( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
|
- Παναγιώτα Αγγελίδου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se umeşte ecuaţia difereţială Riccati. Dacă q, p şi r sut costate, atuci ecuaţia se itegrează pri separarea variabilelor: d + + q p r + Dacă r( ), ecuaţia (4) este liiară Dacă q( ), ecuaţia (4) este de tip Beroulli Î geeral, această ecuaţie u se poate rezolva pri metode elemetare. Teorema 5: Dacă se cuoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei Riccati, atuci soluţia geerală a ecuaţiei poate fi găsită pri metode elemetare. Demostraţie: Presupuem cuoscută o soluţie particulară ( ) are loc: Atuci, cu substituţia: q + p + r + z a ecuaţiei (4) şi ude z( ) este oua fucţie ecuoscută, ecuaţia Riccati se reduce la o ecuaţie difereţială Beroulli. d dz + q + p + p z + r + r d d z + r z dz ( p ( ) r( ) ( ) ) z( ) r( ) z ( ) d + Aceasta este o ecuaţie Beroulli. Eemple: Itegraţi ecuaţia Riccati:. + e e + e dacă cuoaştem soluţia particulară e. Fie: z( ) ( ) e e + z( ) dz e + e e z z + e e + e z e + e d
2 dz d z ecuatie cu variabile separabile dz d + z z z( ) ( ) e +., > ( ), () z z+ dz z + z + z + d dz z z ecuatie Beroulli d w z w z z w dw w d w w dw w + ecuatie liiara d dw w dw d + l w l + l d w ( ) w w ± w w d ( ) + + d d ( ) z d ( ) + w( ) ( ) solutia problemei auch Solutia geerala a ecuatiei date: ()
3 ap.vi Ecuaţii difereţiale de ordi superior 6. Problema auch forma: O ecuaţie difereţială de ordiul, rezolvată î derivata cea mai mare, are (,,,, ) ( ) ( ) f () Petru a obţie o soluţie particulară a acesteia, trebuie să precizăm codiţii:,,, ( ) ( ) () ude,,, ecuaţia difereţială (). sut umere. Aceste codiţii se umesc codiţii iiţiale petru Problema auch costă î determiarea soluţiei ecuaţiei difereţiale () care satisface codiţiile iiţiale (). Teorema : (de eisteţă şi uicitate a soluţiei problemei auch) Fie: (,,,, ) ( ) ( ) f () o ecuaţie difereţială de ordiul, rezolvată î derivata cea mai mare. Dacă fucţia f este ( ) cotiuă î cele + argumete pe o veciătate Ω a puctului M (,,,, ) (eemplu î figura 6.) atuci eistă u iterval h < < + h pe aa pe ϕ petru ecuaţie care satisface codiţiile iiţiale: care eistă cel puţi o soluţie Mai mult, dacă fucţia,,, ( ) (,,,, ) mărgiite pe Ω, atuci soluţia este uică. ( ) ( ) f are derivatele parţiale (4) f f f,,, ( ) az particular: iar Ω este veciătatea lui (,, ) f,, M.
4 Figura 6. Eemplu: e + si (,, ) e + si f Este fucţie de trei variabile cotiuă peste tot. f e Derivatele parţiale sut mărgiite peste tot. Atuci, petru orice umere,, verifică codiţiile iiţiale: şi f cos, eistă o soluţie uică, ϕ ( ), a ecuaţiei care Defiiţie: Soluţia geerală a ecuaţiei: (,,,, ) ( ) ( ) f (5) pe u domeiu Ω î care problema auch are soluţie uică, este o familie -parametrică de fucţii S: ϕ (,,,, ) care depid de şi de costate arbitrare,,..., astfel îcât: Petru orice costate,,..., fucţia ϕ (,,,, ) S este soluţie a ecuaţiei (5), adică: ( ) ( ( ),,,, f,,,,,,, (,,,, ) ) ( h, + h) ϕ ϕ ϕ Petru orice codiţii iiţiale:, astfel îcât puctul,, (,,,, ) ( ) ( ) să aparţiă domeiului Ω, de eisteţă şi uicitate a soluţiei problemei auch asociată ecuaţiei (5), putem găsi costatele, 4
5 ,, astfel îcât soluţia ϕ (,,,, ) S să satisfacă codiţiile iiţiale cosiderate. O soluţie particulară a ecuaţiei difereţiale se obţie di soluţia geerală pri fiarea costatelor,,...,. Graficul său este o curbă î plaul şi se umeşte curbă itegrală a ecuaţiei. Relaţia la care se ajuge î urma itegrării φ (,,,,, ) şi care defieşte implicit soluţia geerală se umeşte itegrala geerală a ecuaţiei difereţiale. 6. Reducerea ordiului uor ecuaţii difereţiale de ordi superior. O ecuaţie de forma: ( ) f (6) ude f ( ) este fucţie cotiuă cuoscută, este itegrabilă cu metode elemetare. obţiem: Îtr-adevăr, deoarece ( ) ( d ) / d, itegrâd ambele părţi ale ecuaţiei ( ) f d+ Această ecuaţie are aceeaşi formă cu (6). Atuci, mai itegrăm o dată: ( ) ( ) f d d + + ( ( ) ) ( ) f d d d După -itegrări obţiem soluţia geerală a ecuaţiei (6): ( ) ( ) ( ) f( ) d d d !! Eemplu: Dacă o ecuaţie difereţială u coţie fucţia ecuoscută şi derivatele sale pâă la ordiul k, adică are forma: ( k) ( k+ ) ( ) F,,,, (7) 5
6 atuci ordiul ecuaţiei poate fi redus pâă la k pri schimbarea de variabilă: ( k ) p( ) şi ecuaţia difereţială (7) î oua ecuoscută p ( ) devie: ( k ) F(, p, p,, p ) Presupuem că putem itegra această ecuaţie şi obţiem: p ψ (,,,, k) um ( k ) p( ), pri k itegrări obţiem fucţia căutată. Eemplu: p( ) p ( ) Ecuaţia î oua ecuoscută este: p p dp d p l p l + l p Dacă o ecuaţie difereţială u coţie eplicit variabila idepedetă, adică are forma: ( ) Ordiul ecuaţiei poate fi redus cu uu, cu substituţia: F(,,, ) (8) p Aici, p p este oua fucţie ecuoscută şi este variabila idepedetă. Eemplu: + ( ) p 6
7 d dp d dp p( ) p d d d d Ecuaţia difereţială dată devie: dp p + p d dp d l p l + l p l l p p( ) d d d + d + 6. Ecuaţii difereţiale liiare şi omogee O ecuaţie difereţială liiară şi omogeă are forma: ( ) ( ) + p + + p + p (9) ude p ( ), p ( ),, p ( ) sut fucţii cotiue pe u iterval [, ] cuoscute. Ecuaţia este liiară î fucţia ecuoscută şi î toate derivatele acesteia. Ecuaţia (9) o putem rescrie rezolvată î derivata de ordi maim: ( ) ( ) ab şi sut p p p () Fucţia di partea dreaptă a acestei ecuaţii este o fucţie cotiuă î pe [, ],, ( ) ab şi î, peste tot. Mai mult, această fucţie are derivate parţiale î raport cu ab,. Atuci, cu teorema, rezultă egale cu p k, derivate care sut mărgiite pe [ ] că dacă coeficieţii pk ( ), k,,, sut fucţii cotiue pe [, ] ab atuci petru orice codiţii iiţiale: ( ) ( ) ( k ),,,, ( ab, ), () eistă o soluţie uică a ecuaţiei () care satisface codiţiile iiţiale (). ( k ) 7
8 Prelimiarii Fie E şi F două mulţimi. Spuem că A este u operator A : E F dacă la fiecare elemet E îi corespude pritr-o lege dată, u elemet f A F. E este domeiul operatorului A. Dacă E este u spaţiu liiar, atuci operatorul A se umeşte operator liiar, dacă: A( + ) A+ A,, E A A, E, ( ) Rescriem ecuaţia (9) î forma: ude ( ) [ ] L[ ] ( ) L + p + + p + p L[ ] este u operator difereţial liiar, defiit pe spaţiul fucţiilor [ ab, ], împreuă cu derivatele pâă la ordiul, adică L[ ] : [ a, b] [ a, b], cotiue pe. Natura difereţială a operatorului este evidetă. Liiaritatea operatorului, presupue: L[ + ] L[ ] + L[ ] L [ ] L [ ], ude şi sut fucţii arbitrare, avâd derivate pâă la ordiul cotiue. Teorema : Dacă fucţia L[ ], atuci şi fucţia costată arbitrară). Teorema : Dacă fucţiile ( ) şi omogee L[ ], atuci şi suma ( ) ( ) ecuaţii. este o soluţie a ecuaţiei difereţiale liiare omogee este de asemeea o soluţie a acestei ecuaţii ( este sut soluţii ale ecuaţiei difereţiale liiare + este de asemeea o soluţie a acestei orolar: Dacă fucţiile ( ), ( ),, liiare omogee L[ ], atuci şi combiaţia liiară ( ) ecuaţii. Ecuaţia L[ ] are îtotdeaua soluţia trivială ( ). m sut soluţii ale ecuaţiei difereţiale m i i este o soluţie a acestei i Observaţie: Di teoremele şi rezultă că mulţimea soluţiilor ecuaţiei L[ ] formează u spaţiu liiar, a cărui este fucţia ( ). 8
9 Teorema : Dacă o ecuaţie difereţială liiară omogeă L[ ] cu coeficieţi reali pk ( ), k,,, are o soluţie compleă ( ) u( ) + iv( ), atuci şi partea reală u( ) şi partea imagiară v( ) sut de asemeea soluţii ale acestei ecuaţii. 6.4 Sisteme de fucţii liiar depedete şi liiar idepedete osiderăm u sistem de fucţii iterval [ ab, ]., ( ),, Defiiţie: Spuem că fucţiile ( ), ( ),, itervalul [, ] ab, dacă eistă costatele,,, astfel îcât: + + +, [ ab, ] şi cel puţi u i este diferit de zero. Dacă egalitatea are loc umai petru ab,. cotiue pe u sut liiar depedete pe, atuci fucţiile ( ),, ( ) sut liiar idepedete pe itervalul [ ] Eemple:. Fucţiile ( ) şi ( ) Îtr-adevăr, avem de eemplu, idetitatea:, sut liiare depedete pe orice iterval [, ], cu, ab. ab. Îtr-. Fucţiile adevăr,,,,, sut liiar idepedete pe orice iterval [, ] , [ ab, ] are loc umai dacă i, i,,,. k k. Fucţiile e, e,, k e cu k i k j orice iterval [ ab, ]. osideram cazul k e liiar depedete. Atuci, petru i j sut liiar idepedete pe k k. Presupuem fucţiile e, e, k k k e + e + e u toti i uli 9
10 k Presupuem. Împărţim relaţia cu e şi difereţiem relaţia obţiută. ( k k ) ( ) k k + e + e ( k ) k k k e k k e k k + Împărţim relaţia cu k k e şi difereţiem relaţia obţiută. k k k k e ( k ) k k k k k e k k + Relaţia este imposibilă deoarece şi ki kj petru i j. Presupuerea oastră a fost falsă şi fucţiile cosiderate sut liiar liiar idepedete. Remarcă: Dacă fucţiile ( ), ( ),, sut liiar depedete, atuci cel puţi ua ditre ele este combiaţie liiară de celelalte. Teorema : Dacă fucţiile ( ), ( ),, ( ) cu derivate pâă la ordiul -, sut liiar depedete pe itervalul [ ab, ], atuci determiatul umit Wroskia-ul sistemului de fucţii ( ), ( ),, ( ) este ul pe itervalul [ ab, ]. W () Demostraţie: Petru simplitate, cosiderăm. Fie fucţiile ( ), ( ), ( ) cu derivate pâă la ordiul doi şi liiar depedete pe itervalul [ ab, ]. Atuci, + + şi cel puţi u i este diferit de zero. Fie. Rezolvăm ecuaţia î şi difereţiem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Prima coloaă a determiatului este combiaţie liiară de celelalte două coloae a, b. U astfel de determiat este ul. ( ) a, b. W Teorema : Dacă Wroskia-ul W ( ) al uui sistem de fucţii este eul pe u iterval ( a, b), atuci aceste fucţii sut liiar idepedete pe itervalul ( a, b). Teorema : Dacă fucţiile ( ), ( ),, itervalul [ ab, ] şi sut soluţii petru ecuaţia difereţială liiară omogeă: ( ) ( ) + p + + p + p cu coeficieţii pk ( ) fucţii cotiue pe [, ] fucţii este eul pe [ ab, ]. W sut liiar idepedete pe ab, atuci Wroskia-ul sistemului de Teorema 4: Fie ( ), ( ),, liiare şi omogee: ( ) ( ) soluţii particulare ale ecuaţiei difereţiale + p + + p + p
12 cu coeficieţii pk ( ) fucţii cotiue pe [, ] idepedete pe [ ab, ] Wroskia-ul ( ) ab. Aceste soluţii particulare sut liiar W al sistemului de soluţii este eul. 6.5 Structura soluţiei geerale a uei ecuaţii difereţiale liiară omogeă Teorema : (asupra structurii soluţiei uei ecuaţii difereţiale liiare omogee) O ecuaţie difereţială liiară omogeă: cu coeficieţii k ( ) ( ) + p + + p + p p k,, fucţii cotiue pe itervalul [, ] i i i ab are soluţia geerală: () adică o combiaţie liiară de soluţii particulare i ( ), i,, idepedete pe itervalul [ ab, ].,,, sut costate arbitrare., care sut liiar Di această teoremă rezultă că dacă se cuosc soluţii particulare liiar idepedete ale ecuaţiei difereţiale liiare omogee de ordiul, atuci orice altă soluţie a ecuaţiei poate fi reprezetată ca o combiaţie liiară de aceste soluţii particulare şi aceasta ar fi liiar depedetă î raport cu primele. Astfel, umărul maim de soluţii liiar idepedete al uei ecuaţii difereţiale liiare omogee este egal cu ordiul său. Observaţie: Mulţimea de soluţii a uei ecuaţii difereţiale liiare omogee formează u spaţiu vectorial cu dimesiuea egală cu ordiul ecuaţiei difereţiale. Defiiţie: O mulţime formată di oricare soluţii particulare liiar idepedete ale uei ecuaţii difereţiale liiare omogee de ordiul se umeşte sistem fudametal de soluţii. Teorema : Petru fiecare ecuaţie difereţială liiară omogeă cu coeficieţii k ( ) ( ) + p + + p + p p k,, fucţii cotiue pe itervalul [, ] ab, eistă u sistem fudametal de soluţii (chiar u umăr ifiit de astfel de sisteme fudametale de soluţii).
13 U sistem fudametal de soluţii defieşte complet ecuaţia difereţială liiară şi omogeă. Dacă se cuoaşte sistemul fudametal,,, î itervalul [ ab, ], ecuaţia difereţială respectivă se poate costrui dezvoltâd după elemetele ultimei coloae determiatul următor: ( ) ( ) W W + ± W Î această relaţie W ( ) este Wroskia-ul sistemului fudametal de soluţii,,, şi W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) um, W( ) pe itervalul [ ab, ], putem împărţi ultima relaţie cu devie: ( ) ( ) ude, î particular p ( ) W ( ) W ( ) + p + + p + p. / W şi ecuaţia Eemplu: Determiaţi ecuaţia difereţială care are următorul sistem fudametal de soluţii: cos, si. Ecuaţia difereţială se obţie dezvoltâd după ultima coloaă a determiatul: cos si si cos cos si
14 si cos cos si cos si + cos si cos si si cos si + cos cos si + cos si + cos + si Ecuaţii difereţiale liiare omogee cu coeficieţi costaţi forma: O ecuaţie difereţială liiară omogeă cu coeficieţi costaţi de ordiul doi are + p + p (4) ude p şi p sut umere reale. Petru a determia soluţia geerală a ecuaţiei, trebuie să găsim două soluţii particulare liiar idepedete ale acesteia. ăutăm aceste soluţii de forma: e λ, λ costată Derivăm această fucţie şi o substituim î ecuaţia difereţială (4): ( λ λ ) λ e + p + p Deoarece epoeţiala este eulă, poliomul î λ di parateză trebuie să fie ul. Î coseciţă, fucţia ( ) e λ, este soluţie a ecuaţiei difereţiale umai dacă λ este rădăciă a poliomului di parateză, umit poliom caracteristic, λ + p + (5) λ p Această ecuaţie se umeşte ecuaţie caracteristică î raport cu ecuaţia difereţială (4). Vom ota cu λ şi λ rădăciile poliomului caracteristic. Acestea pot fi: () reale şi disticte () complee () reale şi egale. osiderăm separat fiecare caz: () Dacă rădăciile λ şi λ sut reale şi disticte, atuci soluţiile particulare petru ecuaţia (4) vor fi: e λ şi ( ) e λ Aceste soluţii sut liiar idepedete şi formează u sistem fudametal de soluţii petru ecuaţie. Soluţia geerală va fi de forma (): 4
15 λ λ e e + (6) cu şi costate arbitrare. Eemple: ) Determiaţi soluţia geerală a ecuaţiei: + Rezolvăm mai îtâi ecuaţia caracteristică: λ λ+ λ λ Soluţia geerală va fi o combiaţie liiară de epoeţiale: + e e ) Determiaţi soluţia geerală a ecuaţiei: 7 + Rezolvăm mai îtâi ecuaţia caracteristică: λ 7λ+ λ λ 4 Soluţia geerală va fi o combiaţie liiară de epoeţiale: 4 + e e 5
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότερα6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραPolinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
Διαβάστε περισσότερα3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
Διαβάστε περισσότεραExamenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραsistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραlim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραBAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Διαβάστε περισσότεραTEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
Διαβάστε περισσότεραSala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότεραPENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραClasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
Διαβάστε περισσότεραSpaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile
Διαβάστε περισσότερα2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Διαβάστε περισσότερα8. Introducere în metoda elementului finit
Itroducere î metoda elemetului fiit 45 8 Itroducere î metoda elemetului fiit Formularea variaţioală a diferitelor probleme la limită împreuă cu ceriţele mai slabe de regularitate coduc î mod atural la
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R
ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. http://bavaria.utcluj.ro/~ccosmi ECUATII NELINIARE PE R. CONSIDERATII GENERALE Se vor studia urmatoarele probleme:. Radaciile uei ecuatii eliiare de orma. Radaciile
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραAnaliză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCULEGERE DE PROBLEME
Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii
Διαβάστε περισσότεραVarianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Διαβάστε περισσότεραECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII
GAVRIIL PĂLTINEANU PAVEL MATEI ECUAŢII DIFERENŢIALE ŞI ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE CU APLICAŢII Bucureşti 7 Referet ştiiţific: prof uiv dr ILEANA TOMA Uiversitatea Tehică de Costrucţii Bucureşti PREFAŢĂ
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE. Note de curs
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE Note de curs . REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Itroducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liiare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea
Διαβάστε περισσότεραEcuaţii diferenţiale ordinare cu aplicaţii în mecanică, fizică şi inginerie
Prefaţă Cartea e faţă a fost elaborată î carul proiectului POSDRU/56/./S/768 Formarea carelor iactice uiversitare şi a stueţilor î omeiul utilizării uor istrumete moere e preare-îvăţare-evaluare petru
Διαβάστε περισσότεραAlgebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.
Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL
Διαβάστε περισσότεραOLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότερα3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
Διαβάστε περισσότεραPartea întreagă, partea fracţionară a unui număr real
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor
Διαβάστε περισσότεραMATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela
MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραMODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE
MODELAREA MATEMATICĂ A SISTEMELOR CONTINUE OBIECTIVE Aaliza sistemelor de ordiul doi folosid modele matematice Calculul polilor şi zerourilor fucţiei de trasfer Reducerea schemelor bloc 41 Itroducere Aaliza
Διαβάστε περισσότερα1Ecuaţii diferenţiale
1Ecuaţii diferenţiale 1.1 Introducere Definitia 1.1 Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinarădeordin1: y 0 (x) =f (x, y (x)) (EDO) unde y este funcţia necunoscută, iar f este o funcţie de două variabile
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότερα5. PROBABILITĂŢI Evenimente
5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραSeria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Διαβάστε περισσότεραîn care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV
CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a
Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Διαβάστε περισσότεραFie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).
Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f
Διαβάστε περισσότερα2. Metode de calcul pentru optimizarea fără restricţii
. Metode de calcul petru optimizarea fără restricţii Problemele de optimizare îtâlite î practică sut probleme cu restricţii, dar metodele de calcul petru optimizarea fără restricţii sut importate pri faptul
Διαβάστε περισσότεραIV. Rezolvarea sistemelor liniare
IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile
Διαβάστε περισσότερα5. Sisteme cu mai multe grade de libertate dinamică
Diamica Structurilor şi Igierie Seismică. [v.04] http://www.ct.upt.ro/users/aurelstrata/ 5. Sisteme cu mai multe grade de libertate diamică 5.. Ecuaţii de mişcare, formularea problemei, metode de rezolvare
Διαβάστε περισσότερα