10. K a p itu lu a. Laplaceren transfo rm atu a
|
|
- Χριστός Κόρακας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. K a p itu lu a Laplaceren transfo rm atu a 239
2 24 1. K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.1 A ra zo a re n a u rk e zp e n a K u rtsoan zehar, ald ag ai an itzen ald aketa ezberd in ak ag ertzen d iren fen omen o fi sikoak aztertzeko ered u matematikoak eraiki d itu g u ; ad ibid ez, partiku la eta solid oen abiad u ra eta azelerazioa. E red u matematiko horiek, sarritan, eku azio d iferen tzial arru n tak (E D A) erabiliz eraiki d ira. B ehin E D A ebatzi on d oren, y(t) fu n tzio bat lortu ko d u g u ; horren bid ez y ald ag aiaren (t-ren men pean ) ebolu zioaren berri izan g o d u g u. 1.1 Iru d ia: m masako g orpu tza malg u kian zin tzilik Ad ibid ez, 9. g aian (E ku azio D iferen tzial Arru n tak), g orpu tz baten mu g imen d u oszilakorraren problema ebatzi ahal izan g en u en : D emag u n m masako g orpu tz bat malg u ki batetik zin tzilik d ag oela orekan (iku s 1.1 (a) iru d ia); g orpu tzetik beheraka tiratzen d u g u, malg u kia d d istan tziara lu zatu arte (1.1 (b) iru d ia); g ero askatu eta F (t) in d ar ald akor bat erag iten d iog u. B ad akig u hu rren g o E D Ak, masaren oszilazioa (d en boran zehar) aztertzeko ered u tzat balio d ig u la: my + βy + ky = F (t) (1 ) (1 ) ered u horretan : y(t) : solid oaren posizioa t u n ean. F (t) : g orpu tzari aplikatu tako in d arra t u n e bakoitzean. m : solid oaren masa. β : in g u ru n e fi sikoaren (g asa, u ra, olioa, etab.) men pekoa d en amortig u azio kon stan tea. k : malg u kiaren zu rru n tasu n aren ezau g arrien men pekoa d en kon stan tea. G og oratu (1 ) eku azioa, Z ien tziaren eta In g en iaritzaren aplikazio praktiko askotan ag ertzen d iren eku azio d iferen tzialen mod u koa d ela; hau d a, koefi zien te kon stan teko eta 2 ord e- UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila
3 1.2. Y (T ) FUNTZ IO B ATEN LAPLACE-EN TRANSFORMATUA 241 nako EDA lineala da: a y + by + cy = F (t) (2 ) Aurreko gaian, (2) itx urako ekuazio diferentzial arruntak, kasu batzuetan ebazteko prozedura bat garatu genuen. H urrengoa da prozedura: 1.GO PAU S O A: (2) ekuazioari elkartutako EDA homogeneoaren y gh (t) soluzio orokorra kalkulatzen dugu; hau da, EDAren soluzio orokorra kalkulatzen dugu: a y + by + cy = (3 ) Badakigu (3) ekuazioaren soluzio orokorra kalkulatzeko (2)-ren ekuazio karakteristikoaren m 1 eta m 2 erroak kalkulatzea nahiko dela: a m 2 + bm + c = 2. PAU S O A: (2) ekuazioaren y p c (t) soluzio partikular bat kalkulatzen dugu. Kalkulu hau ez da hain erraza, baina ebazteko bi metodo dauzkagu: koefiziente indeterminatuen metodoa eta eragileen metodoa. 3. PAU S O A: Behin y gh (t) eta y p c aurkituta, erraza da (2) ekuazio osoaren y gc (t) soluzio orokorra lortzea: y gc (t) = y gh (t) + y p c (t). Prozedura honetan, pausorik zailena bigarrengoa da, (2) ekuazioaren edozein y p c (t) soluzio partikularra kalkulatzea, alegia. Zergatik da zaila ordea? F (t) funtzio jakin batzuei bakarrik aplikatzea posible delako. Demagun F (t) funtzioa 1.2 irudian agertzen diren funtzio horietako bat dela; F (t)-ren adibide horiek Ingeniaritzan eta Zientzian askotan agertzen diren funtzioak dira, zirkuitu elektrikoei aplikatutako tentsio etenak edo mugikorrei aplikatutako indarrak adierazten baitituzte, adibidez. H ala ere, funtzio hauetariko inori ezin zaie aplikatu koefiziente indeterminatuen metodoa, eta eragileen metodoa aplikatzea, berriz, zaila izan daiteke. L aburbilduz, 9. gaian EDA (2)-ren ebazpenerako garatutako prozedurak, funtzio jakin batzuetarako bakarrik balio digu, eta sarritan agertzen diren aplikazio garrantzitsuetarako ez da baliozkoa. Beraz, (2) problema ebazteko balioko digun prozedura lortu nahi dugu, baina aurrekoa baino hobea dena; hau da, F (t) funtzio gehiagotarako balioko digun prozedura. 1.2 y(t) funtzio b aten L aplac e-en transform atua N ondik hasiko gara? 9. gaiaren hasieran aplikatzen saiatu ginen metodo batetik abiatuko gara; orduan ez zigun ezertarako lagundu, baina orain bai: EDA-ren integrazio zuzena. (2)
4 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA 1.2 Irudia: F (t) funtzio ezberdinak ekuazioaren gai guztiak integratuko ditugu: ay (t) + by (t) + cy(t) = F (t) a y (t)dt + b y (t)dt + c y(t)dt = F (t)dt Ezin dugu gehiago egin. Ezin dugu kalkulatu y(t)dt ez dugulako y(t) ezagutzen. Hain zuzen y(t) da zehaztu nahi dugun funtzioa. Horregatik utzi genuen alde batera ebazpeneko metodo eskas hura. M etodo hori, noski, y (t) = F (t) ekuazioak ebazteko balio digu, F (t) bi aldiz integratzeko kapaz garen heinean. J arraian erabiliko ditugun ideiak oso landuak dira eta segur aski inori ez litzaizkiguke bururatuko milioi bat urtetan ere, baina benetan egokiak eta erabilgarriak dira. Ea ulertzen dituzun. Lehenengo ideia: (2) EDAren gaiak integratu aurretik, biderkatu h(t) = e st esponentzial funtzioagatik, non s edozein zenbaki erreal den. Eta nondik dator ideia hori? Funtzio esponentzialak oso erraz integratzen direla gogoratzetik. Lehendabizi biderka dezagun: ay (t) + by (t) + cy(t) = F (t) ae st y (t) + be st y (t) + cy(t)e st = e st F (t)
5 1.2. Y (T ) FUNTZIO BATEN LAPLACE-EN TRANSFORMATUA 243 Eta ondoren [p, q] tarte batean integratzen dugu: a q p e st y (t)dt + b q p e st y (t)dt + c q p e st y(t)dt = q p e st F (t)dt (4 ) Behin erabakitzen dugunean zein p eta q balio erabili, eskuineko gaia kalkulatu ahal izango dugu, F (t) funtzioa ezaguna delako. Baina ezkerreko hiru batugaiak ezin daitezke kalkulatu, y(t) ezezaguna delako (zehaztu nahi dugun funtzioa baita). Ez du ematen gauza asko konpondu dugunik, eta badirudi lehenengo ideia hori ez dela uste genuen bezain ona. Bigarren ideia: Metodo hau alde batera utzi beharrean, gogoratzen dugu funtzio esponentzialak integratzea oso erraza dela eta zatitako integrazio metodoa aplikatzen dugu. (4) ekuazioko bigarren batugaitik hasiko gara, errazena dela ematen du-eta: q p y (t)e st dt = ( u = e st du = se st dt eta dv = y (t)dt v = y(t) ) = = y(t)e st t=q t=p s q p y(t)e st dt (5 ) Dirudienez ez dugu ezer aurreratzen, (5 ) ekuazioak y(t)e st ebaluatzera behartzen baikaitu t = p eta t = q puntuetan (ezagutzen ez duguna) eta baita [p,q] tartean integratzera ere. Dirudienez, ideia hau ere ez da hain ona. Hirugarren ideia: p eta q-ren balio egokiak aukeratuz, (5 ) ekuazioa sinplifikatzen saiatuko gara. p = aukera ona da, y(t)e st -ren balioa t = puntuan y() delako; beraz, nahikoa dugu y() ezagutzearekin; gainera, normalean hori hasierako baldintzetako bat izaten da. Eta q-ren zein balio aukera dezakegu? Saiatu behar dugu y(q)e sq = betetzen. q = aukeratuz badaukagu. Noski, horretarako suposatu behar dugu y(t)e st funtzioa -rantz doala t denean, hau da: lim t y(t)e st = (6 ) (6 ) hipotesi horrek lor ditzazkegun y(t) funtzioen multzoa mugatzen du, noski, ez delako beti egia izango. Adibidez, s < eta y(t) = t 2 balira, hipotesia beteko litzateke, zeren: lim t t 2 e st = lim t t 2 e st = Aldiz, s < hartuta y(t) = e t2 funtziorako, ez da (6 ) hipotesia betetzen zeren: lim t e t2 +st =
6 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Hala ere, beti s < aukeratuz, (6) hipotesia funtzio askotarako betetzea lortzen dugu, e st faktorea -rantz oso azkar doalako t denean. (6) hipotesi hori ez da horren murriztailea; Zientzian eta Ingeniaritzan erabiltzen diren y(t) funtzio gehienak baldintza hori betetzen baitute, hau da, funtzio esponentzial batzuk baino mantsoago hazten dira Aztertu ea h urren go y(t) fun tzioek (6 ) h ipo tesia betetzen d uten ala ez: a) y(t) = e kt b) y(t) = t t d ) y(t) fun tzio po lin o m ikoa d a e) y(t) fun tzio bo rn atua d a [, ) tartean s < hartzea interesatzen zaigunez, s-ren ordez s aukeratuko dugu eta s > hartuko dugu. Lehen lortu dugunagatik, (4) eta (5) adierazpenak horrela geldituko dira: a = e st y (t)dt + b e st y (t)dt + c e st F (t)dt (s > ) (7 ) y (t)e st dt = s y(t)e st dt y() (8 ) Beraz, (8 ) ekuazioa (7 )an ordezkatuz: ( ) a e st y (t)dt + b s y(t)e st dt y() + c = e st F (t)dt (9 ) e st y(t)dt = Ohartu (9) adierazpenean gai bat errepikatuta agertzen dela: y(t)e st dt (1) eta (9) adierazpeneko azken gaia ere oso antzekoa dela e st F (t)dt e st y(t)dt = (1) berdintzan F (t)-ren ordez y(t) ordezkatuz lortzen baita. Gai hori ebaluatu daiteke, F (t) ezaguna delako. Hurrengo ariketan F (t) ezberdinetarako ebaluatuko dugu.
7 1.2. Y (T ) FUNTZIO BATEN LAPLACE-EN TRANSFORMATUA Kalkulatu (1 ) adierazpenaren balioa hurrengo F (t) funtzioetarako ondorengo eragiketa eginez: lehendabizi biderkatu e st -gatik eta gero integratu [, ) tartean. O hartu emaitza H(s) moduko funtzio bat dela (s > izanik), t aldagaiarekiko integratzen dugulako. M arraztu H(s) funtzioei dagozkien grafi koak. a) F (t) = k b) F (t) = t d) F (t) = t 2 e) F (t) = e a t Orain, (7) adierazpenean geratzen den batugaia zatika integratzen badugu, benetan ona litzateke (1) adierazpena berriz agertuko balitz. Ikus dezagun: e st y (t)dt = ( u = e st du = se st eta dv = y (t)dt v = y (t) ) = = y (t)e st t= t= + s ( e st y (t)dt = y () + s s = s 2 e st y(t)dt sy() y () (11) ) y(t)e st dt y() = Aurreko ideiak erabiliz lortu dugu (11) adierazpena: suposatu dugu y (t)e st biderkagaia -rantz doala t denean. Beraz, (7) horrela geratuko da: ) ( a (s 2 e st y(t)dt sy() y () + b s +c e st y(t)dt = e st F (t)dt (12) ) e st y(t)dt y() + Ohartu lehengo gaia ( biderkatu e st -gatik eta gero integratu emaitza [, ) tartean ) berriz agertu zaigula. Izen bat emango diogu honi: 1.1. [, ) tartean defi nitutako y(t) funtzio bat emanda, y(t)-ren La p la ce-en tra n sfo r- m a tu a, L (y(t)), hurrengo moduan kalkulatzen den (ex istitzen bada) s aldagaiko funtzio berriari deitzen zaio: L (y(t)) = Y (s) = e st y(t)dt, (s > )
8 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Adibidez, 1.2 ariketan ikusitakoagatik: y(t) = k L (y(t)) = Y (s) = L (k) = k/s, s > y(t) = t L (y(t)) = Y (s) = L (t) = 1/s 2, s > y(t) = t 2 L (y(t)) = Y (s) = L (t 2 ) = 2/s 3, s > y(t) = e at L (y(t)) = Y (s) = L (e at ) = 1/(s a), s > a 1.3 Iru d ia : Fu n tzio ezb erd in en L a p la ce-en tra n sfo rm a tu a k UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila
9 1.2. Y (T ) F U N T Z IO B A T E N L A P L A C E -E N T R A N S F O R M A T U A irudian y(t) eta Y (s) bikoteen g rafi koak ag ertzen dira. Ikus daitekeenez, Laplaceen transformatua, y(t) funtzio batzuetatik abiatuz Y (s) funtzioak defi nitzeko modu bat da. [, ) tartean defi nitutako y(t) funtzio batetik, Y (s) funtzio ezberdin bat, beste D eremu batean defi nitutakoa, eraikitzen dug u. Adibidez, Y (s) = L (t 2 ) = 2/s 3 funtzioa s > balioetarako dag o defi nituta; Y (s) = L (e 4t ) = 1/(s 4) funtzioa, aldiz, s > 4 balioetarako. E D A (2) ekuazioari Laplace-en transformatua aplikatzen badiog u, E D A h ori funtzio ezezag una Y (s) = L (y(t)) den ekuazioan bilakatzen da: a(s 2 Y (s) sy() y ()) + b(sy (s) y()) + cy (s) = L (F (t)) (13 ) B aina g arrantzitsuena zera da, (13) ekuazio berri h ori ez dela ekuazio diferentzial bat, dag oeneko ez baitira deribatuak ag ertzen. Laplace-en transformatuak y (t) eta y (t) deribatuak ezabatu ditu. O rain, (13) ekuazioaren ezezag una Y (s) da. H ala ere, ekuazioan ag ertzen diren y(t)-ren datu batzuk ezag utu beh ar ditug u: y() eta y (). 1.4 irudian, u(t) funtzio bati Laplace-en transformatua, U(s), lortzeko aplikatzen zaion prozedura ag ertzen da. E D A-ko g ai bakoitzari Laplace-en transformatua aplikatuz lortzen diren emaitzak ere ag ertzen dira bertan. 1.4 Irudia: Laplace-en transformatua lortzeko prozedura Laug arren ideia: (13) ekuazio aljebraikoa dela oh artzen g ara, eta beraz, h ortik erraz askatu daiteke Y (s) Ariketa (?? ) ekuazioatik Y (s) askatu. Aplika dezag un h au g uztia ondoreng o adibidean. Izan bedi ondoreng o h astapen baldin-
10 K APITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA tzetako problema: y + y = t y() = y () = (1.1) (1.1) ekuazioan Laplaceren transformatua aplikatuz eta??(b) ariketa kontutan hartuz: Orduan: s 2 e st y(t) d t + s e st y(t) d t = e st t d t = 1 s 2 e st y(t) d t = 1 s 3 (s + 1) (1.2) Beraz, (1.1) problemaren y(t) soluzioa (1.2) ekuazioa betetzen duen y(t) funtzioa da. (1.2) ekuazioak erakusten digu zein den y(t) funtzioaren Y (s) Laplaceren transformatua. Bilatzen ari garena ordea, y(t) da eta ez bere transformatua. Orain gure problema hau da: y(t) funtzioaren Y (s) transformatua ezagutzen badugu, nola kalkula dezakegu y(t)?. N ola askatzen dugu y(t) (1.2) ekuazioan? Orokorrean, ondorengo probleman lortutakoa aplikatzen badugu ay + by + cy = F (t) y() = y y () = m (1.3) bilatutako y(t) funtzioaren Y (s) transformatua lortuko dugu: L (y) = e st y(t) d t = Y (s) y(t) =? (1.4) Eta orain nola askatzen dugu y(t) (1.4) ekuazioan?. Laplaceren alderantzizko eragiketa beharko dugu. Defini dezagun kontzeptu berri hau: 1.2. Defi niz ioa Y (s)-ren La p la ceren a ld era n tzizko tra n sfo rm a tu a L (y(t)) = Y (s) betetzen d u en y(t) fu n tzioa d a. L 1 (Y (s)) = y(t)
11 1.2. Y (T ) FUNTZIO BATEN LAPLACE-EN TRANSFORMATUA K = E = A > H = E = 1.5 Irudia: Hiru pausu. (1.3) problema hiru pausuetan ebatz daiteke, pausu horiek 1.5 irudian agertzen direlarik: Falta zaigu jakitea nola kalkulatzen den y(t) funtzioa Y (s)-tik abiatuz. Bostgarren ideia: y(t) funtzio batzuen Y (s) transformatuen taula erabiliko dugu. Taula horren bidez y(t)- ren Y (s) transformatua ezagutuz gero y(t) kalkulatuko dugu. Adibidez, 1.taula?? ariketaren emaitzen bidez osatu da: y(t) = L 1 (F (s)) F (s) = L (y(t)) k k s t 1 s 2 t 2 2 s 3 e at 1 s a 1.1 Taula: 1.1 taula.
12 25 1. KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Taula hau erabiliz, erraza da ondorengo berdintzak frogatzea: ( ) 6 L 1 = 6 s ( ) 4 L 1 s 2 = 4t ( ) 5 L 1 s 3 = 5 2 t2 ( ) 4 L 1 = 4e 5t s Ariketa Y (s) = 6 s 3 s s s 5 funtzioaren Laplaceren alderantzizko transformatua kalkulatu. P raktikan, 1.1 taulan agertzen diren baino funtzio gehiago erabiltzen dira, adibidez 1.2 taulan agertzen direnak. Taulak, y(t)-ren Y (s) transformatua kalkulatzeko edota Y (s)-ren alderantzizko transformatua y(t) kalkulatzeko erabiltzen dira. 1.2 taularen bidez, aplikazio praktikoetan agertzen diren funtzioen transformatuak eta alderantzizko transformatuak kalkula ditezke. Horrez gain, oso erraza da bi eragile hauen linealtasuna frogatzea. Edozein A eta B zenbaki errealentzat: L (Au(t) + Bv(t)) = AL (u(t)) + BL (v(t)) L 1 (AU(s) + BV (s)) = AL 1 (U(s)) + BL 1 (V (s)) = Au(t) + Bv(t) Orduan, taulan agertzen diren funtzioen konbinazio linealen transformatuak eta alderantzizko transformatuak kalkula ditzakegu Ariketa 1. y(t) = 3 sin (4t) 5e 6t + 3t 2 t + 2 funtzioaren transformatua kalkulatu. 2. F (s) = 1 s s 3 6 2s funtzioaren alderantzizko transformatua kalkulatu Ariketa (1.2) ekuazioan egiteke utzi genuen (1.1)ariketa bukatu: ( ) 1 L (y(t)) = s 3 y(t) = L 1 1 (s + 1) s 3 (s + 1)
13 1.3. TRANSFORMATUEN EX ISTENTZIA ETA BAKARTASUNA. 251 y(t) Y (s) u(t) 1 s t n n N n! s n+1 e α t 1 s + α sin ω t ω s 2 + ω 2 co s ω t s s 2 + ω 2 sinh βt β s 2 β 2 co sh βt s s 2 β Taula: 1.2 taula: Laplaceren transformatuak. 1.3 Tra n sfo rm a tu e n e x iste n tzia e ta b a k a rta su n a. Orain arte suposatu dugu erabilitako funtzioen Y (s) Laplaceren transformatua ex istitzen zela. Adibidez, L (e t2 ) eta L 1 (2s + 1) adierazpenekin eragiketak egin ditzakegu baina ez dira ex istitzen. Z er baldintzetan y(t)-ren transformatua Y (s), eta Y (s)-ren alderantzizko
14 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA transformatua, y(t) existitzen dira?. Aurreko atalan (ikus hirugarren ideia), y(t) funtzioak Laplaceren transformatua onartzeko bete behar diren baldintza nahikoak agertu ziren. G ogora ezazu kasu horretan behar genuen baldintza hau zela: lim y(t) y(t) t e st = lim t e st = (s > ) (1.5) (1.6 ) baldintzak ondorengoa esan nahi du: y(t) t doanean gertatzen bada, bere ordena e st (s > ) esponentzial baten ordena baino txikiagoa izan behar duela. Idatz dezagun formalki ideia hau ondorengo teoreman: 1.1. Teorema [ Lap laceren transform atuaren ex istentzia.] Izan bedi y(t) [, ) tartean zatik a jarraia den funtzioa. O ndoreng o baldintza betetzen duten eta neg atiboak ez diren a, M eta T konstanteak badaude: y(t) M e at t T O rduan y(t) funtzioaren Y (s) Lap laceren trasform atua onartzen du. Teorema honen frogapena erraza da: L (y(t)) = = M e st y(t) dt e st y(t) dt M e (a s)t dt = M lim A A e (a s)t dt = lim A e (a s)t a s e st e at dt = t=a t= s> a = 1 s a Bornatua Beraz, 1.1 teoremaren hipotesia betetzen bada, integral inpropioa konbergentea da s > a denerako. Ohar zaitez, y(t) funtzioa bete behar duen baldintza bakarra [, ) tartean zatika jarraia izatea dela. [, ) tartean zatika jarraia den funtzioa, [, b] itxurako tarte guztietan jarraia da puntuen kopuru finitu batean ezik non saltu finituko etenguneak dituen. 1.2 irudian zatika jarraiak diren funtzio batzuk agertzen dira. Zatika jarraia izatearen baldintza ez ditu asko murrizten funtzioaren propietateak; Zientzietan eta Ingenieritzan erabiltzen diren funtzio askok betetzen dute baldintza hori. Adibidez, funtzio jarraiak zatika jarraiak dira Ariketa 1.1 teoremaren frogapenean ikusi dugu F (s), f(t)-ren transformatua denean ondorengoa betetzen dela: F (s) 1 s a (s > a)
15 1.4. LAPLACEREN TRANSFORMATUEN PROPIETATEAK. 253 orduan: lim F (s) = s (1.6) Beraz, f(t)-ren transformatua F (s) izateko beharrezkoa da baina ez da nahikoa (1.6) baldintza betetzea. (1.6) baldintzak ez du balio F (s) funtzioak alderantzizko transformatua onartzen duela frogatzeko, baina erabil daiteke alderantzizko transformatua onartzen ez duela frogatzeko. Noiz egin dezakegu baieztapen hau?. 3. atal honen hasieran esan genuen ez dagoela L 1 (2s+1); esan dezakezu orain zergatik gertatzen den hau?. Eman dezakezu alderantzizko transformatua onartzen ez duten beste F (s) funtzioen adibideak? Ariketa 1.1 teoremako baldintzak betetzen dituen y(t) funtzioari ord ena esponentzialeko funtzioa deritzo. Ondorengo y(t) funtzioak ordena esponentzialeko funtzioak direla frogratu. 1. y(t) = ke bt 2. y(t) = k sin(bt) 3. y(t) = k cos(bt) 1.9. Ariketa [Transformatuen bakartasuna.] Gerta daiteke u(t) eta v(t) funtzio desberdinak transformatu berdinak izatea?. Froga daiteke u(t) eta v(t) funtzioak ezin direla desberdinak izan luzera positibodun tarte bateko puntu guztietan. Bereziki, jarraiak diren funtzio desberdinak transformatu berdinak dituzte. Baina, u(t) eta v(t) puntu isolatu batzuetan desberdinak izan daitezke eta transformatu berdinak izan. Konproba ezazu, azkeneko hau, 1.6 irudian agertzen diren funtzioek betetzen dutela. Aurreko ariketan ikus daiteke zatika jarraiak diren bi funtzio desberdinak bere Laplaceren transformatua berdina izanik, puntu isolatuetan bakarrik desberdinak izan daitezkela. Beraz, alderantzizko transformatua funtsean bakarra da; aplikazioetan desberdintasun horiek orokorrean garrantzitsuak ez direlako. 1.4 L ap lac eren transformatuen p rop ietateak. Ikusi dugunez 1.2 taula eta linealtasunaren propietatea erabiliz, aplikazio praktikoetan agertzen diren funtzio batzuen transformatuak eta alderantzizko transformatuak kalkula daitezke. Hala ere, 1.2 taulako funtzioen konbinazio linealak ez diren funtzioak. Adibidez,
16 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA 1.6 Irudia: Transformatuen bakartasuna. 1.7 irudian tentsioen edo indarren grafikoak agertzen dira eta ez ditugu funtzio hauen transformatuak. Batzuetan u(t) funtzioaren transformatua U(s) ezagutzen dugu, baina ezagutu behar dugu, u(t)-rekin lortzen diren funtzio berrien transformatuak. Adibidez, L (u(t)) ezaguna bada, zein izango da v(t) = e at u(t) eta v(t) = t n u(t) funtzio berrien transformatua?. 1.8 irudian u(t) = cos(2t) eta bere transformatua U(s) = s s agertzen dira. v(t) = u(t)e.2t eta v(t) = u(t) t funtzio berriak ere marraztu ditugu. Zeintzuk dira funtzio hauen transformatuak?. v(t) funtzio berri baten transformatua kalkulatzeko Laplaceren transformatuaren definizioa aplika daiteke: L (v(t)) = V (s) = e st v(t) dt baina kalkulu hau zaila izan daiteke integral inpropio baten balioa kalkulatu behar delako. Adibidez, ez da erraza v(t) = t 3 e t sin(2t) funtzioaren transformatua kalkulatzea definizioa aplikatzen badugu. Eta alderantzizkoak kalkulatzeko metodo bakarra dugu: 1.2 eta linealtasuna aplikatzea. Adibidez, zein izango da F (s) = e 2s funtzioaren alderantzizko s + 1 transformatua? Askotan, transformatuen kalkulua egiteko taulak erabiltzeaz gain, transformatua eta alderantzizko gransformatuaren propietateak ere erabiltzen dira. Ondoren propietate ga-
17 1.4. LAPLACEREN TRANSFORMATUEN PROPIETATEAK Irudia: Zatika jarraiak diren funtzioak. rrantzitsuenak enuntziatuko ditugu. Demagun U(s) eta V (s), u(t) eta v(t) funtzioen Laplaceren transformatuak direla hurrenez hurren Ariketa [linealtasuna] A eta B hautazko kontante errealak badira: L (Au(t) + Bv(t)) = AL (u(t)) + BL (v(t)) Antzeko eran, alderantzizko transformatuarentzat: L 1 (AU(s) + BV (s)) = AL 1 (U(s)) + BL 1 (V (s)) = Au(t) + Bv(t) Ariketa [lehenengo traslazio propietatea] L ( e at u(t) ) = U(s a) (s > a) Matematika A p likatu a S aila U E P D o n o stia
18 K A P IT U L U A L A P L A C E R E N T R A N S F O R M A T U A 1.8 Iru d ia : Fu n tzio g eh ia g o. A n tzek o era n, a ld era n tzizk o tra n sform a tu a ren tza t: L 1 (U(s a)) = e at u(t) (s > a) Ariketa [b ig a rren tra sla zio p rop ieta tea ] S i h(t) = { u(t a) t > a t < a ord u a n L (h(t)) = e as U(s)
19 1.4. LAPLACEREN TRANSFORMATUEN PROPIETATEAK. 257 Antzeko eran, alderantzizko transformatuarentzat: L 1 ( e as U(s) ) { u(t a) t > a = t < a Ariketa [eskala aldaketa] L (u(at)) = 1 a U ( s a ) (a > ) Antzeko eran, alderantzizko transformatuarentzat: L 1 (U(as)) = 1 ( ) t a u a Ariketa [n. ordenako deribatua] ( ) L u n) (t) = s n U(s) s n 1 u() s n 2 u ()... u (n 1 () Ariketa [funtzio integrala] ( t ) L u(z) dz = U(s) s Antzeko eran, alderantzizko transformatuarentzat: ( ) U(s) t L 1 = u(z) dz s Ariketa [ t n -rekiko biderkaketa] L (t n u(t)) = ( 1) n dn ds n (U(s)) Antzeko eran, alderantzizko transformatuarentzat: ( ) d L 1 n ds n (U(s)) = ( 1) n t n u(t) Ariketa [funtzio periodikoa.] u(t), T periodoko funtzio periodikoa bada(hau da, u(t + T ) = u(t) edozein t-rako):
20 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Ariketa 1.11 propietatea frogatu eta grafi koki interpretatu Ariketa 1.12 popietatea grafi koki adierazi Ariketa 1.14 propietatea forgatu. O har zaitez propietate honen bidez, koefi ziente konstantedun eta n > 2 dueneko E.D.A. ebatzi ahal dugula Ariketa 1.15 propietatea frogatu. L AG U N T Z A: Funtzio integrala deribatu eta gero deribatuaren L aplaceren transformatua kalkulatu Ariketa 1.8 irudian agertzen diren v(t) funtzioen transformatua lortu Ariketa 1.9 irudian agertzen diren funtzioen L aplac eren transformatua kalkulatu. 1.9 Irudia: Funtzio periodikoak Ariketa O ndorengo transformatuak kalkulatu: 1. L ( e t co s t ) 2. L ( t 2 e 2t) ( ) t 3. L sin z dz ( ) e 4. L 1 5s (s 2) 4
21 1.4. LAPLACEREN TRANSFORMATUEN PROPIETATEAK. 259 ( ) 4s L 1 s 2 + 8s + 16 ( ) 6s 4 6. L 1 s 2 4s + 2 ( ) 7. L 1 1 s 2 (s + 1) Ariketa K alkulatu: ( ) 4s + 12 a) L (e t cos t) e) L 1 ( s 2 + 8s + 16) 6s 4 b) L (t 2 e 2t ) f) L 1 ( s 2 4s + 2 t ) ( ) c) L sin 2zdz g) L 1 1 ( ) s 2 (s + 1) 2 e d) L 1 5s (s 2) Ariketa H onako problema hau ebatzi: y + y = F (t) y() = y () = non F (t) (1.1) irudian agertzen den funtzioa den. 1.1 Irudia: (1.26) ariketako funtzioa
22 26 1. KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Ariketa Laplaceren transformatua erabiliz honako problema honen soluzioa aurki dezakegu: ay + by + cy = F (t) y() = y y () = m B atzuetan, ordea, hasierako baldintzak ez daude t = puntuan emanda, baizik eta t beste puntu desberdin batetan diferente: y(t ) = y, y (t ) = m. Edo, agian, ditugun datuak mugalde-baldintzak dira: y(t ) = y, y(t 1 ) = y 1. Gerta daiteke ere kalkulatu nahi duguna ez dela ay + by + cy = F (t) EDA-ren soluzio partikular, soluzio orokorra baizik. Hala ere, y (t) eta y (t) funtzioen transformatuak kalkulatzeko y() eta y ()-ren balioak ezagutu behar ditugu. Pentsa ezazu problema hau ebazteko bide batetan eta aplika ezazu ondorengo egoeraetan: a) Problema honen soluzioa aurkitu y 3y + 2y = 4t 6 y(1) = y (1) = 2 + e b) Ekuazio honen soluzio orokorra aurkitu: y 3y + 2y = 4t Ko n bo lu zio a re n p ro p ie ta te a Transformatuen taula eta propietateak erabiltzen funtzio ugarien Laplaceren alderantzizko transformatua kalkulatzeko gai gara. Orain saiatuko gara H(s) = s/ (s 2 + 1) 2 funtzioaren alderantzizko transformatua kalkulatzen. Lortzeko, oinarrizko frakzioen baturan deskonposatuko dugu: s (s 2 + 1) 2 = As + B s Cs + D (s 2 + 1) 2 Egiazta dezakegu A = B =, C = 1 eta D = lortzen dela. Hau da, deskonposaketa ez da baliagarria. Askotan, H(s) funtzioa, zeinen alderantzizko transformatua h(t) behar dugun, bi funtzioen biderkadura bezala idaz daiteke, H(s) = F (s)g(s). Gure kasuan, har dezakegu: 1 H(s) = s (s 2 + 1) 2 F (s) = s G(s) = 1 (s 2 + 1) 2
23 1.5. KONB OLUZ IOAREN PROPIETATEA 261 baina ez da aukera on bat (ba al dakizu zergatik? ). Ordea, hartzen badugu H(s) = s 1 s s F (s) = hau lortuko da: ( ) s f(t) =L 1 s 2 = cos t + 1 ( ) 1 g(t) =L 1 s 2 = sin t + 1 s s G(s) = 1 s Zein eroso litzateken F (s) G(s) biderkaduraren alderantzizko transformatua alderantzizko transformatuen biderkadura izango balitz, hau da, beteko balitz: L 1 (F (s) G(s)) = L 1 (F (s)) L 1 (G(s)) = f(t) g(t) (1.7) (1.7) erlazioa egiazkoa izango balitz, orduan: ( ) L 1 s (s 2 + 1) 2 = cos t sin t Beraz, egiten dugun galdera hau da: orokorrean, (1.7) erlazioa egiazkoa al da? Ba, zoritx arrez, EZ. Izan ere, har ditzakegun F (s) eta G(s) funtzioen adibide gehienetan ez da betetzen Ariketa F (s) = 1/s eta G(s) = 1/s funtzioak erabili (1.7) erlazioa ez dela betetzen frogatzeko. Erosoa izango litzateke, aldagai bateko funtzioen integralarekin gertatzen den bezala, biderkaduraren alderantzizko transformatua alderantzizko transformatuen biderkadura izango balitz; baina hau, orokorrean, ez da betetzen. Orduan, gure lanaren helburua hau izango da: H(s) = F (s) G(s) biderkaduraren h(t) Laplaceren alderantzizko transformatua kalkulatzea, f(t) = L 1 (F (s)) eta g(t) = L 1 (G(s)) faktoreen alderantzizko transformatuak erabiliz. Has gaitezen F (s) G(s) idazten, transformatuaren definizioa erabiltzen eta biderkadura hau integral bikoitzaren bidez adierazten (dotorea da bi kontzeptuen arteko erlazioa!): ( F (s) G(s) = ) ( ) e su f(u)du e sv g(v)dv = ( ) e s(u+v) f(u)g(v)du dv
24 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA (1.8) adierazpena honako funtzio honen integral bikoitzaren kalkulua da: R(u, v) = e s(u+v) f(u)g(v) (1.8) D = {(u, v)/u [, ), v [, )} eremuan. (1.11) irudian D integrazio-eremua azaltzen da Irudia: Integrazio-eremua Adibidez, aurreko adibidearen funtzioak hartzen baditugu: F (s) = s s 2 + 1, G(s) = 1 s 2, f(t) = cos t, g(t) = sin t + 1 R(u, v) = e s(u+v) cos(u) sin(v) Orain, s-ren balio finko bakoitzarentzat, F (s) G(s) biderkaduraren balioa F (u, v)-ren integrala D eremuan da. Adibide honentzat, (1.12) irudian s parametroaren balioak finkatuz lortzen diren z = R(u, v) gainazalen zatiak azaltzen dira. F (s) G(s) biderkaduraren balio zehatza R(u, v) = e s(u+v) cos(u) sin(v) funtzioaren D eremuan integral bikoitzaren balioa da. Orain (1.8) erlazioa aldagai-aldaketa honekin aplikatuko dugu: v = v u = t v Hau da, v aldagaia ez da aldatzen eta u aldagaia t v aldagaiaz ordezkatzen da, t aldagai berri bat izanik. Gogora ezazu integral bikoitzan aldagai-aldaketa aplika ahal izateko aldaketaren J acobiarra behar dugula.
25 1.5. KONBOLUZIOAREN PROPIETATEA Irudia: R(u, v) = e s(u+v) cos(u) sin(v) Ariketa Aldagai-aldaketa honen Jacobiarraren balio absolutua J = 1 dela frogatu. Orain integrazioko muga berriak kalkulatuko ditugu: Kanpoko integralean, v aldagaia [, ) tartean aldatzen da. Barruko integralean, v-ren hautazko balio bat hartuko dugu: Beheko muga: u = t = v Goiko muga: u = t = Orduan, (1.8) geldituko da: F (s) G(s) = ( v ) e st f(t v)g(v)dt dv (1.9) (1.13) irudian integrazio eremu berria, D, azaltzen da. Ikus ezazu zein den integrazio ordena (1.9) adierazpenan.
26 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA 1.13 Irudia: Integrazio-eremu berria Orain (1.9) integralean integrazio ordena aldatuko dugu (froga dezakegu hau ezinezkoa dela f eta g ordena esponentzialekoak badira): ( t ) F (s) G(s) = e st f(t v)g(v)dv dt (1.1) (1.1) adierazpenan e st faktorea kanpoko integraletik ateratzen dugu, v-ren menpekoa ez delako: F (s) G(s) = e st ( t ) f(t v)g(v)dv dt (1.11) Nabaritu barruko integrala t-ren funtzio bat dela, f(t v)g(v) funtzioa v-rekiko [, t] tartean integratzen delako. Barruko integralaren emaitze horrela definiturik dagoen h(t) funtzio bat da: h(t) = t f(t v)g(v)dv Orduan,(1.11) adierazpenan daukaguna h(t)-ren Laplaceren transformatua da. Beraz: ( t ) F (s) G(s) = L f(t v)g(v)dv (1.12) Edo, baliokieki: L 1 (F (s) G(s)) = t f(t v)g(v)dv (1.13)
27 1.5. KONBOLUZIOAREN PROPIETATEA 265 Ondorioz, F (s) G(s) biderkaduraren h(t) alderantzizko transformatua kalkulatzeko egin beharrekoa hau da: 1. F (s) eta G(s) funtzioen f(t) eta g(t) alderantzizko transformatuak kalkulatu. 2. h(t) funtzioa modu honetan lortuko da: h(t) = t f(t v)g(v)dv (1.14) Ikus dezagun prozesu hau aplika dezakegun aurreko adibidearen funtzioekin, F (s) = s/(s 2 + 1), G(s) = 1/(s 2 + 1), f(t) = cos t eta g(t) = sin t. (1.13) erlazioa kontutan hartuz: ( ) h(t) = L 1 s (s 2 + 1) 2 = t cos(t v) sin vdv eta cos B sin A = 1 (sin(a + B) + sin(a B)) betetzen denez, honako hau lortzen da: 2 h(t) = 1 2 t sin t + sin(2v t)dv = 1 2 ( v sin t ) cos(2v t) v=t = 1 2 v= 2 t sin t Emaitzaren egiaztapena erraza da, transformatuaren zazpigarren propietatea (t n -rekiko biderkaketa, n = 1 kasuan) aplikatzen bada: L ( ) 1 2 t sin t = ( 1)1 2 ( ) d 1 ds s 2 = + 1 s (s 2 + 1) 2 Beraz, F (s) G(s) biderkaduraren alderantzizko transformatua aaurkitzeko gakoa f eta g funtzioen artean egiten den (1.14) eragiketa da. Eragiketa garratzitsu hori izen bat emango diogu Defi niz ioa Izan bitez f(t) eta g(t) o rd ena espo nentzialeko bi fu ntzio. O nd o ren azaltzen d en bi fu ntzioen arteko eragiketari funtzioen konboluzioa d eitzen zaio, eta f(t) g(t) ad ierazten d a: f(t) g(t) = t f(t v)g(v)dv (1.15)
28 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA Erraza da (1.15) eragiketa trukakorra dela egiaztatzea, hau da, f(t) g(t) = g(t) f(t) Orduan, definizio honen ondorioz: L 1 (F (s) G(s)) = f(t) g(t) = L 1 (F (s)) L 1 (G(s)) Edo, baliokideki: F (s) G(s) = L (f(t)) L (g(t)) = L (f(t) g(t)) Laburbilduz: L (f(t) g(t)) = L (f(t)) L (g(t)) L 1 (F (s)) L 1 (G(s)) = L 1 (F (s) G(s)) (1.16) Aurreago adibide batean ikusi dugunez, biderkaduraren transformatua ez da, orokorrean, transformatuen biderkadura. Hau da, orokorrean: L (f(t) g(t)) L (f(t)) L (g(t)) L 1 (F (s)) L 1 (G(s)) L 1 (F (s) G(s)) (1.17) Baina (1.16) erlazioek esaten dutenez, (1.17) erlazioetako ezkerreko gaietan biderkadurak gure biderkaketa berria (konboluzioa) erabiltzen kalkulatzen badira, orduan bai betetzen dela propietate hau: biderkaduraren transform atua transform atuen biderkadura da Ariketa Konboluzioa erabiliz, kalkulatu ay + by + cy = F (t) EDA-ren soluzio orokorra. LAGUNTZA: Transformatua aplikatu, Y (s) askatu eta alderantzizko transformatua aplikatu y(t) lortzeko. Ikusiko duzunez, as 2 + bs + c = ekuazioaren erroak aztertu beharko dituzu, eta ekuazio hau EDA-ren ekuazio karakteristikoa da. 1.6 E k uazio d iferentzial arrunten sistem a linealak Aurreko gaian (Ekuazio Diferentzial Arruntak), y(t) funtzio ezezagun bat eta bere deribatuak erlazionatzen zituzten ekuazioak ebazteko metodo batzuk aztertu genituen. Baina aplikazio askoetan aurkitu behar ditugun funtzio ezezagun batzuk agertzen dira, ekuazio diferentzial arrunt batzuen bidez erlazionaturik daudenak. Orduan, ekuazio diferentzialen sistema bat ebatzi beharko da. Ikus ditzagun adibide batzuk.
29 1.6. EKUAZIO D IFERENTZIAL ARRUNTEN SISTEMA LINEALAK Ad ib id ea (H artzid ura-tang ak.) (1.14) irudian muztioa hartziduraz ardo bihurtzeko sistema bat azaltzen da. Sistema edukiera berdineko hiru tangez osatuta dago, eta beraien artean likidoa abidura konstantez (litr o/egun-etan neurtuta) zirkulatzen da. M uztioa hartzitzen den neurrian, tanga bakoitzean dagoen alkohol-kantitatea (Kg-etan) aldatzen da. Irabiatuz, tanga bakoitzean alkohol-kontzentrazio konstantea lortzen dugu, baina kontzentrazio hori tanga batetik bestera desberdina izan daiteke, alkohol-kantitateak ere desberdinak izan daitezkelako. Aztertu nahi duguna une bakoitzean tanga bakoitzean egongo den alkohol-kantitatea da Irudia: Hartzidura-tangak Izan bitez x 1 (t), x 2 (t) eta x 3 (t) tanga bakoitzean t unean dauden alkohol-kantitateak (Kg-etan). Hiru funtzio hauek kalkulatzeko eredu bat lortuko dugu. x 1 (t) D 1 -ean dagoen alkohol-kantitatea (Kg-etan) denez, tanga bakoitzaren edukierari (litr o-etan) C deitzen badiogu, orduan x 3 (t)/c D 3 tangan t unean dagoen alkoholkontzentrazioa izango da. Likidoa zirkulatzeko abiadura v (litr o/egun-etan) bada, orduan alkohola D 1 -era vx 3 (t)/c abiaduran (Kg/egun-etan) sartuko da. Orain D 2 -ra joateko alkoholaren ateratzeko abiadura kentzen badiogu, x 1 (t) aldatzeko abiadura (Kg/egun-etan) lortuko dugu: x 1(t) = v x 3 C v x 1 C Prozesu berdina D 2 eta D 3 tangak kontsideratuz errepikatzen badugu, ondorengo eredua
30 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA lortuko dugu: x 1(t) = v x 3 C v x 1 C x 2(t) = v x 1 C v x 2 C x 3(t) = v x 2 C v x 3 C x 1 () = C 1 x 2 () = C 2 x 3 () = C 3 Eredu honetan C 1, C 2 eta C 3 balioak tanga bakoitzeko hasierako alkohol-kantitateak dira. (1.15) irudian W inploten bidez lortutako soluz< ioaren grafikoak azaltzen dira, hasierako baldintza hauekin: alkoholeko C 1 () = 6 gramo, C 2 () = 14 gramo, C 3 () = 2 gramo, v = 5.4 litro/ egun eta C = 7.3 litro. Ikusten denez, tanga bakoitzeko alkohol-kantitatea balio berberantz joaten da, eta balio hau gutxi gora behera gr da t = 5.7 egun pasatzen direnean Irudia: Alkohol-kantitatea tanga bakoitzean Laplaceren transformatua erabiliz problema ebazteko metodo analitiko bat adierazi l eta 2 l-ko kapazitatea dituzten bi tanga gatzunez (ura eta gatza) beteta ditugu eta (1.16) irudian adierazitako eran elkar konektatuta daude. Lehenengo tangan 3
31 1.6. EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN SISTEMA LINEALAK 269 l/m ur geza sartzen da, eta bigarren tangatik ura irteten da abiadura berdinekin. Tanga bakoitzean t unean dagoen gatza (kg) adierazten duen eredua lortu. Zer nolako baliotara konbergitu dute tanga bakoitzeko gatz kantitateak? Egiaztatu ekuazio-sistema ebatziz Irudia: Gatzun tangak 1.2. Adibidea (1.17) irudian bertikalki mugitzen diren bi malguki eta eurei lotutako bi masa adierazita ditugu. k 1 eta k 2 dira malgukien konstanteak eta m 1 eta m 2 masek x 1 (t) eta x 2 (t)-ko desplazamenduak dute. Malguki eta masa horiek osatzen duten sistemaren eredua honako hau da: m 1 x 1 = k 1 x 1 + k 2 (x 2 x 1 ) m 2 x 2 = k 2 (x 2 x 1 ) x 1 () = d 1 x 1 () = v 1 x 2 () = d 2 x 2 () = v 2 (1.18) Hastapen baldintzetan d 1, eta d 2 masen hasierako desplazamenduak dira eta v 1, v 2 hasietako abiadurak (1.32) ariketan adierazitako prozedura erabil daiteke kasu hau ebazteko?
32 27 1. KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA 1.17 Irudia: Malgukiak 1.3. Adibidea Aurreko kasuaren antzerako bidearekin (1.18) irudian dugun bi masa eta hiru malgukiek osatzen duten sistemaren mugimenduaren eredua (1.19) ekuazioen bidez adieraz dezakegu. m 1 x 1 = (k 1 + k 2 )x 1 + k 2 x 2 m 2 x 2 = k 2 x 2 + (k 2 + k 3 )x 2 ) x 1 () = d 1 x 1 () = v 1 x 2 () = d 2 x 2 () = v 2 (1.19) Aurreko ariketaren prozedurarekin ebatz dezakegu (1.19) ekuazio sistema?
33 1.6. EKUAZIO DIFERENTZIAL ARRUNTEN SISTEMA LINEALAK Irudia: Malgukiak 1.4. Adibidea (1.19) irudian adierazita dugu zirkuitu elektrikoak E(t) tentsio aldakorra sortzen duen elikatze-iturria, R erresistentzia, L induktantzia eta C kondentsadoreaz osatuta dago Irudia: Zirkuitua i 1 (t), i 2 (t) eta i 3 (t) intentsitateen balioak t unean lortzea nahi dugu. Intentsitate horietatik bi ezagutuz hirugarrena lortuko dugu i 1 (t) = i 2 (t) + i 3 (t) betetzen delako. i 1 (t) eta i 2 (t) intentsitateen aldaketa denborarekiko, honako ekuazioen bidez adierazten dira. RC di 2 L di 1 dt + Ri 2 = E(t) dt + i 2 i 1 = i 1 () = v 1 i 2 () = v Eredu matematiko horretan 1. ordenako bi ekuazio diferentzialez osatuta dago. Kasu honetan, berriro prozedura berdina erabil dezakegu?
34 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA 8. gaian (Lerro integrala) ekuazio diferentzialetako sistemak azaldu ziran. Koefiziente konstatatuenak eta linealak ziren horietako batzuk, adibidez x = x 2y y = y x( ) = 2 y( ) = 1 (1.2) (1.2) h a sta pen b a ld in tza d uen prob lem a ren soluzioa x(t) = e t + e t, y(t) = e t d ela eg ia zta tu g en uen, b a in a ez g en uen ereb ili, eb a zpen a lortzek o, m etod o a n a litik orik. O ra in L a pa ceren tra n sform a tua ten b id ez lor d eza k eg u soluzioa (1.2) h a sta pen b a ld in tza d uen prob lem a eb a tzi eta x(t) = e t + e t, y(t) = e t soluzioa lortzen d ela eg ia zta tu. 1.7 L in e a la k e z d ire n E D A -n siste m a k 8. g a ia n lin ea la k ez ziren sistem a n a za ld u ziren eta zen b a k izk o m etod oa k era b iliz eb a tzi g en uen. (W in plot era b iliz) l F (x, y) = x 2 y fun tzio poten tzia la h a rturik,v = (F x, F y ) = (2xy, x 2 ) erem u eg on k orra lor d eza k eg u eta x(t), y(t) soluzioa d iren lerroen a d iera zpen g ra - fi k oa k lortu. x = 2xy y = x 2 ( 1.21) sistem a ez d a lin ea la eta L a pla ceren tra n sform a tua era b iltzera k oa n (1.21) L (x ) = 2L (xy) = sx (s) x( ) = 2L (xy) L (y ) = 2L (x 2 ) = sy (s) y( ) = L (x 2 ) lortzen d ug u, b a in a ezin d itug u x(t)y(t) eta x 2 (t) fun ztioen tra n sform a tua k lortu X (s), Y (s) tra n sform a tuen b id ez.d S a rrita n sistem a ren soluzioa lortzek o a uk era b a k a rra zen b a k izk o m etod oren b a t era b iltzea iza n g o d a. 1.2) irud ia n V erem ua a d iera zita d ug u eta erem u-lerro b a tzuk, ( 1.21)-n soluzioa k d iren a k. E k ua zio ez lin ea len sistem a k in teresa tzen za izk ig u, prob lem a fi sik o errea la k lin ea la k ez d irela k o. E ra b iltzen d itug un sistem a lin ea la k urb ilk eta k d ira, eta urb ilk eta h oriek in fen o- m en o fi sik oa k a ztertu eta a n a litik ok i eb a tzi eg iten d itug u. A sk ota n urb ilk eta h oriek n a h ik o U E P D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila
35 1.7. L IN E A L A K E Z D IR E N E D A -N S IS T E M A K Irudia: Eremu bektoriala eta ebazpen lerro batzuk onak dira eta azterketa zehatza egiteko aukera ematen diguta. H ala eta guztiz, Eisteinek esan zuen F isikaren oinarrizko ekuazioak linealak ez direnez, fisika matematikoa osoa berriro eraiki behar liratekela. Adibidez, azter dezagun indarra aplikatu gabe oszilatzen duen pendulua x(t) oszilazioaren uneko angelua baldin bada (ikus (1.21) irudia) sistema fisikoaren eredua hau izan daiteke: x + c m x + g sin x = (1.22) L
36 KAP ITU LU A LAP LAC EREN TRANSF O RMATU A non g grabitatearen azelerazioa, c ingurune fisikoaren araberako konstantea, m penduluaren masa eta L hariaren luzera diren Irudia: Pendulua (1.22) ekuazioaez da lineala sin x batugaia duelako, beraz ikusi ditugn ebazpen metodoak ez dira erabilgarriak.â ů Ohiko linealizazioan sin x batugaiaren ordez x ipinten da, x tx ikia denean, hau da, oszilazioak tx ikiak direnean, urbilketa egokia da. (sin x x) x + c m x + g L x = (1.23) B aina x handia denean (1.23) eredu linealak distortsio handiak sortzen ditu, hau da, penduluaren higidura errealaren iragarpen eskax ak egiten ditu. (1.22) irudian ekuazio bien soluzioen adierazpenak ditugu. (marra lodiaz (1.22) ekuazioaren soluzioak eta marra meheaz (1.23) ekuaziorenak. Soluzioak bilatzerakoan c = 4.6, L = 2 y m = 2.9 parametroak eta goikoak x() =.9, x () = hastapen baldintzak erabili dira, aldiz behekoak lortzeko x() = 3, x () = hastepen baldintzak erabili dira eta x(t)-ren oszilazio handiagoak lortzen dira. Lehenengo kasuan, goikoan, grafikak antzerakoak dira baina bigarren kasuan, behekoan, oso ez berdinak dira. (1.23) lineala, homogeneoa eta koefiziente konstanteak dituena da eta 9.gaia ikusitako metodoa edo Laplaceren transformatua erabiliz ebatzi dezakegu. Ekuazio diferentzialen sistemekin ere gauza berdina gertatzen da. 8. gaian eraiki genuen eremu grabitazionala gogoratuz, (x, y) puntuan F (x, y) = M (x a) 2 + (y b) 2
37 1.7. LINEALAK EZ DIREN EDA-N SISTEMAK Irudia: Penduluaren bi eredu non M eremua sortzen duen masa da eta (a, b) masa kokatuta dagoen puntuaren koordenatuak. Eraiki genuen eremu bektoriala V = g ra d F = (F x, F y ), eta eremu-lerroak sistemaren soluzioan dira. x = F x (x, y) y = F y (x, y) N abaria da (1.24) lineala ez dela. (1.24) (1.24) erraz ebatzi dezakegu d y/ d x = F y (x, y)/ F x (x, y) eran adierazten dugunean. N ola? Lor dezakezu V eremuarekin elkartzut den U eremuaren lerroak? Bigarren ordenako (1.25) ekuazio diferentzial arruntarekin baliokidea den bi ekuazio diferentzial dituen sistema lor daitekela frogatu. y = F (t, y(t), y (t)) (1.25) Horretarako lagungarri diren u = y, v = y funtzioak definitu. Idea hori erabiliz, (1.22) ED A ez linealarekin baliokidea den sistema lortzeko eta Winplot programaren bidez ebatzi eta (1.22) irudiko antzerako adierazpena lortu.
38 KAPITULUA LAPLACEREN TRANSFORMATUA
DERIBAZIO-ERREGELAK 1.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. ( ) ( )
DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak
Διαβάστε περισσότερα9. K a p itu lu a. Ekuazio d iferen tzial arrun tak
9. K a p itu lu a Ekuazio d iferen tzial arrun tak 27 28 9. K A P IT U L U A E K U A Z IO D IF E R E N T Z IA L A R R U N T A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 29 Oharra: iku rra rekin
Διαβάστε περισσότεραAldagai Anitzeko Funtzioak
Aldagai Anitzeko Funtzioak Bi aldagaiko funtzioak Funtzio hauen balioak bi aldagai independenteen menpekoak dira: 1. Adibidea: x eta y aldeetako laukizuzenaren azalera, S, honela kalkulatzen da: S = x
Διαβάστε περισσότερα= 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua.
1 ARIKETA Kalkulatu α : 4x+ 3y+ 10z = 32 eta β : z = 0 planoek osatzen duten angelua. Aurki ezazu α planoak eta PH-k osatzen duten angelua. A'' A' 27 A''1 Ariketa hau plano-aldaketa baten bidez ebatzi
Διαβάστε περισσότερα7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA. x i n i N i f i
7.GAIA. ESTATISTIKA DESKRIBATZAILEA 1. Osatu ondorengo maiztasun-taula: x i N i f i 1 4 0.08 2 4 3 16 0.16 4 7 0.14 5 5 28 6 38 7 7 45 0.14 8 2. Ondorengo banaketaren batezbesteko aritmetikoa 11.5 dela
Διαβάστε περισσότεραANGELUAK. 1. Bi zuzenen arteko angeluak. Paralelotasuna eta perpendikulartasuna
Metika espazioan ANGELUAK 1. Bi zuzenen ateko angeluak. Paalelotasuna eta pependikulatasuna eta s bi zuzenek eatzen duten angelua, beaiek mugatzen duten planoan osatzen duten angeluik txikiena da. A(x
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA: Ekuazio diferenzialak
4. GAIA: Ekuazio diferenzialak Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 4. Ekuazio diferentzialak......................................
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3. K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 49 50 3. K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 3.1. ARAZOAREN
Διαβάστε περισσότεραBanaketa normala eta limitearen teorema zentrala
eta limitearen teorema zentrala Josemari Sarasola Estatistika enpresara aplikatua Josemari Sarasola Banaketa normala eta limitearen teorema zentrala 1 / 13 Estatistikan gehien erabiltzen den banakuntza
Διαβάστε περισσότεραARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK 1.- LEHEN DEFINIZIOAK Jatorri edo erpin berdina duten bi zuzenerdien artean gelditzen den plano zatiari, angelua planoan deitzen zaio. Zirkunferentziaren zentroan erpina duten
Διαβάστε περισσότερα(1)σ (2)σ (3)σ (a)σ n
5 Gaia 5 Determinanteak 1 51 Talde Simetrikoa Gogoratu, X = {1,, n} bada, X-tik X-rako aplikazio bijektiboen multzoa taldea dela konposizioarekiko Talde hau, n mailako talde simetrikoa deitzen da eta S
Διαβάστε περισσότερα1 Aljebra trukakorraren oinarriak
1 Aljebra trukakorraren oinarriak 1.1. Eraztunak eta gorputzak Geometria aljebraikoa ikasten hasi aurretik, hainbat egitura aljebraiko ezagutu behar ditu irakurleak: espazio bektorialak, taldeak, gorputzak,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015
MATEMATIKARAKO SARRERA OCW 2015 Mathieu Jarry iturria: Flickr CC-BY-NC-ND-2.0 https://www.flickr.com/photos/impactmatt/4581758027 Leire Legarreta Solaguren EHU-ko Zientzia eta Teknologia Fakultatea Matematika
Διαβάστε περισσότερα7. K a p itu lu a. Integ ra l a nizk o itza k
7. K a p itu lu a Integ ra l a nizk o itza k 61 62 7. K A P IT U L U A IN T E G R A L A N IZ K O IT Z A K UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 7.1. ARAZOAREN AURKEZPENA 63 7.1 A ra zo a
Διαβάστε περισσότεραEUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA
EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA 1.1. Topologia.. 1.. Aldagai anitzeko funtzio errealak. Definizioa. Adierazpen grafikoa... 5 1.3. Limitea. 6 1.4. Jarraitutasuna.. 9 11 14.1. Lehen mailako
Διαβάστε περισσότερα3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak. Eugenio Mijangos
3. KOADERNOA: Aldagai anitzeko funtzioak Eugenio Mijangos 3. KOADERNOA: ALDAGAI ANITZEKO FUNTZIOAK Eugenio Mijangos Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia
Διαβάστε περισσότεραZinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa
Zinematika 2: Higidura zirkular eta erlatiboa Gaien Aurkibidea 1 Higidura zirkularra 1 1.1 Azelerazioaren osagai intrintsekoak higidura zirkularrean..... 3 1.2 Kasu partikularrak..........................
Διαβάστε περισσότεραPoisson prozesuak eta loturiko banaketak
Gizapedia Poisson banaketa Poisson banaketak epe batean (minutu batean, ordu batean, egun batean) gertaera puntualen kopuru bat (matxura kopurua, istripu kopurua, igarotzen den ibilgailu kopurua, webgune
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 2: dinamika eta estatika
Solido zurruna 2: dinamika eta estatika Gaien Aurkibidea 1 Solido zurrunaren dinamikaren ekuazioak 1 1.1 Masa-zentroarekiko ekuazioak.................... 3 2 Solido zurrunaren biraketaren dinamika 4 2.1
Διαβάστε περισσότερα3. K a p itu lu a. Aldagai errealek o fu n tzio errealak
3 K a p itu lu a Aldagai errealek o fu n tzio errealak 13 14 3 K AP IT U L U A AL D AG AI E R R E AL E K O F U N T Z IO E R R E AL AK UEP D o n o stia M ate m atik a A p lik atu a S aila 31 FUNTZIOAK:
Διαβάστε περισσότεραSolido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra
Solido zurruna 1: biraketa, inertzia-momentua eta momentu angeluarra Gaien Aurkibidea 1 Definizioa 1 2 Solido zurrunaren zinematika: translazioa eta biraketa 3 2.1 Translazio hutsa...........................
Διαβάστε περισσότεραI. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa
I. KAPITULUA Zenbakia. Aldagaia. Funtzioa 1. ZENBAKI ERREALAK. ZENBAKI ERREALEN ADIERAZPENA ZENBAKIZKO ARDATZEKO PUNTUEN BIDEZ Matematikaren oinarrizko kontzeptuetariko bat zenbakia da. Zenbakiaren kontzeptua
Διαβάστε περισσότερα1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra.
1. Higidura periodikoak. Higidura oszilakorra. Higidura bibrakorra. 2. Higidura harmoniko sinplearen ekuazioa. Grafikoak. 3. Abiadura eta azelerazioa hhs-an. Grafikoak. 4. Malguki baten oszilazioa. Osziladore
Διαβάστε περισσότερα1. Gaia: Mekanika Kuantikoaren Aurrekoak
1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 12 Laburpena 1 Uhin-Partikula Dualtasuna 2 Trantsizio Atomikoak eta Espektroskopia Hidrogeno Atomoaren Espektroa Bohr-en Eredua 3 Argia: Partikula (Newton)
Διαβάστε περισσότεραInekuazioak. Helburuak. 1. Ezezagun bateko lehen orria 74 mailako inekuazioak Definizioak Inekuazio baliokideak Ebazpena Inekuazio-sistemak
5 Inekuazioak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Ezezagun bateko lehen eta bigarren mailako inekuazioak ebazten. Ezezagun bateko ekuaziosistemak ebazten. Modu grafikoan bi ezezaguneko lehen
Διαβάστε περισσότερα7.1 Oreka egonkorra eta osziladore harmonikoa
7. GAIA Oszilazioak 7.1 IRUDIA Milurtekoaren zubia: Norman Foster-ek Londresen egin zuen zubi hau zabaldu bezain laster, ia bi urtez itxi behar izan zuten, egiten zituen oszilazio handiegiak zuzendu arte.
Διαβάστε περισσότερα1. jarduera. Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean?
1. jarduera Zer eragin du erresistentzia batek zirkuitu batean? 1. Hastapeneko intentsitatearen neurketa Egin dezagun muntaia bat, generadore bat, anperemetro bat eta lanpa bat seriean lotuz. 2. Erresistentzia
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 1. (2015/2016) 20 cm-ko tarteak bereizten ditu bi karga puntual q 1 eta q 2. Bi kargek sortzen duten eremu elektrikoa q 1 kargatik 5 cm-ra dagoen A puntuan deuseztatu
Διαβάστε περισσότεραERREAKZIOAK. Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea
ERREAKZIAK Adizio elektrozaleak Erredukzio erreakzioak Karbenoen adizioa Adizio oxidatzaileak Alkenoen hausketa oxidatzailea ADIZI ELEKTRZALEK ERREAKZIAK idrogeno halurozko adizioak Alkenoen hidratazioa
Διαβάστε περισσότεραEkuazioak eta sistemak
4 Ekuazioak eta sistemak Helburuak Hamabostaldi honetan hauxe ikasiko duzu: Bigarren mailako ekuazio osoak eta osatugabeak ebazten. Ekuazio bikarratuak eta bigarren mailako batera murriztu daitezkeen beste
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori,
Διαβάστε περισσότεραHidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean
Hidrogeno atomoaren energi mailen banatzea eremu kubiko batean Pablo Mínguez Elektrika eta Elektronika Saila Euskal Herriko Unibertsitatea/Zientzi Fakultatea 644 P.K., 48080 BILBAO Laburpena: Atomo baten
Διαβάστε περισσότεραDBH3 MATEMATIKA ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1. Aixerrota BHI MATEMATIKA SAILA
DBH MATEMATIKA 009-010 ikasturtea Errepaso. Soluzioak 1 ALJEBRA EKUAZIOAK ETA EKUAZIO SISTEMAK. EBAZPENAK 1. Ebazpena: ( ) ( x + 1) ( )( ) x x 1 x+ 1 x 1 + 6 x + x+ 1 x x x 1+ 6 6x 6x x x 1 x + 1 6x x
Διαβάστε περισσότερα9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomiko
9. Gaia: Espektroskopiaren Oinarriak eta Espektro Atomikoak 1) Kimika Teorikoko Laborategia 2012.eko irailaren 21 Laburpena 1 Espektroskopiaren Oinarriak 2 Hidrogeno Atomoa Espektroskopia Esperimentua
Διαβάστε περισσότερα6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana
6. Aldagai kualitatibo baten eta kuantitatibo baten arteko harremana GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da: - Batezbestekoaren estimazioa biztanlerian kalkulatzeko. - Proba parametrikoak
Διαβάστε περισσότερα5. GAIA Solido zurruna
5. GAIA Solido zurruna 5.1 IRUDIA Giroskopioaren prezesioa. 161 162 5 Solido zurruna Solido zurruna partikula-sistema errazenetakoa dugu. Definizioak (hau da, puntuen arteko distantziak konstanteak izateak)
Διαβάστε περισσότεραAURKIBIDEA I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7
AURKIBIDEA Or. I. KORRONTE ZUZENARI BURUZKO LABURPENA... 7 1.1. MAGNITUDEAK... 7 1.1.1. Karga elektrikoa (Q)... 7 1.1.2. Intentsitatea (I)... 7 1.1.3. Tentsioa ()... 8 1.1.4. Erresistentzia elektrikoa
Διαβάστε περισσότερα1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA...
Aurkibidea 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA... 1 1.1 Proiekzioa. Proiekzio motak... 3 1.2 Sistema diedrikoaren oinarriak... 5 1.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak... 10 1.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren
Διαβάστε περισσότεραLOGIKA. F. Xabier Albizuri go.ehu.eus/ii-md
LOGIKA F. Xabier Albizuri - 2018 fx.albizuri@ehu.eus go.ehu.eus/ii-md Logikako bi gaiak: 1. LOGIKA PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU LOGIKA Ikasliburuak: 1. Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science
Διαβάστε περισσότερα4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK
4.GAIA. ESPAZIO BEKTORIALAK. Defiizioa. Propietateak 3. Azpiespazio bektorialak 4. Kobiazio liealak 5. Depedetzia eta idepedetzia lieala 6. Oiarria eta dimetsioa 7. Oiarri-aldaketa 8. Azpiespazio bektoriale
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA. Lehenengo zatia
MATEMATIKA DISKRETUA ETA ALGEBRA Lehenengo zatia http ://www.sc.ehu.es/ccwalirx/docs/materiala.htm 1. KALKULU PROPOSIZIONALA 2. PREDIKATU KALKULUA 3. MULTZOAK, OSOKOAK 4. ERLAZIOAK ETA FUNTZIOAK 5. GRAFOAK
Διαβάστε περισσότεραHirukiak,1. Inskribatutako zirkunferentzia. Zirkunskribatutako zirkunferentzia. Aldekidea. Isoszelea. Marraztu 53mm-ko aldedun hiruki aldekidea
Hirukiak, Poligonoa: elkar ebakitzen diren zuzenen bidez mugatutako planoaren zatia da. Hirukia: hiru aldeko poligonoa da. Hiruki baten zuzen bakoitza beste biren batuketa baino txiakiago da eta beste
Διαβάστε περισσότεραMakina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M A K I N A. Sorgailua. Motorea.
Magnetismoa M1. MGNETISMO M1.1. Unitate magnetikoak Makina elektrikoetan sortzen diren energi aldaketak eremu magnetikoaren barnean egiten dira: M K I N Energia Mekanikoa Sorgailua Energia Elektrikoa Energia
Διαβάστε περισσότεραKANTEN ETIKA. Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat.
EN ETIKA Etika unibertsal baten bila. Gizaki guztientzat balioko zuen etika bat. Kantek esan zuen bera baino lehenagoko etikak etika materialak zirela 1 etika materialak Etika haiei material esaten zaie,
Διαβάστε περισσότερα10. GAIA Ingurune jarraituak
10. GAIA Ingurune jarraituak 10.1 IRUDIA Gainazal-tentsioaren ondorio ikusgarria. 417 418 10 Ingurune jarraituak Ingurune jarraituen oinarrizko kontzeptuak aztertuko dira gai honetan: elastikotasuna hasteko,
Διαβάστε περισσότερα4. Hipotesiak eta kontraste probak.
1 4. Hipotesiak eta kontraste probak. GAITASUNAK Gai hau bukatzerako ikaslea gai izango da ikerketa baten: - Helburua adierazteko. - Hipotesia adierazteko - Hipotesi nulua adierazteko - Hipotesi nulu estatistikoa
Διαβάστε περισσότεραHasi baino lehen. Zenbaki errealak. 2. Zenbaki errealekin kalkulatuz...orria 9 Hurbilketak Erroreen neurketa Notazio zientifikoa
1 Zenbaki errealak Helburuak Hamabostaldi honetan hau ikasiko duzu: Zenbaki errealak arrazional eta irrazionaletan sailkatzen. Zenbaki hamartarrak emandako ordena bateraino hurbiltzen. Hurbilketa baten
Διαβάστε περισσότεραJose Miguel Campillo Robles. Ur-erlojuak
HIDRODINAMIKA Hidrodinamikako zenbait kontzeptu garrantzitsu Fluidoen garraioa Fluxua 3 Lerroak eta hodiak Jarraitasunaren ekuazioa 3 Momentuaren ekuazioa 4 Bernouilli-ren ekuazioa 4 Dedukzioa 4 Aplikazioak
Διαβάστε περισσότεραProba parametrikoak. Josemari Sarasola. Gizapedia. Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20
Josemari Sarasola Gizapedia Josemari Sarasola Proba parametrikoak 1 / 20 Zer den proba parametrikoa Proba parametrikoak hipotesi parametrikoak (hau da parametro batek hartzen duen balioari buruzkoak) frogatzen
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Indar zentralak
4. GAIA Indar zentralak 4.1 IRUDIA Planeten higiduraren ezaugarri batzuen simulazio mekanikoa zientzia-museoan. 121 122 4 Indar zentralak Aarteko garrantzia izan dute fisikaren historian indar zentralek:
Διαβάστε περισσότεραPROGRAMA LABURRA (gutxiengoa)
PROGRAMA LABURRA gutiengoa Batilergo Zientiiko-Teknikoa MATEMATIKA I Ignacio Zuloaga BHI Eibar IGNACIO ZULOAGA B.I. EIBAR Gutiengo programa Zientiiko-Teknikoa. maila Ekuaio esponentialak Ariketa ebatiak:
Διαβάστε περισσότεραTrigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK
Trigonometria ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK SINUA KOSINUA TANGENTEA ANGELU BATEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOEN ARTEKO ERLAZIOAK sin α + cos α = sin α cos α = tg α 0º, º ETA 60º-KO ANGELUEN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK
Διαβάστε περισσότεραLANBIDE EKIMENA. Proiektuaren bultzatzaileak. Laguntzaileak. Hizkuntz koordinazioa
Elektroteknia: Ariketa ebatzien bilduma LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA LANBDE EKMENA roiektuaren bultzatzaileak Laguntzaileak Hizkuntz koordinazioa Egilea(k): JAO AAGA, Oscar. Ondarroa-Lekeitio BH, Ondarroa
Διαβάστε περισσότερα2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA
2. PROGRAMEN ESPEZIFIKAZIOA 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. 2.2. Aurre-ondoetako espezifikazio formala. - 1 - 2.1. Asertzioak: egoera-multzoak adierazteko formulak. Programa baten
Διαβάστε περισσότερα3. Ikasgaia. MOLEKULA ORGANIKOEN GEOMETRIA: ORBITALEN HIBRIDAZIOA ISOMERIA ESPAZIALA:
3. Ikasgaia. MLEKULA RGAIKE GEMETRIA: RBITALE IBRIDAZIA KARB DERIBATUE ISMERIA ESPAZIALA Vant off eta LeBel-en proposamena RBITAL ATMIKE IBRIDAZIA ibridaio tetragonala ibridaio digonala Beste hibridaioak
Διαβάστε περισσότεραDokumentua I. 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago:
Dokumentua I Iruzkin orokorrak 2010ean martxan hasiko den Unibertsitatera sarrerako hautaproba berria ondoko arauen bidez erregulatuta dago: 1. BOE. 1467/2007ko azaroaren 2ko Errege Dekretua. (Batxilergoaren
Διαβάστε περισσότερα2. GAIA Higidura erlatiboa
2. GAIA Higidura erlatiboa 2.1 IRUDIA Foucault-en pendulua Pariseko Panteoian 1851n eta 2003an. 53 54 2 Higidura erlatiboa Bi erreferentzia-sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoa 1.2.1 ataleko
Διαβάστε περισσότερα9.28 IRUDIA Espektro ikusgaiaren koloreak bilduz argi zuria berreskuratzen da.
9.12 Uhin elektromagnetiko lauak 359 Izpi ultramoreak Gasen deskargek, oso objektu beroek eta Eguzkiak sortzen dituzte. Erreakzio kimikoak sor ditzakete eta filmen bidez detektatzen dira. Erabilgarriak
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Bigarren zatia: praktika). Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2016ko maiatzaren 12a - Iraupena: Ordu t erdi I. ebazkizuna (2.25 puntu) Poisson, esponentziala, LTZ Zentral
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA Mekanismoen Sintesi Zinematikoa
HELBURUAK: HELBURUAK: mekanismoaren mekanismoaren sintesiaren sintesiaren kontzeptua kontzeptuaeta eta motak motaklantzea. Hiru Hiru Dimentsio-Sintesi motak motakezagutzea eta eta mekanismo mekanismo erabilgarrienetan,
Διαβάστε περισσότεραSELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA
SELEKTIBITATEKO ARIKETAK: EREMU ELEKTRIKOA 95i 10 cm-ko aldea duen karratu baten lau erpinetako hirutan, 5 μc-eko karga bat dago. Kalkula itzazu: a) Eremuaren intentsitatea laugarren erpinean. 8,63.10
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna. Helburuak. Hasi baino lehen. 1.Antzekotasuna...orria 92 Antzeko figurak Talesen teorema Antzeko triangeluak
6 Antzekotasuna Helburuak Hamabostaldi honetan haue ikasiko duzu: Antzeko figurak ezagutzen eta marrazten. Triangeluen antzekotasunaren irizpideak aplikatzen. Katetoaren eta altueraren teoremak erakusten
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKAKO ARIKETAK 2. DBH 3. KOADERNOA IZENA:
MATEMATIKAKO ARIKETAK. DBH 3. KOADERNOA IZENA: Koaderno hau erabiltzeko oharrak: Koaderno hau egin bazaizu ere, liburuan ezer ere idatz ez dezazun izan da, Gogora ezazu, orain zure liburua den hori, datorren
Διαβάστε περισσότεραOrdenadore bidezko irudigintza
Ordenadore bidezko irudigintza Joseba Makazaga 1 Donostiako Informatika Fakultateko irakaslea Konputazio Zientziak eta Adimen Artifiziala Saileko kidea Asier Lasa 2 Donostiako Informatika Fakultateko ikaslea
Διαβάστε περισσότεραFuntzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK
Funtzioak FUNTZIO KONTZEPTUA FUNTZIO BATEN ADIERAZPENAK ENUNTZIATUA TAULA FORMULA GRAFIKOA JARRAITUTASUNA EREMUA ETA IBILTARTEA EBAKIDURA-PUNTUAK GORAKORTASUNA ETA BEHERAKORTASUNA MAIMOAK ETA MINIMOAK
Διαβάστε περισσότεραBilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak.
2006-2007 kurtsoa Seinale eta Sistemak I Bilboko Ingeniarien Goi Eskolan ematen den ikasgaiaren apunteak. Joseba Imanol Madariaga Longarai 2000-2006 Apunte hauek kopiatu, banatu eta aldatu ditzakezu ohar
Διαβάστε περισσότεραDiamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira:
1 Diamanteak osatzeko beharrezkoak diren baldintzak dira: T= 2,000 C eta P= 50,000 a 100,000 atmosfera baldintza hauek bakarrik ematen dira sakonera 160 Km-koa denean eta beharrezkoak dira miloika eta
Διαβάστε περισσότεραEmaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35; 0,32; 0,32; 2,2 atm; 2,03 atm; 2.03 atm c) 1,86; 0,043
KIMIKA OREKA KIMIKOA UZTAILA 2017 AP1 Emaitzak: a) 0,618; b) 0,029; 1,2 EKAINA 2017 AP1 Emaitzak:a) 0,165; 0,165; 1,17 mol b) 50 c) 8,89 atm UZTAILA 2016 BP1 Emaitzak: a) 0,148 mol; 6,35 atm; b) 0,35;
Διαβάστε περισσότερα6. GAIA: Oinarrizko estatistika
6. GAIA: Oinarrizko estatistika Matematika Aplikatua, Estatistika eta Ikerkuntza Operatiboa Saila Zientzia eta Teknologia Fakultatea Euskal Herriko Unibertsitatea Aurkibidea 6. Oinarrizko estatistika.......................................
Διαβάστε περισσότερα1. K a p itu lu a. Zenb a ki ko np lex u a k
1. K a p itu lu a Zeb a ki ko p lex u a k 1 1. K A P IT U L U A Z E N B A K I K O N P L E X U A K 1.1 Z e b a ki ko p le x u a re ko tzep tu a. Iku s d itza g u a d ibid e ba tzu k o a g ertze d e ze ba
Διαβάστε περισσότεραOREKA KIMIKOA GAIEN ZERRENDA
GAIEN ZERRENDA Nola lortzen da oreka kimikoa? Oreka konstantearen formulazioa Kc eta Kp-ren arteko erlazioa Disoziazio-gradua Frakzio molarrak eta presio partzialak Oreka kimikoaren noranzkoa Le Chatelier-en
Διαβάστε περισσότεραEstatistika deskribatzailea Excel-en bidez
Estatistika deskribatzailea Excel-en bidez Marta Barandiaran Galdos Mª Isabel Orueta Coria EUSKARA ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara Errektoreordetzaren dirulaguntza jaso
Διαβάστε περισσότερα1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 puntu)
UNIBERTSITATERA SARTZEKO HAUTAPROBAK 2004ko EKAINA ELEKTROTEKNIA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 2004 ELECTROTECNIA 1-A eta 1-8 ariketen artean bat aukeratu (2.5 1-A ARIKETA Zirkuitu elektriko
Διαβάστε περισσότεραTEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak
TEKNIKA ESPERIMENTALAK - I Fisikako laborategiko praktikak Fisikako Gradua Ingeniaritza Elektronikoko Gradua Fisikan eta Ingeniaritza Elektronikoan Gradu Bikoitza 1. maila 2014/15 Ikasturtea Saila Universidad
Διαβάστε περισσότεραAgoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 AGOITZ. Lan Proposamena
Agoitz DBHI Unitatea: JOKU ELEKTRIKOA Orria: 1 1. AKTIBITATEA Lan Proposamena ARAZOA Zurezko oinarri baten gainean joko elektriko bat eraiki. Modu honetan jokoan asmatzen dugunean eta ukitzen dugunean
Διαβάστε περισσότεραZirkunferentzia eta zirkulua
10 Zirkunferentzia eta zirkulua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Zirkunferentzian eta zirkuluan agertzen diren elementuak identifikatzen. Puntu, zuzen eta zirkunferentzien posizio erlatiboak
Διαβάστε περισσότεραEREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA
AIXERROTA BHI EREMU GRABITATORIOA ETA UNIBERTSOKO GRABITAZIOA 2012 uztaila P1. Urtebete behar du Lurrak Eguzkiaren inguruko bira oso bat emateko, eta 149 milioi km ditu orbita horren batez besteko erradioak.
Διαβάστε περισσότεραGAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK)
GAILU ETA ZIRKUITU ELEKTRONIKOAK. 2011/2015-eko AZTERKETEN BILDUMA (ENUNTZIATUAK ETA SOLUZIOAK) Recart Barañano, Federico Pérez Manzano, Lourdes Uriarte del Río, Susana Gutiérrez Serrano, Rubén EUSKARAREN
Διαβάστε περισσότεραDeixia. Anafora edota katafora deritze halako deixi-elementuei,
Deixia Jardunera edo gogora ekarritako erreferente bat (izaki, leku zein denbora) seinalatzen duen elementu linguistiko bat da deixia. Perpausaren ia osagai guztiek dute nolabaiteko deixia: Orduan etxe
Διαβάστε περισσότεραFisika. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula. Irakaslearen gidaliburua BATXILERGOA 2
Fisika BATXILEGOA Irakaslearen gidaliburua Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena,
Διαβάστε περισσότεραESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA (Praktika: Bigarren zatia) Irakaslea: JOSEMARI SARASOLA Data: 2013ko maiatzaren 31a. Iraupena: 90 minutu I. ebazkizuna Ekoizpen-prozesu batean pieza bakoitza akastuna edo
Διαβάστε περισσότεραMagnetismoa. Ferromagnetikoak... 7 Paramagnetikoak... 7 Diamagnetikoak Elektroimana... 8 Unitate magnetikoak... 9
Magnetismoa manak eta imanen teoriak... 2 manaren definizioa:... 2 manen arteko interakzioak (elkarrekintzak)... 4 manen teoria molekularra... 4 man artifizialak... 6 Material ferromagnetikoak, paramagnetikoak
Διαβάστε περισσότερα4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK
4. GAIA MASAREN IRAUPENAREN LEGEA: MASA BALANTZEAK GAI HAU IKASTEAN GAITASUN HAUEK LORTU BEHARKO DITUZU:. Sistema ireki eta itxien artea bereiztea. 2. Masa balantze sinpleak egitea.. Taula estekiometrikoa
Διαβάστε περισσότεραPROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA
PROZESU KIMIKOEN INSTRUMENTAZIO ETA KONTROLA Unai Iriarte Velaso EUSKARA ETA ELEANIZTASUNEKO ERREKTOREORDETZAREN SARE ARGITALPENA Liburu honek UPV/EHUko Euskara eta Eleaniztasuneko Errektoreordetzaren
Διαβάστε περισσότεραAntzekotasuna ANTZEKOTASUNA ANTZEKOTASUN- ARRAZOIA TALESEN TEOREMA TRIANGELUEN ANTZEKOTASUN-IRIZPIDEAK BIGARREN IRIZPIDEA. a b c
ntzekotasuna NTZEKOTSUN IRUI NTZEKOK NTZEKOTSUN- RRZOI NTZEKO IRUIK EGITE TLESEN TEOREM TRINGELUEN NTZEKOTSUN-IRIZPIEK LEHEN IRIZPIE $ = $' ; $ = $' IGRREN IRIZPIE a b c = = a' b' c' HIRUGRREN IRIZPIE
Διαβάστε περισσότεραUNITATE DIDAKTIKOA ELEKTRIZITATEA D.B.H JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. Helio atomoa ASKATASUNA BHI 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA
1. JARDUERA. KORRONTE ELEKTRIKOA. 1 1.- ATOMOAK ETA KORRONTE ELEKTRIKOA Material guztiak atomo deitzen diegun partikula oso ttipiez osatzen dira. Atomoen erdigunea positiboki kargatua egon ohi da eta tinkoa
Διαβάστε περισσότεραI. ebazkizuna (1.75 puntu)
ESTATISTIKA ENPRESARA APLIKATUA Irakaslea: Josemari Sarasola Data: 2017ko uztailaren 7a, 15:00 Iraupena: Ordu t erdi. 1.75: 1.5: 1.25: 1.5: 2: I. ebazkizuna (1.75 puntu) Bi finantza-inbertsio hauek dituzu
Διαβάστε περισσότεραEREDU ATOMIKOAK.- ZENBAKI KUANTIKOAK.- KONFIGURAZIO ELEKTRONIKOA EREDU ATOMIKOAK
EREDU ATOMIKOAK Historian zehar, atomoari buruzko eredu desberdinak sortu dira. Teknologia hobetzen duen neurrian datu gehiago lortzen ziren atomoaren izaera ezagutzeko, Beraz, beharrezkoa da aztertzea,
Διαβάστε περισσότερα5 Hizkuntza aljebraikoa
Hizkuntza aljebraikoa Unitatearen aurkezpena Unitate honetan, aljebra ikasteari ekingo diogu; horretarako, aurreko ikasturteetan landutako prozedurak gogoratuko eta sakonduko ditugu. Ikasleek zenbait zailtasun
Διαβάστε περισσότερα0.Gaia: Fisikarako sarrera. ARIKETAK
1. Zein da A gorputzaren gainean egin behar dugun indarraren balioa pausagunean dagoen B-gorputza eskuinalderantz 2 m desplazatzeko 4 s-tan. Kalkula itzazu 1 eta 2 soken tentsioak. (Iturria: IES Nicolas
Διαβάστε περισσότερα1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak
1.- SARRERA 1.1. Aire konprimituzko teknikaren aurrerapenak Aire konprimitua pertsonak ezagutzen duen energia-era zaharrenetarikoa da. Seguru dakigunez, KTESIBIOS grekoak duela 2.000 urte edo gehiago katapulta
Διαβάστε περισσότεραOxidazio-erredukzio erreakzioak
Oxidazio-erredukzio erreakzioak Lan hau Creative Commons-en Nazioarteko 3.0 lizentziaren mendeko Azterketa-Ez komertzial-partekatu lizentziaren mende dago. Lizentzia horren kopia ikusteko, sartu http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/es/
Διαβάστε περισσότεραZenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK HURBILKETAK ERROREAK HURBILKETETAN ZENBAKI ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK IRRAZIONALAK
Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien
Διαβάστε περισσότεραd 2 y dt 2 xdy dt + d2 x
y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf
Διαβάστε περισσότεραElementu baten ezaugarriak mantentzen dituen partikularik txikiena da atomoa.
Atomoa 1 1.1. MATERIAREN EGITURA Elektrizitatea eta elektronika ulertzeko gorputzen egitura ezagutu behar da; hau da, gorputz bakun guztiak hainbat partikula txikik osatzen dituztela kontuan hartu behar
Διαβάστε περισσότεραFisika BATXILERGOA 2. Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula
Fisika BATXILERGOA 2 Jenaro Guisasola Ane Leniz Oier Azula Obra honen edozein erreprodukzio modu, banaketa, komunikazio publiko edo aldaketa egiteko, nahitaezkoa da jabeen baimena, legeak aurrez ikusitako
Διαβάστε περισσότερα2011 Kimikako Euskal Olinpiada
2011 Kimikako Euskal Olinpiada ARAUAK (Arretaz irakurri): Zuzena den erantzunaren inguruan zirkunferentzia bat egin. Ordu bete eta erdiko denbora epean ahalik eta erantzun zuzen gehien eman behar dituzu
Διαβάστε περισσότεραAtal honetan, laborategiko zirkuituetan oinarrizkoak diren osagai pasibo nagusiak analizatuko ditugu: erresistentziak, kondentsadoreak eta harilak.
1. SARRERA Atal honetan, laborategiko zirkuituetan oinarrizkoak diren osagai pasibo nagusiak analizatuko ditugu: erresistentziak, kondentsadoreak eta harilak. Horien artean interesgarrienak diren erresistentziak
Διαβάστε περισσότεραBatxilergorako materialak. Logika sinbolikoa. Peru Urrutia Bilbao ISBN: Salneurria: 14 E
Batxilergorako materialak Logika sinbolikoa Peru Urrutia Bilbao ISBN: 9788445729267 9 788445 729267 Salneurria: 4 E Euskara Zerbitzua Ikasmaterialak Gabirel Jauregi Bilduma Batxilergorako materialak Logika
Διαβάστε περισσότεραMate+K. Koadernoak. Ikasplay, S.L.
Mate+K Koadernoak Ikasplay, S.L. AURKIBIDEA Aurkibidea 1. ZENBAKI ARRUNTAK... 3. ZENBAKI OSOAK... 0 3. ZATIGARRITASUNA... 34 4. ZENBAKI HAMARTARRAK... 53 5. ZATIKIAK... 65 6. PROPORTZIONALTASUNA ETA EHUNEKOAK...
Διαβάστε περισσότερα