RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
|
|
- Νάρκισσος Μαγγίνας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak. 1. U standardnom pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini odredite krajnju točku i 1 nacrtajte radij-vektore OA, OB, OA, 2 OA i OB ako je: 2 a) A = (1, 0), B = (0, 1) b) A = ( 1, 0), B = (0, 1) c) A = (1, 0), B = (0, 1) d) A = ( 1, 0), B = (0, 1) e) A = (1, 0), B = (1, 1) f) A = (0, 1), B = ( 1, 1) g) A = (0, 1), B = (1, 1) h) A = (2, 0), B = (0, 3) i) A = ( 4, 0), B = (0, 2) j) A = (1, 1), B = (2, 3) k) A = ( 1, 2), B = ( 2, 1) l) A = ( 1, 3), B = ( 3, 1) m) A = (1, 2), B = (3, 4) n) A = (1, 3), B = ( 1, 2) o) A = (3, 1), B = ( 4, 2) p) A = (1, 4), B = (1, 3) q) A = ( 1, 1), B = (1, 2) r) A = ( 1, 4), B = ( 1, 2) s) A = ( 2, 3), B = (3, 2) t) A = ( 2, 5), B = (3, 4) u) A = ( 2, 4), B = ( 4, 2) v) A = ( 3, 2), B = (4, 3) w) A = (4, 3), B = (1, 4) x) A = (2, 3), B = ( 4, 1) y) A = (5, 2), B = ( 5, 3) z) A = (2, 3), B = ( 2, 5). 2. Izračunajte 1 OA 2 OB 2 ako je: a) A = (2, 0, 0), B = (1, 0, 0) b) A = (0, 4, 0), B = ( 1, 0, 0) c) A = (0, 0, 6), B = (0, 1, 0) d) A = (2, 4, 0), B = (0, 1, 0) e) A = (0, 2, 4), B = (0, 0, 1) f) A = (4, 0, 2), B = (0, 0, 1) g) A = ( 2, 0, 0), B = (0, 1, 1) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1
2 h) A = (0, 4, 0), B = (1, 0, 1) i) A = (0, 0, 6), B = (1, 1, 0) j) A = ( 2, 4, 0), B = (1, 1, 1) k) A = (0, 2, 4), B = ( 1, 0, 1) l) A = ( 4, 0, 2), B = (0, 1, 1) m) A = ( 2, 4, 6), B = ( 1, 1, 0) n) A = ( 2, 6, 4), B = (1, 0, 1) o) A = (6, 4, 2), B = (0, 1, 1) p) A = (6, 4, 2), B = ( 1, 1, 1) q) A = (2, 4, 6), B = ( 1, 1, 1) r) A = (6, 2, 4), B = (1, 1, 1) s) A = (2, 6, 4), B = ( 1, 1, 1) t) A = ( 4, 2, 6), B = (1, 3, 3) u) A = (2, 6, 4), B = (1, 2, 3) v) A = ( 2, 6, 4), B = ( 1, 2, 3) w) A = (2008, 2010, 2012), B = (1003, 1004, 1005) x) A = ( 2010, 2012, 2014), B = ( 1006, 1005, 1008) y) A = (2014, 2012, 2010), B = ( 1008, 1007, 1006) z) A = ( 2016, 2014, 2012), B = ( 1007, 1006, 1008). 1 1 OA OB + OC, 2 OA OC OB i OC OB ( 4) OA Izračunajte ( ) ako je: a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) c) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) d) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) e) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) f) A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1), C = (2, 0, 2) g) A = (0, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = ( 2, 0, 2) h) A = (1, 1, 1), B = ( 1, 1, 0), C = (2, 2, 2) i) A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = ( 2, 4, 6) j) A = ( 1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = (2, 4, 6) k) A = ( 1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = (4, 2, 6) l) A = ( 1, 2, 3), B = ( 3, 2, 1), C = ( 6, 2, 4) m) A = (2, 1, 3), B = (2, 3, 1), C = ( 4, 2, 6) n) A = ( 3, 2, 1), B = (1, 2, 3), C = (6, 4, 2) o) A =,,, B = ( 1, 3,5 ), C = (2, 4,6) p) A =,,, B = ( 1, 2,1), C = (2, 4,6) q) A =,,, B = (1,2, 1), C = ( 4,6,2) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 2
3 r) s) t) u) v) w) A =,,, B = ( 1,3, 2), C = (6,2,4) A =,,, B = ( 1, 4,7), C = (8,6,4) A =,,, B = (1, 3, 2), C = 2,( 2) 3, A = 3,,, B = ( 3,1, 2), C = ( 4,2 3,2) 5 7 A = 3,,, B = ( 3, 5, 7), C = ( 12, 20, 28) A = 5,,, B = ( 5, 7, 11), C = ( 80, 112, 176) 2 2 π π A = π,,, B = ( π, 1, π ), C = 2 π,4,( 2) π A = π, π, π, B = (1, π, π ), C = ( 4) π,( 2) π, A = π, π, π, B = ( 1, π, π ), C = ( 2) π,( 4) π, OA OB OC, OA OC OB i OA OB OB OC ako je: x) [ ] y) [ ] z) [ ] 4. Izračunajte ( ) ( ) ( ) ( ) a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) c) A = (1, 0, 1), B = (1, 1, 0), C = (1, 1, 1) d) A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = ( 2, 2, 0) e) A = (0, 0, 2), B = ( 2, 0, 0), C = (2, 0, 2) f) A = ( 2, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = ( 2, 2, 0) g) A = (1, 3, 5), B = (2, 4, 6), C = (3, 7, 11) h) A = (1, 2, 3), B = (3, 2, 1), C = ( 1, 2, 3) i) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = (1, 2, 3) j) A = (3, 2, 1), B = (2, 3, 1), C = ( 1, 3, 2) k) A = (7, 4, 5), B = ( 9, 4, 1), C = (2, 2, 1) l) A =,,, B = ( 2,2,4 ), C = ( 4,4, 2) m) A =,,, B = ( 6,9, 3 ), C = ( 3,6,9) n) A =,,, B = ( 10,5, 5 ), C = (5, 5, 10) mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3
4 3 1 5 A =,,, B = 7, 49, 35, C = ( 14, 21, 28) A =,,, B = 6,9,3, C = (12, 15, 18) A =,,, B = 2,6,4, C = (3, 9, 6) A =,,, B = 2,2, 2, C = ( 2,2,2) A =,,, B = 6, 3, 3, C = ( 18, 27, 48) o) ( ) p) ( ) q) ( ) r) ( ) s) ( ) t) ( ) A =,,, B = 10, 125, 80, C = ( 50, 5, 5) u) ( ) A =,,, B = 28, 63, 7, C = (1, 3,2) v) ( ) A =,,, B = 2 5,3 2, 10, C = ( 2, 5, 1) π w) A =,,, 2 3 B = ( 2, 2 π, π ), C = π,, π π π π x) A =,,, B = ( π π, π, π ), C =, π, π 3 2 π π π π π y) A = (π 1, π, 1 π), B = (π + 1, π, 1 π), C = (0, 1, 1) z) A = (π 2 1, π, 1 π 2 ), B = (1, 0, 1), C = ( π, 1, 1) 5. Zadane su tri nekolinearne točke O, A i B u pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru. Neka je C točka u ravnini takva da je OC = OA + OB. Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi usporednika. (Naputak: Četverokut OABC je usporednik ako obje njegove dijagonale imaju isto polovište.) 6. Zadane su tri nekolinearne točke O, A i B u pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru. Neka je C točka u ravnini takva da je OC = OA OB. Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi usporednika. 7. Zadani su radijvektori a = 5 i + 2 j k, b = i 3 j + 4 k, c = ( 2) i + 6 j 2 k i d = 2 i + 11 j 7 k. Pokažite da su krajnje točke tih radijvektora vrhovi usporednika. 8. Tri vrha usporednika ABCD A = (3, 2, 0), B = ( 3, 3, 1) i C = ( 5, 0, 2). Odredite koordinate vrha D, pa izračunajte šiljasti kut koji zatvaraju dijagonale toga usporednika. 9. Zadani su radijvektori a = (3,0, 2), b = (1, 3, 4), c = ( 1, 2, 5) i d = (0,3, 4). Izračunajte: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4
5 (3 a) c + 5 a c (3 a) c 5 a c ( b a) c + d ( b a) d c a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) 1 1 e) a ( 5 b) c a ( 6 b) c Zadani su radijvektori a = (2, 4,3), b = (3, 1,5) i c = (1, 2,4) Odredite vektor x tako da vrijede jednakosti x a = 1, x b = 2 i x c = Zadani su radijvektori a = (0, 2 α, α), b = (2, 2,1), c = ( 1, 2, 1) i d = ( α, 0,1). Odredite vrijednost realnoga broja α tako da vrijedi jednakost a b c d = Zadani su radijvektori a = (6, 8, 10) i b = (10, 24, 26). Izračunajte duljine tih radijvektora, te kut kojega oni zatvaraju. 13. Izračunajte skalarni umnožak radijvektora OA i OB, te kut koji zatvaraju ti radijvektori ako je: a) A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3) b) A = (1, 2, 3), B = (2, 4, 6) c) A = ( 1, 2, 3), B = (4, 8, 12) d) A = (1, 0, 1), B = ( 3, 6,3) e) A = ( 1, 1, 0), B = (0, 0, 1) f) A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) g) A = ( 5, 3, 4), B = (7, 9, 2) h) A = ( 1, 1, 0), B = (1, 0, 1) i) A = ( 1, 0, 1), B = (0, 0, 1) j) A = ( 3,1,0 ), B = (1, 0, 0). 14. Odredite vrijednost α R tako da radijvektor a = (2 α, 1, 1 α) zatvara jednake kutove s radijvektorima b = ( 1, 3, 0) i c = (5, 1,8). 15. Odredite vrijednost parametra α R tako da duljine radijvektora a = (2 e α, α,1 α) i radijvektora b = ( α + 1, α 2) budu jednake, pa izračunajte kut između tih dvaju radijvektora. 16. Odredite vrijednosti parametara α, β R tako da trokut OAB bude pravokutan s pravim kutom kod vrha O ako je zadano: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5
6 a) A = (50, 100, α), B = (2, 1, 0) b) A = (1, 2, α + 1), B = ( 3, 0, 1 α) c) A = (α + 1, 1, 3), B = (1 α + α 2, 2, 3) d) A = (α, 1, 2013), B = (α, β 2, 0) e) A = (α β, β, α), B = (α + β, β, α) f) A = (2 α, 3 α β, β), B = (3 α, α + 3 β, 11 β). 17. Zadani su radijvektori a = (6,1,1), b = (0,3, 1) i c = ( 2,3,5). Odredite vrijednost parametra α R tako da radijvektori a + α b i c budu okomiti. 18. Odredite linearnu kombinaciju radijvektora: a) a = (1,0,0), b = (0,1,0) i c = (0,0,1) s koeficijentima 1, 1, 1 b) a = ( 1, 0,0), b = (0, 1,0) i c = (0,0,1) s koeficijentima ( 1), ( 3) i ( 2) c) a = (1,0,0), b = (0, 1,0) i c = (0,0, 1) s koeficijentima 1, ( 2) i ( 3) d) a = ( 1, 0,0), b = (0,1,0) i c = (0,0, 1) s koeficijentima 1, 2 i ( 3) e) a =,,, b =,, i c =,, s koeficijentima ( 2), 4 i ( 6) f) a =,,, b =,, i c =,, s koeficijentima 6, ( 9) i ( 3) g) a,,, b,, = = i c =,, s koeficijentima h) 8, 27 i a,,, b,, = = i c =,, koeficijentima , 1728 i 2880 i) ( 1, 0, 2), (3, 2, 1) i (0, 1, 3) s koeficijentima 2, 1 2 i j) ( 1 3,2 + 3,2 3),,,, ( 27, 12, 48) s koeficijentima , 3 12 i Prikažite radijvektor OD kao linearnu kombinaciju radijvektora OA, OB i OC ako je: a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (3, 2, 1) b) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 2, 3) c) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (2, 1, 3) d) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (3, 1, 2) e) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = ( 1, 2, 3) s mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6
7 f) A = ( 1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 3, 2) g) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1), D = (1, 2, 3) h) A = (1, 2, 0), B = (3, 2, 1), C = ( 1, 1, 1), D = ( 3, 1, 2) i) A = (1, 2, 1), B = (0, 1, 1), C = (1, 4, 3), D = (0, 0, 0) j) A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 4), D = (1, 2, 4) k) A = (2, 3, 4), B = ( 1, 2, 2), C = (1, 0, 2), D = ( 2, 4, 8) l) A = (1, 3, 0), B = (2, 1, 4), C = ( 2, 1, 4), D = (2, 4, 8) m) A = ( 8, 4, 2), B = (3, 2, 1), C = (4, 5, 0), D = ( 1, 3, 1) n) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = (1, 2, 3), D = ( 9, 2, 57) o) A = ( 1, 2, 3), B = (1, 2, 3), C = ( 1, 2, 3), D = ( 19, 18, 33) p) A = (3, 4, 5), B = (6, 7, 8), C = (9, 10, 11), D = (0, 0, 0) q) A = (1, 2, 3), B = (1, 4, 9), C = (1, 8, 27), D = (2,2,3) r) A = ( 4, 3, 6), B = ( 6, 3, 4), C = (2, 2, 1), D = (11, 2, 11). 20. Neka su a, b, c V 3 ( O ). Pretpostavimo da je vektor c linearna kombinacija vektora a i b s koeficijentima 2014 i Može li se tada i vektor 2016 c prikazati kao linearna kombinacija vektora a i b? Ako može, odredite koeficijente u tom prikazu. Ako ne može, obrazložite svoj odgovor. 21. Neka su a, b, c, d V 3 ( O ). Pretpostavimo da je vektor d linearna kombinacija vektora a, b i c s koeficijentima α 1, α 2 i α 3, te neka je k bilo koji realan broj različit od nule. Može li se tada i vektor k d prikazati kao linearna kombinacija vektora a, b i c? Ako može, odredite koeficijente u tom prikazu. Ako ne može, obrazložite svoj odgovor. 22. Ispitajte jesu li sljedeći uređeni skupovi radijvektora linearno nezavisni i precizno obrazložite svoje odgovore: a) S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} b) S = {( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} c) S = {( 1, 0, 1), (0, 1, 1), ( 1, 1, 0)} d) S = {( 1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)} e) S = {(0, 0, 0), (2010, 2011, 2012), (2013, 2014, 2015)} f) S = {(1, 2, 3), (3, 6, 9), (2014, 2016, 2018)} g) S = {(1, 9, 7), (2, 1, 1), ( 1, 8, 6)} h) S = {(1, 3, 4), ( 2, 1, 7), (8, 9, 13)} i) S = {(2009, 2010, 2011), (2012, 2013, 2014), ( 2015, 2016, 2017), (2018, 2019, 2020)} j) S = {(2014, 0, 1), (0, 2015, 1), (1, 0, 2016)} k) S = {(π, π 2, π 3 ), (0, 0, 0), (1 π, π π 2, π 2 π 3 )} l) S = {( 2015, 2016, 2017), (2015, 2016, 2017), (0, 1, 1)}. 23. Odredite realne brojeve a, b R tako da skup S = {(a 1, 0, 0), (1, b 2 1, 0)} bude linearno zavisan. 24. Dokažite da je dvočlani skup S = { OA, OB } linearno zavisan ako i samo ako su radijvektori OA i OB kolinearni. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7
8 25. Neka je a R proizvoljan, ali fiksiran realan broj. Pokažite da je skup S = {(a 1, 2), ( 1, a + 1)} linearno nezavisan. 26. Neka je S = {a, b, c} V 3 ( O) linearno nezavisan skup vektora. Dokažite da je tada i skup {2014 a, ( 2015) b, 2016 c} linearno nezavisan. Vrijedi li analogna tvrdnja ako koeficijente 2014, ( 2015) i 2016 zamijenimo bilo kojim realnim brojevima α, β i γ takvima da je njihov umnožak različit od nule? Obrazložite svoj odgovor. 27. Neka je S = {a, b, c} V 3 ( O) linearno nezavisan skup vektora. Ispitajte jesu li i skupovi A = {a, a + b, a + b + c}, B = {a + b, b + c, c + a} i C = {a b, b c, c a} također linearno nezavisni. 28. Ispitajte je li uređen skup B baza prostora V 3 ( O ) i precizno obrazložite sve svoje tvrdnje ako je: a) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) b) B = ((0, 1, 0), (0, 0, 1)) c) B = ((1, 0, 0), (0, 0, 1)) d) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) e) B = (( 1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) f) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) g) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) h) B = ((1, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 0, 1)) i) B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0)) j) B = ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 2)) k) B = ((1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3)) l) B = ((1, 2, 3), (1, 3, 2), ( 5, 2, 3)) m) B = ((1, 2, 3), ( 1, 2, 3), ( 3, 2, 1)) n) B = ((2, 1, 3), (3, 2, 5), (1, 1, 1)) o) B = ((0, 1, 1), (1, 0, 2), (1, 2, 0)) p) B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (2015, 2014, 1)) q) B = ((1, 0, 1), (2, 0, 2), (2014, 2016, 2018)) r) B = ((π, 0, 0), (0, π, 2 π), (0, 0, 0)) s) B = ((π, 0, 0), (0, 2 π, π), (1, 0, 1)) t) B = ((6, 2, 7), ( 2, 1, 3), ( 1, 1, 1)) u) B = ((6, 9, 14), (1, 1, 1), ( 1, 2, 3)) v) B = ((0, 7, 1), ( 12, 8, 1), ( 1, 2, 0)) w) B = ((1003, 1005, 1007), (2014, 2016, 2018), (3013, 3016, 3020)) x) B = ((π, π 2, π 3 ), (1 π, 1 π 2, 1 π 3 ), (1, 1, 1)) π π π y) B =,,,,,,,, z) B = ((log 2, log 3, log 4), (ln 2, ln 3, ln 4), (sin 2, sin 3, sin 4 )). mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8
9 29. Neka su a 1, a 2 i a 3 proizvoljni realni brojevi različiti od nule. Dokažite da je uređeni skup S = ((a 1, 0, 0), (0, a 2, 0), (0, 0, a 3 )) baza prostora 30. Neka je B = (b 1, b 2, b 3 ) bilo koja baza prostora V 3 ( O ). V 3 ( O ). Jesu li tada i skupovi B 1 = (b 1, b b 1, b 1 + b 2 + b 3 ) i B 2 = (b 1 2 b 2, b 2 2 b 3, b 3 2 b 1 ) baze istoga prostora? Obrazložite svoj odgovor. 31. Neka je B = (b 1, b 2, b 3 ) bilo koja baza prostora V 3 ( O ). Uz koji uvjet na vektor b 4 će i skup B 1 = (b 1, b 2, b 4 ) biti baza toga prostora? Obrazložite svoj odgovor. 32. Zadane su točke A = (1, 0, 2) i B = (a 2, 0, 3 a), gdje je a R parametar. Odredite vrijednost a tako da vrijedi jednakost OA OB = Zadane su točke A = (a + 1, 1 a, a) i B = (2,1,0), gdje je a R parametar. Odredite vrijednost a tako da vrijedi jednakost OA OB = Zadane su točke A = (1, 3, 2), B = (0, 3, 1) i C = (0, 0, 1). a) Dokažite da je uređeni skup S ( OA, OB, OC) = baza prostora V 3 ( O ). b) Prikažite radijvektor kojemu je krajnja točka D = (4,3,6) kao linearnu kombinaciju radijvektora koji tvore bazu S. c) Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi tetraedra. d) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra OABC. e) Izračunajte duljine svih četiriju visina tetraedra OABC. 35. Zadane su točke A = ( 1, 2, 1), B = (2, 0, 1) i C = (1, 0, 2). a) Dokažite da je uređeni skup S ( OA, OB, OC) = baza prostora V 3 ( O ). b) Prikažite radijvektor kojemu je krajnja točka D = (1, 4, 3) kao linearnu kombinaciju radijvektora koji tvore bazu S. c) Pokažite da su točke O, A, B i C vrhovi tetraedra. d) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra OABC. e) Izračunajte duljine svih četiriju visina tetraedra OABC. 36. Zadane su točke A = (1, 0, a), B = ( 1, 1, 1) i C = (1, 0, 1), gdje je a R parametar. a) Odredite vrijednost a tako da točke O, A, B i C tvore četverokut. b) Izračunajte opseg i površinu četverokuta OABC. c) Izračunajte mjeru kuta uz svaki pojedini vrh četverokuta OABC. d) Izračunajte mjeru kuta kojega zatvaraju dijagonale četverokuta OABC. 37. Zadane su točke A = (a, 0, 1), B = (2, 0, 1) i C = (1, 2, 1), gdje je a R parametar. a) Odredite vrijednost a tako da točke O, A, B i C budu komplanarne. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9
10 b) Dokažite da su za vrijednost parametra a iz a) zadatka točke O, A i B kolinearne, pa odredite omjer u kojemu točka O dijeli dužinu AB. c) Izračunajte opseg i površinu trokuta ABC. d) Izračunajte sva tri unutrašnja kuta trokuta ABC. e) Izračunajte duljine svih triju visina trokuta ABC. 38. Zadane su točke A = (0, a, 1) i B = ( 2, 2, a), gdje je a R parametar. a) Odredite vrijednost a tako da točke O, A i B budu vrhovi pravokutnika, pa izračunajte koordinate četvrtoga vrha toga pravokutnika. b) Izračunajte oplošje i obujam paralelepipeda kojemu je osnovka pravokutnik iz a) podzadatka, a jedna stranica OA OB. 39. Zadane su točke A = (a, 1, a) i B = (2, 3, 1), gdje je a R parametar. a) Odredite vrijednost a tako da točke O, A i B budu vrhovi pravokutnoga trokuta s pravim kutom kod vrha O. b) Izračunajte mjere svih unutrašnjih kutova trokuta OAB. c) Izračunajte oplošje i obujam tetraedra kojemu je osnovka pravokutan trokut iz a) podzadatka, a jedna stranica OA OB. 40. Zadane su točke A = (1, 1, 2) i B = (0, 1, 1). Odredite sve točke na osi aplikata tako da obujam prizme razapete radijvektorima OA, OB i OC bude 1 kub. jed. 41. Zadani su radijvektori a = ( ć, 0, 1) i b = (1, 1, 0). Odredite vrijednost ć R tako da površina usporednika razapetoga zadanim radijvektorima bude jednaka 3 2 kv. jed. 42. Odredite sve vrijednosti a R za koje je skup S = {(0, a, 1), (a, 0, 1), (1, 0, a)} linearno zavisan. 43. Zadani su radijvektori a = 2 i j + k, b = i 2 j + k i c = i + 3 j + 6 k. Izračunajte kut između radijvektora c i a b i iskažite ga u radijanima. 44. Izračunajte obujam tetraedra čiji su vrhovi u točkama A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = ( 3, 2, 1) i D = (0, 0, 6). 45. Zadani su vrhovi trokuta A = (0, 3, -1), B = (1, 5, 2) i C = (2, 0, 2). Isključivo vektorskim računom odredite: a) veličinu unutrašnjega kuta pri vrhu A toga trokuta b) ploštinu trokuta ABC. 46. Točke A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3) i C = (0, 4, 0) su tri uzastopna vrha usporednika ABCD. Isključivo vektorskim računom izračunajte koordinate četvrtoga vrha D, ploštinu četverokuta, sve unutrašnje kutove četverokuta i šiljasti kut kojega zatvaraju njegove dijagonale. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 10
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραZdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Διαβάστε περισσότερα2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότεραmogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.
r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα2 Mature i državni ispiti iz matematike u europskim zemljama ( a) 4,zaa = 2 i. 27b. b = 3. 2 x sin. 2 +x. 1. Mature u Sloveniji
Ljetni rok, 995. godine Osnovna razina Zadatak. Ako od broja b oduzmemo dvokratnik broja a, dobije se 2. Ako se peterokratnik broja a umanji za (b + ), dobije se 6. Izračunajte brojeve a i b. Rješenje:
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραRepetitorij matematike zadaci za maturu 2008.
Repetitorij matematike zadaci za maturu 008 Izračunaj : 7 : 5 + : = 5 5 8 Izračunaj : a ( 05 y ) = y b 8 n 7 9 n+ n n Rastavi na faktore : 5 a + a 8a 6= Skrati razlomke : a ( ) + + a b a b a + a b+ ab
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραMatematika Zbirka zadataka
Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραPRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα