PRIRODNI I CELI BROJEVI
|
|
- Καλλιστράτης Δημαράς
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 PRIRODNI I CELI BROJEVI Prvo matematičko znanje koje stičemo je znanje o prirodnim brojevima. U toku školovanja, u osnovnoj i srednjoj školi, stečeno znanje ne podvrgavamo kritici. Radimo sa nekim konkretnim prirodnim brojevima, ispitujemo svojstva koja imaju i pripisujemo ih svim prirodnim brojevima. Uvereni smo da možemo sabrati i pomnožiti bilo koja dva prirodna broja, da za sabiranje i množenje važe komutativni i asocijativni zakon i slično. Nedostatak koji imaju prirodni brojevi, da jednačina a + x = b nije rešiva u ovom skupu za b a, otklanjamo uvod enjem skupa celih brojeva. Slično, kao u slučaju prirodnih brojeva, prihvatamo da postoji zbir i proizvod svaka dva cela broja, a sabiranje i množenje celih brojeva učimo preko pravila. Ovim predavanjem će biti dat prikaz aksiomatske postavke skupa prirodnih brojeva i konstrukcije celih brojeva, koji će fiksirati našu intuiciju o brojevima i omogućiti rešavanje zadataka poput ovog i njemu sličnih: Dokazati: (1) = 4, = 5 + 3, 3 + ( 7) = 4, ( 2) ( 5) = 10, ( 2) 5 = 10. (2) Za svaka dva cela broja x i y važi x + y = y + x. (3) Za svaki ceo broj x važi x 2 0. Za razliku od (elementarne) geometrije, koja je aksiomatski zasnovana još u drevnoj Grčkoj (Euklid i drugi), aksiomatske postavke raznih vrsta brojeva su stare stotinak godina. Intuicija prirodnog broja bila je dovoljno čvrsta osnova aritmetike. Aksiomatizacijom aritmetike nije poljuljana sigurnost intuitivnog shvatanja broja. Zadatak aksiomatizacije aritmetike je njeno logičko oblikovanje: izdvajanje osnovnih aritmetičkih pojmova (odred ivanjem njihovih osnovnih svojstava) dovoljnih za izgradnju deduktivnog sistema aritmetike. Aksiomatizacija je izvršena u toku druge polovine 19. veka, a poznata je kao Peanova 1 aksiomatika. Dva su izvora Peanove aksiomatike. On sam kaže da je aksiome preuzeo od Dedekinda, i da se izgrad ujući deduktivni aritmetički sistem temeljen na tim aksiomama obilato služio Grassmannovim radom. Peano ih je formulisao u svom radu O pojmu broja, publikovanom godine. 1. Prirodni brojevi Svi se pisci razmatranja o brojevima slažu da su prirodni brojevi bili prvi apstraktni pojmovi kod ljudi. Brojanje istovrsnih predmeta, kao i dodavanje još jednog primerka zbirci istovrsnih primeraka, čini sigurnu osnovu za apstrakciju prirodnog broja. Prvi zapis o prelasku sa konkretnog brojanja na apstraktno datira iz godine p.n.e. Na jednoj sumerskoj glinenoj pločici prikazan je broj 33 pomoću tri kružića (desetice) i tri zareza (jedinice), zapisanih ispod kružića. Zajedno sa znakom za ćup, koji se nalazi pored, ceo zapis bi se mogao pročitati kao 33 ćupa ulja. Prirodni brojevi su poznat objekat N = {1, 2, 3,...}. Intuitivno se podrazumeva da iza svakog broja sledi broj, te da se nabrajanje može odvijati bez ograničenja. Oznaka N za skup prirodnih brojeva je prvo slovo latinske reči naturalis=prirodno. Radi jednostavnijeg dokazivanja potrebno je preciznije fiksirati našu intuiciju o brojevima. To ćemo učiniti koristeći Peanovu aksiomatiku. Peanova aksiomatika temelji deduktivni aritmetički sistem na trima osnovnim pojmovima: prirodan broj, sledbenik, 1. 1 Giuseppe Peano,
2 2 Aksiomatika prirodnih brojeva, koja se danas izlaže, se po formi donekle razlikuje od izvorne. Strukturu prirodnih brojeva uvodimo kao ured enu trojku (N,, 1), gde N je neprazan skup, (prim) je operacija dužine jedan i 1 je konstanta iz N, tako da važi: (P1) ( x)(1 x ). (1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja.) (P2) ( x, y)(x = y x = y) (Ako su sledbenici dva broja jednaki, onda su ta dva broja jednaka.) (P3) (Aksioma indukcije.) Ako je M N, koji zadovoljava uslove: (1) 1 M i (2) ( x)(x M x M), onda je M = N. Elemente skupa N zovemo prirodni brojevi i, na osnovu gornjeg, su to 1, 1, (1 ) ili 1, itd. U dekadnoj notaciji njihove oznake su redom 1, 2, 3, itd. Od posebnog je značaja uslov (P3), Aksioma indukcije. Na osnovu njega se dokazuje sledeće tvrd enje, poznato kao Princip matematičke indukcije. Tvrd enje 1 Neka je ϕ(n) tvrd enje koje zavisi od prirodnog broja n tako da važi: (i) ϕ(1) je tačno tvrd enje. (ii) Za svako n ako je ϕ(n) tačno, onda je i ϕ(n ) tačno tvrd enje. Tada, ϕ(n) je tačno tvrd enje za svaki prirodan broj n. Dokaz. Neka je M skup svih prirodnih brojeva za koje ϕ(n) je tačno tvrd enje. Tada, skup M zadovoljava pretpostavke u (P3) pa je, prema (P3), M = N. U nastavku dajemo osnovna svojstva strukture prirodnih brojeva, koja proizilaze iz navedenih uslova. Tvrd enje 2 Nijedan prirodni broj nije jednak svom sledbeniku. Dokaz. Pretpostavimo da za neko p N važi p = p. Uočimo skup M = N \ {p}. Pokazujemo da je narušen uslov (P 3). Zbog (P 1), p 1, pa važi 1 M. Dalje, ako je x M, onda je x p, pa je i x p = p, dakle, x M. Sledi da su ispunjene pretpostavke uslova (P3), pa je M = N što je, s obzirom na izbor skupa M, netačno. Tvrd enje 3 Broj 1 je jedini elemenat skupa N koji nije sledbenik nijednog prirodnog broja. Dokaz. Pretpostavimo da osim 1 postoji i prirodni broj q koji nije sledbenik nijednog prirodnog broja, tj. q x za svaki x N. Pokazaćemo da skup P = N \ {q} ne zadovoljava uslov (P3). Zaista, 1 P, a iz x P, očigledno, sledi x P. Dakle, skup P zadovoljava pretpostavke uslova (P3), ali je P N. U strukturi (N,, 1) definišu se binarne operacije sabiranja (+) i množenja ( ) na sledeći način. x + 1 := x x + y := (x + y) x 1 := x x y := (x y) + x Tvrd enje 4 Za svaka dva prirodna broja m i n, zbir m + n i proizvod m n su jedinstveno odred eni prirodni brojevi.
3 3 Dokaz. Dokazaćemo tvrd enje indukcijom po n. Neka je m proizvoljan prirodni broj. Neka je, zatim, M = {n N P (n)}, gde je P (n) svojstvo m+n je jedinstveno odred en prirodni broj, i S = {n N Q(n)}, gde Q(n) je svojstvo m n je jedinstveno odred en prirodni broj. Za n = 1, prema definiciji zbira (proizvoda), je m + 1 = m (m 1 = m), pa 1 M (1 S). Pretpostavimo da n M (n S). Dakle, m + n (m n) je jedinstveno odred en prirodni broj. Tada je i (m + n) jedinstven, jer je funkcija. Odatle je zbog m + n = (m + n) i m + n jedinstven, pa n M. Dakle, M = N. Iz m n = (m n) + m, pretpostavke da je m n jedinstveno odred en i, upravo dokazane, činjenice da je zbir svaka dva prirodna broja jedinstveno odred en, sledi da m n je jedinstveno odred en, pa n S. Dakle, i S = N. Tvrd enje 5 Za svaka tri prirodna broja x, y i z važi: (1) x 1 = 1 x = x (2) x + (y + z) = (x + y) + z (3) x + y = y + x (4) x (y + z) = (x y) + (x z) (5) (x + y) z = (x z) + (y z) (6) x (y z) = (x y) z (7) x y = y x. Dokaz. Sve jednakosti se dokazuju indukcijom po jednoj od promenljivih. Slede dokazi za (1), (2) i (4). (1) Prema definiciji proizvoda je x 1 = x. Jednakost 1 x = x dokazujemo indukcijom po x. Za x = 1 je, prema definiciji, 1 1 = 1. Neka je 1 x = x. Tada je 1 x = 1 x + 1 = x + 1 = x. (2) Indukcijom po z. Za z = 1, jednakost postaje x + (y + 1) = (x + y) + 1, a ovo je tačno po definiciji sabiranja, tj. zbog x + y = (x + y). Iz indukcijske pretpostavke x + (y + z) = (x + y) + z i definicije sabiranja sledi x + (y + z ) = x + (y + z) = (x + (y + z)) = ((x + y) + z) = (x + y) + z, pa jednakost pod (2) važi. (4) Indukcijom po z. Za z = 1, imamo x (y + 1) = x y = (x y) + x = (x y) + (x 1). Pretpostavimo da je x (y + z) = (x y) + (x z). Tada je x (y + z ) = x (y + (z + 1)) = x ((y + z) + 1) = x (y + z) = (x (y + z)) + x = ((x y) + (x z)) + x = (x y) + ((x z) + x) = (x y) + (x z ), čime je jednakost pod (4) dokazana. Tvrd enje 6 Dokazati da za svaka tri prirodna broja x, y i z važi: (1) x + z = y + z x = y i (2) x z = y z x = y. Dokaz (1) Dokaz se izvodi matematičkom indukcijom po z. Za z = 1 iz x + 1 = y + 1, odnosno, x = y sledi, prema (P2), da je x = y. Pretpostavimo da iz x+z = y+z sledi x = y, i da je x+z = y+z, tj. x+(z+1) = y+(z+1). Dakle, (x + z) + 1 = (y + z) + 1, odnosno (x + z) = (y + z), odakle, takod e, prema (P2) važi x + z = y + z, pa je prema induktivnoj pretpostavci x = y.
4 4 (2) Dokazujemo matematičkom indukcijom po x. Za x = 1, treba da dokažemo da iz 1 z = y z sledi y = 1. Pretpostavimo suprotno, da je y 1. Prema Tvrd enju 3, sledi da je y sledbenik nekog prirodnog broja. Neka je to broj u. Dakle, 1 z = (u + 1) z, pa je z = u z + z. Iz jednakosti gornjih brojeva sledi i jednakost njihovih sledbenika, pa je z + 1 = u z + z + 1. Iz komutativnosti i kancelacije za sabiranje (dokazane pod (1)) je 1 = u z + 1. Dobijena je kontradikcija jer 1 nije sledbenik nijednog prirodnog broja. Zato je y = 1. Pretpostavimo da tvrd enje važi za x, tj. da za svako y i z iz x z = y z sledi x = y. Neka je (x + 1) z = y z. Da je y = 1 bilo bi x + 1 = 1, slično kao u prvom koraku indukcije, što vodi do kontradikcije. Dakle, y 1, pa je y sledbenik nekog broja, recimo u. Dakle, (x + 1) z = (u + 1) z. Odavde sledi x z + z = u z + z, odnosno x z = u z, i prema induktivnoj pretpostavci x = u, odakle je x + 1 = u + 1 = y. Primetimo da je skup prirodnih brojeva beskonačan, tj. da se može bijektivno preslikati na neke od svojih pravih podskupova. Na primer, lako se proverava da je takvo preslikavanje n 2n, koje N preslikava na podskup parnih brojeva. Za skup koji je u bijekciji sa N, pa dakle i za sam skup N, kažemo da je prebrojivo beskonačan. Poredak na N Na skupu N definiše se ured enje (poredak), kao što sledi. Najpre, se definiše relacija < (manje): x < y ako i samo ( z)(x + z = y). Relacija (manje ili jednako) se, zatim, definiše na sledeći način: x y ako i samo ako x = y x < y. Tvrd enje 7 Relacija je relacija ured enja na skupu N. Dokaz. Treba pokazati da je relacija refleksivna, antisimetrična i tranzitivna. Refleksivnost (( x)(x x)): Po definiciji je x x, jer za svako x N važi x = x. Antisimetričnost (x y y x x = y): Neka je x y i y x. Tada su mogući sledeći slučajevi: (1) x = y i y = x; (2) x = y i y + v = x, za neko v N; (3) x + u = y, za neko u N i y = x; (4) x + u = y i y + v = x, za neke u, v N. U slučaju (1), antisimetričnost je zadovoljena. Ako važi (2), onda je x + v = x, odnosno x + v = x, pa je v = 1, što je netačno. Dakle, slučaj (2) je nemoguć. Slično se isključuju i (3) i (4). Sledi da je antisimetrična relacija. Tranzitivnost (x y y z x z): Ako je x y i y z, onda je moguće: (1) x = y i y = z; (2) x = y i y + v = z, za neko v N; (3) x + u = y, za neko u N i y = z; (4) x + u = y i y + v = z, za neke u, v N. Ako važi (1), onda je tranzitivnost ispunjena, jer je x = z. U slučaju (2) (slično i (3)) je x + v = z, pa je x z. U slučaju (4) je x + (u + v) = z, dakle, x z. Time je dokazano da je relacija ured enje na N.
5 5 Tvrd enje 8 Skup N je relacijom potpuno ured en. Dokaz. Dokazaćemo, indukcijom po x, da za svaka dva prirodna broja x i y važi uslov x y y x. Za x = 1 uslov se svodi na 1 y y 1. Ova formula je tačna, jer za y = 1 imamo 1 = 1, a za y 1 postoji z čiji je y sledbenik, tj. z = z + 1 = 1 + z = y i zato 1 y. Pretpostavimo da važi x y y x. Dakle, postoje tri mogućnosti: (1) x + u = y, za neko u N; (2) y + v = x, za neko v N i (3) x = y. U slučaju (1), ako je u = 1, onda je x = y, pa je x y. Ako je u 1, onda je u = w, pa je x + w = y, odnosno x + v + 1 = y, tj. x + v = y i zato x y. Ako važi (3), (slično za (2)) onda je y = x x + 1 = x, pa je u svim slučajevima i x uporediv sa y. Tvrd enje 9 Poredak je saglasan sa operacijama u N, tj. za svaki z N, iz x y sledi x + z y + z i x z y z. Poredak definisan je preko operacije sabiranja. Analogno se pomoću operacije množenja definiše drugi fundamentalni poredak na N, u oznaci (deli, je delitelj): x y ako i samo ako ( z)(x z = y). Tvrd enje 10 Relacija je poredak na N. Dokaz. Refleksivnost: x x jer je x 1 = x. Antisimetričnost: Iz x y i y x sledi x u = y i y v = x, za neke u, v N. Sledi x u v = x = x 1, pa je po kancelaciji u v = 1, odakle je u = v = 1 (dokaz se ostavlja slušaocima), tj. x = y. Tranzitivnost: Neka x y i y z. Sledi x u = y i y v = z, za neke u, v N. Tada je (x u) v = x (u v) = z, pa važi x z. Za razliku od relacije, poredak na N nije linearan, jer nisu svaka dva prirodna broja uporediva ovom relacijom. Takod e, ovaj poredak saglasan je sa množenjem, jer iz x y sledi x z y z, ali ne i sa sabiranjem: važi na pr. 3 6, ali nije tačno da deli Najzad, slušalac može, kao vežbu, dokazati da iz x y sledi x y. 2. Celi brojevi Celi brojevi su poznat objekat: Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Do njih se dolazi pomoću prirodnih brojeva, posebnom konstrukcijom koju opisujemo u nastavku. Simbol za nulu 0 pojavio se u Indiji u 9. veku. Na jednom natpisu u Gwalioru iz 876. brojevi 50 i 270 napisani su sa nulom. Poreklo samog znaka je neizvesno. Moguće je da je nastao kao asocijacija na prazan krug, ali je mnogo verovatnije da potiče od grčkog slova omikron O koje predstavlja inicijal grčke reči oύδ ɛν (ouden), što znači ništa. Pojam negativnih brojeva javlja se po prvi put u kineskoj matematici. Naime, u starokineskoj knjizi K iu-ch ang Suan-shu (Devet knjiga o matematičkoj veštini, oko 200. p.n.e. ali
6 6 možda i mnogo ranije, pre p.n.e.) iz perioda dinastije Han (202 p.n.e. 211 n.e.) negativni brojevi su zapisivani crnom bojom dok su pozitivni brojevi pisani crvenom bojom. Prvi napredak u razmatranju negativnih brojeva načinio je Fibonacci koji je interpretirao negativno rešenje u finansijskim problemima kao gubitak umesto zarade. Med utim, prvi koji je tretirao negativne brojeve na pravi način bio je italijanski matematičar Girolamo Cardan ( ). On je formulisao jednostavne zakone sa negativnim brojevima u svojoj knjizi Ars Magna (1545). Usvojio je simbol za negativan broj m : (m je od latinskog meno minus) tako da je pisao m : 5 za 5, dok je njegov kolega Raphael Bombelli koristio oznaku m.. Kao što smo pokazali u strukturi prirodnih brojeva (N, +, ), za svaka tri prirodna broja x, y i z važi: (1) x 1 = 1 x = x x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x x (y + z) = (x y) + (x z) (x + y) z = (x z) + (y z) x (y z) = (x y) z x y = y x. Takod e, za a < b jednačina (2) a + x = b ima rešenje u N. Ali, ova struktura ima i sledeći nedostatak: Jednačina (2) nije rešiva u N za prirodne brojeve a i b takve da je b a. Da bismo otklonili ovaj nedostatak, očigledno, neophodno je proširiti skup prirodnih brojeva, odnosno proširiti strukturu (N, +, ). O čemu treba voditi računa? 1. Svaka tri elementa x, y i z nove strukture zadovoljavaju (1). 2. Nedostatak (2) je otklonjen. 3. Konstruisana struktura je najmanja. Šta treba uraditi? Praktično, treba izmisliti nove brojeve koji su rešenja jednačine a+x = b. Neka je rešenje jednačine predstavljeno ured enim parom (a, b). Primetimo: U skupu N jednačine 2 + x = 5 i n + (2 + x) = n + 5 za proizvoljno n N imaju isto rešenje x = 3. Dakle, hoćemo da i u tom širem skupu jednačine a + x = b i n + a + x = n + b imaju isto rešenje, tj. da je x = (a, b) = (n + a, n + b). Neka jednačine a + x = b i c + x = d imaju isto rešenje. Tada, prema prethodnom, i jednačine c + a + x = c + b i a + c + x = a + d imaju isto rešenje. Iz c + a = a + c sledi c + b = a + d. Prema tome, u skupu N 2 smatraćemo jednakim parove (a, b) i (c, d) za koje važi: a + d = b + c. Upravo ovo će poslužiti za definiciju relacije na N 2 : (a, b) (c, d) a + d = b + c. Naredno tvrd enje dokazuje se direktno na osnovu ove definicije. Tvrd enje 11 je relacija ekvivalencije na skupu N 2. Klase ekvivalencije su opisane u definiciji relacije : jednu klasu čine ured eni parovi sa istim zbirovima unutrašnjih i spoljašnjih članova. Klasu ured enog para (a, b) označavaćemo sa C (a, b). Na količničkom skupu N 2 / definišemo operacije + i : C (a, b) + C (c, d) := C (a+c, b+d) i C (a, b) C (c, d) := C (ad+bc, ac+bd). Intuitivno obrazloženje za ove definicije je sledeće: zbir rešenja jednačina a+x = b i c+x = d
7 7 je rešenje jednačine a + c + x = b + d, a proizvod je rešenje jednačine ad + bc + x = ac + bd. Ovo se neposredno proverava. Tvrd enje 12 Operacije + i na N 2 / su dobro definisane. Dokaz. Za svake dve klase C (a, b) i C (c, d) postoji zbir, klasa C (a+c, b+d), jer uvek postoje odgovarajući zbirovi a+c, b+d. Ta klasa je jedinstvena. Ako se uzmu drugi predstavnici, (a 1, b 1 ) C (a, b) i (c 1, d 1 ) C (c, d), onda je a 1 + b = b 1 + a i c 1 + d = c + d 1, pa je (a 1 + c 1, b 1 + d 1 ) (a+c, b + d). Zato je C (a1 +c 1, b 1 +d 1 ) = C (a+c, b+d). Analogno zaključivanje važi i za proizvod klasa. Za C (a, b) i C (c, d) postoji klasa C (ad+bc, ac+bd) koja je po definiciji njihov proizvod. Dokazujemo njenu jedinstvenost. Za (a 1, b 1 ) C (a, b) i (c 1, d 1 ) C (c, d), iz a 1 +b = b 1 +a i c 1 +d = d 1 +c sledi a 1 d 1 +b 1 c 1 +ac+bd = a 1 c 1 +b 1 d 1 +ad+bc, pa je C (a1 d 1 +b 1 c 1, a 1 c 1 +b 1 d 1 ) = C (ad+bc, ac+bd). Bez obzira na izbor predstavnika, dobija se ista klasa kao proizvod. Tvrd enje 13 Za svaka tri elementa C (a, b), C (c, d), C (e, f) N 2 / važi: (1) C (a, b) + (C (c, d) + C (e, f) ) = (C (a, b) + C (c, d) ) + C (e, f) (2) C (a, b) + C (c, d) = C (c, d) + C (a, b) (3) C (a, b) + C (1, 1) = C (1, 1) + C (a, b) = C (a, b) (4) C (a, b) (C (c, d) C (e, f) ) = (C (a, b) C (c, d) ) C (e, f) (5) C (a, b) C (c, d) = C (c, d) C (a, b) (6) C (a, b) C (1,2) = C (1, 2) C (a, b) = C (a, b). (7) C (a, b) (C (c, d) + C (e, f) ) = (C (a, b) C (c, d) ) + (C (a, b) C (e, f) ) (8) (C (a, b) + C (c, d) ) C (e, f) = (C (a, b) C (e,f) ) + (C (c, d) C (e, f) ). Dokaz. (2) C (a, b) + C (c, d) = C (a+c, b+d) = C (c+a, d+b) = C (c, d) + C (a, b), jer je sabiranje komutativno u N. Sličnim rezonovanjem dokazuju se i (1), (4), (5), (7) i (8). Direktnom proverom se dokazuju (3) i (6). Klasa C (1, 1) je neutralni elemenat za sabiranje, a klasa C (1, 2) je neutralni elemenat za množenje. Element C (b, a) je suprotni elemenat za klasu C (a, b). Uočimo u skupu N 2 / podskup N = {C (1, 1+a) a N}. Jednostavno se proverava da je zbir i proizvod svaka dva elementa iz N, takod e, element ovog skupa. Dobijamo: C (1, 1+a) + C (1, 1+b) = C (1, 1+a+b) i C (1, 1+a) C (1, 1+b) = C (1, 1+ab). Neka je h : N N preslikavanje definisano sa: h(a) = C (1, 1+a). Ono je 1 1 jer različitim prirodnim brojevima odgovaraju različite klase (sledi iz definicije klase). h je na jer se u C (1, 1+a) preslikava prirodni broj a. Dokazujemo i da za svaka dva prirodna broja važi: slika zbira je zbir slika; slika proizvoda je proizvod slika. h(a + b) = C (1, 1+a+b) = C (1, 1+a) + C (1, 1+b) = h(a) + h(b); h(a b) = C (1, 1+a b) = C (1, 1+a) C (1, 1+b) = h(a) h(b). Šta nam ovo govori? Svaki prirodni broj ima jedinstvenog predstavnika u N. Svaki element iz N je predstavnik jednog i samo jednog prirodnog broja.
8 8 Element iz N koji je predstavnik zbira (proizvoda) ma koja dva prirodna broja je zbir (proizvod) njihovih predstavnika. Dakle, možemo identifikovati strukture (N, +, ) i (N, +, ) i, u tom smislu, smatrati (N, +, ) delom strukure (N 2 /, +, ). Pokazaćemo da je (N 2 /, +, ) najmanja struktura koja sadrži (N, +, ) i zadovoljava uslove (1). Neka je R proizvoljna struktura koja zadovoljava uslove (1) i sadrži N. Pokazaćemo da R sadrži N 2 /, tj. da je svaki C (a, b) N 2 / sadržan u R. Primetimo C (a, b) = C (1+a, 1) + C (1, 1+b). C (1, 1+b) R jer R sadrži N, ali i C (1+a, 1) R, kao suprotan element za C (1, 1+a), pa je i njihov zbir u R, tj. C (a, b) R. I na kraju uvodimo sledeće oznake: N 2 / = Z, i Z zovemo skupom celih brojeva. C (1, 1+a) = a, C (1+a, 1) = a, C (1, 1) = 0, C (a, b) = b a, (C (a, b) = ( a) + b = b + ( a).) Posmatrajmo zbir i proizvod u Z u svetlu novih oznaka: ( a) + b, ( a) + ( b), ( a) b, ( a) ( b), a, b N. 1. ( a) + b 1.1. a + k = b, k N ( a) + b = C (1+a, 1) + C (1, 1+b) = C (1+a, 1) + C (1, 1+a+k) = C (1+a+1, 1+1+a+k) = C (1, 1+k) = k; 1.2. a = b ( a) + b = C (1+a, 1) + C (1, 1+a) = C (1+a+1, 1+1+a) = C (1, 1) = 0; 1.3. a = b + k, k N ( a) + b = C (1+a, 1) + C (1, 1+b) = C (1+b+k, 1) + C (1, 1+b) = C (1+b+k+1, 1+1+b) = C (1+k, 1) = k. 2. ( a) + ( b) ( a) + ( b) = C (1+a, 1) + C (1+b, 1) = C (1+a+1+b, 1+1) = C (1+a+b, 1) = (a + b); 3. ( a) b ( a) b = C (1+a, 1) C (1, 1+b) = C (1+a+b+ab+1, 1+a+1+b) = C (1+ab, 1) = (ab). 4. ( a) ( b) ( a) ( b) = C (1+a, 1) C (1+b, 1) = C (1+a+1+b, 1+a+b+ab+1) = C (1, 1+ab) = ab. Tvrd enje 14 U skupu Z za svaki a, b, c, d Z i d 0 važi:. (1) a + c = b + c a = b; (2) a d = b d a = b. (3) a b = 0 a = 0 b = 0. Poredak na Z Kao i na strukturi (N, +, ), na strukturi (Z, +, ) uvodi se relacija < (manje): x < y ako i samo ako ( n N)(x + n = y). Za svaki prirodan broj n važi 0 < n. Zaista, 0 + n = n, n N. Relacija < ima i sledeća svojstva. Tvrd enje 15 Za svako x Z važi: (a) ako je 0 < x, onda je x < 0; (b) ako je x < 0, onda je 0 < x.
9 9 Dokaz. (a) Ako je 0 < x, onda je na osnovu definicije 0 + n = x, za neki n N, pa je ( x) n = ( x) + x, tj. ( x) + n = 0, dakle, x < 0. (b) Slično kao pod (a). U odnosu na relaciju <, sve cele brojeve možemo podeliti u tri disjunktne klase: klasu Z + koju čine prirodni ili pozitivni celi brojevi, skup {0} i klasu negativnih celih brojeva Z = {x x N}. Relaciju definišemo sa: x y ako i samo ako x = y x < y. Tvrd enje 16 Relacija je poredak na Z. Dokaz. Za svaki x Z važi x x, jer je x = x, pa je refleksivna relacija. Da bismo dokazali antisimetričnost, pretpostavimo da je x y i y x. Pokazaćemo da od slučajeva : x = y, x = y x < y, x = y y < x i x < y y < x jedini moguć je x = y. Posmatrajmo slučaj x < y i y < x (prethodna dva se analiziraju slično). Dakle, neka je x+u = y i y + v = x, za neke u, v N. Sledi x = x + u + v, tj. x + 1 = x + u + v + 1, pa je na osnovu kraćenja, 1 = u + v + 1 = (u + v), što je netačno. Tranzitivnost se dokazuje na isti način kao u N. Tvrd enje 17 Poredak na Z je: (1) Potpun, tj. za sve x, y, z Z, x y ili y x; (2) Saglasan sa operacijama tj. iz x y sledi x + z y + z i iz x y i 0 t sledi x t y t. Dokaz. (1) S obzirom da je jednačina x + u = y rešiva u Z za svaki x, y Z, to postoji z Z takav da je x+z = y. Ako je z = 0, onda je x = y. Ako je 0 < z, onda je, po definiciji relacije <, x < y. Ako je z < 0, onda je 0 < z, pa s obzirom da iz x + z = y sledi x + z + ( z) = y + ( z), tj. x = y + ( z), to je y < x. (2) Dokaz se ostavlja slušaocima. Sa (veće ili jednako) označava se poredak dualan relaciji : x y ako i samo ako y x. Odatle i oznaka x > y, kao zamena za x y x y. Tvrd enje 18 Za svaka dva cela broja x i y važi: x y > 0 ako i samo ako (x > 0 y > 0) (x < 0 y < 0). Dokaz. Ako je x y > 0, onda je xy 0, pa je x 0 i y 0. Neka su x i y u različitim klasama, recimo, x < 0 i y > 0. Tada je x > 0, pa je ( x) y = (x y) > 0, odnosno, x y < 0, što je netačno. Obratno, ako je x > 0 i y > 0, onda je na osnovu prethodnog tvrd enja, x y > x 0, tj. x y > 0. Ako je x < 0 i y < 0, onda je x > 0 i y > 0, pa je ( x) ( y) > 0. Odavde, i iz ( x) ( y) = x y sledi x y > 0. Za svaki ceo broj x važi x 2 0. dr Snežana Ilić, prof. PMF-a u Nišu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραU raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραRelacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραNeka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo
FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Διαβάστε περισσότεραAlgebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότερα10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραElementarna matematika - predavanja -
Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOn predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.
Διαβάστε περισσότερα1. Dušan Adnad ević i Zoran Kadelburg, Matematička analiza I, Naučna knjiga, Beograd, 1990.
PREDGOVOR Predavanja su namenjena studentima koji polažu ispit iz predmeta Matematička analiza. Materijal je u nastajanju, iz nedelje u nedelju se dodaju novi sadržaji, moguće su i izmene u prethodno unešenom
Διαβάστε περισσότεραAksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.
Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραSKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραDimenzija vektorskog prostora
UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Marija Delić Dimenzija vektorskog prostora -master rad- Mentor: Akademik Prof. dr Stevan Pilipović Novi Sad,
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSkupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότερα(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)
Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα1 Svojstvo kompaktnosti
1 Svojstvo kompaktnosti 1 Svojstvo kompaktnosti U ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu. Na primer, važi Kantorov princip:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo
1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 1 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo U predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.
Διαβάστε περισσότεραx n +m = 0. Ovo proširenje ima svoju manu u tome da se odričemo relacije poretka - no ne možemo imati sve...
1 Kompleksni brojevi Kompleksni brojevi Već veoma rano se pokazalo da je skup realnih brojeva preuzak čak i za neke od najosnovnijih jednačina. Primjer toga je x n +m = 0. Pokazat ćemo da postoji logično
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 2
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραBinarne relacije. Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije.
Binarne relacije Definicija. Uopštena binarna relacija je uredjena trojka (A, B, ρ) gde je ρ A B; (A, B) je tip ove binarne relacije. Kaže se i da je ρ binarna relacija sa skupa A u skup B (kao u [MP]).
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραPREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA
PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότερα1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραTvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.
Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSkup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }
VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNE FUNKCIJE
1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMatematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραSistemi veštačke inteligencije primer 1
Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost
Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ
Διαβάστε περισσότερα