BAC 2007 Pro Didactica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BAC 2007 Pro Didactica"

Transcript

1 BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net:

2 --007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta Subiectul I. 3. Subiectul II Subiectul III. 4 Capitolul. Varianta 7 1. Subiectul I. 7. Subiectul II Subiectul III. 8 Capitolul 3. Varianta Subiectul I. 11. Subiectul II Subiectul III. 1 Capitolul 4. Varianta Subiectul I. 15. Subiectul II Subiectul III. 16 Capitolul 5. Varianta Subiectul I. 19. Subiectul II Subiectul III. 0 1

3

4 --007/versiune finală CAPITOLUL 1 Varianta 1 1. (64 : 8)+9=8+9= 17. x=7+1, deci x= 8 = Subiectul I. 3. Probabilitatea va fi egală cu numărul de bile negre împărţit la numărul total 11 de bile, adică = % din 5 se calculează = 5 1 5= 5 fete. 5. Linia mijlocie a trapezului este 4+1 = Într-un paralelogram, suma a două unghiuri alăturate este de 180. Deci ÂBC=180 BAD= = Lungimea cercului este πr, unde r este raza. Deci, 1π=πr, de unde r= 1π π = 6 cm. 8. Folosind formula V con = π r h, obţinem: V= π = 16 3 π cm3.. Subiectul II. 9. B : Mai întâi să observăm că a= (1+ ) = 1+. Pe de altă parte b= 1 = 1, căci >1. Media geometrică a numerelor a şi b este a b= ( +1)( 1)= ( ) 1 = 1= B : Rezolvăm prima ecuaţie. Desfiinţând parantezele avem 3x+9 x 10=4, sau x 1=4, de unde obţinem x=5. Înlocuindu-l pe x în a doua ecuaţie, îl aflăm pe a. După substituirea lui x avem 5a+4=a, de unde rezultă a= C : Simetricul punctului M(3, 4) faţă de origine este punctul M ( 3, 4). 3

5 --007/versiune finală 1. D : Aplicând teorema lui Pitagora, obţinem valoarea ipotenuzei: BC = = 36+64=100, deci BC=10. Atunci sin B sin Ĉ Deci sin B+sin Ĉ= = = 7 5 = AC BC = 8 10 = AB BC = Subiectul III. 13. a. Două caiete şi două cărţi vor costa 1, 8+ 6=3, 6+1=15, 6 lei Restul primit de la 50 lei este 50 15, 6= 34, 4 lei. b. Cum coletul conţine în total 10 bucăţi, dintre care cel puţin 3 caiete şi cel puţin cărţi, preţul minim se obţine când avem 8 caiete şi cărţi şi va fi: 8 1, 8+ 6=14, 4+1= 6, 4 lei. 14. a. Ecuaţia 1 9x = 0 se rescrie 9x = 1 sau x = 1 9, de unde x 1= 1 3 şi x = 1 3. b. (x+1)(1 3x)=x 3x + 1 3x=1 x 3x 5 M(3, 4) O(0, 0) M (?,?) FIGURA 1. Exerciţiul 11. 4

6 --007/versiune finală c. E(x) = 7x 3x 1 9x = ( ) 3x 1 x 3x 1+ 3x+x x+3 ( 7x 3x (1 3x)(1+3x) 3x (x+1)(1 3x) 1+ x(x+3) x+3 7x 3x = (1 3x)(1+3x) 3x (x+1)(1 3x) (1+x) 7x 3x = (1 3x)(1+3x) 3x (1 3x) 7x 3x = (1 3x)(1+3x) 3x(1+3x) (1 3x)(1+3x) = 7x 3x 3x 9x 4x 1x = (1 3x)(1+3x) (1 3x)(1+3x) 4x(1 3x) = (1 3x)(1+3x) = 4x 1+3x D ) O C A H B D O C A B FIGURA. Exerciţiul a. b. Cum avem perechile de drepte paralele AC A C, A D B C AC şi B C sunt în planul (ACB ) A C şi A D sunt în planul (A C D) rezultă că (ACB ) (A C D). c. Cum A C AC, unghiul dintre CD şi A C este unghiul ACD care are măsura 45. 5

7 --007/versiune finală d. Fie O intersecţia diagonalelor în pătratul ABCD, iar O intersecţia diagonalelor în pătratul A B C D. Fie H piciorul perpendicularei din B pe DO. Observăm că BO A C şi DO A C, deci A C (BDO ). In particular A C BH. Cum BH DO, rezultă că BH (DA C ). Triunghiul DO B este isoscel cu DO = BO. Din triunghiul dreptunghic DD O, avem DO = D D + D O = 4 + ( ) = 6 Aria triunghiului BO D poate fi calculată în două moduri ceea ce conduce la BH DO = OO BD, sau BH 6=4 4, de unde BH=

8 --007/versiune finală CAPITOLUL Varianta 1. Subiectul I : 5= 07.. A B= { 1, 0}. 3. Numerele mai mici sau egale cu 4 de pe un zar sunt 1,, 3, 4. Probabilitate să iasă unul din aceste 4 numere este 4 6 = Avem 3 3 7= = = Suma celor două unghiuri ascuţite ale unui triunghi dreptunghic este de 90, deci celălalt unghi va măsura = Linia mijlocie a trapezului este egală cu semisuma bazelor, adică 15+7 = 11 cm. 7. V cub = l 3 = 3 3 = 7 cm Cum perimetrul este 40, deducem că latura bazei este 10. Avem deci A laterală = = 00. La acelaşi rezultat se ajunge şi folosind formula A laterală = apotema perimetrul bazei.. Subiectul II. 9. A : Cum 14=4 31, numărul 31 este un divizor al lui 14 cuprins între 0 şi C : BC=3iar AC=, de unde BC AC = 3 = 1, B : Dacă rombul are un unghi de 60, diagonala mică separă rombul în două triunghiuri echilaterale, fiecare de latură l egală cu diagonala mică (l = 1 cm). Aria rombului este de două ori aria unui triunghi echilateral de latură 1, 1 1 sin 60 3 adică = 144 = C : Oriunde ar fi punctul M situat pe CD, aria triunghiului AMB este aceeaşi şi anume AB BC = 6 4 = 1 cm, căci înălţimea va fi egală cu BC. 7

9 --007/versiune finală 3. Subiectul III. 13. a. Să notăm vârsta Danei (şi a Oanei) cu d. Avem că d+d+1=6, de unde d=14, deci d= 7. b. Notăm cu x numărul de ani în urmă când vârsta lui Vlad era egală cu suma vârstelor Danei şi Oanei. Prin urmare acum x ani Vlad avea 1 x ani, iar Dana 7 x. Avem deci relaţia 1 x=(7 x)+(7 x) sau 1 x=14 x, de unde x=. 14. a. Folosind formula a b = (a b)(a+b), avem E(x)=(x+1+x 1)(x+ 1 x+1)+x 4 3x + 14=3x(x+) x + 10=x + 6x+10. b. E( 3)=( 3) + 6 ( 3)+10= = 1 c. Avem E(a)=a + 6a+10=(a + 6a+9)+1=(a+3) + 1 1>0, a R. E F H G A B D M H C FIGURA 1. Exerciţiul a. b. A t = A bazei + A ABFE + A BCGF = AB BC+ AB BF+ BC CG = = = c. Cum EA (ABCD), AB BC şi BC (ABCD) conform teoremei celor trei perpendiculare rezultă EB BC. Din EB BC şi AB BC avem că unghiul dintre (EBC) şi (ABC) este ÂBE, iar măsura lui este 45, căci triunghiul EAB este dreptunghic isoscel. 8

10 --007/versiune finală d. Fie H piciorul perpendicularei din A pe DM. Cum EA (ABCD), AH DM şi cum DM este în planul (ABCD), conform teoremei celor trei perpendiculare, rezultă că EH DM. Trebuie să aflăm deci lungimea segmentului EH. Din triunghiul dreptunghic DCM conform teoremei lui Pitagora, DM = + 1 = 5. Calculăm aria triunghiului MAD (propunătorul ştie oare engleza?) în două moduri. Pe de o parte ţinând cont de faptul că înăţimea din M pe AD este egală cu AB=, avem Aria MAD = 3 = 3. Pe de altă parte, 5 AH =. Rezolvând ecuaţia 5 AH 3=, obţinem AH= 4 3 (nu are sens să raţionalizăm numitorul; ne va fi mai 5 Aria MAD = AH DM uşor aşa). In fine în triunghiul dreptunghic EAH, teorema lui Pitagora conduce la ( ) 4 3 EH= + = = 5 = 17 =

11

12 --007/versiune finală CAPITOLUL 3 Varianta 3 1. Subiectul I numere întregi: 3,, 1, 0, 1, = 4 4 = Pe zar există 3 numere mai mici decăt 4 şi anume 1, şi 3. Probabilitatea să cadă unul dintre ele este 3 6 = Într-unul din cele două triunghiuri dreptunghice în care înălţimea împarte triunghiul echilateral avem sin 60= h l, deci l= h sin 60 = 1 = 4 = 4 3 = P= L+ l= = 4 cm. 7. V con = π r h, de unde h= 3V = π r π 6= 3 cm 8. Cubul are 6 feţe, deci A cub = 6l = 6 10 = 600 cm.. Subiectul II. 9. B : Din relaţiile lui Viète ştim x 1 + x = b a = 9 9 = D : Valorile pe care le ia f sunt f (0)= 0+1=1, f ()= +1=5 şi f (4)= 4+1= C : Unghiul ABC este unghi înscris în cerc şi are măsura egală cu jumătate din măsura arcului AC, care este 180. Deci măsura unghiului ABC este 180 = B : E=sin 30 + cos(90 30 )=sin 30 + cos 60 = = 1. 11

13 --007/versiune finală 3. Subiectul III. 13. a. Cum cel mai mare număr este divizibil cu 10, el este de forma 10k cu k N, iar câtul împărţirii lui la 5 este k. Similar, cum cel mai mic număr multiplu de 6 el are forma 6p, cu p N, iar câtul împărţirii la 6 este p. Avem deci relaţiile: 10k 6p=10 şi k=p+0, care după împărţire la se rescriu: 5k 3p=60 şi k=p+10. Inlocuind k în prima relaţie obţinem: 5p+50 3p=60, de unde p=5 ceea ce conduce la k=15. Deci numărul mai mare este 150. b. Numerele fiind 150 şi 30, numărul mic reprezintă = 1 = 0, = 0% 5 din cel mare. x a. x + 4x+3 = (x+3) x + 3x+x+3 = (x+3) x(x+3)+(x+3) = (x+3) (x+3)(x+1) = x+1. a+6 b. Conform punctului precedent a + 4a+3 = a+1. Pentru ca să fie a+1 număr întreg, a+ 1 trebuie să fie divizor al lui, adică a+ 1 {, 1, 1, }. Deducem a { 3,, 0, 1} şi cum a Z\{ 3, 1}, avem a {, 0}. c. Avem (a) = ( 4 x x x+6 ) 1 : ( 1 x x + 4x+3 x+1 4 x x (1 x)(1+x) ) (x+1) x+1 = 4(x+1) (13 5x) (x 1) (x 1)(x+1) = 4x x x+ x 1 (x+1) = 7(x 1) x 1 = a. b. Fie O O înălţimea trunchiului de piramidă şi P piciorul perpendicularei din A pe AC. Avem A P=O O. Unghiul dintre AA şi planul (ABC) este  AP şi conform ipotezei are măsura 45. In triunghiul dreptunghic A PA avem: sin  AP = A P AA, echivalent cu sin 45 = A P, de unde 6 A P=6 = 3. Deci O O= 3. c. V trunchi piramidă = h 3 (A B+ A b + A B A b ), unde h este înălţimea trunchiului de piramidă, A B aria bazei mari şi A b aria bazei mici. Pentru a calcula A B avem nevoie de lungimea laturii bazei mari. Triunghiul A PA este dreptunghic isoscel, deci AP=3. Atunci AC=AP+A C= 6 +6 =1 şi deci AB= AC = 1. Prin urmare V trunchi piramidă = 3 3 ( )= ( )= 5. 1

14 --007/versiune finală d. Cum A C = AO=6 şi A C AO rezultă că AOC A este paralelogram. Cum AA OC, unghiul dintre AA şi BC este unghiul BC O. Din DC = BC (fetele laterale sunt congruente) rezultă că triunghiul BC D este isoscel. Punctul O este mijlocul lui BD, deci C O BD. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic BOC avem: BC = BO + OC = (6 ) + 6 = =6 3, iar sin BC O= = 6 3. tom D A D O B C A O C B FIGURA 1. Exerciţiul

15

16 --007/versiune finală CAPITOLUL 4 Varianta =9 = = A B= { 3} 1. Subiectul I. 5. L cerc = πr=1π, deci r= 6 cm. 6. Aria triunghiului dreptunghic este egală cu semiprodusul catetelor, deci A = 6 8 = 4 cm. 7. V cub = l 3 = 16=6 3, deci l= 6 cm. 8. A lat = πrg=π 7 9= 16π cm.. Subiectul II. 9. C : Folosind formula n= n(n+1), avem S= = ( ) (1++3)= = =5050 6= B : Aducând cele două fracţii la numitor comun, obţinem (+ 5)( 5) = 4 5 = D : Se formează un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este scara iar catetele sunt înalţimea clădirii şi distanţa de la scară la clădire. Aplicând teorema lui Pitagora în acest triunghi, obţinem distanţa: d= 10 8 = 36=6 m. 1. A : Fie D piciorul perpendicularei din A pe BC. De asemenea, să notăm cu O punctul în care bisectoarea unghiului Ĉ intersectează înalţimea AD. Calculăm mai întâi : Ĉ=180 Â B= = 70. În triunghiul 70 ODC, ştim ÔCD= = 35, iar ÔDC=90. Atunci DOC=180 ÔDC ÔCD= =55 15

17 --007/versiune finală 3. Subiectul III. 13. a. Elevul a rezolvat corect 4 probleme şi incorect 6 probleme. Punctajul lui va fi =0 1= 8. b. Să notăm cu x numărul problemelor rezolvate corect şi cu y numărul problemelor rezolvate incorect. Numărul total de probleme este x + y = 10. Numărul de puncte obţinut de elev este 5x y=9. Îl scoatem pe y din prima ecuaţie y = 10 x şi înlocuim în a doua ecuaţie: 5x (10 x) = 9, deci 5x 0+x=9, de unde x=7. Elevul a rezolvat corect 7 probleme. Comentariu: Substituind înapoi în oricare din ecuaţii găsim şi y=3, dar această valoare nu ni se cere. 14. a. Avem ( 1 E(x) = x x 1 x + x + ) x+6 : x 4 x 3 4x = = x+ x++x x(x+)(x ) = x+4 (x+3) = x+ x+3 b. Cum x+3 E(x) = x+3 x+ ( 1 x(x ) 1 x(x+) + (x+)(x ) x(x+)(x ) (x+3) ) x(x 4) (x+3) = x+, inecuaţia devine x+ <4, x+3 ceea ce este echivalent cu 4<x+<4 sau 6<x<. Soluţia inecuaţiei este: x ( 6, ) (Z\{ 3,, 0, })= { 5, 4, 1, 1} (c) Să observăm mai întâi că scoţând întregii din fracţie avem E(a)= a+4 a+3 = a+6 =. Pentru ca E(a) să fie întreg este necesar şi sufi- a+3 a+3 cient ca a+3 să fie divizor întreg al lui, adică a+3 {, 1, 1, }. De aici a { 5, 4,, 1}, dar a= nu este în domeniul de definiţie al lui E, deci în concluzie a { 5, 4, 1}. 15. a. b. Cum AB A B rezultă că triunghiurile A PB şi BPA sunt asemenea. Avem deci: A P PB = B P AP = A B AB = 6 18 = 1. Făcând proporţii derivate pornind de 3 16

18 --007/versiune finală la A P PB = 1 3, avem A P+PB PB = sau A B PB = 4 3 (1) Fie E piciorul perpendicularei din A pe AB. Avem AE= AB A B = 6, deci EB = AB AE = 1. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic A EB avem A B= AE + EB = = 1. Înlocuind în relaţia (1) avem PB= 3A B = 3 1 = 9. Perimetrul triunghiului 4 4 isocel APB este AP+PB+AB=PB+AB= cm. c. Dacă OO este înălţimea trunchiului de piramidă, atunci V= OO 3 (Aria ABCD+ Aria A B C D + Aria ABCD Aria A B C D ) Fie M piciorul perpendicularei din O pe BC, N piciorul perpendicularei din O pe B C, iar Q piciorul perpendicularei din N pe OM. Avem QM= OM O N= 9 3=6. In triunghiul dreptunghic NQM conform teoremei lui Pitagora NQ= NM QM = 1 6 = 108=6 3 D A B O M C P D A O Q C M B FIGURA 1. Exerciţiul

19 --007/versiune finală Cum NQ=OO putem calcula acum volumul şi avem V = ( ) = 3 ( ) = 3 468= d. Cum OM BC şi NM BC, rezultă că unghiul dintre fata laterală (BCC B ) şi planul bazei (ABCD) este QMN. În triunghiul dreptunghic MQN avem cos QMN = QM MN = 6 1 = 1, de unde rezultă că măsura unghiului QMN este

20 --007/versiune finală CAPITOLUL 5 Varianta 5 1. Subiectul I = 40 36= 4.. Numărul mai mic este b= 7, Un sfert de oră are 60 = 15 minute Împărţim ambii membri ai ecuaţiei 5y=3x cu 5x. Obţinem 5y 5x = 3x, şi, după 5x simplificare, y x = Perimetrul unui hexagon regulat cu lungimea laturii l este 6 l. In cazul de faţă obţinem 6 8= 48 cm. 6. L cerc = πr=4π, deci r= 4π = 1 cm. π 7. Aria totală a unui cub cu latura l este A t = 6 l. In cazul de faţă obţinem 6 5 = 150 dm. ( ) l 8. Lungimea apotemei este a = m, unde m este lungimea muchiei laterale şi l lungimea muchiei bazei. Cu datele din exerciţiu a= 10 = ( ) = 64= 8.. Subiectul II. 9. C : Avem două inecuaţii. Prima inecuaţie este 3 x 1, sau x 3+1, echivalent cu x sau x [, ). A doua inecuaţie este x 1 0, echivalent cu x 1, sau x (, 1]. De aici A=[, ) (, 1]=[, 1]. 10. D : Cum M(, y) aparţine graficului funcţiei f, avem f ()= y. Deci y= +4= C : MN este linia mijlocie şi este egală cu jumătate din latura BC, iar AM şi AN sunt date ca fiind jumătate din AB, respectiv, AC. Deci, triunghiul AMN 19

21 --007/versiune finală are fiecare latură egală cu jumătate din laturile triunghiului ABC şi astfel are perimetrul P AMN = P ABC = B : A PDC = DC AM = 60 cm. = 10 6 = 60 = 30 cm. 13. a. Din ipoteză 0 80 a= Subiectul III. b, sau după simplificare, a=4b. De aici b= a = a, deci b reprezintă 5% din numărul a. 100 b. Înlocuind a=4b în ecuaţia dată, obţinem: (4b) + b = 17, sau 16b + b = 17, de unde b = 1. Cum b este natural rezultă b=1. Substituind, avem şi a=4b= a. Descompunând numitorii şi aducând la acelaşi numitor avem E(x) = = ( 1 x x + ) x+1 ( x 1 1 x ) x 1 + (x+1)(x 1) x+1 = x 1+x+1+ x+1 (x+1)(x 1) (x+1) = (x+1)(x 1) x+1 = x+1 x 1 b. Scoţând întregii din fracţie avem E(x)= x+1 x 1 = (x 1)+ = 1+ x 1 x 1. Pentru ca E(x) să fie număr întreg este necesar şi suficient ca x 1 să fie printre divizorii lui, deci x 1 {, 1, 1, }. De unde x { 1, 0,, 3} (Z\{ 1, 1})= {0,, 3}. c. Calculăm E( +1 ) = = ( +1)( +1) 1 ( 1)( +1) = + +1 = 3+ = Avem 3+ =(a +b) sau 3+ =a + ab +b, de unde: { a + b = a. ab = A doua ecuaţie din sistem se rescrie ab=1şi cum a, b N, rezultă că a=b=1, valori care verifică şi prima ecuaţie a sistemului: 1 +1 = 3. 0

22 --007/versiune finală b. Fie AA B B un plan ce conţine înălţimea OO, unde A, B sunt puncte pe baza mare şi A, B puncte pe baza mică. Construim A M AB unde M AB. Unghiul dintre generatoarea trunchiului şi planul bazei este unghiul A AM. În triunghiul dreptunghic A MA avem: cos A AM= AM AA = = 1, de unde A 30 AM= 60. c. Fie V vârful conului din care provine trunchiul de con. Trebuie aflată înălţimea VO a conului. Cum A M VO (perpendiculare pe aceeaşi dreaptă) rezultă că triunghiurile AMA şi AOV sunt asemenea. Deci: A M VO = AM AO sau A M VO = 15 (1). In triunghiul dreptunghic AMA conform teoremei 30 lui Pitagora, avem A M= AA AM = 900 5= 675= Revenind la relaţia (1) avem: VO = 1, de unde VO=30 3. Prin urmare V con = π = 9000π 3. 3 d. Lungimea sectorului de cerc ce reprezintă desfăşurarea suprafeţei laterale a conului este egală cu lungimea cercului de bază adică π 30= 60π. Raza sectorului de cerc este egală cu VA, generatoarea conului. În triunghiul dreptunghic VOA aplicând teorema lui Pitagora avem: VA= VO + AO = =30 4=60. Lungimea totală a cercului de rază 60 este 10π, deci arcul de cerc având lungimea 60π, este de fapt un semicerc. Unghiul cerut are deci măsura 180. V B O A B O M A FIGURA 1. Exerciţiul 15. 1

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

BAC 2007 Pro Didactica

BAC 2007 Pro Didactica BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 1 5 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 5--007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 1 1. Subiectul

Διαβάστε περισσότερα

BAC 2007 Pro Didactica

BAC 2007 Pro Didactica BAC 007 Pro Didactica Testare Naţională Rezolvările variantelor 81 85 versiune finală Redactia Pro Didactica Suportul pe net: http://www./ 9-5-007/versiune finală Cuprins Capitolul 1. Varianta 81 1. Subiectul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele.

Varianta 1. SUBIECTUL I Pe foaia de teză se trec numai rezultatele. Varianta 1 1 a) Rezultatul calculului 3,7 1 6 este egal cu numărul b) Rădăcina pătrată a numărului 11 este egală cu numărul c) Media aritmetică a numerelor 3 + 7 şi 3 7 este egală cu a) Soluţia întreagă

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii:

TRIUNGHIUL. Profesor Alina Penciu, Școala Făgăraș, județul Brașov A. Definitii: TRIUNGHIUL Profesor lina Penciu, Școala Făgăraș, județul rașov Daca, si sunt trei puncte necoliniare, distincte doua câte doua, atunci ( ) [] [] [] se numeste triunghi si se noteaza cu Δ. Orice Δ determina

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC

Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC Subiectul 1-similar cu subiectul 1 MEC Ex.1. 1.Calculati: a) 416+564 b) 234-167 c) 32 8 d) 169:13 e) 2 3 +2-8 f) 3 4-3 +3 2 g) (4/5):2 2 +1/10 h) 48:8-12 i)8 3/4-9 j) I1-3 2I -3 2 +1 k) I5-2 5I -2 5 5

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VI-a

Subiecte Clasa a VI-a Clasa a VI Lumina Math Intrebari (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a

BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a GEOMETRIE-Evaluare Naţională 010 BREVIAR TEORETIC CU EXEMPLE CONCRETE, PENTRU PREGĂTIREA EXAMENULUI DE EVALUARE NAŢIONALĂ, clasa a VIII-a - 010 Propunător: Şcoala cu clasele I-VIII Măteşti, com. Săpoca,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiectul I Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. 5p , , atunci numărul natural n este egal cu.

Subiectul I Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele. 5p , , atunci numărul natural n este egal cu. ȘCOLR JUDEȚEN H U N E D O R SIMULRE JUDEȚENĂ EXMENULUI DE EVLURE NȚIONLĂ 018 PENTRU ELEVII CLSEI VIII- N ȘCOLR 017-018 Matematică Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de ore.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA A V-A OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.

π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1. Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

:: Test 1 Partea I Partea II

:: Test 1 Partea I Partea II :: Test 1 1. Numărul care este cu 1 mai mic decât 79 este.. Primele două zecimale exacte ale numărului 5 sunt.. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 şi 6 este. 4. Rezultatul calculului : 9 5 1800

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă

EDITURA PARALELA 45. Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă. clasa a VIII-a. mate 2000 excelenţă Maranda Linţ Dorin Linţ Rozalia Marinescu Dan Ştefan Marinescu Mihai Monea Steluţa Monea Marian Stroe Matematică de excelenţă pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă clasa a VIII-a mate 000

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. Clasa I. AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi 3 ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9.

MATEMATICĂ. Clasa I. AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi 3 ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9. MATEMATICĂ Clasa I AlegeŃi răspunsul corect: 1. Vecinii lui 7 sunt: a)1 şi ; b) 7 şi 9 ; c) 6şi 8 ; d) 6 şi 7 ; e) 8 şi 9.. Care dintre numerele următoare este un număr impar? a) 5 ; b) 8 ; c) 4 ; d) 1

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI

LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ SPECIALIZAREA MATEMATICI APLICATE LUCRARE DE DIPLOMĂ CENTRE REMARCABILE ÎN TRIUNGHI Conducător Ştiinţific: Lect. Dr. VĂCĂREŢU

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ GRIGORE MOISIL EDIŢIA a II - a, 8 aprilie 2006

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ GRIGORE MOISIL EDIŢIA a II - a, 8 aprilie 2006 CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ GRIGORE MOISIL EDIŢIA a II - a, 8 aprilie 006 SUBIECTE PENTRU CLASA a III - a Rezolvaţi şi alegeţi varianta de răspuns corectă, haşurând în căsuţa de răspunsuri pentru

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Tema 8 DISTANTE IN SPATIU Prof. Gr. I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr. 43 Ferdinand Constanta

Tema 8 DISTANTE IN SPATIU Prof. Gr. I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr. 43 Ferdinand Constanta Lucrările Centrului Județean de Excelență la Matematică Constanța-015-016 https://015cjemctawikispacescom/home Tema 8 DISTANTE IN SPATIU 001016 Prof Gr I PIRVU MIHAI Școala gimnazială nr 4 Ferdinand Constanta

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα