Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

Transcript

1 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki 0 z odvodom f f( 0 + h f( 0 ( 0 := lim h 0 h Funkcija f je v točki 0 odvedljiva z desne, če obstaja limita f +( f( 0 + h f( 0 0 := lim h 0 h Funkcija f je v točki 0 odvedljiva z leve, če obstaja limita f ( f( 0 + h f( 0 0 := lim h 0 h Funkcija f je na intervalu (a, b odvedljiva, če je odvedljiva v vsaki točki intervala Funkcija f je odvedljiva na intervalu [a, b], če je odvedljiva na (a, b, v točki a odvedljiva z desne in v točki b odvedljiva z leve Če je funkcija f odvedljiva v točki 0, je v točki 0 tudi zvezna Računska pravila za odvajanje: Če sta funkciji f in g odvedljivi v točki 0, so v točki 0 odvedljive tudi f + g, fg, λf, kjer je λ R, in f g, če g( 0 0, ter veljajo naslednje formule: (f + g ( 0 = f ( 0 + g ( 0 (fg ( 0 = f ( 0 g( 0 + f( 0 g ( 0 (λf ( 0 = λf ( 0 ( f ( 0 = f ( 0 g( 0 f( 0 g ( 0 g [g( 0 ] Verižno pravilo ali odvod kompozituma Če je funkcija f odvedljiva v točki 0 in je funkcija g odvedljiva v točki f( 0, je kompozitum g f odvedljiv v 0 in velja (g f ( 0 = g (f( 0 f ( 0 Odvodi nekaterih elementarnih funkcij: C = 0, če je C R (tg = cos ( α = α α (cot = sin (ln = (arcsin = (e = e (arccos = (sin = cos (arctg = + (cos = sin

2 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol l 06/7 Točko 0 v kateri je odvod enak 0, imenujemo stacionarna točka Globalni ekstremi:naj bo f : [a, b] R Funkcija f ima v točki 0 [a, b] globalni maksimum (globalni minimum f( 0 funkcije f, če velja f( f( 0 ; (f( f( 0 za vsak [a, b] Če je f : [a, b] R zvezna na [a, b] in odvedljiva na (a, b, potem se globalni ekstrem nahaja v stacionarni točki ali v krajišču intervala l Hopitalov izrek: Naj bosta f in g odvedljivi na (a, b Če za c (a, b velja f(c = g(c = 0, g( 0 za c in obstaja limita f ( L = lim c g (, f( potem obstaja tudi lim c g( in je enaka L f( Izrek velja tudi za limite oblike lim c g(, ko je f(c = g(c =, ko je c = ± in za enostranske limite Intervali naraščanja in padanja funkcije: Odvedljiva funkcija f narašča na intervalu (a, b, če je tam f ( 0, ali pa pada na intervalu (a, b, če je tam f ( 0 Konkavnost in konveksnost funkcije: Naj bo funkcija f odvedljiva na intervalu (a, b Pravimo, da je f konveksna (konkavna na (a, b, če za vsak 0 (a, b graf funkcije f G(f = {(, f( (a, b} leži nad (pod tangento na ta graf v točki ( 0, f( 0 Če je f dvakrat zvezno odvedljiva na (a, b in če je f ( 0 (f ( 0 za vsak (a, b, potem je f konveksna (konkavna na (a, b Točko, kjer funkcija f preide iz konveksnosti v konkavnost ali obratno, imenujemo prevojna točka ali prevoj funkcije f S pomočjo definicije odvajaj f( = cos (R: f ( = sin S pomočjo definicije odvajaj f( = Pokaži, da tangenta na graf funkcije f v poljubni točki oklepa s koordinatnima osema trikotnik s konstantno ploščino (R: f ( =, pl = Odvajaj (a f( = , (R: f ( = (b f( = , (R: f ( = (c f( = e cos, (R: f ( = e (cos sin cos +sin (d f( = cos sin, (R: f ( = sin (e f( = sin 4 + cos 4, (R: f ( = sin 4 (f f( = e sin, (R: f ( = e sin cos + (g f( =, (R: f ( = ( (h f( = ( + sin, (R: f ( = ( + ( sin + ( + cos (i f( = arctg +, (R: f ( = (j f( = arctg + + (R: f ( =

3 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol l 06/7 4 Izračunaj enačbo tangente na graf dane funkcije v točki 0 : (a f( = + + 6, 0 =, (R: y = (b f( = cos, 0 = π, (R: y = + +π 6 (c f( = sin + 4 cos, 0 = 0 (R: y = Pokaži, da se krivulji y = in y = sekata pravokotno 6 Poišči globalne ekstreme na danem intervalu (a f( = arctg( na [, ], (R: ma ( (, π 4, min ( 0, π 4 (b f( = + na [0, 4] (R: ma [0,4] f( = f(4 = 8, min [0,4] f( = f(0 = 0 7 Poišči intervale naraščanja in padanja za f( = (R: Funkcija f pada za (,, drugje pa narašča 8 Iz 40 cm dolge žice oblikuj pravokotnik z največjo možno ploščino (R: Pravokotnik z največjo ploščino je kvadrat s stranico 0 cm 9 Imamo enakokraki trikotnik z osnovnico c in višino h Včrtaj mu pravokotnik z osnovnico na stranici c tako, da bo ploščina največja (R: stranici pravokotnika: a = c, b = h 0 Tovarna izdeluje literske konzerve v obliki pokončnega valja (brez pokrova Kolikšno mora biti razmerje med polmerom r in višino v konzerve, da bo pločevina najbolj racionalno izkoriščena? (R: r : v = : S pomočjo odvoda pokaži, da za vsak > 0 velja S pomočjo l Hospitalovega pravila izračunaj limite ln ln (a lim, (R: 0 (b lim 0 ( ln, (R: 0 (c lim 0 ( e, (R: tan sin (d lim 0 sin, (R: cos sin (e lim 0 (f lim ( ln, (R:, (R: ( (g lim, (R: ( (h lim, (R: ( + (i lim m n, m, n N, n 0, (R: m n (j lim +, (R: (k lim 4 +, (R: 4 (l lim, (R: tan sin (m lim 0, sin (R: (n lim, + (R:

4 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol l 06/7 4 sin( (o lim 0, (R: sin m (p lim 0 sin n, m, n R, n 0, (R: m n sin(4 (q lim 0 +, (R: 8 (r lim 0 sin, (R: (s lim 0 tan sin, (R: e (t lim 0 cos, (R: Za vsako naslednjih funkcij določi naravno definicijsko območje, ničle, lokalne ekstreme, prevoje, intervale naraščanja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti Razišči obnašanje funkcije na robu definicijskega območja in čimbolj natančno nariši graf funkcije (a f( = ( ( +, (b ( R: D f = R \ {}, f ima trojno ničlo v = in asimptoto y = 5 V = ima f pol, lim f( = in lim f( = Graf funkcije in asimptotota se sekata v točki (, 6 Prvi odvod je f ( = ( (+5, lokalni maksimum ima v = 5, f( 5 = 7 (+, in pada na intervalu ( 5, Drugi odvod je f ( = 4(, torej ima f prevoj v = in je (+ 4 konveksna na (, f( =, (c (d ( R: D f = [, 0 (0, ], v = 0 je pol, lim 0 f( = in lim 0 f( = Asimptote nima, v = ± sta ničli Prvi odvod je f ( =, lokalnih ekstremov ni, povsod pada Drugi odvod je f ( =, torej ima f prevoja v = ± ( (±, f = ±, in je konveksna na (, (0, ( f( = arctan, (R: D f = R\{}, f ima ničlo v = 0, asimptota y( = π 4, lim f( = π in lim f( = π Prvi odvod je f ( = +, zato funkcija povsod pada Drugi odvod je f ( = f ima prevoj v =, f( = π 4, in je konveksna na (, f( = arctan ( +, ( ( +, (R : D f = R \ {, } in f nima ničel Ker je f soda funkcija, je dovolj, če določimo limite lim f( = π, lim f( = π in lim f( = π 4, saj je graf simetričen glede na os z Odvod f je f ( = 4 +, lokalni maksimum ima v = 0, f(0 = π 4, in funkcija pada na intervalih (0, in (, Drugi odvod je f ( = (4, torej je funkcija konkavna na ( 4 + intervalu ( 4, 4 in ima prevoja v = ±, f 4 (± 4 = arctan +

5 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol l 06/7 5 Dodatne naloge: Dan je funkcijski predpis f( = ( + e Določi definicijsko območje funkcije f in poišči njene ničle Določi vse stacionarne točke f ter poišči najmanjšo in največjo vrednost funkcije f na intervalu [0, 4] (R: D f = R, ničli ima v točkah = 0 in =, stacionarni točki sta = in =, maksimalna vrednost je f( = 6e, minimalna pa f(0 = 0 Poišči vse lokalne ekstreme funkcije f( = cos( sin( ter maksimum in minimum na intervalu [π, π] (R: Stacionarne točke: = kπ, k Z, maksimalna vrednost je f(π = 4π, minimalna pa f( π = π Poišči vse lokalne ekstreme funkcije f( = tan tan ter maksimum in minimum na intervalu [ π, π ] (R: Stacionarna točka = π 4, maksimalna vrednost je f(π 4 =, minimalna pa f( π = 4 S pomočjo odvoda pokaži, da za vse velja: + ( + ln (R: Pišemo: f( = + ( + ln, odvajamo in ugotovimo, da je na zahtevanem intervalu f ( 0, kar pomeni, da funkcija tam narašča Ker je f( = 0, mora biti torej f na danem intervalu pozitivna 5 S pomočjo odvoda pokaži, da za vse [0, π velja: tan ln(cos (R: Pišemo: f( = tan + ln(cos, odvajamo in ugotovimo, da je na zahtevanem intervalu f ( 0, kar pomeni, da funkcija tam narašča Ker je f(0 = 0, mora biti torej f na danem intervalu pozitivna 6 S pomočjo odvoda ugotovi, v kateri točki krivulje f( = oklepa tangenta z osjo kot π 4 (R: T (, in T (, 7 Dan je funkcijski predpis f( = + Natančno določi definicijsko območje funkcije in razišči obnašanje funkcije na robu območja Poišči ničle, lokalne ekstreme in prevojne točke Določi intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f ter skiciraj njen graf (R: D f = R \ {}, v ima funcija pol, v neskončnosti pa se približuje asimptoti y = + Ničlo ima funkcija v točki = 0, lokalne ekstreme v točkah = 0 (lok maks in = (lok min, prevojev pa nima Funkcija narašča na intervalih (, 0 in (, ter pada na intervalih (0, in (, Pri < je funkcija konkavna, pri > pa konveksna 8 Dan je funkcijski predpis f( = ln Natančno določi definicijsko območje funkcije in razišči obnašanje funkcije na robu območja Poišči ničle, lokalne ekstreme in prevojne točke Določi intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f ter skiciraj njen graf (R: D f = (0,, blizu 0 gre funkcija proti 0, v neskončnosti pa neomejeno narašča, asimptote nima Ničlo ima funkcija v točki =, lokalni minimum v točki = e, prevojev pa nima Funkcija narašča na intervalu ( e, ter pada na intervalu (0, e Funkcija je povsod konveksna 9 Dan je funkcijski predpis f( = e Natančno določi definicijsko območje funkcije in razišči obnašanje funkcije na robu območja Poišči ničle, lokalne ekstreme in prevojne točke Določi intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f ter skiciraj njen graf (R: D f = R \ {0}, z leve strani 0 se funkcija približuje 0, z desne pa narašča v neskončnost V neskončnosti se funkcija približuje asimptoti y = + Ničel in prevojev funkcija nima, lokalni minimum pa ima v točki = Funkcija narašča na intervalih (, 0 in (, ter pada na intervalu in (0, Pri < 0 je funkcija konkavna, pri > 0 pa konveksna 0 Dan je funkcijski predpis f( = Določi definicijsko območje funkcije, ničle, stacionarne in prevojne točke, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f Določi vrsto lokalnih

6 Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, MATEMATIKA, šol l 06/7 6 ekstremov in globalni minimum ter maksimum funkcije f na intervalu [, ] Skiciraj še graf funkcije! (R: D f = R, asimptote nima Ničle so v točkah = 0 in =, lokalni ekstremi v točkah = 0 (lok min, = (lok maks in = (lok min, prevoja pa sta v točkah = in = + Funkcija ( narašča na intervalih (0, in (, ter pada na intervalih (, 0 in (, Na intervalu ( (, + je funkcija konkavna, na intervalih, in +, pa konveksna Globalni maksimum na danem intervalu doseže funkcija v točki = in je enak 9, globalni minimum pa je 0, dosežen v točkah = 0 in = Dan je funkcijski predpis f( = + Določi definicijsko območje funkcije, ničle, stacionarne in prevojne točke, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f Določi vrsto lokalnih ekstremov in globalni minimum ter maksimum funkcije f na intervalu [, ] Skiciraj še graf funkcije! (R: D f = R, asimptote nima Ničle so v točkah =, = in =, lokalna ekstrema v točkah = 7 (lok maks in = + 7 ( (lok min, prevoj pa v točki = Funkcija narašča na intervalih, 7 konkavna, pri > ( ( in + 7, ter pada na intervalu 7, + 7 Pri < je funkcija pa konveksna Na intervalu [, ] se globalna ekstrema ujemata z lokalnima Dan je funkcijski predpis f( = Določi definicijsko območje funkcije, ničle, stacionarne in + prevojne točke, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije f Določi vrsto lokalnih ekstremov in globalni minimum ter maksimum funkcije f na intervalu [, ] Skiciraj še graf funkcije! (R: D f = R, polov nima, v neskončnosti pa se približuje asimptoti y = + (seka jo v točki = Ničlo in prevoj ima funkcija v točki = 0, lokalnih ekstremov nima Funkcija vseskozi narašča Na intervalih (, 0 in (, + je funkcija konkavna, na intervalih ( 0, in ( +, pa konveksna Globalni minimum na danem intervalu doseže funkcija v točki = in je enak 5, globalni maksimum pa je 4 in je dosežen v točki = Zadnjič popravljeno: 07 (MP