DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
|
|
- Εὔα Θεοφάνια Παπανικολάου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom posao bismo obavili za 5 dana ranije. Imam bolju kombinaciju! reče Ivan. Ako bih radio s Tomislavom završio bih posao za petinu vremena prije nego da radim s Krešimirom. Za koliko bi dana svaki od njih završio posao sam, a za koliko bi ga dana završili radeći svi zajedno? Rješenje. Označimo s x, y, z, tim redom, broj dana za koje bi posao obavili Tomislav, Krešimir, Ivan. Ako ukupni posao označimo s onda je x, y, dio posla koji bi obavili, z tim redom, Tomislav, Krešimir, Ivan, za jedan dan. Prema uvjetu zadatka imamo sljedeće jednažbe: x + y y + z x + z Treba riješiti ovaj sistem linearnih jednadžbi. 0, 5,. Zbrajanjem ovih triju jednadžbi, nakon sredivanja, dobivamo Radeći zajedno u jednom danu bi obavili obavili za 0 dana. Sada imamo: x + y + z 0. 0 x ( 0 y + ) z ukupnog posla, tj. cjelokupan posao bi tj. x 30. Slično se dobiva y 60, z 0. Dakle, Tomislav bi obavio cjelokupan posao za 30, Krešimir za 60, a Ivan za 0 dana.
2 Zadatak B-.. (0 bodova) Riješi nejednadžbu 9 x x + x 009. Rješenje. Da bismo riješili ovu nejednadžbu moramo riješiti sljedeće dvije jednostavnije nejednadžbe: Moramo promatrati dva slučaja: 9 x 0 tj. x 9, 9 x > 0 tj. x < 9. U ovom slučaju imamo: odakle imamo x [9, 000] Sada je x x + x 009, tj. 009 x 9 x x 009 x. 009 x x 9 x 009 x, 08 x 000, 009 x 000, pa imamo ova dva slučaja: a 9 x 0 tj. x 9 b 9 x > 0 tj. x < 9. a 009 x 9 x 009 x, tj. x [ 9, 9, odakle je x b [ 9, x x x, 000 4x 08, 500 x 009, 009 x < 9 x < 009 x tj. 08 < 000. Kako je ova nejednakost uvijek zadovoljena dobivamo x, 9. Konačno rješenje je x, 000].
3 Zadatak B-.3. (0 bodova) Duljina osnovice jednakokračnog trokuta ABC je cm, a duljina kraka je 0 cm. Točke P i Q su polovišta krakova AC i BC, a S i R su njihove ortogonalne projekcije na AB. Odredi udaljenost nožišta okomica iz točaka P i R na spojnicu SQ. Rješenje. Dužina P Q je srednjica trokuta ABC pa je P Q AB 6 cm. Točka D je polovište stranice AB. Primjenom Pitagorinog poučka imamo CD BC BD cm. Točka Q je polovište kraka BC pa je BQ CQ 5 cm. Iz sličnosti trokuta BDC i BRQ imamo CD QR BD BR CD odakle je QR 4 cm. Četverokut SRQP je pravokutnik i SR P Q 6 cm. Duljina njegove dijagonale je SQ SR + QR Iz P SRQ P SRQP imamo RN P M P SRQP SR QR 3. SQ SQ 3 3 Nadalje, po Pitagorinom poučku je NQ QR RN Radi simetrije je SM NQ pa imamo MN SQ NQ Tražena udaljenost nožišta je MN 0 3 cm. 3 Zadatak B-.4. (0 bodova) Ako je a + b, c + d i ac + bd 0, koliko je ab + cd? Prvo rješenje. Kako je a + b ne mogu istovremeno a i b biti jednaki 0. Neka je a 0. Iz treće jednakosti imamo c bd. Tada je a c + d b d + d d (a + b ) a a d a
4 odakle imamo a d. Sada je Drugo rješenje. Dobivamo ab + cd ab bd a b a (a d ) 0. 0 (ac + bd)(ad + bc) a cd + abc + abd + b cd ab(c + d ) + cd(a + b ) ab + cd. Zadatak B-.5. (0 bodova) Ako realni brojevi x, y zadovoljavaju uvjet x + 4y dokaži nejednakost x + y 0. Prvo rješenje. Iz dane jednakosti imamo x 4y. Tada je x + y ( ) 4y 0 + y 0 0y + 5y 5 5 ( 5y) 0, odakle se dobiva tražena nejednakost. Drugo rješenje. Kao i u prvom rješenju imamo x 4y. Dalje redom imamo: ( ) 4y x + y + y 5y y + 4 Odavde slijedi tražena nejednakost. ( 5 y 5 y + ) + 0 ( 5 5 y )
5 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Za kompleksne brojeve z, w takve da je z w z w ( z ) 99. izračunaj w Prvo rješenje. Stavimo u z w x + yi. Tada je u, u. Tada je x + y, (x ) + y. Oduzimanjem ovih jednakosti dobivamo x 3, y ±, pa je u ± Sada je ( ( z ) 99 u 99 w ± 3 i ) i. ( 8 ± i ) i ( ) 33. Drugo rješenje. Dijeljenjem dane jednakosti z w z w s w dobivamo z z w w. Označimo li u z w imamo u, u. Tada je u ū i (u )(ū ). ( ) Odavde je (u ) u (u ), a nakon sredivanja u u. u Množenjem ove jednakosti s u imamo u 3 u u. Sada imamo u 99 (u 3 ) 33 ( ) 33. ( z ) 99 Dakle,. w Zadatak B-.. (0 bodova) Dani su realni brojevi 0 < a < b. Odredi sva rješenja nejednadžbe a x b + b x a. Prvo rješenje. Sredivanjem dane nejednakosti dobiva se x + (3a + 3b)x (a + b) 0. (x a)(x b)
6 Budući da su nultočke brojnika x a + b, x a + b, a nazivnika x 3 a, x 4 b te kako vrijedi a < a + b < b < a + b možemo skicirati grafove funkcija y x + (3a + 3b)x (a + b), odnosno, y (x a)(x b) Kako izraz mora biti 0 promotrimo gdje su grafovi sa suprotnih strana x-osi. Pri tome je x a, x b. Dakle, x, a [ a + b, b [a + b,. Drugo rješenje. Sredivanjem dane nejednakosti dobiva se x + (3a + 3b)x (a + b) (x a)(x b) Moramo promatrati sljedeća dva slučaja: 0. x + (3a + 3b)x (a + b) 0 (x a)(x b) > 0 Rješenja jednadžbe x + (3a + 3b)x (a + b) 0 su x a + b, x a + b. Rješenje prve nejednadžbe je x, a + b ] [a + b,, a druge x, a b, Kako je 0 < a < b imamo a < a + b, b < a + b, pa se dobiva x, a [a + b,.
7 x + (3a + 3b)x (a + b) 0 (x a)(x b) < 0 [ ] a + b Rješenje prve nejednadžbe je x, a + b, a druge x a, b. [ a + b Rješenje sustava nejednadžbi pod je x, b. Rješenje polaznog sustava nejednažbi je x, a [ a + b, b [a + b,. Zadatak B-.3. (0 bodova) U pravokutnom trokutu ABC točka D je nožište visine spuštene iz vrha C na hipotenuzu AB, točka E je polovište dužine CD, a točka F je sjecište pravaca AE i BC. Ako je AD 4 i BD 9, odredi duljinu dužine AF. Rješenje. Iz jednakosti CD AD BD za pravokutan trokut ABC dobivamo CD 6, a kako je E polovište dužine CD, imamo DE 3. Iz pravokutnog trokuta AED je AE 5. Neka je G točka na stranici BC takva da je DG AF. Kako je EF srednjica trokuta CDG, uz EF x vrijedi DG x. Iz sličnosti trokuta AF B i DGB slijedi jednakost AF DG AB DB tj. 5 + x x je x Konačno je AF odakle Zadatak B-.4. (0 bodova) Točke A, B i C leže na istom pravcu i B je izmedu A i C. S iste strane pravca AC konstruirane su tri polukružnice promjera AB R, BC r i AC. Odredi polumjer kružnice koja dodiruje sve tri polukružnice. Rješenje. Neka je S središte kružnice, polumjera x, koja dodiruje tri polukružnice i neka je d njezina udaljenost od pravca AC. Neka su S, S, S 3, tim redom, polovišta dužina AB, BC, AC. Sa slike dobivamo:
8 S S 3 AS 3 AS (R + r) R r, S S 3 CS 3 CS (R + r) r R, S S R + x, S S r + x, S 3 S S 3 M SM R + r x. Površine trokuta S SS 3 i S SS izrazit ćemo pomoću Heronove formule i pomoću osnovice i visine na nju: (R + r)r(r x)x rd, (R + r + x)rrx (R + r)d. Kvadriranjem ovih jednadžbi i dijeljenjem jedne s drugom, nakon sredivanja, dobiva se x Rr(R + r) R + Rr + r. Zadatak B-.5. (0 bodova) Nadi sva rješenja jednadžbe x {x} 009x, gdje je x najveći cijeli broj koji nije veći od x, a {x} x x. Rješenje. Očito x 0 zadovoljava jednadžbu. Za x > 0 je 0 x x, 0 {x} <, pa je x {x} < x < 009x. U ovom slučaju nema rješenja. Za x < 0 je x p + α, gdje je p x prirodan broj, a α {x}. Jednadžba sada glasi čije rješenje je α Kako je α <, imamo x p p. 009p p ( p) α ( p + α) 009, Dakle, jednadžba ima dva rješenja: x 0, x < tj. p <. Zato je p, α odakle je
9 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 3. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-3.. (0 bodova) Nadi sva realna rješenja jednadžbe 4x 3 x 3x 0. Prvo rješenje. Napišimo jednadžbu u obliku x 4x 3 3x. Da bi jednadžba bila definirana [ mora biti x 0 tj. x [, ]. Zato možemo staviti x sin α, gdje je α π, π ]. Sada jednadžba postaje Za α sin α 4 sin 3 α 3 sin α tj. cos α sin 3α. [ π, π ] je cos α 0, pa jednadžba poprima oblik ( π ) cos α sin 3α tj. sin 3α + sin α 0. Lijevu stranu možemo napisati u obliku produkta: Imamo dvije mogućnosti: ( sin α + π ) 0 4 3α + π sin α 3α π cos + α 0 tj. ( sin α + π ) ( cos α π ) Opće rješenje ove jednadžbe je α π 4 ( cos α π ) kπ, k Z; čije je opće rješenje α 3π 8 + kπ, k Z. [ Jednadžba ima tri rješenja u intervalu π, π ] : π 4, π 8, 3π 8. Rješenja polazne jednadžbe su: ( x sin π ) 4,
10 ( x sin π ) 8 x 3 sin ( ) 3π 8 cos π 4 cos 3π 4, +. Drugo rješenje. Jednadžbu zapišimo u obliku x 4x 3 3x. Da bi ona bila definirana mora biti ) x 0, ) 4x 3 3x x(x 3)(x + 3) 0. [ ] [ 3 3 Prvi uvjet je zadovoljen za x [, ], a drugi za x, 0,. [ ] [ ] 3 3 Oba uvjeta su zadovoljena za x, 0, Kvadriranjem jednadžbe i sredivanjem dobivamo 6x 6 4x 4 + 0x 0. Uz supstituciju t x imamo 6t 3 4t + 0t 0. Faktorizacijom dobivamo Jednadžba se svodi na sljedeće dvije: (t )(8t 8t + ) 0. ) Rješenje jednadžbe t 0 je t. Zadovoljava samo x ) Rješenja kvadratne jednadžbe 8t 8t + 0 su t ±. Odavde se dobije 4 x ± ±. Zadovoljavaju samo rješenja x + i x 3. Time su dana sva tri rješenja polazne jednadžbe.. Zadatak B-3.. (0 bodova) Za realan broj a > 0, a dana je funkcija f(x) log a x + log a x. U zavisnosti o parametru a nadi sva rješenja jednadžbe f(x + a a) f(x). Rješenje. Da bi jednadžba imala rješenje moraju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti: a > 0, a, x > 0, x > a a. Kako je log a x log a x log a a log a x zadana funkcija je f(x) 3 log a x.
11 Iz f(x + a a) f(x) dobivamo 3 log a(x + a a) 3 log a x tj. log a (x + a a) log a x. () Iz logaritamske jednadžbe () dobivamo kvadratnu jednadžbu x x + a a 0. Riješimo ju faktorizacijom: 0 x a (x a) (x a)(x + a) (x a) (x a)(x + a ). Njezina rješenja su x a, x a. Prvo rješenje ima smisla za svaki pozitivan a osim za a, a drugo za a 0,. Naime, za x a imamo a > a a tj. a > 0, što je istinito za svaki a. Za x > 0 dobivamo a > 0, odnosno a 0, i za x a mora biti a > a a tj. (a ) > 0 pa je x za dopuštene a uvijek definiran. Zadatak B-3.3. (0 bodova) Izračunaj zbroj sin cos 0 cos + sin cos cos + sin cos cos sin cos 008 cos 009. Rješenje. Uočimo n-ti član izraza sin cos(n ) cos n sin cos(n ) cos n sin[n (n )] cos(n ) cos n i preuredimo ga sin n cos(n ) cos n sin(n ) cos(n ) cos n cos(n ) cos n Sada zbroj postaje tg n tg(n ). tg tg 0 + tg tg tg 008 tg tg 009 tg 008 tg 009 tg 0 tg 009. Zadatak B-3.4. (0 bodova) Medusobna udaljenost središta sfera polumjera R i r (r < R) jednaka je a (R r < a R + r). a) Izrazi obujam V pravilnog kružnog stošca, opisanog oko ovih sfera, u zavisnosti o parametrima a, R i r. b) Izračunaj volumen stošca ako je R 0, r 6 i a 8.
12 Rješenje. a) Neka je polumjer osnovke stošca BD x, a visina CD y. Točke E i F su na dužini BC, T na P F i četverokut QT F E je pravokutnik. Iz sličnosti trokuta QEC i P T Q imamo QC QE Nakon sredivanja dobivamo y R a r P Q P T, a odavde a R r. y (a + R r)r. () R r Iz sličnosti trokuta BDC i P T Q imamo BD CD P T QT, odnosno Iz () i () dobivamo x y x y R r a (R r). () R r a (R r) tj. Iz (), () i (3) imamo a + R r x R a R + r. (3) V x π y 3 R3 (a + R r) π 3(R r)(a R + r). b) U specijalnom slučaju za R 0, r 6, a 8 dobivamo V 3000π. Zadatak B-3.5. (0 bodova) Dvije jednake šahovske ploče (8 8 polja) imaju zajedničko središte i jedna potpuno prekriva drugu. Jedna od njih se zarotira oko središta za 45. Odredi površinu presjeka svih crnih polja jedne ploče sa svim crnim poljima druge ploče ako je površina jednog polja jednaka.
13 Rješenje. Označimo: S cc - zbroj svih zajedničkih površina crnih polja gornje i donje ploče, S cb - zbroj svih zajedničkih površina crnih polja gornje i bijelih polja donje ploče, S bc - zbroj svih zajedničkih površina bijelih polja gornje i crnih polja donje ploče, S bb - zbroj svih zajedničkih površina bijelih polja gornje i donje ploče. Tada vrijedi S S cc + S cb + S bc + S bb, gdje je S površina pravilnog osmerokuta koji je presjek dviju ploča. Nazovimo položaj ploča na slici početnim. Ako zarotiramo gornju ploču za 90 oko njezinog središta, crna polja te ploče će doći na mjesta njenih bijelih polja iz početnog položaja, pa je S cc S bc i S cb S bb. Ako zarotiramo donju ploču za 90 oko njenog središta, njena crna polja će doći na mjesta njenih bijelih polja iz početnog položaja, pa je S cc S cb, S bc S bb tj. S cc S cb S bc S bb odnosno S cc 4 S. Nadalje, površina osmerokuta je jednaka površini kvadrata (šahovske ploče) umanjene za četverostruku površinu odsječenog trokuta, tj. S 64 4P. Odsječeni trokut je pravokutan jednakokračan trokut, pa je njegova baza jednaka dvostrukoj visini, tj. a v. Ako s d označimo duljinu dijagonale šahovske ploče, visina trokuta je v d a 4( ). Površina trokuta je P av v 6(3 ). Dakle, S 64 4P 8( ). Konačno je S cc 3( ).
14 DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-4.. (0 bodova) U rastućem aritmetičkom nizu umnožak drugog i trećeg člana je 3, a umnožak trećeg i petog je 3. Koliko prvih članova niza treba zbrojiti da bi zbroj bio minimalan? Koliki je taj zbroj? Rješenje. Članove niza ćemo prikazati pomoću prvog člana a i razlike niza d. Prema uvjetu zadatka imamo ove dvije jednadžbe: (a + d)(a + d) 3, (a + d)(a + 4d) 3. Zbrojimo li ove dvije jednadžbe, nakon sredivanja, dobivamo homogenu kvadratnu jednadžbu a + 9a d + 0d 0. Dijeljenjem s d dobivamo kvadratnu jednadžbu ( a ) a d d Njezina rješenja su a d, a d 5. Dobivamo a d, a 5 d. Prvo rješenje a d nema smisla jer uvrštavanjem u prvu jednadžbu dobivamo d 0 3! Za a 5 d iz prve jednadžbe dobivamo d ±. No, d ne zadovoljava jer niz mora biti rastući. Za d dobivamo a 5. Zbroj prvih n članova niza je S n n (a + a n ) n (a + a + (n )d) n 6n (n 3) 9. Minimum za S n dobiva se za n 3 i on iznosi S min 9. Napomena. Podijelimo li drugu jednadžbu s prvom, dobivamo a + 4d a + d dobiva a 5 d, i dalje nastavlja kao gore., odakle se Zadatak B-4.. (0 bodova) U Kartezijevom koordinatnom sustavu zadane su točke A ( 7 ), 0, B(, 0), C(, 0). Nadi sve točke pravca y x 3 iz koje se dužine AC i BC vide pod istim kutom različitim od nule. Prvo rješenje. Neka je T tražena točka. Njene koordinate su T (x, x 3). Budući da su kutovi <) CT A i <) BT C jednaki, dužina T C leži na simetrali kuta <) BT A. Iz teorema o
15 simetrali kuta imamo omjer AT : BT AC : BC. Uvrstimo li koordinate točaka imamo ( x + 7 ) + (x 3) : (x ) + (x 3) 5 : 3. Kvadriranjem i sredivanjem dobivamo jednadžbu x 7x 0, čija su rješenja x 0, x 7. Odgovarajuće ordinate su y 3, y 4. Dakle, tražene točke su T (0, 3) i T (7, 4). Drugo rješenje. Neka je T tražena točka. Njezine koordinate su T (x, y) T (x, x 3). Koeficijent smjera pravca T T, čije su koordinate T (x, y ), T (x, y ), je k T T y y x x. U našem slučaju imamo: k AT x 3 x + 7 (x 3) x + 7, k BT x 3 x, k CT x 3 x +. Za kut α izmedu pravaca s koeficijentima smjerova k, k vrijedi tg α k k + k k, a kako je <) CT A <) BT C dobivamo k CT k AT k BT k CT. + k CT k AT + k BT k CT Uvrstimo li vrijednosti za k AT, k BT, k CT dobivamo x 3 (x 3) x + x x 3 (x 3) x + x + 7 x 3 x x 3 x + + x 3 x x 3. x +
16 5(x 3) Sredivanjem dvojnih razlomaka dobit ćemo 4x + 7x + 35 x 3 x 7x + 7. Jedno rješenje ove jednadžbe je x 3, a pripadna ordinata je y 0. U ovom slučaju se dužine AC i BC vide pod kutom jednakim nuli, što ne odgovara uvjetu zadatka. Zato 5 možemo dijeliti s x 3 i dobivamo 4x + 7x + 35 x 7x + 7. Nakon sredivanja dobivamo x(x 7) 0. Rješenja ove jednadžbe su x 0, x 7, a odgovarajuće ordinate su y 3, y 4. Dakle tražene točke su T (0, 3), T (7, 4). Zadatak B-4.3. (0 bodova) Koliki su minimum i maksimum funkcije y sin x sin x + sin x + sin x +? Za koje x [0, π] funkcija poprima minimalnu, a za koje maksimalnu vrijednost? Rješenje. Uočimo da je nazivnik jednak realan broj x. Dobivamo ( sin x + ) > 0 pa je y definiran za svaki (y ) sin x + (y + ) sin x + y 0. () Da bi ova kvadratna jednadžba, po sin x, imala realna rješenja, njezina diskriminanta mora biti nenegativna tj. D (y + ) 4(y ) 0 tj. (3 y)(3y ) 0. Odavde dobivamo 3 y 3, odnosno y min 3, y max 3. Uvrstimo li y 3 u () dobivamo kvadratnu jednadžbu (sin x ) 0 tj. sin x, odnosno minimum na x [0, π] se postiže za x π. Analogno za y 3 dobivamo (sin x + ) 0, čije je jedino rješenje sin x pa se maksimum dostiže za x 3π. Zadatak B-4.4. (0 bodova) Nadi formulu za zbroj S n 3! +! + 3! + 4! + 3! + 4! + 5 3! + 4! + 5! n + n! + (n + )! + (n + )!. Pokaži da niz zbrojeva konvergira i odredi mu limes!
17 Rješenje. Preuredimo najprije n-ti član: n + n! + (n + )! + (n + )! n + n![ + (n + ) + (n + )(n + )] n + n!(n + 4n + 4) n + n!(n + ) n!(n + ) n + n + n + (n + )! (n + ) (n + )! (n + )! (n + )!. Sada imamo S n! 3! + 3! 4! n! (n + )! + (n + )! (n + )! (n + )!. ( ) Limes niza S n je lim n (n + )!. Zadatak B-4.5. (0 bodova) Kocka ABCDA B C D presječena je ravninom koja sadrži prostornu dijagonalu kocke BD i ima najmanju moguću površinu presjeka s kockom. Koliki je kosinus kuta izmedu te ravnine i ravnine ABCD? Rješenje. Označimo s a duljinu brida kocke. Presjek kocke i ravnine je paralelogram BED F čija jedna dijagonala je prostorna dijagonala BD kocke. Površina paralelograma je P D E BE sin α, gdje je α <) D EB. Neka je x C E. Tada je D E a + x, BE a + (a x). Korištenjem kosinusovog poučka za trokut D BE imamo BD D E + BE D E BE cos α.
18 Uvrštavanjem BD a 3 te izraza za D E, BE, nakon sredivanja, imamo cos α Iz sin α cos α dobivamo sin α x ax (a + x )(a + (a x) ). a x ax + a (a + x )(a + (a x) ). Uvrštavanjem u formulu za površinu paralelograma dobivamo P a x ax + a. Budući da je pod korijenom kvadratna funkcija, ona poprima minimum za x ( a) a i on iznosi P min a 6. Traženi kut je <) DBD. Duljine stranica pravokutnog trokuta DBD su DD a, BD a i BD a 3 pa je cos ϕ BD BD 6 3. Napomena. Može se izračunati cos ϕ i pomoću formule cos ϕ P ABCD P min a a
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραOPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 2010.
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 15. ožujka 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραOpćinsko natjecanje. 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje iklus susreta i natjecanja mladih matematičara, učenika osnovnih i srednjih škola Republike Hrvatske i u 1998. godini sastojao se od školskih natjecanja, gradskih i općinskih natjecanja,
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable
Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOp cinsko natjecanje Osnovna ˇskola 4. razred
9 1. Općinsko natjecanje Općinsko (gradsko) natjecanje je prvi stupanj natjecanja koji se organizira po jedinstvenim kriterijima Državnog povjerenstva za matematička natjecanja. Godine 1996. ono je održano
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότερα> 0 svakako zadovoljen.
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 2009.
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 30. ožujka 009. Zadatak A-.. Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραx + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z + x)(x + y) =1 x 2 (y + z)+y 2 (z + x)+z 2 (x + y) = 6
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A kategorija,. svibnja 2007. Rješenja Zadatak 1A-1. Na - dite realna rješenja sustava jednadžbi: x + y + z = 2 (x + y)(y + z)+(y + z)(z + x)+(z
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo. 29. siječnja 2009.
Ministarstvo znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnja 009. UPUTE: Na poledini
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραDRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 25.travnja-27.travnja razred-rješenja
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Poreč, 5.travnja-7.travnja 01. 5. razred-rješenja OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραSignali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
Διαβάστε περισσότερα2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Διαβάστε περισσότεραUdaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. 4. razred osnovna škola. 23. veljače Odredi zbroj svih neparnih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
MINISTARSTVO ZNANOSTI, OBRAZOVANJA I ŠPORTA REPUBLIKE HRVATSKE AGENCIJA ZA ODGOJ I OBRAZOVANJE HRVATSKO MATEMATIČKO DRUŠTVO ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. razred osnovna škola 1. Na pitanje koliko
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5. Dio treci) Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja: Osnovni trigonometrijski identiteti) Tvrdnja:
Διαβάστε περισσότεραŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 2013.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 17. siječnja 01. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERE- NSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραx bx c + + = 0 po nepoznatoj x, vrijedi da je
Elektrotehnički fakultet u Sarajevu studijska 0/4. ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak. Za rješenja, kvadratne jednačine + = i + = 7. Koliko iznosi? 9 b c + + = 0 po nepoznatoj, vrijedi da je a) 4 b) 6 c) 7 d) 4
Διαβάστε περισσότεραI. dio. Zadaci za ponavljanje
I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραJoš neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Διαβάστε περισσότεραALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.
ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα