MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA. TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE. HIDRODINAMIKA

Transcript

1 LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS

2 LIETUVOS FIZIKŲ DRAUGIJA ŠIAULIŲ UNIVERSITETO JAUNŲJŲ FIZIKŲ MOKYKLA FOTONAS Aurelija Pelanskienė MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA III KURSO III TURO METODINIAI NURODYMAI IR UŢDUOTYS Metodinė priemonė mokslo metai Šiauliai 05

3 III TURAS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA Metodiniai nurodymai m masės kūno, judančio greičiu, kūno impulsas, arba judesio kiekis, yra ektorinis dydis: p m () Todėl antrąjį Niutono dėsnį galima uţrašyti taip: p p Δp F () t t Dydis F t adinamas jėgos impulsu; čia t jėgos eikimo laikas, p p judesio kiekio (kūno impulso) pokytis Kūnų sistemos judesio kiekis lygus sistemą sudarančių kūnų judesių kiekių ektorinei sumai: n p m m m m ; sist i i n n (3) i čia n sistemą sudarančių kūnų skaičius Jeigu sąeikaujančių kūnų sistemą dar eikia išorinės jėgos (pz: trinties, elektrinės arba magnetinės), tai bendras sistemos judesio kiekio pokytis aprašomas lygybe: n i Δ(m ) i i n i Ft; čia Δ m i i kiekieno sistemos kūno judesio kiekio pokytis dėl išorinės jėgos F i poeikio, F i t tos jėgos impulsas Jei kūną eikia kintamoji jėga, tai judesio kiekio pokytį galima apskaičiuoti grafiškai Funkcijos F = F(t) kreiės apribotas plotas sao skaitine erte lygus judesio kiekio pokyčiui Δp ( pa) Kai išorinės jėgos nėra, galioja judesio kiekio termės dėsnis: uţdaros sistemos judesio kiekis yra pastous dydis: p sist n i m i i i const Jeigu sistemą sudaro du sąeikaujantys kūnai, tai judesio kiekio termės dėsnį uţrašome taip: a) kai sąeika tamprioji, t y kai kūnai po sąeikos juda atskirai: m m mu mu; (6) čia ir kūnų greičiai prieš sąeiką, u ir u kūnų greičiai po sąeikos; b) kai sąeika netamprioji (plastinė), t y kai kūnai po sąeikos juda kartu: m m (m m )u; (7) čia u kartu judančių kūnų greitis po sąeikos Pastoiosios jėgos F atliekamas darbas A F s Fs cosα; (8) čia s poslinkio ektorius, α kampas tarp jėgos F ir poslinkio s krypties π π π Jeigu α, tai A > 0, jeigu α, tai A = 0, jeigu α, tai A < 0 Pagal šią formulę galima apskaičiuoti ir kintamosios jėgos darbą, jeigu ţinoma jėgos idutinė ertė per judėjimo laiką Elementariosios matematikos metodais F id galima apskaičiuoti tik paprasčiausiais atejais, kai jėgos F modulis kinta proporcingai poslinkiui s, t y kai F k s; (4) 3 pa (5) (9) 3

4 čia k proporcingumo koeficientas Payzdţiui, pagal šį dėsnį kinta jėga, kuria tampri spyruoklė eikia ją suspaudţiančius arba ištempiančius kūnus Taip pat Archimedo jėga panyrant arba išnyrant taisyklingos formos kūnui Šiais atejais kintamosios jėgos idutinė ertė: F F Fid ; (0) čia F jėgos ertė poslinkio pradţioje, F jėgos ertė poslinkio pabaigoje Kintamosios jėgos darbą galima apskaičiuoti grafiškai, jei ţinomas jėgos kitimo dėsnis Funkcijos F = F(s) kreiės ribojamas plotas skaitine erte lygus jėgos atliktam darbui ( pa) Darbas, pakeliant m masės kūną graitacijos lauke, lygus A = m g h c ; () čia h c kūno masės centro pakilimo aukštis pa Mechaninė galia A N () t Kampu α į poslinkio kryptį nukreiptos pastoiosios jėgos F galia s N F cos α Fcosα ; (3) t čia kūno greičio modulis Jeigu sprendţiant uţdainius reikia apskaičiuoti galios idutinę ertę, tai yra idutinis kūno judėjimo greitis Jeigu reikia apskaičiuoti momentinę galią, tai momentinė greičio ertė Maksimali ir minimali galia yra momentinės galios atejai Mechanizmo naudingumo koeficientas: An η, (4) A N n η, (5) N En η ; (6) E čia A n (N n,e n ) mechanizmo naudingas darbas (galia, energija), A (N,E ) isas atliktas darbas (artojama galia, energija) Mechaninė energija (E) dydis, kuris parodo, kokį didţiausią darbą gali atlikti kūnas (kūnų sistema), pakitus jo mechaninei būsenai Mechaninė energija skirstoma į kinetinę ir potencinę m masės kūno, judančio greičiu, kinetinė energija: m E k (7) Tampriai deformuotas kūnas (pz, suspausta arba ištempta spyruoklė) turi potencinės energijos: kx E p ; (8) čia k standumo koeficientas, x absoliutinis spyruoklės pailgėjimas arba sutrumpėjimas m ir m masės kūnų, esančių atstumu R ienas nuo kito, graitacinės sąeikos potencinė energija: m m E p G ; (9) R 3 m čia G graitacijos konstanta, G 6,67 0 kg s 4

5 m masės kūnas, esantis aukštyje h irš Ţemės pairšiaus (irš nulinio lygmens), turi potencinės energijos: E p = m g h (0) Kūnų sistemos pilnutinė mechaninė energija lygi isų sistemą sudarančių kūnų kinetinės ir potencinės energijų sumai: E E E piln k i p i () i i Kūnų kinetinės energijos sudedamos aritmetiškai, nes jos nepriklauso nuo judėjimo krypties Potencinė energija priklauso nuo parinkto atskaitos lygmens Potencinė energija gali būti teigiama ar neigiama Energijos termės dėsnis: uţdaros kūnų sistemos pilnutinė mechaninė energija nekinta, jei ji neirsta kitų rūšių energija E piln = const () Jei sistema nėra uţdara, t y kūną (arba kūnų sistemą) eikia išorinės jėgos, tai mechaninės energijos termės dėsnis negalioja Tada sistemos pilnutinės mechaninės energijos pokytis lygus išorinių jėgų, eikiančių sistemą, atliktam darbui: ΔE = A (3) Sprendžiant termės dėsnių uždainius, siūlome laikytis tokios tarkos: Išsiaiškinkite, kas duota sąlygoje ir ką reikia rasti Sudarykite sąlygos lentelę 3 Nubrėţkite brėţinį, paţymėkite isus duotus ir ieškomus dydţius (judesio kiekio arba greičio ektorius), paţymėkite koordinačių ašis 4 Išsiaiškinkite, ar kūnų sistema uţdara 5 Parašykite judesio kiekio ir energijos termės dėsnius 6 Parašykite dėsnių lygtis skaliariškai (suprojektuokite į pasirinktą kryptį) 7 Uţrašykite trūkstamas lygtis Išspręskite uţdainį, patikrinkite ir įertinkite atsakymą Skysčių ir dujų mechanika Hidro- ir aerodinamikos uţdainiai maţai skiriasi nuo įprastų statikos uţdainių Sprendţiant šiuos uţdainius taikomi judesio kiekio ir energijos termės dėsniai Pagrindinis hidromechanikos uţdainys nustatyti slėgio ir greičio pasiskirstymo skysčio iduje dėsnius Pradţioje yra nagrinėjamas idealusis, nespūdus skystis Tarp tokio skysčio sluoksnių neeikia trinties jėgos Jėgų sąeiką tokiame skystyje apibūdina skaliarinis dydis slėgis p: F p ; S čia F jėga, eikianti S ploto pairšių ir statmena jam Pusiausiro skysčio sukeltas slėgis adinamas hidrostatiniu slėgiu: p = ρ g h; čia ρ skysčio tankis, h skysčio stulpelio aukštis Galioja Paskalio dėsnis: Atirajame skysčio pairšiuje slėgis p 0 persiduoda nepakitęs į bet kurį skysčio tašką Bet kuriame skysčio taške pilnutinį slėgį sudaro slėgis p 0 į atirąjį pairšių (paprastai tai atmosferos slėgis) ir skysčio stulpelio hidrostatinis slėgis Kai skystis pusiausiras, slėgis į ienalyčio idealaus skysčio ienodo lygio pairšių isuose šio pairšiaus taškuose ienodas Skystyje (dujose) esantį kūną eikia Archimedo jėga Ši jėga nukreipta statmenai skysčio atirajam pairšiui Archimedo jėga skaitmeniškai lygi kūno išstumto skysčio (dujų) soriui: F A = ρ 0 g V; čia ρ 0 skysčio (dujų) tankis, V išstumto skysčio tūris (lygus panirusio kūno dalies tūriui) Jei, tekant skysčiui, pro bet kurį skerspjūio plotą per tą patį laiką prateka ienodas skysčio kiekis, tai toks skysčio tekėjimas adinamas stacionariu Esant tokiam judėjimui: 5

6 S = S ; čia S, S skerspjūio plotai,, skysčio greitis Bet kuriuose diejuose idealiojo skysčio skerspjūiuose slėgis yra ienodas: p gh p gh Šis sąryšis adinamas Bernulio dėsniu Taigi stacionaraus srauto bet kuriame skerspjūyje pasirinkę pakankamai ploną ρ tankio skysčio sluoksnį, kurio sunkio centras yra aukštyje h nuo nulinio atskaitos lygio, galime parašyti: p gh čia p išorinis slėgis, tekančio skysčio greitis payzdys Suma p + ρ g h adinama statiniu slėgiu, const; skysčio dinaminiu slėgiu Uždainių sprendimo payzdžiai 3 pa m masės kūnas juda apskritimu pastoiu greičiu Apskaičiuokite judesio kiekio pokytį per a) ketirtadalį apsisukimo, b) per pusę apsisukimo p m Sprendţiant šį uţdainį sarbu nepamiršti, kad judesio kiekis yra ektorinis dydis a 4 pa b Nubraiţome brėţinį (4 pa), paaizduojame greičio ektorius Judesio kiekio pokytis: p p p m m m Pirmuoju ateju (5 pa):, pa

7 Kadangi, tai Ir Antruoju ateju (6 pa): Kadangi 3, tai p m, 3 3 Ir p m Atsakymas: p m, p m 3 6 pa payzdys Kokią galią N išysto ţmogus, traukdamas pastoiu greičiu m masės kroinį į kalną, kurio pasirimo kampas α? Trinties koeficientas tarp kroinio ir kalno pairšiaus μ N m α μ Traukdamas kroinį pastoiu greičiu ţmogus išysto galią N F Nubraiţome brėţinį (7 pa), paţymime kroinį eikiančias jėgas y N * F x α F tr α mg 7 pa Kroinį eikia sunkio jėga mg, trinties jėga ţmogus eikia kroinį) Pagal II Niutono dėsnį * F N Ftr mg 0 Suprojektuojame jėgas į pasirinktas ašis: 7 F tr, atramos reakcijos jėga * N ir jėga F (kuria

8 Ţinome: x: F Ftr mgsin 0 () * F tr N, () * y: N mgcos 0 (3) () ir (3) lygtis, įrašę į (), gauname: F mg(sin cos ) (4) (4) lygtį įrašę į (), gauname ţmogaus išystomą galią: N mg(sin cos ) Atsakymas: N mg(sin cos ) 3 payzdys Horizontaliame kelyje stointį m masės kūną pradeda eikti jėga F Kokia bus kūno kinetinė energija po t laiko? m E k F t čia Jėgos atliktas darbas yra lygus kinetinės energijos pokyčiui A E k E k (pradiniu momentu kūnas stoi) () Jėgos F atliktas darbas A F s () Kadangi kūnas juda eikiamas jėgos, tai jis juda tolygiai greitėdamas ir at s, (3) F a (4) m (), (3), (4) lygtis įrašę į (), gauname: F t E k m F t Atsakymas: E k m 4 payzdys m masės rutulys judėdamas greičiu lygiu pairšiumi susiduria su M masės stoinčiu rutuliu Smūgis centrinis Po smūgio pirmojo rutulio greitis sumaţėja du kartus Raskite suminės kinetinės energijos po smūgio santykį su pradine pirmojo rutulio energija Išnagrinėkime du atejus: Po smūgio pirmasis rutulys juda ta pačia kryptimi, kaip ir iki smūgio Pagal judesio kiekio termės dėsnį: m m Mu, () 8

9 čia u antrojo rutulio greitis po smūgio Aišku, kad u ir m M Pagal energijos termės dėsnį: m m Mu 8 Tai energijos santykis α po ir iki smūgio: m Mu 8 m, M u 4 m () Iš () lygties: u m M (3) (3) lygtį įrašę į () gauname: m 4 M (4) Didţiausia α ertė gali būti lygi ienetui α =, o tai reikštų, kad energijos nuostolių nėra smūgis absoliučiai tamprus Šiuo ateju m = 3M Maţiausia α ertė, tai iš (4) lygties matyti, kad m = M, tada iš () lygties u, t y rutuliai judėtų tuo pačiu greičiu tai reikštų, kad smūgis yra absoliučiai netamprus T y jei M m 3 M, tai Po smūgio pirmasis rutulys atšoka atgal Tada pagal judesio kiekio termės dėsnį: m m Mu Iš čia: u 3 m M (5) (5) lygtį įrašę į (), gauname: m 9 4 M (6) 0 < m Jei smūgis absoliučiai tamprus, tai α = ir M, tai < α 3 4 m M 3 Aišku, kad m > 0, todėl α > 4 Taigi, jei 9

10 III TURO UŢDUOTYS MECHANINIS DARBAS, GALIA, ENERGIJA TVERMĖS DĖSNIAI MECHANIKOJE HIDRODINAMIKA m masės kūnas juda R spindulio apskritimu f daţniu Koks judesio kiekio pokytis per /4 apsisukimo? = m/s greičiu riedantis pirmasis rutulys absoliučiai tampriai smogia į tokį pat stointį rutulį Po smūgio pirmasis rutulys atšoka α = 30 kampu pradinės krypties atţilgiu Kokiu greičiu ir kokia kryptimi nuriedės antrasis rutulys? 3 Du ienodi m masės rutuliai rieda statmenomis kryptimis = 5 m/s ir = 5 m/s greičiais Apskaičiuokite rutulių greitį po absoliučiai netampraus smūgio? 4 Skriejantis artilerijos siedinys sprogsta į di skeeldras Pirmoji skeeldra nulekia α = 90 kampu pradinės krypties atţilgiu = 50 m/s greičiu Antroji skeeldra nulekia α = 30 kampu, = 00 m/s greičiu Apskaičiuokite skeeldrų masių santykį 5 Kokį maţiausią darbą turi atlikti darbininkai, kad pastatytų M = 00 kg masės l = 0 m ilgio stulpą, kurio iršūnėje įtirtintas m = 30 kg masės šiestuas? 6 Kokį darbą atlieka traukos jėga, eikianti Mėnulį, judantį apie Ţemę? 7 Kūną eikianti jėga kinta pagal dėsnį F = F 0 + kx Kokį darbą atlieka ši jėga perkeldama kūną atstumu x = cm? Ţinoma x 0 = 0 m, F 0 = 0 N, k = 3 N/m 8 m masės ţmogus lipa į iršų judančiu ţemyn greičiu eskalatoriumi Eskalatoriaus aukštis h, eskalatorius sudaro α kampą su horizontaliąja plokštuma Kokį maţiausią darbą turi atlikti ţmogus uţlipdamas į iršų per laiką t? 9 Kūnas metamas ertikaliai į iršų 0 pradiniu greičiu Kokiame aukštyje h irš ţemės pairšiaus kūno greitis sumaţės perpus? Oro pasipriešinimo nepaisykite 0 m = kg masės kūnas metamas horizontaliai nuo aukšto bokšto 0 = 0 m/s pradiniu greičiu Apskaičiuokite kūno kinetinę energiją po t = 4 s laiko Oro pasipriešinimo nepaisykite Lygiu horizontaliu pairšiumi greičiu juda M masės eţimėlis Į jį pataiko greičiu lekianti m masės kulka ir įstringa eţimėlyje Koks bus eţimėlio greitis, jei: ) kulka lėkė horizontaliai eţimėlio judėjimo kryptimi; ) kulka lėkė ertikaliai ţemyn? m masės kulka, lekianti horizontaliai 0 greičiu, pataiko į ant l ilgio siūlo kabančio M masės maţo skersmens rutulio centrą ir pramušusi rutulį iš jo išlekia Po sąeikos siūlas atsilenkia α kampu Kiek šilumos išsiskyrė smūgio metu? Oro pasipriešinimo nepaisykite 3 Du kūnai juda horizontaliu stalo pairšiumi ienas prieš kitą Pirmojo kūno greitis = 5 m/s, antrojo = 5 m/s Kūnų masių santykis m n 4 Tarp kūnų įyksta centrinis netamprus m smūgis Trinties koeficientas tarp kūnų ir stalo μ = 0,7 Kokį kelią l nueis kūnai, per laiką, per kurį jų greitis sumaţės k = 30 %? 4 Iš taško A, loeliu, be pradinio greičio, pradeda slysti kūnas Taškas A yra aukštyje H = 6 m irš taško B, esančio ţemės pairšiuje (8 pa) Judant loeliu, kūno energija dėl trinties sumaţėja dydţiu ΔE = J Iš loelio kūnas išlekia α = 5 kampu į horizontą ir nukrinta taške C, esančiame atstumu l = 4 m nuo taško B Apskaičiuokite kūno masę Oro pasipriešinimo nepaisykite 0

11 A H B α C l 8 pa 5 Kūno judesio kiekis sumaţėjo α procentų Kiek procentų z pakito kūno kinetinė energija? 6 Kamuolys metamas į sienelę Jo greitis prieš pat smūgį yra du kartus didesnis, nei tuoj pat po smūgio Smūgio metu išsiskyrė Q = 5 J šilumos Kokia buo kamuolio kinetinė energija prieš smūgį? 7 Kūnas be trinties slysta iš h = 5 m maţiausio aukščio (9 pa), reikalingo įeikti mirties kilpą Kokio R spindulio mirties kilpą įeikė kūnas? R = m h min R 8 Ţmogaus širdies kairysis skilelis per ieną susitraukimą į aortą išstumia m = 70 g kraujo, kurio slėgis p = 6 kpa Tarkime, kad per laiką t = min skilelis susitraukia n = 75 kartus Kraujo tankis ρ = 050 kg/m 3 Kokią galią išysto širdis? 9 m masės rutulys, judėdamas greičiu, paeja m masės rutulį, judantį greičiu Apskaičiuokite rutulių greitį po absoliučiai netampraus centrinio smūgio (0 pa) Kiek mechaninės energijos irto idine? Kuri mechaninės energijos dalis irstų idine, jei rutulių masės būtų ienodos, o ienas iš rutulių prieš smūgį nejudėtų? 9 pa m m m m u iki smūgio 0 pa po smūgio 0 Kodėl greitai lekianti kulka pramuša plastmasinėje stiklinėje di skyles, o uţpildţius stiklinę andeniu, ji išlaksto į skeeldras?

12 Lietuos fizikų draugija Šiaulių uniersiteto Jaunųjų fizikų mokykla FOTONAS Aurelija Pelanskienė III kurso III turo metodiniai nurodymai ir uţduotys mokslo metai Rinko ir maketao Irma Bolskytė