Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς (μέρος 2)

Transcript

1 Ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-σχέση διασποράς (μέρος 2) Το μοντέλο του «άδειου πλέγματος» Βήμα 1: Στο μοντέλο του «άδειου πλέγματος» θεωρούμε ότι το ηλεκτρόνιο είναι ελεύθερο αλλά οι λύσεις της Schrödinger υπόκεινται στις ιδιότητες συμμετρίας του πλέγματος περιορίζουμε την περιοχή τιμών του k όπου πρέπει να υπολογίσουμε την ενέργεια.. (a) η παραβολική σχέση διασποράς για το ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Η συνθήκη συμμετρίας Ε n (k+g)=e n (k) (b) τα κομμάτια των ταινιών μπορούν να κοπούν στα όρια των διαφόρων ζωνών και να μετατοπιστούν (αναδιπλωθούν) κατά πολλαπλάσια του G = 2π α η ενέργεια είναι ίδια σε όλα τα ισοδύναμα σημεία. (c) οι καμπύλες διασποράς μετά την αναδίπλωση μέσα στην 1 η ΖΒ Σελίδα 1 από 7

2 Αριθμός καταστάσεων στις ταινίες Η συνάρτηση Βloch ψ n, k ορίζει ένα τροχιακό. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των τροχιακών σε μία ταινία μέσα στην 1 η ΖΒ ισούται με τον αριθμό των μοναδιαίων κυψελίδων στον κρύσταλλο. Σε κρύσταλλο 1D: οι μόνες επιτρεπτές τιμές του k είναι k 2π n L = όπου n=0,±1,±2 κλπ. και φτιάχνουν ένα πλέγμα με μοναδιαίο διάνυσμα 2π/L. 1D Στον χώρο των κυματοδιανυσμάτων oι επιτρεπτές τιμές του k για τα ελεύθερα ηλεκτρόνιο σε μέταλλο ισαπέχουν. Πόσες καταστάσεις Ν υπάρχουν μέσα στην 1η ΖΒ που έχει μήκος 2π/α?? N = 2π α 2π L L = α όπου Ν είναι ο αριθμός των μοναδιαίων κυψελίδων στην 1 η ΖΒ υπάρχουν Ν επιτρεπτές τιμές της Ε ο μέγιστος αριθμός e σε μία ταινία είναι 2Ν (Pauli) διάκριση μετάλλου-μονωτή. Σελίδα 2 από 7

3 Μέταλλα, ημιαγωγοί, μονωτές. Η βασική διάκριση μετάλλου /μονωτή είναι ότι τα μέταλλα έχουν μισογεμάτες ταινίες & διαρρέονται από ηλεκτρικό ρεύμα υπό την επίδραση ηλεκτρικού πεδίου. Ακριβέστερα: Μία ταινία που είναι πλήρως κατειλημμένη δεν άγει το ρεύμα ένα υλικό συμπεριφέρεται σαν μέταλλο όταν κάποιες από τις ενεργειακές ταινίες του είναι μερικώς κατειλημμένη. Η διεύρυνση του χάσματος γίνεται με ταυτόχρονη μεταβολή της κορυφής της ταινίας σθένους και του πυθμένα της ταινίας αγωγιμότητας & εξαρτάται από την ατομική ακτίνα. Σελίδα 3 από 7

4 Παράδειγμα: Νa 1s 2, 2s 2, 2p 6 3s 1 Στο Νa οι ταινίες 1s 2, 2s 2, 2p 6 είναι πλήρως κατειλημμένες. Η 3s, που είναι η ταινία σθένους, έχει 1 e. Για να γεμίσει χρειάζεται 2Ν ηλεκτρόνια, όπου N είναι ο αριθμός των μοναδιαίων κυψελίδων. Στο υπόπλεγμα του Νa υπάρχει 1 άτομο με 1 e ο συνολικός αριθμός e σθένους είναι Ν η 3s είναι γεμάτη μόνον κατά το ήμισυ το Na συμπεριφέρεται σαν μέταλλο. Τα στοιχεία με μονό αριθμό e ανά μοναδιαία κυψελίδα είναι μέταλλα αφού οι ταινίες γεμίζουν με ζυγό αριθμό e. Το μοντέλο του σχεδόν ελεύθερου e (Nearly Free Electron model). Βήμα 2: Εισάγουμε το δυναμικό Στο NFE model υποθέτουμε ότι το δυναμικό του κρυστάλλου είναι τόσο ασθενικό ώστε το e να συμπεριφέρεται σαν ελεύθερο και η επίδραση του πλέγματος εισάγεται σαν διαταραχή. Το NFE model περιγράφει ικανοποιητικά τις ταινίες σθένους απλών μετάλλων όπως Na, K. Al κλπ. Σελίδα 4 από 7

5 Ειδικότερα η επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου είναι: Αμελητέα για τα e που έχουν λ >> ενδοατομικής απόστασης α. Σε αυτή την περίπτωση η ενέργεια των e προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την παραβολική προσέγγιση (μεγάλο λ μικρό k, δηλ. κοντά στο κέντρο της ζώνης Brillouin). Σημαντική για τα e με υψηλή E kin ή ισοδύναμα μεγάλο k ή ισοδύναμα μικρό λ. Στην μονοδιάστατη αλυσίδα για την οριακή περίπτωση που λ = 2 α ικανοποιείται η συνθήκη του Bragg τα κύματα ανακλώνται και δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Οι εσωτερικές ταινίες των στερεών (π.χ.η 3d στα μεταβατικά μέταλλα) περιγράφονται καλύτερα από το μοντέλο ισχυρής δέσμευσης (tight-binding model TBM). Η σχέση διασποράς για ελεύθερο και σχεδόν ελεύθερο ηλεκτρόνιο σε 1D σύστημα. Η συνθήκη για ανάκλαση Bragg ικανοποιείται όταν k=±nπ/α, όπου α η πλεγματική σταθερά. Σελίδα 5 από 7

6 Επίδραση του δυναμικού του κρυστάλλου: εισάγονται χάσματα στα σημεία όπου τέμνονται οι ζώνες, δηλ. στα σημεία όπου η επίδραση του πλέγματος είναι ισχυρή. α) οι καμπύλες διασποράς πριν από την αναδίπλωση στην 1 η ΖΒ β) οι καμπύλες διασποράς στην 1 η ΖΒ στο μοντέλο του σχεδόν ελεύθερου ηλεκτρονίου μετά την αναδίπλωση. Αποδεικνύεται ότι: Αυξανομένης της ενέργειας οι ταινίες φαρδαίνουν και τα χάσματα στενεύουν & το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται ολοένα και περισσότερο σαν ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Στα όρια της ΖΒ η σκέδαση είναι πολύ ισχυρή και το ανακλώμενο κύμα έχει το ίδιο πλάτος με το προσπίπτον στο k=±π/α το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν στάσιμο κύμα cos(π/αx) ή sin (π/αx) μεγάλη απόκλιση από το ελεύθερο ηλεκτρόνιο. Σαν στάσιμο κύμα το ηλεκτρόνιο έχει μηδενική ταχύτητα στα όρια της ΖΒ. Σελίδα 6 από 7

7 Στο Τight Βinding Μodel υποθέτουμε ότι το δυναμικό των ατόμων είναι τόσο ισχυρό ώστε το ηλεκτρόνιο να κινείται ουσιαστικά γύρω από 1 άτομο και να βλέπει τα γειτονικά άτομα σαν διαταραχή. Αμφότερα τα NFE και TB models καταλήγουν στα ίδια συμπεράσματα: Ενεργειακά χάσματα εμφανίζονται κοντά στα όρια των ζωνών. Στον πυθμένα μίας ταινίας το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται σαν ελεύθερο σωματίδιο με θετική ενεργό μάζα. Κοντά στην κορυφή μίας ταινίας τα ηλεκτρόνια συμπεριφέρονται σαν ελεύθερα σωματίδια με αρνητική ενεργό μάζα. Σελίδα 7 από 7