Χωροχρονικές συνέπειες της Θεωρίας Χορδών σε χαµηλές διαστάσεις

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Πατρών Γενικό Τµήµα, Τοµέας Φυσικής Χωροχρονικές συνέπειες της Θεωρίας Χορδών σε χαµηλές διαστάσεις ιδακτορική ιατριβή ηµήτριος.ι Ζωάκος Πάτρα, 2007

2

3 Περιεχόµενα 1. Υπερσυµµετρία και υπερβαρύτητα Υπερσυµµετρία Υπερβαρύτητα Αναζήτηση υπερσυµµετρικών λύσεων Μηδενισµός των υπερσυµµετρικών µεταβολών των ϕερµιονίων Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις Εισαγωγή διάστατη Υπερβαρύτητα Κατάταξη των λύσεων µε ϐάση την ολονοµία τους Ricci-µηδενικές πολλαπλότητες Υπερσυµµετρικά κύµατα µε ολονοµία Lorentz Εξι διαστάσεις Οκτώ διαστάσεις Εννέα διαστάσεις Συµπεράσµατα και Προοπτικές Παράρτηµα : Γενικό παράδειγµα στις έξι διαστάσεις Υπερσυµµετρικές λύσεις ϐασισµένες στα Υ p,q και L p,q,r Εισαγωγή Στοιχεία των χώρων Υ p,q και L p,q,r Γεωµετρία Υ p,q Γεωµετρία L p,q,r Εξαδιάστατοι κώνοι Κώνος επί του χώρου Υ p,q Κώνος επί του χώρου L p,q,r Λύσεις τύπου ΙΙΒ Warped Προοπτικές

4 4 Περιεχόµενα 4. υϊκά ϐαρύτητας του κλάδου Coulomb της marginally παραµορφωµένης N = 4 Yang-Mills Εισαγωγή Marginal παραµορφώσεις της N = 4 Υπερσυµµετρικής Yang Mills ϑεωρίας Ο µετασχηµατισµός Leigh Strassler υϊκή λύση υπερβαρύτητας από Lunin Maldacena Συσχέτιση µε µη-µεταθετικές ϑεωρίες Γενικά στοιχεία Η παραµόρφωση Κατανοµές ϐρανών Λύσεις µε συµµετρία SO(2) SO(2) SO(2) Λύσεις µε συµµετρία SO(4) SO(2) Υπερσυµµετρία Ο µηχανισµός σπασίµατος της υπερσυµµετρίας και η Τ-δυϊκότητα Η ακριβής έκφραση για τον σπίνορα Killing στην σύµµορφη περίπτωση Λύση των εξισώσεων διατήρησης της Υπερσυµµετρίας Βρόχοι Wilson στην Θεωρία πεδίου Το δυναµικό στην QED Βρόχοι Wilson και το δυναµικό q q Βρόχοι Wilson κατά µήκος του εγκάρσιου χώρου Το σύµµορφο όριο Ο δίσκος Η σφαίρα Η κυµατική εξίσωση Η µη-παραµορφωµένη περίπτωση Η παραµορφωµένη περίπτωση Σχέση της εξίσωσης Heun µε το µοντέλο Inozemtsev Συµπεράσµατα και Προοπτικές T και S δυϊκότητες Συµπεράσµατα

5 ιδακτορική ιατριβή 5 Επιβλέπων : Καθ. Κωνσταντίνος Σφέτσος, Γενικό Τµήµα, Π. Πατρών Εξεταστική Επιτροπή : Καθ. Ιωάννης Μπάκας, Τµήµα Φυσικής, Π. Πατρών Επίκ. Καθ. Αλέξανδρος Κεχαγιάς, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ Καθ. Βασίλειος Μάρκελλος, Γενικό Τµήµα, Π. Πατρών Αναπλ. Καθ. ηµήτριος Γκίκας, Τµήµα Φυσικής, Π. Πατρών Αναπλ. Καθ. Ιωάννης Ρίζος, Τµήµα Φυσικής, Π. Ιωαννίνων Λέκτορας Ανδρέας Αρβανιτογεώργος, Τµήµα Μαθηµατικών, Π. Πατρών

6 6 Περιεχόµενα

7 Ευχαριστίες Θα ήθελα κατ αρχήν να ευχαριστήσω ϑερµά τον Καθηγητή Κωνσταντίνο Σφέτσο. Σε όλη την πορεία εξέλιξης της παρούσας διατριβής το ενδιαφέρον και η υποστήριξη του, τόσο σε επιστηµονικό όσο και σε προσωπικό επίπεδο, ήταν η απαραίτητη προυπόθεση για την ολοκλήρωσή της. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τους µεταδιδακτορικούς ερευνητές στα Πανεπιστήµιο Μαδρίτης και Πατρών, R.Hernández και Σ.Αβράµη, µε τους οποίους συνεργάστηκα στην πορεία του διδακτορικού. Είµαι ευγνώµων σε όλους τους κατά περιόδους δασκάλους µου για τις γνώσεις που µου προσέ- ϕεραν και ιδιαίτερα στους Α.Β. Λαχανά και Ξάνθο Μαϊντά για την επίβλεψή τους σε προηγούµενα στάδια των µεταπτυχιακών και προπτυχιακών σπουδών. Το χρονικό διάστηµα των τεσσάρων τελευταίων ετών είχα την τιµή να είµαι υπότροφος του Πανεπιστηµίου Πατρών µέσω της υποτροφίας «Κ.Καραθεοδωρή». Συνεπώς ευχαριστώ ϑερµά την Επιτροπή Ερευνών για την οικονοµική ενίσχυση που µου προσέφερε. Επιπλέον ϑα πρέπει να ευχαριστήσω τον Τοµέα Θεωρητικής Φυσικής της École Polytechnique στο Παρίσι και το Τµήµα Φυσικής του CERN στην Ελβετία για τη ϕιλοξενία και την οικονοµική υποστήριξη σε διαφορετικά στάδια εξέλιξης της παρούσας διατριβής. Τέλος, ϑα ήθελα από ϐάθους καρδιάς να ευχαριστήσω τους γονείς µου Ιωάννη και Παγώνα, την αδελφή µου Άννα, την µνηστή µου Μίνα και όλους τους αγαπηµένους ϕίλους. Χωρίς να ξεχνώ τους υπόλοιπους ϑα µνηµονεύσω ιδιαίτερα τους Άκη Τσεκούρα και Ηλία Βαγενά και Σπύρο Αβράµη. Με το Σ.Αβράµη η ϕιλία τον τελευταίο χρόνο έχει εξελιχθεί σε µια ενδιαφέρουσα και αποδοτική επιστηµονική συνεργασία. 7

8 8 Περιεχόµενα

9 Εισαγωγή Στη ϕύση υπάρχουν τέσσερα είδη αλληλεπιδράσεων : η ϐαρυτική, η ηλεκτροµαγνητική και η ασ- ϑενής µε την ισχυρή πυρηνική. Η ϐαρυτική αλληλεπίδραση, πολύ ασθενέστερη από τις υπόλοιπες, περιγράφεται από τη ϑεωρία της Γενικής Σχετικότητας, ενώ οι άλλες τρείς από το Καθιερωµένο Πρότυπο (Standard Model). Παρά την αναµφισβήτητη επιτυχία του Καθιερωµένου Προτύπου να περιγράψει τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των στοιχειωδών σωµατιδίων, υπάρχουν αρκετά ϑεµελειώδη αναπάντητα ερωτήµατα. Το σηµαντικότερο είναι η ανάπτυξη µιας κβαντοµηχανικής διατύπωσης για την ϐαρύτητα, µιας και η ϐαρυτική αλληλεπίδραση είναι µη επανακανονικοποιήσιµη µε όρους κβαντικής ϑεωρίας πεδίου. Εξίσου σηµαντική είναι η ανεύρεση µιας ϑεωρίας ενοποίησης όλων των δυνάµεων στη ϕύση. Μέχρι τώρα οι σηµαντικότερες προσπάθειες για την επίλυση των παραπάνω προβληµάτων έχουν γίνει µέσα στα πλαίσια της ϑεωρίας χορδών, [7 10]. Η ϑεωρία χορδών αρχικά εµφανίστηκε µε σκοπό να ερµηνεύσει τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις. Η ϐασική ιδέα πάνω στην οποία στηρίζεται είναι ότι τα σωµάτια, αντί να είναι σηµεία όπως τα ϑεωρούσαµε µέχρι τώρα ταυτίζονται µε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης κάποιων ϑεµελειωδών χορδών. Από τη µελέτη του ϕάσµατος των διεγέρσεων µιας κλειστής χορδής προκύπτει ένα άµαζο πεδίο µε σπιν 2, το οποίο ταυτίζεται µε το ϐαρυτόνιο. Επιπλέον η άπειρη ακολουθία από κανονικούς τρόπους ταλάντωσης που αντιστοιχούν σε σωµάτια µε µάζα µπορεί να «ϑεραπεύσει» τη µη επανακανονικοποίηση της Γενικής Σχετικότητας, οπότε καταλήγουµε σε µια συνεπή ϑεωρία κβαντικής ϐαρύτητας. Ενα από τα σηµεία κλειδιά στην ανάπτυξη της ϑεωρίας χορδών είναι η εισαγωγή της έννοιας της υπερσυµµετρίας, µιας µη τετριµένης επέκτασης της χωροχρονικής συµµετρίας του Poicaré που αναµειγνύει τα µποζονικά και τα ϕερµιονικά πεδία. Οι ϑεωρίες πεδίου µε συνολική (global) υπερσυµµετρία είναι επεκτάσεις του Καθιερωµένου Προτύπου µε περισσότερα πεδία. Οι ϑεωρίες πεδίου µε τοπική υπερσυµµετρία περιέχουν τη ϐαρύτητα, και είναι γνωστές ως ϑεωρίες υπερβαρύτητας παρά τη ϐελτιωµένη συµπεριφορά τους εξακολουθούν να παραµένουν µη επανακανονικοποιήσιµες. Οι ϑεωρίες χορδών που περιέχουν υπερσυµµετρία ονοµάζονται ϑεωρίες υπερχορδών. 9

10 10 Περιεχόµενα Οι αλληλεπιδράσεις στο όριο των χαµηλών ενεργειών, όπου οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης που αντιστοιχούν σε σωµάτια µε µάζα αποσυζεύγνυνται, περιγράφονται από ενεργές ϑεωρίες πεδίου. Σε αυτό το πλαίσιο το πρόβληµα της µη επανακανονικοποίησης επιλύεται µέσω της υπεριώδους συµπλήρωσης από την υπερκείµενη ϑεωρία χορδών. Σχήµα 0.1: Χορδές και D-ϐράνες Σηµαντικό ϱόλο στην ανάπτυξη της ϑεωρίας χορδών έχουν παίξει οι εκτεταµένες µεµβράνες µε χωρικές διαστάσεις 0, 1,... 9, οι οποίες ονοµάζονται Dp-ϐράνες. Οι ϐράνες αυτές είναι µη διαταρακτικά σολιτονικά αντικείµενα που µπορούν να ταυτιστούν µε υπερεπίπεδα όπου καταλήγουν οι ανοικτές χορδές. Οι Dp-ϐράνες µπορούν να έχουν διπλή ερµηνεία ανάλογα από την οπτική γωνία που τις εξετάζουµε : Από τη µια πλευρά οι Dp-ϐράνες επιδέχονται περιγραφής µε όρους διαταρακτικής ϑεωρίας ανοικτών χορδών. Επικεντρώνουµε στην περίπτωση όπου έχουµε Ν παράλληλες D3-ϐράνες (1 χρονική και 3 χωρικές διαστάσεις) οι οποίες απέχουν απόσταση r µεταξύ τους. Μεταξύ των D3-ϐρανών εκτείνονται ανοικτές χορδές στα άκρα των οποίων υπάρχουν ϕορτία, τα οποία περιγράφουν µια ϑεωρία U(1). Από τη στιγµή που ξεκινάµε µε Ν τέτοιες D3-ϐράνες ϑα καταλήξουµε µε U(1) N ϑεωρίες ϐαθµίδας. Η µάζα των χορδών αυτών δίνεται από την σχέση ( ) 2 r (µάζα) 2 = + n 1 l 2 s όπου l s χορδική σταθερά και n είναι ο αριθµός των κανονικών τρόπων ταλάντωσης των χορδών. Η περίπτωση n = 1 αντιστοιχεί στο πεδίο ϐαθµίδας A µ. Στο όριο r 0 µε l s 0 όταν το πηλίκο r/l 2 s παραµένει πεπερασµένο έχουµε αποσύζευξη των κανονικών τρόπων ταλάντωσης l 2 s

11 ιδακτορική ιατριβή 11 και εµπλουτισµό της συµµετρίας από U(1) N σε SU(N). Συνεπώς οι άµαζες καταστάσεις του ϕάσµατος των ανοικτών χορδών υποστηρίζουν µια τετραδιάστατη ϑεωρία ϐαθµίδας. Παράλληλα µε την παραπάνω οι D3-ϐράνες µπορούν να έχουν ερµηνεία µέσω κλειστών χορδών από τη στιγµή που µπορούµε να τις δούµε ώς κλασικά σολιτόνια των ϑεωριών υπερβαρύτητας στο όριο των χαµηλών ενεργειών. Η λύση για συσσωµάτωµα από N D3-ϐράνες που ικανοποιεί τις εξισώσεις τύπου Einstein στις δέκα διαστάσεις είναι ds 2 10 = H 1/2 n αϐ dx α dx ϐ + H 1/2 (dr 2 + r 2 dω 2 5) e φ = g s, H = 1 + 4πgsNl4 s r 4 F 5 = dh 1 dx 0... dx 3 + *(dh 1 dx 0... dx 3 ). Η αντιστοιχία µε τη ϑεωρία πεδίου ϑα γίνει και πάλι στο όριο l s 0 µετά από τον µετασχη- µατισµό U = r/l 2 s οπότε για την µετρική έχουµε ( U ds10 2 = l 2 2 s 4πgs N n αϐdx α dx ϐ + 4πg s N du 2 U + ) 2 4πg s NdΩ 2 5. Η παραπάνω µετρική περιγράφει έναν χώρο AdS 5 S 5 µε κοινή ακτίνα R = (4πg s N) 1/4 l s τόσο για το AdS 5 τµήµα του όσο και για την 5-διάστατη σφαίρα S 5. Ο δυϊσµός ανοικτών/κλειστών χορδών µας οδηγεί στο δυϊσµό ϐαρύτητας και ϑεωριών ϐαθµίδας. Το σκεπτικό αυτό άνοιξε νέους δρόµους. Η ϑεωρία χορδών, πέρα από υποψήφια για την ενοποίηση των δυνάµεων, ϑα µπορούσε να είναι το κύριο όπλο µας στη µελέτη των δυϊσµών των διαφόρων ϑεωριών ϐαθµίδας. Το γεγονός αυτό σχετίζεται ϕυσικά µε την παλαιότερη πρόταση από τον t Hooft [77]. Σύµφωνα µε την πρόταση αυτή τα διαγράµµατα Feynman που αντιστοιχούν σε µια ϑεωρία ϐαθµίδας U(N)

12 12 Περιεχόµενα µπορούν να αναδιαταχθούν µε τέτοιο τρόπο ώστε τα αθροίσµατα να είναι επί του γένους των επι- ϕανειών επί των οποίων έχουµε τα διαγράµµατα. Αυτό είναι παρόµοιο µε τον υπολογισµό για το πλάτος σκέδασης σε µια ϑεωρία χορδών, όπου αθροίζουµε επί του γένους όλων των πιθανών χωροχρονικών ϕύλλων. Συνεπώς υπονοείτε ένας δυϊσµός µεταξύ ϑεωριών ϐαθµίδας και ϑεωριών χορδών, τουλάχιστον για κάποιο όριο των παραµέτρων. Η ποσοτική περιγραφή για αυτή την αντιστοιχία δόθηκε από τον Maldacena, [78]. Σύµφωνα µε την πρόταση αυτή η ϑεωρία χορδών τύπου ΙΙΒ στον AdS 5 S 5 είναι ακριβώς δυϊκή της τετραδιάστατης N =4 υπερσυµµετρικής Yang Mills ϑεωρίας µε οµάδα ϐαθµίδας SU(N). Ο δυϊσµός αυτός είναι γνωστός ως αντιστοιχία AdS/CFT και περιλαµβάνει πλήρη χαρτογράφηση για τη συσχέτιση µεταξύ καταστάσεων και πεδίων από την πλευρά της ϑεωρίας χορδών και τελεστών αναλλοίωτων κάτω από µετασχηµατισµούς ϐαθµίδας για την πλευρά της N =4 SYM. Η παραπάνω διατύπωση για την αντιστοιχία είναι η πλήρης και ισχύει για όλες τις τιµές του N. Αν και µέχρι τώρα δεν έχει υπάρξει µια αυστηρή απόδειξη της παραπάνω υπόθεσης όλοι οι έλεγχοι που έχουν γίνει από την εποχή της διατύπωσής της συνεχίζουν να την επιβεβαιώνουν. Μια πρώτη ενδιαφέρουσα παρατήρηση/επιβεβαίωση προέρχεται από τη σύγκριση των συµµετριών για τις δύο όψεις της αντιστοιχίας. Η οµάδα ισοµετρίας για τον AdS 5 S 5 είναι SO(4, 2) SO(6) µε τους δύο όρους να προέρχονται αντίστοιχα από τον χώρο Anti de Sitter και τη σφαίρα. Αυτές οι συµµετρίες είναι ακριβώς εκείνες που αντιστοιχούν στην σύµµορφη οµάδα αναλλοιώτητας και την οµάδα συµµετρίας R της N =4 υπερσυµµετρικής Yang Mills ϑεωρίας, SO(4, 2) conf SO(6) R! Εξαιτίας των προφανών δυσκολιών στην κβάντωση µιας ϑεωρίας χορδών σε καµπυλωµένο χώρο, όπως ο AdS 5 S 5, είναι εξαιρετικά περίπλοκο να χειριστούµε την αντιστοιχία σε αυτό το επίπεδο, οπόπε αναζητούµε όρια στα οποία είναι περισσότερο εύχρηστη ενώ εξακολουθεί να παραµένει µή τετριµένη. Τα δύο όρια προκύπτουν για διαφορετικές τιµές της σταθεράς t Hooft, λ g 2 YM N, όπου g YM είναι η σταθερά σύζευξης για τη ϑεωρία ϐαθµίδας. Για N και λ 1 η N =4 υπερσυµµετρική Yang Mills µπορεί να µελετηθεί µε µεθόδους της παραδοσιακής ϑεωρίας πεδίου, ενώ στο αντίθετο όριο, N και λ 1, µε µεθόδους της κλασικής υπερβαρύτητας. Το εντυπωσιακό αυτό επίτευµα συσχετίζει δυο τελείως διαφορετικές ϑεωρίες και µας δίνει την δυνατότητα να προχωρήσουµε σε υπολογισµούς που αφορούν το µη-διαταρακτικό όριο της ϑεωρίας ϐαθµίδας από τη στιγµή που αυτό συσχετίζεται στο όριο των χαµηλών ενεργειών µε την κλασική υπερβαρύτητα. Η σχέση µεταξύ των δύο ϑεωριών είναι ολογραφική, µε την έννοια ότι ο αριθµός των διαστάσεων επί των οποίων εξελίσσονται είναι διαφορετικός, εποµένως η ϕυσική στο περίγραµµα του χώρου συµπυκνώνει την πληροφορία για τη ϕυσική στο εσωτερικό του. Αξίζει εδώ να τονίσουµε ότι η αντιστοιχία στην πλήρη διατύπωση της αφορά την N =4 υπερσυµ- µετρική Yang Mills ϑεωρία, η οποία απέχει παρασάγγας από το να µας προσφέρει µια ϱεαλιστική περιγραφή για τον πραγµατικό κόσµο. Τα ϐασικά στοιχεία που καθιστούν µια τέτοια ϑεωρία µη ϱεαλιστική είναι η αυξηµένη υπερσυµµετρία της και ότι πρόκειται για υπερσύµµορφη ϑεωρία. Προχωρώντας είτε σε ελάττωση της υπερσυµµετρίας (διατηρώντας λιγότερα από τα δεκαέξι υπερ- ϕορτία που αποµένουν µετά από την εισαγωγή Dp-ϐρανών στον επίπεδο χώρο) είτε σε σπάσιµο της σύµµορφης αναλλοιώτητας επιτυγχάνουµε διπλό στόχο. Από την µια έχουµε την δυνατότητα να ελέγξουµε την αντιστοιχία σε περιβάλλον µη σύµµορφο και ελαττωµένης υπερσυµµετρίας και από

13 ιδακτορική ιατριβή 13 την άλλη να προσεγγίσουµε ϱεαλιστικότερες ϑεωρίες ϐαθµίδας. Σε αυτή την οπτική εντάσσονται και οι marginal παραµορφώσεις που ϑα µελετήσουµε στη συνέχεια. Στην πορεία εξέλιξης της διδακτορικής διατριβής δηµοσιεύθηκαν έξι εργασίες σε έγκριτα διεθνή επιστηµονικά περιοδικά [1 6]. Οι εργασίες αυτές έγιναν σε συνεργασία µε τον επιβλέποντα της παρούσας διατριβής Καθηγητή Κ.Σφέτσο και τους µεταδιδακτορικούς ερευνητές στα Πανεπιστήµιο Μαδρίτης και Πατρών, R.Hernández και Σ.Αβράµη αντίστοιχα. Η παρούσα διατριβή ϐασίζεται στις δηµοσιεύσεις [1 4], ενώ στοιχεία της [6] παρουσιάζονται στα συµπεράσµατα του τετάρτου κεφαλαίου. Συνδετικός κρίκος των δηµοσιεύσεων είναι η αναζήτηση υπερσυµµετρικών λύσεων των ϑεωριών υπερβαρυτητας στις δέκα και έντεκα διαστάσεις και η συνακόλουθη µελέτη των συνεπειών τους στις τέσσερεις διαστάσεις µέσα από την αντιστοιχία ϐαρύτητας/βαθµίδας. Το κείµενο της διατριβής είναι χωρισµένο σε τρία κεφάλαια, σε καθένα από τα οποία παρουσιάζεται ένα ξεχωριστό πρόβληµα, µε την αρχή του κάθε κεφαλαίου να περιέχει µια συνοπτική εισαγωγή. Μια τέτοια προσέγγιση κρίθηκε λειτουργικότερη σε αντίθεση µε εκείνη της εκτενούς γενικής εισαγωγής. Στο πρώτο κεφάλαιο ϑα δώσουµε µια συνοπτική εισαγωγή των εννοιών της υπερσυµµετρίας και της υπερβαρύτητας. Εκεί ϑα παρουσιάσουµε την κεντρική ιδέα πάνω στην οποία ϐασίζεται ο υπολογισµός υπερσυµµετρικών λύσεων. Στο δεύτερο κεφάλαιο ϑα αναζητήσουµε υπερσυµµετρικές ϐαρυτικές λύσεις της εντεκαδιάστατης υπερβαρύτητας σε πολλαπλότητες µε Lorentzian ολονοµία. Για την ανεύρεση των υπερσυµµετρικών µποζονικών λύσεων κενού δεν ϑα περιοριστούµε στην αναζήτηση παράλληλων σπινόρων. Οπως ϑα αποδείξουµε είναι απαραίτητο να εξεταστούν ξεχωριστά και οι εξισώσεις κίνησης. Στο τρίτο κεφάλαιο χρησιµοποιώντας τους πενταδιάστατους Υ p,q και L p,q,r χώρους ως ϐάση, κατασκευάζουµε εξαδιάστατους υπερσυµµετρικούς κώνους. Στη συνέχεια χρησι- µοποιούµε τους παραπάνω Ricci επίπεδους κώνους ως δοµικά στοιχεία για την κατασκευή υπερσυµ- µετρικών λύσεων της δεκαδιάστατης υπερβαρύτητας τύπου ΙΙΒ. Στο τέταρτο κεφάλαιο επεκτείνουµε την σχετικά πρόσφατη κατασκευή των Lunin και Maldacena για υπερβαρυτικό υπόβαθρο που περιγράφει τον κλαδο Coulomb µιας marginally παραµορφωµένης N =4 Yang Mills ϑεωρίας, όταν τα SO(6) ϐαθµωτά πεδία της αποκτούν αναµενόµενες τιµές κενού. Αυτό επιτυγχάνεται µέσα από µια αλληλουχία από Τ δυϊκότητες και µετατοπίσεις συντεταγµένων σε πολυκεντρικές λύσεις της υπερ- ϐαρύτητας. Ενα από τα ϑέµατα που ϑα αναλύσουµε είναι το ήτηµα της υπερσυµµετρίας και πως αυτή µειώνεται από N =4 σε N =1 κατά την παραµόρφωση. Η προσέγγιση της παραµόρφωσης, λόγο της αντιστοιχίας AdS/CFT, µπορεί να γίνει είτε από την πλευρά της υπερβαρύτητας είτε από εκείνη των ϑεωριών ϐαθµίδας. Στην περίπτωση µας ϑα γίνει από την πλευρά της υπερβαρύτητας. Η εργασία [5] αφορά την εφαρµογή της αντιστοιχίας AdS/CFT για υπολογισµούς µεγεθών που αφορούν το πλάσµα γλουονίων και κουρκς της QCD.

14 14 Περιεχόµενα

15 1 Υπερσυµµετρία και υπερβαρύτητα Οπως τονίσαµε και στην εισαγωγή ο κύριος στόχος µας ϑα είναι η αναζήτηση µποζονικών υπερσυµ- µετρικων λύσεων της υπερβαρύτητας σε διάφορες διαστάσεις και η συνακόλουθη µελέτη διαφόρων ιδιοτήτων τους. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δώσουµε µια συνοπτική εισαγωγή των εννοιών της υπερσυµµετρίας και της υπερβαρύτητας, η οποία σε καµία περίπτωση δεν ϕιλοδοξεί να χαρακτηριστεί πλήρης. 1.1 Υπερσυµµετρία Η υπερσυµµετρία (στη ϐιβλιογραφία είναι γνωστή µε τα αρχικά γράµµατα του αγγλικού όρου SUSY) είναι η συµµετρία που αναµειγνύει τους µποζονικούς και ϕερµιονικούς ϐαθµούς ελευ- ϑερίας, έτσι ώστε οι εξισώσεις κίνησης να παραµένουν αναλλοίωτες. Προέκυψε σαν ανάµειξη της χωροχρονικής συµµετρίας του Poicaré (οµάδα Lorentz εµπλουτισµένη µε µεταθέσεις) µε εσωτερικές οµάδες συµµετρίας. Η άλγεβρα της υπερσυµµετρίας µπορεί να γραφεί τελείως σχηµατικά µε τον ακόλουθο τρόπο : [P, P] = 0, [P, M] = P, [M, M] = M, [P, Q I ] = 0, [M, Q I ] = Q I, {Q I, QJ } = P δ IJ, {Q I, Q J } = Z IJ, { QI, QJ } = Z IJ, (1.1) όπου µε P συµβολίζουµε τις µεταθέσεις, µε M τους γεννήτορες της οµάδας Lorentz (στροφές στο χώρο και προωθήσεις (boosts), µε Q I και QI τους γεννητορες της υπερσυµµετρίας, ενώ τα Z IJ είναι κεντρικά ϕορτία. Ολοι οι δείκτες, χωροχρονικοί και σπινοριακοί, έχουν παραλειφθεί. Με τους δείκτες I, J = 1,..., N συµβολίζουµε τις διαφορετικές οµάδες γεννητόρων της υπερσυµµετρίας. 15

16 16 Υπερσυµµετρία και υπερβαρύτητα Οι γεννήτορες της άλγεβρας της υπερσυµµετρίας µετασχηµατίζονται κάτω από τις ( 1, 0) και 2 (0, 1 ) σπινοριακές αναπαραστάσεις της οµάδας Lorentz. Αυτό έχει ως συνέπεια οι υπερσυµ- 2 µετρικοί µετασχηµατισµοί να αλλάζουν τα ϕερµιόνια σε µποζόνια και αντίστροφα. Ετσι µια µη αναγώγιµη αναπαράσταση της άλγεβρας της υπερσυµµετρίας ϑα αντιστοιχεί σε διάφορα σωµάτια, τα οποία ϑα σχηµατίζουν αυτό που ονοµάζουµε υπερπολλαπλότητα (supermultiplet). Μπορούµε να αποδείξουµε ότι κάθε υπερπολλαπλότητα περιλαµβάνει τον ίδιο αριθµό µποζονικών και ϕερµιονικών ϐαθµών ελευθερίας. Επιπλέον από τη στιγµή που οι υπερσυµµετρικοί µετασχηµατισµοί µετατίθενται µε τους γεννήτορες της ορµής έχουµε [P 2, Q] = 0, συνεπώς όλα τα σωµάτια µιας υπερπολλαπλότητας έχουν την ίδια µάζα. Σε αυτό το σηµείο ϑα µπορούσε κανείς να αναρωτηθεί για την πρακτική χρησιµότητα της υπερσυµµετρίας από τη στιγµή που µια από τις κύριες προβλέψεις της είναι η ύπαρξη υπερσυµµετρικών εταίρων µε µάζα ίση των συνήθων, κάτι που ϕυσικά δεν έχει παρατηρηθεί µέχρι τώρα. Ο µόνος τρόπος διεξόδου είναι να υποθέσουµε ότι έαν η υπερσυµµετρία υφίσταται πράγµατι ϑα υπάρχει κάποια ενεργειακή κλίµακα πέρα από την οποία ϑα «σπάει». Αυτό ϑα πρέπει να συµβαίνει σε αρκετά υψηλές ενεργειες, τουλάχιστον µεγαλύτερες από εκείνες που µπορούν να προσεγγίσουν οι επιταχυντές σήµερα. Οµως από τη στιγµή που κανένα στοιχείο από τα πειράµατα δεν µας οδηγεί σε ύπαρξη υπερσυµµετρικών εταίρων, ϑα πρέπει να έχουµε ένα καλό λόγο που συνεχίζουµε να ενδιαφερόµαστε. Ενα αρχικό ισχυρό επιχείρηµα προς αυτήν την κατεύθυνση είναι ότι οι υπερσυµµετρικές ϑεω- ϱίες αποτελούν τη ϕυσικότερη επέκταση των συνήθων ϑεωριών πεδίου (Καθιερωµένο Πρότυπο). Το πλεονέκτηµά τους είναι η καλύτερη συµπεριφορά στο υπεριώδες, λόγο της αλληλοεξουδετέρωσης µποζονικών και ϕερµιονικών ϐρόχων σε διαγράµµατα Feynman. Οµως το ισχυρότερο επιχείρηµα προέρχεται από την ιδεά της µεγάλης εννοποίησης. Εάν η οµάδα ϐαθµίδας του Καθιερωµένου Προτύπου προέρχεται από το σπάσιµο µιας µεγαλύτερης σε κάποια υψηλότερη ενεργειακή στάθµη, οι τρείς σταθερές συζευξης (ηλεκτροµαγνητισµού, ασθενών και ισχυρών αλληλεπιδράσεων) ϑα πρέπει να εννοποιούνται σε αυτή τη στάθµη. Ακολουθώντας τις εξισώσεις ϱοής της οµάδας επανακανονικοποίησης, µε το ϕάσµα σωµατιδίων του Καθιερωµένου Προτύπου, οι συζεύξεις αποτυγχάνουν να συγκλίνουν σε ένα σηµείο. Εάν όµως χρησιµοποιήσουµε την υπερσυµµετρική επέκταση του Καθιερωµένου Πρότυπου, η δυσκολία εξουδετερώνεται. Ενας επιπλέον λόγος για να πιστέψουµε στην ύπαρξη της υπερσυµµετρίας είναι ότι απαλλάσει τη ϑεωρία από ταχυόνια (tachyons), και συνεπώς ανακολουθίες. Φυσικά επιχείρηµα για την υποστήριξη της υπερσυµµετρίας είναι το πρόβληµα της ιεραρχίας. Η µεγάλη διαφορά ανάµεσα στην ενεργειακή κλίµακα Plank και εκείνη των ασθενών αλληλεπιδράσεων µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η υπερσυµµετρία πρέπει να αποκαθίσταται σε ενεργειακή κλίµακα συγκρίσιµη εκείνης της µάζας του σωµατίου Higgs. Ολα τα παραπάνω συγκλίνουν στο συµπέρασµα ότι η µάζα του ελαφρότερου υπερσυµµετρικού σωµατιδιού ϑα πρέπει να είναι της τάξης του tev. Φυσικά αυτό µένει να αποδειχθεί από τα πειράµατα του LHC στο CERN, τα οποία αναµένεται να µας δώσουν τα πρώτα αποτελέσµατα σε περίπου δύο χρόνια. Ακόµα και αν το πείραµα δεν επιβεβαίωνε την ύπαρξη υπερσυµµετρίας, αυτή ϑα εξακολου- ϑούσε να παρουσιάζει ενδιαφέρον. Ενας λόγος είναι ότι οι υπερσυµµετρικές ϑεωρίες µπορούν να χρησιµοποιηθούν σαν απλοποιηµένα µοντέλα για την µελέτη ϱεαλιστικότερων ϑεωριών. Με αυτό

17 ιδακτορική ιατριβή 17 τον τρόπο µπορούν να µας ϐοηθήσουν να κατανοήσουµε περίπλοκα προβλήµατα, όπως τον εγκλω- ϐισµό (confinment) των κουάρκς (quarks). Επιπλέον η υπερσυµµετρία οξύνει τη διαίσθηση µας επί µαθηµατικών προβληµάτων, ειδικά εκείνων της γεωµετρίας. Από την άλλη ακόµα και αν οι ϑεωρίες υπερχορδών δεν είναι οι καταλληλότερες για την περιγραφή της κβαντικής ϐαρύτητας ϑα εξακολουθούν να παρουσιάζουν ϕυσικό ενδιαφέρον εξαιτίας της αντιστοιχίας ϑεωριών ϐαθµίδας και ϐαρύτητας, η οποία µπορεί να εξερευνηθεί µέσα από την υπόθεση του Maldacena (αντιστοιχία AdS/CFT). Σπίνορες σε διάφορες διαστάσεις Από τη στιγµή που στη συνέχεια ϑα ασχοληθούµε µε υπερσυµµετρικές ϑεωρίες σε διάφορες διαστάσεις, είναι χρήσιµο να δώσουµε µια συνοπτική εικόνα για τις σπινοριακές αναπαραστάσεις σε κάθε διάσταση. Περισσότερες λεπτοµέρειες µπορεί κανείς να δει στα [10 12]. Μια σπινοριακή αναπαράσταση της οµάδας Lorentz σχετίζεται µε την άλγεβρα Clifford: {Γ µ, Γ ν } = 2g µν (1.2) όπου µ, ν = 1,..., D είναι χωροχρονικοί δείκτες και D η διάσταση του χωροχρόνου. Με Γάµµα συµ- ϐολίζουµε τους πίνακες Dirac, οι οποίοι µπορούν να γραφούν µε τη µορφή 2 [D/2] 2 [D/2] µιγαδικών τετραγωνικών πινάκων µε [D/2] να είναι το ακέραιο µέρος του D/2. Τότε ο σπίνορας έχει 2 [D/2] µιγαδικές συνιστώσες, µε τους ϐαθµούς ελευθερίας του να είναι µειωµένοι στο µισό εξαιτίας της εξίσωσης Dirac που πρεπει να ικανοποιεί. Συµπερασµατικά ένας σπίνορας Dirac σε D διαστάσεις έχει 2 [D/2] πραγµατικούς ϐαθµούς ελευθερίας, εκτός εάν επιπλέον συνθήκες/περιορισµοί τους µειώνουν περαιτέρω. Υπάρχουν δύο ειδών συνθήκες, καθεµιά από τις οποίες µειώνει στο µισό τους ϐαθµούς ελευ- ϑερίας : - Επιβάλλοντας τον περιορισµό ο σπίνορας να είναι πραγµατικός αναδεικνύουµε τους σπίνορες (ψεύδο) Majorana. Αυτό µπορεί να συµβεί όταν η διάσταση του χώρου είναι D=0,1,2,3,4 mod 8. - Επιβάλλοντας τον περιορισµό ο σπίνορας να έχει δεδοµένη χειραλικότητα αναδεικνύουµε τους σπίνορες Weyl. Αυτό είναι εφικτό µόνο όταν η διάσταση του χώρου είναι άρτια. - Οι παραπάνω περιορισµοί µπορούν να εφαρµοστούν ταυτόχρονα όταν η διάσταση του χώρου είναι D=2 mod 8, οπότε αναδεικνύονται οι σπίνορες (ψεύδο) Majorana-Weyl. Ενα κρίσιµο µέγεθος για µια υπερσυµµετρική ϑεωρία είναι ο αριθµός των υπερφορτίων που περιέχει. Για παράδειγµα, σε µια N = 1 ϑεωρία στις 11 διαστάσεις έχουµε ένα σπίνορα Majorana µε 32 ϐαθµούς ελευθερίας, συνεπώς 32 πραγµατικά υπερφορτία. Αντίθετα σε µια N = 1 στις 4 διαστάσεις έχουµε 4 υπερφορτία. Σηµειώνουµε ότι αυτή η µείωση στο µισό δεν αφορά τους σπίνορες που χρησιµοποιούνται στους υπερσυµµετρικούς µετασχηµατισµούς, καθώς αυτοί είναι αυθαίρετοι και δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιούν κάποια εξίσωση κίνησης Για λόγους απλότητας στην παρούσα εισαγωγή δεν ϑα διαχωρίσουµε τους σπίνορες σε Majorana και (ψεύδο) Majorana.

18 18 Υπερσυµµετρία και υπερβαρύτητα 1.2 Υπερβαρύτητα Η υπερβαρύτητα (στη ϐιβλιογραφία είναι γνωστή µε τα αρχικα γράµµατα του αγγλικού όρου SUGRA) είναι η ϑεωρία ϐαθµίδας της υπερσυµµετρίας. Ο ϐασικός λόγος κατασκευής της ήταν η ανάγκη για µια υπερσυµµετρική ϑεωρία που να εµπεριέχει τη ϐαρύτητα. Το ϐασικό πεδίο για τη ϐαρύτητα είναι το γραβιτόνιο, ένα σωµάτιο µε σπιν 2. Η υπερπολλαπλότητα που ϑα περιέχει το γραβιτόνιο ϑα πρέπει να περιέχει επίσης ένα σωµάτιο µε σπιν 3/2 (πεδίο Rarita-Schwinger), το οποίο ονοµάζουµε gravitino. Στη Γενική Σχετικότητα υπάρχει συµµετρία που περιλαµβάνει επαναπαραµετροποιήσεις του χωροχρόνου, και έχει γεννήτορα την ορµή. Από τη στιγµή που οι υπερσυµµετρικοί µετασχηµατισµοί σχετίζονται µε την ορµή (1.1), µπορούµε να συµπεράνουµε ότι είναι τοπικοί. Το γεγονός αυτό είναι αρκετά περιοριστικό για την κατασκευή ϑεωριών υπερβαρύτητας. Ειδικότερα ο µέγιστος αριθµός διαστάσεων που µπορεί να έχει ο χώρος ώστε η ϑεωρία να είναι συνεπής είναι D = 11 µε υπερσυµµετρία N = 1, [9, 10]. Σε διαστάσεις λιγότερες από έντεκα έχουν κατασκευαστεί αρκετές ϑεωρίες υπερβαρύτητας. Οι περισσότερες έχουν κατασκευαστεί µε Kaluza-Klein συµπαγοποίηση της D = 11 ϑεωρίας υπερβαρύτητας. Με αυτό τον τρόπο κάθε ϕορά προκύπτει µια νέα οµάδα από πεδία, από τη στιγµή που οι χωροχρονικοί δείκτες κατά µήκος των συµπαγοποιηµένων διαστάσεων ϑα µετασχηµατίζονται σε εσωτερικούς. Από τη στιγµή που γνωρί- ουµε τον τρόπο συµπαγοποίησης µεταξύ ϑεωριών υπερβαρύτητας σε διαφορετικές διαστάσεις, µια λύση για τη µια από τις δύο µπορεί να ανελιχθεί/ελλατωθεί (uplift/reduce) σε λύση της άλλης (δεδοµένου ϕυσικά ότι δεν επηρεάζονται οι συµµετρίες του συµπαγοποιηµένου χώρου). Ιστορικά η υπερβαρύτητα εµφανίστηκε ως υποψήφια για την λύση της εννοποίησης της ϐαρύτητας µε τις υπόλοιπες αλληλεπιδράσεις. Η αλληλοαναίρεση ϕερµιονικών και µποζονικών ϐρόχων αναµενόταν να καλύψει την µη-επανακανονικοποίηση της ϐαρύτητας ενώ τα πεδία ϐαθµίδας και οι αλληλεπιδράσεις ϑα µπορούσαν να προέλθουν από την Kaluza-Klein διαστατική ελάττωση. Σήµερα τα πράγµατα έχουν αλλάξει, µε την ϑεωρία χορδών/μ-ϑεωρία να έχει αναδειχθεί σε υποψήφια ϑεω- ϱία των «πάντων». Παρόλα αυτά οι ϑεωρίες υπερβαρύτητας εξακολουθούν να έχουν το ϱόλο τους, ως το όριο χαµηλών ενεργειών για τις ϑεωρίες χορδών. 1.3 Αναζήτηση υπερσυµµετρικών λύσεων Σε αυτή την ενότητα ϑα περιγράψουµε τη µέθοδο που ϑα χρησιµοποιήσουµε για να προσδιορίσουµε τις λύσεις της υπερβαρύτητας. Το κύριο πρόβληµα που ϑα αντιµετωπίσουµε στην αναζήτησή µας είναι ότι οι εξισώσεις που ϑα κληθούµε να αντιµετωπίσουµε είναι πολύπλοκα συστήµατα διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξεως. Εποµένως η ιδέα είναι να τα «αντικαταστήσουµε» µε συστήµατα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως, που είναι σαφώς ευκολότερα να επιλυθούν, τα οποία ϑα λύνουν αυτόµατα τις εξισώσεις δεύτερης τάξης. Το ϱόλο αυτό ϑα κληθούν να παίξουν οι εξισώσεις που περιγράφουν τις υπερσυµµετρικές µεταβολές ϕερµιονίων και µποζονίων. Σωµάτια µε σπιν µεγαλύτερο του 2 είναι γενικά προβληµατικά στη σύζευξη τους µε άλλα. Αυτός είναι και ο λόγος που σωµάτια µε σπιν 5/2 δεν ϑεωρούνται υπερσυµµετρικοί εταίροι για το γραβιτόνιο.

19 ιδακτορική ιατριβή 19 Ενας άλλος τρόπος που ακολουθείται συχνά στη ϐιβλιογραφία, αλλά εµείς στην παρούσα διατριβή δεν ϑα κάνουµε χρήση, είναι το ανέβασµα µιας υπερβαρυτικής λύσης από χαµηλότερες διαστάσεις στις δέκα ή έντεκα, όπου η ϕυσική ερµηνεία είναι καθαρότερη. Με αυτό τον τρόπο γίνεται χρήση ϐαθµωµένων ϑεωριών υπερβαρύτητας, που προκύπτουν µε συµπαγοποίηση υπερβαρυτικών ϑεωριών σε υψηλότερες διαστάσεις Μηδενισµός των υπερσυµµετρικών µεταβολών των ϕερµιονίων Από τη στιγµή που αναζητούµε µποζονικές λύσεις η αναµενόµενη τιµή για τα ϕερµιόνια ϑα πρέπει να µηδενίζεται. Οπως εξηγήσαµε προηγουµένως τα υπερφορτία είναι πεδία µε σπιν 1/2 τα οποία αλλάζουν τα ϕερµιόνια µε µποζόνια και αντίστροφα. Σχηµατικά έχουµε : δf = f (B), δb = g(f), (1.3) όπου f (B) και g(b) είναι συναρτήσεις µποζονικών και ϕερµιονικών πεδίων, ενώ µε το δ συµβολί- ουµε τον υπερσυµµετρικό µετασχηµατισµό. Καθώς έχουµε µηδενίσει τη συµµετοχή των ϕερµιονίων ( g(f) = 0), η αναλλοιώτητα των εξισώσεων ως προς µεταβολές των µποζονίων είναι εξασφαλισ- µένη. Εποµένως για να διατηρείται η υπερσυµµετρία ϑα πρέπει να µηδενίσουµε παράλληλα τη µεταβολή των ϕερµιονικών πεδίων f (B) = 0. (1.4) Με αυτό τον τρόπο ϑα ϕτάσουµε σε ένα σύστηµα πρωτοβάθµιων διαφορικών εξισώσεων, από τη λύση του οποίου ϑα προσδιοριστεί το υπόβαθρο. Η υπερσυµµετρική λύση που ϑα προκύψει δεν είναι απαραίτητο ότι ικανοποιεί αυτόµατα τις εξισώσεις κίνησης της ϑεωρίας υπερβαρύτητας. Από τη στιγµή που οι υπερσυµµετρικές διαµορφώσεις µας σχετίζονται µε BPS καταστάσεις, οι οποίες κορεννύουν κάποιο ενεργειακό ϕράγµα, γενικά οι εξισώσεις κίνησης ικανοποιούνται. Παρόλα αυτά υπάρχουν παραδείγµατα, όπως αυτό που ϑα παρουσιάσουµε σε ένα από τα επόµενα κεφάλαια, όπου χρειάζεται να επιβάλουµε επιπλεόν περιορισµούς. Για το λόγο ϑα πρέπει αφού προσδιορίσουµε τις υπερσυµµετρικές διαµορφώσεις να εξετάσουµε ξεχωριστά ότι ικανοποιούν τις εξισώσεις κίνησης. Συνήθως, για να επιλύσουµε εξισώσεις της µορφής (1.4) χρειάζεται να εφαρµόσουµε κάποιες προβολές στο σπίνορα που παραµετροποιεί το µετασχηµατισµό. Με αυτόν τον τρόπο περιορίζουµε τον αριθµό των υπερφορτίων που διατηρεί η λύση µας σε σχέση µε αυτόν που υπάρχει στη ϑεωρία υπερβαρύτητας που µελετάµε. Οι προβολές που χρησιµοποιούµε είναι της µορφής Pɛ = ɛ µε το P να είναι κάποια συνάρτηση των πινάκων Γάµµα. Σηµειώνουµε ότι όλες οι προβολές ϑα πρέπει να κλείνουν σε µια άλγεβρα, ενώ κάθε ανεξάρτητη προβολή µειώνει τον αριθµό των διατηρούµενων υπερφορτίων στο µισό.

20 20 Υπερσυµµετρία και υπερβαρύτητα

21 2 Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις 2.1 Εισαγωγή Ενα από τα πλέον ενδιαφέροντα ϑέµατα στη ϑεωρία Χορδών είναι η µελέτη των λύσεων των εξισώσεων κίνησης των διάφορων ϑεωριών υπερβαρύτητας κάτω από το πρίσµα της υπερσυµµετρίας. Ο αριθµός των υπερσυµµετριών µιας λύσης δίνεται από τον αριθµό των συναλλοίωτα σταθερών σπινόρων στην πολλαπλότητα που µελετάµε. Οι συναλλοίωτα σταθεροί σπίνορες µε τη σειρά τους σχετίζονται µε την οµάδα ολονοµίας του αντίστοιχου συνδέσµου διάστατη Υπερβαρύτητα Η µελέτη µας στη συνέχεια του κεφαλαίου ϑα επικεντρωθεί στην 11-διάστατη υπερβαρύτητα, ε- ποµένως ϑα ξεκινήσουµε µε µια συνοπτική εισαγωγή. Η 11-διάστατη υπερβαρύτητα πρωτοεµ- ϕανίστηκε στο [13] σαν το όριο χαµηλής ενέργειας της Μ ϑεωρίας. Τα πεδία της είναι η µετρική g MN, το gravitino ψ M και το πεδίο ϐαθµίδας A MNP όπου M = 0, 1,..., 10. Στην συνέχεια της µελέτης µας ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µποζονικά λύσεις κενού για τις οποίες το gravitino µηδενίζεται. Το µποζονικό τµήµα της δράσης δίνεται από το άθροισµα των όρων Einstein Hilbert, Maxwell και Chern Simons S = 1 d 11 1 x g R F *F 1 A F F. (2.1) Οι γενικευµένες εξισώσεις Maxwell όπως προκύπτουν από την δράση είναι οι d * F + 1 F F = 0, (2.2) 2 Μέσω του πεδίου ϐαθµίδας ορίζεται η κλειστή 4-µορφή F (4) = da (3). 21

22 22 Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις που µαζί µε την ταυτότητα Bianchi df = 0, (2.3) καθορίζουν το F. Η εξίσωση κίνησης για την µετρική είναι η γενικευµένη εξίσωση Einstein Maxwell R MN 1 2 g MNR = 1 ( F MPQR F PQR N 1 ) 6 8 g MNF PQRS F PQRS. (2.4) Από τη στιγµή που έχουµε µηδενίσει τη συνεισφορά των ϕερµιονίων (gravitino) οι υπερσυµµετρικές µεταβολές των µποζονίων είναι εκ ταυτότητος µηδέν. Εποµένως οι συνθήκες διατήρησης της υπερσυµµετρίας είναι εκείνες που προκύπτουν από το µηδενισµό των υπερσυµµετρικών µεταβολών για το gravitino, δψ M = 0. Αυτό είναι ισοδύναµο µε την ύπαρξη σπινόρων ɛ που να είναι παράλληλοι, δηλαδή συναλλοίωτα σταθεροί, σε σχέση µε το γενικευµένο σύνδεσµο ˆ M ɛ M ɛ ( Γ NPQR M 8δ N MΓ PQR) F NPQR ɛ = 0. (2.5) Οι Γ M είναι οι πίνακες Dirac στις έντεκα διαστάσεις ενώ µε Γ AB...C συµβολίζουµε το πλήρως αντισυµµετρικό γινόµενό τους, Γ AB...C = Γ [A Γ B... Γ C]. Η υπογραφή του χώρου είναι (, +,..., +) και χρησιµοποιείται η αναπαράσταση Majorana για τους σπίνορες οι οποίοι έχουν 32 πραγµατικές συνιστώσες, ενώ οι πίνακες Γάµµα είναι πραγµατικοί. Με M έχουµε συµβολίσει τη συνήθη συναλλοίωτη Riemannian παράγωγο που περιέχει το σύνδεσµο Levi Civita ω M M = M ωab M Γ AB. (2.6) Ο σύνδεσµος είναι πολύ διαφορετικός από τον ˆ. Οπως µπορεί κανείς να δει ήδη από την εξίσωση ορισµού του (2.6), αυτός εξαρτάται από τον τρόπο που το ɛ µετασχηµατίζεται κάτω από την οµάδα Spin(10, 1), µιας και οι πίνακες Γ AB είναι γεννήτορές της. Αντιθέτως ο ˆ εξαρτάται από όρους που περιέχουν αντισυµµετρικά γινόµενα από τρείς και πέντε πίνακες Γάµµα. Συνεπώς ενώ ο σύνδεσµος παίρνει τιµές στην υποάλγεβρα σπιν της άλγεβρας Clifford Cl(10, 1), ο σύνδεσµος ˆ παίρνει τιµές στην ίδια την άλγεβρα. Στην συνέχεια της ανάλυσης µας ϑα περιοριστούµε στην περίπτωση για την οποία F = 0 και ϑα αναζητήσουµε υπερσυµµετρικές λύσεις για τις εξισώσεις κίνησης. Από την (2.4) προκύπτει ότι οι µποζονικές λύσεις µε F = 0 αντιστοιχούν σε Lorentzian σπίν πολλαπλότητες µε µηδενική καµπυλότητα Ricci, R AB = 0. Επιπρόσθετα σύµφωνα µε την (2.5) η λύση ϑα είναι υπερσυµµετρική έαν ο χωροχρόνος επιδέχεται σπινόρων παραλλήλων µε τον σύνδεσµο σπίν. Με άλλα λόγια οι αµειγώς ϐαρυτικές υπερσυµµετρικές λύσεις της 11-διάστατης υπερβαρύτητας είναι σε αντιστοιχία ένα πρός ένα µε 11-διάστατες σπίν Lorentzian πολλαπλότητες που επιδέχονται παράλληλους σπίνορες. Σε αντίθεση µε την περίπτωση του Riemannian χωροχρόνου, η Ricci επιπεδότητα δεν είναι συνθήκη ολοκληρωσιµότητας για τους παράλληλους σπίνορες σε Lorentzian χωροχρόνο. Πράγ- µατι εάν ϑεωρήσουµε ότι ο ɛ είναι ο µη µηδενικός παράλληλος σπίνορας, A ɛ = 0, η συνθήκη ολοκληρωσιµότητάς του είναι R CD AB Γ CD ɛ = 0. (2.7)

23 ιδακτορική ιατριβή 23 Ακολουθώντας τη γνωστή διαδικασία συστολής µε τον Γ B και αγνοώντας τους τριγραµικούς όρους ως προς Γ, λόγω της ταυτότητας Biachi (R [abc]d = 0), καταλήγουµε στην R AB Γ B ɛ = 0. (2.8) Πολλαπλασιάζοντας της παραπάνω εξίσωση µε R AC Γ C, χωρίς να αθροίσουµε στο A έχουµε R AB R AC g BC ɛ = 0, (2.9) το οποίο σηµαίνει ότι, για κάθε A, το διανυσµατικό πεδίο µε συνιστώσες R B A είναι µηδενικού µέτρου. Μια τέτοια πολλαπλότητα ϑα χαρακτηρίζεται ως Ricci µηδενική. Εάν η πολλαπλότητα είναι Riemannian αυτό συνεπάγεται R AB = 0, εποµένως οι Ricci µηδενικές Riemannian πολλαπλότητες είναι Ricci επίπεδες. Αντίθετα µια Ricci µηδενική Lorentzian πολλαπλότητα δεν είναι Ricci επίπεδη. Σηµειώνουµε επίσης ότι η συστολή της (2.8) µας δείχνει ότι το ϐαθµωτό Ricci µηδενίζεται. Συνοψίζοντας, για την ανεύρεση υπερσυµµετρικών µποζονικών λύσεων κενού δεν είναι αρκετή η αναζήτηση παράλληλων σπινόρων. Είναι απαραίτητο να εξεταστούν ξεχωριστά και οι εξισώσεις κίνησης. Αυτό έρχεται σε αντίθεση µε την ευρέως διαδεδοµένη πρακτική στην αναζήτηση υπερσυµµετρικών λύσεων, κατά την οποία οι λύσεις της υπερσυµµετρίας ικανοποιούν αυτόµατα και τις εξισώσεις κίνησης Κατάταξη των λύσεων µε ϐάση την ολονοµία τους Οπως έχουµε δεί µέχρι τώρα οποιοδήποτε πολλαπλότητα Ricci επίπεδη που επιτρέπει παράλληλους σπίνορες, είναι υπερσυµµετρική λύση κενού της Μ ϑεωρίας µε µηδενική ϱοή. Γενικά, η ύπαρξη παράλληλων σπινόρων ή διανυσµάτων σε µια πολλαπλότητα επιβάλει περιορισµούς στην οµάδα ολονοµίας της. Εστω ότι M είναι µια 11-διάστατη Lorentzian σπιν πολλαπλότητα, η οποία επιτρέπει την ύπαρξη παράλληλου σπίνορα ɛ. Η συνθήκη ολοκληρωσιµότητας (2.7) περιορίζει την οµάδα ολονοµίας του συνδέσµου σπίν σε µια υποοµάδα H Spin(10, 1), που αφήνει τον σπίνορα αναλλοίωτο. Με άλλα λόγια η οµάδα ολονοµίας προκύπτει από την επιλογή των ανεξάρτητων γεννητόρων CD ανάµεσα στους συνδυασµούς R AB Γ CD, µε την προυπόθεση ότι σχηµατίζουν µια κλειστή άλγεβρα. Στο κοµβικό ερώτηµα του προσδιορισµού εκείνων των υποοµάδων της Spin(10, 1) που αφήνουν το σπίνορα αναλλοίωτο, η απάντηση έχει δωθεί στο [14]. Υπάρχουν δύο µέγιστες (maximal) υποοµάδες του Spin(10, 1) που αφήνουν αναλλοίωτο το σπίνορα. Αν συµβολίσουµε µε ɛ το σπίνορα της Spin(10, 1), µπορουµε να ορίζουµε το διάνυσµα v µε συνιστώσες v A = ɛγ A ɛ. Από τη στιγµή που ο ɛ είναι H-αναλλοίωτος το ίδιο ϑα ισχύει και για το v, εποµένως το H περιέχεται στην υποοµάδα της οµάδας σπιν που αφήνει αναλλοίωτο το v. Εστω µια πολλαπλότητα Κ διάστασης d και η ο συναλλοίωτα σταθερός σπίνορας Killing, D i η = 0 R abij Γ ab η = 0. (2.10) Οι R abij Γ ab είναι οι γεννήτορες της οµάδας ολονοµίας ενώ σύµφωνα µε την (2.10) η οµάδα αυτή είναι υποµάδα της SO(d). Με αυτό τον τρόπο έχουµε µείωση της ολονοµίας.

24 24 Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις Οι υποοµάδες αυτές χαρακτηρίζονται από το µέτρο του διανύσµατος v, είτε ως χωρικές είτε ως χρονικές είτε ως µηδενικές. Στην περίπτωση µας µόνο οι δύο από τις τρείς περιπτώσεις είναι εφικτές. Μπορούµε να δείξουµε ότι το µέτρο του διανύσµατος v 2 v a v a, σε χώρο Minkowski ϑα είναι είτε αρνητικό είτε µηδέν. Αυτό µας οδηγεί σε δύο διακριτούς τύπους υπερσυµµετρικών λύσεων κενού, για τις οποίες ϑα δώσουµε στοιχεία στη συνέχεια. Στατικές λύσεις κενού Εάν το διάνυσµα v είναι χρονικό, τότε η οµάδα ολονοµίας H ϑα περιέχεται στην υποοµάδα Spin(10) Spin(10, 1), αφήνοντας το διάνυσµα αναλλοίωτο. Μπορεί κανείς να δείξει τότε ότι ο ɛ ϑα είναι αναλλοίωτος ως προς την υποοµάδα SU(5) της Spin(10, 1). Οι µετρικές µε οµάδα ολονοµίας H SU(5) είναι αυτόµατα Ricci επίπεδες οπότε ικανοποιούν τις υπερβαρυτικές εξισώσεις κίνησης. Ενα τέτοιο υπόβαθρο περιέχει ένα χρονικό διάνυσµα Killing, οπότε είναι στάσιµο. Από τη στιγµή που το διάνυσµα αυτό είναι ορθογώνιο στις υπερεπιφάνειες που δηµιουργούνται, το υπόβαθρό µας περιορίζεται ακόµα περισσότερο σε στατικό. Εποµένως ϑα το περιγράφει µια µετρική της µορφής ds 2 = dt 2 + ds 2 (X), (2.12) όπου µε X έχουµε συµβολίσει την Riemannian 10-πολλαπλότητα, που η ολονοµία της ϑα περιέχεται στην SU(5). Το ποσό της υπερσυµµετρίας που ένα τέτοιο υπόβαθρο ϑα διατηρεί εξαρτάται απο τον αριθµό των παράλληλων σπινόρων. Υποθέτοντας για λόγους απλότητος ότι η πολλαπλότητα είναι απλά συνεκτική, υπάρχουν αρκετές δυνατότητες µε τις σπουδαιότερες να συνοψίζονται στον πίνακα 2.1. Η πολλαπλότητα δίνεται από το γινόµενο M = M 11 d K d, (2.13) όπου M 11 d είναι (11 d)-διάστατος χωροχρόνος Minkowski. Στον πίνακα καταχωρούνται η διάσταση d του K, η οµάδα ολονοµίας H Spin(d) του K, η οµάδα ολονοµίας του M, και το κλάσµα ν της υπερσυµµετρίας που αυτή η γεωµετρία διατηρεί. Το κλάσµα ν σχετίζεται µε τη διάσταση του χώρου των K-µονήρων στην σπινοριακή αναπαράσταση της Spin(10, 1) µέσω της σχέσης N = 32ν. Στη Γενική Σχετικότητα ένας χώρος χαρακτηρίζεται στάσιµος έαν επιτρέπει την ύπαρξη ενός καθολικού, χρονικού και µη µηδενικού διανύσµατος Killing. Σε ένα στάσιµο υπόβαθρο οι συνιστώσες της µετρικής µπορούν να επιλεγούν ώστε να µην εξαρτώνται από το χρόνο, ενώ το στοιχείο µήκους έχει την ακόλουθη µορφή ds 2 = λ(dt ω m dy m ) 2 1 λ h mn dy m dy n, µɛ m = 1, 2, 3 (2.11) όπου y m είναι οι συντεταγµένες του 3-διάστατου χώρου και h mn η µετρική που τον περιγράφει. Σε αυτές τις συντεταγ- µένες το διάνυσµα Killing είναι ξ µ = (1, 0, 0, 0) µε µέτρο λ, λ = g µν ξ µ ξ ν. Με ω m έχουµε συµβολίσει το 3-διάνυσµα στροφής, το οποίο µηδενίζεται όταν το διάνυσµα Killing είναι κάθετο στην υπερεπιφάνεια. Η υπερεπιφάνεια αυτή προκύπτει από τις χωρικές συνιστώσες του 4-διανύσµατος στροφής ω µ = ε µνρσ ξ ν ρ ξ σ, το οποίο είναι κάθετο στο διάνυσµα Killing ξ µ. Συνεπώς, το διάνυσµα στροφής µετρά το πόσο απέχει το διάνυσµα Killing από την καθετότητα µε τις 3-επιφάνειες. Ενα µη-µηδενικό ω m δείχνει τη δυνατότητα στροφής για την γεωµετρία. Στην ειδική περίπτωση που ω m = 0 ο χώρος χαρακτηρίζεται στατικός. Εξ ορισµού κάθε στατική µετρική είναι και στάσιµη, κάτι που δεν ισχύει και αντίστροφα καθώς υπάρχει το αντιπαράδειγµα της µετρικής Kerr.

25 ιδακτορική ιατριβή 25 d H Spin(d) ν 10 SU(5) Spin(7) SU(4) G SU(3) SU(2) = Sp(1) {1} 1 Πίνακασ 2.1: Στατικές ϐαρυτικές λύσεις κενού της Μ ϑεωρίας. Η γεωµετρία είναι της µορφής (2.13) όπου d η διάσταση του χώρου, H η οµάδα ολονοµίας του K και ν το κλάσµα της υπερσυµµετρίας που διατηρείται. Η µέγιστα υπερσυµµετρική λύση κενού (ν = 1) αντιστοιχεί σε επίπεδο χώρο, ενώ οι BPS καταστάσεις (ν = 1/2) στο µονόπολο Kaluza Klein και τις γενικεύσεις του. Στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου δε ϑα ασχοληθούµε περισσότερο µε τις παραπάνω λύσεις. Μη-στατικές λύσεις κενού Οι µη-στατικές λύσεις κενού αντιστοιχούν σε µετρικές µε συναλοίωτα σταθερό µηδενικό διάνυσ- µα Killing. Παρόλο που οι οµάδες ολονοµίας των Lorentzian πολλαπλοτήτων δεν έχουν πλήρως κατηγοριοποιηθεί είναι γνωστές οι υποοµάδες της Spin(10, 1) που αφήνουν τον µηδενικό σπίνορα αναλλοίωτο [15]. Παραδείγµατα υπερσυµµετρικών Ricci µηδενικών πολλαπλοτήτων µε Lorentzian ολονοµία έ- χουν µελετηθεί σε παλαιότερες εργασίες [15, 16], επεκτείνοντας την ήδη υπάρχουσα λύση του [17]. Παρόλα αυτά και παρόλη την σπουδαία ϕυσική σηµασία της ανάπτυξης µιας συστηµατικής µεθόδου κατασκευής µετρικών µε Lorentzian ολονοµία, δεν έχει εµφανιστεί στη ϐιβλιογραφία συστηµατική προσέγγιση του ϑέµατος. Στη συνέχεια του παρόντος κεφαλαίου ϑα προσπαθήσουµε να καλύψουµε το παραπάνω κενό κατασκευάζοντας µετρικές µειωµένης ολονοµίας σε διαφορετικές διαστάσεις, χρησιµοποιώντας την γνωστή µορφή των Riemannian αντιγράφων. Ενας πιθανός τρόπος για να εισάγουµε χρονική εξάρτηση είναι να επιτρέψουµε στις παραµέτρους moduli των Riemannian µετρικών να είναι συναρτήσεις αυθαίρετα εξαρτηµένες από τον χρόνο στον κώνο ϕωτός. Αν και µια τέτοια προσέγγιση ϕαντάζει εύλογη, είναι τελείως µη τετριµένο να κατασκευαστεί λύση που να συνδιάζει τη διατήρηση τµήµατος της αρχικής υπερσυµµετρίας µε τον χαρακτήρα κενού της αρχικής λύσης. Το κυρίως σώµα του κεφαλαίου ϑα ξεκινήσει από τις εξισώσεις κίνησης και διατήρησης της υπερσυµµετρίας, µέσα από τις οποίες ϑα αναπτύξουµε το γενικό ϕορµαλισµό για την κατασκευή D- διάστατων υπερσυµµετρικών λύσεων κενού µε Lorentzian οµάδα ολονοµίας της µορφής G R D 2.

26 26 Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις Στη συνέχεια ϑα εφαρµόσουµε την παραπάνω τεχνική για να κατασκευάσουµε αναλυτικά πολλαπλότητες στις έξι, οκτώ και εννιά διαστάσεις µε Lorentzian οµάδα ολονοµίας G = SU(2), SU(3) και G 2, αντίστοιχα. Η ανάλυση µας ϑα ϐασιστεί σε µια απλοποιηµένη εκδοχή της µεθόδου που ϑα αναπτύξουµε αρχικά, ικανής παρόλα αυτά να µας δώσει µη τετριµένα αποτελέσµατα. Στο παράρτη- µα ϑα δώσουµε ένα παράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου στην πλήρη της γενικότητα, κατασκευάζοντας την γενική εξαδιάστατη λύση ϐασισµένη στην τετραδιάστατη αυτοσυζυγή πολυκεντρική µετρική Gibbons Hawking. Το κεφάλαιο ϑα κλείσει µε µια παράγραφο για τις προοπτικές ανάπτυξης της παραπάνω µελέτης. 2.2 Ricci-µηδενικές πολλαπλότητες Το υλικό που ϑα παρουσιάσουµε στη συνέχεια του κεφαλαίου ϐασίζεται στην εργασία [1]. Στην παρούσα ενότητα ϑα κατασκευάσουµε και ϑα αναλύσουµε D-διάστατες µετρικές, που αποδέχονται παράλληλους µηδενικούς σπίνορες µε τη γενική µορφή dŝ 2 D = 2du dv + 2V i (u, x)du dx i + F(u, x)du 2 + g ij (u, x)dx i dx j (2.14) µε τα i,j να παίρνουν τιµές από 1 εώς και D 2. Οταν ο χρόνος στον κώνο ϕωτός αντιµετωπίζεται ώς µια απλή παράµετρος, οι µετρικές του εγκάρσιου χώρου g ij (u, x) µπορούν να είναι οικογένεια µετρικών µε ολονοµία που να περιέχετε σε κάποια οµάδα G SO(D 2). Οι περιπτώσεις που µας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα είναι για D 2 = 4, 6 και 7, όταν η οµάδα ολονοµίας για την εγκάρσια µετρική είναι SU(2), SU(3) και G 2 αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις V i και F ϑα προσδιοριστούν από την απαίτηση η πλήρης µετρική (2.14) να είναι Ricci επίπεδη και να διατηρεί κλάσµα της υπερσυµµετρίας που µε τη σειρά της διατηρεί η εγκάρσια g ij. Τότε η (2.14) ϑα µας δώσει ένα µη-στατικό κενό της Μ ϑεωρίας της µορφής ds11 2 = (dx a ) 2 + dŝ 2 D, όπου a = 1,..., 11 D. Θα χρησιµοποιήσουµε την ακόλουθη επιλογή ϐάσης ê + = du, ê = dv + V i dx i + F 2 du, êa = e a i (u, x i )dx i, (2.15) όπου e a i είναι η αντίστοιχη ϐάση για την εγκάρσια µετρική. Τότε οι µόνες µη µηδενικές συνιστώσες του συνδέσµου σπιν είναι ˆω ab = ω ab 1 2 (ė [a e b]i + e ai e bj [i V j] ) du, ˆω a = 1 2ėa i dx i + 1 2ėb i eai e b 1 2 ( i F 2 Vi ) e ai du 1 2 eai [i V j] dx j, (2.16) όπου µε την τελεία έχουµε συµβολίσει την µερική παραγώγιση ώς προς u, και ω ab το σύνδεσµο σπιν για την g ij (u, x). Η εξίσωση Killing για το σπίνορα σε αµιγώς ϐαρυτικό υπόβαθρο είναι µ ɛ ˆωAB µ Γ AB ɛ = 0, όπου A = (+,, a). (2.17)

27 ιδακτορική ιατριβή 27 Το εγκάρσιο υπόβαθρο µε µετρική g ij (u, x), όπου τώρα το u λογίζεται ως απλή παράµετρος, ικανοποιεί µια αντίστοιχη εξίσωση για το σπίνορα Killing i ɛ ωab i Γ ab ɛ = 0, (2.18) η οποία έχει µη τετριµένες λύσεις, δεδοµένης µια κλειστής οµάδας προβολών που εφαρµόζονται στον σπίνορα. Με αυτό τον τρόπο ένα συγκεκριµένο κλάσµα της υπερσυµµετρίας διατηρείται ανάλογα µε την επιλογή της εγκάρσιας µετρικής. Επιπλέον µε την ϐοήθεια των παραπάνω προβολών ο σπίνορας Killing που ικανοποιεί την (2.18) ϑα παραµείνει αναλλοίωτος κάτω από την δράση της οµάδας ολονοµίας αυτής τη πολλαπλότητας G SO(D 2). Με σκοπό να λύσουµε την (2.17) επιβάλουµε επιπλέον την προβολή Γ + ɛ = 0, (2.19) και ταυτόχρονα απαιτούµε η απόκλιση του ˆω ab από το ω ab να είναι ανάλογη ενός πίνακα Λ ab, τέτοιου ώστε το τελικό αποτέλεσµα στον σπίνορα Killing να είναι µηδέν. ηλαδή ορίζουµε και απαιτούµε Λ ab = ė [a i e b]i + e ai e bj [i V j] (2.20) Λ ab Γ ab ɛ = 0. (2.21) Για να ικανοποιείται η τελευταία συνθήκη το αριστερό της µέλος οφείλει να είναι γραµµικός συνδυασµός διγραµµικών εκφράσεων των πινάκων Γάµµα, οι οποίοι δρούν σαν τελεστές προβολής στον σπίνορα. Η ισοδύναµη της (2.20) είναι, Λ ab e a i eb j = [i V j] ė a [i ea j], (2.22) και ϑα αποδειχθεί χρήσιµη στην πορεία. Από την εξίσωση (2.17) και την έκφραση για το σύνδεσµο σπιν (2.16) µπορούµε να δούµε ότι η πολλαπλότητα (2.14) ϑα διατηρεί την µισή από την υπερσυµµετρία που παραµένει µετά από συµπαγοποίηση κατα µήκος του g ij (u, x). Ο σπίνορας Killing εποµένως ϑα είναι ο ίδιος µε εκείνον που ϑα προκύψει από την (2.18), και ειδικότερα u ɛ = 0. Πρέπει να τονίσουµε ότι είναι κάτι τελείως µη-τετριµένο η εισαγωγή u-εξάρτησης στην µετρική του εγκάρσιου χώρου, τέτοια ώστε µε κατάλληλη επιλογή των συναρτήσεων V i να υπάρχει ο πίνακας Λ ab και να ικανοποιείται η συνθήκη (2.21). Οπως είδαµε αναλυτικά στην εισαγωγή, από τη συνθήκη ολοκληρωσιµότητας για το σπίνορα Killing (2.17) προκύπτει ˆR AB ˆRAC η BC ɛ = 0, A, (2.23) η οποία είναι η συνθήκη για µια Ricci µηδενική πολλαπλότητα. Σε αντίθεση µε την Ευκλείδια περίπτωση στην Lorentzian αυτό δεν συνεπάγεται τη Ricci επιπεδότητα, δηλαδή ˆRAB = 0, A, B. Εξειδικεύοντας την (2.23) για τις περιπτώσεις A = a και A = + καταλήγουµε στο ˆRab = ˆRa+ = 0 χωρίς καµιά πληροφορία όµως για την συνιστώσα ˆR++. Επιστρέφοντας στην υπόθεση µας για την

28 28 Υπερσυµµετρία και Lorentzian ολονοµία σε διάφορες διαστάσεις µετρική (2.14) ο µηδενισµός της ˆRab είναι προφανής από το γεγονός ότι ˆω a+ = 0 και ότι R ab = 0 από την υπόθεση (2.18) για την υπερσυµµετρική εγκάρσια µετρική g ij. Οµως ο µηδενισµός του ˆR a+ συµβαίνει µε ένα µη τετριµένο τρόπο και περιλαµβάνει ιδιότητες του πίνακα Λ ab ειδικότερα της (2.21). Για το λόγο αυτό ϑα παρουσιάσουµε κάποια αναγκαία ενδιάµεσα ϐήµατα. Αρχικά χρησιµοποιώντας το σύνδεσµο σπιν καταλήγουµε στην ακόλουθη έκφραση ˆR a+ = ω ab i e i b ei b D iλ a b, (2.24) όπου υπενθυµίζουµε ότι η συναλλοίωτη παραγώγιση D i Λ a b περιέχει το σύνδεσµο σπιν ω ab. Τότε παραγωγίζοντας ώς προς u την εξίσωση (2.18) έχουµε ω ab i Γ ab ɛ = 0. (2.25) Στην συνέχεια συστέλουµε την παραπάνω σχέση µε το e ic Γ c Γ c Γ ab = Γ cab Γ [a δ b]c. Αυτό µας δίνει και χρησιµοποιούµε την ταυτότητα ω cb i ecγ i b ɛ = 1 2 ωab i e ic Γ abc ɛ = 1 4 eia D i Λ bc Γ abc ɛ, (2.26) όπου στο τελευταίο ϐήµα προκύπτει µετά από διαδοχικές αλγεβρικές πράξεις χρησιµοποιώντας τις συνιστώσες του σύνδεσµου σπιν στη ϐάση e a i µαζί µε την συνθήκη (2.22). Τότε έχουµε ˆR a+ Γ a ɛ = 1 4 eia D i Λ bc Γ abc ɛ ei b D iλ ab Γ a ɛ = 1 4 eia Γ a (D i Λ bc Γ bc ɛ) = 0. (2.27) Η τελευταία ισότητα προκύπτει από την (2.18) σε συνδιασµό µε την (2.21). Από τα παραπάνω συνάγουµε ότι ˆRa+ = 0. Είδαµε προηγουµένως ότι η απαίτηση για Ricci επιπεδότητα µας οδηγεί να ϑέσουµε την συνιστώσα ˆR ++ ίση µε το µηδέν. Αυτό ϑα µας οδηγήσει σε µια διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως για το F, η οποία είναι D 2 g F = 2gij D i Vj 2e i aëa i 2ė a i ebi Λ ab Λab Λ ab, (2.28) όπου έχουµε κάνει χρήση του (2.20), και D 2 g είναι η Λαπλασιανή που αντιστοιχεί στην µετρική g ij (u, x). Η οµάδα ολονοµίας της µετρικής (2.14) περιέχεται στο G R D 2, και έχει γεννήτορες διγραµ- µικές µορφές των πινάκων Γάµµα της µορφής J ab = M ab cdγ cd και J a = Γ a+. Οι σταθερές M ab cd µας ϐοηθούν να προβάλλουµε τους γεννήτορες Γ ab της SO(D 2) στους ανεξάρτητους γεννήτορες J ab της άλγεβρας Lie του G. Τα J a ς µετατίθενται µεταξύ τους εξαιτίας της ιδιότητας µηδενικών ιδιοτιµών που χαρακτηρίζει τον Γ + και σχηµατίζουν µια κλειστή οµάδα µε τα J ab, καθώς τα M ab cd παρέχουν τις κατάλληλες σταθερές δοµής.