La transformada de ondícula continua y algunas clases de operadores de localización

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1 La transformada de ondícula continua y algunas clases de operadores de localización Gerardo Ramos Vázquez Dr. Egor Maximenko Instituto Politécnico Nacional, ESFM diciembre 2016

2 Contenido El grupo afín positivo La transformada de ondícula continua y su propiedad isométrica Los operadores de localización

3 Panorama general de la presentación Estados coherentes Propiedad isométrica Medida de Haar Núcleo reproductor Ψ TOC Álgebra C generada Diagonalización Acción sobre L 2 (R) Grupo afín positivo Operadores de localización

4 Traslaciones, dilataciones y transformaciones afines

5 Traslaciones, dilataciones y transformaciones afines Traslación por a R R R x x + a

6 Traslaciones, dilataciones y transformaciones afines Traslación por a R R R x x + a Dilatación por λ R + R R x λ x

7 Traslaciones, dilataciones y transformaciones afines Traslación por a R R R x x + a Dilatación por λ R + R R x λ x Transformación afín positiva A λ,a (λ R +, a R) R R x λ x + a

8 Composición de dos transformaciones afines: A λ,a A µ,b = A λµ,λb+a

9 Composición de dos transformaciones afines: A λ,a A µ,b = A λµ,λb+a Observación: A 1,0 = I R A 1 λ,a = A 1 λ, a λ

10 El grupo afín positivo A λ,a (λ, a) R + R =: G

11 El grupo afín positivo A λ,a (λ, a) R + R =: G A 1,0 (1, 0)

12 El grupo afín positivo A λ,a (λ, a) R + R =: G A 1,0 (1, 0) A λ,a A µ,b = A λµ,λb+a (λ, a) (µ, b) = (λµ, λb + a)

13 El grupo afín positivo A λ,a (λ, a) R + R =: G A 1,0 (1, 0) A λ,a A µ,b = A λµ,λb+a (λ, a) (µ, b) = (λµ, λb + a) ( 1 A 1 λ,a = A 1 λ, a (λ, a) 1 = λ λ λ), a

14 El grupo afín positivo A λ,a (λ, a) R + R =: G A 1,0 (1, 0) A λ,a A µ,b = A λµ,λb+a (λ, a) (µ, b) = (λµ, λb + a) ( 1 A 1 λ,a = A 1 λ, a (λ, a) 1 = λ λ λ), a (G, ) es un grupo (G = R + R)

15 Acción del grupo G sobre L 2 (R)

16 Acción del grupo G sobre L 2 (R) ψ L 2 (R) (λ, a) G ψ λ,a(x)

17 Acción del grupo G sobre L 2 (R) ψ L 2 (R) (λ, a) G ψ λ,a(x) = 1 ( ) x a ψ λ λ x R.

18 Acción del grupo G sobre L 2 (R) ψ L 2 (R) (λ, a) G ψ λ,a(x) = 1 ( ) x a ψ λ λ x R. ψ λ,a 2 = ψ 2

19 Acción del grupo G sobre L 2 (R) ψ L 2 (R) (λ, a) G ψ λ,a(x) = 1 ( ) x a ψ λ λ x R. ψ λ,a 2 = ψ 2 Obs: ψ 1,0 = ψ

20 Acción del grupo G sobre L 2 (R) ψ L 2 (R) (λ, a) G ψ λ,a(x) = 1 ( ) x a ψ λ λ x R. ψ λ,a 2 = ψ 2 Obs: ψ 1,0 = ψ ψ 1 λ,0 = λ ψ(λx)

21 Ejemplo: Para cierta función ψ tenemos y 1 ψ 0, x 0,5

22 Ejemplo: Para cierta función ψ tenemos y 1 ψ 0,5 ψ 1, x 0,5

23 Ejemplo: Para cierta función ψ tenemos y 1 ψ ψ 1 2, 1 0,5 ψ 1, x 0,5

24 Ejemplo: Para cierta función ψ tenemos y 1 ψ ψ 3 2, 2 ψ 1 2, 1 0,5 ψ 1, x 0,5

25 3 a y espacio G R λ x 1 2

26 3 a y espacio G R 2 2 ψ 1 (1, 0) λ x 1 2

27 3 a y espacio G R 2 2 ψ ψ 1,1 1 (1, 1) (1, 0) λ x 1 2

28 3 a y espacio G R 2 2 ψ 1 2, 1 ψ ψ 1,1 1 (1, 1) (1, 0) λ x 1 ( 1 2, 1) 2

29 3 a y espacio G R 2 2 ψ 3 2, 2 ψ 1 2, 1 ψ ψ 1,1 1 (1, 1) (1, 0) λ x 1 ( 1 2, 1) 2 ( 3 2, 2)

30 Una medida de Haar izquierda en G dν L = dλ da λ 2

31 Una medida de Haar izquierda en G dν L = dλ da λ 2 ν L es una medida invariante bajo traslaciones por la izquierda: ν L ((λ, a)x) = ν L (X)

32 Ondícula (def) Es una función Ψ L 1 (R) L 2 (R) tal que (Condición de admisibilidad) R + Ψ(λa) 2 dλ = 1, a R \ {0} λ

33 Ondícula (def) Es una función Ψ L 1 (R) L 2 (R) tal que (Condición de admisibilidad) R + Ψ(λa) 2 λ dλ = 1, a R \ {0} R + o equivalentemente Ψ( λ) 2 dλ = λ R + Ψ(λ) 2 dλ = 1 λ

34 Ejemplo: ondícula sombrero mexicano Ψ(x) = 2 ( 1 x 2) e 1 2 x2. 3 π 1/4 y 1 0, x 0,5

35 La transformada de ondícula continua relativa a la ondícula Ψ (Ψ TOC) W Ψ : L 2 (R) L 2 (G, ν L ) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a L 2 (R)

36 Ejemplo f(x) = sen(x) e 2x2 Ψ sombrero mexicano

37 Ejemplo f(x) = sen(x) e 2x2 Ψ sombrero mexicano y 1 Ψ(x) 0,5 2 f(x) x 0,5

38 Resultado de aplicar Ψ TOC a la función f

39 Comparación entre algunas ondículas hijas y la función f y 1 Ψ 0,9,0,9 Ψ 1,1 Ψ 1,3,1,3 Ψ 5,1 0, f(x) = sen(x) e 2x2 x 0,5

40 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier

41 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R

42 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx = R ( ) 1 x a Ψ e 2πixξ dx λ λ R

43 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R ( ) 1 x a = Ψ e 2πixξ dx R λ λ / / x = λy + a dx = λ dy

44 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R ( ) 1 x a = Ψ e 2πixξ dx R λ λ / / x = λy + a = λ Ψ(y) e 2πi(λy+a)ξ dy dx = λ dy R

45 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R ( ) 1 x a = Ψ e 2πixξ dx R λ λ / / x = λy + a = λ Ψ(y) e 2πi(λy+a)ξ dy dx = λ dy R = λ e 2πiaξ Ψ(y) e 2πiy(λξ) dy R

46 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R ( ) 1 x a = Ψ e 2πixξ dx R λ λ / / x = λy + a = λ Ψ(y) e 2πi(λy+a)ξ dy dx = λ dy R = λ e 2πiaξ Ψ(y) e 2πiy(λξ) dy R = λ Ψ(λξ) e 2πiaξ

47 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 1) F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ λ,a (x) e 2πixξ dx R ( ) 1 x a = Ψ e 2πixξ dx R λ λ / / x = λy + a = λ Ψ(y) e 2πi(λy+a)ξ dy dx = λ dy R = λ e 2πiaξ Ψ(y) e 2πiy(λξ) dy R = λ Ψ(λξ) e 2πiaξ F[Ψ λ,a ](ξ) = Ψ 1 λ,0 (ξ) e 2πiaξ

48 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ]

49 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] = R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ

50 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] / NΨ : L 2 (R) L 2 (G) / = R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ N Ψ f(λ, ξ) = f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ)

51 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] / NΨ : L 2 (R) L 2 (G) N Ψ f(λ, ξ) = f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) / = = R R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ N Ψ f(λ, ξ) e 2πiaξ dξ

52 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] / NΨ : L 2 (R) L 2 / (G) N f(λ, Ψ ξ) = f(ξ) Ψ 1,0(ξ) λ / U : L 2 (G) L 2 / (G) = = R R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ N Ψ f(λ, ξ) e 2πiaξ dξ U = I F 1

53 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] / NΨ : L 2 (R) L 2 / (G) N f(λ, Ψ ξ) = f(ξ) Ψ 1,0(ξ) λ / U : L 2 (G) L 2 / (G) U = I F 1 = = R R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ N Ψ f(λ, ξ) e 2πiaξ dξ = ( U N Ψ f )(λ, a)

54 Ψ TOC en términos de la transformada de Fourier 2) W Ψ f(λ, a) = f, Ψ λ,a = f, F[Ψ λ,a ] / NΨ : L 2 (R) L 2 / (G) N f(λ, Ψ ξ) = f(ξ) Ψ 1,0(ξ) λ / U : L 2 (G) L 2 / (G) U = I F 1 = = R R f(ξ) Ψ 1 λ,0(ξ) e2πiaξ dξ N Ψ f(λ, ξ) e 2πiaξ dξ = ( U N Ψ f )(λ, a) W Ψ = U N Ψ F

55 El operador N Ψ es una isometría

56 N Ψ g 2 L 2 (G) = El operador N Ψ es una isometría R R + g(a) Ψ 1 λ,0(a) 2 dλ da λ 2

57 N Ψ g 2 L 2 (G) = El operador N Ψ es una isometría = R R + R g(a) Ψ 1 λ,0(a) 2 g(a) 2 R + dλ da λ 2 λ Ψ(λa) 2 dλ λ 2 da

58 N Ψ g 2 L 2 (G) = El operador N Ψ es una isometría = = R R + R R g(a) Ψ 1 λ,0(a) 2 g(a) 2 R + g(a) 2 R + dλ da λ 2 λ Ψ(λa) 2 dλ λ 2 Ψ(λa) 2 dλ da λ da

59 N Ψ g 2 L 2 (G) = El operador N Ψ es una isometría = = R R + R R g(a) Ψ 1 λ,0(a) 2 g(a) 2 R + g(a) 2 = g 2 L 2 (R) R + dλ da λ 2 λ Ψ(λa) 2 dλ λ 2 Ψ(λa) 2 dλ da λ da

60 N Ψ g 2 L 2 (G) = El operador N Ψ es una isometría = = R R + R R g(a) Ψ 1 λ,0(a) 2 g(a) 2 R + g(a) 2 = g 2 L 2 (R) R + dλ da λ 2 λ Ψ(λa) 2 dλ λ 2 Ψ(λa) 2 dλ da λ da El operador W Ψ es isométrico

61 W Ψ W Ψ = I R Ψ TOC P Ψ = W Ψ W Ψ es isometría (Ψ γ ) γ G es un sistema de estados coherentes W Ψ (L 2 (R)) es un espacio con núcleo reproductor

62 La proyección ortogonal en W Ψ (L 2 (R)) P Ψ : L 2 (G) L 2 (G)

63 La proyección ortogonal en W Ψ (L 2 (R)) P Ψ : L 2 (G) L 2 (G) P Ψ w(µ, b) = W Ψ W Ψw(µ, b)

64 La proyección ortogonal en W Ψ (L 2 (R)) P Ψ : L 2 (G) L 2 (G) P Ψ w(µ, b) = W Ψ WΨw(µ, b) = WΨw, Ψ µ,b = w, W Ψ Ψ µ,b

65 La proyección ortogonal en W Ψ (L 2 (R)) P Ψ : L 2 (G) L 2 (G) P Ψ w(µ, b) = W Ψ W Ψw(µ, b) = W Ψw, Ψ µ,b = w, W Ψ Ψ µ,b = w(λ, a) Ψ µ,b, Ψ λ,a R R + dλ da λ 2

66 La proyección ortogonal en W Ψ (L 2 (R)) P Ψ : L 2 (G) L 2 (G) P Ψ w(µ, b) = W Ψ W Ψw(µ, b) = W Ψw, Ψ µ,b = w, W Ψ Ψ µ,b = w(λ, a) Ψ µ,b, Ψ λ,a R R + dλ da λ 2 P Ψ w(µ, b) = R R + w(λ, a) Ψ λ,a, Ψ µ,b dλ da λ 2

67 (Ψ γ ) γ G como sistema de estados coherentes

68 (Ψ γ ) γ G como sistema de estados coherentes f, g L 2 (R) : f, g = W Ψ f, W Ψ g

69 (Ψ γ ) γ G como sistema de estados coherentes f, g L 2 (R) : f, g = W Ψ f, W Ψ g = W Ψ f(γ) W Ψ g(γ) dν L (γ) G

70 (Ψ γ ) γ G como sistema de estados coherentes f, g L 2 (R) : f, g = W Ψ f, W Ψ g = W Ψ f(γ) W Ψ g(γ) dν L (γ) G f, g = f, Ψ γ Ψ γ, g dν L (γ) G

71 (Ψ γ ) γ G como sistema de estados coherentes f, g L 2 (R) : f, g = W Ψ f, W Ψ g = W Ψ f(γ) W Ψ g(γ) dν L (γ) G f, g = G f, Ψ γ Ψ γ, g dν L (γ) (Ψ γ ) γ G es un sistema de estados coherentes en L 2 (R)

72 W Ψ (L 2 (R)) como espacio con núcleo reproductor

73 W Ψ (L 2 (R)) como espacio con núcleo reproductor w W Ψ (L 2 (R)) γ G : w(γ) = w(ξ) Ψ ξ, Ψ γ dν L (ξ) G

74 W Ψ (L 2 (R)) como espacio con núcleo reproductor w W Ψ (L 2 (R)) γ G : w(γ) = w(ξ) Ψ ξ, Ψ γ dν L (ξ) G Núcleo reproductor en W Ψ (L 2 (R)): K γ (ξ) = Ψ γ, Ψ ξ

75 W Ψ (L 2 (R)) como espacio con núcleo reproductor w W Ψ (L 2 (R)) γ G : w(γ) = w(ξ) Ψ ξ, Ψ γ dν L (ξ) G Núcleo reproductor en W Ψ (L 2 (R)): K γ (ξ) = Ψ γ, Ψ ξ w(γ) = w, K γ

76 Operadores de Localización

77 Operadores de Localización Ψ (una ondícula) σ L (G)

78 Operadores de Localización Ψ (una ondícula) σ L (G) L Ψ σ : L 2 (R) L 2 (R) L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ

79 Operadores de Localización Ψ (una ondícula) σ L (G) L 2 (R) W Ψ L 2 (G) L Ψ σ L Ψ σ : L 2 (R) L 2 (R) = W ΨM σ W Ψ L Ψ σ M σ L 2 (R) W Ψ L 2 (G)

80 fψ y PeΨ Los operadores W

81 Los operadores W Ψ y P Ψ W Ψ : L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) W Ψ f = W Ψ f

82 Los operadores W Ψ y P Ψ W Ψ : L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) W Ψ f = W Ψ f P Ψ : L 2 (G) W Ψ (L 2 (R)) P Ψ w = P Ψ w

83 Los operadores W Ψ y P Ψ W Ψ : L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) W Ψ f = W Ψ f P Ψ : L 2 (G) W Ψ (L 2 (R)) P Ψ w = P Ψ w Operador de Toeplitz-Calderón T Ψ σ : L 2 (R) L 2 (R) T Ψ σ = P Ψ M σ P Ψ

84 Diagrama general W Ψ W Ψ L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) L 2 (G) P Ψ L Ψ σ T σ Ψ M σ L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) L 2 (G) W Ψ P Ψ W Ψ

85 Diagrama general W Ψ W Ψ L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) L 2 (G) P Ψ L Ψ σ T Ψ σ M σ L 2 (R) W Ψ (L 2 (R)) L 2 (G) W Ψ P Ψ W Ψ

86 Operadores de localización y Toeplitz-Calderón L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ

87 Operadores de localización y Toeplitz-Calderón L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ = W Ψ P Ψ M σ P Ψ W Ψ

88 Operadores de localización y Toeplitz-Calderón L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ = W Ψ P Ψ M σ P Ψ W Ψ L Ψ σ = W Ψ T Ψ σ W Ψ

89 Aplicación de un operador de localización f(x) = e x2 /32 sen(x) e x2 /128 cos(5x) y x

90 F (λ, a) = W Ψ f(λ, a) g(λ, a) = M 1[3,+ [ W Ψ f(λ, a)

91 Resultado de la aplicación del operador localización y x

92 Comparación 1 f 1 (x) = e x2 /32 sen(x) y h(x) = L Ψ 1 ]3,+ [ f(x) y

93 Comparación 2 f(x) = e x2 /32 sen(x) e x2 /128 cos(5x) y h(x) = L Ψ 1 ]3,+ [ f(x) y x

94 Otros ejemplos y x

95 Otros ejemplos y x

96 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski]

97 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R)

98 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R) Uσ = (I F 1 )σ = σ

99 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R) Uσ = (I F 1 )σ = σ UM σ = M σ U

100 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R) Uσ = (I F 1 )σ = σ L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ UM σ = M σ U

101 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R) Uσ = (I F 1 )σ = σ UM σ = M σ U L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ = F N ΨU M σ U N Ψ F

102 Diagonalización de los operadores de localización [Hutník inspirado por Vasilevski] Nuevas consideraciones: σ(λ, a) = σ(λ) L (R) Uσ = (I F 1 )σ = σ UM σ = M σ U L Ψ σ = W ΨM σ W Ψ = F N ΨU M σ U N Ψ F = F ( N ΨM σ N Ψ )F

103 El operador N Ψ y su adjunto N Ψ : L 2 (R) L 2 (G) N Ψ g(λ, a) = g(a) Ψ 1 λ,0(a)

104 El operador N Ψ y su adjunto N Ψ : L 2 (R) L 2 (G) N Ψ g(λ, a) = g(a) Ψ 1 λ,0(a) = λ g(a) Ψ(λa)

105 El operador N Ψ y su adjunto N Ψ : L 2 (R) L 2 (G) N Ψ g(λ, a) = g(a) Ψ 1 λ,0(a) = λ g(a) Ψ(λa) N Ψ : L2 (G) L 2 (R) NΨw(x) = R + w(λ, x) Ψ(λx) λ dλ λ

106 El operador N Ψ M σ N Ψ : L 2 (R) L 2 (R) N ΨM σ N Ψ g(x) =

107 El operador N Ψ M σ N Ψ : L 2 (R) L 2 (R) N ΨM σ N Ψ g(x) = R + M σ N Ψ g(λ, x) Ψ(λx) λ dλ λ

108 El operador N Ψ M σ N Ψ : L 2 (R) L 2 (R) N ΨM σ N Ψ g(x) = = M σ N Ψ g(λ, x) Ψ(λx) λ dλ λ R + R + σ(λ) λ g(x) Ψ(λx) Ψ(λx) λ dλ λ

109 El operador N Ψ M σ N Ψ : L 2 (R) L 2 (R) N ΨM σ N Ψ g(x) = = = R + R + M σ N Ψ g(λ, x) Ψ(λx) λ dλ λ σ(λ) λ g(x) Ψ(λx) Ψ(λx) λ dλ λ σ(λ) 2 dλ g(x) λ } R + {{ } γσ Ψ

110 El operador N Ψ M σ N Ψ : L 2 (R) L 2 (R) N ΨM σ N Ψ g(x) = R + M σ N Ψ g(λ, x) Ψ(λx) λ dλ λ = σ(λ) λ g(x) Ψ(λx) Ψ(λx) λ dλ λ R + = σ(λ) 2 dλ g(x) λ } R + {{ } γσ Ψ = M γ Ψ σ g(x)

111 ... de regreso a la diagonalización: L Ψ σ = F N Ψ M σ N Ψ F

112 ... de regreso a la diagonalización: L Ψ σ = F N Ψ M σ N Ψ F F L Ψ σ F = M γ Ψ σ

113 ... de regreso a la diagonalización: L Ψ σ = F N Ψ M σ N Ψ F F L Ψ σ F = M γ Ψ σ por lo tanto: L Ψ σ = γ Ψ σ y Sp( L Ψ σ ) = clos(γ Ψ σ (R))

114 ... de regreso a la diagonalización: L Ψ σ = F N Ψ M σ N Ψ F F L Ψ σ F = M γ Ψ σ por lo tanto: L Ψ σ = γ Ψ σ y Sp( L Ψ σ ) = clos(γ Ψ σ (R)) Hutník O.; Hutníková M.(2011): On Toeplitz localization operators.

115 Diagrama general para la diagonalización F N Ψ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) U L Ψ σ M γ Ψ σ M σ M σ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) F N Ψ U

116 Diagrama general para la diagonalización F N Ψ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) U L Ψ σ M γ Ψ σ M σ M σ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) F N Ψ U

117 Diagrama general para la diagonalización F N Ψ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) U L Ψ σ M γ Ψ σ M σ M σ L 2 (R) L 2 (R) L 2 (G) L 2 (G) F N Ψ U

118 Funciones espectrales como convoluciones

119 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t)

120 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t) γ Ψ σ (x) = R + σ(λ) Ψ(λx) 2 dλ λ

121 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t) γ Ψ σ (x) = R + σ(λ) Ψ(λx) 2 dλ λ / x = e v λ = e u dλ = e u du /

122 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t) γ Ψ σ (x) = γ Ψ σ (e u ) = R + σ(λ) Ψ(λx) 2 dλ λ σ(e u ) Ψ(e v u ) 2 du R / x = e v λ = e u dλ = e u du /

123 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t) γ Ψ σ (x) = γ Ψ σ (e u ) = R + R σ(λ) Ψ(λx) 2 dλ λ σ(e u ) Ψ(e v u ) 2 du / x = e v λ = e u dλ = e u du / γ Ψ σ = σ K Ψ

124 Funciones espectrales como convoluciones Nueva consideración: Ψ( t) = Ψ(t) γ Ψ σ (x) = γ Ψ σ (e u ) = R + R σ(λ) Ψ(λx) 2 dλ λ σ(e u ) Ψ(e v u ) 2 du / x = e v λ = e u dλ = e u du / γ Ψ σ = σ K Ψ Esmeral, K.; Maximenko, E. (2016): Radial Toeplitz operators on the Fock space and square-root-slowly oscillating sequences.

125 Densidad de las funciones espectrales Teorema 1. Si FK Ψ (ξ) 0 para todo ξ R (condición de Wiener), entonces el conjunto G Ψ = { σ K Ψ : σ L (R) } es un subespacio denso de C u (R).

126 El álgebra C generada por los operadores de localización cuyo símbolo generador depende sólo del parámetro de escalamiento Ψ k (ξ) = 2 ξ l k (2 ξ ) Teorema 2. El álgebra C generada por los operadores de localización relativos a estas ondículas cuyos símbolos generadores dependen sólo del parámetro de escalamiento es isométricamente isomorfa a C u (R). Hutník, O.; Maximenko, E.; Miškova, A. (2016), Toeplitz localization operators: spectral functions density.

127 Referencias Hutník, O.; Maximenko, E.; Miškova, A. (2016), Toeplitz localization operators: spectral functions density. Complex Anal. Oper. Theory, 10:8, DOI: /s Esmeral, K.; Maximenko, E. (2016): Radial Toeplitz operators on the Fock space and square-root-slowly oscillating sequences. Complex Anal. Oper. Theory, 10:7, DOI: /s Hutník O.; Hutníková M.(2011): On Toeplitz localization operators. Arch. Math. 97, DOI: /s

128 Gracias!

129 Gracias! Spasibo!