Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων"

Transcript

1 Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων Υψηλής Τάξης : Μία προσέγγιση ϐασισµένη στις Σειρές Volterra ιπλωµατικη Εργασια Στα πλαισια του Μεταπτυχιακου Προγραµµατος «Συστηµατα Επεξεργασιας Σηµατων & Επικοινωνιων» ιονύσιος Καλογερίας Α.Μ.: 162 Επιβλέπων : κ. Επίκουρος Καθηγητής Εµµανουήλ Ψαράκης

2

3 Στη Γιάννα, για την αµέριστη στήριξη και την υποµονή της...

4

5 Περιεχόµενα Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων v vii 1 Εισαγωγή Μη Γραµµικά Συστήµατα Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Ταυτοποίηση Συστήµατος Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; ιάρθρωση της Εργασίας Σειρές Volterra Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Οµογενή Συστήµατα Volterra Βασικές Ιδιότητες των Σειρών Volterra Γραµµικότητα ως προς τους Συντελεστές των Πυρήνων Η Ιδιότητα της Πολυδιάστατης Συνέλιξης Σχέση Πυρήνων Volterra και Πολυδιάστατων Γραµµικών Συστηµάτων ιαχωρίσιµοι Πυρήνες Volterra Ευστάθεια Κρουστικές Αποκρίσεις των Συστηµάτων Volterra Υπαρξη και Σύγκλιση των Σειρών Volterra Απόκριση συστηµάτων Volterra στο πεδίο της συχνότητας Απόκριση σε Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα i

6 2.5.2 Απόκριση σε πολλαπλά Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα ιανυσµατική Αναπαράσταση Συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου Ειδικές Μορφές Πολυωνυµικών Συστηµάτων Το Μοντέλο Hammerstein Το Μοντέλο Wiener Το Μοντέλο LNL Παράλληλες οµές Παράλληλο Μοντέλο Hammerstein Παράλληλο Μοντέλο Wiener Παράλληλο Μοντέλο LNL Ντετερµινιστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH Πολυώνυµα Chebyshev 1 ου τύπου Ισοδύναµο Πρόβληµα Ταυτοποίησης Αρµονικά Σήµατα Χρονικά Μεταβαλλόµενης Συχνότητας Αρµονικά Σήµατα Εκθετικά Αυξανόµενης Συχνότητας Χρονικός Συγχρονισµός Εκθετικών Chirps Απόκριση Συστηµάτων VH σε Chirps Sincoids Το «Αντίστροφο Φίλτρο» Ορισµός του «Αντίστροφου Φίλτρου» για Εκθετικά Chirps Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH ιακριτού Χρόνου µε χρήση Εκθετικών Chirps Αλγόριθµος Ταυτοποίησης Συστηµάτων ιακριτού Χρόνου Επαναληπτική Ανακατασκευή των Πυρήνων Σύγκλιση της Επαναληπτικής Μεθόδου Ανακατασκευής Συµπεριφορά της Μεθόδου Ανακατασκευής υπό την Επίδραση Προσθετικών ιαταραχών Βέλτιστη Στοχαστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Γενική ιατύπωση του Προβλήµατος Ταυτοποίησης Το Βέλτιστο των Σειρών Volterra Απαιτήσεις ειγµατοληψίας Σηµάτων Εισόδου - Εξόδου Άµεση Βέλτιστη Εκτίµηση Παραµέτρων Το Κριτήριο του Ελάχιστου Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (MMSE) Επέκταση σε µη-mmse Προβλήµατα Εκτίµησης Βέλτιστη Λύση υπό την έννοια του MMSE Ελάχιστο Μέσο Τετραγωνικό Σφάλµα Εκτίµηση των Απαιτούµενων Στατιστικών Εκτίµηση υπό την έννοια του MMSE για Gaussian Σήµατα Το Κριτήριο των Ελαχίστων Τετραγώνων (LS) Παραλλαγές του Κριτηρίου Ελαχίστων Τετραγώνων Σύγκλιση των Εκτιµητών Ελαχίστων Τετραγώνων ii

7 4.2.3 Συνθήκη Αντιστρεψιµότητας του Μητρώου Αυτοσυσχέτισης Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Βασικοί Ορισµοί Αποδοτικότητα χρήσης Ορθογώνιων Σηµάτων σε Προβλήµατα Εκτίµησης Παραµέτρων Ορθοκανονικοποίηση Σηµάτων στο Χώρο των Τυχαίων Μεταβλητών MMSE Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος LS Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος από Πραγµατικές Μετρήσεις Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Ταυτοποίηση Συστηµάτων µε χρήση Φίλτρων Kalman Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Γραµµικών Συστηµάτων Πεπερασµένης Κρουστικής Απόκρισης Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Πεπερασµένης Υποστήριξης Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Σχέση µεταξύ του Φίλτρου Kalman και του Αλγορίθµου Αναδροµικών Ελαχίστων Τετραγώνων Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra µε χρήση Εκθετικά Σταθµισµένων Φίλτρων Kalman Εξοµοιώσεις και Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Σταθερών Συστηµάτων VH «Μη Γραµµική Συνέλιξη» Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση µε χρήση του Φίλτρου Kalman Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Μεταβλητών Συστηµάτων Volterra Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση µε χρήση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman Σύγκριση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman µε τον Αλγόριθµο RLS Βιβλιογραφία 17 iii

8

9 Κατάλογος Σχηµάτων 2.1 Συµπαγής διανυσµατική αναπαράσταση ενός συστήµατος Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου LNL Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Volterra - Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου LNL Κυµατοµορφή ενός εκθετικού chirp Αποκρίσεις χρόνου και συχνότητας ενός λογαριθµικού sincoid Απόκριση συχνότητας σήµατος C (t; b), b = 1, Θορυβώδεις εκτιµήσεις πυρήνων Επαναληπτική ανακατασκευή αλλοιωµένων πυρήνων λόγω αναδίπλωσης Τρισδιάστατη απεικόνιση του τελεστή TX (M = 24 και N = 821) Η ενέργεια του «αντίστροφου ϕίλτρου» συναρτήσει του K (L = 1, f 1 = 2Hz, f 2 = 225Hz) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Α «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Β Χαρακτηριστική εισόδου - εξόδου του µη συµµετρικού περιοριστή του συστή- µατος C v

10 6.6 Φασµατόγραµµα εξόδου του συστήµατος C όταν στην είσοδο εφαρµόζεται εκ- ϑετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (11 κλάδοι) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι), χρησιµοποιώντας αρµονικό σήµα διέγερσης Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (11 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (32 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (32 κλάδοι) Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (32 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β Σύγκριση µεθόδων ταυτοποίησης χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Σύγκριση παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για την ταυτοποίηση χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Χρονική εξέλιξη της ϐέλτιστης προσαρµοστικής ταυτοποίησης του συστήµατος D Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 1dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 5dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = db Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 3dB vi

11 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Α Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Β Επιδόσεις των παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για αθόρυβα σήµατα εξόδου Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος D vii

12

13 1 Εισαγωγή 1.1 Μη Γραµµικά Συστήµατα Είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να δοθεί ένας κλειστός ορισµός των µη γραµµικών συστη- µάτων. Το διάσηµο παράδειγµα το µαθηµατικού Stan Ulam αποσαφηνίζει µε διαισθητικό τρόπο αυτή την εγγενή δυσκολία [1]: Χρησιµοποιώντας τον όρο «µη γραµµική επιστήµη», είναι σαν να αναφέρεσαι στο µεγαλύτερο µέρος της Ϲωολογίας ως τη µελέτη των «µη ελεφάντων» Ϲώων. Πάραυτα, ο κόσµος γύρω µας είναι γεµάτος µε µη γραµµικά ϕαινόµενα, και µάλιστα εί- µαστε πολύ εξοικειωµένοι µε αρκετά από αυτά. Κατ ουσίαν, ένα σύστηµα είναι µη γραµµικό όταν ο κανόνας των τριών δεν µπορεί να εφαρµοστεί για να περιγράψει τη συµπεριφορά του. Για παράδειγµα, το ϕορολογικό σύστηµα της Ελλάδας συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Οσο µεγαλώνει ο µεικτός µηνιαίος µισθός ενός εργαζόµενου, τόσο µεγαλώνει και το µέσο ποσοστό ϕόρων που ϑα πρέπει να πληρώνει. Ενα πιο προσιτό παράδειγµα αποτελούν οι ενισχυτές ήχου. Οταν η έντασή τους αυξάνεται πολύ, τα σήµατα τα οποία παράγονται «ψαλιδίζονται», µε αποτέλεσµα η µουσική που ακούµε να παραµορφώνεται, αντί να ακούγεται πιο δυνατά. Επίσης, ο καιρός συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Μικρές διαταραχές στο εσωτερικό αυτού του συστήµατος µπορούν να οδηγήσουν σε πολύ µεγάλες αλλαγές µετά από µία µακρά χρονική περίοδο. Αυτό αποτελεί το λεγόµενο «ϕαινόµενο της πεταλούδας». Για το λόγο αυτό είναι πολύ δύσκολη η ακριβής πρόβλεψη του καιρού σε ένα χρονικό ορίζοντα µεγαλύτερο από κάποιες µέρες. Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις, η µη γραµµική συµπεριφορά ενός συστήµατος είναι ε- πιθυµητή. Για παράδειγµα, επιτεύγµατα του εικοστού αιώνα, όπως η µετάδοση ήχου και εικόνας, η κινητή τηλεφωνία και η τεχνολογία ολοκληρωµένων κυκλωµάτων CMOS ϑα ήταν αδύνατα χωρίς µη γραµµικές συσκευές, όπως τα transistors και οι µίκτες σηµάτων. Με λίγα λόγια, τα µη γραµµικά συστήµατα υπάρχουν παντού. Γι αυτό, είναι πολύ σηµαντική η προσπάθεια για την κατανόηση και τη µοντελοποίηση της συµπεριφοράς τους. Προφανώς, ένα σύστηµα, το οποίο δεν είναι γραµµικό, είναι µη γραµµικό (!). Πιο αυστη- ϱά, γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα, το οποίο αρχικά ϐρίσκεται σε ηρεµία και που συµπαγώς αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας ένα γενικό τελεστή S [ ], είναι γραµµικό αν και µόνο αν 1

14 1.2. Ταυτοποίηση Συστήµατος υπακούει στη ϑεµελιώδη αρχή της υπέρθεσης, η οποία εκφράζεται ως S [a 1 x 1 (t) + a 1 x 2 (t)] = a 1 S [x 1 (t)] + a 2 S [x 2 (t)], (1.1) όπου x 1 (t), x 2 (t) αποτελούν δύο εισόδους του συστήµατος και a 1, a 2 αποτελούν σταθερές ποσότητες. Εποµένως, εάν ένα σύστηµα δεν υπακούει στην αρχή της υπέρθεσης, τότε ϑα λέµε ότι είναι µη γραµµικό. Το πιο σηµαντικό συµπέρασµα που προκύπτει από αυτόν τον εξαιρετικά γενικό ορισµό, αποτελεί το γεγονός ότι δεν υπάρχει κάποιο γενικό ϑεωρητικό πλαίσιο, όσον αφορά την ανάλυση και το χαρακτηρισµό των µη γραµµικών συστηµάτων. Για το λόγο αυτό, η µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων είναι εν γένει µία δύσκολη υπόθεση Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Γενικά, είναι αδύνατη η ανάπτυξη ενός ϑεωρητικού πλαισίου, το οποίο να είναι εφαρµόσιµο για ολόκληρο το σύνολο των µη γραµµικών συστηµάτων. Ως εκ τούτου, η παραδοσιακή προσέγγιση στη µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων συνίσταται στην επιλογή µίας η περισσότερων κλάσεων τέτοιων συστηµάτων και στην ανάπτυξη ειδικών ϑεωριών για την ανάλυση, το σχεδιασµό, την υλοποίηση, καθώς και τις εφαρµογές των κλάσεων αυτών ξεχωριστά. Μερικές από τις πιο δηµοφιλείς κλάσεις µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες έχουν ϐρει εφαρµογή σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα, είναι οι εξής [11]: Οµοµορφικά Συστήµατα (Homomorphic Systems). Φίλτρα Order Statistic. Μορφολογικά Φίλτρα (Morphological Filters). Νευρωνικά ίκτυα (Neural Networks). Μηχανές ιανυσµατικής Υποστήριξης (Support Vector Machines). Πολυωνυµικά Συστήµατα (Polynomial Systems). Στην εργασία αυτή ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε πολυωνυµικά συστήµατα, τα οποία περιγράφονται µέσω υπερθέσεων γραµµικών πολυδιάστατων συνελικτικών συναρτησιοειδών µη γραµµικών πολυωνυµικών επεκτάσεων του σήµατος εισόδου, τις επονοµαζόµενες Σειρές Volterra. Ο περίεργος αυτός ορισµός ϑα γίνει απόλυτα κατανοητός στο επόµενο κεφάλαιο. 1.2 Ταυτοποίηση Συστήµατος Ο όρος ταυτοποίηση συστήµατος περιλαµβάνει όλες εκείνες τις µεθόδους, οι οποίες στοχεύουν στη δόµηση µοντέλων για την περιγραφή δυναµικών συστηµάτων, χρησιµοποιώντας δεδοµένα που έχουν προκύψει από µετρήσεις, καθώς και το ϐέλτιστο σχεδιασµό πειραµάτων για την αποδοτική παραγωγή των δεδοµένων αυτών. Εµφανώς, η ταυτοποίηση συστήµατος αποτελεί µέρος της ϐασικής επιστηµονικής µεθοδολογίας και εξ αιτίας της προφανούς 2

15 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή αφθονίας των δυναµικών συστηµάτων στο άµεσο και έµµεσο περιβάλλον του ανθρώπου, οι αντίστοιχες µέθοδοι ϐρίσκουν εφαρµογή σε µία τεράστια γκάµα προβληµάτων. Η διαδικασία δόµησης µοντέλων από δεδοµένα περιλαµβάνει τρεις ϐασικές οντότητες [2]: ένα σύνολο δεδοµένων - µετρήσεων. ένα σύνολο υποψήφιων µοντέλων, καθένα από τα οποία περιλαµβάνει ένα σύνολο παραµέτρων. ένα σύνολο µεθόδων για την εκτίµηση των παραµέτρων αυτών, χρησιµοποιώντας τα διαθέσιµα δεδοµένα Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ανάλογα µε τη διαθεσιµότητα των δεδοµένων - µετρήσεων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστή- µατος κατηγοριοποιούνται σε : εισόδου - εξόδου (input - output), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από Ϲεύγη διεγέρσεων και αποκρίσεων του δυναµικού υπό µελέτη συστήµατος, µόνο - εξόδου (output only / blind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται µόνο από αποκρίσεις του συστήµατος και κατά το ήµισυ - εξόδου (semiblind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από αποκρίσεις του συστήµατος, συν κάποια αξιοποιήσιµα χαρακτηριστικά του άγνωστου σήµατος εισόδου, τα οποία είναι γνωστά εκ των προτέρων. Ανάλογα µε το είδος των υποψήφιων µοντέλων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστήµατος κατηγοριοποιούνται σε : λευκού κουτιού (white box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος, όπως, για παράδειγµα, τις διαφορικές εξισώσεις µίας ϕυσικής διεργασίας, µαύρου κουτιού (black box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του συστήµατος και περιλαµβάνουν έναν αριθµό ελεύθερων παρα- µέτρων προς εκτίµηση και γκρι κουτιού (grey box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας εν µέ- ϱει τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος και περιλαµβάνουν δύο µέρη, ένα «λευκό» και ένα «µαύρο» Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µεθόδους ταυτοποίησης µη γραµµικών συστηµάτων, ϑεωρώντας ότι οι είσοδοι και έξοδοι του υπό µελέτη συστήµατος 3

16 1.3. Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; είναι πάντοτε γνωστές, αλλά µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές εξέλιξής του και ϑεωρώντας ότι µπορεί ισοδύναµα να περιγραφεί χρησιµοποιώντας πολυωνυµικά µοντέλα (Σειρές Volterra). Ακόµα, µε τον όρο ντετερµινιστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα σήµατα εισόδου και εξίσου αποτελούν ντετερµινιστικές ποσότητες, ενώ µε τον όρο στοχαστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα αντίστοιχα σήµατα είναι τυχαία, µε πιθανώς γνωστές στατιστικές. 1.3 Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; Από τα παραδείγµατα που αναφέρθηκαν στην αρχή του κεφαλαίου, είναι εµφανές ότι πολλά ϕυσικά ϕαινόµενα είναι µη γραµµικά. Συχνά ϐέβαια, αρκεί η χρήση γραµµικών µοντέλων για την προσέγγιση της συµπεριφοράς τους. Αυτή είναι µία ελκυστική ιδέα, κυρίως επειδή το ϑεωρητικό υπόβαθρο για την ανάλυση και ταυτοποίηση γραµµικών συστηµάτων έχει µελετηθεί εκτενέστατα και είναι κάλως ορισµένο. Επιπλέον, τα γραµµικά µοντέλα είναι σχετικά ϐατά στην ερµηνεία και εύκολα στην κατανόηση. Γενικότερα, η προσέγγιση συστηµάτων χρησιµοποιώντας γραµµικά µοντέλα απαιτεί σηµαντικά µικρότερο κόπο σε σχέση µε την προσέγγιση χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα. υστυχώς όµως, οι γραµµικές προσεγγίσεις δεν είναι πάντα έγκυρες, και µάλιστα υπάρχουν προβλήµατα, για τα οποία η χρήση γραµµικών µοντέλων δεν προσφέρει ούτε κατά διάνοια επιθυµητά αποτελέσµατα. Για τους λόγους αυτούς, τις τελευταίες δεκαετίες, έχει δηµιουργηθεί µία σηµαντική τάση προς τη µοντελοποίηση συστηµάτων χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα σε ποικίλα πεδία εφαρµογών. Επιπρόσθετα, εξ αιτίας των τεράστιων τεχνολογικών εξελίξεων των τελευταίων χρόνων, έχει καταστεί δυνατή η υλοποίηση µη γραµµικών µοντέλων, ακόµα και για εφαρ- µογές πραγµατικού χρόνου. Ακόµα, στην εργασία αυτή, ϑα εστιάσουµε στην ταυτοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων για την παραγωγή µοντέλων εξοµοίωσης. Αυτό σηµαίνει ότι, δεδοµένου ενός συνόλου µετρήσεων εισόδου - εξόδου, κατασκευάζουµε ένα µοντέλο, το οποίο, δεδοµένου ενός νέου σήµατος εισόδου, εξοµοιώνει την έξοδο του υπό µελέτη συστήµατος. Τέτοια µοντέλα, για παράδειγµα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την αντικατάσταση ακριβών πειραµάτων ή/και συσκευών από ϕθηνά προγράµµατα υπολογιστών. 1.4 ιάρθρωση της Εργασίας Παρακάτω ακολουθεί εν τάχει η εσωτερική διάρθρωση της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε τα κυριότερα σηµεία της ϑεωρίας των Σειρών Volterra, οι οποίες ϑα αποτελέσουν το ϐασικό ϑεωρητικό εργαλείο τόσο για την αναπαράσταση, όσο και για την ανάπτυξη µεθόδων ταυτοποίησης πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων στη συνέχεια. Στο Κεφάλαιο 3 ϑα ασχοληθούµε µε την ντετερµινιστική ταυτοποίηση µίας ειδικής µορ- ϕής διακριτού χρόνου πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων, τα οποία περιγράφονται 4

17 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή µέσω του λεγόµενου µοντέλου Volterra - Hammerstein (ϐλ. Κεφάλαιο 2). Πιο συγκεκριµένα, ϑα παρουσιάσουµε και ϑα αναλύσουµε µία σχετικά νέα µέθοδο ταυτοποίησης, η οποία ϐασίζεται στη διέγερση του υπό µελέτη συστήµατος χρησιµοποιώντας χρονικά µεταβαλλόµενα αρµονικά σήµατα πεπερασµένης διάρκειας, τα επονοµαζόµενα chirps, τα οποία διαθέτουν ορισµένες ενδιαφέρουσες χρονοσυχνοτικές ιδιότητες. Στο Κεφάλαιο 4 εισάγουµε και αναλύουµε διεξοδικά το ϑεµελιώδες πρόβληµα της ϐέλτιστης στοχαστικής ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, καθώς και το αντίστοιχο ντετερµινιστικό πρόβλη- µα της ϐέλτιστης ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον, ϑα επικεντρωθούµε στη διατύπωση των προαναφερθέντων προβληµάτων ϐελτιστοποίησης πάνω σε ισοδύναµους ορθοκανονικούς χώρους σηµάτων εισόδου, τόσο στοχαστικών, όσο και ντετερµινιστικών. Στο Κεφάλαιο 5 ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ϐέλτιστης αναδροµικής και προσαρµοστικής ταυτοποίησης χρονικά µεταβλητών συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, µέσω του δηµοφιλούς ϕίλτρου Kalman. Χρησιµοποιώντας τη σχέση µίας ειδικής µορφής του ϕίλτρου Kalman µε τον εξίσου δηµοφιλή αλγόριθµο των εκθετικά επιβαρυµένων αναδροµικών ελαχίστων τετραγώνων, αναπτύσσουµε προσαρµοστικά ϕίλτρα µε ϐελτιωµένες ικανότητες εντοπισµού. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, δοκιµάζουµε και συγκρίνουµε τις µεθόδους που παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια µε ήδη υπάρχουσες µεθόδους ταυτοποίησης µέσω πειραµάτων και χρησιµοποιώντας δεδοµένα, τα οποία από περιβάλλοντα εξοµοίωσης. Επίσης, εξετάζου- µε και συγκρίνουµε τη συµπεριφορά των µεθόδων υπό την επίδραση εξωτερικών διαταραχών µέτρησης στα αντίστοιχα σήµατα εξόδου. Επιπλέον, παρουσιάζουµε καινούργια και ενδια- ϕέροντα αποτελέσµατα. 5

18

19 2 Σειρές Volterra Οι Σειρές Volterra αποτελούν τη ϐάση της ϑεωρίας των πολυωνυµικών µη γραµµικών συστη- µάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, ϑα γίνει µία σχετικά συνοπτική εισαγωγή στις Σειρές Volterra, στις ιδιότητές τους, καθώς και στη γενική µεθοδολογία µε την οποία ϑα µας δοθεί η δυνατότητα να περιγράψουµε µία µεγάλη κλάση µη γραµµικών συστηµάτων, τόσο στο συνεχή, όσο και στο διακριτό χρόνο. Επίσης, έµφαση ϑα δοθεί σε αρκετές απλοποιηµένες δοµές µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες, αν και αποτελούν υποπεριπτώσεις της γενικής µορφής των Σειρών Volterra, µας δίνουν τη δυνατότητα να περιγράψουµε µε πολύ κοµψό τρόπο πολλά µη γραµµικά συστήµατα που προκύπτουν σε πρακτικές εφαρµογές. 2.1 Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Εστω ένα µη γραµµικό, δυναµικό και χρονικά αµετάβλητο σύστηµα συνεχούς χρόνου µε είσοδο x (t) και έξοδο y (t), το οποίο συµπαγώς ϑα αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας το συµβολισµό y (t) = S [x (t)]. (2.1) Υπό κάποιες αρκετά γενικές προϋποθέσεις, στις οποίες ϐεβαίως ϑα αναφερθούµε στη συνέχεια, το σύστηµα που περιγράφεται από τη Σχέση (2.1) µπορεί να αναπτυχθεί σε Σειρά Volterra ως εξής [3, 4]: y (t) = h + + ˆ ˆ h 1 (τ 1 ) x (t τ 1 ) dτ 1 + ˆ ˆ ˆ h 2 (τ 1, τ 2 ) x (t τ 1 ) x (t τ 2 ) dτ 1 dτ 2 + h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p +, (2.2) ή χρησιµοποιώντας την πιο συµπαγή µορφή ˆ p y (t) = h + x (t τ k ) dτ k, (2.3) p=1 S p h p (τ 1,, τ p ) k=1 7

20 2.1. Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου όπου ο τελεστής S p υποδηλώνει p ϕορές πολλαπλή ολοκλήρωση σε όλο το πεδίο των πραγ- µατικών αριθµών R. Ενα µη γραµµικό σύστηµα το οποίο αναπαρίσταται χρησιµοποιώντας ανάπτυγµα σε Σειρά Volterra χαρακτηρίζεται πλήρως από τις πολυδιάστατες συναρτήσεις h p (t 1,, t p ), οι οποίες αποτελούν τους λεγόµενους πυρήνες Volterra (Volterra Kernels). Ο πυρήνας µηδενικής τάξης h είναι µία σταθερά, ενώ οι υψηλότερης τάξης πυρήνες µπο- ϱούν να ϑεωρηθούν, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ως συµµετρικές συναρτήσεις των ορισµάτων τους, µε αποτέλεσµα οποιεσδήποτε από τις p! µεταθέσεις των t 1,, t p να µην επηρεάζουν την τιµή του αντίστοιχου πυρήνα h p (t 1,, t p ). Η συµµετρία αυτή προκύπτει ως άµεσο αποτέλεσµα της αµεταβλητότητας των γινοµένων των καθυστερηµένων εισόδων {x (t τ i ), i = 1,, p}, ως προς τις αντίστοιχες µεταθέσεις τους. Η αιτιατότητα ενός συστήµατος Volterra εξασϕαλίζεται αν και µόνο αν h p (t 1,, t p ) =, t i <, i = 1,, p. (2.4) Ως εκ τούτου, για αιτιατά συστήµατα Volterra, τα κάτω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) ϑέτονται ίσα µε µηδέν. Οπως είναι ϕυσικό, τα άνω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) δηλώνουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη µνήµη. Αν ϐέβαια όλα τα άνω όρια τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Επίσης, αξίζει να σηµειωθεί ότι κάθε ολοκλήρωµα της Σχέσης (2.2) έχει τη µορφή πολυδιάστατης συνέλιξης, µια ιδιότητα πολύ σηµαντική, αφού µεταξύ άλλων παίζει καθοριστικό ϱόλο στον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης και του µετασχηµατισµού Fourier των Σειρών Volterra. Ορίζοντας τώρα τον p-οστής τάξης τελεστή Volterra h p [x (t)] ως h p [x (t)] = ˆ ˆ } {{ } p ϕορές µπορούµε να ξαναγράψουµε τη Σχέση (2.2) στη µορφή h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p, (2.5) y (t) = h + h p [x (t)]. (2.6) p=1 Οπως είναι λογικό, ένα σύστηµα Volterra πεπερασµένης τάξης προκύπτει ϑέτοντας το πάνω όριο του αθροίσµατος της Σχέσης (2.6) ίσο µε ένα πεπερασµένο ϑετικό αριθµό P. Η παρά- µετρος P αποτελεί την τάξη (order) του µη γραµµικού συστήµατος. Επίσης, είναι γνωστό [5], ότι οποιοδήποτε χρονικά αµετάβλητο, πεπερασµένης µνήµης σύστηµα, το οποίο αποτελεί συνεχές συναρτησιοειδές της εισόδου του, µπορεί να προσεγγιστεί οµοιόµορφα πάνω σε ένα οµοιόµορφα πεπερασµένο και συνεχές σύνολο σηµάτων εισόδου από µία Σειρά Volterra κατάλληλα επιλεγµένης και πεπερασµένης τάξης P. Επιπροσθέτως, η Σχέση (2.6) αποκαλύπτει µία οµοιότητα των Σειρών Volterra µε τις Σειρές Taylor. Οταν το σήµα εισόδου 8

21 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra πολλαπλασιάζεται µε µία σταθερά c, η έξοδος παίρνει τη µορφή y (t) = h + h p [cx (t)] = h + c p h p [x (t)], (2.7) p=1 p=1 η οποία αποτελεί δυναµοσειρά ως προς την c. 2.2 Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Με παρόµοιο τρόπο µε αυτόν των συνεχούς χρόνου συστηµάτων, µπορούµε να περιγράψου- µε διακριτού χρόνου, δυναµικά και χρονικά αµετάβλητα µη γραµµικά συστήµατα, χρησι- µοποιώντας τη διακριτού χρόνου Σειρά Volterra y (n) = h + h p [x (n)], (2.8) όπου x (n) και y (n) αποτελούν τα σήµατα εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, και ισχύει ότι h p [x (n)] = m 1 = m p= } {{ } p ϕορές p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ), (2.9) όπου η ακολουθία h p (m 1,, m p ) αποτελεί τον p-οστής τάξης διακριτό και συµµετρικό πυρήνα Volterra του συστήµατος. Οπως και στη συνεχούς χρόνου περίπτωση, αν h p (n 1,, n p ) =, n i <, i = 1,, p, (2.1) τότε το µη γραµµικό σύστηµα είναι αιτιατό, και η Σχέση (2.9) µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής : h p [x (n)] = m 1 = h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.11) m p= } {{ } p ϕορές Μπορούµε λοιπόν να ερµηνεύσουµε τους διακριτού χρόνου πυρήνες Volterra µε έναν τρόπο απολύτως ανάλογο σε σχέση µε την περίπτωση του συνεχούς χρόνου. Πιο συγκεκριµένα, η σταθερά h αποτελεί έναν απλό όρο στάθµισης, ο πυρήνας πρώτης τάξης h 1 (n) αποτελεί την ακολουθία της κρουστικής απόκρισης ενός διακριτού χρόνου, γραµµικού και χρονικά αµετάβλητου συστήµατος και ο πυρήνας p-οστής τάξης h p (n 1,, n p ) µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία γενικευµένη κρουστική απόκριση, η οποία στην ουσία αποτελεί µία ακολου- ϑία αριθµητικών ϐαρών, συσχετίζοντας κατάλληλα όλα τα γινόµενα εν γένει p διαφορετικών χρονικών καθυστερήσεων του σήµατος εισόδου. Είναι επίσης εµφανές ότι τα άνω όρια των αθροισµάτων της Σχέσης (2.11) υποδεικνύουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη 9

22 2.2. Συστήµατα ιακριτού Χρόνου µνήµη και, αν τα όρια αυτά τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το µη γραµµικό σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Εάν επιπλέον επιβάλουµε και τον περιορισµό της πεπερασµένης τάξης, τότε προκύπτει η διακριτού χρόνου, πεπερασµένης µνήµης και πεπερασµένης τάξης Σειρά Volterra, και η έξοδος του αντίστοιχου µη γραµµικού συστήµατος, στην πιο γενική µορφή του, µπορεί να εκφραστεί ως όπου h p [x (n)] = N 1 1 m 1 = N p 1 m p= } {{ } p ϕορές y (n) = h + P h p [x (n)], (2.12) p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.13) Αξίζει να αναφερθεί ότι οι προφανείς δυσκολίες που εµφανίζονται σε συστήµατα Volterra µε άπειρη µνήµη, τόσο σχετικά µε την υλοποίηση όσο και µε την εκτίµηση των παραµέτρων τους, µπορούν να αποφευχθούν χρησιµοποιώντας αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων. Η προσέγγιση αυτή είναι παρόµοια µε αυτήν της χρήσης γραµ- µικών ϕίλτρων άπειρης κρουστικής απόκρισης (IIR), όσον αφορά στα µοντέλα γραµµικών συστηµάτων. Στα αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων, η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου και εξόδου περιγράφεται από µία µη γραµµική εξίσωση διαφορών πεπερασµένης τάξης, η οποία περιλαµβάνει καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εξόδου, καθώς και την τρέχουσα και καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εισόδου και µπορεί συµπαγώς να εκφραστεί ως y (n) = f i [x (n), x (n 1),, x (n N), y (n 1),, y (n M)], (2.14) όπου f i [ ] αποτελεί ένα πολυώνυµο i-οστού ϐαθµού ως προς τις µεταβλητές που ϐρίσκονται µέσα στις αγκύλες. Η Σχέση (2.14) είναι γνωστή στη ϐιβλιογραφία ως το λεγόµενο πολυωνυµικό µοντέλο Kolmogorov - Gabor [6]. Βέβαια, πολύ συχνά, η δυναµική υποστήριξη που είναι απαραίτητη για την επιθυµητή ποιότητα προσέγγισης ενός µη γραµµικού συστήµατος είναι πεπερασµένη. Σε µία τέτοια περίπτωση, η προσέγγιση του συστήµατος χρησιµοποιώντας µία Σειρά Volterra πεπερασµένης µνήµης είναι αρκετή για να µοντελοποιήσει τη συµπεριφορά του. Λόγω της σχετικής απλότητας των σχέσεων εισόδου - εξόδου, τα µη αναδροµικά µοντέλα που περιγράφονται χρησιµοποιώντας συστήµατα Volterra πεπερασµένης µνήµης και πεπε- ϱασµένης τάξης έχουν µελετηθεί εκτενέστατα και αποτελούν δηµοφιλείς επιλογές για την περιγραφή µη γραµµικών συστηµάτων. Το πιο απλό πολυωνυµικό ϕίλτρο είναι το τετραγωνικό (quadratic). Πολλές ϕορές µάλιστα, η χρήση του τετραγωνικού όρου, είτε µόνου του είτε σε επαλληλία µε ένα γραµµικό ϕίλτρο, προσφέρει λύση σε αρκετά ενδιαφέροντα προβλήµατα. 1

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια

Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ευστάθεια Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Αλγεβρικά κριτήρια 6 Nicol Tptouli Ευστάθεια και θέση πόλων Σ.Α.Ε ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας

Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Αφαίρεση του Φαινομένου του Μικροφωνισμού σε Ακουστικά Βαρηκοΐας Νιαβής Παναγιώτης Επιβλέπων: Καθ. Γ. Μουστακίδης Περιεχόμενα Εισαγωγή Μικροφωνισμός σε ακουστικά βαρηκοΐας Προσαρμοστική αναγνώριση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας

Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγωγή στην Ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου: Χρονική Απόκριση και Απόκριση Συχνότητας 6 Ncola Tapaoul Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 4 Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 5 σιμοποιούμε, δηλαδή όσο περισσότερα bits χρησιμοποιούμε για την αναπαράσταση της κάθε τιμής του πλάτους. ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΣΗΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε με τα σήματα διακριτού χρόνου.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές

4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 2 Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών Γραμμικές Εξισώσεις Διαφορών με Σταθερούς Συντελεστές (Linear Constant- Coefficient

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Δρ Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015 Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης

Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 009-010 Ψ Η Φ Ι Α Κ Ε Σ Τ Η Λ Ε Π Ι Κ Ο Ι Ν Ω Ν Ι ΕΣ η Εργαστηριακή Άσκηση: Εξομοίωση Τηλεπικοινωνιακού Συστήματος Βασικής Ζώνης Στην άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων

Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1 Εισαγωγή στα ψηφιακά Συστήµατα Μετρήσεων 1.1 Ηλεκτρικά και Ηλεκτρονικά Συστήµατα Μετρήσεων Στο παρελθόν χρησιµοποιήθηκαν µέθοδοι µετρήσεων που στηριζόταν στις αρχές της µηχανικής, της οπτικής ή της θερµοδυναµικής.

Διαβάστε περισσότερα

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1

Ήχος. Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές Επικοινωνίες 04-1 Ήχος Χαρακτηριστικά του ήχου Ψηφιοποίηση με μετασχηματισμό Ψηφιοποίηση με δειγματοληψία Κβαντοποίηση δειγμάτων Παλμοκωδική διαμόρφωση Συμβολική αναπαράσταση μουσικής Τεχνολογία Πολυμέσων και Πολυμεσικές

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΙΟΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ. Επιμέλεια - προσαρμογή : Α. Καναπίτσας. Βιβλιογραφία :

ΒΙΟΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ. Επιμέλεια - προσαρμογή : Α. Καναπίτσας. Βιβλιογραφία : ΒΙΟΛΟΓΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ Επιμέλεια - προσαρμογή : Α. Καναπίτσας Βιβλιογραφία : 1. Ελπινίκη Παπαγεωργίου Σηµειώσεις Παρουσίαση : Μελέτη της απαγωγής βιοϊατρικούσήματος, εφαρμογή σε θεραπευτικά μηχανήματα και ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER (H ΣΕΙΡΑ FOURIER ΚΑΙ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ

1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ . ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να δώσει μια γενική εικόνα του τι είναι σήμα και να κατατάξει τα διάφορα σήματα σε κατηγορίες ανάλογα με τις βασικές ιδιότητες τους. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα:

ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. () t. Διαμόρφωση Γωνίας. Περιεχόμενα: ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Περιεχόμενα: Διαμόρφωση Φάσης (PM) και Συχνότητας (FM) Διαμόρφωση FM από Απλό Τόνο - - Στενής Ζώνης - - Ευρείας Ζώνης - - από Πολλούς Τόνους Εύρος Ζώνης Μετάδοσης Κυματομορφών FM Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής

Ενισχυτές Μετρήσεων. 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής 3 Ενισχυτές Μετρήσεων 3.1 Ο διαφορικός Ενισχυτής Πολλές φορές ένας ενισχυτής σχεδιάζεται ώστε να αποκρίνεται στη διαφορά µεταξύ δύο σηµάτων εισόδου. Ένας τέτοιος ενισχυτής ονοµάζεται ενισχυτής διαφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων

Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Ανάπτυξη και δηµιουργία µοντέλων προσοµοίωσης ροής και µεταφοράς µάζας υπογείων υδάτων σε καρστικούς υδροφορείς µε χρήση θεωρίας νευρωνικών δικτύων Περίληψη ιδακτορικής ιατριβής Τριχακης Ιωάννης Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003 http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα