Įvadas į laboratorinius darbus
|
|
- Ἀλκμήνη Χατζηιωάννου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis elementariai duomenų analizei aprašomąjai statistikai: atsitiktinių dydžių generavimas, histogramos braižymas, skaitinių charakteristikų skaičiavimas. Pagrindinis dėmesys skiriamas darbo su programa įgūdžiams lavinti. 1
2 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 2 Turinys 1 Užduotis 3 2 Atsitiktinių dydžių generavimas Tolygaus intervale atsitiktinio dydžio generavimas Normalinio atsitiktinio dydžio generavimas Skaitinių charakteristikų skaičiavimas 6 4 Dažnių lentelės Funkcija COUNTIF Funkcija SUMPRODUCT Funkcija FREQUENCY Histogramos braižymas 10 6 Programų automatizavimas Vardų suteikimas masyvams Sąlygų tikrinimas Sąlyginis formatavimas Kitos naudingos formulės
3 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 3 1 Užduotis Naudojant MS Excel funkcijas išmokti sugeneruoti atsitiktinių dydžių imtį. Sudaryti jos teorinę ir dažnuminę histogramą. Apskaičiuoti skaitines imties charakteristikas: minimumą ir maksimumą, empirinius vidurkį, dispersiją, medianą, kvartilius ir modą. Didžiausias dėmesys turėtų būti skiriamas darbo su MS Excel technikai ir laboratorinių darbų atlikimo principams įsisavinti. 2 Atsitiktinių dydžių generavimas Excel atsitiktiniams dydžiams generuoti turi tam skirtą priemonę Random Number Generation (1 paveikslas). Ji pasiekiama per meniu Tools/Data Analysis.../Random Number Generation. Nurodžius reikiamą atsitiktinių dydžių skaičių, skirstinio tipą (Distribution), jo parametrus ir sritį, į kurią bus išvedami sugeneruoti skaičiai (Output Range), gaunama atsitiktinė imtis. 1 pav.: Atsitiktinių dydžių generavimas Tačiau šis būdas nėra labai patogus. Visų pirma, skirstinių pasirinkimas labai mažas, kai kurių svarbių skirstinių laukelyje Distribution iš viso nėra. Antras svarbus trūkumas sugeneruojama imtis yra pasyvi, negalima stebėti kaip ji keičiasi. Laboratoriniuose darbuose atsitiktiniai dydžiai (toliau bus kalbama tik apie tolydžius ats. dydžius) bus generuojami kitokiu būdu. Tam pasinaudosime pasiskirstymo funkcijos atvirkštine.
4 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 4 Sintaksė: INV (p; θ 1 ; θ 2 ;...). Čia p tikimybė, θ 1, θ 2,... pasiskirstymo funkcijos parametrai. 2 pav.: Statistinės funkcijos, meniu Insert/Function... Visas šias funkcijas galima pasiekti per meniu Insert/Function... (2 paveikslas). Kalbant griežtai, funkcijos IN V negeneruoja atsitiktinių dydžių. Jos yra kažkokio pasiskirstymo funkcijos F (x) atvirkštinė F 1 (p), o jų rezultatas yra p- ojo lygio kvantilis x p. Tolydaus atsitiktinio dydžio X su pasiskirstymo funkcija yra F (x) p-ojo lygio kvantiliu vadinsime tokį skaičių x p, kad P (X x p ) = p. Tai reiškia, kad x p yra toks skaičius, už kurį ne didesnes reikšmes atsitiktinis dydis X įgyja su tikimybe p, arba kitaip tikimybė ats. dydžiui X pakliūti į intervalą (, x p ] lygi p. Žinoma, kad jei tikimybės p bus tolygiai pasiskirsčiusios intervale [0, 1), tai dydžiai x p bus pasiskirstę pagal funkciją F (x). Šituo faktu ir pasinaudojama generuojant įvairias pasiskirstymo funkcijas turinčius ats. dydžius. Sintaksė: INV (RAND(); θ 1 ; θ 2 ;...). Žvaigždutės funkcijos pradžioje ir parametrai θ pakeičiami pagal konkrečią pasiskirstymo funkciją. Pavyzdžiui: normaliam NORMINV (RAND(); m; σ), lognormaliniam LOGINV (RAND(); m; σ), χ 2 (chi-kvadrat) CHIINV (RAND(); n), beta BET AINV (RAND(); α; β).
5 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 5 Kai kurių skirstinių funkcijų ar jų atvirkštinių Excel iš viso neturi. Pvz., Pareto, eksponentinio ir kai kurių kitų retesnių. Tokiems skirstiniams atvirkštinę funkciją reikia sudaryti patiems arba pasinaudoti tuo faktu, kai vienas skirstinys yra kito skirstinio atskiras atvejis. Pvz., eksponentinis ir χ 2 yra gama skirstinio atskiri atvejai, belieka tinkamai parinkti parametrus. 2.1 Tolygaus intervale atsitiktinio dydžio generavimas MS Excel tolygiai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių generavimui naudojama funkcija RAND. Sintaksė: RAN D(). Kaip matote, ši funkcija neturi jokių argumentų. Jos rezultatas vienas atsitiktinis dydis x iš intervalo [0, 1). Kiekvieną kartą perskaičiuojant puslapį (sheet), generuojamas naujas atsitiktinis dydis. Perskaičiuoti puslapį, o tuo pačiu ir generuoti naują ats. dydį galima ir dirbtinai. Pvz., tuščioje Excel celėje paspaudus klavišą Delete arba F9. Gali būti tokia situacija, kad nuolatinis atsitiktinių dydžių perskaičiavimas yra nepageidaujamas ir reikia gauti tik vieną konkretų ats. dytį ar imtį. Vienas variantas tai padaryti funkciją RAN D paversti į nebesikeičiantį atsitiktinį dydį. Tam reikia formulės įvedimo laukelyje (į jį greitai patenkama paspaudus klavišą F2) paspausti klavišą F9. Tas pats galioja ir kitų ats. dydžius generuojančių funkcijų atveju. Kada atsitiktinių dydžių yra daug, labiau tinka kitas variantas pasižymėti imtį ir perkopijuoti ją į kitą puslapio vietą ar kitą puslapį ne kaip funkcijas, bet vien tik jų reikšmes (Copy/Paste Special.../Values). Norint generuoti atsitiktinius dydžius tolygiai pasiskirsčiusius intervale [0, b), funkciją reikia perrašyti. Sintaksė: RAND() b. Klausimas, kaip generuoti atsitiktinį dydį tolygiai pasiskirsčiusį intervale [a, b)? 2.2 Normalinio atsitiktinio dydžio generavimas MS Excel normalini pasiskirstymą turinčių atsitiktinių dydžių generavimui naudojama funkcija N ORM IN V. Sintaksė: NORMINV (p; m; σ). Čia p tikimybė, m vidurkis, σ standartinis nuokrypis.
6 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 6 Kaip jau buvo rašyta anksčiau, funkcija N ORM IN V negeneruoja normalinio atsitiktinio dydžio, o yra normalinio pasiskirstymo funkcijos F (x) atvirkštinė F 1 (p) ir jos rezultatas yra p-ojo lygio kvantilis x p. Kad būtų galima pritaikyti normaliųjų atsitiktinių dydžių generavimui, šią funkciją reikia perrašyti taip, kad tikimybė p būtų tolygiai pasiskirsčiusi intervale [0, 1), todėl vietoj jos įrašome funkciją RAND. Sintaksė: NORMINV (RAND(); m; σ). Taip perrašyta funkcija bus pritaikyta normalinį pasiskirstymą turinčių atsitiktinių dydžių generavimui. 3 Skaitinių charakteristikų skaičiavimas Vidurkį, dispersiją, modą, medianą ir kitas imties charakteristikas MS Excel galima suskaičiuoti keliais būdais. Vienas iš jų žinoti, kaip skaičiuoti vieną ar kitą charakteristiką, t.y. žinoti jos formulę. Pvz., empirinis vidurkis randamas iš formulės m = 1 n x i. n Jam paskaičiuoti reikia žinoti imties dydį n ir ats. dydžių x i sumą. Jei n nėra tiksliai žinomas, imties elementų skaičių galima rasti su funkcija COUNT, o jų sumą skaičiuoja funkcija SU M. Imtį srityje A1:A100 pavadinkime duomenys. Empirinis vidurkis skaičiuojamas kaip šių dviejų funkcijų santykis: i=1 SUM(duomenys)/COUNT (duomenys). Kitas skaičiavimo būdas pasinaudoti tam skirtomis funkcijomis. Dažniausiai bus naudojamos šios funkcijos: vidurkis AV ERAGE, mediana MEDIAN, mode MODE, dispersija V AR, kvartiliai QU ART ILE. Visų šitų funkcijų sintaksė panaši, paprastai reikia nurodyti tik duomenis. Sintaksė: AV ERAGE(duomenys).
7 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 7 Kaip ir kitas, statistines funkcijas galima pasiekti per meniu Insert/Function... (2 paveikslas). Prieš naudojant bet kokią funkciją, visada pravartu paskaityti apie jos naudojimą, parametrus, nekorektiško naudojimo situacijas ir pan. Tai padeda išvengti klaidų ir neapibrėžtų situacijų. Kai kurios funkcijos turi kelias modifikacijas. Pvz., ir V AR, ir V ARP skaičiuoja dispersiją, tačiau viena iš jų skaičiuoja pataisytą dispersiją. Dėl to reikia žinoti kuom tokios funkcijos skiriasi ir kokiose situacijose jos naudojamos. 4 Dažnių lentelės Aprašomoji statistika skirta greitai duomenų analizei, jų atvaizdavimui ir dėsningumų juose išryškinimui. Kai turime didelę atsitiktinių dydžių imtį, dažniausiai ją sunku aprėpti ir tuo labiau interpretuoti. Kintamojo X reikšmės dažnis f i parodo, kaip dažnai šita reikšmė sutinkama imtyje. Aišku, kad visų dažnių f i suma lygi stebėjimų skaičiui n: n f i = n. i=1 Jei kintamasis X įgyja nedaug skirtingų reikšmų, jų dažnius galima surašyti į lentelę. Tačiau kada atsitiktinis dydis yra tolydus, tokių reikšmių yra labai daug ir, kad lentelė būtų informatyvi, duomenis tenka grupuoti į intervalus. Tam reikia pasirinkti intervalų skaičių, paskaičiuoti jų plotį ir rasti intervalų padalijimo taškus. Paprastai intervalų (arba histogramos stulpelių) skaičius k parenkamas nuo 8 iki 20. Šitas skaičius k priklauso ir nuo imties tūrio n. Kartais, kai skirstinys yra pakankamai simetriškas, intervalų skaičių galima parinkti pagal formulę k = 1 + 3, 222 log 10 n. Jei intervalų bus per mažai, histograma bus neinformatyvi, jei jų per daug - imties atsitiktinumai labai įtakos historamos formą. Apskritai, reikia stengtis parinkti tokį intervalų (stulpelių) skaičių, kad gauta histograma kiek galima geriau atvaizduotų tankio funkcijos formą. Intervalų pločiai turi būti visi vienodi, jie negali persikirsti (3 paveikslas). 3 pav.: Imties skaidymas į intervalus Visus turimus duomenis reikia suskirstyti į intervalus ir suskaičiuoti, kiek stebėjimų pakliuvo į kiekvieną intervalą. Gautas skaičius ir yra intervalo (c i 1, c i ] dažnis f i, o braižant histogramą stulpelio aukštis. Aišku, kad grupuojant dingsta
8 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 8 informacija apie konkretų stebėjimą, todėl į intervalą (c i 1, c i ] patekusius skaičius apibūdina to intervalo vidurys (c i 1 + c i )/2. Taip pat reikia stengtis, kad mažiausia ir didžiausia imties reikšmės (3 paveiksle jos pažymėtos min ir max) būtų atitinkamai pirmo ir paskutinio intervalų viduje, o ne ant jų krašto, todėl į lygias dalis dalinamas šiek tiek platesnis intervalas nei tarp imties minimumo ir maksimumo. Suprantama, kad net nedidelės imties elementus jau pakankamai sunku sugrupuoti į intervalus. MS Excel turi keletą funkcijų, kurios gali iš dalies automatizuoti šią užduotį. Ne visos jos yra skirtos būtent imties elementų dažniams skaičiuoti, tačiau kartais pavyksta pritaikyti tokiam uždaviniui spręsti. 4.1 Funkcija COUNTIF Kadangi skaičiavimas, kiek imties elementų patenką į intervalą yra skaičiavimas su sąlygos tikrinimu, tam tikslui galima naudoti funkciją COUNT IF. Sintaksė: COU N T IF (duomenys; salyga). Čia duomenys yra imtis, o salyga yra loginis reiškinys. Ją galima užrašyti keliais būdais. Pavyzdžiui, norint suskaičiuoti, kiek imties elementų yra mažesni už 12, funkciją su tokia sąlyga galima užrašyti COUNT IF (duomenys; "<12") arba COUNT IF (duomenys; "<"&B1), jei skaičius 12 būtų įrašytas celėje B1. Nors antrasis būdas yra lankstesnis ir universalesnis, tačiau taip negalima sukonstruoti sąlygos c i 1 < x c i, t.y. tokios, kad būtų galima iš karto patikrinti ar imties elementas x patenka į intervalą (c i 1, c i ]. Tenka iš pradžių suskaičiuoti, kiek elementų yra mažiau už c i, tada kiek mažiau už c i 1 ir suskaičiuoti gautų dažnių skirtumą: COUNT IF (duomenys; c i ) COUNT IF (duomenys; c i 1 ). Tokią funkciją tektų pakartoti kiekvieno intervalo dažniui rasti. 4.2 Funkcija SUMPRODUCT Kitas būdas skaičiuoti dažnius imties padalijimo intervaluose tam pritaikyti funkciją SU M P RODU CT. Tikroji jos paskirtis yra panariui sudauginti dviejų ar daugiau masyvų elementus ir susumuoti gautas sandaugas. Sintaksė: SUMP RODUCT (duomenys1; duomenys2;...). Čia duomenys1, duomenys2 ir t.t. yra duomenų masyvai.
9 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 9 Loginę sąlygą galima tikrinti ne tik vienam skaičiui, bet ir visai imčiai iš karto. Gaunamas binarinis masyvas. Kiekvienas jo elementas prilyginamas 0, jei sąlyga netenkinama ir 1 jei sąlyga tenkinama. Taip sudaromi masyvai duomenys1, duomenys2 ir t.t.. Kada atitinkami elementai masyvuose yra lygus 1, kas reiškia, kad tas elementas tenkina visas sąlygas, jų sandauga taip pat lygi 1, o tokių sandaugų suma duos skaičių atvejų, kada buvo išpildytos sąlygos dažnį. Tuom pasinaudojus tikrinama ar skaičius patenka į intervalą (4 paveikslas). Sintaksė: SUMP RODUCT ((duomenys > c i 1 ) (duomenys <= c i )). 4 pav.: Funkcijos SUMPRODUCT pritaikymas dažniams intervale skaičiuoti Kaip ir funkcijos COU N T IF atveju, kiekvienam intervalui dažnis skaičiuojamas atskirai. 4.3 Funkcija FREQUENCY Šita funkcija yra specialiai skirta dažnių skaičiavimui. Nurodžius imties padalinimo taškus c i, i = 1,..., k, dažniai f i intervaluose suskaičiuojami visi iš karto. Sintaksė: F REQU EN CY (duomenys; taskai). Čia duomenys yra imtis, o taskai yra imties sudalinimo į intervalus taškai. Funkcija F REQUENCY skiriasi nuo visų prieš tai aprašytų funkcijų jos rezultatas yra ne vienas skaičius, bet visas vektorius. Dėl tos priežasties jos naudojimas turi keletą ypatumų. Prieš rašant šią funkciją reikia pasižymėti tiek celių, kiek jų reikės rezultatui išvesti. Pvz., jei yra 9 padalinimo taškų, vadinasi iš viso yra 10 intervalų ir tiek pat reikės celių rezultatui išvesti (5 paveikslas). Tokios vektorinės funkcijos įvedamos klavišų Ctrl+Shift+Enter kombinacija. 3 paveiksle matyti, kad intervalų galai sunumeruoti nuo 0 iki k.
10 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 10 Funkcijai F REQUENCY padalinimo taškų aibė taskai nurodoma be pirmo c 0 ir paskutinio c k taško, nes intervale (, c 0 ] dažnis visada bus lygus vienetui (į jį pateks tik vienas minimumo taškas), o intervale (c k, ) nuliui (nes už maksimumą daugiau nėra). 5 pav.: Funkcijos FREQUENCY panaudojimas dažniams skaičiuoti 5 Histogramos braižymas Panašiai kaip atsitiktinių dydžių generavimui, dažniams skaičiuoti ir histogramai braižyti Excel taip pat turi tam tikras standartines priemones. Jos pasiekiamos per meniu Tools/Data Analysis.../Histogram (6 paveikslas). 6 pav.: Standartinė Excel histogramų braižymo priemonė Iš tikro šitas įrankis tik sudaro dažnių lentelę, o pačią histogramą reikia braižyti atskirai. Yra ir kitų svarbių trūkumų kaip ir ats. skaičių generatoriaus at-
11 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 11 veju, dažnių lentelė yra pasyvi, todėl kiekvieną kartą keičiant imtį, histogramą tektų perdaryti iš naujo. Dėl tos priežasties dažnių lentelę geriausia sudarinėti funkcijų F REQUENCY ar SUMP RODUCT pagalba. Kaip buvo minėta anksčiau, visus skaičius, patenkančius į intervalą (c i 1, c i ), atstovauja to intervalo vidurys x i. Prieš braižant histrogramą kiekvienam dažniui f i reikia surasti atitinkamo intervalo vidurį tašką x i (7 paveikslas). Turint šiuos duomenis jau galima nubraižyti histogramą. Pavadinkime dažnius f i dazniai, o vidurinius intervalų taškus x i vid_taskai. 7 pav.: Duomenys histogramai dažniai ir viduriniai intervalų taškai Grafikų braižymų skirtas Chart Wizard pasiekiamas per meniu Insert/Chart.... Histogramai braižyti iš pradžių parenkamas stulpelinės diagramos tipas (Chart type Column), sekantis žingsnis duomenų pateikimas. Laukelyje Values nurodomas histogramos stulpelių aukštis anksčiau suskaičiuoti dažniai, o laukelyje Category (X) axis labels reikšmės ant X ašies viduriniai intervalų taškai (8 paveikslas). Galima nurodyti adresus, tačiau patogiau (ypač kai masyvai yra besikeičiančio dydžio) nurodyti masyvų pavadinimus. Sintaksė: Lapas!vardas. Čia Lapas yra Excel lapo pavadinimas, standartiškai Sheet1, o vardas yra masyvo pavadinimas. Šiuo atveju pavadinimai bus Sheet1!dazniai ir Sheet1!vid_taskai. Per kitus žingsius duodami pavadinimai ašims, pačiai histogramai ir nustatomi kiti panašūs dalykai (Chart options). Tokiu būdų gauname dažnuminę (empirinę) imties histogramą. Paspaudus klavišą F9 galima stebėti kaip ji keičiasi. Kadangi atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnis išlieka tas pats, o imtis yra atsitiktinė, tai ir histogramos kas kartą braižomos nors ir panašios, tačiau skirtingos.
12 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 12 8 pav.: Duomenų histogramai pateikimas MS Excel priemonėmis galima nubraižyti ir teorinę histogramą. Tokios histogramos stulpelio aukštis f i yra proporcingas teorinei atsitiktinio dydžio tikimybei p i patektį į intervalą (c i 1, c i ]. Tiesiogiai gauti tokią tikimybę funkcijos nėra, tačiau tam tačiau galima pritaikyti tikimybių pasiskirstymo funkcijas. Sintaksė: DIST (x; θ 1 ; θ 2 ;... ; d). Čia x skaičius, θ 1, θ 2,... pasiskirstymo funkcijos parametrai, d loginis kintamasis, jei jis lygus 1, grąžinama tikimymių pasiskirstymo funkcijos reikšmė, jei 0 tankio funkcijos reikšmė. Žvaigždutės funkcijos pradžioje ir parametrai θ pakeičiami pagal konkrečią pasiskirstymo funkciją. Pavyzdžiui: normaliam NORMDIST (x; m; σ; 1), lognormaliniam LOGN ORM DIST (x; m; σ; 1), χ 2 (chi-kvadrat) CHIDIST (x; n; 1), beta BET ADIST (x; α; β; 1).
13 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 13 Visas jas galima pasiekti per meniu Insert/Function... (2 paveikslas). Tokių funkcijų rezultas yra tikimybė p(x) = P (X x), t.y. tikimybė atsitiktiniam dydžiui X pakliūti į intervalą (, x]. Tikimybių p(c i ) ir p(c i 1 ) skirtumas duos tikimybę pakliūti į intervalą (c i 1, c i ]. Normalinio skirstinio atveju gauname NORMDIST (c i ; m; σ; 1) NORMDIST (c i 1 ; m; σ; 1). Dažnuminėje histogramoje i-tojo stulpelio aukštis lygus dažniui f i, o kaip turint teorinę tikimybę pakliūti į intervalą (c i 1, c i ] gauti teorinį dažnį? 6 Programų automatizavimas Darant laboratorinius darbus reikia stengtis, kad jie būtų kuo labiau automatizuoti, pvz.: būtų galima laisvai keisti pasiskirstymo funkcijos parametrus, imties tūrį, histogramos stulpelių skaičių ir panašius dalykus. Dėl to į formules vietoj konkrečių kintamųjų reikšmių geriau rašyti celių, kuriuose yra tų kintamųjų ar funkcijų parametrų reikšmės, adresus. Pvz., ne NORMINV (RAND(); 0; 1), bet NORMINV (RAND(); $B$1; $B$2). Čia celėje B1 įrašyta reikšmė 0, o celėje B2 reikšmė 1. Norint greitai pakeisti funkcijos parametrus, užteks pakeisti tik celių B1 ir B2 reikšmes ir nereiks perrašinėti visų funkcijų (o jų gali būti labai daug, priklausomai nuo to, kiek atsitiktinių dydžių generuosite). 6.1 Vardų suteikimas masyvams Daugeliui statistinių funkcijų vienas iš parametrų yra duomenys; tai gali būti pvz. atsitiktinė imtis ar kažkurios kitos funkcijos rezultatai. Excel funkcijoms duomenys nurodomi užrašant jų adresą. Tegu A1:A100 yra imties adresas, šimtas stulpelio A eilučių. Tačiau kiekvieną kartą taip rašyti adresą nėra patogu. Kur kas patogiau yra duoti tokiam adresui vardą. Tam reikia pele pasižymėti norimas celes ir kairėje pusėje adreso laukelyje įrašyti pavadinimą (9 paveikslas). Taip galima suteikti pavadinimą net ir vienai celei, kas vėliau žymiai supaprastina formulių rašymą. Pvz., ne AV ERAGE(A1:A100), bet AV ERAGE(duomenys). Vardų suteikimą galima automatizuoti su funkcija OF F SET. Ji pažymi tam tikrą sritį lape ir suteikia jai vardą arba gali pastumti į kitą vietą anksčiau pažymėtą sritį (čia reikia pažymėti, kad perkeliamas tik pažymėjimas, bet ne pačios celių reikšmės).
14 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 14 9 pav.: Vardo duomenų masyvui priskyrimas Sintaksė: OF F SET (sritis; pe; ps; e; s). Čia sritis yra pradinis srities pažymėjimas (kartais užtenka vienos celės), pe ir ps yra eilučių ir stulpelių postumis nuo srities viršutinės kairiosios celės, o e ir s yra naujos srities eilučių ir stulpelių skaičius (nebūti parametrai, jei perstumiama anksčiau pažymėta sritis). 10 pav.: Vardo duomenų masyvui priskyrimas su funkcija OFFSET Vardų priskyrimo įrankis pasiekiamas per meniu Insert/Name/Define.... Ten laukelyje Names in workbook įrašomas vardas, o ties Refers to: srities adresas. Sritis A1:A100 su funkcija OF F SET gali būti apibrėžiama taip: OF F SET ($A$1; 0; 0; $B$1; 1).
15 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus 15 Čia $A$1 reiškia, kad sritis prasideda nuo celės A1, ji niekur nepastumta, celėje $B$1 įrašyta kiek eilučių pažymėti (100) ir galiausiai nurodyta, kad sritis bus 1 stulpelio pločio (kaip parodyta 10 paveiksle). Sukurti naują sritį iš anksčiau pažymėtos galima taip: OF F SET (duomenys; 0; 2). Taip pažymėjimas duomenys perstumiamas per du stulpelius ir dabar turės kitą vardą ir adresą C1:C100. Kadangi parametrai pe, ps, e ir s yra skaičiai, vietoj jų galima įrašyti celių adresus ir vėliau jų reikšmes keisti neperrašant formulių. 6.2 Sąlygų tikrinimas Kartais skaičiavimus reikia atlikti priklausomai nuo to, ar tenkinama kokia nors sąlyga. Pvz., taip galima nustatyti kiek ats. dydžių generuoti, skaičiuoti imties intervalo padalijimo tašką, jei jo numeris dar neviršijo pasirinkto stulpelių skaičiaus ir neskaičiuoti, jei jau viršijo. Sąlygos tikrinimui skirta funkcija IF. Sintaksė: IF (salyga; reiksme1; reiksme2). Čia salyga yra loginis reiškinys sąlyga, kurią patikrinus, jei ji teisinga, išvedama reiksme1, jei klaidinga reiksme2. Be to, reiksme1 ir reiksme2 gali būti kitos funkcijos ir ištisi reiškiniai. Skirtingai nuo funkcijos COU N T IF čia sąlyga rašoma be kabučių. Pvz., konkretaus skaičiaus ats. dydžių generavimas gali būti užrašomas taip: IF ($B$1 >= ROW (); NORMINV (RAND(); $C$1; $C$2); Užteks generuoti ). Čia celėje B1 įrašytas imties tūris, funkcijos ROW rezultatas eilutės numeris, o celėse C1 ir C2 įrašyti skirstinio parametrai Sąlyginis formatavimas Panašiai kaip su funkcija IF, priklausomai nuo sąlygos galima keisti Excel celės fono, šrifto spalvą ar stilių, uždėti rėmelį ir kitaip keisti išvaizdą. Tas gali būti naudinga kada norima automatiškai išskirti kokią nors celę, pvz., nuspalvinti raudonai, jei jos reikšmė lygi imties maksimumui (11 paveikslas). Tai padaroma per meniu Format/Conditional Formating.... Galima tikrinti konkrečią celės reikšmę arba funkcijos toje celėje reikšmę. Excel turi grupę funkcijų (Information), kurių rezultatas yra tam tikra informacija apie celę (2 paveikslas). Pvz., su funkcija ISERROR galima patikrinti ar celėje įrašytas klaidos kodas, ISN U M BER parodo ar celėje įrašytas skaičius ir t.t. Galima tikrinti kelias sąlygas iš karto. Paprastai sąlyga užrašoma vienai celei (pvz., kada tikrinama celės ar funkcijos toje celėje reikšmė), todėl norint tą pačią sąlygą tikrinti grupei celių iš karto, sąlygą reiktų aprašyti kiekvienai celei atskirai. Šitą veiksmą galima automatizuoti
16 Įvadas į matematinės statistikos laboratorinius darbus pav.: Sąlyginis formatavimas sąlygą nukopijuoti. Pasižymima celė su jau aprašyta sąlyga, meniu paspaudžiamas mygtukas Format Painter ir juo pažymimos likusios celės, kurioms bus taikomas toks pats sąlygos tikrinimas. Celes ar sritis, kurioms taikomas sąlyginis formatavimas, galima pažiūrėti per meniu Edit/Go To... paspaugus mygtuką Special... ir pasirinkus Conditional Formating. Lygiai taip pat parodomos ir pažymimos sritys, kurioms suteikti vardai. 6.3 Kitos naudingos formulės Kadangi statistikoje dažnai dirbama su duomenų masyvais, ir laboratoriniuose darbuose reikia stengtis dirbti ne su atskiromis ats. dydžių reikšmėmis ar funkcijų rezultatais, bet pvz. su visa imtimi iš karto, duomenų grupes apjungti į masyvus, suteikti jiems vardus ir operuoti tais vardais formulėse. MS Excel turi grupę funkcijų darbui su masyvais Lookup and Reference functions. Keletas iš jų jau buvo paminėta: OF F SET, ROW. Automatizuojant laboratorinius darbus dar gali būti naudingos funkcijos MAT CH, V LOOKUP, HLOOKUP.
Matematika 1 4 dalis
Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios
Διαβάστε περισσότεραLaboratorinis darbas Nr. 2
M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. spalio 23 d. Reziumė Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti tikimybinių skirstinių
Διαβάστε περισσότεραTemos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas
Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo
Διαβάστε περισσότεραElektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose
lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt
Διαβάστε περισσότεραI dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI
008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI
Διαβάστε περισσότεραX galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)
Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 1 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 9 d. Santrauka Pirmas laboratorinis darbas skirtas išmokti generuoti nesudėtingus
Διαβάστε περισσότεραDISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2
DISPERSINĖ, FAKTORINĖ IR REGRESINĖ ANALIZĖ Laboratorinis darbas Nr. 2 Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2010 m. vasario 23 d. Santrauka Antras laboratorinis darbas skirtas išmokti sudarinėti daugialypės
Διαβάστε περισσότεραSpalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1
Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa
Διαβάστε περισσότεραDviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės
Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento
Διαβάστε περισσότεραĮžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραI.4. Laisvasis kūnų kritimas
I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės
Διαβάστε περισσότεραMATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos
MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio
Διαβάστε περισσότεραMatematinės analizės konspektai
Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =,
Διαβάστε περισσότεραAtsitiktinių paklaidų įvertinimas
4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra
Διαβάστε περισσότεραEkonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė
Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS
Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė
Διαβάστε περισσότερα2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd
Διαβάστε περισσότεραEKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)
EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į
Διαβάστε περισσότεραAPRAŠOMOJI STATISTIKA
STATISTIKA FILOLOGAMS 4 paskaita APRAŠOMOJI STATISTIKA Pagrindinės sąvokos Statistika keliareikšmė sąvoka. Skirtinos bent jau šios ryškios bei kartu skirtingos reikšmės: a) tokia duomenų apie valstybę,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 3 dalis
Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A
Διαβάστε περισσότεραPNEUMATIKA - vožtuvai
Mini vožtuvai - serija VME 1 - Tipas: 3/2, NC, NO, monostabilūs - Valdymas: Mechaninis ir rankinis - Nominalus debitas (kai 6 barai, Δp = 1 baras): 60 l/min. - Prijungimai: Kištukinės jungtys ø 4 žarnoms
Διαβάστε περισσότερα2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis
PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7
Διαβάστε περισσότεραAlgoritmai. Vytautas Kazakevičius
Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................
Διαβάστε περισσότεραDiskrečioji matematika
VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės
Διαβάστε περισσότεραIV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,
41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,
Διαβάστε περισσότεραVILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...
Διαβάστε περισσότεραStatistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas
Statistinė termodinamika. Boltzmann o pasiskirstymas DNR molekulių vaizdas DNR struktūros pakitimai. Keičiantis DNR molekulės formai keistųsi ir visos sistemos entropija. Mielėse esančio DNR struktūros
Διαβάστε περισσότεραEUROPOS CENTRINIS BANKAS
2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo
Διαβάστε περισσότεραPav1 Žingsnio perdavimo funkcija gali būti paskaičiuota integruojant VIPF. Paskaičiavus VIPF FFT gaunamo amplitudinė_dažninė ch_ka.
Įvadas į filtrus Skaitmeniniai filtrai, tai viena iš svarbiausių siganalų apdorojimo dalių. Kadangi skaitmeniniai filtrai turi nepalyginamai daugiau pranašumų nei analoginiai filtrai, tai nulėmė jų populiarumą.
Διαβάστε περισσότεραSpecialieji analizės skyriai
Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo
Διαβάστε περισσότεραFUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga
VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R
Διαβάστε περισσότερα2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS
.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame
Διαβάστε περισσότεραATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )
ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas
Διαβάστε περισσότερα1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad
45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai
Διαβάστε περισσότερα1. Įvadas į sistemas ir signalus. 1. Signalas, duomenys, informacija ir žinios
. Įvadas į sistemas ir signalus. Signalas, duomenys, informacija ir žinios Žodis signalas yra kilęs iš lotyniško žodžio signum ženklas. Signalas tai yra tai kas yra naudojama žiniai perduoti. Signalas
Διαβάστε περισσότερα1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3
Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................
Διαβάστε περισσότερα2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai
M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARIOJI TEORIJA
ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.
Διαβάστε περισσότεραSkalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka
WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs
Διαβάστε περισσότεραAnalizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.
Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a
Διαβάστε περισσότεραAIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas
Διαβάστε περισσότεραII dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol
PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas
Διαβάστε περισσότεραIndividualaus projekto užduotis
Individualaus projekto užduotis Individualaus projekto uţduoties sudedamosios dalys yra šios: 1. Titulinis puslapis. 2. Pagrindine apskaitos lentelė. 3. Apskaitos lentelės 1-2 kopijos.* 4. Pagrindinė verslo
Διαβάστε περισσότεραIntegriniai diodai. Tokio integrinio diodo tiesiogin įtampa mažai priklauso nuo per jį tekančios srov s. ELEKTRONIKOS ĮTAISAI 2009
1 Integriniai diodai Integrinių diodų pn sandūros sudaromos formuojant dvipolių integrinių grandynų tranzistorius. Dažniausiai integriniuose grandynuose kaip diodai naudojami tranzistoriniai dariniai.
Διαβάστε περισσότεραKOMPIUTERINĖ ŽEMĖTVARKOS GRAFIKA
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS Vandens ūkio ir žemėtvarkos fakultetas Statybinių konstrukcijų katedra Žemėtvarkos katedra Tatjana Sankauskienė Vaiva Stravinskienė KOMPIUTERINĖ ŽEMĖTVARKOS GRAFIKA Metodiniai
Διαβάστε περισσότεραA priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai
Priedai A priedas. Diagnostikoje naudojami tarptautiniai ISO standartai B priedas. Patikslintas tiesiakrumplės pavaros matematinis modelis C priedas. Patikslintas tiesiakrumplė pavaros matematinis modelis
Διαβάστε περισσότεραVilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas
Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,
Διαβάστε περισσότεραFDMGEO4: Antros eilės kreivės I
FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA
LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai
Διαβάστε περισσότερα1. Klasifikavimo su mokytoju metodai
1. Klasifikavimo su mokytoju metodai Klasifikacijos uždavinys yra atpažinimo uždavinys, kurio esmė pagal pateiktus objekto (vaizdo, garso, asmens, proceso) skaitinius duomenis priskirti ji kokiai nors
Διαβάστε περισσότεραMatematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia
1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra
Διαβάστε περισσότερα4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu
IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu
Διαβάστε περισσότεραPraeita paskaita. Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje. Praeita paskaita. 2D Transformacijos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, 2010
Praeita paskaita Grafika ir vizualizavimas Atkirtimai dvimatėje erdvėje Atkarpos Tiesės lgtis = mx+ b kur m krpties koeficientas, o b aukštis, kuriame tiesė kerta ašį Susikirtimo taško apskaičiavimui sulginamos
Διαβάστε περισσότεραSu pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos
Su pertrūkiais dirbančių elektrinių skverbtis ir integracijos į Lietuvos elektros energetikos sistemą problemos Rimantas DEKSNYS, Robertas STANIULIS Elektros sistemų katedra Kauno technologijos universitetas
Διαβάστε περισσότεραKADETAS (VII ir VIII klasės)
ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip
Διαβάστε περισσότεραGairės audito institucijoms dėl audito atrankos metodų ir m. programavimo laikotarpiai
EGESIF_16-0014-00 017 01 0 EUROPOS KOMISIJA GENERALINIAI DIREKTORATAI Regioninės ir miestų politikos Užimtumo, socialinių reikalų ir lygių galimybių Jūrų reikalų Gairės audito institucijoms dėl audito
Διαβάστε περισσότερα4.18. AKUSTINIO DOPLERIO EFEKTO TYRIMAS
4.18. AKUSTINIO DOPLERIO EFEKTO TYRIMAS Darbo tikslas Ištirti akustinį Doplerio efektą. Darbo užduotys Nustatyti garso greitį ore. Nustatyti nejudančio garso šaltinio skleidžiamų garso bangų dažnį. Nustatyti
Διαβάστε περισσότεραTaikomieji optimizavimo metodai
Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,
Διαβάστε περισσότεραPaskait u konspektas. Jam padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 2006 metais
Paskait u konspektas AKTUARINĖ MATEMATIKA Surašė Jonas Šiaulys Ja padėjo Aristidas Vilkaitis ir Donatas Šepetys 26 etais Naudota literatūra Bowers N.L., Gerber H.U., Hickan J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J.,
Διαβάστε περισσότερα4 laboratorinis darbas. PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS
PARAMETRŲ ĮVERČIAI IR STATISTINĖS HIPOTEZĖS DARBO TIKSLAS - išstudijuoti parametrų taškiių ir itervaliių įverčių radimo, parametriių ir eparametriių hipotezių tikriimo uždaviius ir jų taikymą Teorijos
Διαβάστε περισσότεραModalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic
Διαβάστε περισσότεραVIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?
VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos
Διαβάστε περισσότεραfx-82es PLUS fx-85es PLUS fx-95es PLUS fx-350es PLUS
LT fx-82es PLUS fx-85es PLUS fx-95es PLUS fx-350es PLUS Naudotojo vadovas CASIO Worldwide Education svetainė http://edu.casio.com CASIO ŠVIETIMO FORUMAS http://edu.casio.com/forum/ Išversta vertimų biure
Διαβάστε περισσότερα2018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ
N A C I O N A L I N I S E G Z A M I N Ų C E N T R A S 018 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 018 m. birželio 9 d. įvyko matematikos valstybinis brandos egzaminas.
Διαβάστε περισσότεραPAPILDOMA INFORMACIJA
PAPILDOMA INFORMACIJA REKOMENDACIJOS, KAIP REIKIA ĮRENGTI, PERTVARKYTI DAUGIABUČIŲ PASTATŲ ANTENŲ ŪKIUS, KAD BŪTŲ UŽTIKRINTAS GEROS KOKYBĖS SKAITMENINĖS ANTŽEMINĖS TELEVIZIJOS SIGNALŲ PRIĖMIMAS I. BENDROSIOS
Διαβάστε περισσότερα2 laboratorinis darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI
laboratorns darbas laboratorns darbas. TIKIMYBINIAI MODELIAI DARBO TIKSLAS - šstudjuot atstktnų dydžų r vektorų skrstnus, skrstno (passkrstymo) funkcją, tanko funkcją, skatnes charakterstkas r jų savybes.
Διαβάστε περισσότεραJONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA
JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina
Διαβάστε περισσότεραTIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010
TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,
Διαβάστε περισσότεραANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)
ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...
Διαβάστε περισσότεραRemigijus Leipus. Ekonometrija II. remis
Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2
Διαβάστε περισσότεραV skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI
V skyrius ĮVAIRŪS PALŪKANŲ APSKAIČIAVIMO KLAUSIMAI Uždirbtų palūkanų suma priklauso ne tik nuo palūkanų normos dydžio, bet ir nuo palūkanų kapitalizavimo dažnio Metinė palūkanų norma nevisada atspindi
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras. Giedrė Beconytė. Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams
Vilniaus universitetas Gamtos mokslų fakultetas Kartografijos centras Giedrė Beconytė DUOMENŲ BAZIŲ PROJEKTAVIMAS Mokomoji knyga geomokslų specialybių studentams Vilnius 2012 Aprobuota VU Gamtos mokslų
Διαβάστε περισσότεραStiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje
Stiklo pluošto laikikliai - gali būti sprendimas langams/durims tvirtinti šiltinimo sluoksnyje Lango vieta angoje Reguliuojami stiklo pluošto laikikliai Sukurta mūsų, pagaminta mūsų Geram rezultatui
Διαβάστε περισσότεραŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE
ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,
Διαβάστε περισσότεραKetvirtos eilės Rungės ir Kutos metodo būsenos parametro vektoriaus {X} reikšmės užrašomos taip:
PRIEDAI 113 A priedas. Rungės ir Kuto metodas Rungės-Kutos metodu sprendiamos diferencialinės lygtys. Norint skaitiniu būdu išspręsti diferencialinę lygtį, reikia žinoti ieškomos funkcijos ir jos išvestinės
Διαβάστε περισσότεραDISKREČIOJI MATEMATIKA
VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos
Διαβάστε περισσότερα3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija
P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS
Διαβάστε περισσότεραMONTE KARLO METODAS. Gediminas Stepanauskas IVADAS Sistemos Modeliai Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas...
MONTE KARLO METODAS Gediminas Stepanauskas 2008 Turinys 1 IVADAS 4 1.1 Sistemos.............................. 4 1.2 Modeliai.............................. 5 1.3 Modeliavimas ir Monte-Karlo metodas.............
Διαβάστε περισσότεραLIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ
LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį
Διαβάστε περισσότερα1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija
1 tema. Bendroji mokslinių tyrimų metodologija Mokslas, kaip viena protinės veiklos sudėtinė dalis - tai žmonių veikla, kurios funkcijos yra gauti ir teoriškai sisteminti objektyvias žinias apie tikrovę.
Διαβάστε περισσότερα1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO
iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7
Διαβάστε περισσότεραRankinio nustatymo ventiliai MSV-F2, PN 16/25, DN
Rankinio nustatymo ventiliai MSV-F2 PN 16/25 DN 15-400 Aprašymas MSV-F2 DN 15-150 MSV-F2 DN 200-400 MSV-F2 yra rankinio nustatymo ventiliai. Jie naudojami srautui šildymo ir šaldymo įrenginiuose balansuoti.
Διαβάστε περισσότεραRinktiniai informacijos saugos skyriai. 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija
Rinktiniai informacijos saugos skyriai 3. Kriptografija ir kriptografijos protokolai: Klasikinė kriptografija Paskaitos tikslai Šioje temoje nagrinėjami klausimai: Perstatų šifrai Keitinių šifrai Vienos
Διαβάστε περισσότεραMATAVIMAI IR METROLOGIJOS PAGRINDAI
EUROPOS SĄJUNGA KURKIME ATEITĮ DRAUGE! VILNIAUS KOLEGIJA Europos Sąjungos struktūrinių fondų paramos projektas MOKYMO IR STUDIJŲ PROGRAMOS MECHANIKOS IR ELEKTRONIKOS SEKTORIAUS POREIKIAMS TENKINTI SUKŪRIMAS
Διαβάστε περισσότεραM A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D
LIETUVOS ŽEMĖS ŪKIO UNIVERSITETAS MATEMATIKOS KATEDRA Antanas Lapinskas M A T E M A T I K O S P R A K T I K U M A S S U M A T H C A D (MOKOMOJI KNYGA) AKADEMIJA 006 UDK 0049 (0754) Sudarė: doc dr Antanas
Διαβάστε περισσότεραfx-570ex fx-991ex Naudotojo vadovas
Išverstavertimųbiure"Galerita" LT fx-570ex fx-991ex Naudotojo vadovas CASIO pasaulinis mokomasis tinklapis http://edu.casio.com Visą naudotojo dokumentaciją laikykite prieinamoje vietoje, kad ja galėtumėte
Διαβάστε περισσότερα5 klasė. - užduotys apie varniuką.
5 klasė - užduotys apie varniuką. 1. Varniukas iš plastilino lipdė raides ir iš jų sudėliojo užrašą: VARNIUKO OLIMPIADA. Vienodas raides jis lipdė iš tos pačios spalvos plastelino, o skirtingas raides
Διαβάστε περισσότεραDirbtiniai neuroniniai tinklai
Dirbtiniai neuroniniai tinklai Š. Raudžio paskaitų konspektas Marius Gedminas 2003 m. pavasaris (VU MIF informatikos magistrantūros studijų 2 semestras) Šis konspektas rinktas LATEXu Š. Raudžio paskaitų
Διαβάστε περισσότεραVilijandas Bagdonavi ius. Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA
VILNIAUS UNIVERSITETO MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS Vilijandas Bagdonavi ius Julius Jonas Kruopis MATEMATIN E STATISTIKA Vadovelis IV DALIS DAUGIAMAT E STATISTIKA Vilniaus universiteto leidykla
Διαβάστε περισσότεραVilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė
Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime
Διαβάστε περισσότερα1.4. Rungės ir Kuto metodas
.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio
Διαβάστε περισσότεραRotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4
Techninis aprašymas Rotaciniai vožtuvai HRB 3, HRB 4 Aprašymas HRB rotacinius vožtuvus galima naudoti kartu su elektros pavaromis AMB 162 ir AMB 182. Savybės: Mažiausias pratekėjimas šioje klasėje Uniklalus
Διαβάστε περισσότεραSIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE
VILNIAUS UNIVERSITETAS Kietojo kūno elektronikos katedra SIGNALAI TELEKOMUNIKACIJŲ SISTEMOSE Mokymo priemonė Parengė A. Poškus 4 Turinys. ĮVADAS..... Telekomunikaijų sistemos struktūrinė shema. Pagrindinės
Διαβάστε περισσότερα1. Individualios užduotys:
IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios
Διαβάστε περισσότεραBalniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis
Techninis aprašymas Balniniai vožtuvai (PN 16) VRG 2 dviejų eigų vožtuvas, išorinis sriegis VRG 3 trijų eigų vožtuvas, išorinis sriegis Aprašymas Šie vožtuvai skirti naudoti su AMV(E) 335, AMV(E) 435 arba
Διαβάστε περισσότεραIII. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:
III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia
Διαβάστε περισσότεραPUSLAIDININKINIŲ PRIETAISŲ TYRIMAS
laboratorinis darbas PSLAIDININKINIŲ PIETAISŲ TIMAS Darbo tikslas susipažinti su puslaidininkinių diodų, stabilitronų ir švietukų struktūra, veikimo principu, ištirti jų charakteristikas. Teorinės žinios
Διαβάστε περισσότερα6.10.B. ELEKTROKARDIOGRAMOS UŽRAŠYMAS IR TYRIMAS
6.10.B. ELEKTROKARDIOGRAMOS UŽRAŠYMAS IR TYRIMAS Darbo užduotys Užregistruokite kelias laisvai pasirinktas elektrokardiogramos (EKG) derivacijas, pavyzdžiui, II, avr ar kitas. Nustatykite pasirinktų derivacijų
Διαβάστε περισσότερα