ diasporˆ X -katanom n x -katanom d.e. gnwst kanonik z x µ σ/ N(0, 1) n x ± z 1 α/2 σ n gnwst mh kanonik megˆlo z x µ σ/ N(0, 1) n x ± z 1 α/2 σ n gnwst mh kanonik mikrì ˆgnwsth megˆlo z x µ s/ N(0, 1) x ± z n 1 α/2 s n ˆgnwsth kanonik mikrì t x µ s/ n tn 1 x ± t n 1,1 α/2 s n ˆgnwsth mh kanonik mikrì Genikˆ gia to d.e. thc µ brðsketai apì σ x ± z α/2 n s x ± t n 1,1 α/2 n
29 EÔroc diast matoc empistosônhc) To diˆsthma empistosônhc exartˆtai apì: thn katanom kai th σ 2 thc t.m. X to mègejoc n tou deðgmatoc to epðpedo empistosônhc 1 α Gia dedomèno eôroc diast matoc empistosônhc mporoôme na broôme to mègejoc n pou antistoiqeð apì ton antðstoiqo tôpo. Endeiktik perðptwsh: n < 30, X N(µ, σ 2 ) kai σ 2 ˆgnwsto eôroc tou d.e. w = 2t n 1,1 α/2 s n Gia eôroc w prèpei to deðgma na èqei mègejoc n = ( 2t n 1,1 α/2 s ) 2 ( n = 2z w 1 α/2 s ) 2 w anˆloga me to n pou brðskoume.
30 Parˆdeigma Shmeiak EktÐmhsh Sto prohgoômeno arijmhtikì parˆdeigma (por dec hlðou), qrhsimopoi ntac t-katanom br kame 95% d.e ± [5.42, 5.92] EÔroc d.e.: = 0.50 isodônama akrðbeia gôrw apì th x : = 0.25 An jèloume eôroc 0.20 ( akrðbeia 0.10), pìso prèpei na megal sei to deðgma? ( ) 2 (kanonik katanom ) n = = (katanom student) ( ) 2 t 24,0.975 = n = = ( ) 2 t 101,0.975 = n = = ( ) 2 t 94,0.975 = n = =
31 Diˆsthma empistosônhc thc σ 2 s 2 ektim tria thc σ DÐnetai χ 2 (n 1)s2 σ 2 X 2 n X f (x) X X 2 24 X x Gia polô megˆlo n: Xn 1 2 kanonik Xn 1 2 den eðnai summetrik katanom dôo krðsimec timèc: χ 2 n 1,α/2 P(χ 2 < χ 2 n 1,α/2 ) = α/2 χ 2 n 1,1 α/2 P(χ 2 < χ 2 n 1,1 α/2 ) = 1 α/2
32 Diˆsthma empistosônhc thc σ 2 (sunèqeia) X f (x) X X 2 24,0.025 = 12.4 X 2 24,0.975 =39.4 ( P x ) χ 2 n 1,α/2 < χ2 < χ 2 n 1,1 α/2 = 1 α ) χ 2 n 1,1 α/2 = 1 α P (χ 2 n 1,α/2 < (n 1)s2 σ 2 ( P (n 1)s 2 χ 2 n 1,1 α/2 ) < σ 2 < (n 1)s2 χ 2 n 1,α/2 = 1 α
33 Diˆsthma empistosônhc thc σ 2 (sunèqeia) DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou σ 2 1 Epilog tou 1 α, s 2 apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimwn tim n χ 2 n 1,α/2 kai χ2 n 1,1 α/2 apì ton pðnaka gia katanom Xn 1 2. [ ] (n 1)s 3 Antikatˆstash ston tôpo 2 (n 1)s, 2 χ 2 χ n 1,1 α/2 2 n 1,α/2 Diˆsthma empistosônhc thc tupik c apìklishc σ To 95% d.e. gia thn tupik apìklish σ èqei wc ˆkra tic tetragwnikèc rðzec twn antðstoiqwn ˆkrwn tou 95% d.e. gia th diasporˆ σ 2. [ ] (n 1)s 2, χ 2 n 1,1 α/2 (n 1)s 2 χ 2 n 1,α/2
34 Parˆdeigma Shmeiak EktÐmhsh Diˆsthma empistosônhc se epðpedo 95% gia th diasporˆ tou por douc hlðou gaiˆnjraka enìc koitˆsmatoc A? χ 2 (n 1)s2 σ 2 Xn 1 2, bajmoð eleujerðac: n 1 = 24 s 2 = DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou σ α = 0.95, s 2 = KrÐsimec timèc: χ 2 24,0.025 = 12.4 kai χ2 24,0.975 [ ] = = [ , (n 1)s 2, χ 2 n 1,1 α/2 (n 1)s 2 χ 2 n 1,α/2 ] = [0.228, 0.726] To 95% d.e. gia thn tupik apìklish σ tou por douc hlðou gaiˆnjraka eðnai [ 0.228, 0.726] = [0.478, 0.852].
35 analogða p = M N M: stoiqeða tou plhjusmoô pou plhroôn mia idiìthta (epituqða) N: sônolo ìlwn twn stoiqeðwn tou plhjusmoô DeÐgma megèjouc n kai m epituqðec Ektim tria thc p : ˆp = m n Gia megˆlo n: ˆp N(p, p(1 p) n ) ˆp p z N(0, 1) p(1 p)/n διάστημα εμπιστοσύνης p(1 p) ˆp ± z 1 α/2 n p(1 p) ˆp ± z 1 α/2 n p ˆp Statistik ˆp(1 ˆp) gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
36 DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou p 1 Epilog tou 1 α, ˆp apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c z 1 α/2 apì ton pðnaka tupik c kanonik c katanom c. 3 Antikatˆstash ston tôpo [ˆp z 1 α/2 ˆp(1 ˆp) n, ˆp + z 1 α/2 ] ˆp(1 ˆp) n EÔroc diast matoc empistosônhc ˆp(1 ˆp) EÔroc d.e. thc p: w = 2z 1 α/2 n ( ) 2z1 α/2 2 = n = ˆp(1 ˆp) allˆ p ˆgnwsto! w MporeÐ na deiqjeð ìti: max ˆp(1 ˆp) = 0.25 ( ) 2z1 α/2 2 ( ) z1 α/2 2 = n = w 0.25 = w
37 Parˆdeigma Shmeiak EktÐmhsh 95% diˆsthma empistosônhc gia thn analogða skouriasmènwn rabd n qˆluba miac apoj khc? DeÐgma apì n = 100 rˆbdouc kai m = 12 skouriasmènec. Shmeiak ektðmhsh: ˆp = = DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou p 1 1 α = 0.95, ˆp = KrÐsimh tim : z = ˆp(1 ˆp) 3 ˆp ± z 1 α/2 n 0.12 ± 1.96 [0.056, 0.184] Mègisto n tou deðgmatoc gia w = 0.05? n = ( ) 2 = (1 0.12) 100
38 Jèma 8 Diˆsthma empistosônhc kai ektðmhsh megèjouc deðgmatoc gia analogða se peperasmèno plhjusmì
39 'Askhsh Shmeiak EktÐmhsh Εγιναν 15 μετρήσεις της συγκέντρωσης διαλυμένου οξυγόνου (Δ.Ο.) σε ένα ποτάμι (σε mg/l) Από παλιότερες μετρήσεις γνωρίζουμε ότι η διασπορά του Δ.Ο. είναι 0.1 (mg/l) 2. 1 Εκτιμείστε τη διασπορά της συγκέντρωσης Δ.Ο. από το δείγμα καθώς και τα διαστήματα εμπιστοσύνης σε επίπεδο 99% και 90%. Εξετάστε και για τα δύο επίπεδα εμπιστοσύνης αν μπορούμε να δεχτούμε την εμπειρική τιμή της διασποράς γι αυτό το δείγμα. 2 Εκτιμείστε τη μέση συγκέντρωση Δ.Ο. από το δείγμα και δώστε γι αυτήν 95% διάστημα εμπιστοσύνης υποθέτοντας πρώτα ότι η διασπορά είναι γνωστή και μετά χρησιμοποιώντας αυτήν του δείγματος. 3 Αν υποθέσουμε ότι για ένα εργοστάσιο δίπλα στο ποτάμι είναι σημαντικό η μέση συγκέντρωση Δ.Ο. να μην πέφτει κάτω από 1.8 mg/l, θα προκαλούσαν ανησυχία αυτές οι παρατηρήσεις (διασπορά από το δείγμα);
40 'Askhsh (sunèqeia) 4 Αν δε μας ικανοποιεί το εύρος του τελευταίου παραπάνω διαστήματος και θέλουμε να το μειώσουμε σε 0.2 mg/l πόσες επιπρόσθετες ημερήσιες μετρήσεις πρέπει να γίνουν; 5 Ενας άλλος τρόπος να ελέγξουμε αν η συγκέντρωση του Δ.Ο. πέφτει σε μη επιθυμητά επίπεδα είναι να δούμε αν το ποσοστό των ημερών που η τιμή της συγκέντρωσης Δ.Ο. πέφτει στο επίπεδο 1.6 mg/l και κάτω ξεπερνάει το 15%. Εκτιμείστε αυτό το ποσοστό από το δείγμα. Μπορείτε να δώσετε 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό; Πόσο πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος για να μπορεί να εκτιμηθεί 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό με πλάτος το πολύ 10%;
Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.
Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010 EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x;
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 2: Εκτίμηση Παραμέτρων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA
Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 20 Maòou 200 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2, x 22,...,
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 8 DekembrÐou 202 t.m. X me mèsh tim µ t.m. X 2 me mèsh tim µ 2 Diaforˆ µ µ 2? [X kai X 2 anexˆrthtec] DeÐgma {x, x 2,..., x n } x DeÐgma {x 2,
Διαβάστε περισσότεραStatistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ
Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJESEWN 18 DekembrÐou 2012 'Elegqoc Upojèsewn 1 Statistik upìjesh 2 Statistik elègqou kai perioq apìrriyhc 3 Apìfash elègqou Statistik upìjesh mhdenik upìjesh
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 3: Έλεγχος Υποθέσεων Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 3: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 4: Συσχέτιση & Γραμμική Παλινδρόμηση Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραSUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN 5h Seirˆ Ask sewn Allag metablht n sto diplì olokl rwma Jèma. Qrhsimopoi ntac
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Θέματα Εξετάσεων Όνομα Καθηγητή : Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Διγραμμικές και Τετραγωνικές μορφές Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραDiakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)
Diakritˆ Majhmatikˆ I Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou) PlhroforÐec... Tetˆrth, 09.00-11.00, Paraskeu, 18.00-20.00 SÔggramma 1: Λ. Κυρούσης, Χ. Μπούρας, Π. Σπυράκης. Διακριτά Μαθηματικά: Τα Μαθηματικά
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS 1. Grammikèc diaforikèc exis seic deôterhc kai an terhc tˆxhc
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Δειγματοληψία Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 5 DeigmatolhyÐa 'Estw èna sônolo periodikˆ
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS 6h Seirˆ Ask sewn OmogeneÐc grammikèc diaforikèc exis seic me stajeroôc suntelestèc Jèma
Διαβάστε περισσότεραPragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic
Pragmatik Anˆlush (2010 11) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic Omˆda A' 1. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai F, G uposônola tou X. An to F eðnai kleistì kai to G eðnai anoiktì, deðxte ìti to F \ G eðnai kleistì
Διαβάστε περισσότεραAnaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I. Aìristo Olokl rwma 2. Orismèno Olokl rwma 3. Diaforetik èkfrash tou aìristou oloklhr matoc H Sunˆrthsh F ()
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Χημικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς Ενότητα 1: Περιγραφική Στατιστική Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότερα11 OktwbrÐou 2012. S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 7 0 11 OktwbrÐou 2012 Orismìc sunart sewn mèsw orismènwn oloklhrwmˆtwn To orismèno olokl rwma prosfèrei ènan nèo trìpo orismoô sunˆrthshc afoô to orismèno olokl rwma mia suneqoôc sunˆrthshc f (t),
Διαβάστε περισσότερα25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc
Mˆjhma 9 0 25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh y = f (x) Diaforikèc Exis seic TÔpoi Diaforik n exis sewn H pio apl diaforik exðswsh
Διαβάστε περισσότεραJerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac
Kbantik Perigraf tou Kìsmou mac KwnstantÐnoc Sfètsoc Kajhght c Fusik c Genikì Tm ma, Panepist mio Patr n Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac Ti ennooôme
Διαβάστε περισσότεραGENIKEUMENA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA Anplhrwt c Kjhght c: Dr. Pppˆc G. Alèndroc GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA H ènnoi tou orismènou
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Μηχανική Μάθηση Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών To genikì prìblhma, na broôme to mègisto elˆqisto miac sunˆrthshc
Διαβάστε περισσότεραISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA
ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Ενότητα 1: Περιγραφική Στατιστική Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραJEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I
JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I JEMA 1o. A)(M. 1.5) Na qarakthrðsete (me aitiolìghsh) tic protˆseic pou akoloujoôn me thn èndeixh Swstì Lˆjoc: (i) 'Estw x 0 tètoio ste x < ε, gia kˆje ε > 0. Tìte
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA 1. EpikampÔlio Olokl rwma 1ou eðdouc Efarmogèc 2. Dianusmatikˆ
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Ηλεκτροδυναμική II
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II Πεδία Σημειακών Φορτίων Διδάσκων : Καθ. Κ. Ταμβάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN h Seirˆ Ask sewn Akrìtata pragmatik n sunart sewn 1. Na brejoôn ta topikˆ akrìtata
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sthn KosmologÐa
Eisagwg sthn KosmologÐa BasileÐou S. Gerogiˆnnh Kajhght Tm matoc Fusik c PanepisthmÐou Patr n Patra 2009 Kefˆlaio 1 Eisagwgikˆ 1.1 Gwniakì mègejoc, parsèk, ètoc fwtìc O parathrht c tou Sq matoc 1.1 parathreð
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Φωνής Άσκηση 2η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών HU578: 2 η Seirˆ Ask sewn AporÐec: yannis@csd.uoc.gr 1. (aþ) Sac dðdetai o anadromikìc
Διαβάστε περισσότεραTm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008
Tm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008 Jèma 1. a 'Enac upologist c dèqetai kajhmerinˆ e-mail. Apì prohgoômena dedomèna gnwrðzoume ìti ta 7/10 twn e-mailc pou stèlnontai
Διαβάστε περισσότεραAnagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2
Jeìdwroc Alexìpouloc, Anaplhrwt c Kajhght c Theodoros Alexopoulos, Associate Professor EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN KAI DEPARTMENT OF PHYSICS
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS h Seirˆ Ask sewn Diaforikèc eis seic > diaforikèc
Διαβάστε περισσότεραMègisth ro - elˆqisth tom
15 DekembrÐou 2009 DÐnetai grˆfoc (N, A) me ìria ro c x ij [b ij, c ij ] gia kˆje akm (i, j) kai dôo epilegmènouc kìmbouc s kai t. Jèloume na upologðsoume th ro sto grˆfo, ste na megistopoieðtai h apìklish
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Z Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 7 Metasqhmatismìc Z 7. Orismìc tou metasqhmatismoô
Διαβάστε περισσότερα9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2
UpenjumÐseic gia thn Jetik kai Teqnologik KateÔjunsh Kajhght c: N.S. Maurogi nnhc 1 Tautìthtec - Anisìthtec 1. (α ± ) = α ± α +. (α ± ) 3 = α 3 ± 3α +3α ± 3 3. α 3 ± 3 =(α ± ) ( α α + ) 4. (α + + γ) =
Διαβάστε περισσότερα6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METLHTWN 6h Seirˆ Ask sewn EpikampÔlia oloklhr mata 1 Jèma 1. Na upologisjeð to epikampôlio
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Μετασχηματισμός Laplace Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 8 Metasqhmatismìc Laplace 8. Orismìc
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Εξετάσεις Ιουνίου (α) Αναπτύξτε την µέθοδο του τραπεζίου για τον αριθµητικό υπολογισµό του ολοκληρώµατος: b I( f ) = f ( x) a όπου f (x) συνεχής και ολοκληρώσιµη
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
1 OktwbrÐou 2012 Kwdikìc Maj matoc: 101 (U) 'Etoc didaskalðac: 2012-2013, Qeimerinì Exˆmhno Hmèrec didaskalðac: Deut. - Tet. - Par., 11:00-13:00 Didˆskontec Tm ma 1 o (AM pou l gei se 0,1,2) Amf 21, BasÐleioc
Διαβάστε περισσότερα1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραFarkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k
Kefˆlaio 1 DiaqwrÐzon UperepÐpedo L mma Farkas 1.1 Kurtˆ SÔnola 'Ena uposônolo C tou R n onomˆzetai kurtì an, gia kˆje x,y C kai kˆje λ [0,1], αx+(1 α)y C. An a i, i = 1,2,...,m eðnai dianôsmata ston R
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier για σήματα και συνεχούς χρόνου Λυμένες ασκήσει ις Κνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh G, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Oi shmei seic autèc eðnai gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn
Διαβάστε περισσότεραAsk seic me ton Metasqhmatismì Laplace
Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace Epimèleia: Gi rgoc Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc 8 IounÐou 4. 'Estw to s ma { A, t T x(t), alloô () (aþ) Na upologðsete to metasq. Fourier
Διαβάστε περισσότεραf(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,
NÐkoc E. AggourÐdhc To Je rhma tou Sarkovskii Panepist mio Kr thc Tm ma Majhmatik n 2 Thn kritik epitrop apotèlesan oi Ajanasìpouloc KwnstantÐnoc Katsoprin khc Emmanou l Kwst khc Ge rgioc (epiblèpwn) touc
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς Σημειώσεις: Βασικές Έννοιες Σημάτων και Συστημάτων Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Kefˆlaio 2 Basikèc ènnoiec
Διαβάστε περισσότεραAM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB
Peiramatiko Lukeio Euaggelikhc Sqolhc Smurnhc Taxh B, Majhmatika Jetikhc kai Teqnologikhc Kateujunshc, Askhseic Kajhght c: Shmei seic gia sqolik qr sh. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemhjoôn eleôjera
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός aplace Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 03 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 2
Kefˆlaio 2 Ergasthriak 'Askhsh 2 Οπου θα δούμε πώς μπορούμε να ορίζουμε δικές μας διαδικασίες και θα παρουσιάσουμε τις primitive διαδικασίες χειρισμού λιστών, τις μεταβλητές και τα side effects. 2.1 P
Διαβάστε περισσότεραthlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.
A' GumnasÐou Sq. Sumb. kl. PE03 GiatÐ epibˆlletai h eisagwg thc sôgqronhc teqnologðac sthn ekpaðdeush. Η Πληροφοριοποίηση της κοινωνίας. Η αυξανόμενη πολυπλοκότητα του εκπαιδευτικού συστήματος. Η σημερινή
Διαβάστε περισσότεραKBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 28 AugoÔstou m Upìdeixh: Na qrhsimopoihjeð to je rhma virial 2 T = r V.
Jèma 1: KBANTOMHQANIKH II (Tm ma A. Laqanˆ) 8 AugoÔstou 001 SwmatÐdio mˆzac m kineðtai sto kentrikì dunamikì V (r) = λ log (r/a). Gia tic idiokatastˆseic thc enèrgeiac na brejeð h mèsh tim tou tetrag nou
Διαβάστε περισσότεραSofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec
Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Bohjhtikèc Shmei seic gia to mˆjhma GewmetrÐec SofÐa ZafeirÐdou Anaplhr tria Kajhg tria Pˆtra 2018 Oi shmei seic autèc grˆfthkan gia tic anˆgkec tou maj matoc GewmetrÐa.
Διαβάστε περισσότεραUpologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013
Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 03 Patra, 6 Ianouariou 03 Jèma A. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo thc diqotìmhshc. B. Na exhg sete grafikˆ thn mèjodo Runge Kutta. Jèma. DiatÔpwsh Oi migadikèc
Διαβάστε περισσότεραEukleideiec Gewmetriec
Eukleideiec Gewmetriec 1. Ta stoiqeða tou EukleÐdh To pio shmantikì biblðo sthn IstorÐa twn Majhmatik n allˆ kai èna apì ta pio shmantikˆ sthn IstorÐa tou anjr pinou politismoô eðnai ta StoiqeÐa tou EukleÐdh.
Διαβάστε περισσότεραHmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn
ARISTOTELEIO PANEPISTHMIO JESSALONIKHS SQOLH JETIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN TOMEAS MAJHMATIKHS ANALUSHS PETROS GALANOPOULOS Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση
Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, που ϑα δούµε παρακάτω, υπολογίζονται από τα στατιστικά δεδοµένα που έχουµε συλλέξει
Διαβάστε περισσότεραΚεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται
Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Οι στατιστικές δείγµατος που υπολογίζονται από τα δεδοµένα που έχουν συλλεχθεί, όπως η δειγµατική µέση τιµή x και η δειγµατική διασπορά s 2, χρησιµοποιούνται για την εκτίµηση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 2, Έλεγχος ροής προγράμματος ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ:
ΜΑΘΗΜΑ 2, 080312 Έλεγχος ροής προγράμματος Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από λογικούς ελέγχους (συγκρίσεις) και με βάση το αποτέλεσμά τους γίνεται η λήψη αποφάσεων για τη συνέχεια του προγράμματος
Διαβάστε περισσότεραστο Αριστοτέλειο υλικού.
Σήματα Συστήματα Μετασχηματισμός Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 203 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραspin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )
SummetrÐec kai Quarks Nikìlaoc A. Tetr dhc Iw nnhc G. Flwr khc 2 Perieqìmena Eisagwgikèc ènnoiec 5. Eisagwg............................. 5.2 SummetrÐa Isospin......................... 0 2 StoiqeÐa JewrÐac
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN
PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN Anaplhrwt c Kajhght c: Dr. Pappˆc G. Alèandroc Perieqìmena. Sumbolismìc kai OrologÐa..
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση ασκήσεις. συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση Fourier για σήματα και διακριτού χρόνου Λυμένες ασκήσεις Κωνσταντίνος Κοτρόουλος Τμήμα Πληροφορικής συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 3 Άδειες Χρήσης Το αρόν εκαιδευτικό υλικό υόκειται
Διαβάστε περισσότεραMELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN
IWANNH D. STAMPOLA MAJHMATIKOU MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN q-poluwnumwn DIDAKTORIKH DIATRIBH TMHMA MAJHMATIKWN SQOLH JETIKWN EPISTHMWN PANEPISTHMIO PATRWN PATRA 2004 Stouc goneðc mou kai
Διαβάστε περισσότεραErgasthriak 'Askhsh 3
Kefˆlaio 3 Ergasthriak 'Askhsh 3 Οπου θα δούμε τις λογικές συναρτήσεις και θα εμβαθύνουμε λίγο περισσότερο στις λίστες και τις μεταβλητές. 3.1 Logikèc Sunart seic Οι λογικές συναρτήσεις (logical ή boolean
Διαβάστε περισσότεραShmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc
Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc Apìstoloc Giannìpouloc 1 Panepisthmio Krhthc Tmhma Majhmatikwn Anoixh 2003 1 Tm. Majhmatik n, Panep. Ajhn n 2 Perieqìmena 1 Μετρικοί χώροι 5 1.1 Ορισμός................................................
Διαβάστε περισσότερα9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot
trisdiastatastoepipedo_.nb 9. Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο 9.. Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot Me thn ContourPlot[f[x,y], {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] scediάzoume thn f[x,y]
Διαβάστε περισσότεραΟι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:
Ένας Πληθυσμός, μεγάλο δείγμα, άγνωστη κατανομή Έλεγχος για την μέση τιμή, με άγνωστη διασπορά Δίνονται ομαδοποιημένες οι ημερήσιες καταναλώσεις ηλεκτρικής ενέργειας (σε 100-άδες κιλοβατώρες) μιας χημικής
Διαβάστε περισσότεραAnaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn
Tmhma Fusikhc Aristoteleio Panepisthmio Jessalonikhc Ptuqiakh Ergasia Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn Ajanˆsioc MourtetzÐkoglou A.E.M.:13119 epiblèpwn kajhght c G. Bougiatz c 8 IoulÐou
Διαβάστε περισσότεραΣημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις και σημειακή εκτίμηση παραμέτρων Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή συμπερασμάτων για το σ
10ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 10ο Μάθημα
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση. σήματα και συστήματα
Σήματα Συστήματα Ανάλυση ourier διακριτού χρόνου Κωνσταντίνος Κοτρόπουλος Τμήμα Πληροφορικής για σήματα και συστήματα Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n B' MEROS 3 EPIFANEIES sto QWRO Epifˆneia gia thn perigraf thc qreiˆzontai dôo parˆmetroi mia eidik
Διαβάστε περισσότεραH mèjodoc Sturm. Mˆjhma AkoloujÐec Sturm
Mˆjhma 2 H mèjodoc Sturm Το θεώρημα του Sturm μας δίνει έναν τρόπο καταμέτρησης των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου σε δοσμένο διάστημα που τηρεί κάποιες συνθήκες. Εισάγουμε την έννοια της ακολουθίας
Διαβάστε περισσότεραUpologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec
Panepisthmio Patrwn - Poluteqnikh Sqolh Tm ma Mhqanik n Hlektronik n Upologist n kai Plhroforik c Upologistikˆ Zht mata se Sumbibastikèc YhfoforÐec Dhmhtrioc Kalaðtzhc Diplwmatik ErgasÐa sto plaðsio tou
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΦυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης
FÔlla Majhmatik c PaideÐac Φυλλο 3, 9 Απριλιου 2010 StoiqeiojeteÐtai me to L A TEX 2ε Epimèleia: N.S. Maurogi nnhc, Dr Majhmatik n Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc mavrogiannis@gmail.com 1
Διαβάστε περισσότερα2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka
MejodologÐec sthn Polu-Antikeimenik BeltistopoÐhsh apì Antwnèlou E. GewrgÐa Diplwmatik ErgasÐa Sqol Jetik n Episthm n Tm ma Majhmatik n Panepist mio Patr n Epiblèpousa: EpÐk.Kajhg tria J. N. Gr ya P tra,
Διαβάστε περισσότεραHU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier
HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt
Διαβάστε περισσότερα2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2
Parathr seic sta Jèmata Jetik c kai Teqnologik c KateÔjunshc tou ètouc 7 Peiramatikì LÔkeio Euaggelik c Sqol c SmÔrnhc 1 IounÐou 7 PerÐlhyh Oi shmei seic autèc anafèrontai sta jèmata Majhmatik n Jetik
Διαβάστε περισσότεραÈ Ö Ñ Ø Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑÙÖÒ Ì Ü Å Ñ Ø Â Ø Ì ÕÒÓÐÓ Ã Ø Ù ÙÒ Ë Ñ Û Â ÛÖ Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ Ç Ñ ô ÙØ Ò ÕÓÐ ÕÖ º ÅÔÓÖÓ Ò Ò Ò Ô Ö Õ Ó Ò Ò Ò Ñ Ó Ò Ð Ö Ö¹ Ò Ñ Ò ÐÐ Ü ÑÓÖ ØÓÙº ØÓÒ Ô Ö ÓÖ Ñ ØÛÒ Ò Ô Ù ØÛÒ Ð ôò
Διαβάστε περισσότερα10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE
10/2013 Mod: 02D-EK/BT Production code: CTT920BE GR ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ σελ. 1 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 3 ΚΕΦ 2 ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ... 3 2.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟΣΥΣΚΕΥΑΣΙΑ...3 2.2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραL mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc
L mma thc 'Antlhshc A. K. Kapìrhc 12 MartÐou 2009 2 Perieqìmena 1 Το Λήμμα της Άντλησης για μη κανονικές γλώσσες 5 1.1 Μη κανονικές γλώσσες..................................... 5 1.2 Λήμμα άντλησης για
Διαβάστε περισσότεραEisagwg sth Grammik 'Algebra Tìmoc B DeÔterh 'Ekdosh Dhm trhc B rsoc Dhm trhc Derizi thc Miq lhc Mali kac OlumpÐa Talèllh Prìlogoc Sto pr to mèroc autoô tou tìmou meletoôme idiìthtec enìc tetragwnikoô
Διαβάστε περισσότερα1, 3, 5, 7, 9,... 2, 4, 6, 8, 10,... 1, 4, 7, 10, 13,... 2, 5, 8, 11, 14,... 3, 6, 9, 12, 15,...
To Je rhma tou Dirichlet Dèspoina NÐka IoÔlioc 999 Majhmatikì Tm ma Panepist mio Kr thc 2 Prìlogoc Oi pr toi arijmoð, 2, 3, 5, 7,,..., eðnai ekeðnoi oi fusikoð arijmoð oi opoðoi èqoun akrib c dôo diairètec,
Διαβάστε περισσότεραΣημερινό μάθημα: Εκτιμήτριες συναρτήσεις, σημειακή εκτίμηση παραμέτρων και γραμμική παλινδρόμηση Στατιστική συμπερασματολογία (ή εκτιμητική ): εξαγωγή
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (10η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 48 Σημερινό
Διαβάστε περισσότεραDidaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ. 20 MartÐou 2015
Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ 20 MartÐou 2015 Sunjhkec spoud n Misjìc: 1700-2500 dolˆria to m na. EnoÐkio: 700-1200 dolˆria. Mènw me sugkˆtoiko(-ouc). Upoqre seic se 2 wc 0 exˆmhna to qrìno:
Διαβάστε περισσότεραJewrÐa UpologismoÔ. Grammatikèc QwrÐc Sumfrazìmena kai Autìmata StoÐbac
M. G. Lagoudˆkhc Τμημα ΗΜΜΥ, Πολυτεχνειο Κρητης SelÐda 1 apì 33 JewrÐa UpologismoÔ Grammatikèc QwrÐc Sumfrazìmena kai Autìmata StoÐbac M. G. Lagoudˆkhc Τμημα ΗΜΜΥ, Πολυτεχνειο Κρητης SelÐda 2 apì 33 Epanˆlhyh
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση Ι. Γ. Στρατής Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα, 2006 Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραMÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac
MÐa SÔntomh Eisagwgă stic SÔgqronec JewrÐec Isìthtac Nikìlac BroÔsalhc nicholas.vrousalis@lmh.ox.ac.uk 29 OktwbrÐou 2007 1 KĹpoiec basikèc diakrðseic 1.1 Ish Mèrimna Φέροµαι εξίσου στην Α και στον Β vs.
Διαβάστε περισσότεραSUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA
EJNIKO METSOBIO POLUTEQNEIO SQOLH EFARMOSMENWN MAJHMATIKWN & FUSIKWN EPISTHMWN TOMEAS MAJHMATIKWN DIDAKTORIKH DIATRIBH SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA Qr stoc S. Qwrianìpouloc
Διαβάστε περισσότεραG. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)
Εκεί που βρίσκεται η πράξη: Περί του πεδίου της διανεμητικής δικαιοσύνης G. A. Cohen ** Mετάφραση: Νικόλας Βρούσαλης Ι Σε αυτή την εργασία υπερασπίζομαι έναν ισχυρισμό που μπορεί να εκφραστεί με ένα οικείο
Διαβάστε περισσότεραBeltistopoÐhsh. Dr. Dhm trhc Swthrìpouloc. Tm ma Thlepikoinwniak Susthmˆtwn kai DiktÔwn. Tetˆrth, 7 OktwbrÐou 2009
BeltistopoÐhsh Μάθημα 1ο Dr. Dhm trhc Swthrìpouloc Tm ma Thlepikoinwniak Susthmˆtwn kai DiktÔwn Tetˆrth, 7 OktwbrÐou 2009 Majhmatikìc Programmatismìc Μαθηματικός προγραμματισμός (Mathematical Programming):
Διαβάστε περισσότεραShmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa
Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa Didˆskwn: Lˆppac D. Ejnikì Kapodistriakì Panepist mio Ajhn n A' MEROS 3 Eisagwg Suntetagmènwn H perðptwsh tou epipèdou (E) E epðpedo thc EukleÐdiac Gewmètriac me
Διαβάστε περισσότεραPANEPISTHMIO KRHTHS SQOLH JETIKWN KAI TEQNOLOGIKWN EPISTHMWN TMHMA MAJHMATIKWN ELENH TZANAKH SUNDUASTIKH GENIKEUMENWN SUMPLEGMATWN SMHNWN KAI PARATAGMATWN UPEREPIPEDWN DIDAKTORIKH DIATRIBH HRAKLEIO 2007
Διαβάστε περισσότερα2
LOGISMOS METABOLWN & EFARMOGES STH MAJHMATIKH MONTELOPOIHSH PTUQIAKH ERGASIA DIONUSHS JEODOSHS-PALIMERHS A.M. : 311/2003028 EPIBLEPWN: NIKOLOPOULOS QRHSTOS A PANEPISTHMIO AIGAIOU TMHMA MAJHMATIKWN SAMOS
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Ενότητα 2: Εκτίμηση παραμέτρων (μέρος 1 ο ) Κουγιουμτζής Δημήτριος Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Άδειες
Διαβάστε περισσότεραApì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss
Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +
Διαβάστε περισσότερα