1 Harmonični signali in njihova predstavitev z vektorji kazalci

Transcript

1 Harmonični signali in nihova predsaviev z veori azalci Osnovni harmonični signal predsavla osinusna časovna odvisnos () = cosω. (.) Časovni diagram ega signala e priazan na slii., in sicer v odvisnosi od faznega oa in () ω - Slia. Kosinus z ampliudo v odvisnosi od faznega oa ω in časa od časa. Zvezo med faznim oom ω in časom predsavla rožna frevenca ω = f =, (.) Enoa rožne frevence e radian/s. Ker enoe za o (radian) običano ne pišemo, e enoa rožne frevence s -, za razlio od enoe za frevenco, i e Hz. Ko izražen v radianih usreza dolžini rožnega loa na enosem rogu z radiem r =. renuno vrednos signala () laho predsavimo s proecio veora r() na os v ravnini (, ). Veor r() z dolžino, se enaomerno vri ooli oordinanega izhodišča s ono hiroso ω (slia.). 3 r( ) ω cos(ω ) Slia. Predsaviev osinusnega signala s proecio roiraočega veora Ob času = leži azalec v smeri osi, zao e negova proecia +, ar predsavla masimalno poziivno vrednos osinusnega signala. Na slii.3 so priazani položai ega veora v reh značilnih časih in z nimi povezanimi faznimi oi. Usrezno povezavo laho poiščemo z časovnim diagramom na slii..

2 Opisovane harmoničnih signalov ω = r() r() ω = r() ω = = = 4 Slia.3 Položa azalca r() v reh značilnih renuih V olior harmonični signal nima ob času = masimuma, ga laho zapišemo z usreznim premiom osnovne funcie = () = cos( ω ϕ). (.3) Časovni diagram in usrezna predsaviev s azalcem sa priazana na sliah.4 in.5. ϕ ω - Slia.4 Kosinusni signal premanen za o ϕ cos(ω-ϕ) ω = ϕ Slia.5 Položa azalca v renuu = Iz obeh sli vidimo, da zaasniev signala laho predsavimo z usreznim izhodiščnim položaem azalca r(). Ker vela sin = cos, (.4)

3 Opisovane harmoničnih signalov 3 priažemo signal () = sinω, o azalec z začeno fazo -/, ar e priazano na sliah in.7..6 ω Slia.6 Graf signala () = sinω sinω ϕ = ϕ = ω ω = > Slia.7 Položa azalca, i predsavla sinω ob času = in nea renuov asnee. Iz slie.7 nazorno vidimo, da mora bii začena faza azalca -/. Na a način proecia azalca rase s časom in e za < ω < poziivna. Opisovane harmoničnih signalov isih frevenc a različnih ampliud in faz z usreznimi veori oz. azalci ob času =, omogoča poenosavleno računane različnih ombinaci ašnih signalov. Pri em uporablamo pravila, i velao za arimeio ravninsih veorev. Na slii.8 e priazano seševane dveh orogonalnih signalov () = () + () = cosω + Bsinω= Ccos( ω ϕ ). (.5) Z uporabo pravil za seševane orogonalnih veorev dobimo ampliudo C s Piagorovim pravilom C = + B, (.6) o ϕ pa iz razmera omponen ϕ = arcg B + m. (.7)

4 4 Opisovane harmoničnih signalov er e za m = za < (.8) Zaloga vrednosi funcie arcg [-/, /] ne poriva oov ϕ, i ležio v drugem in reem vadranu, zao v enačbi (.7) nasopa člen m, i vpliva na rezula, če e ampliuda osinusne omponene negaivna. () = cosω= 3,5cosω () = Bsinω= sinω z () = () + () = Ccos( ω ϕ) B ϕ C 4 ϕ = arcg = 9, 7 =,5 rd 3,5.. 3 ω 4 Slia.8 Ilusracia seševana sinusnega in osinusnega signala Na podoben način, o poea seševane, laho poluben harmonični signal razsavimo na negovi orogonalni (udi vadraurni) omponeni (osinus in sinus) z uporabo adicisega izrea za osinus [ ] Ccos( ω ϕ) = C cosωcosϕ + sinωsin ϕ = ( Ccos ϕ)cos ω + ( Csin ϕ)sinω =.(.9) = cosω + Bsinω ašno razsavlane e priazano na slii z uporabo geomerise ponazorive.

5 Opisovane harmoničnih signalov 5 = Ccosϕ B = Csinϕ C ϕ Slia.9 Razsavlane signala na vadraurni omponeni Esponenna funcia z imaginarnim esponenom Imaginarna enoa e definirana o vrednos, i izpolnue enačbo =. (.) Ker e enačba drugega reda, e nena rešiev udi. Z uvedbo imaginarne enoe se nam razširi ševilsa premica realnih ševil v omplesno ravnino. Vsao ševilo e predsavleno z realno in omplesno omponeno. Računane s omplesnimi ševili e preproso, doler uporablamo le osnovne algebrse operacie, o so seševane, množene in poencirane. Za zgled si oglemo množene omplesnih ševil: (3 + )(5 ) = = = (.) Vprašane vrednosi ranscendennih funci za imaginarne oz. omplesne argumene, rešimo z uporabo funcisih poenčnih vrs (aloreva poenčna vrsa). Esponenno funcio laho zapišemo v oblii nesončne vrse 3 4 ep( ) = e = (.3)!! 3! 4! V enačbo (.3) vsavimo nameso realne vrednosi čiso imaginarno vrednos in pri em upoševamo definicio imaginarne enoe (.) pri računanu poenc ( ) = = ( ) = = ( ) = = Više cele poence se ponavlao po modulu 4, sa vela ( ) 3 (.4) n+ 4 n 4 n 4 n n = = = = za, (.5) er Z označue množico celih ševil {..., -, -,,,, 3,...}. Z upoševanem pravil (.4) in (.5) dobimo iz enačbe (.3)

6 6 Opisovane harmoničnih signalov ( ) ( ) ( ) e = = =!! 3! 4!!! 3! 4! 5! = ! 4! 6!! 3! 5! 7! (.6) V prvem olepau, i predsavla realno omponeno ševila e e poenčna vrsa funcie cos, v drugem olepau pa e vrsa za funcio sin. Enačbo (.6) predsavla Eulerevo formulo za omplesna ševila, i o rao zapišemo Iz Eulereve formule (.7) laho ugoovimo sledeča desva: e e omplesno ševilo z absoluno vrednoso e = cos+ sin. (.7) e = cos + sin = cos + sin =, (.8) veor, i v omplesni ravnini presavla ševilo e olepa z realno oso o, zao ponavadi vrednos imaginarne omponene esponena označuemo z gršimi črami, i ih običano uporablamo za oe. Na slii. e predsaviev ševila e ϕ v omplesni ravnini zaradi periodičnosi funci sinus in osinus e esponenna funcia imaginarnega esponena periodična s periodo ( + ) e = e za (.9) Im sin ϕ ϕ e ϕ - cos ϕ Re - Slia. Grafična predsaviev ševila z = v ravnini omplesnih ševil Iz slie. vidimo, da laho značilna ševila na enosem rogu izrazimo v esponenni oblii oziroma s faznim oom = e = e + = e = e ± (+ ) = e = e e ϕ + = e = e (.)

7 Opisovane harmoničnih signalov 7 Na osnovi Eulereve formule (.7) laho vsao ševilo zapišemo v ao imenovani polarni oblii,.. z absoluno vrednoso in polarnim oom z = Re( z) + Im( z) = a+ b = re r = z = Re( z) + Im( z) = a + b Im( z) b ϕ = arcg + ( + m) = arcg + ( + m). (.) Re( z) a a m =,,,,,,, a < ϕ { } Pri določanu oa ϕ na osnovi realne in imaginarne omponene moramo ponovno upoševai, da glavna vea funcie arcg zaema le vrednosi oov med -/ in /, s aerimi poriemo le omplesna ševila, i imao poziivno realno omponeno. Ševila z negaivno realno omponeno imao polarni o ϕ na inervalu (/, 3/). Zaradi periodičnosi esponenne funcie v obsegu omplesnih ševil (.9) ima vsao omplesno ševilo z nesončno možnih polarnih oov ϕ. z z =r Im Im(z) ϕ Re(z) Re Slia. Polarni zapis omplesnega ševila 3 Esponenni zapis harmoničnih signalov Iz Eulereve formule (.7) sledi Ker e osinus soda funcia sinus pa e liha funcia e + e = (cos + sin ) + (cos( ) + sin( )). (3.) se imaginarni dela v desni srani enačbe (3.) uničia. dobimo e cos( ) = cos, (3.) sin( ) = sin, (3.3) e + = cos. (3.4) Enačbo (3.4) obrnemo in izrazimo osinus z esponenno funcio s čiso imaginarnim esponenom e + e cos =. (3.5)

8 8 Opisovane harmoničnih signalov Če nameso vsoe omplesnih ševil v (3.) izračunamo razlio, dobimo in od od e e = sin (3.6) e e sin =. (3.7) Z uporabo zveze (3.5) laho osinusni signal predsavimo o vsoo dveh omplesnih ševil (azalcev z dolžino ½ ), i se s ono hiroso ω vria v naspronih smereh ω ω () = cos( ω) = e + e. (3.8) Im(z) ω e ω ω cos(ω ) e ω Re(z) Slia 3. Vsoa dveh nasprono vrečih azalcev e realna Iz slie 3. vidimo, da v renuu = oba azalca olepaa o, nuna vsoa pa e masimalna. Z usreznim faznim zasuom laho na ena način predsavimo udi sinusni signal. Uporabimo enačbo (3.7) in vano vsavimo vrednosi za in - zapisane s faznim oom (.) ω ω ω () = sin = e e = ( e ) + e ω ω ω = e e + e e ω =. (3.9) Sinusni signal dobimo o vsoo dveh azalcev z dolžino ½ in začeno fazo ϕ = ±/. Kazalec, i se vri v poziivnem smislu (+ω), ima fazo -/, o e razvidno iz slie 3.. Za realne signale e faza azalca z negaivno frevenco vedno nasprono enaa fazi azalca s poziivno frevenco, zao zadosue, da signale opisuemo le s fazo pri poziivni frevenci. Fizialno resnične so le poziivne frevence. Z uvedbo poma negaivne frevence se poenosavi obravnavane različnih signalov in nihovih sperov, er so pravila za računane z esponenno funcio bol preprosa, o so pravila in lasnosi rigonomeričnih funci.

9 Opisovane harmoničnih signalov 9 Im(z) ω e ( ω ) e e sin(ω ) Re(z) ω e ( ω ) Slia 3. Položa azalcev signala sinω ob času = in ω = 7

10 Fouriereva analiza 4 Fouriereva analiza Komplesna Fouriereva vrsa Periodičen signal () s periodo laho predsavimo s Fourierevo omplesno vrso ω, (4.) = () X e, = er e osnovna rožna frevenca določena s periodo signala Koeficiene omplesne vrse X izračunamo z enačbo X ω = = f. (4.) + () ω = e. (4.3) τ Začeni čas τ, i e spodna mea inegrala v (4.3) e poluben. Izberemo ga ao, da poenosavimo računane inegrala. Koeficieni X so v splošnem omplesne vrednosi, i predsavlao speer signala () X X e Φ = (4.4) Za oeficiene realnih signalov (vrednos signala e realna vrednos) vela, da sa oeficiena z enao absoluno vrednoso indesa omplesno onugiran par * X = X, (4.5) in iz ega sledi, da e ampliudni speer soda funcia disrene spremenlive Fazni speer pa e liha funcia X Φ = X. (4.6) = Φ. (4.7) Fouriereva rigonomerična vrsa Osnovna oblia-oeficieni a, a in b Periodične signale () laho predsavimo udi o vsoo enosmerne in nesončno vsoo osnovne in viših harmonsih omponen, i ih zapišemo s rigonomeričnima funciama sinus in osinus ω ω (4.8) = = () = a + a cos( ) + b sin( )

11 Fourireva analiza Za razlio od omplesne vrse imamo u ri formule za izračun oeficienov. Koeficien a predsavla enosmerno vrednos, zao ga izračunamo o povprečno vrednos signala a τ + Koeficiene a in b izračunamo ločeno z različnima izrazoma = () d. (4.9) τ + τ a = ()cos( ω ) d, (4.) τ τ + b = ()sin( ω ) d, (4.) τ er e ω rožna frevenca osnovne harmonse omponene določene z osnovno periodo (4.) Če e periodični signal soda funcia poem vela Če e signal () liha funcia časa poem vela b a ( ) = ( ) (4.) = =,,3, (4.3) ( ) = ( ) (4.4) = =,,, (4.5) Druga oblia rigonomerične Fourireve vrse Kosinusni in sinusni signal ise harmonse omponene laho združimo v en sam osinusni signal z ampliudo c in fazo ϕ. mpliudni speer c in fazni speer ϕ izračunamo iz oeficienov a in b iz enačbe a cos( ω ) + b sin( ω ) = c cos( ω ϕ ). (4.6) Za osinus na desni srani enačbe uporabimo adicisi izre in dobimo a b = c = c cosϕ sinϕ Iz ega sisema enačb izračunamo ampliudo in fazo (4.7) = + c a b b a ϕ = arcg + m m = a a < (4.8)

12 Fouriereva analiza Koeficien c e enosmerna omponena in e ena a. S oeficieni c, c in ϕ zapisana Fouriereva vrsa se glasi () = c + c cos( ω ϕ) (4.9) = Zveze med oeficieni omplesne in rigonomerične Fouriereve vrse V zapisu s omplesno vrso predsavlaa oeficiena pri frevenci ω in -ω -o harmonso omponeno ω ω Φ ω Φ ω X e + X e = X e e + X e e = ( ω+ Φ) ( ω+ Φ = X ) ( e + e ) = X cos( ω + Φ ) Iz primerave z (4.6) dobimo zveze (4.) c X = X = =,,3, (4.) X = c (4.) Φ = ϕ (4.3) Parsevalov save povprečna moč periodičnega signala τ + P = () d = X = τ = = = ( b ) = c + c = a + a + (4.4)

13 Fourireva analiza 3 Fouriereva ransformacia Definicia: Inverzna F: = [ ] = ω X ( ω) F () e () d (4.5) ( ) X( ω) = Re( X( ω)) + Im( X( ω)) = X( ω) e Φ ω (4.6) = [ ] = () F X( ω) X( ω) e ω dω (4.7) Za Fouriereva para časovnih signalov in nunih sperov velao nasledna pravila:. Linearnos. Zrcalene časovne osi F () X( ω) F () Y( ω) F (4.8) a() + b() ax ( ω) + by( ω) (4.9) 3. Časovno salirane 4. Časovni premi F ( ) X ( ω) (4.3) F ω a ( ) X a a (4.3) 5. Frevenčni premi - modulacia 6. Odvaane po času 7. Inegral časovne funcie ( ) X( ω ) e ± ω e ± (4.3) F ± ω F ω ω (4.33) () X( ) d() F ωx( ω) d n d () F n ( ω ) X( ω) n d (4.34)

14 4 Fouriereva analiza F X ( ω) ( τ ) dτ + X() δ( ω ) (4.35) ω 8. ransform produa F () () X( ω) Y( ω) 9. ransform onvolucie X ( ω) Y( ω) = X( λ) Y( ω λ) dλ (4.36). Dualnos F () () X( ω) Y( ω) () () = ( τ ) ( τ) dτ F (4.37) X () ( ω) (4.38) Parsevalov save normalizirana energia aperiodičnih signalov E = () d = X( ω) dω = S( ω) dω E = S( f) df = S( f) df (4.39)