Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων"

Transcript

1 Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων Υψηλής Τάξης : Μία προσέγγιση ϐασισµένη στις Σειρές Volterra ιπλωµατικη Εργασια Στα πλαισια του Μεταπτυχιακου Προγραµµατος «Συστηµατα Επεξεργασιας Σηµατων & Επικοινωνιων» ιονύσιος Καλογερίας Α.Μ.: 162 Επιβλέπων : κ. Επίκουρος Καθηγητής Εµµανουήλ Ψαράκης

2

3 Στη Γιάννα, για την αµέριστη στήριξη και την υποµονή της...

4

5 Περιεχόµενα Κατάλογος Σχηµάτων Κατάλογος Πινάκων v vii 1 Εισαγωγή Μη Γραµµικά Συστήµατα Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Ταυτοποίηση Συστήµατος Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; ιάρθρωση της Εργασίας Σειρές Volterra Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Οµογενή Συστήµατα Volterra Βασικές Ιδιότητες των Σειρών Volterra Γραµµικότητα ως προς τους Συντελεστές των Πυρήνων Η Ιδιότητα της Πολυδιάστατης Συνέλιξης Σχέση Πυρήνων Volterra και Πολυδιάστατων Γραµµικών Συστηµάτων ιαχωρίσιµοι Πυρήνες Volterra Ευστάθεια Κρουστικές Αποκρίσεις των Συστηµάτων Volterra Υπαρξη και Σύγκλιση των Σειρών Volterra Απόκριση συστηµάτων Volterra στο πεδίο της συχνότητας Απόκριση σε Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα i

6 2.5.2 Απόκριση σε πολλαπλά Μιγαδικά Εκθετικά Σήµατα ιανυσµατική Αναπαράσταση Συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου Ειδικές Μορφές Πολυωνυµικών Συστηµάτων Το Μοντέλο Hammerstein Το Μοντέλο Wiener Το Μοντέλο LNL Παράλληλες οµές Παράλληλο Μοντέλο Hammerstein Παράλληλο Μοντέλο Wiener Παράλληλο Μοντέλο LNL Ντετερµινιστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH Πολυώνυµα Chebyshev 1 ου τύπου Ισοδύναµο Πρόβληµα Ταυτοποίησης Αρµονικά Σήµατα Χρονικά Μεταβαλλόµενης Συχνότητας Αρµονικά Σήµατα Εκθετικά Αυξανόµενης Συχνότητας Χρονικός Συγχρονισµός Εκθετικών Chirps Απόκριση Συστηµάτων VH σε Chirps Sincoids Το «Αντίστροφο Φίλτρο» Ορισµός του «Αντίστροφου Φίλτρου» για Εκθετικά Chirps Ταυτοποίηση Συστηµάτων VH ιακριτού Χρόνου µε χρήση Εκθετικών Chirps Αλγόριθµος Ταυτοποίησης Συστηµάτων ιακριτού Χρόνου Επαναληπτική Ανακατασκευή των Πυρήνων Σύγκλιση της Επαναληπτικής Μεθόδου Ανακατασκευής Συµπεριφορά της Μεθόδου Ανακατασκευής υπό την Επίδραση Προσθετικών ιαταραχών Βέλτιστη Στοχαστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Γενική ιατύπωση του Προβλήµατος Ταυτοποίησης Το Βέλτιστο των Σειρών Volterra Απαιτήσεις ειγµατοληψίας Σηµάτων Εισόδου - Εξόδου Άµεση Βέλτιστη Εκτίµηση Παραµέτρων Το Κριτήριο του Ελάχιστου Μέσου Τετραγωνικού Σφάλµατος (MMSE) Επέκταση σε µη-mmse Προβλήµατα Εκτίµησης Βέλτιστη Λύση υπό την έννοια του MMSE Ελάχιστο Μέσο Τετραγωνικό Σφάλµα Εκτίµηση των Απαιτούµενων Στατιστικών Εκτίµηση υπό την έννοια του MMSE για Gaussian Σήµατα Το Κριτήριο των Ελαχίστων Τετραγώνων (LS) Παραλλαγές του Κριτηρίου Ελαχίστων Τετραγώνων Σύγκλιση των Εκτιµητών Ελαχίστων Τετραγώνων ii

7 4.2.3 Συνθήκη Αντιστρεψιµότητας του Μητρώου Αυτοσυσχέτισης Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Βασικοί Ορισµοί Αποδοτικότητα χρήσης Ορθογώνιων Σηµάτων σε Προβλήµατα Εκτίµησης Παραµέτρων Ορθοκανονικοποίηση Σηµάτων στο Χώρο των Τυχαίων Μεταβλητών MMSE Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος LS Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση Συστήµατος από Πραγµατικές Μετρήσεις Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Ταυτοποίηση Συστηµάτων µε χρήση Φίλτρων Kalman Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Γραµµικών Συστηµάτων Πεπερασµένης Κρουστικής Απόκρισης Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Πεπερασµένης Υποστήριξης Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra Σχέση µεταξύ του Φίλτρου Kalman και του Αλγορίθµου Αναδροµικών Ελαχίστων Τετραγώνων Προσαρµοστική Ταυτοποίηση Συστηµάτων Volterra µε χρήση Εκθετικά Σταθµισµένων Φίλτρων Kalman Εξοµοιώσεις και Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Σταθερών Συστηµάτων VH «Μη Γραµµική Συνέλιξη» Βέλτιστη Ορθογώνια Ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη Αναδροµική Ταυτοποίηση µε χρήση του Φίλτρου Kalman Σύγκριση Μεθόδων Ταυτοποίησης Ταυτοποίηση Χρονικά Μεταβλητών Συστηµάτων Volterra Βέλτιστη Αναδροµική/Προσαρµοστική Ταυτοποίηση µε χρήση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman Σύγκριση του Εκθετικά Σταθµισµένου Φίλτρου Kalman µε τον Αλγόριθµο RLS Βιβλιογραφία 17 iii

8

9 Κατάλογος Σχηµάτων 2.1 Συµπαγής διανυσµατική αναπαράσταση ενός συστήµατος Volterra διακριτού χρόνου και πεπερασµένης υποστήριξης Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του µοντέλου LNL Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Volterra - Hammerstein Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου Wiener Το σχηµατικό διάγραµµα του παράλληλου µοντέλου LNL Κυµατοµορφή ενός εκθετικού chirp Αποκρίσεις χρόνου και συχνότητας ενός λογαριθµικού sincoid Απόκριση συχνότητας σήµατος C (t; b), b = 1, Θορυβώδεις εκτιµήσεις πυρήνων Επαναληπτική ανακατασκευή αλλοιωµένων πυρήνων λόγω αναδίπλωσης Τρισδιάστατη απεικόνιση του τελεστή TX (M = 24 και N = 821) Η ενέργεια του «αντίστροφου ϕίλτρου» συναρτήσει του K (L = 1, f 1 = 2Hz, f 2 = 225Hz) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Α «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος Β Χαρακτηριστική εισόδου - εξόδου του µη συµµετρικού περιοριστή του συστή- µατος C v

10 6.6 Φασµατόγραµµα εξόδου του συστήµατος C όταν στην είσοδο εφαρµόζεται εκ- ϑετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (11 κλάδοι) «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (11 κλάδοι), χρησιµοποιώντας αρµονικό σήµα διέγερσης Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (11 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp «Μη γραµµική συνέλιξη»: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα C (32 κλάδοι) Εξέλιξη του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος κατά την επαναληπτική ανακατασκευή των πυρήνων του συστήµατος C (32 κλάδοι) Φασµατογράµµατα εξόδων πραγµατικού και ταυτοποιηµένου συστήµατος C (32 κλάδοι) όταν ως είσοδο εφαρµόζεται εκθετικό chirp Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη ορθογώνια ταυτοποίηση υπό την έννοια του MMSE: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β υπό την έννοια του MMSE Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Α Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Α Βέλτιστη αναδροµική ταυτοποίηση - Φίλτρο Kalman: Επαλήθευση τελικού µοντέλου για το σύστηµα Β Βέλτιστη αναδροµική εκτίµηση των πυρήνων του συστήµατος Β Σύγκριση µεθόδων ταυτοποίησης χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Σύγκριση παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για την ταυτοποίηση χρονικά σταθερών συστηµάτων VH Χρονική εξέλιξη της ϐέλτιστης προσαρµοστικής ταυτοποίησης του συστήµατος D Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 1dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 5dB Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = db Σύγκριση ϕίλτρου Kalman - RLS, SNR = 3dB vi

11 Κατάλογος Πινάκων 6.1 Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Α Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος Β Επιδόσεις των παραλλαγών της µεθόδου της «µη γραµµικής συνέλιξης» για αθόρυβα σήµατα εξόδου Χαρακτηριστικά κλάδων του συστήµατος D vii

12

13 1 Εισαγωγή 1.1 Μη Γραµµικά Συστήµατα Είναι δύσκολο, αν όχι αδύνατο, να δοθεί ένας κλειστός ορισµός των µη γραµµικών συστη- µάτων. Το διάσηµο παράδειγµα το µαθηµατικού Stan Ulam αποσαφηνίζει µε διαισθητικό τρόπο αυτή την εγγενή δυσκολία [1]: Χρησιµοποιώντας τον όρο «µη γραµµική επιστήµη», είναι σαν να αναφέρεσαι στο µεγαλύτερο µέρος της Ϲωολογίας ως τη µελέτη των «µη ελεφάντων» Ϲώων. Πάραυτα, ο κόσµος γύρω µας είναι γεµάτος µε µη γραµµικά ϕαινόµενα, και µάλιστα εί- µαστε πολύ εξοικειωµένοι µε αρκετά από αυτά. Κατ ουσίαν, ένα σύστηµα είναι µη γραµµικό όταν ο κανόνας των τριών δεν µπορεί να εφαρµοστεί για να περιγράψει τη συµπεριφορά του. Για παράδειγµα, το ϕορολογικό σύστηµα της Ελλάδας συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Οσο µεγαλώνει ο µεικτός µηνιαίος µισθός ενός εργαζόµενου, τόσο µεγαλώνει και το µέσο ποσοστό ϕόρων που ϑα πρέπει να πληρώνει. Ενα πιο προσιτό παράδειγµα αποτελούν οι ενισχυτές ήχου. Οταν η έντασή τους αυξάνεται πολύ, τα σήµατα τα οποία παράγονται «ψαλιδίζονται», µε αποτέλεσµα η µουσική που ακούµε να παραµορφώνεται, αντί να ακούγεται πιο δυνατά. Επίσης, ο καιρός συµπεριφέρεται µη γραµµικά : Μικρές διαταραχές στο εσωτερικό αυτού του συστήµατος µπορούν να οδηγήσουν σε πολύ µεγάλες αλλαγές µετά από µία µακρά χρονική περίοδο. Αυτό αποτελεί το λεγόµενο «ϕαινόµενο της πεταλούδας». Για το λόγο αυτό είναι πολύ δύσκολη η ακριβής πρόβλεψη του καιρού σε ένα χρονικό ορίζοντα µεγαλύτερο από κάποιες µέρες. Σε κάποιες άλλες περιπτώσεις, η µη γραµµική συµπεριφορά ενός συστήµατος είναι ε- πιθυµητή. Για παράδειγµα, επιτεύγµατα του εικοστού αιώνα, όπως η µετάδοση ήχου και εικόνας, η κινητή τηλεφωνία και η τεχνολογία ολοκληρωµένων κυκλωµάτων CMOS ϑα ήταν αδύνατα χωρίς µη γραµµικές συσκευές, όπως τα transistors και οι µίκτες σηµάτων. Με λίγα λόγια, τα µη γραµµικά συστήµατα υπάρχουν παντού. Γι αυτό, είναι πολύ σηµαντική η προσπάθεια για την κατανόηση και τη µοντελοποίηση της συµπεριφοράς τους. Προφανώς, ένα σύστηµα, το οποίο δεν είναι γραµµικό, είναι µη γραµµικό (!). Πιο αυστη- ϱά, γνωρίζουµε ότι ένα σύστηµα, το οποίο αρχικά ϐρίσκεται σε ηρεµία και που συµπαγώς αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας ένα γενικό τελεστή S [ ], είναι γραµµικό αν και µόνο αν 1

14 1.2. Ταυτοποίηση Συστήµατος υπακούει στη ϑεµελιώδη αρχή της υπέρθεσης, η οποία εκφράζεται ως S [a 1 x 1 (t) + a 1 x 2 (t)] = a 1 S [x 1 (t)] + a 2 S [x 2 (t)], (1.1) όπου x 1 (t), x 2 (t) αποτελούν δύο εισόδους του συστήµατος και a 1, a 2 αποτελούν σταθερές ποσότητες. Εποµένως, εάν ένα σύστηµα δεν υπακούει στην αρχή της υπέρθεσης, τότε ϑα λέµε ότι είναι µη γραµµικό. Το πιο σηµαντικό συµπέρασµα που προκύπτει από αυτόν τον εξαιρετικά γενικό ορισµό, αποτελεί το γεγονός ότι δεν υπάρχει κάποιο γενικό ϑεωρητικό πλαίσιο, όσον αφορά την ανάλυση και το χαρακτηρισµό των µη γραµµικών συστηµάτων. Για το λόγο αυτό, η µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων είναι εν γένει µία δύσκολη υπόθεση Σηµαντικές Κλάσεις Μη Γραµµικών Συστηµάτων Γενικά, είναι αδύνατη η ανάπτυξη ενός ϑεωρητικού πλαισίου, το οποίο να είναι εφαρµόσιµο για ολόκληρο το σύνολο των µη γραµµικών συστηµάτων. Ως εκ τούτου, η παραδοσιακή προσέγγιση στη µελέτη των µη γραµµικών συστηµάτων συνίσταται στην επιλογή µίας η περισσότερων κλάσεων τέτοιων συστηµάτων και στην ανάπτυξη ειδικών ϑεωριών για την ανάλυση, το σχεδιασµό, την υλοποίηση, καθώς και τις εφαρµογές των κλάσεων αυτών ξεχωριστά. Μερικές από τις πιο δηµοφιλείς κλάσεις µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες έχουν ϐρει εφαρµογή σε πολλά πραγµατικά προβλήµατα, είναι οι εξής [11]: Οµοµορφικά Συστήµατα (Homomorphic Systems). Φίλτρα Order Statistic. Μορφολογικά Φίλτρα (Morphological Filters). Νευρωνικά ίκτυα (Neural Networks). Μηχανές ιανυσµατικής Υποστήριξης (Support Vector Machines). Πολυωνυµικά Συστήµατα (Polynomial Systems). Στην εργασία αυτή ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε πολυωνυµικά συστήµατα, τα οποία περιγράφονται µέσω υπερθέσεων γραµµικών πολυδιάστατων συνελικτικών συναρτησιοειδών µη γραµµικών πολυωνυµικών επεκτάσεων του σήµατος εισόδου, τις επονοµαζόµενες Σειρές Volterra. Ο περίεργος αυτός ορισµός ϑα γίνει απόλυτα κατανοητός στο επόµενο κεφάλαιο. 1.2 Ταυτοποίηση Συστήµατος Ο όρος ταυτοποίηση συστήµατος περιλαµβάνει όλες εκείνες τις µεθόδους, οι οποίες στοχεύουν στη δόµηση µοντέλων για την περιγραφή δυναµικών συστηµάτων, χρησιµοποιώντας δεδοµένα που έχουν προκύψει από µετρήσεις, καθώς και το ϐέλτιστο σχεδιασµό πειραµάτων για την αποδοτική παραγωγή των δεδοµένων αυτών. Εµφανώς, η ταυτοποίηση συστήµατος αποτελεί µέρος της ϐασικής επιστηµονικής µεθοδολογίας και εξ αιτίας της προφανούς 2

15 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή αφθονίας των δυναµικών συστηµάτων στο άµεσο και έµµεσο περιβάλλον του ανθρώπου, οι αντίστοιχες µέθοδοι ϐρίσκουν εφαρµογή σε µία τεράστια γκάµα προβληµάτων. Η διαδικασία δόµησης µοντέλων από δεδοµένα περιλαµβάνει τρεις ϐασικές οντότητες [2]: ένα σύνολο δεδοµένων - µετρήσεων. ένα σύνολο υποψήφιων µοντέλων, καθένα από τα οποία περιλαµβάνει ένα σύνολο παραµέτρων. ένα σύνολο µεθόδων για την εκτίµηση των παραµέτρων αυτών, χρησιµοποιώντας τα διαθέσιµα δεδοµένα Κατηγοριοποίηση Μεθόδων Ταυτοποίησης Συστήµατος Ανάλογα µε τη διαθεσιµότητα των δεδοµένων - µετρήσεων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστή- µατος κατηγοριοποιούνται σε : εισόδου - εξόδου (input - output), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από Ϲεύγη διεγέρσεων και αποκρίσεων του δυναµικού υπό µελέτη συστήµατος, µόνο - εξόδου (output only / blind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται µόνο από αποκρίσεις του συστήµατος και κατά το ήµισυ - εξόδου (semiblind), όπου τα διαθέσιµα δεδοµένα αποτελούνται από αποκρίσεις του συστήµατος, συν κάποια αξιοποιήσιµα χαρακτηριστικά του άγνωστου σήµατος εισόδου, τα οποία είναι γνωστά εκ των προτέρων. Ανάλογα µε το είδος των υποψήφιων µοντέλων, οι µέθοδοι ταυτοποίησης συστήµατος κατηγοριοποιούνται σε : λευκού κουτιού (white box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος, όπως, για παράδειγµα, τις διαφορικές εξισώσεις µίας ϕυσικής διεργασίας, µαύρου κουτιού (black box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές του συστήµατος και περιλαµβάνουν έναν αριθµό ελεύθερων παρα- µέτρων προς εκτίµηση και γκρι κουτιού (grey box), όπου τα υποψήφια µοντέλα επιλέγονται γνωρίζοντας εν µέ- ϱει τις ϐασικές αρχές του υπό µελέτη συστήµατος και περιλαµβάνουν δύο µέρη, ένα «λευκό» και ένα «µαύρο» Ταυτοποίηση Συστήµατος Μαύρου Κουτιού Εισόδου - Εξόδου Στα πλαίσια της εργασίας αυτής, ϑα ασχοληθούµε αποκλειστικά µε µεθόδους ταυτοποίησης µη γραµµικών συστηµάτων, ϑεωρώντας ότι οι είσοδοι και έξοδοι του υπό µελέτη συστήµατος 3

16 1.3. Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; είναι πάντοτε γνωστές, αλλά µη γνωρίζοντας τις ϐασικές αρχές εξέλιξής του και ϑεωρώντας ότι µπορεί ισοδύναµα να περιγραφεί χρησιµοποιώντας πολυωνυµικά µοντέλα (Σειρές Volterra). Ακόµα, µε τον όρο ντετερµινιστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα σήµατα εισόδου και εξίσου αποτελούν ντετερµινιστικές ποσότητες, ενώ µε τον όρο στοχαστική ταυτοποίηση συστήµατος ϑα αναφερόµαστε σε µεθόδους όπου τα αντίστοιχα σήµατα είναι τυχαία, µε πιθανώς γνωστές στατιστικές. 1.3 Γιατί Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων ; Από τα παραδείγµατα που αναφέρθηκαν στην αρχή του κεφαλαίου, είναι εµφανές ότι πολλά ϕυσικά ϕαινόµενα είναι µη γραµµικά. Συχνά ϐέβαια, αρκεί η χρήση γραµµικών µοντέλων για την προσέγγιση της συµπεριφοράς τους. Αυτή είναι µία ελκυστική ιδέα, κυρίως επειδή το ϑεωρητικό υπόβαθρο για την ανάλυση και ταυτοποίηση γραµµικών συστηµάτων έχει µελετηθεί εκτενέστατα και είναι κάλως ορισµένο. Επιπλέον, τα γραµµικά µοντέλα είναι σχετικά ϐατά στην ερµηνεία και εύκολα στην κατανόηση. Γενικότερα, η προσέγγιση συστηµάτων χρησιµοποιώντας γραµµικά µοντέλα απαιτεί σηµαντικά µικρότερο κόπο σε σχέση µε την προσέγγιση χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα. υστυχώς όµως, οι γραµµικές προσεγγίσεις δεν είναι πάντα έγκυρες, και µάλιστα υπάρχουν προβλήµατα, για τα οποία η χρήση γραµµικών µοντέλων δεν προσφέρει ούτε κατά διάνοια επιθυµητά αποτελέσµατα. Για τους λόγους αυτούς, τις τελευταίες δεκαετίες, έχει δηµιουργηθεί µία σηµαντική τάση προς τη µοντελοποίηση συστηµάτων χρησιµοποιώντας µη γραµµικά µοντέλα σε ποικίλα πεδία εφαρµογών. Επιπρόσθετα, εξ αιτίας των τεράστιων τεχνολογικών εξελίξεων των τελευταίων χρόνων, έχει καταστεί δυνατή η υλοποίηση µη γραµµικών µοντέλων, ακόµα και για εφαρ- µογές πραγµατικού χρόνου. Ακόµα, στην εργασία αυτή, ϑα εστιάσουµε στην ταυτοποίηση µη γραµµικών συστηµάτων για την παραγωγή µοντέλων εξοµοίωσης. Αυτό σηµαίνει ότι, δεδοµένου ενός συνόλου µετρήσεων εισόδου - εξόδου, κατασκευάζουµε ένα µοντέλο, το οποίο, δεδοµένου ενός νέου σήµατος εισόδου, εξοµοιώνει την έξοδο του υπό µελέτη συστήµατος. Τέτοια µοντέλα, για παράδειγµα, µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την αντικατάσταση ακριβών πειραµάτων ή/και συσκευών από ϕθηνά προγράµµατα υπολογιστών. 1.4 ιάρθρωση της Εργασίας Παρακάτω ακολουθεί εν τάχει η εσωτερική διάρθρωση της εργασίας. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζουµε τα κυριότερα σηµεία της ϑεωρίας των Σειρών Volterra, οι οποίες ϑα αποτελέσουν το ϐασικό ϑεωρητικό εργαλείο τόσο για την αναπαράσταση, όσο και για την ανάπτυξη µεθόδων ταυτοποίησης πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων στη συνέχεια. Στο Κεφάλαιο 3 ϑα ασχοληθούµε µε την ντετερµινιστική ταυτοποίηση µίας ειδικής µορ- ϕής διακριτού χρόνου πολυωνυµικών µη γραµµικών συστηµάτων, τα οποία περιγράφονται 4

17 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή µέσω του λεγόµενου µοντέλου Volterra - Hammerstein (ϐλ. Κεφάλαιο 2). Πιο συγκεκριµένα, ϑα παρουσιάσουµε και ϑα αναλύσουµε µία σχετικά νέα µέθοδο ταυτοποίησης, η οποία ϐασίζεται στη διέγερση του υπό µελέτη συστήµατος χρησιµοποιώντας χρονικά µεταβαλλόµενα αρµονικά σήµατα πεπερασµένης διάρκειας, τα επονοµαζόµενα chirps, τα οποία διαθέτουν ορισµένες ενδιαφέρουσες χρονοσυχνοτικές ιδιότητες. Στο Κεφάλαιο 4 εισάγουµε και αναλύουµε διεξοδικά το ϑεµελιώδες πρόβληµα της ϐέλτιστης στοχαστικής ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, καθώς και το αντίστοιχο ντετερµινιστικό πρόβλη- µα της ϐέλτιστης ταυτοποίησης συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων. Επιπλέον, ϑα επικεντρωθούµε στη διατύπωση των προαναφερθέντων προβληµάτων ϐελτιστοποίησης πάνω σε ισοδύναµους ορθοκανονικούς χώρους σηµάτων εισόδου, τόσο στοχαστικών, όσο και ντετερµινιστικών. Στο Κεφάλαιο 5 ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της ϐέλτιστης αναδροµικής και προσαρµοστικής ταυτοποίησης χρονικά µεταβλητών συστηµάτων Volterra διακριτού χρόνου υπό την έννοια του ελάχιστου µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, µέσω του δηµοφιλούς ϕίλτρου Kalman. Χρησιµοποιώντας τη σχέση µίας ειδικής µορφής του ϕίλτρου Kalman µε τον εξίσου δηµοφιλή αλγόριθµο των εκθετικά επιβαρυµένων αναδροµικών ελαχίστων τετραγώνων, αναπτύσσουµε προσαρµοστικά ϕίλτρα µε ϐελτιωµένες ικανότητες εντοπισµού. Τέλος, στο Κεφάλαιο 6, δοκιµάζουµε και συγκρίνουµε τις µεθόδους που παρουσιάστηκαν στα προηγούµενα κεφάλαια µε ήδη υπάρχουσες µεθόδους ταυτοποίησης µέσω πειραµάτων και χρησιµοποιώντας δεδοµένα, τα οποία από περιβάλλοντα εξοµοίωσης. Επίσης, εξετάζου- µε και συγκρίνουµε τη συµπεριφορά των µεθόδων υπό την επίδραση εξωτερικών διαταραχών µέτρησης στα αντίστοιχα σήµατα εξόδου. Επιπλέον, παρουσιάζουµε καινούργια και ενδια- ϕέροντα αποτελέσµατα. 5

18

19 2 Σειρές Volterra Οι Σειρές Volterra αποτελούν τη ϐάση της ϑεωρίας των πολυωνυµικών µη γραµµικών συστη- µάτων. Σε αυτό το κεφάλαιο, ϑα γίνει µία σχετικά συνοπτική εισαγωγή στις Σειρές Volterra, στις ιδιότητές τους, καθώς και στη γενική µεθοδολογία µε την οποία ϑα µας δοθεί η δυνατότητα να περιγράψουµε µία µεγάλη κλάση µη γραµµικών συστηµάτων, τόσο στο συνεχή, όσο και στο διακριτό χρόνο. Επίσης, έµφαση ϑα δοθεί σε αρκετές απλοποιηµένες δοµές µη γραµµικών συστηµάτων, οι οποίες, αν και αποτελούν υποπεριπτώσεις της γενικής µορφής των Σειρών Volterra, µας δίνουν τη δυνατότητα να περιγράψουµε µε πολύ κοµψό τρόπο πολλά µη γραµµικά συστήµατα που προκύπτουν σε πρακτικές εφαρµογές. 2.1 Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου Εστω ένα µη γραµµικό, δυναµικό και χρονικά αµετάβλητο σύστηµα συνεχούς χρόνου µε είσοδο x (t) και έξοδο y (t), το οποίο συµπαγώς ϑα αναπαριστούµε χρησιµοποιώντας το συµβολισµό y (t) = S [x (t)]. (2.1) Υπό κάποιες αρκετά γενικές προϋποθέσεις, στις οποίες ϐεβαίως ϑα αναφερθούµε στη συνέχεια, το σύστηµα που περιγράφεται από τη Σχέση (2.1) µπορεί να αναπτυχθεί σε Σειρά Volterra ως εξής [3, 4]: y (t) = h + + ˆ ˆ h 1 (τ 1 ) x (t τ 1 ) dτ 1 + ˆ ˆ ˆ h 2 (τ 1, τ 2 ) x (t τ 1 ) x (t τ 2 ) dτ 1 dτ 2 + h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p +, (2.2) ή χρησιµοποιώντας την πιο συµπαγή µορφή ˆ p y (t) = h + x (t τ k ) dτ k, (2.3) p=1 S p h p (τ 1,, τ p ) k=1 7

20 2.1. Συστήµατα Συνεχούς Χρόνου όπου ο τελεστής S p υποδηλώνει p ϕορές πολλαπλή ολοκλήρωση σε όλο το πεδίο των πραγ- µατικών αριθµών R. Ενα µη γραµµικό σύστηµα το οποίο αναπαρίσταται χρησιµοποιώντας ανάπτυγµα σε Σειρά Volterra χαρακτηρίζεται πλήρως από τις πολυδιάστατες συναρτήσεις h p (t 1,, t p ), οι οποίες αποτελούν τους λεγόµενους πυρήνες Volterra (Volterra Kernels). Ο πυρήνας µηδενικής τάξης h είναι µία σταθερά, ενώ οι υψηλότερης τάξης πυρήνες µπο- ϱούν να ϑεωρηθούν, χωρίς ϐλάβη της γενικότητας, ως συµµετρικές συναρτήσεις των ορισµάτων τους, µε αποτέλεσµα οποιεσδήποτε από τις p! µεταθέσεις των t 1,, t p να µην επηρεάζουν την τιµή του αντίστοιχου πυρήνα h p (t 1,, t p ). Η συµµετρία αυτή προκύπτει ως άµεσο αποτέλεσµα της αµεταβλητότητας των γινοµένων των καθυστερηµένων εισόδων {x (t τ i ), i = 1,, p}, ως προς τις αντίστοιχες µεταθέσεις τους. Η αιτιατότητα ενός συστήµατος Volterra εξασϕαλίζεται αν και µόνο αν h p (t 1,, t p ) =, t i <, i = 1,, p. (2.4) Ως εκ τούτου, για αιτιατά συστήµατα Volterra, τα κάτω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) ϑέτονται ίσα µε µηδέν. Οπως είναι ϕυσικό, τα άνω όρια των ολοκληρωµάτων της Σχέσης (2.2) δηλώνουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη µνήµη. Αν ϐέβαια όλα τα άνω όρια τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Επίσης, αξίζει να σηµειωθεί ότι κάθε ολοκλήρωµα της Σχέσης (2.2) έχει τη µορφή πολυδιάστατης συνέλιξης, µια ιδιότητα πολύ σηµαντική, αφού µεταξύ άλλων παίζει καθοριστικό ϱόλο στον υπολογισµό της κρουστικής απόκρισης και του µετασχηµατισµού Fourier των Σειρών Volterra. Ορίζοντας τώρα τον p-οστής τάξης τελεστή Volterra h p [x (t)] ως h p [x (t)] = ˆ ˆ } {{ } p ϕορές µπορούµε να ξαναγράψουµε τη Σχέση (2.2) στη µορφή h p (τ 1,, τ p ) x (t τ 1 ) x (t τ p ) dτ 1 dτ p, (2.5) y (t) = h + h p [x (t)]. (2.6) p=1 Οπως είναι λογικό, ένα σύστηµα Volterra πεπερασµένης τάξης προκύπτει ϑέτοντας το πάνω όριο του αθροίσµατος της Σχέσης (2.6) ίσο µε ένα πεπερασµένο ϑετικό αριθµό P. Η παρά- µετρος P αποτελεί την τάξη (order) του µη γραµµικού συστήµατος. Επίσης, είναι γνωστό [5], ότι οποιοδήποτε χρονικά αµετάβλητο, πεπερασµένης µνήµης σύστηµα, το οποίο αποτελεί συνεχές συναρτησιοειδές της εισόδου του, µπορεί να προσεγγιστεί οµοιόµορφα πάνω σε ένα οµοιόµορφα πεπερασµένο και συνεχές σύνολο σηµάτων εισόδου από µία Σειρά Volterra κατάλληλα επιλεγµένης και πεπερασµένης τάξης P. Επιπροσθέτως, η Σχέση (2.6) αποκαλύπτει µία οµοιότητα των Σειρών Volterra µε τις Σειρές Taylor. Οταν το σήµα εισόδου 8

21 Κεφάλαιο 2. Σειρές Volterra πολλαπλασιάζεται µε µία σταθερά c, η έξοδος παίρνει τη µορφή y (t) = h + h p [cx (t)] = h + c p h p [x (t)], (2.7) p=1 p=1 η οποία αποτελεί δυναµοσειρά ως προς την c. 2.2 Συστήµατα ιακριτού Χρόνου Με παρόµοιο τρόπο µε αυτόν των συνεχούς χρόνου συστηµάτων, µπορούµε να περιγράψου- µε διακριτού χρόνου, δυναµικά και χρονικά αµετάβλητα µη γραµµικά συστήµατα, χρησι- µοποιώντας τη διακριτού χρόνου Σειρά Volterra y (n) = h + h p [x (n)], (2.8) όπου x (n) και y (n) αποτελούν τα σήµατα εισόδου και εξόδου, αντίστοιχα, και ισχύει ότι h p [x (n)] = m 1 = m p= } {{ } p ϕορές p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ), (2.9) όπου η ακολουθία h p (m 1,, m p ) αποτελεί τον p-οστής τάξης διακριτό και συµµετρικό πυρήνα Volterra του συστήµατος. Οπως και στη συνεχούς χρόνου περίπτωση, αν h p (n 1,, n p ) =, n i <, i = 1,, p, (2.1) τότε το µη γραµµικό σύστηµα είναι αιτιατό, και η Σχέση (2.9) µπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής : h p [x (n)] = m 1 = h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.11) m p= } {{ } p ϕορές Μπορούµε λοιπόν να ερµηνεύσουµε τους διακριτού χρόνου πυρήνες Volterra µε έναν τρόπο απολύτως ανάλογο σε σχέση µε την περίπτωση του συνεχούς χρόνου. Πιο συγκεκριµένα, η σταθερά h αποτελεί έναν απλό όρο στάθµισης, ο πυρήνας πρώτης τάξης h 1 (n) αποτελεί την ακολουθία της κρουστικής απόκρισης ενός διακριτού χρόνου, γραµµικού και χρονικά αµετάβλητου συστήµατος και ο πυρήνας p-οστής τάξης h p (n 1,, n p ) µπορεί να ϑεωρηθεί ως µία γενικευµένη κρουστική απόκριση, η οποία στην ουσία αποτελεί µία ακολου- ϑία αριθµητικών ϐαρών, συσχετίζοντας κατάλληλα όλα τα γινόµενα εν γένει p διαφορετικών χρονικών καθυστερήσεων του σήµατος εισόδου. Είναι επίσης εµφανές ότι τα άνω όρια των αθροισµάτων της Σχέσης (2.11) υποδεικνύουν ότι το σύστηµα µπορεί να διαθέτει άπειρη 9

22 2.2. Συστήµατα ιακριτού Χρόνου µνήµη και, αν τα όρια αυτά τροποποιηθούν ώστε να έχουν πεπερασµένες τιµές, τότε το µη γραµµικό σύστηµα διαθέτει πεπερασµένη µνήµη. Εάν επιπλέον επιβάλουµε και τον περιορισµό της πεπερασµένης τάξης, τότε προκύπτει η διακριτού χρόνου, πεπερασµένης µνήµης και πεπερασµένης τάξης Σειρά Volterra, και η έξοδος του αντίστοιχου µη γραµµικού συστήµατος, στην πιο γενική µορφή του, µπορεί να εκφραστεί ως όπου h p [x (n)] = N 1 1 m 1 = N p 1 m p= } {{ } p ϕορές y (n) = h + P h p [x (n)], (2.12) p=1 h p (m 1,, m p ) x (n m 1 ) x (n m p ). (2.13) Αξίζει να αναφερθεί ότι οι προφανείς δυσκολίες που εµφανίζονται σε συστήµατα Volterra µε άπειρη µνήµη, τόσο σχετικά µε την υλοποίηση όσο και µε την εκτίµηση των παραµέτρων τους, µπορούν να αποφευχθούν χρησιµοποιώντας αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων. Η προσέγγιση αυτή είναι παρόµοια µε αυτήν της χρήσης γραµ- µικών ϕίλτρων άπειρης κρουστικής απόκρισης (IIR), όσον αφορά στα µοντέλα γραµµικών συστηµάτων. Στα αναδροµικά πολυωνυµικά µοντέλα µη γραµµικών συστηµάτων, η σχέση µεταξύ των σηµάτων εισόδου και εξόδου περιγράφεται από µία µη γραµµική εξίσωση διαφορών πεπερασµένης τάξης, η οποία περιλαµβάνει καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εξόδου, καθώς και την τρέχουσα και καθυστερηµένες τιµές του σήµατος εισόδου και µπορεί συµπαγώς να εκφραστεί ως y (n) = f i [x (n), x (n 1),, x (n N), y (n 1),, y (n M)], (2.14) όπου f i [ ] αποτελεί ένα πολυώνυµο i-οστού ϐαθµού ως προς τις µεταβλητές που ϐρίσκονται µέσα στις αγκύλες. Η Σχέση (2.14) είναι γνωστή στη ϐιβλιογραφία ως το λεγόµενο πολυωνυµικό µοντέλο Kolmogorov - Gabor [6]. Βέβαια, πολύ συχνά, η δυναµική υποστήριξη που είναι απαραίτητη για την επιθυµητή ποιότητα προσέγγισης ενός µη γραµµικού συστήµατος είναι πεπερασµένη. Σε µία τέτοια περίπτωση, η προσέγγιση του συστήµατος χρησιµοποιώντας µία Σειρά Volterra πεπερασµένης µνήµης είναι αρκετή για να µοντελοποιήσει τη συµπεριφορά του. Λόγω της σχετικής απλότητας των σχέσεων εισόδου - εξόδου, τα µη αναδροµικά µοντέλα που περιγράφονται χρησιµοποιώντας συστήµατα Volterra πεπερασµένης µνήµης και πεπε- ϱασµένης τάξης έχουν µελετηθεί εκτενέστατα και αποτελούν δηµοφιλείς επιλογές για την περιγραφή µη γραµµικών συστηµάτων. Το πιο απλό πολυωνυµικό ϕίλτρο είναι το τετραγωνικό (quadratic). Πολλές ϕορές µάλιστα, η χρήση του τετραγωνικού όρου, είτε µόνου του είτε σε επαλληλία µε ένα γραµµικό ϕίλτρο, προσφέρει λύση σε αρκετά ενδιαφέροντα προβλήµατα. 1

Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων

Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Πανεπιστηµιο Πατρων Τµηµα Μηχανικων Ηλεκτρονικων Υπολογιστων & Πληροφορικης Εργαστηριο Επεξεργασιας Σηµατων και Τηλεπικοινωνιων Ταυτοποίηση Μη Γραµµικών Συστηµάτων Υψηλής Τάξης : Μία προσέγγιση ϐασισµένη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων.

2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Γενικά τι είναι σύστηµα - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. 2. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γενικά τι είναι - Ορισµός. Τρόποι σύνδεσης συστηµάτων. Κατηγορίες των συστηµάτων ανάλογα µε τον αριθµό και το είδος των επιτρεποµένων εισόδων και εξόδων. Ιδιότητες των

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα

Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα ΒΕΣ 06 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Εισαγωγή στα Προσαρµοστικά Συστήµατα Νικόλας Τσαπατσούλης Επίκουρος Καθηγητής Π..407/80 Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. 3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο µεταβολών µιας ποσότητας που µπορεί να: επεξεργαστεί αποθηκευθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας

Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Περιγραφή Σηµάτων Διακριτού Χρόνου Η Ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

4 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

4 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 4 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου

Μερικά πρώτα παραδείγµατα συστηµάτων διακριτού χρόνου ΣΥΣΗΜΑΑ ΙΑΚΡΙΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Από αυστηρά µαθηµατικής απόψεως σαν σύστηµα διακριτού χρόνου ορίζεται ένας οποιοσδήποτε µετασχηµατισµός ή τελεστής (operator) ο οποίος δρα σε µία ακολουθία x [ που συνήθως θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση

Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Συνέλιξη Κρουστική απόκριση Το εργαστήριο αυτό ασχολείται με τα «διασημότερα συστήματα στην επεξεργασία σήματος. Αυτά δεν είναι παρά τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα. Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χώρος Κατάστασης Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Από τις Καταστατικές Εξισώσεις στη Συνάρτηση Μεταφοράς bx x y bx I X b I Y Καταστατικές

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής:

Συνεπώς, η συνάρτηση µεταφοράς δεν µπορεί να οριστεί για z=0 ενώ µηδενίζεται όταν z=1. Εύκολα προκύπτει το διάγραµµα πόλων-µηδενικών ως εξής: ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Άσκηση : Δίνεται το LTI σύστηµα y[ n ] T{ x[ n ] } που ορίζεται από την αναδροµική σχέση: y[n ]y[n - ] +x[n ]- x[ n -] +x[ n - ] ( ). Να βρεθεί η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος H(z ). 𝑦

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου

Σχήµα 1: Χρήση ψηφιακών φίλτρων για επεξεργασία σηµάτων συνεχούς χρόνου ΜΑΘΗΜΑ 6: ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΦΙΛΤΡΩΝ 6. Εισαγωγή Τα φίλτρα είναι µια ειδική κατηγορία ΓΧΑ συστηµάτων τα οποία τροποποιούν συγκεκριµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου σε σχέση µε κάποιες άλλες. Η σχεδίαση ψηφιακών

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001

Μηχανική ΙI. Λαγκρανζιανή συνάρτηση. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 3/2001 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 3/2001 Μηχανική ΙI Λαγκρανζιανή συνάρτηση Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι ο δυναµικός νόµος του Νεύτωνα είναι ισοδύναµος µε την απαίτηση η δράση ως το ολοκλήρωµα της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί αλγόριθµοι στο πεδίο της συχνότητας: ΟταχύςLMS (Fast Least Mean Square - FLMS)

Προσαρµοστικοί αλγόριθµοι στο πεδίο της συχνότητας: ΟταχύςLMS (Fast Least Mean Square - FLMS) ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί αλγόριθµοι στο πεδίο της συχνότητας: ΟταχύςLS (Fast Least ean Square - FLS) Κανοινικοποιηµένος FLS Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto [22]:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοπός του µαθήµατος Η Συστηµατική Περιγραφή: των Σηµάτων και των Συστηµάτων 2 Τι είναι Σήµα; Ένα πρότυπο

Διαβάστε περισσότερα

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών: Μηχανική ΙΙ Τµήµα Ιωάννου-Απόστολάτου 8 Μαϊου 2001 Εσωτερικά γινόµενα διανυσµάτων µέτρο διανύσµατος- ορθογώνια διανύσµατα Έστω ένας διανυσµατικός χώρος V, στο πεδίο των µιγαδικών αριθµών Τα στοιχεία του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ - ΟΠΤΟΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & Τ/Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΤΙΚΗ FOURIER. Γ. Μήτσου ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΟΠΙΚΗΣ - ΟΠΟΗΛΕΚΡΟΝΙΚΗΣ & LASER ΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ & /Υ ΑΣΚΗΣΗ ΝΟ7 ΟΠΙΚΗ FOURIER Γ. Μήτσου Μάρτιος 8 Α. Θεωρία. Εισαγωγή Η επεξεργασία οπτικών δεδοµένων, το φιλτράρισµα χωρικών συχνοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων

Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 20 Ολοκληρωµένο Περιβάλλον Σχεδιασµού Και Επίδειξης Φίλτρων Α. Εγκατάσταση Αφού κατεβάσετε το συµπιεσµένο αρχείο µε το πρόγραµµα επίδειξης, αποσυµπιέστε το σε ένα κατάλογο µέσα

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3)

Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω σύστηµα µε είσοδο βηµατική συνάρτηση δηλαδή () =(). (3) Παράδειγµα 1: Έστω ένα σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση () +2 () 29 () +42()=() (1) µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. (δηλαδή ()(0) = () (0)=()(0)=0) (2) Ζητείται να µελετηθεί το εν λόγω

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Συμπληρωματικό υλικό Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού Προσαρμοστικοί Ισοσταθμιστές Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές του ισοσταθμιστή MMSE, απαιτείται να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες

Διάλεξη 10. Σχεδιασμός Φίλτρων. Κεφ. 7.0-7.2. Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες University of Cyprus Biomedical Imaging & Applied Optics Διάλεξη 10 Κεφ. 7.0-7.2 Φίλτρο Διαφοροποιεί το φάσμα ενός σήματος Π.χ. αφήνει να περάσουν ή σταματά κάποιες συχνότητες Σχεδιασμός Φίλτρου Καθορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση

Διάλεξη 4η. η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (σε µονάδες rad/s) η κίνηση Διάλεξη 4η Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Αρµονικός ταλαντωτής, σηµείο ισορροπίας, περιοδική κίνηση, ισόχρονη ταλάντωση. Ο αρµονικός ταλαντωτής είναι από το πλέον σηµαντικά συστήµατα στη Φυσική. Δεν

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα