ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ"

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Μάθηµα: Η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΟΝ 21 ο ΑΙΩΝΑ ιδάσκοντες: Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΣ Εργασία: 1 Φοιτητής Ονοµατεπώνυµο: ΚΟΝΟΜΗ ΜΠΛΕΝΤΑΡ Α.Μ.: s Ηµεροµηνία Υποβολής: 11/09/2004

2 Εισαγωγή Θέλω να ξεκινήσω αυτή την εισαγωγή µε τη φράση που είναι και η αιτία της απόφασης να ασχοληθώ µε το θέµα αυτό. Correlation does not imply causation Η συσχέτιση δεν συνεπάγεται αναγκαστικά τη σχέση αιτίου-αποτελέσµατος, λένε οι στατιστική που ασχολούνται µε το θέµα. Πολλές επιστήµες έχουν ασχοληθεί µε το θέµα αυτό, όπως Φιλόσοφοι, Οικονοµολόγοι, Κοινωνιολόγοι, Βιολόγοι και τα τελευταία χρόνια όλο και ποιό πολλή στατιστικοί. Η δικά µου γνώµη είναι πως: Από τη στιγµή που η ερώτηση µπορεί να γίνει στη µορφή µιας µηδενικής υπόθεσης τότε η στατιστική πρέπει να παίξει το κυριότερο ρόλο στη πρακτική και φιλοσοφική προσέγγιση. (στη συγκεκριµένη περίπτωση η ερώτηση είναι:εάν το t είναι αιτία ή όχι). Υπάρχουν δυο προσεγγίσεις τις οποίες ο Holland θέλει να ξεκαθαρίσει από την αρχή: η ερώτηση που τίθεται είναι εάν θα πρέπει να δούµε την επίδραση της αιτίας ή την αιτία µίας επίδρασης. Και οι δυο αυτές ερώτησης είναι σπουδαίες αλλά θεωρώ ότι ποιό πρακτική, ποιό καλά ορισµένη και αυτό που η στατιστική µπορεί να απαντήσει αποτελεσµατικά είναι η πρώτη προσέγγιση. Αυτό ακριβός συµµερίζεται και ο Holland και το εξηγεί αυτό σε όλο του το άρθρο. Όπως χαρακτηριστικά λέει The emphasis here will be on meaning the effect-f causes because this seems to be a place where statistics, which is concerned with measurement, has contributions to make. Η σειρά των θεµάτων που θα παρουσιάσω είναι αυτή που ακολουθεί ο Holland αλλά µε κάποιες δικές µου παρεµβάσεις θα προσπαθήσω να δώσω µια άλλη οπτική γωνιά στο θέµα. Μοντέλα για συσχέτιση Ορίζουµε ένα µοντέλο συσχέτισης σε ένα πληθυσµό U τις µονάδες του οποίου τις συµβολίζουµε µε u. (παρακάτω θα δώσω ένα ορισµό του u). Σε κάθε u µπορούµε να µετρήσουµε ή καλύτερα να ορίσουµε µια µεταβλητή Υ. Εάν το Υ είναι µεταβλητό τότε προσπαθούµε να εξηγήσουµε αυτή τη µεταβλητότητα. Έστω Α µια άλλη µεταβλητή η οποία ορίζετε όπως και το Υ σε όλα τα u. Από αυτές τις δυο τιµές µπορούµε να βρούµε την από κοινού κατανοµή, τις δεσµευµένες πιθανότητες ή να φτιάξουµε ένα µοντέλο παλινδρόµησης που δεν είναι τίποτα άλλο από τη Ε(Υ/Α) σε σχέση µε το Α.Ο χρόνος εδώ παίζει σηµαντικό ρόλο από την άποψη της µη µεταβολής του πληθυσµού ή καλύτερα της ορισιµότιτας του πληθυσµού U και να δώσει έννοια στις µεταβλητές. Αυτό µε την έννοια ότι εάν τα u παραµένουν αµετάβλητα στο χρόνο τότε πάντοτε τα αποτελέσµατα ισχύουν. Για αυτό ουσιαστικά θα πρέπει να δώσουµε το χρονικό της έρευνας.( κάθε έρευνα ισχύ σε ένα σχετικό χρόνο. Ό χρόνος αυτός εξαρτάτε από το ρυθµό µεταβολής του πληθυσµού.). Στο causal inference θα δούµε ένα ποιο κύριο ρόλο του χρόνου από εδώ. Μοντέλα Rubin για Causal Inference Κατά κύριο ρόλο θα ασχοληθούµε µε την αιτιατή συµπερασµατολογια σε πειραµατικά µοντέλα. Αυτό δεν γίνετε επειδή οι άλλες έρευνες δεν µπορούν να αποδείξουνε κάτι τέτοιο αλλά στα πειραµατικά µοντέλα αυτό είναι ποιο εύκολο και ποιο πρακτικό. (π.χ. στα πειραµατικά µοντέλα µπορούµε να ελέγξουµε την ανεξαρτησία του S µε Υc και Υt όπως θα δούµε στη συνέχεια ή δεν περιµένουµε επ-αόριστων για να συµβεί ένα treatment). Όπως και στα µοντέλα συσχέτισης και εδώ πρέπει να ορίσουµε ένα πληθυσµό U από µονάδες u πάνω στα οποία θα εφαρµόσουµε τα treatment. Θα ασχοληθούµε µε treatment για να έχουµε τη δυνατότητα σύγκρισης µε άλλα επίπεδα. Όπως επισηµαίνει

3 και ο Holland όταν λέµε Α προκαλεί το Β σηµαίνει ότι Α προκαλεί Β σε σύγκριση (σχέση) µε κάποιο άλλο επίπεδο που είναι όχι Α. εν µπορούµε να ορίσουµε αιτιατή συµπερασµατολογια εάν δεν έχουµε περισσότερα από ένα επίπεδα. Αυτή είναι µια πολλή έξυπνη παρατήρηση από τον Holland γιατί καταφέρνει να ορίσει ουσιαστικά την αιτία. Η αιτία ποια δεν είναι µια αυθαίρετη έννοια. Με αυτή τη παρατήρηση ο Holland κάνει τη στατιστική κύρια επιστήµη για τη µελέτη του αιτίου. Παρακάτω θα δούµε µε αυτή ακριβός τη λογική ποια µπορεί να θεωρηθεί αιτία. Πρόχειρα µπορούµε να πούµε πως: Για αιτιατή συµπερασµατολογια θα πρέπει να έχουµε τη δυνατότητα κάθε µονάδα να την εκθέτουµε σε οποιαδήποτε αιτία ή treatment. Θα χρησιµοποιήσουµε για ευκολία µόνο δυο αιτίες ή treatments. S είναι µια µεταβλητή η οποία µετράει την τιµή των αιτίων. Εάν S=t αυτό σηµαίνει πως η µονάδα u την εκθέτουµε στο treatment t και εάν S=c αυτό σηµαίνει πως τη µονάδα την εκθέτουµε στο control c. To S είναι ανάλογο µε το Α που είδαµε στη συσχέτιση αλλά µε τη διαφορά ότι S(u) εκθέτη τη u σε µια αιτία ενώ Α(u) είναι µια ιδιότητα ή χαρακτηριστικό του u. Το S(u) µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή ενώ το Α(u) παίρνει µια µοναδική τιµή. Ο χρόνος τώρα έχει ένα σηµαντικότατο ρόλο όταν µια µονάδα την εκθέτουµε σε µια αιτία αυτό πρέπει αν συµβεί σε ένα συγκεκριµένο χρόνο ή περίοδο. Οι µεταβλητές τώρα διακρίνονται σε pre-exposure- που η τιµή ορίζετε (µετριέται) πριν από την έκθεση στην αιτία και τα post-exposure που οι µεταβλητές ορίζονται (µετριούνται) µετά από την έκθεση του u σε µια αιτία. Ο ρόλος του Υ εδώ είναι να µετρήσουµε την επίδραση της αιτίας και είναι post-exposure µεταβλητή. Το Υ είναι µια κατάλληλα επιλεγµένη µεταβλητή (θα πρέπει να ξεκαθαρίσουµε ότι το Υ δεν µπορεί να είναι µια ιδιότητα µε τον ορισµό που δίνει σε αυτή ο Holland) ο οποίος ορίζετε για κάθε units µονάδα. Για να µπορέσουµε να δούµε την αιτία θα πρέπει να µετρήσουµε τις τιµές των Υ όταν εφαρµόζουµε κάθε treatment.όταν έχουµε ένα treatment (t) και ένα control (c) τότε θα πρέπει να µετρήσουµε δύο τιµές Υt(u) και Υc(u) στην ίδια µονάδα. Αυτό ουσιαστικά είναι η µετάφραση της ερώτησης εάν στο u αντί για c βάζαµε t τότε θα είχαµε την ίδια τιµή του Υ? Που πρώτη στο επιστηµονικό πεδίο τη θέσανε ο Neyman και ο Fisher. (στη περίπτωση µας το Υ είναι post-exposure και το S είναι pre-exposure). Θα πρέπει εδώ να ανοίξω µια παρένθεση για να ορίσω µε ένα διαφορετικό τρόπο από ότι ο Holland το u. Θέλω από την αρχή να ξεχωρίσω το u σαν ύπαρξη και το u σαν ουσία. Το υπαρξιακό u είναι ο ίδιος άνθρωπος µετά από 30 χρόνια και το ουσιαστικό u είναι µια µονάδα που έχει ίδιες µεταβλητές. Πιστεύω πως ο Holland µε το u εννοεί το ουσιαστικό u. Το u παραµένει αµετάβλητο όταν όλες οι µεταβλητές εκτός του S και Υs παραµένουν ίδιες. (ίδιες µεταβλητές => ίδιο u). εύτερων θα πρέπει να προσέξουµε πως εάν στο ίδιο υπαρξιακό u δεν µεταβάλλονται οι µεταβλητές, δηλαδή το υπαρξιακό= ουσιαστικό, τότε οποτεδήποτε εφαρµόζουµε το c ή t θα πάρουµε την ίδια τιµή του Y. ( όταν έχουµε δοθέντος όλων των τότε δεν µπορεί να υπάρχει τυχαιοτιτα, η τυχαιοτιτα δηµιουργείτε όταν δεν παίρνουµε υποψιών κάποια µεταβλητή. Ακόµα και στα ζάρια εάν προσδιορίζουµε το έδαφος, τη ταχύτητα που θα φύγει το ζάρι από το χέρι, των τρόπο µε τον οποίο ρίχνουµε,..(όλες οι δυνατές µεταβλητές) τότε θα ήµασταν σε θέση να βρούµε τη τιµή που θα έχει το ζάρι). Άρα όταν εφαρµόζω c και στη διάρκεια µέχρι να πάρω το Υ δεν αλλάζει κάποια άλλη µεταβλητή τυχαία θα πάρω πάντα το ίδιο Υ.

4 Όταν γράφουµε Υt(u)=Y(t,u) σηµαίνει: η τιµή του Υ στο u όταν εκθέτω το u στο t treatment και Υt(u)=Y(t,u) η τιµή του Υ στο u όταν εφαρµόζουµε c. Την επίδραση της αιτίας t στο u σε σχέση µε την αιτία c είναι η διαφορά µεταξύ Υt(u) και Υc(u). ηλαδή: Επίδραση της αιτίας t στο u=υt(u)-yc(u) Αυτή η διαφορά δεν επιβάλετε να είναι ίδια σε όλα τα u. Αυτό γιατί η επίδραση της αιτίας µπορεί να είναι διαφορετική από δέσµευση σε δέσµευση. Όταν η διαφορά δεν θα είναι ίδια εγώ θα την ονοµάσω αλληλεπίδραση. Το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε συνήθως στην αιτιατή συµπερασµατολογία είναι ότι δεν µπορούµε να έχουµε τις δυο µεταβλητές Υt(u) και Yc(u) στην ίδια µονάδα unit. Αυτό το πρόβληµα ο Holland το αποκαλεί The FUNDAMENTAL PROBLEM OF CAUSAL INFERENCE. ίνει µάλιστα και δυο παραδείγµατα στα οποία στο ένα αντιµετωπίζουµε το πρόβληµα και στο άλλο όχι. Το πρώτο αφορά δυο εκπαιδευτικές µεθόδους που δεν µπορούν να εφαρµοστούν στο ίδιο άτοµο και το δεύτερο είναι µε το διακόπτη και το φως που µπορούµε να εφαρµόσουµε στην ίδια µονάδα και τα δυο treatment. Θέλω εδώ να προσθέσω και δυο άλλα παραδείγµατα που µπορούµε να τα βρούµε στα σχόλια του Rubin στη σελ. 61. Στα παραδείγµατα αυτά δεν µπορούµε να µετρήσουµε τη τιµή του Υ σε ένα από τα treatment. Από αυτά τα παραδείγµατα µπορούµε να συµπεράνουµε πως ακόµα και εάν η τιµή του Υ δεν µπορεί να µετρηθεί (οριστεί) αλλά να προβλεφθεί πλήρως µπορούµε να έχουµε causal inference (αρκεί η πρόβλεψη να µπορεί να καθορίσει τη τιµή του Υ). Χαρακτηριστικά ο Rubin αναφέρει τα δυο παρακάτω παραδείγµατα: The sun cause the planet to travel in their orbit (1) If John Doe had been born a famel, (2) His life would have been diferent Και τα δυο αυτά π.χ. µπορούν να εκφραστούν σαν µηδενικές υποθέσεις του Fisher. Για να αντιµετωπίσουµε το F.P.o.C.I o Hollland χωρίζει το αιτιατό συµπέρασµα σε δυο κατηγορίες. Επιστηµονική προσέγγιση που πρέπει αν µετρήσουµε όλες τις τιµές Υt(u) και Yc(u) για κάθε u και να βρούµε τη διαφορά Υt(u)- Yc(u). Που φανερά το πρόβληµα δεν αντιµετωπίζετε. Στατιστική προσέγγιση που ορίζουµε τη µέσο όρο επίδραση του αιτίου πάνω στο πληθυσµό U. E(Yt-Yc)=T => E(Yt)- E(Yc)=T Όπου E(Yt) είναι η µέση τιµή του Υt στο U και Ε(Υt) είναι η µέση τιµή του Υc στο U. Αυτή η προσέγγιση ξεπερνάει την αδυναµία να έχουµε την επίδραση της αιτίας στα µεµονωµένα στοιχεία και έχει τη δυνατότητα να µετρήσει την κατά µέσο όρο επίδραση της αιτίας. Με τη στατιστική λύση έχουµε τη δυνατότητα αν ξεπεράσουµε το F.P.o.C.I. όπως θα δούµε στη συνέχεια. Το µοντέλο του Rubin περιλαµβάνει τρις µεταβλητές που είναι S, Yc και Yt. Συνήθως µπορούµε να παρατηρήσουµε µόνο δυο, S και Ys. To Ys o Holland το αποκαλεί The observed response variable παρατηρούµενη εξαρτηµένη µεταβλητή.

5 Όταν κάνουµε αιτιατή συµπερασµατολογια θα πρέπει να διακρίνουµε µεταξύ (α)τη τιµή του Υ (β)τις δυο εκδοχές της εξαρτηµένης µεταβλητής Υt, Yc και (c) στη παρατηρούµενη απαντητική µεταβλητή Υs. Θα πρέπει να τονίσουµε σε αυτό το σηµείο τις διαφορές που υπάρχουν µεταξύ συµπερασµατολογικης συσχέτισης associational inference και Rubin Model. Θα χρησιµοποιήσουµε τους συµβολισµούς (Α,Υ) και (S,Ys) για συσχέτιση και αιτία αντίστοιχα. Α και Υ είναι απλός µεταβλητές ορισµένες στα u του U ενώ S και Υs προϋποθέτει το S να συµβεί πριν από το Υs και τα treatment πρέπει να τα εφαρµόσουµε σε όλα τα unit u. Αυτή η εφαρµογή µπορεί να γίνει τυχαία ή όχι. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι το Rubin Model είναι τετραδιάστατο R=(U,K,Y,S) όπου U o πληθυσµός των µονάδων u, K είναι τα treatment και S(u) είναι η αιτία ή τα treatment στην οποία τα u εκτίθενται πριν (prior) από τη µέτρηση των Υ. Κάθε απαντητική µεταβλητή Υ θα πρέπει να θεωρηθεί σαν µια συνάρτηση του U*K. Ο Holland δίνει ένα ορισµό για την ιδιότητα τον οποίο θέλω λίγο να το συζητήσω If the value of X(u,k) does not depend on which cause k to which u is exposed I shall call X an attribute of. Αυτός ο ορισµός για µένα είναι λίγο σχετικός γιατί µπορεί να µην επηρεάζεται το Χ στο ίδιο u όταν το k διαφέρει όµως εάν πάρουµε µια άλλη πιθανή αιτία S και το Χ διαφέρει τότε το Χ δεν είναι µια ιδιότητα. Π.χ. το ύψος ενός ανθρώπου µπορεί να µην διαφέρει εάν αυτός κάνει ιδιαίτερα µαθήµατα ή όχι αλλά µπορεί να επηρεάζεται από τη διατροφή του. Μπορούµε να πούµε όµως για κάθε δυνατό αίτιο που µπορεί να εµφανιστεί να ισχύει ο παραπάνω ορισµός. Σε αυτό το σηµείο ας δούµε κάποιες ιδικές περιπτώσεις που µπορούµε να έχουµε αιτιατή συµπερασµατολογία. (1) Temporal Stability and Causal Transience Συµβαίνει όταν (α) το Υc(u) δεν εξαρτάτε από το πότε έχουµε εκθέσει το u στο c και (β) όταν το Yt(u) δεν εξαρτάτε από το εάν έχουµε εκθέσει το u πριν στο c. Το Temporal Stability ικανοποιείτε από (α) και Causal Transience από (β). Το µόνο που πρέπει να προσέξουµε είναι να µπορούµε να καταφέρουµε να µην µεταβάλετε καµία άλλη µεταβλητή µε το χρόνο και να µην µεταβάλετε όταν εφαρµόζουµε το c στο u ή για πρακτικούς λόγους να θεωρήσουµε πως η µεταβολή είναι µη σηµαντική από την άποψη ότι η µεταβολές δεν δηµιουργούν αλληλεπιδράσεις µεταξύ Υs και S. (2) Unit Homogenity Εάν θεωρήσουµε πως Υt(u1)=Yt(u2) και Υc(u1)=Yc(u2) για τις δυο µονάδες u1, u2. Τότε µπορούµε να βρούµε την επίδραση της αιτίας και στα δυο u από τη διαφορά Yt(u1)-Yc(u2). (3) Independence-Ανεξαρτησία Είναι πιστεύω ο ποίο σηµαντικός και γενικός τρόπος για να βγάλουµε αιτιατή σηµπερασµατολογια. Όταν ο Holland ξεχώριζε σε επιστηµονική και στατιστική προσέγγιση ίσος είχε στο µυαλό του αυτή ακριβός τη µέθοδο. Για να έχουµε καλά

6 αποτελέσµατα αυτής της µεθόδου θα πρέπει το U να είναι πολλή µεγάλο.(όταν το U µικρό τότε η µέθοδος µπορεί να αποτύχει). Οι παρατηρούµενες παρατηρήσεις έχουν τη µορφή (S,Ys) και µπορούµε να έχουµε πληροφορίες µόνο για τα : E(Ys/S=t)=E(Yt/S=t) και E(Ys/S=c)=E(Yc/S=c) Θα πρέπει να διακρίνουµε ότι Ε(Yt) δεν είναι ίσο µε το E(Yt/S=t). Η πρώτο είναι η µέση τιµή του Υt για όλο το πληθυσµό και η δεύτερη είναι η µέση τιµή του Υt για τα u που εκτίθενται στην αιτία. π.χ. εάν S(u)=t για όλα τα Yt(u) που είναι µικρά, τότε Ε(Yt/S=t) θα είναι µικρότερο από το Ε(Yt). Αυτό συµβαίνει διότι η δεσµευµένες µεταβλητές δεν είναι ίδια στα δυο grup, ή αλός δεν είναι τυχαία κατανεµηµένα. Εάν εκθέτουµε το u τυχαία στα treatment τότε καταφέρνουµε να οι (δεσµευµένες) µεταβλητές αν είναι τυχαία επιλεγµένα για το t και για το c εποµένως S είναι ανεξάρτητο από τα Yt και Yc (αυτό δεν σηµαίνει S ανεξάρτητο µε Ys) και από όλες τις άλλες µεταβλητές πάνω στη u. Αυτή είναι ουσιαστικά η υπόθεση ανεξαρτησίας. Όταν ισχύ η ανεξαρτησία µπορούµε να γράψουµε: Ε(Υt)=E(Yt/S=t) και E(Yc)=E(Yc/S=c) Κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας µπορούµε να υπολογίσουµε το µέσο όρο της επίδρασης της αιτίας που είναι: Τ=Ε(Υs/S=t)-E(Ys/S=c) Για να ξεχωρίσουµε αυτό το Τ από το ακριβές και όταν η ανεξαρτησία δεν ισχύει ο Holland δανείζεται από τον Suppes το prima facie causal effect του t (σε σχέση µε το c) Tpf=E(Yt/S=t)-E(Yc/S=c) => Tpf=E(Ys/S=t)-E(Ys/S=c) H ανεξαρτησία σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι έχουµε µεγάλο (ή άπειρο) πληθυσµό µπορούµε αν υποστηρίξουµε τη σχέση Τ=Τpf. Tpf => µπορούµε να βγάλουµε από όλα τα µοντέλα ANOVA και µε δεδοµένο ότι η επιλογή (των treatment) γίνετε τυχαία το µοντέλο είναι µοντέλου αιτίου αποτελέσµατος. (4) Constant Effect- Σταθερή επίδραση Η σταθερή επίδραση προϋποθέτει απλός σε κάθε u η διαφορά Υt(u)-Yc(u) να είναι ίδια. Τ=Yt(u)-Yc(u) για κάθε u στο U Αλλιώς αυτό λέγετε και προσθετικός µοντέλο. Η υπόθεση αυτή είναι πολλή σηµαντική επειδή στατιστική και επιστηµονική προσέγγιση ταυτίζονται, µπορούµε να βρούµε την επίδραση της αιτίας σε κάθε µονάδα του πληθυσµού ξεχωριστά π.χ. εάν έχουµε δυο φάρµακα και θέλουµε να χορηγήσουµε ένα σε κάποιο άτοµο δεν είναι ανάγκη να δούµε τη χαρακτηρίσθηκα χαρακτιριστικά έχει το άτοµο για να δούµε ποίο είναι κατάλιλο για αυτόν. Η υπόθεση της σταθερής επίδρασης µπορεί να ελεγχθεί µε το κλασσικό τρόπο: ιαιρούµε το U σε U1,U2,U3 και υπολογίζουµε τα Τ1,Τ2,Τ3.. και ελέγχουµε εάν αυτά τα Τi διαφέρουν ή όχι. Σε αυτό το σηµείο θα πρέπει να εισάγουµε τα δικαιολογηµένα παράπονα του Cox για το ότι η δέσµευση δεν είναι ολοκληρωτική. (σελ.963). Την απάντηση τη στο ίδιο άρθρο ο Holland (σελ.969) λέγοντας πως εάν Χ µια ιδιότητα ή ενδιαφέρουσα µεταβλητή είµαστε

7 σε θέση να δούµε για διαφορετικά Χ το Constant effect assumption αλλά όχι µέσα στις δεσµεύσεις που είναι : Τ(x)=Yt(u)-Yc(u) για όλα τα u τα οποία έχουν Χ(u)=x. Εύκολα αποδεικνύετε ότι το Constant effect assumption ικανοποιείτε από το Unit Homogenity και µπορεί να θεωρηθεί σαν µια ποίο αδύναµη υπόθεση από αυτήν. Ακόµα και όταν έχουµε υποθέσει σταθερή επίδραση το Τpf δεν ισούται µε το Τ. Αυτό ικανοποιείται µόνο µε την υπόθεση ανεξαρτησίας όπως γίνετε αντιληπτό από τη σχέση: Τpf=T+{E(Yt/S=t)-E(Yc/S=c)} Τέλος µπορούµε και όταν δεν έχουµε τυχαιότητα να βγάλουµε σχέσεις αρκεί να ικανοποιούνται κάποιες άλλες υποθέσεις. Θα αφήσω το φιλοσοφικό κοµµάτι για ποίο µετά, πριν θέλω να κάποιες προσεγγίσεις στατιστικών. Ο Kempthorue το (1952) συζητάει για τυχαιοποιηµένο block designs. Αυτό κατά τη γνώµη µου είναι ουσιαστικά να βρούµε το πραγµατικό Τ αλλά και το επιστηµονικό causal effect για κάθε u, εφόσον βέβαια κάθε block περιλαµβάνει ίδια ουσιαστικά unit (πολλές φορές τα block έχουν σχεδόν ίδια unit). Τα radomized block designs µπορούν να αντιµετωπίζουν το πρόβληµα του Causal Inference. To (1958) o Cox δείχνει να έχει συνειδητοποιήσει σε ένα από τα βιβλία του (the planning of experiments) την ύπαρξη δυο (ή περισσότερων) µεταβλητών στην ίδια µονάδα. Χαρακτηριστικά λέει πως εάν την u την εκθέτουµε σε ένα άλλο treatment τότε πιθανών θα παίρναµε µια άλλη τιµή. Ο Neyman και ο Fisher σε µια από τις κόντρες τους εµφανίζονται να διαφωνούν στη προσέγγιση που πρέπει να έχουµε στη µηδενική υπόθεση. Ο Neyman υποστηρίζει πως πρέπει να ελέγξουµε τη µέση αιτιατή επίδραση E(Yt-Yc)=0 και ο Fisher την µηδενική αιτιατή επίδραση για όλα τα u U. ηλ. Υt-Yc=0 για όλα τα u U. Κάποιες Φιλοσοφικές Προσεγγίσεις Οι ποίο πολλές προσεγγίσεις στο παρελθόν για την αιτία έχουνε γίνει από τους φιλόσοφους. Οι παρακάτω αφιερώνονται στις ποίο γνωστές κάνοντας ταυτόχρονα σύγκριση µε τo Rubin Model. Πρώτος ο Αριστοτέλης διακρίνει τέσσερις είδους αιτίων Material cause, formal cause, afficient cause and final cause. Αυτό ήταν καλό από την άποψη ότι για το καλύτερο ορισµό πρέπει να «ειδικεύουµε» τις αιτίες (κάτι που κάνει και ο Holland). (1) Hume O Hume ορίζει τρία κριτήρια για το αιτιατό (α) temporal/spatial contiguition (b) temporal succession (c) constant conjunction =>A and B alwys occour. Το πρώτο κριτήριο το temporal/spetial contiguition εκφράζετε από την δράση του αιτίου και τη µέτρηση της επίδρασης πάνω στην ίδια οντότητα το u. Αυτό το κριτήριο ικανοποιείται κατευθείαν από τον ορισµό της µονάδας u. Το δεύτερο κριτήριο σηµαίνει απλός πώς η αιτία πρέπει να προηγείται της επίδρασης. Το τρίτο κριτήριο είναι κατά κάποιο τρόπο άχρηστο. Αυτό γιατί: µπορούµε να έχουµε λάθος στις µετρήσεις και

8 δεύτερων που είναι και ποιο ουσιαστικό αποτυγχάνει όταν δεν υπάρχει το constant effect assumption δηλ. όταν το Yt(u)-Yc(u) διαφέρουν από u σε u1. Επίσης θα πρέπει να τονίσουµε πως ο Hume δεν βλέπει και τόσο τη σηµαντικότητα του πειράµατος και προσπαθεί να βρει την αιτία ποίο πολλή εµπειρικά. (κάτι που όπως θα δούµε στη συνέχεια είναι απαραίτητο). (2) Mill Ο Mill σε αντίθεση µε των Hume δίνει στο πείραµα ένα κύριο ρόλο για την εξαγωγή σχέσεων αιτίου αποτελέσµατος. Ο Mill διακρίνει 4 µεθόδους από τις οποίες µπορούµε να βγάλουµε σχέσεις αιτίου αποτελέσµατος. (α) Concominant Variation Method Αυτή η µέθοδος ουσιαστικά διακρίνει µεταξύ συσχέτισης και αιτίας. Ο Mill σε αυτή τη µέθοδο λέει ότι: οποιαδήποτε συσχέτιση δεν µπορεί να είναι αιτία αλλά πίσω από κάθε συσχέτιση κρύβεται µια αιτία. (β) Methods of Difference Ουσιαστικά αυτή διακρίνει σε φαινόµενο της έρευνας συµβαίνει Y=1 και φαινόµενο κάτω από την έρευνα δεν συµβαίνει Υ=0 και στη περιπτώσει που τα περιστατικά διαφέρουν από t σε c. Στο Rubin Model µπορούµε να την εκφράσουµε αυτή τη σχέση ως Yt(u)-Yc(u)=1. (c) The Method of Residues H µέθοδος αυτή ουσιαστικά είναι η µέτρηση της διαφοράς Yab(u)-Ya(u) και εκφράζει το υπόλειµµα. Αυτή η διαφορά είναι πολλή κοντά στο Rubin Model. (d) The Method of Agreement O Mill σε αυτή τη µέθοδο δείχνει να έχει συνειδητοποιήσει ότι µπορεί να υπάρχει και µηδενική επίδραση. Αυτή τη µέθοδο µπορούµε να τη φανταστούµε σαν µια µηδενική υπόθεση. Στη περίπτωση αυτή Yt(u)-Yc(u)=0 και η t είναι µια αιτία µε µηδενική επίδραση. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι ο Mill δείχνει να είναι ποιο κοντά στην ιδέα ότι η επίδραση µιας αιτίας είναι πάντα σε σχέση µε µια άλλη αιτία, κάτι που ο Hume δείχνει να αγνοεί. Όµως όπως και ο Hume αυτός θεωρεί πως όλα µπορούν να είναι αιτίες κάτι που όπως θα δούµε στη συνέχεια δεν είναι σωστό. (3) Suppes O Suppes εισάγει στην αιτία την έννοια της πιθανότητας (Στο βιβλίο του (1970) propabilistic theory of causal). Ουσιαστικά προσπαθεί να βελτιώσει τα κριτήρια του Hume και κυρίως το κριτήριο (c) constant conjuction. O Suppes ρητά αποδέχεται το temporal succession. Όλες οι αιτίες προηγούνται στο χρόνο. Πρώτον ο Suppes ορίζει το prima facie cause ενός γεγονότος ένα γεγονός το οποίο προηγείται στο χρονικά και είναι θετικά συσχετισµένο µε αυτό. Ορίζει ως spurious cause ενός γεγονότος ένα γεγονός που είναι prima facie και είναι ανεξάρτητα εάν δεσµεύσουµε (conditional independent) σε ένα άλλο γεγονός το οποίο προηγείται του

9 prima facie cause και τελευταίο ορίζει το genuine cause σαν ένα prima facie cause αλλά όχι spurious cause. Μια ποίο εύκολη παρουσίαση είναι: (S1)αν r<s δείχνει δυο τιµές του χρόνου, το γεγονός Cr είναι prima facie (p.f.) ενός γεγονότος Es εάν : Pr(Es/Cs)>Pr(Es) (S2) Cr είναι spurious cause ενός Es εάν Cr είναι p.f. του Es και για q<r<s υπάρχει ένα γεγονός Dq το οποίο ικανοποιεί τις σχέσεις: Pr(Es/Cr,Dq)=Pr(Es/Dq) και Pr(Es/Cr,Dq)>=Pr(Es/Cr) (S3) Cr είναι genuine cause του Es εάν Cr είναι p.f.c. και όχι spurious cause του Es. Όπως µπορούµε να παρατηρήσουµε ο Suppes προσπαθεί να ορίσει περισσότερο την αιτία µιας επίδρασης παρά την επίδραση µιας αιτίας. O Suppes επίσης δεν έχει το µηχανισµό να εκφράσει την επίδραση µιας αιτίας σε ένα πρόβληµα. Το µοντέλο αυτό συµφωνώ µε των Holland πως περιγράφει γενική συµπεριφορά και όχι ιδική και ακριβής συµπεριφορά. Με τους ορισµούς που έχει δώσει µου θυµίζει περισσότερο πρόβλεψη παρά αιτία. Το σκεπτικό αυτό του Suppes χρησιµοποιείτε και από τον Granger µε κάποιες µικρές διαφορές που δεν είναι ικανές να αντιµετωπίζουν το πρόβληµα. Μπορούµε ωστόσο να δούµε κάποιες σχέσεις του Suppes και του Rubim Model. Τη συσχέτιση στο p.f.c. του Ys και του S µπορούµε να τη βρούµε στο Rubin Montel σαν prima facie causal effect: Τpf=E(Ys/S=t)-E(Ys/S=c) To Tpf όπως έχουµε εξηγήσει µπορεί να είναι διαφορετικό από το Τ. Για αυτό ο Suppes ορίζει το prima facie cause. Εάν έχουµε ένα spurous cause σε ένα τυχαιοποιηµένο πείραµα µπορεί εύκολα να δειχθεί ότι: (α) δοθέντος του Dq η επίδραση της µέσο όρο αιτίας είναι µηδέν και (β) Στο υπο-πληθυσµό το γεγονός (η απαντητική Υs=1) είναι ποιο πολλή πιθανόν να συµβεί κάτω από το Cr ( t ) από ότι σε όλο το πληθυσµό. Για να το βρούµε αυτό µπορούµε να υποθέσουµε Υ παίρνει τιµές 0/1. Το {Ys=1} είναι σαν Es και {S=t} είναι σαν Cr. Τα αποτελέσµατα είναι Τ(Dq)=0 και P(Yt=1/Dq)>=P(Yt=1) Το ποίο σηµαντικό ίσος κοµµάτι αυτού του άρθρου είναι η παράγραφος 7. What Can Be A Cause? O Holland αντίθετα µε τους Hume και Mill υποστηρίζει πως όχι όλα µπορεί να είναι αιτίες. Αυτός υποστηρίζει πως αιτία είναι µόνο αυτό που µπορεί εκ τον προτέρων να είναι treatment σε ένα πείραµα (που µπορεί να πάει σε όλα τα u του πληθυσµού). Σε ένα πείραµα υποστηρίζει µπορούµε να έχουµε όλα τα treatment ενώ σε ένα natural experiment πρέπει να περιµένω µέχρι να συµβούν όλα τα treatment. Οι στατιστική ορίζουν το Observational Study για να ξεχωρίσουνε τις άλλες έρευνες από το experimental Study (και οι δυο αυτές έρευνες θεωρούν πως το u εκτίθεται στα treatment και όχι ότι υπάρχει).

10 Ό ορισµός της αιτίας και στις δυο περιπτώσεις κατά των Holland είναι ίδιος. Η διαφορά υφίσταται στο βαθµό ελέγχου µιας έρευνας. Χαρακτηριστική είναι η φράση του Holland Total control can make S independent of Yt and Yc Στη πειραµατική έρευνα µπορεί να έχουµε total control (ολικό έλεγχο) άρα και S ανεξάρτητο από Υt και Yc. Στο observational Study αυτή η ιδιότητα είναι αµφισβητούµενη και µπορεί να µας οδηγήσει σε λανθασµένα αποτελέσµατα. Θα πρέπει να γίνει φανερό πως αυτό γίνετε µε σκοπό να βρούµε efficint cause. (η επίδραση θα είναι αποκλειστικά της αιτίας). Θα πρέπει να τονίσουµε επίσης πως αυτός ο ορισµός δεν είναι κατάλληλος όταν το u αλλάζει από την αιτία. Σε αυτές τις περιπτώσεις είναι καλύτερο να βρούµε άλλες προσεγγίσεις (όπως τη προσέγγιση του Αριστοτέλη). Ο Holland δίνει ένα π.χ. που εγώ δεν θα παρουσιάσω εδώ αλλά απλός θα πάρω τα ποιο σηµαντικά αποτελέσµατα. Πρώτων όταν έχουµε µια ιδιότητα δεν µπορούµε να βγάλουµε σχέσεις αιτίου αποτελέσµατος είµαστε µόνο σε θέση να δούµε τη συσχέτιση του Α (Attribute) µε το Υ (response). Μια ιδιότητα µπορεί να έχει πολλές µεταβλητές (όπως για π.χ. γυναίκα και άντρας που έχουν διαφορετικό DNA στα φυλετικά χρωµοσώµατα). εν µπορούµε να αλλάξουµε στο u όλες αυτές τις µεταβλητές. (Αυτό κατά κάποιο τρόπο είναι αδύνατον άρα και meaningles χωρείς νόηµα). Η συσχέτιση που βλέπουµε µπορεί να έχει πολλές µεταβλητές σαν αιτίες κάτι που δεν αντιµετωπίζει την επίδραση της αιτίας. Για να αλλάζουµε µια ιδιότητα θα πρέπει να αλλάξουµε πολλές µεταβλητές και κατά συνέπεια δεν θα ξέρουµε σε ποία µεταβλητή οφείλετε η επίδραση. Άρα το ποίο σηµαντικό πρόβληµα που καλείται να αντιµετωπίσει ένας ερευνητής είναι να βρει εάν η µεταβλητή που έχει ως υποψήφια αιτία είναι µια ιδιότητα ή ένα treatment ( υπό την έννοια τις έκθεσης του u σε αυτά). Ενδιαφέρον είναι εδώ να δούµε την διαφωνία µεταξύ Fisher µε τους Doll and Hill στο εάν το καρκίνο των πνευµόνων προκαλείται από το κάπνισµα. Ο Fisher υποστήριζε πως δεν προκαλεί το κάπνισµα το καρκίνο των πνευµόνων αλλά η γενετική ιδιαιτερότητα των καπνιστών (το DNA στα καρκινικά κύτταρα διαφέρει από καπνίζοντες σε µη καπνίζοντες). Ουσιαστικά υποστήριζε ότι το κάπνισµα σχετίζετε µε τα καρκινικά κύτταρα των πνευµόνων. Άρα δεν µπορούµε να πούµε ότι το κάπνισµα είναι η αιτία. Η απάντηση ήρθε από µια έρευνα που πήρανε µέρος οµόζυγα δίδυµα που ο ένας κάπνιζε και ο άλλος όχι. Αυτή που καπνίζανε εµφανίζανε συχνότερα και γρηγορότερα καρκίνο των πνευµόνων. Μια άλλη έρευνα µοιάζει µε αυτή και έχει γίνει τελευταία αφορούσε τη µυωπία κα εάν αυτή προκαλείται από τα ηλεκτρονικά µέσα. Τα αποτελέσµατα δείξανε ότι η µυωπία είναι κληρονοµική και επιβαρύνεται από την έκθεση στη τηλεόραση. Μπορώ εδώ να αναφέρω πολλές έρευνες, όπως το επίπεδο τεστοστερόνης που προκαλεί τη δύναµη, που χρησιµοποιούν Rubin Model και δείχνουν να ξεπερνούν το F.P.o.C.I.. O Holland στο άρθρο αυτό κάνει κάποιες συγκρίσεις του Rubin s Model και κάποιων παλιών µεθόδων που χρησιµοποιούσαν οι Γιατροί, Οικονοµολόγοι και Κοινωνιολόγοι. Οι απόψεις αυτές είναι παρόµοιες µε τις απόψεις των Φιλοσόφων που έχουµε αναφέρει ποίο πριν και δεν τις θεωρό αναγκαίες για την εργασία αυτή (αυτό και για λόγους συντόµευσης). Καλό ωστόσο είναι, για την καλύτερη παρουσίαση των σχέσεων της αιτίας και του αποτελέσµατός, δανεισθούµε από τους κοινωνιολόγους τα

11 διαγράµµατα αιτίου. Π.χ. S Ys σηµαίνει ότι το S είναι µια αιτία και Ys είναι η εξαρτηµένη µεταβλητή. Τέλος θα ήθελα να συζητήσω τα σχόλια του Rubin and Cox. Rubin and Cox Coment O Rubin ορίζει τη S.U.T.V.A. ( εν θα δώσω εδώ τον ορισµό θέλω µόνο να το συζητήσω. Ο ενδιαφερόµενος µπορεί το βρει στη σελ. 961) και υποστηρίζει πως είναι καλύτερος ορισµός για causation. Σε αυτό συµφωνώ και εγώ. Θεωρώ πως το.s.u.t.v.a. είναι καλύτερα θεωρητικά διατυπωµένο από το Rubin Model. Όµως το SUTVA δεν είναι πρακτικό. Π.χ. µπορούµε να βρούµε πως η µέση τιµές δυο µεταβλητών είναι ίδιες αλλά δεν µπορούµε να βρούµε εάν κάθε u έχει µηδενική τιµή Yt(u)-Yc(u)=0. Για τα σχόλια του Rubin στη σελ. 962 ο Holland απαντάει µε τη απόσπασµα «Το συµπέρασµα είναι χωρίς νήµα όταν η αιτία είναι µια ιδιότητα. Εννοώ πως το Y δεν µπορεί να οριστεί σε όλα τα U*K». Συµπληρώνω σε αυτά που δεν µπορεί να οριστεί ή να προβλεφθεί πλήρως. Επίσης θα πρέπει να προσέξουµε όταν κάνουµε µια αιτιατή συµπετρασµατολογια τις εξής ερωτήσεις: Τη είναι η µονάδες (u) η αιτία και η εξαρτηµένη µεταβλητή? Πως εκθέτουµε τα u στην αιτία? Εάν Υ ορίζετε για κάθε U*K? O Cox ορίζει εσωτερικές και εξωτερικές µεταβλητές που εάν προσπαθούµε να τα µεταφράσουµε στη γλώσσα του Holland είναι ιδιότητες και αιτίες. Περίληψη Θέλω να κλείσω αυτή την εργασία µε τις ποίο σηµαντικές προτάσεις που αυορουν την αιτία: (1) Η ανάλυση της αιτίας πρέπει να ξεκινήσει µε την έρευνα της επίδρασης µιας αιτίας παρά µε την αιτία µιας επίδρασης. (2) Η επίδραση µιας αιτίας είναι πάντα σε σχέση µε µια άλλη αιτία (3) Όχι όλα µπορούν να είναι αιτία; Η ιδιότητα ενός u δεν µπορεί να είναι ποτέ µια αιτία. Όταν κάνουµε αιτιατή συµπερασµατολογια θα πρέπει να έχουµε πάντα τη προσοχή µας στη φράση: NO CAUSATION WHITHOUT MANIPULATION

12 ΑΝΑΦΟΡΕΣ (1) Cook, R.D. Smoking and Lung Cancer in R.A. Fisher : An Aprecciation,eds. (2) Cox,D.R. (1958) The planing of experiment, New York: John Wiley ] (3) Hill A.B. (1965) The Enviroment and Disease: Association or Causation Proceding of the Royal Society of Medicine, 58, (4) Holland Statistics and causal Inference. Journal of the American Association, December. (5) Holland,P.W.,and Rubin,D.B.(1980, Causal inference in Prospective and Retrospective Studies adress given at the Jerome Cornfild Memory Session of the American Association Annual Meeting,August. (6) Kempthorne, O.(1952), The Designs and Analysis of Experiment, New York: John Wiley. (7) Rosenbaum, P.R. (1984a), From Association to Causation in Observational Studies: The Role of the Tests of Strongly Ignorable Treatment Assignment, Journal of the American Association, (8) Rubin, D.B. (1974) Estimating Causal Effect Of Treatments in Randomized and Nonrandomized Studies Journal of Educational Psychology,66,

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ

Στόχος µαθήµατος: Παράδειγµα 1: µελέτη ασθενών-µαρτύρων ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 5 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 ΜΕΤΡΑ ΚΙΝ ΥΝΟΥ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ SPSS

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο 9.1 ηµιουργία µοντέλων πρόβλεψης 9.2 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση 9.3 Αναλυτικά για το ιάγραµµα ιασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΜΕΡΟΣ Β ηµήτρης Κουγιουµτζής http://users.auth.gr/dkugiu/teach/civilengineer E mail: dkugiu@gen.auth.gr 1/11/2009 2 Περιεχόµενα 1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια)

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1. Απλή γραµµική παλινδρόµηση. 1.2 Παράδειγµα 6 (συνέχεια) ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Απλή γραµµική παλινδρόµηση Παράδειγµα 6: Χρόνος παράδοσης φορτίου ΜΑΘΗΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική και πειραματική έρευνα

Περιγραφική και πειραματική έρευνα 1 Ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΥΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : Τρασανίδης Γεώργιος, διπλ. Ηλεκ/γος Μηχανικός Μsc ΠΕ12 05 Περιγραφική και πειραματική έρευνα Σε μια έρευνα που περιλαμβάνει δύο μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ

ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ ΣΤΟ SCRATCH ΒΗΜΑ ΠΡΟΣ ΒΗΜΑ ΣΕΝΑΡΙΟ ΠΑΙΧΝΙ ΙΟΥ Το παιχνίδι θα αποτελείται από δυο παίκτες, οι οποίοι θα βρίσκονται αντικριστά στις άκρες ενός γηπέδου δεξιά και αριστερά, και µια µπάλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html

ΑΝΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html ΑΩΣΗ µε λογισµικό PheT ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Πείραµα. (εικονικό). http://phet.colorado.edu/sims/density-and-buoyancy/buoyancy_el.html Παίρνω στο ένα µου χέρι τα 2 kg σίδερο και στο άλλο τα 2 kg ξύλο. Αισθάνοµαι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov.

Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. A. ΈΛΕΓΧΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ A 1. Έλεγχος κανονικότητας Kolmogorov-Smirnov. Για να ελέγξουµε αν η κατανοµή µιας µεταβλητής είναι συµβατή µε την κανονική εφαρµόζουµε το test Kolmogorov-Smirnov. Μηδενική υπόθεση:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ.

Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ. 4.1 Συσχέτιση δύο τ.µ. Κεφάλαιο 4 ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ Στα προηγούµενα κεφάλαια ορίσαµε και µελετήσαµε την τ.µ. µε τη ϐοήθεια της πιθανο- ϑεωρίας (κατανοµή, ϱοπές) και της στατιστικής (εκτίµηση, στατιστική υπόθεση). Σ

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης

Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Ορισµοί και εξισώσεις κίνησης Σκοπός του κειµένου είναι να υποστηριχθούν οι παρακάτω θέσεις εν έχουν κανένα απολύτως νόηµα φράσεις του τύπου «η φάση της ταλάντωσης είναι» ή «η αρχική φάση της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση

Στόχος µαθήµατος: ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Α1.2 Παράδειγµα 1 (συνέχεια) Α1. ΙΤΙΜΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΣΕ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγµα 1: αρτηριακή πίεση ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 20062007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 9 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o

* τη µήτρα. Κεφάλαιο 1o Κεφάλαιο 1o Θεωρία Παιγνίων Η θεωρία παιγνίων εξετάζει καταστάσεις στις οποίες υπάρχει αλληλεπίδραση µεταξύ ενός µικρού αριθµού ατόµων. Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση, αν ο αριθµός των ατόµων που συµµετέχουν

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία.

Προϋποθέσεις : ! Και οι δύο µεταβλητές να κατανέµονται κανονικά και να έχουν επιλεγεί τυχαία. . ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ. Υπολογισµός συντελεστών συσχέτισης Προκειµένου να ελέγξουµε την ύπαρξη γραµµικής σχέσης µεταξύ δύο ποσοτικών µεταβλητών, χρησιµοποιούµε συνήθως τον παραµετρικό συντελεστή συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης

Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης 24 Μεθοδολογία Επιστηµονικής Έρευνας & Στατιστική Ανάλυση ιακύµανσης Μονής Κατεύθυνσης Όπως ακριβώς συνέβη και στο κριτήριο t, τα δεδοµένα µας θα πρέπει να έχουν οµαδοποιηθεί χρησιµοποιώντας µια αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables)

Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Contingency tables) Ενότητα 4: Πίνακες συνάφειας (Cotigecy tables Σε αρκετές εφαρµογές παρουσιάζεται η ανάγκη ελέγχου της σχέσης µεταξύ δυο κατηγορικών µεταβλητών (Ordial ή omial. Π.χ. θέλουµε να διερευνήσουµε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά (Τσικνο)Πέµπτη, 12/02/2015 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games)

Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Games) Κεφάλαιο 13ο Eπαναλαµβανόµενα παίγνια (Repeated Gaes) Το δίληµµα των φυλακισµένων, όπως ξέρουµε έχει µια και µοναδική ισορροπία η οποία είναι σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές. C N C -8, -8 0, -10 N -10,

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.α) ίνεται η συνάρτηση F() f() + g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F () f () + g

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κεφάλαιο 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Σε πολλά προβλήµατα της µηχανικής δεν ενδιαφερόµαστε να εκτιµήσουµε την τιµή της παραµέτρου αλλά να διαπιστώσουµε αν η παραµέτρος είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα

Περιεχόµενα ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. 1.2 Παράδειγµα 1 δύο χηµειοθεραπείες. 1.1 Ανάλυση δίτιµων κατηγορικών µεταβλητών σε εξαρτηµένα δείγµατα ΠΜΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΥΓΕΙΑ, ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΑΠΟΤΙΜΗΣΗ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007, 3ο εξάµηνο ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΙΑ 2 ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΕΙΓΜΑΤΑ & ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes

Καλάθι αγαθών. Σχέσεις προτίµησης. Ιδιότητες σχέσεων προτίµησης. Notes. Notes. Notes. Notes Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 22 Σεπτεµβρίου 2014 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία Καταναλωτή-Προτιµήσεις 22 Σεπτεµβρίου 2014 1 / 17 Προτιµήσεις καταναλωτών Θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση-

3. Σηµειώσεις Access. # Εισαγωγή ψηφίου ή κενού διαστήµατος. Επιτρέπονται τα ση- Μάθηµα 3 Προχωρηµένες ιδιότητες πεδίων Μάσκες εισαγωγής Οι ιδιότητες Μορφή και Μάσκα εισαγωγής περιγράφονται µαζί γιατί έχουν κοινά χαρακτηριστικά που αφορούν την εµφάνιση. Με την ιδιότητα Μορφή καθορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κάποιες βασικές έννοιες στη μεθοδολογία της ψυχολογίας

Κάποιες βασικές έννοιες στη μεθοδολογία της ψυχολογίας Κάποιες βασικές έννοιες στη μεθοδολογία της ψυχολογίας 3 βασικές μέθοδοι έρευνας: ενδοσκόπηση παρατήρηση πείραμα (+ μοντέλλα) πειραματική ψυχολογία υποκείμενα/συμμετέχοντες πειραματική διαδικασία, έργο

Διαβάστε περισσότερα

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά.

ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. Μέρος 1ον : ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 53 ιάδοση κυµάτων σε διηλεκτρικά. Απορρόφυση ακτινοβολίας. 5. Άσκηση 5 5.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ Έλλειµµα µάζας και ενέργεια σύνδεσης του πυρήνα του ατόµου A Ένα ισότοπο, το οποίο συµβολίζουµε µε Z X, έχει ατοµικό αριθµό Ζ και µαζικό αριθµό Α. Ο πυρήνας του ισοτόπου

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α.

2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22. ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. Θέµατα & Ασκήσεις από: www.arnos.gr 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΟ 22 ΘΕΜΑ: Οι βασικοί σταθµοί του νεώτερου Εµπειρισµού από τον Locke µέχρι και τον Hume. ΣΧΕ ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σύµφωνα µε τη θεωρία του εµπειρισµού

Διαβάστε περισσότερα

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ

Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Β06Σ03 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΗΝ ΨΥΧΟΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ Ενότητα 2: Επαγωγική-περιγραφική στατιστική, παραµετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΦΡΑΣΤΕΣ ΗΥ340 ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2010 Ι ΑΣΚΩΝ: ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΣΑΒΒΙ ΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΦΑΣΗ 2η από 5 Ανάθεση: Πέµπτη 15 Απριλίου 2010, 11:00 (πρωί)

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

T-tests One Way Anova

T-tests One Way Anova William S. Gosset Student s t Sir Ronald Fisher T-tests One Way Anova ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Ζουρμπάνος Ρούσσος, Π.Λ., & Τσαούσης, Γ. (2002). Στατιστική εφαρμοσμένη στις κοινωνικές επιστήμες. Αθήνα: Ελληνικά

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα